megoldások - bzmatek › aids › bzmatek_koordinata... · brósch zoltán (debreceni egyetem...

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

1

Megoldások

1. Írd fel a 𝑲 (𝟎;−𝟐) középpontú 𝟕 sugarú kör egyenletét!

Megoldás:

A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: 𝑥2 + (𝑦 + 2)2 = 49.

2. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a 𝑲 (𝟓;−𝟐) pont és

áthalad a 𝑷 (𝟒; 𝟑) ponton!

Megoldás:

Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝑃| = √(4 − 5)2 + (3 − (−2))2 = √26.

Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 2)2 = 26.

3. Határozd meg az (𝒙 + 𝟓)𝟐 + (𝒚 − 𝟖)𝟐 = 𝟒 egyenletű kör középpontját és sugarát!

Mutasd meg, hogy a 𝑷 (−𝟕; 𝟖), 𝑸 (𝟑;−𝟐) és 𝑹 (−𝟒; 𝟕) pontok hogyan helyezkednek el

a körhöz képest!

Megoldás:

Az adott kör középpontja a 𝐾 (−5; 8) pont, sugara pedig 𝑟 = 2.

Helyettesítsük az adott pontok koordinátáit a kör egyenletébe:

A 𝑃 pont esetén a behelyettesítés után azt kapjuk, hogy 4 = 4, vagyis a pont illeszkedik a körre.

A 𝑄 pont esetén a behelyettesítés után azt kapjuk, hogy 164 > 4, vagyis a pont a körön kívül

helyezkedik el.

Az 𝑅 pont esetén a behelyettesítés után azt kapjuk, hogy 2 < 4, vagyis a pont a körön belül

helyezkedik el.

4. Kicsinyítsük az origóból a felére az (𝒙 + 𝟖)𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 = 𝟏𝟔 egyenletű kört, majd

forgassuk el a 𝑷 (𝟏; 𝟓) pont körül +𝟗𝟎° - kal. Határozd meg a keletkező kör egyenletét!

Megoldás:

Az adott kör középpontja a 𝐾 (−8; 2) pont, a sugara pedig 𝑟 = 4.

A kicsinyített kör középpontja az 𝑂𝐾 szakasz felezőpontja: 𝐾′ (−4; 1). Sugara pedig 𝑟 = 2.

A 𝑃𝐾′ (−5;−4) vektor +90° - os elforgatottja a 𝑃𝐾′′ (4;−5) vektor, vagyis a kör középpontja

a 𝐾′′(5; 0) pont.

Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (𝑥 − 5)2 + 𝑦2 = 4.


2

5. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek átmérője az 𝑨𝑩 szakasz, ha az adott

pontok 𝑨 (−𝟐; 𝟑) és 𝑩 (𝟒; 𝟓)!

Megoldás:

Az 𝐴𝐵 átmérőjű kör középpontja az 𝐴𝐵 szakasz felezőpontja: 𝐾 (1; 4).

Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝐴| = √(−2 − 1)2 + (3 − 4)2 = √10.

Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 4)2 = 10.

6. Írd fel az (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟔)𝟐 = 𝟏𝟔 egyenletű körrel koncentrikus, a 𝑻 (𝟓; 𝟐) ponton

áthaladó kör egyenletét!

Megoldás:

A koncentrikus kör középpontja megegyezik az adott kör középpontjával: 𝐾 (2; 6).

Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝑇| = √(5 − 2)2 + (2 − 6)2 = √25 = 5.


7. Tükrözzük az 𝒙 – tengelyre az (𝒙 − 𝟔)𝟐 + (𝒚 + 𝟒)𝟐 = 𝟑𝟔 egyenletű kört, majd toljuk

el a �� (𝟐; 𝟑) vektorral. Határozd meg az így keletkező kör egyenletét!

Megoldás:

Az adott kör középpontja a 𝐾 (6;−4) pont, a sugara pedig 𝑟 = 6.

A tükrözés után a kör középpontja a 𝐾′(6; 4) pont.

Ezt eltolva a 𝑣 vektorral, a keresett kör középpontja a 𝐾′′(8; 7) pont.


8. Határozd meg az alábbi egyenletekből a körök középpontját és sugarát!

a) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟐𝒚 + 𝟗𝟐 = 𝟎

b) 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 = 𝟒

c) 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 − 𝟕𝟓 = 𝟎

d) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟐𝟎 = 𝟎

e) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟗𝒚 − 𝟑𝒙𝒚 + 𝟓 = 𝟏𝟔


3

Megoldás:

Az egyenleteket teljes négyzetté alakítással hozzuk megfelelő alakra.

a) 𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 + 22𝑦 + 92 = 0

(𝑥 − 5)2 − 25 + (𝑦 + 11)2 − 121 + 92 = 0

(𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 11)2 = 54

Ezek alapján a kör középpontja a 𝐾 (5;−11) pont, sugara pedig 𝑟 = √54.

b) 𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑥 = 4

Mivel az 𝑥2 és az 𝑦2 együtthatója nem egyezik meg (1 ≠ −1), így ez nem kör egyenlet.

c) 4𝑥2 + 4𝑦2 − 20𝑥 − 75 = 0

𝑥2 + 𝑦2 − 5𝑥 −75

4= 0

(𝑥 −5

2)2

+ 𝑦2 = 25

Ezek alapján a kör középpontja a 𝐾 (5

2; 0) pont, sugara pedig 𝑟 = 5.

d) 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑦 + 20 = 0

𝑥2 + (𝑦 − 4)2 = −4

Mivel a jobb oldalon negatív szám keletkezett, így ez nem kör egyenlet.

e) 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 9𝑦 − 3𝑥𝑦 + 5 = 16

Mivel a bal oldalon található 𝑥𝑦 – os tag, így ez nem kör egyenlet.

9. A 𝒑 paraméter mely valós értékei esetén lesz az 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝒑 = 𝟎 egyenlet

egy kör egyenlete? Mely 𝒑 értékek esetén lesz a kör sugara 𝟑?

Megoldás:

Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (𝑥 − 4)2 + (𝑦 + 3)2 = 25 − 𝑝.

Ezek alapján 25 − 𝑝 > 0, vagyis 25 > 𝑝.

A kör sugara pedig akkor lesz 3, ha 25 − 𝑝 = 9, vagyis 𝑝 = 16.


4

10. Határozd meg a 𝟒𝒙𝟐 + 𝑨𝒚𝟐 + 𝑩𝒙𝒚 + 𝑪𝒚 − 𝟖𝒙 − 𝟔𝟎 = 𝟎 egyenletben az 𝑨,𝑩, 𝑪

együtthatók értékét úgy, hogy az egyenlet egy 𝒓 = 𝟓 egység sugarú kör egyenlete

legyen. Határozd meg a kör középpontjának koordinátáit!

Megoldás:

Mivel a kör egyenletében az 𝑥2 és az 𝑦2 együtthatójának meg kell egyeznie, ezért 𝐴 = 4.

Mivel a kör egyenletében nem szerepelhet 𝑥𝑦 – os tag, ezért 𝐵 = 0.

Hozzuk az így keletkező 4𝑥2 − 8𝑥 + 4𝑦2 + 𝐶𝑦 = 60 kör egyenletet általános alakra:

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 +𝐶

8)2

= 16 +𝐶2

64.

Ebből a sugár segítségével írjuk fel a következő egyenletet: 16 +𝐶2

64= 25.

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝐶1 = 24 és 𝐶2 = −24.

Ezek alapján a keresett körök középpontja 𝐾1 (1; −3) és 𝐾2 (1; 3).

11. Határozd meg a 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟑 = 𝟎 egyenletű kör 𝑷 (𝟏; 𝟑) pontra vonatkozó

tükörképének egyenletét!

Megoldás:

Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 16.

Az adott kör középpontja a 𝐾 (3; 2) pont, sugara pedig 𝑟 = 4.

A tükrözés során a 𝑃 pont a 𝐾𝐾′ szakasz felezőpontja, vagyis 𝐾′(−1; 4).

Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 4)2 = 16.

12. Határozd meg annak a körnek az egyenletét, amely koncentrikus az

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 − 𝟐 = 𝟎 egyenletű körrel, és sugara kétszer akkora!

Megoldás:

Hozzuk a kör egyenletét általános alakra: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 5)2 = 36.

Az adott kör középpontja a 𝐾 (3;−5) pont, sugara pedig 𝑟 = 6.

Ebből adódik, hogy a keresett kör középpontja a 𝐾 (3;−5) pont és a sugara pedig 𝑟 = 12.

Ezek alapján a keresett kör egyenlete: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 5)2 = 144.


5

13. Írd fel a kör egyenletét, ha a középpontjára illeszkedik az 𝒆: 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟐, illetve

𝒇: 𝒙 − 𝒚 = 𝟎 egyenes és a kör átmegy az origón!

Megoldás:

Határozzuk meg az 𝑒 és 𝑓 egyenes metszéspontját:

𝑥 + 2𝑦 = 12𝑥 − 𝑦 = 0

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = 4 és 𝑦 = 4, vagyis a kör középpontja: 𝐾 (4; 4).

A kör egy pontja az origó: 𝑃 (0; 0).

Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝑃| = √(0 − 4)2 + (0 − 4)2 = √32.


14. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a 𝑷 (𝟑; 𝟎) és 𝑸 (−𝟏; 𝟐) pontokon,

és a középpontja illeszkedik az 𝒆: 𝒙 − 𝒚 = −𝟐 egyenletű egyenesre!

Megoldás:

A kör középpontja illeszkedik bármely húrjának felezőmerőlegesére.

Írjuk fel a 𝑃𝑄 szakasz 𝑓 felezőmerőlegesének egyenletét: 2𝑥 − 𝑦 = 1.


𝑥 − 𝑦 = −22𝑥 − 𝑦 = 1

}


Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝑃| = √(3 − 3)2 + (0 − 5)2 = 5.


15. Határozd meg azon síkbeli pontok halmazának egyenletét, amelyek az 𝑨 (𝟏𝟎; 𝟎)

ponttól másfélszer akkora távolságra vannak, mint a 𝑩 (𝟎; 𝟏𝟎) ponttól!

Megoldás:

Tekintsünk egy tetszőleges 𝑃 (𝑥; 𝑦) pontot, ekkor felírhatjuk a következőt: 3

2∙ |𝑃𝐵| = |𝑃𝐴|.

Írjuk fel ezt koordináták segítségével: 3

2∙ √(0 − 𝑥)2 + (10 − 𝑦)2 = √(10 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2.

Rendezés után a következő (Apollóniosz) kör egyenlet adódik: (𝑥 + 8)2 + (𝑦 − 18)2 = 288.


6

16. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely az 𝒙 - tengelyt az origóban érinti, és

áthalad a 𝑷 (𝟎; 𝟒) ponton!

Megoldás:

A kör az 𝑥 – tengelyt az 𝐸 (0; 0) pontban érinti.

Mivel a sugár merőleges az érintőre, így a kör középpontja illeszkedik az 𝑦 – tengelyre.

Az adott 𝑃 (0; 4) szintén illeszkedik az 𝑦 – tengelyre, így az 𝐸𝑃 szakasz a kör átmérője.

Ebből adódik, hogy a kör középpontja az 𝐸𝑃 szakasz felezőpontja: 𝐾 (0; 2).

Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝐸| = √(0 − 0)2 + (0 − 2)2 = 2.

Ezek alapján a keresett kör egyenlete: 𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 4.

17. Írd fel annak a 𝟒 sugarú körnek az egyenletét, amely az 𝒚 - tengelyt a 𝟑 ordinátájú

pontban érinti!

Megoldás:

Az 𝑦 – tengelyt két oldalról lehet érinteni, így két megoldása lesz a feladatnak.

Mivel a körök az 𝑦 – tengelyt az 𝐸 (0; 3) pontban érintik és sugaruk 𝑟 = 4, így a körök

középpontja 𝐾1 (4; 3) és 𝐾2 (−4; 3).

Ezek alapján a keresett körök egyenlete:

(𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 3)2 = 16 (𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 3)2 = 16.

18. Írd fel a kör egyenletét, ha sugara 𝟓 egység, középpontja az 𝒙 = 𝟑 egyenesre

illeszkedik és érinti az 𝒙 – tengelyt!

Megoldás:

Az 𝑥 = 3 egyenletű egyenes és az 𝑥 – tengely metszéspontja az 𝐸 (3; 0) érintési pont.

Az 𝑥 – tengelyt két oldalról lehet érinteni, így két megoldása lesz a feladatnak.

Mivel a körök az 𝑥 – tengelyt az 𝐸 (3; 0) pontban érintik és sugaruk 𝑟 = 5, így a körök

középpontja 𝐾1 (3; 5) és 𝐾2 (3;−5).


(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 5)2 = 25 (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 5)2 = 25.


7

19. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek sugara 𝟓 egység, áthalad a 𝑷 (𝟗; 𝟗)

ponton és érinti az 𝒚 – tengelyt!

Megoldás:

Mivel a 𝑃 (9; 9) pont az első síknegyedbe esik, illetve a kör érinti az 𝑦 – tengelyt és sugara

𝑟 = 5, így a kör középpontja a 𝐾 (5; 𝑣) pont.

Ebből írjuk fel a kör egyenletét következőképpen: (𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 𝑣)2 = 25.

Helyettesítsük a 𝑃 pont koordinátáit a kör egyenletébe: (9 − 5)2 + (9 − 𝑣)2 = 25.

Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑣2 − 18𝑣 + 72 = 0.

A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑣1 = 6 és 𝑣2 = 12.

Ebből adódik, hogy a körök középpontja 𝐾1 (5; 6) és 𝐾2 (5; 12).

Ezek alapján a keresett két kör egyenlete:

(𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 6)2 = 25 (𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 12)2 = 25.

20. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a 𝑲 (𝟑; 𝟑) pont, és érinti

a koordináta – tengelyeket!

Megoldás:

Mivel a kör érinti a koordináta – tengelyeket, ezért a kör sugara (a középpont távolsága a

koordináta - tengelyektől) a középpont koordinátáinak abszolútértéke: 𝑟 = |3| = 3.


21. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a 𝑷 (𝟐; 𝟗) ponton és érinti a

koordináta - tengelyeket!

Megoldás:

Mivel a kör érinti a koordináta – tengelyeket és a 𝑃 (2; 9) pont illeszkedik a körre, ezért a kör

középpontja az első síknegyedbe esik, vagyis a középpont koordinátákkal felírva: 𝐾 (𝑟; 𝑟).

Ebből írjuk fel a kör egyenletét következőképpen: (𝑥 − 𝑟)2 + (𝑦 − 𝑟)2 = 𝑟2.

Helyettesítsük a 𝑃 pont koordinátáit a kör egyenletébe: (2 − 𝑟)2 + (9 − 𝑟)2 = 𝑟2.


8

Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑟2 − 22𝑟 + 85 = 0.

A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑟1 = 5 és 𝑟2 = 17.

Ebből adódik, hogy a körök középpontja 𝐾1 (5; 5) és 𝐾2 (17; 17).


(𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 5)2 = 25 (𝑥 − 17)2 + (𝑦 − 17)2 = 289.

22. Határozd meg annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a 𝑷 (𝟐;−𝟏) ponton, érinti

az ordinátatengelyt, középpontja az 𝒙 − 𝒚 = 𝟐 egyenesen van!

Megoldás:

Az 𝑦 – tengelyt érintő kör középpontja 𝐾 (𝑟; 𝑣) és mivel a középpont illeszkedik az adott

egyenesre, így felírhatjuk a következőképpen: 𝐾 (𝑟; 𝑟 − 2).

Ebből írjuk fel a kör egyenletét következőképpen: (𝑥 − 𝑟)2 + [𝑦 − (𝑟 − 2)]2 = 𝑟.

Helyettesítsük a 𝑃 pont koordinátáit a kör egyenletébe: (2 − 𝑟)2 + [−1 − (𝑟 − 2)]2 = 𝑟.

Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑟2 − 6𝑟 + 5 = 0.

A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑟1 = 1 és 𝑟2 = 5.


(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 1 (𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 3)2 = 25.

23. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely érinti a két koordináta tengelyt, és

középpontja az 𝒆: 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟑 egyenesen van!

Megoldás:

A keresett kör középpontja illeszkedik az 𝑓: 𝑦 = 𝑥, vagy a 𝑔: 𝑦 = −𝑥 egyenletű egyenesre,

vagyis két megoldása lesz a feladatnak.


𝑦 = 2𝑥 + 3

𝑦 = 𝑥}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = −3 és 𝑦 = −3, vagyis a kör középpontja: 𝐾1 (−3;−3).


9


koordináta - tengelyektől) a középpont koordinátáinak abszolútértéke: 𝑟 = |−3| = 3.

Ezek alapján az első kör egyenlete: (𝑥 + 3)2 + (𝑦 + 3)2 = 9.

Határozzuk meg az 𝑒 és 𝑔 egyenes metszéspontját:

𝑦 = 2𝑥 + 3

𝑦 = −𝑥}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = −1 és 𝑦 = 1, vagyis a kör középpontja: 𝐾2 (−1; 1).


koordináta - tengelyektől) a középpont koordinátáinak abszolútértéke: 𝑟 = |−1| = |1| = 1.

Ezek alapján a második kör egyenlete: (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 1.

24. Határozd meg a 𝒌: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓 kör és az 𝒆: 𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟎 egyenes közös pontját!

Megoldás:

Határozzuk meg a 𝑘 kör és az 𝑒 egyenes metszéspontját:

𝑥2 + 𝑦2 = 252𝑥 + 𝑦 = 10

}

A második egyenletből fejezzük ki valamelyik ismeretlent: 𝑦 = 10 − 2𝑥.

Ezt helyettesítsük az első egyenletbe: 𝑥2 + (10 − 2𝑥)2 = 10.

Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑥2 − 8𝑥 + 15 = 0.

A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑥1 = 5 és 𝑥2 = 3.

Ezeket visszahelyettesítve 𝑦1 = 0 és 𝑦2 = 4 adódik.

Ezek alapján az alakzatoknak két közös pontja van: 𝑃 (5; 0) és 𝑄 (3; 4).

25. Milyen helyzetű a 𝒌: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟏𝟓 = 𝟎 kör és az 𝒇: 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟕 egyenes?

Megoldás:

Írjuk fel a két alakzat egyenletéből álló egyenletrendszert:

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 15 = 03𝑥 − 2𝑦 = 7

}


10

Behelyettesítés és rendezés után a következő egyenlet adódik: 13𝑦2 − 20𝑦 − 128 = 0.

Számítsuk ki a diszkrimináns értékét: 𝐷 = (−20)2 − 4 ∙ 13 ∙ (−128) = 7056.

Mivel 𝐷 > 0, így két megoldása van az egyenletrendszernek, vagyis az egyenes szelő.

26. Számítsd ki a 𝒌𝟏: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟖𝒚 − 𝟒 = 𝟎 és a 𝒌𝟐: 𝒙

𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟎 kör

metszéspontjának koordinátáit!

Megoldás:

Határozzuk meg a 𝑘1 kör és a 𝑘2 kör metszéspontját:

𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 − 8𝑦 = 4

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 4𝑦 = 0}

A második egyenletből vonjuk ki az elsőt: 8𝑥 + 4𝑦 = −4.

Ebből fejezzük ki valamelyik ismeretlent: 𝑦 = −2𝑥 − 1.

Ezt helyettesítsük a második egyenletbe: 𝑥2 + (−2𝑥 − 1)2 − 2𝑥 − 4 ∙ (−2𝑥 − 1) = 0.

Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0.

A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑥 = −1.

Ezt visszahelyettesítve azt kapjuk, hogy 𝑦 = 1.

Ezek alapján az alakzatoknak egy közös pontja van, az 𝐸 (−1; 1) érintési pont.

27. Milyen helyzetű a 𝒌𝟏: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟑 = 𝟎 és 𝒌𝟐: 𝒙

𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟓 = 𝟎

kör egymással?

Megoldás:

Hozzuk a körök egyenletét általános alakra:

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 8

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 18.

Az első kör középpontja a 𝐾1 (1; 2) pont, sugara pedig 𝑟1 = √8.

A második kör középpontja a 𝐾2 (2; 3) pont, sugara pedig 𝑟2 = √18.


11

Számítsuk ki a két középpont távolságát: 𝑑 (𝐾1; 𝐾2) = √(2 − 1)2 + (3 − 2)2 = √2.

Mivel 𝑑 (𝐾1; 𝐾2) = |𝑟1 − 𝑟2| és 𝑟1 < 𝑟2, így a 𝑘1 kör belülről érinti a 𝑘2 kört.

28. Határozd meg a 𝒑 paraméter értékét úgy, hogy az 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟑 = 𝟎

egyenletű kör és az 𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝒑 egyenes érintse egymást!

Megoldás:


𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 2𝑦 − 3 = 02𝑥 + 𝑦 = 𝑝

}

Behelyettesítés és rendezés után a következő paraméteres egyenlet adódik:

5𝑥2 − (4𝑝 − 2) ∙ 𝑥 + 𝑝2 − 2𝑝 − 3 = 0.

Mivel az egyenes érintő, így az egyenletnek egy megoldása van, vagyis a diszkrimináns 0.

Ebből felírhatjuk a következőt: [−(4𝑝 − 2)]2 − 4 ∙ 5 ∙ (𝑝2 − 2𝑝 − 3) = 0.

Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑝2 − 6𝑝 − 16 = 0.

A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑝1 = −2 és 𝑝2 = 8.

29. A 𝒌𝟏 kör egyenlete (𝒙 − 𝟑)𝟐 + (𝒚 − 𝟔)𝟐 = 𝟏𝟔, a 𝒌𝟐 kör középpontja 𝑲𝟐 (−𝟐;−𝟑).

Mekkora a 𝒌𝟐 sugara, ha a két körnek két közös pontja van?

Megoldás:

Az első kör középpontja a 𝐾1 (3; 6) pont, sugara pedig 𝑟1 = 4.

Számítsuk ki a két középpont távolságát: 𝑑 (𝐾1; 𝐾2) = √(−2 − 3)2 + (−3 − 6)2 = √106.

A körök metszők, így felírhatjuk a következőt: |4 − 𝑟2| < √106 < 4 + 𝑟2.

Mivel 4 − 𝑟2 < 0, így a megoldás: √106 − 4 < 𝑟2 < 4 + √106.


12

30. Határozd meg a 𝒌𝟏: (𝒙 − 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 = 𝟐𝟎 és a 𝒌𝟐: (𝒙 − 𝟏𝟎)𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟓𝟎

egyenletű körök közös húrjának hosszát!

Megoldás:

Határozzuk meg a 𝑘1 és 𝑘2 körök metszéspontját:

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 20

(𝑥 − 10)2 + 𝑦2 = 50}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 3; 𝑥2 = 5 és 𝑦1 = −1; 𝑦2 = 5, vagyis a húr két végpontja:

𝐴 (3;−1) és 𝐵 (5; 5).

Ezek alapján a húr hossza: |𝐴𝐵| = √(5 − 3)2 + (5 + 1)2 = √40.

31. Add meg azokat az egyeneseket, amelyeknek az (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 = 𝟑 egyenletű

körrel két metszéspontja van, s illeszkednek az origóra!

Megoldás:

Az origóra illeszkedő egyenesek általános alakja: 𝑦 = 𝑚𝑥.


(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 3𝑦 = 𝑚𝑥

}


(𝑚2 + 1) ∙ 𝑥2 − (4 + 6𝑚) ∙ 𝑥 + 10 = 0

Az egyenletnek akkor van két megoldása, ha a diszkrimináns értéke pozitív.

Ebből felírhatjuk a következőt: [−(4 + 6𝑚)]2 − 4 ∙ (𝑚2 + 1) ∙ 10 > 0

Rendezés után a következő másodfokú egyenlőtlenség adódik: 𝑚2 − 12𝑚 + 6 < 0.

A kapott egyenlőtlenséget megoldása: 6 − √30 < 𝑚 < 6 + √30.

32. Írd fel az 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟖𝒚 − 𝟓 = 𝟎 egyenletű kör −𝟒

𝟑 meredekségű érintőinek

egyenletét!

Megoldás:

Az adott meredekségű érintő iránytényezős egyenlete: 𝑦 = −4

3𝑥 + 𝑏.


13


𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 + 8𝑦 − 5 = 0

𝑦 = −4

3𝑥 + 𝑏

}


25𝑥2 − (60 + 24𝑏) ∙ 𝑥 + 9𝑏2 + 72𝑏 − 45 = 0


Ebből felírhatjuk a következőt: [−(60 + 24𝑏)]2 − 4 ∙ 25 ∙ (9𝑏2 + 72𝑏 − 45) = 0.

Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 12𝑏2 + 160𝑏 − 300 = 0.

A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑏1 = −15 és 𝑏2 =5

3.

Ezek alapján a keresett érintők egyenlete: 𝑦 = −4

3𝑥 − 15 és 𝑦 = −

4

3𝑥 +

5

3.

33. Határozd meg az 𝑨 (−𝟏; 𝟏), 𝑩 (𝟒;−𝟒) és 𝑪 (𝟒; 𝟐) pontok által meghatározott

háromszög köré írható kör egyenletét!

Megoldás:

A köré írt körének középpontját megkaphatjuk az oldalfelező merőlegesek metszéspontjaként.

Írjuk fel az 𝐴𝐵 oldal felezőmerőlegesének egyenletét: 𝑥 − 𝑦 = 3.

Írjuk fel a 𝐵𝐶 oldal felezőmerőlegesének egyenletét: 𝑦 = −1.

Határozzuk meg az 𝐴𝐵 és 𝐵𝐶 oldal felezőmerőlegesek metszéspontját:

𝑥 − 𝑦 = 3𝑦 = −1

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = 2 és 𝑦 = −1, vagyis a kör középpontja: 𝐾 (2;−1).

A kör sugara a kör középpontjának és a háromszög egy csúcsának a távolsága.

Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝐶| = √(4 − 2)2 + (2 − (−1))2 = √13.

Ezek alapján az 𝐴𝐵𝐶 ∆ köré írt körének egyenlete: (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 13.


14

34. Egy háromszög csúcsai 𝑨 (−𝟑; 𝟎), 𝑩 (𝟓; 𝟎) és 𝑪 (𝟎; 𝟖). Írd fel a háromszög

Feuerbach – körének egyenletét!

Megoldás:

A háromszög Feuerbach – köre illeszkedik az oldalfelezőpontokra.

Számítsuk ki az oldalfelező pontok koordinátáit: 𝐹𝐴𝐵 (1; 0); 𝐹𝐴𝐶 (−3

2; 4) ; 𝐹𝐵𝐶 (

5

2; 4).

Írjuk fel az 𝐹𝐴𝐵𝐹𝐴𝐶 oldal 𝑓1 felezőmerőlegesének egyenletét: 20𝑥 − 32𝑦 = −69.

Írjuk fel az 𝐹𝐴𝐶𝐹𝐵𝐶 oldal 𝑓2 felezőmerőlegesének egyenletét: 4𝑥 = 2.

Határozzuk meg az 𝑓1 és 𝑓2 felezőmerőlegesek metszéspontját:

20𝑥 − 32𝑦 = −69

4𝑥 = 2}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 =1

2 és 𝑦 =

79

32, vagyis a kör középpontja: 𝐾 (

1

2;79

32).

Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐹𝐴𝐵𝐾| = √(1

2− 1)

2

+ (79

32− 0)

2

= √6497

1024

Ezek alapján a Feuerbach - kör egyenlete: (𝑥 −1

2)2

+ (𝑦 −79

32)2

=6497

1024

35. Bizonyítsd be, hogy a következő pontok egy húrnégyszög csúcsai: 𝑨 (𝟖; 𝟒), 𝑩 (𝟏𝟎; 𝟎),

𝑪 (𝟐;−𝟒) és 𝑫 (𝟏; 𝟑)!

Megoldás:

A húrnégyszög csúcsai egy körre illeszkednek, ezért először határozzuk meg 3 (tetszőlegesen

választott) pont köré írt körének egyenletét, majd vizsgáljuk meg, hogy a negyedik pont

illeszkedik - e a kapott körre.

Tekintsük az 𝐴𝐵𝐶 ∆ - et.

A köré írt körének középpontját megkaphatjuk az oldalfelező merőlegesek metszéspontjaként.

Írjuk fel az 𝐴𝐵 oldal felezőmerőlegesének egyenletét: 𝑥 − 2𝑦 = 5.

Írjuk fel a 𝐵𝐶 oldal felezőmerőlegesének egyenletét: 2𝑥 + 𝑦 = 10.


15

Határozzuk meg az 𝐴𝐵 és 𝐵𝐶 oldal felezőmerőlegesek metszéspontját:

𝑥 − 2𝑦 = 52𝑥 + 𝑦 = 10

}


A kör sugara a kör középpontjának és a háromszög egy csúcsának a távolsága.

Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝐵| = √(10 − 5)2 + (0 − 0)2 = 5.

Ezek alapján az 𝐴𝐵𝐶 ∆ köré írt körének egyenlete: (𝑥 − 5)2 + 𝑦2 = 25.

Végül helyettesítsük a 𝐷 pont koordinátáit a kör egyenletébe: (1 − 5)2 + 32 = 25.

Mivel 25 = 25 azonosságot kapunk, így a 𝐷 pont illeszkedik a háromszög köré írt körére,

vagyis az adott pontok egy húrnégyszöget határoznak meg.

Második módszer:

A húrnégyszög szemben fekvő szögei kiegészítő szögek, így mutassuk meg, hogy az

𝐴𝐵𝐶𝐷 négyszög két szemben fekvő szögének összege 180°.

Számítsuk ki az 𝛼 szöget skaláris szorzat segítségével.

Az oldalvektorok koordinátái 𝐴𝐵 (2; −4) és 𝐴𝐷 (−7;−1), vagyis az 𝛼 szög nagysága:

cos 𝛼 =2 ∙ (−7) + (−4) ∙ (−1)

√22 + (−4)2 ∙ √(−7)2 + (−1)2=

−10

√20 ∙ √50 → 𝛼 ≈ 108,43°

Számítsuk ki a 𝛾 szöget skaláris szorzat segítségével.

Az oldalvektorok koordinátái 𝐶𝐵 (8; 4) és 𝐶𝐷 (−1; 7), vagyis a 𝛾 szög nagysága:

cos 𝛾 =8 ∙ (−1) + 4 ∙ 7

√82 + 42 ∙ √(−1)2 + 72=

20

√80 ∙ √50 → 𝛾 ≈ 71,57°

Mivel az 𝛼 + 𝛾 = 108,43° + 71,57° = 180°, így az 𝐴𝐵𝐶𝐷 négyszög szemben fekvő szögei

kiegészítő szögek, vagyis a négyszög húrnégyszög.


16

36. Egy húrnégyszög három csúcsának koordinátái: 𝑨 (−𝟐; 𝟐),𝑩(−𝟏; 𝟑) és 𝑪 (𝟏; 𝟏).

A negyedik csúcs az ordinátatengelyen található. Mik lehetnek ennek a koordinátái?

Megoldás:

Írjuk fel az 𝐴𝐵 húr felezőmerőlegesének egyenletét: 𝑥 + 𝑦 = 1.

Írjuk fel a 𝐵𝐶 húr felezőmerőlegesének egyenletét: 𝑥 − 𝑦 = −2.

Határozzuk meg az 𝐴𝐵 és 𝐵𝐶 húr felezőmerőlegesek metszéspontját:

𝑥 + 𝑦 = 1

𝑥 − 𝑦 = −2}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = −1

2 és 𝑦 =

3

2, vagyis a kör középpontja: 𝐾 (−

1

2;3

2).

Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝐶| = √(1 − (−1

2))

2

+ (1 −3

2)2

= √10

4= √

5

2.

Ezek alapján a 𝐴𝐵𝐶 ∆ köré írt körének egyenlete: (𝑥 +1

2)2

+ (𝑦 −3

2)2

=5

2.

A negyedik csúcs illeszkedik az 𝑦 – tengelyre, vagyis koordinátákkal felírva: 𝐷 (0; 𝑦).

Helyettesítsük a 𝐷 pont koordinátáit a köré írt kör egyenletébe: (0 +1

2)2

+ (𝑦 −3

2)2

=5

2.

Rendezés után a következő egyenlet adódik: 𝑦2 − 3𝑦 = 0.

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑦1 = 0 és 𝑦2 = 3.

Ezek alapján két négyszög adódik, melyek negyedik csúcsa: 𝐷1 (0; 0) és 𝐷2 (0; 3).

37. Írd fel a 𝒌: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟐𝟎 = 𝟎 kör 𝑷 (𝟓; 𝟓) pontjához tartozó 𝒆 érintőjének

egyenletét!

Megoldás:


Ebből adódik, hogy a kör középpontja a 𝐾 (1; 2) pont, sugara pedig 5.

A 𝑃 pont koordinátáit behelyettesítve a kör egyenletébe azt kapjuk, hogy 25 = 25, vagyis a

pont illeszkedik a körre.


17

Mivel az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre, így a középpont és az érintési pont

által meghatározott vektor normálvektora az érintőnek.

Írjuk fel az 𝑒 érintő egyenletét:

Az 𝑒 érintő egy pontja: 𝑃 (5; 5) érintési pont.

A 𝐾𝑃 vektor az 𝑒 érintő egy normálvektora: 𝐾𝑃 (4; 3) = 𝑛𝑒 .

Ezek alapján az 𝑒 érintő egyenlete: 4𝑥 + 3𝑦 = 35.

38. Írd fel a 𝒌𝟏: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓 körhöz a 𝑷 (𝟕; 𝟏) pontból húzható érintők egyenletét!

Megoldás:

A 𝑃 pont koordinátáit behelyettesítve a kör egyenletébe azt kapjuk, hogy 50 > 25, vagyis a

pont a körön kívül helyezkedik el.

Egy külső pontból két érintő húzható a körhöz, s az érintők egyenletéhez meg kell határoznunk

az érintési pontokat.


Írjuk fel a 𝐾𝑃 szakasz, mint átmérő fölé rajzolható 𝑘2 Thalesz – kör egyenletét:

A 𝑘2 kör középpontja a 𝐾𝑃 szakasz felezőpontja: 𝐹𝐾𝑃 (7

2;

1

2).

Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟2 = |𝐾𝐹𝐾𝑃| = √(7

2− 0)

2

+ (1

2− 0)

2

= √25

2.

Ezek alapján a 𝑘2 Thalesz - kör egyenlete: (𝑥 −7

2)2

+ (𝑦 −1

2)2

=25

2.

Határozzuk meg a 𝑘1 és a 𝑘2 kör metszéspontját:

𝑥2 + 𝑦2 = 25

(𝑥 −7

2)2

+ (𝑦 −1

2)2

=25

2

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 4; 𝑥2 = 3 és 𝑦1 = −3; 𝑦2 = 4, vagyis a két érintési pont:

𝐸1 (4; −3) és 𝐸2 (3; 4).


18

Írjuk fel a kapott érintési pontokra illeszkedő 𝑒1 és 𝑒2 érintők egyenletét:

Az 𝑒1 érintő egy pontja: 𝑃 (7; 1).

A 𝐾𝐸1 vektor az 𝑒1 érintő egy normálvektora: 𝐾𝐸1

(4; −3) = 𝑛𝑒1 .

Ezek alapján az 𝑒1 érintő egyenlete: 4𝑥 − 3𝑦 = 25.

Az 𝑒2 érintő egy pontja: 𝑃 (7; 1).


(3; 4) = 𝑛𝑒2 .

Ezek alapján az 𝑒2 érintő egyenlete: 3𝑥 + 4𝑦 = 25.

Második módszer:

A 𝑃 pontra illeszkedő egyenesek iránytényezős alakja: 𝑦 − 1 = 𝑚 ∙ (𝑥 − 7).

(A 𝑃 pontra illeszkedik továbbá az 𝑥 = 7 egyenes is, de az nem érintője a körnek.)


𝑥2 + 𝑦2 = 25𝑦 − 1 = 𝑚 ∙ (𝑥 − 7)

}


(1 + 𝑚2) ∙ 𝑥2 − (14𝑚2 − 2𝑚) ∙ 𝑥 + 49𝑚2 − 14𝑚 − 24 = 0


Ebből felírhatjuk következőt: [−(14𝑚2 − 2𝑚)]2 − 4 ∙ (1 + 𝑚2) ∙ (49𝑚2 − 14𝑚 − 24) = 0.

Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 12𝑚2 − 7𝑚 − 12 = 0.

A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑚1 = −3

4 és 𝑚2 =

4

3.

Ezek alapján a keresett érintők egyenlete: 𝑦 − 1 = −3

4∙ (𝑥 − 7) és 𝑦 − 1 =

4

3∙ (𝑥 − 7).


19

39. Írd fel a 𝒌: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟓 körnek az 𝒇: 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟏 = 𝟎 egyenessel párhuzamos

érintőinek egyenletét!

Megoldás:

A 𝑘 kör középpontja a 𝐾 (0; 0) pont, sugara pedig 𝑟 = √5.

Írjuk fel az 𝑓 egyenesre merőleges, a 𝐾 pontra illeszkedő 𝑔 egyenes egyenletét: 𝑥 + 2𝑦 = 0.

Határozzuk meg a 𝑘 kör és a 𝑔 egyenes metszéspontját:

𝑥2 + 𝑦2 = 5𝑥 + 2𝑦 = 0

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = −2; 𝑥2 = 2 és 𝑦1 = 1; 𝑦2 = −1, vagyis az érintési pontok:

𝐸1 (−2; 1) és 𝐸2 (2; −1).

Írjuk fel a kapott érintési pontokra illeszkedő 𝑒1 és 𝑒2 érintők egyenletét:

Az 𝑒1 érintő egy pontja: 𝐸1 (−2; 1).


(−2; 1) = 𝑛𝑒1 .

Ezek alapján az 𝑒1 érintő egyenlete: −2𝑥 + 𝑦 = 5.

Az 𝑒2 érintő egy pontja: 𝐸2 (2; −1).


(2; −1) = 𝑛𝑒2 .

Ezek alapján az 𝑒2 érintő egyenlete: 2𝑥 − 𝑦 = 5.

Második megoldás:

Az 𝑓 egyenessel párhuzamos egyenesek egyenlete: 2𝑥 − 𝑦 = 𝑎.


𝑥2 + 𝑦2 = 52𝑥 − 𝑦 = 𝑎

}


5𝑥2 − 4𝑎𝑥 + 49𝑚2 + 𝑎2 − 5 = 0


20


Ebből felírhatjuk következőt: (−4𝑎)2 − 4 ∙ 5 ∙ (𝑎2 − 5) = 0.

Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑚2 − 25 = 0.

Az egyenlet megoldása 𝑚1 = −5 és 𝑚2 = 5.

Ezek alapján a keresett érintők egyenlete: 2𝑥 − 𝑦 = −5 és 2𝑥 − 𝑦 = 5.

40. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely érinti a 𝒌: (𝒙 − 𝟓)𝟐 + (𝒚 − 𝟓)𝟐 = 𝟏𝟎

egyenletű kört és merőleges a 𝒇: 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟏 egyenletű egyenesre!

Megoldás:

A 𝑘 kör középpontja a 𝐾 (5; 5) pont, sugara pedig 𝑟 = √10.

Írjuk fel az 𝑓 – el párhuzamos, a 𝐾 pontra illeszkedő 𝑔 egyenes egyenletét: 3𝑥 − 𝑦 = 10.

Határozzuk meg a 𝑘 kör és a 𝑔 egyenes metszéspontját:

(𝑥 − 5)2 + (𝑦 − 5)2 = 103𝑥 − 𝑦 = 10

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 4; 𝑥2 = 6 és 𝑦1 = 2; 𝑦2 = 8, vagyis az érintési pontok:

𝐸1 (4; 2) és 𝐸2 (6; 8).

Írjuk fel a 𝑔 egyenesre merőleges az 𝐸1 pontra illeszkedő 𝑒1 érintő egyenletét.

Az 𝑒1 egyenesegy pontja: 𝐸1 (4; 2).

A 𝐾𝐸1 vektor az egyenes normálvektora: 𝐾𝐸1

(−1;−3) = 𝑛𝑒1 .

Ezek alapján az 𝑒1 érintő egyenlete: −𝑥 − 3𝑦 = −10.

Írjuk fel a 𝑔 egyenesre merőleges az 𝐸1 pontra illeszkedő 𝑒2 érintő egyenletét.

Az 𝑒2 egyenesegy pontja: 𝐸2 (6; 8).

A 𝐾𝐸2 vektor az egyenes normálvektora: 𝐾𝐸2

(1; 3) = 𝑛𝑒2 .

Ezek alapján az 𝑒2 érintő egyenlete: 𝑥 + 3𝑦 = 30.


21

41. Írd fel annak a 𝒌 körnek az egyenletét, amely áthalad a 𝑷 (𝟐; 𝟏𝟏) és 𝑸 (𝟏𝟎; 𝟏𝟏)

pontokon és érinti az 𝒆: 𝒙 + 𝒚 = 𝟓 egyenes!

Megoldás:

Írjuk fel a 𝑃𝑄 húr 𝑓 felezőmerőlegesének egyenletét: 𝑥 = 6.

Ebből adódik, hogy a kör középpontja a 𝐾 (6; 𝑣) pont.

A sugár hosszát felírhatjuk a következőképpen: 𝑟 = |𝐾𝑃| = √(2 − 6)2 + (11 − 𝑣)2.

Írjuk fel a kör egyenletét: (𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 𝑣)2 = 16 + (11 − 𝑣)2


(𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 𝑣)2 = 16 + (11 − 𝑣)2

𝑥 + 𝑦 = 5}


𝑦2 + (1 − 𝑣) ∙ 𝑦 + 11𝑣 − 68 = 0.


Ebből felírhatjuk következőt: (1 − 𝑣)2 − 4 ∙ (11𝑣 − 68) = 0.

Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 𝑣2 − 46𝑣 + 273 = 0.

A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑣1 = 7 és 𝑣2 = 39.


(𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 7)2 = 32 (𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 39)2 = 800

42. Írd fel azoknak az 𝟓 egység sugarú köröknek az egyenletét, amelyek a 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟖

egyenletű egyenest a 𝟎 abszcisszájú pontjában érintik!

Megoldás:

Az 𝑥 = 0 koordinátát behelyetetsítve az egyenes egyenletébe azt kapjuk, hogy 𝑦 = 2, vagyis

az érintési pont: 𝐸 (0; 2).

Írjuk fel az 𝐸 középpontú 5 egység sugarú 𝑘 kör egyenletét: 𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 25.


22

Írjuk fel az érintőre merőleges, az 𝐸 pontra illeszkedő 𝑓 egyenes egyenletét: 4𝑥 − 3𝑦 = −6.

Határozzuk meg a 𝑘 kör és az 𝑓 egyenes metszéspontját:

𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 254𝑥 − 3𝑦 = −6

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −3 és 𝑦1 = 6; 𝑦2 = −2, vagyis a körök

középpontja: 𝐾1 (3; 6) és 𝐾2 (−3;−2).


(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 6)2 = 25 (𝑥 + 3)2 + (𝑦 + 2)2 = 25

43. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek a középpontja a 𝑲 (−𝟑; 𝟒) pont és

érinti az 𝒆: 𝒙 + 𝟐𝒚 = −𝟓 egyenletű egyenest!

Megoldás:

Írjuk fel az 𝑒 egyenesre merőleges, a 𝐾 pontra illeszkedő 𝑓 egyenes egyenletét: 2𝑥 − 𝑦 = −10.


𝑥 + 2𝑦 = −52𝑥 − 𝑦 = −10

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = −5 és 𝑦 = 0, vagyis az érintési pont: 𝐸 (−5; 0).

Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝐸| = √(−5 − (−3))2 + (0 − 4)2 = √20.


44. Az 𝒆: 𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟖 egyenes melyik pontjából húzható 𝟏𝟐 egység hosszúságú érintő a

𝒌: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎 egyenletű körhöz?

Megoldás:


A kör középpontja a 𝐾 (3;−2) pont, sugara pedig 𝑟 = 5.

Mivel az érintő merőleges a sugárra, így azok egy derékszögű háromszöget határoznak meg.


23

Számítsuk ki Pitagorasz – tétel segítségével a keresett pont távolságát a kör középpontjától:

52 + 122 = 𝑑2 → 𝑑 = 13

Írjuk fel a 𝐾 (3;−2) középpontú 13 sugarú 𝑘1 kör egyenletét: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 2)2 = 169.

Határozzuk meg a 𝑘1 kör és az 𝑒 egyenes metszéspontját:

(𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 2)2 = 169𝑥 + 𝑦 = 18

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 15; 𝑥2 = 8 és 𝑦1 = 3; 𝑦2 = 10, vagyis a keresett pontok:

𝑃1 (15; 3) és 𝑃2 (8; 10).

45. A 𝒌: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟏𝟖 = 𝟎 körhöz egy 𝑷 pontból érintőket húzunk. Számítsd

ki a 𝑷 koordintátáit, ha az érintési pontokon áthaladó szelő egyenlete 𝒆: 𝒙 − 𝒚 = 𝟐!

Megoldás:




(𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 2)2 = 25𝑥 − 𝑦 = 2

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −1 és 𝑦1 = 1; 𝑦2 = −3, vagyis az érintési pontok:

𝐸1 (3; 1) és 𝐸2 (−1;−3).

Az 𝑒1 érintő egy pontja: 𝐸1 (3; 1).


(−5; 1) = 𝑛𝑒1 .

Ezek alapján az 𝑒1 érintő egyenlete: −5𝑥 + 𝑦 = −14.

Az 𝑒2 érintő egy pontja: 𝐸2 (−1;−3).


(−1; 5) = 𝑛𝑒2 .

Ezek alapján az 𝑒2 érintő egyenlete: −𝑥 + 5𝑦 = −14.


24

Határozzuk meg az 𝑒1 és az 𝑒2 érintő metszéspontját:

−5𝑥 + 𝑦 = −14−𝑥 + 5𝑦 = −14

}


3 és 𝑦 = −

7

3, vagyis a keresett pont: P (

7

3; −

7

3).

46. Határozd meg annak a 𝟑 egység sugarú körnek az egyenletét, amely kívülről érinti a

𝒌𝟏: (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 = 𝟒 és a 𝒌𝟐: (𝒙 − 𝟏𝟏)𝟐 + (𝒚 + 𝟔)𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 köröket!

Megoldás:


A második kör középpontja a 𝐾2 (11;−6) pont, sugara pedig 𝑟2 = 10.

Írjuk fel az adott körökkel koncentrikus, 3 egységgel nagyobb sugarú körök egyenletét:

𝑘3: (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 25

𝑘4: (𝑥 − 11)2 + (𝑦 + 6)2 = 169

Határozzuk meg a 𝑘3 és 𝑘4 körök metszéspontját:

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 25

(𝑥 − 11)2 + (𝑦 + 6)2 = 169}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = −1; 𝑥2 = 6 és 𝑦1 = −1; 𝑦2 = 6, vagyis a keresett körök

középpontja: 𝐾3 (−1;−1) és 𝐾4 (6; 6).


(𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 9 (𝑥 − 6)2 + (𝑦 − 6)2 = 9

47. Határozd meg annak a körnek az egyenletét, amely az 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓 kört az 𝑬 (−𝟑; 𝟒)

pontban érinti és sugara 𝟏𝟓 egység!

Megoldás:

Az adott kör középpontja a 𝐾1 (0; 0) pont, sugara pedig 𝑟 = 5.

Két eset lehetséges aszerint, hogy a keresett körhöz képest hol helyezkedik el az adott kör.


25

Tekintsük először azt az esetet, amikor az adott kör a keresett körön kívül helyezkedik el.

Ekkor az 𝐸 érintési pont a 𝐾1𝐾2 szakasz 𝐾1 – hez közelebbi negyedelőpontja: 𝐾2 (−12; 16).


Tekintsük most azt az esetet, amikor az adott kör a keresett körön belül helyezkedik el.

Ekkor az adott kör középpontja a 𝐾3𝐸 szakasz 𝐸 – hez közelebbi harmadolópontja: 𝐾3 (6; −8).

Ezek alapján a keresett körök egyenlete: (𝑥 − 6)2 + (𝑦 + 8)2 = 225.

48. Mekkora annak a 𝑲𝟏 (−𝟒; 𝟏) középpontú 𝒌𝟏 körnek a sugara, amely érinti az

(𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟗)𝟐 = 𝟒 egyenletű 𝒌𝟐 kört?

Megoldás:

A 𝑘2 kör középpontja a 𝐾2 (2; 9) pont, sugara pedig 𝑟2 = 2.

Mivel a 𝑘1 kör belülről és kívülről is érintheti a 𝑘2 kört, így két megoldása lesz a feladatnak.


26

Számítsuk ki a középpontok távolságát: |𝐾1𝐾2| = √(2 − (−4))2 + (9 − 1)2 = √100 = 10.

A belülről érintő 𝑘1 kör 𝑟1 sugara: 𝑟1 = 10 − 2 = 8.

A kívülről érintő 𝑘1′ kör 𝑟1′ sugara: 𝑟1′ = 8 + 2 ∙ 2 = 12.

49. Határozd meg 𝒂 és 𝒃 paraméterek értékét úgy, hogy a 𝒌: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝟎

egyenletű kör áthaladjon az 𝑨 (𝟒;−𝟏) és a 𝑩 (−𝟐; 𝟑) pontokon! Melyik pontban

metszi ez a kör az 𝒙 – tengelyt?

Megoldás:

Helyettesítsük az 𝐴 pont koordinátáit az egyenletbe, s a következőt kapjuk: 4𝑎 − 𝑏 = −17.

Helyettesítsük a 𝐵 pont koordinátáit az egyenletbe, s a következőt kapjuk: −2𝑎 + 3𝑏 = −13.

A kapott egyenleteket tekintsük egyenletrendszerként:

4𝑎 − 𝑏 = −17

−2𝑎 + 3𝑏 = −13}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑎 = −32

5 és 𝑏 = −

43

5.

Ezek alapján a 𝑘 kör egyenlete: 𝑥2 + 𝑦2 −32

5𝑥 −

43

5𝑦 = 0.

Az 𝑥 – tengely egyenlete: 𝑦 = 0.

Határozzuk meg a 𝑘 kör és az 𝑥 - tengely metszéspontját:

𝑥2 + 𝑦2 −32

5𝑥 −

43

5𝑦 = 0

𝑦 = 0}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 0 és 𝑥2 =32

5.

Ezek alapján az 𝑥 – tengelyt a 𝑘 kör a 𝑃 (0; 0) és 𝑄 (32

5; 0) pontokban metszi.


27

50. Határozd meg azokat a pontokat, amelyek az 𝒆: 𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟕 egyenesre illeszkednek és

a 𝑲 (𝟑; 𝟕) ponttól 𝟓 egység távolságra vannak!

Megoldás:

Írjuk fel a 𝐾 (3; 7) középpontú 5 egység sugarú 𝑘 kör egyenletét: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 7)2 = 25.


(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 7)2 = 25𝑥 + 2𝑦 = 7

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −1 és 𝑦1 = 2; 𝑦2 = 4, vagyis a keresett pontok:

𝑃 (3; 2) és 𝑄 (−1; 4).

51. A 𝒌𝟏: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟏𝟐𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎, illetve a 𝒌𝟐: 𝒙

𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝟐𝒙 − 𝟐𝟎𝒚 + 𝟐𝟎𝟐 = 𝟎 körök

középpontjai és a 𝑷 (𝟎; 𝟎) pont egy háromszöget feszítenek ki. Számítsd ki a

háromszög kerületét és területét!

Megoldás:

Hozzuk az első kör egyenletét általános alakra: 𝑥2 + (𝑦 + 6)2 = 48.

Hozzuk a második kör egyenletét általános alakra: (𝑥 − 11)2 + (𝑦 − 10)2 = 19.

Az első kör középpontja a 𝐾1 (0; −6) pont, sugara pedig 𝑟1 = √48.

A második kör középpontja a 𝐾2 (11; 10) pont, sugara pedig 𝑟2 = √19.

A háromszög kerületéhez számítsuk ki az oldalak hosszát:

|𝑃𝐾1| = √(0 − 0)2 + (−6 − 0)2 = 6

|𝑃𝐾1| = √(11 − 0)2 + (10 − 0)2 = √221

|𝐾1𝐾2| = √(11 − 0)2 + (10 − (−6))2 = √377

Ezek alapján a háromszög kerülete: 𝐾 = 6 + √221 + √377 ≈ 40,3.

A 𝑃𝐾1 (0;−6) és 𝑃𝐾2

(11; 10) vektorok által bezárt 𝛼 szög nagysága:

cos 𝛼 =0 ∙ 11 + (−6) ∙ 10

6 ∙ √221 → 𝛼 ≈ 132,2°.

Ezek alapján a háromszög területe: 𝑇 =6 ∙ √221 ∙ sin132,2°

2= 33.


28

52. Számítsd ki annak a háromszögnek a területét, amelyet a 𝒌𝟏: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏𝟎 és a

𝒌𝟐: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟔𝒚 + 𝟐 = 𝟎 egyenletű körök közös húrjának egyenese, valamint

az 𝒙 és az 𝒚 – tengely határol!

Megoldás:

Határozzuk meg a 𝑘1 kör és a 𝑘2 kör metszéspontját:

𝑥2 + 𝑦2 = 10

𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 6𝑦 = −2}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −1 és 𝑦1 = −1; 𝑦2 = 3, vagyis a két kör közös

pontjai: 𝑃 (3;−1) és 𝑄 (−1; 3).

Írjuk fel a 𝑃𝑄 húrra illeszkedő 𝑒 egyenes egyenletét: 𝑥 + 𝑦 = 2.

Az 𝑒 egyenes egyenletének tengelymetszetes alakja: 𝑥

2+

𝑦

2= 1.

Ebből adódik, hogy az 𝑒 egyenes az 𝑥 - tengelyt az 𝑅 (2; 0) pontban, az 𝑦 – tengelyt pedig az

𝑆 (0; 2) pontban metszi.

Mivel a keletkező háromszög derékszögű, így a területe: 𝑇 =2 ∙ 2

2= 2 területegység.

53. A 𝒌: (𝒙 + 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 = 𝟐𝟔 egyenletű kör és a koordináta – tengelyek

metszéspontjai egy négyszöget határoznak meg. Számítsd ki a négyszög területét!

Megoldás:

Az 𝑥 - tengely egyenlete: 𝑦 = 0.

Határozzuk meg a 𝑘 kör és az 𝑥 - tengely metszéspontját:

(𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 26𝑦 = 0

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 4 és 𝑥2 = −6.

Ebből adódik, hogy az 𝑥 – tengelyt a 𝑘 kör a 𝑃 (4; 0) és 𝑄 (−6; 0) pontban metszi.

Az 𝑦 - tengely egyenlete: 𝑥 = 0.

Határozzuk meg a 𝑘 kör és az 𝑦 - tengely metszéspontját:

(𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 26𝑥 = 0

}


29

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 6 és 𝑥2 = −4.

Ebből adódik, hogy az 𝑦 – tengelyt a 𝑘 kör a 𝑅 (0; 6) és 𝑆 (0;−4) pontban metszi.

A négyszög területét megkaphatjuk, ha a négyszög köré rajzolt négyzet területéből kivonjuk a

négyszögön kívül eső háromszögek területeit.

Mivel a köré rajzolt négyzet oldalainak nagysága |𝑃𝑄| = |𝑅𝑆| = 10, így a területe: 𝑇1 = 100.

Számítsuk ki a keletkező derékszögű háromszögek területét:

𝑇2 =6 ∙ 6

2= 18 𝑇3 =

6 ∙ 4

2= 12 𝑇4 =

4 ∙ 4

2= 8 𝑇5 =

4 ∙ 6

2= 12

Ezek alapján a keresett négyszög területe: 𝑇 = 100 − 18 − 12 − 8 − 12 = 50.

54. Az 𝑨 (𝟒; 𝟑) és 𝑩 (𝟏𝟎; 𝟕) pontok által meghatározott 𝑨𝑩 szakasz az 𝒆: 𝒙 − 𝟓𝒚 = −𝟓

egyenes melyik pontjából látható derékszögben?

Megoldás:

Egy adott 𝐴𝐵 szakasz, az 𝐴𝐵 átmérőjű Thalesz – kör pontjaiból látszik derékszögben.

Írjuk fel a 𝑘 Thalesz – kör egyenletét.

A kör középpontja az 𝐴𝐵 szakasz felezőpontja: 𝐾 (7; 5).

Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝐵| = √(10 − 7)2 + (7 − 5)2 = √13.

Ezek alapján a Thalesz – kör egyenlete: (𝑥 − 7)2 + (𝑦 − 5)2 = 13.

A keresett pont az adott egyenes és a Thalesz – kör közös pontja.


(𝑥 − 7)2 + (𝑦 − 5)2 = 13𝑥 − 5𝑦 = −5

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 5; 𝑥2 = 10 és 𝑦1 = 2; 𝑦2 = 3, vagyis a keresett pontok:

𝑃 (5; 2) és 𝑄 (10; 3).


30

55. Határozd meg az 𝒌: (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟏𝟎)𝟐 = 𝟏𝟖 körnek azon pontját, amely az

𝒆: 𝒚 = 𝒙 egyeneshez legközelebb, illetve legtávolabb helyezkedik el!

Megoldás:

Az adott kör középpontja a 𝐾 (2; 10) pont, sugara pedig 𝑟 = √18.

A legközelebb, illetve legtávolabb levő pont éppen az egyenesre merőleges átmérő végpontjai.

Írjuk fel az 𝑒 egyenesre merőleges, középpontra illeszkedő 𝑓 egyenes egyenletét: 𝑥 + 𝑦 = 12.

Határozzuk meg az 𝑓 egyenes és a 𝑘 kör metszéspontját:

𝑥 + 𝑦 = 12

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 10)2 = 18}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 5; 𝑥2 = −1 és 𝑦1 = 7; 𝑦2 = 13, vagyis a legközelebbi

pont a 𝑃 (5; 7), a legtávolabbi pedig a 𝑄 (−1; 13).

56. Határozd meg az 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟐𝟎 = 𝟎 körön található rácspontok számát!

(Rácspontnak nevezünk egy pontot a koordináta - rendszerben, ha mindkét

koordinátája egész szám.)

Megoldás:



Amennyiben egy ponthalmazt eltolunk egy olyan vektorral, melynek koordinátái egész számok,

akkor az alakzat rácspontjai rácspontokba mennek át, vagyis a kapott alakzatnak ugyanannyi

rácspontja lesz, mint az eredetinek.

Toljuk el a feladatban szereplő kört a 𝑣 (−1; 2) vektorral, így a kapott kör középpontja a

𝐾′(0; 0) pont lesz, sugara 𝑟 = 5.

Írjuk fel a kapott kör egyenletét: 𝑥2 + 𝑦2 = 25.

Mivel 25 = 0 + 25 = 9 + 16, így a kapott körnek a következő rácspontjai adódnak:

(0; 5), (0;−5), (5; 0), (−5; 0), (3; 4), (−3; 4), (3;−4), (−3;−4), (4; 3), (4;−3), (−4; 3), (−4;−3)

Ezek alapján az eredeti körnek is 12 rácspontja adódik.


31

57. Írd fel az (𝒙 − 𝟕)𝟐 + (𝒚 − 𝟔)𝟐 = 𝟐𝟓 egyenletű kör 𝑷 (𝟖; 𝟒) pontjára illeszkedő

legrövidebb, illetve leghosszabb húrját tartalmazó egyenes egyenletét!

Megoldás:


A leghosszabb húr a 𝑃 – re illeszkedő átmérő.

Írjuk fel az átmérőn átmenő 𝑒 egyenes egyenletét: 2𝑥 + 𝑦 = 20.

A legrövidebb húr a 𝑃 – re illeszkedő, az átmérőre merőleges húr.

Írjuk fel az átmérőre merőleges 𝑓 egyenes egyenletét: 𝑥 − 2𝑦 = 0.

58. Mi azon pontok halmaza a síkon, amelyből a 𝒌: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝟐𝟎 = 𝟎 kör

derékszögben látszik?

Megoldás:



Az érintőszakaszok és a sugarak egy négyzetet határoznak meg, melynek oldala éppen 𝑟.

A keresett 𝑃 pontok távolsága a kör középpontjától a négyzet átlója: |𝐾𝑃| = 3 ∙ √2 = √18.

Ezek alapján a keresett ponthalmaz egy kör, melynek egyenlete: (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 5)2 = 18

59. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad az origón, továbbá középpontja

az 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 = −𝟓𝟒 egyenletű kör legkisebb ordinátájú pontja!

Megoldás:


A kör középpontja a 𝐾 (7; 3) pont, sugara pedig 𝑟 = 2.

Ebből adódik, hogy a legkisebb ordinátájú pontja a 𝑃 (7; 1) pont.

Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝑂𝑃| = √(7 − 0)2 + (1 − 0)2 = √50.



32

60. Adott a 𝒌: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝟔𝟓 = 𝟎 kör és az 𝑭 (𝟖;−𝟔) pont. Határozd meg a

kör azon 𝑨 és 𝑩 pontját, melyre az 𝑭 pont felezi az 𝑨𝑩 húrt!

Megoldás:



Bármely húr felezőmerőlegese átmegy a kör középpontján.

Írjuk fel a húrra illeszkedő ℎ egyenes egyenletét: 𝑥 + 3𝑦 = −10.

Határozzuk meg a 𝑘 kör és a ℎ húr metszéspontját:

(𝑥 − 9)2 + (𝑦 + 3)2 = 25𝑥 + 3𝑦 = −10

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 =217

50; 𝑥2 =

583

50 és 𝑦1 = −

239

50; 𝑦2 = −

361

50, vagyis a keresett

pontok: 𝐴 (217

50; −

239

50) és 𝐵 (

583

50; −

361

50).

61. A derékszögű 𝑨𝑩𝑪 ∆ átfogójának végpontjai 𝑨 (−𝟏; 𝟒) és 𝑩 (𝟓;−𝟑). A háromszög

𝑩𝑪 befogóját tartalmazó egyenes meredeksége 𝟏

𝟒. Számítsd ki a 𝑪 csúcs koordinátáit!

Megoldás:

A derékszögű háromszög köré írt középpontja az átfogó felezőpontja: 𝐾 (2;1

2).

Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟 = |𝐾𝐴| = √(−1 − 2)2 + (4 −1

2)2

=√85

2.

Írjuk fel a háromszög köré írt körének egyenletét: (𝑥 − 2)2 + (𝑦 −1

2)2

=85

4.

Írjuk fel a 𝐵𝐶 befogó iránytangenses egyenletét: 𝑦 + 3 =1

4∙ (𝑥 − 5).

Számítsuk ki a köré írt kör és a befogó metszéspontját:

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 −1

2)2

=85

4

𝑦 + 3 =1

4∙ (𝑥 − 5)

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥1 = 5; 𝑥2 = 1 és 𝑦1 = −3; 𝑦2 = −4, vagyis 𝐶 (1;−4).


33

62. Hol helyezkednek el a síkon azok a pontok, amelyeken át az (𝒙 − 𝟒)𝟐 + (𝒚 − 𝟓)𝟐 = 𝟗

és az 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒 egyenletű körökhöz egyenlő hosszúságú érintőszakaszok húzhatók?

Megoldás:


A második kör középpontja a 𝐾2 (0; 0) pont, sugara pedig 𝑟2 = 2.

Tekintsük a következő ábrát:

A derékszögű 𝑃𝐸𝐾 ∆ - ben és 𝑃𝐷𝑂 ∆ - ben írjuk fel a Pitagorasz – tételt:

|𝑃𝐸1|2 = |𝑃𝐾1|

2 − 32 |𝑃𝐸2|2 = |𝑃𝐾2|

2 − 22

Mivel |𝑃𝐸1| = |𝑃𝐸2|, így az egyenletek jobb oldala egyenlő egymással:

(√(4 − 𝑥)2 + (5 − 𝑦)2)2− 9 = (√(0 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2)

2− 4.

Ebből rendezés után a következőt kapjuk: 4𝑥 + 5𝑦 = 18.

A keresett pontok halmaza egy olyan egyenes (hatványvonal), amely merőleges a körök

középpontját összekötő szakaszra.


34

63. Írd fel azoknak a köröknek az egyenletét, amelyek érintik mindkét

koordinátatengelyt, valamint a 𝑲 (𝟓; 𝟓) középpontú 𝟓 egység sugarú kört!

Megoldás:


Mivel az adott kör érinti a tengelyeket, így a második és negyedik negyedbeli megoldások:

(𝑥 + 5)2 + (𝑦 − 5)2 = 25 (𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 5)2 = 25

További két kör található az első síknegyedben is, melyek középpontja: 𝐾′ (𝑟′; 𝑟′).

Mivel a keresett kör érinti az adott kört, így 𝑑 (𝐾; 𝐾′) = 𝑟 + 𝑟′, vagyis felírhatjuk a következőt:

√(𝑟 − 5)2 + (𝑟 − 5)2 = 5 + 𝑟.

Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódóik: 𝑟2 − 30𝑟 + 25 = 0.

A megoldóképlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldása 𝑟1 = 15 + 10√2 és

𝑟2 = 15 − 10√2.


35

Ezek alapján a keresett körök egyenletei:

[𝑥 − (15 + 10√2)]2+ [𝑦 − (15 + 10√2)]

2= (15 + 10√2)

2

[𝑥 − (15 − 10√2)]2+ [𝑦 − (15 − 10√2)]

2= (15 − 10√2)

2

64. Határozd meg az (𝒙 + 𝟐)𝟐 + (𝒚 + 𝟏)𝟐 = 𝟗 és (𝒙 − 𝟐)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 = 𝟏 körök közös

külső, illetve belső érintőinek egyenletét!

Megoldás:

Az első kör középpontja a 𝐾1 (−2;−1) pont, sugara pedig 𝑟1 = 3.


A két kör hasonló, a hasonlóság középpontja a közös külső, illetve belső érintők metszéspontja.

Tekintsük először a közös külső érintőket.

Az 𝐾1𝐸1𝑂1 ∆ és a 𝐾2𝐸2𝑂1 ∆ hasonló egymáshoz (szögeik megegyeznek).

A hasonlóság aránya: 𝜆 =|𝐾1𝐸1|

|𝐾2𝐸2|=

|𝐾1𝑂1|

|𝐾2𝑂1|= 3.

Ebből adódik, hogy a 𝐾2 pont a 𝐾1𝑂1 szakasz 𝑂1 – hez közelebbi harmadolópontja: 𝑂1 (4; 2).

Az 𝑂1 pontra illeszkedő egyenesek egyenlete: 𝑥 = 4, vagy 𝑦 − 2 = 𝑚 ∙ (𝑥 − 4).


36

Mivel az 𝑥 = 4 egyenletű egyenesnek nincs közös pontja a körökkel, így ez nem érintő.


𝑦 − 2 = 𝑚 ∙ (𝑥 − 4)

(𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 9}


(𝑚2 + 1) ∙ 𝑥2 − (8𝑚2 − 6𝑚 − 4) ∙ 𝑥 + 16𝑚2 − 24𝑚 + 4 = 0


Ebből írjuk fel a következőt: [−(8𝑚2 − 6𝑚 − 4)]2 − 4 ∙ (𝑚2 + 1) ∙ (16𝑚2 − 24𝑚 + 4) = 0.

Rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: 3𝑚2 − 4𝑚 = 0.

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑚1 = 0 és 𝑚2 =4

3.

Ezek alapján a külső érintők egyenlete: 𝑦 − 2 = 0 és 𝑦 − 2 =4

3∙ (𝑥 − 4).

Tekintsük most a közös belső érintőket.

Az 𝐾1𝐸1𝑂2 ∆ és a 𝐾2𝐸2𝑂2 ∆ hasonló egymáshoz (szögeik megegyeznek).

A hasonlóság aránya: 𝜆 =|𝐾1𝐸1|

|𝐾2𝐸2|=

|𝐾1𝑂2|

|𝐾2𝑂2|= 3.


37

Ebből adódik, hogy az 𝑂2 pont a 𝐾1𝐾2 szakasz 𝐾2 – höz közelebbi negyedelőpontja: 𝑂2 (1;1

2).

Az 𝑂2 pontra illeszkedő egyenesek egyenlete: 𝑥 = 1, vagy 𝑦 −1

2= 𝑚 ∙ (𝑥 − 1).

Mivel az 𝑥 = 1 egyenletű egyenesnek egy – egy közös pontja van a körökkel, így ez érintő.


𝑦 −1

2= 𝑚 ∙ (𝑥 − 1)

(𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 9}


(𝑚2 + 1) ∙ 𝑥2 − (2𝑚2 − 3𝑚 − 4) ∙ 𝑥 + 𝑚2 − 3𝑚 +11

4= 0


Ebből felírhatjuk a következőt: [−(2𝑚2 − 3𝑚 − 4)]2 − 4 ∙ (𝑚2 + 1) ∙ (𝑚2 − 3𝑚 +11

4) = 0.

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑚 = −4

3.

Ezek alapján a belső érintők egyenlete: 𝑥 = 1 és 𝑦 −1

2= −

4

3∙ (𝑥 − 1).

65. Két kör egyenlete 𝒌𝟏: (𝒙 − 𝟑)𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟗 és 𝒌𝟐: (𝒙 − 𝟏𝟎)𝟐 + (𝒚 − 𝟓)𝟐 = 𝟒. Számítsd ki

a körök közös belső, illetve külső érintői metszéspontjának koordinátáit!

Megoldás:



38



A két kör hasonló, a hasonlóság középpontja a közös külső, illetve belső érintők metszéspontja.

A külső érintők esetén a hasonlóság aránya: 𝜆 =|𝐾1𝐸1|

|𝐾2𝐸2|=

|𝐾1𝑀1|

|𝐾2𝑀1|=

3

2.

Ebből adódik, hogy 𝐾2 pont a 𝐾1𝑀1 szakasz 𝐾1 – hez közelebbi harmadolópontja: 𝑀1(24; 15).

A belső érintők esetén a hasonlóság aránya: 𝜆 =|𝐾1𝐸1|

|𝐾2𝐸2|=

|𝐾1𝑀2|

|𝐾2𝑀2|=

3

2.

Ebből adódik, hogy az 𝑀2 pont a 𝐾1𝐾2 szakasz 𝐾2 – höz közelebbi ötödölőpontja: 𝑀2 (36

5; 3).

Második megoldás:

A körök egyik belső érintőjének egyenlete 𝑦 = 3.

Írjuk fel a két kör középpontján átmenő 𝑒 egyenes egyenletét: 5𝑥 − 7𝑦 = 15.

Határozzuk meg a belső érintő és az 𝑒 egyenes metszéspontját:

𝑦 = 3

5𝑥 − 7𝑦 = 15}


5.

Ezek alapján a belső érintők metszéspontja: 𝑀1 (36

5; 3).

66. Egy kör átmegy a 𝑷 (𝟑; 𝟕) ponton, a 𝒌𝟏: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟗𝟖 = 𝟎 egyenletű kört

belülről, a 𝒌𝟐: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝟐𝒙 − 𝟏𝟔𝒚 + 𝟏𝟔𝟎 = 𝟎 egyenletű kört pedig kívülről érinti.

Írd fel az egyenletét! Mekkora a körbe írható szabályos háromszög területe?

Megoldás:

Hozzuk az első kör egyenletét általános alakra: (𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 100.

Hozzuk a második kör egyenletét általános alakra: (𝑥 − 11)2 + (𝑦 − 8)2 = 25.


39

Az első kör középpontja a 𝐾1 (−1;−1) pont, sugara pedig 𝑟1 = 10.


Számítsuk ki a középpontok távolságát: 𝑑 (𝐾1; 𝐾2) = √(11 − (−1))2 + (8 − (−1))2 = 15.

Mivel 𝑑 (𝐾1; 𝐾2) = 𝑟1 + 𝑟2 = 15, így az adott két kör kívülről érinti egymást.

Vonjuk ki a két kör egyenletét egymásból, s rendezés után megkapjuk a közös belső érintő

egyenletét: 4𝑥 + 3𝑦 = 43.

Írjuk fel az adott körök középpontjára illeszkedő 𝑒 egyenes egyenletét: 3𝑥 − 4𝑦 = 1.

Határozzuk meg a belső érintő és az 𝑒 egyenes metszéspontját:

4𝑥 + 3𝑦 = 433𝑥 − 4𝑦 = 1

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = 7 és 𝑦 = 5, vagyis az érintési pont: 𝐸 (7; 5).

Írjuk fel a keresett kör 𝑃𝐸 húr 𝑓 felezőmerőlegesének egyenletét: 2𝑥 − 𝑦 = 4.


3𝑥 − 4𝑦 = 12𝑥 − 𝑦 = 4

}

Ezt megoldva azt kapjuk, hogy 𝑥 = 3 és 𝑦 = 2, vagyis a keresett kör középpontja: 𝐾3 (3; 2).

Számítsuk ki a sugár hosszát: 𝑟3 = |𝐾3𝐸| = √(7 − 3)2 + (5 − 2)2 = 5.


Egy adott körbe írt szabályos háromszög területének harmada egy olyan háromszög területe,

amely egyenlőszárú, szárainak hossza a kör sugara és az általuk bezárt szög 120°.

Számítsuk ki egy ilyen háromszög területét: 𝑇1 =5 ∙ 5 ∙ sin120°

2=

25 ∙ √3

4.

Ezek alapján a szabályos háromszög területe: 𝑇 = 3 ∙ 𝑇1 =75 ∙ √3

4.


40

67. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amely az abszcisszatengelyt a 𝑷 (𝟑; 𝟎) pontban

érinti, és az ordinátatengelyből 𝟖 egységnyi hosszúságú húrt metsz ki!

Megoldás:

A kör érinti az 𝑥 – tengelyt a 𝑃 pontban, így a középpontja a 𝐾 (3; 𝑟), vagy a 𝐾 (3;−𝑟) pont.


Mivel a keletkező húr hossza 8 egység, ezért |𝐴𝐹| = 4.

A derékszögű 𝐾𝐹𝐴 ∆ - ben számítsuk ki Pitagorasz – tétel segítségével a sugár hosszát:

32 + 42 = 𝑟2 → 𝑟 = 5

Ebből adódik, hogy a kör középpontja a 𝐾 (3; 5), vagy a 𝐾 (3;−5) pont.

Ezek alapján a keresett körök egyenletei:

(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 5)2 = 25 (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 5)2 = 25

megoldások - bzmatek › aids › bzmatek_koordinata... · brósch zoltán (debreceni egyetem...

Documents