MEKANİK TİTREŞİMLER

Doç. Dr. Mehmet İTİK

Mekanik Titreşimler Ders Planı

Ders İçeriği:

• Titreşim ile ilgili temel kavramlar

• Mekanik sistemlerin serbest ve zorlanmış titreşimleri.

• Çok serbestlik dereceli sistemler

• Millerin kritik hızları

• Titreşim ölçümleri ve endüstriyel uygulamaları.

Dersin Kazandıracağı Bilgi ve Beceriler :

• Titreşimler ile ilgili alt yapı bilgisi ve uygulamalarda karşılaşılan titreşim

problemlerini anlayabilme,

• Ayrık (Kümelenmiş) mekanik sistemlerde titreşim analiz yöntemleri,

• Sistemlerin fiziksel modelini elde ederek buradan matematik modellerinin

oluşturulması, çözümü ve değerlendirilmesi

• Makinalarda karşılaşılan gelişigüzel olmayan titreşim problemlerinin

tanımlanması ve çözülmesi deneyimi.

Kaynaklar:

1) S. S. Rao, Mechanical Vibrations

2) Daniel Inman, Engineering Vibrations

3) Graham Kelly, Mekanik Titreşimler Teori ve Uygulamalar (Palme

Yayıncılık, Türkçe Çevirisi)

4) Mekanik Titreşimler Ders Notları, Zeki Kıral, Dokuzeylül Ün.

Başarı Değerlendirme :

• Ara Sınavlar : 1 Adet % 30

• Yıl içi Ödevler : 1 Adet % 20

• Final Sınavı : 1 Adet % 50

• Derse Devam : %70

1. TİTREŞİM ve TEMEL KAVRAMLAR

Titreşim:

Bir denge konumu etrafında yapılan salınım hareketine titreşim adı verilir.

Ayrıca titreşimi bir zaman aralığında kendini tekrar eden hareket olarak da

tanımlayabiliriz.

• Titreşim teorisi dinamiğin bir alt branşı olup salınım hareketi yapan cisimler

ve bunlara etki eden kuvvetleri inceler.

• İncelenen hareket bir salınım hareketidir.

• Bir çok mühendislik sisteminde titreşim sıkça karşılaşılan bir etkidir ve genel

olarak titreşim seviyelerinin azaltılması temel ilgi alanıdır.

• Titreşim hareketi esnasında potansiyel enerjiden kinetiğe ve tam tersi enerji

dönüşümü gerçekleşir. Eğer sistemde sönüm varsa bu çevrim esnasında

enerjinin bir kısmı harcanır.

• Basit bir sarkaç için enerji dönüşümü ise;

• Eğer sisteme sadece ilk hareket şartları ile (yer değiştirme/hız) girdi

sağlanmış ise ortaya çıkan salınımlı hareket sonunda sonlanacaktır. Bu

şekildeki başlangıç girdilerine geçici zorlama (transient excitation) ve

sonuç olarak ortaya çıkan harekete ise geçici hareket (transient motion)

adı verilir.

• Eğer sistem belirli bir genlikteki cevapta tutulmak isteniyor ise sürekli bir

dış kaynak ile uyarılmalıdır. Bu duruma ise zorlanmış titreşim adı verilir.

Ve bu durumda ki sistemin cevabına kalıcı hareket (steady-state motion)

adı verilir.

Serbestlik Derecesi:

Sistemin herhangi bir anda tüm parçalarının konumunu hesaplayabilmek için

gerekli olan minimum sayıdaki bağımsız koordinat sayısına sistemin serbestlik

derecesi denir.

Tek serbestlik dereceli sistemlere örnekler

• Örneğin sarkaç üzerindeki bir noktanın konumunu

İle ifade edebiliriz. Ayrıca x-y Kartezyen koordinatları da kullanılabilir. Fakat bu iki

koordinat bir birine bağlıdır. Bu yüzden serbestlik derecesi 1’dir.

İki serbestlik dereceli sistemlere örnekler

Üç serbestlik dereceli sistemlere örnekler

Bir sistemin hareketini tanımlayabilmek için gerekli olan koordinatlar bir

genelleştirilmiş koordinatlar serisini oluşturur. Bu genelleştirilmiş koordinatlar

Kartezyen, silindiril veya küresel koordinatlar da olabilirler.

Sürekli ve Ayrık Sistemler:

• Kütle-yay-amortisör sisteminde olduğu gibi sınırlı sayıda serbestlik derecesi ile

ifade edilebilen sistemlere ayrık (kümeli) sistemler adı verilir. Adi türevli

diferansiyel denklemler ile modellenirler.

• Kiriş, levha, çubuk, tel gibi sürekli (yayılı) sistemler ise sozsuz sayıda serbestlik

derecesine sahiptirler. Örneğin kirişin üzerinde sonsuz sayıda noktasal kütle

belirlenebilir. Bu noktaların koordinatlarını belirleyebilmek için sonsuz sayıda

serbestlik derecesini gerektirir. Kısmi türevli diferansiyel denklemler ile

modellenirler. Ayrık sistem yaklaşımı kullanılarak sınırlı sayıda serbestlik

derecesi ile yaklaşık olarak ifade edilebilirler.

Titreşimin Sınıflandırılması:

A) Serbest ve Zorlanmış Titreşim:

• Serbest titreşimde sisteme bir başlangıç etkisi (Konum veya hız değişimi

uygulanır ve sonrasında sistem kendi halinde salınım yapar.

• Zorlanmış titreşim de ise bir dış zorlayıcı kuvvet etkisi altında titreşim yapan

sistemlerdir. (genelde dengesizlik kuvveti gibi kendini tekrarlayan kuvvetler veya

otomobillerde zemin profilinden kaynaklanan titreşimler gibi).

B) Sönümsüz ve Sönümlü Titreşim:

• Sönümsüz titreşimde sistemdeki toplam enerji korunur. Yani hareketin

genliğinde bir azalma olmaz.

• Pratikte ise titreşim yapan sistemlerde sönüm veya sistemi çevreleyen

ortamdan kaynaklanan sürtünme (örneğin hava direnci) mevcuttur ve bu

etkiler hareket sırasında sistemin enerjisini kaybetmesine sebep olur.

• Sönüm etkisi sistemin toplam enerjisinin sürekli olarak azalmasına ve

sıfırlanmasına (hareketin sonlandığı nokta) sebep olur. Sönüm farklı şekillerde

olabilir: Vizkoz sürtünme, Kuru sürtünme, Histerik sönüm.

C) Doğrusal ve Doğrusal Olmayan Titreşim:

Sistemdeki yay, kütle, sönüm elemanlarının tümü doğrusal(lineer) davranış

gösterdiği durumdur. Elde edilen sistem modeli lineer bir diferansiyel denklemdir.

Sistemdeki yay, kütle, sönüm elemanlarından herhangi birinin doğrusal olmayan

(non-lineer) davranış gösterdiği durumdur. Elde edilen sistem modeli lineer bir

diferansiyel denklemdir. Örnek: Nonlineer yay, kuru sürtünme, nonlineer damper.

D) Deterministik ve Gelişigüzel (Rastgele) Titreşim:

• Titreşen bir sistem üzerindeki zorlama etkisinin (kuvvet veya hareket) büyüklüğü

herhangi bir zaman için biliniyorsa deterministik titreşimdir. Örnek: Millerde

dönme dengesizliğinden kaynaklanan titreşim.

• Eğer zorlama etkisi önceden tahmin edilemiyorsa gelişigüzel titreşim adı verilir.

Bu durumda sistemin hareketi ve zorlayıcı kuvvet etkisi istatiksel olarak analiz

edilir. Örnek: Rüzgar etkisi, yol profili, deprem gibi etkilerden kaynaklanan

titreşim.

Matematiksel Modelleme

Fiziksel sistemlerin matematiksel modellerini elde etmek için yaklaşımlar kullanılır.

TİTREŞİM SİSTEMLERİNİN TEMEL ELEMANLARI

• Titreşim hareketi yapan sistemlerin temel elemanları:

a) Yay veya elastiklik: Potansiyel enerji depolar.

b) Kütle veya Atalet: Kinetik enerji depolar

c) Damper veya sönümleyici: Enerjiyi kademeli olarak sönümler

A) Elastik Elemanlar (Yay):

Yaylar titreşim sistemlerindeki kütleleri birbirine bağlayan ve kütlelerin bağıl

hareketlerini sağlayan elemanlardır. Esnek olan herhangi bir cisim yay elemanı olarak

ele alınabilir. Lineer yay için kuvvet

k (N/m): Yay katsayısı veya yay rijitliğidir. Bir yayın sıkıştırılması veya uzamasıyla

oluşan potansiyel enerji:

TİTREŞİM SİSTEMLERİNİN TEMEL ELEMANLARI

Yay doğrusal olmayan

davranış gösterebilir. Bazı

yayların kuvvet-yer değişimi

ilişkisi:

• Yaylar lineer ve nonlineer karakteristiğe sahip olabilirler. Lineer karakteristiğe

sahip yaylar Hooke yasasına uygun davranırlar ve yayda oluşan elastik

kuvvet yaydaki şekil değişimi ile orantılıdır. Fakat titreşim genliklerinin yüksek

olduğu zaman ve/veya metal olmayan malzemeler kullanıldığında yaylar

lineer davranışa sahip olmayabilirler.

Örnek: Elastik bir taban üzerine yataklanmış W=1000 N ağırlığındaki bir makine

için lastik zeminin konum- kuvvet ilişkisi F= 2000x+200x^3 olduğu deneyler

sonucu elde edilmiştir. Statik denge konumundaki bu elastik taban için eşdeğer

doğrusallaştırılmış yay sabiti bulunuz.

Statik denge konumunu bulmak için:

Denklemin kökleri:

Denge konumu etrafında lineerleştirme yapılırsa:

N/m

Yay Tasarımı:

Yay Olarak Kullanılan Yapısal Elemanlar

Titreşen mekanik sistemlerde bulunan yapısal elemanlar çoğu kez yay elemanı gibi

davranmaktadırlar. Kiriş tipi elemanlar bu tip yapısal elemanlara örnektir. Bu

elemanlara ait direngenlik ifadeleri kuvvet-şekil değiştirme ilişkileri ile elde edilebilir.

Örnek: Bir ucu sabitlenmiş kirişin yay sabiti

Yayların seri ve paralel bağlanması:

Paralel bağlama: Seri bağlama:

Örnek: Şekilde görüldüğü gibi bağlanmış bir tamburun ucundaki halata W

ağırlığında yük asılıdır. Halat uzunluğu l, kesit çapı d, elastiklik modülü E ise

sistemin eş değer yay sabitini bulunuz.

Çözüm:

Ankastre kirişin yay sabiti

Eksenel yüke maruz halatın yay sabiti

Kiriş ile halat aynı W yüküne maruz kaldığı için seri bağlı iki yaya benzetilebilir.

Kütle ve Atalet Elemanları:

Kütle veya Atalet elemanları hızı değiştiğinde kinetik enerji depolayan veya

kaybeden rijit yapılardır. Uygulamada bir çok kütle elemanı kombinasyon

halindedir. Bazen analizi basitleştirmek amacıyla eş değer kütleler kullanılabilir.

Bunun için enerji eşitliklerinden faydalanılır.

Dönel sistemlerde ise kütlesel atalet momenti etkilidir.

Kinetik enerji ifadesi

Diskler sadece belirli bir eksen etrafında dönüş hareketi yapabilecekleri gibi, hem

dönme hem de ötelenme hareketi yapabilirler. Bu durumda, diskin kütle atalet

momenti ile birlikte kütlesinin de dikkate alınması gereklidir.

Sönüm Elemanları

Bir çok pratik uygulamada titreşim enerjisi (kinetik veya potansiyel enerji

dönüşümü) kademeli olarak ısı veya ses’e dönüşür. Bunun sonucunda titreşim

hareketinin genliği azalır.

Bir sönümleyicinin kütlesi ve esnekliği yoktur. Statik durumda yük taşımaz. İki ucu

arasında hız farkı oluşursa bir kuvvet oluşur.

Pratikte sistemdeki sönümün nedenlerinin tamamen belirlenmesi zordur. Sönüm

türüne bağlı olarak bir veya birden fazla şekilde modellenebilir.

1. Vizkoz Sönüm:

Mekanik bir sistem hava, gaz, su veya yağ gibi akışkan bir ortamda titreşim

hareketi yapığında, akışkanın yarattığı direnç mekanik sistemin enerjisinde

azalmaya sebep olur.

Bu yolla enerji sönümlenmesi titreşen cismin büyüklüğü ve şekli, akışkanın

vizkozitesi, titreşimin frekansı ve titreşen cismin hızı gibi bir çok değişkene

bağlıdır.

Örnek olarak:

(1) Kayan yüzeyler arasındaki akışkan film tabakası

(2) Bir silindir içerisindeki pistonun çevresinden geçen akış,

(3) Bir orifis (açıklık) boyunca olan akış

(4) Rulmanlı yataktaki yağ film tabakası

Viskoz sönüm kuvveti:

Burada c (N.s/m) sönüm katsayısı ve v hız farkıdır. Hız farkı yüzeyler arasında

veya damperin uçları arasında olabilir.

Coulomb veya Kuru Sürtünme Kaynaklı Sönüm:

Sönüm kuvvetinin büyüklüğü sabit fakat yönü titreşen cismin hareketiyle zıt

yönlüdür. Birbirine sürten kuru veya yeterli yağlama yapılmamış yüzeyler

arasında oluşur.

Malzeme veya Histerik Sönüm:

Bir malzeme deforme olduğunda iç yapısındaki katmanların kayması veya

sürtünmesinden dolayı bir miktar enerji malzemenin kendisi tarafından emilir

ve harcanır.

Histerik sönüme sahip bir cisim titreştiğinde Gerilme-Gerinme diyagramı bir

Histerisis Çevrimi sergiler. Bu çevrim altında kalan alan cismin birim hacmi

tarafından harcanan enerji kaybına eşittir.

Elastik Bir Malzeme İçin Histerisi Eğrisi:

Scotch yoke mechanism

Harmonik Hareket:

Periyodik hareketin en basit halidir.

Aynı işlem y eksenindeki hareket için de yapılabilir.

Harmonik hareket kompleks sayılarla da ifade edilebilir:

Harmonik fonksiyonlar ile işlemler

Eğer harmonik konum x(t)= Asin(wt) ise

Eğer harmonik konum x(t)= Acos(wt) ise

Konum, Hız ve İvme’nin vektör olarak gösterimi:

İki harmonik sayının vektörel toplamı

Bu iki harmonik sayıyı nasıl

ifade ederiz?

Titreşim ile İlgili Temel Kavramlar:

• Genlik: Cismin denge konumundan tek yöndeki maksimum hareketinin

büyüklüğüdür.

• Periyod: Bir tam turun atılması için gerekli zamandır. Dönme hareketi yapan

cisimler için 2 pi

• Frekans: Birim zamandaki tam tur sayıdır. Birim (Hz) veya rad/sn

• Faz açısı: