mekban

MEKANIKA BAHAN

BUKU : MECHANICS OF MATRIAL

PRASYARAT : MEKANIKA TEKNIK I

3 SKS

BY E.P. POPOV

MATERI KULIAH
PENDAHULUAN
2. METODE IRISAN

3. PENGERTIAN TEGANGAN

4. TEGANGAN NORMAL

5. TEGANGAN GESER RATA RATA

6. MENENTUKAN DAN

7. STATIC TEST

8. TEGANGAN IJIN

9. REGANGAN

t

s

10. DIAGRAM, TEGANGAN REGANGAN NORMAL

- Hukum HOOKE

- Penentuan Titik Leleh

- Deformasi Batang Akibat Beban Aksial

- Poissons Ratio

- Hubungan Tegangan, Regangan dan Poissons Ratio

11. TEGANGAN DAN REGANGAN GESER

- Tegangan Geser

- Regangan Geser

12. LENTUR MURNI PADA BALOK

13. MOMEN INERSIA PENAMPANG

14. MENGHITUNG TEGANGAN PADA BALOK

15. BALOK DENGAN DUA BAHAN

16. LENTUR MURNI PADA BALOK NON ELASTIS

17. TEGANGAN GESER LENTUR

18. TORSI

19. TEGANGAN MAJEMUK

20. KOMBINASI TEGANGAN PADA PENAMPANG

KOLOM

21. KERN

Pendahuluan

APLIKASI

Rencana Konstruksi

ANALISIS STRUKTUR

PEMILIHAN BAHAN

PENENTUAN DIMENSI

KONTROL KEKUATAN / TEGANGAN

Konstruksi Kuat / Stabil

Contoh Obyek

TABUNG

RANGKA BATANG

Contoh Obyek

50/50

70/70

PORTAL GEDUNG BERTINGKAT

Contoh Obyek

P1

P2

H1

H2

B1

B2

Karena P2 > P1, maka berdasarkan perhitungan tegangan, akan didapatkan dimensi B2 > B1, H2 > H1

Metode Irisan

P2

P1

P2

P3

P4

P1

S1

S2

S3

P3

P4

S1

S2

S3

GAYA DALAM

GAYA DALAM

Tegangan (Stress)

TEGANGAN NORMAL

TEGANGAN GESER

Tegak Lurus Bidang Potongan

Sejajar Bidang Potongan

DEFINISI :

TEGANGAN ADALAH GAYA DALAM YANG BEKERJA PADA SUATU LUASAN KECIL TAK BERHINGGA DARI SUATU POTONGAN

Tegangan (Stress)

BENTUK MATEMATIK :

s

t

F

A

V

= Tegangan Normal

= Tegangan Geser

= Luas Penampang yang bersangkutan

= Gaya yang bekerja tegak lurus potongan

= Gaya yang bekerja sejajar potongan

D A

0

Lim

s

D F

D A

=

TEGANGAN NORMAL

D A

0

Lim

t

D V

=

D A

TEGANGAN GESER

Tegangan (Stress)

Tegangan yang bekerja pada elemen suatu benda :

y

z

x

sy

sz

sx

txz

txy

tyz

tyx

tzy

tzx

Tegangan Normal

s

= P/A

= P/A

s

P

P

P

P

TEGANGAN NORMAL TARIK

TEGANGAN NORMAL TEKAN

Tegangan Geser Rata - rata

TEG. GESER

GAYA YANG BEKERJA SEJAJAR POTONGAN

MENIMBULKAN

ANormal

AGeser

t

= P / AGeser

P

AGeser

s

= P Cosa / ANormal

Tegangan Geser Rata - rata

Total AGeser =

2 x Luas Penampang Baut

P

P

P

AGeser

t

= P / Total AGeser

Menentukan s dan t

AKAN MENJADI MASALAH BESAR BILA TIDAK MEMAHAMI MEKANIKA TEKNIK I

Perhitungan TEGANGAN

PERHITUNGAN

PENENTUAN GAYA DAN LUAS PENAMPANG

HASIL PERHITUNGAN

PERLU DIPAHAMI MAKSUD DAN TUJUANNYA

MEMILIH PERUMUSAN s atau t

Menentukan Besarnya Gaya

MENGGUNAKAN PERSAMAAN STATIKA :

S FX = 0 S MX = 0

S FY = 0 S MY = 0

S FZ = 0 S MZ = 0

Menentukan Luas Penampang

UNTUK MENDAPATKAN TEGANGAN YANG MAKSIMUM

DIPILIH LUASAN TERKECIL

Menentukan Luas Penampang

CONTOH :

LUAS PENAMPANG TERKECIL YANG DIPILIH UNTUK MNENDAPATKAN TEGANGAN MAKSIMUM

Tegangan

SOAL :

Bila W = 10 Ton, a = 30o dan luas penampang kabel baja ABC = 4 cm2, kabel BD = 7 cm2, maka hitung tegangan yang terjadi pada kabel ABC dan BD.

2.

P

P

d1

d2

b

Bila Diameter Baut = 30 mm, b = 200 mm, d1 = 8 mm, d2 = 12 mm, P = 2000 kg, maka hitung te -gangan MAX pada masing masing ba -tang dan tegangan Geser pada Baut.

1.

A

B

W

C

D

a

Static Test

P

P

BEBAN P DINAIKKAN TERUS MENERUS

MATERIAL UJI PUTUS

P BEBAN ULTIMATE

TEG. ULTIMATE

PUlt

A

MATERIAL UJI

Regangan

-. P Dinaikkan terus sampai yang dikehendaki

- Setiap kenaikan P dilakukan pencatatan deformasi yang tertera dalam dial gauge

MATERIAL UJI

REGANGAN

STATIC TEST

BEBAN

P

P

L

Regangan

D (Deformasi)

BAHAN 1

BAHAN 2

P (Beban)

Diagram P - D

D

=

e

REGANGAN

L

=

BERUBAH SESUAI DENGAN PERUBAHAN BEBAN

Diagran Tegangan - Regangan

SIFAT FISIS SUATU MATERIAL DAPAT DILIHAT DARI HUBUNGAN DIAGRAM TEGANGAN REGANGAN DARI MATERIAL YANG BERSANGKUTAN KENAPA ??

BAHAN 1

BAHAN 2

s (Tegangan)

Diagram s - e

e Regangan

Gbr. A

Gbr. B

BAHAN 1

BAHAN 2

P (Beban)

Diagram P - D

Diagran Tegangan - Regangan
MATERIAL 1 dan MATERIAL 2, SAMALUAS PENAMPANG MATERIAL 2 < MATERIAL 1HUBUNGAN P D MATERIAL 1 TIDAK SAMA DENGAN MATERIAL 2
- HUBUNGAN s e MATERIAL 1 SAMA DENGAN MATERIAL 2, WALAUPUN LUAS PENAMPANGNYA BERBEDA

JADI UNTUK MENGETAHUI SIFAT FISIS DARI SUATU MATERIAL LEBIH COCOK MENGGUNAKAN GAMBAR B

Diagram Tegangan - Regangan

Batas Proposional

s (Tegangan)

s (Tegangan)

e Regangan

e Regangan

MATERIAL BAJA

MATERIAL BETON

HUKUM HOOKE

= TEGANGAN

= REGANGAN

E = MODULUS ELASTISITAS

s

e

s (Tegangan)

e Regangan

PENENTUAN TITIK LELEH

KONDISI ELASTIS

Batas Proposional

METODE OFF-SET

s

e

E

X

=

=

E

s

e

HUKUM HOOKE

SOAL :

Pada suatu batang dengan panjang L=100 cm dilakukan Static Test. Bila beban P yang diberikan sebesar 4000 kg, batang masih dalam kondisi elastis, uluran batang bertambah 2 mm, maka berapakah Regangan batang tersebut dan berapakan tegangan yang terjadi pada batang tersebut ?? Bila Modulus Elastisitasnya 2 x 106 kg/cm2. Hitung pula luas penampang batang tersebut.

P

P

L

Deformasi Batang Akibat Beban Aksial

P2

P3

P4

dx

d x + dx

e

P1

Px

Px

Gaya Px bekerja pada elemen dx dan menim -bulkan deformasi dD

s

E

dx

P

E

dx

Ax

=

dD = dx

e


CONTOH :

L

P

P

P = Px

Px

Px

dx

A

B

D = Px / Ax . E dx

0
= Px . dx / Ax . E
A

B

L

Ax = A , Px = P

D = P . L / E . A

Deformasi akibat beban P, berat sendiri diabaikan

D = P . X / Ax . E

0

L

DEFORMASI AKIBAT BEBAN P DAN BERAT SENDIRI ADALAH :

D = P.L / A.E + WT.L / 2.A.E =

D = L (P + .WT) / A.E


DEFORMASI AKIBAT BEBAN BERAT SENDIRI ADALAH :
= Px . dx / Ax . E = 1 / A . E w . X . dx
A

B

L

0

= . W.x2 / A . E = w . L2 / 2 . A . E = WT . L / 2 . A . E

0

L


SOAL :

1.

A

B

C

D

E

1000 kg

100 cm

100 cm

a

Bila diameter batang AB dan BC adalah 20 mm, a = 30o dan Modulus Elasti - sitasnya adalah 2x106 kg/cm2, maka hitung penurunan titik B.

2.

P1

P2

b1

b2

b3

h1

h2

Hitung P1/P2, agar setelah P1 dan P2 bekerja, panjang kedua batang tersebut tetap sama, bila b1 = 50 mm, b2 = 50 mm, b3 = 25 mm, h1 = 500 mm, h2 = 500 mm dan tebal masing masing kedua batang tersebut = 20 mm.

P2

Poissons Ratio

REGANGAN

Bentuk menjadi MEMANJANG dan MENGECIL

Beton = 0.1 0.2 Karet = 0.5 0.6

REGANGAN AKSIAL

REGANGAN LATERAL

e

e

Lateral

Aksial

POISSONS RATIO ( ) =

Hubungan Poissons Ratio, Tegangan dan Regangan

sy

sx

txz

txy

tyz

tyx

tzy

tzx

sy

sz

sx

Hubungan Poissons Ratio, Tagangan dan Regangan

sz

sz

sy

sy

Hubungan Poissons Ratio, Tagangan dan Regangan

ex

E

E

E

sx

sy

sz

+

-

-

=

ey

E

E

E

sx

sy

sz

-

+

-

=

ez

E

E

E

sx

sy

sz

-

-

+

=

Tegangan dan Regangan Geser

TEGANGAN GESER

tzy

tyz

tzy

tyz

A

B

C

g = REGANGAN GESER

O

O

S MO = 0

S Fz = 0

tyz kiri =

- tyz kanan

tyz

tzy

g/2

g/2

A

C

B

tzy

(dy.dx).dz - (dx.dz.).dy = 0

tyz

tzy

tyz

=

Tegangan dan Regangan Geser

REGANGAN GESER :

PERUBAHAN BENTUK YANG DINYATAKAN DENGAN PERUBAHAN SUDUT g ADALAH MERUPAKAN REGANGAN GESER

Hukum HOOKE untuk Tegangan dan Regangan Geser :

= Tegangan Geser

= Regangan Geser

= Modulus Geser

= Poissons Ratio

t

g

. G

=

G

E

2 (1+ )

=

Hubungan Modulus Elastisitas Normal dengan Modulus Geser

t

G

g

Lentur Murni Pada Balok

Lenturan yang hanya diakibatkan oleh MOMEN saja

d


max

max

e

D/2

D/2

Panjang Awal

Ya

Yb = C

s

Keseimbangan Gaya :

( Y/C . max ) dA = 0

A

s/C Y . dA = 0

A

s

S FX = 0


MOMEN :

M = ( Y/C . max ) dA . Y = max Y 2 . dA

s

s

A

A

Y2 . dA = I = MOMEN INERSIA

M = ( max / C ) . I

s

TEGANGAN SERAT ATAS

TEGANGAN SERAT BAWAH

A

max = M . Ya / I

s

max = M . C / I

s

max = M . Yb / I

s


SECARA UMUM :

max = M . Y / I

s

I / Y = W (Momen Tahanan)

I / Ya = Wa

I / Yb = Wb

I = Y 2 . dA

A

MOMEN INERSIA

Momen Inersia

CONTOH :

Ix = y 2 . dA

A

= Y 2 . b . dy

h/2

-h/2

= 1/3 . 1/4. h3. b = 1/12 . b. h3

2

2

3

1

1/2

Ix = 3.y 2 . dy

-2

+ 2 y 2 . dy

-11/2

-11/2

11/2

+ 3.y 2 . dy

11/2

2

b

x

y

y

x

h/2

h/2

= 1/3 . y3. b = 1/3 . (1/8 + 1/8) . h3. b

-h/2

h/2

Momen Inersia

CONTOH :

+ 2 . 1/3 . y3

11/2

-11/2

+ 3/3 . y3

2

11/2

= (-11/2)3 (-2)3 + 2/3 . (11/2)3 - 2/3 . (-11/2)3 + 23 - (11/2)3

= 13,75

CARA LAIN :

= 1/12 . 3 . 4 1/12 . 1 . 33 = 16 2,25 = 13,75

LEBIH SINGKAT

= 3/3 . y3

-2

-11/2

Menghitung Tegangan Pada Balok

10 cm

30 cm

10 cm

30 cm

10 cm

10.000 kg

LUAS :

A = ( 2 . 30 . 10 ) + (10 . 30 ) = 900 cm2

MOMEN INERSIA :

I = 1/12 . 30 . 503 2 . 1/12 . 10 . 303 = 267.500 cm4

400 cm


MOMEN TAHANAN :

Wa = Wb = I/y = 267.500 / 25 = 10.700 cm3

MOMEN YANG BEKERJA (Beban Hidup Diabaikan) :

MMax = . 10.000 . 400 = 1.000.000 kg-cm.

TEGANGAN MAKSIMUM YANG TERJADI :

s

Max

= MMax / W = 1.000.000 / 10.700 = 93,46 kg/cm2


y1 = 20 cm

yMax

+

-

s

Max

s1

s

Max

= M / W1 = 1.000.000 . 20 / 267.500 = 74.77 kg/cm2

s1

W1 = I / y1

Latihan Soal Momen Inersia

30 cm

10 cm

40 cm

10 cm

1

Hitung Momen Inersia Terhadap Sumbu Kuat ( Ix ) dan Sumbu Lemahnya ( Iy )

Sb X

Sb Y

Hitung Momen Inersia Terhadap Sumbu Kuat ( Ix ) dan Sumbu Lemahnya ( Iy )

Sb X

Sb Y

10 cm

10 cm

8 cm

8 cm

10

10

10

2

20 cm

Latihan Soal Lentur Murni

400 cm

200 cm

1500 kg

1

2

A

B

C

30 cm

10 cm

10 cm

10 cm

8 cm

8 cm

100 kg/m (Termasuk berat sendiri)

200 cm

80 cm
Gambar Bidang MomennyaHitung Momen Inersia Penampang BalokHitung Tegangan tegangan Serat tepi pada potongan 1 dan 2 dan gambar diagram tegangannyaHitung Tegangan Maksimum yang terjadi
30 cm

Lenturan Tidak Simetris

Terjadi Momen terhadap sumbu x (MX) dan terhadap Sumbu y (MY)

MX = 1/8 . qCos a . L2 MY = 1/8 . qSin a . L2

Momen yang lenturannya mengitari Sumbu X

Momen yang lenturannya mengitari Sumbu Y

Sb x

Sb y

q

qCos a

qSin a

a

L

q

Tegangan pada Penampang akibat Lenturan Tidak Simetris

Sb x

Sb y

q

qCos a

qSin a

a

a

b

c

d

b/2

b/2

h/2

h/2

o

MX = 1/8 . qCos a . L2

MY = 1/8 . qSin a . L2

Ix = 1/12 . b . h3

Iy = 1/12 . h . b3

L

q

MX . h/2

Ix

+

My . b/2

Iy

=

+

MX . h/2

Ix

-

My . b/2

Iy

=

+

MX . h/2

Ix

-

My . b/2

Iy

=

-

MX . h/2

Ix

+

My . b/2

Iy

=

-

sa

sb

sc

sd

Contoh Soal Tegangan Penampang akibat Lenturan Tidak Simetris

Sb x

Sb y

a

a

b

c

d

b/2

b/2

h/2

h/2

o

L = 300 cm, q = 100 kg/m, P = 200 kg, h = 20 cm, b = 10 cm, a = 30o

P berjarak 150 cm dari B

Hitung tegangan yang terjadi di tengah bentang pada titik a, b, c, d, e dan f. Dimana titik e berjarak 5 cm dari sumbu x dan 3 cm dari sumbu y.

Titik f berjarak 6 cm dari sumbu x dan 4 cm dari sumbu y.

e

f

L

q

P

B

A

Tugas I

Bila W = 8 Ton, a = 90o dan luas penampang kabel baja ABC = 4 cm2, batang BD masing masing = 6 x 3 cm2, maka hitung tegangan yang terjadi pada kabel ABC dan tegangan maksimum batang BD.

Hitung Penurunan titik B dan tegangan geser yang terjadi pada baut As. B. Diameter baut As B = 20 mm.

Diketahui Modulus Elastisitas Batang BD = 2x106 kg/cm2.

1.

A

B

W

C

D

a

50 cm

B

W

400 cm

200 cm

1000 kg

1

2

A

B

C

30 cm

10 cm

20 cm

10 cm

8 cm

8 cm

2000 kg/m (Termasuk berat sendiri)

200 cm

80 cm
Gambar Bidang MomennyaHitung Momen Inersia Penampang BalokHitung Tegangan tegangan Serat tepi pada potongan 1 dan 2 dan gambar diagram tegangannyaHitung Tegangan Maksimum yang terjadi pada balok ABC.
25 cm

80 cm

1000 kg

2.

L = 300 cm, q = 1000 kg/m, P = 2000 kg, a = 30o, P berjarak 100 cm dari B.

Hitung tegangan yang terjadi di tengah bentang pada titik a, b, c, d, e dan f.

3.

L

q

P

B

A

10 cm

10 cm

8 cm

8 cm

10

10

10

20 cm

a

a

b

c

d

e

f

Balok Dua Bahan

dx

dy

a

e

y

h

b1

b2

ex

ea

ee

1

2

1

exE1

eeE1

eeE2

DISTRUBUSI TEGANGAN DALAM SATU BAHAN

DISTRUBUSI TEGANGAN ELASTIS

Balok Dua Bahan

b1

b2.n2

b2/n1

b1.n1

b1/n2

b2

E1 > E2, n1 = E1 / E2, n2 = E2 / E1

Irisan Padanan dalam Bahan 1

Irisan Padanan dalam Bahan 2

Contoh Soal Balok Dua Bahan

1

2

1200 cm

1000 kg

A

B

12 cm

36 cm

12

12

10

a

c

b

1

Bahan 1 = Beton Bahan 2 = Baja

400 cm

1

E beton = 200.000 kg / cm2 ; E baja = 2.000.000 kg /cm2

Hitung tegangan yang terjadi pada penampang 1 1 di serat a, serat b beton, serat b baja dan serat c.

Gambarkan pula diagram tegangannya.

Berat sendiri balok diabaikan

Baja

Beton

Lentur Murni pada Balok Non-Elastis

e

s

ELASTIS

NON - ELASTIS

e

s

DIAGRAM TEGANGAN - REGANGAN

Lentur Murni pada Balok Non-Elastis

e

s

Distrubusi Regangan

Distrubusi Regangan Elastis

Distrubusi Regangan nonElastis

e

s

a

b

c

d

o

Bila pengaruh D aob dan cod kecil

Balok Segi-4 yang mengalami Plastis Penuh

h

h/4

h/4

C

T

Momen Plastis yang dapat dipikul = C . . h = T . . h

C = T = yp ( bh/2)

Momen Plastis Balok Segi - 4 adalah :

Mp = yp . bh/2 . h/2 = yp . bh /4

s

s

s

2

Balok Segi- 4 yang mengalami Plastis Penuh

Secara Umum dapat ditulis :

Mp = . y dA = 2 ( yp ) . y . b . dy

s

s

h/2

0

Bila dihitung dengan Rumus Elastis :

Myp = yp . I / (h/2) = yp . 1/12 b h3 / ( h/2 )

= yp . b . h2 / 6

0

h/2

yp . y2 . b = yp . bh /4

s

s

2

s

s

s

Balok Segi-4 yang mengalami Plastis Penuh

Penampang yang mengalami Elastis - Plastis

Leleh Sedikit (Elastis-Plastis)

yo

h/2

Mp / Myp = yp . b . h2 / 4

s

yp . b . h2 / 6

s

= 1,5

SHAPE FACTOR

Leleh Banyak (Elastis-Plastis)

Leleh Total (Plastis)

Penampang yang mengalami Elastis - Plastis

Momen Elastis-Plastis yang dapat dipikul dengan kondisi distribusi tegangan yang mengalami leleh sebagian, adalah :

+ 2 ( yp) . b . y. dy

= 2/3 yp . yo2 . b + yp . bh2 / 4 - yp . b . yo2

M = . y dA = 2 ( yp ) . y/yo . b . y. dy

s

s

yo

0

s

h/2

yo

yp . y3/yo . b

o

yo

= 2/3s

yo

+ syp . b . y2

h/2

s

s

s

= yp . bh2 / 4 1/3 yp . b . yo2 = Mp 1/3 yp . b . yo2

s

s

s

Tegangan Geser - Lentur

q (x)

dx

M+dM

dx

M

V

V+dV

x

S MA = 0

(M + dM) M (V + dV) . dx + q . dx . dx/2 = 0

M + dM M V . dx + dV . dx + . q . dx2 = 0

kecil

kecil

ATAU

dM V . dx = 0

dM = V . dx

dM / dX = V

dM / dx = V


Persamaan ini memberikan arti bahwa :

SETIAP ADA PERBEDAAN MOMEN LENTUR PADA IRISAN YANG BERDAMPINGAN, MAKA AKAN MENIMBULKAN GESERAN

Contoh :

L/3

L/3

L/3

Bid. D

Bid. M

Tidak Ada Geseran

M

M

Ada Geseran

M

M+dM


Tegangan Geser Akibat Beban Lentur

R

FB

FA

Q =

Y . dA

Afghj

=

Afghj . Y

a

b

d

f

h

j

e

g

- MB

I

=

Y . dA

Afghj

FB =

Afghj

- MB . Y

I

dA

=

- MB . Q

I



FB FA = R Dipikul Alat Penghubung Geser

Sepanjang dx

dF/dx = q = Aliran Geser = SHEAR FLOW

q = dM . Q / dx . I = V . Q / I

=

- MA . Q

I

- MA

I

=

Y . dA

Aabde

FA

=

- MB . Q

I

- MA . Q

I

-

=

dF

=

( MA + dM ) . Q MA . Q

I

=

dM . Q

I


Contoh :

50 mm

Yc

Q = 50 . 200 ( 87,5 25 ) = 625.000 mm3 = 625 cm3 atau,

Y1 = 250 Yc - 200 / 2 = 62,5 mm

Q = 50 . 200 . 62,5 = 625.000 mm3 = 625 cm3

Yc

q = V . Q / I = 30.000 x 625 / 11.350 = 1.651 kg / cm

Jarak paku yang dibutuhkan = 7000 / 1651 = 4,24 cm

V = 30.000 kg, kekuatan paku = 7000 kg

200 mm

=

50 . 200 . 25 + 50 . 200 . 150

50 . 200 + 50 . 200

=

87,5 cm

I = 200 . 503 / 12 + 50 . 200 . 62,52

= 50 . 2003 / 12 + 50 . 200 . 62,52

= 113.500.000 mm4 = 11.350 cm4

200 mm

50 mm

Y1

Soal :

Bila kemampuan paku bagian atas adalah 7000 kg dan paku bagian bawah 5000 kg, maka hitunglah jarak paku atas dan bawah mulai dari ujung A hingga B , agar penampang tersusun tersebut kuat memikul beban q.

Jarak paku atas dan bawah dibuat 3 macam ukuran jarak.

200 mm

50 mm

30 mm

200 mm

50 mm

150 mm

q = 3000 kg/m

600 cm

A

B

100

100

200

100

100

Diagram Tegangan Geser

Arah Longitudinal :

= dF / t.dx = ( dM / dx ) . ( A . Y / I . t ) = V . A . Y / I . t

t

Contoh :

=

V . Q

I . t

t

q

t

=

1/8 . V. h2

I

t = b

h

dy

f

g

h

j

y

y1

=

V . Q

I . t

t

q

t

=

V

I . t

Y . dA

A

=

Diagram Tegangan Geser

V

I

=

x

h/2

y1

V

I . b

y1

h/2

b . y . dy

=

Bila y1 = 0, maka

t

Y2

2

( b/2 ) 2 y12

V

2 . I

=

3 . V

2 . b. h

V

2 . I

=

h2

4

x

=

1/8

V . h2

1/12 . b .h3

=

=

3 . V

2 . A

t

Soal :

20 cm

5 cm

3 cm

20 cm

5 cm

15 cm

a

b

c

d

e

q = 3000 kg/m

600 cm

A

B

P = 1500 kg

1

200 cm

Gambar diagram tegangan geser penampang pada tumpuan A dan pada potongan 1 yang berjarak 100 cm dari titik B.

Tahapan pengerjaan :
Menghitung Posisi Garis Netral
20 . 5 . 2,5 + 20 . 5 . 15 + 15 . 3 . 26,5

20 . 5 + 20 . 5 + 15 . 3

=

Yc

=

12,01 cm

Dari Atas

2. Menghitung Momen Inersia

I

=

1/12 . 20 . 53 + 20 . 5 . 9,512 + 1/12 . 5 . 203

+ 20 . 5 . 2,952 + 1/12 . 15 . 33 + 15 . 3 . 14,492

=

208,33 + 9044,01 + 3333,33 + 870,25 + 33,75 + 9448,20

=

22937,88 cm4

3. Menghitung Gaya Geser

Ra = 3000 . 6/2 + 2/3 . 1500 = 10.000 kg

Rb = 3000 . 6 + 1500 - 10.000 kg = 9.500 kg

Va = 10.000 kg ;

V1 = - 9.500 + 3000 . 1= - 6.500 kg

Posisi

A

y

Q

q = V.Q / I

= q / t

t

a

b1

b2

c

d1

d2

e

0

0

100

100

100

45

45

35.05

12.01

9,51

9,51

9,51

3.505

14.49

14.49

15.99

t

20

20

5

5

5

15

15

0

0

0

0

951

951

1073,85

652.05

652.05

0

0

Pada Penampang A dengan Gaya Geser 10.000 kg

414,6

414,6

468,16

284,27

284,27

20,73

82,92

93,63

56,854

18,951

Posisi

A

y

Q

q = V.Q / I

= q / t

t

a

b1

b2

c

d1

d2

e

0

0

100

100

100

45

45

35.05

12.01

9,51

9,51

9,51

3.505

14.49

14.49

15.99

t

20

20

5

5

5

15

15

0

0

0

0

951

951

1073,85

652.05

652.05

0

0

Pada Penampang 1 dengan Gaya Geser 6.500 kg

269,49

269,49

304,30

184,774

184,774

13,474

53,89

60,86

36,955

12,318

20 cm

5 cm

3 cm

20 cm

5 cm

15 cm

a

b

c

d

e

13,474

0

0

0

0

53,89

60,68

36,955

12,318

20,73

93,63

56,854

82,92

18,951

Gambar Diagram Tegangan Geser :

Gaya Geser 6.500 kg

Gaya Geser 10.000 kg

Variasi Aliran Geser

Variasi Aliran Geser digunakan untuk menentukan PUSAT GESER, agar beban vertikal yeng bekerja tidak akan menimbulkan puntiran pada penampang, bila dikerjakan pada PUSAT GESER.

Pusat Geser

to

to

P

V=P

e

h

F1

F1

e = F1 . h / P =

2 . P . I . t

b. t. h . V . Q

=

=

. b . t . h

2 . P

I . t

V . . h . b . t

x

=

b2 . h2 . t

4 . I

.

to

. b . t . h

P

Soal :

e

P

10 cm

50 cm

10 cm

10

15

30

Tentukan PUSAT GESER dari penampang seperti pada gambar.

V=P

PERSAMAAN YANG DIGUNAKAN :

e . P + F1 . 60 = F2 . 60

e = ( F2 . 60 F1 . 60 ) / P

.

t1

. 17,5 . 10

F1

F2

F1 =

F2 =

t2

. 37,5 . 10

.

V . Q

I . t

V . Q

I . t

I = 1/12 . 55 . 703 - 1/12 . 40 . 503 = 1.155.416,67 cm4

t1

t2

P . 17,5 . 10 . . 60

P . 37,5 . 10 . . 60

=

=

1.155.416,67 . 10

=

0,00045 . P kg/cm2

=

=

=

1.155.416,67 . 10

0,00097 . P kg/cm2

F1 =

0,00045 . P . 17,5 . 10

.

=

0,0394 . P

F2 =

0,00097 . P . 37,5 . 10

.

=

0,1820 . P

e =

0,0394

. P

. 60 -

0,182

. P

. 60

=

: P

8,556 cm

Perhitungan :

Agar batang tidak mengalami puntiran, maka beban P harus diletakkan sejarak e = 8,556 cm ( lihat Gambar )

TORSI (Puntiran )

20 N-m

10 N-m

30 N-m

10 N-m

30 N-m

Bidang Potongan

MOMEN PUNTIR DALAM sama dengan MOMEN PUNTIR LUAR

Torsi atau Puntiran yang dipelajari pada Mata Kuliah Mekanika Bahan ini hanya terbatas pada Batang berpenampang BULAT saja.

TORSI (Puntiran )

M

M

M

M

M(x)

Momen Puntir pada ujung batang

Momen Puntir merata pada seluruh batang

TORSI (Puntiran )

C

r

tmax

r

C

tmax

. dA .

r

= T

Tegangan

Luas

Gaya

Lengan

Momen Torsi

Atau dapat ditulis :

tmax

C

= IP

= Momen Inersia Polar

A

A

A

r

C

tmax

r

. dA

= T

2

r

. dA

2

Contoh Momen Inersia Polar untuk LINGKARAN

r

. dA

2

=

A

3

r

d

2p

r

=

0

C

2p

r

4

.

4

.

4

.

0

C

=

p

C

=

Puntiran pada LINGKARAN dapat ditentukan denga rumus :

tmax

T =

C

. IP

tmax

=

T . C

. IP

MOMEN PUNTIR

TEGANGAN PUNTIR

Contoh Soal Hal. 72 dan 73, Contoh 3-2 dan 3-3

2

32

p

d

4

Contoh 3 - 3

tmax

tdalam

Sebuah tabung diputar dengan momen puntir T = 40 N-m, diameter luar tabung = 20 mm dan diameter dalam tabung = 16 mm. Hitunglah tegangan geser puntir di dalam dan di luar tabung.

PENYELESAIAN :

IP =

p

( 0,024 0,0164 )

32

=

9,27 . 10-9 m4

tmax

=

40 . 0,01

9,27 . 10-9

=

43,1 . 106 N/m2

tluar

=

40 . 0,008

9,27 . 10-9

=

34,5 . 106 N/m2

Sudut Puntiran

Sudut puntiran didefinisikan sebagai f dan dengan menyatakan besarnya sudut DAB = gmax, maka :

= df . c

BD =

gmax

. dx

BD = df . c

gmax

gmax

=

gmax

Sebanding dengan t max

gmax

t max

G

G = Modulus Geser

=

t max

= T . c / IP

dx

x

df

gmax

o

B

D

A

c

df

dx

. c

Sudut Puntiran

Dengan demikian , maka :

= T . c / IP . G

df

dx

= T / IP . G

df

= T . dx / IP . G

f

=

df

A

B

=

T(x) . dx / IP(x) . G

PELAJARI CONTOH 3 6 dan 3 7, halaman 78 dan 79

gmax

= T . c / IP . G

df

dx

. c

A

B

Tegangan Majemuk

Tegangan yang mungkin terjadi pada suatu benda adalah sebagai berikut :
Tegangan Normal yang terjadi akibat Gaya Aksial : ( = P / A )
2. Tegangan Normal akibat Lentur : ( = M . Y / I )

3. Tegangan Geser akibat Gaya Geser : ( = P / A ) atau ( = V . Q / I . t )

4. Tegangan Geser akibat Torsi : ( = T . r / IP )

t

t

s

s

t

Ada kalanya suatu benda mengalami tegangan - tegangan tersebut secara bersama sama. Sehingga untuk mengetahui tegangan total yang terjadi perlu dilakukan penjumlahan.

Tegangan Majemuk

Tegangan tegangan yang dapat dijumlahkan adalah tegangan tegangan yang sejenis. Tegangan Normal dijumlahkan dengan Tegangan Normal, sedangkan Tegangan Geser dijumlahkan dengan Tegangan Geser.

Penampang di tengah bentang

M1 = . P . L

M2 = F . e

Contoh :

F

F

e

F

L

P

Tegangan Majemuk

Tegangan total yang terjadi pada potongan tengah bentang di serat atas dan bawah adalah :

s = ( - F / A ) + ( M1 . Y / I ) + ( M2 . Y / I )

= ( - F / A ) + ( . P . L ) + ( F . e . Y / I )

+

+

=

Tegangan Majemuk

Contoh :

M = P . e

e

P

Tegangan yang terjadi adalah :

s

=

+

Agar sisi B tidak terangkat, maka berapakah jarak e maksimum ??, Bila berat sendiri pondasi diabaikan

Persamaan yang digunakan :

b

h

P

A

B

P . e

W

A

P

1/6 . b . h2

P . e

A

P

=

+

1/6 . b . h2

P . e

A

P

=

+

s

= O

Tegangan Majemuk

=

+

s

= O

=

1/6 . b . h2

P . e

e

=

A

1/6 . b . h2

b . h

1/6 . b . h2

=

=

+

b

h

P

A

B

1/6 . b . h2

P . e

A

P

A

P

h

6

1/6 . b . h2

P . e

A

P

1/6 . b . h2

P . e

KOLOM

yo

zo

d

P

P

P

Momen yang ditimbulkan akibat adanya Eksentrisitas :

M = P . d = P . zo + P . yo

d

Diagram Tegangan pada Kolom

d

yo

zo

yo

zo

Tugas II

1

1

2

3

E-bahan 1 = 200.000 kg / cm2

E-bahan 2 = 100.000 kg / cm2

E-bahan 3 = 2.000.000 kg / cm2

20 cm

50 cm

10 cm

10 cm

20 cm

10 cm

Hitung tegangan maksimum yang terjadi pada masing masing bahan di potongan 1 dari balok A B.

Potongan 1 berjarak 100 cm dari titik B.

q = 3000 kg/m

600 cm

A

B

P = 1500 kg

1

200 cm

2

Gambar diagram tegangan geser penampang pada tumpuan A dan pada potongan 1 yang berjarak 200 cm dari titik B.

20 cm

5 cm

3 cm

20 cm

5 cm

15 cm

a

b

c

d

e

q = 3000 kg/m

600 cm

A

B

P = 1500 kg

1

200 cm

f

5 cm

10 cm

F

F

e

F

L

P

3

h

b

q

Diketahui : L = 20 m, b = 50 cm, h = 100 cm, P = 50 ton, F = 100 ton, e = 30 cm dari garis netral, q = 5 ton / m.

Potongan 1 berjarak 5 m dari titik A.

A

B

1

Hitung Tegangan gabungan di serat atas dan bawah dari penampang pada potongan 1 dan di tengan bentang.

4

P

A

B

C

D

O

e

b

h

Bila P = 5000 kg, h = 120 cm, b= 150 cm dan e = 40 cm, maka hitunglah tegangan yang terjadi di titik E dan F.

Berat sendiri pondasi diabaikan.

Tentukan e agar tegangan di titik F = 0

P

E

F

5

20 cm

20 cm

70 cm

10

20

40

Tentukan dan Gambarkan batas batas KERN - nya

Tugas II ini dikumpulkan pada saat Ujian Tengah Semester

KERN / GALIH / INTI

N

N

ya

yb

O

ka

kb

ya / Ix = Wa

yb / Ix = Wb

smin

=

=

+ N / A - N . ca . yb /Ix

sb

=

Posisi Beban di atas titik O

smax

sn

sma

=

=

=

+ N / A + N . ca . ya / Ix

sa

+

ca = Jarak ka ke titik O

cb = Jarak kb ke titik O

y

x

sn

smb

+

Posisi Beban di bawah titik O

smax

sn

smb

=

=

=

+ N / A + N . cb . yb / Ix

smin

=

=

+ N / A - N . cb . ya / Ix

sb

+

sa

=

KERN / GALIH / INTI

Kejadian khusus, bila = O, sehingga perumusannya menjadi :

smin

Posisi Beban di atas titik O

smin

sn

smb

=

=

=

+ N / A - N . ca . yb / Ix = O

sb

+

+ N / A - N . ca / Wb = O

=

=

( Wb / A ca ) . N / Wb = O

Ca = Wb / A

Ca = ka

Kern Atas

sn

sma

+

KERN / GALIH / INTI

Posisi Beban di bawah titik O

smin

sn

sma

=

=

=

+ N / A - N . cb . ya / Ix = O

sa

+

+ N / A - N . cb / Wa = O

=

=

( Wa / A cb ) . N / Wa = O

Cb = Wa / A

Cb = kb

Kern bawah

Dalam bentuk lain :

ix =

2

ix =

A =

Ix

Wa = Ix / ya

Wb = Ix / yb

Ix

A

Ix

A

ix

2

ka = ix / yb

2

kb = ix / ya

2

KERN / GALIH / INTI

Macam macam bentuk KERN :

Dibatasi 6 Titik

Dibatasi Titik tak Berhingga

Dibatasi 4 Titik

Dibatasi 4 Titik

KERN / GALIH / INTI

Menetukan Momen Inersia terhadap sumbu miring :

Xa

Ya

a

X

Y

xa

ya

a

a

x

df

Cos a

Sin a

xa

x

=

+

y

Cos a

Sin a

ya

y

=

-

x

Ixa

2

2

ya

=

Ixa

df

=

y

2

2

2

2

2

Cos a

x

+

Sin a

-

2xy

Sin a

Cos a

df

=

Ix

Cos a

+

Iy

Sin a

-

2 Sxy

Sin a

Cos a

KERN / GALIH / INTI

Menetukan Momen Inersia terhadap sumbu miring :

=

x

2

2

2

2

2

Cos a

y

+

Sin a

+

2xy

Sin a

Cos a

df

=

Ix

Sin a

+

Iy

Cos a

+

2 Sxy

Sin a

Cos a

2

2

xa

=

Iya

df

KERN / GALIH / INTI

Contoh Menentukan batas batas KERN :

Menentukan posisi garis netral :

2.20.1 + 8.2.6.2

2.20 + 8.2.2

=

=

x

3,2 cm

A

=

2.20 + 8.2.2

=

72 cm

Ix

=

1/12.2.203 + 1/12.8.23.2

+ 8.2.92.2 = 3936 cm4

=

Wax

3936

10

=

393,6 cm3

=

Wbx

3936

10

=

393,6 cm3

2 cm

2

2

16

10

y

x

3,2

KERN / GALIH / INTI

Contoh Menentukan batas batas KERN :

Ix

=

1/12.20.23 + 1/12.2.83.2

+ 20.2.(2,2)2 + 2.2.8.(2,8)2 = 628,48 cm4

=

Wkr y

628,48

3,2

=

196,4 cm3

=

Wkn y

6,8

=

92,42 cm3

628,48

Ka x

=

Wbx

A

=

393,6

72

=

5,46 cm

Kkny

=

Wkr y

A

72

=

196,4

=

2,72 cm

Kb x

=

Wax

A

=

393,6

72

=

5,46 cm

Kkr y

=

Wkn y

A

72

=

92,42

=

1,28 cm

KERN / GALIH / INTI

Gambar batas batas KERN :

2 cm

2

2

16

10

y

x

3,2

5,46 cm

5,46 cm

2,72 cm

1,28 cm

SELESAI

6.1. TEGANGAN
A. PERSAMAAN TRANSFORMASI TEGANGAN BIDANG

- Tegangan tarik normal adalah positif (+)
- Tegangan tekan adalah negatif (-)
Menggunakan persamaan keseimbangan statika :

Dengan mengubah orientasi sebuah elemen, seperti ditentukan oleh sudut untuk elemen, maka dapat digambarkan status tegangan pada suatu titik dengan jumlah cara yang tidak terhingga banyaknya, yang kesemuanya setara

Dalam hal ini, hukum transformasi tegangan pada suatu titik akan dikembangkan, yaitu persamaan-persamaan yang akan diturunkan untuk mentransformasi tegangan yang setara yang bekerja pada bidang yang melalui titik tertentu. Bidang-bidang dimana Tegangan-

tegangan mencapai intensitas maksimum akan ditentukan.

Dengan cara yang sama, tegangan geser adalah:

Catatan :
Persamaan 1 dan 2 adalah pernyataan umum untuk tegangan

normal dan tegangan geser pada bidang dengan sudut

x, y dan xy adalah tegangan yang diketahui.

s

s

s

u

Contoh Soal

Jawab

B. TEGANGAN UTAMA
Tegangan utama ialah tegangan normal maksimum dan minimum yang bekerja pada bidang utama.
Pada bidang utama, dimana bekerja tegangan normal maksimum dan minimum, tidak akan terdapat tegangan geser.
Untuk mendapatkan letak bidang utama maka digunakan persamaan :

u mempunyai 2 harga yang berbeda 180o

Harga cos2 dan sin2 dimasukkan dalam persamaan transformasi tegangan diperoleh :

C. TEGANGAN GESER MAKSIMUM DAN MINIMUM

Tegangan geser maksimum dan minimum dapat diketahui letaknya dengan menurunkan rumus tegangan
geser terhadap sudut dan disamakan dengan nol.

u

u

dengan cara yang sama seperti mencari tegangan utama, maka tegangan geser adalah :

Pada tegangan utama tegangan gesernya sama dengan nol.
Tapi pada tegangan geser maksimum tegangan normalnya tidak sama dengan nol.
Bila harga sinus dan cosinus untuk tegangan geser dimasukkan ke persamaan transformasi, didapat
tegangan normal

Jadi tegangan geser maksimum selalu bekerja bersama-sama dengan tegangan normal kecuali bila x dan y sama dengan nol.
Bila x dan y adalah merupakan tegangan utama, maka xy = 0 , dan tegangan geser maksimumnya :

u

u

t

u

u

D. LINGKARAN TEGANGAN MOHR

Untuk menghitung tegangan yang bekerja pada suatu bidang dari sebuah elemen, disamping dengan menggunakan persamaan transformasi, juga bisa menggunakan "Lingkaran MOHR". Persamaan transformasi 1 dan 2 dapat dituliskan kembali sebagai berikut :

mekban

Documents