menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer
TRANSCRIPT
MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN
OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
Pada Operasi Baris Elementer, sistem persamaan linear ditulis menjadi matriks keseluruhan
atau matriks augmentasi : 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2} ⟹ (
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22| 𝑏1
𝑏2)
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1
𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦+ 𝑎23𝑧 = 𝑏2
𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦+ 𝑎33𝑧 = 𝑏3
} ⟹ (𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|
𝑏1
𝑏2
𝑏3
)
Aturan Operasi Baris Elementer
Tiap operasi baris elementer pada matriks keseluruhan berikut menghasilkan suatu matriks
yang menampilkan sistem persamaan linear yang ekuivalen:
1. Menukar letak dua baris;
2. Mengganti suatu baris dengan baris semula dikali dengan bilangan tak nol;
3. Mengganti suatu baris dengan jumlah baris itu dan perkalian terhadap baris lainnya.
Ada dua metode berdasarkan OBE, yaitu metode Gauss dan metode Gauss-Jordan.
Metode Gauss
Pada metode Gauss, dengan menggunakan operasi baris elementer kita akan mengubah matriks
keseluruhan sehingga diagonal utamanya menjadi 1 dan elemen dibawah diagonal utama
menjadi 0.
Contoh
Selesaikan SPL berikut : {−𝑥 + 5𝑦 = −132𝑥 − 3𝑦 = 12
.
Jawab
Matriks keseluruhan : [−1 52 −3
| −1312
]
Elemen baris 1 kolom 1 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris pertama dengan –1.
[−(−1) −(5)
2 −3| −(−13)
12] = [
1 −52 −3
| 1312
]
Elemen-elemen pada kolom pertama selain elemen diagonal utama harus nol, sehingga
dilakukan OBE yang ketiga pada baris kedua (𝐵2 = 𝐵2 − 2𝐵1).
[1 −5
2 − 2(1) −3 − 2(−5)|
1312 − 2(13)
] = [1 −50 7
| 13−14
]
Elemen baris 2 kolom 2 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris kedua dengan 1/7.
[1 −5
1
7(0)
1
7(7)
| 13
1
7(−14)
] = [1 −50 1
| 13−2
]
Karena semua elemen diagonal utama sudah menjadi 1 dan elemen dibawah diagonal utama
sudah menjadi 0, maka diperoleh SPL :
𝑥 − 5𝑦 = 13 dan 𝑦 = −2
𝑥 − 5(−2) = 13
𝑥 = 3 Jadi, penyelesaiannya adalah 𝑥 = 3 dan 𝑦 = −2.
Contoh
Selesaikan SPL berikut : {
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2 4𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 = 152𝑥 + 2𝑦 + 7𝑧 = −1
.
Jawab
Matriks keseluruhan : [2 1 24 6 12 2 7
| 215−1
]
Elemen baris 1 kolom 1 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris pertama dengan 1/2.
[
1
2∙ 2 1
2∙1
1
2∙2
4 6 12 2 7
|
1
2∙ 2
15−1
] = [1 1
21
4 6 12 2 7
| 115−1
]
Elemen-elemen pada kolom pertama selain elemen diagonal utama harus nol, sehingga
dilakukan OBE yang ketiga pada baris kedua (𝐵2 = 𝐵2 − 4𝐵1) dan ketiga (𝐵3 = 𝐵3 − 2𝐵1).
[
1 1
21
4 − (4 ∙ 1) 6 − (4 ∙1
2) 1 − (4 ∙ 1)
2 − (2 ∙ 1) 2 − (2 ∙1
2) 7 − (2 ∙ 1)
|| 1
15 − (4 ∙ 1)
−1 − (2 ∙ 1)]
= [1 1
21
0 4 −30 1 5
| 111−3
]
Elemen baris 2 kolom 2 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang pertama yaitu menukar
baris kedua dan ketiga.
[1 1
21
0 1 50 4 −3
| 1
−311
]
Elemen-elemen pada kolom kedua yang ada di bawah elemen diagonal utama harus nol,
sehingga dilakukan OBE yang ketiga pada baris ketiga (𝐵3 = 𝐵3 − 4𝐵2).
[
1 1
21
0 1 50 4 − (4 ∙ 1) −3 − (4 ∙ 5)
| 1
−311 − (4 ∙ −3)
] = [1 1
21
0 1 50 0 −23
| 1
−323
]
Elemen baris 3 kolom 3 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris ketiga dengan –1/23.
[
1 1
21
0 1 50 0 −1
23∙(−23)
|
1−3
−1
23∙(23)
] = [1 1
21
0 1 50 0 1
| 1
−3−1
]
Karena semua elemen diagonal utama sudah menjadi 1 dan elemen dibawah diagonal utama
sudah menjadi 0, maka diperoleh SPL :
𝑧 = −1, 𝑦 + 5𝑧 = −3 dan 𝑥 +1
2𝑦 + 𝑧 = 1
𝑦 + 5 ∙ (−1) = −3 𝑥 +1
2∙ 2 + (−1) = 1
𝑦 = 2 𝑥 = 1
Jadi, penyelesaiannya adalah (1, 2,−1).
Metode Gauss-Jordan
Pada metode Gauss-Jordan, dengan menggunakan operasi baris elementer kita akan mengubah
matriks keseluruhan sehingga diagonal utamanya menjadi 1 dan elemen di atas dan di bawah
diagonal utama menjadi 0.
Contoh
Selesaikan SPL berikut : {−𝑥 + 5𝑦 = −132𝑥 − 3𝑦 = 12
.
Jawab
Matriks keseluruhan : [−1 52 −3
| −1312
]
Elemen baris 1 kolom 1 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris pertama dengan –1.
[−(−1) −(5)
2 −3| −(−13)
12] = [
1 −52 −3
| 1312
]
Elemen-elemen pada kolom pertama selain elemen diagonal utama harus nol, sehingga
dilakukan OBE yang ketiga pada baris kedua (𝐵2 = 𝐵2 − 2𝐵1).
[1 −5
2 − 2(1) −3 − 2(−5)|
1312 − 2(13)
] = [1 −50 7
| 13−14
]
Elemen baris 2 kolom 2 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris kedua dengan 1/7.
[1 −5
1
7(0)
1
7(7)
| 13
1
7(−14)
] = [1 −50 1
| 13−2
]
Elemen-elemen pada kolom kedua selain elemen diagonal utama harus nol, sehingga
dilakukan OBE yang ketiga pada baris pertama (𝐵1 = 𝐵1 + 5𝐵2).
[1 −5 + (5 ∙ 1)0 1
| 13 + (5 ∙ −2)−2
] = [1 00 1
| 3−2
]
Karena semua elemen diagonal utama sudah menjadi 1 serta elemen di atas dan di bawah diagonal utama sudah menjadi 0, maka diperoleh penyelesaiannya adalah 𝑥 = 3 dan 𝑦 = −2.
Contoh
Selesaikan SPL berikut : {
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2 4𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 = 152𝑥 + 2𝑦 + 7𝑧 = −1
.
Jawab
Matriks keseluruhan : [2 1 24 6 12 2 7
| 215−1
]
Elemen baris 1 kolom 1 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris pertama dengan 1/2.
[
1
2∙ 2 1
2∙1
1
2∙2
4 6 12 2 7
|
1
2∙ 2
15−1
] = [1 1
21
4 6 12 2 7
| 115−1
]
Elemen-elemen pada kolom pertama selain elemen diagonal utama harus nol, sehingga
dilakukan OBE yang ketiga pada baris kedua (𝐵2 = 𝐵2 − 4𝐵1) dan ketiga (𝐵3 = 𝐵3 − 2𝐵1).
[
1 1
21
4 − (4 ∙ 1) 6 − (4 ∙1
2) 1 − (4 ∙ 1)
2 − (2 ∙ 1) 2 − (2 ∙1
2) 7 − (2 ∙ 1)
|| 1
15 − (4 ∙ 1)
−1 − (2 ∙ 1)]
= [1 1
21
0 4 −30 1 5
| 111−3
]
Elemen baris 2 kolom 2 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang pertama yaitu menukar
baris kedua dan ketiga.
[1 1
21
0 1 50 4 −3
| 1
−311
]
Elemen-elemen pada kolom kedua kecuali elemen diagonal utama harus nol, sehingga
dilakukan OBE yang ketiga pada baris pertama (𝐵1 = 𝐵1 −1
2𝐵2) dan baris ketiga
(𝐵3 = 𝐵3 − 4𝐵2).
[1 1
2−(
1
2∙1) 1 − (
1
2∙ 5)
0 1 50 4 − (4 ∙ 1) −3 − (4 ∙ 5)
| 1 − (
1
2∙ −3)
−311 − (4 ∙ −3)
] = [1 0 −
3
2
0 1 50 0 −23
|
5
2
−323
]
Elemen baris 3 kolom 3 harus satu, sehingga dilakukan OBE yang kedua yaitu mengalikan
baris ketiga dengan –1/23.
[1 0 −
3
2
0 1 50 0 −1
23∙(−23)
|
5
2
−3−1
23∙(23)
] = [1 0 −
3
2
0 1 50 0 1
|
5
2
−3−1
]
Elemen-elemen pada kolom ketiga kecuali elemen diagonal utama harus nol, sehingga
dilakukan OBE yang ketiga pada baris pertama (𝐵1 = 𝐵1 +3
2𝐵3) dan baris kedua
(𝐵2 = 𝐵2 − 5𝐵3).
[1 + (
3
2∙ 0) 0 + (
3
2∙ 0) −
3
2+ (
3
2∙ 1)
0 − (5 ∙ 0) 1 − (5 ∙ 0) 5 − (5 ∙ 1)0 0 1
|
5
2+ (
3
2∙ −1)
−3 − (5 ∙ −1)−1
] = [1 0 00 1 00 0 1
| 12−1
]
Karena semua elemen diagonal utama sudah menjadi 1 serta elemen di atas dan di bawah diagonal utama sudah menjadi 0, maka diperoleh penyelesaiannya adalah 𝑥 = 1, 𝑦 = 2 dan
𝑧 = −1.
Catatan penulis :
- Penyelesaian diatas bukanlah penyelesaian baku dalam menggunakan Metode Gauss dan Gauss -Jordan,
kalian bisa menggunakan aturan OBE manapun yang penting tujuan akhirnya membuat semua elemen
diagonal utama menjadi 1 dan elemen lainnya 0.
- Penulis lebih senang menyelesaikan per kolom, dimana tiap kolomnya selalu dimulai dengan mengubah
elemen diagonal utama menjadi 1 baru elemen lainnya menjadi 0.
- Setiap elemen diagonal utama yang sudah menjadi 1 tidak boleh ditukarkan dengan baris lainnya untuk
langkah berikutnya.