metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. prilikom rješavanja vodi se računa o...
TRANSCRIPT
![Page 1: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/1.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
155
RAVNO NAPONSKO I RAVNO DEFORMACIONO STANJE
555
5.1. Uvod U ovom poglavlju se razmatraju dvodimenzionalni (ravni) konačni elementi. To su takvi elementi kod kojih dvije koordinate definiraju položaj tačke na površini elementa. Elementi su spojeni u čvorovima i duž ivica i tako predstavljaju kontinuiranu strukturu. U procesu diskretizacije nekog ravnog problema cijeli domen se podijeli na konačne elemente kako bi se izvršila neka analiza (npr. napona). Čvorovi u kojima se vežu elementi moraju zadovoljavati uslove kompatibilnoti. Za izabrane funkcije pomjeranja mora se osim kompatibilnosti u čvorovima zadovoljiti i kompatibilnost duž stranica. Dvodimenzionalni elementi su izuzetno važni u analizi napona i obuhvataju npr. probleme ploča sa otvorima ili promjenom geometrije sa opterećenjem u ravni elementa. Rezultat djelovanje opterećenja takvih struktura su lokalne koncentracije napona. Dvodimenzionalna analiza pomjeranja uključuje probleme dvodimenzio-nalnih struktura izloženih djelovanju ravnomjernog opterećenja koje dovodi do pozitivnih ili negativnih pomjeranja. Matrice krutosti se postavljaju za dvodimenzionalne ravanske konačne elemente oblika trougla. Najjednostavniji sa aspekta dobivanja matrice krutosti je trokutni konačni element sa konstatnim pomjeranjem (CST). Matrica krutosti ovog elementa može de dobiti korištenjem principa minimuma potencijalne energije. Minimum potencijalne energije je najlakši način za dobivanje jednačina za dvodimenzionalne elemente.
![Page 2: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/2.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
156
5.2. Najvažniji koraci u postavljanju jednačina ravnog trokutnog elementa
Prije postavljanja jednačina za trokutni konačni element treba dati i osnovne jednačine za ravno stanje napona i ravno stanje deformacija kako bi kasnije analize imale kontinuitet i jasnoću. Ravno naponsko stanje definira se kao naponsko stanje u kome su normalni i tangencijalni naponi okomiti na ravan elementa jednaki nuli. To se može pokazati na primjerima, slika 5.1.
Slika 5.1. Ravni problemi Ako djeluje istežuća sila F kako je prikazano na slici 5.1a) i b), tada su normalni napon z i tangencijalni naponi xz i yz jednaki nuli. U opštem slučaju ploče su tanke, odnosno zanemarljive debljine z. Ravno deformaciono stanje predstavlja takvo stanje deformacija u kome su normalna deformacija z i klizanja xz i yz jednaka nuli.
y
x
F
a)
b)
x
y
F F
![Page 3: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/3.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
157
Ravne deformacije za tijela znatne dužine u z pravcu koja imaju konstantan poprečni presjek ne mijenjaju se u z pravcu, ako opterećenje djeluje u x i y pravcu, slika 5.1.b. Dvodimenzionalno stanje napona i deformacija i veza između napona i deformacija su potrebni kako za razumijevanje tako i za postavljanje matrice krutosti ravnog trokutog konačnog elementa. Na slici 5.2. prikazan je ravni element dimenzija dx i dy sa normalnim x i y i tangencijalnim xy naponima.
Slika 5.2. Naponsko stanje dvodimenzionalnog elementa Ravno naponsko stanje na slici može se definirati vektorom napona:
xy
y
x
(5.1)
Naponi se mogu izraziti preko pomjeranja čvorova. Ako su poznata pomjeranja čvorova mogu se izračunati i naponi. Glavni naponi dati su izrazima (5.2) za ravno stanje napona:
y
y yx
xy
xy
yx
x x dy
dx
![Page 4: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/4.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
158
min2xy
2
yxyx2
max2xy
2
yxyx1
22
22
(5.2)
Glavni ugao definira položaj glavnih pravaca i dat je izrazom (5.3)
yx
xy22tg
(5.3)
U ravnima u kojima djeluju glavni normalni naponi tangencijalni naponi jednaki su nuli, slika (5.3)
Slika 5.3. Glavni normalni napon
Slika 5.4. Ravne deformacije
x 2
2 1
1
dy
dx
dyy
u
dxx
v
![Page 5: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/5.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
159
Na slici 5.4 prikazane su deformacije elementarnog pravougaonika u x y ravni i to:
x
v
y
v
y
v
x
uxyyx
,, (5.4)
x i y su linearne deformacije uzdužne ili poprečne, a xy je klizanje. Izraz za ravno stanje deformacija dat je u obliku:
xy
y
x
(5.5)
Veza između deformacija i pomjeranja data je izrazima (5.4). Za ravno stanje napona uzima se da je: 0yzxzz (5.6)
Za naponsko-deformaciono stanje kod koga je xy = yx = 0 i z 0, napon u ravni je dat izrazom (5.7): D (5.7) gdje je:
2
100
01
01
1 2
ED (5.8)
Matrica D zove se veza između napona i deformacija ili konstitutivna matrica. E je modul elastičnosti a Poissonov broj. Za ravno deformaciono stanje smatra se ono stanje kod koga je: 0yzxzz (5.9)
![Page 6: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/6.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
160
Za takvu vezu napona i deformacija kod koje su tangencijalni naponi nule xz = yz = 0 i z 0 konstitutivna matrica ima oblik (5.10):
2
2100
01
01
)21()1(
ED (5.10)
Slika 5.5. Slika ravne ploče opterećene na zatezanje i diskretizirane na konačne elemente oblika trokuta
Sve navedene relacije poznate su iz otpornosti materijala. Za analizu konačnim elementima posmatra se ploča opterećena na zatezanje, slika 5.5, diskretizira-izdijeli na dijelove oblika trokuta. Svi dijelovi su konačnih dimenzija, a ne beskonačno mali, pa se zovu konačni elementi. Čvorovi konačnog elementa su i, j, m. U podjeli ravnih struktura na konačne elemente, svakom čvoru pridružen je broj čvora. Svaki čvor trokutnog elementa ima dva stepena slobode, jedan u x a drugi u y pravcu. Pomjeranja se označavaju kao ui i vi . Za neki čvor "i" pomjeranja se mogu pisati u obliku:
i
ii v
ud (5.11)
a pomjeranja čvorova i, j, m su:
m
i jT T
y
x
![Page 7: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/7.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
161
m
m
j
j
i
i
m
j
i
v
u
v
u
v
u
dili
d
d
d
d (5.12)
Diskretizacija predstavlja prvi korak u metodu konačnih elemenata. Slijedeći korak je izbor funkcije pomjeranja u čvorovima. Funkcija pomjeranja bira se prema vrsti konačnog elementa. Za ravanski element oblika trokuta funkcija pomjeranja je linearna. Konačni elementi su spojeni po stranicama i u vrhovima. Linearna funkcija pomjeranja je dovoljna da omogući kontinuitet između elemenata. Funkcija pomjeranja zavisi od pomjeranja u čvorovima i piše se u obliku (5.13):
),(
),(
yxv
yxu (5.13)
Treći korak je postavljanje veza između deformacija i pomjeranja kao i veza napona i deformacija. To su izrazi (5.4) i (5.7) koji se postave uz odgovarajuću matricu D. Četvrti korak je dobivanje elemenata matrice krutosti i jednačina. Korištenjem principa o minimumu potencijalne energije dobije se osnovna matrica krutosti elementa i jednačine elementa u obliku: dkf (5.14) Princip minimuma potencijalne energije je bolji nego direktni metod. Direktni metod se koristi zbog pojašnjenja pošto je očigledan. U petom koraku dobije se ukupna matrica krutosti strukture ili globalna matrica krutosti korištenjem pomenutog direktnog metoda..
dKF
![Page 8: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/8.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
162
gdje je F ukupno opterećenje čvorova koje sadrži sva opterećenja svedena na čvorove. Matrica K je ukupna matrica strukture koja se sastoji od matrica pojedinih elemenata strukture. Slijedeći korak predstavlja određivanje pomjeranja u svim čvorovima strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije a poslije toga i naponi.
5.3. Matrica krutosti i jednačine ravnog konačnog trokutnog elementa
Diskretizacijom ravne ploče na trokutne konačne elemente dobiju se elementi sa čvorovima i, j, m čije su koordinate (xi, yi), (xj, yj) i (xm, ym).
Slika 5.6. Trokutni konačni element Pomjeranja čvorova data su vektorom:
m
m
j
j
i
i
v
u
v
u
v
u
d (5.15)
m(xm,ym
)
i(xi,yi) j(xj,yj)
x
y
![Page 9: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/9.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
163
Za svako pomjeranje izabere se funkcija pomjeranja u linearnom obliku:
u (x,y) = a1 + a2x + a3 y (5.16)
v (x,y) = a4 + a5x + a6 y Za ovu vrstu elemenata dovoljna je linearna funkcija da se obezbijedi kompatibilnost. To znači da će čvorne tačke na elementima čiji su to zajednički elementi imati isto pomjeranje kao i stranice koje spajaju takve elemente. Pomjeranje se može pisati u obliku:
6
5
4
3
2
1
654
321
1000
0001
y a x a a
y a x a a
a
a
a
a
a
a
yx
yx (5.17)
To bi za čvorove trokuta na slici 5.6 bilo:
jjm
jjj
iii
mmm
jjj
iii
yaxaav
yaxaav
yaxaav
yaxaau
yaxaau
yaxaau
654
654
654
321
321
321
(5.18)
ili u matričnom obliku:
3
2
1
1
1
1
1
a
a
a
yx
yx
yx
u
u
u
mm
j
ii
m
j
i
(5.19)
Za rješavanje šest jednačina (5.19) traži se šest koeficijenata a1 do a6
uxa 1
![Page 10: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/10.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
164
x-1 je inverzna matrica koja se određuje preko kofaktora:
mji
mji
mji
Ax
2
11 (5.20)
Determinanta od x glasi:
mm
jj
ii
yx
yx
yx
A
1
1
1
2 (5.21)
tj. 2A = xi (yj-ym) + xj (ym-yi) + xm (yi-yj). A je površina trokuta konačnog elementa, a kofaktori
ijm
jim
jijim
mij
imj
mimjj
jmi
mji
mjmji
xx
yy
xyyx
xx
yy
yxxy
xx
yy
xyyx
(5.22)
![Page 11: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/11.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
165
Koeficijenti ai mogu se napisati u obliku:
m
j
i
mji
mji
mji
u
u
u
Aa
a
a
2
1
3
2
1
(5.23)
m
j
i
mji
mji
mji
v
v
v
Aa
a
a
2
1
6
5
4
Nakon koeficijenata računa se pomjeranje u x pravcu u obliku funkcije pomjeranja u (x,y). Po istom postupku računa se i pomjeranje u y pravcu u obliku v (x, y). Pomjeranje u (x,y) dobije se na osnovu koordinata x i y čvornih tačaka i poznatih koeficijenata i j ... m . U opštem slučaju čvorna pomjeranja ui , uj , um su:
3
2
1
1
a
a
a
yxu (5.24)
a može se pisati i u obliku (5.25), (5.26) i (5.27)
m
j
i
mji
mji
mji
u
u
u
yxu
1 (5.25)
mmjjii
mmjjii
mmjji
uuu
uuu
uuu
yxA
u
1
12
1 (5.26)
mmmmjjjjiiii uyxuyxuyxA
yxu )()()2
1),( (5.27)
Po analogno provedenom postupku dobije se pomjeranje u y pravcu tj. v (x,y), izraz (5.28):
![Page 12: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/12.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
166
mmmmjjjjiiii vyxvyxvyxA
yxv )()()2
1),( (5.28)
Iz jednačina (5.27) i (5.28) mogu se napisati izrazi u obliku:
yxA2
1N
yxA2
1N
yxA2
1N
mmmm
jjjj
iiii
(5.29)
Funkcije Ni , Nj i Nm zovu se funkcije oblika. Pomjeranja izražena preko funkcija oblika su:
mmjjii
mmjjii
vNvNvNyxv
uNuNuNyxu
),(
),( (5.30)
a matrica pomjeranja:
mmjiii
mmjjii
vNvNvN
uNuNuN
yxv
yxu
),(
),( ili
m
m
j
j
i
i
mji
mji
v
u
v
u
v
u
NNN
NNN
000
000 (5.31)
U izrazu: dN . (5.32)
![Page 13: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/13.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
167
Matrica N je matrica čiji su članovi funkcije oblika, a d vektor pomjeranja. Funkcije oblika predstavljaju oblike kada se crtaju nad posmatranim elementom. Npr. Ni predstavlja oblik varijable "u" crtane nad površinom elementa. Za ui = 1, a za sve ostale stepene slobode je nula. To je uj = um = vi = vj = vm = 0. Odavde slijedi da u (x,y) mora biti ui, a Ni = 1 Nj = Nm = 0. Na slici 5.7 prikazana je promjena Ni nacrtane iznad površine posmatranog elementa. Funkcija Ni nije nula izuzev duž linije spajanja sa čvorovima j i m.
Slika 5.7. Promjena Ni iznad xy ravni Zbir Ni + Nj + Nm = 1 za bilo koji položaj na površini elementa. Nakon izračunavanja pomjeranja za svaki čvor treba odrediti i vektor deformacija. Za dvodimenzionalni element vektor deformacija dat je u obliku:
x
v
y
uy
vx
u
xy
y
x
(5.33)
Parcijalni izvodi pomjeranja u i v po x i y potrebni u jednačini (5.33) su:
mmjjii uNuNuNxx
u
1
i
m
j
x
y
Ni
![Page 14: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/14.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
168
mm
jj
ii u
x
Nu
x
Nu
x
N
x
u
(5.34)
Pokazano je da funkcija pomjeranja ui = ui (xi yi) ima konstantne vrijednosti, a isto se može zaključiti i za funkcije uj i um . Zato su njihovi izvodi po odgovarajućim pomjeranjima jednaki nuli. Na osnovu izraza (5.29) mogu se naći izvodi funkcija Ni , Nj i Nm .
A2
yxxA2
1
x
NA2
yxxA2
1
x
NA2
yxxA2
1
x
N
mmmm
m
jjjj
j
iiii
i
(5.35)
pa se na osnovu (5.34) i sličnog postupka za x
v
y
ui
y
v
dobije:
mmmmjjjjiiii
mmjjii
mmjjii
vuvuvuAx
v
y
u
vvvAy
v
uuuAx
u
2
1
2
12
1
(5.36)
U matričnom obliku:
m
m
j
j
i
i
mmjjii
mji
mji
v
u
v
u
v
u
A
000
000
2
1 (5.37)
![Page 15: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/15.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
169
m
j
i
mji
d
d
d
BBB (5.38)
gdje su:
mm
m
m
m
jj
j
j
j
ii
i
i
i AB
AB
AB
0
0
2
10
0
2
10
0
2
1 (5.39)
dB
gdje je: mji BBBB
Nakon izračunavanja deformacija mogu se izračunati naponi po izrazima:
xy
x
x
xy
y
x
D
(5.40)
dBDD (5.41)
5.4. Izračunavanje matrice krutosti primjenom principa minimuma potencijalne energije
Princip minimuma potencijalne energije se koristi za dobivanje jednačina trokutnog konačnog elementa. Polazi se od potencijalne energije koja je funkcija pomjeranja čvorova elementa. mjiipp vuvu ,...,, (5.42)
Ukupna potencijalna energija jednaka je zbiru potencijalne energije deformacije i potencijalne energije sila.
![Page 16: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/16.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
170
Up (5.43)
Potencijalna energija deformacije data je izrazom:
v
T
v
T dVDdVU 2
1
2
1 (5.44)
Potencijalna energija sila sastoji se od potencijalne energije koncentrisanih sila, površinski raspoređenih sila i sila sopstvene težine.
Pd Tp (5.45)
U izrazu 5.45 za potencijalnu energiju koncentrisanih sila P su spojašnje koncentrisane sile:
S
TS dST (5.46)
Izraz (5.46) predstavlja potencijalnu energiju površinski raspoređenih sila gdje je T vektor opterećenja po jedinici površine. Sile težine tijela imaju potencijalnu energiju:
v
Tb dVX (5.47)
gdje je funkcija pomjeranja a X težina tijela po jedinici zapremine ili specifična gustina. Ukupna potencijalna energija može se napisati u obliku:
dSTNdPddVXNd
dVdBDBd
T
S
TT
v
TT
v
TTp
2
1
(5.48)
Ukupno opterećenje koje djeluje na tijelo može se izdvojiti iz izraza (5.48) i napisati kao:
![Page 17: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/17.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
171
v S
TT dSTNPdVXNf (5.49)
u kome se pojavljuju sile težine, zatim koncentrisane sile i kontinuirano opterećenje. Potencijalna energija je tada:
v
TTTp fdddVBDBd
2
1 (5.50)
Parcijalni izvod potencijalne energije po pomjeranju je:
0
fddVBDB
d v
Tp (5.51)
v
T fddVBDB (5.52)
Veza između sila i pomjeranja u izrazu (5.52) data je matricom krutosti elementa:
v
T dVBDBk (5.53)
Ako je element iste debljine t, što je slučaj sa ravanskim elementima, može se pisati:
dydxBDBtkA
T (5.54)
Ako su deformacije konstantne može se pisati:
BDBAtk T (5.55) Matrica krutosti k je funkcija čvornih koordinata jer su B i A njihove funkcije.
![Page 18: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/18.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
172
Matrica D zavisi od osobina materijala definiranih karakteristikama E i . Matrica krutosti konačnog elementa može se napisati u obliku:
mmmjmi
jmjjji
imijii
kkk
kkk
kkk
k (5.56)
u kojoj su submatrice reda 2x2
AtBDB
AtBDB
AtBDB
k
k
k
mT
m
jT
j
iT
i
im
ij
ii
(5.57)
Matrica k je reda 6x6 tj. ima ukupno šest stepeni slobode pomjeranja, za svaki od tri čvora po dva pomjeranja. U izrazu (5.49), f predstavlja vektor čvornih sila i može se napisati kao
3
3
2
2
1
1
666261
262221
161211
3
3
2
2
1
1
...
...
...
v
u
v
u
v
u
kkk
kkk
kkk
f
f
f
f
f
f
y
x
y
x
y
x
(5.58)
Sile f zovu se konzistentne sile ako su dobivene po energetskom principu. Za elemente višeg reda, tj. one čija je funkcija pomjeranja kvadratna ili kubna parabola obavezno se koristi jednačina (5.58).
5.5. Globalna matrica krutosti Za dobivanje globalne matrice krutosti koristi se direktni metod. Ona se predstavlja izrazom:
![Page 19: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/19.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
173
N
e
kK1
(5.59)
gdje je: e broj elementa, a N ukupan broj elemenata. Matrica dKF (5.60) predstavlja vektor sila cijelog sistema i postavlja se u odnosu na globalni koordinatni sistem. Vektor d predstavlja vektor pomjeranja svih čvorova strukture. Često se jednačina (5.60) zove i jednačina strukture. Za razliku od izraza (5.59) i (5.60) koji su definisani u globalnim koordinatama prethodne (5.56), (5.57) i (5.58) jednačine su postavljene u lokalnim koordinatama. Veza lokalnih i globalnih koordinata data je matricom transformacije T u obliku:
CS
SC
CS
SC
CS
SC
T
0000
0000
0000
0000
0000
0000
(5.61)
gdje je C = cos i S = sin . Jednačina (5.60) u sebi sadrži nepoznata pomjeranja u čvorovima i ona se odrede iz sistema jednačina (5.60). Nakon što se odrede pomjeranja u svim čvorovima u x i y pravcu izračunaju se deformacije po izrazu (5.33) a zatim glavni naponi 1 i 2 prema izrazima (5.2).
![Page 20: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/20.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
174
PRIMJER 5.1
Treba odrediti matricu krutosti i napone trokutnog elementa prikazanog na
slici 5.8. Dato je 3,0,10202
6 cm
NE i debljina t = 1 cm. Neka su
pomjeranja u čvorovima: u1 = 0 v1 =0,001 u2 = 0,0005 v2 = 0 u3 = 0 v3 = 0,001 cm.
Slika 5.8. Ravna trokutna ploča U rješavanju zadatka kreće se od matrice krutosti elementa
BDBAtk T Prvo se izračunaju članovi matrica B i D i nađe transponovana matrica BT. Koeficijenti su:
202101
0002)1(1
220110
ijmjim
mijimj
jmimji
xxyy
xxyy
xxyy
x
y (0,1)
m=3
i=1 (0,-1)
j=2
(2,0)
![Page 21: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/21.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
175
122012
200020
010201
22
1000
000
2
1
mmjjii
mji
mji
AB
2,000
07,01
017,0
4,03,1
1020
2
2100
0)1(
0)1(
)21)(1(
6ED
122012
200020
010201
4
1
2,000
07,01
017,0
120
201
200
002
120
201
52,0
1020
4
21 6
k
43,14544,11924,124,19506,12696,7
544,11215,7848,3734,6696,7481
924,1848,3848,30924,1848,3
24,19734,60468,1324,19734,6
506,12696,7924,124,1943,14544,11
544,11215,7848,3734,6696,7481,0
106k
![Page 22: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/22.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
176
001,0
0,0
0,0
0005,0
001,0
0,0
122012
200020
010201
2,000
07,01
017,0
52,40
1020 6
dBD
xy
y
x
8462,3
6154,9
7308,6
103
MPa
MPa
MPa
z
y
x
46,38
15,96
3,67
Glavni naponi su prema (5.2) 1 = 122,802 MPa 2 = 42,648 MPa
5.6. Površinske sile i sile sopstvene težine Osim koncentrisanih sila na element djeluju sile sopstvene težine koje se zovu i gravitacione sile. One su date izrazom:
v
Tb dVXNf (5.62)
![Page 23: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/23.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
177
Vektor
b
b
Y
XX (5.63)
u kome su xb i yb gustine u x i y pravcu. Ako su gustine iste u svim čvorovima može se pisati:
3
At
y
x
y
x
y
x
f
f
f
f
f
f
f
b
b
b
b
b
b
bmy
bmx
bjy
bjx
biy
bix
b
(5.64)
Površinske sile date su izrazom:
S
Ts dSTNf (5.65)
gdje je: T površinsko opterećenje:
y
x
p
pT
px i py djeluju u pravcu osa x i y.
Slika 5.9. Ako opterećenje djeluje u pravcu ose x onda je:
p
y
x
1
a
L
![Page 24: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/24.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
178
,
o
pT a
3
3
2
2
1
1
0
0
0
0
0
0
N
N
N
N
N
N
N T (5.66)
N1, N2 i N3 se računaju po izrazima (5.29), a koeficijenti po izrazima (5.22). Ako su čvorovi označeni kao i = 1, j = 2 i m = 3, izračunaju se:
A
ayLxNiaL
A
xaLNiLLa
A
ayNia
20
2
)(0
200
3333
2222
1111
(5.67)
pa se može pisati:
02
0
0
02
)2/(22
2
2
apL
L
pL
a
aL
tfs (5.68)
ili
![Page 25: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/25.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
179
0
2/
0
0
0
2/
3
3
2
2
1
1
pLt
pLt
f
f
f
f
f
f
f
ys
xs
ys
xs
ys
xs
s (5.69)
5.7. Konačan oblik matrice krutosti Na osnovu izraza (5.55) za matricu krutosti
BDBtAk T uvrštavanjem matrica D i B dobije se konačan oblik matrice krutosti:
mmjjii
mji
mji
mm
mm
jj
jj
ii
ii
A
tEk
000
000
2
2100
010
01
0
0
0
0
0
0
)21)(1(4
(5.70)
PRIMJER 5.2 Tanka ploča (slika 5.9) izložena je djelovanju kontinuiranog opterećenja
T = 1000 N/cm2. Ploča je debljine t = 1 cm, a zadano je 2
61020cm
NE ,
= 0,3. Odrediti napone i deformacije ploče.
![Page 26: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/26.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
180
Slika 5.10 a) Tanka ploča; b) Diskretizirana ploča Prvi korak u rješavanju je diskretizacija ploče. Ploča se može podijeliti na 2 ili više elemenata, ali zbog prikazivanja postupka dovoljno je podijeliti na dva elementa. Odabere se koordinatni sistem i obilježe čvorovi elemenata i elementi. Opterećenje se rasporedi u čvorove i za svaki čvor je:
NF
ATF
5000
11010002
1
2
1
Ako se globalna matrica
dKF napiše u proširenom obliku:
1 cm
10 cm
20 cm T=1000 N/cm2
x
y
2
1
5000 N
5000 N
2 3
1 4
![Page 27: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/27.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
181
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
x
d
d
d
dK
d
d
d
d
d
d
d
d
KR
R
R
R
F
F
F
F
F
F
F
F
4
4
3
3
4
4
3
3
2
2
1
1
2
2
1
1
4
4
3
3
2
1
2
1
0
0
0
0
0
5000
0
5000 (5.71)
Matrica K ima dimenzije 8x8, jer ploča ima 4 čvora i svaki ima po dva pomjeranja. U čvorovima 3 i 4 djeluju sile u x pravcu, a u y pravcu nema sila dok su u osloncima 1 i 2 reakcije u oba pravca. Ukupna matrica krutosti dobije se na osnovu matrica krutosti pojednih elemenata. Element 1 određen je čvorovima 1, 3 i 2 čije su koordinate u globalnom sistemu i (0,0); j (20, 10); m (0, 10).
Slika 5.11. Element 1.
Površina trokuta 210010202
1
2
1cmhbA
.
Za računanje matrice krutosti elementa prema (5.55) prvo se odrede matrice B i D, pa je:
mmjjii
mji
mji
AB
000
000
2
1 (5.72)
j=3
x
y
m=2
i=1
1
![Page 28: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/28.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
182
odnosno koeficijenti matrice za problem koji se rješava su:
20020
000
20200
10100
10010
01010
ijm
mij
jmi
jim
imj
mji
xx
xx
xx
(5.73)
1020100020
20000200
01001000
200
1B (5.74)
Za ravno stanje napona matrica
2
100
01
01
1 2
E
D (5.75)
koja za konkretni slučaj ima oblik:
35,000
013,0
03,01
91,0
1020 6
D (5.76)
Matrica krutosti elementa 1 dobije se u obliku:
1020100020
20000200
01001000
200
1
35,000
013,0
03,01
91,0
1020
10200
20010
1000
0010
0200
2000
200
1001 6
k
![Page 29: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/29.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
183
čije je konačno rješenje:
i=1 j=3 m=2
435130356040070
1302407010060140
3570350070
601000100600
400600604000
701407000140
91,0
00050k (5.77)
Na isti način odredi se matrica krutosti elementa 2, a prema slici 5.12.
Slika 5.12. Element 2 Koordinate čvorova u globalnom koordinatnom sistemu su: i (0, 0); j (20, 0) m (20, 10), pa su koeficijenti:
20020
20200
02020
000
10010
10100
ijm
mij
jmi
jim
imj
mji
xx
xx
xx
(5.78)
0201020100
20020000
00010010
200
1B (5.79)
m=3
j=4 i=1
x
y 2
![Page 30: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/30.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
184
35,000
013,0
03,01
91,0
1020 6
D (5.80)
0201020100
20020000
00010010
200
1
35,000
013,0
03,01
91,0
1020
0200
2000
10200
20010
1000
0010
200
1001 6
k
400040060060
014070140700
400704351303560
6014013024070100
0703570350
600601000100
91,0
00050k (5.81)
Matrice krutosti elemenata 1 i 2 se prošire do reda veličine ukupne matrice krutosti tj. 8x8 pa je matrica krutosti elementa 1:
00000000
00000000
0070714014
000201220120
0071287268014
00142026481228
000128012800
001401428028
91,0
000250k (5.82)
![Page 31: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/31.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
185
Matrica krutosti elementa 2 1 2 3 4
8726801400712
26481228001420
801280000012
142802800140
00000000
00000000
7140140070
122012000020
91,0
000250k (5.83)
Ukupna matrica krutosti je: 1 2 3 4
8726801400712
26481228001420
8012870714026
14280481220260
0071287268014
00142026481228
7140268012870
12202601428048
91,0
000250K (5.84)
Jednačina strukture ima oblik:
y
x
y
x
y
x
y
x
d
d
d
d
R
R
R
R
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
0
0
8726801400712
26481228001420
8012870714026
14280481220260
0071287268014
00142026481228
7140268012870
12202601428048
91,0
000250
0
5000
0
5000
(5.85)
![Page 32: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/32.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
186
Dodavanjem graničnih uslova neka pomjeranja postaju nula pa se piše:
y
x
y
x
d
d
d
d
4
4
3
3
87268014
26481228
8012870
1428048
91,0
000250
0
5000
0
5000
(5.86)
Nakon transponovanja i množenja dobije se vektor nepoznatih pomjeranja:
00878,0
05470,0
00034,0
05024,0
50
91,0
4
4
3
3
y
x
y
x
d
d
d
d
(5.87)
cm
d
d
d
d
y
x
y
x
6
4
4
3
3
10
8,159
5,999
2,6
4,914
(5.88)
Naponi se izračunaju korištenjem izraza: dBD (5.89) Za element 1 naponi su:
y
x
y
x
y
x
d
d
d
d
d
d
A
E
2
2
3
3
1
1
223311
231
231
2000
000
2
1
2
100
01
01
)1(
(5.90)
![Page 33: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/33.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
187
0
0
2,6
4,914
0
0
1020100020
20000200
01001000
35,010
013,0
03,01
20091,0
101020 66
(5.91)
2
3846,2
45,301
8,1004
1,9
1
7,21
2,2743
0,9144
cm
N
xy
y
x
(5.92)
Za element 2 naponi su:
y
x
y
x
y
x
d
d
d
d
d
d
A
E
3
3
4
4
1
1
334411
341
341
2000
000
2
100
01
01
2
1
)1(
(5.93)
2,6
4,914
8,159
5,995
0
0
0201020100
20020000
00010010
35,010
013,0
03,01
20091,0
101020 66
(5.94)
2
74,307
582,22
73,948
cm
N
xy
y
x
(5.93)
![Page 34: Metod konačnih elemenata 5.pdf · 2016-03-23 · strukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim za cijelu strukturu. Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022011817/5e7c048defd2ad1c435fbbed/html5/thumbnails/34.jpg)
Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje
188
Glavni naponi se odrede prema (5.2)
MPacmN
MPacmN
xyyxyx
12,1/8744,111
38,10/0224,1038
22
22
21
2/1
2
2
2,1