Metoda CPM/PERT

dr inż. Mariusz Makuchowski

CPM - wstęp

CPMnazwa metody pochodzi od angielskiego Critical PathMethod,

jest techniką bazującą na grafowej reprezentacji projektu,

używana jest dla deterministycznych danych.

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - modele grafowe projektu

Stosowane są dwa typy modeli grafowych:model AON (ang. activity on node)wierzchołki reprezentują operacje (zadania) dowykonania,łuki reprezentują zależności kolejnościowe pomiędzydanymi operacjami;

model AOA (ang. activity on arrow)wierzchołki reprezentują stany wykonania projektu,łuki reprezentują operacje do wykonania.

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - cele stosowania CPM

Główne cele stosowania CPM to:

wyliczenie czasu zakończenia projektu,

wyznaczenie operacji niekrytycznych, dla którychwyznacza się dopuszczalne opóźnienie, które nie będzieskutkowało opóźnieniem całego projektu,

wyznaczenie operacji krytycznych, których każde nawetminimalne opóźnienie spowoduje opóźnienie projektu.

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - obliczenia w przód i wstecz

CPM dokonuje obliczeń w dwóch fazach:obliczenia w przód,najwcześniejsze momenty rozpoczęcia operacji,ES (ang. Early Start),najwcześniejsze momenty zakończenia operacji,EF (ang. Early Finish).

obliczenia wstecz.LS (ang. Late Start)najpóźniejsze momenty rozpoczęcia operacji,LF (ang. Late Finish)najpóźniejsze momenty zakończenia operacji.

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - ES, EF, LS, LF

nazwa

czasES EF

LS LF

ES jest najwcześniejszym możliwym momentemrozpoczęcia wykonywania operacji,

EF jest najwcześniejszym możliwym momentemzakończenia wykonywania operacji,

LS jest najpóźniejszym możliwym momentem rozpoczęciawykonywania operacji, bez opóźnienia całego projektu,

LF jest najpóźniejszym możliwym momentem zakończeniawykonywania operacji, bez opóźnienia całego projektu.

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CMP - przykład: dane

czynność poprzednik czas trwaniaA - 2B - 5C A,B 1D B 6E C,D 4F D 2

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - obliczenia ES, EF

ES = najpóźniejszy z EF wszystkich poprzedników

EF = ES + czas trwania operacji.

A2

B5

C1

D6

E4

F2

start koniecstart0 0

A2?

A20 ?

A20 2

B5? ?

B50 5

C1? ?

C15 6

D6? ?

D65 11

E4? ?

E411 15

F2? ?

F211 13

koniec? ?

koniec15 15

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - obliczenia ES, EF

ES = najpóźniejszy z EF wszystkich poprzedników

EF = ES + czas trwania operacji.

A2

B5

C1

D6

E4

F2

start koniec

start0 0

A2?

A20 ?

A20 2

B5? ?

B50 5

C1? ?

C15 6

D6? ?

D65 11

E4? ?

E411 15

F2? ?

F211 13

koniec? ?

koniec15 15

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - obliczenia ES, EF

ES = najpóźniejszy z EF wszystkich poprzedników

EF = ES + czas trwania operacji.

A2

B5

C1

D6

E4

F2

start koniecstart0 0

A2?

A20 ?

A20 2

B5? ?

B50 5

C1? ?

C15 6

D6? ?

D65 11

E4? ?

E411 15

F2? ?

F211 13

koniec? ?

koniec15 15

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - obliczenia ES, EF

ES = najpóźniejszy z EF wszystkich poprzedników

EF = ES + czas trwania operacji.

A2

B5

C1

D6

E4

F2

start koniecstart0 0

A2?

A20 ?

A20 2

B5? ?

B50 5

C1? ?

C15 6

D6? ?

D65 11

E4? ?

E411 15

F2? ?

F211 13

koniec? ?

koniec15 15

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - obliczenia ES, EF

ES = najpóźniejszy z EF wszystkich poprzedników

EF = ES + czas trwania operacji.

A2

B5

C1

D6

E4

F2

start koniecstart0 0

A2?

A20 ?

A20 2

B5? ?

B50 5

C1? ?

C15 6

D6? ?

D65 11

E4? ?

E411 15

F2? ?

F211 13

koniec? ?

koniec15 15

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - obliczenia ES, EF

ES = najpóźniejszy z EF wszystkich poprzedników

EF = ES + czas trwania operacji.

A2

B5

C1

D6

E4

F2

start koniecstart0 0

A2?

A20 ?

A20 2

B5? ?

B50 5

C1? ?

C15 6

D6? ?

D65 11

E4? ?

E411 15

F2? ?

F211 13

koniec? ?

koniec15 15

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - obliczenia ES, EF

ES = najpóźniejszy z EF wszystkich poprzedników

EF = ES + czas trwania operacji.

A2

B5

C1

D6

E4

F2

start koniecstart0 0

A2?

A20 ?

A20 2

B5? ?

B50 5

C1? ?

C15 6

D6? ?

D65 11

E4? ?

E411 15

F2? ?

F211 13

koniec? ?

koniec15 15

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - obliczenia ES, EF

ES = najpóźniejszy z EF wszystkich poprzedników

EF = ES + czas trwania operacji.

A2

B5

C1

D6

E4

F2

start koniecstart0 0

A2?

A20 ?

A20 2

B5? ?

B50 5

C1? ?

C15 6

D6? ?

D65 11

E4? ?

E411 15

F2? ?

F211 13

koniec? ?

koniec15 15

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - obliczenia ES, EF

ES = najpóźniejszy z EF wszystkich poprzedników

EF = ES + czas trwania operacji.

A2

B5

C1

D6

E4

F2

start koniecstart0 0

A2?

A20 ?

A20 2

B5? ?

B50 5

C1? ?

C15 6

D6? ?

D65 11

E4? ?

E411 15

F2? ?

F211 13

koniec? ?

koniec15 15

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - obliczenia ES, EF

ES = najpóźniejszy z EF wszystkich poprzedników

EF = ES + czas trwania operacji.

A2

B5

C1

D6

E4

F2

start koniecstart0 0

A2?

A20 ?

A20 2

B5? ?

B50 5

C1? ?

C15 6

D6? ?

D65 11

E4? ?

E411 15

F2? ?

F211 13

koniec? ?

koniec15 15

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - obliczenia ES, EF

ES = najpóźniejszy z EF wszystkich poprzedników

EF = ES + czas trwania operacji.

A2

B5

C1

D6

E4

F2

start koniecstart0 0

A2?

A20 ?

A20 2

B5? ?

B50 5

C1? ?

C15 6

D6? ?

D65 11

E4? ?

E411 15

F2? ?

F211 13

koniec? ?

koniec15 15

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - obliczenia LS, LF

LF = najwcześniejszy z LS wszystkich następników

LS = LF - czas trwania operacji.

start0 0

A20 2

B50 5

C15 6

D65 11

E411 15

F211 13

?

koniec15 15

15 15

F211 13

? 15

F211 13

13 15

E411 15

? ?

E411 15

11 15

D65 11

? ?

D65 11

5 11

C15 6

? ?

C15 6

10 11

B50 5

? ?

B50 5

0 5

A20 2

? ?

A20 2

8 10

start0 0

? ?

start0 0

0 0

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - obliczenia LS, LF

LF = najwcześniejszy z LS wszystkich następników

LS = LF - czas trwania operacji.

start0 0

A20 2

B50 5

C15 6

D65 11

E411 15

F211 13

?

koniec15 15

15 15

F211 13

? 15

F211 13

13 15

E411 15

? ?

E411 15

11 15

D65 11

? ?

D65 11

5 11

C15 6

? ?

C15 6

10 11

B50 5

? ?

B50 5

0 5

A20 2

? ?

A20 2

8 10

start0 0

? ?

start0 0

0 0

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - obliczenia LS, LF

LF = najwcześniejszy z LS wszystkich następników

LS = LF - czas trwania operacji.

start0 0

A20 2

B50 5

C15 6

D65 11

E411 15

F211 13

?

koniec15 15

15 15

F211 13

? 15

F211 13

13 15

E411 15

? ?

E411 15

11 15

D65 11

? ?

D65 11

5 11

C15 6

? ?

C15 6

10 11

B50 5

? ?

B50 5

0 5

A20 2

? ?

A20 2

8 10

start0 0

? ?

start0 0

0 0

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - obliczenia LS, LF

LF = najwcześniejszy z LS wszystkich następników

LS = LF - czas trwania operacji.

start0 0

A20 2

B50 5

C15 6

D65 11

E411 15

F211 13

?

koniec15 15

15 15

F211 13

? 15

F211 13

13 15

E411 15

? ?

E411 15

11 15

D65 11

? ?

D65 11

5 11

C15 6

? ?

C15 6

10 11

B50 5

? ?

B50 5

0 5

A20 2

? ?

A20 2

8 10

start0 0

? ?

start0 0

0 0

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - obliczenia LS, LF

LF = najwcześniejszy z LS wszystkich następników

LS = LF - czas trwania operacji.

start0 0

A20 2

B50 5

C15 6

D65 11

E411 15

F211 13

?

koniec15 15

15 15

F211 13

? 15

F211 13

13 15

E411 15

? ?

E411 15

11 15

D65 11

? ?

D65 11

5 11

C15 6

? ?

C15 6

10 11

B50 5

? ?

B50 5

0 5

A20 2

? ?

A20 2

8 10

start0 0

? ?

start0 0

0 0

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - obliczenia LS, LF

LF = najwcześniejszy z LS wszystkich następników

LS = LF - czas trwania operacji.

start0 0

A20 2

B50 5

C15 6

D65 11

E411 15

F211 13

?

koniec15 15

15 15

F211 13

? 15

F211 13

13 15

E411 15

? ?

E411 15

11 15

D65 11

? ?

D65 11

5 11

C15 6

? ?

C15 6

10 11

B50 5

? ?

B50 5

0 5

A20 2

? ?

A20 2

8 10

start0 0

? ?

start0 0

0 0

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - obliczenia LS, LF

LF = najwcześniejszy z LS wszystkich następników

LS = LF - czas trwania operacji.

start0 0

A20 2

B50 5

C15 6

D65 11

E411 15

F211 13

?

koniec15 15

15 15

F211 13

? 15

F211 13

13 15

E411 15

? ?

E411 15

11 15

D65 11

? ?

D65 11

5 11

C15 6

? ?

C15 6

10 11

B50 5

? ?

B50 5

0 5

A20 2

? ?

A20 2

8 10

start0 0

? ?

start0 0

0 0

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - obliczenia LS, LF

LF = najwcześniejszy z LS wszystkich następników

LS = LF - czas trwania operacji.

start0 0

A20 2

B50 5

C15 6

D65 11

E411 15

F211 13

?

koniec15 15

15 15

F211 13

? 15

F211 13

13 15

E411 15

? ?

E411 15

11 15

D65 11

? ?

D65 11

5 11

C15 6

? ?

C15 6

10 11

B50 5

? ?

B50 5

0 5

A20 2

? ?

A20 2

8 10

start0 0

? ?

start0 0

0 0

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - obliczenia LS, LF

LF = najwcześniejszy z LS wszystkich następników

LS = LF - czas trwania operacji.

start0 0

A20 2

B50 5

C15 6

D65 11

E411 15

F211 13

?

koniec15 15

15 15

F211 13

? 15

F211 13

13 15

E411 15

? ?

E411 15

11 15

D65 11

? ?

D65 11

5 11

C15 6

? ?

C15 6

10 11

B50 5

? ?

B50 5

0 5

A20 2

? ?

A20 2

8 10

start0 0

? ?

start0 0

0 0

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - luz operacji

Co to jest całkowity luz, TF (ang.Total Float).Luz jest wartością o jaką można opóźnić rozpoczęciewykonywania operacji albo wydłużyć jej czas trwania, przyjednoczesnym zachowaniu terminu zakończenia projektu.

Jak wyznaczyć TF?TF = LS-ES = LF-EF

Co można powiedzieć o operacji dla której TF=0?Operacja taka jest operacją krytyczną, jakiekolwiekopóźnienie tej operacji spowoduje wydłużenie całego projektu.

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - ścieżka krytyczna: przykład

start0 0

0 0

A20 2

8 10

B50 5

0 5

C15 6

10 11

D65 11

5 11

E411 15

11 15

F211 13

13 15

koniec15 15

15 15

start0 0

0 00

A20 2

8 108

B50 5

0 50

C15 6

10 115

D65 11

5 110

E411 15

11 150

F211 13

13 152

koniec15 15

15 150

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - ścieżka krytyczna: przykład

start0 0

0 0

A20 2

8 10

B50 5

0 5

C15 6

10 11

D65 11

5 11

E411 15

11 15

F211 13

13 15

koniec15 15

15 15

start0 0

0 00

A20 2

8 108

B50 5

0 50

C15 6

10 115

D65 11

5 110

E411 15

11 150

F211 13

13 152

koniec15 15

15 150

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - ścieżka krytyczna: przykład

start0 0

0 0

A20 2

8 10

B50 5

0 5

C15 6

10 11

D65 11

5 11

E411 15

11 15

F211 13

13 15

koniec15 15

15 15

start0 0

0 00

A20 2

8 108

B50 5

0 50

C15 6

10 115

D65 11

5 110

E411 15

11 150

F211 13

13 152

koniec15 15

15 150

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

CPM - ścieżka krytyczna: własności

Własności ścieżki krytycznej:

ścieżkę krytyczną tworzą operacje krytyczne (TF=0),

ścieżka krytyczna jest najdłuższą ścieżką w grafie,

może istnieć wiele ścieżek krytycznych.

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

PERT - wstęp

PERTnazwa metody PERT pochodzi od angielskiego ProgramEvaluation and Review Technique,

jest techniką bazującą na metodzie CPM,używana jest dla niedeterministycznych danych;pozwala wyznaczyć prawdopodobieństwo terminowegozakończenia projektu,pozwala wyznaczyć z zadanym prawdopodobieństwemczas trwania projektu.

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

PERT - dane

Dane projektu:

dane są operacje wchodzące w skład projektu,

dane są relacje kolejnościowe pomiędzy operacjamiprojektu,czas operacji podany jest jako trójka:a - optymistyczny,m - najbardziej prawdopodobny,b - pesymistyczny.

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

PERT - oczekiwany czas trwania operacji

Dla każdej operacji wylicza się oczekiwany czas jej trwaniaoraz jego wariancję

toper = aoper+4moper+boper6 ,

σ2oper = (boper−aoper6 )

2.

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

PERT - użycie CPM

Dla wyliczonych oczekiwanych czasów trwania operacjistosujemy metodę CPM otrzymując:

µ oczekiwany czas realizacji projektu,

σ2 wariancje czasu projektu, która jest sumą wariancjioperacji ze ścieżki krytycznej,σ2 = Σoper∈CriticalPath(σ2oper).

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

PERT - prawdopodobieństwo zakończenia projektu

Wartość oczekiwana czasu projektu wynosi µ,a prawdopodobieństwo p(t < µ) zakończenia projektu wczasie nie większym niż µ wynosi 50%.

Prawdopodobieństwo p(t < x) zakończenia projektu wterminie nie większym niż x wynosi:

p(t < x) = Φ(x − µ

σ

),

gdzie Φ jest dystrybuantą standardowego rozkładunormalnego.

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

PERT - przykład

Jakie jest prawdopodobieństwo realizacji projektu wczasie nieprzekraczającym 17 dni?

Jaki czas przeznaczyć na wykonanie projektu abyprawdpodobieństwo realizacji projektu w terminiewynosiło 99%?

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

PERT - przykład: dane

czynność poprzednik czas a czas m czas b czas t σ2

A - 1 2 3B - 2 3 4C A 1 2 3D A 1 2 3E B 3 4 5F D, E 2 4 6G C 1 3 5H C 3 5 7I F, H 5 7 9

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

PERT - przykład: użycie CPM

A

B

C

D

E F

G

H

I

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

PERT - przykład: czas t i σ2

czynność poprzednik czas a czas m czas b czas t σ2

A - 1 2 3 2 0.11B - 2 3 4 3 0.11C A 1 2 3 2 0.11D A 1 2 3 2 0.11E B 3 4 5 4 0.11F D, E 2 4 6 4 0.44G C 1 3 5 3 0.44H C 3 5 7 5 0.44I F, H 5 7 9 7 0.44

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

PERT - przykład: użycie CPM

A2

σ2 = 0.11

B3

σ2 = 0.11

C2

σ2 = 0.11

D2

σ2 = 0.11

E4

σ2 = 0.11

F4

σ2 = 0.44

G3

σ2 = 0.44

H5

σ2 = 0.44

I7

σ2 = 0.44

A20 2

σ2 = 0.11

B30 3

σ2 = 0.11

C22 4

σ2 = 0.11

D22 4

σ2 = 0.11

E43 7

σ2 = 0.11

F47 11

σ2 = 0.44

G34 7

σ2 = 0.44

H54 9

σ2 = 0.44

I711 18

σ2 = 0.44

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

PERT - przykład: użycie CPM

A2

σ2 = 0.11

B3

σ2 = 0.11

C2

σ2 = 0.11

D2

σ2 = 0.11

E4

σ2 = 0.11

F4

σ2 = 0.44

G3

σ2 = 0.44

H5

σ2 = 0.44

I7

σ2 = 0.44

A20 2

σ2 = 0.11

B30 3

σ2 = 0.11

C22 4

σ2 = 0.11

D22 4

σ2 = 0.11

E43 7

σ2 = 0.11

F47 11

σ2 = 0.44

G34 7

σ2 = 0.44

H54 9

σ2 = 0.44

I711 18

σ2 = 0.44

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

PERT - przykład: użycie CPM

A2

σ2 = 0.11

B3

σ2 = 0.11

C2

σ2 = 0.11

D2

σ2 = 0.11

E4

σ2 = 0.11

F4

σ2 = 0.44

G3

σ2 = 0.44

H5

σ2 = 0.44

I7

σ2 = 0.44

A20 2

σ2 = 0.11

B30 3

σ2 = 0.11

C22 4

σ2 = 0.11

D22 4

σ2 = 0.11

E43 7

σ2 = 0.11

F47 11

σ2 = 0.44

G34 7

σ2 = 0.44

H54 9

σ2 = 0.44

I711 18

σ2 = 0.44

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

PERT - przykład: użycie CPM

Wyniku działania metody CPM otrzymujemy:

ścieżkę krytyczną, B → E → F → I ,

µ = tB + tE + tF + tI = 3 + 4 + 4 + 7 = 18,

σ2 = σ2B +σ2E +σ2F +σ2I = 0.11+0.11+0.44+0.44 = 1.10,

σ = 1.05.

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

PERT - przykład: rozwiązanie

Prawdopodobieństwo zakończenia projektu w ciągu 17 dni:

p(t < 17) = Φ(17−µσ

) = Φ( −11.05) = Φ(−0.95) = 0.1711

wynosi 17%.

17 18

17%

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

PERT - przykład: rozwiązanie

Projekt na 99% zakończy się:

t = µ + σ · Φ−1(0.99) = 18 + 1.05 · 2.33 = 20.45

nie później niż w połowie 21 dnia.

20.4518

99%

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT

Dziękuję za uwagę

dr inż. Mariusz Makuchowski Metoda CPM/PERT