metoda diferentelor finite
TRANSCRIPT
1
1. INTRODUCERE LA METODA DIFERENŢELOR FINITE
1.1. INTRODUCERE
În multe aplicaţii ecuaţiile care descriu relaţiile între mărimi implică modificarea discretă a variabilei.
Modificarea funcţiei y(x) corespuzătoare creşterii argumentului x cu cantitatea pozitivă h se numeşte diferenţa înainte (forward difference) relativă la pasul h şi se notează ∆y(x)
( ) ( ) ( )∆y x y x h y x= + − . (1-1)
Diferenţele înainte corespunzătoare de ordin superior se definesc în acelaşi mod, iterativ,
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∆ ∆ ∆ ∆ ∆2 2 2y x y x y x h y x y x h y x h y x= = + − = + − + + , (1-2)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∆3 3 3 2 3y x y x h y x h y x h y x= + − + + + − , (1-3)
ş.a.m.d. Se numesc ecuaţii în diferenţe
De obicei se folosesc notaţii abreviate
ecuaţiile în care diferenţele se referă la o funcţie necunoscută.
( ) ( ) ( ) ( )y y x y y x h y y x h y y x kh
y y y y y y yk
k k k k k k k
0 0 1 0 2 0 0
12
2 1
2
2
= = + = + = +
= − = − ++ + +
, , , ,
, ,∆ ∆ (1-4)
1.2. OPERATORI DE DIFERENŢĂ
Pe lângă operatorul de diferenţă înainte ∆, definit de
∆y y yk k k= −+1 , (1-5)
se mai defineşte operatorul de diferenţă înapoi
∇ = − −y y yk k k 1 (1-6)
şi operatorul de diferenţă centrală
δy y yk k k= −+ −1
212. (1-7)
Se mai definesc: operatorul de creştere (deplasare)
E ,y yk k= +1 (1-8)
operatorul de mediere
( )µy y yk k k= ++ −
12 1
212
(1-9)
şi operatorul de derivare
( )D d d .y y x x xkk
= = (1-10)
2
În toate cazurile (exceptând ultimul) este implicat pasul h. Toţi aceşti operatori sunt comutativi, asociativi şi distributivi pe mulţimile R şi C. Vom
spune că doi operatori sunt egali atunci când amândoi dau acelaşi rezultat când sunt aplicaţi oricărei funcţii pentru care ambele operaţii sunt definite. Cu această interpretare, rezultă imediat relaţiile
∆
∆ ∆ ∆ ∆∇
= − ∇ = − = − = +
= = ∇ = ∇ = ∇ = = = ∇∆ =
− − −
− − −
E , E , E E , E E ,
E E , E E , E E , .
1 1 1 12
1 2
12
12
12
12
12
12
12
12
δ µ
δ δ δ δ (1-11)
1.3. APROXIMAREA DERIVATELOR PRIN DIFERENŢE
O funcţie polinomială poate fi aproximată prin seria sa Taylor
( ) ( ) ( ) ( )f x h f x h f x h f xk k k k+ = + + +1 2
2
!'
!" (1-12)
Această relaţie se mai poate scrie sub forma
E! ! ! !
,f f hD f h D f hD h D fk k k k k= + + + = + + +
1 21
1 2
2 2 2 2
(1-13)
de unde rezultă relaţia simbolică
( )E exp D ,= h (1-14)
indicând faptul că dacă operatorul exp(hD) este dezvoltat formal în seria crescătoare a puterilor operatorului de derivare D, rezultatul este operatorul de deplasare E, atunci când funcţia asupra căreia lucrează este un polinom sau atunci când seria Taylor infinită este convergentă.
Se stabilesc următoarele relaţii simbolice între operatorul de derivare şi operatorii de diferenţă
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
∆ = − ∇ = − − = − − =
= + − =
exp D , exp D , exp D exp D sh D ,
exp D exp D ch D .
h h h h h
h h h
1 1 2
2
12
12
12
12
12
12
12
δ
µ (1-15)
Prin inversarea funcţiilor şi dezvoltare în serie rezultă relaţii care permit exprimarea derivatei prin diferenţe
( ) ( )( )
( )
h D ln E ln
ln
argsh! !
= = + = − + −
= − ∇ = ∇ + ∇ + ∇ +
= = − + −
1
1
2 12 3
1 32 5
12
2 13
3
12
2 13
3
12 2
32 2
45
∆ ∆ ∆ ∆
δ δ δ δ
(1-16)
(1-17)
(1-18)
Întrucât µ δ µ δ2 14
2 14
21 1− = = +, , sau rezultă şi următoarea
( )[ ]h D argsh! !
= + = − + −2 1 13
1 25
12
14
22
32 2
5µ δ δ µδ µδ µδ (1-19)
sau explicit
3
( ) ( )( )
µδ δ δ
µδ
f f f f f
f f f f f
k k k k k
k k k k k
= + = −
= − + −
+ − + −
+ + − −
12
12 1 1
3 12 2 1 1 2
12
12
2 2
,
. (1-20)
Aplicând operatorul de derivare de două ori (sau ridicând la pătrat expresiile sibolice (1-16)...(1-18)), rezultă
h f f f f f
f f f f
f f f f
k k k k k
k k k k
k k k k
2 2 3 4 5
2 3 4 5
2 4 6 8
1112
56
1112
56
1120
190
1560
" = − + − +
= ∇ + ∇ + ∇ + ∇ +
= − + − +
∆ ∆ ∆ ∆
δ δ δ δ
(1-21)
(1-22)
(1-23)
Câteva expresii uzuale
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f x f h O h f x f h O h
f x f h f f h
f x f h O h f x f h f h O h
k k k k
k k k k
k k k k k
' , ' ,
' ,
" , " ,
≈ + ≈ ∇ +
≈ = −
≈ + ≈ − +
+ −
∆
µδ
δ δ δ
1 1
2 2 2 2 2 4 2 4
21
12
(1-24)
unde prin O(hn) se înţelege o mărime care tinde spre zero ca hn. Prin neglijarea sa se obţine o "aproximare de ordinul n".
1.4. APROXIMAREA INTEGRALELOR PRIN DIFERENŢE
O integrală definită Ipq poate fi exprimată succesiv astfel
( )I f x x h f t h fpq x ph
x qh tkp
q q p
kk
k= = =
−+
+
∫ ∫d E d E ElnE
, (1-25)
unde s-a făcut schimbarea de variabilă x = xk+th. Operatorul final obţinut poate fi exprimat cu ajutorul operatorilor ∆, ∇ sau δ şi apoi se dezvoltă în serie. Câteva rezultate cu aplicaţie mai frecventă
I h f f f f
h f f f f
I h f f f
k k k k
k k k k
k k k
0112
2 3
12
2 3
1 12 4
112
124
512
38
2 16
1180
= + − + −
= + ∇ + ∇ + ∇ +
= + − +
−
∆ ∆ ∆
,
., δ δ
(1-26)
(1-27)
(1-28)
Reţinând primii doi termeni din aceste expresii, se regăseşte formula trapezelor, respectiv formula lui Simpson.
2. METODA DIFERENŢELOR FINITE PENTRU CÂMP STAŢIONAR
4
2.1. ECUAŢIILE CÂMPULUI
Metoda va fi ilustrată pentru câmpul electric sau magnetic staţionar, în medii omogene
sau neomogene, liniare sau neliniare. Ecuaţiile câmpului se pot prezenta fie sub formă integrală, fie sub formă diferenţială:
Pentru câmpul electric static sau staţionar
( )
E s D n
E D D E E
d , d ,
rot , div , , ,Γ ΣΣ Σ∫ ∫= =
= = =
0
0
A q
Mρ εv
(2-1)
(2-2)
ultima fiind relaţia constitutivă, care poate fi funcţie de punctul curent M. Dacă mediul este anizotrop, relaţia constitutivă are caracter tensorial.
Pentru câmpul magnetic static sau staţionar
( )
H s B n
H J B B H H
d , d ,
rot , div , , ,Γ ΣΣΣ∫ ∫= =
= = =
i A
M
S 0
0 µ
(2-3)
(2-4)
ultima fiind relaţia constitutivă, care poate fi funcţie de punctul curent M. Dacă mediul este anizotrop, relaţia constitutivă are caracter tensorial.
Relaţia constitutivă poate fi neliniară şi atunci apar dificultăţi suplimentare în rezolvarea problemei de câmp, determinate de neliniaritate. În cele ce urmează se va considera că influenţa neliniarităţii este luată în consideraţie iterativ şi se abordează cazul unei iteraţii, în care neliniaritatea este "îngheţată", ea determinând numai o anumită funcţie de punct a proprietătii de material ε sau µ, stabilită pe baza stării câmpului din iteraţia anterioară.
Formele diferenţiale mai trebuie completate cu relaţiile de trecere la suprafeţe de discontinuitate, care nu se mai reproduc aici; ele rezultă, de fapt, din formele integrale. De regulă, în calcule se folosesc câmpuri auxiliare, care conduc la satisfacerea uneia dintre ecuaţii:
- potenţialul electric scalar V(M), şi atunci E = − grad ,V (2-5)
- potenţialul magnetic vector ( )A M şi atunci B A= rot . (2-6)
Pentru câmpul magnetic static J = 0 peste tot şi se poate defini un potenţial magnetic
scalar Vm(M) şi atunci H = − grad .Vm (2-7)
În cazul câmpului magnetic staţionar produs de curenţi, se mai poate folosi perechea T − Ω,
astfel H T T J= − =grad , rot ,Ω iar (2-8)
Ω(M) fiind o funcţie scalară de punct, iar ( )T M - un câmp de vectori ales astfel încât rotorul
său să coincidă cu câmpul densităţii de curent ( )J M .
Se observă că, de fapt, există numai două formulări distincte: folosind un potenţial scalar sau unul vectorial.
Tratarea potenţialului scalar va fi exemplificată în cazul câmpului electrostatic.
5
Potenţialul vector, folosit în cazul câmpului magnetic staţionar (produs de curenţi), creează anumite dificultăţi la problemele tridimensionale şi aici va fi exemplificat numai pentru câmp în 2D.
Folosind potenţialul electric scalar, se poate stabili ecuaţia cu derivate parţiale a potenţialului electric
( )div grad ,ε ρV = − v (2-9)
care, în cazul mediului liniar şi omogen (cel puţin pe porţiuni) ia forma ecuaţiei lui Poisson
∆V = −ρ εv . (2-10)
În cazul potenţialului magnetic vector se obţine ecuaţia
( )rot rot ,ν A J= (2-11)
unde cu ν = 1/µ s-a notat reluctivitatea, funcţie de H sau B şi de punct. În mediu liniar şi omogen (cel puţin pe porţiuni), cu condiţia de "etalonare" div ,
A = 0 se obţine ecuaţia lui
Poisson în formă vectorială
∆ A J= −µ . (2-12)
Atunci când problema este în 2D (plan-paralelă sau plan-radială) există un sistem de referinţă în care câmpul
J are o singură componentă, care depinde numai de coordonatele din
planul perpendicular pe acestă componentă: ( ) J u= ζ ξ ηJ , . Atunci soluţia se descrie într-un
plan perpendicular pe J şi ecuaţia vectorială se reduce la una scalară ( ( )
A u= ζ ξ ηA , , are
numai o componentă, paralelă cu J )
∆A J= −µ . (2-13) Pentru ca problema de câmp staţionar să fie formulată complet, adică să aibă soluţie
unică, mai trebuie precizate condiţiile la limită, care pot fi date sub formele cunoscute: Dirichlet, Neumann sau combinată (Robin).
2.2. METODA DIFERENŢELOR FINITE
Metoda diferenţelor finite stabileşte un sistem de ecuaţii algebrice care aproximează soluţia (de regulă funcţia potenţial) printr-un număr finit de valori în puncte discrete ale domeniului de câmp, reprezentând noduri ale unei reţele uni-, bi- sau tri- dimensionale, după cum problema este în 1D, în 2D sau în 3D. Caracterul liniar sau neliniar al sistemului algebric obţinut este dat de relaţia constitutivă.
Metoda diferenţelor finite implică alegerea unei reţele, în ale cărei noduri vor fi definite valorile funcţiei potenţial cu care se descrie soluţia. Reţeaua multidimensională se alege, de regulă, ortogonală. Ea poate fi carteziană, polară, sferică, sau chiar curbilinie. Aici se va aborda numai cazul reţelei carteziene, cea mai des folosită.
Reţeaua pote avea pas neuniform şi se recomandă ca ea să fie astfel construită încât frontiera domeniului şi liniile sau suprafeţele de discontinuitate a proprietăţilor de material să fie formate din laturi şi/sau diagonale în 2D, respectiv din feţe şi/sau patrulatere formate din muchii şi diagonale în 3D. Reţeaua cu pas constant după fiecare direcţie (o coordonată) asigură o mai bună precizie de aproximare prin diferenţe şi o convergenţă mai bună a procesului de calcul. Ecuaţiile asociate metodei diferenţelor finite se pot stabili pe două căi: aproximând ecuaţia diferenţială prin diferenţe (divizate) sau aproximând formele integrale ale ecuaţiilor câmpului.
6
2.3. APROXIMAREA ECUAŢIEI DIFERENŢIALE
A) Se consideră întâi medii liniare şi omogene (cel puţin pe porţiuni). La problema unidimensională, trebuie aproximată soluţia ecuaţiei
( )∂ ∂2 2V x f x= , (2-14)
cu f(x) cunoscută. Se aleg ca necunoscute valorile potenţialului V în punctele discrete xk, k = 1,2,...n, şi se notează V(xk)=Vk. Intâi se consideră pasul de discretizare h constant
x x k hk = +0 .
Dacă soluţia poate fi dezvoltată în serie Taylor în jurul fiecărui punct, se stabilesc relaţiile
V V h V x h V x h V x
V V h V x h V x h V x
k k k k k
k k k k k
+
−
= + + + +
= − + − +
12 2 2 3 3 3
12 2 2 3 3 3
2 3
2 3
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
! ! ,
! !
şi atunci
( ) ( )∂ ∂2 21 1
2 22V x V V V h O hk k k k≈ − + ++ − . (2-15)
Astfel se obţine ecuaţia discretă corespunzătoare nodului k
( ) ( )V V V h f xk k k k+ −− + ≈1 122 (2-16)
şi ecuaţii similare pentru toate nodurile. Relaţia obţinută este citată ca "ecuaţia în trei puncte" şi este asociată "punctului central"
de indice k. Dacă reţeaua nu are pas constant, se notează hk = xk+1 - xk şi relaţiile se modifică astfel
V V h V x h V x h V x
V V h V x h V x h V x
k k k k k k k k
k k k k k k k k
+
− − − −
= + + + +
= − + − +
12 2 2 3 3 3
1 1 12 2 2
13 3 3
2 3
2 3
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
! ! ,
! !
şi apoi
( ) ( )( ) ( ) ( )∂ ∂2 21 1 1 12V x V V h V V h h h O h
k k k k k k k k k≈ − − − + ++ − − − m . (2-17)
Se observă că în cazul reţelei cu pas neuniform eroarea de aproximare este mai mare, întrucât restul O(hm) variază liniar cu un pas mediu hm şi nu pătratic, ca în cazul pasului constant.
Pentru probleme multidimensionale se procedează în acelşi mod după fiecare direcţie (dimensiune), folosind reţele de discretizare independente. Astfel, de exemplu, pentru o reţea carteziană bidimensională, cu paşii constanţi hx, hy şi indicii k, i, se obţine aproximarea
( ) ( )( ) ( )∂ ∂ ∂ ∂2 2 2 2
1 12
1 12 2
2
2
V x V y V V V h
V V V h O hk i k i k i k i x
k i k i k i y
+ ≈ − + +
+ − + +
+ −
+ −
, , , ,
, , , , (2-18)
cu care se stabileşte imediat ecuaţia discretă corespunzătoare unui nod (k,i). Expresia obţinută este citată ca "ecuaţie în 5 puncte" şi este asociată punctului central (k,i).
Generalizarea pentru cazul tridimensional este evidentă, obţinând "o ecuaţie în 7 puncte", asociată unui punct central (k,i,j).
7
Expresiile de mai sus se simplifică dacă pasul reţelelor are aceeaşi valoare după toate coordonatele hx = hy = hz = h, fără a afecta precizia de aproximare.
Pentru reţele cu pas variabil relaţiile se stabilesc în mod similar. În "punctele centrale" (k,i,j) situate pe suprafeţe de discontinuitate a proprietăţilor de
material nu se mai pot folosi relaţiile de mai sus, ci trebuie scrise ecuaţii speciale, care exprimă relaţiile de trecere între medii diferite: conservarea componentei normale a inducţiei electrice şi a componentei tangenţiale a intensităţii câmpului electric; ultima condiţie este echivalentă cu continuitatea valorii potenţialului independent de mediu. În legătură cu exprimarea componentei normale a inducţiei apar anumite dificultăţi, care se rezolvă folosind pentru aceste componente aproximarea prin diferenţe înainte, respectiv înapoi. Aceste dificultăţi dispar la metoda aproximării formei integrale a ecuaţiilor.
B) În medii neomogene sau neliniare, proprietatea mediului care intervine în relaţia constitutivă variază o dată cu poziţia punctului în câmp şi trebuie aproximată prin diferenţe o ecuaţie diferenţială de forma
( )∂∂
ε∂∂
∂∂
ε∂∂
∂∂
ε∂∂x
Vx y
Vy z
Vz
f x y z
+
+
= , , .
Pentru ca operaţia să fie consecventă, derivatele parţiale din interiorul parantezelor ar trebui evaluate în acele puncte în care se dă şi proprietatea ε (sau µ, ν la medii magnetice). Acest fapt determină complicaţii suplimentare deosebite în aproximarea ecuaţiei diferenţiale. Cum se va arăta mai departe, metoda aproximării formei integrale satisface cu uşurinţă această cerinţă, ca şi cele legate de simularea condiţiilor la limită, fapt pentru care se recomandă folosirea ultimei metode.
2.4. APROXIMAREA FORMEI INTEGRALE A ECUAŢIILOR
Se pleacă de la forma ecuaţiilor câmpului exprimată cu ajutorul unui potenţial, scalar sau vector; în ultimul caz aici se va aborda numai cazul câmpului în 2D.
2.4.1. Câmpul electric
Pentru câmpul electric, ecuaţiile se prezintă sub forma integrală E s End , d .
a
b
a bV V A∫ ∫= − =ε ρΣΣ v (2-19)
Prima integrală se poate evalua cu o formulă de cvadratură prin diferenţe. Folosind expresia (1-28) cu diferenţe centrale pentru o componentă Eξ a intensităţii câmpului, se obţine
( ) ( ) ( )( ) ( )V V Ek k k k k kξ ξ ξ ξ ξ ξξ+ + +− ≈ + −112 1 1* , (2-20)
sau, mai concis
V V E hk k k k+ +− ≈1 1
2* , (2-21)
cu o aproximaţie de ordinul ( )2 16
212
δ Ek+ , independent de natura, omogenitatea şi liniaritatea
mediului. Fiind dată o reţea rectangulară şi valorile potenţialului V în nodurile reţelei, în acest mod
se pot determina componentele intensităţii câmpului electric de-a lungul tuturor laturilor, la mijloacele laturilor (v. fig.2-1).
Cunoscând valorile permitivităţii, care poate avea valori diferite pe ochiuri în 2D sau pe hexaedre în 3D, se pot determina inducţiile electrice corespunzătoare.
8
Fie problema de câmp în 2D, în coordonatele (x,y). Se consideră conturul rectangular Γk,i care trece prin mijloacele laturilor concurente în nodul (k,i). În modul descris mai sus se determină E E E Ek i k i k i k i+ + − −1
212
12
12
, , , ,, , , . Se notează cu εk,i permitivitatea ochiului (k,k+1,i,i+1),
cu ρk,i densitatea de suprafaţă a sarcinii pe acest ochi şi cu qk,i sarcina punctiformă din nodul (k,i). Aplicând conturului Γk,i legea fluxului electric (a doua integrală din 2-19) şi estimând integrala pe fiecare latură cu primul termen al relaţiei (1-26), se obţine ecuaţia asociată nodului central (i,k)
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]
( )
12 1 1 1
12 1 1 1
12 1 1 1 1 1
12 1 1 1 1 1
14 1 1
12
12
12
12
y y y y E
x x x x E
y y y y E
x x x x E
q x x x x
i i k i i i k i k i
k k k i k k k i k j
i i k i i i k i k i
k k k i k k k i k j
k i k i k k k i k k
− + − +
+ − + − −
− + − −
− − + − =
= + − + −
− − + +
+ − − +
+ − − − − −
− − − + − −
+ −
ε ε
ε ε
ε ε
ε ε
ρ ρ
, , ,
, , ,
, , ,
, , ,
, , , ( )[ ]( )( ) ( )[ ]( )
− +
− − − − + −
− +
+ − + − −
1 1
14 1 1 1 1 1 1
y y
x x x x y yi i
k i k k k i k k i iρ ρ, , .
(2-22)
În cazul unei reţele cu pas constant, respectiv în medii omogene, se obţin relaţii mult mai simple.
În ecuaţia (2-22) nu au fost explicitate valorile intensităţilor câmpului, dar ele se exprimă prin relaţii de forma (2-21) şi derivă din 5 valori ale potenţialului: din cel al nodului central şi din cele ale nodurilor de la extermităţile laturilor concurente în nodul central.
Fig. 2-1. Câmp electric în 2D. Fig. 2-2. Câmp magnetic în 2D.
Ecuaţia obţinută (2-22) este remarcabilă prin faptul că ea este valabilă şi pentru puncte centrale (k,i) situate pe suprafeţe de discontinuitate a proprietăţilor de material, respectiv pentru medii în care proprietăţile de material sunt funcţiune de punct (inclusiv în medii neliniare), deci nu mai trebuie folosite şi alte ecuaţii "speciale" pentru aceste zone. Cum se va vedea mai departe, o parte a aceleiaşi ecuaţii va fi folosită şi la frontierele cu condiţii Neumann.
Pentru probleme de câmp în 3D, în coordonatele (x,y,z) se scrie legea fluxului electric pe un hexaedru Σk,i,j centrat pe nodul (k,i,j), care trece prin mijloacele laturilor concurente în nodul central (k,i,j). La intersecţia laturilor reţelei cu feţele hexaedrului se calculează 6 componente ale intensităţii câmpului electric, perpendiculare pe feţele respective. In cele 8 hexaedre în care este împărţit hexaedrul principal prin suprafeţele de coordonate care trec prin nodul central, se definesc 8 conductivităţi, cu ajutorul cărora se determină inducţiile electrice (6*4=24 valori) şi apoi se calculează fluxurile electrice ale feţelor. In sfârşit se pot determina şi sarcinile punctuale, de volum şi de suprafaţă care intervin în membrul drept.
9
Ecuaţia astfel obţinută are aceleaşi proprietăţi ca cea în 2D, dar are 24 termeni în membrul stâng şi se exprimă cu ajutorul potenţialelor a 7 noduri: cel al nodului central şi cele ale nodurilor de la extremităţile laturilor concurente în nodul central.
Metoda aproximării formei integrale a ecuaţiilor are deci două etape, corespunzătoare celor două ecuaţii din (2-19):
- în prima se calculează la mijlocul fiecărei laturi a reţelei componenta intensităţii câmpului electric din lungul acelei laturi, cu care se pot calcula componentele longitudinale ale inducţiilor electrice din toate diedrele adiacente;
- în a doua etapă se calculează fluxul electric prin suprafeţe care trec perpendicular prin mijloacele laturilor reţelei în jurul câte unui nod "central". Pentru membrul drept se calculează sarcina electrică conţinută de aceste suprafeţe.
2.4.2. Câmpul magnetic
Pentru câmpul magnetic, în 2D, potenţialul vector are o singură componentă - fie ea după axa z - şi atunci
( ).,grad yx, yxA×−= kB
(2-23)
Câmpul magnetic va fi cuprins în planul z = const. Se notează cu Sn un versor în planul
z = const, perpendicular pe elementul de arc sd , astfel încât produsul vectorial Snk × să fie
omoparalel cu sd . Atunci ecuaţiile câmpului magnetic în formă integrală sunt
.,d Sba
b
a Σ=ν−= ∫∫ Σ
iAVV dnBsH (2-24)
Prima integrală se calculează cu primul termen al formulei de cvadratură (1-28) şi pentru componenta Bη a câmpului, perpendiculară pe segmentul ξk,k+1, dă rezultatul
( ) ( ) ( )( )( ),1121
1 kkkkkk BAA ξ−ξξ+ξ≈ξ−ξ ++η+ (2-25)
sau mai concis
,211 kkkk hBAA
+η+ ≈− (2-26)
cu o aproximaţie de ordinul ( ),221
261
+ηδ kB independent de natura, omogenitatea şi liniaritatea
mediului. Fiind dată o reţea rectangulară şi valorile potenţialului A în nodurile reţelei, în acest mod
se pot determina componentele inducţiei magnetice perpendiculare pe laturi, la mijloacele laturilor (v. fig.2-2).
Cunoscând valorile reluctivităţii, care poate avea valori diferite pe cele patru ochiuri adiacente, se pot determina intensităţile corespunzătoare ale câmpului magnetic.
Fie problema de câmp în 2D, în coordonatele (x,y). Se consideră conturul rectangular Γk,i care trece prin mijloacele laturilor concurente în nodul (k,i). În modul descris mai sus se determină .,,,
21
21
21
21 ,,,, −η−η+η+η ikikikik BBBB Se notează cu ℜk,i reluctivitatea ochiului
(k,k+1,i,i+1), cu Jk,i densitatea de curent pe suprafaţa acestui ochi şi cu ik,i curentul conductorului filiform din nodul (k,i). Aplicând conturului Γk,i teorema lui Ampčre (a doua integrală din 2-24) şi estimând integrala pe fiecare latură cu primul termen al relaţiei (1-26), se obţine ecuaţia corespunzătoare nodului central (i,k)
10
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]( )( ) ( )[ ]( ).111,11,14
1
11,11,41
,
,1,11,1121
,1,11,1121
,,11,121
,,11,121
21
21
21
21
−+−−−−
+−−+
−η−+−=−
−η−−−−+
+η−−+
+η+−−
−−+−+
+−−+−+=
=ℜ−+ℜ−−
−ℜ−+ℜ−−
−ℜ−+ℜ−+
+ℜ−+ℜ−
iikkikkkik
iikkikkkikik
ikikkkikkk
ikikiiikii
ikikkkikkk
ikikiiikii
yyxxJxxJyyxxJxxJi
Bxxxx
Byyyy
Bxxxx
Byyyy
(2-27)
În cazul unei reţele cu pas constant, respectiv în medii omogene, se obţin relaţii mult mai simple.
În ecuaţia (2-27) nu au fost explicitate valorile intensităţilor câmpului, dar ele se exprimă prin relaţii de forma (2-26) şi derivă din 5 valori ale potenţialului: din cel al nodului central şi din cele ale nodurilor de la extermităţile laturilor concurente în nodul central.
Ecuaţia obţinută (2-27) este remarcabilă prin faptul că ea este valabilă şi pentru puncte centrale (k,i) situate pe suprafeţe de discontinuitate a proprietăţilor de material, respectiv pentru medii în care proprietăţile de material sunt funcţiune de punct (inclusiv în medii neliniare), deci nu mai trebuie folosite şi alte ecuaţii "speciale" pentru aceste zone. Cum se va vedea mai departe, o parte a aceleiaşi ecuaţii va fi folosită şi la frontierele cu condiţii Neumann. Metoda aproximării formei integrale a ecuaţiilor are deci două etape, corespunzătoare celor două ecuaţii din (2-24):
- în prima se calculează la mijlocul fiecărei laturi a reţelei componenta inducţiei magnetice perpendiculară pe acea latură, cu care se pot calcula componentele transversale ale intensităţilor câmpului magnetic în cele două diedre adiacente;
- în a doua etapă se calculează circulaţia intensităţii câmpului magnetic (tensiunea magnetomotoare) pe conturul care trece prin mijloacele laturilor reţelei în jurul câte unui nod "central". Pentru membrul drept se calculează curentul electric care trece prin suprafaţa sprijinită pe acest contur.
Notă. Pentru un câmp magnetic în 3D s-ar putea proceda în mod asemănător, cu observaţia că în acest caz potenţialul vector are trei componente, care trebuie să îndeplinească o condiţie de etalonare (de obicei divergenţă nulă). Atunci a doua ecuaţie din (2-24) ar trebui scrisă pe trei contururi, dar pentru a nu obţine un sistem cu mai multe ecuaţii decât necunoscute, condiţia de etalonare trebuie folosită ca relaţie de eliminare etc, ceea ce complică foarte mult aplicarea. Din această cauză la problemele de câmp magnetic în 3D se preferă metoda T-Ω sau similară, în care apare numai o funcţiune scalară (Ω) ca necunoscută.
2.5. SIMULAREA CONDIŢIILOR LA LIMITĂ
Condiţiile la limită sunt de trei feluri: Dirichlet, Neumann sau mixte. Ultimele apar mai rar la câmpurile electrice şi magnetice staţionare.
Dacă condiţia Dirichlet - cu potenţial dat - este pusă în puncte care coincid cu noduri ale reţelei, nodurile respective au potenţialul cunoscut, pentru aceste noduri nu se scrie ecuaţia în care ar apărea ca nod central, iar termenii celorlalte ecuaţii care conţin potenţialele cunoscute trec în membrul drept al sistemului (cu semn schimbat).
Dacă condiţia Dirichlet este dată în puncte care nu coincid cu noduri ale reţelei, se pot stabili relaţii de legătură cu potenţialele nodurilor vecine, folosind, de regulă, interpolări liniare. Prin introducerea acestor noi relaţii se strică simetria sistemului de ecuaţii, ceea ce are
11
influenţe importante asupra metodei de rezolare şi asupra spaţiului de stocare necesar. Din aceste motive se evită această împrejurare, alegând o reţea adaptată frontierei.
Nodurile aflate pe frontiera cu condiţie Neumann au potenţiale variabile (necunoscute a priori).
Dacă condiţia Neumann - adică cu derivata după normală dată - este în noduri ale reţelei, ea poate fi luată în consideraţie cu uşurinţă la metoda aproximării formei integrale a ecuaţiilor, întrucât mărimea impusă reprezintă fie intensitatea unui câmp electric, fie intensitatea unui câmp magnetic (când se foloseşte un potenţial magnetic scalar), fie o inducţie magnetică, mărimi care intervin direct în forma integrală a ecuaţiilor şi se iau în consideraţie fără nici o dificultate. In fig. 2-3 s-a figurat o reţea şi trei zone (A, B, C) în care se dau condiţii la limită tip Neumann pe segmentele de frontieră marcate cu săgeţi.
Fig. 2-3. Punerea condiţiilor Neumann în diferite vecinătăţi.
De exemplu, pentru un domeniu cu câmp electric, dacă în nodul 6 din zona A se dă E6 = ∂V/∂x, atunci în ecuaţia asociată nodului central 6 se vor include numai termenii corespunzători domeniului de câmp (nodurile 1, 6, 7, 11, cu ariile şi permitivităţile din ochiurile 1-2-7-6 şi 6-7-12-11), iar la membrul drept se va aduna fluxul electric care intră prin porţiunea de frontieră cuprinsă între nodul central 6 şi mijloacele laturilor 1-6 şi 6-11, adică E6(ε1+ε6)hy/2, permitivităţile fiind numerotate după nodul stânga-jos al ochiului.
In zona B, ecuaţia nodului central 19 va cuprinde termenii corespunzători nodurilor 14, 18, 19, 20, cu ariile şi permitivităţile din ochiurile 18-13-14-19 şi 19-14-15-20, iar la membrul drept se adună fluxul electric care intră prin porţiunea de frontieră cuprinsă între nodul central 19 şi mijloacele laturilor 18-19 şi 19-20, adică –E19(ε13+ε14)hx/2, unde E19 = ∂V/∂y în nodul 19.
In zona de colţ C, ecuaţia nodului central 16 va include numai termenii corespunzători nodurilor 11, 12, 16, 17, cu aria şi permitivitatea ochiului 11-12-17-16, iar la membrul drept se adună fluxul electric care intră prin porţiunea de frontieră cuprinsă între nodul 16 şi mijloacele laturilor 11-16 şi 16-17.
Dacă condiţia tip Neumann este pusă unui domeniu de câmp magnetic staţionar, în care se foloseşte potenţialul magnetic vector, ecuaţia nodului aflat pe frontieră corespunde unei integrale de contur, care se efectuează numai pe porţiunea de contur aflată în domeniul de câmp şi se completează cu tensiunea magnetică stabilită cu condiţia la limită. Deci pentru zona A se adună în membrul drept B6(ℜ1+ℜ6)hy, unde B6 = ∂A/∂x în nodul 6, iar pentru zona B se adună în membrul drept B19(ℜ13+ℜ14)hx, unde B19 = ∂A/∂y în nodul 19. Pentru zona C vor interveni două inducţii tangenţiale etc.
12
2.6. SISTEMUL DE ECUAŢII ŞI REZOLVAREA
Necunoscutele problemei de câmp descrisă cu ajutorul diferenţelor finite sunt potenţialele nodurilor interioare şi ale nodurilor de pe porţiunile de frontieră cu condiţii Neumann. Pentru fiecare nod cu potenţial necunoscut se scrie câte o ecuaţie, corespunzătoare cazului în care acel nod este considerat central. Se obţine, astfel, un sistem algebric liniar cu atâtea ecuaţii câte necunoscute. În cazul când întreaga frontieră este numai cu condiţii Neumann, trebuie fixat potenţialul unui nod oarecare (condiţie Dirichlet), altfel soluţia nu este unică şi pot apărea dificultăţi de calcul numeric.
Dacă toate condiţiile la limită sunt precizate în noduri ale reţelei, atunci sistemul de ecuaţii algebrice obţinut este simetric şi pozitiv definit. Pentru rezolvarea sa se pot folosi metode directe (eliminare Gauss, factorizare Choleschi etc) sau iterative (SOR = Suprarexare succesivă, gradient conjugat etc). Cea mai simplă din punct de vedere al programării este SOR. Fie sistemul de ecuaţii prezentat sub forma
,. bVM = (2-28)
în care M este matricea (pătrată a) sistemului, V este vectorul potenţialelor necunoscute, iar b este vectorul termenilor sursă. Se notează cu D matricea diagonalei principale a matricei M şi atunci sistemul de poate prezenta sub forma adecvată calculului iterativ
( )( ) '.1 bNVbDVDMDV 1 +=+−= −− (2-29)
Se demonstreză că pentru sisteme de ecuaţii stabilite cu metoda diferenţelor finite matricea N este pozitiv definită şi are raza spectrală subunitară, adică permite un calcul iterativ convergent. Relaţia de calcul iterativ în forma Jacobi este
( ) ( ) '.bNVV k1k +=+ (2-30)
Efectuarea unei iteraţii comportă multiplicarea vectorului soluţie V(k) de la iteraţia k cu matricea N şi adunarea cu termenul liber b', adică calcule simple. Totuşi metoda necesită rezervarea de spaţiu pentru doi vectori soluţie, V(k) şi V(k+1), iar apoi transferul celui de al doilea vector în primul, pentru reluarea calculelor la pasul iterativ următor.
Componentele noului vector soluţie se calculează succesiv. Componenta de ordin p a soluţiei este calculată făcând produsul scalar al soluţiei existente cu linia p a matricei N
( ) ( ) ( ) ( ).'::, ppp bVNV += (2-31)
Pentru eliminarea vectorului soluţie suplimentar V(k+1) noua componentă se poate stoca în spaţiul rezervat vechiului vector. Astfel se obţine schema de calcul Gauss-Seidel, care se poate prezenta sub o formă matriceală.
Fie matricea M descompusă în forma
,UDLM ++=
în care L şi U sunt matrici strict inferior şi superior triunghiulare. Atunci procesul iterativ Gauss-Seidel se descrie prin relaţia
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).',,,1
1
1piipiipppp
N
pi
p
ibVUVLVD +−−= ∑∑
+=
−
=
Întrucât componentele 1,...,p-1 ale vectorului soluţie sunt "noi", prima sumă trece în membrul stâng şi relaţia devine
13
( ) ( ) ( ) ( ) '.111 bDLUVDLV −−+ +++−= kk (2-32)
Şi în acest caz iteraţiile sunt convergente, iar matricea de iterare (- (L+D)-1 U) are o rază spectrală mai mică decât matricea de iterare Jacobi, adică convergenţa este mai rapidă.
Relaţia de iterare se mai pune sub forma ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ).,'
11
111
++
−−+
∆+=
−+++−=∆kkk
kkk
VVVVbDLUVDLV (2-33)
Norma vectorului variaţie de la o iteraţie la alta ∆V(k+1) este o măsură a convergenţei. Când norma este nulă s-a atins soluţia "exactă". Dacă convergenţa este în progresie geometrică atunci "eroarea" faţă de soluţie se estimează prin raportul
( ) ( ) ( ) .11 kkk VVV ∆−∆∆=ε ++ (2-34)
În relaţia (2-34) se poate folosi orice normă. Este simplă şi cu semnificaţie bine precizată norma max(abs), care determină maximul valorii absolute a componentelor vectorului variaţie. Convergenţa se îmbunătăţeşte prin suprarelaxare succesivă (SOR = successive over-relaxation), cu relaţia
( ) ( ) ( ) ,11 ++ ∆ω+= kkk VVV (2-35)
unde ω este factorul de relaxare, cu valori între 0 şi 2; pentru ω ∈ (1,2) este suprarelaxare (iteraţiile sunt divergente la ω ≥ 2), iar pentru ω ∈ (0,1) este subrelaxare. Ultima se foloseşte la stabilizarea unor procese iterative neliniare, altfel instabile (divergente).
Pentru suprarelaxare în cazul sistemelor rezultate din metoda diferenţelor finite se lucrează cu ω = 1,7...1,95 cu valori mai mari la sisteme mari. Există o teorie pentru determinarea factorului de suprarelaxare optim ωo, care asigură cea mai rapidă convergenţă.
Rata de convergenţă asimptotică (la număr mare de iteraţii) este în relaţie directă cu raza spectrală ρ a matricii de iterare. Intr-adevăr, fiecare iteraţie multiplică vectorul eroare cu matricea de iterare. Prezentând matricea de iterare sub forma sa modală, rezultă că la iteraţia de ordinul p valorile proprii se prezintă ridicate la puterea p. Astfel după un număr mare de iteraţii va rămâne predominantă numai cea mai mare valoare proprie - raza spectrală. Mai departe procesul iterativ continuă după o progresie geometrică, cu raţia ρ.
Fie δω = ω - ωo abaterea factorului de relaxare de la valoarea optimă. La apropierea de optim prin valori mai mici, δω < 0 sau ω < ωo, rata de convergenţă variază mult cu δω, pe când la depăşirea valorii optime δω > 0 se obţine o variaţie mult mai lentă şi aproape proporţională cu δω a ratei de convergenţă, iar soluţia iterativă începe să oscileze în jurul soluţiei exacte.
Soluţia se consideră aproximată cu eroarea ε dată de (2-34). Atunci când eroarea scade sub o valoare tolerată, se consideră atinsă soluţia "satisfăcătoare", adică este rezolvat sistemul.