Metode Akolade (Bracketing Method)

MAYDA WARUNI K, ST, MT

Metode Akolade (Bracketing Method)

• Sebuah fungsi berdasarkan jenisnya akan berubah tanda di sekitar suatu harga akar.

• Teknik ini dinamakan metode akoladi (bracketing method), karena dibutuhkan 2 tebakan awal untuk akar.

• Sesuai namanya, tebakan tersebut harus “dalam kurung” atau berada pada kedua sisi nilai Akar.

A. METODE GRAFIK

• Untuk memperoleh taksiran akar persamaan f(x) = 0 ialah dengan membuat grafik fungsi itu dan mengamati dimana ia memotong sumbu x.

• Titik ini, yang menyatakan harga x untuk f(x) = 0, memberikan suatu pendekatan kasar dari akar tersebut.

Contoh soal

• Gunakan pendekatan grafik untuk memperoleh suatu akar persamaan dari f(x) = e-x – x.

• Solusinya yang kita peroleh dapat disajikan dalam tabel dan gambar seperti berikut ini.

X f(x)0 1,00

0,1 0,800,2 0,620,3 0,440,4 0,270,5 0,110,6 -0,050,7 -0,200,8 -0,350,9 -0,49

1 -0,63

Hasil grafik

• Pada gambar terlihat grafik f(x) = e-x – x terhadap x. Akar sesuai dengan harga x

• dimana f(x) = 0, yaitu titik dimana fungsi memotong sumbu x. Pemeriksaan secara visual mengenai plot memberikan taksiran kasar 0,57.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

akar = 0,57

• Kecocokan taksiran visual dapat dicek dengan memasukkan harga itu ke dalam persamaanawal agar memenuhi:f(0,57) = e-0,57 – 0,57 = -0,0045 yang mendekati nol.

• Teknik grafik praktis digunakan, dan dapat memberikan taksiran akar secara kasar, tapi tidak presisi. Ia dapat digunakan sebagai tebakan awal dalam metode numerik.

xi

xi

xixu

xu

xu

bagian (a) dan (c) menunjukkan bahwa bila f(xl) dan f(xu) mempunyai tanda yang sama, tidak akan ada akar-akar atau akar dalam jumlah genap pada interval.

Bagian (b) dan (d) menunjukkan bahwa bila fungsi mempunyai tandayang berbeda pada kedua titik ujung, akan terdapat akar dalam jumlah ganjil pada interval.

B. Metode bagi dua (BISEKSI)• Pada teknik grafik sebelumnya, terlihat bahwa f(x)

berganti tanda pada kedua sisi yang berlawanan dari kedudukan akar.

• Pada umumnya, kalau f(x) nyata (real) dan kontinu dalam interval dari xi hingga xu, serta f(xi) dan f(xu) berlainan tanda, yakni:f(xi). f(xu) < 0

• Maka terdapat sekurang-kurangnya 1 akar nyata diantara xi dan xu

• Metode Bagidua (biseksi), disebut juga pemotongan biner (binary chopping), pembagian 2 (interval halving) atau metode Bolzano

Algoritma biseksi

contohGunakan Bagidua (biseksi) untuk menentukan akar dari f(x) = e-x - x.Step (1)Dari grafik fungsi harga akar terletak diantara 0 dan 1. sehingga xi = 0 hingga xu = 1.

Taksiran ini menunjukkan kesalahan dari harga sebenarnya adalah 0,56714329…:Et = 0,56714329 – 0,5 = 0,06714329atau dalam bentuk relatif:

Step (2)taksiran awal Xr = (0 + 1)/2 = 0,5

Step (3) F(xi)f(xu)< 0dimana indeks t menunjukkan bahwa kesalahan diacu terhadap harga sebenarnya. Lalu:f(0) f(0,5) = (1) (0,10653) = 0,10653yang lebih besar dari nol, dengan sendirinya tak ada perubahan tanda terjadi antara xi dan xr.

step 1 step 2 step 3 keteranganxi xu xr Єt |Єt|(%) f(xi) f(xr) f(xi)f(xr)<0

0 1 0,5 0,067143 11,83886 1,00 0,106531 0,106531 > 0 xu tetap0,5 1 0,75 -0,18286 -32,2417 0,106531 -0,277633 -0,02958< 0 0,5 0,75 0,625 -0,05786 -10,2014 0,106531 -0,089739 -0,00956< 0 0,5 0,625 0,5625 0,004643 0,818715 0,106531 0,007283 0,000776 > 0 xu tetap

Hasil akhirstep 1 step 2 step 3

keteranganxi xu xr Єt |Єt|(%) f(xi) f(xr)

f(xi)f(xr)<0

0,000000 1,000000 0,500000 0,067143 11,838858 1,000000 0,106531 1,E-01 > 0 xu tetap0,500000 1,000000 0,750000 -0,182857 -32,241713 0,106531 -0,277633 -3,E-02< 0 0,500000 0,750000 0,625000 -0,057857 -10,201427 0,106531 -0,089739 -1,E-02< 0 0,500000 0,625000 0,562500 0,004643 0,818715 0,106531 0,007283 8,E-04 > 0 xu tetap0,562500 0,625000 0,593750 -0,026607 -4,691356 0,007283 -0,041498 -3,E-04< 0 0,562500 0,593750 0,578125 -0,010982 -1,936320 0,007283 -0,017176 -1,E-04< 0 0,562500 0,578125 0,570313 -0,003169 -0,558802 0,007283 -0,004964 -4,E-05< 0 0,562500 0,570313 0,566406 0,000737 0,129957 0,007283 0,001155 8,E-06 > 0 xu tetap0,566406 0,570300 0,568353 -0,001210 -0,213299 0,001156 -0,001895 -2,E-06< 0 0,566406 0,568353 0,567380 -0,000236 -0,041649 0,001156 -0,000370 -4,E-07< 0 0,566406 0,567380 0,566893 0,000250 0,044132 0,001156 0,000392 5,E-07 > 0 xu tetap0,566893 0,567400 0,567147 -0,000003 -0,000566 0,000392 -0,000005 -2,E-09< 0 0,566893 0,567147 0,567020 0,000123 0,021739 0,000392 0,000193 8,E-08 > 0 xu tetap0,567020 0,567147 0,567084 0,000060 0,010542 0,000193 0,000094 2,E-08 > 0 xu tetap0,567084 0,567147 0,567115 0,000028 0,004944 0,000094 0,000044 4,E-09 > 0 xu tetap0,567115 0,567147 0,567131 0,000012 0,002145 0,000044 0,000019 8,E-10 > 0 xu tetap0,567131 0,567147 0,567139 0,000004 0,000745 0,000019 0,000007 1,E-10 > 0 xu tetap0,567139 0,567147 0,567143 0,000000 0,000046 0,000007 0,000000 3,E-12 > 0 xu tetap

C. Metode Regula Falsi (False Position)

• Disebut juga metode interpolasi linier.

Segitiga serupa yangdigunakan untuk menurunkan rumus buat metode tersebut adalah yang diarsir.

Contoh soal

• Gunakan Regula Falsi untuk menentukan akar dari f(x) = e-x - x. • Akar sesungguhnya 0,56714329.• xi = 0 dan xu = 1.

Iterasi pertamaxl = 0 　 f(xl) = 1xu = 1 　 f(xu) = -0,63212

Hasil akhiriteras

i xi xu f(xi) f(xu) xr Єt |Єt| % |Єa|% f(xi)f(xu)keterang

an

1 0 1,000000 1 -0,632121 0,612700 -0,080326 8,03263436 -0,63212 <0

2 0 0,612700 1 -0,070814 0,572181 -0,008883 0,888333192 0,070813948 -0,07081 <0

3 0 0,572181 1 -0,007888 0,567703 -0,000987 0,09872712 0,007888273 -0,00789 <0

4 0 0,567703 1 -0,000877 0,567206 -0,000110 0,01097829 0,000877392 -0,00088 <0

5 0 0,567206 1 -0,000098 0,567150 -0,000012 0,001220898 9,75727E-05 -9,8E-05 <0

6 0 0,567150 1 -0,000011 0,567144 -0,000001 0,000135834 1,08506E-05 -1,1E-05 <0

7 0 0,567144 1 -0,000001 0,567143 0,000000 1,51697E-05 1,20665E-06 -1,2E-06 <0

Perbandingan bagidua dan regula falsi

Kesalahan untuk Regula Falsi berkurang lebih cepat daripada Bagidua disebabkan rancangan yang lebih efisien untuk penempatan akar dalam Regula Falsi