METODE NUMERIK UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

AHMAD PUJI ARDI

12313079

PROGRAM STUDI TEKNIK GEOFISIKA

FAKULTAS TEKNIK PERTAMBANGAN DAN PERMINYAKAN

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2015

A.Eliminasi GaussSetiap sistem persamaan linier aljabar dapat diekspresikan secara umum sebagai

a11x1+a12 x2+ .. .+a1 n xn=b 1

a21 x1+a22 x2+. ..+a2n xn=b 2. .. . ... .. . ... .. . ..

an1 x1+an 2x2+ .. .+ann xn=b nPenyelesaian Eliminasi Gauss dilakukan melalui dua langkah utama penyelesaian

secara berurutan, yakni :

Forward Elimination of unknowns

Langkah pertama ini digunakan untuk mengurangi set persamaan sehingga nantinya terbentuk sistem triangular atas. Langkah awalnya berupa :

1. Mengeliminasi variabel pertama (x1 ) pada baris kedua sampai baris terakhir dengan cara mengurangi koefisien semua variabel pada semua

baris dengan ( an1

a11

a1 n)sehingga nantinya menghasilkan nol pada

koefisien x1 untuk baris kedua hingga terakhir . Didapatkan persamaan baris semua baris :

a11x1+a12 x2+ .. .+a1 n xn=b1

0 x1+(a22−a21

a11

a12) x2+. ..+(a2n−a21

a11

a1 n) xn=b2−a21

a11

b1

. .. . .. . .. . .. . ..

0 x1+(an 2−an 1

a11

a12)x2+ .. .+(ann−an1

a11

a1 n)xn=bn−an1

a11

b1

Atau dinyatakan dengan

a11x1+a12 x2+ .. .+a1 n xn=b1

0 x1+a '22 x2+. ..+a '2 n xn=b'2. .. . .. . ..

0 x1+a 'n2 x2+ .. .+a 'nn xn=b 'n

2. Dari hasil langkah (1), eliminasi variabel kedua (x2 ) pada baris ketiga sampai baris terakhir dengan cara mengurangi koefisien semua variabel

pada semua baris dengan ( a ' n2

a '22

a '2 n)sehingga nantinya menghasilkan nol

pada koefisien x2 untuk baris ketiga hingga terakhir. Didapatkan hasil pada semua baris :

a11x1+a12 x2+ .. .+a1 n xn=b1

0 x1+(a22−a21

a11

a12) x2+. ..+(a2n−a21

a11

a1 n) xn=b2−a21

a11

b1

0 x1+0 x2+(a ' 33−a'32

a'22

a '23) x3+.. .+(a '3 n−a '32

a'22

a ' 2n) xn=b '3−a '32

a '22

b '2

. .. . .. . .. . .. . ..

0 x1+0 x2+(a ' n3−a 'n 2

a'22

a '2 n)x3+ .. .+(a 'nn−a ' n2

a '22

a '2 n) xn=b 'n−a 'n 2

a '22

b'2

Atau dinyatakan dengan

a11x1+a12 x2+ .. .+a1 n xn=b1

0 x1+a '22 x2+. ..+a '2 n xn=b'20 x1+0 x2+. ..+a ''2n xn=b ''2. .. . .. . ..

0 x1+0 x2+. ..+a ''nn xn=b ''n

3. Lakukan langkah dengan prinsip yang sama diatas sampai menyisakan satu buah variabel dan satu buah konstanta

a11x1+a12 x2+ .. .+a1 n xn=b1

a '22 x2+. ..+a' 2 n xn=b '2a '''33 x3+.. .+a '''3 n xn=b '''3. .. . ..

ann(n−1 )xn=bn

(n−1)

Backward subtitutionSetelah mendapatkan persamaan yang terakhir cari nilai variabel terakhir tersebut dengan membagi konstanta dengan koefisien variabel tersebut

xn=bn(n−1)

ann(n−1)

Kemudian substitusikan nilai xnke persamaan diatasnya sehingga memperoleh nilai untuk variabel lainnya.

R 2−a21

a11

R1

R 3−a21

a11

R1

ROUND MAP ELIMINASI GAUSS (UNTUK MATRIKS 3X3)

[a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

⋮⋮⋮

b1

b2

b3] [a11 a12 a13

0 a '22 a '23

0 a '32 a '33

⋮⋮⋮

b1

b ' 2b '3

][a11 a12 a13

0 a '22 a'23

0 0 a rSub { size 8{33 } } {}} matrix { dotsvert {} ## dotsvert {} ## dotsvert } matrix {b rSub { size 8{1} } {} ##b' rSub { size 8{2} } {} ##b3]

x3=b rSub { size 8{3} } } over {a33a '22 x2+a ' 23 x3=b '2

x2=b '2−a '23 x3

a ' 22

a11x1+a12 x2+a13 x3=b1

x1=b1−a13 x3−a12 x2

a11

pivotpivot

R 3−a'32

a'22

R1

FORWARD ELIMINATION

BACKWARD SUBSTITUTION

R 1−a '12

1R 2

R 3−

a'32

1R 2

R 1

a11R 2−

a21

1R1

R 3−a21

1R1

R 2

a '22

R 3

a rSub {33 } } } } {¿¿¿

B.Eliminasi Gauss-JordanMetode eliminasi Gauss-Jordan merupakan modifikasi dari metode eliminasi Gauss dimana pada metode ini dilakukan normalisasi oleh koefisien pivotnya sehingga menghasilkan matrik identitas bukan lagi matriks triangular lagi seperti eliminasi Untuk lebih jelasnya dapat lihat langkah penyelesaian dengan metode Gauss-Jordan :

[a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

⋮⋮⋮

b1

b2

b3] [ 1 a ' 12 a' 13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

⋮⋮⋮

b '1b2

b3]

¿¿ [1 a ' 12 a '13

0 a ' 22 a '23

0 a ' 32 a '33

⋮⋮⋮

b '1b '2b '3

]

¿¿ ¿¿¿¿

x1=b ' rSub { size 8{1} } } {¿ x2=b ' rSub { size 8{2} } } {¿ x3=b ' rSub { size 8{3} } } {¿

R 2−a rSub {23 } } over {1} } R3}} {¿¿¿¿

R 1−a rSub {13 } } over {1} } R3}} {¿¿¿¿

C. Gauss-SiedelMetode Gauss-Siedel merupakan metode iterasi atau aproksimasi yang

mengasumsikan bahwa persoalan dianalogikan seperti matrik [A ] {X }= [B ] dengan batasan bahwa matriknya merupakan matriks 3X3, elemen diagonalnya tidak sama dengan nol, dan persamaannya bersifat konvergen.Untuk lebih jelasnya lihat langkah penyelesaian persamaan linier dengan metode Gauss-Siedel :

Sistem Persamaan Linier :a11x1+a12 x2+a13 x3=b1

a21 x1+a22 x2+a23 x3=b2

a31 x1+a32 x2+a33 x3=b3

x3=b3−a31 x1−a32 x2

a33 x2=

b2−a21 x1−a23 x3

a22 x1=

b1−a13 x3−a12 x2

a11

Iterasi pertama :

Mencari nilai x1 dengan mengasumsikan x2=0dan x3=0

x1=b1−a13 x3−a12 x2

a11 x1=

b1

a11

Mencari nilai x2 dengan mengasumsikan x3=0 dan x1 (baru)

x2=b2−a21 x1−a23 x3

a22

x2=b2−a21 x1

a22

Mencari nilai x3 dengan menggunakan nilaix2 (baru) dan x1 (baru)

x3=b3−a31 x1−a32 x2

a33

Iterasi kedua :

Mencari nilai x1 dengan menggunakan x3 (baru) dan x2 (baru)

x1=b1−a13 x3−a12 x2

a11

Mencari nilai x2 dengan menggunakan dan x1 (baru) dan x3 (baru)

x2=b2−a21 x1−a23 x3

a22

Mencari nilai x3 dengan menggunakan dan x2 (baru) dan x1 (baru)

x3=b3−a31 x1−a32 x2

a33

Iterasi selanjutnya .....Selanjutnya kita harus mengecek konvergensi dari nilai yang didapat dengan nilai sebenarnya yakni dengan rumus :

|εa , i|=|x ij−x i

j−1

x ij

|×100 %<ε s

D. LU Decomposition LU Decomposition merupakan metode dimana matriks yang berada disebelah kiri [A ]

dimanipulasi menjadi matriks lower ([ L ] ) dan matriks upper ([U ] ). Metode ini merupakan pengembangan dari eliminasi Gauss dengan eliminasi Gauss-Jordan dengan beberapa modifikasi.

[A ] {X }= [B ]

[U ] [ L ]

[ L ] {D }= [B ]

{D }

[U ] {X }= {D }

{X }

[U ]=¿¿ [ L ]= [ 1 0 0f 21 1 0f 31 f 32 1 ]

Metode Eliminasi Gaussf 21=

a21

a11 , f 31=

a31

a11 , f 32=

a '32

a '22

Aplikasi metode-metode untuk menyelesaikan persamaan linearSoal no. 9.9 halaman 272 :4 x1+x2−x3=−25 x1+x2+2 x3=46 x1+x2+x3=6

A. Menggunakan Eliminasi Gauss

Sistem persamaan : Matriks sistem persamaan

4 x1+x2−x3=−25 x1+x2+2 x3=46 x1+x2+x3=6

[4 1 −15 1 26 1 1

⋮⋮⋮

−246 ]

[4 ,00 1 ,00 −1 ,000 ,00 −0 ,25 3 ,250 ,00 −0 ,50 2 ,50

⋮⋮⋮

−2 ,006 ,509 ,00 ]

[4 ,00 1 ,00 −1 ,000 ,00 −0 ,25 3 ,250 ,00 0 ,00 −4 ,00

⋮⋮⋮

−2 ,006 ,50

−4 ,00]x3=

−4 ,00−4 ,00

=1

−0 ,25 x2+3 ,25x3=6 ,50

−0 ,25 x2+3 ,25(1)=6 ,50−0 ,25 x2=3 ,25

x2=3 ,25−0 ,25

=−13

4 x1+x2−x3=−2 ,00

4 x1+(−13 )−(1 )=−2 ,004 x1−14=−2 ,00

x1=124

=3

[4 1 −15 1 26 1 1

⋮⋮⋮

−246 ]

pivot

R 2−54R1

R 3−64R1

pivot

R 3−−0,50−0,25

R2

B. Menggunakan Gauss-Jordan

Sistem persamaan : Matriks sistem persamaan

4 x1+x2−x3=−25 x1+x2+2 x3=46 x1+x2+x3=6

[4 1 −15 1 26 1 1

⋮⋮⋮

−246 ] [1 ,00 0 ,25 −0 ,25

5 ,00 1 ,00 2 ,006 ,00 1 ,00 1 ,00

⋮⋮⋮

−0 ,504 ,006 ,00 ]

[1 ,00 0 ,25 −0 ,250 ,00 1 ,00 −13 ,000 ,00 −0 ,50 2 ,50

⋮⋮⋮

−0 ,50−26 ,00

9 ,00 ]

[1 ,00 0 ,25 −0 ,250 ,00 −0 ,25 3 ,250 ,00 −0 ,50 2 ,50

⋮⋮⋮

−0 ,506 ,509 ,00 ]

[1 ,00 0 ,00 3 ,000 ,00 1 ,00 −13 ,000 ,00 0 ,00 −4 ,00

⋮⋮⋮

6 ,00−26 ,00−4 ,00 ] [1 ,00 0 ,00 3 ,00

0 ,00 1 ,00 −13 ,000 ,00 0 ,00 1 ,00

⋮⋮⋮

6 ,00−26 ,00

1 ,00 ]

[1 ,00 0 ,00 0 ,000 ,00 1 ,00 0 ,000 ,00 0 ,00 1 ,00

⋮⋮⋮

3 ,00−13 ,00

1 ,00 ]

[4 1 −15 1 26 1 1

⋮⋮⋮

−246 ]

pivot

R 1

4 R 2−51R1

R 3−61R1

R 2

−0 ,25

pivot

R 1−0 ,251R2 R 3−−0,5

1R2

R 3

−4 ,00R 1−3

1R3

R 2−−131R3

pivot

x3=1

x2=−13

x1=3

C. Menggunakan Gauss-Siedel

Sistem persamaan :

4 x1+x2−x3=−25 x1+x2+2 x3=46 x1+x2+x3=6

x1=−2+x3−x2

4 x2=

4−5x1−2x3

1 x3=

6−6 x1−x2

1

Iterasi Pertama :

Mencari nilai x1 dengan mengasumsikan x2=0dan x3=0

x1=−2+(0)−(0 )

4 x1=

−24

=−0 ,50

Mencari nilai x2 dengan mengasumsikan x3=0 dan x1=−0,5

x2=4−5(−0,5)−2(0)

1 x2=

4+7,51

=11 ,50

Mencari nilai x3 dengan menggunakan nilaix2=11 ,50 dan x1=−0,5

x3=6−6 (−0,5 )−(11 ,5 )

1 x3=

6+3−11 ,51

=−2,5

Iterasi Kedua :

Mencari nilai x1 dengan menggunakan nilaix2=11 ,50 dan x3=−2 ,50

x1=−2+(−2,5 )−(11 ,5 )

4 x1=

−164

=−4 |εx 1,2|=87 ,5 %

Mencari nilai x2 dengan menggunakan nilaix1=−4 dan x3=−2 ,50

x2=4−5(−4 )−2(−2,5 )

1x2=

291

=29 |εx 2,2|=60 ,34 %

Mencari nilai x3 dengan menggunakan nilaix2=29 dan x1=−4

x3=6−6 (−4 )−(29 )

1x3=

11=1 |εx 3,2|=350%

Iterasi Ketiga :

Mencari nilai x1 dengan menggunakan nilaix2=29 dan x3=1

x1=−2+(1)−(29)

4x1=

−304

=−7,5 |εx 1,3|=46 ,67 %

Mencari nilai x2 dengan menggunakan nilaix1=−7,5 dan x3=1

x2=4−5(−7,5 )−2 (1 )

1x2=

39 ,51

=39 ,5 |εx 2,3|=26 ,58 %

Mencari nilai x3 dengan menggunakan nilaix2=39 ,5 dan x1=−7,5

x3=6−6 (−7,5 )−(39 ,5 )

1x3=

11 ,51

=11 ,5 |εx 3,3|=91 ,30 %D. Menggunakan LU Decomposition

Sistem persamaan : Matriks sistem persamaan

4 x1+x2−x3=−25 x1+x2+2 x3=46 x1+x2+x3=6

[A ] {X }= [B ]

[U ]= [4 1 −15 1 26 1 1 ]

[4 1 −10 −0 ,25 3 ,250 −0,5 2,5 ] [4 1 −1

0 −0 ,25 3 ,250 0 −4 ]

[U ]= [4 1 −10 −0 ,25 3 ,250 0 −4 ]

[ L ]=[ 1 0 05

41 0

64

−0,5−0 ,25

1 ] [ L ] {D }=[B ]

[U ] {X }= {D } [ 1 0 01,25 1 01,5 2 1 ]{D 1

D 2D 3 }=[−2

46 ]

[[4 1 −10 −0 ,25 3 ,250 0 −4 ]]{x 1

x 2x 3}=[−2

6,5−4 ]

D 1=−21 ,25D 1+D 2=4−2,5+D 2=4D 2=6,51,5D1+2D 2+D 3=6−3+13+D 3=6D 3=−4

{D1D2D 3 }={−2

6,5−4 }

[4 1 −15 1 26 1 1 ]{x1

x2x3 }=[−2

46 ]

R 2−54R1

R 3−64R1

R 3−−0,50−0,25

R2

−4 x3=−4x3=1−0 ,25 x2+3 ,25x3=6,5

−0 ,25 x2=3 ,25x2=−134 x1+x2−x3=−24 x1−13−1=−2x1=3

Kesimpulan dari aplikasi metode –metode tersebut pada satu soal yang sama

a. Eliminasi GaussKelebihan :

Dapat menentukan kekonsistenan sistem persamaan Mengilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap angka Lebih mudah dipecahkan

Kekurangan : Masalah akurasi nilai jika terjadi pembulatan pecahan Sulit untuk penggunaan sistem persamaan dengan variabel yang banyak

b. Gauss-JordanKelebihan :

Mengubah sistem persamaan linier menjadi matriks identitas yang sederhana

Dapat menyelesaikan persamaan dengan matriks invers Mudah dalam menyelesaikan persamaan dengan banyak variabel Dapat mengurangi kesalahan dalam perhitungan

Kekurangan : Nilai konstanta yang dimasukkan terbatas Pada keadaan tertentu, tidak dapat menunjukkan nilai x secara langsung

c. Gauss-SiedelKelebihan :

Pembulatan dapat diperkecil Ketelitiannya maksimal

Kekurangan : Hanya terbatas pada matriks 3x3 Tidak dapat menunjukkan nilai dengan baik jika sistem persamaan bersifat

divergen (hanya untuk sistem yang konvergen) Rawan terjadi kesalahan pivot

d. LU DecompositionKelebihan :

Lebih mudah dipecahkan Dapat mengurangi kesalahan dalam perhitungan Dapat menentukan kekonsistenan sistem persamaan Mudah dalam menyelesaikan persamaan dengan banyak variabel

Kekurangan : Banyak dalam penulisan variabel Butuh ketelitian lebih untuk setiap langkah penyelesaian

−4 x3=−4x3=1−0 ,25 x2+3 ,25x3=6,5

−0 ,25 x2=3 ,25x2=−134 x1+x2−x3=−24 x1−13−1=−2x1=3