metode numerik penyelesaian persamaan linier simultan
TRANSCRIPT
Penyelesaian Persamaan Linier Simultan
Persamaan Linier Simultan Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang
secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas
aij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan
xi untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan
Persamaan Linier Simultan Penyelesaian persamaan linier simultan adalah
penentuan nilai xi untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan.
AX = B Matrik A = Matrik Koefisien/ Jacobian. Vektor x = vektor variabel vektor B = vektor konstanta.
=
nnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
......
...
............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
Persamaan Linier Simultan
Persamaan Linier Simultan atau Sistem Persamaan Linier mempunyai kemungkinan solusi : Tidak mempunyai solusi Tepat satu solusi Banyak solusi
Augmented Matrix matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan
menambahkan vector B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan:
Augmented (A) = [A B]
mmnmmm
n
n
baaaa
baaaa
baaaa
...
..................
...
...
321
22232221
11131211
Contoh 1 : Seorang pembuat boneka ingin membuat dua
macam boneka yaitu boneka A dan boneka B. Kedua boneka tersebut dibuat dengan menggunakan dua macam bahan yaitu potongan kain dan kancing. Boneka A membutuhkan 10 potongan kain dan 6 kancing, sedangkan boneka B membutuhkan 8 potongan kain dan 8 kancing.
Permasalahannya adalah berapa buah boneka A dan boneka B yang dapat dibuat dari 82 potongan kain dan 62 kancing ?
Contoh 1 Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan :
x = jumlah boneka A y = jumlah boneka B
Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa: Potongan kain
10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82 Kancing
6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62
Atau dapat dituliskan dengan :10 x + 8 y = 826 x + 8 y = 62
Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan di atas.
Contoh 2 : Perhatikan potongan peta yang sudah diperbesar (zoom) sebagai
berikut :
Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus, sehingga tampak kasar.
Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi pendekatan polinomial.
Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan lebih halus.
1
2
3
4
Contoh 2 : 4 titik yang ditunjuk adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini
dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu :
Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut :Titik 1 3 = 8 a + 4 b + 2 c + dTitik 2 6 = 343 a + 49 b + 7 c + dTitik 3 14 = 512 a + 64 b + 8 c + dTitik 4 10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d
Nilai a, b, c dan d adalah penyelesaian dari permasalahan di atas.
dcxbxaxy +++= 23
Contoh 2 : Setelah nilai a, b, c dan d diperoleh maka persamaan
polinomialnya didapatkan dan dengan menggunakan step x yang lebih kecil dapat digambarkan grafiknya dengan lebih halus.
Theorema 4.1. Suatu persamaan linier simultan mempunyai
penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat-syarat sebagai berikut. Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar,
dimana jumlah persamaan sama dengan jumlah variable bebas.
Persamaan linier simultan non-homogen dimana minimal ada satu nilai vector konstanta B tidak nol atau ada bn ≠ 0.
Determinan dari matrik koefisien persamaan linier simultan tidak sama dengan nol.
Metode Analitik metode grafis aturan Crammer invers matrik
Metode Numerik Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss-Jordan Metode Iterasi Gauss-Seidel
Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang
dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas
matrik diubah menjadi augmented matrik :
nnnn
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
...
...
............
...
...
2
1
2n1
22221
11211
Metode Eliminasi Gauss ubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau
segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).
nnnnnn
n
n
n
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa
...
..................
...
...
...
321
33333231
22232221
11131211
nnn
n
n
n
dc
dcc
dccc
dcccc
...000
..................
...00
...0
...
3333
222322
11131211
Operasi Baris Elementer Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem
Persamaan Linier adalah mengganti sistem yang ada dengan sistem yang baru yang mempunyai himp solusi yang sama dan lebih mudah untuk diselesaikan
Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian step yang menerapkan 3 tipe operasi. Operasi ini disebut Operasi Baris Elementer
1. Multiply an equation through by an nonzero constant.
2. Interchange two equation. 3. Add a multiple of one equation to another.
Metode Eliminasi Gauss Sehingga penyelesaian dapat diperoleh
dengan:
( )
( )
( )nn
nn
nnnnnn
n
nn
nn
xcxcxcdc
x
xcxcxcdc
x
dxcc
x
c
dx
113212111
1
2424323222
2
1,11,1
1
...31
...1
.....................................
1
−−−−=
−−−−=
+−=
=
−−−−
−
Contoh : Selesaikan sistem persamaan berikut:
Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut :
1022
22
6
321
321
321
=++=−+
=++
xxx
xxx
xxx
−
10212
2121
6111
Contoh : Lakukan operasi baris elementer
13
12
2BB
BB
−−
−−−−
2010
4210
6111
23 BB +
−−−−
6200
4210
6111
Contoh : Penyelesaian :
( )
( ) 13261
1
23)2(41
1
32
6
1
2
3
=−−=
=−−=
=−−=
x
x
x
Echelon Forms This matrix which have following properties is in reduced row-
echelon form (Example 1, 2). 1. If a row does not consist entirely of zeros, then the first nonzero
number in the row is a 1. We call this a leader 1. 2. If there are any rows that consist entirely of zeros, then they are
grouped together at the bottom of the matrix. 3. In any two successive rows that do not consist entirely of zeros,
the leader 1 in the lower row occurs farther to the right than the leader 1 in the higher row.
4. Each column that contains a leader 1 has zeros everywhere else.
A matrix that has the first three properties is said to be in row-echelon form (Example 1, 2).
A matrix in reduced row-echelon form is of necessity in row-echelon form, but not conversely.
Example 1Row-Echelon & Reduced Row-Echelon form
reduced row-echelon form:
−
−00
00,
00000
00000
31000
10210
,
100
010
001
,
1100
7010
4001
row-echelon form:
−
−
10000
01100
06210
,
000
010
011
,
5100
2610
7341
Example 2More on Row-Echelon and Reduced Row-Echelon form All matrices of the following types are in row-echelon
form ( any real numbers substituted for the *’s. ) :
*100000000
*0**100000
*0**010000
*0**001000
*0**000*10
,
0000
0000
**10
**01
,
0000
*100
*010
*001
,
1000
0100
0010
0001
*100000000
****100000
*****10000
******1000
********10
,
0000
0000
**10
***1
,
0000
*100
**10
***1
,
1000
*100
**10
***1
All matrices of the following types are in reduced row-echelon form ( any real numbers substituted for the *’s. ) :
ContohSolusi dari Sistem Pers Linier
−4100
2010
5001
(a)
4
2-
5
===
z
y
x
Solution (a)
Anggaplah ini adalah matrik dari Sistem Persamaan Linier yang telah direduksi dengan bentuk row echelon.
Example 3Solutions of Four Linear Systems (b1)
−
23100
62010
14001
(b)
Solution (b)
2 3
6 2
1- 4
43
42
41
=+=+=+
xx
xx
xx
leading variables
free variables
Example 3Solutions of Four Linear Systems (b2)
43
42
41
3-2
2- 6
4 - 1-
xx
xx
xx
===
tx
tx
tx
tx
,32
,26
,41
4
3
2
1
=−=−=−−=
Free variabel kita misalkan dengan t. Sehingga selanjutnya dapat kita tentukan leading variabelnya.
Sistem Persamaan Linier menghasilkan banyak solusi
Example 3Solutions of Four Linear Systems (c1)
−
000000
251000
130100
240061
(c)
2 5
1 3
2- 4 6
54
53
521
=+=+=++
xx
xx
xxx
Solution (c)
1. Pada baris ke-4 semuanya nol sehingga persamaan ini dapat diabaikan
Example 3Solutions of Four Linear Systems (c2)
Solution (c)
2. Selesaikan leading variabel dengan free variabel
3. Free variabel kita misalkan dengan t (sembarang value). Sehingga Sistem Persamaan Linier menghasilkan banyak solusi
54
53
521
5-2
3- 1
4-6- 2-
xx
xx
xxx
===
tx
tx
tx
sx
tsx
=====
5
4
3
2
1
,5-2
3- 1
, 4-6- 2-
Example 3Solutions of Four Linear Systems (d)
1000
0210
0001
(d)
Solution (d):
Persamaan terakhir pada Sistem Persamaan Linier
Karena persamaan ini tidak konsisten, maka Sistem ini tidak mempunyai solusi
1000 321 =++ xxx
Example 3Solutions of Four Linear Systems (d)
1000
0210
0001
(d)
Solution (d):
the last equation in the corresponding system of equation is
Since this equation cannot be satisfied, there is no solution to the system.
1000 321 =++ xxx
Elimination Methods (1/7) We shall give a step-by-step elimination
procedure that can be used to reduce any matrix to reduced row-echelon form.
−−−−−
156542
281261042
1270200
Elimination Methods (2/7) Step1. Locate the leftmost column that does not consist
entirely of zeros.
Step2. Interchange the top row with another row, to bring a nonzero entry to top of the column found in Step1.
−−−−−
156542
281261042
1270200
Leftmost nonzero column
−−−−−
156542
1270200
281261042The 1th and 2th rows in the preceding matrix were interchanged.
Elimination Methods (3/7) Step3. If the entry that is now at the top of the column
found in Step1 is a, multiply the first row by 1/a in order to introduce a leading 1.
Step4. Add suitable multiples of the top row to the rows below so that all entires below the leading 1 become zeros.
−−−−−
156542
1270200
1463521
The 1st row of the preceding matrix was mult ipl ied by 1/2.
−−−−
29170500
1270200
1463521-2 t imes the 1st row of the preceding matrix was added to the 3rd row.
Elimination Methods (4/7) Step5. Now cover the top row in the matrix and begin
again with Step1 applied to the submatrix that remains. Continue in this way until the entire matrix is in row-echelon form.
−−−−−
29170500
1270200
1463521
The 1st row in the submatrix was mult ipl ied by -1/2 to introduce a leading 1.
−−−−
−
29170500
60100
1463521
27
Leftmost nonzero column in the submatrix
Elimination Methods (5/7) Step5 (cont.)
−−
−
210000
60100
1463521
27
-5 times the 1st row of the submatrix was added to the 2nd row of the submatrix to introduce a zero below the leading 1.
−−
−
10000
60100
1463521
21
27
−−
−
10000
60100
1463521
21
27
The top row in the submatrix was covered, and we returned again Step1.
The f irst (and only) row in the new submetrix was mult ipl ied by 2 to introduce a leading 1.
Leftmost nonzero column in the new submatrix
The entire matrix is now in row-echelon form.
Elimination Methods (6/7) Step6. Beginning with las nonzero row and working upward, add
suitable multiples of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s.
210000
100100
703021
7/2 t imes the 3rd row of the preceding matrix was added to the 2nd row.
−
210000
100100
1463521
−
210000
100100
203521-6 times the 3rd row was added to the 1st row.
The last matrix is in reduced row-echelon form.
5 times the 2nd row was added to the 1st row.
Elimination Methods (7/7) Step1~Step5: the above procedure produces a
row-echelon form and is called Gaussian elimination.
Step1~Step6: the above procedure produces a reduced row-echelon form and is called Gaussian-Jordan elimination.
Every matrix has a unique reduced row-echelon form but a row-echelon form of a given matrix is not unique.
Algoritma Metode Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss Jordan
Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal
Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3,…,dn dan atau:
nnnnnn
n
n
n
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa
...
..................
...
...
...
321
33333231
22232221
11131211
nd
d
d
d
1...000
..................
0...100
0...010
0...001
3
2
1
nn dxdxdxdx ==== ,....,,, 332211
Contoh : Selesaikan persamaan
linier simultan:
Augmented matrik dari persamaan linier simultan
Lakukan operasi baris elementer
842
3
21
21
=+=+xx
xx
842
311
−
−
110
201
110
3112/2
220
3112
21
12
BB
B
bB
Penyelesaian persamaan linier simultan :x1 = 2 dan x2 = 1
Contoh :
0 563
7 172
9 2
=−+−=−
=++
zyx
zy
zyx
0563
1342
92
=−+=−+=++
zyx
zyx
zyx
−−
0563
1342
9211
−−−
0563
17720
9211
B2-2B1
B2-2B1
B3-3B1
B3-3B1
Example 3Using Elementary row Operations(2/4)
0 113
9 2
217
27
=−−=−
=++
zy
zy
zyx
27113
177 2
9 2
−=−−=−
=++
zy
zy
zyx
−−−−
271130
17720
9211
−−−−
271130
10
9211
217
27
½ B2
½ B2 B3-3B2
B3-3B2
Example 3Using Elementary row Operations(3/4)
3
9 2
217
27
=−=−
=++
z
zy
zyx
23
21
217
27
9 2
−=−−=−
=++
z
zy
zyx
−−−−
23
21
217
27
00
10
9211
−−3100
10
9211
217
27
-2 B3
-2 B3
B1- B2
B1- B2
Example 3Using Elementary row Operations(4/4)
3
2
1
===
z
y
x
3
217
27
235
211
=−=−
=+
z
zy
zx
−−3100
10
01
217
27
235
211
3100
2010
1001
Solusi x = 1, y=2 dan z=3
B2 + 7/2 B3
B1 - 11/2 B3
B2 + 7/2 B3
B1 - 11/2 B3
Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Metode Iterasi Gauss-Seidel Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang
menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah.
Bila diketahui persamaan linier simultan
nnnnnnn
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
=++++
=++++=++++=++++
...
.............................................
...
...
...
332211
33333232131
22323222121
11313212111
Metode Iterasi Gauss-Seidel Berikan nilai awal dari setiap x i (i=1 s/d n)
kemudian persamaan linier simultan diatas dituliskan menjadi:
( )
( )
( )112211
23231212
22
2
1313212111
1
....1
...............................................................
....1
....1
−−−−−−=
−−−−=
−−−−=
nnnnnnnn
n
nn
nn
xaxaxaba
x
xaxaxaba
x
xaxaxaba
x
Metode Iterasi Gauss-Seidel
Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n) menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier simultan tersebut.
Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan.
Untuk mengecek kekonvergenan
Catatan Hati-hati dalam menyusun sistem persamaan linier
ketika menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel ini. Perhatikan setiap koefisien dari masing-masing xi
pada semua persamaan di diagonal utama (aii). Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk
setiap xi pada diagonal utama. Masalah ini adalah ‘masalah pivoting’ yang harus
benar-benar diperhatikan, karena penyusun yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan tidak diperoleh hasil yang benar.
Contoh
Berikan nilai awal : x1 = 0 dan x2 = 0 Susun persamaan menjadi:
1442
5
21
21
=+=+xx
xx
( )12
21
2144
1
5
xx
xx
−=
−=
(5,1)
(4,3/2)
(7/2,7/4)
Contoh
(13/4 , 15/8)
(25/8 , 31/16)
(49/16 , 63/32 )
(97/32 , 127/64)
Contoh : Selesaikan sistem persamaan berikut:
Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut :
1022
22
6
321
321
321
=++=−+
=++
xxx
xxx
xxx
−
10212
2121
6111
Hasil Divergen
Hasil Konvergen 6
22
1022
321
321
321
=++=−+
=++
xxx
xxx
xxx
Algoritma Metode Iterasi Gauss-Seidel
Soal Selesaikan dg Eliminasi Gauss-Jordan x1 + x2 + 2x3 = 8
-x1 – 2x1 + 3x3 = 13x1 – 7x2 + 4x3 = 10
x – y + 2z – w = -12x + y - 2z -2w = -2-x + 2y – 4z + w = 1
3x - 3w = -3
0563
1342
92
=−+=−+=++
zyx
zyx
zyx
Selesaikan dg Gauss Seidel 5x1 + 2x2 + 6x3 = 0
-2x1 + x2 + 3x3 = 0 X1 – 2x2 + x3 – 4x4 = 1
X1 + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 2X1 – 12x2 – 11x3 – 16x4 = 5
Contoh Penyelesaian Permasalahan Persamaan Linier Simultan
Mr.X membuat 2 macam boneka A dan B. Boneka A memerlukan bahan 10 blok B1 dan 2 blok B2, sedangkan boneka B memerlukan bahan 5 blok B1 dan 6 blok B2. Berapa jumlah boneka yang dapat dihasilkan bila tersedia 80 blok bahan B1 dan 36 blok bahan B2.
Model Sistem Persamaan Linier : Variabel yang dicari adalah jumlah boneka, anggap:
x1 adalah jumlah boneka Ax2 adalah jumlah boneka B
Perhatikan dari pemakaian bahan :B1: 10 bahan untuk boneka A + 5 bahan untuk boneka B = 80B2: 2 bahan untuk boneka A + 6 bahan untuk boneka B = 36
Diperoleh model sistem persamaan linier 10 x1 + 5 x2 = 802 x1 + 6 x2 = 36
Contoh 1 : metode eliminasi Gauss-Jordan
Diperoleh x1 = 6 dan x2 = 4, artinya bahan yang tersedia dapat dibuat 6 boneka A dan 4 boneka B.
Contoh 2 :Penghalusan Kurva Dengan Fungsi Pendekatan Polinomial
Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus, sehingga tampak kasar. Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi pendekatan polinomial. Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan lebih halus.
1
2
3
4
Contoh 2 : Misalkan pada contoh diatas, 4 titik yang ditunjuk
adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu :
Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut :
Titik 1 3 = 8 a + 4 b + 2 c + d Titik 2 6 = 343 a + 49 b + 7 c + d Titik 3 14 = 512 a + 64 b + 8 c + d Titik 4 10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d
Dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan
a = -0,303b = 6,39c = -36,59d = 53,04
y = -0,303 x3 + 6,39 x2 – 36,59 x + 53,04