metode runtun waktu - direktori file...
TRANSCRIPT
15 /12/2007 Entit Puspita 1
MATA KULIAH
METODE RUNTUN WAKTU
Oleh :
Entit Puspita
Nip 132086616
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
2007
15 /12/2007 Entit Puspita 2
BEBERAPA KONSEP DASAR DALAM ANALISIS RUNTUN WAKTU
DEFINISI : RUNTUN WAKTU ADALAH SUSUSNAN OBSERVASI BERURUT MENURUT WAKTU( ATAU DIMENSI YANG LAIN)
DILIHAT DARI JENIS DATA RUNTUN WAKTU DIBAGI MENJADI:a. RUNTUN WAKTU DISKRITb. RUNTUN WAKTU KONTINU
DILIHAT DARI POLANYA RUNTUN WAKTU DIBAGI MENJADI:a. DETERMINISTIKb. STOKASTIK
15 /12/2007 Entit Puspita 3
KONSEP STASIONERITAS
Himpunan data runtun waktu Z1, Z2, …,Zn yang di anggap sebagai realisasi VR Zt, diasumsikan mempunyai fkp bersama f(Z1, Z2, …, Zn). Jika struktur probabilistik fkp tidak berubah oleh adanya perubahan waktu maka runtun waktu tersebut disebut stasioner
Pada proses stasioner kita mempunyai :
- E(Zt) = μ dan kov (Zt, Zt-k) = γk
- μ adalah mean prose dan γk autokovariansi lag ke k
- Nilai μ dan γk adalah konstan untuk berbagai lag k
Himpunan {γk : k = 0, 1, 2, …, } dinamakan fungsi autokovariansi
15 /12/2007 Entit Puspita 4
FUNGSI AUTOKORELASI
Autokorelasi pada lag k didefinisikan :
0
2/1
)
)]var().[var(
,(
k
ktt
ktt
kZZ
ZZkov
Himpunan {ρk : k =0, 1, 2, 3 … }, dengan ρ0 = 1 disebut dengan Fungsi Autokorelasi (Fak)
Untuk proses normal dan stasioner , Rumus Bartlett menyatakan (dengan menganggap ρk =0) bahwa :
k
i
ik rN
r1
2 )21(1
)var(
Nilai ini digunakan untuk menguji keberartian nilai Fak, yaitu jika |rk|< 2 SE(rk) maka rk tidak berbeda secara signifikan dengan 0.
15 /12/2007 Entit Puspita 5
FUNGSI AUTOKORELASI PARSIAL
Alat lain yang digunakan dalam Analisis Runtun Waktu adalah Fungsi autokorelasi Parsial (Fakp), yang ditulis dengan {Φkk : k =1, 2, 3, …}
k
k
kkP
P
~
~*
,
|Pk*| adalah |Pk|(matrik autokorelasi runtun waktu sebanyak k) dengan kolom terakhir diganti oleh [ρ1 ρ2 … ρk]
’
1.
.....
.1
.1
.1
~
321
312
211
121
kkk
k
k
k
kP
Untuk lag yang cukup besar Quenouille memberikan rumus untuk menguji keberartian nilai Fakp, yaitu:
Var (Φkk) = 1/N
15 /12/2007 Entit Puspita 6
METODE BOX-JENKINS
Dalam Metode Box-Jenkins untuk Analisis Runtun waktu digunakan Dua Operator yaitu:
a. Operator Backshift B, dengan definsi BZt = Zt-1
b. Operator Diferensi, dengan definisi ∇Zt = Zt – Zt-1 = (1 – B)Zt
Model linier yang Sering Digunalan dalam Aanlisis Runtun Waktu :
Φ(B) Zt = θ(B) at (1)
Φ dan θ adalah polinomial, {at} adalah proses white noise ditulis
at ~ N(0;σ2a)
Persamaan (1) dapat juga ditulis dalam bentuk:
Zt = Ψ(B) at, dengan Ψ(B) = 1 + Ψ1B + Ψ2B2 + …
15 /12/2007 Entit Puspita 7
FILTER LINIER / FUNGSI TRANSFER
Bentuk Zt = Ψ(B) at, dapat diilustrasikan sebagai:
Filter linierat
Ψ(B)
Zt
Ini berarti bahwa RW Zt dapat diperoleh dengan melewatkan proses white noise at melalui filter linier dengan fungsi transfer
Ψ(B) = 1 + Ψ1B + Ψ2B2 + … . Jika barisan Ψ 1, Ψ2 …berhingga atau takberhingga tapi konvergen maka filter disebut stabil, dan runtun waktu yang dihasilkan dikatakan stasioner
15 /12/2007 Entit Puspita 8
Model dalam (1) dapat juga ditulis:
π(B) Zt = at , dengan π(B) = 1- π1B, π2B2,
… π(B) disebut fungsi pembentuk koefisien π
Hubungan antara koefisien Ψ dan π:
Ψ(B) . Π(B) Zt = Ψ(B) at = Zt
Atau Ψ(B) . Π(B) = 1 atau Ψ(B) = Π-1 (B)
Hubungan tersebut dapat digunakan untuk menurunkan koefisien Π apabila koefisien Ψ diketahui atau sebaliknya
Supaya runtun waktu pada bentuk π(B) Zt = at stasioner, maka deret Ψ(B) yang merupakan fungsi pembentuk koefisien Ψharuslah konvergen untuk |B| ≤ 1 dan dikatakan invertibel apabila
koefisien πj pada deret π(B) konvergen pada atau didalam lingkaran
satuan.
15 /12/2007 Entit Puspita 9
LANGKAH-LANGKAH ITERATIF DALAM MEMILIH MODEL
Postulasikan Kelas Umm Model
Identifikasi Model yang Diselidiki
Estimasikan Parameter dalam Model
Verivikasikan ModelApakah Model Memadai?
Forecasting
YaTidak
15 /12/2007 Entit Puspita 10
PROSES AUTOREGRESIVE (AR)
Bentuk umum Proses AR orde p (AR(p))
Zt = ϕ1Zt-1 + ϕ2Zt-2 + … + ϕpZt-p + at
Atau dapat ditulis
Φ(B) Zt = at
Dengan ϕ(B) = 1 – ϕ1B – ϕ2B2 – ϕpB
p disebut operator AR(P)
Pandang proses AR(1), Zt = ϕZt-1 + at
Ciri-ciri teoritik proses A(1)
a. Daerah stasioneritas -1< ϕ <1
b. Mean proses adalah nol
c. Fungsi autokorelasi turun secara eksponensial ρk = ϕk, k ≥ 1
d. Fungsi Autokorelasi Parsial terputus setelah lag ke 1
15 /12/2007 Entit Puspita 11
1110987654321
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0Aut
ocor
rela
tion
LBQTCorrLagLBQTCorrLag
222.91
221.35
218.21
211.09
199.53
182.04
160.34
136.35
109.21
77.94
41.29
0.35
0.51
0.79
1.04
1.34
1.59
1.81
2.12
2.62
3.56
6.23
0.16
0.22
0.34
0.44
0.55
0.62
0.66
0.71
0.77
0.85
0.91
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Fungsi Autokorelasi
1110987654321
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Part
ial A
utoc
orre
latio
n
TPACLagTPACLag
0.87
-1.20
-0.58
-2.22
-1.29
0.32
0.32
0.09
-0.49
0.84
6.23
0.13
-0.18
-0.08
-0.32
-0.19
0.05
0.05
0.01
-0.07
0.12
0.91
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Fungsi Autokorelasiu Parsial
Contoh fak dan fakp proses AR(1)
15 /12/2007 Entit Puspita 12
PROSES MOVING AVERAGE (MA(q))
Bentuk umum proses MA(q) adalah:
Zt = at + θ1at-1 + … + θqat-q, dengan at ~ N(0, σ2a) (1)
= θ(B) at
Dengan θ(B) = (1 + θ1B + … + θqBq) adalah operator MA(q)
Persamaan (1) dapat juga ditulis:
θ-1(B) Zt = Zt – π1Zt-1 - π2Zt-2 - …. = at
Atau π(B) Zt = at
Proses MA(q) dikatakan invertibel, jika koefisien πmerupakan deret yang konvergen
15 /12/2007 Entit Puspita 13
PROSES MOVING AVERAGE ORDE 1 MA(1)
Bentuk umum : Zt = at + θ1at-1
Dengan at adalah proses white noise
Ciri – ciri proses MA(1) adalah:
a. Mean = 0
b. fak adalah:
211
Dan ρk = 0, k > 1
c. Fakp adalah:
)1(2
21
1
)1()1(
k
kk
kk
15 /12/2007 Entit Puspita 14
15105
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0Auto
corr
elat
ion
LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag
26.29
26.29
26.02
25.91
24.82
20.80
20.22
18.56
17.40
17.31
15.81
15.11
15.05
15.05
14.47 -0.02
-0.34
0.21
0.70
-1.39
0.54
0.93
-0.79
-0.22
0.94
-0.65
0.19
-0.04
0.61
-3.71 -0.00
-0.06
0.04
0.12
-0.23
0.09
0.15
-0.13
-0.03
0.15
-0.10
0.03
-0.01
0.09
-0.48 15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Fungsi Autokorelasi
15105
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Part
ial A
utoc
orre
latio
n
TPACLagTPACLagTPACLag
-0.38
0.39
0.48
-0.61
-0.66
1.79
0.23
-0.96
0.73
0.56
-0.72
0.22
-0.39
-1.36
-3.71 -0.05
0.05
0.06
-0.08
-0.08
0.23
0.03
-0.12
0.09
0.07
-0.09
0.03
-0.05
-0.18
-0.48 15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Fungsi Autokorelasi Parsial
Contoh Fak dan Fakp Proses MA(1)
15 /12/2007 Entit Puspita 15
PROSES CAMPURAN (ARMA(p,q))
Bentuk umum:
Zt = ϕ1Zt-1 + … + ϕpZt-p + at + θ1at-1 + … + θqat-q
Dapat juga ditulis : ϕ(B) Zt = θ(B) at, syarat stasioneritas dan invertibilitas adalah akar-akar ϕ(B) = 0 dan θ(B) = 0 terletak di
luar lingkaran satuan.
Model ARMA dapat juga ditulis Zt = Ψ(B) atau π(B) Zt = at
Dimana Ψ(B) = ϕ-1(B) θ(B) dan π(B) = θ-1(B) ϕ(B) adalah deret
takhingga dalam B. Sehingga dengan menyatakan model ARMA dalam bentuk AR saja atau MA saja kita akan mengharapkan fakp yang kurang terus menerus.
15 /12/2007 Entit Puspita 16
MODEL ARMA (1,1)
Bentuk umum : (1-ϕB)Zt = (1 + θB)at
Syarat Stasioner dan invertibel :
-1 < ϕ < 1 dan -1 < θ < 1.
Untuk semua k berlaku:γk = ϕγk-1 + γaz(k) + θ γaz(k-1)
Sehingga
γ0 = ϕγ1 + σ2a + θ γaz(-1)
γ1 =ϕγ0 + θ σ2a
Dan
γ0 = ϕγk-1, untuk k > 1
15 /12/2007 Entit Puspita 17
RUNTUN WAKTU NONSTASIONER
Penyebab : tidak memiliki mean yang tetap
Sifat nonstasioner tersebut bersifat homogen
RW nonstasioner homogen ditunjuk -kan oleh RW selisih nilai-nilai yang berurutan adalah stasioner
Jenis Nonstasioner:– Nonstasioner dalam tingkat, dengan model ϕ(B) ∇Zt =
θ(B) at
– Nonstasioner dalam tingkat dan lerengan dengan model ϕ(B) ∇2Zt = θ(B) at
Jika kita tulis ∇dZt = Wt, maka proses ARIMA (p,d,q) untuk {Zt} merupakan proses ARMA(p,q) untuk {Wt} sehingga teori untuk runtun waktu stasioner yang telah dibicarakan berlaku pula untuk runtun waktu Wt.
15 /12/2007 Entit Puspita 18
Contoh Plot data RW Non Stasioner
10080604020
310
300
290
280
270
Index
runtun
D
10080604020
10
0
-10
Index
C2
15 /12/2007 Entit Puspita 19
10080604020
20
10
0
-10
-20
Index
C3
Keterangan gambar:
a. Plot data RW asli (nonsationer- ditunjukkan oleh adanya trend)
b. Plot data selisih pertama (sudah stasioner)
c. Plot data selisih kedua (stasioner dengan variansi yang lebih besar dari selisih pertama), artinya cukup dilakukan selisih pertama untuk membuatnya stasioner
Gambar c
15 /12/2007 Entit Puspita 20
Fak dan Fakp RW Nonstasioner(Data Asli)
25155
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0Auto
corr
elat
ion
LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag
419.10
418.91
418.23
416.80
414.17
410.63
407.15
405.21
403.99
403.26
402.80
402.53
402.53
402.38
401.25
398.64
394.09
387.89
376.54
357.63
330.65
295.79
256.97
212.21
157.36
86.22
-0.13
-0.25
-0.36
-0.49
-0.58
-0.58
-0.44
-0.35
-0.27
-0.21
-0.17
0.02
0.12
0.35
0.53
0.71
0.84
1.15
1.53
1.89
2.27
2.54
2.96
3.69
5.17
9.16
-0.04
-0.07
-0.10
-0.14
-0.16
-0.16
-0.12
-0.10
-0.07
-0.06
-0.05
0.00
0.03
0.10
0.15
0.19
0.23
0.31
0.40
0.48
0.55
0.58
0.63
0.70
0.80
0.89
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Fak RW asli
25155
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Parti
al A
utoc
orre
latio
n
TPACLagTPACLagTPACLagTPACLag
0.01
0.42
0.55
0.96
1.36
-1.03
-0.05
-0.52
0.06
0.03
-0.99
1.81
-0.46
-1.03
-1.06
1.45
-0.36
-0.78
-1.22
-1.85
0.46
1.07
0.70
-1.09
0.79
9.16
0.00
0.04
0.05
0.09
0.13
-0.10
-0.00
-0.05
0.01
0.00
-0.10
0.17
-0.04
-0.10
-0.10
0.14
-0.04
-0.08
-0.12
-0.18
0.04
0.10
0.07
-0.11
0.08
0.89
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Fakp RW asli
15 /12/2007 Entit Puspita 21
25155
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0Auto
corr
elat
ion
LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag
33.78
28.12
28.05
27.82
27.46
27.45
22.10
21.86
21.69
21.14
20.92
18.33
15.37
12.93
12.72
12.71
12.23
10.17
9.90
9.54
5.44
4.18
4.07
3.18
2.65
2.61
1.69
-0.19
-0.35
-0.44
-0.07
-1.75
0.38
0.32
0.57
-0.36
-1.28
1.40
-1.30
0.38
0.10
0.59
-1.25
0.45
-0.53
1.85
1.04
-0.31
-0.89
-0.70
0.19
-1.59
0.20
-0.02
-0.04
-0.05
-0.01
-0.20
0.04
0.04
0.07
-0.04
-0.14
0.15
-0.14
0.04
0.01
0.06
-0.13
0.05
-0.06
0.19
0.10
-0.03
-0.09
-0.07
0.02
-0.15
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Fak RW Selisih Pertama
25155
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Part
ial A
utoc
orre
latio
n
TPACLagTPACLagTPACLagTPACLag
1.32
-0.87
-0.87
0.45
-1.25
-1.90
0.67
0.67
-0.15
-0.71
-0.93
1.28
-2.05
-0.02
0.42
0.81
-0.80
0.45
-0.05
2.22
0.90
-0.68
-1.17
-0.71
-0.05
-1.59
0.13
-0.08
-0.08
0.04
-0.12
-0.18
0.07
0.07
-0.01
-0.07
-0.09
0.12
-0.20
-0.00
0.04
0.08
-0.08
0.04
-0.00
0.22
0.09
-0.07
-0.11
-0.07
-0.00
-0.15
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Fakp RW Selisih Pertama
Fak dan Fakp RW Selisih Pertama
15 /12/2007 Entit Puspita 22
25155
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0Auto
corr
elat
ion
LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag
82.98
75.92
74.85
74.85
74.79
73.32
68.53
67.08
67.06
66.63
66.63
63.06
55.05
49.86
48.89
48.74
47.35
44.29
42.49
39.65
37.17
37.12
37.00
36.88
36.78
35.45
1.50
-0.59
-0.03
-0.14
0.71
-1.31
0.73
-0.09
0.40
-0.02
-1.18
1.84
-1.52
0.66
-0.26
0.81
-1.22
0.95
-1.22
1.16
0.16
-0.26
-0.26
-0.24
0.88
-5.87
0.22
-0.09
-0.00
-0.02
0.10
-0.19
0.10
-0.01
0.06
-0.00
-0.17
0.25
-0.20
0.09
-0.04
0.11
-0.16
0.12
-0.16
0.15
0.02
-0.03
-0.03
-0.03
0.11
-0.57
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Fak RW Selisih ke-dua
25155
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Part
ial A
utoc
orre
latio
n
TPACLagTPACLagTPACLagTPACLag
-0.13
-1.89
0.20
0.24
-1.16
0.58
1.38
-1.14
-1.27
-0.49
0.02
0.27
-2.02
1.32
-0.62
-1.15
-1.69
-0.16
-1.41
-0.96
-3.58
-3.11
-2.32
-2.25
-3.32
-5.87
-0.01
-0.18
0.02
0.02
-0.11
0.06
0.13
-0.11
-0.12
-0.05
0.00
0.03
-0.20
0.13
-0.06
-0.11
-0.16
-0.02
-0.14
-0.09
-0.35
-0.30
-0.23
-0.22
-0.32
-0.57
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Fakp RW Selisih Ke-dua
Fak dan Fakp RW Selisih Ke-dua