metode simplex
DESCRIPTION
slide metode simplexTRANSCRIPT
IKG3M3 / Optimasi dan Kontrol
Dede Tarwidi
KK Pemodelan dan Simulasi
METODE SIMPLEKS 1
Merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif, yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari suatu titik ekstrim pada daerah feasible menuju ke titik ekstrim optimum.
2 1/22/2015
Metode Simpleks
Bentuk standar pemrograman linear:
maks z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
terhadap kendala
dengan xi ≥ 0 dan bi ≥ 0, i=1,2,…,n.
3 1/22/2015
Metode Simpleks (Memaksimumkan)
IKG3M3 OPTIMASI DAN KONTROL
Nilai kanan fungsi tujuan harus nol
Nilai kanan fungsi kendala harus positif. Apabila negatif, kalikan dengan -1.
Fungsi kendala dengan tanda “ ” diubah ke bentuk “ = ” dengan menambahkan variabel slack/surplus. Penambahan variabel ini menyatakan kapasitas yang tidak digunakan atau tersisa pada sumber daya tersebut.
4 1/22/2015
Beberapa ketentuan dalam metode Simpleks
Setelah ditambahkan variabel slack maka persamaan kendala menjadi
dengan si ≥ 0, i=1,2,…,n.
5 1/22/2015
Metode Simpleks
IKG3M3 OPTIMASI DAN KONTROL
Basic solution dari pemrograman linear adalah solusi berbentuk (x1,x2,…,xn,s1,s2,…,sm) dimana terdapat paling banyak m variabel tidak nol.
Basic variable adalah variabel tidak nol dari basic solution.
Basic feasible solution adalah basic solution dengan semua variabel tidak negatif.
6 1/22/2015
Metode Simpleks
Tabel yang terdiri dari matriks yang diperluas dari persamaan kendala dengan fungsi tujuan berbentuk
7 1/22/2015
Tabel Simpleks
Kode dan nama MK
8 1/22/2015
Bentuk Tabel Simpleks
maks z = 4x1 + 6x2
terhadap kendala
9 1/22/2015
Contoh 1 (Maks)
Kode dan nama MK
Tabel Simpleks untuk masalah tesebut adalah
Basic variable: s1, s2, dan s3
Nonbasic variable: x1, dan x2
10 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
Kode dan nama MK
Sehingga diperoleh solusi untuk saat ini adalah
x1 = 0, x2 = 0, s1 = 11, s2 = 27, s3 = 90.
Jadi, basic feasible solution ditulis
(x1,x2,s1,s2,s3) = (0,0,11,27,90)
11 1/22/2015
Contoh (Jawab)
Kode dan nama MK
Jika baris terakhir dari tabel Simpleks masih mengandung entri negatif maka solusi belum optimal.
Solusi optimal diperoleh jika semua entri dalam baris terakhir sudah positif semua.
12 1/22/2015
Catatan Metode Simpleks
Kode dan nama MK
Entering variable adalah entri terkecil (paling negatif) dalam baris terakhir dari tabel Simpleks.
Departing variable adalah rasio tak-negatif terkecil dari bi/aij dalam kolom yang ditentukan entering variable.
Tentukan nilai pivot yaitu entri dari perpotongan kolom entering variable dan baris departing variable.
Lakukan eliminasi Gauss-Jordan pada kolom yang mengandung pivot.
13 1/22/2015
Pivoting
Kode dan nama MK
Entering dan departing variable dari contoh 1 adalah
14 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
Kode dan nama MK
X2 adalah entering variable karena -6 adalah entri terkecil dari baris terakhir.
Mencari departing variable:
11/1 = 11, 27/1 = 27, 90/5 = 18,
rasio tak-negatif terkecil adalah 11, maka departing variable adalah s1.
Pivot adalah entri dari baris pertama kolom kedua.
15 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
Kode dan nama MK
Selanjutnya lakukan eliminasi Gauss-Jordan:
16 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
Kode dan nama MK
Setelah pivoting tabel Simpleks menjadi
(x1,x2,s1,s2,s3) = (0,11,0,16,35) dengan nilai z = 4(0) + 6(11) = 66 (belum optimal)
17 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
Kode dan nama MK
Selanjutnya tentukan entering dan departing variable yang baru, yaitu entering variable x1 dan departing variable s3. Kemudian lakukan Eliminasi Gauss-Jordan lagi.
18 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
Kode dan nama MK
Tabel Simpleks yang baru adalah
Lakukan eliminasi Gauss-Jordan sekali lagi maka diperoleh Simpleks tabel sebagai berikut.
19 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
Kode dan nama MK
Tabel Simpleks :
Diperoleh solusi optimal
(x1,x2,s1,s2,s3) = (15,12,14,0,0) dengan z = 4(15) + 6(12) = 132.
20 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
1.Tambahkan variabel slack pada kendala untuk memperoleh persamaan kendala.
2.Bentuk tabel Simpleks awal.
3.Tentukan entering column dan departing row.
4.Lakukan Eliminasi Gauss-Jordan (OBE).
5. Jika entri pada baris terakhir semuanya positif atau nol maka SELESAI. Jika tidak, kembali ke 3.
6.Nilai maksimum diperoleh dari entri baris dan kolom terakhir.
21 1/22/2015
Rangkuman Metode Simpleks (Maks)
maks z = 2x1 – x2 + 2x3
terhadap kendala
dengan x1, x2, x3 ≥ 0.
22 1/22/2015
Contoh 2 (Maks)
23 1/22/2015
Contoh 2 (Jawab)
Solusi optimal :
(x1,x2,x3,s1,s2,s3) = (5,0,5/2,0,20,0)
Nilai maksimum z = 2(5) – (0) + 2(5/2) = 15.
24 1/22/2015
Contoh 2 (Jawab)
25 1/22/2015
Contoh 3
maks z = 3x1 + 2x2 + x3
terhadap kendala
dengan x1, x2, x3 ≥ 0.
26 1/22/2015
Contoh 3 (Jawab)
s1 lebih tepat disebut artificial variable dibandingkan dengan slack variable
Solusi optimal :
(x1,x2,x3,s1,s2,s3) = (3,18,0,0,0,1)
Nilai maksimum z = 3(3) + 2(18) + (0) = 45.
27 1/22/2015
Contoh 3 (Jawab)
1.Selesaikan masalah memaksimumkan berikut:
28 1/22/2015
Latihan (Maks)
2.Selesaikan masalah memaksimumkan berikut :
29 1/22/2015
Latihan (Maks)
Masalah meminimumkan dalam bentuk standar adalah sbb:
min w = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
terhadap kendala
30 1/22/2015
Metode Simpleks (Meminimumkan)
Langkah 1: bentuk matriks yg diperluas dari persamaan kendala, kemudian pada baris terakhir tambahkan koefisien fungsi tujuan.
31 1/22/2015
Langkah-langkah Metode Simpleks (min)
Langkah 2: Transposkan matriks tersebut.
32 1/22/2015
Langkah-langkah Metode Simpleks (Min)
Langkah 3: Dari matriks hasil transpos kita peroleh dual problem sbb:
maks z = b1y1 + b2y2 + … + bmym
terhadap kendala
dengan yi ≥ 0.
33 1/22/2015
Langkah-langkah Metode Simpleks (Min)
Langkah 4: Lakukan metode Simpleks untuk dual problem seperti pada masalah memaksimumkan. Nilai maksimum dari z akan menjadi nilai minimum dari w. Selanjutnya, nilai-nilai untuk variabel-variabel x1, x2, …, xn pada baris terakhir dari tabel Simpleks terakhir pada kolom-kolom yang berkaitan dengan slack variable.
34 1/22/2015
Langkah-langkah Metode Simpleks (Min)
1. min w = 3x1 + 2x2
terhadap kendala
dengan x1, x2 ≥ 0
35 1/22/2015
Contoh 1 (Min)
Matriks yang diperluas:
Transpos dari matriks di atas adalah
36 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
Dual problem:
maks z = 6y1 + 4y2
terhadap kendala
dengan y1, y2 ≥ 0.
37 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
Lakukan metode Simpleks pada dual problem.
38 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
Dari tabel Simpleks diperoleh nilai maksimum z = 10 (untuk dual problem). Sehingga untuk masalah meminimumkan kita peroleh nilai minimum
w = 10 = 3(2) + 2(2)
terjadi pada saat x1 = 2 dan x2 = 2.
39 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
min w = 2x1 + 10x2 + 8x3
terhadap kendala
dengan
40 1/22/2015
Contoh 2 (min)
Matriks yang diperluas dan transposnya adalah
41 1/22/2015
Contoh 2 (Jawab)
Dual problem:
maks z = 6y1 + 8y2 + 4y3
terhadap kendala
42 1/22/2015
Contoh 2 (Jawab)
Selesaikan dual problem:
43 1/22/2015
Contoh 2 (Jawab)
Diperoleh nilai minimum w = 36 terjadi pada saat x1 = 2, x2 = 0, x3 = 4.
44 1/22/2015
Contoh 2 (Jawab)
1.Cari nilai minimum untuk masalah berikut.
45 1/22/2015
Latihan (Min)
2.Untuk soal berikut:
a. Selesaikan masalah
masalah meminimumkan
dengan metode grafik.
b. Buat dual problem
c. Selesaikan dual problem
menggunakan metode grafik.
46 1/22/2015
Latihan (Min)
Contoh masalah pemrograman linear yang melibatkan kendala campuran adalah sbb:
maks z = x1 + x2 + 2x3
terhadap kendala
dengan x1, x2, x3 ≥ 0.
47 1/22/2015
Metode Simpleks (Kendala Campuran)
Untuk pertidaksamaan pertama pada kendala kita tambahkan slack variable, menjadi
Sedangkan untuk pertidaksamaan kedua dan ketiga kita kurangkan dengan surplus variable, menjadi
48 1/22/2015
Metode Simpleks (Kendala Campuran)
Sehingga kita peroleh tabel Simpleks sbb.
Solusi:
Metode Simpleks belum bisa dimulai sampai
ditemukan feasible solution. 49 1/22/2015
Metode Simpleks (Kendala Campuran)
tidak feasible
Untuk mencari solusi feasible pada awal tabel Simpleks kita gunakan “trial and error”.
Solusi:
50 1/22/2015
Metode Simpleks (Kendala Campuran)
tidak feasible
Akhirnya, kita temukan solusi feasible:
Oleh karena itu, dari sini kita bisa mulai metode Simpleks seperti biasa.
51 1/22/2015
Metode Simpleks (Kendala Campuran)
Setelah sekali pivoting kita peroleh
Sehingga nilai maksimum kita peroleh z = 64 terjadi saat x1 = 0, x2 = 36, x3 = 14.
52 1/22/2015
Metode Simpleks (Kendala Campuran)
Baris terakhir sudah tidak ada yg negatif.
maks z = 3x1 + 2x2 + 4x3
terhadap kendala
dengan x1, x2, x3 ≥ 0
53 1/22/2015
Contoh 1
tabel Simpleks awal
Solusi awal tidak feasible, lakukan “trial and error” misal: departing s3 dan entering x2.
54 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
Kita temukan feasible solution:
(x1,x2,x3,s1,s2,s3) = (0,4,0,10,8,0).
Dari sini kita mulai metode Simpleks.
55 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
56 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
Nilai maksimum z = 17 terjadi saat
x1 = 0, x2 = 13/2, x3 = 1.
57 1/22/2015
Contoh 1 (Jawab)
Baris terakhir sudah tidak ada yg negatif.
min w = 4x1 + 2x2 + x3
terhadap kendala
dengan x1, x2, x3 ≥ 0
58 1/22/2015
Contoh 2
Pertama kita ubah fungsi tujuan dengan cara mengalikan dengan -1, diperoleh
z = -4x1 – 2x2 – x3 (revisi fungsi tujuan)
Memaksimumkan revisi fungsi tujuan ekivalen dengan meminimumkan fungsi tujuan yg awal.
Selanjutnya kita selesaikan masalah memaksimumkan seperti biasa.
59 1/22/2015
Contoh 2 (Jawab)
Lakukan “trial and error” untuk menemukan feasible solution. Coba departing s2 dan entering x2.
Setelah pivoting kita peroleh tabel Simpleks sbb:
60 1/22/2015
Contoh 2 (Jawab)
Kalikan persamaan ketiga dengan (-1), diperoleh feasible solution.
61 1/22/2015
Contoh 2 (Jawab)
Lakukan metode Simpleks seperti biasa.
62 1/22/2015
Contoh 2 (Jawab)
Akhirnya kita temukan nilai maksimum untuk revisi fungsi tujuan yaitu z = -2, sehingga nilai minimum untuk fungsi tujuan asal adalah
w = 2.
terjadi pada saat x1 = 0, x2 = 0, dan x3 = 2.
63 1/22/2015
Contoh 2 (Jawab)
1.
64 1/22/2015
Latihan
2.
65 1/22/2015
Latihan
THANK YOU
66 1/22/2015