METODK VSAT

ME

TO

DK

V

SA

T

2

= r h2

= r h

x

x

(e )=ex

x

(e )=e

n

e =

(1+

)

n

1n

lim

2S

= 4

r2

S=

4r

RYAZYYAT 11mumthsil mktblrinin 11-ci sinfi n

Riyaziyyat fnni zr drsliyinMETODK VSAT

Bu nrl bal irad v tkliflrinizi radius_n@hotmail.com vderslik@edu.gov.az elektron nvanlarna gndrmyiniz xahi olunur.

mkdalnz n vvlcdn tkkr edirik!

RadiusBak - 2018

Nayma QhrmanovaMhmmd Krimovbdrrhim Quliyev

Mndricat1. oxhdlilr

2. Fzada vektorlar

3. Limit

5. Funksiyann trmsi

XI sinif mzmun standartlar .............4Giri ...................................................61-ci blm zr planladrma cdvli................................................12oxhdlinin oxhdliy blnmsiQalq haqqnda teorem.......................13oxhdlinin vuruqlarhaqqnda teorem.................................20Rasional kklrin taplmas ...............21Cbrin sas teoremi............................25oxhdli funksiya. Rasional funksiya.mumildirici taprqlar .................301-ci Blm zr summativ qiymtlndirm taprqlar...............35

2-ci blm zr planladrma cdvli................................................37Drs nmunsi. Fzada dzbucaql koordinat sistemi .............................38Fzada vektorlar ..............................46ki vektorun skalyar hasili...............49Dz xttin mumi tnliyi ...................54Mstvinin tnliyi..............................55Sferann tnliyi...................................59Fzada v mstvid evrilmlr.mumildirici taprqlar .................602-ci blm zr summativ qiymtlndirm taprqlar...............63

Triqonometrik funksiyalarn daxil olduu xsusi limitlr.............79Sonsuz limitlr v sonsuzluqda limit. aquli v fqi asimptotlar ...82ddi ardclln limiti.mumildirici taprqlar ................853-c blm zr summativqiymtlndirm taprqlar ..............89

4. Frlanma fiqurlar. Silindr, konus, kr

4-c blm zr planladrma cdvli................................................90Frlanma fiqurlar. Silindr..................91Silindrin sthinin sahsi.....................92Konus. Konusun sthinin sahsi....................................94Silindrin v konusun mstviksiklri. Ksik konusun sthininsahsi..................................................97 Kr v hisslrinin sthinin sahsi...100Kompleks fiqurlarn sthinin sahsi....................................102Oxar fiqurlarn sthinin sahsi. mumildirici taprqlar .....1044-c blm zr summativ qiymtlndirm taprqlar...............106

3-c blm zr planladrma cdvli................................................65Drs nmunsi. Funksiyann nqtdlimiti. Funksiyann qiymtlr cdvlin v qrafikin gr limitintaplmas ..........................................66Limitin varl. ................................68Limitin xasslri..............................71 Funksiyann ksilmzliyi ................75

5-ci blm zr planladrma cdvli................................................108Dyimnin orta srti, Dyimnin ani srti .......................109 Funksiyann trmsi.........................112Diferensiallama qaydalar ..................117Hasilin trmsi. Nisbtin trmsi...120Mrkkb funksiyann trmsi ........124Trmnin ttbiqi il msl hlli .....127kinci trtib trm ............................129stl v loqarifmik funksiyann trmsi..........................132

Triqonometrik funksiyalarntrmsi.mumildirici taprqlar ..1355-ci blm zr summativ qiymtlndirm taprqlar ..............139Yarmillik summativ qiymtlndirm taprqlar ..............141

8. nteqral

6. Frlanma fiqurlarnn hcmi

9. Statistika v ehtimal

10. Tnliklr, brabrsizliklr,tnliklr sistemi

6-c blm zr planladrma cdvli................................................143Drs nmunsi. Silindrin hcmi ........144Konusun hcmi. Ksik konusun hcmi.........................147Kr v hisslrinin hcmi ................150Oxar fiqurlarn hcmi. mumildirici taprqlar .................1526-c blm zr summativqiymtlndirm taprqlar...............156

9-cu blm zr planladrma cdvli................................................214 Statistik gstricilr ...........................215Mlumatn paylanma formalar.Normal paylanma...............................220 Qutu-qulp diaqram............................225Tsadfi hadislr v ehtimal.Ehtimal hesablama dsturlar.mumildirici taprqlar ................2269-cu blm zr summativqiymtlndirm taprqlar...............232

stl funksiyann v funksiyasnninteqral. Triqonometrik funksiyalarninteqrallar..........................................185yrinin hat etdiyi sah.Myyn inteqral v sah ..................190 Myyn inteqral.Nyuton-Leybnis dsturu ....................193Myyn inteqraln xasslri .............197yrilrl hdudlanmfiqurun sahsi.....................................199Myyn inteqral v frlanmadan alnanfiqurlarn hcmi .................................204mumildirici taprqlar .................2078-ci blm zr summativqiymtlndirm taprqlar...............212

7. Trmnin ttbiqi ilfunksiyann aradrlmas

7-ci blm zr planladrma cdvli................................................158Funksiyann artma v azalma ara lqlarnn taplmas............159Funksiyann bhran nqtlri v ekstre mum lar ....................................165Trmnin ttbiqi il funksiyann qrafi ki nin qurulmas...........................171Ekstremumun taplmasna aid msl hlli. Optimalladrma. mumildirici taprqlar ................1747-ci blm zr summativqiymtlndirm taprqlar...............179

10-cu blm zr planladrma cdvli................................................234rrasional tnliklr v brabrsizliklr. stl, loqarifmik v triqonometrik tnliklr sistemi......234mumildirici taprqlar ................236llik summativ qiymtlndirmtaprqlar ..........................................238

1x

8-ci blm zr planladrma cdvli................................................181btidai funksiya. Qeyri-myyn inteqral. Sabitin v qvvt funksiyasnn inteqral. ......................182

4

XI sinif Mzmun standartlarXI sinfin sonunda agird: n drcli tnliklri hll edir, Bezu teoremini ttbiq edir; ylan ardcllqlarn xasslrini ttbiq edir, funksiyalarn limitlrini hesablayr, ksilmzfunksiyalarn sas xasslrini ttbiq edir; elementar funksiyalarn trmlri cdvlinin v trmnin hesablanmas qaydalarnn kmyiil bzi funksiyalarn trmsini tapr, trmnin hndsi v fiziki mnasn ttbiq edir; funksiyann aradrlmasna diferensial hesabn ttbiq edir; bzi funksiyalarn ibtidai funksiyalarn tapr, elementar funksiyalarn inteqrallar cdvlininv inteqrallama qaydalarnn kmyi il funksiyalarn inteqrallarn hesablayr; Nyuton-Leybnis dsturunu ttbiq edir, yrixtli trapesiyann sahsini v frlanmadan alnancisimlrin hcmini hesablayr; triqonometrik, stl v loqarifmik tnliklr sistemini hll edir; fzada koordinatlar il verilmi iki vektorun skalyar hasilini tapr, koordinatlar sulunumxtlif msllrin hllin ttbiq edir, fzada verilmi vektoru komplanar olmayan vektorzr ayrr; mstvinin v sferann tnliyin aid msllri hll edir; paralel krmni v oxarlq evirmsini msllr hllin ttbiq edir; silindirin, konusun, ksik konusun yan sthlrinin, tam sthlrinin v hcmlrinin taplmasnaaid msllr hll edir, krnin v hisslrinin sthlrinin sahlrini v hcmlrini tapr; myyn inteqraldan istifad edrk, yrixtli trapesiyann v digr mstvi fiqurlarn sahsinitapr, lm v hesablama vasitlri il alnm nticlri mqais edrk, xtani myyn edir; lmnin dispersiyasn v orta kvadratik meylini hesablayr, hadisnin ehtimalnnhesablanmasna normal paylama qanununu ttbiq edir.Mzmun xtlri zr sas v alt-standartlar.1.ddlr v mllr1.1. ddlri, onlarn mxtlif formada verilmsini bilir v aralarndak mnasibtlrimyynldirir.1.1.1. n drcli oxhdlinin n kk olduunu bilir v ona sasn tnliklri hll edir.1.1.2. oxhdlinin ikihdliy blnmsin Bezu teoremini ttbiq edir.1.1.3. Vahidin n drcdn kknn xasslrini bilir v ttbiq edir.1.2. Riyazi mllri, riyazi prosedurlar ttbiq edir v onlar arasndak laqni myynldirir.1.2.1. ddi ardclln v onun limitinin trifini bilir, ylan ardcllqlarn xasslrini ttbiqedir.1.2.2. Funksiyann limiti anlayn, limitin xasslrini v grkmli limitlri bilir, onlarn kmyiil funksiyalarn limitlrini hesablayr.1.2.3. Funksiyann ksilmzlik anlaylarn bilir v ksilmz funksiyalarn sas xasslrini ttbiqedir.2. Cbr v funksiyalaragird:2.1. Cbri evirmdn mxtlif situasiyalardak problemlrin hllind istifad edir.2.1.1. Funksiyann trmsi anlayn v diferensiallanan funksiyalarn xasslrini bilir,trmnin hesablanmasnn sas qaydalar il tandr.2.1.2. Elementar funksiyalarn trmlri cdvlinin v trmnin hesablanmas qaydalarnnkmyi il bzi funksiyalarn trmsini tapr.2.1.3. Trmnin hndsi v fiziki mnasn ttbiq edir.2.2. Funksiya anlayn bilir, hyati problemlrin riyazi modellrini qurur v funksiyalarnxasslrinin kmyi il bu problemlri hll edir.

5

2.2.1. Funksiyann trmsinin kmyi il onun stasionar nqtlrini tapr, bu nqtlrin ek-stremum nqtlrin olub-olmadn yoxlayr.2.2.2. Funksiyalarn aradrlmasna v qrafikinin qurulmasna diferensial hesabn ttbiq edir.2.2.3. btidai funksiya anlayn bilir v bzi funksiyalarn ibtidai funksiyalarn tapr.2.2.4. Qeyri-myyn inteqral anlayn bilir, elementar funksiyalarn inteqrallar cdvlinin vinteqrallama qaydalarnn kmyi il funksiyalarn inteqrallarn hesablayr.2.2.5. Myyn inteqraln trifini bilir v Nyuton-Leybnis dsturunu ttbiq edir.2.2.6. Myyn inteqraln kmyi il yrixtli trapesiyann sahsini hesablayr.2.2.7. Myyn inteqraln kmyi il frlanmadan alnan cisimlrin hcmini hesablayr.2.2.8. Funksiyann ctlk-tklik, dvrilik xasslrindn myyn inteqrallarn smrli sullahesablanmasnda istifad edir.2.3. Tnliklri v brabrsizliklri hll edir.2.3.1. Triqonometrik tnliklr sistemini hll edir.2.3.2. stl v loqarifmik tnliklr sistemini hll edir.3. Hndsagird:3.1. Hndsi tsvir, fza tsvvr, mntiqi mhakim v koordinatlar sulunun kmyi ilfiqurlarn xasslrini aradrr.3.1.1. Fzada Dekart koordinat sistemi anlayn, vektor anlayn bilir, koordinatlar lverilmi iki vektorun skalyar hasilini tapr.3.1.2. Fzada koordinatlar sulunu mxtlif msllrin hllin ttbiq edir.3.1.3. Mstvinin v sferann tnliyini bilir, onlara aid msllr hll edir.3.1.4. Fzada verilmi vektoru komplanar olmayan vektor zr ayrr.3.1.5. Frlanmadan alnan fiqurlar tanyr.3.2. Fzada hndsi evirmlri ttbiq edir, fza fiqurlarnn sthlrinin sahlrini v hcmlrinihesablayr.3.2.1. Paralel krmni msllr hllin ttbiq edir.3.2.2. Fzada oxarlq evirmsini msllr hllin ttbiq edir.3.2.3. Silindirin yan sthinin, tam sthinin v hcminin taplmasna aid msllr hll edir.3.2.4. Konusun, ksik konusun yan sthlrinin, tam sthlrinin v hcmlrinin taplmasna aidmsllr hll edir.3.2.5. Krnin sthinin sahsinin v hcminin taplmasna aid msllr hll edir.3.2.6. Krnin hisslrinin (kr seqmenti, kr sektoru) sthlrinin sahlrini v hcmlrinitapr.4. lm agird:4.1.lm v hesablama vasitlrindn istifad edrk, dqiq v ya tqribi hesablamalar aparr.4.1.1. Myyn inteqraldan istifad edrk, yrixtli trapesiyann v digr mstvi fiqurlarnsahsini tapr.4.1.2. lm v hesablama vasitlri il alnm nticlri mqayis edrk, xtan myynedir.5. Statistika v ehtimalagird:5.1. Statistik mlumat toplayr, sistemldirir, thlil edir v nticni tqdim edir.5.1.1. lmnin dispersiyasn v orta kvadratik meylini hesablayr.5.2. Ehtimal nzriyysinin sas anlaylarn baa dr v ttbiq edir.5.2.1. Hadisnin ehtimalnn hesablanmasna normal paylama qanununu ttbiq edir.

6

Giri

Drsliyin strukturu

Drslik 10 blmdn ibartdir.Birinci blm oxhdlilr bal il aadak sas v alt mzmun

standartlarn hat edir. 1.1. ddlri, onlarn mxtlif formada verilmsini bilir v aralarndak mnasi bt -

lri myynldirir.1.1.1. n drcli oxhdlinin n kk olduunu bilir v ona sasn tnliklri hll edir.1.1.2. oxhdlinin ikihdliy blnmsin Bezu teoremini ttbiq edir.1.1.3. Vahidin n drcdn kknn xasslrini bilir v ttbiq edir. Bu blmd oxhdlini mxtlif sullarla vuruqlara ayrmaqla n drcli tnliklrin

kklrini myynetm v real situasiya msllrini hlletm bacarqlarnnformaladrlmas nzrd tutulur. Aa siniflrd ortaq vuruu mtriz xaricinxarmaqla, mxtsr vurma, binomlarn al dsturlarndan istifad etmkloxhdlilri vuruqlarna ayrma taprqlar yerin yetirilmidir. Bu blmd verilndrslrd is oxhdlinin oxhdliy (sasn ikihdliy) blnmsi aadak bacarqlarnformaladrma ardcll il verilmidir.

1. Blm mlini blnn, bln, qalq v qismt komponentlri il ifadetm. agird blm mlini veriln oxhdlilr gr klind ifad etmyi bacarmaldr.2. oxhdlinin x m ikihdlisin blmnin sintetik qaydas (Hrner sxemi). Sintetik qayda agird oxhdlinin msallarna gr blm mlini tez yerin

yetirmy imkan verir. 3. Qalq haqqnda teorem. Qalq haqqnda teoremdn istifad etmkl hr hans

P(x) oxhdlisini x m klind ikihdliy bldkd qaln P(m)- brabr olduunubaa dr. Bu teorem veriln ikihdlinin oxhdlinin vuruu olub-olmadn,hminin blm mlinin dzgn yerin yetirildiyini yoxlamaa imkan verir.

4. oxhdlinin vuruqlar haqqnda teorem qalq haqqnda teorem saslanaraqvuruqlarn myyn etmy imkan verir.

5. Rasional kklr haqqnda teorem. Bu teoremin rtin gr seib yoxlamaqlan drcli oxhdlinin rasional kklrini (gr varsa) tapmaq mmkndr.

6. Cbrin sas teoremi is oxhdlinin kklrinin say haqqnda teoremdir. agird bu teoremin kklri tapman hr hans bir qaydas olmadn, yalnz

kklrin varl haqqnda teorem olduunu baa dr.

P(x)B(x)

R(x)B(x) = Q(x) +

kinci blm Fza koordinat sistemi v vektorlar bal il aadak sas valt mzmun standartlarn hat edir.

3.1.1. Fzada Dekart koordinat sistemi anlayn, vektor anlayn bilir, koordinatlaril verilmi iki vektorun skalyar hasilini tapr.

3.1.2. Fzada koordinatlar sulunu mxtlif msllrin hllin ttbiq edir.3.1.4. Fzada verilmi vektoru komplanar olmayan vektor zr ayrr.

7

Bu blmd ll koordinat sistemini v bu sistemd nqtnin tsviri drslri ililkin bacarqlar formaladrlr. Sonrak drslr is koordinatlara gr fza koordinatsistemind mxtlif msllri hlletm bacarqlarna ayrlmdr. ki nqt arasndakmsafni, parann orta nqtsinin v paran veriln nisbtd bln nqtninkoordinatlarnn, bucan arlq mrkzinin koordinatlarnn myyn edilmsiqaydalar v bu qaydalarn ttbiqi il msl hlli bacarqlar bu drslr aiddir. Bublmd hminin fzada vektorlar v onlar zrind mllrin xasslrin yerverilmidir. Vektorun ort vektorlarla yazl, veriln vektora gr vahid vektorunmyyn edilmsi, iki vektorun skalyar hasilinin taplmas bacarqlarn hat edndrslr d bu blmd verilmidir. ki vektorun skalyar hasilin aid drslrd yeniyanama il daha ox praktik hmiyytli taprqlara yer verilmidir. Bel ki, agird ikivektorun skalyar hasilindn istifad etmkl praktik hmiyyt dayan iki vektorarasnda qalan buca tapman mmkn olduunu baa dr.

nc blm Limit bal il aadak sas v alt mzmun standartlarnhat edir.

1.2.1. ddi ardclln v onun limitinin trifini bilir, ylan ardcllqlarnxasslrini ttbiq edir.

1.2.2. Funksiyann limiti anlayn, limitin xasslrini v grkmli limitlri bilir,onlarn kmyi il funksiyalarn limitlrini hesablayr.

1.2.3. Funksiyann ksilmzlik anlayn bilir v ksilmz funksiyalarn sasxasslrini ttbiq edir.

Dz xttin v mstvinin tnlikri geni kild izah edilmi v ttbiqi taprqlarlaverilmidir. Texnologiyann srtli inkiaf bu gn vektorlarn daha geni mstvidyrdilmsini tlb edir. Bel ki, kompter proqram tminatnda vektorlardan geniistifad edilir. Biz kompterin ekrannda istniln informasiyan, kli istdiyimiz ko-ordinatlarda yerldir bilirik. Btn bunlar istniln nqtnin koordinatlarn vektorlarlamyyn etmyin mmkn olmas il baldr. Odur ki, indiy qdr ildiln fzadaistniln nqtnin yerini myyn edn abstrakt radius-vektor anlay vzinmahiyyti daha aq ifad edn yer vektoru anlay daxil edilmidir. Bu anlay praktikhmiyyti qabarq ks etdirmkl problemlri daha tez anlamaa kmk edir.

3.1.3. Mstvinin tnliyini v sferann tnliyini bilir, onlara aid msllr hll edir. 3.2.1. Paralel krmni msllr hllin ttbiq edir.3.2.2. Fzada oxarlq evirmsini msllr hllin ttbiq edir.

Limit anlay beynlxalq tcrb yrnilmkl yeni yanama il verilmidir. Belki, limit vvlc real situasiyalar zrind aradrlmaqla ddbiyyatlarda formal trifadlanan trifl verilmidir. Limitin ciddi trifi d (-d dilind) drslikd verilmidir.Lakin veriln taprqlar formal trifi hat edir.

8

Drdnc blm Frlanma fiqurlar. Silindr, konus, kr bal il aadaksas v alt mzmun standartlarn hat edir.

3.2.2. Fzada oxarlq evirmsini msllr hllin ttbiq edir.3.2.3. Silindirin yan sthinin, tam sthinin v hcminin taplmasna aid msllr

hll edir.3.2.4. Konusun, ksik konusun yan sthlrinin, tam sthlrinin v hcmlrinin

taplmasna aid msllr hll edir.3.2.5. Krnin sthinin sahsinin v hcminin taplmasna aid msllr hll edir.3.2.6. Krnin hisslrinin (kr seqmenti, kr sektoru) sthlrinin sahlrini v

hcmlrini tapr.Bu blmd ttbiq olunan yeni yanama agirdin hr bir fiqurun sthinin sahsinin

tcrbi olaraq, hazr fiquru ksrk amas v veriln kartondan, kazdan dzldbilmsi mllrin geni yer verilmsidir. Bu mllr istr silindirin, istrkonusun, istrs d sferann sthinin sahsinin hesablanmas taprqlarnda geni yerverilmidir. agird bu taprqlar yerin yetirmkl sthin sahsinin real olaraq nyiifad etdiyini baa ddkdn sonra mlumatlar hndsi anlaylarla daha dzgnlaqlndir bilck v dsturlar msl hllin daha rahatlqla ttbiq ed bilckdir.

Hminin limiti sulla (bunlardan ilk ikisi emprik sula daha yaxn olduu nyanidir v hmiyytlidir) qrafikl, cdvll v analitik sulla mynetm qaydalarverilmidir. agird qrafik gr limiti vizual olaraq txmin edir, qiymtlr cdvlindis veriln qiymt hm soldan, hm d sadan yaxnlamalar hesablamaqla limitinqiymtini tapm olur (varsa).

Bununla agird sonrak Limitin varl drsini daha asan qavramaq n dahamnbit rait yaradlm olur. Limitin xasslri, grkmli limitlr is limiti analitiksulla tapmaa imkan verir.

Funksiyann ksilmzliyinin myyn edilmsi xeyli mrkkb mvzu oldu un danuyun anlaylar addm-addm, mhkmlndirilrk, mvzunu tfsilatl hat edn oxsayda taprqlarla verilmidir. Triqonometrik funksiyalarn daxil olduu xsusi limitlrsonrak drslrd yer almdr. Sonsuz limitlr v sonsuzluqda limit anlaylar yeniyanama il oxlu sayda ttbiqi taprqlarla verilmidir.

ddi ardclln limiti , monoton v mhdud ardclln limiti mvzularna da bublmd yer verilmidir.

Beinci blm Funksiyann trmsi bal il aadak sas v alt mzmunstandartlarn hat edir.

2.1.1. Funksiyann trmsi anlayn v diferensiallanan funksiyalarn xasslrinibilir, trmnin hesablanmasnn sas qaydalar il tandr.

2.1.2. Elementar funksiyalarn trmlri cdvlinin v trmnin hesablanmasqaydalarnn kmyi il bzi funksiyalarn trmsini tapr.

2.1.3. Trmnin hndsi v fiziki mnasn ttbiq edir.Trm anlaynn mahiyyti indiy qdr hrktin srtini ks etdirn ani srt

anlay il mhdudladrlmadan trmnin tbitd ba vern btn dyimlri n incdetallarda, n kiik vaxt intervalnda qiymtlndirmy imkan vern praktik hmiyytihe bir riyazi anlayla mqayisy bel glmyn limitin kmyil riyaziyyatn nbyk kfi olduunun tqdim edilmsin allmdr.

9

Biz btn dyimlri dzgn myyn ed bilsk, planlarmz daha uurla hyatakeir bilrik. Odur ki, trmnin n geni v hmiyytli ttbiqi olan maliyy msllriv maliyy terminlri - marjinal maya dyri, marjinal glir, marjinal mnft anlaylardaxil edilmidir. agird hminin indiy qdr hll etdiyi statistik mlumatn myynedilmsini tlb edn situasiyalar qdr, dinamik mlumatlarn taplmas msllrinin,yni srbst dyin kmiyytin qiymtin gr asl dyin kmiyytin aniqiymtlrinin tlb edildiyi situasiyalarn olduunu baa dr. Temperaturun, glirin,sahnin, adamlarn saynn, istehsal ediln, satlan mhsulun, tibd daxili orqanlarnstrukturunun, drmann bdnd sorulma srti v s. kimi situasiyalarda ani dyimsrtinin myyn edilmsi byk hmiyyt malikdir. Bir szl, hyat dyimlrlmvcuddur, dyimlr is diferensialn kmyil myyn edilir. Bu blmd mxtliffunksiyalar diferensiallama sullar v oxlu sayda ttbiq taprqlar verilmidir.

Altnc blm Frlanma fiqurlarnn hcmi bal il aadak sas v altmzmun standartlarn hat edir.

3.2.3. Silindirin yan sthinin, tam sthinin v hcminin taplmasna aid msllrhll edir.

3.2.4. Konusun, ksik konusun yan sthlrinin, tam sthlrinin v hcmlrinintaplmasna aid msllr hll edir.

3.2.5. Krnin sthinin sahsinin v hcminin taplmasna aid msllr hll edir.3.2.6. Krnin hisslrinin (kr seqmenti, kr sektoru) sthlrinin sahlrini v

hcmlrini tapr.Frlanma fqurlarnn hcmi dsturlarnn istr emprik yollarla isbat, istrs d anali -

tik yolla isbatnn verilmsin allmdr. Msln, krnin hcminin Arximed izah killrl addm-addm el verilmidir ki, agird krnin hcminin onu hat edn silin-drin hcmi il laqsini izly bilir. Bununla yana krnin hcminin hndsi isbat daverilmidir. Hminin silindrin, konusun hcminin emprik olaraq bu fiqurlar formasndaolan qablarn maye tutumlar il laqlndirilmkl, yen d hcmin myyn edil m -si nin emprik sulu verilmidir. agird bu tcrblri z xsn yerin yetirmkl hn -d si anlaylarn uzun zaman yadnda qalmasna v praktik hmiyytini dzgnqiy mtlndirmsin nail ola bilr.

Yeddinci blm Trmnin ttbiqi il funksiyann aradrlmas bal ilaadak sas v alt mzmun standartlarn hat edir.

2.2.1. Funksiyann trmsinin kmyi il onun stasionar nqtlrini tapr, bunqtlrin ekstremum nqtlri olub-olmadn yoxlayr.

2.2.2. Funksiyalarn aradrlmasna v qrafikinin qurulmasna diferensial hesabnttbiq edir.

Funksiyann analitik dsturuna gr qrafikinin qurulmas, xasslrinin myynedilmsi drslrind nzri materiallara az yer verilmkl izahlar daha ox nmunlrzrind verilmidir. Bu blmd trmnin geni ttbiq situasiyalarna aid opti mal la -dr ma msllri verilmidir. Optimalladrma msllri veriln situasiyaya grkmiyytin maksimum v ya minimum qiymtlrinin taplmas msllridir. Msln,konsturksiyaetm zaman daha az material srf etmkl daha yksk mh sul dar la nailolmaq, maliyyd veriln rtlr daxilind glirin n zaman n yksk

10

Skkizinci blm nteqral bal il aadak sas v alt mzmunstandartlarn hat edir.

2.2.3. btidai funksiya anlayn bilir v bzi funksiyalarn ibtidai funksiyalarn tapr.2.2.4. Qeyri-myyn inteqral anlayn bilir, elementar funksiyalarn inteqrallar

cdvlinin v inteqrallama qaydalarnn kmyi il funksiyalarn inteqrallarn hesablayr.2.2.5. Myyn inteqraln trifini bilir v Nyuton-Leybnis dsturunu ttbiq edir.2.2.6. Myyn inteqraln kmyi il yrixtli trapesiyann sahsini hesablayr.2.2.7. Myyn inteqraln kmyi il frlanmadan alnan cisimlrin hcmini

hesablayr.2.2.8. Funksiyann ctlk-tklik, dvrilik xasslrindn myyn inteqrallarn

smrli sulla hesablanmasnda istifad edir.agird diferensiallama il veriln nqtd funksiyann ani dyimsinin myyn

edildiyini, inteqrallamann is diferensiallamann trs mli olmaqla ani qiymtlrin btnqiymtlrini cmlmkl veriln aralqda artm myyn etmy im kan verdiyini baa dr.Myyn inteqraln hesablanmas zaman beynlxalq drslik tcrbsin s as la nan yeniyanama ttbiq edilmidir. Bel ki, funksiya qrafikinin veriln parada h at etdiyi sah(hddlandrd) anlay daxil edilmkl indiy qdr istifad edi ln yrixtli trapesiyannsahsi anlayndan imtina edilmidir. agird yrinin hat etdiyi sah dedikd sahninqiymtinin funksiyann modelldirdiyi situasiyadak kmiyyt uyun olduunu, baqa szldesk, onun qiymtinin l vahidinin manat, drc, km, kq v s. istniln fiziki kmiyytola bilcyini baa dr. y rixtli trapesiya anlay is dyimni statistik mlumat olaraqsah vahidi il lln bir kmiyyt olmas assosiyasn yaradr. nteqraln ttbiq taprqlarmvzulara ayrl maq la geni kild verilmidir. Diferensiallama il veriln btn situasiyalarbura da da yer almdr. Msln, trm bakteriyalarn ani artm haqqnda mlumat verirs,in teqral veriln vaxt aralnda bakteriyalarn sayndak artm gstrir. Bu qarlql la qniagird situasiyalarn hr iki drsd tkararlanmas il yani kild laqlndir bi lir. Daha sonra is frlanma fiqurlarna mumi kild hr hans funksiyann qrafiki ilhatlnmi mstvi hisssinin ox trafnda frlanmasndan alnan fiqurlar kimi baxlr.Frlanma cisimlrinin hcmini veriln srhdlr daxilind funksiyann myyninteqraln hesablamaqla tapr.

olduunu v ya maya dyrinin n zaman n aa olduunu myyn etmk, sahninv hcmin optimalladrlmas msllri v s. bel msllrdndir. Optimalladrmamsllrinin hlli addmlar verilmidir ki, bu da agird problem yanamann v hllinplanl olaraq, ardcl aradrmasn yerin yetirmsin imkan verir. Bunun n agirdlrmslnin aadak addmlarla hllin tviq edilir: 1. Mslni diqqtl oxuyun. Uyun kli kin.2. Uyun dyinlrin v sabitlrin, nyin dyidiyinin, nyin sabit qaldnn v hansvahidlrdn istifad olunduunun siyahsn tutun. kdiyiniz kild l vahidlrivarsa, onlar iarlyin.3. Uyun x parametri sein v axtarlan kmiyyti f(x) funksiyas kimi ifad edin. Bufunksiyann ekstremumlarn tapn. 4. Alnm nticni real situasiyaya uyun izah edin.

Doqquzuncu blm Statistika v ehtimal bal il aadak sas v altmzmun standartlarn hat edir.

5.1.1. lmnin dispersiyasn v orta kvadratik meylini hesablayr.5.2. Ehtimal nzriyysinin sas anlaylarn baa dr v ttbiq edir.

11

1. http://www.algebra-class.com2. www.classzone.com3. http://www.shodor.org/interactivate/activities4. http://www.mathwarehouse.com5. http://www.netplaces.com6. http://www.purplemath.com7. https://www.khanacademy.org

hmiyytli linklr

Mnimsm qabiliyyti zif olan agirdlr n tvsiy ediln faliyytlr:1. Aradrma v praktik mllrin mzakirsind itirakna almaq;2. Riyazi anlayn izah olunmasna ayrlm ilk drsd dsturun, trifinin

birbaa ttbiqi il hll ediln taprlar yerin yetirdiyin diqqt etmk, ev taprolaraq yrnm taprqlar sviyysind taprqlar vermk;

3. yrnm taprqlarn sad qsa rhlrl, izahlarla yerin yetirmsin tviqetmk;

4. Hndsi msllrin hllind xtke, prgardan istifad etmkl killrinkmsin, ksib yapdrma mllrinin yerin yetirmsin nail olmaq;

5. Teorem v qaydalar izahdan sonra z szlri il dftrind yazmaq vnmun gstrmk.

Mnimsm qabiliyyti yksk olan agirdlr n tvsiy edilnfaliyytlr:

1. Drslikd verilmi btn ttbiq taprqlarn yerin yetirmsin nail olmaq;2. Mllim n vsaitd drslikd isbat nzrd tutulmam bzi teoremlrin

isbat, hminin isbat edilmi teoremin alternativ isbat verilmidir. stedadlagirdlrin bu isbat mstqil yerin yetirmlri tvsiy edilir. Bu ilr agirdin port-foliosuna tikilir.

3. Layih ilrini daha geni v ttbiqi kild yerin yetir

5.2.1. Hadisnin ehtimalnn hesablanmasna normal paylama qanununu ttbiq edir.Statistikik mlumat thlil etmk n dispersiya v standart meyl (orta kvadratik

meyil) kimi statistik llri myyn etm qaydas mumi kild v nmunlrzrind aradrlr. Statistik mlumat qiymtlndirmk n mlumatn normal pay-lanma qrafiki d hm mumi kild, hn d nmunlr zrind aradrlr. Hmininmlumat tqdim etmnin qutu-qulp diaqram zrind qurulmu taprqlara yerverilmidir. Qutu-qulp diaqram mlumatn hans intervalda sxladn (qutu), busxlamadan sada v solda daha az sayda mlumata gr (qulplara gr) mlumatndyim diapazonun nec dyidiyini aydn grmy imkan verir.

Ehtimaln hesablanmas drslrind elementar hadislr fzasna v hadisninnvn gr ehtimaln hesablanmasna icmal-bax keirilmi nmunlr, taprqlarverilmidir. Yeni anlay olaraq rti ehtimal daxil edilmidir. rti ehtimaln hesablanmaqaydas nmun zrind geni izah edilmidir.

Onuncu blm Tnliklr, brabrsizliklr, tnliklr sistemi bal ilaadak sas v alt mzmun standartlarn hat edir.

2.3.1. Triqonometrik tnliklr sistemini hll edir.2.3.2.stl v loqarifmik tnliklr sistemini hll edir

12

1-ci blm zr planladrma cdvli

sas v alt mzmunstandartlar Drs Mvzu

Drs saat

Drsliksh.

1.1. ddlri, onlarnmxtlif formada ve ril - m sini bilir v ara -larndak mnasibtlrimy yn l dirir.1.1.1. n drcli ox hd -linin n kk oldu u nubi lir v ona sa sn tn -liklri hll edir.1.1.2. oxhdlinin iki -hd liy blnmsinBezu teoremini ttbiqedir.1.1.3. Vahidin n dr c -dn kknn xass lrinibilir v ttbiq edir.

1-4oxhdlinin oxhdliyblnmsi. Qalqhaqqnda teorem

4 7-12

5 oxhdlinin vuruqlarhaqqnda teorem 1 13-14

6-7 Rasional kklrintaplmas 2 15-17

8-9 Cbrin sas teoremi 2 18-21

10-12 oxhdli funksiyaRasional funksiya 3 22-28

13 mumildirici taprqlar 1 29

14 Summativ qiymtlndirmtaprqlar. 1

Cmi 14

13

Drs 1-4. oxhdlinin oxhdliy blnmsi. Qalq haqqnda teorem.4 saat. Drslik sh. 7-12Mzmun standart. 1.1.2. oxhdlinin ikihdliy blnmsin Bezu teoremini ttbiq edir.

oxhdlinin oxhdliy, xsusi halda ikihdliy budaql blnmsinin tamddlri blm qaydasna analoji yerin yetirildiyi agirdlrin diqqtin atdrlr.Tam ddlri blmd hr bir mrtb vahidinin blndyn, hr blmaddmndan qismt bir rqmin yazlmas, mrtb vahidinin saynn sfr olduuhalda qismt sfr yazlmasna ml etmyin vacib olduu vurulanr. Bsoxhdlilrin blnmsind bu qaydalara nec ml olunur? Drslikd verilnnmun zrind v ya bir baqa nmun il budaql blm izah edilir.

agird bacarqlar: oxhdlini oxhdliy blmni budaql blm sulundan istifad etmklyerin yetirir; blnn, bln, qismt v qal yazr; oxhdlini oxhdliy blmni ifad edn brabrli -yini yazr v hllin yoxlanmasna ttbiq edir. oxhdlinin ikihdliy blnmsini sintetik blmdn istifad etmkl yerinyetirir, nticni klind yazr.

qalq haqqnda teoremi almalarn hllin ttbiq edir.

P(x)B(x)

R(x)B(x) = Q(x) +

P(x)x m

rx m= Q(x) +

Hlli: c) vvlc blnn oxhdlini dyinin drcsinin azalma sras ilyazaq, sonra budaql blmni yerin yetirk.

x3 + 2x2 + 4x + 5 x2 + 4x 4 x3 2x2

4x2 + 4x4x2 + 8x

4x + 5 4x 8

13

x + 2

? Drslikd verilmi bzi taprqlarn hlli:

P(x) = x3 + 2x2 + 4x + 5 oxhdlisini B(x) = x + 2 ikihdlisin bldkdqismtd Q(x) = x2 + 4x 4, qalqda R(x) = 13 alnr.

D.1. 1) Blm mlini budaql blm il yerin yetirin.

14

Hllin doruluunuP(x) = B(x) Q(x) + R(x)

brabrliyin gr yoxlayaq:

B(x) Q(x) + R(x) = (x + 2)( x2 + 4x 4) + 13=

= x3 + 4x2 4x 2x2 + 8x 8 + 13 = x3 + 2x2 + 4x + 5 = P(x)

oxhdlinin blnmsind daha ox ikihdliy blm taprqlar yerinyetirildiyindn sintetik blmnin hmiyyt dad qeyd edilir.

x4 + 0x3 + 2x2 + 0x + 4x2 + 4x4 + 0x3 2x2

4x2 + 0x + 44x2 + 0x 8

12

Bellikl,

x2 + 0x 2

D.5. x3 x2 5x + 6 = (x 2) Q(x) olarsa, Q(2)-ni hesablaynHlli: Veriln rt gr x3 x2 5x + 6 oxhdlisi x 2 ikihdlisin qalqszblnr. Blm mlini yerin yetirrk qismt oxhdlisini tapaq.

b) (x4 + 2x2 + 4):(x2 2)Hlli: Blnn v bln oxhdlini dyinin drcsinin azalma sras ilyazaq, itirak etmyn drcli hdlri 0 msal il daxil edk v budaqlblmni yerin yetirk.

x3 x2 5x + 6x2 + x 3x3 2x2

x2 5xx2 2x

3x + 6 3x + 6

0

x 2

Demli, Q(x) = x2 + x 3 olur. Onda, Q(2) = 22 + 2 3 = 3 alarq.

D.4. Blm mlini yerin yetirin.

x4 + 2x2 + 4 x2 2 = x

2 + 4 + 12x2 2

Qalq haqqnda teorem(Bezu teoremi) mumsinif mzakirsi il aradrlr.

P(x) oxhdlisinin xm ikihdlisin bln -msindn alnan qalq P(x) oxhd li si ninx=m nqtsindki qiymtin brabrdir:

r = P(m )

Teorem Nmun(x3 4x2 + 5x + 1):(x 3)

1 1

1 1 2 7

7

33

P(3) =

3 654

Budaql blm oxhdlini blmnin daha mumi suludur.

Sintetik blm bln xm klind ikihdli olduqda alternativ suldur.Blm mlinin nticsi kimi yazlr.

Blm mlinin dzgn yerin yetirildiyini P(x) = (x m) Q(x) + r ds-turuna gr yoxlamaq olar.

P(x)x m

rx m= Q(x) +

15

2x4 + 3x3 x 5 x + 2

2 3 0 1 5

2 1 2 5 5

2 4 2 4 10

qalq2x3 x2 + 2x 5

2x4 + 3x3 + 0x2 x 5blnnin msallar

qismtin msallar

x + 2 = = x ( 2)

= 2x3 x2 + 2x 5 + 5x + 2

agirdlrin riyazi yaz bacarqlarna, riyazi prosedurlar szl ifad etmbacarqlarna xsusi diqqt yetirilmsi tvsiy edilir. Msln, agirdoxhdlinin blnmsini yerin yetirrkn hans mqama diqqt etmliolduunu, mhm qaydalarn nec ilndiyini szl mumi kild tqdimetmyi v nmun zrind gstrmyi bacarmaldr. Bu drs zr aadakkimi mhm mqamlar var.

Nmun. (2x4 + 3x3 x 5) : (x + 2)1. Blnn oxhdlinin msallar oxhdlinin drcsinin azalma srasna gryazlr. tirak etmyn drcli hdd sfr msal il daxil edilir. 2. x m bln ikihdlisinin m sabiti solda yazlr.

16

agird qalq haqqnda teorem gr qaln m-in veriln qiymtind oxhdlininP(m) qiymtin brabr olduunu baa dr. Bunun n aadak tiptaprqlarn yerin yetirilmsin diqqt edilir. Msln, qalq haqqnda teoremdnv sintetik blmdn istifad etmkl aadak nmunlr baxlr.a) P(x) = x3 4x2 + 5x + 3 oxhdlinin P(2) qiymtini hesablayn. 1. Qalq haqqnda teoremin bu nmuny ttbiqi szl yazlr.Qalq haqqnda teorem gr P(x) = x3 4x2 + 5x + 3oxhdlisinin x 2 ikihdlisin blnmsindn alnan qalqoxhdlinin x = 2 nqtsindki P(2) qiymtin brabrdir. 2. Sintetik blmdn istifad etmkl qal tapaq: r = 5

Qalq haqqnda teoremin aadak sad yazllar il bunu izah etmk olar.

b) P(x) = x4 2x3 + ax 7 oxhdlisinin (x + 1)- blnmsindn alnan qalq5 olarsa, a hqiqi ddini tapn. Qalq haqqnda teorem gr P(1) = 5

Biz P(x) oxhdlisinin x m ikihdlisin blnmsini aadak brabrliklifad edirik: P(x) = (x m)Q(x) + r, gr x = m olarsa,

P(m) = (m m) Q(m) + r = 0Q(m) + r = r

3. Demli P(2) = 5, yoxlayaq: P(2) = 23 422 + 52 + 3 = 8 16 + 10 + 3 = 5

(1)4 2(1)3 + a(1) 7 = 5 1+ 2 a 7 = 5; a = 9 voxhdli P(x) = x4 2x3 9x 7 kimi olar.

22 2

1

1 1

4

245

5

3

Hlli: P(x) = 4x3 + 5x2 6x 4 oxhdlisini (x + 2) ikihdlisin sintetik qaydail blk. Burada x + 2 = x (2), yni m = 2 olduunu nzr alaq.

Qalqda r = 4 alnr. ndi is P(2) qiymtini hesablayaq: P(2) = 4(2)3 + 5(2)2 6(2) 4 = 32 + 20 + 12 4 = 4.Grndy kimi, r = P(2).

? Drslikd verilmi bzi taprqlarn hlli:

4x3 + 5x2 6x 4

4x2 3x + 0 qalq

4

4

5 6 4

8

2*

6 03 0 4

D.10. Verilmi P(x) oxhdlisini x m ikihdlisin sintetik qayda il bln,alnan qal bu oxhdlinin P(m) qiymti il mqayis edin. c) P(x) = 4x3 + 5x2 6x 4; m = 2

17

D.16. a) c-nin hans qiymtind P(x) = 2x3 + cx2 5x + 2 oxhdlisinihm x 2, hm d x + 1 ikihdlisin bldkd qalq eyni olar?

Hlli: P(x) = 2x3 + cx2 5x + 2 oxhdlisini (x 2)-y bldkd alnan qalq r1 = P(2), (x + 1)- bldkd is alnan qalq r2 = P(1) olur.

rt gr r1 = r2 olduundan, P(2) = P(1)

olmaldr. Buradan:223 + c22 52 + 2 = 2(1)3 + c(1)2 5(1) + 2,

16 + 4c 10 + 2 = 2 + c + 5 + 2, 3c = 33,

c = 11.c = 11 olduqda qalqlar eyni olar.

D.18. P(x) oxhdlisi (x 1)- qalqsz blnr, (x + 2)-y blndkd isqalq 3- brabr olur. Bu oxhdlini (x2 + x 2)-y bldkd alnan qaltapn.

Hlli: rt gr P(1) = 0, P(2) = 3 olmaldr. P(x) oxhdlisini (x2 + x 2)-y bldkd alnan qalq mumi halda R(x) = ax + b klind birdrclioxhdli ola bilr. Demli, P(x) = (x2 + x 2)Q(x) + ax + b v yaP(x) = (x + 2)(x 1)Q(x) + ax + b. Buradan P(1) = a + b, P(2) = 2a + b

D.11. Qalq haqqnda teorem gr veriln oxhdlinin: 1) x 4 ikihdlisinblnmsindn alnan qal myyn edin. a) x3 + 3x2 5x + 2

Hlli: P(x) = x3 + 3x2 5x + 2 blnn oxhdli,B(x) = x 4 bln olarsa,

baxlan halda m = 4 olduundan alnan qal r = P(m) dsturuna gr myyned bilrik:

r = P(4) = 43 + 342 54 + 2 = 64 + 48 20 + 2 = 94.

olduundan, verilnlr gr sistemini yaza bilrik. Bu sis- a + b = 0,2a + b = 3

temdn a = 1, b = 1 taplr. Demli, P(x) oxhdlisini (x2 + x 2)-ybldkd alnan qalq R(x) = x + 1 olur.

i vrq 1Ad_________ Soyad___________ Tarix______

18

1) Blm mlini budaql blmdn istifad etmkl yerin yetirin.

2) Blm mlini sintetik blmdn istifad etmkl yerin yetirin.

4) Qalq haqqnda teoremdn v sintetik blmdn istifad etmkl P(a) -ntapn.

3) Sintetik blmnin verilmi sxemin gr a, b, c msallarn tapn.

(3x2 2x + 1) : (x 1)

(3 4x 2x2) : (x + 1)

(x3 + 8) : (x + 2)

(x2 5) : (x 5)

(4x2 5x + 3) : (x + 3)

(4x3 + 2x 3) : (x 2)

2 3

3

46 4

0

1521 72

6824301

aabb

bc

c c

4

7 2 1

1

5 6

0

3 a 2 3

3 7

P(x) = x3 + 4x2 8x 6; a = 2P(x) = x3 7x2 + 15x 9; a = 1P(x) = 6x3 x2 + 4x + 3; a = 3P(x) = 2x3 + 4x2 10x 9; a = 1

P(x) = x3 + 4x2 + 4x; a = 2P(x) = x3 + 7x2 + 4x; a = 1P(x) = 2x3 x2 + 10x + 5; a = 1/2P(x) = 2x4 + 6x3 + 5x2 45; a = 3

19

1) P(x) = bx3 + ax2 + 3x oxhdlisini x + 1 - bldkd qalq 10, x 2-ybldkd qalq 26 olur. a v b ddlrini tapn.

2) P(x) = x3 2x2 + a oxhdlisini (x 3)- bldkd alnan qalq (x + 3)-bldkd alnan qalqdan 3 df oxdur. a) a ddini tapn.b) P(x) oxhdlisinin x + 2-y blnmsindn alnan qal tapn.

3) Veriln ikihdlinin veriln oxhdlinin vuruu olub-olmadn yoxlayn.

a) x + 2 , P(x) = 4x2 2x + 5

b) 3x 6, P(x) = 3x4 6x3 + 6x2 + 3x 30

i vrq 2

Ad_________ Soyad___________ Tarix______

Nmun 1. (3) = 0 olduunu bilrk, (x) = 2x3 + 11x2 + 18x + 9oxhdlisini vuruqlarna ayrn. Hlli: (3) = 0 olduundan, x ( 3) = x + 3 ikihdlisi f(x) oxhdlisininvuruqlarndan biridir, digr vuruu sintetik blmnin kmyil tapaq.

20

lk olaraq oxhdlini vuruqlara ayrmann indiy qdr yrniln sullaryada salnr. Nmunlr gstrilmkl mzakir edilir. 1. 16x4 81 oxhdlisini mxtsr vurma dsturlarnn ttbiqi ilvuruqlarna ayraq. 16x4 81 = (4x2)2 92 = (4x2 9)(4x2 + 9) = (2x 3) (2x + 3)(4x2 + 9)2. Qrupladrma sulu v ortaq vuruu mtriz xaricin xarma sulu. x3 + 3x2 7x 21 = x2 (x + 3) 7(x +3) = (x +3)(x2 7)Bu sullardan istifad edrkn biz mxtsr vurma dsturlarn ttbiq edirik.Hminin kvadrat hdlini vuruqlara ayrma qaydas yada salnr.ndi is ykskdrcli oxhdlilri vuruqlarna ayrmaq n vuruqlarhaqqnda teoremdn v oxhdlini blm sullarndan istifad edcyik. oxhdlini oxhdliy bldkd qalq sfra brabr olarsa, demli, blnoxhdli blnn oxhdlinin vuruudur.

P(x)x m

0x m= Q(x) + , P(x) = (x m)Q(x)

P(x)x m

rx m= Q(x) +

Drs 5. oxhdlinin vuruqlar haqqnda teorem. Drslik sh. 13-14.Mzmun standart:1.1.2. oxhdlinin ikihdliy blnmsin Bezu teoremini ttbiq edir.1.1.3. Vahidin n drcdn kknn xasslrini bilir v ttbiq edir.agird bacarqlar: qalq haqqnda teoremdn istifad etmkl veriln ikihdlinin oxhdlininvuruu olub-olmadn myyn edir; vuruqlar haqqnda teoremi nmunlr zrind izah edir.

P(x) = 3x3 + 2x2 + 1 oxhdlisinP(1) = 3(1) + 2(1)2 + 1 = 0olduundan x +1 ikihdlisiP(x) oxhdlisinin vuruudur.

m ddi P(x) oxhdlisinin kkdrs,x m ikihdlisi P(x)-in vuruudur.

Bu tklifin trsi d dorudur, yni x mikihdlisi P(x) oxhdlisinin vuruu dur -sa, onda P(m) = 0.

oxhdlinin vuruqlar haqqndaTeorem Nmun

agird qalq haqqnda teorem gr veriln ikihdlinin oxhdlinin vuruuolub-olmadn myyn etdikdn sonra digr vuruun sintetik blm ilmyyn edilmsin aid taprqlar yerin yetirilir.

,

2x3 11x2 18x 9

2 11 18 96 15 9

2 5 3 0

D.3. f (a) = 0 olduunu bilrk, oxhdlini vuruqlarna ayrn. 1)(x) = x3 12x2 + 12x + 80; a = 10Hlli: f (10) = 0 olduundan, f (x) oxhdlisi (x 10) ikihdlisin qalqszblnmlidir. Sintetik blmni ttbiq edk:

Demli, x3 12x2 + 12x + 80 = (x 10)(x2 2x 8) klind yazmaq olar. Bu-radan kvadrat hdlinin vuruqlarna ayrln yazmaqla alarq:

x3 12x2 + 12x + 80 = (x 10)(x 4)(x + 2)

21

agird hm blm sullarndan istifad etmkl, hm d vuruqlar haqqndateoremi birbaa ttbiq etmkl veriln ikihdlinin oxhdlinin vuruu olub-olmadn myyn edir. Msln, aadak taprqda agird teoremi birbaattbiq edir.

2x3 + 11x2 + 18x + 9 = (x + 3)(2x2 + 5x + 3)

2x3 + 11x2 + 18x + 9 = 2(x + 3)(x + 1)(x + 3/2)

2x2 + 5x + 3 = 0, x1 = 1, x2 = 3/2

? Drslikd verilmi bzi taprqlarn hlli:

x3 12x2 + 12x + 80

x2 2x 8 r = 0

1

1

12 12 80

10

10

20 802 8 0

Drs 6-7. Rasional kklrin taplmas. 2saat. Drslik sh. 15 - 17.Mzmun standart. 1.1.3. Vahidin n drcdn kknn xasslrini bilir vttbiq edir.agird bacarqlar: qalq haqqnda teoremdn istifad edrk veriln ikihdlinin oxhdlininvuruu olub-olmadn myyn edir. ikihdli vurua gr sintetik blmdn istifad etmkl oxhdlinin digrvuruqlarn myyn edir.

D.7. Vuruqlar haqqnda teoremdn istifad etmkl gstrin ki, x + 1 ikihdlisiP(x) = x25 + 1 oxhdlisinin vuruudur, Q(x) = x25 1 oxhdlisinin is vuruudeyil. Hlli: Qalq haqqnda teorem gr P(1) = 0 olmaldr. Yoxlayaq: P(1) = (1)25 + 1 = 1 + 1 = 0, demli x + 1 vuruu P(x)oxhdlisinin vuruudur. Q(1) = (1)25 1 = 1 1 = 2, demli x + 1vuruu Q(x) oxhdlisinin vuruu deyil.

3

Rasional kklrin axtarlmas haqqnda teorem nmun zrind aradrlr. Budrsd biz rasional kklrin axtarlmas haqqnda teoremi yrncyik. Bs,oxhdlinin kklri hans ddlr ola bilr? oxhdlinin kklrinin hans ddlrola bilcyi haqqnda agirdlrl shbt aparlr. Tutaq ki, aadak kimivuruqlarna ayrlm oxhdli var. Bu oxhdlinin kklri haqqnda n demkolar?

Kklr:

oxhdlinin kklri rasional, irrasional, kompleks ddlr ola bilr.oxhdlinin iki v daha ox sayda tkrarlanan kklri ola bilr.

P(x) = (x + 3)(2x 1)(x + 2)(x 2)(x 4 + 5i)(x 4 5i)

3, 4 5i, 4 + 5i,2,1 2, 2,

kompleks kk

hqiqi olmayan kklr

irrasional kk

hqiqi kklr

rasional kk

22

Tarixi mbahis - kub tnliklrin mumi kild hllini ilk df kim vermidir - Kar-dano, yoxsa Tartalya? slind mbahis italyan riyaziyyats arasndadr. Yoxsulluqv aclq iind yaayan riyaziyyat Tartalya drcli tnliklrin hlli dsturunu tapdnbildirdi. Bu msl il baqa bir italyan riyaziyyats Kardano da mul olurdu. Buxbri eidn Kardano Tartalyann yanna glir v dsturu ona izah etmsini istyir,vzind is bu ii drc edcyini vd edir. Lakin Tartalya raz olmur. Kardano is israrndavam etdirrk Tartalyadan bu dsturu almaa nail olur. (Mnblrd Kardanonun ds-turun sirlrini Tartalyann kub tnliklrin hlli haqqnda yazd poemadan yrndiyi dqeyd edilir.). Bir mddt sonra Kardano bu kfi z adna nr etdirir. Bundan sblnTartalya Kar danaya qar xlara balayr. Kardano is Tartalyaya qar ox istedadltlbsi olan v drddrcli tnliklrin hlli dsturunu vern Ferraridn istifad edir. Bumbahisdn ox sonralar norve riyaziyyats Nils Abel v fransz riyaziyyats EvaristQalua trfindn gstrildi ki, mumi halda 5 v 5-dn yksk drcli tnliklrin kklriradikallarla ifad edil bilmz.

Tarixi mnblrd Tartalyannn Kardanoya qar Sn mnim dsturumuourlamsan mtni agirdlrl birg aradrlr. Bu mlumat agirdlr kubtnliklrin hllinin Kardano sulunu yrnmy motivasiya ed bilr. Onlara in-ternet mnblrdn bu sulu aradrmaq taprla bilr.

Rasional kklr haqqnda teorem. gr sad (ixtisar olunmayan) pq

rasional ddi n 0 olmaqla msallar tam ddlr olan P(x) = an xn + an1xn-1 + . . . + a1x + a0 oxhdlinin kkdrs, onda p ddia0-n, q ddi is an-nin tam blnidir.

23

Teoremin isbat orta mktb kursunda nzrd tutulmur. Lakin bu teoreminisbat saddir. p/q ddi P(x)-in sfr olduundan

an( )n + an1 ( )n 1 + . . . + a1( ) + a0 = 0 mnasibtini yaza bilrik.pq

pq

pq

Tnliyin hr iki trfini qn- vursaq, anpn + an1 pn 1q + . . . + a1pqn1 + a0 qn = 0

alarq, buradananpn = q( an1 pn 1 . . . a0 qn-1)

olar.Brabrliyin hr iki trfi tam ddlrdir, demli q ddi anpn hddininblnidir. p/q sad rasional dd olduundan, onlarn ortaq vuruu yalnz 1ola bilr, yni p v q ddlri qarlql sad ddlrdir, demli pn v q ddlrid qarlql sad ddlrdr, onda p ddi an ddinin blnidir. Analojiqayda il brabrliyi a0qn hddin gr hll edib brabrliyin sa trfind pvuruunu mtriz xaricin xarsaq alarq:

a0qn = p( an pn 1 . . . a1 qn-1)Sonuncu brabrlikdn p ddinin a0qn ddinin vuruu olduu alnr. pddi q il qarlql sad olduundan, p ddi a0-n blnidir.

Burada bir mqama xsusi diqqt yetirilir. Rasional kklr haqqnda teoremmsallar tam ddlr olan oxhdlinin mtlq rasional kklri olmaldr fikrinivurulamr. Rasional kklrin (gr varsa), p v q uyun olaraq a0 v an-ninblnlri olmaqla, p/q rasional ddlri arasndan axtarlmal olduunu vuru -layr. Bu teorem mhz bu sbbdn rasional kklrin axtarlmas haqqnda teoremadlanr. Aydndr ki, hr bir ddin bir ne vuruu ola bilr v rasional kk oxlusayda ddlr arasndan axtarlmal olur ki, bu da yorucu i evrilir. oxhdlininkklrini uyun funksiyann qrafikini qrafkalkulyatorla quraraq, qrafik grhans rasional ddin oxhdlinin kk olduunu txmin etmk olur. Ona grd, riyaziyyatn masir tdrisi agirdin qrafkalkulyatordan istifadsin hr antviq edilmsini vacib edir.

oxhdlinin bir rasional kknn myyn edilmsi il onun digr vuruqlarnsintetik blmnin kmyil myyn edib, oxhdlini vuruqlara ayraraq digrrasional, irrasional v ya kompleks (xyali) kklrini tapmaq olar. oxhdlininrasional kk olmaya bilr. Bu halda kklr irrasional v ya kompleks ddlrdir.rrasional kklri qrafik sulla tqribi olaraq tapmaq olar.

Msln, P(x) = x3 + 6x 2 oxhdlinin rasional kkyoxdur, lakin qrafikdn grndy kimi tqribiqiymti x 0,32748 olan bir irrasional v daha ikikompleks kk vardr.

50

50

55

x 0,32748 y = 0

kklrini 2x2 3x + 1 = 0 tnliyini hll etmkl taprq: 1 v .

24

Rasional, irrasional v kompleks kklri olan oxhdlilrin nmun gstrilmsitvsiy edilir. Msln, P(x) = 2x3 5x2 6x + 2 oxhdlisi rasional v irrasional kklri olanoxhdliy aid nmun ola bilr.

Qiymtlndirm. Drslikd verilmi taprqlar yerin yetirilir. Mahid yoluil qiymtlndirm aparlr. oxhdlilrin kklrinin taplmas ox vaxtapardndan qruplarla i blgs il yerin yetiril bilr. agirdin bir rasional kk myyn etdikdn sonra (mmkn rasional kklr arasndan seiboxhdlid yoxlamaqla) sintetik blmnin ttbiqi il oxhdlinin digr vuruunu

12

12

32

D.12. Ba hddinin msal a = 2 olan drcli P(x) oxhdlisi n P(2) = P(1) = P(2) = 0 olduu mlumdur. oxhdlinin vuruqlara ayrl kliniyazn. Hlli: P(x) drcli oxhdlisi n P(2) = P(1) = P(2) = 0 olduumlumdursa, onda P(x) oxhdlisinin (x + 2), (x 1) v (x 2) vuruqlar vardr.x3-nun msal 2-y brabr olduundan P(x)-in vuruqlara ayrl

P(x) = 2(x + 2)(x 1)(x 2) klinddir.

Hlli: f(x) =2x3 + 3x2 8x + 3 oxhdlisinin rasional sfrlar varsa, 1; 3;

? Drslikd verilmi bzi taprqlarn hlli:

; ddlri arasndadr. Qrafik gr txmin etmk olar ki, x = 3

bu oxhdlinin kkdr. Sintetik blm qaydas il oxhdlinin x + 3 ikihdlisinblnmsindn alnan qaln 0 olduunu yoxlayaq:

Veriln qrafikdn d oxhdlinin sfrlarnn dzgn tapldn grmk mmkn dr.

Demli, 2x3 + 3x2 8x + 3 = (x + 3)(2x2 3x + 1) olur. oxhdlinin digr

2

2

3 8 3

6

3

9 33 1 0

D.13. f(x) = 2x3 + 3x2 8x + 3 funksiyasnnqrafiki kild gstrildiyi kimidir. Qrafik gr funksiyann sfrlarn myynedin. Rasional kkn taplma qaydasndan v sin-tetik blmdn istifad etmkl d sfrlar tapn,qrafik gr yoxlayn.

f(x) = 2x3 + 3x2 8x + 3y

x4 2 2O

agirdlrin diqqtin o da atdrlr ki, cbrin sas teoremi kklrin varlnhkm edir, kklrin taplma alqoritmini gstrmir.

3. drcli oxhdlinin xtti vuruu v kk var. P(x) = x3 + 4x = x(x2 + 4) = x(x + 2i)(x 2i)x1 = 0, x2 = 2i v x3 = 2i

4. Drd drcli oxhdlinin drd vuruu v drd kk var. P(x) = x4 1 = (x 1)(x +1)(x + i)(x i) x1 = 1, x2 = 1, x3 = i v x4 = i

25

Biz ken drsimizd qeyd etdik ki, oxhdlinin kklrini tapmaq noxhdlinin tam olaraq xtti vuruqlarna ayrlmas byk hmiyyt dayr.

Cbrin sas teoremi oxhdlini btn tkrarlanan kklrini gstrn xttivuruqlar il ifad edilmsin imkan verir. Cbrin sas teoremi ilk df almanriyaziyyats Karl Gauss (1777-1855) trfindn isbat edilmidir.

agird bacarqlar: cbrin sas teoremini nmunlr zrind tqdim edir; oxhdlini btn xtti vuruqlarnn hasili klind ifad edir; n drcli oxhdlinin n vuruunun v n kknn olduunu nmunlrzrind gstrir; n drcli oxhdlinin rasional, irrasional, kompleks kklrini tapr.

Drs. 8-9. Cbrin sas teoremi. Drslik sh. 18-212 saatMzmun standart. 1.1.1. n drcli oxhdlinin n kk olduunu bilir vona sasn tnliklri hll edir.1.1.3. Vahidin n drcdn kknn xasslrini bilir v ttbiq edir.

Teorem. Drcsi sfrdan byk olan istniln oxhdlinin kompleks dd lroxluunda n az bir kk var.

Drslikd verilmi teoremdn xan ntic odur ki, n drcli oxhdlini nsayda xtti vuruun hasili kimi gstrmk olar:

P(x) = an (x c1)(x c2)(x c3) . . . (x cn)Teorem nmunlr zrind izah edilir. 1. P(x) = x 3 bir drcli oxhdlisinin bir kk var. Biz veriln oxhdlini

sfra brabr etmkl alnan tnlikdn kklrini taprq. x 3 = 0 ; x = 3 2. ki drcli oxhdlinin iki kk var. P(x) = x2 +3x + 4 oxhdlisinin iki xtti vuruu var v iki kk var.

x2 +3x + 4 = 0, (x + 1)(x + 3) = 0; x1 = 1 v x2 = 3

myyn etmsi v bu vuruqlara gr artq mlum sullarla (kvadrat hdli,mxtsr vurma dsturlarnn ttbiqi v s.) digr kklri tapma bacarqlarnadiqqt edilir. Yalnz oxhdlinin btn xtti vuruqlarn yazdqdan sonra agirdinoxhdlinin btn kklrini dzgn tapacana min olmaq olar.

26

agirdlrin diqqtin bir daha atdrlr ki, n drcli oxhdlinin n oxu n kkola bilr.

oxhdlinin mmkn rasional kklr siyahsndan bir kk myynldirmk(iin sas hisssi budur-oxhdlinin ilk vuruunu tapmaq), daha sonra is sintetikblm qaydasndan istifad edrk digr vuruqlarn myyn etmkl kklrinitapmaq olar. oxhdlinin btn xtti vuruqlarn tapdqdan sonra kklrini yazmaqolar. oxhdlinin ba msal 1- brabr olmadqda mmkn rasional kklrinsiyahs ox artr. Odur ki, daha ox an = 1 olan oxhdlilr nzrdn keirilir.

Qiymtlndirm. Cbrin sas teoremini baa ddyn yoxlamaq nagird(lr) veriln kklr uyun vuruqlara ayrl kli il oxhdlilr yazmastaprlr. Msln, kklri 2, 3, hminin 3 df tkrar (1) kk olan oxhdliniyaz, drcsini myyn et. agird P(x) = (x 2)(x+3)(x+1)3 oxhdlisini yazr.oxhdlinin 5 vuruu v 1+1+3=5 drcli olduunu tqdim edir.

D.18. Tnliyi hll edin. e) x4 2x3 + 5x2 8x + 4 = 0Hlli: Verilmi tnliyinin rasional kklri varsa, 1, 2, 4 ddlri ara sn da dr.

? Drslikd verilmi bzi taprqlarn hlli:

Hlli: Veriln rt gr x3 + 4x2 + x = 4 tnliyinin 4-dnfrqli kkn tapma l yq. Bu tnliyi x3 4x2 x + 4 = 0klind yazaq. x3 4x2 x + 4 oxhdli sini (x 4)- sintetikqayda il blk. 1

1

4 1 4

44

0 40 1 0

x3 4x2 x + 4 = (x 4)(x2 1) = (x 4)(x 1)(x + 1) olduundan 4-dnfrqli kklr 1 v 1-dir. x = 1 real situasiyaya uyun deyil. Demli, irkt 1milyon kynk istehsalndan 4 milyon manat mnft ld edr.

D.24. dman kynklri istehsal edn irktin mnftini P(x) = x3 + 4x2 + x kimi modelldirmk olar. Burada P mnfti (milyonmanatla), x is istehsal olunan kynk lrin sayn (milyonlarla) ifad edir.Hesabata g r irkt 4 milyon kynyin satndan 4 milyon ma nat mnftld etmidir. irkt daha az sayda ky nk istehsal etmkl eyni mnfti ldetmk ists, ky nk lrin say n qdr olmaldr?

1

1

2 5 8 41

11 4

1 4 4

4

0

x4 2x3 + 5x2 8x + 4x = 1 ddinin veriln oxhdlininkk olduunu yoxlayaq. Ondax4 2x3 + 5x2 8x + 4 = = (x 1) (x3 x2 + 4x 4).Verilmi tnliyi (x 1) (x3 x2 + 4x 4) = 0 v ya(x 1)2 (x2 + 4) = 0 klind yazaq. Buradan x1 = x2 = 1, x3 = 2i, x4 = 2i

27

i vrq 3Ad_________ Soyad___________ Tarix______

1) Veriln ddin oxhdlinin kk olub-olmadn yoxlayn.

3) Verilnlr gr dz prizmalarn tlb olunan llrinin ifadsiniyazn.

(x) = x3 x2 + 4x 4, x = 1

(x) = x4 x2 3x + 3, x = 2

(x) = x4 x2 3x 3, x = 1

(x) = x3 3x2 + x 3, x = i

2) oxhdlinin btn kklrini tapn.

a) (x) = x3 + 72 5x2 18xb) (x) = x3 7x2 + 2x + 40c) (x) = x3 8x2 23x + 30d) (x) = x3 3x2 4x + 12

V(x) = 2x3 17x2 + 27x + 18 V(x) = x3 + 7x2 + 14x + 8 V(x) = x4 1

h = x 6 h = x + 4

a = x + 2b = ?

h = x2 + 1

dzbucaql paralelepipedd1 = x + 1

d2 = ?

oturaca romb olan dzprizma

Sot(x)=?dz prizma

28

i vrq 4Ad_________ Soyad___________ Tarix______

1) Ba msal 1, kklri veriln ddlr olan n kiik drcli P(x) oxhdlisiniyazn. Drcsini gstrin.

2) Hr bir qrafikin hans oxhdliy aid olduunu myyn edin. x oxu ilksim nqtlrinin absislrinin tam ddlr olduuna gr oxhdlilrivuruqlarna ayrn.

1; 1; 2; 2; 3

3; 0; 2

1; 1; i; i

3; 2 + 5, 2 5

1; 1; 3 v 4

a. P(x) = x2 + 5x + 4 c. P(x) = x3 + x2 2xe. P(x) = x5 5x2 + 4

b. P(x) = x3 2x2 x + 2

f. P(x) = x4 2x3 x2 + 2xd. P(x) = x3 x

A. B.

C. D.

4

6

4

6

4

6

4

6

4

6

4

6

4

4

4

6

29

3) Gstrin ki, kompleks ddin v qomasnn cmi hqiqi dddir.

4) Gstrin ki, kompleks ddin v qomasnn hasili hqiqi dddir.

Cdvli doldurun.

a) Cdvli doldurduqdan sonra kklrin cmi il oxhdlinin msallar arasndaklaq haqqnda fikirlrinizi mumildirib yazn.

a) Cdvli doldurduqdan sonra kklrin hasili il oxhdlinin msallar arasndaklaq haqqnda fikirlrinizi mumildirib yazn.

Kklri Kklrincmi

Kklrinhasili

oxhdlilr

(x) = x2 5x + 6

(x) = x3 7x + 6

(x) = x4 + 2x3 + x2 + 8x 12

(x) = x5 x4 x3 x2 2x

i vrq 5Ad_________ Soyad___________ Tarix______

30

Drs 10-13. oxhdli-funksiya. Rasional funksiya. mumildirici taprqlar. 4 saat. Drslik sh. 22-29.

agird bacarqlar: oxhdli funksiyann ba hddinin msalnn iarsinin v drcsinin tk vya ct olmasnn onun qrafikin nec tsir etdiyini baa ddyn nmunlrzrind izah edir; oxhdlinin kklrini tapr v onlarn x oxu il ksim nqtlrinin absisiolduunu baa dr. oxhdli funksiyann qiymtinin msbt v mnfi olduu aralqlar myynedir. oxhdli funksiyann qrafikini sxematik qurur. asimptotlarndan istifad etmkl sad rasional funksiyalarn qrafikini qurur.

oxhdlilri myyn edn anlaylar tkrar edilir. oxhdlinin drcsi, bahddin msal, oxhdlinin standart yazl, sfrlar kimi anlaylarnoxhdlinin qrafikinin qurulmasnda istifad edildiyi diqqt atdrlr. Mhzba hdd - onun msalnn iarsi v drcnin tk v ya ct olmas, oxhdlifunksiyann qrafikini xarakteriz edir. Bir ne oxhdli funksiya v qrafiklri nmayi etdirilir.

Qrafiklr drcnin tk v ya ct olmas, ba hddin msalnn iarsininmnfi v ya msbt olmasnn funksiyaya nec tsir etdiyi mzakir edilir.Mzakir mumildirilir. 1. Funksiyann qrafikinin (qollarnn) istiqamtlri myynldirilir

an msbtdir yuxar v yuxar aa v yuxar

yuxar v aa aa v aa an mnfidir

Ba msal an n tkdirn ctdr

Xtti (birdrcli), kvadratik (ikidrcli) funksiyalar hminin, drclikub funksiyalardan bzilri il artq tan olduqlar mzakirlrl myynedilir. ndi is yksk drcli oxhdli funksiyalar yrncklri diqqtatdrlr.

Mzmun standart. 1.1.1. n drcli oxhdlinin n kk olduunu bilir vona sasn tnliklri hll edir.

(x) = (x 3)2 (x) = x4 + x2 (x) = x3 4x2 (x) = x3 x2 + 5x 3

31

Qrafiki qurma addmlar aradrlr, veriln nmun qrafikini agirdlrdftrlrind qururlar. Fikirlrini mumildirirlr.

oxhdli funksiyann qrafikinin x oxunu ksm nqtlrin, ba hddinmsa lnn iarsin v drcsin gr qurmaq olar. x oxunu ksm nqtlrini onun kklrini hesablamaqla tapmaq olar.

gr oxhdli vuruqlarna ayrl kli il verilmis, kklri asanlqla tap-maq olar, gr standart formada verilmis, onlar

- qrupladrma v ya mxtsr vurma dsturlarndan istifad etmkl; - qalq haqqnda v rasional sfrlar haqqnda teoremlrdn istifad etmkl

vuruqlarna ayrmaq olar.

7-ci alma izah edilir. gr oxhdli funksiya y = (x r)k klind olarsa,funksiyann qrafikin nec tsir edr?

1. oxhdli funksiya y = (x r)k klind olarsa, k ct dd olduqdafunksiyann qrafiki x oxuna r nqtsind toxunur v dnr.2. k tk olarsa, qrafik x oxunu ksir.

gr funksiyann qrafikinin x oxuna toxunma nqtsi varsa, demli, buoxhdlinin ct drcdn tkrarlanan kklri var.

Msln, kildki qrafik uyun mmkn kiikdrcli oxhdli f(x) = (x + 1)(x 2)2 kimi olacaq.Qrafik x = 2 nqtsind x oxuna toxunduu ntkrarlanan kklr d bu nqty ylmdr. Onlarnsay n az 2-dir, lakin 4; 6 v s. d ola bilr.

Qiymtlndirm. agirdin veriln oxhdlinin drcsini, ba hddinmsalnn iarsini, qrafikin iki ucunun x-in , + -a yaxnlamas il hansistiqamtlr doru ynldiyini myyn etmsi bacarqlarna gr formativqiymtlndirm aparlr.

2-ci, 3-c saatlarda asimptotlarndan istifad etmkl rasional funksiyannqrafikinin qurulmasna aid taprqlar, 4-c saatda is blm zrmumildirici taprqlarn hlli yerin yetirilir.

x

y

2. n > 1 drcli oxhdlinin n oxu n 1 sayda dnm nqtsi (artmannazalma il v ya trsin vz olunduu nqt) ola bilr, tk drcli oxhdlininct sayda, ct drcli oxhdlinin is tk sayda dnm nqtsi olur.

1 2

d) y = 2x2+ x + 2x + 1

32

oxhdli funksiyalarn qiymtinin arqumentin modulca byk qiymtlrindnec dyidiyini yazn.

i vrq 6Ad_________ Soyad___________ Tarix______

d) f(x)=x 4+3x 325x

b) f(x)=x 32x 2 +1

e) f(x)=x 32x 2 3

a) f(x)=x 26x7

f) f(x)=x 5+4x 5x+1

c) f(x)=x 2+2

D.3. (sh. 28) Verilmi rasional funksiyann asimptotlarn tapn.? Drslikd verilmi bzi taprqlarn hlli:Hlli:b) y = 2xx2 1

2x2+ x + 2x + 1

2xx2 1

3x + 1

3x + 1

x = 1 olduqda ksrin surti 0-dan frqli, mxrci is 0-a brabr olur. Demli,x = 1 v x = 1 dz xtlri verilmi funksiyann aquli asimptotlardr. Surtindrcsi mxrcin drcsindn kiik olduundan funksiyann fqi asimptotu

var. lim = 0 olduuna gr y = 0 dz xtti fqi asimptotdur.x

x = 1 olduqda ksrin surti 0-dan frqli, mxrci is 0-a brabr olur. Demli,x = 1 dz xtti verilmi funksiyann aquli asimptotudur. Surtin drcsimxrcin drcsindn bir vahid byk olduundan funksiyann maili asimp-totu var. 2x2+ x + 2 oxhdlisini x + 1 ikihdlisin budaql blmni yerin yetirk.

2x2+ x + 22x 1 2x2 + 2x

x + 2 x 1

3

x + 1

Demli, = 2x 1+ . Arqumentin modulca byk qiymtlrin d

ksri sonsuz kiiln olduundan verilmi funksiyann qrafiki y = 2x 1dz xttin sonsuz yaxnlar. Yni, y = 2x 1 dz xtti verilmi funksiyannmaili asimptotudur.

33

f(x) = x3 + 3x2 x 3.

f(x) = x4 2x3 3x2 + 8x 4

f(x) = x4 + 4x3 4x2

Funksiyalarn qrafikini qurun.

i vrq 7 Ad_________ Soyad___________ Tarix______

x 1x 2

y =

34

1-ci blm zr summativ qiymtlndirm meyarlar cdvli

Meyarlar agird haq qndaqeydlr

1. oxhdlini oxhdliy blmni budaql blm sulundan istifad etmkl yerin yetirir.

2. Blnn, bln, qismt v qal yazr.

3.oxhdlinin ikihdliy blnmsini sintetik blmdn istifad etmkl yerin yetirir.

4. Qalq haqqnda teoremi almalarn hllin ttbiq edir.

5.Qalq haqqnda teoremdn istifad etmkl veriln ikihdlinin oxhdlinin vuruu olub- olmadn myyn edir.

6. Cbrin sas teoremini nmunlr zrind tqdim edir.

7. oxhdlini xtti vuruqlarnn hasili klind ifad edir.

8. n drcli oxhdlinin rasional, irrasional, kompleks kklrini tapr.

9. oxhdli funksiyann qrafikini sxematik qurur.

10 Aimptotlarndan istifad etmkl sad rasional funksiyalarn qrafikini qurur.

35

1) Sintetik blmd bln hans kild olmaldr? Sintetik blmy aidbir nmun yazn.

2) Hansnda qalq n bykdr? a) (x2 x 3) : (x 2) b) (x2 + x 3) : (x 2)c) (x2 + x +3) : (x 2) b) (x2 x + 3) : (x 2)

3) P(x) = x4 5x3 + 7x n coxhdlisi x 1 ikihdlisin qalqsz blnrs,n ddini tapn.

3) Aada veriln oxhdlilrin rasional kklrini (gr varsa) tapn.

4) (x) = x3 + 14x2 + 41x 56 oxhdlisinin mmkn rasional kklrininsiyahsn rasional kklr haqqnda teoremdn istifad etmkl yazn.

a) (x) = 6x2 8x + 2 b) (x) = 0,3x2 + 2x + 4,5 c) (x) = x2 + x 13

12

56

5) Hans ikihdli P(x) = 2x3 5x2 9x + 18 oxhdlisinin vuruudur?a) x 1 b) x + 2 c) x + 3 d) x 6

6) Coxhdlini xtti vuruqlarna ayrn

7) a, b, c ddlrinin yerind hans ddlr olmaldr?

8) 2x2+ 6x + 3 coxhdlisini x + 2-y bldkd qalq ne alnr?

a) 11 b) 3 c) 0 d) 1

P(x) = x3 4x2 + x + 6

3a

b

c2 3321 72

7 683

Drs 14. 1-ci blm zr summativ qiymtlndirm taprqlar

36

11) Funksiyalarn qrafikini qurun.

12) Hr bir oxhdliy uyun qrafiki sein.

13) hqiqi kk olan drcli oxhdli funksiyann ne dnm nqtsivar?

14) Hans doru, hans yanldr? a) Ct drcli oxhdlinin qrafiki x oxunu hmi ct sayda nqtd ksir.b) stniln tk drcli oxhdlinin qrafiki x oxunu n az bir nqtd ksir. c) stniln ct drcli oxhdlinin qrafiki x oxunu n az bir nqtd ksir.

15) P(x) = 3x3 + 4x2 + 2x 9 oxhdlisi n hans fikir dorudur? a) P(x)-i x + 1- bldkd qalq 6-ya brabrdir.b) x 1 ikihdlisi P(x)-in vuruudur.c) P(3) = 36d) P(x) = (x + 3)(3x2 5x + 17) + 42

a) 1 b) 2 c) 3 c) 4

a) y = (x + 1)(x 2)(x + 3) c) b) g(x) = x4 16x2

a) y = x4 + 3x3 3x2 7x + 6 c) y = 2x3 + 6x2 + 2x 6b) y = x3 4x2 + 4x

10) P(x) = x4 2x3 7x2 8x + 12 oxhdlisinin mmkn ola biln rasionalkklri hans oxluqdak ddlri yoxlamaqla tapla bilr? a) 1, 2, 4, 12 b) 1, 2, 3, 4, 6c) 1, 2, 3, 4, 6, 8 d) 1, 2, 3, 4, 6, 12

46y1)

x42

20-2

-2-4

-6-4

4

46

y y2) 3)

x

x

4

4

2

22

2

0

0-2

-2

-2-4

-4

-4

-4

8

-2

x 2x 1y =

9) Hansl ifad (x2 + 3x 25):(x 4) ifadsin ekvivalentdir?

a) x + 28 b) x + 7 + 3x 4 ) x + 4 + 1

x 7d) x + 7

37

2-ci blm zr planladrma cdvli

sas v alt mzmunstandartlar Drs Mvzu

Drs saat

Drsliksh.

3.1.1. Fzada Dekart ko-ordinat sistemi anla y -n, vektor anlaynbi lir, koordinatlar ilve rilmi iki vektorunskalyar hasilini tapr.3.1.2. Fzada koordinat-lar sulunu mxtlif m -sllrin hllin tt biqedir.3.1.4. Fzada verilmivektoru komplanar ol -ma yan vektor zrayrr.

3.1.3. Mstvinin tnli -yini v sferann tnliyinibilir, onlara aid ms -llr hll edir.3.2.1. Paralel krmnimsllr hllin ttbiqedir.3.2.2. Fzada oxarlqe virmsini msllrhl lin ttbiq edir.

4.1.2. lm v hesabla -ma vasitlri il alnmnticlri mqayis ed -rk, xtan myyn edir.

15-18Fzada dzbucaql koor-dinat sistemi 4 31-38

19-21 Fzada vektorlar 3 39-45

22-24ki vektorun skalyar ha -si li. ki vektor arasndakbucaq

3 46-50

25 Dz xttin mumitnliyi 1 51-52

26-28Mstvinin tnliyiMstvilrin qarlqlvziyytlri

3 53-58

29-30 Sferann tnliyi 2 59-60\

31 Fzada v mstvidevrilmlr

1 61-63

32-33mumildirici tap -rq lar. Summativqiymtlndirmtaprqlar

2 64-65

Cmi 19

1. Manipulyativ ml. yrnm. Anlayn tqdimi. Drslikd verilmitopun hrkti zrind ll koordinat sistemi haqqnda tsvvr yaradlr. Birll, ikill, ll koordinat sisitemlri haqqnda mzakirlraparlr. ndiy qdr dd oxunu bir dz xtl tsvir edir v zrind nq tninyerini bir koordinatla, dzbucaql mstvi koordinat sistemini x v y koordinatoxlar adlandrdmz iki qarlql perpendikulyar dz xtl v nqtni ikikoordinat il tsvir edirdik. Ancaq biz ll fzada yaayrq. Bizi hatedn btn cisimlr lldr. Demli, biz ll fza koordinatsistemind nqtnin koordinatlarn oxuma v koordi -nat lar veriln nqtni yerldirmyi bacarmalyq. Fza koordinat sistemi zrind uzunluq vahidi v +istiqamti gstrilmi, bir nqtd bir-birin perpendikul-yar olan dd oxunun yaratd koordinat sistemidir.agirdlr bu trif uyun koordinat sistemini dftr l rin -d kirlr. 5-7 dq.

Daha sonra agirdlr real situasiyalar zrind llsistem tsvvrlrini nmay etdirirlr. Msln, sinifotann bir kncndn otan eni, uzunu v hndr-lyn koordinat oxlar kimi tqdim edirlr. xOy, yOz,xOz mstvilrini uyun divarlar olaraq ayrrlar. Koor-dinat mstvisin mxtlif perspektivlrdn baxmaq olar. Kub modeli zrind kild gstrildiyi kimi tsvir lverili nmundir. Bizkubun tam qarsnda dayanaraq baxsaq, arxa z zy mstvisin, bu z per-pendikulyar olan sol yan z zx, alt z (oturacaq) is xy mstvisin uyun ola-caq. 5-7 dq.

38

Drs 15. Fzada dzbucaql koordinat sistemi. 1 saat. Drslik sh.31-34 Mzmun standart. 3.1.1. Fzada Dekart koordinat sistemi anlayn, vektor anlayn bilir,koordinatlar il verilmi iki vektorun skalyar hasilini tapr.agird bacarqlar: ll koordinat sistemini qrafik tsvir edir; fza koordinat sitemini tkil edn koordinat mstvilrini v onlar zrindyerln nqtlri koordinatlar il tqdim edir; veriln nqtni ll koordinat sistemind qurur; qrafik tsvirl verilmi nqtnin koordinatlarn myyn edir.

2. yrnm. ll dzbucaql koordinat sistemind(R3-d) koordinatoxlar. Koordinat ms t vi l ri (mzakir). agirdlr koordinat siste min dkoordinat oxlarnn ct-ct yaratd koordinat mstvilrini ayrrlar. x v y oxlar xOy v ya xy koordinat mstvisini, y v z oxlar yOz v ya yzkoordinat mstvisini, x v z oxlarnn is xOz v ya xz koordinat mstvisiniyaratdn myyn edirlr.

Drs nmunsi

x

y zxx

0z

C

P(x;y;z)

A

y

z

z

yO

x

Daha sonra is nqtni koordinat sistemind tsviretmtaprqlar P(2; 4; 3) nmunsi zrind izah edilir.(Top n mu nsi yenidn yada salnmaqla.) Biz vvlctopun yerdki koordinatlarna uyun olaraq P nqt -sinin (2; 4; 0) koordinatlarn qeyd edib, daha sonra isbu nqtdn xy mstvisin perpen dikulyar qaldraraq(topun n qdr hn dr ly qalxd) bu nqtdn Ozoxuna per pen di kulyar ksk, P nqtsinin z koor di na -tn alarq. 7-10 dq

agird fza koordinat sistemind verilmi P(x; y; z)nqtsinin koordinatlarn tqdim edir.

P nqtsindn xy mstvisin perpendikulyar ki -lir v P il iar edilir. P nqtsindn Ox oxunu ksnperpendikulyar kilir v OP1 paras P nqtsininabsisin, x koordinatna, P nqtsindn Oy oxunuksn perpendikulyar kilir v OP2 paras Pnqtsinin or di natna, yni y koordinatna, P nqt -sindn Oz oxunu ksn perpendikulyar kilir v OP3msafsi P nqtsinin aplikatna, yni z koordinatna uyun olur. x, y, z koor -dinatlar hqiqi ddlr oxluunda qiymtlr alrlar: x, y, zR.

39

Dzbucaql koordinat sistemin sa l sistemi d deyilir.

3. yrnm. R3 sistemind nqtnin koordinatlarn oxuma v nqtniyerldirm (mzakir, frdi i). Nqtnin yeri fza koordinat sistemindmstvi koordinat sistemin analoji qaydada taplr. Yalnz mstvi koordinatsistemind nqtnin (x; y) koordinat ct Ox v Oy oxundan msafnigstrirs, fza koordinat sistemind nqtnin yerini gstrn (x; y; z) koordi-nat ly modulca uyun olaraq yz, xz v xy koordinat mstvilrindnmsafni gstrir. Fzann hr bir P nq tsin nizaml (x0; y0; z0) lyuyundur v trsin: P (x0; y0; z0).

Daha sonra nqtni fza koordinat mstvisind qeydetm mlsi yerinyetirilir. Veriln myyn nqtni mstqil olaraq tsvir et m lri n agird -lr vaxt verilir v yerin yetirm sviyysi mahid edilir. Fza koor dinatsistemini izometrik vrqlrd yerin yetirmk daha lverilidir. Ona gr dvvlcdn agirdlrin bu vrqlri evd hazrlayb gtirmlri tvsiy edilir.

xz mstvisi, y = 0

xy mstvisi, z = 0o

z

y

xx

z

yO0;0;0

koordinat balanc

z1P3z

yy1

P(x1;y1;0)

P(x1;y1;z1)

x x1P1

OP2

z

y4

P`(2;4;0)2

3 P(2;4;3)

x

O

yz mstvisi, x = 0

40

1. Mstvi koordinat sistemind koordinat oxlar mstvini drd rb blr, fzakoordinat sistemi is fza koordinat mstvilri il skkiz oktanta blnr: Oxyz,Ox'yz, Ox'y'z, Oxy'z, Oxy'z', Ox'yz', Ox'y'z' v Oxy'z'.2. gr P nqtsi birinci oktantda yerlirs v P(a;b;c) is, digr oktantlardaolan nqtlr (a; b; c), (a; b; c), (a; b; c), (a; b; c), (a; b; c), (a; b; c)v (a; b; c) klind olur.

5. yrnm. R3 sistemd koordinat mstvisi zrindki nqtlrinkoordinatlar. xy-mstvisi zrind olan nqtnin koordinat (a; b; 0), yzmstvisi zrind olan nqtnin koordinat (0; b; c) v zx mstvisi zrind olannqtnin koordinat (a; 0; c) kimidir. Uyun olaraq koordinat oxlar zrind olannqtlrin koordinatlar (a;0;0), (0;b;0), (0;0;c) kimidir. Koordinat balancnnkoordinat is (0;0;0)-dr.

4. yrnm. R3 sistemind oktantlar. Aadak mqamlara diqqt edilmsitvsiy edilir. Bu mqamlarn fza koor dinat sistemi haqqnda aar biliklrinolduu diqqt atdrlr.

Bu anlaylarn daha yax qavranlmas v ttbiq edilmsi n btntaprqlarn xtke, qlml yazl olaraq yerin yetirilmsi ox vacibdir.

Fza koordinat sisteminin mxtlif perspek -tivlrdn koordinat mstvilri gst ril mk -l kilmsi tvsiy edilir. Bu zamannqtnin koordinatlarnn mtlq qiymtchmin nqtdn koordinat mst vi lrin q -dr msaflr brabr olduu daha yanig r nr. Bunu sinif ota nda real olaraqcanlandrmaq (simul ya siya etmk) v kildgstrildiyi kimi tsvir etmk olar. kildP(2;3;1) nqtsi tsvir edilmidir.

Qiymtlndirm. agirdin fza koordinat sistemini real situasiyalarda can -lan dr ma, koordinat mstvilrini, koordinat mstvilrinin fzan bldyok tant lar tqdimetm, qeyd edilmi nqtnin koordinatlarn myynetm,koordinatlar verilmi nqtni qeydetm kimi bacarqlar diqqt mrkzindsaxlanlr. Bu vrdilri formaladran v mhkmlndirn taprqlar yerinyetirilir.

Bellikl, P (3;5;6) nqtsi koordinatlar ilverilmis, diaqonal OP olan dzbucaql para-lelepipedin digr tp nqtlrinin koordinatlarkild gs t rildiyi kimi olacaq.

D(0;5;6)

(0;0;0)

P

C

B

x

z

y

F

E

AO

(3; 5; 6)(3; 0; 6)

(0; 0; 6)

(0; 5; 0)

(3; 5; 0)(3; 0; 0)

0

O

P

11

1

00

22

2

33

3

44

4

41

1) Veriln nqtlri fza koordinatsistemind qurun.

3) vvlc nqtlrin koordinatlarnn iarsin gr hans oktantdayerldiyini myyn edin. Sonra is fza koordinat sistemi krk qurun. a) (2; 6; 8) b) (1; 2; 3) d) (3; 1; 2) e) (6; 1; 2)

i vrq 1Ad______ Soyad______ Tarix______

a) (3; 4; 1); b) (1; 1; 1);d) (2; 1; 2); e) (3; 3; 3).

2) Fza koordinat sistemind qeydedilmi nqtlrin koordinatlarnyazn.

z

x y

1. Koordinat balancndan nqty qdrmsaf. agirdin fzada nqtnin v bu nqtnin digrkoordinat mstvilrindki perpendikulyar proyeksiya -larnn dzbucaql paralelepipedin tp nqtlri ol du -u nu baa ddy v btn bunlar qrafik tsvir ed-bilm bacar diqqt mrkzind saxlanlr. sbatagirdlr mstqil yerin yetirirlr.

Tutaq ki, fzada P(x1;y1;z1) nqtsi verilmidir.Koor dinat balancndan bu nqty qdr msa fnintaplmas tlb edilir.

OPP` buca dzbucaql bucaqdr. Onda Pifaqor teoremin gr

42

Drs 16-18. Fzada dzbucaql koordinat sistemi. 3 saat. Drslik sh. 34-37 Mzmun standart. 3.1.2. Fzada koordinatlar sulunu mxtlif msllrin hllin ttbiq edir.agird bacarqlar: koordinatlar veriln iki nqt arasndak msafni tapr; paran veriln nisbtd bln nqtnin koordinatlarn myyn edir; bucan arlq mrkzinin koordinatlarn myyn edir ; koordinatlarn taplmasna aid mxtlif msllri hll edir.

Bu drs saatnda hndsnin agirdlr n asan anlalan v praktik hmiyytdayan koordinatlara aid dsturlar v onlarn ttbiqi il msllrin hlli nzrdnkeirilir.

agirdlr fza koordinat sistemind ixtiyari P nqtsi qurmaq v bu nqtninkoordinat balancndan msafsini myyn etmk taprlr. Bu aq tiplitapr yerin yetirm bacarna gr mahid yolu il qiymtlndirmaparlmas tvsiy edilir.

P (x1, y1, z1)

O

P` (x1, y1, 0)

y1x1

z1

z

y

x

OP2 = OP2 + PP2

OP2 = x12 + y12 + z12.OP2 = x12 + y12, PP2 = z12 . Bellikl,

vvlc iki nqt arasndak msaf dsturunu isbat edrk daha sonra is koor-dinat balanc il veriln nqt arasndak msafni d bu dstura sasn izahetmk olar. Lakin frqli yanama il bu teoremlrin ardclln dyimk olar.vvlc koordinat balancndan veriln nqty qdr msafni aadak kil-l isbat etmk olar, sonra is iki nqt arasndak msaf dsturunun xarlnvermk olar.

Paralelepipedin tillri MP = |x2 x1|, PL = |y2 y1|, KQ = |z2 z1| olduunu nzr alsaq,onun diaqonalnn PQ2 = MP2 + PL2 + KQ2 yaza bilrik.Buradan

43

Drslikd verilmi kil zrind iki nqt arasndakmsaf dsturu v isbat izah edilir.

2. Fzada verilmi iki nqt arasndak msaf. Veriln P(x1;y1;z1) vQ(x2;y2;z2) nqtlri arasndak msafni P(x1;y1;z1) v Q(x2;y2;z2) nqtlrindnkoordinat mstvilrin paralel keiriln paralelepipedin diaqonaln trflrininuzunluu il ifad etmkl tapmaq olar.

PQ = (x2 x1)2 + (y2 y1)2 + (z2 z1)2

Paran myyn nisbtd bln nqtnin koordinatlar P (x1; y1; z1) v Q (x2; y2; z2) nqtlrini birldirn paran PR : RQ = m : nnisbtind bln R nqtsinin koordinatlar

kimi taplr.mx2+ nx1m + n

my2+ ny1m + n

mz2+ nz1m + n

; ;R( )

Parann orta nqtsinin koordinatlar. P (x1; y1; z1) v Q (x2; y2; z2) nqt -l rini birldirn parann orta nqtsinin koordinatlar

M( ; ; ) kimidir.x1+ x22y1+ y2

2z1+ z2

2

x1+ x2+ x33

y1+ y2+ y33

z1+ z2+ z33

bucan arlq mrkzinin koordinatlar

Tplri M (x1, y1, z1), N (x2; y2; z2) v L (x3; y3; z3) nqtlrind olan bucanarlq mrkzinin (medianlarnn ksim nqtsi) koordinatlarn

P ( ; ; ) kimi tapmaq olar.

Hr bir dstur uyun nmun il izah edilir.

agirdlrin nmunnin mzakirsind itirakna v dftrind yerin-yetirmsviyysin gr mahid yolu il qiymtlndirm aparlr. Qiymtlndirmnivsaitd verilmi ii vrq v ya mahid altnda tutulan agird yrnmtaprqlarndan seib vermkl d yerin yetirmk olar.

R

y1

x2x1

x

z

yz1

z2

y2

S

O

P

Q

M

N

LK

xD = = 17

D.23. A (9; 6; 0), B (15; 9; 6), C (21; 3; 8) bucan tp nqtlri dir. BAC-nin tnblni BC trfini D nqtsind ksir. D nqtsinin koordi -natlarn tapn. Hlli: bucan AB v AC trflrinin uzunluqlarn tapaq.

D.17. Tp nqtlri A (17; 2; 1), B (1; 2; 11), C (1; 16; 1) olanbucan BM mediannn uzunluunu tapn.Hlli:vvlc AC trfinin M orta nqtsinin koordinatlarn tapaq.xM 9 xA xC

217 1

2

yM 7

zM 1. Demli, M (9; 7; 1).

yA yC2

zA zC2

2 16 2

921 + 17159 + 17

113

113

213

1113

yD = = 49(3) + 179

9 + 171113

zD = = 1

Bellik, D (17 ; 4 ; 1 ) taplr.

9(8) + 1769 + 17

213

1 (1) 2

B(1; 2; 11) v M (9; 7; 1) nqtlri arasndan msafni hesablayaq.

44

? Drslikd verilmi bzi taprqlarn hlli:

AB = (15 9)2 + (9 6)2 + (6 0)2 = 9

AC = (21 9)2 + (3 6)2 + (8 0)2 = 17

Tnblnin xasssin gr D nqtsi BC trfini BD : DC = 9 : 17 nisbtin -d blr. Paran veriln nisbtd bln nqtnin koordinatlar dsturlarnagr alarq:

A

B

C17

9 9k

17kD

BM (91)2 (7 (2))2 (111)2 82 92 122 17

45

a) P1(1; 2; 9), P2(2; 2; 11), P3(7; 10; 5);

b) Q1(2; 3; 2), Q2(1; 4; 4), Q3(5; 0; 4).

2) Uc nqtlri P1(x1;y1;z1) v P2(2; 3; 6) olan parann orta nqtsi (1; 4; 8)-dir. P1 nqtsinin koordinatlarn tapn.

3) P3 nqtsi P1(3; 4; 1) v P2(5; 8; 3) nqtlrini birldirn parann ortanqtsidir. Aadak nqtlri birldirn paralarn orta nqtsini tapn.

a) P1 v P3 b) P3 v P2

1) Veriln nqtlrin kollinear nqtlr olduunu gstrin.

i vrq 2

Ad______ Soyad______ Tarix______

46

Mzmun standart. 3.1.2. Fzada koordinatlar sulunu mxtlif msllrin hllin ttbiq edir.

3.1.4. Fzada verilmi vektoru komplanar olmayan vektor zr ayrr.

agird bacarqlar: fzada yer vektorunu tanyr v kir; fzada hr bir nqtnin yerini yer vektoru il myyn edir; vektorun balanc v son nqtlrin gr bu vektora brabr olan yer vek-torunu myyn edir; komponentlri il verilmi vektorun uzunluunu tapr; komponentlri il verilmi vektorlar zrind toplama v xma mllriniyerin yetirir; komponentlri il verilmi vektorun hqiqi dd vurulmasn yerin yetirir; fzada iki vektorun brabrliyini myyn edir.

Motivasiya. agirdlr fza koordinat sistemind nqtnin koordinatlarn qeyd-etm addmlarnda koordinat oxlar v koordinat mstvilrind hrkt istiqamtiil qeydetm taprqlar verilir. Msln,

A(2; 6; 3), B(0; 0; 6), C(2; 3; 0) v D(1; 3; 4) nqtlrini fza koordinatsistemind quraq v yerini myyn edk. A nqtsini qurma addmlar vek-torlarla gstrilir v nhayt yerininharada olduu myyn edilir: Anqtsi birinci oktantda yer lir.Analoji olaraq B nqtsinin z oxu-nun mnfi hisssind, C nq t si xymstvisi zrind, D nq t sininnc oktantda yerldiyi m -yyn edilir.

agirdlrin vektorlarla bal bilik v bacarqlar mzakirlrl yoxlanlr. Vektoristiqamti olan dz xtt paras kimi tqdim edilmkl vektorial kmiyytlrixarakteriz etdiyi izah edilir. Bu kmiyytlr yerdyim, srt, tcil, qvv, kiv s. ola bilr. Hndsi vektorun uzunluu bu kmiyytlrin qiymtini, istiqamtiis hmin kmiyytin istiqamtini gstrir.

Drs 19-20. Fzada vektorlar. 2 saat. Drslik sh. 39-45

z

3

O O2

23

3

1

4

6

(2;6;3)

(0;0;6)

(2;3;0)

(1;3;4)

x

y

z

x

y

O

z

x

y O

z

x

y

OAOB1; 3, 11+9+111

Nmun. A(2;3;5) v B(1;0;4) nqtlri verilmidir. a) AB vektorunu komponentlri il yazn.b) BA vektorunu komponentlri il yazn.c) 3AB vektorunu komponentlri il yazn.d) OA + OB vektorunun komponentlrini myyn edin.e) AB v BAn hesablayn.f) 3AB-ni v OA + OB-ni hesablayn.

OAOB11 OA+OB 4+9+25 1+0+16 38 + 17.

47

Fzada vektorlar mstvi zrindki vektorlara oxar xasslr malikdir. Fzadada vektor balanc v son nqtsi il myyn edilir. gr vektorun balancnqtsi koordinat balancnda olarsa, bu vektora yer vektoru deyilr. Yer vektoru,adndan da grndy kimi, fzada nqtnin yerini myyn edir. Msln, OPyer vektoru P nqtsinin fzada yerini myyn edir. Fzann hr bir nqtsini biryer vektoru myyn edir. Yni nqtnin koordinatlar il yer vektorununkomponentlri arasnda birqiymtli uyunluq vardr. P nqtsinin fzada koordinatlar (x1; y1; z1)olarsa, OP vektorunun kompo nent lrlyazl OP x1; y1; z1 kimi olacaq. agirdlr yer vektorunu nqtnin fzadayerini gstrn alternativ ifad formasnnolduunu baa drlr. Yni nqtni fzada koordinat v ya yer vektoru il myyned bilrik. Fzada vektorlarn toplanmas v xlmas, skalyar dd vurulmas mstvikoor dinat sistemind vektorlara uyun yerin yetirilir. Vektorun uzunluununhesablanmas, balanc v son nqtlri verilmi vektorun komponentlri il ifadedilmsi, veriln vektora uyun yer vektorunun myyn edilmsi, vektorlarnkollinearlnn myyn edilmsi taprqlar yerin yetirilir. Aadak kiminmunlr agird bacarqlarnn formativ qiymtlndirilmsi n lverilidir.

a) AB=OB OA = x2x1, y2y1, z2z1 = 1(2), 03, 4,5 =3,3,9b) BA vektoru AB vektoruna ks olduundan, BA=3; 3; 9 olar.

c) 3AB= 33; 3; 9 = 9; 9; 27.

d) OA+OB=2+ 1; 3+0; 54= 1; 3; 1.e) AB= (x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2=9+9+81= 311

BA= (x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2=9+9+81= 311

f) 3AB= 3AB3311=911Aydndr ki,

v =OP = x1; y1; z1

P x1; y1; z1

y1x1

z1

y

x

z

O

Hlli:

Bu vahid vektorun komponentlrl yazl kimi olar.

stniln vektora kollinear vahid vektor var. Msln, hr hans 0-dan frqli uvektoruna kollinear vahid v vektorunu kimi ifad etmk olar. Dorudan da, v =ku = ku = u 1.

1u u v = 1

u

u vektorunun uzunluunu tapaq.

48

Drs 21. Fzada vektorlar. Vahid vektor. 1 saat Drslik sh. 43 - 45.Mzmun standart. 3.1.1. Fzada Dekart koordinat sistemi anlayn, vektor anlayn bilir,koordinatlar il verilmi iki vektorun skalyar hasilini tapr 3.1.4. Fzada verilmi vektoru komplanar olmayan vektor zr ayrr.agird bacarqlar: vektoru ort vektorlarla ifad edir; ort vektorlarla verilmi vektoru komponentlri il v ksin ifad edir; veriln vektora uyun vahid vektoru myyn edir; vahid vektorlara aid msllri hll edir. Vahid vektorun trifi v qrafik tsviri izahedilir. agirdlr vektorun mstvi koordinatssitemind x v y koordinatlarna uyun ola raqiki ort vektorla, fza koordinat sis te mind is ort vektorla ifad edildiyini baa dr. Buvektorlar Ox, Oy, Oz koordinat oxlarnnmsbt istiqamti zr ynln v uyun olaraq i = 1;0;0, j = 0;1;0 v k= 0;0;1 kimi tyinediln bazis vektorlardr. Bu vek tor larn mtlqqiymti vahid brabrdir.

i = j = k 1Daha sonra istniln yer vektorunun ort vektorlar zr ayrl nmun z -rin d analitik yazlla v qarfik tsvirl izah edilir.

3; 3; 9 3i 3j + 9k kimidir.

u (x ;y ;z ) = x; 0; 0 + 0; y;0 + 0;0; z = = x 1; 0; 0 + y 0; 1;0 + z 0;0; 1 = x i + y j + z k

u = i 2j + 2k vektoru istiqamtind olan vahid vektoru yazaq.

u 1 4 4 3 olduundan vahid vektor i313

23

23

2j3

2k3

+ kimi olacaq.

Msln, 3; 3; 9 vektorunun ort vektorlar zr ayrl:

lav mlumat. Vahid vektorun bir mhm hmiyyti d onun vasitsil vek-torun istiqamtinin myyn edilmsin imkan vermsidir.

v = ; ;

xi

zk

P

k u=x

i+yj+z

k

O

O

B

C

yj

jiA

z

y

x

z

y

x

k

ji

49

Drs 22-24. ki vektorun skalyar hasili. ki vektor arasndak bucaq. 3 saat. Drslik sh. 46-50Mzmun standart. 3.1.1. Fzada Dekart koordinat sistemi anlayn, vektor anlayn bilir,koordinatlar il verilmi iki vektorun skalyar hasilini tapr.

Bel ki, biz vektorun istiqamtinin x oxununmsbt istiqamti il ml gtirdiyi bucaqlamyyn olunduunu bilirik. kild , vektorun x oxu il ml gtirdiyibucaqdr. u vektoru v vahid vektoru il eyniistiqamtddir. v = cos i + sin j . Onda,

agird bacarqlar: iki vektorun skalyar hasilini dstura gr hesablayr; koordinatlar il verilmi iki vektorun skalyar hasilini tapr; skalyar hasil gr iki vektor arasndak buca tapr; iki vektorun skalyar hasili qaydasndan mxtlif msllrin hllind istifadedir.

ki vektorun skalyar hasili vvlc ikill koordinat sistemind aradrlr.zah edilir ki, gr a v b kimi sfr olmayan iki vektor verilmis, onlarnskalyar hasili bu vektorlarn modullar il onlar arasndak bucan kosinusuhasilin brabrdir.

buca a v b vektorlar arasnda qalan bucaqdrv qiymtinin 0 aralnda olduu qeydedilir.

ki vektor toplandqda, frqi tapldqda v ya dd vurulduqda yen dvektorial kmiyytin alndn bilirik. Lakin iki vektorun skalyar hasilidddir. Msln, grln i qvv v yerdyim kimi iki vektorialkmiyytin skalyar hasili kimi taplr, i skalyar kmiyytdir.

a b = a b cos

b cos a

b

Dekart koordinat sistemind komponentlri il a a1; a2 v b b1; b2 vektorlarverilmis, onlarn skalyar hasili uyun komponentlrin hasillri cminbrabrdir.

1u

u , u = u v u(cos i + sin j)v =

Uzunluu 2 vahid v x oxunun msbt istiqamti il 60 bucaq ml gtirnvektor bu yazla gr

u = 2(cos60 i + sin60 j) = i + 3 j kimi olacaq. ksin u = i + 3 j verilmiolarsa, onun x oxu il 60 bucaq ml gtirdiyini tapmaqla istiqamtinimyyn etmi olarq.

u sin

uu

x

y

v = u

u cos cos

sin

O

u v2 = (u v) (u v) = u2 + v2 2uv = u2 + v22uv

a b = |a||b| cos

50

isbatn izah etmk olar. Skalyar hasilin koordinatlarla dsturunun isbataadak kimidir.

Skalyar hasilin qiymti vektorlarn arasndak bucan nv haqqnda fikiryrtmy imkan verir. Vektorlar arasndak bucan qiymti 0-dan -yqdr artdqca skalyar hasilin qiymti azalr .

Kosinuslar teoremin gr

Bu brabrlik v yuxardak mnasibtdn alrq:

Bellikl,

= 0, yni vektorlar eyni istiqamtli olduqda skalyar hasilin qiymti nbyk olur: a b = a b cos = a b

= /2 olduqda, skalyar hasil a b = 0 olur.

=, yni vektorlar ks istiqamtli olduqda skalyar hasilin qiymti n kiikolur: a b = a b cos = a b .

Skalyar hasilin praktik hmiyyti bykdr. Msln, skalyar hasil grsfr olmayan iki vektor arasndak buca

mnasibtindn asanlqla tapmaq olar.

a ba bcos =

ll Dekart koordinat sistemind a a1; a2; a3 v b b1; b2; b3 iki vektorunskalyar hasili mstvi koordinat sistemin oxar myyn edilir:

Sonra sinifin sviyysindn asl olaraq brabrliyinin

a b = a1b1 + a2b2+ a3b3

u v2 = u2 + v22 u vcos

2u vcos u2 + v2 u v2 = (u2 + u2 u2) (v2 + v2 v2)

(u 1+ v1)2 (u2 v2)2 + (u3 v3)2 2(u 1 v1 + u2v2 + u3v3).

u v cos u 1 v1 + u2v2 + u3v3 v ya u v= u 1 v1 + u2v2 + u3v3

1 2 3 1 2 3

u vv

u

u = i 2j + 2k v v = 3i + 6j + 2k vektorlar arasndak buca tapn.

Skalyar hasil aid taprqlarn hm komponentlri il, hm d ort vektorlarlaverilmi vektorlar zrind yerin yetirilmsi tvsiy edilir. Drslikdki tap -rq lar sasn ikill koordinat sistemind vektorlar zrinddir. Lakin sinifinv ayr-ayr agirdlrin sviyysin gr ll sistemd verilmi aadakkimi taprqlar yerin yetirmk olar.

51

Skalyar hasil dsturundan

ki vektor arasnda qalan bucaa gr aadak nticlr alnr.Ntic 1. Sfr olmayan iki vektorun skalyar hasili sfra brabrdirs, bu vek-torlar perpendikulyardr v trsin.

Ntic 2. ki vektorun skalyar hasili n u v = u v olarsa, bu vektorlarkol lin e ar dr.

3 12 + 41 + 4 + 4 9 + 36 + 4

u vu vcos =

cos = brabrliyindn is 2,12 radian taprq.

= =1121

1121

u v = u v cos = u vcos 90 = u v 0 = 0

Drslikd sasn ikill v komponentlri il verilmi iki vektor arasndaqalan bucan taplmas taprqlar verilmidir. Lakin agirdlrin sviyysingr R3-d ort vektorlarla verilmi vektorlara aid taprqlarn yerin yetirilmsitvsiy edilir.

Msln, u = 7i + 3j + 2k, v = 3i + 5j + 3k, m = i + k vektorlarnn perpendikul-yar olub-olmadqlarn myyn edin.

uv = 7(3) + 35 + 23 = 0; u, v perpendikulyardr.um = 71 + 30 + 21 = 9; u, m perpendikulyar deyil.vm = 31 + 50 + 31 = 0; v, m perpendikulyardr.

Drslikd verilmi taprqlarla bal izahatlar.u v u v v u v u v brabrsizliklrinin isbat:a) u v = u vcos olduundan, u v=u vcosu v cos v cos1olduundan, u vu v alarq. Buradan aydndr ki, u v u vb) u v2 = (uv)(uv)=uu+uv+vu+vv

u2 2(uv)+v2Lakin u v u volduundan,u v2 = u2 2(uv)+v2 u2 2uvv2 (uv)2

uv+vu

Buradan alnr ki, uv u v (kvadrat kklrini tapmaqla).

3737185

cos A = = 0,

k2 = 4, k = 2 taprq.

D 12. 2) k-nn el qiymtini tapn ki, u 0; 1; 1 v v k; 2; 1 vektor lararasndak bucaq 45 olsun. Hlli: rt gr,

D 16. a) Tp nqtlri A(5;1), B (4;7) v C(7;1) olan bucan bucaqlarntapn.Hlli: AB = 1;6, AC = 12;2 vektorlar arasndak buca tapaq.

ndi is BA = 1;6 v BC = 11;8 vektorlar arasndak buca tapaq.

52

a) a vektoru istiqamtind vahid vektore ; olara|a|

35

4 5

32 k2 + 5

3; 45

uvuv

3; 432 42

D 8. a3; 4 vektoru istiqamtind 20 N qvv (F) ttbiq edilmidr.a) a vektoru istiqamtind vahid vektoru yazn.b) F qvvsini komponentlri il yazn.c) F qvvsinin tsiri il obyektin (0;0) nqtsindn (6; 8) nqtsin yerd-yimsi (metrl) zaman grln ii tapn.

b) F 20 ; 12 ; 16 olar. c) Yerdyim vektoru d 6 0; 80 6; 8 olduundan, grln i A Fd 126 168 72 128 200 (Coul) olar.

35

4 5

2 2

Hlli:

? Drslikd verilmi bzi taprqlarn hlli:

cos 45 = olmaldr.

Buradan = , = ,0k + 12 + 11

02 + 12 + 12 k2 + 22 + 12

(1)(12) + 6(2)(1)2 + 62 (12)2 + (2)2

cos B = = = 0,447

B 64. Onda C = 180 (A B) 26

1(11) + (6)(8)12 + (6)2 (11)2 + (8)2

2 2

1 5

A = 90

53

1) Tp nqtlri A(1; 3; 0), B(1; 2; 2) v C(1; 5; 1) nqtlrind olanbucan dzbucaql bucaq olduunu gstrin v sahsini tapn.

i vrq 3

Ad______ Soyad______ Tarix______

2) u 3;5;0 v v5; 3; 0 vektorlar verilir. Vektorlar arasndak buca tapn:a) u v v b) u v u + v c) v v u + v

54

ki paralel dz xtt

1. Yalnz normallar kollinear olan dz xttlr paraleldir. Yni, l1l2 n1n22. ki dz xtt yalnz o zaman perpendikulyardr ki, normallarnn skalyar hasilisfra brabr olsun. Yni, l1l2 n1 n2 n1 n2 = 0

l1 v l2 dz xttlrinin normallar uyun olaraq n1 v n2 olarsa, aadak fikir-lr dorudur.

Dz xtt zr ynlmi vektora v dz xttin normalna gr onun mumi tnli -yi nin alnmas izah edilir. Bu vektorlar qarlql perpendikulyar olduq larndanon larn skalyar hasili sfra brabrdir. Hmin mnasibtdn dz xttin ax + by + c = 0 mumi tnliyi alnr. Uyun nmunlrl agirdlr bunu yoxlayabilrlr. Hminin dz xttin koordinat mstvisind yerlmsin gr xsusihallar aradrlr.

normaln1

ki perpendikulyar dz xtt

Dz xtlr arasndak buca onlarn normallar arasndak bucaqla myynetmk olar. Normallar arasndak bucaq is

cos = n1 n2n1n2

n1 n2n1n2

= cos1v ya mnasibtindn taplr.

l1 l1l2

l2y

x

y

xn2

n1=kn2

n1

n2

Drs 25. Dz xttin mumi tnliyi. 1 saat. Drslik sh. 51-52Mzmun standart. 3.1.1. Fzada Dekart koordinat sistemi anlayn, vektor anlayn bilir,koordinatlar il verilmi iki vektorun skalyar hasilini tapr.agird bacarqlar: verilmi nqtsin v normalna gr dz xttin tnliyini yazr; koordinatlar il verilmi iki vektorun skalyar hasilini tapr; verilmi nqtdn dz xtt qdr msafni tapr.

x

55

Drs 26-28. Mstvinin tnliyi. 3 saat. Drslik sh. 53-58

Mzmun standart. 3.1.2. Fzada koordinatlar sulunu mxtlif msllrin hllin ttbiq edir.3.1.3. Mstvinin tnliyini v sferann tnliyini bilir, onlara aid msllr hlledir.4.1.2. lm v hesablama vasitlri il alnm nticlri mqayis edrk,xtan myyn edir.

agird bacarqlar: mstvinin ax + by + cz = d kilindki tnliyinin myyn edil m si n aidtaprqlar yerin yetirir; mstvinin tnliklrin aid mxtlif msllri hll edir.

1. Mstvi myyn oluna bilr: kollinear olmayan nqt il dz xtt v ona aid olmayan nqt il iki ksin dz xtl iki paralel dz xtl bir nqtsin v normalna gr

kollinear olmayan nqt il

iki paralel dz xtl(st-st dmyn)

iki ksin dz xtl

dz xtt v onun zrind ol-mayan nqt il

n

n

P0

P bir nqtsin v normalna gr

Biz dz xtti myyn edn tnliklri aradrdq v dz xttin hndsi olaraqiki nqt il myyn edildiyini d vvlcdn bilirik. Bs, mstvi haqqnda vvldn biliklrimiz hansdr? Fzada mstvilr hndsi olaraq nec tsvir edilir? Bu suallar trafnda nvb il mzakirlr aparlr?

agirdlr dftrlrind v lvhd olmaqla szl ifad etdiklri fikirlri hndsiolaraq tsvir edirlr.

Nmun drs

56

agirdlr apardqlar aradrmaya gr aadak kimi mumildirm edirlr.

Fzada mstvilr hndsi olaraq nec tsvir edilir? Msln, x = 4 tnliyinibirll, ikill, ll sistemlrd tsvir etsk, hans frqli tsvirlr or-taya xar?

Drslikd verilmi aradrma tapr mzakirlrl dftrd kilmklyerin yetirilir.

Bs, ax + by = 0 kilind olan tnliyin R3 sistemind, fzada tsviri nec olar?Msln, 2x y = 0 tnliyinin fzada tsviri nec olacaq? agirdlr bu tsvirinmstvi olduunu v xy mstvisini 2x y = 0 dz xtti boyunca ksdiyinibaa drlr.

Bs, y = a, z = a tnliklrinin tsviri nec olar?

agird x = a mstvisinin yz, y = a mstvisinin xz, z = a mstvisinin xymstvisin paralel olduunu, koordinat oxlar il ksim nqt l rinin is uy -un olaraq (a; 0; 0), (0; a; 0), (0; 0; a) olduunu baa dr.

dd oxu

x = a

y = a

z = a

x = a mstvisi yz koordinat ms tvisin para-leldir, x oxunu (a; 0; 0) nqtsind ksir.x = 0 mstvisi yz mstvisidir.

y=a mstvisi xz koordinat ms tvisin para-leldir, y oxunu (0; a; 0) nqtsind ksir.y = 0 mst visi xz mstvisidir.

z = a mstvisi xz koordinat ms tvisin para-leldir, z oxunu (0; 0; a) nqtsind ksir.z = 0 mstvisi xy mstvisidir.

Mstvi mumilmi tsvir

x

x

x xx

x = 4x = 4

x = 4

1:x= 51:y= 6

3:z= 61

2

y

yyy

yz

z z z3