METODO DE APROXIMACION DE RUSSELL

ERICK MATEO PATIÑO GOMEZ

RICARDO ANDRES LOZANO MOLINA

UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERIA

PROGRAMA DE SISTEMAS

GIRARDOT

2014

METODO DE APROXIMACION DE RUSSELL

.

ERICK MATEO PATIÑO GOMEZ

RICARDO ANDRES LOZANO MOLINA

Trabajo presentado para optar como nota para el segundo corte

de la asignatura INVESTIGACION OPERACIONAL

JOSÉ RAFAEL RINCÓN ARDILA

Ingeniero Industrial

UNIVERSIDAD PILOTO DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERIA

PROGRAMA DE SISTEMAS

GIRARDOT

2014

CONTENIDO

INTRODUCCION.............................................................................................................................4

METODO DE APROXIMACION DE RUSSELL.........................................................................5

1. PROCEDIMIENTO......................................................................................................................5

2. EJEMPLO....................................................................................................................................6

3. EJERCICIO................................................................................................................................18

CONCLUSIONES..........................................................................................................................23

BIBLIOGRAFIA.............................................................................................................................24

INTRODUCCION

El siguiente trabajo tiene como fin familiarizarnos con otro más de los métodos de

programación lineal para la solución inicial de los problemas de transporte, el método de

Russell. La característica principal del trabajo es conocer bien el procedimiento, paso a

paso para poder desarrollar el método de manera adecuada para al final obtener la

solución óptima.

A medida que se va entendiendo el procedimiento de método de Russell, se observa que

la cantidad de cálculos que toca realizar hace que la solución final sea muy cercana a la

esperada, pero debido a esto, no lo hace el método más utilizado para la solución de

problemas de transporte, ya que muchas veces se prefiere la simplicidad, a cambio de un

poco de cercanía con la solución óptima.

4

METODO DE APROXIMACION DE RUSSELL

Para cada renglón de origen i que queda bajo consideración, debe determinarse ui el

mayor costo unitario c ij de los que quedan en ese renglón. Para cada columna de destino

j que todavía está bajo consideración, se determina v j , el mayor costo unitario de los

que hay en esa columna. Para cada variable x ij que no haya sido seleccionada en estos

renglones o columnas, se calcula ∆ ij=c ij−ui−v j se elige la variable con el mayor

negativo de ∆ ij .

1. PROCEDIMIENTO

A continuación se indicara el procedimiento que se debe seguir para encontrar una

solución inicial básica factible, para un problema de transporte, por el método de Russell.

Paso 1: determinar para cada una de las filas de la tabla, el valor Ai , para i=1 ,2 ,…,m ,

en donde Ai representa el valor máximo que toma el coeficiente C ij en la fila i−esima

Paso 2: determinar para cada una de las filas de la tabla, el valor B j para j=1 ,2 ,…,n

en donde B j representa el valor máximo que toma el coeficiente C ij en la columna

j−esima

Paso 3: determinar para cada una de las celdas de la tabla, el siguiente índice:

IC ij=A i+B j−Cij

IC ij Representa un indicador que nos dice que tan buena es la celda (i , j) si se hiciera

una asignación sobre ella.

5

Paso 4: seleccionar la celda con el mayor IC IJ Identificar la fila a la que pertenece esa

celda con el subíndice k y la columna con el subíndice m . Sobre esta celda se hará la

asignación.

Sea X km , la cantidad de producto a asignar en la celda (k ,m ¿

Por tanto: X km=min (¿Ok ,Rm)¿

¿Es el valor Ok<Rm?

Si la respuesta es si: recalcular el requerimiento que queda por satisfacer en el destino m ,

de la siguiente forma: Rm=Rm−O k y elimine la fila k

Si la respuesta es no: recalcular la oferta disponible del origen k , de la siguiente forma:

Ok=O k−Rm y elimine la columna m

Paso 5: ¿se tiene ya ( m+n−1¿ celdas asignadas (variables básicas)?

Si la respuesta es sí : pare el procedimiento. Ya se encontró una solución inicial básica

factible

Si la respuesta es no: vaya al paso 1, y repita el procedimiento. En el paso 1 no se toman

en cuenta las filas o columnas que han sido eliminadas.

2. EJEMPLO

Se tienen tres distribuidores mayoristas que surten de bicicletas a tres comerciantes

detallistas. Las distancias recorridas entre cada uno de los proveedores y cada uno de los

comerciantes, así como las capacidades de los almacenes y los consumos de los

6

comerciantes, expresados en lotes de 10 bicicletas cada uno, se detallan en la siguiente

tabla.

DISTRIBUIDORES

COMERCIANTES

DISPONIBILIDAD LOTES/BICI1 2 3

1 2 5 6 35

2 5 10 7 55

3 9 6 4 20

DEMANDA EN LOTES DE

BICICLETA 30 45 35 110

Tabla 1. Capacidades de los almacenes y consumos de los comerciantes

El problema a resolver consiste en encontrar el numero óptimo de lotes de bicicletas que

cada distribuidor debe de suplir a cada uno de los comerciantes, de tal manera que se

minimice la distancia total recorrida entre distribuidores y comerciantes.

La solución a este problema se inicia disponiendo la información de la siguiente forma:

DISTRIBUIDORES

COMERCIANTES

OFERTA Oi1 2 3

1 35

2 55

3 20

REQUERIMIENTO

7

2 5 6

5 10 7

9 6 4

R J 30 45 35 110

Tabla 2. Asignación inicial del problema

Paso 1. Cálculo de valores Ai para las filas

A1=max (2 ,5 ,6 )=6

A2=max (5 ,10 ,7 )=10

A3=max (9 ,6 ,4 )=9

Paso 2. Calculo de los valores B j para las columnas

B j=max (2 ,5 ,9 )=9

B j=max (5 ,10 ,6 )=10

B j=max (6 ,7 ,4 )=7

Paso 3. Calculo de los indicadores de bondad IC ij para las celdas

CELDA IC ij=A i+B j−Cij

(1 , 1) IC11=A1+B1−C11IC11=6+9−2

IC11=13

(1 , 2) IC12=A1+B2−C12IC12=6+10−5

IC12=11

(1 , 3) IC13=A1+B3−C13IC13=6+7−5

IC13=7

8

(2 , 1) IC21=A2+B1−C21IC21=10+9−5

IC21=14

CELDA IC ij=A i+B j−Cij

(2 , 2) IC22=A2+B2−C22IC22=10+10−10

IC22=10

(2 , 3) IC23=A2+B3−C23IC23=10+7−7

IC23=10

(3 , 1) IC31=A3+B1−C31IC31=9+9−9

IC31=9

(3 , 2) IC32=A3+B2−C32IC32=9+10−6

IC32=13

(3 , 3) IC33=A3+B3−C33IC33=9+7−4

IC33=12

Paso 4. Seleccionar la celda con el mayor IC ij

Observando los indicadores IC ij calculados en el paso anterior, se determina que la celda

(2, 1) tiene el mayor IC ij . Por lo tanto, esta celda se convierte en la celda de asignación.

La máxima cantidad de lotes de bicicletas que se pueden transportar del distribuidor No. 2

al comerciante No. 1 es la siguiente:

X11=min(O2,R1)=min(55 ,30)

X11=30

9

Como O2>R1 , es necesario recalcular la oferta del distribuidor No. 2 de la manera

siguiente:

O2=O2−R1O2=55−30O2=25

Por lo tanto, se elimina la columna 1, esto quiere decir que está satisfecha toda la

demanda del comerciante No. 1 la tabla de asignaciones anterior, se modifica de la

siguiente manera:

DISTRIBUIDORES

COMERCIANTES

OFERTA Oi1 2 3

1 35

2 30 25

3 20

REQUERIMIENTO

R J -------------- 45 35

Paso 5.

Como el número de casillas asignadas hasta el momento es 1, y este número es menor

que (m+n−1 )=5 , se sigue el proceso de asignación, repitiendo el procedimiento

anterior.

Paso 6. Calculo de los valores A1 para las filas

10

2 5 6

5 10 7

9 6 4

A1=max (5 ,6 )=6

A2=max (10 ,7 )=10

A3=max (6 ,4 )=6

Paso 7. Calculo de los valores B j para las columnas.

B2=max (5 ,10 ,6 )=10

B3=max (6 ,7 , 4 )=7

Paso 8. Calculo de los indicadores de bondad IC ij para las celdas

CELDA IC ij=A i+B j−Cij

(1 , 2) IC12=A1+B2−C12IC12=6+10−5

IC12=11

(1 , 3) IC13=A1+B3−C13IC13=6+7−6

IC13=7

(2 , 2) IC22=A2+B2−C22IC22=10+10−10

IC22=10

(2 , 3) IC23=A2+B3−C23IC23=10+7−7

IC23=10

(3 , 2) IC32=A3+B2−C32IC32=6+10−6

IC32=10

(3 , 3) IC33=A3+B3−C33IC33=6+7−4

11

IC33=9

Paso 9.

Seleccionar la celda con el mayor IC ij calculados en el paso anterior, se determina que la

celda (1, 2) tiene el mayor IC ij . Por lo tanto, esta celda se convierte en la celda de

asignación.

La máxima cantidad de lotes de bicicletas que se pueden transportar del distribuidor No 1

al comerciante No. 2 es la siguiente:

X12=min(O1 ,R2)=min(35 ,45)

X12=35

Como O1<R2 , es necesario recalcular el requerimiento del comerciante No. 2 de la

manera siguiente:

R2=R1−O1

R2=45−35

R2=10

Por lo tanto se elimina la fila 1. Esto quiere decir que ya el distribuidor No 1. Dispuso de toda su oferta. La tabla de asignaciones anterior, se modifica de la siguiente manera:

DISTRIBUIDORES

COMERCIANTES

OFERTA Oi1 2 3

12

5

1 35 ---------------

2 30 25

3 20

REQUERIMIENTO

R J -------------- 10 35

Paso 10.

Como las casillas asignadas hasta el momento son 2, y este número es menor que

(m+n−1 )=5 , se sigue el proceso de asignación.

Paso 11. Calculo de los valores Ai para las filas

A2=max (10 ,7 )=10

A3=max (6 ,4 )=6

Paso 12. Calculo de los valores B j para las columnas

B2=max (10 ,6 )=10

B3=max (7 ,4 )=10

Paso 13. Calculo de los indicadores de bondad IC ij para las celdas

13

2 6

5 10 7

9 6 4

CELDA IC ij=A i+B j−Cij

(2 , 2) IC22=A2+B2−C22IC22=10+10−10

IC22=10

(2 , 3) IC23=A2+B3−C23IC23=10+7−7

IC23=10

(3 , 2) IC32=A3+B2−C32IC32=6+10−6

IC32=10

(3 , 3) IC33=A3+B3−C33IC33=6+7−4

IC33=9

Paso 14. Seleccionar la celda con el mayor IC ij

Observando los indicadores IC ij calculados en el paso anterior se determina que existen

tres (3) celdas con el mismo valor IC ij de 10. Por tanto, si seleccionamos la celda (2, 2)

como la celda de asignación, la máxima cantidad de lotes de bicicletas que se pueden

transportar del distribuidor No. 2 al comerciante No. 2, es la siguiente:

X22=min(O2 ,R2)

X22=min(25 ,10)

X22=10

Como O2>R2 , es necesario recalcular la oferta del distribuidor No. 2 de la manera

siguiente:

14

O2=O2−R2

O2=25−10

O2=15

Se debe eliminar la columna correspondiente al requerimiento del comerciante No. 2 esto

indica que toda la demanda del comerciante No. 2 ha sido satisfecha.

La tabla de asignaciones anterior, se modifica de la siguiente manera:

DISTRIBUIDORES

COMERCIANTES

OFERTA Oi1 2 3

1 35 ---------------

2 30 10 15

3 20

REQUERIMIENTO

R J -------------- --------------- 35

Paso 15.

Como las casillas asignadas son 3, y este número es menor que (m+n−1 )=5 , es

necesario seguir el proceso de asignación.

Paso 16. Calculo de los valores Ai para las filas

15

2 5 6

5 10 7

9 6 4

Observando la tabla de asignaciones generada en el paso No. 14, se ve que ya no hace

falta recalcular los valores Ai , ni los valores B j , pues solo queda por satisfacer la

demanda del comerciante No.3 Esto se logra asignando 15 lotes de bicicletas que le

quedan disponibles al distribuidor No. 2 y 20 lotes que le quedan disponibles al

distribuidor No. 3

La tabla de asignaciones generada en el paso 14 se modifica de la siguiente forma:

DISTRIBUIDORES

COMERCIANTES

OFERTA Oi1 2 3

1 35 ---------------

2 30 10 15 ---------------

3 20 ---------------

REQUERIMIENTO

R J -------------- --------------- -------------

Paso 17.

Como las casillas asignadas son 5, y este número es igual a (m+n−1 )=5 , ya se encontró

una solución inicial básica factible. Obsérvese en la tabla de asignaciones generada en el

paso No. 16, que todas las demandas están satisfechas, y todas las ofertas están

asignadas.

Por tanto la solución inicial básica factible que se obtiene por el método de RUSSELL es

la siguiente:

16

2 5 6

5 10 7

9 6 4

DISTRIBUIDORES

COMERCIANTES

OFERTA Oi1 2 3

1 35 35

2 30 10 15 55

3 20 20

REQUERIMIENTO

R J 30 45 35 110

La interpretación de esta solución inicial es la siguiente:

El distribuidor No. 1 debe proveer 35 lotes de bicicletas al comerciante No.2

El distribuidor No. 2 debe proveer 30 lotes al comerciante No. 1, 10 lotes al

comerciante No. 2 y 15 lotes al comerciante No. 3

El distribuidor No. 3 debe proveer toda su oferta disponible al comerciante No. 3

Con este programa de transporte, la distancia total que se recorre entre distribuidores y

comerciantes es la siguiente:

Distancia Total recorrida = (35 * 5) + (30 * 5) + (10 * 10) + (15 * 7) + (20 * 4)

Distancia Total recorrida = 175 + 150 + 100 + 105 + 80

Distancia Total recorrida = 610 Kilómetros

3. EJERCICIO

17

2 5 6

5 10 7

9 6 4

PROTAC tiene cuatro plantas ensambladoras en Europa. Están ubicadas en Leipzig,

Alemania oriental (1); Nancy, Francia (2); Lieja, Bélgica (3); Tilburgo, Holanda (4). Las

maquinas ensambladoras usadas en esas plantas se producen en estados unidos y se

embarcan a Europa. Llegaron a los puertos de Ámsterdam (A), Amberes (B), Havre (C).

Los planes de producción del tercer trimestre (julio a septiembre) ya han sido formulados.

Los requerimientos (la demanda en destinos) de motores diésel E-4 son los siguientes:

PLANTA CANTIDAD DE

MOTORES

LEIPZING 400

NANCY 900

LIEJA 200

TIBURGO 500

La cantidad disponible de máquinas E-4 en los puertos a tiempo para usarse en el tercer

trimestre se muestra enseguida:

AMSTERDAM 500

AMBERES 700

EL HAVRE 800

La meta de PROTAC es de minimizar los costos de transporte de los motores E-4, de los

puertos a las plantas.

18

Costo de transporte de un motor de un origen a un destino:

AL DESTINO

DESDE EL

ORIGEN1 2 3 4

A 12 13 4 6

B 6 4 10 11

C 10 9 12 4

ASIGNACIÓN INICIAL.

DESDE ORIGEN

AL DESTINO

1 2 3 4 Suministros

A 500 13

B 700 11

C 800 12

Requerimiento 400 900 200 500 2000

12 13 12 11

13 0 21 1817 20 13 1114 16 12 19

PRIMERA ITERACIÓN

DESDE ORIGEN

AL DESTINO

1 2 3 4 Suministros

19

13 4 612

6 4 10 11

10 9 12 4

6

11

4

A 200

500 13

B 700 11

C 800 12

Requerimiento 400 900 200 500 2000

12 13 12 11

13 0 1817 20 1114 16 19

SEGUNDA ITERACION

DESDE ORIGEN

AL DESTINO

1 2 3 4 Suministros

A200

300 13

B700

700 11

C 800 12

Requerimiento 400 900 500 2000

12 13 12

13 0 18

14 16 19

TERCERA ITERACION

DESDE ORIGEN

AL DESTINO

1 2 3 4 Suministros

20

13 412

6 4 10

10 9 12

13 4 612

6 4 10 11

10 9 12 4

A 200

300 13

B 700

700 11

C500

800 12

Requerimiento 400 200 500 2000

12 13 12

13 0

14 16

CUARTA ITERACION

DESDE ORIGEN

AL DESTINO

1 2 3 4 Suministros

A 200

300 13

B 700

700 11

C200 500

300 12

Requerimiento 400 200 2000

12 13 12

13

14

QUINTA ITERACION

DESDE ORIGEN

AL DESTINO

1 2 3 4 Suministros

21

13 4 612

6 4 10 11

10 9 12 4

13 4 612

6 4 10 11

10 9 12 4

A 200

300 13

B 700

700 11

C 100 200 500

100 12

Requerimiento 400 2000

12 13 12

13

SEXTA ITERACION

DESDE ORIGEN

AL DESTINO

1 2 3 4 Suministros

A 300 200

300 13

B 700

700 11

C 100 200 500

100 12

Requerimiento 300 2000

12 13 12

22

13 4 612

6 4 10 11

10 9 12 4

13 4 612

6 4 10 11

10 9 12 4

CONCLUSIONES

El tema de programación lineal expone una gran variedad de tipos de problemas, el

método de aproximación de Russell, en comparación con otros métodos produce una

solución inicial mejor debido a que la solución obtenida por este método está más cercana

a la óptima , ya que la distancia total recorrida aun es menor.

En general se puede afirmar que el método de Russell, produce mejores soluciones que

otros métodos, pero con más cantidad de cálculos. Debido a esto, es que el método que

más se utiliza para la solución inicial de los problemas de transporte es el método de

Vogel, ya que requiere de menos cálculos para encontrar una solución óptima.

23

BIBLIOGRAFIA

MOYA NAVARRO, Marcos Javier. Investigación de operaciones, transporte y asignación.

Primera edición. San José, C.R. Editorial EUNED. 1998. 276 paginas. ISBN-9977-64-544-

2

HILLER, Frederick S. LIEBERMAN, Gerald J. Introducción a la investigación de

operaciones. Séptima edición. México D F. Editorial McGraw – Hill. 1998. 998 paginas.

ISBN-0-07-841447-4

EPPEN, G.D. Investigación de operaciones en la ciencia administrativa. 5a Edición. México

D F. Editorial Prentice-Hall. 2000. 792 paginas. ISBN: 970-17-0270-0

WEITZENFELD, Alfredo. Ingeniería de software orientada a objetos con UML. México D

F. Editorial Thomson. 2005. 678 paginas. ISBN: 970-686-190-4

24