Ottimizzazione: metodo dei moltiplicatori di Lagrange

Serve per trovare i punti candidati ad essere massimi e minimi, data una funzione f(x, y) con un vincolo A.

1. Si ricava il gradiente della funzione f

2. Si trovano (se esistono) gli zeri di ognuna delle componenti del gradiente:

{ f x= 0f y= 0

3. Si determina l'equazione del bordo del vincolo A, che prende il nome di Φ(x)

4. Si determina il gradiente della Φ(x)

5. Si determinano le soluzioni del seguente sistema (che se esistono prendono il nome di punti singolari sul bordo) :

{x= 0y = 0 = 0

6. Si determinano le soluzioni del seguente sistema (che prendono il nome di punti stazionari sul bordo)

{ f x= x

f y= y} ricavare x , y in funzione di

= 0

Sostituendo x ed y trovati nell'ultima equazione si troverà il valore di λ.Trovo le x e le y finali sostituendo il λ che ho trovato.

7. Tutte le soluzioni trovate ai punti 2, 5 e 6 nelle coordinate (x, y) sono i punti candidati ad essere massimi e minimi.

Esempio:

f x , y = x2− 3 y2 A= {x , y ∈ ℝ2 : x 4 y4 ≤ 1}

Trovo il gradiente di f: ∇ f = 2 x ,6 y

Cerco le soluzioni del gradiente: {2 x = 06 y = 0 x=0, y=0

Funzione del bordo: x = x4 y4 − 1

Trovo il gradiente di Φ: ∇=4 x3,4 y3

Cerco le soluzioni del sistema: {2 x = 4 x3

6 y =4 y3

x4 y4− 1= 0

{x 1− 2 x2 = 0

y 3− 2 y2 = 0 {x = {0, 12 ,− 12 }

y = {0, 32 ,− 32 }Sostituisco nella terza equazione una per volta, le soluzioni trovate nella 1^ e nella 2^ equazione che danno zero e

Aleksandar Gotev – Analisi Matematica 2 – Moltiplicatori di Lagrange Pagina 1 di 2

poi a coppie le soluzioni xi ed yi trovate che danno il valore finale a λ:

{sostituisco x1 : y

4= 1 y =±1

sostituisco y1 : x4= 1 x =±1

sostituisco x2 ed y2 uguale per x3 ed y3: 12 42 32

42 − 1 = 0 =±

102

Ora bisogna procedere a sostituire il valore trovato di λ nelle soluzioni xi ed yi. Procedendo nei calcoli si nota che il valore negativo di λ non può essere accettato perché rende negativo il radicando, quindi l'unico valore da considerare è quello positivo. Osservazione: In generale quando si trovano due valori di λ, uno dei due sicuramente non può essere accettato!

sostituisco in :{x1 ed x2 :±1

410

y1 ed y2 :±3410

In totale ho trovato 9 punti candidati a massimi e minimi:

punti = {0, 0 , 1,1 , 1,−1 , −1,1 , −1,−1 , 1410

, 3410 , 1410

,− 3410 , −

1410

, 3410 , −1410

,− 3410 }

Per trovare massimi e minimi, bisogna sostituire le coordinate dei 9 punti nella funzione f:

f 0,0 = 0 punto di sellaf 1,1 = 2 maxf 1,−1 =−2 minf −1,1 =−2 minf −1,−1 =−2 min

f 1410 ,3410 =−2 min

f −1410 ,3410 =−2 min

f 1410 ,−3410 =−2 min

f −1410 ,−3410 =−2 min

Aleksandar Gotev – Analisi Matematica 2 – Moltiplicatori di Lagrange Pagina 2 di 2

Dal gradiente di f Dalle sostituzioni di x1 ed y

1Da λ sostituito in x

1,2 ed y

1,2