ITERACIN SIMPLE DE PUNTO FIJO

Mtodos Abiertos Slo requieren un valor inicial o un par.Pueden no encerrar la raz.Pueden ser divergentes conforme se realizan iteraciones.Si un mtodo abierto converge a la solucin, usualmente lo hace con mayor rapidez que los mtodos cerrados

Iteracin de punto fijoUn punto fijo de una funcin g(x) es un nmero p tal queg(p) = p.Dado un problema f(x) = 0, se puede definir una funcin g(x) con un punto fijo en p de diferentes maneras. Por ejemplog(x) = x f(x).

Mtodo de iteracin de punto fijo Bsicamente, consiste en reordenar los trminos de la funcin.Se iguala a cero, para que la variable x quede a la izquierda. x = g(x) ; xi+1 = g(xi)Existen dos tcnicas:

1- Despejando la variable xEjemplo: f(x)= 3x2 - 4x + 5 Primero se iguala a cero la funcin.Luego se despeja la variable x .

2- Sumando x a ambos lados de la ecuacin (cos(x), sen(x), etc) Ejemplo: f(x)= cos (x)Primero se iguala a cero la funcin.Luego se suma la variable x a ambos lados.

Dos mtodos grficos para determinar la raz def(x) = e-xx f(x) = e-x-xf(x) = e-x-x0 = e-x-x x = e-x f1(x) = x f2(x) = e-x

Funciones Convergentes| g(x) | < 1

Funciones Divergentes

De lo anterior se puede concluir que cuando el mtodo converge, el error es proporcional, y menor que la iteracin anterior, por esto se dice que la iteracin simple de punto fijo es linealmente convergente.

Ejemplo 1 (Chapra, pg 141) Funcin:

Iteracinxa %00-11.510022.62542.8634.94546.92413.72863.98595.73085.66

Mtodo GrficoGrfica del ejemplo 1Grfica del ejemplo 1

Ejemplo 2 (Chapra, problema 6.1, Pg. 165)Por iteracin de punto fijo con xi = 0.5 y a 0.01%

IteracinXa %00.510.64963693923.033933320.7215237979.9631998730.7509011663.9122817540.7620968511.4690632450.7662481430.5417686460.7677716540.1984328770.768328660.0724957480.7685320220.0264610890.7686062310.00965506

Mtodo GrficoGrfica del ejemplo 2

Ejemplo 3 Funcin:Por iteracin de punto fijo con xi = 0

Iteracinxia %t %00-10011100.036.3421.5403035.081.94131.570791.9410.0003014()0.00030

Mtodo GrficoGrfica del ejemplo 3

EjemploSea la funcin: x3 + 4x2 10 = 0 tiene una raz en [1, 2]Puede despejarse en:a) x = g1(x) = x x3 4x2 +10b) x = g2(x) = (10 x3)c) x = g3(x) = (10/(4 + x))d) x = g4(x) = x (x3 + 4x2 10)/(3x2 + 8x)

Iteraciones de punto fijo(b)1.5 1.286953767 1.402540803 1.345458374 1.375170252 1.360094192 1.367846967 1.363887003 1.365916733 1.364878217 1.365410061 1.365137820 1.365277208 1.365205850 1.365242383 1.365229578 1.365230028 1.365230012(c)1.5 1.348399724 1.367376371 1.364957015 1.365264748 1.365225594 1.365230575 1.365229941 1.365230022 1.365230012 1.365230013 1.365230013 (a)1 1.5 2 -0.875 3 6.732421875 4 -469.72001200 5 1.02754555E8 6 -1.084933870E24 7 1.277055591E72 8 -2.082712908E216 9 NaN 10 11 12 13 14 15 20 25 30(d)1.5 1.373333333 1.365262014 1.365230013 1.365230013

Funciones graficadas en MatLaba)b)c)d)

Teorema de punto fijoSi g C [a, b] y g(x) C [a, b] para toda x C [a, b], adems supongamos que existe g(x) en (a, b) y una constante positiva k

Anlisis del ejemploCaso (a)g1(x) = x x3 4x2 +10g1(x) = 1 3x2 8xg1(1) = 11, g1(2) = 28No se cumple |g1(x)|