método dos mínimos quadrados. motivação a interpolação não é adequada quando desejamos obter...
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Método dos Mínimos Quadrados
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Motivação
A interpolação não é adequada quando desejamos obter um valor aproximado da função em um ponto fora do intervalo tabelado – extrapolar
Os valores tabelados são resultado de experimento físico ou de pesquisa que podem conter erros
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Há necessidade de ajustar à função tabelada, uma função que seja uma boa aproximação para os valores tabelados
Esta boa aproximação deve permitir extrapolação com uma certa margem de segurança
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Método dos mínimos Quadrados
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Método dos mínimos Quadrados
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Método dos mínimos Quadrados
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Método dos mínimos Quadrados
f(x) – h(x)
h(x)
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Método dos mínimos Quadrados
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Método dos mínimos Quadrados
h(x)
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Método dos mínimos Quadrados
h(x)
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Caso discreto
Sejam dados os pontos (x1,f(x1)), (x2,f(x2)), ..., (xm,f(xm)) os pontos conhecidos
Sejam g1(x), g2(x), ..., gn(x) funções escolhidas de alguma forma
Sendo m >= n
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O objetivo é determinar coeficientes α1, α2,..., αn tal que
h(x)= α1g1(x)+ α2g2(x)+...+ αngn(x)
E h(x) se aproxime ao máximo de f(x)
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Seja dk = f(xk) – h(xk) o desvio em xk
O objetivo é encontrar α tal que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima
m
k
m
k
k kk xhxfd1 1
22 )()(
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m
k
m
k
knnkkkk xgxgxgxfd1 1
22 )(...)()()( 2211
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Minimizando os desvios
Do cálculo diferencial: para obter um ponto de mínimo de F(α1,α2,...,αn) devemos encontrar os pontos críticos
Devemos encontrar os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero
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m
kk knnkkk xgxgxgxfxF
1
2)(...)()()()( 2211
m
kkn xgxgxgxgxf
Fknnkkk
111
1)]([)(...)()()(2)...( 2211
Regra da Cadeia
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.,...,2,1,0),...,,( 21 njj
Fn
.)()()...()(2),...,,(1
1121
m
k
kjknnkkn xgxgxgxfj
F
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0)()()...()(1
211
m
k
kknnkk xgxgxgxf
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111
m
k
kknnkk xgxgxgxf
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11
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k
knknnkk xgxgxgxf
...
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...
)()()()(...)()( 22121
111
kknkknkk xgxfxgxgxgxgm
k
m
k
m
k
)()()()(...)()(111
11 knknknknknk xgxfxgxgxgxgm
k
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m
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111
kknkknkk xgxfxgxgxgxgm
k
m
k
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22222121 .... baaa nn
11212111 .... baaa nn
nnnnnn baaa ....2211
...
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Propriedades
aij = aji – a matriz A é simétrica
Se as funções gi(x) forem tais que os vetores gi resultantes forem linearmente independentes, o sistema admite uma única solução
Se o sistema tem uma única solução, esta solução é o ponto mínimo da função F(α1,α2,...,αn)
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Exemplo
Seja o conjunto de pontos:
Ajuste uma parábola do tipo x2aos pontos usando MQ
x -1 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1
f(x) 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05
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)()()()(11
1
11
1
kkkk xgxfxgxgkk
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1
11
1
2kkk xgxfxg
kk
11
1
211
1
2 )()()( 2
kk
k
kk xfxx
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x -1 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1 somas
x2.x2 1 0,3164 0,1296 0,0625 0,0081 0 0,0016 0,0256 0,0625 0,2401 1 2,8464
f(x).x2 2,05 0,6485 0,162 0,1 0,045 0 0,008 0,096 0,128 0,588 2,05 5,8756
2,8464α = 5,8756
α = 2,0642
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Assim, h(x)=2,0642 x2 é a parábola que melhor se aproxima no sentido dos mínimos quadrados, da função tabelada
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Para o caso contínuo
Vimos o método dos mínimos quadrados para o caso discreto
Como fazer para o caso contínuo?
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...
)(2)()(2)(...1)(2)(1111
xkgxkfnxkgxkgnxkgxkgm
k
m
k
m
k
)()()()(...1)()(1111
xkgnxkfnxkgnxkgnxkgnxkgm
k
m
k
m
k
)(1)()(1)(...1)(1)(1111
xkgxkfnxkgxkgnxkgxkgm
k
m
k
m
k
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dxxgxfndxxgxgndxxgxgb
a
b
a
b
a)(2)()(2)(...1)(2)(1
...
dxxgxfndxxgxgndxxgxgb
a
b
a
b
a)(1)()(1)(...1)(1)(1
dxxgnxfndxxgnxgndxxgnxgb
a
b
a
b
a)()()()(...1)()(1
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dxxgxfndxxgxgndxxgxgb
a
b
a
b
a)(2)()(2)(...1)(2)(1
...
dxxgxfndxxgxgndxxgxgb
a
b
a
b
a)(1)()(1)(...1)(1)(1
dxxgnxfndxxgnxgndxxgnxgb
a
b
a
b
a)()()()(...1)()(1
Onde [a,b] é o intervalo onde f(x) e todas as gi(x) são contínuas
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Casos não Lineares
Em alguns casos a família de funções pode ser não linear nos parâmetros
Nestes casos, deve-se linearizar o problema através de uma transformação conveniente
O método dos mínimos quadrados pode ser aplicado no problema linearizado
Os parâmetros obtidos não são ótimos porque o ajuste é feito no problema linearizado e não no problema original