metody analizy obwodów liniowych

WOJCIECH MELLER

METODY ANALIZY OBWODW LINIOWYCH

wydanie internetowe

www.teoriaobwodow.edu.pl 2013

yp

t

0

yp

t

0

yp

t 0

+j

0

+1

yp

t 0

2003 r. Wyd. I Nakad 300 egz ISBN 83-89334-40-2

2005 r. Wyd. I (dodruk) 250 egz. ISBN 83-89334-62-3

Wydawnictwa Uczelniane Akademii Techniczno-Rolniczej w Bydgoszczy

Wyd. internetowe

(dodano rozdzia VIII)

Copyright Wojciech Meller 2013

Wojciech Meller - Metody analizy obwodw liniowych

Strona 3

Spis treci

Z PRZEDMOWY DO WYDANIA I.............................................................................6 Rozdzia I. PODSTAWOWE POJCIA I PRAWA TEORII OBWODW.............7

1.1. Obwd elektryczny ............................................................................................7 1.2. Prd elektryczny.................................................................................................8 1.3. Napicie elektryczne ..........................................................................................9 1.4. Moc i energia dwjnika....................................................................................10 1.5. Elementy obwodw i ich rwnania ..................................................................11 1.6. Struktura obwodu i prawa Kirchhoffa ..............................................................13 1.7. Podzia zagadnie obwodowych ......................................................................17

Rozdzia II. OBWODY LINIOWE Z WYMUSZENIAMI STAYMI (STAN USTALONY) .............................................................................19

2.1. rda i rezystor liniowy ..................................................................................19 2.2. Metody analizy obwodw liniowych ...............................................................21 2.3. Poczenie szeregowe i rwnolege rezystorw ...............................................22 2.4. Metoda kolejnych przeksztace ......................................................................23 2.5. Przeksztacenie trjkta rezystorw w rwnowan gwiazd

i gwiazdy w trjkt ...........................................................................................25 2.6. Zasada proporcjonalnoci i metoda wielkoci proporcjonalnych.....................28 2.7. Zasada superpozycji i metoda superpozycji .....................................................29 2.8. Zasady Thevenina i Nortona oraz metoda rda zastpczego.........................31 2.9. Elementarny ukad rwna...............................................................................37 2.10. Parametry gazi ...............................................................................................39 2.11. Metoda prdw gaziowych i metoda prdw oczkowych.............................41 2.12. Metoda potencjaw wzowych ......................................................................46 2.13. Przenoszenie rde w obwodzie......................................................................50 2.14. Zasada wzajemnoci.........................................................................................52 2.15. Liniowe rda sterowane ................................................................................59 2.16. Analiza obwodw zawierajcych rda sterowane .........................................61 2.17. Zasada kompensacji .........................................................................................70 2.18. Analiza obwodw wykazujcych symetri ......................................................71 2.19. Przyrosty odpowiedzi obwodu wywoane zmian w jednej z gazi................76

Rozdzia III. WSTP DO TEORII OBWODW LINIOWYCH PRDU ZMIENNEGO .........................................................................83

3.1. Elementy liniowe ...............................................................................................83 3.2. Rwnania obwodw liniowych prdu zmiennego .............................................97

Rozdzia IV. OBWODY LINIOWE Z WYMUSZENIAMI SINUSOIDALNYMI W STANIE USTALONYM ORAZ ICH ANALIZA METOD SYMBOLICZN ................................................................99

4.1. Przebieg sinusoidalny i jego parametry............................................................99 4.2. Analiza obwodw w dziedzinie czasu............................................................102 4.3. Amplituda zespolona i warto skuteczna w postaci zespolonej....................103 4.4. Dziaania na sinusoidalnych funkcjach czasu, a dziaania

na ich amplitudach zespolonych.....................................................................106

www.teoriaobwodow.edu.pl

Strona 4

4.5. Posta symboliczna praw Kirchhoffa .............................................................109 4.6. Posta symboliczna rwna prdowo-napiciowych elementw...................111 4.7. Impedancja i admitancja zespolona................................................................115 4.8. Analiza obwodw metod symboliczn .........................................................118 4.9. Moc czynna, bierna i pozorna. Moc zespolona ..............................................124 4.10. Bilans mocy czynnej, biernej i zespolonej .....................................................129 4.11. Dopasowanie odbiornika do rda z uwagi na moc czynn..........................131

Rozdzia V. OBWODY LINIOWE Z WYMUSZENIAMI OKRESOWYMI W STANIE USTALONYM.................................................................133

5.1. Przedstawienie przebiegu okresowego za pomoc szeregu Fouriera .............133 5.2. Szereg Fouriera funkcji przesunitej w czasie................................................137 5.3. Wpyw symetrii funkcji okresowej na wspczynniki szeregu Fouriera ........138 5.4. Analiza obwodw liniowych z wymuszeniami okresowymi .........................141 5.5. Widmo wymuszenia, a widmo odpowiedzi obwodu liniowego .....................143 5.6. Warto skuteczna przebiegu okresowego .....................................................145 5.7. Moc czynna przy wymuszeniach okresowych ...............................................146 5.8. Warto rednia wyprostowana przebiegu okresowego .................................148

Rozdzia VI. STANY NIEUSTALONE W OBWODACH LINIOWYCH (ANALIZA W DZIEDZINIE CZASU) ..............................................150

6.1. Stan nieustalony, a stan ustalony....................................................................150 6.2. Prawa komutacji .............................................................................................151 6.3. Wyznaczanie wartoci pocztkowych odpowiedzi oraz pochodnych

odpowiedzi na podstawie warunkw pocztkowych......................................152 6.4. Rwnania rniczkowo-cakowe obwodw...................................................156 6.5. Wyznaczanie odpowiedzi wykadniczej na wymuszenie wykadnicze

w obwodzie liniowym ....................................................................................161 6.6. Metody porednie uzyskiwania rwnania charakterystycznego.....................166 6.7. Stan nieustalony w obwodach z jednym elementem magazynujcym

energi ............................................................................................................171 6.8. Analiza stanu nieustalonego w obwodach wyszych rzdw ........................176 6.9. Stabilno obwodw liniowych......................................................................189

Rozdzia VII. ANALIZA OBWODW LINIOWYCH Z ZASTOSOWANIEM PRZEKSZTACENIA LAPLACE'A (METODA OPERATOROWA) ......................................................195

7.1. Przeksztacenie Laplace'a i jego waciwoci.................................................195 7.2. Przeksztacenie odwrotne funkcji wymiernych. Rozkad na uamki proste ...200 7.3. Schematy zastpcze w metodzie operatorowej ..............................................204 7.4. Impedancja operatorowa Modele dwjnika w metodzie operatorowej ..........212 7.5. Wyznaczanie skadowej przejciowej odpowiedzi.........................................216 7.6. Wyznaczanie odpowiedzi na wymuszenia zoone........................................219 7.7. Wyznaczanie odpowiedzi na okresowy cig impulsw .................................222 7.8. Impuls (pseudo-funkcja) Diraca .....................................................................227

Rozdzia VIII. TWIERDZENIE TELLEGENA I JEGO ZASTOSOWANIA.....237 8.1. Twierdzenie Tellegena (posta podstawowa).................................................237 8.2. Twierdzenie Tellegena w postaci rnicowej ................................................240 8.3. Uoglniona zasada wzajemnoci....................................................................241


Strona 5

8.4. Metoda wzajemnoci ......................................................................................246 8.5. Elementy wzajemnie odwracalne. Ukad doczony..............................250 8.6. Wraliwo i sposoby jej wyznaczania ....................................................255 8.7. Twierdzenie Tellegena w postaci rniczkowej .....................................255 8.8. Metoda ukadu doczonego ......................................................................256

LITERATURA ..........................................................................................................265


Strona 6

Z PRZEDMOWY DO WYDANIA I

Podrcznik jest przeznaczony dla studentw Wydziau Telekomunikacji i Elektrotechniki ATR kierunku elektronika i telekomunikacja. Na studiach dziennych przydatny jest do studiowania przedmiotu Teoria obwodw oraz na studiach zaocznych przedmiotw: Podstawy elektrotechniki i Tech-nika analogowa. Jednoczenie moe by wykorzystany przez studentw kierunku elektrotechnika w ramach przedmiotu Elektrotechnika teoretyczna. W przedmiotach tych zagadnienia analizy obwodw liniowych stanowi cz dominujc.

Rozdzia I jest wprowadzeniem do teorii obwodw skupionych, a rozdzia III stanowi wstp do teorii obwodw liniowych prdu zmiennego. W rozdziale II omwiono obwody liniowe prdu staego. Przedstawione w tym rozdziale metody analizy obwodw maj charakter uniwersalny. Dziki wykorzystaniu liczb zespolonych (metoda symboliczna) mog by one stosowane do analizy stanw ustalonych sinusoidalnych (rozdzia IV), a poprzez wykorzystanie prze-ksztacenia Laplace'a (metoda operatorowa) do analizy stanw nieustalonych oraz badania odpowiedzi na wymuszenia impulsowe (rozdzia VII). W rozdziale V omwiono analiz stanu ustalonego przy wymuszeniach okresowych. Roz-dzia VI powicono analizie stanw nieustalonych w dziedzinie czasu.

Podrcznik by pisany przy zaoeniu, e czytelnik zna odpowiednie dziay matematyki i fizyki. W szczeglnoci konieczna jest znajomo podstawowych poj i metod w zakresie: analizy matematycznej, algebry macierzy, algebry liczb zespolonych, szeregw trygonometrycznych Fouriera, rwna rniczko-wych zwyczajnych liniowych o staych wspczynnikach, przeksztacenia Laplacea oraz elementw funkcji zmiennej zespolonej. Przyswojenie podsta-wowych poj obwodowych wymaga znajomoci fizyki w zakresie szkoy redniej. Jednak dla gbszego zrozumienia warunkw dopuszczajcych zasto-sowanie ujcia obwodowego konieczna jest wiedza zawarta w teorii pola elek-tromagnetycznego.

Skadam podzikowanie prof. dr hab. in. Lechowi Raskiemu za zawar-te w recenzji wnikliwe i cenne uwagi. Wyraam rwnie wdziczno dr in. Zenonowi Stefaniakowi, ktry zachci mnie do przygotowania skryptu, a nastpnie zechcia opiniowa jego pierwotn wersj.


Strona 7

Rozdzia I

PODSTAWOWE POJCIA I PRAWA TEORII OBWODW 1.1. Obwd elektryczny

Obwd elektryczny jest to zbir urzdze elektrycznych (elementw) oraz czcych je przewodw (rys. 1.1-1).

1

2

6

3 45

Rys. 1.1-1

W obwodzie elektrycznym moe zachodzi wymiana energii pomidzy elementami za porednictwem adunkw elektrycznych przepywajcych w przewodach. Warunkami koniecznymi wystpowania wymiany energii (fun-kcjonowania obwodu) s: obecno elementw zdolnych do oddawania energii do obwodu (elementw

aktywnych) obecno elementw zdolnych do pobierania energii z obwodu wystpowanie w obwodzie drg zamknitych dla przepywu adunku.

Elementy maj skoczon (nie mniejsz ni dwa) liczb zaciskw. Zaciski s to obszary, poprzez ktre adunki elektryczne mog wpywa do ele-mentu lub z niego wypywa. Elementy dwuzaciskowe nazywa si dwjnikami.

W teorii obwodw o parametrach skupionych przyjmuje si fundamentalne zaoenie, e przemiany energii zachodz wycznie w elementach obwodu.

Z zaoenia tego wynika idealizacja przewodw oraz otoczenia obwodu. W warunkach rzeczywistych wystpuj midzy innymi straty w przewodach oraz zjawiska energetyczne zwizane z polami wok obwodu. Model obwo-dowy jest przydatny, jeli te dodatkowe przemiany energetyczne nie maj istot-nego znaczenia.

W teorii pola elektromagnetycznego wykazuje si, e ujcie obwodowe moe by stosowane, gdy speniony jest warunek quasi-stacjonarnoci [Osiowski J., Szabatin J., 199295, Podstawy teorii obwodw. T.1. WNT Warszawa]. Wynika z niego, e dopuszczalne maksymalne rozmiary obwodu s tym mniej-


Strona 8

sze, im szybsze s przebiegi wystpujce w obwodzie. Stosowanie modelu ob-wodowego w praktyce wymaga oceny tego czy obwd idealny jest wystarczaj-co dokadnym przyblieniem obwodu rzeczywistego.

W idealnym obwodzie rozmiary elementw, a take odlegoci pomidzy nimi nie s istotne, wany jest tylko sposb poczenia elementw. Schemat obwodu (rys. 1.1-1) zawiera w postaci graficznej informacj o strukturze obwo-du oraz cechach elementw. Jest on czsto utosamiany z obwodem.

Energia oraz adunek elektryczny s pojciami pierwotnymi teorii obwo-dw i pozwalaj na opis zjawisk fizycznych, ktre zachodz w obwodach. Jed-nak opis zalenoci wystpujcych w obwodach znacznie wygodniej jest prowadzi, posugujc si pojciami prdu i napicia elektrycznego. Istotna jest rwnie moliwo atwiejszego pomiaru prdu i napicia ni energii i adunku. 1.2. Prd elektryczny

W teorii obwodw interesuje nas prd przewodzenia bdcy uporzdkowa-nym ruchem adunkw elektrycznych w przewodach.

Miar ilociow prdu jest warto chwilowa (natenie) prdu i. Jest ona okrelona przez pochodn adunku q przepywajcego przez przekrj poprzecz-ny przewodu wzgldem czasu t:

d dt

qi = (1.2-1)

Warto chwilowa prdu i jest dodatnia, jeli kierunek (umowny) prdu jest zgodny z kierunkiem ruchu adunkw dodatnich, a przeciwny do kierunku ruchu adunkw ujemnych. Przy odmiennych relacjach warto chwilowa i jest ujemna. Wybr kierunku (umownego) zaznaczamy strzak na schemacie (rys. 1.2-1). Wybr ten jest konieczny, gdy w przeciwnym razie znak wartoci chwilowej prdu i jest nieokrelony.

+

i1 i2

i1 > 0 i2 = -i1

Rys. 1.2-1

Oznaczenie prdu ma liter bdziemy utosamiali z wartoci chwilow bdc funkcj czasu i = i(t). W przypadku, gdy mamy na myli warto w konkretnej chwili niezbdne jest pene oznaczenie wskazujce ten moment czasu, np. i(t1). Zmiana kierunku prdu i wymaga zmiany znaku wystpujcego przed prdem i we wszystkich rwnaniach.

W dalszych rozwaaniach bdziemy dla uproszczenia warto chwilow prdu nazywali rwnie prdem, o ile nie zachodzi obawa pomylenia zjawiska z jego miar ilociow.


Strona 9

Jednostk prdu jest amper (A). Przy przepywie prdu 1 A przez przekrj poprzeczny przewodu w cigu 1 s przenoszony jest adunek 1 C. 1.3. Napicie elektryczne

Midzy dwoma punktami obwodu (punktami nalecymi do przewodu lub zacisku elementu) wystpuje napicie, jeli przepywowi adunkw midzy tymi punktami towarzyszy wykonanie pracy.

Miar ilociow napicia jest warto chwilowa napicia u. Warto chwi-lowa napicia u midzy dwoma punktami obwodu okrelona jest przez pochod-n pracy W wykonanej przy przenoszeniu adunku q z jednego punktu obwodu do drugiego wzgldem adunku q:

d dq

Wu = (1.3-1)

+ b a u1

u2

u1 > 0 u2 = u1 uab = u1

Rys. 1.3-1

Warto chwilowa napicia u jest dodatnia, jeli kierunek (umowny) napicia zwrcony jest w stron bieguna dodatniego (rys. 1.3-1). Przy przenoszeniu adunku dodatniego od bieguna dodatniego do bieguna ujemnego energia dostar-czana jest do elementw, przez ktre adunek jest przenoszony. Natomiast prze-pywowi adunku dodatniego od bieguna ujemnego do dodatniego towarzyszy po-bieranie energii z elementw. Dopki nie zosta wybrany kierunek napicia, dopty znak wartoci chwilowej napicia jest nieokrelony. Zmiana kierunku wymaga zmiany znaku wystpujcego przed napiciem u we wszystkich rwnaniach.

Wyboru kierunku napicia mona dokona rwnie poprzez umieszczenie wskanikw napicia w postaci symboli obydwu punktw we waciwej kolej-noci, np.: uab, to napicie o kierunku zwrconym do punktu a (rys. 1.3-1). Za-pis taki jest te tosamy z okreleniem napicie punktu a wzgldem punktu b. W literaturze anglosaskiej na schematach zaznacza si umown biegunowo.

Oznaczenie napicia ma liter bdziemy utosamiali z wartoci chwilo-w bdc funkcj czasu u = u(t). W przypadku, gdy mamy na myli warto w wybranej chwili, niezbdne jest pene oznaczenie wskazujce ten moment czasu, np. u(t3).

W dalszych rozwaaniach bdziemy dla uproszczenia warto chwilow napicia nazywali rwnie napiciem, o ile nie zachodzi obawa pomylenia zja-wiska z jego miar ilociow.


Strona 10

Jednostk napicia jest wolt (V). Jeli napicie midzy dwoma punktami obwodu jest rwne 1 V, to przy przepywie adunku 1 C midzy tymi punktami wykonywana jest praca 1 J.

Potencjaem punktu obwodu elektrycznego nazywamy napicie pomidzy tym punktem a przyjtym punktem odniesienia (mas). Jeli punkt odniesie-nia oznaczy symbolem 0, to potencja punktu A jest rwny napiciu uA0 (rys. 1.6-2b).

1.4. Moc i energia dwjnika Rozwamy funkcjonowanie obwodu zawierajcego poczone ze sob

dwjniki (rys. 1.4-1).

u

i

A B

d W d W

Rys. 1.4-1

Jeli napicie u oraz prd i s dodatnie, to w przedziale czasu rwnym r-niczce dt porcja energii dW pobierana jest z dwjnika A (adunek dodatni dq jest przenoszony od bieguna do bieguna +) i dostarczana do dwjnika B (adu-nek dodatni dq jest przenoszony od bieguna + do bieguna ). Korzystajc z definicji wartoci chwilowych prdu (1.2-1) i napicia (1.3-1) mona obliczy:

tiuqud W dd == (1.4-1)

a nastpnie moc chwilow z jak energia pobierana jest z dwjnika A i dostar-czana do dwjnika B: iu

t

Wp == d

d (1.4-2)

Energia dostarczona z dwjnika A do dwjnika B w przedziale czasu od t1 do t2:

d2

1

=t

t

tiuW (1.4-3)

Powysze wzory s poprawne rwnie w odniesieniu do momentw czasu, gdy wartoci chwilowe napicia lub prdu s ujemne. Wwczas ujemny znak mocy chwilowej odpowiada momentom, gdy energia jest przekazywana


Strona 11

z dwjnika B do dwjnika A. Natomiast ujemna warto caki (1.4-3) wiadczy o tym, e energia zostaa przekazana z dwjnika B do dwjnika A.

Interpretacja znaku mocy chwilowej uzaleniona jest od sposobu strzakowa-nia (relacji midzy kierunkami prdu i napicia) dwjnika. Przy tzw. strzakowaniu rdowym umowny prd wypywa przez umowny biegun dodatni (rys. 1.4-2a). Wwczas w chwilach, gdy warto iloczynu ui jest dodatnia dwjnik energi wydaje. Ujemna warto odpowiada natomiast sytuacji, gdy dwjnik energi pobiera. Odmienny sposb strzakowania, czyli tzw. strzakowanie odbiorniko-we, przy ktrym umowny prd wpywa do dwjnika przez umowny biegun dodatni (rys. 1.4-2b) wymaga odwrotnej interpretacji znaku iloczynu ui. Podob-nie jak wybr kierunkw prdu i napicia, sposb strzakowania dwjnika jest dowolny. Naley jednak pamita o wpywie kierunkw na znaki prdw i na-pi w rwnaniach. Jednoczenie mona oceni czy sposb strzakowania jest naturalny, czy sztuczny. Bardziej naturalny jest ten, ktry zmniejsza liczb zna-kw w rwnaniach i wartociach liczbowych.

u

i

a)

Rys. 1.4-2

b)

u

i

W obwodzie skadajcym si wycznie z dwjnikw spenienie zasady zachowania energii wymaga realizacji bilansu mocy chwilowych wszystkich elementw:

=odbr

iuiu (1.4-4)

gdzie: r wszystkie dwjniki ze strzakowaniem rdowym, odb wszystkie dwjniki ze strzakowaniem odbiornikowym.

1.5. Elementy obwodw i ich rwnania

1.5.1. Elementy wymuszajce (rda) rdo napicia (rys. 1.5-1a) jest dwjnikiem, ktrego napicie u jest nie-

zalene od prdu i, przy czym:

eui

= (1.5-1)

gdzie e = e(t) jest zadan funkcj czasu okrelajc napicie rdowe.


Strona 12

rdo prdu (rys. 1.5-1b) stanowi dwjnik, ktrego prd i jest niezaleny od napicia u, przy czym:

jiu

= (1.5-2)

gdzie j = j(t) jest zadan funkcj czasu okrelajc prd rdowy.

i i

u u

a) b)

Rys. 1.5-1

e j

Strzaki umieszczone w symbolu graficznym rde okrelaj ich zwrot. rda s elementami aktywnymi, gdy mog dostarcza energi do obwodu. Generowane przez rda przebiegi s niezalene i peni rol wymusze

w odniesieniu do pozostaych prdw i napi, ktre s odpowiedziami obwodu. 1.5.2. Elementy niewymuszajce (odbiorniki)

Elementy niewymuszajce opisywane s rwnaniami zawierajcymi za-rwno prdy, jak i napicia wystpujce na ich zaciskach. Wspczynniki wy-stpujce w rwnaniach s parametrami elementw. Podzia elementw mona przeprowadzi zgodnie z klasyfikacj rwna wicych wartoci chwilowe prdw i napi.

i i

uu

a) b)

Rys. 1.5-2

Na przykad diod pprzewodnikow (rys. 1.5-2a) mona opisa za po-moc rwnania:

( )1= uks eIi (1.5-3) a kondensator (rys. 1.5-2b) poprzez zwizek:

dtduCi = (1.5-4)

Z uwagi na posta rwnania (1.5-3) diod zaliczamy do elementw nieli-niowych, a kondensator okrelony rwnaniem (1.5-4) do elementw liniowych.


Strona 13

Obydwa podane powyej przykadowe elementy nale do grupy elemen-tw stacjonarnych, poniewa w ich rwnaniach czas nie wystpuje w sposb jawny. Gdyby rwnanie kondensatora przybrao posta:

)]sin([dtdu

tCCi += (1.5-5)

mielibymy do czynienia z elementem niestacjonarnym (parametrycznym). Waciwoci takiego elementu zmieniaj si w czasie. 1.5.3. Elementy idealne, a elementy rzeczywiste

Rwnania elementw stanowi definicj elementw idealnych. S one mo-delami elementw rzeczywistych. W zastosowaniach naley mie na uwadze dokadno przyblienia oraz ograniczony zakres napi i prdw, w ktrym model ma zastosowanie. Zagadnienia tworzenia modeli, a take wyboru modelu o wystarczajcej zgodnoci z elementem rzeczywistym le na pograniczu teorii obwodw i dyscyplin aplikacyjnych. Mona te spotka si z zadaniem odwrot-nym, gdy zmierzamy do zbudowania elementu rzeczywistego o wasnociach moliwie bliskich elementowi idealnemu.

Rwnania najprostszych elementw rzeczywistych (np. cewki, kondensato-ra) mona uzyska na podstawie analizy dominujcych zjawisk fizycznych zachodzcych w tych elementach (p. rozdz. III). Jednak zachowanie tyche elementw, np. w obwodach z przebiegami szybkozmiennymi, wymaga uwzgldnienia take innych zjawisk, ktre zaczynaj wpywa na zwizki mi-dzy napiciem a prdem na zaciskach elementw.

W samej teorii obwodw posugujemy si elementami idealnymi i przyj-mujemy, e zwizki napi i prdw na zaciskach elementw s dane. Nie wni-kamy te w mechanizm zjawisk, ktre te zwizki wywouj.

1.6. Struktura obwodu i prawa Kirchhoffa

1.6.1 Gazie, wzy i oczka Sposb poczenia elementw okrela struktur obwodu. Rwnania wyni-

kajce ze struktury obwodu s realizacj zasady zachowania energii w caym obwodzie oraz zasady zachowania adunku w dowolnej wyodrbnionej czci obwodu. Zasady te w odniesieniu do prdw i napi s zawarte w prawach Kirchhoffa.

Sformuowanie praw Kirchhoffa wymaga okrelenia poj zwizanych ze struktur obwodu. Przyjmiemy zaoenie, i elementami obwodu s wycznie dwjniki.

Jako ga struktury mona uzna kady z dwjnikw tworzcych obwd, wwczas wzem jest kady punkt poczenia dwjnikw. Jeli rozwaany ob-wd zawiera poczenia szeregowe dwjnikw (np. elementy 2 i 6 na rys. 1.1-1), mona zredukowa liczb elementw struktury, przyjmujc nastpu-


Strona 14

jce definicje. Ga stanowi dwjnik lub szeregowe poczenie dwjnikw. Wze jest to punkt poczenia co najmniej trzech gazi. Ten sposb definio-wania gazi i wza przyjmiemy za podstawowy.

Oczko to droga zamknita utworzona z gazi. Przedstawienie obwodu ilustrujce tylko jego struktur (bez informacji

o cechach elementw tworzcych jego gazie) nazywamy grafem obwodu. Przykadowy obwd i jego graf pokazano na rysunku 2.9.1. 1.6.2. Pierwsze prawo Kirchhoffa (I PK)

Suma algebraiczna wartoci chwilowych prdw w gaziach doczonych do dowolnego wza obwodu jest rwna zeru: 0=

kki (1.6-1)

gdzie: ik warto chwilowa prdu w k-tej gazi wzita ze znakiem +, jeli

kierunek prdu ik jest zwrcony do wza, a ze znakiem w przeciwnym przypadku.

Na przykad dla wza widocznego na rysunku 1.6-1a mona zapisa:

04321 =+ iiii (1.6-2a) Suszno I PK wynika bezporednio z zasady zachowania adunku

w wle.

i1

Rys. 1.6-1

b) a)

i2

i3 i4

i6 i4 i3

i2

I PK mona stosowa w odniesieniu do prdw w przewodach czcych pewn wyodrbnion cz obwodu z reszt obwodu. Wwczas ta wyodrbnio-na cz traktowana jest jako jeden wze. Na przykad w obwodzie przedsta-wionym grafem na rysunku 1.6-1b prdy s zwizane zalenoci:

02643 =++ iiii (1.6-2b)

1.6.3. Drugie prawo Kirchhoffa (II PK) Suma algebraiczna wartoci chwilowych napi na gaziach dowolnego

oczka obwodu jest rwna zeru:


Strona 15

0=k

ku (1.6-3)

gdzie: uk warto chwilowa napicia na k-tej gazi wzita ze znakiem +, je-

li kierunek napicia uk jest zgodny z kierunkiem obchodzenia oczka, a ze znakiem , jeli jest niezgodny.

Jednoczesne spenienie pierwszego i drugiego prawa Kirchhoffa zapewnia realizacj zasady zachowania energii w obwodzie (p. 1.6.4).

Na przykad dla oczka widocznego na rysunku 1.6-2a mona zapisa (po zaoeniu kierunku obchodzenia oczka zgodnego z kierunkiem ruchu wskaz-wek zegara): 04321 =++ uuuu (1.6-4)

u1

Rys. 1.6-2

B A uAB

uA0 uB0

0

b) a)

u3

u2 u4

II PK jest suszne rwnie w odniesieniu do dowolnego zamknitego a-cucha napi midzy punktami obwodu.

W szczeglnoci taki acuch tworzy napicie uAB wraz z potencjaami: uA0 i uB0 (rys. 1.6-2b). Dlatego mona zapisa: 00 BAAB uuu = (1.6-5)

Naley podkreli, e zaleno (1.6-5) nie jest definicj napicia, a wyni-ka z II PK.

1.6.4. Prawa Kirchhoffa, a zasada zachowania energii Na podstawie pierwszego i drugiego prawa Kirchhoffa udowodnimy reali-

zacj zasady zachowania energii. Poniewa powysze prawa nie zale od cech elementw, ktre tworz

obwd, a jedynie od jego struktury, rozwaania mona prowadzi posugujc si grafem obwodu (rys. 1.6-3).

Przyjmiemy, e midzy dowolnymi dwoma wzami znajduje si jedna ga-. Prd w dowolnej gazi oznaczymy dwoma indeksami oznaczajcymi nu-


Strona 16

mery wzw, do ktrych doczona jest ga. Kolejno indeksw okrela kierunek prdu. I PK moe by zapisane dla kadego z k = 1,..., (w 1) wzw w postaci zwykej sumy (wszystkie prdy skierowane od wza):

01

0))(( =

=

w

llki (1.6-6)

(1)(2)

(k)(6)

(l)

up

Rys. 1.6-3

(5)

(0)

ip i(l)(k) i(k)(l)

i(1)(2) i(5)(k)

i(l)(6)

i(1)(0)

i(k)(0)

Przy tym prd i(k)(k) = 0. Zerowa jest rwnie warto prdu i(k)(l), jeli midzy wzami k oraz l ga nie wystpuje.

Suma iloczynw kolejnych potencjaw u(k)(0) przez sumy prdw w k-tym wle (1.6-6) jest rwna zero:

01

1

1

0))(()0)(( =

=

=

w

k

w

llkk iu (1.6-7)

Po zaoeniu strzakowania odbiornikowego prdu ip oraz napicia up ka-dej z g gazi (rys. 1.6-3) wykaemy, korzystajc z II PK, e:

=

=

=

=

g

ppp

w

k

w

llkk iuiu

1

1

1

1

0))(()0)(( (1.6-8)

Prd dowolnej gazi i(k)(l) nie doczonej do wza odniesienia (l 0) wy-stpuje po lewej stronie rwnania (1.6-8) dwukrotnie: raz jako i(k)(l) w sumie mnoonej przez u(k)(0), a drugi raz jako i(l)(k) w sumie mnoonej przez u(l)(0). Po-niewa i(k)(l) = ip, a i(l)(k) = ip, to kady z prdw gaziowych mnoony jest przez rnic potencjaw u(k)(0) u(l)(0), a ta z kolei, w myl II PK, jest rwna napiciu gaziowemu up. W odniesieniu do gazi doczonych do wza od-niesienia dochodzimy do analogicznego wniosku, gdy prdy tych gazi i(k)(0) = ip wystpuj pojedynczo. S one mnoone przez potencjay u(k)(0) bdce jednoczenie napiciami gaziowymi up.


Strona 17

Rwnoczesne spenienie rwna (1.6-7) i (1.6-8) oznacza realizacj zasady zachowania energii w obwodzie:

01

==

g

ppp iu (1.6-9)

co stanowio tez dowodzonego twierdzenia. Rwnanie (1.6-9) stanowi szczegln posta bilansu mocy chwilowej

(1.4-4) zapisanego przy zaoeniu, e zastosowano wycznie strzakowanie odbiornikowe.

W sytuacji, gdy midzy dwoma wzami znajduje si kilka poczonych rwnolegle gazi mona przyj wsplny kierunek napicia, co przy strzako-waniu odbiornikowym gazi pozwala wyznaczy prd cakowity jako zwyk sum prdw poczonych gazi. W grafie na rysunku 1.6-3 poczenie rwno-lege reprezentowane jest jedn gazi z prdem rwnym prdowi cakowite-mu. Dla naszych rozwaa istotne jest, e iloczyn wartoci chwilowych napi-cia i prdu cakowitego jest rwny sumie iloczynw napi i prdw gazi tworzcych poczenie rwnolege.

W przypadku wielowrotnikw kade wrota stanowi w sensie struktural-nym dwjnik. Tak wic, wykazane zwizki praw Kirchhoffa z bilansem energe-tycznym dotycz dowolnych obwodw zbudowanych z dwjnikw i wie-lowrotnikw.

1.7. Podzia zagadnie obwodowych Podstawowym zadaniem teorii obwodw jest analiza oraz synteza obwo-

dw. Analiza polega na okreleniu prdw oraz napi w obwodzie o zadanej strukturze i zbudowanym z elementw o znanych wa-ciwociach (parametrach).

Metody analizy rni si w zalenoci od: a) charakteru funkcji wymuszajcych (stae, sinusoidalne, okresowe, dowolne), b) rodzaju funkcji opisujcych elementy niewymuszajce (liniowe lub nieli-

niowe i stacjonarne lub parametryczne), c) zgodnoci funkcji okrelajcych odpowiedzi z funkcjami opisujcymi wy-

muszenia (stan ustalony i nieustalony). W obwodach, w ktrych dziaaj wymuszenia stae, sinusoidalne lub okre-

sowe stan ustalony istnieje, gdy odpowiedzi s stosownie: stae, sinusoidalne lub okresowe.

W najprostszym przypadku mamy do czynienia z obwodami, w ktrych dziaaj wymuszenia stae, elementy opisywane s rwnaniami liniowymi i nie zawierajcymi czasu w charakterze parametru, a stan jest ustalony, czyli odpo-wiedzi podobnie jak wymuszenia s stae. Obwody takie bd obiektem naszych zainteresowa w nastpnym rozdziale.


Strona 18

Przeciwnym do analizy jest zadanie syntezy. Jej celem jest zaprojektowanie obwodu o zadanych waciwociach, tzn. okrelenie jego struktury oraz parametrw elementw.


Strona 19

Rozdzia II

OBWODY LINIOWE Z WYMUSZENIAMI STAYMI (STAN USTALONY)

2.1. rda i rezystor liniowy Pocztkowo rozwaa bdziemy obwody, w ktrych obok wymusze sta-

ych, rde napicia (rys. 2.1-1) oraz prdu (rys. 2.1-2), znajdowa si bd rezystory (rys. 2.1-3). Rezystor (liniowy) jest dwjnikiem o rwnaniu: IRU = (2.1-1) gdzie R rezystancja.

Odwrotno rezystancji nazywa si konduktancj G:

1R

G = (2.1-2)

W ukadzie jednostek SI jednostk rezystancji jest om (), a konduktancji - simens (S).

I

U U

I

E

E

0

U = E

Rys. 2.1-1

I

U U

I

J J

0

I = J

Rys. 2.1-2

I

U

U

I R

0 U = R I

Rys. 2.1-3

I1

U1

R

Rys. 2.1-4


Strona 20

Moc z jak energia jest dostarczana do rezystora:

22 UGIRP == (2.1-3) Zwykle przyjmuje si, e rezystor jest elementem pasywnym, czyli nie-

zdolnym do dostarczania energii do obwodu. Przy dodatnim parametrze R wa-runek ten jest zawsze speniony.

Podkreli trzeba, e rwnanie (2.1-1) opisuje rezystor przy zastosowaniu strzakowania odbiornikowego (rys. 2.1-3). Przy strzakowaniu rdowym (rys. 2.1-4) rwnanie rezystora przybiera posta: 11 IRU = (2.1-4)

Jest oczywistym, e znak parametru R nie ma wpywu na posta rwnania. Graniczn postaci rezystora jest zwarcie, czyli dwjnik o rezystancji ze-

rowej. Zwarcie jest te graniczn postaci rda napicia o parametrze E = 0. Graniczn postaci rezystora jest rwnie przerwa, czyli dwjnik o kon-

duktancji zerowej. Przerwa jest te graniczn postaci rda prdu o parame-trze J = 0.

Tablica 2.1-1. Graniczne postaci elementw

Nazwa gazi

schemat

R E J

zwarcie R = 0 G = E = 0 __

przerwa R = G = 0 __ J = 0

Szczeglnymi elementami obwodw s przyrzdy pomiarowe. Idealny ampe-romierz wskazuje warto prdu IA. Relacja midzy kierunkiem umownym pr-du IA a znakami + i na jego zaciskach pokazana jest na rysunku 2.1-5a.

+ - + - IV IA

UA

A V

UV

Rys. 2.1-5

a) b)

Idealny woltomierz wskazuje warto napicia UV. Relacja midzy kierun-kiem umownym napicia UV a znakami + i na jego zaciskach pokazana jest na rysunku 2.1-5b. Poniewa przyrzdy idealne nie pobieraj energii UA = 0


Strona 21

oraz IV = 0. W sensie obwodowym amperomierz jest rwnowany zwarciu, a woltomierz przerwie.

Rzeczywistymi rdami napicia staego s rnego rodzaju ogniwa elek-trochemiczne, akumulatory, prdnice itp. Jednak charakterystyki najblisze idealnym maj zasilacze elektroniczne suce zarwno jako rda napicia, jak i prdu. rda rzeczywiste maj ograniczon moc. Wystpuje te wpyw obcienia na wytwarzane napicie lub prd. Dlatego w najprostszym modelu rzeczywistego rda napicia szeregowo z idealnym rdem napicia wczo-ny jest rezystor. W modelu rzeczywistego rda prdu rezystor wczony jest rwnolegle do idealnego rda prdu. Odpowiednio dobrane rezystancje (zwy-kle mae dla rde napicia i due dla rde prdu) tych rezystorw nazywa si rezystancjami wewntrznymi rde.

Rezystory rzeczywiste speniaj prawo Ohma w ograniczonym zakresie napi i prdw. Wie si to przede wszystkim z dopuszczaln dla danego rezystora wartoci maksymalnej mocy, ktra moe by w nim wydzielana. W pewnych warunkach naley uwzgldni wpyw czynnikw zewntrznych (np. temperatury) na rezystancj.

Rzeczywiste przyrzdy pomiarowe maj okrelon rezystancj. Jeli w przypadku amperomierza jest ona odpowiednio maa, a w przypadku wolto-mierza odpowiednio dua, wwczas obecno przyrzdw nie wpywa istotnie na warto wielkoci mierzonej. W podrozdziale 2.19 przedstawiono metody, ktre mog by rwnie zastosowane do wyznaczania zmian odpowiedzi wy-woanych doczeniem rzeczywistych przyrzdw pomiarowych. Pozwalaj one oceni, czy wpyw skoczonej rezystancji miernika jest pomijalny (analogicznie mona bada znaczenie rezystancji wewntrznej rde).

2.2. Metody analizy obwodw liniowych Metody bezporednie (formalne) polegaj na budowaniu ukadw rwna

wzgldem okrelonych odpowiedzi obwodu. W tej grupie metod najwaniejsze s: metoda prdw oczkowych, metoda potencjaw wzowych.

Nazwa tej grupy metod wywodzi si std, e przy ich uzasadnianiu odwoujemy si bezporednio do praw Kirchhoffa i rwna elementw. Nato-miast inne podejcie do analizy przewiduje konstruowanie algorytmw, wyko-rzystujcych twierdzenia wynikajce z zasad dotyczcych wszelkich ukadw liniowych oraz analizy zaciskowej obwodu. Do tej grupy metod, ktre nazy-wamy porednimi (fizycznymi) nale m.in.: metoda kolejnych przeksztace metoda wielkoci proporcjonalnych metoda superpozycji metoda rda zastpczego.


Strona 22

Naley podkreli, e powysze metody znajduj zastosowanie nie tylko podczas analizy obwodw liniowych prdu staego, ale rwnie w trakcie analizy obwodw linowych prdu sinusoidalnego (w ramach metody symbolicznej) oraz obwodw liniowych w stanie nieustalonym (w ramach metody operatoro-wej). Metoda symboliczna oraz operatorowa zostan przedstawione pniej, ale skuteczne posugiwanie si tymi rodkami bdzie wymagao dobrego opanowa-nia metod analizy, ktre poznamy na przykadzie obwodw prdu staego.

2.3. Poczenie szeregowe i rwnolege rezystorw Poniewa na zaciskach zewntrznych dwjnika zoonego z rezystorw

napicie jest wprost proporcjonalne do prdu, elementem zastpczym pocze-nia jest rezystor, ktrego parametr nazywamy rezystancj rwnowan.

Podstawowe cechy poczenia szeregowego rezystorw (rys. 2.3-1): a) prdy wszystkich rezystorw s jednakowe: ,21 n,...,kIIk == (2.3-1)

I1

U1

R1 Ik

Uk

Rk In

Un

Rn

U

I

Rys. 2.3-1

b) napicia na rezystorach s proporcjonalne do ich rezystancji:

,...2,1, nlkRR

UU

l

k

l

k== (2.3-2)

Rezystancja rwnowana:

=

=

n

kkRR

1 (2.3-3)

Napicie na jednym z dwch szeregowo poczonych rezystorw (dzielnik napiciowy):

21

22 URR

RU +

= (2.3-4)

Podstawowe cechy poczenia rwnolegego (rys. 2.3-2): a) napicia na wszystkich rezystorach s jednakowe: ,21 n,...,kUUk == (2.3-5)


Strona 23

b) prdy rezystorw s odwrotnie proporcjonalne do ich rezystancji: ,21, n,...,lk

RR

II

k

l

l

k== (2.3-6)

I1

U1

R1

Ik

Uk

Rk

In

Un

Rn

I

U

Rys. 2.3-2

Rezystancja rwnowana:

111

=

=

n

k kRR (2.3-7)

przy n = 2:

21

21RRRRR

+

=

Prd jednego z dwch poczonych rwnolegle rezystorw (dzielnik prdowy):

21

12 IRR

RI +

= (2.3-8)

Czytelnikowi pozostawia si uzasadnienie podanych cech pocze rezystorw.

2.4. Metoda kolejnych przeksztace Stosowanie tej metody polega na wykorzystaniu zalenoci wynikajcych

z poczenia szeregowego lub rwnolegego rezystorw i jest moliwe tylko w obwodach z jednym wymuszeniem.

Postpowanie:

J

U1

I2

E R3 I1

a) b)

Rys. 2.4-1

I3 R2

R3 R2 R1

R1 I3

a) uproszczenie (zwinicie) obwodu przez zamian pocze rezystorw rezy-storami rwnowanymi, a do uzyskania struktury pozwalajcej na wyzna-czenie odpowiedzi wprost, tzn. bez rozwizywania ukadw rwna (np. struktury jak na rysunku 2.4-1a i b),

b) wyznaczenie kolejnych odpowiedzi w gaziach pierwotnych obwodu po-przez wykorzystanie cech pocze szeregowych i rwnolegych lub praw Kirchhoffa (rozwinicie).


Strona 24

Przykad 2.4-1. Wyznaczymy wszystkie prdy oraz napicie U w obwodzie pokaza-nym na rysunku 2.4-2 przy rozwartym przeczniku K.

E U K

I

R2

R1 R3

R4

I2

I3 I1

I4

IK

Rys. 2.4-2

Dane: E = 18 V, R1 = R4 = 6 , R2 = R3 = 3

a) Kolejno obliczamy rwnowane rezystancje pocze szeregowego R2 i R3: R23 = R2 + R3 = 6

rwnolegego R23 i R1: R123 = =+

231

231RRRR 3

szeregowego R123 i R4: R = R123 + R4 = 9

oraz prd pyncy przez rdo napicia: A2==REI

b) Z poczenia szeregowego E oraz R4 wynika: I4 = I = 2 A a z poczenia rwnolegego R1 i R23: A1

231

12 =

+= I

RRRI

Dla poczenia szeregowego R2 i R3 mamy: I3 = I2 = 1 A Z I PK: I1 = I I2 = 1 A Z II PK: U = E I2 R2 = 15 V

Przykad 2.4-2. Wyznaczymy wszystkie prdy w obwodzie z poprzedniego przykadu przy zwartym przeczniku K.

Od razu zauwaamy, e jedn z odpowiedzi mona wyznaczy wprost:

A62

2 == REI .

W celu obliczenia prdu I1 zwijamy cz obwodu:

843

431134 =

+

+=RRRR

RR

i obliczamy: 25,2134

1 == REI


Strona 25

W wyniku rozwinicia: A5,1143

43 =+

= IRR

RI

Z I PK: I4 = I1 I3 = 0,75 A, I = I1 + I2 = 8,25 A, Ik = I2 + I3 = 7,5 A

W obwodach zawierajcych ponad cztery rezystory moe si okaza, e brak jest pocze szeregowych lub rwnolegych i nie mona za pomoc podanych dotd zalenoci doprowadzi do uproszczenia struktury (np. rys. 2.5-2). W tych sytuacjach przydatne staj si przeksztacenia opisane w nastpnym punkcie.

2.5. Przeksztacenie trjkta rezystorw w rwnowan gwiazd i gwiazdy w trjkt

a a a

b b b c c cRbc

RaRca

IcaRb

Iab

Ibc

RcIb

Ia

IcIb

Ia

IcIb

Ia

Ic

Rys. 2.5-1

a) b) c)

Rab

Zarwno trjkt rezystorw (rys. 2.5-1a), jak i gwiazda (rys. 2.5-1b) oce-niane od strony zaciskw zewntrznych przedstawiaj sob trjniki (elementy z trzema zaciskami) (rys. 2.5-1c). Dwa elementy s rwnowane, jeli w jedna-kowy sposb wi prdy i napicia na swoich zaciskach. Zapiszemy zwizki wystpujce midzy napiciem Uab a prdami Ia, Ib oraz Ic dla trjkta i gwiazdy rezystorw. Porwnanie funkcji opisujcych wspomniane zwizki umoliwi okrelenie warunkw rwnowanoci tych ukadw. Poniewa zgodnie z I PK suma trzech wymienionych wyej prdw jest rwna zeru, za zmienne nieza-lene przyjmiemy prdy Ia oraz Ib. Porwnywa natomiast bdziemy funkcje Uab = f (Ia, Ib).

Dla ukadu gwiazdy mona zapisa:

bbaaab IRIRU = (2.5-1) Dla ukadu trjkta zapiszemy rwnania wynikajce z I PK dla wzw a

i b oraz II PK dla oczka, ktre tworzy trjkt:

0

=++

+=

=

cacabcbcabab

babbc

aabca

IRIRIRIIIIII

(2.5-2)


Strona 26

po wyeliminowaniu prdw Ica oraz Ibc otrzymujemy:

cabcab

bbcacaab RRR

IRIRI++

= (2.5-3)

a dalej: b

bcaba

abcaababab IR

RRIRRRIRU ==

(2.5-4)

gdzie: cabcab RRRR ++= (2.5-5)

Z porwnania funkcji uzyskanych dla gwiazdy (2.5-1) i trjkta (2.5-4) wynika, e rwnowano tych trjnikw zaistnieje, gdy:

=

=

RRRR

RRRR

bcabb

abcaa

(2.5-6)

Zauwamy, e wzr na Rb mona uzyska z zalenoci na Ra po dokonaniu koowej zamiany wskanikw a b c a, wynika to ze szczeglnej symetrii rozwaanych ukadw. Dla otrzymania wzoru na Rc wystarczy przeprowadzi podobn operacj na wyraeniu sucym do obliczania Rb:

=

RRRR cabcc (2.5-7)

Uzyskane zwizki mona sformuowa sownie: rezystancja promienia gwiazdy rwnowanej danemu trjktowi jest rwna iloczynowi rezystancji bokw trjkta wychodzcych z wierzchoka odpowiadajcego temu promie-niowi, dzielonemu przez sum rezystancji bokw trjkta.

Przeksztacenia gwiazdy w rwnowany trjkt mona dokona posugujc si wzorem:

c

babaab R

RRRRR ++= (2.5-8)

oraz uzyskanymi poprzez koow zamian wskanikw wzorami na Rbc i Rca. Tym razem kad z tych zalenoci mona sformuowa: rezystancja boku

trjkta rwnowanego danej gwiedzie jest rwna sumie rezystancji promieni gwiazdy wychodzcych do wierzchokw zawizanych z danym bokiem powik-szonej o iloczyn rezystancji tyche promieni, podzielony przez rezystancj trze-ciego promienia gwiazdy. Poprawno wzoru (2.5-8) mona sprawdzi podsta-wiajc w miejsce Ra, Rb i Rc wyraenia wynikajce ze wzorw (2.5-6) i (2.5-7).


Strona 27

Przykad 2.5-1. Wyznaczymy wszystkie prdy oraz napicie Uab w obwodzie pokaza-nym na rysunku 2.5-2. Dane: J = 2 A, R1 = 25 , R2 = R3 = 50 , R4 = 30 , R5 = 20

Rys. 2.5-2

I1

c

b

a J

I2

I3

I4

I5

R3

R1

R4

R2

R5

Rys. 2.5-3

I1

c

b a

J

I2

Rc

R1

Ra

R2

Rb

Dla uproszczenia obwodu do postaci pozwalajcej na wyznaczenie odpowiedzi niezbdne jest zastosowanie przeksztacenia trjkta (R1R2R3 lub R3R4R5) w gwiazd albo gwiazdy (R1R3R4 lub R2R3R5) w trjkt. Przy wymuszeniu prdowym korzystniej-sze jest wykorzystanie przeksztacenia trjkt-gwiazda, a ze wzgldw rachunkowych lepiej wybra trjkt R3R4R5, dla ktrego: 100543 =++= RRRR

Rezystancje rwnowanej gwiazdy (rys. 2.5-3):

6 10 15 545343 ====== R

RRRRRRR

RRRR cba

Z dzielnika prdowego:

A 1,2 21

21 =

+++

+=

ba

bRRRR

RRJI

Z I PK, II PK oraz rwnania rezystora:

A 1 A 1

A 0,2

V 10 A 0,8

45

314

33

112212

==

==

==

====

IJIIII

RUI

RIRIUIJI

ab

ab


Strona 28

2.6. Zasada proporcjonalnoci i metoda wielkoci proporcjonalnych W dowolnym fizycznym ukadzie liniowym odpowied jest wprost propor-

cjonalna do wymuszenia wywoujcego t odpowied. Dlatego w obwodzie liniowym, w ktrym dziaa tylko jedno rdo (napicia lub prdu) wszystkie prdy i napicia s wprost proporcjonalne do wartoci wymuszenia (napicia lub prdu rdowego).

Metoda wielkoci proporcjonalnych oparta na tej zasadzie moe by stoso-wana do analizy obwodw, w ktrych jedyne rdo doczone jest do rezystorw tworzcych struktur drabinkow (np. obwd przedstawiony na rysunku 2.6-1).

Postpowanie: a) zakadamy warto odpowiedzi w gazi skrajnej wzgldem rda, b) obliczamy kolejne odpowiedzi, ktre musz towarzyszy przyjtemu zao-eniu (U~, I~) oraz wymuszenie, ktre wywouje zaoon odpowied (E~ lub J~) i wyznaczamy wspczynnik proporcjonalnoci:

p = E/E~ lub p = J/J~ (2.6-1) c) wyznaczamy faktyczne odpowiedzi w obwodzie: U = p U~ oraz I = p I~ (2.6-2)

Przykad 2.6-1. Wyznaczymy prd I5 oraz napicie U2 w obwodzie przedstawionym na rysunku 2.6-1. Dane: E = 150 V, R1 = 4 , R2 = 8 , R3 = 6 , R4 = 7 , R5 = 14

Rys. 2.6-1

E

I1

U2 U5 R5 R4

I5

I4

I3

I2

R3

R2

R1

Zakadamy warto prdu: I~5 = 1 A Konsekwencj tego zaoenia s wartoci pozostaych odpowiedzi:

U~5 = I~5 R5 = 14 V, I~4 = U~5 /R4 = 2 A, I~3 = I~4 + I~5 = 3 A U~2 = I~3 R3 + U~5 = 32 V, I~2 = U~2 /R2 = 4 A, I~1 = I~2 + I~3 = 7 A

oraz wymuszenia napiciowego: E~ = I~1 R1 + U~2 = 60 V

Wspczynnik proporcjonalnoci: p = E /E~ = 2,5 Wartoci poszukiwanych odpowiedzi: I5 = p I~5 = 2,5 A U2 = p U~2 = 80 V


Strona 29

2.7. Zasada superpozycji i metoda superpozycji W dowolnym fizycznym ukadzie liniowym odpowied na dziaanie kilku

wymusze jest rwna sumie odpowiedzi na kade wymuszenie dziaajce z osobna.

Metoda superpozycji pozwala na sprowadzenie analizy obwodu liniowego z wieloma rdami do wielu analiz obwodw z jednym rdem. Sposb obli-czania tych obwodw nie jest przedmiotem metody superpozycji.

Postpowanie:

E = 0 J = 0

J E

Rys. 2.7-1

a) wyznaczamy odpowiedzi czciowe y(l) wywoane przez poszczeglne wy-muszenia dziaajce pojedynczo (pozostae E = 0 oraz J = 0). rda o para-metrach zerowych przybieraj posta przedstawion na rysunku 2.7-1, czyli rdo napicia zastpujemy zwarciem, a rdo prdu przerw.

b) odpowiedzi pene uzyskujemy poprzez sumowanie odpowiedzi czcio-wych:

1

)(=

=

n

l

lyy (2.7-1)

gdzie n liczba rde w obwodzie.

Dotd zakadalimy jednorodne strzakowanie odpowiedzi w obwodzie pierwotnym i we wszystkich obwodach, w ktrych wyznaczane byy odpowie-dzi czciowe.

Jeli jednorodno ta nie jest zachowana wzr (2.7-1) naley zmodyfiko-wa do postaci:

1

)(=

=

n

l

ll yy (2.7-2)

gdzie l przyjmuje warto +1 lub 1 w zalenoci od tego czy strzakowanie odpowiedzi y i y(l) jest zgodne, czy te niezgodne.


Strona 30

Przykad 2.7-1. Wyznaczymy wszystkie prdy oraz napicie Uab w obwodzie pokaza-nym na rysunku 2.7-2. Dane: J = 2 A, E = 100 V, R1 = 25 , R2 = R3 = 50 , R4 = 30 , R5 = 20

I3 R3

R4

Rys. 2.7-2

I1

b

a

I2

I4

I5

R1 R2

R5

E

J

Poniewa w obwodzie dziaaj dwa wymuszenia, pene odpowiedzi mona uzy-ska, nakadajc odpowiedzi czstkowe obwodw przedstawionych na rysunku 2.7-3a i b.

Odpowiedzi obwodu z rysunku 2.7-3a (y') zostay wyznaczone w przykadzie 2.5-1.

Rys. 2.7-3

I'1

b a

I'2

I'3

I'4 I'5

R3

R1

R4

R2

R5

J

I"1

b a

I"2

I"3

I"4 I"5

R3

R1

R4

R2

R5

E

b) a)

Analiz obwodu z rysunku 2.7-3b przeprowadzimy metod kolejnych przeksztace: ( )

V 25 ""A 0,5- ""A 0,5 """

A 0,5 ""A 1 ""A 1 "

, 100

33

45314

543

5413121

543

54321

==

====

=

++

+=====

=

++

+++=

RIUIIIII

RRRRR

IIIIREI

RRRRRR

RRR

ab

Zestawienie odpowiedzi czstkowych oraz wyniki kocowe przedstawiono w tabeli 2.7-1.


Strona 31

Tabela 2.7-1

y y' y" y = y' + y" I1 [A] 1,2 1,0 2,2 I2 [A] 0,8 -1,0 -0,2 I3 [A] 0,2 0,5 0,7 I4 [A] 1,0 0,5 1,5 I5 [A] 1,0 -0,5 0,5

Uab [V] 10 25 35

2.8. Zasady Thevenina i Nortona oraz metoda rda zastpczego

2.8.1. Dwjniki typu E oraz dwjniki typu J Wrd dwjnikw zawierajcych wymuszenia mona wyodrbni ich dwa

szczeglne typy: typ E oraz typ J. Dwjniki typu E charakteryzuj si tym, i napicie na ich zaciskach nie

zaley od przepywajcego prdu. W najprostszym przypadku takim dwjni-kiem jest rdo napicia. Przykad zoonego dwjnika typu E przedstawiono na rysunku 2.8-1. Dla dwjnika tego zawsze U = E2 + E3, dlatego dwjnikiem rwnowanym jest rdo napicia E = E2 + E3.

U

R1

E3

E2

E1

I

J R4

Rys. 2.8-1

E

U

R1

J3

E3

J2

I

R5

Rys. 2.8-2

J

J5

J1

Dwjnik typu J wyrnia si tym, e pyncy przez jego zaciski prd nie zaley od napicia. Najprostszym dwjnikiem tego typu jest rdo prdu. Przykad zoonego dwjnika typu J przedstawiono na rysunku 2.8-2. Tym ra-


Strona 32

zem prd dwjnika niezalenie od napicia U wynosi I = J1 J2 + J3, dlatego rwnowanym dwjnikiem jest rdo prdu J = J1 J2 + J3. 2.8.2. Zasada Thevenina

Dowolnie zoony dwjnik zawierajcy rda i rezystory liniowe (nie bdcy dwjnikiem typu E lub J) jest rwnowany dwjnikowi uproszczonemu do postaci szeregowego poczenia rda napicia ET i rezystora liniowego RT (rys. 2.8-3).

E J

RT

ET

Rys. 2.8-3

R

Napicie rdowe ET jest rwne napiciu Uj midzy rozwartymi zaciskami dwjnika zoonego (zwrot rda ET wzgldem zaciskw zewntrznych jest taki sam jak kierunek umowny napicia Uj) (rys. 2.8-4a). Rezystancja RT jest rwna rezystancji rwnowanej dwjnika zoonego okrelonej przy zaoeniu, e wymuszenia dwjnika nie dziaaj (rys. 2.8-4b).

E = 0 J = 0

E J RT

Uj = ET

Rys. 2.8-4

b) a)

R R

Dwjnik na rysunku 2.8-4a znajduje si w tzw. stanie jaowym, poniewa przy obecnoci wymusze wewntrz dwjnika prd przez jego zaciski nie py-nie, std oznaczenie napicia Uj.

Jeli dwjniki: zoony i uproszczony (rys. 2.8-3) s rwnowane, ww-czas zaleno napicia (wystpujcego na ich zaciskach) od prdu rdowego Jp powinna by jednakowa w obydwu ukadach (rys. 2.8-5).

W ukadzie z dwjnikiem uproszczonym (rys. 2.8-5b): pJREU TTb += (2.8-1)


Strona 33

E J RT

ET

Rys. 2.8-5

RUa Ub Jp Jp

b) a)

W ukadzie z dwjnikiem zoonym (rys. 2.8-5a) napicie Ua mona wyznaczy przez superpozycj skadowej U'a spowodowanej przez rda wewntrzne dwjnika (rys. 2.8-6a) oraz skadowej U"a wywoanej przez ze-wntrzne rdo Jp (rys. 2.8-6b).

E = 0 J = 0

E J

U'a

Rys. 2.8-6

b) a)

R R

U"a Jp

Skadowa U'a jest rwna odpowiedzi napiciowej Uj w obwodzie na rys. 2.8-4a, czyli ma warto rwn napiciu rdowemu ET. W ukadzie na rys. 2.8-6b rdo prdu jest doczone do dwjnika o rezystancji RT (p. rys. 2.8-4b). Dlatego skadowa U"a jest rwna iloczynowi rezystancji RT i prdu rdowego Jp. Naoenie skadowych daje wynik: pJREU TTa += (2.8-2)

Porwnanie wzoru (2.8-1) ze wzorem (2.8-2) potwierdza rwnowano dwjnikw zoonego oraz uproszczonego i suszno zasady Thevenina.

Rezystancja RT dwjnikw typu E jest rwna zero i dlatego dwjnik rw-nowany zawiera tylko rdo napicia ET (por. rys. 2.8-1). Natomiast dwjniki typu J nie maj modelu wystpujcego w zasadzie Thevenina. 2.8.3. Zasada Nortona

Dowolnie zoony dwjnik zawierajcy rda i rezystory liniowe (nie b-dcy dwjnikiem typu E lub J) jest rwnowany dwjnikowi w postaci rwno-legego poczenia rda prdu JN i rezystora liniowego RT (rys. 2.8-7).


Strona 34

E J

RT JN

Rys. 2.8-7

R

Prd rdowy JN jest rwny prdowi zwarcia dwjnika zoonego Izw (zwrot rda JN wzgldem zaciskw zewntrznych jest przeciwny do kierunku umownego prdu Izw) (rys. 2.8-8a). Rezystancja RT, podobnie jak w dwjniku uproszczonym Thevenina odpowiada rezystancji rwnowanej dwjnika zoonego okrelonej przy zaoeniu, e wymuszenia dwjnika nie dziaaj (rys. 2.8-4b).

E J

RT

ET

Rys. 2.8-8

R Izw

Izw

b) a)

Poniewa prd rdowy JN rwna si prdowi zwarcia dwjnika zoone-go Izw, to mona go wyrazi poprzez parametry dwjnika uproszczonego Thevenina (rys. 2.8-8b):

T

TzwN R

EIJ == (2.8-3)

RT JN

Rys. 2.8-9

JpUc

Wyznaczymy zaleno napicia Uc na zaciskach dwjnika uproszczonego od prdu rdowego Jp (rys. 2.8-9): pJRJRU TNTc += (2.8-4)


Strona 35

Prd rdowy JN mona wyrazi przez ET i RT (2.8-3), wtedy: pJREU TTc += (2.8-5)

Porwnanie z analogiczn zalenoci dla dwjnika zoonego (2.8-2) po-twierdza rwnowano dwjnikw doczonych do rda Jp: zoonego w obwodzie z rysunku 2.8-5a i uproszczonego wedug zasady Nortona w ob-wodzie z rysunku 2.8-9.

Dwjniki typu J, po zaoeniu e wymuszenia wewntrzne nie dziaaj przeksztacaj si w dwjniki rwnowane przerwie. Okrelona jest wic jedy-nie konduktancja GT = 1/RT, ktra rwna jest zero. Dlatego dwjnik rwnowa-ny zawiera tylko rdo prdu JN (por. rys. 2.8-2). Natomiast dwjniki typu E nie posiadaj modelu wystpujcego w zasadzie Nortona. 2.8.4. Metoda rda zastpczego

Metoda ta jest przydatna przy wyznaczaniu odpowiedzi w jednej, dowol-nej, gazi obwodu. Stanowi szczeglnie przydatne narzdzie, gdy naley wy-znacza t odpowied dla rnych parametrw analizowanej gazi.

W pierwszej kolejnoci upraszczamy (wg zasady Thevenina lub zasady Nortona) dwjnik zoony, do ktrego jest doczona ga analizowana. Na-stpnie obliczamy poszukiwan odpowied w prostym obwodzie zawierajcym ga analizowan doczon do dwjnika uproszczonego.

Przykad 2.8-1. Wyznaczymy prd I4 dla nastpujcych przypadkw: a) w obwodzie z rysunku 2.8-10, dla dwch wartoci napicia rdowego E4: 50 V i

100 V; b) w obwodzie zmodyfikowanym poprzez wczenie rezystora R4 w miejsce rda

napicia E4 (w rezultacie obwd przybiera posta jak w przykadzie 2.7-1) dla czte-rech wartoci rezystancji R4: 10 , 30 , 50 i 100 ;

Dane: J = 2 A, E = 100 V, R1 = 25 , R2 = R3 = 50 , R5 = 20

Rys. 2.8-10

b a

I4

R3 R1

E4

R2

R5

E

J

c


Strona 36

Rys. 2.8-11

b a

R3 R1

R2

R5

E

J

c

RT

ET

c

a

We wszystkich przypadkach zmiany dotycz gazi doczonej do zaciskw a i c zoonego dwjnika (rys. 2.8-11a). Zgodnie z zasad Thevenina dwjnik ten mona zastpi dwjnikiem uproszczonym z elementami o parametrach ET i RT (rys. 2.8-11b).

Napicie rdowe ET jest rwne napiciu stanu jaowego Uj (rys. 2.8-12a). Posu-gujc si metod superpozycji mona uzyska:

V 120)(312

3

312

235 =++

+++

+==RRR

RERRR

RRRJUE jT

Rys. 2.8-12

b a

R3 R1

R2

R5

E

J

c

a)

b

a

R3

R1

R5 c

b) R2

Uj

Rezystancja RT jest rwna rezystancji rwnowanej dwjnika zoonego przy nie dziaajcych wymuszeniach, czyli rezystancji midzy zaciskami a oraz c dwjnika z rysunku 2.8-12b:

50)(213

2135 =++

++=

RRRRRRRRT

Nastpnie przechodzimy do analizy ukadu uproszczonego (rys. 2.8-13).


Strona 37

R4 E4

Rys. 2.8-13

RT RT

ET ET

b) a) I4 I4

W czci a) zadania bdzie to ukad jak na rysunku 2.8-13a, w ktrym poszukiwa-ny prd I4:

50V 120 44

4E

REEI

T

T =

=

Dla E4 = 50 V otrzymujemy I4 = 1,4 A, a przy E4 = 100 V prd I4 = 0,4 A. Natomiast w czci b) zadania korzystamy z obwodu na rysunku 2.8-13b. Tym ra-

zem prd I4:

444 50

V 120RRR

EIT

T

+=

+=

Dla zadanego szeregu wartoci R4: 10 , 30 , 50 i 100 otrzymujemy szereg odpowiedzi I4: 2 A, 1,5 A, 1,2 A i 0,8 A.

2.9. Elementarny ukad rwna Elementarnym ukadem rwna nazywamy ukad rwna wzgldem pr-

dw i napi wszystkich gazi obwodu. Liczba niewiadomych w strukturze zawierajcej g gazi wynosi 2g. Wrd rwna elementarnego ukadu wyr-nia si rwnania struktury i gazi. Poniewa rwnania poszczeglnych gazi s niezalene i wystpuj w liczbie g, elementarny ukad rwna powinien te zawiera g niezalenych rwna struktury.

2.9.1. Rwnania struktury. Wzy i oczka niezalene Rwnania struktury, to zbir rwna niezalenych wynikajcych z I i II

prawa Kirchhoffa. Jeli zapiszemy rwnania wg I prawa Kirchhoffa (I PK) dla wszystkich w

wzw, to w rwnaniach tych kady z prdw gaziowych wystpuje dwu-krotnie, przy czym raz ze znakiem +, a nastpnie ze znakiem . Nie otrzymuje-my wic zbioru rwna niezalenych. Liczba rwna niezalenych wg I PK jest mniejsza o 1 od liczby wzw obwodu i wynosi w 1. Wzy, dla ktrych tworzymy te rwnania nazywamy wzami niezalenymi, a pozostay wzem odniesienia.


Strona 38

Poniewa cakowita liczba rwna struktury jest rwna g, to liczba rwna niezalenych, ktre powinnimy uzyska na bazie II prawa Kirchhoffa (II PK) wynosi g (w 1). Liczba oczek niezalenych, czyli takich, dla ktrych zbir rwna wg II PK jest zbiorem rwna niezalenych, jest wic te rwna g (w 1).

W przypadku obwodw, ktre mog by przedstawione na paszczynie bez krzyowania si przewodw (obwodw planarnych) jeden z moliwych zbiorw oczek niezalenych tworz wszystkie wewntrzne oczka sieci. W celu uzyskania zbioru oczek niezalenych w dowolnym, rwnie nieplanarnym, obwodzie mona posuy si algorytmem: 1) wybra dowolne oczko obwodu, 2) usun z obwodu jedn z gazi tego oczka, 3) powtarza czynnoci 1. i 2. dopki z pozostaych gazi mona utworzy oczko. Oczka wybrane w punkcie 1. tworz zbir oczek niezalenych. Usunicie z obwodu jednej z gazi wybranego oczka powoduje niezaleno wzgldem nastpnych oczek, gdy w nastpnych rwnaniach nie moe wystpi jedno z napi wybranego oczka.

Istniej metody wyznaczania oczek niezalenych wykorzystujce teori grafw [Chua L.O., Pen-Min Lin, 1981, Komputerowa analiza ukadw elek-tronicznych. WNT Warszawa].

Na rysunku 2.9-1a przestawiono przykadowy obwd, a na rysunku 2.9-1b jego graf. Rwnania struktury obwodu mona zapisa na podstawie grafu po zaznaczeniu kierunkw napi i prdw wszystkich gazi.

A

C B

Rys. 2.9-1

D U6

I1

U3

U5 U4

U2 U1

I3

I2

I5 I4

I6

A

C B

D U6

I1

U3

U5 U4

U2 U1

I3

I2

I5 I4

I6

R1

b)

R2

R3

R4

J

E5 E1

a)

W rozwaanym przykadzie liczba gazi obwodu g = 6, a wzw w = 4. Mona wic utworzy w 1 = 3 rwnania niezalene wg I PK (np. dla wzw A, B i C):


Strona 39

0 0

0

652

641

321

=+

=+

=+

IIIIII

III (2.9-1)

oraz g (w 1) = 3 rwnania niezalene wg II PK (np. dla oczek planarnych):

000

654

352

431

=+

=++

=+

UUUUUUUUU

(2.9-2)

2.9.2. Rwnania gazi Dla obwodu przedstawionego na rys. 2.9-1a mona zapisa g = 6 rwna:

JIEU

IRUIRU

IRUIREU

=

=

=

=

=

+=

6

55

444

333

222

1111

(2.9-3)

Rwnania 2.9-3 wraz z rwnaniami struktury: 2.9-1 i 2.9-2 tworz elemen-tarny ukad rwna. Rozwizaniem tego ukadu jest 6 prdw i 6 napi ga-ziowych obwodu przedstawionego na rysunku 2.9-1a.

Podstawow wad analizy obwodw poprzez rozwizywanie elementarne-go ukadu rwna jest znaczna liczba rwna (2g). Uciliwa jest te potrzeba wyboru kierunkw dla wszystkich odpowiedzi gaziowych, podczas gdy zwy-kle poszukujemy jednej lub co najwyej kilku odpowiedzi. Metody prdw oczkowych i metoda potencjaw wzowych, ktre zostan opisane dalej, nie s tak kopotliwe i charakteryzuj si mniejsz liczb rwna. Rwnania tych metod mog by otrzymane poprzez wybr pewnego podzbioru poszukiwanych odpowiedzi i redukcj pozostaych niewiadomych z elementarnego ukadu rw-na. Jednak istota polega na moliwoci uzyskania ukadw rwna tych metod wprost na podstawie struktury obwodu i znajomoci parametrw gazi. 2.10. Parametry gazi

Parametry gazi s parametrami modelu uoglnionego gazi. Posugiwa bdziemy si dwoma modelami: szeregowym (rys. 2.10-1a) i rwnolegym (rys. 2.10-1b).


Strona 40

Rys. 2.10-1

b) Jk

Gk Rk

Ek a)

Model szeregowy jest okrelony dla gazi, ktra nie jest dwjnikiem typu J lub przerw. Ek (napicie rdowe gazi) i Rk (rezystancja gazi) s rwne parametrom zastpczym Thevenina ET i RT. Rwnanie tego modelu mona zapi-sa w postaci: kkkk IREU = (2.10-1)

Model rwnolegy jest okrelony dla gazi, ktra nie jest dwjnikiem typu E lub zwarciem. Jk (prd rdowy gazi) jest rwny parametrowi JN w rdle zastpczym Nortona, a Gk (konduktancja gazi) jest rwna odwrotnoci rezy-stancji RT . Rwnanie tego modelu mona zapisa w postaci: kkkk UGJI = (2.10-2)

Znaki we wzorach (2.10-1) i (2.10-2) uzalenione s od sposobu strzako-wania gazi.

Jeli ga zbudowana jest tylko z rezystorw (ga typu R), wwczas element wymuszajcy w modelach uoglnionych nie wystpuje. Ga w posta-ci szeregowego poczenia rda napicia i rezystora jest gazi typu ER.

Tabela 2.10-1 Typy gazi (dwjnikw) i ich parametry

Typ Ek Rk Jk Gk

R 0 R 0 1/R ER E R E/R 1/R E E 0 J J 0

zwarcie 0 0 0 przerwa 0 0 0


Strona 41

2.11. Metoda prdw gaziowych i metoda prdw oczkowych

2.11.1. Prdowa posta II prawa Kirchhoffa. Metoda prdw gaziowych Drugie prawo Kirchhoffa (1.6-3) dla oczek zawierajcych P rde napi-

ciowych i Q rezystorw, a nie zawierajcych gazi typu J mona zapisa w postaci zawierajcej sumy algebraiczne:

= =

=+P

p

Q

qqp UE

1 10 (2.11-1)

gdzie: Ep warto p-tego napicia rdowego, Uq warto napicia na q-tym rezystorze.

Napicie Uq mona zamieni iloczynem RqIq, jednak wwczas przy usta-laniu znakw w sumie algebraicznej nie jest ju istotny kierunek napicia na rezystorze, lecz tylko kierunek prdu Iq wzgldem kierunku obchodzenia oczka. Przy strzakowaniu odbiornikowym kierunki napicia i prdu wzgldem kie-runku obchodzenia oczka s odmienne i w konsekwencji, w sumie algebraicz-nej, znak przed Uq jest inny ni znak przed RqIq, std:

= =

=

P

p

Q

qqqp IRE

1 10 (2.11-2)

To samo rwnanie otrzymamy przy strzakowaniu rdowym. Wwczas kierunki napicia i prdu wzgldem kierunku obchodzenia oczka s takie same, ale rwnanie rezystora ma posta (2.1-4): Uq = IqRq.

Zwykle przyjmuje si, e nieznane s prdy Iq, a wiadome wymuszenia Ep, dlatego rwnanie (2.11-2) zapisujemy w postaci:

==

=

P

pp

Q

qqq EIR

11 (2.11-3)

Wprawdzie powysze rwnanie wynika z bilansu napi w oczku, jednak bezporednio wie prdy rezystorw z rezystancjami i napiciami rdowymi wystpujcymi w oczku. Dlatego t modyfikacj drugiego prawa Kirchhoffa mona nazwa jego postaci prdow (II PK "P").

Jeli obwd zawiera nJ gazi typu J, to mona zapisa g (w 1) nJ rwna niezalenych wg II PK P oraz (w 1) rwna wg I PK. czna liczba rwna odpowiada liczbie nieznanych prdw (g nJ). Poszukiwanie odpowie-dzi poprzez rozwizanie tego ukadu rwna nazwiemy analiz metod prdw gaziowych. Ten klasyczny sposb analizy jest te nazywany metod praw Kirchhoffa.


Strona 42

Przykad 2.11-1. Zapiszemy rwnania metody prdw gaziowych dla obwodu przed-stawionego na rysunku 2.11-1.

R2 I2

E5 R5

R6

R4

R3

R1

E6

E3

Rys. 2.11-1

I4 I5

I3

I6

I1

Na podstawie I PK mona zapisa w 1 = 3 rwnania:

0 0

0

652

641

321

=++

=+

=++

IIIIIIIII

Na podstawie II PK P mona zapisa g (w 1) = 3 rwnania:

65446655

35553322

3443311

EEIRIRIREEIRIRIR

EIRIRIR

+=

=+

=+

Rozwizaniem powyszego ukadu szeciu rwna jest g = 6 prdw gaziowych.

2.11.2. Koncepcja prdw oczkowych. Przeksztacenie oczkowe jako forma zapisu I PK

Z I PK wynika (w 1) ogranicze nakadanych na g prdw gaziowych. Dlatego te istnieje g (w 1) prdw niezalenych, poprzez ktre za pomoc I PK mona wyrazi pozostae prdy. Okazuje si, e za zbir g (w 1) pr-dw niezalenych mona te uzna pewne pomylane prdy, ktre pyn w oczkach niezalenych obwodu. Bdziemy je nazywa prdami oczkowymi. Prdy gaziowe mog by wyznaczone dziki naoeniu prdw oczkowych. Zbir rwna, w ktrych poszczeglne prdy gaziowe zapisane s jako sumy algebraiczne prdw oczkowych przepywajcych przez dan ga nosi nazw przeksztacenia oczkowego. Jeli z tych g rwna wyeliminujemy g (w 1) prdw oczkowych, to pozostanie (w 1) rwna rwnowanych rwnaniom wynikajcym z I PK. Dlatego mona uzna, e przeksztacenie oczkowe jest szczegln postaci zapisu rwna niezalenych wynikajcych z I PK.


Strona 43

Na rysunku 2.11-2 przedstawiono graf obwodu z rysunku 2.11-1 zawiera-jcego 3 oczka niezalene. Po wyborze kierunkw prdw oczkowych: I11, I22, I33 mona przedstawi przeksztacenie oczkowe:

I2

Rys. 2.11-2

I4 I5

I3

I6

I1

I33

I22 I11

336

33225

33114

22113

222

111

IIIIIIII

IIIIIII

=

+=

=

=

=

=

(2.11-4)

Wyeliminowanie prdw oczkowych z rwna (2.11-4) prowadzi do rwna:

625

614

213

IIIIII

III

=

+=

=

(2.11-5)

ktre s rwnowane rwnaniom (I PK) zapisanym w przykadzie 2.11-1. Obecnie do ukadu rwna wynikajcego z II PK "P" (w obwodzie z ry-

sunku 2.11-1) wprowadzimy zalenoci wynikajce z I PK zapisanego w formie przeksztacenia oczkowego (2.11-4). W rezultacie otrzymujemy ukad rwna wzgldem prdw oczkowych, ktry po uporzdkowaniu przybiera posta:

6533654225114

3533522532113

333422311431

)()( )(

)()(

EEIRRRIRIREEIRIRRRIR

EIRIRIRRR

+=++++

=++++

=++++

(2.11-6)

Istotny jest fakt, e powysze zalenoci mona uzyska w inny sposb. Sformuujemy reguy pozwalajce na wyznaczenie wspczynnikw przy niewiadomych oraz wyrazw wolnych bezporednio na podstawie schematu obwodu oraz parametrw jego gazi. Reguy te stanowi tre metody oczko-wej. Najpierw omwimy sposb postpowania w odniesieniu do obwodw nie zawierajcych gazi typu J.


Strona 44

2.11.3. Tworzenie rwna metody oczkowej dla obwodw bez gazi typu J a) Wybieramy oczka niezalene i kierunki prdw oczkowych. b) Ukadamy n = g (w 1) rwna wzgldem prdw oczkowych:

nnnnnnnn

nnn

nnn

EIRIRIR

EIRIRIREIRIRIR

=+++

=+++

=+++

L

LLLLLLLLLLLL

L

L

222111

22222221121

11122121111

(2.11-7)

gdzie: Rii rezystancja wasna i-tego oczka jest rwna sumie rezystancji gazi

wchodzcych w skad i-tego oczka, Rij rezystancja wzajemna midzy oczkami i oraz j jest rwna sumie

rezystancji gazi wchodzcych jednoczenie w skad obydwu oczek (wzita ze znakiem jeli prdy oczkowe w gaziach wsplnych maj niezgodne kierunki), przy czym Rij = Rji,

Eii napicie rdowe i-tego oczka jest rwne sumie algebraicznej na-pi rdowych gazi wchodzcych w skad i-tego oczka (znak w sumie algebraicznej dotyczy rde napiciowych zwrco-nych przeciwnie do kierunku prdu oczkowego).

Kierujc si powyszymi wskazwkami mona utworzy ukad rwna (2.11-6) bez potrzeby wyprowadzania go z metody prdw gaziowych.

Ukad rwna metody oczkowej mona rwnie zapisa macierzowo: [ ] [ ] [ ] ooo EIR = (2.11-8) gdzie:

[Ro] macierz rezystancji oczkowych (wasnych i wzajemnych), [Io] wektor prdw oczkowych, [Eo] wektor napi rdowych oczek.

Macierz [Ro] jest macierz kwadratow. Na jej gwnej przektnej znajduj si rezystancje wasne oczek, a pozostae elementy s odpowiednimi rezystan-cjami wzajemnymi. Macierz [Ro] obwodw zbudowanych z rezystorw jest symetryczna, poniewa rezystancje Rij oraz Rji s jednakowe. 2.11.4. Tworzenie rwna metody oczkowej dla obwodw zawierajcych

gazie typu J Pojcie prdw oczkowych jest zwizane ze struktur, dlatego mona si

nim posugiwa rwnie w obwodach zawierajcych gazie typu J. Uwzgld-niajc algorytm prowadzcy do utworzenia ukadu rwna wzgldem prdw oczkowych wskazany jest taki wybr oczek, aby kada ga typu J wchodzia tylko w skad jednego oczka. Wwczas prdy oczek zawierajcych ga typu J s znane. Liczb gazi typu J oznaczymy przez nJ, wwczas liczba nieznanych prdw oczkowych jest rwna g (w 1) nJ. Rwnania tworzymy wedug


Strona 45

zasad podanych w punkcie 2.11.3 dla oczek z nieznanymi prdami oczkowymi, ale wzgldem wszystkich (rwnie znanych) prdw oczkowych. Zreszt utwo-rzenie rwnania dla oczka z gazi typu J byoby niemoliwe, poniewa rezy-stancja i napicie rdowe takiej gazi s nieskoczone (p. tab. 2.9-1).

Kolejno postpowania jest nastpujca: a) Wybieramy n = g (w 1) nJ oczek niezalenych nie zawierajcych r-

de prdu oraz nJ oczek zawierajcych po jednym rdle prdu. b) Ukadamy n rwna wzgldem g (w 1) prdw oczkowych, z ktrych nJ

jest rwnych odpowiednim prdom rdowym:

nnnnnnnnnnnnn

nnnnnnn

nnnnnnn

EJRJRIRIR

EJRJRIRIR

EJRJRIRIR

JJ

JJ

JJ

=+++++

=+++++

=+++++

++

++

++

,11,111

22,211,221121

11,111,111111

LL

LLLLLLLLLLLL

LL

LL

(2.11-9)

gdzie: Ri,n+k rezystancja wzajemna midzy oczkiem z nieznanym prdem Iii

a oczkiem ze znanym prdem Jk (k = 1,..., nJ).

Do rozwizywania ukadu rwna przystpujemy po przeniesieniu skad-nikw zawierajcych prdy rdowe J1,..., JnJ na stron wymusze.

W zapisie macierzowym:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]oooo EJRIR J =+ (2.11-10) Po uporzdkowaniu:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] JREIRJoooo

= (2.11-11)

Przykad 2.11-2. Metod oczkow wyznaczymy prdy I3 oraz I4 w obwodzie pokaza-nym na rysunku 2.11-3. Dane: J = 2 A, E = 100 V, R1 = 25 , R2 = R3 = 50 , R4 = 30 , R5 = 20

Rys. 2.11-3

I3

I4

R3

R1

R4

R2

R5

E

J

I22

I11 I33


Strona 46

Dla danego obwodu g = 6, w = 4, nJ = 1. Wybieramy n = g (w 1) nJ = 2 oczka w ukadzie bez rda J i jedno (nJ = 1) oczko dla rda J.

W oczku trzecim I33 = J = 2 A. Rwnania metody oczkowej:

0)()()()()()(

422543113

122311321

=++++

=++++

JRIRRRIREJRIRIRRR

W zapisie macierzowym, po uporzdkowaniu wg (2.11-11) otrzymamy:

[ ]JRRE

II

RRRRRRRR

=

++

++

4

1

22

11

5433

3321

0

a po podstawieniu danych liczbowych:

[ ]

=

=

6050

23025

0100

1005050125

22

11

II

Rozwizaniem ukadu rwna s wartoci: I11 = 0,2 A oraz I22 = 0,5 A. Po naoeniu prdw oczkowych obliczamy poszukiwane prdy:

I4 = I33 I22 = 1,5 A oraz I3 = I22 I11 = 0,7 A Takie same odpowiedzi uzyskalimy po analizie tego samego obwodu metod su-

perpozycji w przykadzie 2.7-1.

2.12. Metoda potencjaw wzowych 2.12.1. Przeksztacenie wzowe jako forma zapisu II PK dla caego obwodu

Przeksztacenie wzowe zawiera g rwna wyraajcych napicia na ga-ziach obwodu przez potencjay wzw. Na przykad dla obwodu, ktrego graf przedstawiono na rysunku 2.12-1, po przyjciu wza D za wze odniesienia, przeksztacenie wzowe ma posta:

C00B6

C05

B04

0A3

0C0A2

0A0B1

UUUUU

UUUU

UUUUUU

=

=

=

=

=

=

(2.12-1)

Wyeliminowanie z przeksztacenia wzowego potencjaw prowadzi do uzy-skania g (w 1) rwna wzgldem napi na gaziach obwodu (2.9-2). Prze-ksztacenie wzowe jest wic pewnym sposobem zapisu II PK dla caego obwodu.

W obwodach nie zawierajcych gazi typu E mona wszystkie prdy ga-ziowe wyrazi za pomoc napi gaziowych i parametrw gazi (2.10-2).


Strona 47

Podstawiajc te wyraenia do rwna struktury wynikajcych z I PK otrzymamy ukad g rwna wzgldem napi gaziowych obwodu. Liczb niewiadomych atwo zmniejszy poprzez zastosowanie przeksztacenia wzowego. Wwczas otrzymamy ukad w 1 rwna wzgldem potencjaw.

Rys. 2.12-1

A

CB

D U6

U3

U5 U4

U2 U1

Na przykad dla obwodu przedstawionego na rysunku 2.12-2 mona zapi-sa rwnania gazi bezporednio z wykorzystaniem potencjaw:

R1 R4

R3 R2

I3

Rys. 2.12-2

J E4

E3

I4

I2

I1

(2) (1)

(0)

4

4204

3

320103

2

20102

1

101

)(

2)-(2.12 )(

REUI

REUUI

RUUI

RUI

=

=

=

=

Nastpnie podstawiamy je do rwna wynikajcych z I PK dla wzw (1) i (2). Po uporzdkowaniu otrzymujemy ukad rwna wzgldem potencjaw:

4

4

3

320

43210

32

3

320

3210

321

11111

11111

RE

REU

RRRU

RR

REJU

RRU

RRR

=

+++

=

+

++

(2.12-3)

Powysze zalenoci tworz ukad rwna metody potencjaw wzo-wych. Jednak istot metody jest opis procedury, ktra pozwala na zapisanie rwna bezporednio na podstawie schematu obwodu.


Strona 48

2.12.2. Tworzenie rwna dla obwodw nie zawierajcych gazi typu E a) Wybieramy wze odniesienia i oznaczamy pozostae (w 1) wzy. b) Ukadamy n = w 1 rwna wzgldem potencjaw:

nnnnnnn

nn

nn

JUGUGUG

JUGUGUGJUGUGUG

=+++

=+++

=+++

0202101

220220221021

110120121011

L

LLLLLLLLLLLL

L

L

(2.12-4)

gdzie: Gii konduktancja wasna i-tego wza jest rwna sumie konduktancji

gazi doczonych do i-tego wza, Gij konduktancja wzajemna midzy wzami i oraz j rwna jest wzi-

tej ze znakiem sumie konduktancji gazi wczonych (bezpo-rednio) midzy wzami i oraz j, przy czym Gij = Gji,

Jii prd rdowy i-tego wza rwny sumie algebraicznej prdw rdowych gazi doczonych do i-tego wza. Przy czym znak w sumie algebraicznej dotyczy rde zwrconych od i-tego wza.

Kierujc si powyszym algorytmem mona zapisa ukad rwna (2.12-3) wprost na podstawie schematu 2.12-2.

W zapisie macierzowym rwnania metody przybieraj posta: [ ] [ ] [ ] www JUG = (2.12-5) gdzie:

[Gw] macierz konduktancji wzowych (wasnych i wzajemnych), [Uw] wektor potencjaw wzowych, [Jw] wektor prdw rdowych wzw.

Macierz [Gw] jest macierz kwadratow. Na jej gwnej przektnej znajdu-j si konduktancje wasne wzw, a pozostae elementy s odpowiednimi konduktancjami wzajemnymi. Macierz [Gw] obwodw zbudowanych z rezysto-rw jest symetryczna, poniewa rezystancje Gij oraz Gji s jednakowe. 2.12.3. Tworzenie rwna dla obwodw zawierajcych gazie typu E

o wsplnym wle Dla wzw, do ktrych doczona jest ga typu E zapisanie rwnania

wzgldem potencjaw (wedug zasad podanych w poprzednim punkcie) nie jest moliwe, poniewa konduktancja oraz prd rdowy gazi tego typu s nieskoczenie due. Jeli jednak wszystkie gazie typu E maj wsplny wze, to przy wyborze tego wza za wze odniesienia liczba nieznanych potencjaw redukuje si do (w 1) nE (nE liczba gazi typu E). Wystarczy wic zapisa rwnania dla wzw o nieznanych potencjaach.


Strona 49

Kolejno postpowania jest nastpujca: a) Jako wze odniesienia wybieramy wze wsplny dla wszystkich gazi

typu E. b) Ukadamy n = (w 1) nE rwna wzgldem w 1 potencjaw, z ktrych

nE jest okrelonych przez napicia rdowe gazi typu E:

nnnnnnnnnnnn

nnnnnn

nnnnnn

JEGEGUGUG

JEGEGUGUGJEGEGUGUG

EE

EE

EE

=++

=++

=++

++

++

++

,11,0101

22,211,2021021

11,111,1011011

LL

LLLLLLLLLLLL

LL

LL

(2.12-6)

gdzie: Gi,n+k rezystancja wzajemna midzy i-tym wzem a wzem o znanym

potencjale Ek (k = 1,..., nE). Do rozwizywania ukadu rwna przystpujemy po przeniesieniu skad-

nikw, zawierajcych napicia rdowe E1,..., EnE na stron wymusze. W zapisie macierzowym:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] wwww JEGUG E =+ (2.12-7) Po uporzdkowaniu:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]EGJUGEwwww

=

(2.12-8)

Przykad 2.12-1. Przedstawimy rwnania metody potencjaw obwodu pokazanego na rysunku 2.12-3.

R5 R4

R3

R1 R2

E3 (0)

E2

E1 J1

J2

(2)

(1)

(3)

(4)

Rys. 2.12-3

Powyszy obwd zawiera dwie gazie typu E (nE = 2), po przyjciu wza wspl-nego za wze odniesienia przystpujemy do tworzenia n = w 1 nE = 2 rwna. Kady z odcinkw zwartych traktujemy jako jeden wze (uwaga ta dotyczy wzw 1 i 3). Rwnania piszemy dla wzw nie zwizanych z gaziami typu E (wzy 1 i 2) wzgldem w 1 = 4 potencjaw. Dwa potencjay s znane: U30 = E2 , U40 = E3.


Strona 50

0)()()()()( )(0)()()(

342520543103

1121322120310321

=+++++

+=+++++

EGEGUGGGUGEGJJEEGGUGUGGG

W zapisie macierzowym, po uporzdkowaniu wg (2.12-8):

+++=

++

++

3425

2211121

20

10

5433

3321 )(EGEG

EGGEGJJUU

GGGGGGGG

Analiz metod potencjaw wzowych obwodw, zawierajcych gazie typu E dowolnie rozmieszczone mona przeprowadzi po wstpnym prze-ksztaceniu obwodu do postaci, w ktrej gazie tego typu nie wystpuj. Spo-sobem pozwalajcym realizowa to przeksztacenie bez zmiany prdw w gaziach jest przenoszenie rde napiciowych poza wze wedug regu podanych w nastpnym punkcie.

2.13. Przenoszenie rde w obwodzie

2.13.1. Twierdzenie o przenoszeniu rde napiciowych Prdy w obwodzie nie ulegn zmianie, jeli w miejsce rda napicia E

dziaajcego w gazi doczonej do wza A (przykadowy graf na rysunku 2.13-1a) umiecimy rda E we wszystkich pozostaych gaziach doczonych do wza A (rys. 2.13-1b). Przy tym zwroty rda zastpowanego i rde za-stpujcych wzgldem wza A winny by odmienne.

E

E E E

Rys. 2.13-1

a) b)

A A

Suszno twierdzenia mona uzasadni odwoujc si do rwna metody prdw oczkowych. Zmiana pooenia rde napiciowych nie zmienia wekto-ra napi rdowych oczek [Eo]. Poniewa nie ulega zmianie rwnie macierz rezystancji oczkowych [Ro], dlatego prdy oczkowe [Io], a w konsekwencji pr-dy gaziowe, nie zmieni si po przeniesieniu rde.

Naley jednak mie na uwadze zmian potencjaw wzw, przez ktre przenoszone s rda oraz zmian wszystkich potencjaw przy przenoszeniu rda przez wze odniesienia.


Strona 51

Przykad 2.13-1. Metod potencjaw wzowych wyznaczymy wskazania amperomie-rzy idealnych (rys. 2.13-2a). Obwd zawiera dwie gazie typu E nie powizane wsplnym wzem. Po przeniesieniu rde E1 i E2 otrzymujemy obwd przedstawiony na rysunku 2.13-2b. Obwd ten nie zawiera gazi typu E. Potencja wza (1) mona obliczy z rwnania:

3

2

1

1

32110

111RE

REJ

RRRU =

++

a prdy wskazywane przez amperomierze ze wzorw:

2

102

1

1101 R

UIR

EUJI =+=

+-

E2

Rys. 2.13-2

a) b)

A1

A2

E1

R3

R1

R2 J

E2

E1

R3

R1 R2 J

I1

E2

E1

_

I2

+

(1)

(0)

2.13.2. Twierdzenie o przenoszeniu rde prdowych Rozkad napi w obwodzie nie ulegnie zmianie, jeli w miejsce jednego

rda prdu J umiecimy rda J rwnolegle do wszystkich pozostaych gazi oczka, ktre pocztkowo zawierao przenoszone rdo J. Przy tym zwroty r-da zastpowanego i rde zastpujcych wzgldem oczka winny by odmienne.

Sens podanego twierdzenia zobrazowano na przykadowym obwodzie, kt-rego fragment oraz pooenie rde przed i po przeniesieniu przedstawiono na rysunku 2.13-3.

J

Rys. 2.13-3

a) b)

J

J J


Strona 52

Suszno twierdzenia mona uzasadni odwoujc si do rwna metody potencjaw wzowych. Zmiana pooenia rde prdowych nie zmienia wek-tora prdw rdowych wzw [Jw]. Poniewa nie ulega zmianie rwnie ma-cierz konduktancji wzowych [Gw], dlatego potencjay [Uw], a w konsekwencji napicia gaziowe, nie zmieni si po przeniesieniu rde.

2.14. Zasada wzajemnoci 2.14.1. Pierwsza posta zasady wzajemnoci

W pewnych obwodach realizowana jest zasada o nastpujcej treci: Jeli rdo napicia Ek umieszczone w gazi k-tej wywouje w l-tej gazi

prd Il, to rdo napicia E~l umieszczone w gazi l-tej wywoa w k-tej gazi prd I~k , taki e:

~

~

l

k

k

l

EI

EI

= (2.14-1)

Zakada si przy tym, e wymuszenia dziaaj w obwodzie jako jedyne, a kierunki rde i prdw w obydwu gaziach s zgodne.

W szczeglnym przypadku napicia rdowe Ek i E~l mog by jednako-we. Wwczas odpowiedzi prdowe Il i I~k s jednakowe, a zasad wzajemnoci mona sformuowa obrazowo: jeli w obwodzie dziaa tylko jedno rdo napicia i w pewnej gazi mierzony jest prd, to zamiana miejscami rda z amperomierzem nie wywouje zmiany we wskazaniu amperomierza.

Przykad realizacji zasady wzajemnoci w obwodzie zawierajcym trzy rezystory przedstawiono na rysunku 2.14-1.

+ - 6 V

A

3 6 V

3

6 6 6 6

Rys. 2.14-1

A

-

+

0,5 A

0,5 A

a) b)

Poniej wykaemy, e zasada wzajemnoci jest realizowana bez wzgldu na liczb i zoono struktury rezystorw.

Na rysunku 2.14-2 przedstawiono grafy dwch obwodw. Struktury oby-dwu obwodw oraz rezystancje gazi s jednakowe. Obwody te rni si wy-cznie pooeniem dziaajcych pojedynczo wymusze napiciowych. W celu wyznaczenia prdw Il oraz I~k przeprowadzimy analiz obwodw metod pr-


Strona 53

dw oczkowych. Oczka wybieramy tak, aby ga k-ta wchodzia wycznie w skad k-tego oczka, a ga l-ta wchodzia wycznie w skad l-tego oczka.

Ek

Rys. 2.14-2

l

Il E~

l

I~k

l

k k

b) a)

Rwnania metody oczkowej obydwu obwodw posiadaj tak sam macierz rezystancji oczkowych [Ro], ale rni si wektorami napi rdowych oczek.

[ ]l

k

EE

l

kEE

l

o

k

o

=

=

0

0

0

][ b)obwodu dla a ,

0

0

0

a) 2-2.14 rys. naobwodu Dla~

~

M

M

M

M

M

M

W rezultacie poszukiwane odpowiedzi mona obliczy nastpujco:

k

kllll EII == (2.14-2)

gdzie: wyznacznik gwny macierzy [Ro], kl dopenienie algebraiczne elementu kl macierzy [Ro],

oraz

~~~

llkkkk EII == (2.14-3)

gdzie: lk dopenienie algebraiczne elementu lk macierzy [Ro].


Strona 54

Macierz [Ro] obydwu obwodw jest symetryczna, poniewa obwody zbudowane s z rezystorw. Wwczas dopenienia algebraiczne elementw symetrycznie pooonych wzgldem gwnej przektnej s jednakowe, a wic kl = lk. Dzielenie stronami rwna (2.14-2) i (2.14-3) prowadzi do zwizku rwnowanego zalenoci (2.14-1) i potwierdza suszno tezy o spenieniu zasady wzajemnoci w obwodach zbudowanych wycznie z rezystorw.

W przyszoci poznamy obwody zawierajce elementy powodujce asyme-tri macierzy [Ro]. Takie obwody nie bd podporzdkowane zasadzie wzajem-noci.

2.14.2. Druga (dualna) posta zasady wzajemnoci Jeli rdo prdu Jab dziaajce midzy wzami a oraz b, wywouje mi-

dzy wzami c oraz d napicie Ucd, to rdo prdu J~cd dziaajce midzy wzami c oraz d wywoa midzy wzami a oraz b napicie U~ab, takie e:

cd

ab

ab

cdJU

JU

~

~

= (2.14-4)

Zakada si przy tym, e wymuszenia dziaaj w obwodzie jako jedyne, a kierunki rde i napi wzgldem obydwu par wzw s zgodne.

W szczeglnym przypadku napicia rdowe Jab i J~cd mog by jedna-kowe. Wwczas odpowiedzi napiciowe Ucd i U~ab s takie same, a zasad wza-jemnoci mona sformuowa obrazowo: jeli w obwodzie dziaa tylko jedno rdo prdu i midzy pewnymi wzami obwodu mierzone jest napicie, to zamiana miejscami rda z woltomierzem nie wywouje zmiany we wskazaniu woltomierza.

Przykad realizacji zasady wzajemnoci w drugiej postaci w odniesieniu do obwodu z przykadu 2.5-1 przedstawiono na rysunku 2.14-3.

Rys. 2.14-3

b

d c

J R3

R1

R4

R2

R5

b

d

c

R3

R1

R4

R2

R5

J~

J = 2 A Ucd = 10 V J~ = 2 A U~ab = 10 V

b) a) a a


Strona 55

Zasada wzajemnoci w drugiej postaci, podobnie jak zasada w pierwszej po-staci jest zawsze realizowana w obwodach, w ktrych obok wymusze znajduj si wycznie rezystory. Poniej przedstawimy uzasadnienie tego stwierdzenia.

Rysunek 2.14-4 pokazuje grafy dwch obwodw. Struktury obydwu ob-wodw oraz rezystancje gazi s jednakowe. Obwody te rni si wycznie pooeniem dziaajcych pojedynczo wymusze prdowych. W celu wyznacze-nia napi Ucd oraz U~ab przeprowadzimy analiz obwodw metod potencjaw wzowych. Przyjmiemy, e wze b jest wzem odniesienia. Rwnania meto-dy wzowej obydwu obwodw posiadaj tak sam macierz konduktancji wzowych [Gw], ale rni si wektorami prdw rdowych wzw.

Jab

Rys. 2.14-4

d Ucd

J~cd

U~ab

d c c

b) a)

b b

a a

Dla obwodu na rysunku 2.14-4a

d

c

a

J

JJ

d

c

aJ

J

cd

cdw

ab

w

=

=

0

0

0

][ b)obwodu dla a ,

0

0

0

metody analizy obwodów liniowych

Documents