analiza obwodÓw w dziedzinie cz stotliwo ci e21

Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii

Instrukcja do zaj laboratoryjnych

ANALIZA OBWODÓW W DZIEDZINIE CZ STOTLIWO CI

Numer wiczenia

E21

Autor: Bogusław Butryło

Białystok 2009

Analiza czę stotliwoś ciowa obwodów elektrycznych

- 1 -

Spis tre ci

Cel wiczenia ................................................................................................ 2 1. Wst p....................................................................................................... 2 2. Układ z wymuszeniem harmonicznym o zadanej

cz stotliwo ci .......................................................................................... 3 3. Układy z wymuszeniami okresowymi odkształconymi.......................... 6 4. Transmitancja widmowa obwodów elektrycznych............................... 10 5. Charakterystyki czstotliwo ciowe....................................................... 11 6. Wykorzystanie transmitancji widmowej w analizie układów

elektrycznych ........................................................................................ 16 6.1. Odpowied układu na dowolne wymuszenie.............................. 16 6.2. Analiza obwodów rezonansowych.............................................. 18 6.3. Analiza obwodów złoonych ...................................................... 20

7. Program wiczenia ................................................................................ 21 7.1. Przygotowanie przed zajciami................................................... 21 7.2. Przebieg zaj .............................................................................. 22 7.3. Opracowanie otrzymanych wyników.......................................... 24

8. Przykładowe zagadnienia kontrolne ..................................................... 25 9. Literatura ............................................................................................... 26 10. Wymagania BHP................................................................................... 27 Dodatek A. Propozycje układów analizowanych w trakcie

wiczenia.............................................................................. 28 Dodatek B. Przykładowe konfiguracje projektowanych

układów i zestawy parametrów............................................ 34 Dodatek C. Wybrane sygnały nieharmoniczne i ich

reprezentacja za pomoc szeregu Fouriera .......................... 37

_____________ Materiały dydaktyczne przeznaczone dla studentów Wydziału Elektrycznego PB.

© Wydział Elektryczny, Politechnika Białostocka, 2009

Wszelkie prawa zastrze one.

adna czę ś ć tej publikacji nie mo e być kopiowana i odtwarzana w jakiejkolwiek formie i przy u yciu jakichkolwiek ś rodków bez zgody posiadacza praw autorskich.


- 2 -

Cel wiczenia

Poznanie podstaw analizy czstotliwo ciowej układów elektrycznych. Analiza transmitancji widmowej układów, ocena właciwo ci obwodów i sygnałów na podstawie analizy ich charakterystyk widmowych. Okrelenie wpływu warto ci elementów RLC na charakterystyki widmowe i wła ciwo ci wybranych układów elektrycznych i elektronicznych.

1. Wst p

Analiza czstotliwo ciowa obwodów elektrycznych jest obok analizy czasowej główn metod oceny właciwo ci układów elektrycznych. Analiza czstotliwo ciowa układów elektronicznych opiera si na analitycznych badaniach transmitancji czstotliwo ciowej oraz charakterystyk czstotliwo ciowych. Podstawowe zalety analizy czstotliwo ciowej to: - prosty zwi zek mi dzy analiz widmow i analiz czasow pracy

obwodu; jednoznaczno przej cia od analizy czasowej do cz stotliwo ciowej oraz z czstotliwo ciowej do czasowej dla wyst puj cych w praktyce sygnałów elektrycznych; moliwo stosowania analizy czstotliwo ciowej do praktycznie wszystkich układów elektrycznych analizowanych metodami obwodowymi;

- mo liwo okre lenia wielu właciwo ci układów elektrycznych na podstawie transmitancji widmowej i kształtu charakterystyk widmowych;

- mo liwo łatwego powizania analizy czstotliwo ciowej obwodów elektrycznych z analiz widmow sygnałów zasilajcych, wyj ciowych i wyst puj cych wewntrz układu;

- dobrze opracowane podstawowe algorytmy analizy czstotliwo ciowej za pomoc metod numerycznych (m.in. szybka transformata Fouriera).

Ka dy układ zbudowany z elementów RLCM mo na zinterpretowa jako sie elektryczn, która realizuje okrelone operacje matematyczne na sygnałach elektrycznych (rys. 1-1). Sygnały wystpuj ce w obwodzie s mi dzy sob zwi zane znanymi prawami obwodów elektrycznych (prawo Ohma, prawa Kirchhoffa). Wynikiem operacji wykonywanych w układzie jest przetworzenie sygnału wejciowego x(t) w sygnał wyjciowy y(t). W


- 3 -

ogólnej postaci sygnały x(t) i y(t) mog by napi ciami lub pr dami w wybranych punktach obwodu elektrycznego. W dziedzinie czasu zale no ci mi dzy sygnałami elektrycznymi s opisane równaniami ró niczkowo-całkowymi. Rzd analizowanego równania róniczkowego zale y od liczby elementów reaktancyjnych znajdujcych si w analizowanym układzie.

OBWÓD ELEKTRYCZNY

(tłumienie, całkowanie, ró niczkowanie, opóź nienie)

Sygnał wejś ciowy Sygnał wyjś ciowy

OBWÓD ELEKTRYCZNY

Transmitancja układu T(jω)

Charakterystyka widmowa sygnału

wejś ciowego X(jω)

Charakterystyka widmowa sygnału

wyj ś ciowego Y(jω)

t

x(t)

t

y(t)

jω

X(jω)

jω

Y(jω)

Rys. 1-1. Analogia midzy analiz w dziedzinie czasu i analiz cz stotliwo ciow .

W dalszej cz ci instrukcji rozwaania zostan ograniczone do analizy układów SLS (stacjonarnych, liniowych, skupionych), przy czym ze wzgl du na rodzaj sygnałów wymuszajcych, mona wyró ni trzy charakterystyczne przypadki: - układy z wymuszeniami harmonicznymi, - układy z wymuszeniami okresowymi odkształconymi, - układy z wymuszeniami impulsowymi, o ograniczonej energii. Osobna analiza tych przypadków umoliwia poznanie metod odnoszcych si do zagadnie najcz ciej wyst puj cych w praktyce.

2. Układ z wymuszeniem harmonicznym o zadanej cz stotliwo ci

Ten przypadek jest dobrze znany z wczeniejszych zaj . Zakładajc, e wymuszenia wystpuj ce w układzie s opisane funkcjami

harmonicznymi o jednakowej pulsacji ω, np.


- 4 -

( ) ( )( ) ( ),cos2

,sin2

ψωϕω

+=

+=

tIti

tEte (2.1)

mo na przej do zapisu z wykorzystaniem wektorów zespolonych

.

,

2πψ

ϕ

+=

=j

j

IeI

EeE (2.2)

Wszelkie prdy i napi cia wyst puj ce w analizowanym układzie bd równie przebiegami harmonicznymi o znanej pulsacji ω. Przesunicie k towe mi dzy pr dami i napiciami b dzie stałe i zalene od wartoci elementów stratnych i zachowawczych w układzie. Nale y jedynie pami ta , e reaktancja cewek i kondensatorów zaley od cz stotliwo ci. Analiza tego typu układów w stanie ustalonym jest realizowana z wykorzystaniem liczb zespolonych, za pomoc ogólnie znanych metod: - analitycznych, obwodowych (np. prdów oczkowych, potencjałów

w złowych, praw Kirchhoffa, metody Nortona, metody Thevenina, itd.) - lub numerycznych wersji tych metod. Przykład 1. W układzie przedstawionym na rysunku 2-1 naley wyznaczy warto pr du i3(t) oraz spadek napicia na cewce uL(t).

L3

R2 R3

C2 uL(t)

i3(t)

e(t)

R1 A

B

i1(t)

( ) ( )ϕ+⋅= tEte 500sin2

R1 = 50 Ω R2 = 200 Ω R3 = 250 Ω C2 = 20 µF L3 = 50 mH

Rys. 2-1. Przykład obwodu II rz du zasilanego napiciem o czstotliwo ci f.

Siła elektromotoryczna e(t) w zapisie zespolonym przyjmuje posta

.ϕjeEE ⋅= (2.3)

Impedancja zastpcza widziana z zacisków AB wyra a si wzorem


- 5 -

( )

332

2

332

2

1 1

1

LjRCj

R

LjRCj

R

RZ AB

ωω

ωω

+++

+⋅

+

+= (2.4)

Poniewa siła elektromotoryczna e(t) jest ródłem napicia o cz stotliwo ci f=ω/2π=79,58 Hz, to impedancja ZAB przyjmuje warto

.44,17232,2472,170 1415,0 Ω=−= − jAB ejZ (2.5)

Warto pr du I1 wynosi

( ) ( ) AeE

eZ

E

eZ

eE

Z

EI jj

ABj

AB

j

AB

.44,172

1415,01

+− ==⋅

⋅== ϕψϕψ

ϕ

(2.6)

Pr d I3 mo na obliczy korzystaj c z dzielnika prdowego

,1

1

332

2

22

13

LjRCj

R

CjR

IIω

ω

ω

+++

+= (2.7)

( ) ( ) ( ).002842,01441,04685,044,172

157,01415,03

−+ ⋅⋅=−⋅= ϕϕ jj eEjeE

I (2.8)

Napi cie wyst puj ce na cewce L3 w zapisie zespolonym wynosi

33 LjIU L ω⋅= , (2.9)

( ) ( )414,1j3157,0 e0,07111050500002842,0 +−− ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ϕϕ EjeEU jL . (2.10)

Obliczone wartoci pr dów i napi mo na równie wyrazi w dziedzinie czasu

( ) ( ) [ ]AtE

ti 1415,0500sin44,172

21 ++⋅= ϕ , (2.11)

( ) ( ) [ ]AtEti 157,0500sin002842,023 −+⋅⋅⋅= ϕ , (2.12)

( ) ( ) [ ]VtEtuL 414,1500sin0711,02 ++⋅⋅⋅= ϕ . (2.13)


- 6 -

3. Układy z wymuszeniami okresowymi odkształconymi

Analiz układów zawierajcych wymuszenia o rónych cz stotliwo ciach mona przeprowadzi podobnie jak w rozdziale 2, korzystaj c z zasady superpozycji wzgldem czstotliwo ci. Tego typu podej cie jest w pełni przydatne w zagadnieniach, w których wyst puj wymuszenia o rónych czstotliwo ciach. Innym, klasycznym przykładem zastosowania tego podejcia s układy, w których działaj wymuszenia okresowe nieharmoniczne, które mona przedstawi w postaci szeregu Fouriera [1, 3]. Zastosowanie metody superpozycji wzgldem czstotliwo ci wymaga wykonania oblicze (pomiarów) dla kolejnych harmonicznych. Kocowa odpowied układu jest złoeniem w dziedzinie czasu wyników cz stkowych, uzyskanych przy rónych czstotliwo ciach. Wyniki dla poszczególnych czstotliwo ci mo na obliczy metod liczb zespolonych. Podkreli jednak naley, e nie mona bezporednio sumowa wyników uzyskanych w dziedzinie liczb zespolonych przy rónych cz stotliwo ciach. Uzasadnienie powyszej zasady dostpne jest podr cznikach elektrotechniki i teorii obwodów [1, 3, 4, 5, 7]. Przykład 2. W układzie przedstawionym na rysunku 3-1, naley wyznaczy przebieg prdu i3(t). Układ jest zasilany ze ródła e(t) o przebiegu bipolarnym prostoktnym (rys 3-2). W układzie uwzgldniono równie ródło sygnału zakłócajcego (np. przydwi k sieciowy) przez wpisanie ródła eS(t).

L3

R2 R3

C2 uL(t)

i3(t)

e(t)

R1 A

B

i1(t)

eS(t)

Em = 20 V T = 40 ms

( ) ( )tteS ⋅= 502sin28,0 π V

R1 = 50 Ω R2 = 200 Ω R3 = 250 Ω C2 = 20 µF L3 = 50 mH

Rys. 3-1. Przykład obwodu II rz du zasilanego ze ródła o przebiegu

odkształconym, okresowym.


- 7 -

t

e(t) Em

T 2T T/2

-Em

0

Rys. 3-2. Przebieg wymuszenia e(t) w postaci fali bipolarnej prostok tnej.

Wymuszenie e(t) jest reprezentowane za pomoc szeregu Fouriera [1, 4, 5, 6], którego posta przedstawiono w dodatku C. Poniewa w układzie wyst puje ródło napi ciowe, to schemat zastpczy analizowanego układu, po uwzgl dnieniu szeregu Fouriera przyjmuje posta przedstawion na rys. 3-3. Poszczególne ródła napiciowe e1(t), e2(t), e3(t), ... reprezentuj kolejne harmoniczne wymuszenia e(t).

L3

R2 R3

C2 uL(t)

i3(t) R1 A

B

i1(t)

eS(t)

e1(t) e2(t) e3(t) e4(t) ...

Rys. 3-3. Układ z rys. 3-1 po zastosowaniu superpozycji wzgl dem cz stotliwo ci.

W tabeli 3-1 przedstawiono wyniki oblicze: - dla pierwszych 5 harmonicznych ródła e(t); - dla ródła eS(t) opisuj cego zakłócenie. Poniewa rozpatrywany jest układ o konfiguracji i danych jak w przykładzie 1, do rozwi zania przykładu korzystano z zaleno ci (2.4) – (2.7). Tabela 3-1. Przykład 2 - wyniki obliczeń .

e(t), n=1, 1 harmoniczna: ( ) ( )Vtt

Tte 08,157sin2006,18

2sin

801 =

= ππ

f1 = 1/T = 25 [Hz] ZAB,1 = 210,72-j62,915 [Ω] I1,1 = 78,66 + j23,558 [mA] = 82,112 exp(j 0,291) [mA] I3,1 = 56,09 - j6,474 [mA] = 56,46 exp(-j 0,115) [mA]


- 8 -


Tte 24,471sin2002,6

23sin

3

803 =

= ππ

f3 = 3/T = 75 [Hz] ZAB,3 = 171,471-j26,193 [Ω] I1,3 = 34,205 + j5,225 [mA] = 34,602 exp(j 0,152) [mA] I3,3 = 16,919 – j2,64 [mA] = 17,123 exp(-j 0,155) [mA]


Tte 4,785sin2601,3

25sin

5

805 =

= ππ



Tte 56,1099sin2572,2

27sin

7

807 =

= ππ



Tte 717,1413sin2001,2

29sin

9

809 =

= ππ

f9 = 9/T = 225 [Hz] ZAB,9 = 166,87+j2,595 [Ω] I1,9 = 11,987 - j0,186 [mA] = 11,988 exp(-j 0,0155) [mA] I3,9 = 5,2 – j1,433 [mA] = 5,394 exp(-j 0,269) [mA]

eS(t): ( ) ( )tteS ⋅= 502sin28,0 π V

fs= 50 [Hz]

ZAB,s = 179,471 – j40,167 [Ω] I1,s = 4,245 + j0,95 [mA] = 4,35 exp(j 0,22) [mA] I3,s = 2,33 – j0,336 [mA] = 2,354 exp(-j 0,143) [mA]


- 9 -

Na podstawie oblicze z tabeli 3-1, wypadkowy przebieg prdu przyjmuje posta (rys. 3-4)

( ) ( )( )( )

( )( )

( ) [ ]mA,t

,t

,t

,t

,t

,t, ,ti

1430314sin22,354

...

2690717,1413sin25,394

225056,1099sin27,035

18504,785sin2,00101

155024,471sin2,12371

115008157sin246563

−+

+++−+

+−+

+−+

+−+

+−=

(3.1)

Z porównania wartoci impedancji zastpczej ZAB w tabeli 3-1 mona zauway , e przy zwi kszaniu czstotliwo ci, układ zmienia swój charakter z rezystancyjno-pojemnociowego na rezystancyjno-indukcyjny. Zmiana zachodzi midzy 7 a 9 harmoniczn, co oznacza, e cz stotliwo rezonansowa układu znajduje si mi dzy 175 Hz a 225 Hz. Dokładn warto cz stotliwo ci rezonansowej mona wyznaczy znanymi metodami.

-60

-40

-20

0

20

40

60

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0,11 0,12

t [s]

B Ai 3 [mA]

Rys. 3-4. Przebieg prdu i3(t) obliczony analitycznie:

A – suma pierwszych piciu harmonicznych, B – suma pierwszych piciu harmonicznych oraz pr du wzbudzanego przez

ródło eS(t).


- 10 -

4. Transmitancja widmowa obwodów elektrycznych

Przej cie do analizy w dziedzinie czstotliwo ci (dokładnie operatora jω) prowadzi do pełnej lub czciowej algebraizacji równa obwodowych. W odniesieniu do układów z wymuszeniami impulsowymi wymaga to zastosowania transformaty Fouriera [1, 2, 3, 4, 5, 6]. Równania opisujce sieci elektryczne w dziedzinie jω s identyczne ze znanymi równaniami obwodów prdu sinusoidalnie zmiennego (z rachunku symbolicznego). Mona zatem wykorzysta znane reguły z teorii obwodów (pojcia impedancji, admitancji, reguły połcze szeregowo-równoległych, metody rozwizywania obwodów, itd.). Jednak pojcie wskazu w obwodach prdu sinusoidalnie zmiennego jest wykorzystywane do wyznaczenia ustalonych odpowiedzi na sinusoidalny sygnał wejciowy, natomiast zastosowanie transformat pozwala wyznaczy odpowied na dowolne sygnały wejciowe. Transmitancj widmow układu liniowego nazywamy iloraz transformaty Fouriera jego odpowiedzi do transformaty Fouriera wymuszenia

( ) ( )( )

( ) ( ) tx

ty

jX

jYjT

F

F==ωωω . (4.1)

Transmitancj widmow obwodu elektrycznego okrela si przy załoeniu wyst powania w układzie wyłcznie stanu ustalonego. Transmitancje nazywane s te funkcjami przenoszenia. W przypadku dwójników transmitancja czstotliwo ciowa jest równowa na immitancji dwójnika (impedancji widmowej lub admitancji widmowej analizowanego układu):

( ) ( )( ) ( )ω

ωωω jZ

jI

jUjT == lub ( ) ( )

( ) ( )ωωωω jYjU

jIjT == . (4.2)

W ogólnym przypadku, układu składajcego si z NIN wej i NOUT wyj , transmitancja jest macierz o wymiarach NIN × NOUT. Poszczególne wyrazy macierzy s ilorazami wyznaczników wynikajcych z rozwizania układu równa (np. wynikaj cego z metody prdów oczkowych) w dziedzinie jω [3]. Jako przykład moe posłuy dowolny czwórnik. W odniesieniu do czwórników sygnałem wejciowym mo e by napi cie U1 lub pr d I1, natomiast sygnałem wyjciowym napi cie U2 lub pr d I2. Z tego powodu w przypadku czwórników macierz transmitancji T(jω) ma rozmiary 2×2:


- 11 -

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

=

=

ωω

ωω

ωω

ωω

ωωωω

ω

jI

jI

jI

jUjU

jI

jU

jU

jTjT

jTjTj

IUI

IUU

1

2

1

2

1

2

1

2

T , (4.3)

przy czym poszczególne elementy macierzy nosz nazwy: TU(jω) - transmitancja napiciowa, TIU(jω) - transmitancja prdowo napiciowa, TUI(jω) - transmitancja napiciowo pr dowa, TI(jω) - transmitancja pr dowa. Transmitancje dwójników i czwórników klasy SLS s funkcjami wymiernymi zmiennej jω

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 01

11

011

1

...

...

ajajaja

bjbjbjbjT

nn

nn

mm

mm

+⋅++⋅+⋅+⋅++⋅+⋅= −

−

−−

ωωωωωωω , (4.4)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )n

m

sjsjsj

zjzjzjKjT

−⋅⋅−⋅−−⋅⋅−⋅−⋅=

ωωωωωωω

...

...

21

21 , (4.5)

przy czym: współczynniki wielomianów R∈−− 0121 ,,...,,, bbbbb mmm oraz R∈−− 0121 ,,...,,, aaaaa nnn , natomiast C∈mzzz ,...,, 21 s zerami transmitancji,

C∈nsss ,...,, 21 biegunami transmitancji, za K - współczynnikiem wzmocnienia (K=const.) [3, 4, 5]. Na podstawie znajomoci rozkładu zer i biegunów transmitancji mona wyznaczy amplitudy A(ω) i fazy ϕ(ω) transmitancji widmowej układu [4, 5].

5. Charakterystyki cz stotliwo ciowe

Transmitancja widmowa T(jω) ze wzgl du na wystpowanie operatora zespolonego jω, mo e by przedstawiona jako liczba zespolona w postaci algebraicznej i znacznie czciej stosowanej postaci wykładniczej:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωϕωωωω jeAQjPjT ⋅=⋅+= , (5.1)

przy czym: ( ) ( ) ωω jTP Re= - cz rzeczywista transmitancji, ( ) ( ) ωω jTQ Im= - cz urojona transmitancji,

( ) ( )ωω jTA = - amplituda (wzmocnienie) transmitancji widmowej, ( ) ( )ωωϕ jTarg= - faza transmitancji widmowej.

Analiza cz ęstotliwo

ś

ciowa obwodów elektrycznych

- 12 -

Tabela 5-1. Zestawienie charakterystyk czstotliwo ciowych.

Nazwa charakterystyki Własno

ś

ci Reprezentacja graficzna

charakterystyka amplitudowa

( ) ( )ωω fA = ( ) ( )ωω −= AA

O odci tych skaluje si w jednostkach logarytmicznych x=log(ω), natomiast o rz dnych A(ω) zwykle w podziałce liniowej.

charakterystyka fazowa ( ) ( )ωωϕ f=

( ) ( )ωϕωϕ −−= O odci tych jest skalowana według podziałki logarytmicznej x=log(ω), natomiast o rz dnych ( )ωϕ liniowo.

charakterystyka amplitudowo-fazowa (biegunowa, wykres Nyquista)

( ) ( )ωω fjT =

( ) ( )ωω jTjT *=− (symetryczna wzgl dem osi rzeczywistej)

Charakterystyka amplitudowo-fazowa jest krzyw (miejscem geometrycznym punktu), któr zakrela koniec wektora transmitancji ( )ωjT na płaszczynie zmiennej zespolonej jω przy ci głej zmianie pulsacji ( )+∞∞−∈ ,ω . Na osi odcitych odkładane s warto ci P(ω) a o rz dnych jest skalowana według warto ci Q(ω).

charakterystyka rzeczy-wista ( ) ( )ωω fP =

( ) ( )ωω −= PP O odci tych jest skalowana według podziałki logarytmicznej x=log(ω), natomiast o rz dnych ( )ωP liniowo.

charakterystyka urojona ( ) ( )ωω fQ =

( ) ( )ωω −−= QQ O odci tych jest skalowana według podziałki logarytmicznej x=log(ω), natomiast o rz dnych ( )ωQ liniowo.

wykres Bodego ( ) ( )ωω fA = ( ) ( )ωωϕ f=

( ) ( )ωω −= AA ( ) ( )ωϕωϕ −−=

O odci tych jest skalowana w funkcji zmiennej ( )ωlog=x (jednostk podstawow jest dekada). O rz dnych na wykresie wzmocnienia A(ω) jest skalowana w decybelach ( )[ ]ωAy log20= lub neperach ( )[ ]ωAy ln= . O rz dnych na wykresie fazy ( )ωϕ jest skalowana liniowo w stopniach lub radianach. [4]


- 13 -

Zespolona warto transmitancji widmowej T(jω) jest funkcj pulsacji. W tabeli 5-1 zostały opisane charakterystyki czstotliwo ciowe, które zdefiniowano w oparciu o symboliczny zapis transmitancji widmowej (5.1). Ze wzgl du na spełnienie warunków parzystoci, nieparzystoci lub symetrii osiowej odpowiednich charakterystyk (dowody np. w [5]), do pełnego opisu właciwo ci widmowych obwodu wystarczy znajomo

( )ωjT przy 0≥ω . Przykład 3. Dla czwórnika przedstawionego na rysunku 5-1a wyznaczono funkcj przenoszenia ( )ωjT w postaci biegunowej i algebraicznej:

( ) ( )( ) ( )CRRj

CRj

CjRR

CjR

jU

jUjTU

21

2

21

2

1

2

1

11

1

+⋅+⋅+

=++

+==

ωω

ω

ωωωω , (5.2)

( ) ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]CRRarctgj

CRarctgj

UeCRR

eCRjT

21

2

221

22

1

1+⋅

⋅

⋅++

⋅+=

ω

ω

ω

ωω , (5.3)

( ) ( )( )( )CRRj

CRRj

CRRj

CRjjTU

21

21

21

2

1

1

1

1

+⋅−+⋅−

⋅+⋅+

⋅+=

ωω

ωωω , (5.4)

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]2

21

12

21

2212

2

11

1

CRR

CRj

CRR

CRRRjTU

++−

+++

++=

ωω

ωωω . (5.5)

Zatem charakterystyki amplitudowa i fazowa s opisane nastpuj cymi zale no ciami:

( ) ( )( )[ ]2

21

22

1

1

CRR

CRA

+++=

ωωω , (5.6)

( ) ( ) ( )[ ]CRRarctgCRarctg 212 +−= ωωωϕ . (5.7)

Do analitycznego wyznaczenia kształtu charakterystyk cz stotliwo ciowych (rys. 5-1 b, c, d), zalecane jest te wyznaczenie warto ci, do której d y ( )ωjT przy 0→ω i ±∞→ω :


- 14 -

( ) ( ) 1lim00

==→

ωω

AA , (5.8)

( ) ,00 =ϕ (5.9)

oraz

( ) ( )21

2limRR

RAA

+==∞±

±∞→ω

ω, (5.10)

( ) ( ) 0lim ==∞±±∞→

ωϕϕω

. (5.11)

Ze wzgl du na prost konstrukcj analizowanego układu, przedstawione charakterystyki widmowe mona równie łatwo zinterpretowa ze wzgl du na zasad działania poszczególnych elementów R i C przy zmianie cz stotliwo ci. Jak wynika z rys. 5-1, rozpatrywany układ jest filtrem dolnoprzepustowym. Przy analizie przebiegów w dziedzinie czasu mona stwierdzi , e jest to układ całkujcy.

T(±∞)

A(0) R1

T(jω1)

T(0)

ϕ(ω)

ω ϕ(ω1)

ω1

π/2

−π/2

0

A(ω)

ω

A(±∞)

A(ω1)

ω1 0

Q(ω)

0 P(ω)

ω >0

ω <0

R2

C U1 U2

a) c)

d) b)

Rys. 5-1. Przykład obwodu I rzdu i charakterystyki cz stotliwo ciowe obwodu.


- 15 -

Przykład 4.

Dla dwójnika przedstawionego na rys. 5-2a wyznaczono impedancj operatorow

( ) ( )

3332

3332

1 1

1

CjLjRR

CjLjRR

LjjZjT

ωω

ωω

ωωω+++

++

+== . (5.12)

Warto ci graniczne impedancji dwójnika wynosz:

( ) ( ) 20

lim0 RjZT ==→

ωω

, (5.13)

( )[ ] ( )[ ] +∞==∞±±∞→

ωω

jZT RelimRe , (5.14)

( )[ ] ( )[ ] ±∞==±±∞→

ωωω

jZT ImlimIm . (5.15)

Wła ciwo ci obwodu (kształt charakterystyk) silnie zale od wartoci elementów. Na rys. 5-2b przedstawiono charakterystyk amplitudowo-fazow impedancji przy załoeniu: R2 = 100 Ω, R3 = 10 Ω, L1 = L3 = 0,1H,

C3 = 50 µF. Przy pulsacji s

rd

CL447

1

330 ±≅±=ω w układzie wystpuje

rezonans napi . Na wykresie odpowiada mu punkt T(jω0).

T(0)

R2 R3

C3 U

L1

L3

I Q(ω)

P(ω) 0

a) b) ω→∞+

T(jω0)

ω→∞-

Rys. 5-2. Dwójnik RLC i charakterystyka amplitudowo-fazowa jego impedancji.


- 16 -

6. Wykorzystanie transmitancji widmowej w analizie układów elektrycznych

Wyznaczenie transmitancji widmowej układu T(jω) jest podstaw do dalszej analizy innych zjawisk zachodzcych w obwodach elektrycznych. Oto kilka przykładów.

6.1. Odpowied układu na dowolne wymuszenie

Transmitancja ( )ωjT w pełni opisuje własnoci dynamiczne, transmisyjne układu. Gdy znamy transmitancj układu, moliwe jest wyznaczenie odpowiedzi układu na dowolne wymuszenie. W oparciu o wzór (4.1) definiujcy transmitancj ( )ωjT mo na okre li operatorow posta sygnału na wyjciu układu:

( ) ( ) ( )ωωω jXjTjY ⋅= , (6.1a)

zatem:

( ) ( ) ( ) ( )ωωωω jXjTAjY ⋅== , (6.1b)

( ) ( ) ( )ωωω jXjTjY argargarg += . (6.1c)

We wzorze (6.1), w przypadku nieokresowych sygnałów wymuszajcych, wyraenia ( )ωjX i ( )ωjY s transformat Fouriera odpowiednio wymuszenia i odpowiedzi

( ) ( )[ ] ( )∫+∞

∞−

−⋅== dtetxtxjX tjωω F , (6.2)

( ) ( )[ ] ( )∫+∞

∞−

⋅== ωωπ

ω ω dejYjYty tj-

211

F . (6.3)

W przypadku funkcji okresowej x(t) równie mo emy korzysta z zale no ci (6.1). Naley jednak pamita e charakterystyka widmowa sygnałów okresowych ma charakter dyskretny, a analityczn reprezentacj dowolnego sygnału okresowego x(t) jest szereg Fouriera (rozdz. 1 i 2)

( ) ( )∑∑+∞

=

+∞

−∞=++=⋅=

100 cos20

nnn

tjn

nn tnCCeCtx φωω . (6.4)


- 17 -

Zatem w tym przypadku ( )ωjX nale y traktowa jako g sto widmow amplitud poszczególnych sygnałów harmonicznych składaj cych si na szereg Fouriera (6.4)

( ) ( )[ ] ( )∑∑+∞

−∞=

+∞

−=−=

==n

nn

tjnn nCeCtxjX 020 ωωδπω

ω

ωFF . (6.5)

Wyra enie ( )02 ωωδπ nCn −⋅ okre la g sto widmow dla pulsacji

( )txTnn

πωω 20 == , gdzie Tx(t) jest okresem funkcji wymuszajcej. Zatem w

oparciu o wzór na odwrotn transformat Fouriera i (6.5) mona okreli sygnał na wyjciu układu

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ∑+∞

∞−

+∞

−∞=

− ⋅−⋅⋅⋅==n

tjn denCjTjYty ωωωδωπ

πω ω

01 2

21

F , (6.6)

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]∑

∑+∞

=

+∞

−∞=

++⋅⋅+⋅=

=⋅=

10000

0

.cos20

0

nnn

n

tjnn

ntnnACTC

eCjnTty

ωϕφωω

ω ω

(6.7)

Jak wynika z zaleno ci (6.7), odpowied układu y(t) na wymuszenie okresowe x(t), jest równie funkcj okresow, któr mo na przedstawi za pomoc szeregu Fouriera. Odpowied układu y(t) jest zatem sum odpowiedzi na poszczególne składniki (harmoniczne) pobudzenia x(t) opisanego zaleno ci (6.4) (patrz rozdz. 3). Sygnały przy przechodzeniu przez układy elektryczne o transmitancji T(jω) ulegaj zmianie. Przy pewnych czstotliwo ciach s one tłumione silniej, przy innych słabiej. Zatem kady układ opisany transmitancj T(jω) mo na traktowa jako filtr, który wnosi zmiany co do amplitudy i fazy widma sygnału wejciowego X(jω). Układ, który przenosiłby sygnały wejciowe bez zniekształce, powinien charakteryzowa si transmitancj ( ) ωτω jekjT −⋅= , zatem

( ) constkA ==ω , natomiast ( ) ( ) ωτωωϕ −== jTarg (liniowa funkcja pulsacji). Fizyczna realizacja układu niezniekształcaj cego jest jednak niemo liwa [3]. Wła ciwo ci selektywne układów elektrycznych stanowi kryterium ich podziału na układy (filtry) [1, 3, 4, 5]: dolnoprzepustowe, górnoprzepustowe, pasmowe, zaporowe.


- 18 -

6.2. Analiza obwodów rezonansowych

Szczególnym przypadkiem analizy czstotliwo ciowej obwodów elektrycznych jest analiza układów, w których moe zachodzi rezonans. Warunkiem koniecznym (ale nie dostatecznym) wystpienia rezonansu jest istnienie w analizowanym obwodzie zarówno cewek jak i kondensatorów. Rezonansem nazywamy taki stan dwójnika, w którym cz urojona jego immitancji jest równa zero. W przypadku gdy reaktancja obwodu jest równa 0

( ) ( ) 0Im == ωω XjZ (6.8)

w obwodzie elektrycznym zachodzi rezonans napi, natomiast gdy susceptancja obwodu dla okrelonej cz stotliwo ci jest równa 0

( ) ( ) 0Im == ωω BjY (6.9)

w obwodzie wystpuje rezonans prdów. Do analizy właciwo ci dwójników rezonansowych jest szczególnie dogodna charakterystyka urojona transmitancji układu. W oparciu o ogólny zapis (4.4) i (4.5) transmitancji układu, mona okreli nastpuj ce wła ciwo ci [1,4,5]: - urojona charakterystyka czstotliwo ciowa (wykres ( ) ( )ωω fX = lub

( ) ( )ωω fB = ) mo e si składa z kilku gał zi (np. rys. 6-1). - zera reaktancji dwójnika s pulsacjami rezonansowymi

odpowiadajcymi rezonansowi napi, natomiast bieguny reaktancji dwójnika opisuj pulsacje, przy których wystpi rezonans prdów. W punktach odpowiadajcym zerom reaktancji, charakterystyka

( ) ( )ωω fX = przyjmuje warto 0. Bieguny reaktancji s reprezentowane na wykresie ( ) ( )ωω fX = jako punkty niecigło ci (tzw. punkty osobliwe).

- zera susceptancji dwójnika s pulsacjami rezonansowymi odpowiadajcymi rezonansowi prdów, natomiast bieguny susceptancji dwójnika opisuj pulsacje, przy których wystpi rezonans napi . W punktach odpowiadajcym zerom susceptancji, charakterystyka

( ) ( )ωω fB = przyjmuje warto 0. Dla pulsacji odpowiadajcych biegunom susceptancji, charakterystyka ( ) ( )ωω fB = jest niecigła.

- bieguny i zera s rozło one na przemian wzdłu osi pulsacji. Midzy dwoma biegunami musi lee jedno zero. Midzy dwoma zerami musi si znajdowa jeden biegun. Dotyczy to zarówno reaktancji jak i susceptancji.


- 19 -

- dla ka dego punktu charakterystyki urojonej, za wyjtkiem punktów

nieci gło ci spełniony jest warunek ( )

0>ωω

d

dX lub

( )0>

ωω

d

dB,

odpowiednio dla wykresu reaktancji i susceptancji. - dla wszystkich pulsacji, przy których punkty charakterystyki widmowej

spełniaj warunek ( ) 0>ωX lub ( ) 0<ωB , analizowany układ ma charakter indukcyjny. Jeeli dany punkt charakterystyki widmowej spełniaj warunek ( ) 0<ωX lub ( ) 0>ωB , to analizowany układ ma charakter pojemnociowy.

Do ilo ciowego opisu właciwo ci obwodów rezonansowych wykorzystywane s, obok czstotliwo ci rezonansowych, nastpuj ce parametry (definicje i interpretacja fizyczna w [1, 3, 4]): - dobro układu Q, - tłumienie obwodu d, - rozstrojenie bezwzgldne ξ, - rozstrojenie wzgldne δ, - szeroko pasma przepustowego B, - impedancja charakterystyczna (falowa) ρ, - rezystancja dynamiczna Rd, - selektywno układu. Przykład 5. W celu uproszczenia analizy wybrano bezstratny dwójnik (rys. 6-1a), dla którego wyznaczono impedancj i na tej podstawie okrelono cz stotliwo ci rezonansowe.

( ) ( )[ ] ( )( )ωω

ωωω

ωω

ωω

ωωM

Lj

CL

LLCLLj

CjLj

CjLj

LjjZ ⋅=−

+−⋅⋅=+

⋅+=

11

1

222

202202

22

22

0

Rezonans napi wyst puje gdy L(ω) = 0,

( ) ( )

+±=⇒=+−

=⇔=

,0

,00

220

2020220

2

CLL

LLLLCLL

Loωω

ωω

przy czym pierwsze rozwizanie ω = 0 jest błdne gdy, rezonans nie moe zachodzi przy wymuszeniu stałym w czasie.


- 20 -

Pulsacje, przy których wystpi rezonans prdów mo na wyznaczy z warunku

( ) 010 222 =−⇔= CLM ωω , zatem

22

1

CLr ±=ω .

Przybli ona charakterystyka amplitudowa dwójnika jest przedstawiona na rys. 6-1b.

ωo ωr ω

Q(ω)=Im T(jω)

0

a) b)

C2 U

L0

L2

I

Rys. 6-1. Idealny obwód rezonansowy i charakterystyka widmowa reaktancji układu.

6.3. Analiza obwodów złoonych

Przy pomocy transmitancji widmowych moliwe jest znaczne uproszczenie opisu i analizy układów powstałych z poł czenia elementów o znanych transmitancjach (rys. 6-2).

T1(jω)

T2(jω) X(jω) Y1(jω) Y(jω)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ).

,

21

21

21

ωωωωω

ωωωωωω

jTjTjX

jYjT

jTjTjX

jTjYjY

⋅==

⋅⋅==⋅=

T1(jω)

T2(jω)

X(jω) X1(jω) Y(jω)

±

( ) ( ) ( )( ) ( )ωω

ωωωjTjT

jTjXjY

21

1

1 ⋅=

m

( ) ( )( )

( )( ) ( )ωω

ωωωω

jTjT

jT

jX

jYjT

21

1

1 ⋅==

m

Rys. 6-2. Przykłady schematów blokowych układów złoonych opisanych za pomoc transmitancji.


- 21 -

7. Program wiczenia

7.1. Przygotowanie przed zajciami

Ka da grupa laboratoryjna powinna przygotowa przed zajciami dwa obwody, które bd analizowane w trakcie wicze . Pomocne tu mog by przykładowe schematy zamieszczone w dodatku A. W ramach przygotowania kadego z układów, naley: A1. Wyznaczy funkcj przenoszenia układu. Je eli wybrany układ jest dwójnikiem naley wyznaczy jego

impedancj widmow ( )ωjZ lub admitancj widmow ( )ωjY (wymagan posta immitancji wskae prowadzcy). Otrzyman zale no przekształci do postaci opisanej wzorami (4-4), (4-5).

Je eli wybrany układ jest czwórnikiem naley wyznaczy jego

transmitancj napi ciow ( ) ( )( )ω

ωωjU

jUjTU

1

2= przy załoeniu 02 =I

lub transmitancj pr dow ( ) ( )( )ω

ωωjI

jIjT I

1

2= przy załoeniu 02 =U

(wymagan posta transmitancji wskae prowadzcy). Otrzyman zale no przekształci do postaci opisanej wzorami (4-4), (4-5).

A2.1) Na podstawie schematu układu i wyznaczonej transmitancji

okre li rz d układu oraz ustali warto transmitancji przy ω = 0 i ±∞→ω . Wst pnie oszacowa wła ciwo ci selektywne obwodu (np.

dolnoprzepustowy, górnoprzepustowy, pasmowy). A3.1) W przypadku układów LC i RLC okreli liczb mo liwych w

układzie rezonansów. Wyznaczy warunki wystpienia rezonansów napi i / lub pr dów. Wyznaczy wzory na czstotliwo ci rezonansowe układu.

1) W przypadku złoonych obwodów, wykonanie tego punktu analitycznie mo e prowadzi skomplikowanych zaleno ci, których rozwi zanie nie jest moliwe rachunkowo.


- 22 -

A4. Na podstawie przyjtych wst pnie wartoci elementów zaproponowa zakres czstotliwo ci, w którym powinna by prowadzona analiza układu.

A5.2) Dla układu RLC, wyznaczy zale no na dobro układu w

funkcji warto ci elementów, z których jest zbudowany układ. A6. Przygotowa ewentualnie własne propozycje eksperymentów, które

pozwol zaobserwowa wła ciwo ci układu w oparciu o analiz widmow .

A.7. Wyznaczy szereg Fouriera dla wymuszenia zadanego przez

prowadzcego. Pomocne mog by zale no ci podane w dodatku C. Wszystkie wyprowadzenia naley zamieci w sprawozdaniu z wiczenia. W trakcie realizacji wiczenia bd wykorzystywane nastpuj ce elementy programu PSPICE [8,9,10]: - analiza parametryczna (Parametric Analysis) w połczeniu z analiz

widmow układu (AC Sweep) – przy realizacji punktu B.2. - modelowanie sprze magnetycznych (elementy typu K) - w

przypadku przygotowania odpowiedniego układu. - modelowanie ródeł sterowanych (E, EPOLY, H, HPOLY, G, GPOLY,

F, FPOLY) - w przypadku przygotowania odpowiedniego układu. - analiza widmowa (FFT analysis) przebiegów czasowych przy

obliczaniu stanów nieustalonych - jeeli b d realizowane zadania opisane w punkcie B.3.

- modelowanie niezalenych ródeł napiciowych i pr dowych (VPULSE, VPWL, VSIN, VEXP, IPULSE, IPWL, ISIN, IEXP) - je eli b d realizowane zadania opisane w punkcie B.3.

7.2. Przebieg zaj

Przedmiotem wiczenia jest analiza i porównanie właciwo ci obwodów elektrycznych w oparciu o charakterystyki widmowe. B.1. Zaprojektowa prosty układ rezonansowy (konfiguracja zadana przez

prowadzcego) na podstawie znanych parametrów układu. Przykładowe konfiguracje podano w dodatku B.

2) Zadanie dodatkowe.


- 23 -

B.1.1.Wyznaczy warto ci elementów R, L i C, które umoliwiaj

uzyskanie układu o parametrach podanych przez prowadz cego. B.1.2.Po obliczeniu wartoci elementów zamodelowa układ i

wykre li charakterystyki czstotliwo ciowe |I|=f(f). Porówna parametry otrzymanych charakterystyk z podanymi zało eniami projektowymi.

B.2. Wyznaczenie i analiza charakterystyk widmowych dwójników i

czwórników. Dokładny plan wykonywanych symulacji numerycznych, uzgodni z

prowadzcym. Realizacj poszczególnych punktów udokumentowa wydrukami charakterystyk czstotliwo ciowych.

B.2.1.Okreli wpływ rezystancji układu na kształt charakterystyk

amplitudowych. Wyznaczy szeroko pasma przepustowego dla wykre lonych charakterystyk.

B.2.2. Okreli wpływ indukcyjnoci układu na kształt charakterystyk amplitudowych. Wyznaczy szeroko pasma przepustowego dla wykre lonych charakterystyk.

B.2.3.Okreli wpływ pojemnoci układu na kształt charakterystyk amplitudowych. Wyznaczy szeroko pasma przepustowego dla wykre lonych charakterystyk.

B.2.4.Wykreli rodzin charakterystyk fazowych dla jednego z punktów B.2.1., B.2.2. lub B.2.3.

B.2.5. W przypadku analizy układu ze sprzeniem magnetycznym, wyznaczy rodzin charakterystyk amplitudowych przy zmianie współczynnika sprz enia k (parametr COUPLING).

B.2.6. W przypadku analizy układu ze ródłem sterowanym, wyznaczy rodzin charakterystyk amplitudowych przy zmianie współczynnika wzmocnienia (parametr GAIN).

B.2.7.Jeeli w analizowanym układzie wystpuje rezonans napi, nale y wykre li w jednym układzie współrzdnych charakterystyki widmowe napi na elementach, midzy którymi zachodzi rezonans.


- 24 -

B.2.8.Jeeli w analizowanym układzie wystpuje rezonans prdów, nale y wykre li w jednym układzie współrzdnych charakterystyki widmowe prdów płyn cych przez elementy, mi dzy którymi zachodzi rezonans.

B.2.9.W układzie rezonansowym zaobserwowa charakterystyk widmow energii traconej na wybranym rezystorze.

B.2.11.Realizacja własnych, zaplanowanych symulacji numerycznych. B.3. Analiza widmowa układów i sygnałów. B.3.1.Na wejcie czwórnika analizowanego w p. B2 naley doł czy

ródło sygnału impulsowego o znanej transformacie Fouriera (posta wymuszenie okrela prowadzcy).

B.3.2.Za pomoc programu SPICE wykona obliczenia stanu nieustalonego (Transient analysis) w układzie.

Przy ustalaniu parametrów analizy stanu nieustalonego naley tak dobra ko cowy czas oblicze (Final time), aby w układzie został osigni ty stan ustalony. Włczy opcj analizy cz stotliwo ciowej (Enabled Fourier). Ustawi parametry analizy widmowej: czstotliwo podstawowej harmonicznej (Center frequency), liczb wyznaczanych harmonicznych (Number of harmonics), symbole obserwowanych wielkoci (Output vars). Jeeli przy realizacji punktu B wyznaczano transmitancj napi ciow czwórnika, to naley obserwowa napi cie na zaciskach wejciowych i wyj ciowych czwórnika.

B.3.3. Po wykonaniu oblicze, za pomoc programu PROBE, zaobserwowa charakterystyki widmowe (amplitudowe) sygnałów na wejciu i wyj ciu układu.

7.3. Opracowanie otrzymanych wyników

C.1 Na podstawie otrzymanych charakterystyk widmowych (punkt B2) i wyznaczonych wzorów (punkt A) przedyskutowa wpływ poszczególnych elementów układu na jego własnoci.

C.2. Porówna wła ciwo ci selektywne analizowanych układów. Porówna kształt charakterystyk amplitudowych. Zestawi w tabeli i

porówna szerokoci pasma i dobroci układów (wyznaczone za pomoc programu PROBE).


- 25 -

C.3. Przeanalizowa zjawiska energetyczne zachodzce w układach przy zmianie czstotliwo ci.

C.4. Przedyskutowa przebieg zaobserwowanej charakterystyki amplitudowo-fazowej (na podstawie punktu B.2.10).

W przypadku realizacji w trakcie zaj punktu B.3., wykona nastpuj ce

punkty: C.5. Porówna widmo sygnału na wejciu i wyj ciu. C.6. Powiza zaobserwowane charakterystyki z charakterystyk widmow

odpowiedniej transmitancji układu.

8. Przykładowe zagadnienia kontrolne

1. Definicja transmitancji widmowej układu. 2. Własnoci transmitancji czstotliwo ciowych obwodów elektrycznych

klasy SLS. 3. Własnoci charakterystyk czstotliwo ciowych stosowanych w

praktyce. Matematyczne dowody podstawowych własnoci. 4. Wyznaczanie transmitancji widmowej prostych dwójników i

czwórników oraz interpretacja własnoci na podstawie otrzymanych wzorów.

5. Klasyfikacja obwodów elektrycznych ze wzgldu na kształt charakterystyk widmowych amplitudy i fazy.

6. Dowód nierealizowalnoci fizycznej układu niezniekształcajcego. 7. Transmisja sygnałów przez układy elektryczne. Zale no ci mi dzy

charakterystykami widmowymi sygnału wejciowego i wyj ciowego układu.

8. Zastosowanie szeregu Fouriera w analizie układów z wymuszeniami okresowymi, odkształconymi. Zasada superpozycji wzgl dem cz stotliwo ci. Zasada analizy układów ze ródłami pr dowymi i napi ciowymi nieharmonicznymi.

9. Charakterystyki widmowe reaktancji kondensatora idealnego i rzeczywistego (stratnego).

10. Charakterystyki widmowe reaktancji cewki powietrznej, w przypadku idealnym i rzeczywistym.

11. Warunki konieczne i dostateczne wystpienia rezonansu w obwodzie elektrycznym.

12. Definicje i interpretacja fizyczna parametrów opisuj cych właciwo ci obwodów rezonansowych.


- 26 -

13. Co to jest rezystancja dynamiczna a co to reaktancja dynamiczna układu.

14. Wyznaczanie czstotliwo ci rezonansowych w zadanym układzie elektrycznym.

15. Dlaczego za krace pasma przepustowego przyjto kryterium 3dB lub (w skali liniowej) 0,707.

16. Charakterystyki widmowe s wykre lane w skali liniowej lub logarytmicznej. Wyjanij zasady przeliczania skali.

17. Znaczenie i zastosowanie zjawiska rezonansu w technice elektrycznej i elektronicznej.

9. Literatura

[1] M. Krakowski, Elektrotechnika teoretyczna: Obwody liniowe i nieliniowe, tom 1, PWN, Warszawa 1995.

[2] A. Papoulis, Obwody i układy, WKŁ, Warszawa 1988. [3] T. Cholewicki, Elektrotechnika teoretyczna, tom 1, WNT, Warszawa

1971. [4] St. Bolkowski, Elektrotechnika teoretyczna, WNT, Warszawa 2006. [5] St. Bolkowski, Podstawy elektrotechniki, WNT, Warszawa 2003. [6] J. Osiowski, Zarys rachunku operatorowego, teoria i zastosowania

w elektrotechnice, WNT, Warszawa 1981. [7] J. Osiowski, J. Szabatin: Podstawy teorii obwodów. T.2.

Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1998. [8] PSPICE - User’s Guide, Microsim Corporation, padziernik 1996. [9] P. Zimny, K. Karwowski, SPICE - klucz do elektroniki, skrypt

Politechniki Gdaskiej, Gdask 1996. [10] K. Baranowski, A. Welo, Symulacja układów elektronicznych

PSPICE: Design Center, Mikom, Warszawa 1996. [11] A. Król, J. Moczko: Pspice - symulacja i optymalizacja układów

elektronicznych. Wydawnictwo Nakom, Pozna 1998.


- 27 -

10. Wymagania BHP

Warunkiem przystpienia do praktycznej realizacji wiczenia jest zapoznanie si z instrukcj BHP i instrukcj przeciw poarow oraz przestrzeganie zasad w nich zawartych. Wybrane urzdzenia dostpne na stanowisku laboratoryjnym mog posiada instrukcje stanowiskowe. Przed rozpoczciem pracy naley zapozna si z instrukcjami stanowiskowymi wskazanymi przez prowadzcego. W trakcie zaj laboratoryjnych naley przestrzega nastpuj cych zasad. - Sprawdzi , czy urzdzenia dostpne na stanowisku laboratoryjnym s

w stanie kompletnym, nie wskazujcym na fizyczne uszkodzenie. Sprawdzi prawidłowo poł cze urz dze peryferyjnych.

- Je eli istnieje taka moliwo , nale y dostosowa warunki stanowiska do własnych potrzeb, ze wzgldu na ergonomi. Monitor komputera ustawi w sposób zapewniajcy stał i wygodn obserwacj dla wszystkich członków zespołu.

- Zał czenie komputera moe si odbywa po wyra eniu zgody przez prowadzcego.

- Zabronione jest dokonywanie jakichkolwiek przełcze w urz dzeniach oraz wymiana elementów składowych pod napiciem.

- Konfiguracja sprztu (np. konfiguracja systemu operacyjnego, ustawienie parametrów monitora) moe si odbywa wył cznie w porozumieniu z prowadzcym zaj cia.

- W trakcie pracy z komputerem zabronione jest spoywanie posiłków i picie napojów.

- W przypadku zaniku napicia zasilajcego naley niezwłocznie wył czy komputer i monitor z sieci elektrycznej.

- Stwierdzone wszelkie braki w wyposaeniu stanowiska oraz nieprawidłowoci w funkcjonowaniu sprztu naley przekazywa prowadzcemu zajcia.

- W przypadku zakoczenia pracy naley zako czy sesj przez wydanie polecenia wylogowania. Zamknicie systemu operacyjnego moe si odbywa tylko na wyrane polecenie prowadzcego.


- 28 -

Dodatek A. Propozycje układów analizowanych w trakcie wiczenia

A.1. Układy RC

Lp. Schemat układu Proponowane wstę pne wartoś ci

elementów

1

C1

R2U1 U2

R1I

R1 = 10 kΩ R2 = 5 kΩ C1 = 100 nF Obserwacja charakterystyk amplitudowych i fazowych I=f(f), U2=f(f). Wyznaczenie charakterystyki amplitdowo-fazowej.

2

R2 C1

U1 U2R1

I

R1 = 8 kΩ R2 = 10 kΩ C1 = 100 nF Obserwacja charakterystyk I=f(f), U2=f(f).

3

R2 C2

R1

R3U1

C1

I

R1 = 4 kΩ R2 = 4 kΩ R3 = 8 kΩ C1 = 150 nF C2 = 150 nF Obserwacja charakterystyki I=f(f).

4 C1 C2

R2

R1

U1 U2

I

R1 = 8 kΩ R2 = 8 kΩ C1 = 150 nF C2 = 300 nF Obserwacja charakterystyk I=f(f), U2=f(f).


- 29 -

5

R1

R2

R1

C1U1 U2

C1

C2

R1 = 8 kΩ R2 = 4 kΩ C1 = 100 nF C2 = 200 nF Obserwacja charakterystyki U2=f(f).

6

C1

C2

R1 R2U1 U2

R1 = 4 kΩ R2 = 8 kΩ C1 = 300 nF C2 = 50 nF Obserwacja charakterystyki U2=f(f).

A.2. Układy RLC i LC

Lp. Schemat układu Proponowane wstę pne wartoś ci

elementów

1

L2

R1R2

U1

C1

U2

I

R1 = 100 Ω R2 = 40 Ω L2 = 10 mH C1 = 400 nF Obserwacja charakterystyk I=f(f), U2=f(f).

2 R1

C1 C2

L1U1

I I1 I2

R1 = 100 Ω L2 = 30 mH C1 = 100 nF C2 = 10 nF Obserwacja charakterystyk I=f(f), I1=f(f), I2=f(f).

3 R1

C1 R2

L1

U1

I I1 I2

R1 = 100 Ω R2 = 150 Ω L1 = 30 mH C1 = 100 nF Obserwacja charakterystyk I=f(f), I1=f(f), I2=f(f).


- 30 -

4

R1L1C2

U1C1

I U3

U2

R1 = 10 Ω L1 = 1 mH C1 = 1 µF C2 = 10 µF Obserwacja charakterystyk I=f(f), U2=f(f), U3=f(f).

5

R1L1L2

U1C1

I U3

U2

R1 = 10 Ω L1 = 1 mH L2 = 500 µH C1 = 10 µF Obserwacja charakterystyk I=f(f), U2=f(f), U3=f(f).

6

C1

L2R2

U1C2

I2

I1I


7

R1C1

L2 R2C2

U1

I1I

I2

R1 = 40 Ω R2 = 50 Ω L1 = 100 mH C1 = 40 nF C2 = 40 nF Obserwacja charakterystyk I=f(f), I1=f(f), I2=f(f).

8 R2

R1

U1

L1

L2 C2

II2

I1

R1 = 10 Ω R2 = 40 Ω L1 = 10 mH L2 = 30 mH C2 = 100 nF Obserwacja charakterystyk I=f(f), I1=f(f), I2=f(f).

9

R1U1 L1

C1

C2

I1

I2

I



- 31 -

10

L1

C1U1

R1

C2I

U2 U3

R1 = 50 Ω L1 = 10 mH C1 = 100 nF C2 = 400 nF Obserwacja charakterystyk I=f(f), U2=f(f), U3=f(f).

11

L2L1

U1 U2C1

I

R0

R0 = 100 Ω L1 = 10 mH L2 = 30 mH C1 = 800 nF Obserwacja charakterystyk I=f(f), U2=f(f).

12

L1

U1 U2C1 C2

R0

I

R0 = 100 Ω L1 = 10 mH C1 = 100 nF C2 = 10 µF Obserwacja charakterystyk I=f(f), U2=f(f).

13 U1 U2

C1

L1

R1 C2R0

I

R1 = 10 Ω R0 = 100 Ω L1 = 10 mH C1 = 60 nF C2 = 800 nF Obserwacja charakterystyk I=f(f), U2=f(f).

14 C1

R1

L1U1 C2

R2

L2U2

k

I

R1 = 100 Ω R2 = 10 Ω L1 = L2 = C1 = C2 = k = 0,85 Obserwacja charakterystyki I=f(f),

U2=f(f).

A.3. Układy ze ródłami sterowanymi

Analiza układów ze wzmacniaczem operacyjnym moe by realizowana: ♦ W przypadku rzeczywistym, z wykorzystaniem modelu wzmacniacza

operacyjnego (np. uA741). Naley pami ta , e podobnie jak we


- 32 -

wzmacniaczu rzeczywistym, naley równie przyło y napi cie do ko cówek zasilajcych wzmacniacza, w celu wstpnej polaryzacji układów półprzewodnikowych, np.

♦ W przypadku układu idealizowanego, z wykorzystaniem ródła sterowanego. W kadym z podanych schematów wzmacniacz operacyjny pracuje jako ródło napi ciowe sterowane napiciem. W programie PSpice dostpne s modele matematyczne ródeł sterowanych liniowych (E, H, F, G) oraz nieliniowych (EPOLY, HPOLY, FPOLY, GPOLY), dla których trzeba wpisa funkcj steruj c .

Lp. Schemat układu Proponowane wstę pne wartoś ci elementów

1

R1C1

U1 U2

-

+

I

k

R1 = 100 Ω C1 = 800 nF Wyznaczenie transmitacji TU, TIU= f(f) Obserwacja charakterystyki I=f(f), U2=f(f).

2

U2U1

-

+

R1C1 R2

I

k

R1 = 100 Ω R2 = 40 Ω C1 = 800 nF Obserwacja charakterystyki I=f(f), U2=f(f).

3

U2U1

-

+R1

C1R2

I

k

R1 = 10 Ω R2 = 100 Ω C1 = 80 µF Obserwacja charakterystyki I=f(f), U2=f(f).


- 33 -

4

U2U1

-

+

R1

C1

R2

I

k


5

U2U1

-

+

R1C1

R2

I

k


6 U1

R2R1

U2

-

+

C2

C1

k

R1 = 100 Ω R2 = 150 Ω C1 = 100 nF C2 = 10 µF Obserwacja charakterystyki I=f(f), U2=f(f).

7 R2

R1U1

U2

-

+

C1

C2

k

R1 = 100 Ω R2 = 400 Ω C1 = 400 nF C2 = 40 nF Obserwacja charakterystyki I=f(f), U2=f(f).

8

R1

U1 U2

-

+

R2

C1

C2

I

k

R1 = 100 Ω R2 = 50 Ω C1 = 10 mF C2 = 4 nF Obserwacja charakterystyki I=f(f), U2=f(f).


- 34 -

Dodatek B. Przykładowe konfiguracje projektowanych układów i zestawy parametrów

B.1. Szeregowy układ RLC.

L1R1U1

C1

I

Dane: Cz stotliwo

rezonansowa f

Dobro Q

Szeroko pasma

B

Impedancja falowa

ρ Zestaw 1 50 Hz 4,5 obliczyć 40 Ω Zestaw 2 1400 Hz obliczyć 50 Hz 600 Ω Zestaw 3 300 Hz 10 obliczyć 100 Ω Zestaw 4 5000 Hz 15 100 Hz dobrać

B.2. Równoległy układ RLC

L1R1U1C1

I

Dane: Cz stotliwo

rezonansowa f

Dobro Q

Szeroko pasma

B

Impedancja falowa

ρ Zestaw 1 50 Hz 10 obliczyć 40 Ω Zestaw 2 4000 Hz obliczyć 50 Hz 160 Ω Zestaw 3 150 Hz 5,4 obliczyć 50 Ω Zestaw 4 25000 Hz 15 150 Hz dobrać


- 35 -

B.3. Układ RLC z równoległym poł czeniem elementów RL

L1

R1U1

C1

I

Dane: Cz stotliwo

rezonansowa f

Dobro Q

Impedancja falowa

ρ Zestaw 1 50 Hz 6 100 Ω Zestaw 2 200 Hz 8 200 Ω Zestaw 3 1000 Hz 10 300 Ω Zestaw 4 500 Hz 20 dobrać

B.4. Układ RLC z równoległym poł czeniem elementów RC

L1

R1U1

C1

I

Dane: Cz stotliwo

rezonansowa f

Dobro Q

Impedancja falowa

ρ Zestaw 1 50 Hz 3 100 Ω Zestaw 2 200 Hz 4 200 Ω Zestaw 3 1000 Hz 5 300 Ω Zestaw 4 5000 Hz 15 dobrać


- 36 -

B.5. Układ LC z dzielon pojemno ci

C2

L1U1

C1

I

Dane: Cz stotliwo

rezonansu napi Cz stotliwo

rezonansu prdów Zestaw 1 3000 Hz 3500 Hz Zestaw 2 3200 Hz 3500 Hz Zestaw 3 3200 Hz 3300 Hz

B.6. Układ LC z dzielon indukcyjno ci

L2

L1U1

C1

I

Dane: Cz stotliwo

rezonansu napi Cz stotliwo

rezonansu prdów Zestaw 1 3500 Hz 3000 Hz Zestaw 2 3500 Hz 3200 Hz Zestaw 3 16 kHz 12 kHz


ś


- 37 -

Dodatek C. Wybrane sygnały nieharmoniczne i ich reprezentacja za pomoc szeregu Fouriera

W podanych niej zaleno ciach pulsacja podstawowej harmonicznej wyraa si wzorem To

πω 2= .

Nazwa Przebieg sygnału wraz z opisem parametrów Szereg Fouriera

fala piłokształtna

T/2 T T 2T 3T -T 0

Ax(t)

t

( ) ( )∑∞

=

−=1

sin2 n

otnn

AAtx ω

π

fala trójk tna bipolarna

Ax(t)

T/4 T/2 T 3T/2 -T/2 0

t

-A

( ) ( )( )

( )[ ]∑∞

=

+ −−

−=1

22

1 12sin12

81

no

n tnn

Atx ω

π

fala prostoktna bipolarna

Ax(t)

T/2 T 2T 3T -T 0

t

-A

( ) ( ) ( )[ ]∑∞

=

−−

=1

12sin12

4

notn

n

Atx ω

π


ś


- 38 -

fala prostoktna unipolarna z dobieranym

współczynnikiem wypełnienia

Ax(t)

T/2 T 2T 3T -T 0

t

τ

( ) ( )∑∞

=

⋅

+=1

cossin2

notn

Tn

n

A

TAtx ωτπ

πτ

fala sinusoidalna wyprostowana

całofalowo T/4 T/2 T 3T/2 -T/2 0

Ax(t)

t

( ) ( ) ( )∑∞

= −−=

12

2cos14

42

notn

n

AAtx ω

ππ

fala sinusoidalna wyprostowana

jednopołówkowo T/4 T/2 T 3T/2 -T/2 0

Ax(t)

t

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

= −−+=

12

2cos14

2sin

2 noo tn

n

At

AAtx ω

πω

π

analiza obwodÓw w dziedzinie cz stotliwo ci e21

Documents