mf3 - juros compostos

MATEMÁTICA FINANCEIRA

JUROS COMPOSTOS

Prof. Ms. Antonio Carlos de Oliveira Capitão

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JUROS COMPOSTOS Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função do tempo. O conceito de montante é o mesmo definido para a capitalização simples, ou seja, é a soma do capital acrescido dos juros correspondentes ao período de tempo da aplicação. A nomenclatura é a mesma já definida para juros simples (C, M, r, i, n). Logo: JUROS COMPOSTOS: É aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre o montante do período anterior. OBS: A taxa de juros deve ser a mesma no período avaliado. CONVENÇÕES: Para calcular expoentes, usamos uma das seguintes técnicas:

Calculadora Financeira Tabelas Financeiras Logaritmos Decimais (Base 10) Logaritmos Neperianos (Base = 2,717...) (1 + i ) n = Fator de capitalização

NOMENCLATURA: C = Capital n = Período de tempo r = taxa percentual i = taxa centesimal M = Montante


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CALCULO DO MONTANTE Fórmula

M = C ( 1 + i ) n

Exemplo: a) Calcule o montante produzido pôr um capital de R$ 20.000,00, aplicado a juros compostos,

a 5% ao mês, durante 2 meses. C = 20.000,00 n = 2 meses r = 5% ao mês i = 5/100 = 0,05 am.

M = C ( 1 + i )n M = 20.000,00 ( 1 + 0,05)2

M = 20.000,00 . 1,1025

M = 22.050,00 b) Uma pessoa toma emprestado a importância de R$ 30.000,00 a juros de 3% am. pelo prazo

de10 meses com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido e qual o valor dos juros?

C= R$ 30.000,00 r = 3 % a.m. i = 3/100 = 0,03 a.m. n = 10 meses M = C ( 1 + i )n M = 30.000,00 ( 1 + 0,03 )10

M = 30.000,00 . 1,34392

M = R$ 40.317,49 J = M – C J = 40.317,49 – 30.000,00

J = R$ 10.317,49


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c) Calcule o montante de um Capital de R$ 20.000,00 aplicado a juros compostos a taxa de 3,5% ao mês durante 35 meses?

C = 20.000,00 r = 3,5 % am i = 3,5/100 = 0,035 n = 35 meses M = 20.000,00 ( 1 + 0,035 )35

M = 20.000,00 . 3,33359

M = R$ 66.671,80

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Calcule o montante de R$ 50.000,00 aplicado a juros compostos 2,25% am no fim de 4 meses?

2) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200,00 pôr um prazo de 8 meses no

regime de capitalização composta à taxa de 15% ao mês?

3) Calcule o Montante de uma aplicação de R$ 100.000,00, á taxa de 5% am pelo prazo de 1 mês.

4) Calcule o montante de uma aplicação a juros compostos de R$ 15.000,00, pelo prazo de

6 meses á 3% ao mês ?

5) Em que prazo um empréstimo de R$ 30.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 51.310,18, sabendo-se que a taxa contratada é de 5% ao mês ?

6) A que taxa um capital de R$ 43.000,00 pode ser dobrado em 18 meses?

Respostas 1) M = R$ 54.654,16 2) M = R$ 9.237,24 3) M = R$ 105.000,00 4) M = R$ 17.910,78 5) n = 11 meses 6) r = 3,93% a.m.


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Cálculo do Capital Fórmula:

C = M . 1 _ ( 1 + i ) n

OU

C = M . ( 1 + i ) -n EXEMPLO:

a) Calcule o Capital inicial que no prazo de 5 meses , à 3 % am produziu o montante de R$ 40.575,00?

C = ? n = 5 meses r = 3 % a.m. i = 3/100 = 0,03 a.m. M = 40.575,00

C = 40.575,00 . (1 + 0,03)-5

C = 40.575,00 . _____1_____

(1 + 0,03)-5

C = 40.575,00 . _____1_____ 1,15927

C = 40.575,00 . 0,86261

C = R$ 35.000,40

b) Sabendo-se que um capital inicial em regime de juros compostos, à taxa de 2,5% a.m., durante 4 meses rendeu o montante de R$ 79.475,00 . Calcule o Capital?


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C = ? r = 2,5 % a.m. i = 2,5 / 100 = 0,025 a.m. n = 4 meses M = R$ 79.495,00 C = 79.475,00 . _____1______ ( 1 + 0,025)4

C = 79.475,00 . ______1______ 1,10381 C = 79.475,00 . 0,90595

C = R$ 72.000,37

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

1) No final de 2 anos, o Sr Pedro deverá efetuar um pagamento de R$ 200.000,00 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos ( já incluídos no valor do pagamento ), correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Pergunta-se: Qual o valor emprestado?

2) Uma pessoa pagará R$ 390.000,00 pelo pagamento de uma dívida contratada por 10

meses à taxa de 3% a.m. Calcule o Capital e os Juros? 3) Um empréstimo foi quitado por R$ 2.850,00, tendo sido contratado pôr 6 meses, à taxa

de 3,88% ao mês . Calcule o Capital inicial? Respostas: 1) C = R$ 91.307,52 2) C = R$ 290.196,62 J = R$ 99.803,38 3) C = R$ 2.268,05


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Cálculo do Período de Tempo Exemplo: Em que prazo uma aplicação de R$ 10.000,00, produz um montante de R$

20.000,00 , à taxa de 4% ao mês ? M = C ( 1 + i )n

20.000,00=10.000,00 (1 + 0,04)n

20.000,00 = 1,04 n 10.000,00 2 = 1,04 n ( Podemos acrescentar Ln ou log. dos dois lados da igualdade que

não alteramos a igualdade ). ln 2 = ln 1,04 n (usando a propriedade dos logaritmos, o expoente passa a

multiplicar a base). ln 2 = n . ln 1,04 0,69315 = n . 0,03922 0,69315 = n 0,03922 17,67338 meses = n n = 17,67338 meses


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Cálculo da Taxa de Juros Exemplo: Um capital inicial de R$ 320.000,00 foi aplicado a juros compostos por um

período de 6 meses , e rendeu um montante de R$ 404.900,00. Calcule a taxa de juros da operação?

M = C ( 1 + i ) n 404.900,00 = 320.000,00 ( 1 + i ) 6 404.900,00 = ( 1 + i ) 6320.000,00 1,26531 = ( 1 + i ) 6 ( Podemos acrescentar uma raíz de grau 6 dos dois lados da igualdade que não se altera a igualdade). 6 6 1,26531 = (1 + i) 6 (1,26531) 1/6 = 1 + i 1,04082 = 1 + i 1,04082 - 1 = i 0,04082 = i

i = 0,04082

OU

r = i . 100 = 0,04082 . 100 = 4,08% ao mês


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EXERCÍCIOS: 1) Em que prazo uma aplicação à juros compostos no valor de R$100,000,00 produz um

montante de R$ 146.853,00 à taxa de juros de 3% ao mês? 2) Em que prazo uma aplicação à juros compostos no valor de R$1.100,000,00 produz um

montante de R$ 1.746.853,00 à taxa de juros de 2,83% ao mês? 3) Um capital inicial de R$ 20.000,00 foi aplicado a juros compostos por um período de 8

meses, e rendeu um montante de R$ 40.000,00 . Calcule a taxa de juros da operação? 4) Um capital inicial de R$ 120.000,00 foi aplicado a juros compostos por um período de 18

meses , e rendeu um montante de R$ 140.000,00 . Calcule a taxa de juros da operação? Respostas 1) n = 13 meses 2) n = 17 meses 3) r = 9,05077% a.m. 4) r = 0,86007% a.m.


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TAXAS EQUIVALENTES

Definição: São aquelas que, referindo-se a unidades de tempo diferentes (ano, mês, dia, etc...), fazem com que o capital produza o mesmo montante no mesmo período de tempo .

OBS : Em juros compostos, as taxas proporcionais não são equivalentes.

EX: 24 % ao ano não é equivalente à 2% ao mês. As taxas proporcionais variam linearmente em função do tempo e as taxas equivalentes variam exponencialmente em função do tempo..

Convenções para Transformação de Períodos de Tempo De Ano para:

Semestre = ½ Trimestre=1/4 Bimestre = 1/6 Mês = 1/12 Dia = 1/360

De Dia para :

Mês = 30 Bimestre = 60 Trimestre= 90 Semestre= 180 Ano = 360

FÓRMULA DE TAXA EQUIVALENTE

( 1 + i ) n - 1

EXEMPLO:

a) Calcule a taxa trimestral equivalente à 30% ao ano. (1 + 0,3)1/4 -1 (1,3) 0,25 - 1 1,06779 i = 0,06779 ao trimestre


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b) Considerando que a inflação média dos últimos 12 meses tem sido de aproximadamente 1,6 % ao mês, projete a inflação anual.

( 1 + 0,016) 12 - 1 (1,016) 12 - 1 1,20983 - 1

i = 0,020983 ou r = 0,020983 x 100 = 20,983 ao ano

Exercicios: 1) Calcule a taxa equivalente à 0,9 % ao dia : a) Mensal b) Bimensal c) Trimestral d) Semestral e) Anual f) Trianual

2) Calcule a taxa equivalente à 120 % ao ano : a) Semestral b) Trimestral c) Bimestral d) Mensal e) Diária

3) Calcule as taxas proporcionais e equivalentes à 158% ao ano : a) Semestral b) Trimestral c) Bimestral d) Mensal e) Diária

4) Calcule as taxas proporcionais e equivalentes à 0,2 % ao dia : a) Mensal b) Bimensal c) Trimestral d) Semestral e) Anual f) Trianual


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1) a) i = 0,0003 ao mês b) i = 0,00015 ao bimestre c) i = 0,00010 ao trimestre d) i = 0,00005 ao semestre e) i = 0,00002 ao ano f) i = 0,00001 trianual

2) a) i = 0,48324 ao semestre b) i = 0,21788 ao trimestre c) i = 0,14043 ao bimestre d) i = 0,06791 ao mês e) i = 0,00219 ao dia

3) a) i = 0,60624 ao semestre b) i = 0,26737 ao trimestre c) i = 0,17113 ao bimestre d) i = 0,08219 ao mês e) i = 0,00264 ao dia

4) a) i = 0,06177 ao mês b) i = 0,12736 ao bimestre c) i = 0,19700 ao trimestre d) i = 0,43281 ao semestre e) i = 1,05296 ao ano f) i = 7,65245 trianual


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Lista de Exercícios - JUROS COMPOSTOS 1. Dada a taxa de juros de 138% ao ano, calcule as taxas proporcionais e as equivalentes, nas

seguintes condições: a)Diária; b) quinzenal; c) mensal; d) bimensal; e)trimestral; f)semestral.

2. Dada a taxa de juros de 0,02% ao dia, calcule as taxas proporcionais e a equivalentes nas

seguintes condições: a) Quinzenal; b) mensal; c)bimestral; d)trimestral; e) semestral; f) anual; g) quinzenal.

3. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 80.000,00, á taxa de 3% ao mês, pelo prazo de

3 meses. 4. A técnica de calculo de juros compostos permite trabalhar com taxas variáveis no tempo?

5. Determine o juro de uma aplicação de R$200.000,00, á 4,5% ao mês, capitalizado

semestralmente durante 8 meses. 6. Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800,00, em regime de juros compostos,

aplicado por 4 meses , á taxa de 38% ao ano. 7. Determine o Capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8

meses rendeu um montante de R$197.521,00 . 8. Quanto devo aplicar, em regime de juro composto, á taxa de 30% ao ano, para obter em 1

ano e 3 meses a importância de R$ 694.063,00 . 9. Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000,00 produzira um montante de R$ 146.853,00,

á taxa de 3% ao mês. 10. Durante quanto tempo R$ 25.000,00 produzem R$14.846,00 de juro, á taxa de 24% ao

ano, capitalizado trimestralmente. 11. Um capital de R$ 200.000,00 foi aplicado a juro composto durante 7 meses, rendendo R$

37.737,00 de juro.Determine a taxa de aplicação.

12. O capital de R$ 120.000,00, colocado a juro composto capitalizado mensalmente durante 8 meses, elevou-se ao final deste período a R$ 155.590,00.Calcule a taxa de juros.

13. Em quanto tempo uma aplicação renderá o dobro de seu valor á taxa de 2 % ao mês? 14. Qual a diferença fundamental entre taxa proporcional e taxa equivalente? Justifique e

exemplifique sua resposta. 15. Qual o montante produzido por R$ 150.000,00 aplicado à juros compostos à taxa de

180% ao ano, por dois meses?


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16. Estabeleça quais os procedimentos (seqüências, operações, etc...), para resolver todos os exercícios acima, utilizando a sua calculadora financeira; exemplifique com detalhes.

17. Calcule o Capital aplicado à juros compostos que rendeu R$ 28.000,00 , num período de

3 meses, à taxa de 80 % ao ano ? 18. Calcule o montante de uma aplicação a juros compostos, de capital inicial de R$

58.000,00, aplicado por 8 meses, à taxa de juros de 0,87% ao dia ? 19. Em que prazo uma aplicação de R$ 1.500.000,00 produz um montante de R$

3.000.000,00, à taxa de juros de 10% ao mês? RESPOSTAS 1) A) i = 0,00241 ao dia

B) i = 0,03679 quinzenal C) i = 0,07493 ao mês D) i = 0,15548 ao bimestre E) i = 0,24206 ao trimestre F) i = 0,54272 ao semestre

2) A) i = 0,003 quinzenal B) i = 0,00602 ao mês

C) i = 0,01207 ao bimestre D) i = 0,01816 ao trimestre E) i = 0,03665 ao semestre F) i = 0,07465 ao ano G) i = 0,003 quinzenal

3) M = R$ 87418,16 4) 5) J = R$ 12.089,12 6) M = R$ 7.570,68 7) C = R$ 149.999,73 8) C = R$ 499.999,65 9) n = 13 meses 10) n = 9 meses 11) r = 2,50% a.m.


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12) r = 3,30% a.m. 13) n = 35 meses 14) Taxa Proporcional, os juros são lineares (juros simples) e Taxa Equivalente os juros

são exponenciais (juros compostos) 15) M = R$ 178.081,00 16) 17) C = R$ 24.173,52 18) M = R$ 463.781,04 19) n = 8 meses


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