MGE(Metoda graninih elemenata)

Tahto Haris III-340/12MGE(Metoda graninih elemenata)Istorijski razvoj MGESve do poetka osamdesetih godina prologa vijeka MGE je bio poznat kao metod integralnih jednaina na granici (MIJG). Kao metod za rjeavanje problema matematike fizike on potie iz rada G. Grina. On je 1828. godine formulisao integralnu reprezentaciju rjeenja Laplasove jednaine za probleme Dirihlea i Nojmana, uvoenjem tzv. Grinove funkcije za te probleme.Status tvorca metoda graninih elemenata se moe pripisati Fredholmu. U navedenim metodama nepoznate granine veliine imaju direktno fiziko ili geometrijsko znaenje i iz tog razloga se na njih referie kao na direktni MGE. Pored tih, razvijene su i formulacije MGE kod kojih nepoznate granine veliine nemaju direktno fiziko ili geometrijsko znaenje, pa su zato dobile ime indirektni MGEGranini elementiMetod graninih elementa (MGE) predstavlja tehniku za analizu ponaanja mehanikih sistema i posebno inenjerskih konstrukcija izloenih dejstvu spoljanjeg optereenja.

Prednosti MGEDiskretizuje se samo granica posmatranog tijela, to numeriko modeliranje sa MGE ini lakimZa neograniene oblasti, problem se formulie jednostavno kao spoljanji.Metod je posebno efikasan u raunanju izvoda funkcije polja (npr. fluksa, deformacija, naponskog stanja, momenata).MGE omoguava izraunavanje rjeenja problema i njegovih izvoda u bilo kojoj taki oblasti u bilo kom trenutku vremena.Metod je dobro prilagoen za rjeavanje problema koji ukljuuju domene sa geometrijskim imperfekcijama, kakve su na primjer prsline.Nedostaci MGEPrimjena MGE zahtjeva tzv. fundamentalno rjeenje. Metod se ne moe koristiti za rjeavanje problema ije se fundamentalno rjeenje ili ne zna ili se ne moe odrediti.Numerika implementacija MGE dovodi do sistema linearnih algebarskih jednaina ije su matrice koeficijenta potpuno popunjene i nesimetrine.

Matematike relacije MGEMatematike relacije koje su neophodne za razvoj i razumjevanje metode graninih elemenata (MGE).Gaus-Grinova teoremaGausova teorema o divergencijiDruga Grinova formulaDirakova delta funkcijaGaus-Grinova teoremaGaus-Grinova teorema je osnovni identitet koji povezuje integral izvoda funkcije po oblasti () sa integralom te funkcije koja se rauna na granici () oblasti (). Oblast (domen) moe biti dio dvo- ili trodimenzijskog prostora. Posmatra se ravanski domen () koji ograniava kriva ili granica () . Prvo e se posmatrati parcijalni izvod funkcije f = f (x,y) po x . Integral po oblasti () se moe zapisati kao dvostruki, ili povrinski integral, kod koga e se prvo sprovesti integracija po x a zatim i po y .

Gausova teorema o divergencijiPrimjenom Gaus-Grinove teoreme lako se izvodi teorema o divergenciji. Posmatra se vektorsko polje u = ui +vj , gdje su i i j redom jedinini vektori x i y ose, a u = u(x,y) i v = v(x,y) njegove komponente.

Dirakova delta funkcijaU problemima mehanike vrstog tijela vrlo esto se nailazi na koncentrisano dejstvo, tj. optereenje koje djeluje u veoma maloj oblasti, teorijski u taki, gledano ili u prostoru ili u vremenu.

Numerika implementacija MGESutina MGE je da se granica razloi na konaan broj, ne obavezno jednakih segmenata, koji se nazivaju granini elementi. Pri tome se, za svaki element u diskretizaciji granice, uine dvije aproksimacije. Jedna se bavi geometrijom granice, a druga oblikom varijacije nepoznate granine veliine du samog elementa. Obino se kao granini elementi koriste konstantni element, linearni element i parabolini ili kvadratni element. Na svakom elementu razlikuju se najudaljenije ili krajnje take koje lee na granici oblasti kao i vorovi ili vorne take koje lee na samom elementu. Svakom voru dodjeljuje se vrijednost granine veliine. U sluaju konstantnih elemenata, granini segment je du koja spaja krajnje take elementa. Kod ovih elemenata se pretpostavlja da du elementa granina veliina ima konstantnu vrijednost. Ta vrijednost je jednaka vrijednosti u vornoj taki koja se postavlja na sredini dui.

Za linearne elemente granini segment je opet du, ali element ima dva vora obino postavljena u krajnjim takama,. Za graninu veliinu du linearnog elementa pretpostavlja se linearna promjena izmeu vrijednosti u vorovima. U paraboline elemente geometrija dijela granice se aproksimira lukom parabole, element ima tri vora od kojih su dva na krajevima a trei negdje izmeu obino u srednjoj taki, Za linearne i paraboline elemente, geometrija segmenta se opisuje izoparametarski, tj. i geometrija elementa i granina veliina du elementa se aproksimiraju polinomom istog stepena.

Poreenje MKE i BEM na modelu bloka motoraProuavano je provoenje topline na modelu V6Za FEM ispitivanje koriten je ANSYSZa BEM ispitivanje koriten je brzi multipole BEMLinearna raspodjela temperature se primjenjuje na 6 cilindrikih povrina

Literatura:http://www.researchgate.net/profile/John_Katsikadelis/publication/256926692_Granini_ElementI._Teorija_i_Primene/links/02e7e52412ac076b4800000http://rgnzborad.rgn.hr/5_METODA_RUBNIH_ELEMENATA.pdfhttps://www.fer.unizg.hr/_download/repository/Metoda_konacnih_elemenata_(MKE)_u_elektromagnetizmu.pdf

HVALA NA PANJI!