Mgr. Jozef Vozár 2007

Definícia

Exponenciálnou funkciou budeme nazývať každú funkciu určenú vzťahom

f: y = ax

Kde a ε R+\{ 1 }. Grafom funkcie je exponenciála

Graf pre a > 1

a = 2

a = 3

a = 4

Graf pre 0 <a<1 a = 1/2

a = 1/3

a=1/4

Vlastnosti

D(f) = R

H(f) = R+

Prechádzajú bodom [0;1]

Pre a>1 sú rastúce

Pre 0<a<1 sú klesajúce

Exponenciálna fcia je prostá

Exponenciálne rovnice

Pri riešení využívame

1. To že exponenciálna funkcia je prostá

ax = ay x = y

2. Vety o operáciách s mocninami

Príklad č.1

3x + 2 = 32x + 7

x + 2 = 2x + 7

x = 5

Príklad č.2

2 2x - 1 = 8

2 2x – 1 = 23

2x – 1 = 3

x = 2

Príklad č.3

4x + 2x+1 = 80

t = 2x

t2 + 2t - 80 = 0

t1 = 4 t2 = -10

2x = 4 2x = -10

x = 2

Príklad č.4

4 x – 2 – 17.2 x – 4 + 1 = 0

2x = t

t2/16 – 17.t/16 + 1 = 0 /.16

t2 - 17 . t + 16 = 0

R4

t1 = 11

2x = 11

x = log11/log2

x = 3,45

R4

t2 = 6

2x = 6

x = log6/log2

x = 2,58

Príklad 5

7.3 x+1 – 5x+2 = 3x+4 – 5x+3

7.3 x+1 - 3x+4 = 5x+2 – 5x+3

21.3x – 81. 3x = 25 . 5x – 125. 5x

3x .60 = 5x .100

(3/5)x = 5/3

x = - 1

Príklad 6

xx = x Logaritmujeme rovnicu

x.log x = log x x.log x - log x = 0log x.(x – 1) = 0

log x = 0 x – 1 = 0x = 1

Príklad 7

3.4log x – 25.2log x + 8 = 0

R7

t = 2log x

3.t2 – 25.t + 8 = 0

t1 = 8

t2 = 1/3

R7

2log x = 8

log x = 3

x = 1000

R7

2log x = 1/3

log x. log 2 = log 1 – log 3

log x = - log3/log2

x = 10 - log3/log2

x = 10-1.585 = 0.0026

Príklad 8

2.4x - 5.2x + 2.4x-1 = 0

Riešenie

t = 2x

2.t2 – 5t + 2.t2/4 = 0/ .2

4.t2 - 10t + t2 = 0

5 t2 - 10t = 0

t1 = 0, t2 = 2

x = 1

Príklad 9

4x + 3x + 2 = 4x+3 - 3x + 2

Riešenie

2. 3x + 2 = 4x+3 - 4x

2. 3x + 2 = 4x (64 – 1)

18. 3x = 63. 4x

(3/4)x = 63/18 = 21/6 = 7/2

x log3/4 = log 7/2

x = - 4,36

Príklad 10

xx – x-x = 3( 1 + x-x)

Riešenie

xx = t

t – 1/t = 3 (1 +1/t)

t – 4/t – 3 = 0

t2 – 3t – 4 = 0

t1 = 4, t2 = -1

xx = 4

x = 2

Príklad 11

log (x + 1) + log (x – 1) – log x = log (x + 2)

(x + 1) (x – 1) = x. (x + 2)

x2 – 1 = x2 + 2x

x = - 0,5

Sk. log(0,5) + log (-1,5) – log(-0,5) = log(1,5)

Rovnica nemá korene.

Riešenie

(x + 1) (x – 1) = x. (x + 2)

x2 – 1 = x2 + 2x

x = - 0,5

Sk. log(0,5) + log (-1,5) – log(-0,5) = log(1,5)

Rovnica nemá korene.

Príklad 12

log(4x + 6) – log(2x – 1) = 1

Riešenie

4x + 6

–––––– = 10

2x – 1

4x + 6 = 20x – 10

x = 1

Sk. log10 – log 1 = 1

x = 1

Príklad 13

1

xlog x – 1 = 10( 1 - ––- )

xlog x

Riešenie

t =xlog x

t – 1 = 10( 1 – 1/t)

t2– 11t + 10 = 0

t1 = 10, t2 = 1

Riešenie

xlog x = 10

log x . log x = 1

log x = 1, log x = - 1,

x = 10, x = 1/10

Riešenie

xlog x = 1

log x . log x = 0

log x = 0

x = 1

Príklad 14

4x – 3x-1/2 = 3x+1/2 - 22x-1

Riešenie

4x + 22x-1 = 3x-1/2 + 3x+1/2

22x(1 + ½) = 3x(3-1/2 + 31/2)(4/3)x = 8/271/2

x = (log8-1/2log27)/(log4-log3)

x = 0,0625