Universidad Nacional Experimental de Guayana

Coordinación de Pregrado

Facultad de Ingeniería En Informática

Programación Dinámica Lineal y Entera

Ejercicios Resueltos de M Grande

PASOS:

1. Pasar a la forma estándar el Modelo Matemático

2. Agregar variable artificial donde no hay variable de holgura

3.Penalizar las variables artificiales en la función objetivo asignando coeficiente positivo

muy grande "M" (minimizar = +M, maximizar= -M)

4.Quitar las "m" de la columna artificial, ya teniendo solución inicial

5.Se aplica el Método Simplex

1. EJERCICIOS:

Maximizar z= 3x1 + 5x2

x1 ≤ 4

2x2 ≤ 12

3x1+2x2=18

x1, x2 ≥ 0

*La función objetivo se debe penalizar con -M, por ser maximización y para hacer z=0 por lo tanto:

z= 3x1 + 5x2 -M, entonces: z-3x1-5x2+M= 0

x1 + H1 = 4

2x2 +H2 = 12

3x1 + 2x2 + A1 = 18

(-MR4+R1)

-3R2+R4; (3M+3)R2+R1

R4(-2)+R3 ; R4 (2M+5)+R1

R3(-1)+R2 ; R3 (9/2)+R1 ; R3(3/2)+R4

Solucion:

x= 2

x2=6

H1=2

x1 + H1 = 4

2x2 + H2 = 12

3x1+2x2 +A1 = 18

Entonces:

2+2 = 4

2(6) + 0 = 12

3(2) + 2(6) +0 =18

2. EJERCICIO:

Minimice Z= 4X1 + X2

La forma estándar se obtiene restando un superávit X3 en la segunda restricción y añadiendo una

holgura X en la tercera restricción. Por tanto obtenemos

Minimice Z= 4X1 +X2

La primera y segunda ecuación no tiene variables que desempeñen el papel de holguras. Por

consiguiente, utilizamos las variables R1 y R2 en estas dos ecuaciones y las penalizamos en la

función objetivo con MR1 + MR2. La PL resultante se da como

Minimice Z=4X1 +X2 + MR1 + MR2

En el modelo modificado, ahora podemos

utilizar R1, R2 y X4 como la solución básica factible inicial como lo demuestra la siguiente tabla

simplex

Antes de proceder con los cálculos del método simplex, necesitamos hacer que el renglón -Z sea

consistente con el resto de la tabla simplex. De manera específica, el valor de z asociado con la

solución básica inicial R1 = 5, R2 6, y X4 = 4 debe ser 3M + 6M + O = 9M en vez de O, como se

muestra en el lado derecho del renglón -Z. Esta inconsistencia se debe al hecho de que R, y R2

tienen coeficientes no cero (-M, -M) en e! renglón -Z Estas inconsistencias se eliminan

sustituyendo R1 y R2 en el renglón -Z, utilizando las ecuaciones apropiadas de restricción.

En particular, observe los elementos “1” realzados en el renglón -R1 y en el renglón -R2.

Multiplicando cada uno de los renglones –R1 y de los renglones -R2 por M y añadiendo la suma al

renglón -Z, efectivamente se sustituirá a R1 y R2 en el renglón objetivo. Podemos resumir este

paso como

Nuevo renglón Z= Antiguo renglón Z + M x (Renglón R1) + M x (Renglón R2) Esto se aplica como

3. EJERCICIO:

Maximizar: Z3x1+5x2

X1≤4 *con signos mayor que o menor que agrego holgura

2x2≤12

3x1+2x2=18 *con signo = agrego artificial

X1 X2 ≥0

La función objetivo se debe panalizar con -MA1, por ser maximización y para hacer a z=0 por lo

tanto, Z-3X1-5X2+MA1=0

Entonces las restricciones quedarían:

X1+H1=4

2X2+H2=12

3X1+2X2+A1=18

4. EJERCICIO:

Minimizar

Sujeto a:

Minimizar

Sujeto a:

Minimizar

Sujeto a:

Minimizar

Sujeto a:

V.B. Z X1 X2 X3 S1 S2 R1 Solución

Z 1 -3 -2 -4 0 0 -M 0

R1 0 2 2 3 -1 0 1 15

S2 0 2 3 1 0 1 0 12

V.B. Z X1 X2 X3 S1 S2 R1 Solución

Z 1 -3+2M -2+2M -4+3M -M 0 0 15M

R1 0 2 2 3 -1 0 1 15

S2 0 2 3 1 0 1 0 12

Criterio para seleccionar la variable entrante:

Maximización : El valor mayor negativo del renglón Z.

Minimización : El valor mayor positivo del renglón Z.

V.B. Z X1 X2 X3 S1 S2 R1 Solución

Z 1 -1/3 2/3 0 -4/3 0 4/3-M 20

X3 0 2/3 2/3 1 -1/3 0 1/3 5

S2 0 4/3 7/3 0 1/3 1 -1/3 7

V.B. Z X1 X2 X3 S1 S2 R1 Solución

Z 1 -5/7 0 0 -10/7 -2/7 10/7-M 18

X3 0 2/7 0 1 -3/7 -2/7 3/7 3

X2 0 4/7 1 0 1/7 3/7 -1/7 3

5. EJERCICIOS:

Maximizar

Sujeto a:

Maximizar

Sujeto a:

Maximizar

Sujeto a:

Maximizar

Sujeto a:

V.B. Z X1 X2 S1 S2 R1 R2 Solución

Z 1 -4 -1 0 0 M M 0

R1 0 3 1 0 0 0 0 3

R2 0 4 3 -1 0 1 1 6

S2 0 1 2 0 1 0 0 3

V.B. Z X1 X2 S1 S2 R1 R2 Solución

Z 1 -4-7M -1-4M M 0 0 0 -9M

R1 0 3 1 0 0 0 0 3

R2 0 4 3 -1 0 1 1 6

S2 0 1 2 0 1 0 0 3

V.B. Z X1 X2 S1 S2 R1 R2 Solución

Z 1 0 1/3-

5/3M

M 0 4/3+7/3M 0 4-2M

X1 0 1 1/3 0 0 1/3 0 1

R2 0 0 5/3 -1 0 -4/3 0 2

S2 0 0 5/3 0 1 -1/3 1 2

V.B. Z X1 X2 S1 S2 R1 R2 Solución

Z 1 0 0 1/5 0 8/5+M -1/5+M 18/5

X1 0 1 0 1/5 0 3/5 3/5

R2 0 0 1 -3/5 0 -4/5 3/5 6/5

S2 0 0 0 1 1 1 -1 1

6. EJERCICIO

7. EJERCICIO

Resuelva el siguiente modelo de programación lineal aplicando la

Técnica de la Gran M.

Max. Z= 2X1 + X2 s.a. X1 + X2 = 4 -X1 + 2 X2 = 2

X1, X2 0 Penalización. Max. Z= 2X1 + X2 –MW1 – MW2 s.a. X1 + X2 + W1 = 4 -X1 + 2 X2 + W2 = 2

X1, X2, W1, W2 0 Igualamos a 0 la función objetivo. Z = 2X1 + X2 –MW1 – MW2

Z -2X1 - X2 +MW1 + MW2 = 0