microsoft word - dinamika merilnega pretvornika za tlak

MERILNA DINAMIKA TLAKA

EKSPERIMENTALNE METODE I. Bajsić

1

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO LJUBLJANA

EKSPERIMENTALNE METODE Študijsko leto:2011/2012


Dodatno učno gradivo iz teorije:

izr. prof. dr. I. Bajsić Laboratorij za meritve v procesnem strojništvu-LMPS

28.12.2011



2

DINAMIKA MERILNEGA PRETVORNIKA ZA TLAK

• Merilni pretvorniki za tlak se ponavadi nahajajo na določeni razdalji od merilnega mesta ter so povezani s priključnimi povezovalnimi cevkami.

• Povezovalna priključna cevka nima posebnega vpliva na statične

značilnice merilnega pretvornika. Pomembna pa je za popis dinamičnih značilnic pretvornika.

• Poenostavljen prikaz merilnega pretvornika za tlak ter merilnega mesta je na

spodnji sliki. • Pri postavitvi matematičnega modela za popis dinamike merilnega

pretvornika upoštevamo, da je prenosni medij za tlak nestisljiv. • Elastično membrano pretvornika nadomestimo s premičnim batom

premera pd in z vzmetjo, ki ima vzmetno konstanto .k



3

∆R

pm

Povezovalna cevka

Potenciometer p vsr d db k L Vzmet Bat x

dt

dxvb =

Poenostavljen model merilnega pretvornika tlaka



4

• Premik batka se npr. določa s linearnim potenciometrom. Torej velja:

p.konstx.konstR ==∆ (1) • Prenosni medij kateremu se določa tlačno stanje p napolni povezovalno

priključno cevko premera d in dolžine L ter vmesni prostor pred premičnim batkom in stenami pretvornika.

• Ker je premer povezovalne cevke d majhen se upošteva, da se zaradi toka

prenosnega medija generira padec tlaka le vzdolž povezovalne cevke v komori pretvornika pa je tlak pm, ki ga prikazuje merilni pretvornik.

• Stene ohišja tlačne komore ter povezovalna cevka so toge in neelastične. • Če predpostavimo, da je tokovni režim prenosnega medija v povezovalni

cevki laminaren, profil hitrosti pa paraboličen dobimo, da je srednja hitrost:



5

( )232

21 2

02

osimR

sr

vd

L

ppdrrrv

Rv =

−=⋅∫=

ηπ

π (2)

• Iz mehanike poznamo, da je pri laminarnem toku tekočine efektivna masa

tekočine v cevi za 4/3 krat večja od resnične mase, torej velja:

434 2 Ld

mef

ρπ= (3)

• Tok tekočine skozi povezovalno cevko povzroči premik bata x. Zaradi

nestisljivosti prenosnega medija pa velja:

44

22b

bsr

dv

dv

ππ= (4)



6

• Torej velja, da je hitrost gibanja batka:

dt

dx

d

dvv

b

srb == 2

2

(5)

• Torej z dinamičnega stališča velja da na zaznavalni del merilnega

pretvornika deluje neka ekvivalentna količina tekočine mase mb, katere kinetična energija je enaka kinetični energiji medija, ki se pretaka po povezovalni cevki. Zato tudi velja:

22

22bbsre vmvm

= (6)

• S preureditvjo izraza (6) in upoštevanjem (3) dobimo:

2

4

4

4

2

2

3 d

dL

d

dm

v

vmm bb

e

b

sreb

ρπ=== (7)



7

• Obravnavani merilni pretvornik tlaka v dinamičnem pomenu ponazarja dinamski sistem drugega reda.

• Skupna ali celotna masa tega sistema je: mbc mmm +=

• Lastna frekvenca sistema je potem:

mbc

L

md

dL

k

m

k

+

==

2

4

3

ρπω (8)

• Pri realnih merilnih pretvornikih za tlak je masa mb veliko večja od mase

elastične membrane pretvornika mm zato tudi velja:

L

k

d

d

b

L ρπω

32= (9)



8

• Elastičnost merilnega pretvornika k je velikokrat boljše nadomestiti z razmerjem prostornine pretočnega medija ter porastom tlaka v sistemu.

• To razmerje je podano kot:

161444

24

222

π

πππ

b

m

mb

m

b

vp

d

kp

k

dpd

p

xd

p

VC ==

∆⋅=

∆

∆= (10)

• Z upoštevanjem izrazov (9) in (10) dobimo:

πρρ

πω

Ld

d

LC

d

bvpL

334 2== (11)



9

• Dušilni razmernik merilnega pretvornika tlaka je definiran kot:

km

c

c2=ξ (12)

• Pri tem je c koeficienta viskoznega trenja, ki je ob upoštevanju izrazov

(2) in (4) podan z :

( )4

42

84 d

dL

v

dpp

v

Fc b

b

bm

b

p πηπ

=−

== ∆ (13)

• Ob upoštevanju izrazov (7), (9) in (13) sledi enačba za določitev dušilnega

razmernika merilnega pretvornika:

ρπ

ηξ

2

3

316 vpC

d= (14)



10

• V nekaterih praktičnih primerih se npr. zaradi turbulentnih pretočnih razmer v povezovalnih cevkah lahko dejanske eksperimentalno določene vrednosti za lastno frekvenco in dušilni razmernik merilnega pretvornika bistveno razlikujejo od teoretično določenih vrednosti.

• Dušilni razmernik je npr. zaradi povišane hitrosti in turbulentnega toka

prenosnega medija znatno višji kot bi bil določen po izrazu (14).

• Časovna konstanta merilnega pretvornika tlaka je z upoštevanjem izrazov (11) in (14) definirana kot:

4

1282d

CL

k

c vp

L π

η

ω

ξτ === (15)

• Pri znani časovni konstanti pretvornika se trenutni merjeni tlak določi z

izrazom: ( )tppp mm =+&τ (16)



11

Komentar:

• Obravnava dinamike merilnega pretvornika za tlak v primeru, da je prenosni medij stisljiv (npr. zrak) je veliko bolj zahtevna od prikazane v tem zapisu.

• Zgornja ali mejna lastna frekvenca merilnega pretvornika mora biti

zmeraj nižja od resonančne lastne frekvence povezovalne priključne cevi.

• Povezovalno cev lahko ponazorimo kot ¼ valovni resonator, ki ima

lastno resonančno frekvenco definirano po izrazu:

L

cf zr,zvokar 4

= (17)



12

DINAMIKA KAPLJEVINSKEGA U - MANOMETRA

• Obravnavamo dinamiko U – manometra, ki kot zaporno tekočino ima nestisljivo kapljevino (npr. vodo).

• Kapljevinski merilniki tlaka so lahko etalonski ali referenčni merilniki

tlaka.

• Temeljni matematični model U-manometra za primer stacionarnega tlačnega stanja je v osnovi enostaven:

( )mzkghppp ρρ −=−=∆ 21 (1)

• Poenostavljen prikaz manometra ponazarja spodnja slika.



13

p1(t) > p2(t)

2R

mρ zkm ρρ ⟨⟨⟨

0 2x 0 L

zkρ Zaporna kapljevina

Kapljevinski U-manometer



14

• Zaradi časovno odvisno delujočih tlakov p1(t) in p2(t) oz. tlačne razlike ∆p se steber zaporne kapljevine premika znotraj U-cevi. Za zaporno kapljevino lahko zapišemo enačbo ravnovesja dinamičnih sil:

vzttrgp FFFF ++=∆ (2)

• F∆p – sila kot posledica tlačne razlike, ∆p = p1-p2

( )212 ppRF p −=∆ π (3)

• Fg – sila gravitacije kot posledica razlike višine stebra zaporne

kapljevine,

xgRF zkg 22 ρπ= (4)

pri tem je x premik stebra zaporne kapljevine glede na ravnovesno tlačno stanje p1=p2.



15

• Pri določanju sile Ftr kot posledice viskoznega trenja med zaporno

kapljevino in steno cevi ter Fvzt vztrajnostne sile kot posledice gibanja zaporne kapljevine znotraj cevi upoštevajmo laminarne tokovne razmere pri gibanju zaporne kapljevine.

• Premer cevi je 2R celotna efektivna dolžina stebra zaporne kapljevina pa

znaša L.

• Upoštevajoč Newtonov zakon, za popis gibanja zaporne kapljevine v cevi U-manometra dobimo znan izraz za parabolični hitrostni profil zaporne kapljevine:

( )

−=2

1R

rvrv osi (5)



16

• Srednja hitrost zaporne kapljevine je podana z izrazom:

( )2

21

02

osiR

sr

vdrrrv

Rv =⋅∫= π

π (6)

• Da bi določili kinetično energijo, ki jo ima steber zaporne kapljevine pri

laminarnem gibanju po cevi U-manometra določimo maso zaporne kapljevine v elementarnem delčku cevi dolžine L:

drLrdm zk πρ 2= (7)

• Kinetična energija elementarnega dela zaporne kapljevine je:

( ) drrLR

rvdmrvdE osizkk

2222 1

21

−== ρπ (8)



17

• Z integracijo izraza (8) ter upoštevanjem izraza (6) dobimo celotno kinetično energijo stebra zaporne kapljevine:

234

6

22

0

srosi

R

kk

vmv

mdEE ==∫= (9)

• Pri tem je celotna masa zaporne kapljevine:

LRm zk2πρ= (10)

• Iz izraza (9) je razvidno, da se pri laminarnem tokovnem režimu steber

zaporne kapljevine giblje s srednjo hitrostjo vsr pri čemer je efektivna masa zaporne kapljevine mef večja od resnične mase za 4/3 krat.



18

• Torej izraz (9) za kinetično energijo lahko sedaj zapišemo v običajni obliki:

2

2sref

k

vmE = (11)

• Na osnovi tega določimo sedaj izraz za vztrajnostno silo, ki jo generira

zaporna kapljevina pri gibanju za premik x :

xLRvmF ztsrvzt&&&

2

34

ρπ== (12)

pri tem x&& pomeni pospešek stebra zaporne kapljevine.

• Silo trenja, ki jo generira zaporna kapljevina pri gibanju določimo po

izrazu:



19

( )dr

rdvAF zk,plzktr η−= (13)

pri tem je: η zk - dinamična viskoznost zaporne kapljevine,

Apl,zk - površina zunanjega plašča stebra zaporne kapljevine,

ki znaša:

LRA zk,pl π2= (14)

• Z upoštevanjem izraza (5) v enačbo (13) dobimo izraz za silo trenja:

xLvLF zkosizktr&&ηπηπ 84 == (15)

• Če uvrstimo dobljene izraze za posamezne dinamične sile v ravnotežno

enačbo dinamičnih sil (2) lahko po preureditvi zapišemo diferencialno enačbo za popis gibanja zaporne kapljevine v cevi U-manometra:



20

L

ppxxx

zkLL ρ

ωωξ 212

34

2−

=++ &&& (16)

• Lastno frekvenco kapljevinskega U-manometra določimo po izrazu:

L

gL 2

3=ω (17)

• Dušilni razmernik pa po enačbi:

g

L

Rzk

zk 62ρ

ηξ = (18)



21

Sklepne ugotovitve:

• Določeni so izrazi za popis dinamičnih značilnic kapljevinskega U – manometra, ki je obravnavan kot dinamski sistem 2. reda.

• Na temelju izračuna, upoštevajoč izraz (18) je mogoče ugotoviti, da kapljevinski manometri imajo zelo majhno vrednost dušilnega razmernika, kar povzroča dušenje velikega števila pridušenih nihanj ob hitrih spremembah tlaka.

• Npr. pri živosrebrnem U-manometru, ki ima polmer merilne cevke R=5 mm

in dolžino stebra zaporne kapljevine L=1000 mm znaša dušilni razmernik cca. ξ =0,01.

• Torej, kapljevinski merilniki tlaka, ki so napolnjeni z zaporno kapljevino so

lahko namenjeni predvsem za merjenje statičnih in ne dinamičnih tlačnih sprememb.

microsoft word - dinamika merilnega pretvornika za tlak

Documents

pri tem je

upotevanjem izrazov

torej velja

torej

manometra

izrazom

konst