Mini-curso de Matemática

FUNÇÃO EXPONENCIAL

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Mini-curso de Matemática

Função Exponencial ex

D = IR

y = ex

Zeros: não tem

D’ = IR+

y = ex é injectiva

1

tem função inversa

x

xelim0

xelim

x

y = ex é sempre positiva em IR

y = ex é contínua em IR

Mini-curso de Matemática

1

y = lnx

lnx = y x = ey

y = x

Gráficos de y = ex e da sua inversa, y = lnx.

y = ex

1

Simétricos relativamente à recta y = x.

Mini-curso de Matemática

lnxlimx

Função Logarítmica lnx

D = IR+

1

y = lnx Zeros: x = 1

D’ = IR

y = lnx é injectiva

lnxlim

0x

y = lnx é contínua em IR+

y = lnx é positiva para x ]1, +[

y = lnx é negativa para x ]0, 1[

Mini-curso de Matemática

Determine o domínio e o contradomínio da função h.

21

x:IRx

1 -2x:IRx

1,2

Considere a função h(x) = ln(-2x + 1).

0 1 -2x :IRxhD

Domínio Contradomínio

21

x

1-2x-

012x-

D’h= IR

ln(-2x+1) > -

h(x) = ln(-2x + 1)

1 .hD

Calcule, se possível, h(1).

Não é possível determinar h(1) pois

Calcule x tal que h(x) = 2.

ln 2 1 2x 22 1x e

22 1x e

2 1

2

ex

Mini-curso de Matemática

Averigúe se a função h é injectiva e represente-a graficamente.

h(x) = ln(-2x + 1)

1 2 1 2ln 2 1 ln 2 1h x h x x x

Sejam x1 e x2 dois elementos quaisquer do Df ,

1 22 1 2 1x x

1 22 2x x

1 2x x

Mini-curso de Matemática

h é injectiva

Caracterize a função inversa de h.

h(x) = ln(-2x + 1)

21

,-DD h'h1-

Expressão analítica de h-1:

ln 2 1x y 2 1 yx e

2 1yx e

1

2

yex

Mini-curso de Matemática

IRDD 'hh 1

21e

x

21

,IR:h

x

1

Domínio de h-1: Contradomínio de h-1:

h(x) = ln(-2x + 1) e 2

1e(x)h

x1

Mini-curso de Matemática

y = ln(-2x+1)y = x

Verifique, graficamente, que h e h-1 são funções inversas.

21e

yx

Mini-curso de Matemática

Suponha que no bar dos alunos da ESTV a temperatura ambiente é

constante. A temperatura, em graus centígrados, de um chocolate

quente, t minutos após ter sido colocado na chávena, é dada por

f(t) = 20 + 50e-0,04t.

Determine a temperatura do chocolate quente no instante em que é

colocado na chávena.

f(0) = 20 + 50e0 = 70.

A temperatura inicial do chocolate quente é de 70º.

Para t = 0,

Mini-curso de Matemática

f(t) = 20 + 50e-0,04t

tflimt

Com o decorrer do tempo, a temperatura do chocolate quente tende a igualar

a temperatura ambiente. Indique, justificando, qual é a temperatura ambiente.

A temperatura ambiente é de 20º.

0,04t50e20limt

= 20 + 50x0 = 20 0

xelim

x

Mini-curso de Matemática

f(t) = 20 + 50e-0,04t

Quanto tempo decorre entre o instante em que o chocolate quente é

colocado na chávena e o instante em que a sua temperatura atinge 65 graus

centigrados? Apresente o resultado em minutos e segundos.

20 + 50e-0,04t = 655045

e 0,04t

0,04t109

ln

0,04109

lnt

632, t

1m 60 segundos

0,63m x segundos

x 37,8 segundos

Decorreram 2 minutos e 37,8 segundos.

lnx = y x = ey