MINIMISASI AUTOMATED GUIDED VEHICLE PADA JARINGAN

TRANSPORTASI DI TERMINAL KONTAINER SEMI OTOMATIS

MENGGUNAKAN METODE NODE SPLITTING

oleh

Fahrizal

M.0103056

SKRIPSI

Ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

Memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2009

BAB III

METODE PENULISAN

Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi literatur, yaitu

mengumpulkan referensi berupa jurnal dan buku-buku yang menyajikan beberapa

definisi dan teori-teori mengenai pembentukan jaringan transportasi dan cara

penyelesaian dalam masalah minimisasi. Langkah operasional yang akan ditempuh guna

menyelesaikan masalah berdasarkan kerangka pemikiran adalah

1. memberikan gambaran proses pengangkutan kontainer yang dilakukan oleh AGV pada

terminal kontainer,

2. mengidentifikasi variabel dan hal-hal yang mempengaruhi proses pengangkutan

kontainer,

3. menterjemahkan gambaran proses pengangkutan kontainer ke dalam bahasa

matematis,

4. menentukan pekerjaan dan yang berhubungan , dengan adalah

banyaknya pekerjaan),

5. berdasarkan langkah 4, dibangun graf berarah dengan

dan ,

6. membentuk jaringan dari graf , adalah ditambah sebuah titik

sumber dan sebuah titik target , dan adalah ditambah garis dan

berkapasitas satu dengan ,

7. mengubah jaringan menjadi jaringan dengan cara transformasi membagi sebuah

titik [1] yang telah diterangkan pada 2.1.5,

8. menggunakan algoritma arus minimum Vis et al [5] yang telah diterangkan pada 2.1.6

untuk memperoleh nilai minimum ,

9. membuat program aplikasi umum dari algoritma arus minimum Vis et al [5] dengan

menggunakan bahasa pemograman matlab.

BAB IV PEMBAHASAN

Menurut Vis et al [5], permasalahan minimisasi jumlah AGV dapat diselesaikan

menggunakan algoritma arus minimum. Sebelum menggunakan algoritma arus minimum, terlebih dahulu permasalahan dimodelkan dalam bentuk jaringan berarah.

4.1. Model Permasalahan

Permasalahan dimodelkan dalam bentuk jaringan berarah. Sebagaimana dijelaskan pada 2.1.4, jaringan berarah dibentuk dari suatu graf berarah. Berdasarkan 2.1.2, untuk mendapatkan hubungan antar pekerjaan yang disajikan dalam bentuk sebuah graf berarah, diberikan gambaran proses pekerjaan di terminal kontainer semi otomatis.

4.1.1. Proses Pekerjaan

Proses pekerjaan dapat dijelaskan dengan proses bongkar atau muat kontainer. Proses bongkar kontainer ditunjukkan pada Gambar 4.1. Proses tersebut berawal ketika crane asal berupa QC yang bertugas mengambil dan memindahkan sebuah kontainer dari atas kapal (a) ke atas AGV tak bermuatan atau AGV kosong di titik awal (b) siap melaksanakan tugasnya.

Kapal

Crane Asal

AGV

Crane Tujuan

Tumpukan

a b c d

Gambar 4.1 Proses bongkar kontainer

Sebuah AGV hanya dapat mengangkut sebuah kontainer. Ketika kontainer sudah

berada di atas AGV, kontainer langsung dibawa AGV ke titik kedatangan (c). Setibanya di titik kedatangan, kontainer di atas AGV diangkat oleh crane tujuan berupa ASC untuk dipindahkan ke blok tumpukan (d) dan disimpan dalam tumpukan selama periode tertentu. Setelah kontainer berhasil ditempatkan pada posisi yang diinginkan, crane tujuan kembali ke titik kedatangan untuk mengangkat kontainer dari pekerjaan lain yang telah datang.

Terdapat kesamaan dalam proses bongkar dan muat kontainer, yaitu mengangkut kontainer dari crane asal ke crane tujuan. Namun ada beberapa perbedaan dalam proses muat kontainer, yakni (1) kontainer diambil dari tumpukan kontainer dan dibawa untuk ditempatkan di atas kapal, (2) ASC berfungsi sebagai crane asal, dan (3) QC berfungsi sebagai crane tujuan.

Keseluruhan proses di atas menunjukkan bahwa setiap pekerjaan mempunyai karakteristik keterangan waktu. Nilai karakteristik setiap pekerjaan menimbulkan hubungan antar pekerjaan sebagai dasar dibentuknya sebuah graf berarah.

4.1.2. Karakteristik Setiap Pekerjaan

Sebelum kapal merapat di terminal kontainer, jumlah kontainer yang akan disimpan di atas kapal atau blok tumpukan harus diketahui terlebih dahulu. Hal ini berarti terdapat N pekerjaan yang harus diselesaikan.

Setiap pekerjaan ( ) memiliki beberapa karakteristik yang berbeda. Berikut karakteristik keterangan waktu yang nilainya diketahui sebelum semua pekerjaan dilaksanakan.

1. Waktu pada saat perjalanan AGV bermuatan di titik awal pekerjaan dimulai atau

waktu mulai pekerjaan ( ),

2. Lama waktu yang dibutuhkan AGV bermuatan untuk bergerak dari crane asal ke

crane tujuan pekerjaan atau waktu perjalanan pekerjaan ( ),

3. Lama waktu yang dibutuhkan oleh crane tujuan untuk mengangkut kontainer

pekerjaan dari titik kedatangan ke atas sebuah kapal atau tumpukan dan kembali lagi

ke titik kedatangannya. Nilai ini disebut waktu pengkondisian pekerjaan ( ).

Dari ketiga karakteristik di atas, diperoleh waktu kedatangan pekerjaan ( ) dan

waktu terkirim pekerjaan ( ). Waktu kedatangan pekerjaan adalah waktu tiba AGV

bermuatan di titik kedatangan pekerjaan . Waktu ini bergantung pada waktu mulai

pekerjaan dan waktu perjalanan pekerjaan , sehingga . (4.1)

Waktu terkirim pekerjaan adalah waktu pada saat kontainer diangkat dari atas AGV oleh crane tujuan. Kontainer di atas AGV dapat diangkat langsung oleh crane tujuan pada saat AGV bermuatan tiba di titik kedatangan atau apabila tidak ada kontainer lain yang sedang disusun oleh crane tujuan. Apabila terdapat kontainer ( adalah

pekerjaan sebelumnya) sedang disusun oleh crane tujuan, kontainer harus menunggu sampai crane tujuan kembali lagi ke titik kedatangan atau waktu terkirim pekerjaan ditambah waktu pengkondisian pekerjaan . Berdasarkan keterangan tersebut, bergantung pada atau , sehingga

= max , . (4.2)

Pekerjaan datang di crane tujuan pekerjaan lebih awal dari pada pekerjaan

( ). Hal ini disebabkan karena crane tujuan pekerjaan dan adalah sama. Sehingga, pekerjaan dilaksanakan crane tujuan terlebih dahulu ( ). Jika waktu selesai pekerjaan , yakni waktu terkirim ditambah waktu pengkondisian dari pekerjaan

, lebih kecil atau sama dengan waktu kedatangan pekerjaan di crane tujuan tersebut, maka . Sebaliknya, jika waktu selesai pekerjaan lebih lama, AGV bermuatan

pekerjaan harus menunggu sampai crane tujuan menyelesaikan pekerjaan , sehingga .

Apabila kontainer telah diangkat dari AGV, maka AGV kosong dapat

mengerjakan pekerjaan selanjutnya (pekerjaan ). Lama waktu yang dibutuhkan AGV

kosong untuk berpindah dari crane tujuan pekerjaan ke crane asal pekerjaan disebut

waktu berpindah pekerjaan ke ( ). Apabila crane tujuan pekerjaan sama dengan

crane asal pekerjaan maka nilai sama dengan nol. Waktu ini juga merupakan salah satu karakteristik yang diketahui nilainya sebelum semua pekerjaan dimulai.

Syarat sebuah AGV dapat mengerjakan pekerjaan setelah pekerjaan selesai

adalah waktu mulai pekerjaan lebih besar atau sama dengan jumlah dari waktu terkirim

pekerjaan dan waktu berpindah pekerjaan ke , sehingga

. (4.3) Dengan syarat pada persamaan (4.3), diperoleh hubungan antar pekerjaan yang mendasari terbentuknya suatu jaringan berarah.

4.1.3. Model Jaringan Berarah

Menurut Johnsonbaugh [3], graf dibentuk dari himpunan titik-titik ( ) dan garis-

garis ( ) yang terlihat seperti kota dan jalan pada sebuah peta. Garis yang

menghubungkan titik dan titik dinotasikan dengan . Berdasarkan keterangan tersebut, setiap pekerjaan dalam permasalahan minimisasi jumlah AGV dilambangkan

sebagai sebuah titik. Apabila persamaan (4.3) dipenuhi, titik dihubungkan dengan titik

oleh satu garis berarah dengan kapasitas satu yang mengindikasikan bahwa

sebuah AGV mempunyai kemungkinan untuk mengerjakan pekerjaan setelah

pekerjaan selesai dan pekerjaan tidak dapat dikerjakan setelah pekerjaan selesai.

Terbentuk graf berarah dengan dan

.

Selanjutnya graf berarah menurut Grimaldi [2] dapat disajikan dalam bentuk

jaringan berarah dengan menambahkan sebuah titik sumber dan sebuah titik target

ke dalam graf berarah . Kedua titik tersebut dihubungkan dengan semua titik

anggota , sehingga terbentuklah garis dan dengan kapasitas satu. Jaringan

dinyatakan dengan dan

. Alasan jaringan berarah dibentuk adalah untuk

mencari jumlah arus maksimum dari ke yang akan digunakan dalam algoritma arus minimum Vis et al [5].

Jaringan berarah yang dibentuk merupakan langkah awal untuk menyelesaikan permasalahan minimisasi jumlah AGV pada terminal kontainer semi otomatis. Untuk

menyelesaikan permasalahan, jaringan ditransformasikan menjadi dengan metoda node splitting seperti yang telah diterangkan oleh Ahuja et al [1] pada bagian 2.1.5.

Setiap titik (kecuali titik dan ) dibagi menjadi dua buah titik (asal) dan (tujuan), kemudian tambahkan garis . Sehingga adalah

dan , pekerjaan dan yang terhubung

. Nilai batas bawah untuk

setiap garis adalah 1 untuk . Sebuah lintasan berarah dalam jaringan ini mengindikasikan urutan pekerjaan yang

dilaksanakan oleh sebuah AGV. Tujuan yang ingin diperoleh dalam jaringan ini adalah menentukan jumlah minimum dari lintasan berarah karena lintasan berarah menunjukkan jumlah minimum dari AGV yang dibutuhkan.

Syarat lintasan berarah dalam jaringan ini adalah

1. sebuah lintasan harus melewati satu titik selain dan ,

2. jika suatu titik telah dilewati oleh suatu lintasan maka lintasan lain tidak boleh

melewati titik tersebut, dan

3. semua titik harus dilewati oleh lintasan.

Jumlah lintasan berarah dari ke dalam dinotasikan sebagai . Apabila

terdapat pekerjaan yang harus diselesaikan dan satu pekerjaan diselesaikan oleh satu

AGV, diperoleh nilai sama dengan . Oleh sebab itu, tujuan dari pembuatan

adalah meminimumkan dengan kendala

dan . Model di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan

algoritma arus minimum.

4.2. Algoritma Arus Minimum

Untuk menyelesaikan permasalahan , Vis et al [5] mengenalkan sebuah algoritma arus minimum seperti yang disajikan dalam tinjauan pustaka. Ide di balik algoritma arus minimum ini adalah nilai arus fisibel pada langkah 1 dapat dikurangi menjadi arus minimal. Arus maksimum digunakan sebagai faktor pengurang arus fisibel sehingga arus fisibel tersebut menjadi arus minimum.

Setiap garis mundur diantara dua titik dalam arus maksimum merepresentasikan bahwa dua pekerjaan diselesaikan oleh AGV yang sama. Hal ini berarti bahwa nilai arus maksimum mengindikasikan jumlah penghematan AGV dibandingkan nilai arus fisibel pada langkah 1. Dengan kata lain, arus maksimum mengindikasikan garis

yang dihilangkan dan ditambahkan pada arus fisibel , dengan , . Garis dihilangkan dari arus fisibel apabila dalam arus maksimum terdapat garis atau garis maju. Sebaliknya garis ditambahkan dalam arus fisibel apabila dalam arus maksimum terdapat garis atau garis mundur. Arus maksimum mengindikasikan banyaknya nilai arus fisibel yang harus dikurangi sampai menjadi arus minimum.

4.3. Contoh Penyelesaian Permasalahan