modelagem visco-hiperelÁstica e de efeito mullins de...

MODELAGEM VISCO-HIPERELÁSTICA E DE EFEITO MULLINS DE POLIURETANO

PARA APLICAÇÃO EM ENRIJECEDORES À FLEXÃO

Bruno Pinho dos Reis

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-graduação em Engenharia

Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de Mestre em

Engenharia Mecânica.

Orientadores: Lavinia Maria Sanabio Alves

Borges

Daniel Alves Castello

Rio de Janeiro

Junho de 2015

ii




DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO

LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE)

DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM

CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.

Examinada por:

________________________________________________ Prof. Lavinia Maria Sanabio Alves Borges, D. Sc.

________________________________________________ Prof. Daniel Alves Castello, D. Sc.

________________________________________________ Prof. Marysilvia Ferreira da Costa, D. Sc.

________________________________________________ Prof. Carlos Magluta, D. Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

JUNHO DE 2015

iii

Reis, Bruno Pinho dos

Modelagem Visco-Hiperelástica e de Efeito Mullins de

Poliuretano para Aplicação em Enrijecedores à Flexão /

Bruno Pinho dos Reis. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE,

2015.

XV, 170 p.: il.; 29,7 cm.

Orientadores: Lavinia Maria Sanabio Alves Borges

Daniel Alves Castelo

Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa

de Engenharia Mecânica, 2015.

Referências Bibliográficas: p. 167-170

1. Elastômeros. 2. Visco-hiperelasticidade. 3. Efeito

Mullins. I. Borges, Lavinia Maria Sanabio Alves et al. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE,

Programa de Engenharia Mecânica. III. Título.

iv

À minha esposa Laís

Aos meus pais Maria Cristina e Yvan

v

AGRADECIMENTOS

Aos professores da COPPE pelos conhecimentos transmitidos ao longo do

meu curso de mestrado, em particular à minha orientadora Lavinia Maria Sanabio

Alves Borges por ter me guiado na direção correta para o desenvolvimento deste

trabalho.

À Petrobras, por reconhecer a importância do desenvolvimento intelectual de

seus funcionários e permitir a dedicação em tempo parcial para a realização deste

estudo. Em particular, agradeço ao Arthur Curty Saad, gerente de Tecnologia de Dutos

e Risers, por compreender a necessidade de dedicação de algumas horas semanais

ao mestrado. Ao Ricardo Wagner Capllonch, por me auxiliar na escolha de um tema

relevante para o meu mestrado. Ao Anderson Barata Custódio, pelo auxílio na

fundamentação teórica do estudo de materiais elastoméricos e sua aplicação em

Enrijecedores à Flexão.

Ao Laboratório de Ensaios Mecânicos do Instituto de Macromoléculas (IMA)

da Universidade Federal do Rio de Janeiro, em particular ao professor Victor Jayme

Roget Rodriguez Pita, por disponibilizar o equipamento necessário para a

caracterização experimental do material de estudo.

À minha esposa Laís Piazza, ao companheirismo e compreensão

incondicional de minha dedicação, e principalmente da minha ausência, durante a

realização deste trabalho, particularmente na etapa final de conclusão.

Aos meus pais Maria Cristina Pinho dos Reis e Yvan Pacheco dos Reis, por

toda dedicação e apoio ao longo de toda minha vida.

vi

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)




Junho/2015

Orientadores: Lavinia Maria Sanabio Alves Borges


Programa: Engenharia Mecânica

Em um típico campo de produção de petróleo offshore, é necessário interligar

os poços de petróleo à Unidade Estacionária de Produção por meio de dutos

submarinos. A tecnologia de duto flexível é amplamente utilizada no riser, trecho de

duto suspenso entre a plataforma e o leito marinho, e como há uma grande

descontinuidade de rigidez entre o riser flexível e a plataforma, utiliza-se Enrijecedores

à Flexão (Bend Stiffeners) para prover uma transição gradual de rigidez entre estas

estruturas.

Os Enrijecedores à Flexão são normalmente compostos por cones

elastoméricos de poliuretano, material de alto desempenho que apresenta

comportamento mecânico viscoelástico, sujeito a perda de rigidez e deformações

residuais sob solicitações cíclicas.

Aliando o complexo comportamento mecânico do material com a dinâmica

característica dos risers, é necessário conhecer detalhadamente a resposta do

elastômero de poliuretano para que um Enrijecedor à Flexão seja dimensionado de

maneira adequada.

Com este objetivo, foi desenvolvido um modelo visco-hiperelástico e de efeito

Mullins, de forma a predizer o estado de tensão e deformação do elastômero de

poliuretano sob carregamentos cíclicos em diferentes níveis de deformação e taxas de

carregamento.

vii

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

VISCO-HYPERELASTIC MODEL WITH MULLINS EFFECT OF POLYURETHANE

FOR BEND STIFFENERS


June/2015

Advisors: Lavinia Maria Sanabio Alves


Department: Mechanical Engineering

On a typical offshore oilfield, it is necessary to connect the subsea equipment

to the production facilities at the floating production units by subsea pipelines. Flexible

pipe technology is widely used for the riser, the hanged part of a subsea pipeline

between the platform and the seabed. The flexible riser is a structure with low relative

stiffness, while the connecting equipment on the platform is a stiffer component. In

order to avoid damage on the riser in vicinity of the connection, Bend Stiffeners are

used to provide a continuous stiffness transition between these structures.

The Bend Stiffener typical design consists on a polyurethane elastomer cone,

a high performance material with viscoelastic mechanical behavior, which can undergo

to stress softening and residual strains under cyclic loads.

Combining the complex material mechanical behavior with the riser dynamic

response, it is needed to understand the stress-strain behavior of the polyurethane

elastomer to properly design a Bend Stiffener.

Aiming this objective, this study presents visco-hyperelastic model with Mullins

effect in order to predict the polyurethane elastomer mechanical behavior under cyclic

loads for different strain ratios and strain rates.

viii

Sumário

Lista de Figuras ............................................................................................................ x

Lista de Tabelas ......................................................................................................... xv

1. Introdução .............................................................................................................. 1

1.1. Importância do petróleo na matriz energética global e brasileira ..................... 1

1.2. Revisão Bibliográfica ...................................................................................... 4

1.3. Motivação de estudo ....................................................................................... 7

2. Importância do Enrijecedor à Flexão em um campo de produção offshore ............ 8

2.1. A tecnologia riser ............................................................................................ 8

2.1.1. Estrutura típica de um riser flexível ........................................................ 10

2.1.2. Acessórios do riser flexível .................................................................... 12

2.1.3. Sistemas de suportação de risers flexíveis e sua influência no projeto do

Enrijecedor à Flexão ............................................................................................ 13

2.2. Dimensionamento de um Enrijecedor à Flexão ............................................. 15

3. Comportamento mecânico de materiais elastoméricos ........................................ 18

3.1. Conceitos básicos de polímeros e comportamento de elastômeros .............. 18

3.1.1. Elastômero de poliuretano ..................................................................... 20

3.2. Equações constitutivas hiperelásticas........................................................... 26

3.2.1. Tratamento termodinâmico estatístico ................................................... 28

3.2.1.1. Modelo Neo Hookeano por termodinâmica estatística. ...................... 35

3.2.1.2. Modelo de Arruda-Boyce .................................................................... 47

3.2.2. Tratamento fenomenológico .................................................................. 51

3.2.2.1. Modelo Neo Hookeano por tratamento fenomenológico. .................... 55

3.2.2.2. Modelo de Mooney-Rivlin ................................................................... 56

3.2.2.3. Modelo de Ogden............................................................................... 56

3.2.2.4. Modelo de Yeoh ................................................................................. 56

3.2.2.5. Modelo Polinomial .............................................................................. 57

3.2.2.6. Modelo Polinomial Reduzido .............................................................. 57

3.2.3. Comentários sobre abordagens para obtenção de equações constitutivas

hiperelásticas ....................................................................................................... 57

3.3. Comportamento viscoelástico ....................................................................... 58

3.3.1. Viscoelasticidade linear ......................................................................... 59

3.3.1.1. Modelo de Kelvin-Voigt ...................................................................... 60

3.3.1.2. Modelo de Maxwell ............................................................................ 61

ix

3.3.1.3. Modelo Sólido Padrão ........................................................................ 63

3.3.2. Modelo de Bergstrom-Boyce – viscoelasticidade não-linear aplicada a

elastômeros ......................................................................................................... 67

3.4. Efeito Mullins ................................................................................................ 74

3.4.1. Abordagens para obtenção de modelos constitutivos de efeito Mullins . 80

3.4.2. Modelo de Ogden-Roxburgh de perda de rigidez por efeito Mullins ....... 80

3.4.3. Modelos de deformação residual por efeito Mullins ............................... 86

3.4.3.1. Plasticidade isotrópica com encruamento linear ................................. 87

3.4.3.2. Modelo de Dorfmann-Ogden .............................................................. 89

4. Caracterização experimental de elastômero de poliuretano para aplicação em

Enrijecedores à Flexão ............................................................................................... 93

4.1. Material obtido para os ensaios .................................................................... 93

4.2. Ensaios de tração monotônica ...................................................................... 95

4.3. Ensaios cíclicos .......................................................................................... 100

4.4. Investigação da presença de tensão de escoamento ................................. 111

5. Identificação de parâmetros para modelagem de elastômero de poliuretano ..... 113

5.1. Parâmetros de modelo hiperelástico ........................................................... 113

5.2. Parâmetros de modelo viscoelástico não-linear .......................................... 124

5.3. Parâmetros de modelo de efeito Mullins ..................................................... 132

5.4. Verificação do comportamento do modelo obtido em solicitações cíclicas .. 139

6. Modelo visco-hiperelástico proposto para modelagem de elastômero de

poliuretano ................................................................................................................ 143

7. Exemplos de aplicação do modelo proposto ...................................................... 153

7.1. Efeito da natureza da solicitação no comportamento do elastômero de

poliuretano ............................................................................................................ 153

7.2. Aplicação do modelo em resultados experimentais de variedade distinta de

elastômero de poliuretano ..................................................................................... 156

8. Considerações finais ......................................................................................... 165

Referências Bibliográficas ........................................................................................ 167

x

Lista de Figuras

Figura 1.1 – Recursos energéticos primários no mundo [1] ......................................... 1

Figura 1.2 – Evolução do consumo final energético no Brasil [2] .................................. 2

Figura 1.3 – Oferta x demanda mundial de petróleo 2013-2030 [3] ............................... 2

Figura 1.4 – Enrijecedor à Flexão ou Bend Stiffener [4] ................................................ 3

Figura 1.5 – Regiões críticas de um Enrijecedor à Flexão ............................................ 5

Figura 1.6 – Ensaio de fadiga considerando região característica de falha (contato com

o toróide). Ensaio (esquerda) e formato do corpo de prova (direita) ............................. 5

Figura 2.1 – Esforços dinâmicos típicos em um riser .................................................... 9

Figura 2.2 – Configuração Lazy-Wave de um riser ....................................................... 9

Figura 2.3 – Camadas típicas de um riser flexível ....................................................... 11

Figura 2.4 – Conector de extremidade ........................................................................ 12

Figura 2.5 – Foto de Enrijecedor à Flexão .................................................................. 12

Figura 2.6 – Suporte Castelo de riser flexível – vista lateral e detalhe de fixação ....... 13

Figura 2.7 – Suporte Cônico de riser flexível – vista em corte e detalhe de fixação .... 14

Figura 2.8 – Sistema de Boca de Sino para suportação de riser flexível ..................... 15

Figura 2.9 – Esforços atuantes em um Enrijecedor à Flexão ...................................... 16

Figura 3.1 – Reação de polimerização do polietileno [4] ............................................. 19

Figura 3.2 – Vulcanização da borracha natural [21] .................................................... 20

Figura 3.3 – Estrutura de repetição do elastômero de poliuretano .............................. 21

Figura 3.4 – Estrutura de elastômero de poliuretano .................................................. 22

Figura 3.5 – Comparação do processamento de borracha natural e poliuretano

termoplástico .............................................................................................................. 23

Figura 3.6 – Comportamento do poliuretano termoplástico em função da temperatura

[21] ............................................................................................................................. 24

Figura 3.7 – Escala de dureza Shore – Faixas de dureza de aplicação do elastômero

de poliuretano ............................................................................................................. 26

Figura 3.8 – Desenho esquemático de conformações possíveis de cadeia polimérica, a

depender de sua distância entre extremidades ........................................................... 36

Figura 3.9 – Distância entre extremidades de uma cadeia polimérica livre ................. 37

Figura 3.10 – Modelo de célula unitária com oito cadeias poliméricas. Condição de

elastômero não deformado (esquerda) e deformado (direita) ..................................... 49

Figura 3.11 – Representação gráfica de um elemento mecânico elástico (esquerda) e

de um elemento mecânico viscoso (direita) ................................................................ 60

Figura 3.12 – Representação gráfica do modelo viscoelástico linear de Kelvin-Voigt . 60

xi

Figura 3.13 – Representação gráfica do modelo viscoelástico linear de Maxwell ....... 61

Figura 3.14 – Representação gráfica do modelo viscoelástico linear de Maxwell ....... 63

Figura 3.15 – Representação unidimensional do modelo de Bergstrom-Boyce .......... 69

Figura 3.16 – Decomposição multiplicativa de deformação do modelo de Bergstrom-

Boyce ......................................................................................................................... 70

Figura 3.17 – Modelo de cadeia polimérica com uma cadeia livre .............................. 73

Figura 3.18 – Curva característica do efeito Mullins .................................................... 76

Figura 3.19 – Teoria de origem física de efeito Mullins por ruptura de ligações [39] .. 77

Figura 3.20 – Teoria de origem física de efeito Mullins por ruptura de carga ou domínio

cristalino [39] ............................................................................................................. 78

Figura 3.21 – Teoria de origem física de efeito Mullins por eliminação de interferência

física da rede polimérica [39] ...................................................................................... 78

Figura 3.22 – Teoria de origem física de efeito Mullins devido a rotação do domínio

cristalino ..................................................................................................................... 79

Figura 3.23 – Comportamento da variável de dano “η1” em função da energia de

deformação do elastômero ......................................................................................... 85

Figura 3.24 – Comportamento característico do modelo de Ogden-Roxburgh ............ 86

Figura 3.25 – Representação unidimensional do modelo de plasticidade para

deformação residual por efeito Mullins [45] ................................................................. 87

Figura 3.26 – Comportamento da variável de dano “η2” em função da energia de

deformação do elastômero ......................................................................................... 92

Figura 4.1 – Placa de elastômero de poliuretano ........................................................ 93

Figura 4.2 – Corpo de prova obtido a partir de cunhagem da placa ............................ 94

Figura 4.3 – Identificação de corpos de prova da placa II ........................................... 94

Figura 4.4 – Ensaio de tração monotônica .................................................................. 95

Figura 4.5 – Resultados individuais de ensaio de tração monotônica. Velocidade de

500mm/min ................................................................................................................. 96

Figura 4.6 – Resultados médios de ensaio de tração monotônica. Velocidade de

500mm/min ................................................................................................................. 97

Figura 4.7 – Ensaio de tração instantes antes da ruptura do material ......................... 98

Figura 4.8 – Comparação de corpo de prova rompido com outro não testado ............ 98


150mm/min ................................................................................................................. 99


10mm/min ................................................................................................................. 100

Figura 4.11 – Resultados obtidos dos ensaios de tração monotônica ....................... 100

xii

Figura 4.12 – Programação de controle de deformação dos ensaios cíclicos –

deformação progressiva ........................................................................................... 101

Figura 4.13 – Resultados individuais de ensaio cíclico – 10mm/min ......................... 102

Figura 4.14 – Situação ao fim de ensaio cíclico – flambagem evidenciando a

ocorrência de deformações residuais no corpo de prova .......................................... 103

Figura 4.15 – Metodologia para determinação de deformações residuais – corpo de

prova II-1 do ensaio cíclico em 10mm/min ................................................................ 104

Figura 4.16 – Resultados individuais de ensaio cíclico – 150mm/min ....................... 105

Figura 4.17 – Resultados individuais de ensaio cíclico – 500mm/min ....................... 105

Figura 4.18 – Resultados obtidos dos ensaios cíclicos ............................................. 106

Figura 4.19 – Influência da deformação máxima e da tensão máxima na deformação

residual do elastômero de poliuretano ...................................................................... 107

Figura 4.20 – Comparação de resultados obtidos dos ensaios de tração e cíclicos .. 108

Figura 4.21 – Curvas de carregamento dos ensaios cíclicos .................................... 108

Figura 4.22 – Curvas normalizadas de carregamento dos ensaios cíclicos .............. 109

Figura 4.23 – Programação de controle de deformação dos ensaios cíclicos –

deformação máxima cíclica....................................................................................... 110

Figura 4.24 – Resultados individuais de ensaio cíclico com deformação máxima cíclica

– 150mm/min ............................................................................................................ 110

Figura 4.25 – Programação de controle de deformação para verificação de tensão de

escoamento .............................................................................................................. 111

Figura 4.26 – Resultados individuais de ensaio cíclico para verificação de tensão de

escoamento – 10mm/min .......................................................................................... 112

Figura 5.1 – Ajuste de equações constitutivas hiperelásticas – Modelos Neo

Hookeano, Mooney-Rivlin, Ogden e de Yeoh ........................................................... 118

Figura 5.2 – Ajuste de equações constitutivas hiperelásticas – Modelos Polinomial

(“N=2” e “N=3”), Polinomial Reduzido e de Arruda-Boyce ......................................... 119

Figura 5.3 – Análise de estabilidade dos modelos hiperelásticos – Modelos Neo

Hookeano, Mooney-Rivlin, Ogden e de Yeoh ........................................................... 122

Figura 5.4 – Análise de estabilidade dos modelos hiperelásticos – Modelos Polinomial

(“N=2” e “N=3”), Polinomial Reduzido e de Arruda-Boyce ......................................... 122

Figura 5.5 – Modelo hiperelástico de Ogden – equação hiperelástica adotada para

descrever o comportamento do elastômero de poliuretano ....................................... 124

Figura 5.6 – Ajuste do modelo viscoelástico de Bergstrom-Boyce ............................ 132

Figura 5.7 – Referência experimental para identificação de parâmetros para modelo de

efeito Mullins ............................................................................................................. 133

xiii

Figura 5.8 – Ajuste de efeito Mullins por plasticidade de von Mises e modelo de

Ogden-Roxburgh ...................................................................................................... 135

Figura 5.9 – Ajuste de efeito Mullins pelo modelo de Dorfmann-Ogden .................... 139

Figura 5.10 – Comparação entre modelo e experimento para velocidade de travessão

de 10mm/min ............................................................................................................ 141


de 150mm/min .......................................................................................................... 141


de 500mm/min .......................................................................................................... 142

Figura 6.1 – Decomposição multiplicativa de deformação do modelo viscoelástico

proposto.................................................................................................................... 145

Figura 6.2 – Representação unidimensional do modelo viscoelástico proposto ........ 149

Figura 6.3 – Ajuste do modelo visco-hiperelástico proposto...................................... 149

Figura 6.4 – Comparação entre modelo e experimento visco-hiperelástico proposto

para velocidade de travessão de 10mm/min ............................................................. 151

Figura 6.5 – Comparação entre modelo visco-hiperelástico proposto e experimento

para velocidade de travessão de 150mm/min ........................................................... 151

Figura 6.6 – Comparação entre modelo visco-hiperelástico proposto e experimento

para velocidade de travessão de 500mm/min ........................................................... 152

Figura 7.1 – Comportamento do elastômero de poliuretano em uma solicitação cíclica

de controle de deformação ....................................................................................... 154

Figura 7.2 – Comportamento do elastômero de poliuretano em uma solicitação cíclica

de controle de tensão ............................................................................................... 155

Figura 7.3 – Comparação do comportamento do elastômero de poliuretano em

solicitação cíclica de controle de deformação e de controle de tensão ..................... 155

Figura 7.4 – Comparação entre especificações de dureza das duas variedades de

elastômero de poliuretano estudadas ....................................................................... 156

Figura 7.5 – Ensaios realizados em elastômero de poliuretano com dureza Shore

85/95 A [8] ................................................................................................................ 157

Figura 7.6 – Comparação de resultados de ensaios de tração monotônica das

diferentes variedades de elastômero de poliuretano ................................................. 158

Figura 7.7 – Aplicação do modelo visco-hiperelástico proposto em PU 85/95A –

resultados de tração monotônica .............................................................................. 160

Figura 7.8 – Aplicação do modelo visco-hiperelástico proposto em PU 85/95A –

resultados de carregamentos cíclicos ....................................................................... 160

Figura 7.9 – Variação do módulo de armazenamento com a variação da deformação

média – comparação entre modelo e experimento para o PU85/95A ....................... 163

xiv

Figura 7.10 – Variação do módulo de armazenamento com a variação do intervalo de

deformação – comparação entre modelo e experimento para o PU85/95A .............. 163

Figura 7.11 – Variação do módulo de armazenamento com a variação do período de

solicitação – comparação entre modelo e experimento para o PU85/95A ................. 164

xv

Lista de Tabelas

Tabela 4.1 – Tempo de ensaio e deformação residual dos ensaios cíclicos ............. 106

Tabela 5.1 – Coeficientes dos modelos hiperelásticos obtidos pelo método dos

mínimos quadrados .................................................................................................. 119

Tabela 5.2 – Taxa de deformação de engenharia em função da velocidade de

travessão do ensaio .................................................................................................. 131

Tabela 5.3 – Coeficientes do modelo viscoelástico de Bergstrom-Boyce obtido pelo

método dos mínimos quadrados ............................................................................... 132

Tabela 5.4 – Dados experimentais de “tensão de escoamento” versus “deformação

residual” .................................................................................................................... 134

Tabela 5.5 – Parâmetros para modelagem de deformação residual do elastômero de

poliuretano por encruamento linear ........................................................................... 135

Tabela 5.6 – Coeficientes de efeito Mullins por plasticidade de von Mises e modelo de

Ogden-Roxburgh ...................................................................................................... 136

Tabela 5.7 – Coeficientes de efeito Mullins pelo modelo de Dorfmann-Ogden ......... 139

Tabela 5.8 – Coeficientes de modelo visco-hiperelástico para elastômero de

poliuretano com dureza Shore 60 D .......................................................................... 140

Tabela 6.1 – Coeficientes do modelo viscoelástico proposto .................................... 150

Tabela 6.2 – Coeficientes de modelo visco-hiperelástico proposto para elastômero de

poliuretano com dureza Shore 60 D .......................................................................... 150

Tabela 7.1 – Coeficientes de modelo visco-hiperelástico proposto em PU 85/95A ... 160

1

1. Introdução

1.1. Importância do petróleo na matriz energética global e brasileira

A obtenção de fontes de energia é essencial para a sociedade moderna,

exercendo extrema importância tanto no setor econômico quanto no social. A Figura

1.1 mostra a evolução dos recursos energéticos primários em todo o mundo,

apresentando a evolução nas últimas duas décadas e a projeção para os próximos

anos.

Figura 1.1 – Recursos energéticos primários no mundo [1]

Apesar dos esforços globais em alterar a matriz energética para fontes

renováveis, ainda é esperado que os combustíveis fósseis sejam a principal fonte nos

próximos anos [1], e dentre os diversos combustíveis fósseis disponíveis, o petróleo se

destaca como umas das principais fontes energéticas utilizadas em todo o mundo.

No Brasil, a situação não é diferente. O consumo de petróleo e gás natural

corresponde atualmente a aproximadamente 47,8% do consumo energético total no

Brasil, e é esperado que este percentual de consumo permaneça praticamente

constante na próxima década, atingindo o percentual de 46,8% do consumo total em

2022. Neste período o consumo de petróleo e gás natural deve aumentar de 119,9

milhões para 172,3 milhões de toneladas equivalentes de petróleo, representando um

aumento de aproximadamente 43,7% da demanda desta fonte de energia [1]. Com

isto, pode-se afirmar que o petróleo continuará a ser uma importante fonte energética

nas próximas décadas. A Figura 1.2 mostra a evolução prevista do consumo

energético no Brasil na próxima década.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

20000

1993 2002 2011 2020

MM

te

p

Hidrelétrica

Renováveis

Fósseis

Nuclear

2

Figura 1.2 – Evolução do consumo final energético no Brasil [2]

Os campos de produção de petróleo e gás apresentam a característica de

apresentarem declínio de produtividade ao longo do tempo. Desta forma, é necessário

o desenvolvimento de novos projetos para, além de manter a capacidade produtiva,

prover oferta adicional para atender a demanda crescente deste recurso energético. A

Figura 1.3 mostra uma previsão da oferta e da demanda mundial de petróleo até o ano

de 2030.

Figura 1.3 – Oferta x demanda mundial de petróleo 2013-2030 [3]

0

50.000

100.000

150.000

200.000

250.000

300.000

350.000

400.000

2012 2014 2016 2018 2020 2022 2024

mil

tep

Consumo total

Petróleo/Gás

3

Ainda da Figura 1.3, observa-se que, nos próximos anos, grande parte dos

novos projetos de produção se encontram no Brasil, notadamente pela entrada em

produção do polo pré-sal.

Os campos de produção de produção do pré-sal são em região offshore, em

lâmina d´água superior a 2.000 metros e a uma distância de até 300 quilômetros da

costa. Devido à dificuldade de acesso para inspeção e manutenção nesta área,

especial atenção deve ser dada à confiabilidade dos equipamentos envolvidos na

produção, de forma a reduzir o risco de falha dos mesmos, que pode resultar em

perda de produção e/ou impacto para o meio ambiente.

Dentre estes equipamentos, o riser, como é denominado o trecho dos dutos

offshore entre o leito marinho e a plataforma, necessita resistir aos esforços

provenientes de ondas e correntezas ao longo de sua vida útil de projeto.

No caso da utilização de risers flexíveis, o ponto de conexão entre o duto e a

Unidade Estacionária de Produção é a região mais suscetível à fadiga, que ocorre

devido à grande descontinuidade de rigidez entre a estrutura da plataforma e a

estrutura do riser. Desta forma, é necessária a utilização de algum dispositivo para

evitar danos excessivos ao riser [4]. A solução normalmente utilizada para tratar esse

problema é a utilização de um Enrijecedor à Flexão (Bend Stiffener), conforme

apresentado na Figura 1.4.

Figura 1.4 – Enrijecedor à Flexão ou Bend Stiffener [4]

Os Enrijecedores à Flexão são dimensionados de forma a prover uma

transição mais suave de rigidez entre o riser flexível e a plataforma, evitando a falha

do duto flexível por uma curvatura excessiva (overbending), além de diminuírem as

Bend Stiffener

4

variações de curvatura para todas as condições de carregamento, aumentando a vida

à fadiga do riser flexível.

O material normalmente utilizado na fabricação desses componentes é o

elastômero de poliuretano. Por ser um material elastomérico, o seu comportamento

mecânico é complexo, apresentando resposta viscoelástica não-linear em uma ampla

faixa de deformação, podendo chegar a valores na ordem de 300% [5].

1.2. Revisão Bibliográfica

Conforme exposto anteriormente, o correto dimensionamento do Enrijecedor

à Flexão é essencial para garantir a integridade estrutural dos risers flexíveis. Por este

motivo diversos estudos já foram realizados visando o projeto e a integridade deste

equipamento.

Um dos trabalhos pioneiros de maior relevância foi realizado por BOEF e

OUT [6], em que o Enrijecedor à Flexão foi modelado por uma formulação de flexão

pura com grandes deslocamentos e pequenas deformações. A conclusão foi que,

apesar desta formulação ser válida para vigas esbeltas, os resultados obtidos a partir

desta formulação analítica apresentam boa concordância com modelos numéricos em

elementos finitos, validando assim esta metodologia para pré-projetos deste

componente.

DEMANZE et al. [7] estudaram a fadiga de Enrijecedores à Flexão pela

abordagem de propagação de trinca (mecânica da fratura). Através de ensaios com

corpos de prova possuindo trincas de diferentes comprimentos e solicitados em

diferentes razões de deformação (εmín/ εmáx), a vida à fadiga destes corpos de prova foi

estimada pelo fator de intensidade de deformações com excelente concordância. Com

o auxílio de modelo numérico em elementos finitos, foram identificadas as três regiões

críticas mais suscetíveis à falha por fadiga do poliuretano (Figura 1.5) e seus

respectivos valores esperados de deformação. Com o conhecimento de defeitos

típicos esperados de fabricação em cada uma destas regiões, foi possível avaliar a

vida à fadiga de Enrijecedores à Flexão.

5

Figura 1.5 – Regiões críticas de um Enrijecedor à Flexão

MENICONI e LOPES [8] avaliaram vida à fadiga de um Enrijecedor à Flexão,

em que de fato ocorreu este modo de falha, através da abordagem de predição de

vida para nucleação da trinca. Neste trabalho, ensaios mecânicos constataram o

comportamento viscoelástico do elastômero de poliuretano, assim como o

comportamento diferenciado em tração em compressão, típico de materiais

elastoméricos. Um corpo de prova foi elaborado considerando a geometria da região

de falha observada em campo (contato com o toróide), e em seguida foi levantada a

curva ε-N para esta configuração “geometria-material”, cujo esquema de ensaio

realizado pode ser observado na Figura 1.6. Com o auxílio de um modelo numérico

em elementos finitos, a deformação desta região de falha foi avaliada, e vida

correspondente fornecida pela curva ε-N foi condizente com o tempo de vida do

componente que sofreu falha.

Figura 1.6 – Ensaio de fadiga considerando região característica de falha (contato com o toróide). Ensaio (esquerda) e formato do corpo de prova (direita)

Contato com o toróide

Região de deformação máxima

Inserto metálico

6

LEMOS [4] desenvolveu uma metodologia para avaliar a fadiga de risers

flexíveis, identificando que a região crítica é o ponto de conexão entre o duto e a

Unidade Estacionária de Produção. Reconhecendo a importância do Enrijecedor à

Flexão para prover reforço estrutural nesta região, Lemos aprimorou o trabalho

realizado por BOEF e OUT [6], considerando equações constitutivas hiperelásticas

para o modelo, apresentando desta forma assimetria no comportamento em tração e

compressão. Em outro estudo, adiciona também o comportamento viscoelástico linear

ao modelo, permitindo prever a resposta do Enrijecedor à Flexão em função da taxa

de carregamento.

KIEPPER [9] estudou o comportamento do Enrijecedor à Flexão em um

software de simulação numérica pelo método dos elementos finitos (Abaqus),

comparando o comportamento previsto deste equipamento por diferentes hipóteses de

modelagem, contrapondo os resultados obtidos pelo modelo de flexão pura com

grandes deslocamentos com modelos em elementos finitos bidimensionais e

tridimensionais. Nos modelos numéricos, foram consideradas as suposições de

material elástico linear e de material hiperelástico para o corpo elastomérico do

Enrijecedor à Flexão.

Em sua dissertação de mestrado e na sua tese de doutorado, CAIRE [10, 11]

considerou a não linearidade e assimetria em compressão e tração do elastômero de

poliuretano. Além disto, foram realizados significativos avanços na caracterização do

comportamento viscoelástico dos Enrijecedores à Flexão, sobretudo em sua tese de

doutorado. Foi realizada formulação matemática do sistema duto flexível / Enrijecedor

a Flexão e o seu comportamento foi estudado no domínio do tempo e da frequência,

avaliando a influência da taxa de carregamento e do amortecimento viscoelástico na

resposta deste sistema mecânico.

SOUZA [12] desenvolveu um modelo linear elástico paramétrico de

Enrijecedor à Flexão para avaliação em condições de carregamentos extremos. O

objetivo do seu trabalho foi avaliar os parâmetros mais importantes para garantia de

distribuição de curvatura do riser flexível. Conclui-se que os parâmetros mais

importantes do Enrijecedor à Flexão são o seu diâmetro da base e o comprimento total

do cone polimérico.

LEITE [13] estudou o efeito de defeitos no Enrijecedor à Flexão em sua

capacidade máxima de carregamento. Para isto, foram realizados ensaios de tração

em corpos de prova apresentando diferentes níveis de defeitos, fornecendo curvas

tensão-deformação para o elastômero de poliuretano nesta condição. Esta relação

7

constitutiva considerando defeitos foram implementadas em modelos numéricos em

elementos finitos para avaliar a criticidade dos defeitos no Enrijecedor à Flexão.

1.3. Motivação de estudo

Da revisão bibliográfica, observa-se que muitos trabalhos se propuseram a

estudar o comportamento mecânico do Enrijecedor à Flexão, por vezes considerando

efeitos importantes como a relação não linear entre tensão e deformação e

viscoelasticidade do material.

Entretanto, embora as contribuições sejam válidas e relevantes para

dimensionamento de Enrijecedores à Flexão, as soluções obtidas se baseiam em

formulações generalizadas de comportamento viscoelástico não-linear, não

representando o estado da arte de modelagem de materiais elastoméricos. Ademais,

efeitos significativos observados no elastômero de poliuretano não foram estudados,

como a perda de rigidez e a presença de deformações residuais pelo efeito Mullins. O

aprimoramento do conhecimento do comportamento do elastômero de poliuretano

pode auxiliar na compreensão de falhas de Enrijecedores à Flexão que não foram

compreendidas pelo tratamento clássico utilizado para modelar este equipamento.

No presente trabalho, o estudo foi focado na compreensão do comportamento

mecânico do elastômero de poliuretano, deixando em segundo plano o

dimensionamento do Enrijecedor à flexão.

Desta forma, será apresentado a seguir um modelo visco-hiperelástico e de

Efeito Mullins para predição do estado de tensão e deformação do elastômero de

poliuretano sob carregamentos cíclicos em diferentes níveis de deformação e taxas de

carregamento.

8

2. Importância do Enrijecedor à Flexão em um campo de produção offshore

Conforme apresentado no capítulo introdutório deste trabalho, o Enrijecedor à

Flexão tem um papel fundamental na garantia da integridade dos risers flexíveis em

um campo de produção offshore. A seguir, será detalhada a função deste componente

em um típico campo de produção de petróleo, especialmente aqueles localizados em

território brasileiro, em que a utilização da tecnologia de risers flexíveis é

predominante.

2.1. A tecnologia riser

O riser, termo normalmente utilizado para denominar o trecho de duto

submarino suspenso e fixado em uma extremidade por uma Unidade Estacionária de

Produção (UEP), é essencial em um projeto de desenvolvimento de produção offshore

para permitir o transporte de petróleo dos poços submarino até a planta de produção

primária no convés de uma UEP.

Por estar suspenso, o riser está submetido a esforços dinâmicos advindos de

ventos, da correnteza marinha e do efeito das ondas, apresentando resposta

fortemente não linear, sofrendo grandes rotações e deslocamentos. A correnteza

marinha atua no riser de duas formas: aplicando diretamente uma força de arrasto no

duto e também alterando a posição da UEP de sua posição de equilíbrio (offset),

aplicando, desta forma, um deslocamento imposto no ponto de suportação do riser. A

ação dos ventos atua de forma semelhante ao segundo efeito apresentado para a

correnteza, deslocando a UEP e, portanto, o ponto de suportação do riser. Por último,

as ondas alteram a condição de equilíbrio “empuxo-peso” da UEP e, portanto,

impondo rotações e deslocamentos ao ponto de conexão do riser. A Figura 2.1 mostra

um desenho esquemático dos esforços atuantes em um riser.

A configuração mais usual dos risers é em catenária livre, na qual o duto é

fixado à UEP e simplesmente apoiado sobre o solo marinho, conforme ilustrado na

Figura 2.1. Esta configuração pode se tornar inviável com o aumento da lâmina

d´água, pois aumenta o trecho suspenso de duto, elevando as cargas de suportação

do riser, e também aumentando o risco de compressão dinâmica na região de contato

do riser com o solo marinho, podendo levar o duto a uma condição de flambagem.

9

Figura 2.1 – Esforços dinâmicos típicos em um riser

Caso a configuração básica do riser em catenária livre não seja compatível

com as solicitações previstas, existem diversas alternativas que viabilizam a

interligação de um duto submarino a uma UEP. Dentre estas, a mais utilizada é a

configuração Lazy-Wave (Figura 2.2), na qual flutuadores são instalados em uma

região intermediária do riser, reduzindo o peso suportado pela conexão na UEP e

minimizando o efeito de compressão dinâmica na região de contato com o solo

marinho.

Figura 2.2 – Configuração Lazy-Wave de um riser

Offset

Rotação devido

às ondas

Vento

Correnteza

Flutuadores

10

A tecnologia mais usual empregada em risers é a tecnologia de duto flexível,

tecnologia esta que requer a utilização de Enrijecedor a Flexão para prover uma

transição de rigidez entre o duto e a plataforma.

O desenvolvimento da tecnologia do duto flexível foi iniciado em 1958 pelo

Instituto Francês do Petróleo, e sua primeira instalação em um campo de produção

offshore ocorreu no ano de 1973 no Congo, porém aplicado apenas como duto

submarino. A primeira aplicação desta tecnologia como riser ocorreu no Brasil no ano

de 1978, no campo de Enchova [14].

Entretanto, é importante ressaltar que a tecnologia de riser flexível não é a

única disponível para realizar a interligação entre um duto submarino e uma UEP.

Mais recentemente, foi desenvolvida a tecnologia de risers rígidos em catenária

(comumente denominados de SCR, do inglês Steel Catenary Riser), em que o duto é

produzido a partir de juntas tubulares, semelhante aos dutos terrestres, soldadas em

terra ou no campo durante a instalação do riser. As primeiras instalações de SCRs

ocorreram em plataformas fixas, não estando sujeitas às ações de ondas e ventos no

ano de 1991. No ano de 1998, ocorreu a instalação pioneira de um SCR em uma

unidade flutuante, P-18, no Brasil.

Atualmente, as duas tecnologias de riser, rígido ou flexível, possuem seus

nichos de aplicação. A tecnologia de SCR apresenta a vantagem de permitir dutos de

maiores diâmetros internos e ser menos suscetível a efeitos corrosivos por

contaminantes do fluido de produção, como por exemplo, CO2 e H2S. Já a tecnologia

de riser flexível apresenta a vantagem de ser menos suscetível a danos pelos

movimentos impostos pela UEP e ser mais facilmente manuseado, podendo ser

armazenado em bobinas e remanejado em campo.

Existem também tecnologias híbridas, na qual o riser é composto por trechos

rígidos e flexíveis, combinando as vantagens de cada tecnologia e reduzido o efeito de

suas deficiências associadas.

Como o estudo será focado no comportamento de elastômero de poliuretano

para aplicação em Enrijecedores à Flexão, a aplicação do trabalho a seguir é, a priori,

para risers flexíveis.

2.1.1. Estrutura típica de um riser flexível

O duto flexível é uma estrutura compósita formada por diversas camadas

metálicas e poliméricas, dispostas de tal forma a permitir grandes deflexões no duto

sem que haja significativos acréscimos de tensão em sua estrutura [15]. A

11

configuração típica de um duto flexível está apresentada na Figura 2.3, sendo que

cada camada possui uma função específica.

A capa externa (1) é responsável por prover a estanqueidade externa do duto,

enquanto que a camada de pressão (7) garante a estanqueidade aos fluidos internos

ao duto.

A carcaça (8), formada por um perfil metálico intertravado, garante a

resistência ao colapso hidrostático, enquanto que a armadura de pressão (6), também

formada por um perfil metálico intertravado, fornece resistência à pressão interna do

duto.

Formadas por diversos perfis metálicos dispostos de forma helicoidal, as

armaduras de tração (2 e 4) são responsáveis pela resistência axial do duto. As duas

camadas são dispostas em sentidos opostos para balancear o efeito de torção quando

o duto é submetido a um esforço trativo.

Por último, para evitar o atrito entre as camadas metálicas do duto flexível,

camadas antiabrasivas (3 e 5) são dispostas nas regiões em que ocorre este tipo de

contato.

Figura 2.3 – Camadas típicas de um riser flexível

Como todas as camadas metálicas do duto flexível são formadas por perfis,

observa-se que, em caso de deflexão, um movimento relativo ocorre entre estes e,

desconsiderando efeitos de atrito, estas camadas não oferecem nenhuma rigidez à

flexão do duto. Portanto, a rigidez à flexão do duto flexível é governada pelas camadas

poliméricas (1 e 7), justificando a grande capacidade de deflexão desta tecnologia de

dutos.

1 2 4

6

7

8

3 5

1. Capa externa

2. Armadura de tração externa

3. Camada antiabrasiva

4. Armadura de tração interna

5. Camada antiabrasiva

6. Armadura de Pressão

7. Camada de pressão

8. Carcaça

12

2.1.2. Acessórios do riser flexível

De acordo com a estrutura apresentada na Figura 2.3, o corpo tubular do riser

flexível não permite uma conexão com estruturas adjacentes ao duto. Para realizar a

interligação do riser com o ponto de conexão na plataforma, é necessária a utilização

de conector de extremidade (Figura 2.4), dispositivo este que possui um flange,

elemento de interface padrão em sistemas industriais.

Figura 2.4 – Conector de extremidade

O corpo tubular do riser é ancorado no conector de extremidade por meio de

suas armaduras de tração, que são rearranjados no interior do conector e fixados por

meio de uma resina epóxi [16].

Outro acessório bastante importante para o riser flexível, e foco de estudo

deste trabalho, é o Enrijecedor à Flexão, responsável por prover uma transição entre a

relativa baixa rigidez do corpo tubular do riser com a estrutura da plataforma. A Figura

2.5 mostra uma foto de um Enrijecedor à Flexão no navio de lançamento do duto.

Figura 2.5 – Foto de Enrijecedor à Flexão

13

Com o aumento de rigidez local pelo Enrijecedor a Flexão, as curvaturas

impostas ao riser na sua região de conexão são amenizadas, reduzindo as tensões

nas camadas metálicas do riser flexível, elevando a vida à fadiga do duto [4].

Além de aumentar a vida à fadiga do duto, uma curvatura excessiva do riser

pode causar o destravamento das camadas intertravadas (armadura de pressão e

carcaça), causando uma falha no riser por sobrecarga.

2.1.3. Sistemas de suportação de risers flexíveis e sua influência no projeto do Enrijecedor à Flexão

Nas primeiras Unidades Estacionárias de Produção (UEP), o conector de

extremidade era diretamente suportado por uma estrutura bipartida no convés principal

da embarcação. O Enrijecedor à Flexão era moldado na parte inferior do conector,

conforme mostrado no desenho esquemático da Figura 2.6.

Figura 2.6 – Suporte Castelo de riser flexível – vista lateral e detalhe de fixação

Este método de suportação de riser flexível é denominado Suporte Castelo.

Uma foto real deste sistema está mostrada na Figura 1.4. A maior desvantagem deste

sistema era o tempo necessário para realizar a fixação do riser no suporte, sendo

necessário o fechamento do bipartido e sua fixação com estojos.

Esta dificuldade de fixação ficou mais crítica quando, para aumentar a

quantidade de risers interligados a uma UEP, foi identificada a necessidade de

suportar os dutos em uma região abaixo do nível do mar para melhorar a estabilidade

da unidade flutuante, dificultando ainda mais o posicionamento do bipartido e seus

estojos de fixação. Para solucionar este problema, foi desenvolvido o conceito de

Suporte Cônico, no qual o conector de extremidade era suportado por uma estrutura

metálica cônica, possuindo uma abertura frontal para entrada do riser no suporte. A

14

grande vantagem deste sistema é que o próprio peso do riser garante a sua

suportação, não sendo necessária a fixação de um bipartido ou outros acessórios.

A Figura 2.7 mostra um desenho esquemático deste método de suportação.

Notar que, neste caso, o Enrijecedor à Flexão também era moldado na parte inferior

do conector de extremidade.

Figura 2.7 – Suporte Cônico de riser flexível – vista em corte e detalhe de fixação

Apesar do Suporte Cônico trazer a vantagem de melhorar a estabilidade da

UEP, esta nova solução de suporte de riser trouxe uma dificuldade adicional ao ser

necessário realizar o acoplamento final do flange do conector de extremidade com as

tubulações fixas da UEP por meio de mergulho. Para solucionar esta dificuldade de

instalação, foi desenvolvido o sistema de suportação por Boca de Sino e Hang-off, que

de certa forma é uma solução híbrida do Suporte Castelo com o Suporte Cônico.

Neste sistema de suportação, o Enrijecedor à Flexão é mecanicamente

travado na Boca de Sino durante a instalação do riser. Este equipamento está

localizado em uma posição abaixo do nível do mar, semelhante à solução do Suporte

Cônico, possuindo, portanto, o mesmo efeito de estabilização da unidade flutuante.

Após o travamento do Enrijecedor à Flexão, cabos fusíveis que unem este

componente ao conector de extremidade são rompidos e o riser continua a ser puxado

por dentro do I-Tube (estrutura metálica instalada no costado de da UEP), sendo

levado até o convés principal da plataforma.

O travamento do Enrijecedor à Flexão na Boca de Sino estabiliza os

movimentos transversais e rotacionais do riser. Desta forma, quando o conector de

extremidade chega ao convés principal da UEP, sua situação dinâmica já está

suficientemente estável para que seja realizada a suportação do duto por meio de um

bipartido metálico (Hang-off), semelhante ao método de Suporte Castelo. A Figura 2.8

mostra um esquema de suportação de Enrijecedor à Flexão por Boca de Sino,

apresentando tanto a situação do riser instalado (imagem à esquerda), quanto a

15

situação de instalação momentos antes do travamento do Enrijecedor à Flexão na

Boca de Sino (imagem à direita).

Figura 2.8 – Sistema de Boca de Sino para suportação de riser flexível

Em análises de falha de risers ocorridas na região de conexão com UEPs,

observou-se uma maior taxa de falha quando o conector de extremidade opera em

conjunto com o Enrijecedor à Flexão [16]. Desta forma, por apresentar

desacoplamento entre estes dois acessórios do riser, o sistema de Bocas de Sino é a

solução atual de suportação de risers para novos projetos.

2.2. Dimensionamento de um Enrijecedor à Flexão

Usualmente, o projeto de um Enrijecedor à Flexão é realizado com base nos

critérios apresentados na norma API 17L1 [17], onde é definido que este equipamento

deve ser dimensionando de acordo com a tração dinâmica efetiva no duto, avaliada

em uma região próxima ao Enrijecedor à Flexão (T), associada à variação de ângulo

entre a direção longitudinal do duto com a condição neutra do Enrijecedor à Flexão

(θd) (Figura 2.9). Uma simplificação normalmente utilizada é a consideração de

engaste no suporte da UEP, podendo ser aplicada a todos os métodos de suportação

apresentados no capítulo 2.1.3.

Boca de Sino

I-Tube

Hang-off

Cabo de puxada (pull-in)

Cabos fusíveis

Cabeça de tração

16

Figura 2.9 – Esforços atuantes em um Enrijecedor à Flexão

As variações do ângulo “θd” ocorrem principalmente devido aos efeitos de

ondas e correnteza. O ângulo “θs” indica a posição inicial do Enrijecedor à Flexão em

relação à vertical, que devido a possíveis erros de instalação, pode ser diferente do

ângulo de projeto do suporte em até 2° [18]. Estes erros de instalação aplicam uma

deflexão estática não nula ao Enrijecedor à Flexão em uma condição em que o duto

estaria, teoricamente, em uma posição neutra de carregamento externo.

As solicitações apresentadas na Figura 2.9 devem ser avaliadas tanto em

cargas extremas quanto para fadiga [10]. Uma condição extrema pode causar uma

curvatura excessiva no duto flexível, tendo como consequência o destravamento de

suas camadas metálicas intertravadas e consequente perda de suas funções. Os

carregamentos de fadiga afetam principalmente as armaduras de tração do duto

flexível [4], assim como o próprio material constituinte do Enrijecedor à Flexão, foco do

presente trabalho.

A obtenção do carregamento (T, θd) é obtida a partir de uma análise global,

simulação numérica na qual é avaliado o comportamento geral do riser. O método

mais comum para realizar este estudo é a realização de uma análise dinâmica

utilizando o método dos elementos finitos, sendo o duto modelado por elementos de

viga submetidos às solicitações de correnteza, offset da UEP (causados pelo efeito de

ventos e ondas) e rotações e deslocamentos prescritos no ponto de conexão do riser

com a UEP (devido à alteração da condição de equilíbrio “empuxo-peso” da UEP pelo

efeito de ondas) [11].

Θs

Θd T

17

Desta forma, o modelo numérico do riser é bastante semelhante ao esquema

apresentado na Figura 2.1. Em uma primeira análise, o suporte do riser é considerado

com uma condição rotulada, de forma a se obter uma condição de carregamento (T,

θd) conservadora [4].

Com conhecimento dos carregamentos na região de suporte do riser, o

Enrijecedor à Flexão pode ser pré-dimensionado utilizando formulações de viga

esbelta, que apesar de a teoria não ser aplicável ao caso de Enrijecedores à Flexão,

os resultados são bastante satisfatórios para a obtenção de uma geometria inicial

deste equipamento [6]. O projeto final do Enrijecedor à Flexão pode ser refinado

utilizando o método dos elementos finitos, permitindo análise detalhada de pontos de

concentração de tensão deste equipamento, como por exemplo, as regiões de contato

elastômero – metal [4] ou a avaliação de defeitos de fabricação do elastômero [13].

Com o conhecimento da geometria do Enrijecedor à Flexão, o modelo global

do riser pode ser modificando, alterando a condição de suporte rotulado para condição

engastada, adicionando a rigidez do Enrijecedor à Flexão nos elementos

correspondentes. Desta forma, será obtida uma nova condição de carregamento (T,

θd) mais realista, que pode ser utilizada para reavaliar o dimensionamento do

Enrijecedor à Flexão de acordo com o modelo apresentado na Figura 2.9. Um

processo iterativo pode ser estabelecido entre a análise global do riser e a análise

local do Enrijecedor à Flexão até que se tenha um dimensionamento adequado deste

equipamento [10].

Usualmente, o modelo constitutivo utilizado para dimensionar o Enrijecedor à

Flexão é de material elástico-linear, e nos poucos casos em que se utiliza uma

formulação mais aprimorada, é considerada uma formulação constitutiva hiperelástica.

Fenômenos importantes como a viscoelasticidade e a presença de efeito Mullins do

elastômero de poliuretano raramente são considerados no projeto de um Enrijecedor à

Flexão.

De maneira geral, esta simplificação fornece bons resultados para o objetivo

fim do Enrijecedor à Flexão, isto é, proteger o corpo tubular do riser flexível em sua

região de conexão com a UEP. Entretanto, ao analisar o projeto do Enrijecedor à

Flexão propriamente dito, fenômenos viscoelásticos e o efeito Mullins, que causa

perda de rigidez e deformações residuais no material, podem ser parâmetros

importantes para dimensionar detalhes construtivos deste equipamento. Desta forma,

a não modelagem destes comportamentos significativos do elastômero de poliuretano

pode ser a causa da não compreensão de determinadas falhas de Enrijecedores à

Flexão na indústria offshore.

18

3. Comportamento mecânico de materiais elastoméricos

Para realizar um estudo detalhado do comportamento mecânico do

elastômero de poliuretano é necessário primeiramente compreender conceitos e

modelos matemáticos que descrevem o comportamento de materiais elastoméricos.

Primeiramente, será avaliado o comportamento qualitativo deste tipo de

material, como por exemplo, a influência de sua microestrutura na sua capacidade de

sofrer grandes deformações elásticas sem significativo acréscimo de tensão, além das

características específicas do elastômero de poliuretano.

Em seguida, serão avaliados os modelos matemáticos disponíveis na

literatura que permitem quantificar o comportamento do elastômero de poliuretano. As

equações constitutivas hiperelásticas estabelecem uma relação entre a tensão e a

deformação em elastômeros em uma situação de equilíbrio, enquanto que os modelos

viscoelásticos interpretam os efeitos dissipativos internos do material e estabelecem

uma formulação que tornam a resposta mecânica do material dependente da taxa de

carregamento.

Outro fenômeno característico de alguns materiais elastoméricos que altera

significativamente a sua resposta mecânica é o efeito Mullins, caracterizado por uma

perda de rigidez transitória inicial da curva tensão deformação e o surgimento de

deformações residuais.

3.1. Conceitos básicos de polímeros e comportamento de elastômeros

Antes de compreender os conceitos dos materiais elastoméricos, é

necessário entender como são constituídos os polímeros, classificação de material a

qual pertence os elastômeros.

A origem do termo polímero vem do grego, na qual várias (poli) unidades de

repetição, denominadas meros, são ligadas por ligação covalente, criando-se então o

termo polímero para identificar este tipo de material [19]. A Figura 3.1 mostra a reação

de polimerização do polietileno, polímero quimicamente mais simples, onde várias

moléculas de etileno (monômero) reagem para formar o polietileno (polímero).

19

Monômero (etileno) Mero

H H H H H H H H H H H H H H H H

| | | | | | | | | | | | | | | |

C=C C=C C=C C=C CCCCCCCC Polímero

| | | | | | | | | | | | | | | | (polietileno)

H H H H H H H H H H H H H H H H

Figura 3.1 – Reação de polimerização do polietileno [4]

Como os polímeros são formados por uma quantidade de átomos

encadeados facilmente superando uma centena e podendo alcançar valores ilimitados,

as propriedades destas moléculas adquirem características próprias, na qual a

interação entre as cadeias poliméricas possui maior influência do que a natureza

química dos átomos que a compõe [20]. Por esta razão, a depender da interação entre

as cadeias poliméricas, o material obtido pode ser classificado em três classes:

plásticos, elastômeros e fibras [19].

Os plásticos são os polímeros mais usuais em nosso cotidiano, e por esta

razão o termo plástico é tão difundido no senso comum, sendo frequentemente

utilizado incorretamente como sinônimo de polímero. Os plásticos são caracterizados

por possuírem comportamento sólido com elevada rigidez em sua temperatura de

utilização, sendo o polietileno um exemplo. Um polímero é classificado como fibra

quando suas cadeias poliméricas são orientadas em um sentido principal, aumentando

a resistência mecânica nesta direção [19]. Um exemplo comum deste tipo de material

são as fibras de carbono.

Para que um polímero seja classificado como um elastômero, este deve

possuir a capacidade de se deformar, em temperatura ambiente, em pelo menos duas

vezes em relação ao seu comprimento original, tendo recuperação rápida (baixo

amortecimento) e sem distorção permanente significativa após a retirada da carga

[19]. Como não apresentam deformações plásticas significativas mesmo em grandes

estiramentos, os elastômeros possuem a característica de apresentarem fratura frágil.

O primeiro elastômero a ser desenvolvido para uso comercial foi a borracha

natural. Inicialmente, este polímero não apresentava muita utilização prática, pois em

seu estado natural se comporta como um fluido com elevada viscosidade (sua forma

original não é reestabelecida depois de retirado um carregamento). O seu uso ficou

mais extensivo quando no ano de 1839 Charles Goodyear descobriu o processo de

vulcanização, na qual é obtida a capacidade deste material em ser submetido a

elevadas deformações elásticas, característica fundamental dos elastômeros [19].

20

No processo de vulcanização, enxofre é adicionado criando ligações cruzadas

entre as cadeias poliméricas, gerando assim uma estrutura molecular reticulada,

evitando o deslizamento relativo permanente entre as cadeias poliméricas. Com a

vulcanização, o deslizamento relativo entre as cadeias poliméricas ainda pode ocorrer,

entretanto, após cessado o carregamento, o material retorna à sua forma original

devido à presença das ligações cruzadas causadas. O efeito da vulcanização pode ser

visualizado na Figura 3.2.

Figura 3.2 – Vulcanização da borracha natural [21]

3.1.1. Elastômero de poliuretano

O desenvolvimento do elastômero de poliuretano se iniciou no ano de 1937,

quando o professor Otto Bayer (Leverkusen, Alemanha) estudou a química deste

polímero, sendo inicialmente aplicado para obtenção de espumas. Pouco depois, no

ano de 1940 e também na Alemanha, foi constatado que este material poderia ser

utilizado para obtenção de um elastômero sintético, mas ainda com propriedades

mecânicas inadequadas para muitas aplicações.

Borracha não vulcanizada

Borracha vulcanizada

Ligações cruzadas

21

Com a escassez de recursos durante a Segunda Guerra Mundial, os alemães

concentraram esforços no desenvolvimento de um elastômero de poliuretano que

substituísse a borracha natural. No ano de 1950, foi obtida uma formulação em que o

objetivo do estudo foi alcançado, obtendo um material com propriedades mecânicas

superiores em relação à borracha natural, combinando a elasticidade da borracha com

características mecânicas aprimoradas, como elevada tensão de ruptura e maior

resistência à fadiga. Com o sucesso da obtenção de um elastômero de poliuretano, o

desenvolvimento deste material foi avançando ao longo dos anos, sendo que na

década de 1970 já era amplamente produzido pelas grandes indústrias químicas.

Para obtenção de um elastômero de poliuretano com boas propriedades

mecânicas, é necessária a reação de três constituintes [5]:

Diisocianato (aromático ou alifático);

Diol (poliéter ou poliéster) de cadeia longa, com alto peso molecular;

Diol de cadeia curta, com baixo peso molecular, atuando como

extensor de cadeia.

Com a reação de poliadição destes três componentes, é formado um

copolímero em bloco, no qual o diol de cadeia longa, denominado segmento flexível, é

unido a segmentos formados pelo diisocianato com extensores de cadeia (diol de

cadeia curta), denominado segmento rígido [5]. O nome poliuretano é dado pelo grupo

uretano formado na união de cada um dos três constituintes, conforme apresentado na

Figura 3.3.

Figura 3.3 – Estrutura de repetição do elastômero de poliuretano

Segmento rígido (diisocianato)

Segmento flexível (diol de cadeia longa)

Grupo Uretano

Extensor de cadeia (diol de cadeia curta)

H |

NCO || O

22

Os segmentos flexíveis possuem este comportamento por possuírem uma

temperatura de transição vítrea entre -60°C e -40°C [21]. A transição vítrea (Tg) define

a temperatura mínima em que uma cadeia polimérica amorfa adquire mobilidade,

podendo alterar a sua conformação. Desta forma, como a temperatura de aplicação do

elastômero de poliuretano é superior a “Tg” deste segmento, esta região do material

possui mobilidade suficiente para que a cadeia polimérica seja estendida.

Já os segmentos rígidos, formados pelo diisocianato e pelo diol de cadeia

curta, possuem este comportamento rígido por apresentarem elevadas forças

secundárias (ligação de hidrogênio) entre as cadeias poliméricas, apresentando

estrutura cristalina na temperatura de aplicação.

Se analisarmos uma microestrutura da borracha natural, tal qual apresentada

na Figura 3.2, o comportamento elastomérico é obtido pelas ligações covalentes entre

cadeias poliméricas criadas pelo processo de vulcanização. Portanto, a estrutura

elastomérica é obtida por ligações químicas.

No caso do elastômero de poliuretano, não há necessariamente ligações

químicas cruzadas entre as cadeias poliméricas, sendo o comportamento elastomérico

obtido de forma diferente. Os monômeros que criam os segmentos rígidos e flexíveis

são dissimilares, gerando uma segregação microestrutural entre estas fases. Desta

forma, segmentos rígidos se aglutinam e criam núcleos de material cristalino, atuando

como pontos físicos de ligação entre os domínios flexíveis (Figura 3.4).

É interessante observar que o comportamento do elastômero é obtido por um

arranjo de moléculas em escala nanométrica. Portanto, este material pode ser

considerado um nanomaterial, apesar do termo ainda não estar em voga quando este

material foi desenvolvido [21].

Figura 3.4 – Estrutura de elastômero de poliuretano

23

No caso da borracha natural, não é possível processar o elastômero depois

de realizada a vulcanização, pois mesmo se for elevada a temperatura deste material,

as ligações cruzadas não permitirão o deslizamento relativo entre as cadeias

poliméricas, e quando a temperatura atingir determinado limite, ocorrerá a quebra das

cadeias poliméricas (termorrígido). Do ponto de vista macroscópico, a borracha irá

queimar sem que seja observado um estado em que seria possível alterar a forma do

material.

No caso do elastômero de poliuretano, as ligações entre os domínios flexíveis

são formadas pelos domínios de estrutura cristalina. Dependendo de sua formulação

química, a temperatura de fusão (Tm) dos cristalitos é de aproximadamente 190°C [21],

neste caso, o elastômero de poliuretano é denominado poliuretano termoplástico, pois

se a temperatura de fusão for superada, as cadeias poliméricas adquirem energia

suficiente para que os cristalitos sejam fundidos, e os antes denominados “segmentos

rígidos” se rearranjem em uma estrutura amorfa.

Portanto, se o poliuretano termoplástico for aquecido a uma temperatura

superior a “Tm” de seus cristalitos, toda a sua estrutura será formada por cadeias

poliméricas de estrutura amorfa e o material possuirá o comportamento macroscópico

de um fluido viscoso. Se a temperatura for reduzida para um valor inferior a “Tm”, os

cristalitos serão novamente formados e o material voltará a apresentar comportamento

elastomérico com estrutura conforme apresentada na Figura 3.4.

Este comportamento é característico dos polímeros termoplásticos. Desta

forma, o poliuretano termoplástico possui a capacidade de se fundir em temperaturas

elevadas, podendo ser moldado na geometria requerida de utilização sem que haja

degradação das cadeias poliméricas [21]. A Figura 3.5 mostra uma comparação do

processamento da borracha natural com o processamento do poliuretano

termoplástico:

Figura 3.5 – Comparação do processamento de borracha natural e poliuretano termoplástico

Matéria prima

Moldagem

Produto

Vulcanização Calor

Degradação do elastômero

Borracha natural

Matéria prima

Produto Poliuretano

Termoplástico

Poliuretano Termoplástico

Calor

24

Conforme mencionado anteriormente, a faixa de temperatura de utilização do

poliuretano termoplástico se encontra entre a temperatura de transição vítrea (Tg) do

domínio flexível e a temperatura de fusão (Tm) do domínio rígido. Em uma temperatura

inferior a esta faixa, o material irá se comportar de maneira rígida e frágil, e em uma

temperatura superior, ocorrerá a fusão dos domínios cristalinos e o material se

comportará como um fluido viscoso. A Figura 3.6 mostra um gráfico do módulo de

elasticidade do poliuretano termoplástico em função da temperatura

Figura 3.6 – Comportamento do poliuretano termoplástico em função da temperatura [21]

Embora teoricamente seja possível desfazer os domínios cristalinos do

elastômero de poliuretano, a depender de sua formulação química, a temperatura de

fusão (Tm) do domínio rígido pode ser elevada de tal forma que seja superior à

temperatura de degradação dos grupos uretanos [22]. Nestes casos, o elastômero de

poliuretano não pode ser fundido e possui comportamento termorrígido.

Pode ser observado na Figura 3.6 que a rigidez do elastômero de poliuretano

é maior quando é aumentada a proporção da região cristalina em sua microestrutura.

Isto é obtido alterando a estequiometria dos três constituintes, aumentando a

proporção de matéria prima do segmento rígido. O acréscimo de proporção de região

cristalina majora não somente o módulo de elasticidade, mas também amplia sua

temperatura limite de utilização, sua tensão de ruptura e a sua dureza [22].

Embora a Figura 3.6 seja válida para poliuretano termoplástico, este

comportamento pode ser estendido para qualquer elastômero de poliuretano. A única

diferença é que, no caso de um elastômero de poliuretano termorrígido, a condição de

fluido viscoso não pode ser atingida.

1

3

5

7

9

11

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 300

log[

E (P

a)

Temperatura (°C)

Tg domínio flexívelTm cristais

Região elastomérica

Rígidoe frágil

Fluidoviscoso

Aumento dodomínio cristalino

25

Por ser um material com resposta não linear e altamente dependente da taxa

de carregamento, a especificação utilizada para selecionar a composição do

elastômero de poliuretano dificilmente é determinada por uma propriedade diretamente

relacionada com a aplicação, como por exemplo, o módulo de elasticidade ou a tensão

de ruptura, critérios comumente utilizados para seleção de materiais metálicos.

Devido a esta dificuldade de obtenção de um parâmetro que caracterize o

comportamento de determinada composição de um elastômero de poliuretano, a

dureza superficial do material é usualmente utilizada como indicação indireta de seu

desempenho mecânico, sendo classificado na escala Shore, escala esta apropriada

para classificação de materiais elastoméricos [23].

Variando a estequiometria dos constituintes do elastômero de poliuretano, é

possível obter materiais com dureza entre Shore 55 A, dureza característica de

elastômeros de rigidez mediana, até durezas elevadas na ordem de Shore 80 D,

dureza esta que já seria característica de plásticos. [22].

O elastômero de poliuretano é considerado um polímero único, preenchendo

uma lacuna de polímeros com comportamento entre elastômeros e plásticos [5],

podendo alcançar tensões de ruptura de 25 a 75 MPa, a depender de sua composição

[22].

A aplicação de um elastômero de poliuretano de elevada dureza é excelente

para o caso de Enrijecedores à Flexão, pois se busca um material de elevada

capacidade de sofrer deformações devido às variações do ângulo θd entre o riser e o

suporte (Figura 2.9), ao mesmo tempo possuindo um elevado módulo de elasticidade

para prover uma transição suave de rigidez entre o riser e o suporte na Unidade

Estacionária de Produção. A faixa usual de especificação de dureza do elastômero de

poliuretano para esta aplicação varia de Shore 85 A a Shore 60 D, a depender do

projeto estrutural do riser.

A Figura 3.7 mostra uma comparação entre escalas de dureza Shore A e

Shore D. Para melhor compreensão desta escala, também estão apresentados valores

característicos de materiais comumente presentes em nosso cotidiano [24, 25].

26

Figura 3.7 – Escala de dureza Shore – Faixas de dureza de aplicação do elastômero de

poliuretano

3.2. Equações constitutivas hiperelásticas

Muitos fatores fazem com que o dimensionamento de componentes

elastoméricos seja mais complexo em relação ao dimensionamento de componentes

metálicos, notadamente pela sua relação constitutiva, ou seja, a relação entre tensão

deformação [26].

No caso dos materiais metálicos, a estrutura cristalina com elevado grau de

organização impede extensões maiores do que um pequeno percentual do seu

comprimento original sem que ocorra deformação plástica no material [27]. No caso

dos materiais elastoméricos, as longas cadeias poliméricas são formadas

majoritariamente por ligações covalentes cabano-carbono, com característica de união

em ângulo de 109,5° com capacidade de rotação em torno do seu eixo de ligação,

permitindo que as cadeias a adquirirem diferentes conformações [26].

Como uma cadeia polimérica pode ser constituída de até 100.000 ligações

carbono-carbono, é bastante coerente pressupor que, visto a infinidade de

conformações que estas podem assumir, a conformação estática das diversas cadeias

poliméricas que compõe um elastômero se assemelha a um novelo emaranhado.

Faixa usual de aplicação para enrijecedores à flexão

Faixa usual de dureza do elastômero de poliuretano

Shore OO 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Shore D 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Bala

de g

om

a

Mo

use p

ad

Elá

stic

o d

e

din

heiro

Borra

cha d

e L

ápis

Pneu

Sola

de s

apato

Roda d

e c

arrin

ho

de s

uperm

erc

ado

Bola

de g

olfe

Capacete

de

pro

teção in

div

idual

Shore A 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Cin

to d

e c

ouro

ELASTÔMEROS PLÁSTICOS

27

De forma simplificada, cada cadeia polimérica pode ser tratada como uma

mola. Se uma cadeia for estirada, a conformação da mesma será modificada e uma

força de reação irá agir de forma a retornar para a conformação estática, atingindo

uma condição de máxima entropia. Como as cadeias poliméricas dos elastômeros

possuem baixa polaridade, resultando em forças intermoleculares relativamente

fracas, se não houver nenhum tipo de travamento entre as cadeias, um escoamento

viscoso ocorre entre as mesmas, sendo o caso da borracha natural não vulcanizada.

Conforme mencionado anteriormente, o travamento das cadeias poliméricas é

realizado por ligações cruzadas, químicas ou físicas, permitindo o grande estiramento

e consequente alteração de conformação das cadeias poliméricas do elastômero,

explicando, desta forma, a elevada capacidade de sofrer deformações desta classe de

polímeros.

Para a obtenção de uma equação constitutiva hiperelástica, os seguintes

comportamentos elementares dos elastômeros precisam ser considerados [28]:

O material possui comportamento isotrópico.

O módulo volumétrico do material é bastante elevado, com valores

semelhantes ao dos metais, enquanto que seu módulo de

cisalhamento é bastante inferior, na ordem de 10-5 em relação aos

metais. Devido a esta discrepância de propriedades elásticas,

elastômeros são usualmente modelados com comportamento

incompressível.

A resposta do material é perfeitamente elástica, ou seja, considerando

que o elastômero é deformado em uma condição isotérmica, a tensão

é função apenas da deformação instantânea atuante no material,

independente do histórico ou da taxa de carregamento.

Com as três hipóteses elementares das equações constitutivas hiperelásticas

apresentadas acima, observa-se que esta modelagem não é suficiente para descrever

completamente o comportamento mecânico dos elastômeros. É conhecido que a

resposta do material é dependente da taxa de carregamento e que o comportamento

do material é diferente em carregamento e descarregamento, ocorrendo um ciclo

histerético na resposta “tensão-deformação”, realizando um trabalho líquido em um

ciclo de carregamento cuja energia é dissipada em forma de calor.

28

Portanto, as equações hiperelásticas apresentadas a seguir estabelecem a

resposta dos elastômeros em uma condição de equilíbrio. Embora o estabelecimento

destas equações seja fundamental, elas não são suficientes para o conhecimento

pleno do comportamento do elastômero de poliuretano.

Duas abordagens são utilizadas para obtenção de equações constitutivas

hiperelásticas. A primeira abordagem considera o comportamento do material no nível

molecular, em que o comportamento macroscópico do material é inferido utilizando

conceitos de termomecânica estatística. A outra abordagem utiliza o tratamento

clássico da mecânica do contínuo, no qual o comportamento do elastômero é definido

arbitrando uma função densidade de energia de deformação e aplicando restrições da

segunda lei da termodinâmica para obtenção da relação entre tensão e deformação.

3.2.1. Tratamento termodinâmico estatístico

Antes de realizar o tratamento estatístico para obtenção de um modelo

hiperelástico, é necessário apresentar o tratamento termodinâmico clássico para o

comportamento mecânico de elastômeros [27].

As equações apresentadas a seguir exprimem o comportamento

macroscópico do material e não são suficientes para a obtenção de equações

constitutivas, mas permitem a compreensão dos parâmetros físicos envolvidos na

deformação de materiais elastoméricos. Um exemplo de como obter um modelo

hiperelástico será apresentado no capítulo 3.2.1.1, onde conceitos de mecânica

estatística são aplicados em conjunto com as equações termodinâmicas para obter

uma relação entre tensão e deformação de elastômeros.

Recordando que, neste momento, o material é considerado perfeitamente

elástico, não há dissipação de energia e pode-se considerar a primeira lei da

termodinâmica como válida, onde a conservação de energia é estabelecida

relacionado a energia interna (U), o fluxo de calor (Q) e o trabalho realizado sobre o

material (W).

dWdQdU (3.1)

Como o material é considerado perfeitamente elástico, a resposta em

carregamento e em descarregamento deve ser idêntica, não havendo qualquer

diferenciação do material antes ou após um ciclo de solicitação. Interpretando este

comportamento do material pela termodinâmica, o processo de deformação do

elastômero pode ser descrito pela segunda lei da termodinâmica para processos

29

reversíveis, em que é relacionado o fluxo de calor com a temperatura (T) e a entropia

do material (S).

TdSdQ (3.2)

Cominado a primeira e a segunda lei da termodinâmica:

dWTdSdU (3.3)

O trabalho exercido sobre o elastômero pode ser considerado de duas

origens. A primeira parcela é oriunda da pressão externa ambiente (P) e a segunda

provém de uma força interna “f” associada a uma extensão “dL”. Notar que os sinais

dos termos a direita da equação (3.4) são opostos devido ao diferente sentido de

aplicação dos carregamentos de pressão e esforço interno.

fdLPdVdW (3.4)

Aplicando (3.4) em (3.3):

fdLPdVTdSdU (3.5)

Considerando que o processo de deformação ocorre em uma condição de

pressão ambiente constante, é aplicado o conceito de entalpia (H) ao problema:

PVUH (3.6)

Diferenciando a equação (3.6) em pressão constate e isolando o termo “dU”:

PdVdHdU (3.7)


fdLTdSdH (3.8)

30

Diferenciando a equação (3.8) em relação à distensão linear e considerando

que o elastômero é deformado em uma condição de pressão e temperatura

constantes, obtém-se a força necessária para que o material se mantenha em uma

condição de equilíbrio:

PTPT L

ST

L

Hf

,,

(3.9)

A equação (3.9) apresenta a primeira constatação interessante sobre o

comportamento mecânico de materiais elastoméricos. Em materiais metálicos, quando

o seu limite de escoamento não é excedido, o esforço interno no material depende

apenas de variações de sua energia interna, ou seja, a derivada (∂S/∂L)T,P é nula.

No caso de materiais elastoméricos, o esforço interno surge não somente por

variações de sua energia interna, efeito incorporado na equação (3.9) no termo de

entalpia, mas também por variações de entropia do material.

Variações de entropia ocorrem devido ao estiramento das cadeias poliméricas

do elastômero. Extensões da cadeia reduzem a quantidade de conformações

possíveis que estas podem adquirir, reduzindo a entropia do material. Como todo

sistema termodinâmico tende a maximizar sua entropia, um esforço interno surge de

forma a restaurar uma conformação de maior desordem para a cadeia polimérica,

correspondendo ao seu estado não deformado.

Como efeitos de energia interna e de entropia interferem no comportamento

mecânico de elastômeros, para compreender melhor como o esforço interno deste

material depende da temperatura, é interessante obter uma expressão na forma

(∂f/∂T)P,L, ou seja, considerando uma determinada extensão “L” e em pressão externa

constante, qual seria a variação do esforço interno com a alteração da temperatura do

material.

Para obter este resultado, é necessário utilizar o conceito de variação da

energia livre de Gibbs em um sistema fechado, onde é avaliada a totalidade de

energia disponível de um sistema termodinâmico que pode ser convertido em trabalho

considerando processo em temperatura e pressão constantes:

fdLVdPSdTdG (3.10)

31

Sendo a energia livre de Gibbs um potencial termodinâmico, uma das

relações de Maxwell aplicadas à equação (3.10) determina que:

LPPT T

f

L

S

,,

(3.11)


LPPT T

fT

L

Hf

,,

(3.12)

Reorganizando a equação (3.12), é obtida uma expressão que estabelece a

variação do esforço interno do elastômero quando a temperatura do material é

alterada sem que haja modificação da deformação aplicada ou da pressão

atmosférica.

T

LHf

T

f PT

LP

,

,

(3.13)

De acordo com a equação (3.13), quando ocorrer uma condição tal que

(∂H/∂L)T,P>f, o esforço interno reduz com o acréscimo da temperatura, ou seja, o

elastômero perde rigidez, sendo este comportamento correspondente ao observado

em materiais metálicos.

Por outro lado, se for obtida uma condição na qual (∂H/∂L)T,P<f, o esforço

interno aumenta com o acréscimo da temperatura, condição diferente da expectativa

mais provável do comportamento mecânico de materiais. Se o termo (∂H/∂L)T,P for

desconsiderado na equação (3.9), é obtida uma indicação da razão deste

comportamento anômalo dos elastômeros.

PTL

STf

,

(3.14)

A equação (3.14) descreve o comportamento mecânico de um elastômero

ideal, em que a variação de energia interna é desprezada e se supõe que a

32

deformação do elastômero é governada pela redução de entropia devido à extensão

da cadeia polimérica e diretamente proporcional à temperatura absoluta do material.

Evidentemente, em um elastômero real, o termo (∂H/∂L)T,P não pode ser

sumariamente desconsiderado como uma parcela importante para determinação do

seu comportamento mecânico. Esta aproximação é razoável quando a deformação

aplicada ao elastômero é suficientemente elevada tal que o efeito entrópico seja

superior ao efeito entálpico. Ainda assim, a desconsideração de um determinado efeito

é uma simplificação, e para uma modelagem completa, seria necessário sempre

considerar o efeito da entalpia.

A magnitude de deformação a partir da qual o comportamento mecânico é

governado pela entropia depende do elastômero analisado. Para a borracha natural,

este resultado é obtido para deformações superiores a 10% [27]. Em alguns

elastômeros, o efeito entálpico torna a ser significativo para deformações muito

elevadas, pois o elevado estiramento das cadeias poliméricas causa cristalização

induzida pela deformação.

Derivando a equação (3.6) em relação ao estiramento aplicado e

considerando processo isotérmico e adiabático, pode-se encontrar uma expressão na

qual serão obtidos parâmetros físicos mensuráveis que estão envolvidos no termo

(∂H/∂L)T,P da equação (3.13):

PTPTPT L

VP

L

U

L

H

,,,

(3.15)

Para compreender de forma diferenciada o efeito de distorção e o efeito da

dilatação volumétrica no material e considerando processo isotérmico, a energia

interna pode ser descrita da seguinte forma:

dVV

UdL

L

UdU

TLTV ,,

(3.16)

Derivando a equação (3.16) em relação ao estiramento e considerando

processo isobárico:

PTTLTVPT L

V

V

U

L

U

L

U

,,,,

(3.17)

33


PTLTVTPT L

VP

V

U

L

U

L

H

,,,,

(3.18)

Da equação (3.18), observa-se que o termo (∂H/∂L)T,P pode ser reinterpretado

em duas parcelas de variação da energia interna com a deformação, uma a volume

constante e outra dependente da variação volumétrica do material.

Por ser um termo a volume constante (∂U/∂L)T,V pode ser relacionado com a

energia intramolecular do elastômero. Quanto ao termo (∂U/∂V)T,L, este não representa

nenhuma quantidade física mensurável. Para fornecer sentido físico a esta parcela, é

necessário utilizar o conceito de energia livre de Helmholtz (ψ), onde é mensurada a

parcela de energia de um sistema termodinâmico que pode ser convertida em trabalho

considerando temperatura constate:

fdLPdVSdTd (3.19)

Sendo a energia livre de Helmholtz um potencial termodinâmico, uma das

relações de Maxwell aplicadas à equação (3.19) determina que:

LVLT T

P

V

S

,,

(3.20)

Diferenciando a equação (3.5) em relação ao volume em temperatura e

estiramentos constantes:

PV

ST

V

U

LTLT

,,

(3.21)


PT

PT

V

U

LVLT

,,

(3.22)

34

Aplicando a regra da cadeia de diferenciação no primeiro termo do lado direito

da equação (3.22):

LPLTLV T

V

V

P

T

P

,,,

(3.23)

O coeficiente cúbico de expansão térmica (α) e o coeficiente de

compressibilidade isotérmico (β) podem ser definidos como:

LPT

V

V ,

1

(3.24)

LTV

P

V ,

1

(3.25)

Aplicando (3.24) e (3.25) em (3.23):

LVT

P

,

(3.26)

Aplicando (3.26) em (3.22)

PTV

U

LT

,

(3.27)

Portanto, aplicando (3.27) em (3.18), obtém-se uma descrição de (∂H/∂L)T,P

em parâmetros físicos mensuráveis:

PTVTPT L

VT

L

U

L

H

,,,

(3.28)

Conforme descrito anteriormente, o termo (∂U/∂L)T,V pode ser relacionado

com a energia intramolecular do elastômero. O segundo termo a direita da equação

(3.28) depende da variação volumétrica do elastômero quando este é estirado.

Observando as premissas da obtenção de equações hiperelásticas para

descrição do comportamento mecânico de elastômeros, é bastante razoável

35

considerar que o material apresenta comportamento incompressível. Desta forma,

pode-se simplificar a equação (3.28) e o termo (∂U/∂L)T,V pode ser compreendido

como a própria parcela de energia intermolecular do elastômero:

VTPT L

U

L

H

,,

(3.29)

Todas as equações apresentadas neste capítulo são bastante benéficas para

compreender os parâmetros físicos envolvidos na deformação de materiais

elastoméricos. Entretanto, embora necessárias, estas não são suficientes para

estabelecer a relação entre a tensão e a deformação no material, ou seja, definir uma

equação constitutiva hiperelástica.

Para isto, serão apresentados a seguir exemplos de como aplicar conceitos

de mecânica estatística para descrever o estiramento das cadeias poliméricas do

elastômero de forma a obter informações da sua reorganização molecular, e por fim,

aplicando as restrições termodinâmicas, obter uma equação hiperelástica para

descrever o comportamento mecânico do material.

3.2.1.1. Modelo Neo Hookeano por termodinâmica estatística.

No capítulo anterior, foram apresentadas as restrições termodinâmicas que

um modelo mecânico deve respeitar para que represente corretamente o

comportamento de um elastômero. Um dos métodos possíveis de obtenção de um

modelo hiperelástico é atribuir um modelo matemático para descrever o

comportamento das cadeias poliméricas quando uma deformação é aplicada ao

elastômero.

Para isto, as cadeias poliméricas podem ser modeladas como estruturas

longas, flexíveis e com volume desprezível. Com esta hipótese simplificadora, contatos

físicos entre as cadeias não são relevantes e, para uma determinada distância

separando as extremidades de uma determinada cadeia polimérica, todos os arranjos

conformacionais são igualmente possíveis e se alternam continuamente por serem

condições isoenergéticas, conforme ilustrado na Figura 3.8. Como essas alterações de

conformação são causadas por agitação térmica, trata-se de um movimento

browniano.

36

Figura 3.8 – Desenho esquemático de conformações possíveis de cadeia polimérica, a

depender de sua distância entre extremidades

Evidentemente, a quantidade de arranjos conformacionais possíveis de uma

cadeia polimérica depende da distância entre suas extremidades. A condição

demonstrada na imagem mais à direita da Figura 3.8 poderia representar um estado

não deformado de uma cadeia polimérica, na qual existem elevadas possibilidades de

conformação para a cadeia.

Quando o elastômero sofre uma deformação, é razoável imaginar que a

distância entre extremidades da cadeia polimérica aumenta, podendo ser

representada pela imagem central da Figura 3.8. Com isto, a quantidade de

conformações possíveis para a cadeia polimérica é reduzida, o que é interpretado na

termodinâmica como uma redução de entropia, causando como reação um esforço

interno como tentativa de retornar a cadeia polimérica para sua distância original entre

extremidades, e desta forma, maximizar a entropia do sistema, conforme previsto

pelas equações anteriormente apresentadas.

Em uma condição hipotética extrema, considerando que não ocorra ruptura

no elastômero, uma cadeia polimérica pode ser totalmente estendida de forma que

seja alcançada a maior distância possível entre suas extremidades, sendo

representada pela imagem mais à esquerda da Figura 3.8. Neste estado, é evidente

notar que a única conformação possível para a cadeia é o alinhamento perfeito de

cada um de seus segmentos, correspondendo ao estado zero de entropia.

Com base nesta descrição idealizada de cadeia polimérica, para modelar todo

o domínio do elastômero, é considerada uma rede composta por infinitas cadeias

poliméricas, estando sujeita às seguintes hipóteses [27]:

1) A rede formada pelas diversas cadeias poliméricas é perfeita e

uniforme. A deformação individual de cada cadeia pode ser

considerada idêntica à deformação macroscópica aplicada ao

elastômero.

2) Todas as conformações de uma cadeia polimérica são isoenergéticas,

mesmo para diferentes distancias entre extremidades. Desta forma, é

L

37

considerado que a energia interna do elastômero é constante quando

este é deformado.

3) A quantidade total de possibilidades conformacionais do elastômero

corresponde ao produto da quantidade individual de conformações

possíveis de todas as cadeias poliméricas que compõe o elastômero.

Isto é, uma cadeia polimérica não interfere nas conformações

possíveis de outra cadeia adjacente.

Cada cadeia polimérica pode ser modelada composta por “n” segmentos com

comprimento “ ”. O ponto de conexão de cada um destes segmentos “ ” representam

as regiões da cadeia que são passíveis de sofrer rotações, permitindo assim

alterações na conformação da cadeia polimérica [27].

Se todos os segmentos forem estendidos, será obtida uma extensão de

comprimento “L” tal qual apresentado na imagem mais à esquerda da Figura 3.8 e

representado matematicamente pela equação (3.30):

nL (3.30)

Considerando uma cadeia polimérica livre, ou seja, sem interferências de

outras cadeias, a sua distância entre extremidades pode ser representada por um

vetor “ r

” com módulo entre zero e “L”. A Figura 3.9 mostra uma representação do

modelo proposto de cadeia polimérica, sendo que uma de suas extremidades é fixada

na origem do sistema de coordenadas:

Figura 3.9 – Distância entre extremidades de uma cadeia polimérica livre

38

Desta forma, “ r

” pode ser representado matematicamente por um vetor

genérico composto pela soma vetorial de “n” vetores “

” com direções aleatórias:

n

i

ir1

(3.31)

Para conhecer a distância entre extremidades da cadeia é necessário

determinar o módulo de “ r

”. O quadrado do módulo de pode ser obtido realizando o

produto escalar de um vetor por ele mesmo. Realizando esta operação vetorial em “ r

”

e aplicando na sua definição, descrita pela equação (3.31):

nnrrr

2121

2 (3.32)

De forma a simplificar a equação (3.32), é importante lembrar que todos os

vetores “ i

” possuem módulo “ ”. Desta forma, qualquer produto escalar “ ii

” terá

como resultado um escalar “ ”:

n

jk

jknn nnr

22

13121

22 (3.33)

A equação (3.33) descreve a distância quadrática entre extremidades de uma

cadeia polimérica. Entretanto, para descrever a deformação de um elastômero, é

necessário conhecer a distância média “ r ” entre extremidades de todas as “N”

cadeias poliméricas que compõe o material:

N

i i

n

jk

jknN

r1

22 21

(3.34)

Uma melhor interpretação da equação (3.34) pode ser obtida analisando com

maior profundidade o termo em somatório da equação (3.33):

kjjkjk cos

(3.35)

39

Onde “θkj” representa o ângulo entre os vetores “ k

” e “ j

”. Como o modelo

proposto de cadeia polimérica possui a hipótese básica de que cada segmento “ ”

pode adquirir qualquer orientação, independente da direção dos segmentos

adjacentes, é coerente presumir que todos os valores possíveis para ângulo “θkj”

possuem igual probabilidade de ocorrência.

Portanto, para cada produto interno de dois segmentos “ i

” que possuam um

determinado ângulo “θ”, existe outro produto interno de dois segmentos que possui

ângulo “θ + π”. Como cosθ = -cos(θ + π), a soma destes dois produtos internos

associados será zero, e por consequência o termo em somatório tenderá a zero. É

importante ressaltar que, de acordo com a equação (3.34), isto não precisa

necessariamente ocorrer em uma mesma cadeia polimérica.

Desta forma, a distância média quadrática entre extremidades de todas as

cadeias que compõe o elastômero pode ser descrita pela seguinte expressão:

22 nr (3.36)

Por definição, uma das extremidades da cadeia polimérica é fixada na origem

de um sistema de coordenadas cartesiano (Figura 3.9). Portanto, “2r ” pode ser

descrito em função das componentes do sistema de coordenadas de forma

semelhante à equação de uma esfera centrada na origem:

2222 zyxr (3.37)

Como uma das hipóteses básicas do modelo afirma que a rede de cadeias

poliméricas que compõe o elastômero é perfeita e isotrópica, a contribuição de cada

componente (x,y,z) pode ser considerada com igual probabilidade de ocorrência.

Desta forma, aplicando conceitos de probabilidade, a seguinte relação é obtida [27]:

2222

3zyx

r (3.38)

40

Considerando apenas a projeção no eixo “x” da equação (3.38) e aplicando

na equação (3.36):

33

222 nr

x (3.39)

De acordo com a equação (3.39), pode-se afirmar que cada segmento de

cadeia polimérica contribui, em média, em “ /√3” na projeção do eixo “x” da distância

média entre extremidades. Como a direção de cada segmento é considerada aleatória,

um determinado segmento pode contribuir com sinal positivo ou negativo nesta

projeção. Desta forma, do total de “n” segmentos que compõe uma cadeia polimérica

“n+” contribuem com sinal positivo enquanto “n-” contribuem com sinal negativo.

nnn (3.40)

Portanto, a projeção no eixo “x” pode ser representada pela seguinte

expressão:

3

nn

x (3.41)

A equação (3.41) pode ser solucionada como um problema de passeio

aleatório, pois é conhecido o ponto de partida (origem do sistema), qual é o módulo a

distância percorrida em cada incremento ( /√3), e que este deslocamento pode

ocorrer de forma aleatória em qualquer direção (“n+” ou “n-”). Definindo “ω(x)” como a

função densidade de probabilidade da posição da extremidade da cadeia polimérica, a

seguinte solução pode ser obtida para a equação (3.41) [29]:

22

21

xbeb

x

(3.42)

Onde “b” é uma constante definida pela seguinte expressão:

22

2

2

3

2

3

rnb

(3.43)

41

Evidentemente, a cadeia polimérica possui uma distribuição espacial

tridimensional. Generalizando a solução da projeção no eixo “x”, equação (3.42), para

o caso espacial:

2222

3

21,, zyxbe

bzyxzyx

(3.44)

Desta forma, a equação (3.44) estabelece a probabilidade da extremidade de

uma determinada cadeia estar localizada na coordenada (x,y,z). É interessante notar

que a forma desta expressão corresponde à distribuição de Gauss.

Com posse da equação (3.44), é obtido um modelo matemático estatístico

representativo do comportamento mecânico das cadeias poliméricas. Desta forma,

pode-se retornar às equações termodinâmicas para obter uma equação constitutiva

aplicável a elastômeros.

Diferenciando a energia livre de Helmholtz, equação (3.19), em relação à

variação de comprimento do elastômero e considerando que a deformação ocorre em

processo isotérmico e isovolumétrico (material incompressível), obtém-se uma

equação para descrever o esforço interno atuante no elastômero:

VTLf

,

(3.45)

Para auxiliar na solução da equação (3.45), considerando ainda processo

isotérmico e isovolumétrico, a energia livre de Helmholtz pode ser definida pela

seguinte equação, em que “U” representa a energia interna, “T” a temperatura

absoluta e “S” a entropia do material:

TSU (3.46)

O termo de entropia pode ser modelado adotando a equação da entropia de

Boltzmann, na qual esta quantidade física é relacionada com a constante de

Boltzmann (k) e a quantidade total de conformações possíveis na rede de cadeias

poliméricas que compõe o elastômero (Ω):

lnkS (3.47)

42

Se em uma condição hipotética todas as cadeias poliméricas estão

completamente estendidas, conforme apresentado na imagem mais à esquerda da

Figura 3.8, o valor de “Ω” é unitário e, desta forma, a entropia é zero. Esta condição já

havia sido prevista anteriormente de forma qualitativa.

Evidentemente, em um elastômero real, o valor “Ω” não é unitário, podendo

ser descrito pela função densidade de probabilidade de posição da extremidade da

cadeia polimérica, equação (3.44). De acordo com a hipótese (3), “Ω” pode ser

modelado da seguinte maneira:

N

i

zyx1

,, (3.48)


N

i

zyxkS1

,,ln (3.49)

Aplicando (3.44) em (3.49) e utilizando identidades logarítmicas:

N

i

iii zyxbkb

NkS1

2222

21ln3

(3.50)


N

i

iii zyxbkTb

NkTU1

2222

21ln3

(3.51)

Como o processo de deformação é modelado idealmente como isoenergético

(hipótese 2), o termo de energia interna (U) é uma constante. Além disto, uma parcela

do termo proveniente dos efeitos entrópicos também se tornou uma constante na

equação (3.51). Desta forma, define-se “ 0 ” como:

210 ln3

b

NkTU (3.52)

43

Com base nas equações (3.51) e (3.52), define-se “ n ” como a energia livre

de Helmholtz para um elastômero não deformado:

N

i

iiin zyxbkT1

2222

0 (3.53)

Com posse de uma expressão que descreve a energia livre de Helmholtz em

um elastômero, é possível avaliar qual é a parcela de sua energia que pode ser

convertida em trabalho. Supondo um estado de deformações principais aplicado a este

elastômero, representado pelos seus estiramentos principais “λi”:

ii xx 1 ; ii yy 1 ; ii zz 1 (3.54)

Como a rede formada de cadeias poliméricas é considerada perfeita e

uniforme (hipótese 1), a deformação macroscópica aplicada ao elastômero, descrita

pela equação (3.54), pode ser estendida para a deformação microscópica aplicada a

cada cadeia polimérica. Desta forma, xi’, yi’ e zi’ representam as coordenadas da

extremidade de uma cadeia polimérica deformada.

Definindo “ d ” como a energia livre de Helmholtz para um elastômero

deformado:

N

i

iiid zyxbkT1

2222

0 (3.55)


N

i

iiid zyxbkT1

22

3

22

2

22

1

2

0 (3.56)

Portanto a variação de energia livre devido à deformação aplicada ao

elastômero pode ser descrita pela diferença entre as equações (3.56) e (3.53):

N

i

N

i

i

N

i

ii zbybxbkT1 1

222

3

1

222

2

222

1 111 (3.57)

44

Como a rede de cadeias poliméricas é considerada ideal, pode-se definir que

a relação os componentes de distância entre extremidades da cadeia polimérica são

estabelecidos pela equação (3.58), semelhante ao apresentado na equação (3.38),

cuja validade era para uma única cadeia polimérica sem influência das cadeias

adjacentes:

2222

3iii

i zyxr

(3.58)


N

i

irbkT

1

222

3

2

2

2

1 33

(3.59)

Aplicando o valor da constante “b”, definida em (3.43), na equação (3.59):

N

i

irr

kT

1

2

2

2

3

2

2

2

1

13

2 (3.60)

Conforme deduzido anteriormente com auxílio de mecânica estatística, “2r ”

representa a distância quadrática média entre extremidades das cadeias considerando

estas isoladas, ou seja, sem a influência das cadeias adjacentes. Devido à presença

das ligações cruzadas no elastômero, é coerente pressupor que uma cadeia

polimérica pode influenciar na distância entre extremidades de uma cadeia adjacente,

causando uma determinada deformação inicial. Desta forma, definindo “2

0r ” como a

distância quadrática média entre extremidades de um elastômero real:

N

i

irN

r1

22

0

1 (3.61)


32

2

3

2

2

2

12

2

0 r

rNkT (3.62)

45

O termo “22

0 rr ” da equação (3.62) pode ser compreendido como o desvio

médio de um elastômero real em relação ao ideal, ou seja, avalia como a distância

entre extremidades das cadeias poliméricas é alterada devido à influência das cadeias

adjacentes. Caso não fosse considerada esta influência, o termo “22

0 rr ” possuiria

valor unitário.

Para solucionar a equação (3.62), é necessário definir o número de cadeias

poliméricas por unidade de volume (NV):

V

NNV (3.63)


32

2

3

2

2

2

12

2

0 r

rkTVNV (3.64)

Pode ser demonstrado que o módulo de cisalhamento “G” de um elastômero

é expresso pela seguinte equação [26]:

2

2

0

r

rkTNG V (3.65)


32

2

3

2

2

2

1 VG

(3.66)

Supondo uma solicitação de tração uniaxial no elastômero na direção “x” do

seu sistema de coordenadas, a deformação aplicada ao mesmo pode ser

representada por um estiramento principal “λ”:

1 (3.67)

Uma das hipóteses elementares para formulação de equações constitutivas

para elastômeros é que esta classe de material é incompressível, ou seja, uma

46

restrição ao campo de deformações deve ser aplicada de tal forma que seja obtido um

estado isovolumétrico de deformação. Esta condição é expressa, de forma

matemática, pela seguinte equação:

1321 (3.68)

Aplicando (3.67) em (3.68) e considerando que comportamento isotrópico do

material:

132 (3.69)

Aplicando (3.67) e (3.69) em (3.66):

3

2

2

2

VG (3.70)

A equação (3.45) estabelece a relação entre a energia livre de Helmholtz em

relação à variação de comprimento do elastômero. De forma a incorporar o conceito

de estiramento nesta expressão, utilizando a regra da cadeia de diferenciação:

dL

d

d

d

Lf

(3.71)


dL

dVGf

2

1 (3.72)

Definindo o volume do elastômero como o produto entre sua área inicial “A0”

pelo comprimento inicial “L0”, e definindo o estiramento “λ” como a variação do

comprimento do elastômero:

00LAV (3.73)

0L

L (3.74)

47

Aplicando (3.73) e (3.74) em (3.72):

20

1

GAf (3.75)

Definindo “σ” como a tensão de engenharia atuante no material:

2

0

1

G

A

f (3.76)

Desta forma, a equação (3.76) descreve a tensão atuante em um elastômero

submetido a uma tração uniaxial representada pelo estiramento principal “λ”. A

equação obtida corresponde ao modelo hiperelástico Neo Hookeano.

3.2.1.2. Modelo de Arruda-Boyce

Apesar de satisfazer todos os requisitos para equações constitutivas

hiperelásticas, o modelo Neo Hookeano, expresso pela equação (3.76), foi formulado

a partir de hipóteses simplificadoras extremamente idealizadas frente a um elastômero

real. Evidentemente, a rede de cadeias poliméricas se distancia bastante de uma rede

perfeita, acarretando com que o comportamento de uma cadeia polimérica interfira nas

adjacentes, e desta forma, a probabilidade real de distância entre extremidades de

uma determinada cadeia não pode ser descrita pela equação (3.44), que possui

propriedades de uma distribuição Gaussiana. Portanto, o modelo Neo Hookeano é

bastante limitado e pode representar bem o comportamento de elastômeros apenas

para pequenos níveis de deformação.

Como tentativa de obter uma equação constitutiva mais aprimorada, foram

desenvolvidos diversos modelos mecânicos com hipóteses mais realistas,

considerando uma rede polimérica cuja deformação não é descrita por estatística

Gaussiana. Um exemplo de modelo constitutivo que possui a capacidade de

representar melhor o comportamento de elastômeros em grandes deformações é o

modelo de Arruda-Boyce [30].

Neste modelo, cada cadeia polimérica também é composta por “n” segmentos

com comprimento “ ”, de tal forma que cada segmento pode adquirir qualquer

orientação, independente da direção dos segmentos adjacentes. Desta forma, a

distância entre extremidades de uma cadeia polimérica não deformada também é

48

regida por um problema de passeio aleatório podendo ser descrita pela equação (3.36)

(22 nr ). Evidentemente, outra expressão aplicável para este caso é a equação

(3.30), ( nL ), na qual é avaliado o comprimento máximo “L” que uma cadeia

polimérica pode ser estendida.

Definindo “λL” como o máximo estiramento que uma cadeia polimérica pode

suportar, o seu valor pode ser obtido a partir das equações (3.30) e (3.36):

nn

n

r

LL

(3.77)

Desta forma, a definição de “λL” age como uma informação adicional para

definir a distância entre extremidades de uma cadeia polimérica deformada “ ir ”. Com

o auxílio da estatística de Langevin, equações diferenciais estocásticas que

descrevem o movimento browniano, obtém-se a seguinte expressão para entropia de

uma cadeia polimérica deformada em “ ir ”. [30]:

senhln1

n

rnckS i (3.78)

Onde “c1” é uma constante, “k” é a constante de Boltzmann e “β” é o inverso

da função de Langevin:

n

rL i1 (3.79)

1

coth L (3.80)

A função densidade de energia de deformação do elastômero é proporcional

à alteração de entropia de todas as cadeias poliméricas que o compõe, podendo ser

definido pela seguinte expressão:

2senh

ln Tcn

rkTnNW i

V

(3.81)

49

Onde “c2” é uma constante, “T” a temperatura absoluta e “NV” representa o

número de cadeias poliméricas por unidade de volume. De posse da equação (3.81),

que representa a energia de deformação do elastômero, é necessário determinar qual

é a distância entre extremidades de uma cadeia polimérica deformada “ ir ”.

Para isto, é proposto um modelo de célula unitária cúbica composta por oito

cadeias poliméricas de tal forma que uma das extremidades de cada cadeia é

posicionada no centro do cubo, em um ponto comum de ligação entre as cadeias,

representando assim a reticulação do elastômero. A outra extremidade de cada cadeia

se encontra em um dos vértices do cubo. A disposição das cadeias poliméricas na

célula unitária está ilustrada na Figura 3.10:

Figura 3.10 – Modelo de célula unitária com oito cadeias poliméricas. Condição de elastômero

não deformado (esquerda) e deformado (direita)

Ainda da Figura 3.10, observa-se que a célula unitária possui aresta com

comprimento inicial “a0”. Quando submetido a uma deformação, o comprimento das

arestas é alterado para “λ1a0”, “λ2a0” e “λ3a0”, em cada uma das direções principais de

deformação. Portanto, uma hipótese importante deste modelo é que a célula unitária

sempre está alinhada a um estado principal de deformações do elastômero.

Considerando o estado não deformado da célula unitária, representado pela

imagem à esquerda da Figura 3.10, observa-se que a distância entre extremidades

inicial de cada cadeia polimérica está relacionada com a diagonal do cubo da célula

unitária da seguinte forma:

3

20

ra (3.82)

50

Em um estado deformado, representado pela imagem à direita da Figura

3.10, a distância entre extremidades deformada de cada cadeia polimérica pode ser

expressa por um vetor composto pelos seguintes componentes:

ka

ja

ia

riˆ

2ˆ

2ˆ

23

02

01

0

(3.83)

Realizando o produto escalar de “ ir

” por ele mesmo, obtém-se o comprimento

deste vetor:

2

3

2

02

2

2

02

1

2

02

444

aaarrr iii

2

3

2

2

2

10

2

ari (3.84)


2

3

2

2

2

13

r

ri (3.85)

O primeiro invariante do tensor de deformações “I1” pode ser definido como:

2

3

2

2

2

11 I (3.86)


13

Ir

ri (3.87)

51

Desta forma, com conhecimento da equação (3.87), a função densidade de

energia de deformação, equação (3.81), pode ser solucionada por uma expansão em

séries da seguinte forma [30]:

27

1050

19

20

13

2

1 3

14

2

121 IIIkTNWLL

V

243

673750

184

7000

1 5

18

4

16IIkTN

LL

V

(3.88)

Recapitulando que o módulo de cisalhamento é definido equação (3.65) e

desconsiderando o desvio médio da distância entre extremidades de um elastômero

real em relação ao ideal, e aplicando esta definição na equação (3.88), obtém-se uma

expressão final da função densidade de energia de deformação do modelo de Arruda-

Boyce:

27

1050

119

20

13

2

1 3

14

2

121 IIIGWLL

243

673750

51981

7000

19 5

18

4

16IIG

LL

(3.89)

3.2.2. Tratamento fenomenológico

No capítulo 3.2.1, os modelos hiperelásticos Neo Hookeano e de Arruda-

Boyce foram desenvolvidos aplicando restrições termodinâmicas e desenvolvendo

modelos mecânicos estatísticos complexos para estabelecer o comportamento das

cadeias poliméricas que constituem o elastômero. Diversas hipóteses foram

postuladas e representadas em expressões matemáticas de forma a obter uma

equação constitutiva representativa desta classe de materiais.

Uma alternativa a metodologia da termodinâmica estatística é propor

diretamente uma função densidade de energia de deformação, sujeita somente às

restrições de sólidos isotrópicos pela mecânica do contínuo. Com esta metodologia, é

almejado obter uma equação constitutiva observando somente o comportamento

macroscópico dos elastômeros, não havendo qualquer hipótese baseada em sua

estrutura molecular. Por esta razão, este método de obtenção de equações

hiperelásticas é denominado como tratamento fenomenológico.

52

Conforme indica a definição, a função densidade de energia de deformação

“W” mensura a energia de deformação do elastômero por unidade de volume [J/m³].

Para garantir que o material tenha comportamento perfeitamente elástico, “W” deve

ser função apenas do tensor gradiente de deformações (F).

FfW (3.90)

Em notação indicial, definindo “Xi” como a coordenada inicial de um

determinado ponto material e “xi” a coordenada espacial em que o material se localiza

após uma determinada deformação, o tensor gradiente de deformações “F” pode ser

definido como [31]:

i

iij

X

xF

(3.91)

Para fornecer isotropia à equação constitutiva, uma das hipóteses

elementares da hiperelasticidade, o tensor de Cauchy-Green à esquerda (B) é

adotado como medida para avaliar a deformação no elastômero, o que garante este

comportamento à equação constitutiva que será desenvolvida [31]:

TFFB (3.92)

Com a definição de “B” pela equação (3.92), pode-se redefinir a função

densidade de energia de deformação:

BfW (3.93)

Se a “W” é função apenas de “B”, a energia de deformação deve ser função

dos invariantes de “B”, definidos pelas seguintes expressões [31]:

iiBtrI B1 (3.94)

jiijkk BBBtrtrI 222

22

1

2

1BB (3.95)

kjiijk BBBI 3213 det B (3.96)

53

Definindo um sistema de coordenadas orientado pelos autovetores de “B”, o

tensor de Cauchy-Green à esquerda pode ser representado em notação matricial

conforme a equação (3.97), sendo “bi” os autovalores associados.

3

2

1

00

00

00

b

b

b

B (3.97)

Esta referência está associada a um estado de deformações principais do

material. Desta forma, a deformação do material pode ser representada pelos seus

estiramentos principais “λi”:

iii Xx (3.98)

Aplicando (3.98) em (3.91), o tensor gradiente de deformações “F” pode ser

representado em notação matricial em termos dos estiramentos principais “λi”:

3

2

1

00

00

00

F (3.99)


2

3

2

2

2

1

00

00

00

B (3.100)

Aplicando (3.100) em (3.94), (3.95) e (3.96), os invariantes de “B” podem ser

redefinidos em função dos estiramentos principais “λi”:

2

3

2

2

2

11 I (3.101)

2

3

2

1

2

3

2

2

2

2

2

12 I (3.102)

2

3

2

2

2

13 I (3.103)

O Jacobiano, representado pelo determinante de “F”, representa a variação

de volume do material frente à deformação atuante. Como uma das hipóteses

54

elementares da hiperelasticidade afirma que o material pode ser modelado com

comportamento incompressível, o valor do Jacobiano é unitário:

1det 321 F (3.104)

Aplicando (3.104) em (3.102) e (3.103):

2

3

2

2

2

1

2

111

I (3.105)

13 I (3.106)

Desta forma, sendo “I3” uma constante, a função densidade de energia de

deformação pode ser redefinida como função apenas dos dois primeiros invariantes:

21, IIfW (3.107)

Utilizando o princípio dos trabalhos virtuais, as tensões principais do primeiro

tensor de Piola-Kirchhoff “σ”, usualmente denominado de tensão de engenharia,

podem ser obtidas pela seguinte expressão:

i

i

W

(3.108)

Aplicando a regra da cadeia de diferenciação na equação (3.108) e

considerando que 21, IIfW :

ii

i

I

I

WI

I

W

2

2

1

1

(3.109)

A relação entre a tensão de Cauchy “σr”, usualmente denominada de tensão

real, com a primeira tensão de Piola-Kirchhoff é dada pela seguinte expressão:

rσJFσ1 (3.110)

55

Com o conhecimento de que o jacobiano é unitário e com “F-1” podendo ser

determinado a partir de (3.99), obtém-se a seguinte relação entre os componentes de

tensão:

iiir (3.111)

Portanto, de forma resumida, qualquer função densidade de energia de

deformação proposta deve depender apenas do primeiro e do segundo invariante do

tensor de Cauchy-Green à esquerda, definidos pelas equações (3.101) e (3.105), e a

tensão associada pode ser determinada pelas equações (3.109) e (3.111).

Serão apresentados a seguir alguns modelos fenomenológicos adotados para

descrever o comportamento hiperelástico de materiais elastoméricos.

3.2.2.1. Modelo Neo Hookeano por tratamento fenomenológico.

O modelo Neo Hookeano já foi deduzido através de tratamento

termodinâmico estatístico. Entretanto, é relevante verificar que, se for adotada uma

função densidade de energia de deformação conforme a equação (3.112) [32], será

obtida uma equação constitutiva hiperelástica equivalente à deduzida anteriormente.

3110 ICW (3.112)

Redefinindo a equação (3.66) em termos do primeiro invariante do tensor de

Cauchy-Green à esquerda, equação esta que descreve a energia livre de Helmholtz

do modelo Neo Hookeano:

32

1 IVG

(3.113)

Recordando que a energia livre de Helmholtz mensura a energia total um

sistema termodinâmico que pode ser convertida em trabalho [J], enquanto que a

função densidade de energia de deformação mensura a energia de deformação do

56

elastômero por unidade de volume [J/m³], observa-se a seguinte relação entre as

constantes das equações (3.112) e (3.113):

210

GC (3.114)

3.2.2.2. Modelo de Mooney-Rivlin

O modelo de Mooney-Rivlin é formulado a partir da função densidade de

energia de deformação proposta pela equação (3.115) [32]:

33 201110 ICICW (3.115)

Bastante semelhante ao modelo Neo Hookeano, a diferença é a incorporação

da hipótese de que a deformação do elastômero também depende do segundo

invariante do tensor de Cauchy-Green à esquerda.

3.2.2.3. Modelo de Ogden

O modelo de Ogden é formulado a partir da função densidade de energia de

deformação proposta pela equação (3.116) [32]:

N

i i

i iiiW1

32123

2

(3.116)

Observa-se que o modelo de Ogden diferencia um pouco das formulações

anteriormente apresentadas. Ao invés de ser função dos invariantes do tensor de

Cauchy-Green à esquerda, este modelo depende diretamente dos estiramentos

principais. É interessante observar que, se forem adotados coeficientes adequados, o

modelo de Ogden pode representar o modelo Neo Hookeano ou o modelo de Mooney-

Rivlin.

3.2.2.4. Modelo de Yeoh

Este modelo hiperelástico propõe que a deformação do elastômero depende

mais intensamente do primeiro invariante do tensor de Cauchy-Green à esquerda,

sendo mais vantajoso desconsiderar os efeitos do segundo invariante [33]. A função

57

densidade de energia de deformação proposta está apresentada na equação (3.117)

[32]:

3130

2

120110 333 ICICICW (3.117)

3.2.2.5. Modelo Polinomial

O modelo Polinomial é formulado a partir da função densidade de energia de

deformação proposta pela equação (3.118) [10]:

N

ji

ji

ij IICW1

21 33 (3.118)

Esta equação constitutiva costuma fornecer boa correlação para deformações

inferiores a 100%. Adotando coeficientes “Cij” adequados, o modelo Polinomial pode

representar o modelo Neo Hookeano, o Modelo de Mooney-Rivlin, ou o Modelo de

Yeoh.

3.2.2.6. Modelo Polinomial Reduzido

O modelo Polinomial Reduzido é bastante semelhante ao modelo Polinomial.

A única diferença é que é desconsiderada a influência do segundo invariante do tensor

de Cauchy-Green à esquerda. A função densidade de energia de deformação

proposta está apresentada na equação (3.119) [10]:

N

i

i

i ICW0

10 3 (3.119)

Se for considerado “N=3”, o modelo Polinomial Reduzido representa o modelo

de Yeoh. Desta forma, este modelo é por vezes denominado como modelo de Yeoh

Generalizado.

3.2.3. Comentários sobre abordagens para obtenção de equações constitutivas hiperelásticas

Observa-se que, dependendo da abordagem adotada, os meios para

obtenção de equações hiperelásticas são bastante diferenciados. Entretanto, as

58

expressões finais obtidas possuem semelhanças, pois a tensão atuante no elastômero

pode ser representada em função dos invariantes do tensor de Cauchy-Green à

esquerda.

Alguns autores defendem que o tratamento termodinâmico estatístico é mais

adequado, pois a deformação do elastômero é modelada a partir de comportamentos

físicos específicos desta classe de material, e somente deste modo o comportamento

mecânico pode ser estabelecido com eficácia [30].

Outros autores defendem que o tratamento fenomenológico possui melhor

capacidade de representar o comportamento do elastômero em grandes deformações,

visto que, no caso do tratamento estatístico, a adoção de hipóteses simplificadoras

para modelar o comportamento microscópico das cadeias poliméricas desvia o foco

principal das equações hiperelásticas, isto é, a obtenção de um modelo que

represente o comportamento macroscópico do material [26, 27].

Além disto, também foram desenvolvidos modelos híbridos que utilizam

ambos os tratamentos para modelar o comportamento dos elastômeros. Alguns

modelos aplicam parâmetros de ajuste fenomenológicos para corrigir imperfeições da

mecânica estatística, outros combinam diferentes modelos para permitir a descrição

do material em pequenas e grandes deformações [32].

A priori, não é possível afirmar qual abordagem ou modelo é o mais

adequado para representar o comportamento de um determinado elastômero. A

melhor metodologia a ser realizada é verificar qual equação constitutiva mais se

adequa ao problema que está sendo modelado, observando não somente o material,

mas também a sua aplicação, como por exemplo, se está submetido a pequenas ou

grandes deformações.

3.3. Comportamento viscoelástico

As equações hiperelásticas acima deduzidas são capazes de descrever com

eficácia o comportamento de elastômeros em uma condição de equilíbrio. Entretanto,

é conhecido que o comportamento mecânico desta classe de materiais é dependente

também da taxa de carregamento.

Assim como na análise da hiperelasticidade, o comportamento mecânico em

função da taxa de carregamento também pode ser compreendido analisando a

microestrutura dos materiais elastoméricos. A elasticidade dos polímeros, tipo de

material a qual pertence os elastômeros, provém da deformação de suas cadeias

poliméricas (alteração do ângulo das ligações principais e consequente alteração de

conformação da cadeia). Quando uma deformação é aplicada, as cadeias poliméricas

59

tendem a deslizar entre si, causando um atrito interno no material, e por fim gerando

um efeito macroscópico de defasagem entre solicitação e resposta.

Dependendo da temperatura de trabalho e/ou do tempo de aplicação de

carregamento, o efeito do atrito entre as cadeias poliméricas pode se tornar mais

evidente. Com isto, verifica-se a presença de toda a gama de respostas intermediárias

entre sólido perfeitamente elástico e líquido viscoso ideal, ou seja, um comportamento

mecânico viscoelástico [34].

3.3.1. Viscoelasticidade linear

Conforme o próprio termo indica, um modelo viscoelástico deve apresentar ao

mesmo tempo características elásticas e viscosas, o que corresponderia

individualmente ao comportamento de um material sólido e de um material líquido,

respectivamente. Uma abordagem extensivamente utilizada para descrever este

fenômeno se baseia em combinações de elementos que representem estes

comportamentos extremos de um material dito viscoelástico, fornecendo uma equação

diferencial para descrever o comportamento mecânico de um polímero [34].

A parcela elástica de um modelo viscoelástico linear é representada

mecanicamente por uma mola cujo comportamento é regido pela Lei de Hooke.

Portanto, a tensão atuante no elemento elástico é diretamente proporcional à

deformação aplicada, cuja proporcionalidade é estabelecida por um módulo de

elasticidade “E”, conforme estabelecido na equação (3.120):

E (3.120)

A parcela viscosa do modelo é representada mecanicamente por um

amortecedor composto por um fluido newtoniano. Desta forma, a tensão atuante no

elemento viscoso é diretamente proporcional à taxa de deformação aplicada, cuja

proporcionalidade é estabelecida por um coeficiente de viscosidade “η”, conforme

estabelecido na equação (3.121):

dt

d (3.121)

Para facilitar a compreensão dos modelos mecânicos de viscoelasticidade, os

componentes são comumente representados de maneira gráfica conforme ilustrado na

Figura 3.11:

60

Figura 3.11 – Representação gráfica de um elemento mecânico elástico (esquerda) e de um

elemento mecânico viscoso (direita)

3.3.1.1. Modelo de Kelvin-Voigt

O modelo de Kelvin-Voigt é composto pelo acoplamento em paralelo de uma

mola e de um amortecedor, conforme ilustrado na Figura 3.12

Figura 3.12 – Representação gráfica do modelo viscoelástico linear de Kelvin-Voigt

Como os elementos estão em paralelo, a tensão atuante no modelo é dada

pela soma das tensões individuais de cada elemento, enquanto que a deformação

total do modelo é igual à deformação individual de cada componente:

21 (3.122)

21 (3.123)

σ, ε σ1, ε1 E σ2, ε2 η

61

Aplicando as relações constitutivas dos elementos individuais, equações

(3.120) e (3.121), na equação (3.122) é obtida a expressão que descreve a tensão

atuante no modelo de Kelvin-Voigt:

dt

dE

(3.124)

Um método comum para verificar a ocorrência de efeitos viscoelásticos em

materiais é a execução de um ensaio de relaxação, na qual uma determinada

deformação prescrita é aplicada e a evolução tensão é monitorada. Matematicamente,

a condição de relaxação é representada pela seguinte expressão:

0dt

d (3.125)

Aplicando (3.125) em (3.124), é imediatamente compreendido que o modelo

de Kelvin-Voigt se comporta em relaxação como um sólido perfeitamente elástico, pois

o resultado fica degenerado à solução do elemento mecânico elástico, expresso pela

equação (3.120).

Portanto, conclui-se que o modelo de Kelvin-Voigt não reproduz

completamente o comportamento viscoelástico de polímeros.

3.3.1.2. Modelo de Maxwell

O modelo de Maxwell é composto pelo acoplamento em série de uma mola e

de um amortecedor, conforme ilustrado na Figura 3.13:

Figura 3.13 – Representação gráfica do modelo viscoelástico linear de Maxwell

σ1, ε1 E

σ2, ε2 η

σ, ε

62

Como os elementos estão em série, a tensão atuante em ambos os

elementos deve ser a mesma, enquanto que a deformação total do modelo pode ser

descrita como a soma das deformações individuais de cada elemento:

21 (3.126)

21 (3.127)

Diferenciando a equação (3.127) em relação ao tempo:

dt

d

dt

d

dt

d 21 (3.128)

Diferenciando a equação constitutiva do elemento elástico, representado pela

equação (3.120), em relação ao tempo:

dt

dE

dt

d 1 (3.129)

Aplicando (3.129) em (3.128):

dt

d

dt

d

Edt

d 21 (3.130)

Aplicando a equação constitutiva do elemento viscoso, representado pela

equação (3.121), na equação (3.130), é obtida a expressão que descreve a taxa de

deformação do modelo de Maxwell:

dt

d

Edt

d 1 (3.131)

Uma análise importante a ser realizada no modelo de Maxwell é considerar

uma situação de solicitação de fluência, ou seja, em que a tensão atuante no material

é permanecida constante e a evolução de deformação é monitorada.

Matematicamente, a condição de fluência é representada pela seguinte expressão:

0dt

d (3.132)

63

Aplicando (3.132) em (3.131):

dt

d (3.133)

Analisando o resultado apresentado na equação (3.133), observa-se que o

modelo de Maxwell se comporta em fluência como um fluido viscoso, pois o resultado

fica degenerado à solução do elemento mecânico viscoso, expresso pela equação

(3.121).

Portanto, conclui-se que o modelo de Maxwell não reproduz completamente o

comportamento viscoelástico de polímeros.

3.3.1.3. Modelo Sólido Padrão

Conforme apresentando anteriormente, os modelos de Kelvin-Voigt e de

Maxwell falham em descrever completamente o comportamento viscoelástico de

polímeros, sendo que cada modelo possui uma determinada deficiência frente a uma

solicitação específica.

De forma a descrever com maior veracidade o comportamento de um

polímero, o modelo conhecido como Sólido Padrão é composto pelo acoplamento de

um modelo de Maxwell em paralelo com um elemento de mola, conforme ilustrado na

Figura 3.14:

Figura 3.14 – Representação gráfica do modelo viscoelástico linear de Maxwell

Evidentemente, a solução da composição a direita do modelo Sólido Padrão

corresponde à solução do modelo de Maxwell, representado matematicamente pela

σ, ε

E1

η

σ2, ε2 E2 σ1, ε1

64

equação (3.131), cujos parâmetros serão representados neste momento pelo

subíndice “1”.

Como o elemento de mola adicional é acoplado em paralelo ao modelo de

Maxwell, a tensão atuante no modelo Sólido Padrão é dada pela soma das tensões de

cada ramo, enquanto que a deformação total do modelo é igual à deformação

individual de cada ramo:

21 (3.134)

21 (3.135)

Aplicando a solução do modelo de Maxwell e a equação constitutiva do

elemento elástico, equações (3.131) e (3.120) respectivamente, na equação (3.134):

21

1

1E

dt

d

Edt

d

(3.136)

Derivando a equação (3.134) em relação ao tempo:

dt

d

dt

d

dt

d 21 (3.137)

Aplicando (3.137) em (3.136):

22

1

1E

dt

d

dt

d

Edt

d

(3.138)

Diferenciando a equação constitutiva do elemento elástico, representado pela

equação (3.120), em relação ao tempo:

dt

dE

dt

d 2

2 (3.139)

65

Aplicando (3.139) em (3.138) e reorganizando os termos, é obtida a equação

diferencial que descreve o comportamento mecânico do modelo Sólido Padrão:

dt

d

E

EE

dt

d

E

1

22

1

1 (3.140)

A eficiência do modelo Sólido Padrão pode ser analisada verificando o seu

comportamento sob uma solicitação de relaxação ou de fluência, solicitações nas

quais os modelos anteriormente deduzidos falharam em descrever.

Em uma solicitação de relaxação, o material é submetido a uma determinada

deformação prescrita “ε0” e a evolução tensão é monitorada. Aplicando esta condição

no modelo Sólido Padrão, a seguinte solução é obtida:

02

1

Edt

d

E (3.141)

Considerando uma condição inicial (t=0) na qual o modelo Sólido Padrão é

submetido a uma tensão inicial “σi”, deseja-se verificar qual seria a tensão final “σf”

atuante no modelo após um determinado tempo “t”. Reorganizando a equação (3.141)

e definindo limites de integração apropriados para esta análise:

t

dtE

dE

f

i 0

1

02

1

(3.142)

tE

EE if

10202 lnln (3.143)

Reorganizando a equação (3.143) isolando “σf”:

tE

i

tE

f eeE

11

102 (3.144)

Analisando o resultado do modelo Sólido Padrão em relaxação, a tensão

inicial “σi” decai exponencialmente para uma tensão de equilíbrio “E2ε0”, cujo tempo de

decaimento depende de uma constante estabelecida pela relação “E1/η”. Este

comportamento indica que a condição de equilíbrio corresponde somente ao

66

comportamento do modelo de mola em paralelo do modelo Sólido Padrão, enquanto

que o comportamento transiente corresponde à composição representativa de um

modelo de Maxwell (ver Figura 3.14).

Realizando uma análise semelhante para um caso de fluência, na qual a

tensão atuante no material é permanecida constante em “σ0” e a evolução de

deformação é monitorada, o comportamento do modelo Sólido Padrão é descrito pela

seguinte equação:

dt

d

E

EE

1

220 1 (3.145)

Considerando uma condição inicial (t=0) na qual o modelo Sólido Padrão é

submetido a uma deformação inicial “εi”, deseja-se verificar qual seria a deformação

final “εf” aplicada ao modelo após um determinado tempo “t”. Reorganizando a

equação (3.145) e definindo limites de integração apropriados para esta análise:

t

dtEE

Ed

E

f

i 021

1

20

11

(3.146)

tEE

EEE

Eif

21

12020

2

1lnln

1

(3.147)

Reorganizando a equação (3.147) isolando “εf”:

21

21

21

21 11

2

0 1EE

EE

i

EE

EE

f eeE

(3.148)

Analisando o resultado do modelo Sólido Padrão em fluência, a deformação

inicial “εi” decai exponencialmente para uma deformação de equilíbrio “σ0/E2”, cujo

tempo de decaimento depende de uma constante em função dos parâmetros elásticos

e viscosos do modelo.

Analogamente ao resultado obtido para a solicitação de relaxação, o

comportamento em fluência do modelo Sólido Padrão também indica que a condição

de equilíbrio corresponde ao comportamento individual do modelo de mola, enquanto

que a condição viscoelástica transiente corresponde à composição representativa de

um modelo de Maxwell (ver Figura 3.14).

67

3.3.2. Modelo de Bergstrom-Boyce – viscoelasticidade não-linear aplicada a elastômeros

Dos modelos viscoelásticos lineares anteriormente estudados, o mais

adequado para descrever a reposta geral de polímeros é o modelo Sólido Padrão.

Entretanto, o comportamento dos elementos elásticos que compõe este modelo é

regido pela lei de Hooke e o elemento viscoso considera um comportamento de fluido

newtoniano.

De acordo com estas leis constitutivas, o resultado obtido para o modelo

Sólido Padrão só é válido para pequenas deformações e taxas de deformação [34], o

que pode ser considerado como uma regra razoavelmente geral para plásticos e

fibras, mas seria apenas uma condição particular para o caso de elastômeros.

De forma a adequar o modelo Sólido Padrão para materiais elastoméricos, foi

desenvolvido o modelo de Bergstrom-Boyce [35], na qual os elementos elásticos não

respondem mais à lei de Hooke, mas sim a uma determinada equação constitutiva

hiperelástica. Esta hipótese é adequada, pois existem evidências de que a o

comportamento de elastômeros sob uma solicitação infinitamente lenta corresponde a

teoria da hiperelasticidade [35].

Considerando um modelo hiperelástico fenomenológico, a tensão atuante em

um elemento elástico depende da função densidade de energia de deformação

adotada (W) e do tensor gradiente de deformações (F) atuante no componente

elástico.

De maneira análoga, o elemento viscoso não pode ser modelado com base

no comportamento de fluido newtoniano. A taxa de deformação atuante no elemento

viscoso é mensurada pelo tensor gradiente de velocidade (L), sendo definido pela

seguinte equação [31]:

vL grad (3.149)

De maneira alternativa, o tensor gradiente de velocidade pode ser relacionado

com o tensor gradiente de deformações pela seguinte equação [31]:

1 FFL (3.150)

O tensor gradiente de velocidade do elemento viscoso (v

BL~

) é definido

constitutivamente pela taxa de deformação viscosa (v

B ) e por “NB”, tensor que fornece

68

a direção para a configuração relaxada do elastômero, isto é, condição em que não há

efeitos de forças viscosas [35]:

B

v

B NLv

B~

(3.151)

Onde “BN ” é definido pela seguinte equação:

B

B

rdev

rdev

Bσ

σN

2

3 (3.152)

Na equação (3.152), “Brdevσ ” indica o tensor deviatórico de tensões de

Cauchy atuante no domínio “B” e “Brdevσ ” sua magnitude, sendo determinada pela

seguinte expressão [31]:

Brdevrdevrdev σσσ

BB

Ttr (3.153)

Conforme apresentado nas equações (3.150) e (3.151), as variáveis do

modelo de Bergstrom-Boyce são estabelecidas na forma tensorial, ou seja, são válidas

para um caso tridimensional geral de solicitações. Entretanto, para facilitar a

compreensão do modelo, uma representação gráfica unidimensional do modelo de

Bergstrom-Boyce é apresentada na Figura 3.15. Verifica-se que o seu conceito é o

mesmo do modelo Sólido Padrão (Figura 3.14): uma parte modela o comportamento

do elastômero em equilíbrio (domínio “A”) em paralelo com outra parte que captura o

comportamento viscoelástico transiente do material (domínio “B”) [35]:

69

Figura 3.15 – Representação unidimensional do modelo de Bergstrom-Boyce

Analisando somente o domínio “B”, os elementos elástico e viscoso estão em

série. Portanto, ambos estão submetidos ao tensor de tensões “Bσ ”. Como os

domínios “A” e “B” estão dispostos em paralelo, o tensor de tensões atuante no

modelo é dado pela soma dos tensores individuais de cada domínio:

BA σσσ (3.154)

Por se tratar de um único material, é coerente definir que o comportamento

dos elementos elásticos dos domínios “A” e “B” deve ser semelhante, ou seja, que

deve ser adotado o mesmo modelo hiperelástico e que seus coeficientes devem ter

uma relação definida. Com base nesta hipótese, define-se “S” como o fator de escala

de tensão para definir a função densidade de energia de deformação do domínio “B”

(WB) como função de “WA”, recordando que esta segunda função corresponde à

solução hiperelástica para uma solicitação infinitamente lenta:

AB SWW (3.155)

A representação unidimensional da Figura 3.15 não é suficiente para

determinar o comportamento em deformação do modelo de Bergstrom-Boyce em

notação tensorial. Como o domínio “B” está em paralelo com o domínio “A”, a

deformação total do modelo é igual à deformação individual de cada domínio. Em

σ, ε

e

BB Fσ ,BWf

AA Fσ ,AWf

B

v

B NLv

B~

Domínio “A” Domínio “B”

70

notação tensorial, o tensor gradiente de deformações do modelo (F) é igual ao tensor

gradiente de deformações de cada domínio:

BA FFF (3.156)

O tensor gradiente de deformações do domínio “B” pode ser decomposto

como o produto dos tensores de deformação do modelo elástico (e

BF ) e do modelo

viscoso (v

BF ):

v

B

e

BB FFF (3.157)

Uma representação gráfica da decomposição multiplicativa de deformação do

modelo de Bergstrom-Boyce está apresentada na Figura 3.16 [36]:

Figura 3.16 – Decomposição multiplicativa de deformação do modelo de Bergstrom-Boyce

Da Figura 3.16, observa-se que não há dificuldade em encontrar a

configuração relaxada do elastômero. Quando uma determinada deformação

constante é aplicada ao elastômero em um tempo suficientemente elevado, é obtida

uma condição em que “ IFe

B ” (tensor identidade) e a solução se reduz ao caso da

equação constitutiva hiperelástica. Entretanto, para uma condição transiente genérica,

na qual há uma determinada deformação atuante no elemento elástico do domínio "B",

é necessário determinar a taxa de deformação neste domínio, representado

BA FFF

v

BF

e

BF

Configuração de

referência

Configuração

atual

Configuração relaxada

71

matematicamente pelo tensor gradiente de velocidade do domínio "B" (BL ). Aplicando

a equação (3.150) para o caso do domínio “B”:

1 BBB FFL (3.158)

Aplicando (3.157) em (3.158):

1 v

B

e

B

v

B

e

BB FFFFL (3.159)

Aplicando propriedades de tensor inverso e de diferenciação de tensores na

equação (3.159) [31]:

1111 e

B

v

B

v

B

e

B

e

B

v

B

v

B

e

BB FFFFFFFFL

111 e

B

v

B

v

B

e

B

e

B

e

BB FFFFFFL (3.160)

Observando a definição de “L” em função de “F”, definido pela equação

(3.150), e aplicando na equação (3.160):

1 e

B

v

B

e

B

e

BB FLFLL (3.161)

Definindo “v

BL~

” como:

1~ e

B

v

B

e

B

v

B FLFL (3.162)

Aplicando (3.162) em (3.161):

v

B

e

BB LLL~

(3.163)

.

72

O tensor “v

BL~

” pode ser descrito como a soma de sua parte simétrica (v

BD~

),

representando a taxa de estiramento no material, com sua parte antissimétrica (v

BW~

),

representando um movimento de corpo rígido no material:

v

B

v

B

v

B WDL~~~

(3.164)

2

~~~

Tv

B

v

Bv

B

LLD

(3.165)

2

~~~

Tv

B

v

Bv

B

LLW

(3.166)

Em um processo de descarregamento definido pelo tensor gradiente de

velocidade “v

BL~

”, uma etapa intermediária não tem solução única, visto que um

movimento de corpo rígido arbitrário pode acarretar em um estado nulo de tensões.

Uma das soluções possíveis para tornar o processo de deformação único é considerar

o movimento de corpo rígido viscoso nulo ( 0~

v

BW ) [35]. Desta forma, a equação

(3.151) pode ser simplificada como:

B

v

B NDv

B~

(3.167)

Conforme mencionado anteriormente, a taxa de deformação viscosa “v

B ”

precisa ser definida constitutivamente. O modelo de Bergstrom-Boyce define este

parâmetro com base na Teoria de Reptação, modelo molecular que visa descrever o

comportamento em deformação das cadeias poliméricas.

A Figura 3.17 mostra o esquema de uma rede polimérica na qual existe uma

cadeia polimérica livre, representada na cor vermelha. Os pontos da figura

representam cadeias normais ao plano da folha [36]:

73

Brancaco

Figura 3.17 – Modelo de cadeia polimérica com uma cadeia livre

Na Figura 3.17, a situação (a) representa a rede polimérica não deformada.

Em um determinado instante, o elastômero é deformado em uma elevada taxa de

deformação, sendo obtida a situação (b). Como não há tempo suficiente para o

relaxamento das cadeias poliméricas, a cadeia livre representada em vermelho é

estirada, reduzindo sua entropia e gerando como reação um esforço adicional na rede

polimérica. Se a deformação macroscópica aplicada ao material é mantida constante,

a cadeia livre tende a retornar para uma configuração relaxada, aumentado assim a

sua entropia, situação representada em (c). Neste momento, nenhum esforço adicional

é aplicado e a rede polimérica atinge sua configuração relaxada [36].

Com base neste modelo, foi deduzida a seguinte equação representativa da

taxa de deformação viscosa “v

B ” para o modelo de Bergstrom-Boyce [35]:

mB

Ccr

B

v

B EA 1 (3.168)

(a) Rede não

deformada

(b) Rede

deformada

(c) Rede

deformada

relaxada

74

Onde “cr

B ” é o estiramento de fluência do domínio “B” e “B ” é a tensão

efetiva atuante no domínio “B”. Estes parâmetros são determinados pelas seguintes

equações:

Tcr

B trtr v

B

v

B

v

B FFB3

1

3

1 (3.169)

BB rdevrdev σσ :2

3B (3.170)

“A”, “E”, “C” e “m” são constantes materiais que definem o comportamento do

modelo constitutivo viscoso:

“A” – Parâmetro de fluência. Valor não negativo que pode ser

interpretado como o valor base de viscosidade, sendo este

independente da taxa de carregamento e da tensão atuante.

“E” – Constante de estabilização do modelo de Bergstrom-Boyce. Este

parâmetro não é baseado em nenhum argumento físico e não estava

presente na dedução inicial do modelo. Entretanto, se na equação

(3.168) for considerado “E=0” e uma situação de material não

deformado ( 1cr

B ), observa-se que o modelo chega a uma

singularidade e a equação constitutiva não tem solução. Desta forma

“E” é utilizado como um artifício para tornar o modelo mais estável,

sendo comumente considerado E≈0,01 [37].

“C” – Expoente de deformação de fluência. Expoente restrito a valores

no domínio [-1,0], fornecendo uma não linearidade em função da

deformação de fluência atuante no domínio “B”.

“m” – Expoente de tensão efetiva. Expoente normalmente com valor

maior que 1, fornecendo uma não linearidade em função da tensão

atuante no domínio “B”

3.4. Efeito Mullins

Anteriormente, foi discutido que o comportamento em equilíbrio dos

elastômeros pode ser descrito com eficácia pelas equações constitutivas

hiperelásticas. Entretanto, nesta classe de materiais, raramente uma solicitação real é

aplicada de forma suficientemente lenta tal que possa ser considerada um

75

carregamento quase estático, ou seja, que a deformação do elastômero pode ser

representada como a evolução de uma sucessão de estados de equilíbrio. Para

capturar o comportamento mecânico dependente da taxa de carregamento, foi

discutido que é necessário adotar um modelo viscoelástico, sendo o modelo de

Bergstrom-Boyce um ótimo candidato para descrever a viscoelasticidade dos

elastômeros.

Embora bastante sofisticado, o uso de um modelo visco-hiperelástico não-

linear ainda não é suficiente para descrever completamente a resposta de alguns

elastômeros, sendo o caso do elastômero de poliuretano um exemplo. Nestes casos

específicos, ainda é necessário aprimorar o modelo mecânico de forma a introduzir o

comportamento do efeito Mullins em sua resposta.

Considerando um elastômero virgem, o material tende a responder de uma

maneira mais rígida em uma primeira solicitação do que em carregamentos

subsequentes. Se os próximos carregamentos forem inferiores à deformação máxima

à qual o elastômero já foi submetido, é observado um comportamento com menor

rigidez na curva “tensão-deformação” do material. Este fenômeno foi observado pela

primeira vez por Mullins em 1969 [38].

A Figura 3.18 ilustra em maiores detalhes o comportamento característico do

efeito Mullins em um elastômero hipotético. Em um primeiro momento, dois

carregamentos cíclicos são aplicados até uma deformação normalizada de

aproximadamente 20% (curva azul). Em seguida, o material é submetido a três

carregamentos cíclicos de aproximadamente 50% deformação normalizada (curva

alaranjada). Por último, quatro carregamentos cíclicos são aplicados ao material em

uma deformação normalizada prescrita de aproximadamente 100% (curva vermelha).

A linha tracejada de cor preta representa o comportamento do material em equilíbrio

hiperelástico, ou seja, a resposta obtida a partir de um ensaio de tração monotônica de

um elastômero virgem.

76

Figura 3.18 – Curva característica do efeito Mullins

Analisando de forma crítica o comportamento exposto na Figura 3.18,

observam-se as principais características do efeito Mullins [39]:

A perda de rigidez ocorre em deformações inferiores à máxima

deformação aplicada ao elastômero em todo o seu histórico de

solicitações. Se uma solicitação excede a máxima deformação prévia,

o elastômero torna a se comportar de maneira semelhante a um

material virgem (comportamento se aproxima do resultado de um

ensaio de tração monotônica).

Considerando uma série de carregamentos cíclicos atingindo uma

mesma deformação máxima, a maior parte da perda de rigidez do

material ocorre no primeiro ciclo de carregamento. Após poucos ciclos

(valores de 6 a 10 são relatados na literatura [40]), o comportamento

do material se estabiliza, porém, apresentando ainda um laço de

histerese em sua resposta.

Foi constatado que a histerese não está relacionada com o efeito

Mullins [35]. Portanto, este comportamento é oriundo da

viscoelasticidade do material.

Além da perda de rigidez, observa-se a presença de uma deformação

residual proporcional à máxima deformação a qual o material foi

submetido.

Em alguns experimentos relatados na literatura, observou-se que a

deformação residual tende a se reduzir e até mesmo se extinguir com

o tempo. Entretanto, diversas referências citam que este fenômeno

Ten

são

Deformação

77

não está diretamente relacionado com a viscoelasticidade do material

[39, 40, 41]. Em alguns elastômeros, também é observada

recuperação de rigidez.

O efeito Mullins é mais significativo em elastômeros que apresentem elevada

adição de carga (aditivos) em sua composição e em elastômeros que apresentem

alguma cristalização, como é o caso do elastômero de poliuretano (ver capítulo 3.1.1).

Apesar de o efeito Mullins ser conhecido há quase meio século, ainda não há um

consenso de qual é a origem física microscópica deste fenômeno [39].

Uma das teorias interpreta que a perda de rigidez ocorre devido à ruptura de

algumas cadeias da rede polimérica. Para explicar a teoria, é considerado que

determinadas regiões do material podem ser modeladas por diversas cadeias

poliméricas que compartilham os mesmos pontos em suas extremidades (ligações

cruzadas), e que estes pontos podem ser tratados como partículas rígidas.

Considerando uma deformação uniforme ao longo da direção formada pela linha

definida por estes dois pontos, a deformação microscópica se concentraria nas

cadeias de menor comprimento, e a depender da magnitude da deformação, estas

ligações poderiam vir a se romper. A Figura 3.19 ilustra esta teoria, onde a imagem à

esquerda representa a condição não deformada e a imagem à direita representa a

condição deformada.

Figura 3.19 – Teoria de origem física de efeito Mullins por ruptura de ligações [39]

Um dos pontos fracos apontados para esta teoria é que, se o efeito Mullins é

explicado por rupturas de cadeias, a deformação residual e perda de rigidez seriam

permanentes, e não recuperável.

Uma teoria semelhante à da ruptura de ligações é de que a ruptura ocorreria

na carga ou em um domínio cristalino, a depender da configuração microscópica do

elastômero. Entretanto, esta teoria tem o mesmo ponto fraco da hipótese de ruptura de

ligações, pois a perda de rigidez e a deformação residual oriunda do efeito Mullins não

seriam recuperáveis. A Figura 3.20 ilustra esta teoria, onde o aglomerado de círculos

78

pretos pode ser interpretado como carga ou domínio cristalino, a depender da

composição do elastômero:

Figura 3.20 – Teoria de origem física de efeito Mullins por ruptura de carga ou domínio

cristalino [39]

Uma teoria alternativa que explicaria a recuperação de rigidez e da

deformação residual é que o efeito Mullins seria interpretado microscopicamente pela

eliminação de interferências físicas da rede polimérica, ou seja, pela diminuição da

quantidade de cadeias emaranhadas. Como as cadeias poliméricas estão sujeitas a

agitação térmica, fornecendo tempo e/ou temperatura suficientes, estas interferências

físicas tornariam a ocorrer, justificando a recuperação das propriedades originais do

material. A Figura 3.21 ilustra esta teoria, onde a imagem à esquerda representa a

condição não deformada e a imagem à direita representa a condição deformada:

Figura 3.21 – Teoria de origem física de efeito Mullins por eliminação de interferência física da

rede polimérica [39]

Especificamente para o caso de elastômeros que apresentam domínios

cristalinos, como é o caso do elastômero de poliuretano, existe uma teoria em que,

sob a atuação de uma deformação macroscópica, a heterogeneidade do domínio

amorfo deste tipo de elastômero induziria rotações no domínio cristalino de tal forma

que suas dimensões mais alongadas ficassem orientadas na direção principal de

deformação. Estas rotações introduziriam deformações inelásticas ao sistema, isto é,

deformações residuais, além de consumirem uma parcela da energia de deformação

total do sistema. A Figura 3.22 ilustra esta teoria, onde a imagem à esquerda

79

representa a condição não deformada e a imagem à direita representa a condição

deformada.

Figura 3.22 – Teoria de origem física de efeito Mullins devido a rotação do domínio cristalino

Outra teoria especifica para elastômeros que apresentam domínios cristalinos

é de que existe uma separação incompleta entre os domínios cristalinos e o domínio

amorfo do material, sendo que uma parcela da parte amorfa do material está

inicialmente agregada ao domínio rígido. Quando o elastômero é submetido a uma

deformação, parte da região agregada é desprendida dos domínios rígidos, e esta não

linearidade microscópica causaria a perda de rigidez e a deformação residual,

comportamentos observados macroscopicamente pelo efeito Mullins.

Em uma abordagem diferente de todas as teorias anteriormente descritas,

com o objetivo de explicar o efeito Mullins por uma análise quantitativa e não

qualitativa, foi desenvolvida a teoria de padrão de auto-organização da cadeia

polimérica, na qual o comportamento do efeito Mullins é explicado por uma “complexa,

mas não complicada, interação entre as cadeias poliméricas, em que o atual

conhecimento do comportamento de uma única cadeia polimérica é considerado

essencial e suficiente” [41].

Nesta teoria, cada cadeia polimérica é representada por molas lineares,

sendo o elastômero modelado por interligações aleatórias de diversas molas

individuais. A não linearidade de resposta vem da consideração de que estas molas

podem se romper quando muito estendidas (ruptura de cadeia), e em alguns pontos

aleatórios, existe a possibilidade de que sejam criadas novas ligações (interferência

física). Modelos computacionais mostram que, embora cada elemento individual

apresente resposta linear e reversível, devido à heterogeneidade da cadeia polimérica

e a possibilidade de remover e criar novas ligações, o comportamento global segue

um novo padrão muito semelhante ao efeito Mullins observado em experimentos.

80

3.4.1. Abordagens para obtenção de modelos constitutivos de efeito Mullins

Semelhante às teorias constitutivas hiperelásticas, duas abordagens são

utilizadas para modelar o efeito Mullins: fenomenológica e macromolecular.

O modelo de Qi-Boyce é um exemplo de modelo macromolecular, sendo

considerado que a função densidade de energia de deformação é determinada

unicamente pela deformação dos domínios flexíveis do material. Com a aplicação de

um determinado nível de deformação, a fração volumétrica do domínio flexível é

alterada e isto implicaria no comportamento macroscópico observado do efeito Mullins

[42].

Conforme mencionado anteriormente, não existe uma unanimidade na

interpretação da origem física do efeito Mullins. Por esta razão, a maioria dos modelos

constitutivos apropriados para uso de engenharia é fenomenológica [39]. Entretanto,

autores que estudam a abordagem macromolecular argumentam que somente desta

maneira é possível modelar efetivamente o efeito Mullins, pois a abordagem

fenomenológica só pode ser eficiente se houverem dados experimentais disponíveis

de determinado material [41].

Com base no estado da arte do estudo sobre o efeito Mullins, serão

apresentados a seguir apenas modelos desenvolvidos com base na abordagem

fenomenológica, visto que estes são mais apropriados para descrever com eficácia um

elastômero cujo comportamento foi verificado por experimentos.

Usualmente, conforme será apresentado a seguir, os efeitos de perda de

rigidez e de deformação residual oriundo do efeito Mullins são tratados

separadamente, cada um por um parâmetro de dano independente.

3.4.2. Modelo de Ogden-Roxburgh de perda de rigidez por efeito Mullins

De acordo com as observações experimentais sobre o efeito Mullins, em uma

primeira solicitação até uma determinada deformação, o material tende ao

comportamento da teoria de hiperelasticidade, cujo comportamento é regido por uma

função densidade de energia de deformação “W ”. Para o modelo de Ogden-

Roxburgh, o modelo hiperelástico é considerado como o comportamento primário do

material.

Para carregamentos subsequentes em um nível de deformação igual ou

inferior à máxima deformação já aplicada, o modelo de Ogden-Roxburgh modifica a

81

energia de deformação do material para “W~

” através da incorporação de uma variável

escalar de dano “1 ”, tal qual apresentado na equação (3.171) [43]:

1111,~

FF WW (3.171)

O termo “1 ” representa o efeito da energia dissipada da perda de rigidez pelo

efeito Mullins. Desta forma, a energia de deformação do modelo de Ogden-Roxburgh é

pseudo-elástica, pois a energia de deformação “W~

” associada não corresponde

somente à energia de deformação elástica do material.

Analisando a atuação da variável de dano “1 ” na equação (3.171), observa-

se que seu valor deve ser unitário quando o material responde conforme o seu

comportamento primário, ou seja, quando não há influência do efeito Mullins. Além

disto, nesta condição, a função de energia dissipada “1 ” deve ser nula. Em termos

matemáticos, estas restrições são expressas equação (3.172):

011 (3.172)

Para que a energia de deformação “W~

” seja uma variável de estado válida, a

seguinte condição adicional é requerida [44]:

0

,~

1

1

FW (3.173)

Aplicando (3.171) em (3.173):

FW

d

d 11

1

11

(3.174)

Da equação (3.174), verifica-se implicitamente que a variável de dano “1 ”

depende somente do tensor gradiente de deformações “F” atuante no material, ou

seja, da deformação aplicada ao material.

De forma a compreender as restrições de “1 ”, será avaliado a seguir o caso

de um carregamento uniaxial, em que o gradiente de deformações “F” pode ser

definido como função apenas de seu estiramento principal característico “λ”.

82

Entretanto, as conclusões obtidas possuem validade para qualquer tipo de solicitação.

Para o caso de tração uniaxial, a equação (3.174) pode ser reescrita como:

W 11 (3.175)

Diferenciando a equação (3.175) em relação ao estiramento “λ”:

d

dW

d

d

d

d

1

11

d

dW

d

d

d

d

d

d

1

1

1

11

d

dW

d

d

d

d 1

2

1

11

2

d

dW

d

d 1

11 (3.176)

Conforme verificado anteriormente, “1 ” é unitário na ausência de atuação de

efeito Mullins. Em descarregamento, “1 ” deve ser decrescente de forma a reduzir o

efeito da solução hiperelástica, representando assim a perda de rigidez do material.

Interpretando este comportamento de maneira matemática, pode-se afirmar que

dd 1 é positivo. Como a energia de deformação do elastômero é diretamente

proporcional ao estiramento aplicado, ddW deve ser positivo. Aplicando estes

conceitos na equação (3.176) conclui-se que:

011 (3.177)

Com as restrições da função “1 ”, expressas pelas equações (3.174) e

(3.177), conclui-se que, além de depender apenas do tensor gradiente de

deformações “F”, a variável “1 ” é uma função decrescente contínua.

Se não há dano, o elastômero está submetido ao maior nível de deformação

em todo o seu histórico de solicitações e a variável de dano “1 ” deve ser unitária.

83

Definindo “Fmax” como o tensor gradiente de deformações de associado a este estado

de deformação e aplicando estes conceitos na equação (3.174):

max1 1 WW maxF (3.178)

Onde “Wmax” corresponde à máxima energia de deformação elástica à qual o

material já foi submetido. Uma conclusão importante da equação (3.178) é que a

função “1 ” depende da deformação máxima a que o material foi submetido.

Em outra análise de comportamento extremo, considerando o material

completamente descarregado, o tensor gradiente de deformações do material torna-se

o tensor identidade e a variável de dano “1 ” atinge seu valor mínimo “

min1 ”.

Aplicando estes conceitos na equação (3.174):

0min11 IW (3.179)

Se a equação (3.179) for integrada, conclui-se que “min1 ” é uma constante, e

em conjunto com o resultado da equação (3.178), conclui-se que “min1 ” também

depende da deformação máxima aplicada ao material em todo o seu histórico de

solicitações. Considerando esta situação de material descarregado na equação

(3.171):

min11min1min1,

~ II WW

min11min1,

~ IW (3.180)

Analisando o resultado da equação (3.180), como não há deformação

aplicada ao material e consequentemente não há parcela de energia de deformação

elástica, “ min11 ” pode ser interpretado como a energia necessária para danificar o

material pelo efeito Mullins.

84

Com base nas restrições das equações (3.172), (3.177) e (3.178) e de que a

variável de dano deve estar contida em 10 1 , uma função “1 ” deve ser escolhida

arbitrariamente. Para isto, será adotada a função de dano modificada de Ogden-

Roxburgh:

max1

1

max11 1 WrerfWn (3.181)

Onde “r”, “n” e “β” são propriedades materiais, sendo seus valores restritos a

1r , 0n e 0 . A função de dano de Ogden-Roxburgh é obtida considerando a

propriedade “β” nula [43], e por esta razão, a equação (3.181) foi denominada como

função de dano modificada. A função “erf-1” é o inverso da função erro, sendo definida

pela seguinte expressão:

x

w dweerf0

22

(3.182)

Aplicando (3.181) em (3.174) é obtida uma expressão para a variável escalar

de dano “1 ”:

max

max1

11

Wn

WWerf

r (3.183)

Para melhor compreensão da equação (3.183), o gráfico da Figura 3.23

mostra dois exemplos de atuação da variável escalar de dano “1 ”, cujo

comportamento depende dos parâmetros “r”, “n” e “β” adotados. Os resultados estão

apresentados em função da razão entre a energia de deformação instantânea do

material (W) e a máxima energia de deformação a qual o material já foi submetido

(Wmax).

Conforme descrito anteriormente, quando o material é submetido a uma

máxima energia de deformação (W/Wmax=1), a variável de dano “1 ” se torna unitária e

o elastômero retorna ao seu comportamento primário (solução hiperelástica). A

depender dos parâmetros adotados, a perda de rigidez pode ser progressiva com a

redução da razão “W/Wmax” (curva vermelha) ou apresentar uma perda de rigidez mais

acentuada para valores de “W/Wmax” próximos da unidade e um patamar de perda de

rigidez constante para razões “W/Wmax” com valores mais baixos (curva azul).

85

Figura 3.23 – Comportamento da variável de dano “η1” em função da energia de deformação do

elastômero


tensor de Piola-Kirchhoff (σ) podem ser obtidas pela seguinte expressão:

i

i

W

~~ (3.184)

Aplicando (3.171) em (3.184):

i

i

W

1

~ (3.185)

Observa-se que a derivada no lado direito da equação (3.185) corresponde à

tensão da solução hiperelástica “σi”, cuja definição está apresentada na equação

(3.108). Desta forma, a relação entre a tensão da solução hiperelástica e do modelo

de Ogden-Roxburgh é definida pela própria variável de dano “1 ”:

ii 1~ (3.186)

Com o auxílio das equações (3.183) e (3.186), o comportamento do modelo

de Ogden-Roxburgh está apresentado, de maneira geral, no gráfico da Figura 3.24,

onde são aplicados três carregamentos cíclicos com deformação máxima progressiva.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

η_1

W/Wmax

86

Figura 3.24 – Comportamento característico do modelo de Ogden-Roxburgh

Analisando a Figura 3.24, observa-se que o modelo de Ogden-Roxburgh

possui as seguintes limitações:

Conforme discutido anteriormente, os efeitos de perda de rigidez e

deformação residual oriundos do efeito Mullins são tratados

separadamente. Desta forma, nenhuma deformação residual é

prevista pelo modelo de Ogden-Roxburgh.

Embora seja observada em experimentos, nenhuma histerese é

prevista pelo modelo. Isto é, o modelo de Ogden-Roxburgh descreve o

comportamento em equilíbrio do elastômero.

Analisando a definição da variável de dano “1 ”, equação (3.183), a

perda de rigidez depende apenas da máxima deformação a qual o

material foi submetido. Na realidade, existe uma progressão do dano

para carregamentos cíclicos em um mesmo nível de deformação,

sendo que o dano se estabiliza após poucos ciclos.

3.4.3. Modelos de deformação residual por efeito Mullins

Uma observação relevante sobre a deformação residual por efeito Mullins é

que sua magnitude é independente da taxa de carregamento, isto é, não provém de

fenômenos viscoelásticos. Além de observações experimentais [39, 40], este

comportamento foi constatado matematicamente pela teoria de padrão de auto-

organização da cadeia polimérica [41], em que apesar do modelo não conter nenhum

Ten

são

Deformação

87

termo dependente da taxa de carregamento, deformações residuais surgem

exclusivamente pelo rearranjo da cadeia polimérica.

Serão apresentadas a seguir duas abordagens para modelagem de

deformação residual pelo efeito Mullins. O modelo de Dorfmann-Ogden altera a

energia de deformação do material, semelhante ao estabelecido para o modelo de

Ogden-Roxburgh para perda de rigidez. A outra abordagem, a deformação residual é

descrita pelo critério de escoamento de von Mises com encruamento isotrópico linear,

semelhante à formulação utilizada para descrever a plasticidade de metais.

É importante ressaltar que, embora pareça impróprio modelar deformações

residuais de materiais elastoméricos por uma formulação desenvolvida para descrever

a plasticidade de metais, o critério de escoamento de von Mises é a formulação

adotada por renomados softwares de simulação numérica, como por exemplo, o

Abaqus.

3.4.3.1. Plasticidade isotrópica com encruamento linear

Nesta abordagem, a deformação residual é descrita pelo critério de

escoamento de von Mises, mesma formulação utilizada para determinar a plastificação

de materiais metálicos. Em uma representação unidimensional, um modelo de

plasticidade isotrópica é acoplado em série com um modelo elástico, que neste caso,

será considerado um modelo de Ogden-Roxburgh para solução hiperelástica sujeita a

perda de rigidez por efeito Mullins.

Figura 3.25 – Representação unidimensional do modelo de plasticidade para deformação

residual por efeito Mullins [45]

ii 1~

ND p

88

Formulando o modelo da Figura 3.25 em notação tensorial para um caso

tridimensional geral de solicitações, o tensor gradiente de deformações pode ser

decomposto como o produto do tensor de deformação pseudo-elástico (e

F ) e do

tensor de deformação plástica (p

F ):

peFFF (3.187)

É importante ressaltar que, neste caso, o comportamento de “e

F ” será regido

pelo modelo de Ogden-Roxburgh para inclusão de perda de rigidez pelo efeito Mullins.

Conforme exposto na Figura 3.25, o tensor taxa de estiramento plástico “p

D ” é

definido pela seguinte formulação:

NDp (3.188)

Onde “ ” é a lei de fluxo estabelecida constitutivamente e “N” é o tensor que

fornece a direção do incremento de deformação plástica.

Deformação plásticas ocorrem quando uma determinada solicitação é

superior à condição de escoamento de von Mises. Em termos matemáticos, a

plasticidade ocorre quando a função de escoamento “f” é nula, sendo definida pela

seguinte equação:

eqpeif ~ (3.189)

Onde “ i~ ” é a tensão do modelo de Ogden-Roxburgh e “ e ” a tensão de

escoamento, cujo valor é função da deformação plástica equivalente “eqp ”. Como foi

estabelecido modelo de encruamento linear, a tensão de escoamento é estabelecida

pela seguinte expressão:

eqpe H 0 (3.190)

89

Onde “σ0” e “H” são propriedades materiais. Para estabelecer um algoritmo

coerente para evolução de deformação residual, as condições de Kuhn-Tucker para o

caso de plasticidade isotrópica estão indicadas abaixo:

0eqp

0,~ eqpif

0,~ eqeq pip f (3.191)

3.4.3.2. Modelo de Dorfmann-Ogden

O modelo de Dorfmann-Ogden altera a energia de deformação do material

para “W~

” incluindo, além de uma variável escalar de dano “1 ” para perda de rigidez,

outra variável de dano “2 ” para inclusão dos efeitos de deformação residual [40].

Para que a energia de deformação “W~

” seja uma variável de estado válida,

as seguintes condições adicionais são requeridas:

0

,,~

1

21

FW (3.192)

0

,,~

2

21

FW (3.193)

Baseado nas restrições das equações (3.192) e (3.193), o modelo de

Dorfmann-Ogden propõe a seguinte expressão para a energia de deformação do

material para “W~

” do material:

22112121 1,,~

FFF NWW (3.194)

Onde “N” é uma função arbitrária para inclusão dos efeitos de deformação

residual e “ 2 ” representa o efeito da energia dissipada devido ao surgimento de

deformações residuais pelo efeito Mullins. É interessante notar que, se “2 ” for

definido como unitário, o modelo de Dorfmann-Ogden se reduz ao modelo de Ogden-

Roxburgh. Por esta razão, todos os termos dependentes de “1 ” não serão analisados

neste momento, pois a dedução é mesma da realizada no capítulo 3.4.2.

90

Aplicando (3.194) em (3.193), verifica-se implicitamente que a variável de

dano “2 ” depende somente do tensor gradiente de deformações “F”:

FN

d

d 22

2

22

(3.195)


tensor de Piola-Kirchhoff (σ) podem ser obtidas pela seguinte expressão:

i

i

W

~~ (3.196)

Aplicando (3.194) em (3.196) e aplicando a definição da tensão da solução

hiperelástica “σi”, cuja expressão está apresentada na equação (3.108):

i

i

ii

i

NNW

2121 11~

(3.197)

Em um primeiro carregamento, não há influência do efeito Mullins e o

comportamento do elastômero corresponde ao seu comportamento primário (solução

hiperelástica), ou seja, 12 . Em um descarregamento, o efeito da deformação

residual começa a atuar e a função “N” deve ser ativada. Portanto, pode-se afirmar

que “2 ” deve ser decrescente com o descarregamento.

Para a situação descarregada ( 1i ), a tensão da solução hiperelástica “σi”

se torna nula e toda a tensão atuante provém da deformação residual. Por

conveniência, define-se que 02 quando não há deformação aplicada ao

elastômero.

Com os valores de “2 ” restritos para as condições de comportamento

primário (resultado hiperelástico), de descarregamento e para o material

91

descarregado, conclui-se que 10 2 . O modelo de Dorfmann-Ogden propõe a

seguinte expressão para a variável escalar de dano “2 ” [40]:

1tanh

tanh

max

max

2

W

W

W

(3.198)

Onde o expoente “α”, cujo valor é função da máxima energia de deformação

elástica a qual o material já foi submetido (Wmax), determina a contribuição de tensão

pela deformação residual para um determinado valor de “N(F)” na equação (3.197). A

seguinte expressão é proposta para o expoente “α”:

0

max

Wba (3.199)

Onde “a” e “b” são propriedades materiais e “µ0” é o módulo de cisalhamento

da equação constitutiva hiperelástica.

Para melhor compreensão da equação (3.198), o gráfico da Figura 3.26

mostra dois exemplos de atuação da variável escalar de dano “ 2 ”, cujo

comportamento depende dos parâmetros “a” e “b” e “µ0” adotados. Os resultados

estão apresentados em função da razão entre a energia de deformação instantânea

do material (W) e a máxima energia de deformação a qual o material já foi submetido

(Wmax).

Conforme descrito anteriormente, quando o material é submetido a uma

máxima energia de deformação (W/Wmax=1), a variável de dano “ 2 ” se torna unitária,

e para a situação de material descarregado (W/Wmax=0), “ 2 ” se torna nula, refletindo

total atuação das deformações residuais no comportamento do elastômero. Observa-

se da Figura 3.26 que o valor “ 2 ” tende a aumentar rapidamente para baixas razões

“W/Wmax”, e dependendo dos parâmetros adotados, o efeito das deformações

residuais é reduzido de maneira mais drástica (curva azul) ou de maneira mais suave

(curva vermelha).

92

Figura 3.26 – Comportamento da variável de dano “η2” em função da energia de deformação do

elastômero

Toda a formulação deduzida até o momento estabelece um comportamento

isotrópico para o material. Entretanto, com o surgimento de deformações residuais, é

evidente que uma determinada anisotropia é aplicada ao material. Com este propósito,

a função “N” deve ser arbitrada como uma função de energia de deformação

anisotrópica. O modelo de Dorfmann-Ogden propõe uma função de energia de

deformação Neo Hookeana modificada para refletir a anisotropia das deformações

residuais [40]:

1112

1,, 2

33

2

22

2

11321 vvvN (3.200)

Onde “ iv ” é um parâmetro material que inclui os efeitos anisotrópicos no

material. Seu valor depende do módulo de cisalhamento da equação constitutiva

hiperelástica “ 0 ”, e do máximo estiramento “ mi ” na direção correspondente:

1,0

1tanh

5,3

114,0 0

miiv

(3.201)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2η_2

W/Wmax

93

4. Caracterização experimental de elastômero de poliuretano para aplicação em Enrijecedores à Flexão

Serão apresentados a seguir uma série de ensaios experimentais para

caracterização do comportamento mecânico de um elastômero de poliuretano

específico para aplicação em Enrijecedores à Flexão. Foi analisado o comportamento

deste material em ensaios de tração, em diferentes taxas de carregamento, de forma a

levantar o comportamento visco-hiperelástico. Em seguida, foram realizados ensaios

cíclicos com o objetivo de caracterizar o efeito Mullins. Por último, de forma a verificar

a presença de uma tensão de escoamento no material, foram realizados ensaios

cíclicos em baixos níveis de deformação.

4.1. Material obtido para os ensaios

Amostras de elastômero de poliuretano foram obtidas com um fabricante de

Enrijecedores à Flexão na forma de placas com aproximadamente 2mm de espessura,

especificados por uma dureza Shore 60 D. O material foi moldado através de

derramamento livre (por gravidade) em um molde, processo semelhante ao realizado

para produção de um Enrijecedor à Flexão. O exemplo de uma das placas obtidas

está apresentado na foto da Figura 4.1.

Figura 4.1 – Placa de elastômero de poliuretano

94

Para realização dos ensaios, foi necessário confeccionar corpos de prova a

partir destas placas, sendo adotado o corpo de prova tipo I da norma ASTM D638 [46].

Para isto, duas das placas obtidas foram cortadas com auxílio de um cunho e uma

prensa hidráulica manual Carver, modelo 3912 (Figura 4.2).

Figura 4.2 – Corpo de prova obtido a partir de cunhagem da placa

Foi realizada uma identificação individual dos corpos de prova com base em

sua localização nas placas originais. Desta forma, é possível realizar uma eventual

interpretação de resultados baseadas na geometria original das amostras obtidas. A

Figura 4.3 mostra as identificações realizadas para a placa II. Notar que, com o

objetivo de identificar uma eventual anisotropia do material, foram obtidos corpos de

prova em direções perpendiculares entre si.

Figura 4.3 – Identificação de corpos de prova da placa II

95

4.2. Ensaios de tração monotônica

Uma série de ensaios de tração monotônica foram realizados com o objetivo

de avaliar o comportamento visco-hiperelástico do elastômero de poliuretano. Os

ensaios foram realizados no Laboratório de Ensaios Mecânicos do Instituto de

Macromoléculas (IMA) da UFRJ, utilizando equipamento de tração Instron modelo

5567, com capacidade de carga de 30kN. Como não haviam extensômetros

disponíveis, a deformação atuante nos corpos de prova foi mensurada baseando-se

no deslocamento de travessão do equipamento de tração.

Para garantir a repetibilidade dos ensaios, as amostras foram condicionadas

em 23°C com umidade relativa do ar em 50%. Evidentemente, o ideal seria ensaiar o

material em uma condição semelhante à de aplicação típica para um Enrijecedor à

Flexão (material saturado em água), entretanto, por não estarem disponíveis

equipamentos que permitissem a reprodução desta condição de uso, foi adotada as

condições acima citadas, correspondendo à atmosfera padrão de ensaio de materiais

poliméricos [47]. A Figura 4.4 mostra a montagem de um corpo de prova no

equipamento de tração:

Figura 4.4 – Ensaio de tração monotônica

96

Foram realizados ensaios em três velocidades distintas de travessão: 10, 150

e 500 mm/min. Apesar de nem todas as velocidades corresponderem ao recomendado

pela ASTM D638 (5, 50 e 500 mm/min), estes valores foram selecionados visando a

calibração de modelos apresentados no capítulo 3. Esta decisão está embasada na

própria ASTM D638, onde é afirmado que os ensaios de tração podem ser usados

para aplicação de engenharia desde que os testes sejam realizados com taxa de

carregamento correspondente ao uso real.

Os primeiros ensaios realizados foram os de 500mm/min, maior velocidade

prevista em norma [46], sendo os corpos de prova testados até que fosse obtida a

ruptura do material. De forma a verificar a presença de alguma anisotropia no

elastômero de poliuretano, foram testados corpos de prova retirados em direções

perpendiculares da placa original.

Nesta condição de ensaio, foram testados os corpos de prova II-7, II-8, II-9, II-

10, II-11, II-H-2, II-H-3, II-H-4, II-H-5 e II-H-6, sendo que aqueles que possuem

marcação “H” correspondem aos corpos de prova retirados perpendicularmente à

posição padrão adotada na placa, conforme pode ser visualizado na Figura 4.3. Os

resultados obtidos estão apresentados nos gráficos da Figura 4.5 (resultados

individuais de cada ensaio) e da Figura 4.6 (comportamento médio para as duas

direções perpendiculares do material).

Figura 4.5 – Resultados individuais de ensaio de tração monotônica. Velocidade de 500mm/min

0

10

20

30

40

50

60

0 % 50 % 100 % 150 % 200 % 250 % 300 % 350 % 400 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)

Deformação de engenharia

II-7

II-8

II-9

II-10

II-11

II-H-2

II-H-3

II-H-4

II-H-5

II-H-6

97

Figura 4.6 – Resultados médios de ensaio de tração monotônica. Velocidade de 500mm/min

Conforme esperado pela teoria do comportamento mecânico de materiais

elastoméricos, não foram encontradas diferenças significativas de resposta para

corpos de prova retirados em direções perpendiculares, indicando que o elastômero

de poliuretano possui comportamento mecânico isotrópico. A única diferença

encontrada foi uma menor dispersão da deformação de ruptura do material para as

amostras retiradas em posição perpendicular à direção padrão. Como o foco é a

aplicação deste material em Enrijecedores à Flexão, deformações na ordem da

deformação de ruptura não são alcançadas, e por este motivo, a origem desta

dispersão não foi investigada.

Outra característica confirmada é a elevada deformação necessária para

atingir a ruptura do material, alcançando deformações de engenharia acima de 300%

(ruptura mínima obtida de 320,5% e máxima de 358,8%). A Figura 4.7 mostra uma foto

de um corpo de prova instantes antes de sua ruptura:

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 % 50 % 100 % 150 % 200 % 250 % 300 % 350 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


Curva média

Curva média - H

98

Figura 4.7 – Ensaio de tração instantes antes da ruptura do material

A Figura 4.8 mostra uma comparação de um corpo de prova rompido (após

cerca de três dias de relaxação para eliminação de efeitos viscoelásticos) com outro

ainda não testado. É possível observar que a forma final do corpo de prova ensaiado

pouco foi alterada em relação a sua geometria original, ocorrendo pouco alongamento

longitudinal e nenhuma estricção visível, indicando o baixo nível de deformação

permanente do elastômero de poliuretano, mesmo para as elevadas deformações que

este é submetido em ruptura. Este comportamento corresponde à expectativa pela

teoria de materiais elastoméricos.

Outro resultado que corresponde ao comportamento previsto em teoria é a

característica da superfície de fratura obtida, sendo obtida uma superfície lisa e

perpendicular ao esforço trativo, indicando a ocorrência de ruptura frágil.

Figura 4.8 – Comparação de corpo de prova rompido com outro não testado

99

Apesar de não ser uma condição prevista em norma [46], foram realizados

ensaios com velocidade de travessão de 150mm/min. Esta velocidade foi escolhida de

foram a submeter o material a uma taxa de deformação média entre o maior prevista

em norma (500 mm/min) e uma condição quase-estática de carregamento.

Como deformações elevadas não são alcançadas na aplicação em

Enrijecedores à Flexão e como velocidades de ensaio mais baixas tornam os ensaios

mais longos, para o ensaio em 150mm/min, o critério adotado para fim de teste foi a

obtenção de 30% de deformação de engenharia no corpo de prova, valor

suficientemente elevado para caracterização do comportamento do material.

Os corpos de prova II-12, II-13, II-14, II-16 e II-17 foram ensaiados com

velocidade de travessão de 150 mm/min. Os resultados obtidos estão apresentados no

gráfico da Figura 4.9:


Resultados experimentais disponíveis na literatura demonstram que o

comportamento do elastômero de poliuretano pouco é diferenciado em velocidades de

travessão entre 1,3 e 13 mm/min [48]. Portanto, de forma a obter resultados

consistentes e otimizando o tempo de ensaio, foi adotada velocidade de travessão de

10mm/min como uma condição representativa de uma solicitação quase-estática.

Nesta condição de ensaio, foram testados os corpos de prova II-18, II-19, II-20, II-21 e

II-22. Os resultados obtidos estão apresentados no gráfico da Figura 4.10:

0

2

4

6

8

10

12

14

0 % 5 % 10 % 15 % 20 % 25 % 30 % 35 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


II-12

II-13

II-14

II-16

II-17

100


O gráfico da Figura 4.11 mostra um resumo de todos os resultados obtidos

em ensaios de tração monotônica, no qual está apresentado o comportamento médio

obtido para cada velocidade de travessão adotada.

Figura 4.11 – Resultados obtidos dos ensaios de tração monotônica

4.3. Ensaios cíclicos

Uma série de ensaios cíclicos foram realizados com o objetivo de avaliar a

presença do efeito Mullins no elastômero de poliuretano. Estes ensaios também foram

realizados no Laboratório de Ensaios Mecânicos do Instituto de Macromoléculas (IMA)

da UFRJ, utilizando o mesmo equipamento adotado nos ensaios de tração monotônica

0

2

4

6

8

10

12

0 % 5 % 10 % 15 % 20 % 25 % 30 % 35 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


II-18

II-19

II-20

II-21

II-22

0

2

4

6

8

10

12

14

0 % 5 % 10 % 15 % 20 % 25 % 30 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


10mm/min

150mm/min

500mm/min

101

(Instron modelo 5567, com capacidade de carga de 30kN) e corpos de prova tipo I da

norma ASTM D638 [46].

Assim como nos ensaios de tração monotônica, seria interessante ensaiar o

material em uma condição de aplicação do Enrijecedor à Flexão. Entretanto, pela

indisponibilidade de equipamento capaz de reproduzir o ambiente submarino, as

amostras foram condicionadas em 23°C com umidade relativa do ar em 50%,

atmosfera padrão de ensaio de materiais poliméricos [47]. Por serem condicionados

em uma mesma condição de temperatura e umidade, os resultados de tração

monotônica podem ser diretamente comparados com os resultados dos ensaios

cíclicos que serão apresentados a seguir.

Em cada ensaio, foram aplicados três ciclos de carregamento na qual a

deformação máxima aplicada aumenta gradativamente em incrementos de 10%,

retornando para a condição de deslocamento nulo do travessão ao fim do ciclo. No

último ciclo, foi atingida a deformação de engenharia 30%, correspondente ao valor

máximo de interesse definido nos ensaios monotônicos. O gráfico da Figura 4.12

apresenta o controle de deformação aplicado para os ensaios cíclicos:

Figura 4.12 – Programação de controle de deformação dos ensaios cíclicos – deformação

progressiva

A programação apresentada na Figura 4.12 indica apenas as deformações

aplicadas em cada ciclo, mas não a taxa de deformação imposta ao corpo de prova.

Por exemplo, não necessariamente o terceiro ciclo aplicará uma maior taxa de

deformação em relação ao primeiro ciclo, pois a abscissa do gráfico está definida em

ciclos, ou seja, uma grandeza atemporal. Portanto, para definir completamente as

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

0 1 2 3

De

form

ação

de

en

gen

har

ia

Ciclo

102

condições de um determinado ensaio, é necessário definir também a velocidade de

travessão adotada.

Para comparação direta com os ensaios de tração monotônica, as três

velocidades de travessão adotadas foram as mesmas destes primeiros ensaios, ou

seja, velocidades de 10, 150 e 500 mm/min.

O primeiro ensaio cíclico foi realizado em uma velocidade de travessão de

10mm/min. Neste ensaio, foram testados os corpos de prova II-1, II-2 e II-3, sendo o

resultado obtido apresentado no gráfico da Figura 4.13:

Figura 4.13 – Resultados individuais de ensaio cíclico – 10mm/min

Observa-se que a repetibilidade dos três corpos de prova ensaiados é

excelente, atestando que apesar do resultado obtido apresentar certa complexidade,

este corresponde ao comportamento da amostra de elastômero de poliuretano.

Ainda do gráfico da Figura 4.13, observa-se que não foi obtida uma condição

de material descarregado quando o travessão retorna para a sua posição original, ou

seja, não é obtida uma resposta mecânica caracterizada por uma deformação nula

associada a uma tensão nula.

A foto da Figura 4.14 mostra um corpo de prova com o travessão retornado

para sua posição inicial de ensaio, ou seja, em uma situação de deformação aplicada

nula. Como a deformação imposta é inferior à deformação residual do corpo de prova,

seria esperada a ocorrência de tensões compressivas no material. Entretanto, como o

corpo de prova possui uma geometria esbelta, observa-se a ocorrência de flambagem.

Portanto, os resultados do gráfico da Figura 4.13 não são válidos quando a

ocorrência de flambagem é verificada, pois este não caracteriza o comportamento

intrínseco do elastômero de poliuretano.

0

2

4

6

8

10

12

0 % 5 % 10 % 15 % 20 % 25 % 30 % 35 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


II-1

II-2

II-3

103

Figura 4.14 – Situação ao fim de ensaio cíclico – flambagem evidenciando a ocorrência de

deformações residuais no corpo de prova

Quando o corpo de prova é descarregado no primeiro ciclo e uma deformação

de aproximadamente 2,1% é atingida, a tensão associada no corpo de prova é nula,

correspondendo ao instante de início de flambagem. Durante o descarregamento do

segundo ciclo, a tensão associada foi nula em uma deformação de aproximadamente

4,7%. No terceiro ciclo, uma deformação de aproximadamente 7,3% foi obtida para um

estado de tensão nula. Interpretando o resultado obtido, estas deformações

associadas a estados de tensão nula representam possíveis deformações residuais

devido ao efeito Mullins associado a efeitos viscoelásticos.

Durante as etapas de recarregamento, as deformações associadas ao fim da

situação de flambagem (surgimento de tensões trativas no corpo de prova) são

bastante inferiores aos valores obtidos na condição de descarregamento. No início do

segundo ciclo, esforços trativos surgem em uma deformação de aproximadamente

1,3%, e no segundo ciclo, em uma deformação de aproximadamente 2,9%. Nestes

casos, efeitos viscoelásticos foram minimizados ou até mesmo eliminados, e esta

deformação está mais diretamente relacionada com a deformação residual oriunda do

efeito Mullins.

O gráfico da Figura 4.15 mostra, de maneira ampliada, o resultado obtido

para o ensaio cíclico em uma velocidade de travessão de 10mm/min (Figura 4.13) na

região onde há a ocorrência de flambagem e são identificadas as deformações

residuais. Com o resultado é semelhante para todos os corpos de prova, somente os

104

resultados para o corpo de prova II-1 estão apresentados na Figura 4.15. Neste

gráfico, está apresentada também a metodologia utilizada para determinar os valores

de deformação residual descritos anteriormente.

Figura 4.15 – Metodologia para determinação de deformações residuais – corpo de prova II-1

do ensaio cíclico em 10mm/min

Para as etapas de descarregamento, a curva “tensão-deformação” cruza o

eixo das abscissas, e o valor correspondente de deformação de engenharia foi

considerado como a deformação residual mensurada. Estes valores estão

identificados por círculos vermelhos na Figura 4.15.

Para as etapas de recarregamento, o comportamento do material é mais

instável, e a curva “tensão-deformação” não cruza o eixo das abscissas. Desta forma,

a deformação residual foi mensurada a partir de uma extrapolação linear da curva de

resposta do material no momento em que esta já apresentava um comportamento

estável de rigidez, indicando o fim da situação de flambagem do corpo de prova. Os

valores mensurados estão identificados por círculos verdes na Figura 4.15.

É importante ressaltar que, embora a metodologia descrita acima tenha sido

aplicada para o corpo de prova II-1, esta se aplica para todos os outros corpos de

prova e velocidades de travessão distintas, cujos resultados serão apresentados a

seguir.

De forma a verificar a influência dos efeitos viscosos nos resultados, foram

realizados ensaios em uma velocidade de travessão de 150mm/min. Neste ensaio,

foram testados os corpos de prova II-25, II-26 e II-27. Os resultados obtidos estão

apresentados no gráfico da Figura 4.16, sendo notável a pequena dispersão de

resultados com os diferentes corpos de prova, principalmente no valor de deformação

residual:

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 % 1 % 2 % 3 % 4 % 5 % 6 % 7 % 8 % 9 % 10 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


II-1

105


Por fim, foram realizados ensaios em uma velocidade de travessão de

500mm/min. Neste ensaio, foram testados os corpos de prova II-31, II-32, II-33 e II-34.

Os resultados obtidos estão apresentados no gráfico da Figura 4.17, também

apresentando uma pequena dispersão de resultados, evidenciado que o resultado

corresponde ao comportamento da amostra de elastômero de poliuretano:


Para verificar o efeito da taxa de carregamento dos ensaios cíclicos no

comportamento do elastômero de poliuretano, uma comparação do comportamento

médio de todos os resultados obtidos dos ensaios cíclicos é apresentada no gráfico da

Figura 4.18.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 % 5 % 10 % 15 % 20 % 25 % 30 % 35 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


II-25

II-26

II-27

0

2

4

6

8

10

12

14

0 % 5 % 10 % 15 % 20 % 25 % 30 % 35 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


II-31

II-32

II-33

II-34

106

Figura 4.18 – Resultados obtidos dos ensaios cíclicos

A Tabela 4.1 apresenta o tempo total de cada ensaio com as respectivas

deformações residuais, tanto em carregamento como em descarregamento:

Tabela 4.1 – Tempo de ensaio e deformação residual dos ensaios cíclicos

Apesar da taxa de carregamento elevar consideravelmente a tensão aplicada

ao material, estando nitidamente associado ao comportamento viscoelástico, a

deformação residual possui pouca sensibilidade à taxa de carregamento. Desta forma,

existe uma forte indicação de que o efeito Mullins é o mecanismo causador das

deformações residuais.

O gráfico da Figura 4.19 mostra uma comparação da influência da

deformação máxima (eixo “x” inferior, em cor azul) e da tensão máxima (eixo “x”

superior, em cor vermelha) na deformação residual obtida nos ensaios:

0

2

4

6

8

10

12

14

0 % 5 % 10 % 15 % 20 % 25 % 30 % 35 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


Δ10% - 10mm/min

Δ10% - 150mm/min

Δ10% - 500mm/min

1º ciclo 2º ciclo 3º ciclo 1º ciclo 2º ciclo 3º ciclo

II-1 - 1,30% 2,90% 2,07% 4,65% 7,20%

II-2 - 1,31% 2,98% 2,09% 4,69% 7,27%

II-3 - 1,32% 2,95% 2,09% 4,68% 7,29%

média - 1,31% 2,94% 2,08% 4,67% 7,26%

II-25 - 1,36% 3,10% 2,10% 4,86% 7,67%

II-26 - 1,35% 3,12% 2,13% 4,89% 7,68%

II-27 - 1,36% 3,09% 2,11% 4,93% 7,86%

média - 1,36% 3,10% 2,11% 4,89% 7,73%

II-31 - 1,63% 3,28% 2,13% 5,09% 8,14%

II-32 - 1,60% 3,31% 2,19% 5,21% 8,34%

II-33 - 1,58% 3,32% 2,16% 5,15% 8,24%

II-34 - 1,57% 3,30% 2,11% 5,03% 8,02%

média - 1,59% 3,30% 2,15% 5,12% 8,18%

10 mm/min 13min48s

150mm/min 55,2s

500mm/min 16,6s

Velocidade

de travessão

(mm/min)

Tempo de

ensaio (s)

Corpo

de prova

Deformação residual (carregamento) Deformação residual (descarregmento)

107

Figura 4.19 – Influência da deformação máxima e da tensão máxima na deformação residual

do elastômero de poliuretano

Observa-se que o dano no elastômero de poliuretano pode ser mensurado

majoritariamente pela deformação aplicada ao material, podendo ser desprezado o

efeito da taxa de carregamento, pois é obtida uma relação praticamente linear entre

deformação máxima aplicada e deformação residual obtida.

O mesmo procedimento não pode ser utilizado para associar a tensão

máxima aplicada ao material com a deformação residual obtida, pois esta relação é

fortemente dependente da taxa de carregamento aplicada ao material. Por exemplo,

no descarregamento, uma tensão aplicada de aproximadamente 10 MPa pode causar

uma deformação residual de 2,1% ou 7,3%, a depender da taxa de carregamento que

foi aplicada. Já no recarregamento, uma amostra que foi submetida a uma tensão

máxima de aproximadamente 9 Mpa pode causar uma deformação residual de 1,3%

ou 2,9%, dependendo da taxa de carregamento.

Este resultado é bastante interessante, pois indica que os mecanismos de

dano estão muito mais associados com a deformação a qual o material é submetido

do que a tensão aplicada ao mesmo, ratificando que este fenômeno é oriundo do

efeito Mullins.

Para corroborar a hipótese da presença do efeito Mullins, o gráfico da Figura

4.20 apresenta uma comparação direta dos resultados dos ensaios cíclicos (linhas

cheias) com os ensaios de tração monotônica (linhas tracejadas). Nesta comparação,

pode ser constatado que quando a máxima deformação prévia é excedida, o

7 8 9 10 11 12 13

1%

3%

5%

7%

9%

10% 15% 20% 25% 30%

Tensão máxima (MPa)

De

form

ação

re

sid

ual

Deformação máxima

emáx (carregamento)

emáx (descarregamento)

σmáx (carregamento)

σmáx (descarregamento)

108

elastômero torna a se comportar de maneira semelhante a um material virgem, ou

seja, sua resposta se a assemelha a de uma solicitação monotônica.

Figura 4.20 – Comparação de resultados obtidos dos ensaios de tração e cíclicos

Em uma verificação adicional, para avaliar se a teoria do efeito Mullins se

aplica ao resultado experimental, o gráfico da Figura 4.21 apresenta apenas as curvas

de carregamento dos ensaios cíclicos, omitindo as curvas de descarregamento para

facilitar a interpretação. As linhas cheias representam a curva de carregamento até

uma deformação de engenharia de 10% (C10%), as linhas tracejadas a curva até a

deformação de engenharia de 20% (C20%), e as linhas pontilhadas a curva até 30%

(C30%).

Figura 4.21 – Curvas de carregamento dos ensaios cíclicos

0

2

4

6

8

10

12

14

0 % 5 % 10 % 15 % 20 % 25 % 30 % 35 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


10mm/min

150mm/min

500mm/min

Δ10% - 10mm/min

Δ10% - 150mm/min

Δ10% - 500mm/min

0

2

4

6

8

10

12

14

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35%

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


C10% - 10mm/min

C20% - 10mm/min

C30% - 10mm/min

C10% - 150mm/min

C20% - 150mm/min

C30% - 150mm/min

C10% - 500mm/min

C20% - 500mm/min

C30% - 500mm/min

109

Uma das hipóteses fundamentais da teoria do efeito Mullins é que a perda de

rigidez e a deformação residual interfere somente na condição de equilíbrio do

material, não estando relacionado com efeitos viscoelásticos. Analisando os resultados

apresentados no gráfico da Figura 4.21, observa-se que o aspecto das curvas é

bastante semelhante, estando a tensão aparentemente majorada devido aos efeitos

viscoelásticos do material.

Por esta razão, como tentativa de excluir o efeito da taxa de carregamento,

isto é, o efeito viscoelástico, os resultados da Figura 4.21 foram tratados,

normalizando a tensão atuante de tal forma que a tensão máxima alcançada pelas

curvas “C30%” sejam unitárias:

Figura 4.22 – Curvas normalizadas de carregamento dos ensaios cíclicos

Observa-se da Figura 4.22 que, se os resultados cíclicos experimentais forem

apresentados em uma escala de tensão normalizada, o comportamento do elastômero

de poliuretano é praticamente independente da taxa de carregamento. Portanto, pode-

se afirmar que a perda de rigidez e a deformação residual, fenômenos oriundos do

efeito Mullins, alteram a condição em equilíbrio do elastômero de poliuretano, não

estando relacionada a efeitos viscoelásticos.

Todos os resultados de ensaios cíclicos apresentados até o momento foram

realizados com uma programação de ensaio na qual a deformação máxima aplicada

ao corpo de prova foi aumentada progressivamente, conforme apresentado no gráfico

da Figura 4.12.

De forma a verificar se o dano devido ao efeito Mullins aumenta em

carregamentos cíclicos submetidos a um mesmo nível de deformação, uma segunda

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35%

Ten

são

no

rmal

izad

a


C10% - 10mm/min

C20% - 10mm/min

C30% - 10mm/min

C10% - 150mm/min

C20% - 150mm/min

C30% - 150mm/min

C10% - 500mm/min

C20% - 500mm/min

C30% - 500mm/min

110

programação de ensaio foi realizada em que três ciclos são aplicados até uma

deformação prescrita de 30%, conforme indicado no gráfico da Figura 4.23.

Figura 4.23 – Programação de controle de deformação dos ensaios cíclicos – deformação

máxima cíclica

Neste ensaio, foram realizados ensaios apenas com velocidade de travessão

de 150 mm/min, onde foram testados os corpos de prova II-28, II-29 e II-30. Os

resultados obtidos estão apresentados no gráfico da Figura 4.24.

Figura 4.24 – Resultados individuais de ensaio cíclico com deformação máxima cíclica –

150mm/min

Assim como nos ensaios anteriores, foi obtida uma ótima repetibilidade dos

resultados com diferentes corpos de prova, reafirmando que o resultado obtido é

representativo do comportamento da amostra de elastômero de poliuretano. Observa-

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

0 1 2 3

De

form

ação

de

en

gen

har

ia

Ciclo

0

2

4

6

8

10

12

14

0 % 5 % 10 % 15 % 20 % 25 % 30 % 35 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


II-28

II-29

II-30

111

se que, conforme previsto pela teoria do efeito Mullins, o dano no material tende a

aumentar ao decorrer de ciclos em um mesmo nível de deformação.

4.4. Investigação da presença de tensão de escoamento

Com os resultados obtidos nos ensaios monotônicos, apresentados no

capítulo 4.2, observou-se que o elastômero de poliuretano apresenta comportamento

não linear e dependente da taxa de carregamento. Em seguida, os ensaios cíclicos

apresentados no capítulo 4.3 mostraram que, além de não linear, a resposta deste

material está sujeita a perda rigidez e deformações residuais pelo efeito Mullins.

Em um material idealmente não linear elástico, a resposta em carregamento

ou descarregamento deve permanecer inalterada e, evidentemente, sem o surgimento

de deformações residuais no material. Portanto, o limite do comportamento elástico do

material ocorre quando ao menos alguma destas duas características deixa de ser

observada, e este ponto seria definido como a tensão de escoamento do material, ou

no caso de elastômeros, o ponto onde o efeito Mullins começa a atuar.

De forma a verificar a existência de uma tensão de escoamento no

elastômero de poliuretano, foram realizados novos ensaios cíclicos com deformação

progressiva, porém em um nível de deformação bastante inferior ao realizado

anteriormente, conforme apresentado no gráfico da Figura 4.25:

Figura 4.25 – Programação de controle de deformação para verificação de tensão de

escoamento

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

0 1 2 3 4 5 6

De

form

ação

de

en

gen

har

ia

Ciclo

112

Pode-se notar na programação apresentada na Figura 4.25 que a deformação

aplicada ao corpo de prova não retorna para a situação neutra, mas sim para uma

deformação prescrita de 0,5%. Esta metodologia foi adotada para evitar instabilidades

que seriam esperadas no material quando o travessão retornasse para sua posição

inicial de ensaio.

Estes ensaios foram realizados com o mesmo equipamento e condições dos

ensaios anteriores (Instron modelo 5567 no IMA-UFRJ, com corpos de ASTM D638

tipo I, em 23°C com umidade relativa do ar em 50%), em velocidade de travessão de

10mm/min para redução dos efeitos viscoelásticos, onde foram testados os corpos de

prova II-4, II-5 e II-6. Os resultados obtidos estão apresentados no gráfico da Figura

4.26.

Figura 4.26 – Resultados individuais de ensaio cíclico para verificação de tensão de

escoamento – 10mm/min

Assim como nos ensaios monotônicos e cíclicos, foi obtida uma ótima

repetibilidade com diferentes corpos de prova, reafirmando que o resultado obtido é

representativo do comportamento da amostra de elastômero de poliuretano.

Mesmo para deformações bastante pequenas em relação à capacidade de

estiramento de materiais elastoméricos, efeitos dissipativos ocorrem e deformações

residuais são observadas.

Portanto, com base nos resultados apresentados, pode-se concluir que o

elastômero de poliuretano não possui uma tensão de escoamento significativa, ou

seja, o efeito Mullins se faz presente mesmo para solicitações relativamente baixas.

0

1

2

3

4

5

6

7

0 % 1 % 2 % 3 % 4 % 5 % 6 % 7 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


II-4

II-5

II-6

113

5. Identificação de parâmetros para modelagem de elastômero de poliuretano

Com base nas teorias necessárias para descrever o comportamento

mecânico de materiais elastoméricos (Capítulo 3) e com os experimentos realizados

com amostras de elastômero de poliuretano utilizado na confecção de Enrijecedores à

Flexão (Capítulo 4), será realizado a seguir a identificação dos parâmetros

necessários para estabelecer o comportamento mecânico deste elastômero

específico.

Evidentemente, quanto mais características do comportamento do material

forem necessárias ser estimadas de uma única vez, mais difícil será identificar os

parâmetros que melhor representam o comportamento do elastômero de poliuretano.

Por esta razão, a correlação entre teoria e experimento será realizada gradativamente,

ou seja, uma característica do material só será incorporada ao modelo quando outra

for completamente identificada por parâmetros adequados.

5.1. Parâmetros de modelo hiperelástico

Uma das hipóteses para formulação de um modelo hiperelástico é que a

tensão atuante no material é função apenas da deformação instantânea, independente

do histórico ou da taxa de carregamento. Entretanto, observa-se dos resultados

experimentais que a tensão depende tanto do histórico de carregamento quanto da

taxa de aplicação de carga.

Analisando os resultados experimentais de maneira crítica, verifica-se que a

dependência da taxa de carregamento é oriunda de efeitos viscoelásticos. Dos

ensaios cíclicos, conclui-se que a perda de rigidez e o surgimento de deformações

residuais estão claramente ligados ao efeito Mullins.

Apesar do modelo hiperelástico não ser suficiente para descrever

completamente o comportamento do elastômero de poliuretano, se for considerada

uma aplicação de carga monotônica suficientemente lenta, a resposta desta

solicitação específica pode ser modelada por equações hiperelásticas. Os ensaios de

tração realizados em uma velocidade de travessão de 10mm/min, cujos resultados

estão apresentados na Figura 4.11, podem ser utilizados como referência para

identificar os parâmetros de equações hiperelásticas para o elastômero de poliuretano.

Definindo “λ” como o estiramento característico da tração uniaxial e

considerando o material incompressível e isotrópico, o tensor gradiente de

114

deformações “F” e o tensor de Cauchy-Green à esquerda “B” podem ser definidos da

seguinte maneira:

2/1

2/1

00

00

00

F (5.1)

1

1

2

00

00

00

B (5.2)

De acordo com a equação (3.109), a primeira tensão de Piola-Kirchhoff obtida

no ensaio uniaxial pode ser obtida pela seguinte expressão:

1

2

21

1

1

1

I

I

WI

I

W (5.3)

Os valores de “λi” para o caso de tração uniaxial estão definidos em (5.1).

Aplicando estes valores nas equações (3.101) e (3.105), onde são definidos o primeiro

e o segundo invariante do tensor de Cauchy-Green à esquerda, obtém-se:

22

1 I (5.4)

21

22 I (5.5)

Derivando as equações (5.4) e (5.5) em relação à “λ”:

2

1 12

I (5.6)

3

2 112

I (5.7)

115

Aplicando (5.6) e (5.7) em (5.3):

2

21

1

112

I

W

I

W (5.8)

Desta forma, a equação (5.8) descreve a primeira tensão de Piola-Kirchhoff

(ou tensão de engenharia) em função apenas do estiramento característico da tração

uniaxial e da função densidade de energia de deformação, podendo ser adotada

qualquer uma das propostas no capítulo 3.2.

Aplicando a função densidade de energia de deformação do modelo Neo

Hookeano, representada pela equação (3.112), na equação (5.8), obtém-se uma

relação entre a tensão e o estiramento para este modelo:

2101

12

C (5.9)

Observa-se que o resultado obtido na equação (5.9), por tratamento

fenomenológico, é idêntico ao obtido pela equação (3.76), resultado obtido por

tratamento termodinâmico estatístico.

Aplicando a função densidade de energia de deformação do modelo de

Mooney-Rivlin, representada pela equação (3.115), na equação (5.8), obtém-se uma

relação entre a tensão e o estiramento para este modelo:

2

01101

12

CC (5.10)


Ogden, representada pela equação (3.116), na equação (5.8), e considerando “N=6”,

obtém-se uma relação entre a tensão e o estiramento para este modelo:

1

21

6

61

21

1

11

6

6

1

122

(5.11)

116

Aplicando a função densidade de energia de deformação do modelo de Yeoh,

representada pela equação (3.117), na equação (5.8), obtém-se uma relação entre a

tensão e o estiramento para este modelo:

2

2

2

30

2

20101

13

233

222

CCC (5.12)

Aplicando a função densidade de energia de deformação do modelo

Polinomial, representada pela equação (3.118), na equação (5.8), e considerando

“N=3”, obtém-se uma relação entre a tensão e o estiramento para este modelo:

2211

2

2001

101

111133

222

CC

CC

2

2

2

30302

13

23

13222

CC

232

23

21

181833218652

C

2432

2

12

156183231882

C

2

2

2

03 132

132

C

(5.13)

Aplicando a função densidade de energia de deformação do modelo

Polinomial Reduzido, representada pela equação (3.119), na equação (5.8), e

considerando “N=6”, obtém-se uma relação entre a tensão e o estiramento para este

modelo:

2

2

2

30

2

20101

13

233

222

CCC

2

4

2

50

3

2

40

13

253

242

CC

2

5

2

60

13

262

C

(5.14)

117


Arruda-Boyce, representada pela equação (3.89), na equação (5.8), e truncando a

soma infinita em cinco termos, obtém-se uma relação entre a tensão e o estiramento

para este modelo:

2

2

2

4

2

21

12

350

112

10

1

2

12

LL

G

2

4

2

8

3

2

6

12

134750

5192

1750

192

LL

G

(5.15)

Com base nas soluções dos diferentes modelos hiperelásticos para o caso de

tração uniaxial, os parâmetros destes modelos serão estimados utilizando o método

dos mínimos quadrados, onde se busca minimizar a soma dos quadrados das

diferenças entre uma solução genérica e valores de referência.

Neste caso, a solução genérica corresponde às equações hiperelásticas,

enquanto que o valor de referência é o resultado experimental de tração uniaxial

monotônica realizado com velocidade de travessão de 10mm/min, cujos resultados

estão apresentados no gráfico da Figura 4.11.

Para aferir os modelos hiperelásticos, seus resultados precisam ser

expressos nas mesmas grandezas físicas do ensaio de tração uniaxial. O resultado

experimental está expresso em tensão e deformação de engenharia. A tensão de

engenharia corresponde à primeira tensão de Piola-Kirchhoff e, portanto, modelo e

experimento apresentam a mesma medida para esta grandeza física. A deformação

de engenharia “e” é definida de acordo com a equação (5.16)

0

0

L

LLe

(5.16)

O estiramento “λ”, utilizado como medida de deformação nos modelos

hiperelásticos, é definida na equação (3.74). Aplicando (5.16) em (3.74), é obtida uma

expressão relacionando “λ” com a deformação de engenharia “e”:

e1 (5.17)

118

Embora o elastômero de poliuretano tenha a capacidade de se deformar em

mais 300%, os parâmetros serão estimados para a faixa de trabalho esperada de um

Enrijecedor à Flexão, ou seja, deformação de engenharia máxima de 30%. Isto se faz

necessário porque, sendo este um material elastomérico, deve-se sempre ter em

mente qual é a finalidade dos dados que estão sendo tratados. Em outras palavras,

não é necessário determinar com exatidão qual é o comportamento em um estado de

deformação de 100% ou 200%.

O software Isight [49] foi utilizado para realizar o procedimento de obtenção

dos parâmetros dos modelos hiperelásticos pelo método dos mínimos quadrados, em

que o melhor resultado para cada modelo hiperelástico foi obtido através de

minimização da soma quadrática do resíduo (Σe²), representando a discrepância do

modelo adotado em relação à solução meta almejada. Uma comparação gráfica do

comportamento obtido para o caso de carregamento uniaxial está apresentada na

Figura 5.1 e na Figura 5.2 e os coeficientes obtidos para cada modelo hiperelástico

estão apresentados na Tabela 5.1:

Figura 5.1 – Ajuste de equações constitutivas hiperelásticas – Modelos Neo Hookeano,

Mooney-Rivlin, Ogden e de Yeoh

0

2

4

6

8

10

12

0 % 5 % 10 % 15 % 20 % 25 % 30 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


10mm/min

Neo hookeano

Mooney-Rivlin

Ogden (N=6)

Yeoh

119

Figura 5.2 – Ajuste de equações constitutivas hiperelásticas – Modelos Polinomial (“N=2” e

“N=3”), Polinomial Reduzido e de Arruda-Boyce

Tabela 5.1 – Coeficientes dos modelos hiperelásticos obtidos pelo método dos mínimos

quadrados

De maneira geral, os modelos Neo Hookeano e de Arruda-Boyce, ambos

obtidos por tratamento termodinâmico estatístico, foram que forneceram os resultados

mais inadequados para representar o comportamento do elastômero de poliuretano na

faixa de interesse (deformação de engenharia de até 30%), apresentando função

resíduo “Σe²” com valores bastante semelhantes. Portanto, com base nos modelos

hiperelásticos avaliados, conclui-se que o tratamento fenomenológico é mais

adequado para descrever o comportamento do elastômero investigado neste estudo.

0

2

4

6

8

10

12

0 % 5 % 10 % 15 % 20 % 25 % 30 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


10mm/min

Polinomial (N=2)

Polinomial (N=3)

Poli Reduzido (N=6)

Arruda-Boyce

C10 8,6027 C10 -25,32 µ1 16,793 C10 15,226 C10 -76,18 C10 -2,798 C10 16,597 G 17,188

- - C01 41,223 α1 -23,95 C20 -44,05 C01 97,358 C01 19,196 C20 -71,43 λL 100,1

- - - - µ2 1,5506 C30 80,37 C20 36,064 C20 -10,81 C30 250,03 - -

- - - - α2 -16,6 - - C11 15,327 C11 -12,81 C40 -285 - -

- - - - µ3 22,033 - - C02 -44,85 C02 -13,58 C50 -194,2 - -

- - - - α3 -19,56 - - - - C30 22,459 C60 -17,69 - -

- - - - µ4 23,798 - - - - C21 19,536 - - - -

- - - - α4 -17,49 - - - - C12 17,429 - - - -

- - - - µ5 -32,04 - - - - C03 15,98 - - - -

- - - - α5 10,611 - - - - - - - - - -

- - - - µ6 19,152 - - - - - - - - - -

- - - - α6 -15,7 - - - - - - - - - -

Σe²

Arruda

Boyce

135,3633813 240,1500694 5548,942311

Polinomial

Reduzido

(N=6)

Polinomial

(N=3)

369,5844851

Parâmetros

5548,898538 628,5060215 67,68114004 511,6401042

Neo

Hookeano

Mooney

Rivlin

Ogden

(N=6)Yeoh

Polinomial

(N=2)

120

Dos modelos fenomenológicos, o mais simples é o Mooney-Rivlin. Apesar de

ser obtido um comportamento superior em relação às equações constitutivas

desenvolvidas a partir de tratamento termodinâmico estatístico, este modelo ainda não

é capaz de representar o elastômero de poliuretano de maneira satisfatória,

representado matematicamente por uma função resíduo “Σe²” com valor bastante

elevado.

Excelentes resultados foram obtidos com o modelo de Ogden para “N=6”.

Uma dificuldade observada na estimativa de parâmetros deste modelo foi que todos os

termos da equação (5.11) possuem a mesma forma geral. À vista disto, se for utilizado

como estimativa inicial valores idênticos para “μi” e para “αi”, a lógica de otimização do

software Isight encontra soluções para estes coeficientes com valores idênticos. Desta

forma, ao contrário dos demais modelos hiperelásticos estudados, a escolha da

estimativa inicial tem grande influência na minimização da função resíduo. Também

foram estimados parâmetros do modelo de Ogden para “N=3”, entretanto o

comportamento obtido foi bastante inferior ao obtido com “N=6” e os resultados não

serão apresentados neste trabalho.

A utilização do modelo de Yeoh forneceu resultados razoáveis. É interessante

observar que o modelo de Yeoh é equivalente ao modelo Polinomial Reduzido para

“N=3”, e o uso deste modelo hiperelástico com “N=6” forneceu resultados

aprimorados, mas ainda inferior em relação ao comportamento obtido com o modelo

de Ogden.

A aplicação do modelo Polinomial mostrou um resultado interessante: o

modelo obtido com “N=2” apresentou melhor concordância com o resultado

experimental que o obtido com “N=3”. Como a própria nomenclatura deste modelo

indica, o ajuste do modelo é obtido por uma expressão polinomial, e deste modo, não

necessariamente a utilização de mais parâmetros trará uma melhor resposta ao

modelo, pois parâmetros adicionais podem ser desnecessários e apenas adicionam

ruído à solução proposta.

Além de verificar a aplicabilidade de um determinado modelo hiperelástico

para representar o comportamento mecânico do elastômero de poliuretano, é

igualmente necessário verificar se a equação constitutiva obtida apresenta

estabilidade para prover solução única a um problema de valor de contorno em

mecânica do contínuo. Em termos físicos, uma solução é encontrada para o problema

realizando o equilíbrio do trabalho exercido por cargas externas com a energia interna

de deformação do material. Se a energia de deformação reduz com o acréscimo de

carga, o equilíbrio energético não será alcançado e não será obtida uma solução para

o sólido deformado [28].

121

Esta condição de estabilidade é verificada pelo critério de estabilidade de

Drucker, obtido pelo produto interno do tensor incremental de tensões de Cauchy com

o tensor incremental de deformações real no material:

0: εσ r

(5.18)

No caso de tração uniaxial, o critério de estabilidade de Drucker é violado se

a tensão aplicada no material reduz em uma deformação trativa ou se a tensão

aumenta em uma deformação compressiva [28]. Desta forma, para o caso de

solicitação uniaxial, o critério de estabilidade pode ser formulado pela seguinte

inequação diferencial:

01

d

d r (5.19)

Os resultados dos modelos hiperelásticos expostos na Figura 5.1 e na Figura

5.2 estão apresentados em termos de tensão e deformação de engenharia e, portanto,

não podem ser aplicados diretamente na inequação (5.19). A relação entre tensão de

Cauchy com a tensão de engenharia (ou primeira tensão de Piola-Kirchhoff) é

fornecida pela equação (3.110). Aplicando o tensor gradiente de deformações

característico do caso de tração uniaxial, expresso pela equação (5.1), é obtida a

seguinte expressão para a tensão de Cauchy para este caso de carregamento:

er 1 (5.20)

A deformação real, ou deformação logarítmica, é definida pela seguinte

expressão:

0

lnL

L (5.21)

Aplicando a definição da deformação de engenharia, expressa na equação

(5.16), na equação (5.21), é obtida uma relação entre estas duas medidas de

deformação:

1ln e (5.22)

122

Aplicando as equações (5.21) e (5.22) nos modelos hiperelásticos adotados

como candidatos para descrever o comportamento do elastômero de poliuretano em

tração uniaxial, pode-se aplicar as expressões obtidas no critério de estabilidade para

este caso de carregamento, inequação (5.19). A análise de estabilidade dos modelos

hiperelásticos está apresentada nos gráficos da Figura 5.3 e da Figura 5.4, assim

como a comparação com o resultado experimental quando aplicado o critério de

Drucker.

É importante observar que, por ser um resultado experimental e não uma

expressão matemática, o critério de Drucker aplicado ao experimento foi obtido por

uma aproximação numérica da inequação (5.19), e por esta razão, a curva obtida não

é suave como a obtida a partir dos modelos hiperelásticos.

Figura 5.3 – Análise de estabilidade dos modelos hiperelásticos – Modelos Neo Hookeano,

Mooney-Rivlin, Ogden e de Yeoh

Figura 5.4 – Análise de estabilidade dos modelos hiperelásticos – Modelos Polinomial (“N=2” e

“N=3”), Polinomial Reduzido e de Arruda-Boyce

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

0 % 5 % 10 % 15 % 20 % 25 %

dσ/d

ε

Deformação real

Neo hookeano

Mooney-Rivlin

Ogden (N=6)

Yeoh

10mm/min

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

0 % 5 % 10 % 15 % 20 % 25 %

dσ/d

ε

Deformação real

Polinomial (N=2)

Polinomial (N=3)

Poli Reduzido (N=6)

Arruda Boyce

10mm/min

123

Analisando o critério apresentado pela inequação (5.19), a única equação

hiperelástica que violou o critério de estabilidade foi o modelo de Mooney-Rivlin, ainda

assim para deformações relativamente elevadas em relação à aplicação estudada do

material para Enrijecedores à Flexão (deformação de engenharia de 28,21% ou

deformação real de 24,85%).

Além de analisar se o critério de estabilidade de Drucker é valido para o

modelo hiperelástico, também é necessário verificar se o comportamento obtido

corresponde ao observado no ensaio experimental.

Na faixa de interesse de deformação de engenharia de 30% (ou deformação

real de aproximadamente 26,2%, conforme apresentado nos gráficos), o elastômero

de poliuretano apresenta uma maior rigidez em pequenas deformações, sendo esta

grandeza reduzida com o acréscimo de deformação. A partir de uma deformação real

de aproximadamente 15%, a rigidez do material se torna praticamente constante.

A única equação hiperelástica que apresentou a capacidade de reproduzir

este comportamento de rigidez do material foi o modelo de Ogden com “N=6”. Todos

os outros modelos apresentaram comportamento de rigidez instável com o acréscimo

de deformação, ora reduzindo, ora aumentando a rigidez. A única exceção foram os

modelos Neo Hookeano e de Arruda-Boyce, embora já houvesse sido analisado que

estes modelos não forneciam predição razoável do campo de tensões do elastômero

de poliuretano.

Com base nas avaliações acima sobre o comportamento das equações

hiperelásticas estudadas, o modelo que melhor representa o elastômero de

poliuretano para aplicação em Enrijecedores à Flexão é o modelo de Ogden com

“N=6”. Para verificar melhor a boa correlação obtida deste modelo, a Figura 5.5 mostra

apenas o comportamento obtido pelo modelo de Ogden com “N=6” frente aos

resultados experimentais.

124

Figura 5.5 – Modelo hiperelástico de Ogden – equação hiperelástica adotada para descrever o

comportamento do elastômero de poliuretano

É importante ressaltar que os parâmetros do modelo de Ogden com “N=6”

foram estimados para deformações de engenharia de até 30%, e não há garantia de

que os parâmetros estimados apresentem comportamento estável (critério de

estabilidade de Drucker) ou que represente dados experimentais para deformações

trativas mais elevadas ou em deformações compressivas.

Além disto, os parâmetros hiperelásticos foram estimados apenas pelo ensaio

de tração uniaxial. Desta forma, existe a possibilidade de que esta única referência

experimental não seja suficiente para estabelecer o comportamento do elastômero em

um estado triaxial de tensões. Para conhecer melhor o comportamento do material em

uma solicitação qualquer, seria interessante realizar também ensaios de tensão

biaxial, na qual a amostra seria submetida a um estado de tensões um pouco mais

complexo.

5.2. Parâmetros de modelo viscoelástico não-linear

Conforme discutido no capítulo 3.3, o modelo viscoelástico que melhor

representa o comportamento de materiais elastoméricos é o modelo de Bergstrom-

Boyce e, portanto, este será adotado para descrever o comportamento transiente do

elastômero de poliuretano.

Definindo “λ” como o estiramento característico da tração uniaxial e

considerando o material incompressível e isotrópico, o tensor gradiente de

0

2

4

6

8

10

12

0 % 5 % 10 % 15 % 20 % 25 % 30 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


10mm/min

Ogden (N=6)

125

deformações e o tensor de Cauchy-Green à esquerda podem ser definidos da

seguinte maneira:

2/1

2/1

00

00

00

F (5.23)

1

1

2

00

00

00

B (5.24)

Desta forma, o tensor inverso de “F”:

2/1

2/1

1

1

00

00

00

F (5.25)

Diferenciando “F” em relação ao tempo:

2/32

1

2/32

1

2/1

2/1

00

00

00

00

00

00

dt

dFijF (5.26)

Aplicando (5.25) e (5.26) na definição do tensor gradiente de velocidade,

equação (3.150):

12

1

12

1

1

1

00

00

00

FFL (5.27)

É importante observar que está sendo estudado um caso particular de

aplicação do modelo de Bergstrom-Boyce sob uma solicitação uniaxial. Desta forma,

assim como em todo o modelo, cada elemento mecânico, representado de maneira

unidimensional na Figura 3.15, também está submetido a uma solicitação uniaxial e,

portanto, as equações (5.23), (5.24), (5.25), (5.26) e (5.27) também são válidas para

subdomínios do modelo. Será adotado “ ” como o estiramento aplicado em todo

.

.

126

modelo (ou nos domínios “A” e “B”), “v

B ” como o estiramento aplicado ao elemento

viscoso do domínio “B” e “e

B ” como o estiramento aplicado ao elemento elástico do

domínio “B”.

Aplicando estas definições na equação (3.157), onde é descrita a

decomposição multiplicativa de deformação do modelo de Bergstrom-Boyce, é obtida

a relação entre “ ”, “v

B ” e “e

B ”:

v

B

e

BB FFF

2/1

2/1

2/1

2/1

2/1

2/1

00

00

00

00

00

00

00

00

00

v

B

v

B

v

B

e

B

e

B

e

B

v

B

e

B (5.28)

A taxa de deformação atuante no elemento viscoso do modelo de Bergstrom-

Boyce é fornecida pela seguinte equação:

B

v

B NDv

B~

(5.29)

Onde “NB” representa o tensor que fornece a direção para a configuração

relaxada do elastômero, sendo determinado pela seguinte equação:

B

B

rdev

rdev

Bσ

σN

2

3 (5.30)

Como o caso estudado é uma tração uniaxial, o tensor de tensões de Cauchy

no domínio “B” (Brσ ) pode ser definido como:

000

000

00Br

Brσ (5.31)

127

O tensor deviatórico de tensões de Cauchy atuante no domínio “B” (Brdevσ )

pode ser determinado pela seguinte expressão [31]:

B

B

B

r

r

r

31

31

32

00

00

00

3

1BBB rrrdev σσσ (5.32)

A magnitude de “Brdevσ ” é definida pela equação (3.153). Aplicando (5.32) em

(3.153):

Br

Ttr 3

2

Brdevrdevdev σσσBB

(5.33)

Aplicando (5.32) e (5.33) em (5.30):

B

B

B

B

B

B

r

r

r

r

r

r

6

100

06

10

003

2

2

3

2

3

B

B

rdev

rdev

Bσ

σN (5.34)

Como o caso analisado está sendo modelado de maneira unidimensional,

apenas o componente “NB11” pode ser considerado para a solução do problema:

B

B

r

r

BN

11 (5.35)

128

Conforme apresentado na equação (3.165), “v

BD~

” é a parte simétrica do

tensor gradiente de velocidade “v

BL~

”, que por sua vez é definido pela equação (3.162).

Aplicando (5.23), (5.25) e (5.27) em (3.162):

1~ e

B

v

B

e

B

v

B FLFL

1

1

21

1

21

1

2/1

2/1

00

00

00

00

00

00~

e

B

v

B FLv

B

v

B

v

B

v

B

v

B

v

B

e

B

e

B

e

B

2/1

2/1

1

12/1

21

12/1

21

1

00

00

00

00

00

00~

e

B

e

B

e

B

v

B

v

B

e

B

v

B

v

B

e

B

v

B

v

B

e

B

v

BL

v

B

v

B LL

v

B

v

B

v

B

v

B

v

B

v

B

1

21

1

21

1

00

00

00~

(5.36)

Aplicando (5.36) em (3.165):

v

B

v

B

v

B

v

Bv

B LLLL

D

~

00

00

00

22

1

2

~~~

1

21

1

21

1

v

B

v

B

v

B

v

B

v

B

v

BT

(5.37)

Como o caso analisado está sendo modelado de maneira unidimensional,

apenas o componente “11

~ v

BD ” pode ser considerado para a solução do problema:

v

B

v

B

v

BD 1

11

~ (5.38)

129

Aplicando (5.35) e (5.38) em (5.29), é obtida a expressão descreve a taxa de

deformação no elemento viscoso do modelo de Bergstrom-Boyce para o caso de

solicitação unidimensional:

B

B

r

rv

B

v

B

v

B

1 (5.39)

Isolando “v

B ”, é obtida a evolução do estiramento no elemento viscoso em

relação ao tempo:

B

B

r

rv

B

v

B

v

Bv

Bdt

d

(5.40)

O único termo restante a detalhar na equação (5.40) é “v

B ”, que representa a

taxa de deformação viscosa, sendo determinado pela seguinte equação:

mB

Ccr

B

v

B EA 1 (5.41)

Onde “cr

B ” representa o estiramento de fluência do domínio “B”, sendo

determinado pela equação (3.169). Aplicando (5.24) em (3.169):

v

B

v

B

cr

B tr

2

3

1

3

1 2v

BB (5.42)

Na equação (5.41), “B ” representa a tensão efetiva atuante no domínio “B”,

sendo determinada pela equação (3.170). Aplicando (5.32) em (3.170):

222

3

1

3

1

9

4

2

3:

2

3BBB rrrB

BB rdevrdev σσ

BrB (5.43)

130

Aplicando (5.42) e (5.43) em (5.41):

m

r

C

v

B

v

B

v

B BEA

1

2

3

1 2 (5.44)

Portanto, a evolução de deformação no elemento viscoso “v

B ” em relação ao

tempo é definida associando as equações (5.40) e (5.44). Como “ ” é diretamente

obtida pela deformação total aplicada ao elastômero e “v

B ” é definido pelas leis de

evolução estabelecidas acima, pode-se determinar “e

B ” a partir da equação (5.28):

v

B

e

B

(5.45)

O domínio “A” do modelo de Bergstrom-Boyce representa o comportamento

do material em equilíbrio. A equação constitutiva hiperelástica que melhor representa o

comportamento do elastômero de poliuretano em equilíbrio é o modelo de Ogden com

“N=6”. Portanto, a função densidade de energia de “WA” deste domínio é estabelecida

por esta equação constitutiva com coeficiente tais quais identificados na Tabela 5.1.

Por fim, a tensão no domínio “A” é obtida associando “WA” ao estiramento “ ”

aplicado.

A função de densidade de energia do domínio “B” (WB) é estabelecida

conforme apresentado na equação (5.46) em função do fator de escala de tensão “S”.

A tensão no domínio “B” é obtida associando “WB” ao estiramento “e

B ” aplicado.

AB SWW (5.46)

Por fim, a tensão total atuante no modelo é determinada como a soma das

tensões atuante nos domínios “A” e “B”, tal qual descrito na equação (3.154).

Assim como para a identificação dos parâmetros hiperelásticos, os ensaios

experimentais de tração apresentados na Figura 4.11 serão utilizados como referência

para identificar o comportamento viscoelástico do elastômero de poliuretano.

Nesta etapa, os resultados com velocidade de travessão de 10mm/min foram

considerados como representativos de uma solicitação infinitamente lenta, sendo,

portanto, considerados como o comportamento em equilíbrio do material. Os

131

resultados com velocidade de travessão de 150mm/min e 500mm/min serão

considerados como referência para solicitações em taxa de deformação finita.

Evidentemente, a velocidade de travessão “v” não é uma medida de taxa

deformação aplicável para a análise do material. A relação entre velocidade de

travessão dos ensaios com a taxa de deformação de engenharia ( e ) aplicada ao

modelo pode ser obtida pela equação (5.47):

060L

ve (5.47)

Como foi utilizado o corpo de prova tipo I da norma ASTM D638 [46], o

comprimento inicial da amostra (L0) é de 115mm. Utilizando a equação (5.47), a taxa

de deformação aplicada ao modelo está apresentada na Tabela 5.2:

Tabela 5.2 – Taxa de deformação de engenharia em função da velocidade de travessão do

ensaio

A equação (5.17) estabelece a relação entre o estiramento e a deformação de

engenharia. Derivando esta expressão em relação ao tempo:

e (5.48)

Com posse de todas as informações apresentadas acima, as propriedades

materiais “S”, “A”, “C” e “m” do comportamento viscoelásticos podem ser identificados

para o caso do elastômero de poliuretano. A constante de estabilização “E” não será

considerada como variável, sendo arbitrado o valor recomendado de 0,01 [37].

O software Isight [49] foi utilizado para realizar o procedimento de obtenção

dos parâmetros do modelo viscoelástico de Bergstrom-Boyce pelo método dos

mínimos quadrados, em que um conjunto de constantes materiais é estimado através

de minimização da soma quadrática do resíduo (Σe²) de cada uma das três referencias

listadas acima. A Figura 5.6 mostra uma comparação gráfica do comportamento obtido

pelo modelo (linhas cheias) com os resultados experimentais (linhas tracejadas) e

também com a solução hiperelástica que serve de referência como o comportamento

10mm/min 0,0014

150mm/min 0,022

500mm/min 0,072

Velocidade

de travessão (mm/min)

Taxa de deformação

de engeharia (1/s)

132

em equilíbrio do elastômero de poliuretano. Os coeficientes característicos da solução

obtida estão apresentados na Tabela 5.3:

Figura 5.6 – Ajuste do modelo viscoelástico de Bergstrom-Boyce

Tabela 5.3 – Coeficientes do modelo viscoelástico de Bergstrom-Boyce obtido pelo método dos

mínimos quadrados

5.3. Parâmetros de modelo de efeito Mullins

De acordo com a literatura, o efeito Mullins afeta apenas o comportamento

em equilíbrio dos elastômeros, não estando relacionado com fenômenos

viscoelásticos. Os experimentos realizados constataram que esta hipótese é aplicável

para o caso específico do elastômero de poliuretano, pois normalizando a tensão

atuante, o comportamento obtido é praticamente independente da taxa de

carregamento aplicada, conforme apresentado no gráfico da Figura 4.22.

Desta forma, não é necessário identificar parâmetros considerando a variação

da taxa de carregamento, mas somente em uma única condição de ensaio do

elastômero de poliuretano. Por conveniência, será utilizada como referência apenas as

curvas de carregamento do ensaio com velocidade de travessão de 10mm/min,

conforme indicado no gráfico da Figura 5.7. Com esta referência, o comportamento

primário do elastômero (ver definição no capítulo 3.4.2) corresponde à equação

constitutiva hiperelástica, não sendo necessário modelar, neste momento, qualquer

efeito viscoelástico do material.

0

2

4

6

8

10

12

14

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


hiperelástico

10 mm/min

150 mm/min

500 mm/min

Modelo 10

Modelo 150

Modelo 500

Fator de Escala de tensão

"S"

Parâmetro de Fluência

"A"

Constante de

Estabilização "E"

Expoente de deformação

de fluência "C"

Expoente de tensão

efetiva "m"

0,553925567 0,000644242 0,01 -0,682234773 1,089747282

133

Figura 5.7 – Referência experimental para identificação de parâmetros para modelo de efeito

Mullins

Apesar da perda de rigidez e a deformação residual serem tratadas por

formulações matemáticas independentes, como ambos os fenômenos são

provenientes do efeito Mullins, a identificação de parâmetros será realizada

simultaneamente para os dois comportamentos.

Para o efeito de perda de rigidez, a única formulação proposta foi o modelo

de Ogden-Roxburgh, na qual a energia de deformação do elastômero é modificada de

acordo com a seguinte equação:

1111,~

FF WW (5.49)

Onde “1 ” é uma variável escalar de dano para modelar o efeito da perda de

rigidez do elastômero, cujo valor é definido pela seguinte equação:

max

max1

11

Wn

WWerf

r (5.50)

“Wmax” corresponde à máxima energia de deformação elástica à qual o

material foi submetido em todo o seu histórico de solicitações e “W ” é a energia de

deformação elástica instantânea a qual o material está submetido.

Conforme apresentado no capítulo 5.1, o modelo de Ogden com “N=6” é a

equação constitutiva hiperelástica que melhor descreve o comportamento do

0

2

4

6

8

10

12

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35%

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


C10% - 10mm/min

C20% - 10mm/min

C30% - 10mm/min

134

elastômero de poliuretano, cuja energia de deformação é definida pela equação

(3.116). Além disso, para uma solicitação de tração uniaxial, o tensor gradiente de

deformações “F” é definido pela equação (5.1). Associando ambas as equações,

obtém-se a energia de deformação do modelo de Ogden com “N=6” a ser utilizada

para identificação de parâmetros para o modelo de Ogden-Roxburgh:

6

12

322

21

i i

i iiW

(5.51)

Aplicando a equação (5.51) em conjunto com os parâmetros estabelecidos na

Tabela 5.1 na equação (5.50), os parâmetros “r”, “n” e “β” podem ser identificados para

o caso do elastômero de poliuretano.

Para o efeito de deformação residual, uma das formulações propostas é

descrever este fenômeno pelo critério de escoamento de von Mises com encruamento

isotrópico linear. Desta maneira, a tensão na qual ocorre evolução de deformação

residual, o que corresponderia a tensão de escoamento da formulação de von Mises, é

estabelecida pela seguinte expressão:

eqpe H 0 (5.52)

Onde “σe” é a tensão de escoamento e “σ0” e “H” são propriedades materiais,

representando a tensão de escoamento inicial e o módulo plástico, respectivamente.

Com base nos resultados experimentais apresentados no gráfico da Figura

5.7, é possível obter dois pares de dados de “tensão atuante” versus “deformação

residual” obtida: a tensão máxima atingida ao fim do primeiro carregamento produz a

deformação residual observada no segundo ciclo de carregamento, sendo a mesma

relação para a máxima tensão atingida no segundo ciclo e a deformação residual

constatada para o terceiro ciclo. Os dados obtidos dos experimentos estão

apresentados na Tabela 5.4:

Tabela 5.4 – Dados experimentais de “tensão de escoamento” versus “deformação residual”

Condição de escoamentoTensão de escoamento

"σe"

Deformação residual

"εpeq"

fim 1º ciclo 7,01 MPa 1,28%

fim 2º ciclo 8,81 MPa 3,00%

135

Aplicando os parâmetros definidos na Tabela 5.4 na equação (5.52), são

obtidos os parâmetros que definem a tensão de escoamento para modelagem de

deformação residual do elastômero de poliuretano, cujos valores estão apresentados

na Tabela 5.5:

Tabela 5.5 – Parâmetros para modelagem de deformação residual do elastômero de

poliuretano por encruamento linear

Com auxílio da função de escoamento “f” e das condições de Kuhn-Tucker,

definidos respectivamente pelas equações (3.189) e (3.191), uma formulação

incremental pode ser realizada para determinar a evolução de deformação residual no

elastômero de poliuretano [50].

Associando o modelo de plasticidade de von Mises com o modelo de perda

de rigidez de Ogden-Roxburgh, uma modelagem completa do efeito Mullins para o

elastômero de poliuretano pode ser obtida. O software Isight [49] foi utilizado para

realizar a identificação de parâmetros pelo método dos mínimos quadrados, em que

um conjunto de constantes materiais é estimado através de minimização da soma

quadrática do resíduo (Σe²), utilizando como referência as curvas de carregamento do

ensaio com velocidade de travessão de 10mm/min, conforme indicado no gráfico da

Figura 5.7.

A Figura 5.8 mostra uma comparação gráfica do comportamento obtido pelo

modelo (linhas cheias) com os resultados experimentais (linhas tracejadas). Os

coeficientes característicos da solução obtida estão apresentados na Tabela 5.6:

Figura 5.8 – Ajuste de efeito Mullins por plasticidade de von Mises e modelo de Ogden-

Roxburgh

Tensão de escoamento inicial

"σ0"

Módulo plástico

"H"

5,67 MPa 104,83 MPa

0

2

4

6

8

10

12

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


C10% - modelo

C20% - modelo

C30% - modelo

C10% - 10mm/min

C20% - 10mm/min

C30% - 10mm/min

136

Tabela 5.6 – Coeficientes de efeito Mullins por plasticidade de von Mises e modelo de Ogden-

Roxburgh

Apesar da modelagem de deformações residuais pelo efeito Mullins por

plasticidade de von Mises ser a utilizada em softwares de análise numérica, como por

exemplo, o Abaqus, observa-se que esta abordagem não é adequada para descrever

o comportamento de elastômeros pelas seguintes razões:

Após o surgimento de deformações residuais, como a plasticidade foi

modelada por um encruamento linear, o comportamento obtido se

aproximou bastante de uma reta, se afastando do comportamento não

linear característico dos elastômeros, acarretando em uma

disparidade entre resultados numéricos e experimentais.

De acordo com os parâmetros apresentados na Tabela 5.6, a tensão

de escoamento inicial do modelo é de aproximadamente 5,7MPa. Ou

seja, deformações residuais só surgiriam quando o material já tivesse

sido submetido a solicitações relativamente elevadas. Conforme

apresentado no gráfico da Figura 4.26, experimentos demonstraram

que deformações residuais são observadas no elastômero de

poliuretano mesmo para solicitações bastante baixas, o que não seria,

portanto, previsto por este modelo.

O modelo de plasticidade de von Mises determina que a evolução de

deformações residuais é regida pela tensão atuante no material.

Entretanto, a literatura sobre o efeito Mullins indica que este fenômeno

é controlado pela deformação aplicada ao material [39].

As inconsistências citadas acimas poderiam ser reduzidas adotando um

modelo de encruamento não linear. Entretanto, esta alternativa não foi verificada

durante a execução deste trabalho.

Como a representação de deformações residuais por um modelo de

plasticidade de von Mises não se mostrou viável, o método alternativo é adotar o

Tensão de escoamento inicial

"σ0"

Módulo plástico

"H"

Parâmetro

"r"

Parâmetro

"n"

Parâmetro

"β"

5,67 MPa 104,83 MPa 2,272894124 0,963755714 0,816713383

Parâmetros do modelo de plasticidade de von Mises Parâmetro do modelo de Ogden-Roxburgh

137

modelo de Dorfmann-Ogden, na qual a energia de deformação do elastômero é

modificada de acordo com a seguinte equação:

22112121 1,,~

FFF NWW (5.53)

Onde “1 ” é a variável escalar de dano modelar o efeito da perda de rigidez,

cujo valor é definido pela equação (5.50). O efeito de deformações residuais é

introduzido através da variável escalar de dano “2 ”, sendo definida pela seguinte

equação:

1tanh

tanh

max

max

2

W

W

W

(5.54)

“Wmax” e “W ” são obtidos com auxílio da equação (5.51), e o expoente “α” é

definido pela seguinte equação:

0

max

Wba (5.55)

Onde “a” e “b” são propriedades materiais e “µ0” é o módulo de cisalhamento

da equação constitutiva hiperelástica. Como o modelo de Ogden com “N=6” foi

adotado, “µ0” é definido como:

6

1

0

i

i (5.56)

A função “N” adotada para introduzir efeitos anisotrópicos com o surgimento

de deformações residuais é definida pela equação (3.200). Para uma solicitação de

tração uniaxial, o tensor gradiente de deformações “F” é definido pela equação (5.1).

Associando ambas as equações, obtém-se a expressão de “N” para o caso de uma

solicitação uniaxial:

112

1,, 1

32

2

1321 vvvN (5.57)

138

Onde “ iv ” é um parâmetro material que inclui os efeitos anisotrópicos no

material. Seu valor depende do módulo de cisalhamento da equação constitutiva

hiperelástica “ 0 ”, definido pela equação (5.56), e do máximo estiramento “ mi ” na

direção correspondente:

1,0

1tanh

5,3

114,0 0

miiv

(5.58)

A tensão atuante no material é definida pela equação (3.197). Derivando a

equação (5.57) em relação ao estiramento “λ” e aplicando em (3.197):

2

321212

11~ vvvii (5.59)

Como o material é considerado isotrópico, no caso de tração uniaxial, as

direções perpendiculares à direção de aplicação de carregamento apresentam o

mesmo comportamento. Portanto, definindo “ 2v ” como o parâmetro para as direções

perpendiculares à direção principal de uma solicitação axial:

2

322

vvv

(5.60)


2

2121 1~ vvii (5.61)

A equação (5.61) estabelece a solução do modelo de Dorfmann-Ogden para

o caso de solicitação uniaxial, e desta forma, os parâmetros “r”, “n”, “β”, “a” e “b”

podem ser identificados para descrição do efeito Mullins do elastômero de poliuretano.

O software Isight [49] foi utilizado para realizar a identificação de parâmetros

pelo método dos mínimos quadrados, em que um conjunto de constantes materiais é

estimado através de minimização da soma quadrática do resíduo (Σe²), utilizando

como referência as curvas de carregamento do ensaio com velocidade de travessão

de 10mm/min, conforme indicado no gráfico da Figura 5.7.

139


modelo (linhas cheias) com os resultados experimentais (linhas tracejadas). Os

coeficientes característicos da solução obtida estão apresentados na Tabela 5.7:

Figura 5.9 – Ajuste de efeito Mullins pelo modelo de Dorfmann-Ogden

Tabela 5.7 – Coeficientes de efeito Mullins pelo modelo de Dorfmann-Ogden

Analisando o comportamento do modelo de Dorfmann-Ogden, observa-se

que esta abordagem descreve com eficácia tanto a perda de rigidez como a evolução

de deformações residuais. Portanto, este modelo será adotado para descrever o efeito

Mullins do elastômero de poliuretano.

5.4. Verificação do comportamento do modelo obtido em solicitações cíclicas

Associando os modelos que melhor representam a resposta do elastômero de

poliuretano para cada um de seus comportamentos e aplicando os parâmetros

identificados nos capítulos 5.1, 5.2 e 5.3, obtém-se um modelo visco-hiperelástico e de

efeito Mullins que fornece uma descrição completa do comportamento mecânico deste

material.

O comportamento em equilíbrio do elastômero de poliuretano é descrito pelo

modelo hiperelástico de Ogden com “N=6”. Para descrição do comportamento

0

2

4

6

8

10

12

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

Ten

são

de

en

geh

aria

(M

Pa)


C10% - modelo

C20% - modelo

C30% - modelo

C10% - 10mm/min

C20% - 10mm/min

C30% - 10mm/min

Parâmetros do modelo

hiperelástico

Módulo de cisalhamento

"μ0"

Parâmetro

"r"

Parâmetro

"n"

Parâmetro

"β"

Parâmetro

"a"

Parâmetro

"b"

51,28 MPa 1,379889881 1,553597751 0,70111756 0,174823198 4,057641577

Parâmetro do modelo de Dorfmann-Ogden

140

viscoelástico, foi adotado o modelo de Bergstrom-Boyce. Por último, para representar

o efeito Mullins, foi adotado o modelo de Dorfmann-Ogden.

De forma a verificar a validade do modelo obtido, foi verificado o

comportamento para solicitações cíclicas na qual a deformação máxima aplicada

aumenta gradativamente em incrementos de 10%, atingindo no último ciclo uma

deformação de engenharia 30%.

Esta solicitação corresponde aos experimentos cíclicos apresentados no

capítulo 4.3, cujos resultados obtidos estão expostos no gráfico da Figura 4.18 (página

106). Para que o modelo represente os ensaios nas três velocidades de travessão

adotadas (10, 150 e 500mm/min), as taxas de deformação aplicadas correspondem às

apresentadas na Tabela 5.2.

A Tabela 5.8 apresenta todos os parâmetros utilizados para descrever o

comportamento do elastômero de poliuretano com dureza Shore 60 D. Os parâmetros

são idênticos aos apresentados anteriormente, com exceção dos parâmetros do efeito

Mullins, pois como não é possível desmembrar totalmente efeitos viscoelásticos do

efeito Mullins em investigações experimentais, estes foram aprimorados considerando

esta solicitação mais complexa.

Tabela 5.8 – Coeficientes de modelo visco-hiperelástico para elastômero de poliuretano com

dureza Shore 60 D

Devido à ocorrência de flambagem nos experimentos em consequência das

deformações residuais do efeito Mullins, será considerado, para o modelo, a

ocorrência de flambagem para qualquer tensão compressiva. A comparação entre

modelo e experimento está apresentada na Figura 5.10, Figura 5.11, e na Figura 5.12,

onde o comportamento obtido pelo modelo é representado por linhas cheias, e os

resultados experimentais são representados por linhas tracejadas.

µ1 α1 µ2 α2 µ3 α3 µ4 α4 µ5 α5 µ6 α6 μ0

16,79 MPa -23,9506795 1,55 MPa -16,604191 22,03 MPa -19,5615238 23,80 MPa -17,4934052 -32,04 MPa 10,61120679 19,15 MPa -15,6952692 51,28 MPa

S A E C m r n β a b

0,553925567 0,000644242 0,01 -0,68223477 1,089747282 1,004895444 1,330761298 1,111067035 0,187713301 4,311624274

Parâmetros do modelo de Bergstrom-Boyce Parâmetro do modelo de Dorfmann-Ogden

Parâmetros do modelo hiperelástico (Ogden N=6)

141

Figura 5.10 – Comparação entre modelo e experimento para velocidade de travessão de

10mm/min


150mm/min

0

2

4

6

8

10

12

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


10 mm/min

Modelo 10

0

2

4

6

8

10

12

14

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


150 mm/min

Modelo 150

142


500mm/min

Umas das hipóteses adotadas para o modelo desenvolvido foi que a condição

de ensaio com velocidade de travessão de 10mm/min corresponderia à condição de

equilíbrio do material, ou seja, uma condição em que os efeitos viscoelásticos seriam

irrelevantes.

Evidentemente, como toda a identificação de parâmetros foi baseada nesta

hipótese, o comportamento do modelo para uma taxa de deformação correspondente

à velocidade de travessão de 10mm/min apresenta efeitos viscoelásticos bastante

reduzido. Entretanto, o experimento indica que, mesmo para esta baixa velocidade de

travessão, efeitos viscoelásticos ainda são significativos, conforme pode ser

visualizado no gráfico da Figura 5.10.

A correlação entre modelo e experimento para uma velocidade de travessão

de 150mm/min foi excelente, conforme pode ser visualizado no gráfico da Figura 5.11.

Para o caso de velocidade de travessão de 500m/min, cujos resultados do

modelo e do experimento estão apresentados no gráfico da Figura 5.12, observa-se

uma boa correlação para as curvas de carregamento. Entretanto, para as curvas de

descarregamento, o resultado obtido do modelo foi bastante inadequado para

representar o comportamento real do material.

Como o modelo apresenta uma boa correspondência para as curvas de

carregamento nos três casos de taxa de carregamento, existe uma indicação de que

as formulações hiperelástica e de efeito Mullins estão adequadas. Entretanto, nas

solicitações de descarregamento, onde o comportamento viscoelástico do material é

predominante, foram encontradas as maiores discrepâncias entre modelo e

experimento.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


500 mm/min

Modelo 500

143

6. Modelo visco-hiperelástico proposto para modelagem de elastômero de poliuretano

Conforme investigado no capítulo 5.4, existe uma indicação de que o modelo

apresentado anteriormente não possui uma formulação viscoelástica adequada para

representar o comportamento mecânico do elastômero de poliuretano.

O modelo viscoelástico de Bergstrom-Boyce considera que o efeito

viscoelástico é oriundo do movimento de reptação do domínio flexível do elastômero, e

desta forma, a tensão oriunda de efeitos viscoelásticos seria proporcional à equação

constitutiva hiperelástica que define o comportamento em equilíbrio do material.

Entretanto, para o caso dos elastômeros que apresentam domínios cristalinos

em sua microestrutura, o que é o caso do elastômero de poliuretano, existe uma teoria

viscoelástica alternativa em que se supõe que os efeitos viscoelásticos são

provenientes de efeitos dissipativos do domínio cristalino, e não do domínio flexível

elastomérico. Neste caso, a energia dissipada seria oriunda de deformações plásticas

e de quebra de ligações de hidrogênio do domínio cristalino, assim como de possíveis

efeitos de fricção entre diferentes domínios cristalinos [51].

Como o esforço viscoelástico provém do domínio cristalino e não da rede

elastomérica flexível, uma alteração significativa desta teoria em relação ao modelo de

Bergstrom-Boyce é que a tensão viscoelástica apresentaria comportamento linear

elástico, pois como o domínio cristalino apresenta uma razoável organização

molecular, seu mecanismo de deformação seria regido por alterações de energia

interna e não por entropia, o que seria o caso de uma tensão oriunda da rede

elastomérica flexível.

Um exemplo de modelo viscoelástico para elastômeros cristalinos que

considera perda de rigidez por efeito Mullins, mas sem inclusão de efeitos de

deformação residual, é o modelo macromolecular de Qi-Boyce [51]. Neste modelo, o

elastômero é descrito como um material compósito, no qual o domínio cristalino

representaria um domínio rígido e a rede elastomérica flexível representaria um

domínio flexível do material, consideração esta que condiz com a teoria apresentada

sobre o elastômero de poliuretano, capítulo 3.1.1.

144

Desta forma, a composição do material é representada por uma fração

volumétrica de domínio rígido “vh” e por uma fração volumétrica de domínio flexível

“vs”, de tal forma que:

1 sh vv (6.1)

O modelo de Qi-Boyce supõe que o efeito Mullins ocorre devido às variações

destas frações volumétricas, em que parte do domínio flexível está inicialmente

agregada ao domínio rígido, sendo esta desprendida quando o elastômero é

submetido a uma deformação. Esta hipótese é adequada, pois existem evidencias de

que, apesar destes domínios serem quimicamente incompatíveis, gerando uma

segregação microestrutural, uma separação incompleta destas fases é observada em

elastômero de poliuretano [5].

É interessante ressaltar ainda que, apesar dos modelos de Ogden-Roxburgh

e de Dorfmann-Ogden serem de abordagem fenomenológica, estes também se

basearam no conceito de reorganização dos domínios rígido e flexível do elastômero

para descrever o efeito Mullins, porém representando este fenômeno por uma variável

escalar de dano [40, 42, 43]. Portanto, de certa forma, a descrição da reorganização

das frações volumétricas está presente de maneira implícita nestes modelos

fenomenológicos.

Por adotar uma abordagem macromolecular, o modelo de Qi-Boyce considera

que o comportamento em equilibro do elastômero é descrito pelo modelo constitutivo

hiperelástico de Arruda-Boyce, cuja formulação foi apresentada no capítulo 3.2.1.2,

introduzindo algumas variáveis adicionais para descrever a evolução das frações

volumétricas do material, visando modelar a perda de rigidez pelo efeito Mullins.

Quando foram identificados os parâmetros de diversos modelos hiperelásticos

disponíveis na literatura, foi verificado que o modelo de Arruda-Boyce, não é

apropriado para descrever o comportamento do elastômero de poliuretano. Portanto, a

abordagem inicial para modelagem do comportamento em equilíbrio do elastômero de

poliuretano será mantida conforme realizado no capitulo 5, ou seja, utilizando o

modelo constitutivo de Ogden com “N=6” sujeito ao efeito Mullins pelo modelo de

Dorfmann-Ogden. A única alteração que será realizada é a formulação viscoelástica

do modelo.

Assim como para o modelo de Bergstrom-Boyce, a comportamento em

equilíbrio e o comportamento transitório viscoelástico serão separados por uma

decomposição multiplicativa de deformação, na qual uma parte modela o

145

comportamento do elastômero em equilíbrio sujeito ao efeito Mullins (domínio “A”), em

paralelo com outra parte que captura o comportamento viscoelástico transiente do

material (domínio “B”). Uma representação gráfica da decomposição multiplicativa de

deformação está apresentada na Figura 6.1:

Figura 6.1 – Decomposição multiplicativa de deformação do modelo viscoelástico proposto

Como o comportamento em deformação do modelo viscoelástico proposto é

idêntico ao modelo de Bergstrom-Boyce, todo o tratamento matemático para definir a

evolução de deformação do material será omitido, pois é o mesmo do já realizado no

capítulo 3.3.2. A única alteração será a formulação que determina a taxa de

deformação viscosa “v

B ”, cujo valor deve ser definido constitutivamente. Desta forma,

a equação (6.2) propõe a seguinte formulação alternativa para “v

B ”:

m

BCcr

B

v

Bs

EA

1 (6.2)

Comparando a formulação da taxa de deformação viscosa do modelo

proposto, equação (6.2), como a formulação original proposta por Bergstrom-Boyce,

equação (3.168), observa-se que a única alteração foi a inclusão do parâmetro de

amolecimento “s” como denominador da tensão viscoelástica “B ”. Este parâmetro

representa o efeito no comportamento viscoelástico do elastômero devido às

alterações da constituição do domínio cristalino causadas por uma deformação. O

BA FFF

v

BF

e

BF

Configuração de

referência

Configuração

atual

Configuração relaxada

146

modelo de Qi-Boyce propõe a seguinte formulação para o parâmetro de amolecimento

“s” [42]:

0

0

sv

vs

h

h

(6.3)

Onde “vh0” representa a fração volumétrica do domínio rígido de um

elastômero virgem e “s0” o valor inicial para o parâmetro de amolecimento.

De acordo com esta teoria de origem do efeito Mullins, uma redução da

fração volumétrica do domínio rígido “vh” ocorre somente quando uma solicitação

excede a máxima deformação prévia de todo o histórico de solicitações do material. O

modelo de Qi-Boyce estabelece a evolução de “vh” pela seguinte equação [42]:

max

max0

1exp

L

hhshsh Avvvv

(6.4)

Onde “vhs” representa a fração volumétrica de saturação do domínio rígido, e

“λL” representa o máximo estiramento que uma cadeia polimérica pode suportar

considerando a formulação constitutiva hiperelástica de Arruda-Boyce, cujo valor é

definido pela equação (3.77). O estiramento máximo amplificado da cadeia “Λmax” um

escalar que depende da máxima deformação a qual o elastômero foi submetido. No

caso de uma solicitação uniaxial, “Λmax” é definido como [42]:

11185,312

max

2

max hh vv (6.5)

Onde “λmax” representa o máximo estiramento característico de uma

solicitação axial.

Conforme mencionado anteriormente, o modelo de Qi-Boyce considera a

solução hiperelástica de Arruda-Boyce como representativa do comportamento em

equilíbrio do elastômero, e por esta razão, a evolução da fração volumétrica do

domínio rígido “vh”, definida pela equação (6.4), depende de parâmetros

característicos desta equação constitutiva.

147

De forma a tornar o modelo viscoelástico proposto fenomenológico e

totalmente independente da equação constitutiva hiperelástica adotada para

representar o comportamento em equilíbrio de um elastômero, será proposta a

seguinte equação para definir a evolução da fração volumétrica do domínio rígido “vh”:

max2

max10 exp

WK

WKvvvv hhshsh

(6.6)

Na formulação original, a constante “A” já era um parâmetro fenomenológico.

Entretanto, este parâmetro foi modificado para “K1” somente para evidenciar que esta

é uma formulação distinta.

O estiramento máximo amplificado da cadeia “Λmax” foi substituído por “Wmax”,

que corresponde à máxima energia de deformação elástica à qual o material já foi

submetido. De certa maneira, os dois parâmetros representam o mesmo fenômeno

físico, pois ambos dependem de um estado de solicitação máxima em todo o histórico

de carregamento do material.

O máximo estiramento que uma cadeia polimérica pode suportar “λL” foi

substituído pelo parâmetro fenomenológico “K2”. Desta forma, semelhante à “λL”, “K2”

representa um estado de deformação extrema na qual a fração volumétrica de

saturação do domínio rígido “vhs” é atingida. A única diferença é qual grandeza física

foi adotada para representar este estado extremo: na formulação original, o estado

estremo corresponde ao estiramento total de uma cadeia polimérica; na formulação

proposta, este estado extremo é representado por uma energia de deformação

extrema.

Com a evolução de “vh” definida, resta somente determinar o comportamento

da tensão viscoelástica “ B ” na taxa de deformação viscosa “v

B ”, definida pela

equação (6.2). Considerando que os efeitos viscoelásticos são oriundos do domínio

cristalino do material, este deve apresentar comportamento linear elástico. Desta

forma, será adotada a formulação de tensão viscoelástica do modelo de Qi-Boyce, em

que é sugerida a seguinte formulação para representar o comportamento transiente do

material [42]:

e

BB VDσ lnhv (6.7)

148

Onde “D” é o tensor elástico de quarta ordem e “e

BV ” é o tensor de

estiramento à esquerda, sendo determinado pela seguinte equação [31]:

TFFBV 2

1

(6.8)

Considerando uma solicitação tração uniaxial, e definindo “λ” como o seu

estiramento característico, o tensor gradiente de deformações “F” é definido da

seguinte maneira:

2/1

2/1

00

00

00

F (6.9)


2/1

2/1

00

00

00

FV (6.10)

Aplicando (6.10) em (6.7), e como o problema está sendo analisado de

maneira unidimensional, apresentando apenas a componente de tensão “11B ”:

ln11 BhB Ev (6.11)

Onde “EB” representa o módulo de elasticidade característico do domínio

cristalino.

Com o comportamento definido pelas equações (6.2), (6.3), (6.6) e (6.11),

uma representação gráfica unidimensional do modelo visco-hiperelástico proposto é

apresentada na Figura 6.2:

149

Figura 6.2 – Representação unidimensional do modelo viscoelástico proposto

Assim como para a identificação dos parâmetros do modelo de Bergstrom-

Boyce, os ensaios experimentais de tração apresentados na Figura 4.11 serão

utilizados como referência para identificar os parâmetros do modelo visco-hiperelástico

proposto. O software Isight [49] foi utilizado para realizar o procedimento de

identificação de parâmetros pelo método dos mínimos quadrados, em que um conjunto

de constantes materiais é estimado através de minimização da soma quadrática do

resíduo (Σe²) de cada uma das três referencias apresentadas na Figura 4.11.


modelo (linhas cheias) com os resultados experimentais (linhas tracejadas) e também

com a solução hiperelástica que serve de referência como o comportamento em

equilíbrio do elastômero de poliuretano. Os coeficientes característicos da solução

obtida estão apresentados na Tabela 6.1:

Figura 6.3 – Ajuste do modelo visco-hiperelástico proposto

0

2

4

6

8

10

12

14

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)

Deformação de engeharia

hiperelástico

10 mm/min

150 mm/min

500 mm/min

Modelo 10

Modelo 150

Modelo 500

σ, ε

ln11 BhB Ev

i

iA

N

2111 1

B

v

B NLv

B~

Domínio “A” Domínio “B”

150

Tabela 6.1 – Coeficientes do modelo viscoelástico proposto

Comparando o resultado do modelo viscoelástico proposto (Figura 6.3) com o

resultado obtido pelo modelo de Bergstrom-Boyce (Figura 5.6), observa-se que

considerar que a viscoelasticidade é oriunda de efeitos dissipativos do domínio

cristalino, e não do domínio flexível elastomérico, trouxe resultados bastante

superiores, isto é, o comportamento do modelo proposto se aproximou mais dos

resultados experimentais obtidos de amostras do elastômero de poliuretano.

Para verificar a superioridade do modelo visco-hiperelástico proposto, será

verificado a seguir o comportamento obtido em solicitações cíclicas na qual a

deformação máxima aplicada aumenta gradativamente em incrementos de 10%,

atingindo no último ciclo uma deformação de engenharia 30%.

Esta solicitação corresponde aos experimentos cíclicos apresentados no

capítulo 4.3, cujos resultados obtidos estão expostos no gráfico da Figura 4.18 (página

106). Para que o modelo represente os ensaios nas três velocidades de travessão

adotadas (10, 150 e 500mm/min), as taxas de deformação aplicadas correspondem às

apresentadas na Tabela 5.2.

A Tabela 6.2 apresenta todos os parâmetros utilizados para descrever o

comportamento do elastômero de poliuretano com dureza Shore 60 D. Os parâmetros

iniciais do modelo de Dorfmann-Ogden para descrição do efeito Mullins foram obtidos

de acordo com a identificação de parâmetros realizada no capítulo 5.3, cujos

resultados estão apresentados na Tabela 5.7. Entretanto, como não é possível

desmembrar totalmente efeitos viscoelásticos do efeito Mullins em investigações

experimentais, estes foram aprimorados considerando esta solicitação mais complexa.

Tabela 6.2 – Coeficientes de modelo visco-hiperelástico proposto para elastômero de

poliuretano com dureza Shore 60 D

Devido à ocorrência de flambagem nos experimentos em consequência das

deformações residuais do efeito Mullins, será considerado, para o modelo, a

A E C m Eb S0 Vh0 Vhs K1 K2

0,000198016 0,01 -0,835285082 1,240065106 144,46 MPa 1,2061449 0,410465973 0,153387021 213,18 mm²/N 268,41 MPa

µ1 α1 µ2 α2 µ3 α3 µ4 α4 µ5 α5 µ6 α6 μ0



0,000198016 0,01 -0,835285082 1,240065106 144,46 MPa 1,2061449 0,410465973 0,153387021 213,18 mm²/N 268,41 MPa

r n β a b

1,64197469 1,409444087 0 0,100568094 3,87408864


Parâmetros do modelo viscoelástico proposto


151

ocorrência de flambagem para qualquer tensão compressiva. A comparação entre

modelo proposto e experimento está apresentada na Figura 6.4, Figura 6.5, e na

Figura 6.6, onde o comportamento obtido pelo modelo proposto é representado por

linhas cheias, e os resultados experimentais são representados por linhas tracejadas.

Figura 6.4 – Comparação entre modelo e experimento visco-hiperelástico proposto para

velocidade de travessão de 10mm/min

Figura 6.5 – Comparação entre modelo visco-hiperelástico proposto e experimento para


0

2

4

6

8

10

12

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


10 mm/min

Modelo 10

0

2

4

6

8

10

12

14

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


150 mm/min

Modelo 150

152

Figura 6.6 – Comparação entre modelo visco-hiperelástico proposto e experimento para


Para o caso de velocidade de travessão de 150mm/min, resultados

excelentes já haviam sido obtidos com a formulação original. Entretanto, com a

aplicação do modelo visco-hiperelástico proposto, a correlação entre modelo e

experimento foi aprimorada.

O aperfeiçoamento mais significativo foi observado para o caso de velocidade

de travessão de 500mm/min. O modelo original não foi capaz de representar as curvas

de descarregamento para esta elevada taxa de carregamento, já o modelo visco-

hiperelástico proposto representou melhor este comportamento do elastômero de

poliuretano.

Além disso, a melhoria de representação do comportamento em

descarregamento também é notável para o caso de velocidade de travessão de

150mm/min. Embora o modelo original fosse capaz de representar razoavelmente bem

esta situação do material, a forma da resposta do modelo não correspondia à forma

observada nos experimentos. Já para o modelo visco-hiperelástico proposto, o formato

da curva de descarregamento se assemelha muito mais aos resultados experimentais.

O único resultado que continuou sem uma representação fidedigna do

experimento foi o caso de velocidade de travessão de 10mm/min. Entretanto,

conforme discutido anteriormente, uma boa representação por qualquer modelo não

seria possível, pois a hipótese de que a solicitação em velocidade de travessão de

10mm/min representaria o comportamento em equilibro do elastômero de poliuretano

não foi apropriada. Ainda assim, observa-se que um aprimoramento no resultado

obtido com o uso do modelo visco-hiperelástico proposto.

0

2

4

6

8

10

12

14

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


500 mm/min

Modelo 500

153

7. Exemplos de aplicação do modelo proposto

Com posse do modelo visco-hiperelástico e de efeito Mullins desenvolvido no

capítulo 6, cujos resultados iniciais se mostraram bastante promissores, serão

apresentados a seguir alguns exemplos de aplicação.

O primeiro exemplo mostra como o modelo pode ser empregado para

compreender a diferenciação do comportamento do elastômero de poliuretano para

diferentes solicitações, que de maneira intuitiva, poderia ser pressuposto que são

equivalentes.

Em outro exemplo, de forma a verificar abrangência da validade do modelo

desenvolvido, serão estimados parâmetros de uma variedade distinta de elastômero

de poliuretano, baseado em dados experimentais presentes na literatura.

7.1. Efeito da natureza da solicitação no comportamento do elastômero de poliuretano

Em materiais com comportamento elástico linear, como por exemplo os

metais, se a tensão de escoamento não for alcançada, a resposta do material pouco

depende se a solicitação é controlada por tensão ou por deformação, pois há uma

relação bem definida entre estas grandezas físicas.

No caso do elastômero de poliuretano, como o efeito Mullins introduz

deformações residuais mesmo para relativos baixos níveis de deformação em relação

a sua capacidade de elongação, uma diferenciação de comportamento é obtida a

depender da natureza da solicitação aplicada ao material, ou seja, se esta é

controlada por tensão ou deformação.

Primeiramente, será considerado o caso de uma solicitação por controle de

deformação, na qual o material é submetido uma solicitação senoidal com

deformações de engenharia impostas entre 0% e 8% em um período de solicitação de

10 segundos, correspondendo a um período típico de solicitações de estruturas

offshore, o que é o caso do Enrijecedor à Flexão.

Portanto, para o caso de solicitação por controle de deformação, a seguinte

solicitação é aplicada ao modelo desenvolvido no capítulo 6:

2-tsen104,0

e (7.1)

154

Onde “-π/2” é o ângulo de fase para que a solicitação no instante inicial “t=0”

corresponda à situação de material descarregado e “ω” representa a frequência

angular de solicitação, definida pela seguinte expressão:

T

2 (7.2)

O gráfico da Figura 7.1 apresenta o comportamento obtido para a solicitação

por controle de deformação, onde a linha cheia representa todo o histórico de

solicitações e a linha tracejada representa apenas um ciclo estabilizado, sendo este

obtido após determinado tempo para estabilização dos efeitos viscoelásticos.

Figura 7.1 – Comportamento do elastômero de poliuretano em uma solicitação cíclica de

controle de deformação

Analisando o ciclo estabilizado da solicitação por controle de deformação,

observa-se que a máxima tensão de engenharia alcançada é de 7,46 MPa. Supondo

que o elastômero de poliuretano respondesse de maneira de maneira equivalente em

solicitações controladas por tensão ou deformação, uma solicitação senoidal com

tensões de engenharia impostas entre 0 Mpa e 7,46 MPa em um período de

solicitação de 10 segundos deveria fornecer resultados muito semelhantes.

Portanto, para o caso de solicitação por controle de tensão, a seguinte

solicitação é aplicada ao modelo desenvolvido no capítulo 6:

2-tsen173,3

(7.3)

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 % 1 % 2 % 3 % 4 % 5 % 6 % 7 % 8 % 9 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


Solicitação completa

Ciclo estabilizado

155

O gráfico da Figura 7.2 apresenta o comportamento obtido para a solicitação

por controle de tensão, onde a linha cheia representa todo o histórico de solicitações e

a linha tracejada representa apenas um ciclo estabilizado, sendo este obtido após

determinado tempo para estabilização dos efeitos viscoelásticos.

Figura 7.2 – Comportamento do elastômero de poliuretano em uma solicitação cíclica de

controle de tensão

Para comparação direta do efeito da natureza de solicitação, o gráfico da

Figura 7.3 apresenta os ciclos estabilizados obtidos com controle de deformação e

com controle de tensão:

Figura 7.3 – Comparação do comportamento do elastômero de poliuretano em solicitação

cíclica de controle de deformação e de controle de tensão

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 % 1 % 2 % 3 % 4 % 5 % 6 % 7 % 8 % 9 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


Solicitação completa

Ciclo estabilizado

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 % 2 % 4 % 6 % 8 % 10 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


Controle ε

Controle σ

156

Devido ao surgimento de deformações residuais pelo efeito Mullins, conclui-

se que a natureza da solicitação é uma característica importante a ser identificada

para determinar o comportamento mecânico do elastômero de poliuretano.

Por exemplo, considerando que se deseja conhecer o comportamento em

fadiga deste material, o gráfico da Figura 7.3 indica que, a depender da natureza de

solicitação, o histórico de tensões e deformações atuantes no material é bastante

diferenciado. Desta forma, é provável que sejam obtidas vidas à fadiga distintas para

cada um dos casos de solicitação.

7.2. Aplicação do modelo em resultados experimentais de variedade distinta de elastômero de poliuretano

Para verificar a abrangência do modelo visco-hiperelástico e de efeito Mullins

desenvolvido no capítulo 6, será apresentado a seguir um exemplo de aplicação deste

modelo em uma variedade distinta de elastômero de poliuretano especificado com

dureza Shore 60 D (PU 60D), cujo comportamento foi apresentado no capítulo 4 deste

trabalho.

MENICONI e LOPES realizaram uma caracterização experimental de

elastômero de poliuretano especificado com uma dureza Shore 85/95 A (PU 85/95A),

extraindo uma amostra de um Enrijecedor à Flexão [8]. É interessante notar que,

conforme indicado na Figura 7.4, o PU 85/95A está no extremo oposto da faixa usual

de aplicação deste material em Enrijecedores à Flexão.

Figura 7.4 – Comparação entre especificações de dureza das duas variedades de elastômero

de poliuretano estudadas

Faixa usual de aplicação para

enrijecedores à flexão

PU

Shore

85/9

5 A

PU

Shore

60 D

ELASTÔMEROS PLÁSTICOS

Shore A 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Shore OO 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Shore D 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

157

A partir da amostra retirada do Enrijecedor à Flexão, foram confeccionados

corpos de prova tipo I da norma ASTM D638 [46], sendo realizado um ensaio de

tração monotônica com velocidade de travessão de 50mm/min e dois ensaios cíclicos

com período de 10 segundos. Os resultados obtidos estão apresentados no gráfico da

Figura 7.5 [8]:

Figura 7.5 – Ensaios realizados em elastômero de poliuretano com dureza Shore 85/95 A [8]

Em ambos os ensaios cíclicos, foram aplicados um intervalo de deformação

“Δe” de 6,5%, alterando apenas a deformação média. No ensaio “cíclico I”, foi aplicada

uma deformação média de 4,5%, enquanto que no ensaio “cíclico II” foi aplicada uma

deformação média de 8,5%.

Como os dados experimentais apresentados na Figura 7.5 são bastante

escassos em relação à caracterização experimental do PU 60D, a utilização apenas

destes podem não ser suficientes para realizar a identificação de parâmetros para o

PU 85/95A.

De acordo com a teoria sobre o elastômero de poliuretano apresentada no

capítulo 3.1.1, a obtenção de diferentes durezas deste material é alcançada pela

alteração da proporção de domínio cristalino em sua microestrutura. Baseando-se

nesta observação, é razoável supor que haja uma proporcionalidade entre alguns

parâmetros que definem o comportamento destes materiais similares. Desta forma,

serão apresentadas a seguir algumas hipóteses para auxiliar na identificação de

parâmetros do PU 85/95A.

O gráfico da Figura 7.6 mostra uma comparação dos resultados de tração

monotônica para as duas variedades de elastômero de poliuretano. Evidentemente,

como o PU 85/95A apresenta menor rigidez, o nível de tensão atingido deste material

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

0 % 5 % 10 % 15 % 20 % 25 % 30 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


50mm/min

cíclico I

cíclico II

158

é significativamente inferior em relação ao PU 60D. Entretanto, observa-se que existe

certa semelhança na curva de resposta de ambos os materiais.

Figura 7.6 – Comparação de resultados de ensaios de tração monotônica das diferentes

variedades de elastômero de poliuretano

Desta forma, o modelo constitutivo de Ogden com “N=6” também será

adotado para representar o comportamento em equilíbrio do PU 85/95A. E como

existe uma proporcionalidade entre o comportamento de ambos os materiais,

denominando “W60D” como função densidade de energia de deformação definida para

o PU 60D, a função densidade de energia de deformação do PU 85/95A “W85/95A” pode

ser obtida através de um fator de escala de tensão “S”, conforme apresentado na

equação (7.4):

60D85/95A SWW (7.4)

O modelo proposto no capítulo 6 considera que todos os efeitos

viscoelásticos do elastômero de poliuretano são oriundos dos domínios cristalinos do

material. Outra hipótese significativa que será realizada é considerar que o

comportamento característico do domínio cristalino é idêntico para ambos as

variedades de elastômero de poliuretano, ou seja, que a composição e organização da

rede cristalina são iguais, diferenciando-se apenas em fração volumétrica de domínio

rígido “vh”, que é menor no caso do PU 85/95A. Em consequência desta hipótese, o

módulo de elasticidade do domínio cristalino “EB”, e os parâmetros característicos “A”,

“E”, “C” e “m” que definem a taxa de deformação viscosa “v

B ”, equação (6.2), serão

0

2

4

6

8

10

12

14

0 % 5 % 10 % 15 % 20 % 25 % 30 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


10mm/min (PU 60D)

150mm/min (PU 60D)

500mm/min (PU 60D)

50mm/min (PU 85/95A)

159

considerados idênticos aos definidos para o caso do PU 60D, cujos valores estão

apresentados na Tabela 6.2.

Portanto, com base nas hipóteses de proporcionalidade dos comportamentos

em equilíbrio e de que o comportamento individual do domínio cristalino independe da

dureza macroscópica do elastômero de poliuretano, os únicos parâmetros a serem

identificados é fator de escala de tensão “S”, os parâmetros que definem a evolução

da fração volumétrica do domínio rígido (“vhs”, “vh0”, “K1”, “K2” e “s0”), assim como os

parâmetros que descrevem o efeito Mullins (“r”, “n”, “β”, “a” e “b”), já que o modelo de

Dorfmann-Ogden é implicitamente dependente da fração volumétrica do domínio

rígido.

Conforme exposto anteriormente, está disponível na referência apenas uma

condição de ensaio monotônico para o PU 85/95A. Com esta escassez de dados

experimentais, estimar o parâmetro “S” que define a função densidade de energia de

deformação “W85/95A” em conjunto com os parâmetros que definem o comportamento

viscoelástico, ou seja, a evolução de fração volumétrica de domínio rígido,

desconsiderando por ora o efeito Mullins, pode não fornecer os melhores parâmetros

que representariam o comportamento mecânico do PU 85/95A.

Por esta razão, aplicando as restrições de parâmetros definidas pelas

hipóteses simplificadoras citadas acima, todos os parâmetros remanescentes para

definir o comportamento do PU 85/95A foram identificados simultaneamente. O

software Isight [49] foi utilizado para realizar o procedimento de identificação de

parâmetros pelo método dos mínimos quadrados, em que um conjunto de constantes

materiais é estimado através de minimização da soma quadrática do resíduo (Σe²) de

cada uma das três referencias apresentadas na Figura 7.5.


modelo (linha cheia) com o resultado experimental (linha tracejada) de tração

monotônica, enquanto que a Figura 7.8 apresenta uma comparação para os

carregamentos cíclicos. Os coeficientes característicos da solução obtida estão

apresentados na Tabela 7.1, em que os parâmetros destacados na cor vermelha

representam aqueles que foram determinados com auxílio das hipóteses postuladas

anteriormente:

160

Figura 7.7 – Aplicação do modelo visco-hiperelástico proposto em PU 85/95A – resultados de

tração monotônica

Figura 7.8 – Aplicação do modelo visco-hiperelástico proposto em PU 85/95A – resultados de

carregamentos cíclicos

Tabela 7.1 – Coeficientes de modelo visco-hiperelástico proposto em PU 85/95A

0

1

2

3

4

5

6

7

0 % 5 % 10 % 15 % 20 % 25 % 30 % 35 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


Modelo 50mm/min

50mm/min

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 % 2 % 4 % 6 % 8 % 10 % 12 % 14 %

Ten

são

de

en

gen

har

ia (

MP

a)


Modelo cíclico I

Modelo cíclico II

cíclico I

cíclico II

µ1 α1 µ2 α2 µ3 α3 µ4 α4 µ5 α5 µ6 α6 μ0



0,000198016 0,01 -0,835285082 1,240065106 144,46 MPa 1 0,191363621 0,069081772 183,39 mm²/N 914,29 MPa

r n β a b

2,211372483 0,300700802 0 0 0


Parâmetros do modelo viscoelástico proposto


161

Os resultados gráficos mostram que os parâmetros identificados para o

modelo visco-hiperelástico proposto descrevem adequadamente o comportamento do

PU 85/95A, indicando ainda que as hipóteses formuladas para auxiliar na identificação

de parâmetros são coerentes.

Na Tabela 7.1, estão apresentados diretamente os parâmetros para equação

constitutiva hiperelástica que definem o comportamento em equilíbrio do PU85/95A.

Conforme uma das hipóteses adotadas para definir o comportamento desta variedade

de elastômero de poliuretano, os parâmetros do modelo de Ogden com “N=6” foram

obtidos com o auxílio do fator de escala de tensão “S”, cujo valor foi identificado em

aproximadamente 0,4928.

É interessante notar ainda que a fração volumétrica do domínio rígido “vh0”

estimada para o PU 85/95A foi de aproximadamente 0,19, enquanto que para o PU

60D foi de aproximadamente 0,41. Nenhuma restrição adicional foi aplicada em ambos

os procedimentos de identificação de parâmetros, restringindo apenas para o intervalo

fisicamente permissível de 0≤vh0≤1. Entretanto, os parâmetros obtidos corroboram

com a constatação de que elastômeros de poliuretano mais rígidos apresentam uma

maior fração volumétrica de domínios cristalinos.

Uma observação importante a ser realizada é que, em contato realizado com

um dos autores do trabalho cujo resultado está apresentado na Figura 7.5 [8], foi

obtida a informação de que um único corpo de prova foi utilizado para obter resultados

dos diversos ensaios cíclicos. Além disso, não há registro da ordem em que os

ensaios cíclicos foram realizados, impossibilitando afirmar, para cada ensaio, qual é a

máxima deformação histórica a qual o material foi submetido.

Por esta razão, sendo conhecido que o máximo estiramento aplicado a este

corpo de prova foi de λ=1,5, foi considerado que está deformação máxima foi

alcançada previamente em todos os ensaios cíclicos. Esta hipótese tem influência no

modelo de Dorfmann-Ogden, isto é, no comportamento do efeito Mullins.

Outra consequência significativa do uso do mesmo corpo de prova para

diversos ensaios cíclicos é que este pode ter sido desmobilizado do equipamento de

teste entre alguns ensaios. Desta forma, a informação de deformação residual devido

ao efeito Mullins pode ter sido perdida. Um argumento que ratifica esta suposição é

que os parâmetros “a” e “b” do modelo Dorfmann-Ogden foram identificados com valor

nulo para o PU 85/95A (ver Tabela 7.1).

Diversos outros ensaios cíclicos foram realizados para o PU 85/95A além

daqueles apresentados no gráfico da Figura 7.5 [8]. Entretanto, os resultados obtidos

não estão apresentados em diagramas tensão-deformação, mas apenas os valores

calculados para o módulo de armazenamento (E´).

162

O módulo de armazenamento é uma das medidas clássicas de caracterização

dinâmica de materiais viscoelásticos. Considerando uma deformação cíclica senoidal

imposta a um material viscoelástico, a deformação e a tensão atuantes no mesmo

podem ser descritas pelas seguintes expressões [34]:

tsen0 ee (7.5)

tsen0 (7.6)

Onde “e0” e “σ0” representam, respectivamente, as amplitudes de deformação

e tensão, “t” o tempo e “ω” a frequência angular de solicitação, cuja definição foi

apresentada na equação (7.2). O ângulo de fase “δ” representa a defasagem entre

solicitação e resposta do material: quanto maior for o valor de “δ”, maior será a

influência dos fenômenos viscoelásticos no comportamento do material. Com o auxílio

destas definições, o módulo de armazenamento “E´” é determinado pela seguinte

expressão [34]:

cos0

0

eE (7.7)

Serão apresentadas a seguir comparações gráficas do módulo de

armazenamento obtido pelo modelo (linha cheia) com resultados experimentais (linha

tracejada) [8]. A Figura 7.9 apresenta o comportamento de “E´” em função da

deformação média aplicada e a Figura 7.10 em função do intervalo de deformação,

sendo que todos os ensaios foram realizados em um período de solicitação de 10

segundos. Por último, a Figura 7.11 apresenta o comportamento de “E´” com a

variação do período solicitação.

É importante ressaltar que, na Figura 7.9, os dados destacados com círculos

amarelos correspondem aos ensaios “cíclico I” e “cíclico II” apresentados na Figura

7.5. Portanto, estes pontos específicos não verificam diretamente a robustez do

modelo desenvolvido frente a uma solicitação qualquer, pois estes dados foram

utilizados para identificar os parâmetros do PU85/95A.

163

Figura 7.9 – Variação do módulo de armazenamento com a variação da deformação média –

comparação entre modelo e experimento para o PU85/95A

Figura 7.10 – Variação do módulo de armazenamento com a variação do intervalo de

deformação – comparação entre modelo e experimento para o PU85/95A

20

25

30

35

40

45

50

55

0 5 10 15 20 25

Mó

du

lo d

e a

rmaz

en

ame

nto

(M

Pa)

deformação média (%)

Δe = 2,5%

Δe = 10%

Δe = 6,5%

modelo

0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12 14

Mó

du

lo d

e a

rmaz

en

ame

nto

(M

Pa)

intervalo de deformação (%)

e_m = 10%

e_m = 15%

modelo

164

Figura 7.11 – Variação do módulo de armazenamento com a variação do período de solicitação

– comparação entre modelo e experimento para o PU85/95A

Dos resultados apresentados na Figura 7.9, observa-se que, de maneira

geral, foi obtida uma boa correlação entre modelo e experimento considerando a

variação da deformação média aplicada, sendo uma exceção a curva de intervalo de

deformação de 2,5%. Na realidade, o modelo obtido fornece um resultado que pouco

varia em função do intervalo de deformação aplicada, conforme pode ser observado

na Figura 7.10.

Quanto a variação do período de solicitação, o resultado apresentado na

Figura 7.11, indica que o modelo é capaz de prever a redução do módulo de

armazenamento para solicitações em períodos mais longos.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20 25

Mó

du

lo d

e a

rmaz

en

ame

nto

(M

Pa)

Período (s)

Δe = 10% ; e_m = 10%

Δe = 13% ; e_m = 15%

modelo

165

8. Considerações finais

O elastômero de poliuretano aplicado em Enrijecedores à Flexão apresenta

um comportamento mecânico bastante complexo, apresentando comportamento em

equilíbrio regido por uma equação constitutiva hiperelástica, sujeito ainda a efeitos

viscoelásticos que alteram a sua resposta em função da taxa de solicitação. Além

disso, o elastômero de poliuretano ainda está sujeito a perda de rigidez e deformações

residuais pelo efeito Mullins.

Apesar destes diversos fenômenos intrínsecos do comportamento mecânico

do elastômero de poliuretano, os Enrijecedores à Flexão são usualmente

dimensionados utilizados formulações clássicas da Mecânica dos Sólidos, ou seja,

considerando que o comportamento deste material elastomérico é regido pela Lei de

Hooke. Embora esta simplificação venha sendo utilizada com sucesso para avaliar o

comportamento global do Enrijecedor à Flexão, a não consideração completa destes

fenômenos característicos de materiais elastoméricos podem ser a causa da não

compreensão de determinadas falhas ocorridas neste tipo de equipamento.

De forma a fornecer informações suficientes para o correto dimensionamento

detalhes construtivos de Enrijecedores à Flexão, foi desenvolvido um modelo visco-

hiperelástico e de efeito Mullins para predizer o estado de tensão e deformação do

elastômero de poliuretano em carregamentos cíclicos em diferentes níveis de

deformação e taxas de carregamento.

O modelo desenvolvido demonstrou possuir uma boa robustez, pois este foi

aplicado com sucesso para variedades distintas de elastômero de poliuretano, mesmo

em casos em que haviam disponíveis dados experimentais escassos. Além disto, o

modelo desenvolvido demostrou a importância de se determinar a natureza da

solicitação aplicada ao material, pois sua resposta é bastante diferenciada,

despendendo se esta é controlada por tensão ou por deformação.

Evidentemente, os resultados obtidos neste trabalho não totalizam o

conhecimento completo do comportamento mecânico do elastômero de poliuretano.

Alguns exemplos das diversas questões que ainda estão em aberto estão listadas

abaixo:

Todos os resultados apresentados neste trabalho consideraram

apenas o comportamento em tração do elastômero de poliuretano. Um

estudo relevante a ser realizado é verificar se o modelo desenvolvido

166

é aplicável para predizer o comportamento deste material em

solicitações compressivas

O modelo desenvolvido indicou que o elastômero de poliuretano

apresenta um comportamento diferenciado se a solicitação é

controlada por tensão ou por deformação. Ensaios de fadiga

considerando estas duas naturezas de solicitação poderiam ser

realizados para verificar se esta diferenciação é significativa no

dimensionamento à fadiga de um componente composto por este

material.

Um fator importante nos ensaios de fadiga de materiais elastoméricos

é o período de aplicação de carga: se o período não for condizente

com sua utilização (por exemplo, 10 segundos para Enrijecedores à

Flexão), o resultado obtido pode não ser válido para a aplicação. Além

disto, devido à dissipação de energia dos efeitos viscoelásticos, se a

frequência de ensaio for elevada significativamente, a geração de

calor pode elevar a temperatura do material e consequentemente

alterar o seu comportamento mecânico. Com base no modelo

proposto neste trabalho, um modelo de predição de aumento de

temperatura pode ser formulado para auxiliar na definição de

condições de ensaio de fadiga de materiais elastoméricos.

167

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