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MODELAMIENTO DE LA DIFUSIÓN DE SOLUTOS EN MATRICES POLIMÉRICAS HINCHADAS CON AGUA
Ing. NELSON ANÍBAL PINZÓN CASALLAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA
Bogotá D. C.
2001
MODELAMIENTO DE LA DIFUSIÓN DE SOLUTOS EN MATRICES POLIMÉRICAS HINCHADAS CON AGUA
Ing. NELSON ANÍBAL PINZÓN CASALLAS
Tesis de grado presentada como requisito para optar al título de Magíster en Ingeniería Química
Director
M. Sc. Ing. ARMANDO ESPINOSA
Codirector
M. Sc. Ing. JAIRO ERNESTO PERILLA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA
Bogotá D. C.
2001
Nota de aceptación
_______________________
_______________________
_______________________
Director
__________________________
M. Sc. Ing. Armando Espinosa
Jurado
__________________________
Ph. D, M. Sc. Ing. Alfonso Conde
Jurado
___________________________
M. Sc. Ing. Néstor Algecira
Dir. Curricular
________________________
M. Sc. Ing. Armando Espinosa
A mi familia manantial de: tolerancia, paciencia e inspiración.
AGRADECIMIENTOS
Expreso mi gratitud a todos aquellos que en una u otra forma colaboraron en la ejecución de este
proyecto, y manifiesto mi reconocimiento en forma especial a quienes con su continua y valiosa
contribución permitieron lograr la realización de esta tesis:
Ing. Armando Espinosa, Director de tesis.
Ing. Jairo Ernesto Perilla, Codirector de tesis.
Departamento de Ingeniería Química de la Universidad Nacional de Colombia.
Instituto Colombiano para el Desarrollo de la Ciencia y la Tecnología Francisco José de Caldas
“COLCIENCIAS” proyecto: “Liberación de agua y sustancias orgánicas e inorgánicas en
hidrogeles de base acrílica. Estudio experimental y modelamiento”.
Dirección Nacional de Investigación “DINAIN”.
Programa Iberoamericano de Ciencia y Tecnología para el Desarrollo “CYTED”.
Centro Innovación Tecnológica “CITEC”, Universidad de los Andes.
A mi familia y amigos, especialmente Ruth y Luis Fernando quienes pacientemente acompañaron
mi labor.
CONTENIDO
LISTA DE SÍMBOLOS …………………………………………………………… III
LISTA DE TABLAS ………………………………………………………………… VI
LISTA DE FIGURAS ……………………………………………………………… VII
LISTA DE ANEXOS ……………………………………………………………… XI
INTRODUCCIÓN ………………………………………………………………… XII
1. MARCO TEÓRICO …………………………………………………………… 11.1. HIDROGELES ……………………………………………………………… 11.1.1. Monómeros ………………………………………………………………… 11.1.2. Iniciadores …………………………………………………………………… 21.1.3. Agente entrecruzante ………………………………………………………… 21.1.4. Polimerización………………………………………………………………… 21.1.5. Usos ………………………………………………………………………… 31.2. LIBERACIÓN PROGRAMADA……………………………………………… 31.2.1. Materiales para los sistemas de liberación……………………………………… 51.2.2. Factores que inciden en el comportamiento de los sistemas de liberación……… 61.2.3. Mecanismos de liberación programada ……………………………………… 61.2.4. Sistemas ambientalmente sensibles …………………………………………… 8
2. METODOLOGÍA ……………………………………………………………… 10
3. EQUILIBRIO DE HINCHAMIENTO ……………………………………… 133.1. TEORÍA DEL ENREJADO…………………………………………………… 143.2. CAMBIO EN EL POTENCIAL QUÍMICO…………………………………… 153.2.1. Contribución por mezclado …………………………………………………… 163.2.2. Contribución elástica ………………………………………………………… 163.2.3. Contribución iónica …………………………………………………………… 193.3. EQUILIBRIO DE HINCHAMIENTO EN SOLUCIONES ………………… 20
4. VERIFICACIÓN DEL MODELO DE EQUILIBRIO ……………………… 214.1. SÍNTESIS DE LOS POLÍMEROS …………………………………………… 214.1.1. Polimerización ………………………………………………………………… 214.1.2. Xerogeles utilizados en la fase experimental …………………………………… 224.2. MODELO DE EQUILIBRIO DE HINCHAMIENTO ……………………… 244.2.1. Procedimiento experimental ………………………………………………… 254.2.2. Estimación de los parámetros del modelo de equilibrio ……………………… 284.2.3. Resultados del modelo de equilibrio …………………………………………… 33
II
4.2.4. Modelo de equilibrio en soluciones …………………………………………… 37
5. DIFUSIÓN EN HIDROGELES ……………………………………………… 405.1. HINCHAMIENTO DE LA MATRIZ POLIMÉRICA ………………………… 405.1.1. Ley de Fick …………………………………………………………………… 405.1.2. Modelo cinético de restricción ………………………………………………… 425.1.3. Difusión con relajación polimérica …………………………………………… 465.1.4. Expansión volumétrica durante el hinchamiento ……………………………… 485.2. MECANISMO DE DIFUSIÓN DEL SOLUTO ……………………………… 50
6. VERIFICACIÓN DEL MODELO DE DIFUSIÓN ………………………… 526.1. MODELO DE HINCHAMIENTO …………………………………………… 526.1.1. Formulación matemática del modelo ………………………………………… 536.1.2. Procedimiento experimental ………………………………………………… 546.1.3. Comprobación de los modelo cinéticos de hinchamiento ……………………… 586.1.4. Solución numérica del modelo ………………………………………………… 616.1.5. Estimación de los parámetros del modelo …………………… ……………… 626.1.6. Resultado del modelo de hinchamiento………………………………………… 646.2. MODELO PARA LA DIFUSIÓN DEL SOLUTO …………………………… 696.2.1. Formulación matemática del modelo ………………………………………… 696.2.2. Procedimiento experimental…………………………………………………… 706.2.3. Análisis de DSC ……………………………………………………………… 726.2.4. Estimación de los parámetros del modelo de difusión ………………………… 746.2.5. Resultado del modelo de difusión……………………………………………… 77
7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ……………………………… 797.1. CONCLUSIONES …………………………………………………………… 797.2. RECOMENDACIONES ……………………………………………………… 81
BIBLIOGRAFÍA …………………………………………………………………… 83
LISTA DE SÍMBOLOS
A : Área
B : Constante cinética
C : Concentración Cp : Capacidad calorífica molar o específica a presión constante D : Coeficiente de difusión D : Diámetro De : Número difusivo de Deborah E : Porcentaje de entrecruzante respecto de la carga total de monómeros, elasticidad F : Fuerza tensor, funcionalidad del entrecruzante G : Energía libre de Gibbs; modulo de compresión osmótica H : Porcentaje de monómero, entalpía
K : Tensión del resorte; módulo de expansión osmótica
k : Constante de proporcionalidad entre la velocidad y la capacidad de hinchamiento
L : Alargamiento
M : Modulo osmótico longitudinal, peso molecular, constante de malla
m : Masa
N : Número de moléculas
n : Número de moles
P : Presión
P i : Presión de vapor de la especie i R : Constante universal de los gases
r i : Número de segmentos en la especie i con igual tamaño que una molécula de solvente
S : Entropía, razón entre los módulos de compresión y osmótico longitudinal
Sw : Número de hinchamiento interfacial
T : Temperatura absoluta
t : Tiempo
IV
V : Volumen
W : Cantidad de agua retenida dentro del hidrogel
w : Concentración local de solvente
x : Fracción molar
Letras griegas
α : Entrecruzamiento inducido en ausencia de entrecruzante
β : Eficiencia de entrecruzamiento
χ i j : Parámetro de interacción entre las especies i y j
∆ : Gradiente
δ : Mitad del espesor
εE : Número efectivo de cadenas elásticas por unidad de volumen de polímero o densidad efectiva de entrecruzamientos
εT : Concentración teórica de cadenas elásticas por unidad volumétrica de polímero hinchado *iφ : Facciones de sitios ocupados por la especie i
φ i : Fracción de volumétrica de la especie i
η : Factor dimensional
λ : Razón de dilatación
µ : Potencial químico
ν : Volumen molar
ρ : Densidad
τ : Tiempo de relajación
ζ : Longitud adimensional
ξ : Función de ajuste, parámetro de distribución de esfuerzos
Subíndices
A : Asociado, adimensional
E : contribución elástica, entrecruzante
I : Contribución iónica
L : Libre
M : Contribución por mezclado
V
X : Dirección o eje x
Y : Dirección o eje y
Z : Dirección o eje z
1 : Solvente puro
2 : Matriz polimérica
3 : Soluto
Ψ : Hinchamiento máximo
∞ : Equilibrio infinito
Superíndices
C : Contribución combinatorial, colectivo
R : Contribución residual
E : Exterior
G : Gel
S : Solución
0 : Estado de referencia: inicial, puro o xerogel
LISTA DE TABLAS
Tabla 1.1. Estímulos y mecanismos asociados a polímeros ambientalmente sensibles … 9
Tabla 4.1. Cantidades de reactivos utilizados en los hidrogeles de la serie HE ………… 23
Tabla 4.2. Notación utilizada para los hidrogeles comonoméricos …………………… 23
Tabla 4.3. Modulo de compresión promedio (MN/m2) para la serie HE ……………… 27
Tabla 4.4. Parámetros de interacción homopolímero – solvente obtenidos empíricamente 31
Tabla 4.5. Parámetros de interacción polímero – solvente, obtenidos empíricamente para un homopolímero de agente entrecruzante …………………………… 33
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1. Niveles de un agente activo en un medio de aplicación con: ( a ) dosificación tradicional y ( b ) dosificación con descarga programada ………………… 4
Figura 1.2. Liberación de un agente desde un sistema de descarga de matriz característico……………………………………………………………… 7
Figura 1.3 Depósitos representativos para sistemas de liberación: ( a ) implante o sistema oral y ( b ) sistemas transdérmicos………………………………… 7
Figura 1.4. Sistemas de descarga controlada ambientalmente sensibles desarrollados a partir de: ( a ) depósitos y ( b ) matrices hinchables………………………… 8
Figura 3.1. Modelo mecánico de gel isotrópico bajo tensión uniaxial ………………… 18
Figura 4.1. Volumen de control para modelo de gel no – electrolito ………………… 24
Figura 4.2. Densidad (g/cm3) con relación a la variación en el porcentaje de monómero hidrófobo series: A ( a ), B ( b ), C ( c ), D ( d ), E ( e ), y entrecruzante serie HE ( f ) ………………………………………………………………… 26
Figura 4.3. Estimación de la eficiencia de entrecruzamiento (β) y el entrecruzamiento inducido (α ), para los hidrogeles de HEMA – EGDMA (serie HE) ……… 29
Figura 4.4. Número promedio de segmentos en la cadena polimérica (r2) asociado a la variación en: (a) el porcentaje de entrecruzante (serie HE) y (b) el porcentaje de monómero hidrófobo ………………………………………………… 30
Figura 4.5. Conducta para el parámetro de interacción polímero – solvente (χ12) asociada a la variación en el porcentaje de monómero hidrófobo ………… 32
Figura 4.6. Conducta para el parámetro de interacción polímero – solvente (χ12) asociada a la variación en el porcentaje de entrecruzante ………………… 32
Figura 4.7. Esquema general del programa para determinar capacidad de hinchamiento en el equilibrio …………………………………………………………… 34
Figura 4.8. Capacidad de hinchamiento en el equilibrio con relación al porcentaje de entrecruzante …………………………………………………………… 35
Figura 4.9. Capacidad de hinchamiento en el equilibrio con relación a la proporción de monómeros series: ( a ) A, (b ) B, ( c ) C, (d ) D, ( e ) E, ( f ) VH y VB …… 36
VIII
Figura 4.10. Comportamiento de la fracción volumétrica del polímero en el equilibrio en una solución 10% de urea observada durante la variación de: ( a ) porcentaje de entrecruzante y ( b ) porcentaje de monómero hidrófobo ……………… 38
Figura 4.11. Efecto que sobre la fracción volumétrica del polímero en el equilibrio tanto en una solución 10% de urea y como en el solvente puro, tiene la variación de: (a) porcentaje de entrecruzante y (b) porcentaje de monómero hidrófobo 39
Figura 5.1 Descripción esquemática de: ( a ) un proceso de difusión de moléculas de tinta en agua y ( b ) un proceso de hinchamiento de un gel………………… 43
Figura 5.2. Esquema de hinchamiento infinitesimal para una matriz polimérica ……… 44
Figura 6.1. Sistema coordenado para la difusión unidimensional de solvente ………… 52
Figura 6.2. Diferencias con respecto al tiempo en el grado de hinchamiento entre la técnica gravimétrica y la digitalización da áreas radiales cuando el proceso se considera isotrópico ……………………………………………………… 55
Figura 6.3. Desviaciones observadas en el grado de hinchamiento cuando el proceso se considera isotrópico contra la capacidad de hinchamiento a equilibrio, serie HE ……………………………………………………………………… 55
Figura 6.4. Variación del factor dimensional para la serie HE contra el área adimensional AA ………………………………………………………… 56
Figura 6.5. Imagen digitalizada durante el hinchamiento de un hidrogel ……………… 56
Figura 6.6. Imágenes digitalizadas durante el hinchamiento isotérmico del hidrogel HE1 57
Figura 6.7. Imágenes digitalizadas durante el hinchamiento isotérmico del hidrogel 3B1 57
Figura 6.8. Imágenes digitalizadas durante el hinchamiento isotérmico del hidrogel 1E1 58
Figura 6.9. Variación del coeficiente de difusión contra el porcentaje de entrecruzante (serie HE), asociado al modelo cinético de: ( a ) primer orden y ( b ) Li y Tanaka …………………………………………………………………… 59
Figura 6.10. Variación del coeficiente de difusión (mm2/min) contra el porcentaje de monómero hidrófobo, series: ( a ) A, ( b) B, ( c ) C, ( d ) D y ( e ) E ……… 60
Figura 6.11. Variación del coeficiente de difusión (mm2/min) contra el porcentaje de monómero hidrófobo, series: ( a ) A, ( b) B, ( c ) C, ( d ) D, ( e ) E; y ( f ) el porcentaje de entrecruzante serie HE……………………………………… 63
Figura 6.12 Esquema general del programa para solucionar el modelo de difusión …… 64
Figura 6.13. Perfiles previstos durante el hinchamiento de un hidrogel HE05 ………… 65
Figura 6.14. Número difusivo de Deborah contra el porcentaje de monómero hidrófobo, series: ( a ) A, ( b) B, ( c ) C, ( d ) D, ( e ) E; y ( f ) el porcentaje de entrecruzante serie HE ………………………………………………… 66
IX
Figura 6.15. Cambios dimensiónales para los hidrogeles de la serie HE (a ) espesor y ( b ) diámetro ………………………………………………………………… 67
Figura 6.16. Comparación en el cambio del espesor y el diámetro durante el hinchamiento de un hidrogel HE05 ……………………………………… 67
Figura 6.17. Variación en el porcentaje de la fase gomosa en los hidrogeles de la serie HE 68
Figura 6.18. Curva de calibración para determinar la concentración (g/l) de urea en la solución a partir del área del pico cromatográfico (UVseg)………………… 70
Figura 6.19. Curvas de liberación, concentración de urea contra el tiempo, para hidrogeles con monómero hidrófobo variable: ( a ) 3A1, ( b ) 4A1, ( c ) 5A1, ( d ) 3B1, ( e ) 4B1, ( f ) 5B1, ( g ) 3E1, ( h ) 4E1, ( i ) 5E1, ( j ) 3C1 y ( k ) 5C1 ……………………………………………………………………… 71
Figura 6.20. Curvas de liberación: concentración de soluto contra el tiempo, para hidrogeles con entrecruzante variable ( a ) HE05, ( a ) HE1, ( c ) HE3, ( d ) HE5 y ( e ) HE10………………………………………………………… 72
Figura 6.21. Comportamiento del contenido de agua libre, asociada y total en el equilibrio generado por la variación del: (a) porcentaje de entrecruzante (serie HE) y (b) porcentaje de monómero hidrófobo (series A, B, C, D y E) 74
Figura 6.22. Variación del coeficiente de difusión del soluto contra el contenido de agua libre en la matriz polimérica, series: ( a ) A, ( b ) B, ( c ) C, ( d ) E y ( e ) HE 76
Figura 6.23. Curvas cinéticas de: ( a ) hinchamiento y ( b ) liberación, durante la difusión de urea desde un hidrogel HE3 …………………………………………… 77
Figura 6.24. Perfiles durante la difusión de urea desde un hidrogel HE3: ( a ) concentración de solvente y ( b ) concentración de soluto ………………… 78
Figura A.1. Medidor de cuadrante SM – 112 ………………………………………… 91
Figura A.2. Tipos de yunques y puntos de contacto para los indicadores de cuadrante … 91
Figura B.1. Analizador Mecánico Dinámico: Rheometric Scientific …………………… 92
Figura C.1. Calorímetro diferencial de barrido (DSC 2910: TA-Instruments) ………… 93
Figura C.2. Esquema para la celda de flujo de calor en un DSC ……………………… 94
Figura C.3. Temperatura modulada contra temperatura del horno ensayos de DSC …… 96
Figura D.1. Termogramas para los hidrogeles de HEMA – EGDMA (serie HE) ……… 97
Figura D.2. Termogramas para los hidrogeles de la serie A (entrecruzante: dimetacrilato de trietilenglicol 1%) ……………………………………………………… 97
Figura D.3. Termogramas para los hidrogeles de la serie B (entrecruzante dimetacrilato de tetraetilenglicol 1%) …………………………………………………… 97
X
Figura D.4. Termogramas para los hidrogeles de la serie C (entrecruzante divinilbenceno 1%) ……………………………………………………………………… 98
Figura D.5. Termogramas para los hidrogeles de la serie D (entrecruzante dimetacrilato de etilenglicol 1%)………………………………………………………… 98
Figura D.6. Termogramas para los hidrogeles de la serie E (entrecruzante dimetacrilato de dietilenglicol 1%) ……………………………………………………… 98
Figura D.7. Termogramas para los hidrogeles de la serie E con 90% de ácido acrílico y diversos porcentajes de entrecruzante …………………………………… 99
Figura E.1. Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie HE 100
Figura E.2. Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie A … 100
Figura E.3. Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie B … 100
Figura E.4. Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie C … 101
Figura E.5. Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie D … 101
Figura E.6. Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie E … 101
Figura E.7. Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie HE ………………………………………………………………… 102
Figura E.8. Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie A. …………………………………………………………………… 102
Figura E.9. Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie B …………………………………………………………………… 102
Figura E.10. Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie C …………………………………………………………………… 103
Figura E.11. Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie D ………………………………………………………………… 103
Figura E.12. Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie E …………………………………………………………………… 103
Figura F.1. Cromatogramas para determinar la curva de calibración con soluciones patrón de Urea: ( a ) 0.01, ( b ) 0.05, ( c ) 1 y ( d ) 2 g/l …………………… 104
Figura F.2. Cromatogramas para muestras tomadas luego de 5 minutos de liberación para los hidrogeles: ( a ) 3A1 y ( b ) HE10 ……………………………… 104
LISTA DE ANEXOS
Anexo A MEDIDOR DE CUADRANTE PARA ESPESORES ………………… 91
Anexo B DMA RHEOMETRIC SOLIDS ANALYZER (RSA II) ……………… 92
Anexo C DSC 2910 ……………………………………………………………… 93
Anexo D TERMOGRAMAS ……………………………………………………… 97
Anexo E CURVAS DE HINCHAMIENTO DE LOS HIDROGELES A 15 ºC Y pH 7 …………………………………………………………………… 100
Anexo F CROMATOGRAMAS ………………………………………………… 104
Anexo G MANUAL PARA LA UTILIZACIÓN DE MODHIGEL ……………… 105
INTRODUCCIÓN
Las matrices poliméricas hinchadas con agua o hidrogeles son sistemas que debido a factores
energéticos incrementan su volumen (se hinchan) hasta alcanzar el equilibrio fisicoquímico, en
respuesta a diferentes tipos de estímulos físicos y químicos como la luz, fuerza iónica,
temperatura, pH, campo eléctrico o concentración del solvente pueden sufrir transición
volumétrica de fase. 1 Estos rasgos únicos en sistemas de gel, sumados a buenas propiedades
mecánicas, altas biocompatibilidad, biodegrabilidad, resistencia química y térmica, permiten que
sean útiles en diversas aplicaciones científicas e industriales.2, 3 Extensas investigaciones en los
últimos cuarenta años han hecho que sean utilizados para la entrega sostenida de pesticidas y
fertilizantes ambientalmente seguros,4 proteínas, 5 y muy especialmente medicamentos
farmacéuticos. 6, 7
En términos simples, la liberación programada de un agente puede definirse como la permeación
moderada del material activo desde un depósito hasta un receptor designado, para mantener una
concentración predeterminada o un nivel de emisión del agente durante un periodo específico de
tiempo. En general muchos polímeros posean los requisitos necesarios para ser explotados en la
formulación de sistemas de entrega proyectada, pero la capacidad de mezclar o disolver un
agente activo para que se difunda desde dentro de una matriz polimérica que a su vez puede
disolverse o desintegrarse antes de que la sustancia pueda liberarse convierten a los hidrogeles en
materiales útiles como dispositivos moleculares para la entrega autorregulada de sustancias. Dado
que el componente simplemente se encajona dentro de la matriz del polímero, la macromolécula
estrictamente actúa como un vehículo para la entrega, permitiendo que el agente permanezca en
su forma activa y su descarga al ambiente se extiende durante mayores tiempos ejerciendo sus
efectos sólo al dejar la matriz.
Debido a que estos sistemas de descarga programada se rigen principalmente por la necesidad de
alcanzar el equilibrio, es esencial tener una imagen clara sobre el proceso de difusión del agente
activo desde la fase de gel al medio circundante y su dinámica, para establecer una formulación
XIII
pertinente. El objetivo de esta tesis es formular y ajustar un modelo para describir la liberación de
solutos desde hidrogeles; teniendo en cuenta variaciones en la proporción de grupos hidrofílicos,
grado de entrecruzamiento de la matriz polimérica, y condiciones del medio circundante. La
investigación consta de tres partes: (1) el desarrollo de un modelo matemático acoplando
modelos de equilibrio de fase y difusivos, (2) determinación experimental de la capacidad de
hinchamiento, velocidades de absorción y liberación de agua y solutos, en los hidrogeles
preparados y (3) la implementación del modelo mediante el desarrollo de un programa de
computador para establecer su grado de ajuste con respecto a los resultados experimentales.
El modelo de equilibrio de hinchamiento se basa en el modelo efectivo de Flory–Huggins
acoplado con el modelo de estructura de red afín de la teoría de Flory–Rehner. 8 La conducta no
Fickiana observada en el transporte de masa en estos materiales poliméricos se analiza a través de
la ecuación de flujo difusivo, en donde la concentración es dependiente del tiempo de relajación
y la difusividad. En adición a las conductas Fickianas tanto para números de Deborah pequeños
como altos, el modelo incluye la conducta anómala asociada a números intermedios de Deborah.
En la fase experimental se sintetizaron geles poliméricos utilizando metacrilato de 2–hidroxietilo
como monómero y dimetacrilato de etilenglicol como entrecruzante, con diferentes grados de
entrecruzamiento. Adicionalmente se utilizaron polímeros disponibles de trabajos anteriores con
diversas combinaciones entre un monómero hidrófobo, hexametacrilamida, y uno hidrofílico,
ácido acrílico, con diferentes entrecruzantes. Con estos geles poliméricos, se llevo a cabo el
estudio de la cinética de absorción de agua, y la medición de la velocidad de liberación de un
soluto (Urea) desde el hidrogel; donde cabe destacar el desarrollo de una nueva técnica para el
seguimiento de las cinéticas de hinchamiento basada en la digitalización de las imágenes
proyectadas por el hidrogel durante este proceso mediante un escáner. La implementación de los
modelos acoplados, contribuye a optimizar el diseño de hidrogeles para sistemas de entrega
programada, con la posibilidad de plantear futuros proyectos de investigación que busquen
trabajar en una aplicación específica que pueda ser de interés para el sector productivo.
1. MARCO TEÓRICO
1.1. HIDROGELES
Un gel es una estructura polimérica entrecruzada, que por acción de un líquido experimenta
hinchamiento permaneciendo insoluble sin perder su forma original, debido al balance total entre
las fuerzas intermoleculares dispersivas y cohesivas (dentro de las cuales se incluye la absorción
del solvente); al someter el gel a sequedad se alcanza una estructura cristalina denominada
xerogel. 9, 10 Cuando el hinchamiento se produce por acción del agua se obtienen hidrogeles,
compuestos insolubles por la existencia de la matriz polimérica e hidrofílicos debido a la
presencia en su estructura de grupos afines al agua ( -OH, -COOH, -CONH2, -CONH, -SO3H );
cuya suavidad y elasticidad, se asocian a la densidad de entrecruzamiento e hidrofilicidad de los
monómeros. 11
1.1.1. Monómeros
Un polímero apto para ser usado como hidrogel, debe poseer grupos que permitan la absorción
de agua y presentar una estructura interna que le confiera buenas propiedades mecánicas, estas
dos características pueden ser obtenidas por la copolimerización de monómeros hidrofílicos e
hidrófobos. 12 Es posible lograr materiales con una amplia variedad de propiedades gracias a las
combinaciones, que incluyen gran cantidad de monómeros, dentro de los que se destacan: 9, 13, 14
Hidroxialquil metacrilatos o acrilatos: como metacrilato de
2–hidroxietilo (HEMA). CH2
CH3
O
OOH
Acrilamidas o metacrilamidas: como la acrilamida de n–
isopropilo (NIPA). CH2
O
N CH3
CH3
H N–vinil–2–pirrolidona (VP), la cual es una lactama de gran
solubilidad. NO
CH2
15
1.1.2. Iniciadores
La elección del iniciador es función del monómero o monómeros que se intente polimerizar, en
el caso de copolimerizaciones el iniciador debe serlo de todos los monómeros que formen parte
del sistema. Los sistemas de iniciación más empleados en la síntesis de polímeros son:
Iniciadores radicales: peróxido de benzoilo (BPO), 2,2'–azobisisobutironitrilo (AIBN).
Iniciadores iónicos: n–butil litio, tertbutoxido de litio.
Iniciadores redox: persulfato potásico y bisulfito sódico.
1.1.3. Agente Entrecruzante
En la síntesis, al igual que el sistema de iniciación y los monómeros, el agente entrecruzante
presenta gran relevancia, dado que su naturaleza y concentración inciden directamente sobre
características como la movilidad del solvente y sustancias cargadas dentro del hidrogel,
capacidad de absorción, estabilidad mecánica, tamaño del poro, y textura. 9, 15 Ampliamente se
han utilizado como agentes entrecruzantes: trimetacrilato de trimetilolpropano, 10, 16 dimetacrilato
de etilenglicol (EGDMA) 17, 18 y n,n′–metilen–bis–acrilamida ; 19, 20 pero en general la selección del
entrecruzante, así como el grado de entrecruzamiento están relacionados con el tipo de
monómero que predomina en el hidrogel y las propiedades tanto de absorción como mecánicas
que se estén buscando en el producto final. 10
1.1.4. Polimerización
La síntesis de un hidrogel es una reacción de polimerización en cadena, por lo cual es aplicable
cualquiera de las técnicas usadas comúnmente como polimerización en: masa, solución,
suspensión, dispersión y emulsión; siendo más utilizadas las dos primeras. 13, 21, 22
Mediante la polimerización en masa se obtiene un polímero sólido debido a que el sistema
reaccionante esta conformado exclusivamente por: monómeros, iniciador y agente entrecruzante.
En la polimerización en solución el proceso se realiza en presencia de un disolvente; si no se
utiliza agente entrecruzante, se obtiene una disolución del polímero que más tarde puede
precipitarse y entrecruzarse; si, en cambio, se utiliza agente entrecruzante el producto final es un
gel solvatado.
16
1.1.5. Usos
El desarrollo de estos materiales comienza en 1960, cuando Wichterle y Lim 23 reportan los
resultados obtenidos en aplicaciones biomédicas con hidrogeles de poli(HEMA) y sus derivados.
Hoy en día los hidrogeles son empleados en membranas, catéteres, lentes de contacto,
instrumentos para sanar heridas, crear músculos y lagrimas artificiales, absorbentes en pañales y
toallas higiénicas. 11, 13 Los hidrogeles han mostrado ser materiales ambientalmente seguros y no
tóxicos; además permiten incorporar fácilmente en su interior agentes activos, por lo cual es muy
amplia su utilización como sistemas para liberar químicos bioactivos (medicamentos
farmacéuticos, pesticidas, insecticidas, herbicidas y fertilizantes) a un sitio requerido en cantidades
programadas durante tiempos relativamente largos reduciendo el riesgo de efectos indeseables.
1.2. LIBERACIÓN PROGRAMADA
La liberación programada ocurre cuando un agente activo se combina apropiadamente con un
polímero, sea natural o sintético, para que se produzca su descarga en una forma prediseñada. La
liberación del componente activo puede ser constante durante un largo periodo, cíclica durante
un amplio periodo, o puede ser activada por el ambiente u otros eventos externos. En todo caso,
el propósito detrás de la entrega proyectada de un agente activo es lograr terapias más eficaces
eliminando eventuales sobre– y sub– dosificaciones; otras ventajas de usar sistemas de liberación
programada pueden incluir el mantenimiento de niveles de agente activo dentro de un rango
deseado, la posibilidad de menor número de dosis, y el uso óptimo del agente en cuestión. Si
bien estas ventajas son significativas, no debe ignorarse las potenciales desventajas: la posible
toxicidad o no biocompatibilidad de los materiales usados, degradaciones indeseables del
producto, el proceso requerido para implantar o quitar el sistema, la eventual incomodidad del
paciente por la presencia del dispositivo de entrega, y el mayor costo de los sistemas de liberación
programada comparados con las formulaciones tradicionales.
En situaciones que requieren: liberación lenta de agentes hidrosolubles, liberación rápida de
agentes de baja solubilidad, liberación de agentes en sitios específicos, liberación de agentes
usando sistemas nanoparticulados, liberación de dos o más agentes con la misma formulación, y
los sistemas basados en portadores que se pueden disolver o degradar con rápida eliminación; la
17
proyección de la entrega del agente activo puede ser el factor más importante. Un sistema ideal
de liberación debe ser inerte, biocompatible, mecánicamente fuerte, cómodo para el paciente,
capaz de lograr altas cargas de agente, seguro en descargas accidentales, de suministro y retiro
simple, y fácil de fabricar y esterilizar. 24
La meta de muchos de los sistemas de descarga programada es lograr un perfil de liberación que
produzcan un alto nivel de agente en el medio durante un largo periodo de tiempo. Con los
sistemas tradicionales, la cantidad de agente puede seguir el perfil mostrado en la Figura 1.1.a,
en que el nivel se incrementa después de cada dosis con una posterior disminución hasta el
próximo suministro. El factor relevante en la dosificación tradicional es la variación del nivel de
agente dentro de un valor máximo que puede representar un nivel tóxico y un valor mínimo
debajo del cual el agente no es eficaz. En sistemas de entrega proyectada diseñados para la
administración a largo plazo, el nivel del agente sigue el perfil mostrado en la Figura 1.1.b,
permaneciendo constante, entre el máximo y mínimo deseados, durante un prolongado periodo
de tiempo, que depende tanto de la formulación como de su aplicación.
Figura 1.1. Niveles de un agente activo en un medio de aplicación con: ( a ) dosificación
tradicional y ( b ) dosificación con descarga programada.
Recientemente, las formulaciones de entrega proyectada de medicamentos y los polímeros
usados en estos sistemas han incrementado su grado de sofisticación, con la habilidad de
extender el periodo efectivo de descarga para un agente en particular. Por ejemplo, los sistemas
18
de descarga programada actuales pueden responder a cambios biológicos en el ambiente,
liberando o cesando la liberación cuando se producen estos cambios; además, se han
desarrollado materiales con sistemas de liberación orientados en los que una formulación
particular puede dirigir la entrega del agente a una célula, tejido o sitio específico.
1.2.1. Materiales para los sistemas de liberación
Gran variedad de materiales se han empleado en sistemas de descarga de agentes activos. Los
primeros de estos polímeros, se pensaron originalmente para usos no biológicos, y se
seleccionaron debido a propiedades físicas que en ellos eran deseables, por ejemplo:
Poli(uretanos) por elasticidad.
Poli(siloxanos) o siliconas por su habilidad aislante.
Poli(metil metacrilato) por su fuerza física y transparencia.
Poli(vinil alcohol) por su hidrofilicidad y fuerza.
Poli(etileno) por su dureza y falta de hinchamiento.
Poli(vinil pirrolidona) por su capacidad de suspensión.
Para ser usado con éxito en formulaciones de liberación controlada de medicamentos, un
material debe ser químicamente inerte y libre de impurezas lixiviables. También debe tener una
estructura física apropiada, con mínimo envejecimiento indeseable, y debe ser rápidamente
procesable. Algunos de los materiales que se están usando actualmente o se estudian para la
liberación controlada de medicamentos incluyen: Poli(metacrilato 2– hidroxietilo), Poli(n– vinil
pirrolidona), Poli(metil metacrilato), Poli(alcohol vinílico), Poli(ácido acrílico), Poli(acrilamida),
Poli(etileno–co– vinil acetato), Poli(etilen glicol), Poli(ácido metacrílico). Sin embargo, en años
recientes polímeros adicionales diseñados principalmente para las aplicaciones médicas han
entrado en el campo de la liberación controlada, muchos de los cuales se diseñan para degradar
dentro del cuerpo, entre ellos: Polilactidos (PLA), Poliglicolidos (PGA), Polianhídridos,
Poli(lactido– co– glicolidos) (PLGA), Poliortoésteres.
Originalmente, se usaron polilactidos y poliglicolidos como materiales absorbentes de sutura,
siendo natural el paso de estos polímeros al trabajo en sistemas de descarga controlada de
medicamentos. La mayor ventaja de estos polímeros degradables es que ellos se rompen en
19
moléculas biológicamente aceptables que se metabolizan y se eliminan del cuerpo a través de las
rutas metabólicas normales. Sin embargo, los materiales biodegradables producen derivados de
degradación que deben tolerarse con reacción adversa baja dentro del ambiente biológico. 25
1.2.2. Factores que inciden en el comportamiento de los sistemas de liberación
A continuación se muestran los factores más importantes que afectan el comportamiento de los
materiales que conforman un sistema de liberación programada:
Estructura y composición química.
Conformación de las cadenas.
Presencia de grupos iónicos.
Presencia de unidades inesperadas o defectos de la cadena.
Peso molecular y su distribución.
Morfología (amorfo / semicristalino, microestructuras, tensiones residuales).
Presencia de compuestos del bajo peso molecular.
Condiciones de procesamiento, templado, esterilización y almacenamiento.
Sitio de implantación.
Compuestos adsorbidos y absorbidos (agua, lípidos, iónes, etc.).
Factores fisicoquímicos (intercambio iónico, fuerza iónica, pH).
Factores físicos (forma y cambios de tamaño, variaciones de coeficientes de difusión,
tensiones mecánicas, inducción a ruptura por tensión y solvente, etc.).
Mecanismo de hidrólisis (enzimas versus agua).
1.2.3. Mecanismos de liberación programada
Hay tres mecanismos primarios por los que se puede descargar agentes activos desde un sistema
de liberación: difusión, degradación, e hinchamiento seguido por difusión; cualquiera o todos
estos mecanismos pueden ocurrir en un sistema de liberación determinado. La difusión sucede
cuando un agente activo atraviesa el polímero que forma el dispositivo de descarga proyectada,
puede ocurrir a escala macroscópica, a través de poros en la matriz polimérica, o a nivel
molecular, pasando entre las cadenas del polímero. Ejemplos de sistemas de descarga por
difusión se muestran en las Figuras 1.2 y 1.3.
20
En la Figura 1.2, el polímero y el agente activo se mezclan formando un sistema homogéneo,
también llamado sistema de matriz. 26 La difusión ocurre cuando el agente pasa de la matriz
polimérica al ambiente externo, si la liberación es continúa su velocidad normalmente disminuye,
dado que el agente activo tiene que viajar una distancia progresivamente más larga y por
consiguiente la descarga requiere un tiempo de difusión mayor.
Figura 1.2. Liberación de un agente desde un sistema de descarga de matriz característico.
Para los sistemas mostrados en la Figura 1.3, un deposito (sea el agente sólido, solución diluida, o
solución altamente concentrada dentro de un matriz polimérica) esta rodeado por una película o
membrana uniforme de material que se convierte en la única estructura capaz de limitar
eficazmente la descarga del agente, permitiendo lograr una velocidad de descarga del agente
activo estable a lo largo de la vida del sistema de liberación; el esquema mostrado en la Figura
1.3.a es representativo de un implante o sistema de liberación de depósito oral, mientras que el
esquema mostrado en la Figura 1.3.b ilustra un sistema de liberación de medicamento
transdérmico en el que realmente sólo un lado del dispositivo estará realizando la entrega.
Figura 1.3. Depósitos representativos para sistemas de liberación: ( a ) implante o sistema oral
y ( b ) sistemas transdérmicos.
21
En los sistemas de difusión controlada descritos anteriormente, el dispositivo de descarga del
agente es fundamentalmente estable en el ambiente y no cambia su tamaño a través de
hinchamiento o degradación. En estos sistemas, las combinaciones de matriz polimérica y agente
activo escogidas deben permitir que el agente se difunda a través de los poros o estructuras
macromoleculares del polímero que conforma el sistema de liberación hacia el ambiente sin
inducir cualquier cambio en el propio polímero.
1.2.4. Sistemas ambientalmente sensibles
También es posible diseñar sistemas de liberación de componentes incapaces de descargar su
agente o agentes hasta que se alcance un ambiente apropiado, tal es el caso de los denominados
polímeros ambientalmente sensibles o “inteligentes”. Dependiendo del polímero, el cambio
ambiental puede involucrar pH, temperatura o la fuerza iónica. La mayoría de los cambios
estructurales son reversibles y repetibles, con mecanismos activados por las variaciones en el
ambiente externo tal como se muestran en la Tabla 1.1. 27
En sistemas de matriz, la liberación del agente solo se presenta cuando el polímero en contacto
con el medio absorbe agua u otros fluidos e hincha, lo que puede ocurrir por un cambio en
cualquiera de los factores ambientales, si el factor regresa a su condición inicial el sistema se
encoge y la liberación se detiene. El hinchamiento incrementa el volumen de solvente acuoso
dentro de la formulación así como el tamaño de malla del polímero, permitiendo al agente
difundirse a través de la red hinchada hacia en el ambiente externo. En las Figuras 1.4.a y 1.4.b se
muestran ejemplos de estos tipos de dispositivos, depósito y sistema de matriz, respectivamente.
Figura 1.4. Sistemas de descarga controlada ambientalmente sensibles desarrollados a partir de:
( a ) depósitos y ( b ) matrices hinchables.
22
Tabla 1.1. Estímulos y mecanismos asociados a polímeros ambientalmente sensibles.
Estímulo Hidrogel Mecanismo
pH Hidrogel ácido o básico Cambio en pH → hinchamiento → descarga del agente
Fuerza iónica Hidrogel iónico Cambio en la fuerza iónica → cambio en la concentración de iones dentro de gel → cambia el hinchamiento → descarga del agente
Especies químicas
Hidrogel conteniendo grupos que aceptan electrones
Compuestos electrón-donantes → formación de complejos de transferencia de carga → cambia el hinchamiento → descarga del agente
Enzima-substrato
Hidrogel que contiene enzimas inmovilizadas
Substrato presente → conversión enzimática → cambio de producto hinchamiento del gel → descarga del agente
Magnético Partículas magnéticas dispersadas en microesferas de alginato
Aplicación de campo magnético → cambio los poros en el gel → cambia el hinchamiento → descarga del agente
Térmico Hidrogel termosensible poli(N-isopropilacrilamida)
Cambio en temperatura → cambio en las interacciones polímero-polímero y agua-polímero → cambia el hinchamiento → descarga del agente
Eléctrico Hidrogel polielectrolito Aplicación de campo eléctrico → membrana cargada → electrofóresis del agente cargado → cambia el hinchamiento → descarga del agente
Irradiación de
Ultrasonido
Hidrogel de etileno –alcohol vinílico
Irradiación de ultrasonido → aumento de temperatura → descarga del agente
2. METODOLOGÍA
La gran mayoría de los trabajos realizados por investigadores en el área de los geles poliméricos
se ubican dentro de tres categorías: ( 1 ) fabricación y caracterización del gel (incluyendo estudios
de las propiedades mecánicas), ( 2 ) modelamiento teórico de la conducta de hinchamiento y ( 3 )
su aplicación (principalmente en sistemas de liberación de medicamentos); el análisis, estudio y
estandarización de la información disponible en revistas y textos especializados para cada una de
estas categorías permitió establecer la estrategia experimental, formular y verificar un modelo
para describir la liberación de solutos desde hidrogeles teniendo en cuenta la proporción de
grupos hidrofílicos y el grado de entrecruzamiento de la matriz polimérica.
Como se indico en el marco teórico gran cantidad de factores inciden sobre el comportamiento
de los sistemas de liberación programada, en la presente investigación se consideran de manera
exclusiva los sistemas de liberación basados en matrices poliméricas hinchables de forma
discoidal cuando no se presentan variaciones de factores fisicoquímicos (intercambio iónico,
fuerza iónica, pH). Los geles poliméricos se obtuvieron modificando el porcentaje de
entrecruzante y proporción de comonómeros, y manteniendo fijas la temperatura, tiempo de
reacción, iniciador, porcentaje de iniciador y técnica de polimerización; para analizar el efecto del
grado de entrecruzamiento se sintetizaron polímeros utilizando metacrilato de 2–hidroxietilo
como monómero y con dimetacrilato de etilenglicol como entrecruzante, entre 0.5 y 10%
respecto de la carga total de monómero; y para evaluar la incidencia de la hidrofilicidad del
polímero sobre el proceso de hinchamiento se utilizaron hidrogeles disponibles de trabajos
anteriores con porcentajes entre 0 y 50% para un monómero hidrófobo, hexametacrilamida
copolimerizado con ácido acrílico monómero de carácter hidrofílico y cinco entrecruzantes
diferentes.
Debido a que tanto la forma como el tamaño inciden sobre la conducta de los hidrogeles y el
mecanismo de difusión asociado al proceso de hinchamiento, se decidió delimitar la
experimentación a discos con dimensiones muy similares (alrededor de 0.85 milímetros de
24
espesor y 10 milímetros de diámetro), para lograr las características geométricas deseadas se
realizó un proceso de adecuación de las muestras disponibles.
El modelamiento teórico de la conducta de hinchamiento del gel se centra primordialmente en
dos aspectos: la determinación de la condición de equilibrio, y la correlación del fenómeno
difusivo tanto del soluto como del solvente; por ello se decidió dividir el cuerpo del trabajo en
estas dos áreas: los capítulos 3 y 4 corresponden al modelo de equilibrio de hinchamiento, en los
capítulos 5 y 6 se presentan los modelos para la difusión de solutos y solventes en hidrogeles;
describiendo para cada modelo: aspectos teóricos, verificación y ajuste que con los resultados
experimentales producidos durante la investigación se logró.
El modelo de equilibrio de hinchamiento se basa en el modelo efectivo de Flory–Huggins
acoplado con el modelo de estructura de red afín de la teoría de Flory–Rehner. 8 Los ensayos de
absorción se realizaron por inmersión del hidrogel en un volumen de agua, midiendo su tamaño
y peso con relación al tiempo hasta llegar a una condición de estabilidad, lo que corresponde al
método gravimétrico tradicionalmente utilizado para realizar el seguimiento de las cinéticas de
hinchamiento, pero adicionalmente se desarrollo un nueva técnica basada en la digitalización de
las imágenes proyectadas por los hidrogeles en el medio de hinchamiento mediante un escáner.
La conducta no Fickiana observada en el transporte de masa en estos materiales poliméricos se
analiza a través de la ecuación de flujo difusivo, en donde la concentración es dependiente del
tiempo de relajación y la difusividad. La velocidad de difusión del agua dentro del hidrogel
presenta características especiales que son objeto de estudio, debido a las diferencias que con
respecto a la ley de Fick han encontrado algunos investigadores, por lo tanto se plantea un
esquema para relacionar las características de la estructura polimérica con los fenómenos
difusivos dentro de la matriz.
La caracterización del hidrogel para la verificación y planteamiento de los modelos, se realizó
determinando al hidrogel hinchado propiedades como: agua asociada y libre, medidas por
estudios de calorimetría diferencial de barrido (DSC), y peso molecular promedio entre
entrecruzamientos, mediante análisis dinámico mecánicos (DMA). Para los estudios de liberación
de solutos, se trabajaron con los hidrogeles que mostraron mayor resistencia mecánica, los cuales
25
inicialmente se hincharon en una solución de urea hasta alcanzar el equilibrio, y posteriormente
se introdujeron en agua destilada y por cromatografía líquida de alta eficiencia HPLC se midió la
velocidad con la cual se libera la urea desde el hidrogel a un medio externo donde el soluto se
halla ausente.
Con los modelos desarrollados se creó un programa de computador que por si mismo se
convierte en una útil herramienta de análisis y verificación cuando se desea describir los procesos
de difusión de solutos y solventes en matrices poliméricas hinchables, al igual que las condiciones
de equilibrio alcanzadas por los hidrogeles en agua, dado que con este programa es posible:
observar la capacidad de hinchamiento contra el porcentaje de monómeros y entrecruzantes para
una amplia variedad de sistemas poliméricos; computar perfiles de solvente y soluto, curvas para
variaciones dimensionales (espesor y diámetro), avance de la fase elástica y cinéticas durante los
procesos de hinchamiento y difusión de un soluto.
3. EQUILIBRIO DE HINCHAMIENTO
Recientes investigaciones han desarrollado modelos teóricos de la conducta de hinchamiento:
Tanaka, 26 Sassi et al., 28 Lele et al., 29 Prange et al., 30 Kayaman et al., 31 Grimshaw et al., 32 Li y
Tanaka 33; cuya aplicación requiere múltiples parámetros de ajuste, que desafortunadamente no
han sido corroborados eficientemente en forma experimental; por ello en la presente
investigación se decidió continuar utilizando como base el trabajo de pionero planteado por
Flory 8 en 1953. En este capítulo se delinean los elementos más relevantes del modelo de Flory,
comenzando por el planteamiento inicial del concepto de la teoría de enrejado, continuando con
las modificaciones realizadas para describir la expansión volumétrica que se presenta en los
sistemas hinchables y finalizando con la generalización del modelo para sistemas
multicomponentes.
El hinchamiento de un gel puede verse como resultado de la reducción del potencial químico de
todos los componentes difundibles (incluyendo iones) que existen tanto en el gel como en el
fluido que lo rodea (solución), por lo cual el criterio de equilibrio es Solución,Gel, ii µµ = , donde µi
es el potencial químico de la especie i. Cuando se considera el hinchamiento del gel en el solvente
puro (denotado en adelante por el subíndice 1), el proceso es controlado por el descenso del
potencial químico del solvente, esta consideración inicial pone de manifiesto la utilidad de asociar
el estudio del equilibrio de hinchamiento exclusivamente al efecto que sobre el gradiente de
potencial químico del solvente puede ejercer cada uno de los componentes del sistema.
El gradiente de potencial químico del solvente para un proceso ideal se puede expresar como:
=∆ 0
1
11 ln
PP
RTµ ( 3.1 )
donde 1P y 01P son las presiones de vapor del solvente en el gel y en el solvente puro, R es la
constante de los gases y T es la temperatura absoluta.
27
3.1. TEORÍA DEL ENREJADO
La condición de equilibrio para sistemas poliméricos se ha estudiado intensivamente desde 1940,
las primeras contribuciones de notable importancia fueron dadas por Paul J. Flory, 8
considerando una mezcla de dos componentes, en las cuales las moléculas del componente 1
(solvente) son pequeñas esferas simétricas y las moléculas del componente 2 (polímero) se
asemejan a una cadena flexible con gran número de segmentos móviles, cada uno de los cuales es
del tamaño de la molécula del solvente, todos ellos ubicados en arreglos regulares en el espacio
denominados retículas.
Considerando N1 moléculas de solvente y N2 moléculas de polímero cada una con r 2 segmentos,
se tiene ( )221 NrN + como número total de sitios en la retícula, de esta forma las fracciones de
sitios ocupados por el solvente ( *1φ ) y el polímero ( *
2φ ) corresponden a:
221
22*2
221
1*1 NrN
NrNrN
N+
=+
= φφ ( 3.2 )
Flory y Huggins demostraron que en mezclas sin efectos energéticos de polímeros amorfos (no
cristalinos) y solventes, el cambio en la energía libre de Gibbs y la entropía de mezcla se dan por:
*22
*11 lnln φφ NN
RS
RTG CC
−−=∆
=∆
− ( 3.3 )
el superíndice C indica que se trata de una contribución combinatorial.
Los efectos energéticos asociados a la diferencia en las fuerzas intermoleculares y en los
volúmenes libres entre los componentes, se cuantifican mediante la contribución residual
(superíndice R), con la cual se introduce el parámetro que mide el efecto de la interacción
polímero – solvente dentro del sistema de mezcla, el cual en adelante se denotara como 12χ , de
esta forma la contribución residual se puede expresar como:
( )221*2
*112 NrN
RTGR
+=∆ φφχ ( 3.4 )
por tanto para una solución real de polímero la energía libre de Gibbs debida al proceso de
mezclado constituye la suma de las dos contribuciones:
( )221*2
*112
*22
*11 lnln NrNNN
RTG
RTG
RTG RC
M +++=∆
+∆
=∆
φφχφφ ( 3.5 )
28
El parámetro de interacción polímero – solvente de Flory es específico de cada sistema y
depende principalmente de la naturaleza del solvente y del polímero, el grado de polimerización,
la distribución de grupos hidrofílicos e hidrofóbicos en la cadena; por lo cual resulta impreciso
estimarlo en forma teórica como lo plantea la termodinámica molecular. 34
Los métodos más comúnmente empleados para determinar el parámetro de Flory son: 35
Medidas de dispersión de luz realizadas a dilución infinita de polímero, a temperaturas
cercanas al punto de ebullición de los solventes bajo presión atmosférica.
Medidas de presión de vapor para fracciones en peso del polímero en el rango de 0.3 a 0.7. 36
Cromatografía de gas inversa (IGC) utilizada para determinar valores del parámetro de
interacción de Flory en el límite del polímero puro. 36
Estos métodos son de baja confiabilidad cuando se trata de geles, por lo cual la forma más exacta
de obtener el parámetro de interacción de Flory es mediante datos experimentales en el
equilibrio.
3.2. CAMBIO EN EL POTENCIAL QUÍMICO
Las fuerzas que influyen en el potencial del químico del solvente pueden ser principalmente
atribuidas a tres fenómenos de interacción: potencial intermolecular, deformación elástica de la
red del polímero, y mezcla con los iones móviles. Asumiendo que la solución de gel se diluye
suficientemente, la teoría de Flory – Rehner 8 trata estas tres contribuciones en forma aditiva,
describiendo el cambio del potencial químico como:
IEM ,1,1,11 µµµµ ∆+∆+∆=∆ ( 3.6 )
donde ∆µ1,M , ∆µ1,E y ∆µ1,I representan las contribuciones de mezcla, elástica y electrostática,
respectivamente. Al asumir que las diferentes contribuciones son aditivas, es posible realizar su
evaluación en forma independiente, en el caso de un gel no electrolítico, sólo los primeros dos
efectos son pertinentes debido a que la matriz polimérica no posee los grupos iónicos necesarios
para actuar recíprocamente con los iones móviles.
29
3.2.1. Contribución por mezclado
Para determinar la contribución por parte del proceso de mezcla, se considera el planteamiento
de la teoría del enrejado, sustituyendo para cada componente el número de moléculas (Ni ) por el
número de moles (ni ) y las fracciones de sitios ocupados *iφ por las fracciones volumétricas iφ .
Si se aplica sobre la Ecuación 2.5 la relación termodinámica que define el potencial químico del
solvente en la mezcla [ ]2,,1,1 )( nTPMM nG ∂∂=µ se obtiene la ecuación de Flory – Huggins que en
forma simple contiene las características más importantes asociadas a las soluciones de grandes
moléculas conteniendo moléculas de tamaño ordinario:
+
−+−=∆ 2
21222
2,111)1ln( φχφφµr
RTM ( 3.7 )
donde φ2 es la fracción de volumétrica del polímero en gel. La fracción volumétrica del polímero
en el hidrogel puede ser expresada por: 12
1122
222 //
/ρρ
ρφ
mmm
+= ( 3.8 )
donde 2m y 1m son respectivamente los pesos del polímero seco y del solvente; ρ2 y ρ1 son las
densidades del polímero seco y del solvente.
La ecuación de Flory – Huggins no provee una descripción precisa de las propiedades
termodinámicas de las soluciones poliméricas reales, pero permite explicar el hinchamiento que
se presenta en los geles cuando los polímeros que constituyen la red entrecruzada se rechazan
entre sí o forman enlaces con el solvente.
3.2.2. Contribución elástica
La cantidad de agua que puede absorber un hidrogel esta asociada tanto a la cantidad de grupos
hidrofílicos como al grado de entrecruzamiento, se puede considerar al entrecruzamiento como
una fuerza física opuesta a las fuerzas de tipo químico que aumentan la solvatación del polímero,
si este no estuviese entrecruzado, el resultado de sumergirlo en una solución sería su disolución
siempre que fuese termodinámicamente factible. 9, 28 Cuando el gel se hincha, el líquido de la
solución circundante se filtra en la red polimérica haciéndola crecer, durante este proceso se
30
pueden presentar zonas sin presencia líquido que permanecen encogidas, las que ocasionan
irregularidades en la forma, pero una vez el líquido alcanza toda la red polimérica esta vuelve a
ser uniforme, este fenómeno es apreciable en geles de gran tamaño. Pero normalmente se puede
considerar un crecimiento uniforme, debido a que la energía de compresión (caracterizada por el
módulo de compresión) minimiza las deformaciones no isotrópicas en el gel.
Para describir las relación entre las propiedades de hinchamiento con la estructura del gel y su
deformación, se recurre a modelos basados en la teoría estadística compleja que relacionan
notablemente cómo la estructura molecular del polímero responde a la tensión generada por una
deformación microscópica. Sin embargo, esta teoría ofrece sólo una aproximación cualitativa a la
conducta real del polímero, principalmente debido a la suposición que las distancias entre los
puntos de entrecruzamiento pueden ser descritas por una distribución Gaussiana.
El más simple de los modelos que describen la conducta elástica del gel se fundamenta en los
resortes mecánicos. Definiendo por simplicidad el volumen del control como un cubo isotrópico
unitario de gel (solvente y polímero) cuyas caras opuestas en todos los tres ejes se unen por
resortes, que representan la elasticidad del gel; y donde las longitudes restantes corresponden a
las cadenas lineales del gel cuando esta totalmente contraído y libre de tensión externa. Entonces
el equilibrio estático de fuerzas sobre cada cara del volumen de control relaciona las presiones del
solvente con la fuerza tensor. Si bien, las siguientes expresiones se desarrollan a lo largo del eje X
son aplicables a las direcciones restantes (Y y Z): 37
ZYXXXXX LLAFAPAP =+= con0 ( 3.9 )
donde XA es el área de la superficie de la cara que apunta en el eje X, XP es la presión ejercida
sobre XA por el solvente dentro del volumen de control, P 0 es la presión del solvente el baño
externo, XF es la fuerza tensor en el eje X, YL y ZL son los alargamientos en los ejes Y y Z.
Asumiendo que la presión es uniforme dentro del volumen de control,
PPPP ZYX === ( 3.10 )
y considerando el resorte como Hookeano simple con tensión del resorte K:
XX KLF = ( 3.11 )
31
Para el caso simple de tensión del uniaxial en el eje X ( Figura 3.1 ), ZY LL = debido a que el gel
es isotrópico, el volumen del solvente ( 1V ) dentro del volumen del control esta dado por:
21 YXZYX LLLLLV == ( 3.12 )
combinando los resultados, se obtiene:
0)()( 30301 =−−+− KPPKFPPV X ( 3.13 )
donde la presión solvente puede resolverse como una función de XF y 1V .
Figura 2.1. Modelo mecánico de gel isotrópico bajo tensión uniaxial.
Modelando el efecto elástico del polímero en forma completamente mecánica, se tiene entonces
que el cambio en el potencial del químico del solvente debido a la elasticidad del polímero es:
),(),( 001
01,1 PTPTE µµµ −=∆ ( 3.14 )
incluyendo el volumen molar del solvente (ν1) en el cambio del potencial químico, se tiene:
P∆=∆ 11 νµ ( 3.15 )
combinando los dos resultados anteriores, se consigue:
)( 01,1 PPE −=∆ νµ ( 3.16 )
Para el caso de hinchamiento libre, la contribución elástica es:
3/11
1,1 V
KE
νµ =∆ ( 3.17 )
Si se correlacionan las propiedades elastoméricas con el peso molecular entre entrecruzamientos;
el modelo se transforma en la teoría de la red fantasma, la cual considera que los puntos de unión
(entrecruzamientos) se desplazan libremente, sin ser afectados por la presencia de cadenas
32
vecinas o por el estado de deformación, la expresión resultante para el cambio en el potencial
químico es: 32
1
2,1
121 −
=∆ λµ
rRTE ( 3.18 )
donde λ es la razón de dilatación, que para hinchamiento isotrópico es la relación entre los
diámetros del hidrogel 2d , y del xerogel 0d : 16
0
23/12 d
d== −φλ ( 3.19 )
Durante el hinchamiento de un gel isotrópico perfectamente cúbico las cadenas se transforman
linealmente con deformación macroscópica, por lo cual es necesario restringir todos los puntos
de unión, surgiendo de esta forma la teoría de la red afín que introduce un elemento adicional en
la expresión para el cambio en el potencial químico del solvente: 38
)2(121 21
2,1
−− −
=∆ λλµ
rRTE ( 3.20 )
Al describir el comportamiento de geles heterogéneos (redes imperfectas), los modelos de red
afín y red fantasma, presentan una concordancia parcial entre la teoría y el experimento, debido a
que los segmentos poliméricos y los puntos de unión no se encuentran uniformemente
distribuidos, lo cual se ha verificado en experimentos de dispersión y microscopía electrónica
donde se observan las inhomogeneidades en los geles. 39 En estos casos es necesario realizar
modificaciones a la teoría de Flory – Rehner. 38, 39, 40, 41
3.2.3. Contribución iónica
En los polímeros cargados se presenta una distribución desigual de los iones dentro del gel y la
solución que lo rodea, produciéndose una diferencia en la presión osmótica de las dos fases, lo
que introduce una contribución adicional al potencial químico del solvente. Una completa
descripción de los efectos de los iones sobre el hinchamiento puede requerir de expresiones para
interacciones: ion – ion, ion – solvente, ion – polímero;42, 43 estas interacciones son ignoradas en
la aproximación ideal de Donan, estableciendo de esta manera un modelo de hinchamiento de
geles polielectrolitos que expresa en forma simple la contribución iónica, al considerar
33
únicamente la contribución de mezcla de iones para describir los efectos de densidad de carga en
el gel y la concentración del ion sobre el hinchamiento del gel. Si se asume que las
concentraciones de los iones son pequeñas y que el coeficiente osmótico del solvente es la
unidad se obtiene la siguiente expresión para la contribución iónica: 8
∑ −=∆ )( el,Exterior,1,1 GjjI CCRTνµ ( 3.21 )
donde el,GjC y Exterior,jC , son las concentraciones del ion en gel y en el fluido exterior,
normalmente establecidas por las condiciones experimentales. La sumatoria sobre j incluye todos
los iones móviles (desenlazados).
3.3. EQUILIBRIO DE HINCHAMIENTO EN SOLUCIONES
El hinchamiento de geles en soluciones se podría considerar como un sistema multicomponente,
el cual requiere la inclusión de nuevos elementos debido a presencia en el sistema de
componentes adicionales al solvente y al polímero.31 Una primera aproximación se logra cuando
se extiende la teoría de Flory – Huggins a sistemas multicomponentes, lo que implica considerar
la siguiente expresión para el cambio en la energía libre de Gibbs debido al proceso de mezcla:
+=∆ ∑ ∑∑
<i jiijji
iiiiiM nrnRTG χφφφln ( 3.22 )
donde in , iφ y ir son respectivamente número de moles, fracción volumétrica y número de
segmentos de la especie i, y ijχ es el parámetro de interacción entre las especies i y j. Para un
sistema ternario, los subíndices i = 1, 2, 3 denotan respectivamente: el solvente (agua), la matriz
polimérica y el soluto. De esta forma se pueden obtener las contribuciones por mezcla sobre el
cambio de potencial químico tanto de solvente como de soluto, derivando la ecuación 3.22 con
respecto al número de moles del solvente 1n y del soluto 3n , con lo que se obtienen las
siguientes expresiones:
−−++
−+
−+=∆ 32231313212
33
221,1 )1)((1111)ln( φφχφφχφχφφφµ
rrRTM ( 3.23.a )
−−+++−−=∆ 211233223113
2
21
3
33,3 )1)(()ln( φφχφφφχφχφφφµ
rrRTrM ( 3.23.b )
4. VERIFICACIÓN DEL MODELO DE EQUILIBRIO
En el presente capítulo se delimitan los aspectos teóricos sobre los que se estructura el modelo
de equilibrio de hinchamiento tanto en el solvente puro como en soluciones, definiendo los
parámetros asociados al mismo y la forma en que pueden ser estimados; una de las primeras
actividades desarrolladas corresponde a la síntesis y adecuación de los xerogeles discoidales
usados como unidades experimentales, por ello se describen los ensayos exploratorios y
definitivos que en tal sentido se realizaron; también se relata la forma en que se determinó la
condición de equilibrio para cada unidad experimental y la correlación alcanzada con el modelo.
4.1. SÍNTESIS DE LOS POLÍMEROS
Dado el gran número de variables que afectan el sistema, específicamente en lo que corresponde
a la síntesis de los polímeros, se decidió modificar aquellas que son determinables en forma
directa en las propiedades finales del hidrogel (porcentaje de entrecruzante y proporción de
comonómeros), manteniendo fijas las demás (temperatura, tiempo de reacción, iniciador,
porcentaje de iniciador, técnica de polimerización).
4.1.1. Polimerización
Los reactivos metacrilato de 2-hidroxietilo (HEMA), dimetacrilato de etilenglicol (EGDMA) y
peróxido de benzoilo (BPO) fueron adquiridos en grado analítico de Merck Schuchardt; y se
usaron tal como se recibieron. Los primeros hidrogeles de HEMA y EGDMA, se obtuvieron
mezclando en tubos de ensayo con tapa, los reactivos con metanol (solvente) mediante agitación
vigorosa hasta tener una solución homogénea, la cual se calentó progresivamente durante una
hora en un baño termostatado hasta alcanzar la temperatura de reacción que se fijo en 60 ºC,
teniendo en cuenta la temperatura de activación del iniciador, 0.42 % de BPO con respecto a la
carga total de monómeros, la solución se mantuvo a esta temperatura por catorce horas 44, 45, 46. Se
utilizaron las siguientes relaciones entre los volúmenes de solvente y monómeros: 0.5, 1, 1.5 y 2;
el producto logrado en cada uno de los cuatro ensayos preliminares presentó apariencia opaca,
35
granular y con numerosas grietas cuya magnitud e intensidad estaba directamente relacionada con
la cantidad de solvente.
Debido a la naturaleza de los polímeros obtenidos y alta homogeneidad de la mezcla entre
monómero y entrecruzante en ausencia de solvente, se decidió excluir su uso y trabajar mediante
la técnica de polimerización en masa, manteniendo las demás variables constantes; de esta forma
se elaboraron cuatro polímeros con contenidos de entrecruzante entre 1 y 5%, los cuales fueron
cristalinos, pero con imperfecciones y grietas superficiales principalmente en los xerogeles con
mayor contenido de entrecruzante, en la parte superior fue posible apreciar un remanente líquido
ligeramente amarillo correspondiente a polímero sin entrecruzar. Para garantizar el mayor grado
de polimerización posible y reducir la posibilidad de tener monómero residual o cadenas libres de
polímero se incluyo una etapa posterior donde la temperatura se incrementa gradualmente hasta
alcanzar 70 ºC, temperatura a al cual se mantiene el sistema durante siete horas; la cantidad de
remanente líquido se redujo, pero no fue posible su eliminación total. Posteriormente se
realizaron ensayos reduciendo el porcentaje de agente iniciador, hasta obtener cilindros
uniformes, rígidos y transparentes, lo cual se logró con un contenido de 0.3 % de BPO con
respecto a la carga total de monómeros, el remanente líquido fue desechado.
Como resultado de los ensayos preliminares se estableció para la polimerización en masa de
HEMA y EGDMA, con BPO como iniciador en una proporción de 0.3 % con respecto a la
carga total de monómeros; el siguiente programa de calentamiento: incremento progresivo de
temperatura durante 1 hora para alcanzar la temperatura de reacción (60 ºC), polimerización
isotérmica a 60 ºC durante 14 horas, incremento gradual hasta 70 ºC durante una hora y etapa
isotérmica final a esta temperatura de 7 horas.
4.1.2. Xerogeles utilizados en la fase experimental
Para analizar exclusivamente el efecto del entrecruzante sobre el contenido de agua y la cinética
de hinchamiento se trabajó con HEMA monómero de carácter no iónico, con naturaleza
hidrofílica y buenas propiedades mecánicas; utilizando como entrecruzante EGDMA que brinda
la posibilidad de trabajar con un medio de polimerización altamente homogéneo y reduce la
incidencia de efectos adicionales, su proporción se varió usando concentraciones de 0.5, 1, 3, 5 y
36
10 % respecto de la carga total de monómero, fijando respectivamente para cada polímero la
siguiente notación: HE05, HE1, HE3, HE5 y HE10. En la Tabla 4.1 se resumen la cantidades de
reactivos utilizados para la polimerización de estos xerogeles.
Tabla 3.1. Cantidades de reactivos utilizados en los hidrogeles de la serie HE.
Hidrogel Monómero (ml) Entrecruzante (ml) Iniciador (g)
HE05 4.00 0.02 0.0129
HE1 4.00 0.04 0.0128
HE3 4.00 0.12 0.0129
HE5 4.00 0.20 0.0131
HE10 4.00 0.41 0.0140 Tabla 3.2. Notación utilizada para los hidrogeles comonoméricos
% HMA Entrecruzante %
0 10 20 30 40 50
Dimetacrilato de trietilenglicol 1 1A1 2A1 3A1 4A1 5A1
Dimetacrilato de tetraetilenglicol 1
4
0B1 1B1
1B4
2B1 3B1 4B1 5B1
Divinilbenceno 1 2C1 3C1 5C1
Dimetacrilato de etilenglicol
1
2
4
1D1
1D2
2D1 3D1
3D4
Dimetacrilato de dietilenglicol
1
2
4
1E1
1E2
1E4
2E1 3E1 4E1 5E1
Para analizar el efecto de la naturaleza hidrófoba e hidrofílica sobre las diferentes propiedades de
los hidrogeles; se utilizaron xerogeles disponibles de trabajos anteriores elaborados con la
combinación de un monómero hidrófobo, hexametacrilamida (HMA), y uno hidrofílico, ácido
acrílico, con diversos entrecruzantes: dimetacrilato de etilenglicol (serie D), dimetacrilato de
dietilenglicol (serie E), dimetacrilato de trietilenglicol (serie A), dimetacrilato de tetraetilenglicol
37
(serie B) y divinilbenceno (serie C); la mayoría de estos con 1 % de entrecruzante respecto de la
carga total de monómeros, su nomenclatura se indica en la Tabla 4.2.
4.2. MODELO DE EQUILIBRIO DE HINCHAMIENTO
Para desarrollar el modelo se considera un sistema matriz polimérica que se extiende debido a la
absorción del fluido solvente circundante dentro de un volumen de control como el mostrado en
la Figura 4.1. En donde la matriz polimérica pura y el solvente puro dentro del volumen de
control inicialmente están completamente separados y finalmente se mezclan y forman un
sistema polimérico homogéneo (hidrogel), mientras el volumen de control se mantiene
constante, alcanzando el estado de equilibrio.
Figura 3.1. Volumen de control para modelo de gel no – electrolítico.
El equilibrio de hinchamiento se logra cuando se tiene el mismo el potencial químico para el
solvente (en este caso agua) en el baño circundante y en el gel, lo que implica la no existencia de
gradiente de potencial químico entre los dos medios: 01 =∆µ . Según el modelo previamente
desarrollado para el sistema no electrolitico, el cambio de potencial químico del solvente es:
EM ,1,11 µµµ ∆+∆=∆ ( 4.1 )
para determinar el gradiente de potencial químico del solvente se desarrolla un modelo de
parámetros generalizados, en donde la contribución por mezclado se obtiene de acuerdo al
modelo de Flory – Huggins (Ecuación 3.7) y la contribución elástica se basa en la teoría
estadística de red afín (Ecuación 3.20); con lo cual, el cambio de potencial químico del solvente
se expresa como:
++
−+−=∆
2
3/122
21222
21 231)1ln(
rrRT φ
φχφφµ ( 4.2 )
que en el equilibrio se reduce a:
38
0231)1ln(
2
3/1,22
,212,22
,2 =++
−+− ∞
∞∞∞ rrφ
φχφφ ( 4.3 )
De esta forma la determinación del equilibrio de hinchamiento se reduce a la obtención de las
fracciones volumétricas en el equilibrio ( ∞,2φ ), es decir aquellas que satisfacen la ecuación, lo que
implica el conocimiento previo tanto del número promedio de segmentos por cadena de red 2r
como del parámetro de Flory para la interacción polímero – solvente 12χ .
4.2.1. Procedimiento experimental
Luego de la etapa de síntesis, los cilindros se cortaron y lijaron para obtener discos con espesores
inferiores a un milímetro; el cual se determinó con un indicador de cuadrante Teclock SM–112
(Anexo A), cuyo margen de error para las dimensiones evaluadas es 1.17 % lo que indica su gran
exactitud. El rango en el espesor de los xerogeles se ubicó entre 0.75 y 0.95 mm, con una media
de 0.85 mm y desviación estándar de 0.06 mm, el amplio rango observado en la adecuación de
los espesores muestra lo inapropiada que es la técnica utilizada para esta labor.
La proyección circular de cada xerogel se digitalizó mediante un escáner Genius Color Page–
Vivid II, una vez almacenada en formato grafico utilizando el software de Corel Corporation y
Kodak Digital Science Hexachrome Transforms: Corel Photo – Paint versión 8.0, se determinó
el número de puntos correspondientes al área circular del xerogel 0A para obtener finalmente su
diámetro, con un error inferior al 2.38 %. Los diámetros obtenidos se ubicaron entre 9.88 a 10.31
mm, con media de 10.06 mm y desviación estándar de 0.11 mm.
Con los pesos y medidas geométricas de los xerogeles se estableció su densidad, la cual se
corroboró mediante picnometría utilizando como medio inerte aceite mineral. En la Figura 4.2 se
presentan las densidades experimentales con las líneas de tendencia para la variación contenido
de monómero hidrófobo y de entrecruzante, las cuales tienen como coeficientes de
determinación ( 2R ): 0.6358, 0.7431, 0.9952, 0.7956, 0.837 y 0.9175 respectivamente; aunque
únicamente para la serie C se tiene una buena correlación, las expresiones obtenidas pueden ser
empleadas en forma aceptable para la estimación de densidades.
39
( a )
1.18
1.19
1.20
1.21
1.22
1.23
1.24
0 10 20 30 40 50 60
% HMA
Den
sida
d( b )
1.18
1.19
1.20
1.21
1.22
1.23
1.24
0 10 20 30 40 50 60% HMA
Den
sida
d
( c )
1.17
1.18
1.19
1.20
1.21
1.22
1.23
0 10 20 30 40 50 60% HMA
Den
sida
d
( d )
1.18
1.19
1.20
1.21
1.22
1.23
1.24
0 20 40 60% HMA
Den
sida
d
( e )
1.18
1.19
1.20
1.21
1.22
1.23
1.24
0 10 20 30 40 50 60% HMA
Den
sida
d
( f )
1.240
1.242
1.244
1.246
1.248
1.250
0 2 4 6 8 10 12
% EGDMA
Den
sida
d
Figura 3.2. Densidad (g/cm3) con relación a la variación en el porcentaje de monómero
hidrófobo series: A ( a ), B ( b ), C ( c ), D ( d ), E ( e ), y entrecruzante serie HE ( f ).
Una vez establecidas las dimensiones, pesos y densidades de los discos, estos se sumergieron en
agua destilada hasta alcanzar un peso aproximadamente constante, para garantizar que los valores
obtenidos se encuentran muy próximos al equilibrio de hinchamiento. El grado de hinchamiento
del hidrogel en el equilibrio, ∞W , se determinó por gravimetría, utilizando la expresión: 13
mmm
mmm
mmW 2
21
11
xerogel) agua(hidrogeldelPesohidrogelelenaguadelPeso −
=+
==+
= ( 4.4 )
40
Cuando los hidrogeles de la serie HE alcanzaron el equilibrio su imagen se digitalizó, y se
relacionaron las áreas proyectadas ∞A con las obtenidas para los xerogeles, estableciendo la
fracción volumétrica al equilibrio por: 2/3
0,2
= ∞
∞ AA
φ ( 4.5 )
La fracción volumétrica en el equilibrio obtenida tanto por gravimetría como por digitalización
de imagen, no mostró discrepancias apreciables, ya que la diferencia promedio entre los dos
métodos fue de 0.46% con desviación de 0.32%.
Para cuantificar la contribución elástica dentro del modelo es necesario caracterizar
mecánicamente los hidrogeles una vez han logrado el equilibrio, para ello se llevaron a cabo
mediciones de tensión de estiramiento utilizando un ensayo de cilindros paralelos DMA
Rheometrics Solids Analyzer RSA II frecuencia de 6.28 rad/s y deformación de 0.2 % durante 10
minutos a 22 ºC (Anexo B), estas pruebas se realizaron en los laboratorios del Centro Innovación
Tecnológica “CITEC”, Universidad de los Andes; en la Tabla 4.3 se presentan los resultados
promedio en el modulo de compresión G para la serie HE.
Tabla 3.3. Modulo de compresión promedio (MN/m2) para la serie HE
% EGDMA ENSAYO 0.5 1 3 5 10
1 0.0645 0.0595 0.2963 0.4934 0.61282 0.0530 0.1171 0.2798 0.3055 0.61323 0.0377 0.0491 0.1753 0.2789 0.84454 0.0573 0.0824 0.1996 0.3295 0.97595 0.3042 6 0.1524
Coeficiente de variación promedio 0.63% 0.70% 1.17% 2.70% 7.18%*
* En este promedio no incluye el ensayo 3 (coeficiente de variación de 18.38 %), descartado para cálculos posteriores
Cualitativamente se puede decir que todos los hidrogeles de la serie HE son resistentes; aquellos
con bajo contenido de entrecruzante presentan gran flexibilidad la cual decrece notablemente de
tal forma que se alcanza una gran rigidez cuando el contenido de entrecruzante llega al 10%. Se
41
encontró que la rigidez de los hidrogeles de las series A, B, C, D y E se asocia directamente con
la hidrofobicidad e hidrofilicidad del polímero, mostrando que aquellos hidrogeles con contenido
de monómero hidrófobo entre 40 y 50 % son rígidos, mientras que altos contenidos de
monómero hidrofílico producen hidrogeles blandos. Las propiedades ópticas presentaron el
mismo comportamiento para las anteriores series: a medida que aumentó el porcentaje del
componente hidrófobo, desapareció la transparencia, llegando a ser opacos; este
comportamiento se debe a que el copolímero puede presentar una estructura heterogénea, como
resultado de las relaciones de reactividad de los comonómeros, de tal forma que los geles con
mayor contenido de monómero hidrófobo presentan separación de fases formando dos zonas,
una rica en HMA y una rica en ácido acrílico. En el estado hidratado la malla por su estructura
heterogénea no permite que las moléculas de agua se distribuyan uniformemente dentro de ella,
formando núcleos (clusters) de agua que disminuyen la fotopermeabilidad de los hidrogeles.
4.2.2. Estimación de los parámetros del modelo de equilibrio
A continuación se describe el procedimiento seguido para obtener el parámetro de interacción
polímero-solvente y el número promedio de segmentos por cadena de red que se utilizan en la
aplicación del modelo de gel no electrolito. El proceso implica estimar inicialmente el número
promedio de segmentos en el polímero. Para los hidrogeles de la serie HE esto se puede realizar
con los datos obtenidos a partir de las pruebas mecánicas, Tabla 4.3, que se relacionan con la
densidad efectiva de entrecruzamientos por la siguiente expresión:
3/12φ
εRT
GE = ( 4.6 )
cuando las pruebas mecánicas no son posibles, la alternativa es trabajar con la concentración
teórica de cadenas elásticas por unidad volumétrica de polímero hinchado ( Tε ):
)100(2
EMEF
ET +
=ρ
ε ( 4.7 )
donde F es la funcionalidad del entrecruzante, ME el peso molecular de la unidad monomérica
entrecruzante y E el porcentaje de entrecruzante empleado en la mezcla de preparación del
xerogel. Las densidades de entrecruzamientos efectiva y teórica se pueden relacionar con:
TE εβαε += ( 4.8 )
42
donde α es el entrecruzamiento inducido en ausencia de entrecruzante y β es la eficiencia de
entrecruzamiento, la cual depende tanto de la técnica de polimerización como de los reactivos
utilizados. En la Figura 4.3 se presenta la regresión lineal para la serie HE: α = 0.0187 cm3/mol y
β = 0.3311, con coeficiente de determinación 0.8589.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Entrecruzamiento teórico
Entre
cruz
amie
nto
efec
tivo
Figura 3.3. Estimación de la eficiencia de entrecruzamiento (β) y el entrecruzamiento inducido
(α ), para los hidrogeles de HEMA – EGDMA (serie HE).
Conociendo la concentración efectiva de cadenas elásticas por unidad de volumen de polímero
hinchado es posible determinar apropiadamente para todo el intervalo de análisis el número
promedio de segmentos por cadena de red r 2 con: 16
E
rεν 1
21
= ( 3.9 )
lo que implica conocer el volumen molar del solvente ( 1ν ), que se puede obtener
específicamente para el agua por:
( )[ ]298106.305.1810 331 −×+= −− Tν ( 3.10 )
En la Figura 4.4 se representan los valores estimados a partir de los datos experimentales
observándose como para bajas proporciones de entrecruzante, el número de segmentos en el
polímero es muy sensible a la variación tanto de cantidad como de tipo de entrecruzante, pero no
se ve afectado por el cambio en la combinación de comonómeros. Se debe aclarar que
únicamente para la serie HE fue posible determinar el entrecruzamiento efectivo y por tanto las
series restantes se trabajaron con el entrecruzamiento teórico.
43
( a )
0
500
1000
1500
2000
2500
0 4 8 12% EGDMA
Núm
ero
de se
gmen
tos
( b )
200
300
400
500
600
700
800
900
0 10 20 30 40 50% HMA
Núm
ero
de se
gmen
tos
A
B
C
D
E
Figura 3.4. Número promedio de segmentos en la cadena polimérica (r2) asociado a la
variación en: ( a ) el porcentaje de entrecruzante (serie HE) y ( b ) el porcentaje de monómero
hidrófobo.
Junto con los datos experimentales obtenidos en este trabajo se analizaron algunos sistemas
adicionales para los cuales la información disponible sobre equilibrio de hinchamiento permiten
estimar en forma apropiada el parámetro de Flory para la interacción polímero – solvente, estos
sistemas se denotan de la siguiente forma: VP (Vinilpirrolidona con EGDMA como
entrecruzante),47 HV (Vinilpirrolidona 20%/ HEMA 80%/ EGDMA),48 MV (Vinilpirrolidona
70%/ Metilmetacrilato 30%/ EGDMA),17, 49 BV95 (Butilacrilato 5%/ Vinilpirrolidona 95% con
Trimetacrilato de trimetilol propano “TTP” como entrecruzante),16 BV40 (Butilacrilato 60%/
Vinilpirrolidona 40% con TTP como entrecruzante),16 VH (Vinilpirrolidona/ HEMA/ 1%
EGDMA),48 VB (Butilacrilato/ Vinilpirrolidona/ 1% TTP).16
Una vez se conoce el número promedio de segmentos en la cadena polimérica, se procede a
obtener los valores apropiados del parámetro de Flory, despejándolo a partir de la ecuación que
de acuerdo con el modelo predice el equilibrio (Ecuación 4.3):
2,2
2
3/1,2
,22
,212 231)1ln( ∞
∞∞∞
+
−+−−= φ
φφφχ
rr ( 4.11 )
con medidas gravimétricas se obtiene el grado de hinchamiento en el equilibrio ∞W , e
indirectamente la fracción volumétrica experimental del polímero en el equilibrio:
)1()1(
12
1,2
∞∞
∞∞ −+
−=
WWW
ρρρ
φ ( 4.12 )
44
La Tabla 4.4 se elaboró con la información experimental disponible para los sistemas
anteriormente indicados, para ello se estableció la tendencia que presenta el parámetro
interacción polímero – solvente con respecto a la composición del polímero mediante diversas
funciones de ajuste, que al ser extendidas hasta el 100% de composición con respecto a cada
monómero permiten obtener el correspondiente parámetro homopolímero – solvente, i,12χ .
Estos resultados muestran que los parámetros más bajos se asocian a monómeros hidrofílicos
como ácido acrílico y los más altos a monómeros hidrofóbicos como Butilacrilato.
Tabla 3.4. Parámetros de interacción homopolímero – solvente obtenidos empíricamente
Monómero χ12, i Referencia más próxima
Ácido acrílico 0.013 Vinilpirrolidona 0.494 0.507 ( 2% BA/ 98% VP) 16 Metilmetacrilato 1.190 1.1 (60% MMA/40% VP) 49
2-Hidroxietilo metacrilato 0.889 0.829 (100% HEMA) 46
Hexametacrilamida 2.592 Butilacrilato 5.166 3.707 ( 90% BA/ 10% VP) 16
Para obtener el parámetro de interacción de cada posible composición polimérica, debido a la no
idealidad de las mezclas copoliméricas, se propone la siguiente la combinación de los parámetros
homopoliméricos:
∑=++=∗
ii
iii MH
MHyyy
//
con2,1221,12112 ξχχχ ( 4.13 )
donde: Hi es el porcentaje en peso de monómero i utilizado en la preparación del xerogel, Mi es
su peso molecular, y ξ el factor de corrección obtenido al combinar las funciones de ajuste para
los sistemas disponibles y cuya expresión es:
[ ]( )
1,122,121221
21
122
12212
y/)1(//)1(/
con
1)076.0243.0()609.0143.0()044.0037.0(
χχχ
χχχξ
−=∆−+−−
=
∆−−+∆−−∆−=
MHMHMHMHx
xxxx ( 4.14 )
el subíndice 1 hace referencia al monómero hidrofílico, de manera que 1,122,12 χχ > y por tanto
la diferencia entre los parámetros de interacción siempre es positiva.
45
En la Figura 4.5 se compara los valores obtenidos experimentalmente para el parámetro de
interacción binario, y las curvas generadas con el esquema planteado anteriormente,
observándose una gran correspondencia para los sistemas disponibles; con esta apreciación
resulta admisible la combinación de los parámetros homopoliméricos mediante la Ecuación 4.13
para producir los parámetros de interacción polímero – solvente de cualquier hidrogel.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0% 10% 20% 30% 40% 50%HMA
Pará
met
ro p
olím
ero
- sol
vent
e
ABCDECalc.
0
1
2
3
4
0% 20% 40% 60% 80% 100%VP
Pará
met
ro p
olím
ero
- sol
vent
e VBVHCalc.
Figura 3.5. Conducta para el parámetro de interacción polímero – solvente (χ12) asociada a la
variación en la proporción de monómeros hidrófilo e hidrófobo.
El efecto del entrecruzante sobre la fracción volumétrica que el hidrogel puede lograr, no se
restringe únicamente a la contribución mecánica, tal como se observa en la Figura 4.6 incide
sobre el comportamiento del parámetro de interacción binaria.
0.45
0.65
0.85
1.05
1.25
0% 2% 4% 6% 8% 10%
EGDMA
Pará
met
ro p
olím
ero
- sol
vent
e
HE
VP
HV
MV
Calc.
0.45
0.65
0.85
1.05
1.25
0.0% 1.0% 2.0% 3.0%
TTP
Pará
met
ro p
olím
ero
- sol
vent
e
BV95BV40Calc.
Figura 3.6. Conducta para el parámetro de interacción polímero – solvente (χ12) asociada a la
variación en el porcentaje de entrecruzante.
46
Se probaron diversas funciones para ajustar los resultados experimentales y se observó que la
expresión más apropiada es:
( ) ∗∗ +
+−=
1212
2
12 100χχχχ
EE
E ( 4.15 )
donde Eχ es el parámetro polímero – solvente, de un polímero preparado exclusivamente con
monómero entrecruzante. Con la información disponible fue posible de manera aproximada
obtener el valor de Eχ para seis diferentes entrecruzantes tal como aprecia en la Tabla 4.5.
Tabla 3.5. Parámetros de interacción polimérico – solvente, obtenidos empíricamente para un
homopolímero de agente entrecruzante
Entrecruzante χE Etilenglicol dimetacrilato 36.15 Dietilenglicol dimetacrilato 60 Trietilenglicol dimetacrilato 80 Tetraetilenglicol dimetacrilato 100 Divinilbenceno 250 Trimetacrilato de trimetilol propano 228
4.2.3. Resultado del modelo de equilibrio
Como se ha observado la determinación del equilibrio de hinchamiento para hidrogeles mediante
el modelo propuesto no resulta demasiado compleja, pero es un proceso que consta de varias
etapas que lo hacen dispendioso cuando se pretende estimar la condición de equilibrio para las
múltiples composiciones de hidrogeles, que se generan al variar el contenido de entrecruzante o
la proporción de comonómeros; para facilitar la determinación de estos puntos no solo en la
presente investigación, sino en trabajos futuros se optó por realizar un programa denominado
ModHigel desarrollado en Visual Basic 5 Edición Empresarial y cuyo manual se presenta en el
Anexo G, junto con el programa se estructuro una pequeña base de datos que incluye
parámetros de interacción homopolímero – solvente, densidades, peso molecular y funcionalidad
de los entrecruzante. El programa incluye todas las ecuaciones y parámetros descritos en los
numerales anteriores, y mediante un algoritmo simple de Newton – Raphson determina las
47
fracciones volumétricas que satisfacen la condición de equilibrio, para posteriormente obtener la
capacidad de hinchamiento en el equilibrio mediante la siguiente expresión :
2212
12
)1()1(
ρφρφρφ
+−−
=W ( 4.16 )
Puntual
Inicio
ConsultaBase de datos
Número de entrecruzantes
Temperatura
Monómeros y porcentajes
Entrecruzanteα y β
Estimación de Hinchamiento a equilibrio
Última composición
Último entrecruzante
Reportar resultados
Fin
SINO
SINO
NO SI
Figura 3.7. Esquema general del programa para determinar capacidad de hinchamiento en el
equilibrio.
48
La secuencia general seguida por el programa para determinar la capacidad de hinchamiento a
equilibrio isotérmico, se presenta en la Figuras 4.7; se debe indicar que solo es posible realizar la
estimación de la condición de equilibrio para las combinaciones de monómeros y entrecruzante
que se logren con los componentes incluidos en la base de datos, pero debido a que la misma
puede ser actualizada y modificada directamente desde la aplicación esta limitación se logra
superar. Con el programa se generaron las curvas presentadas en las Figuras 4.8 y 4.9.
El aumento en el porcentaje de entrecruzante afecta el contenido de agua disminuyéndolo por
dos causas primordialmente: una malla con mayor densidad de entrecruzamiento tiene menos
espacio disponible para ser ocupado por el agua, y al limitar la movilidad de las cadenas se
aumenta la fuerza elástica que se opone al hinchamiento. En la Figura 4.8 se observa como en los
hidrogeles con menor capacidad de hinchamiento (mayor fracción volumétrica de polímero en el
equilibrio) el efecto del porcentaje de entrecruzante es bajo esto es porque su deformación
consiste esencialmente en desenredar las moléculas en la matriz entrecruzada lo que produce
alargamientos leves con módulos de Young bajos. En los hidrogeles altamente hinchados se
tiene un alto alargamiento, con cadenas casi completamente desenredadas, lo que obliga a actuar
al sistema de resortes lineales que conforman el hidrogel para equilibrar el medio, de esta manera
la energía requerida es mayor lo que se manifiesta en un notable aumento del módulo de Young.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0% 2% 4% 6% 8% 10%EGDMA
Cap
acid
ad d
e hi
ncha
mie
nto HE
VPHVMVModelo
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0% 1% 2% 3%TTP
Cap
acid
ad d
e hi
ncha
mie
nto BV95
BV40Modelo
Figura 3.8. Capacidad de hinchamiento en el equilibrio con relación al porcentaje de
entrecruzante.
En la Figura 4.9 se aprecia la influencia que sobre la capacidad de hinchamiento tiene el
porcentaje de monómero hidrófobo. Para altos contenidos de monómero hidrofílico se tiene una
gran capacidad de hinchamiento, pero el contenido de agua en el equilibrio comienza a disminuir
49
en forma dramática cuando se alcanzan niveles de monómero hidrófobo de 25 a 30%, esta
tendencia se mantiene hasta que el contenido del componente hidrófobo supera el 80% a partir
del cual se mantiene una capacidad de hinchamiento baja pero relativamente constante.
Exceptuando los datos correspondientes a las series A, B, C, D y E con 20 y 30% de HMA, las
diferencias entre los valores teóricos y los experimentales se ubicaron entre -0.067 y 0.038, lo que
muestra una precisión tolerable para el modelo utilizado.
( a )
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0% 10% 20% 30% 40% 50%HMA
Cap
acid
ad d
e hi
ncha
mie
nto
Exp.Modelo
( b )
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0% 10% 20% 30% 40% 50%
HMA
Cap
acid
ad d
e hi
ncha
mie
nto
Exp.Modelo
( c )
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0% 10% 20% 30% 40% 50%
HMA
Cap
acid
ad d
e hi
ncha
mie
nto
Exp.Modelo
( d )
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0% 10% 20% 30% 40% 50%HMA
Cap
acid
ad d
e hi
ncha
mie
nto
Exp.Modelo
( e )
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0% 10% 20% 30% 40% 50%
HMA
Cap
acid
ad d
e hi
ncha
mie
nto
Exp.Modelo
( f )
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0% 20% 40% 60% 80% 100%VP
Cap
acid
ad d
e hi
ncha
mie
nto
VHVBModelo
Figura 3.9. Capacidad de hinchamiento en el equilibrio con relación a la proporción de
monómeros series: ( a ) A, ( b) B, ( c ) C, ( d ) D, ( e ) E, ( f ) VH y VB.
50
4.2.4. Modelo de equilibrio en soluciones
El hinchamiento a equilibrio en soluciones, incluye nuevos parámetros: el número de segmentos
del tamaño de una molécula de solvente que conforman una molécula de soluto r3, los
parámetros de interacción solvente – soluto χ13 y polímero – soluto χ23, que se introducen en la
sección 3.3 al considerar la generalización de la teoría de Flory – Huggins para sistemas
multicomponentes. El número de segmentos en el soluto es la relación entre los volúmenes
molares del soluto y el solvente, se obtiene mediante la siguiente expresión:
13
33 νρ
Mr = ( 4.17 )
donde M3 y ρ3, son el peso molecular y la densidad del soluto.
El equilibrio de hinchamiento en soluciones implica que tanto para el soluto como para el
solvente no existan gradientes de potencial químico entre la solución y el gel: 01 =∆µ y
03 =∆µ , por tanto la determinación de las condiciones de equilibrio en soluciones requiere que
las siguientes ecuaciones se cumplan en forma simultanea:
0)1)((11231)ln(
2
3/12
322313132123
32
21 =+−−++
−+
−+
rrrφφφχφφχφχφφφ ( 4.18a )
0)1)(()ln(
2
3/12
2112332231132
21
3
3 =+−−+++−−rrr
φφφχφφφχφχφφφ ( 4.18b )
01321 =−++ φφφ ( 4.18c )
Hasta el momento se ha diseñado un esquema que permite obtener los parámetros necesarios
para poder solucionar este sistema de ecuaciones, exceptuando los parámetros de interacción
solvente – soluto y polímero – soluto. Mediciones experimentales de las diferentes fracciones
volumétricas en el equilibrio son requeridas para poder estimar estos parámetros, mediante un
esquema análogo al utilizado en la determinación del parámetro polímero – solvente, es decir
despejándolos de las ecuaciones que definen el equilibrio, con las cuales se plantea el siguiente
sistema de ecuaciones:
223321331
123321313
)1()1()1(
BB
=−+−=+−χφφχφφ
χφφχφφ ( 4.19 )
51
donde los coeficientes se obtienen mediante las siguientes expresiones:
2
3/12
12123
32
211 )1(11231)ln(
rrrB
φφφχφφφ +−+
−+
−+=− ( 4.20a )
2
3/12
2112332
21
3
32 )1(
23)ln(
rrrB φφφχφφφφφ
+−−+−−=− ( 4.20b )
El procedimiento experimental para la determinación de las condiciones de equilibrio en
soluciones es completamente análogo al utilizado para el hinchamiento en el solvente puro: corte
y pulido de los cilindros para obtener espesores inferiores al milímetro, determinación del
diámetro, peso y densidad de los xerogeles; los discos se hincharon en una solución de urea 10%
en peso hasta que por mediciones gravimétricas se garantizo la condición de equilibrio (peso
constante); los resultados obtenidos permitieron determinar un valor casi constante de 2.4784
(coeficiente de variación 0.7%) para el parámetro de interacción agua – urea ( χ13 ). Finalmente se
establecieron las fracciones volumétricas que para los parámetros determinados satisfacen el
sistema de ecuaciones que describen el equilibrio de hinchamiento, generando con ellas las
curvas continuas que se comparan con las fracciones volumétricas experimentales en la Figura
4.10; para los polímeros con contenido de HMA superior al 40% la solución numérica presento
inestabilidad con resultados que no corresponden de ninguna manera al comportamiento físico, e
incluso en algunos puntos la convergencia del método no fue posible.
( a )
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0% 2% 4% 6% 8% 10%
EGDMA
Frac
ción
vol
umét
rica
HE
( b )
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0% 10% 20% 30% 40% 50%
HMA
Frac
ción
vol
umét
rica A
BCDE
Figura 3.10. Comportamiento de la fracción volumétrica del polímero en el equilibrio en una
solución 10% de urea para la variación de: ( a ) porcentaje de entrecruzante y ( b ) porcentaje
de monómero hidrófobo.
52
Cuando se comparan los resultados obtenidos con el modelo tanto para la solución como para el
solvente puro (Figura 4.11), se aprecia como la presencia del soluto (Urea) reduce en forma
sustancial la fracción volumétrica del polímero en el equilibrio, es decir que el xerogel presenta
una mayor capacidad de solvatación en las soluciones que en el solvente puro, este mayor grado
de hinchamiento viene a su vez acompañado de una mayor fragilidad y menor opacidad de los
hidrogeles. Dado que el parámetro de interacción agua – urea se mantiene constante, se puede
indicar que el mayor grado de solvatación en la solución se debe a el establecimiento una relación
favorable entre el polímero y la urea.
( a )
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0% 2% 4% 6% 8% 10%
EGDMA
Frac
ción
vol
umét
rica
Solvente
Solución
( b )
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0% 10% 20% 30% 40% 50%
HMA
Frac
ción
vol
umét
rica
Solvente
Solución
Figura 3.11. Efecto que sobre la fracción volumétrica del polímero en el equilibrio tanto en
una solución 10% de urea y como en el solvente puro, tiene la variación de: ( a ) porcentaje de
entrecruzante y ( b ) porcentaje de monómero hidrófobo.
Con la información disponible no es viable plantear un mecanismo que permita generalizar el
efecto que un soluto específico ejerce sobre la capacidad de hinchamiento de un hidrogel, pero es
posible afirmar que la presencia del mismo hace factible que interacciones tanto favorables como
desfavorables se produzcan en un proceso de solvatación. Esta evidencia experimental indica de
manera clara la naturaleza no inerte que cualquier componente adicional despliega en el proceso
de hinchamiento de matrices poliméricas.
5. DIFUSIÓN EN HIDROGELES
En este capítulo se desarrollan las ideas fundamentales para implementar un modelo que describa
de manera apropiada el comportamiento de un sistema constituido por tres especies: ( 1 ) un
solvente (agua), ( 2 ) una matriz polimérica y ( 3 ) un soluto; considerando en forma simultánea la
cinética de transporte del solvente interior y la migración del soluto. Frecuentemente los
procesos difusivos de transporte másico dentro de una matriz polimérica hinchada exhiben
comportamientos lejanos a la ley de Fick denominados conductas “anómalas”; 50, 51 para hacer
posible el análisis de estas conductas se utiliza el llamado número difusivo de Deborah, 52 De;
parámetro que depende de la difusividad y de la reestructuración morfológica de la matriz.
Adicionalmente se describen algunos elementos básicos para analizar la expansión volumétrica
asociada al desplazamiento de las fronteras de la matriz polimérica durante el proceso de
hinchamiento, con los cuales es posible evitar que este fenómeno se trabaje como un problema
de volumen constante.
5.1. HINCHAMIENTO DE LA MATRIZ POLIMÉRICA
5.1.1. Ley de Fick
La forma clásica para describir los procesos difusivos de transporte másico es utilizando la ley de
Fick; que en su forma más general considera al potencial químico como función de la
concentración del componente que se difunde, lo que matemáticamente se puede expresar como:
∂∂
=∂∂ C
CtC graddiv µ ( 5.1 )
donde el factor C∂∂µ , usualmente se denota como coeficiente de difusión o difusividad, D. Si
se asume constante el coeficiente de difusión durante la totalidad del proceso se obtiene la
denominada ecuación ordinaria de difusión:
CDtC 2∇=
∂∂ ( 5.2 )
54
Considerando la difusión unidimensional de un disco polimérico de espesor inicial 2δ0, en un
solvente puro ( 1 ), cuyo grado de hinchamiento en el equilibrio infinito es W∞; sujeto a las
siguientes condiciones de frontera e inicial:
01
001
;0para;0para0
δδδ
±=≥=<<−<=
∞ xtWCxtC
( 5.3 )
se puede llegar a tener la siguiente solución de la ecuación 4.2: 49, 50
( )
+−
+=
− ∑∞
=∞
∞ tDi
iWWW
i1
2
0022 2
)12(exp
1218
δπ
π ( 5.4 )
para tiempos prolongados, es posible despreciar todos los términos de orden mayor a 0 (i ≥ 1),
con lo que la expresión se puede escribir como:
tD
WWW
20
12
4ln
δπ
≈
−∞
∞ ( 5.5 )
Un resultado similar se puede obtener, cuando consideramos la forma más simple de expresar la
dinámica de hinchamiento de un gel, es decir mediante un modelo cinético de primer orden,
referido a la capacidad de hinchamiento disponible ( )WW −∞ :
( )WWkdt
dW−= ∞ ( 5.6 )
donde k es la constante de proporcionalidad entre la velocidad y la capacidad de hinchamiento.
A partir de la ecuación 5.6 fácilmente se llega a:
tkWW
W=
−∞
∞ln ( 5.7 )
que comparada con la ecuación 5.5, permite obtener:
20
12
4δπ D
k = ( 5.8 )
Estas ecuaciones son una buena representación de muchos fenómenos de transporte comunes, y
parecen satisfacer correctamente las fases iniciales y medias del hinchamiento. Sin embargo,
cuando el proceso se prolonga durante largo tiempo se observan desviaciones significativas, esto
55
debido a que el coeficiente de difusión no permanece invariable y el transporte de masa en un
medio sólido está limitado por tiempos característicos de reestructuraciones moleculares o de
tensión y cambios morfológicos. 50, 55, 56, 57
5.1.2. Modelo cinético de restricción
Los procesos de hinchamiento y encogimiento de geles entrecruzados químicamente se pueden
considerar como una competencia entre la presión osmótica contra las fuerzas de restricción, de
esta forma la energía libre total esta constituida por las energías de expansión y compresión; en el
gel hinchado, estas energías puede ser caracterizadas por los módulos de expansión osmótica K y
compresión G. De aquí la importancia de considerar las propiedades mecánicas de los geles, que
exhiben características tanto de sólidos como de sistemas líquido – gas; la compresibilidad de un
gel reticular es similar a un sistema líquido – gas, con valores bajos del modulo de expansión en
la fase diluida y grandes en la fase densa, pero tanto para líquidos como para gases el modulo de
compresión es cero, lo cual no ocurre con los geles que en forma similar a los sólidos tienen un
valor finito aunque de magnitud muy inferior.
Los módulos de expansión osmótica y compresión se relacionan con las segundas derivadas de la
energía libre del gel con respecto al volumen y la longitud, respectivamente. El modulo de
compresión es el responsable del mantenimiento de la forma del sistema al minimizar la
deformación promedio; de acuerdo con la teoría de Flory esta dado por: 3/1
2φε TRG E= ( 5.9 )
donde εE es el número efectivo de cadenas elásticas por unidad de volumen de polímero. El
modulo de compresión se puede considerar como el módulo osmótico transversal de
fluctuaciones de la red; el modulo osmótico longitudinal ( M ) puede ser definido por la
combinación de los módulos de compresión y expansión osmótica como: 58
KGM += 34 ( 5.10 )
Como se indico anteriormente en el equilibrio, la presión osmótica externa se balancea por la
presión osmótica dentro del gel, cuando un factor externo (temperatura, solvente, etc.) presenta
algún cambio ( 0=t ), el estado de equilibrio es redefinido; pero en ocasiones el nuevo punto de
equilibrio puede no ser alcanzado ∞→τt , donde τ es el tiempo de relajación. De aquí que se
56
definan los procesos de hinchamiento y encogimiento usualmente como fenómenos de
relajación tanto volumétrica como de esfuerzos internos.
La teoría cinética de estos procesos se desarrollo inicialmente para hidrogeles esféricos por
Tanaka y Fillmore 58 considerando que el módulo de compresión era omitible frente al módulo
de expansión osmótica. Posteriormente Peters y Candau 58 observaron como la velocidad del
proceso depende del esfuerzo elástico (K, G) de la red y del coeficiente de fricción entre la red y
el solvente; lo que lleva a considerar la cinética de hinchamiento como un proceso difusional con
un módulo de compresión no despreciable dependiente de la forma de la muestra; de esta forma
derivaron un modelo para la cinética en geles cilíndricos y esféricos, en donde estos efectos se
combinan mediante el coeficiente de difusión colectivo CD ,1 . La teoría presentada por Tanaka y
Fillmore describe la cinética de hinchamiento por la llamada ecuación colectiva de difusión: 58
σ22 ∇+∇=∂∂ ECD
tC ( 5.11 )
Los desarrollos más recientes consideran como un factor significativo la geometría del gel,59
permitiendo acoplar cualquier cambio en diferentes direcciones por medio del módulo de
compresión, dejando por tanto el hinchamiento de ser un proceso puramente difusivo. Esto se
puede demostrar intuitivamente comparando la difusión de moléculas, digamos tinta, en agua y el
hinchamiento de un gel.
Figura 4.1. Descripción esquemática de: ( a ) un proceso de difusión de moléculas de tinta en
agua y ( b ) un proceso de hinchamiento de un gel.
En la Figura 5.1.a se muestra como una gran línea de tinta colocada en el agua en un tiempo
cero, sigue un proceso puramente difusivo haciendo que la línea se engruese y ensanche, con un
cambio en la longitud despreciable con relación al cambio de espesor. En el caso del gel sin
57
embargo, los experimentos muestran que los cambios relativos en ambas direcciones son
semejantes, Figura 5.1.b Esto indica que la teoría Tanaka – Fillmore es insuficiente para describir
el proceso de hinchamiento.
En general la energía total del gel puede separarse en energía de expansión y energía de
compresión. La energía de expansión del sistema se relaciona con el proceso de difusión donde
se presenta movimiento relativo entre la red y el agua, que ocasiona un aumento del volumen
con un cambio apreciable de la dimensión en la dirección de flujo, generando un mayor esfuerzo
en esta dirección, lo que ocurre de acuerdo con la ecuación ordinaria de difusión. Al presentarse
cualquier pequeño cambio en la forma, se produce una redistribución de esfuerzos o relajación
manteniendo el volumen constante para cada elemento volumétrico del gel, sin cambio en la
energía total de compresión; dado que no hay movimiento relativo entre la matriz y el solvente,
este proceso es instantáneo. Debido a lo anterior el hinchamiento infinitesimal de una matriz
polimérica se puede considerar como la combinación secuencial estos dos procesos, lo que
esquemáticamente se representan en la Figura 5.2.
Figura 4.2. Esquema de hinchamiento infinitesimal para una matriz polimérica.
Si bien se tienen cambios isotrópicos en las fronteras del gel para cilindros, esferas y discos; 60 al
acoplar estos procesos de difusión y de relajación, se debe tener en cuenta que un modelo
exclusivamente difusivo es inapropiado, salvo que se considere una geometría esférica donde la
forma se mantiene automáticamente por el proceso de difusión. Esto implica introducir un
parámetro para relacionar la distribución de esfuerzos durante la difusión, ξ, haciendo de esta
forma el coeficiente efectivo de difusión dependiente de la forma geométrica del gel: 60
CDD ,11 11
ξ+= ( 5.12 )
58
El factor )1(1 ξ+ establece directamente cuantas de las tres dimensiones presentan un cambio
de tamaño asociado al proceso difusivo, por esto se denomina factor de reducción; en las
restantes dimensiones el cambio de tamaño se asocia con el proceso de relajación. Los factores
de reducción para geometrías simples son: esferas 33 (el proceso difusivo ocurre en las tres
dimensiones, no hay proceso de relajación), cilindros 32 (el proceso difusivo ocurre en las
direcciones radial y axial) y discos 31 (difusión unidimensional en la dirección axial). Con lo cual
el coeficiente efectivo de difusión para geles esféricos es CD ,133 , cilíndricos es CD ,13
2 y en
discos es CD ,131 . Estos resultados solo son absolutamente válidos en los puntos de frontera del
gel, en general el coeficiente efectivo de difusión depende tanto de la posición como del tiempo.
La solución analítica para la cinética de hinchamiento y encogimiento de una red polimérica,
cuando se considera la existencia de los procesos de difusión y relajación infinitesimal
simultáneos, la presentan Li y Tanaka con la siguiente relación: 59
∑ −
∞
−=i
tki
ieBWW 1 ( 5.13 )
donde iB es una constante relacionada con la razón del modulo de compresión y el modulo
osmótico longitudinal; ik son constantes relacionadas con la velocidad de hinchamiento. Para
tiempos prolongados o cuando 1k es mucho menor que el resto de ik , todos los términos de
mayor orden (i ≥ 2) , se pueden considerar despreciables, reduciendo la ecuación a:
tkeBWW
111 −
∞
−= ( 5.14 )
donde B1 esta dado por la siguiente relación: 59
MGS
SSSB =
−−−−
= con)43)(14(
)43(221 ϕ
( 5.15 )
los valores propios de ϕ son determinados por las condiciones de frontera lo cual equivale a:
+=
)()(
141
1
0
ϕϕϕ
JJS ( 5.16 )
donde )(0 ϕJ y )(1 ϕJ son las funciones de Bessel de primer tipo, orden cero y uno para ϕ
respectivamente.
59
En la ecuación 5.14, 1k se relaciona con el coeficiente de difusión de contribución colectiva de
un disco de gel en su superficie de acuerdo con la siguiente relación: 61
20
2,1
1 3δϕCD
k = ( 5.17 )
5.1.3. Difusión con relajación polimérica
Debido a la complejidad de los fenómenos difusivos que ocurren dentro de un hidrogel existen
modelos muy diversos para su descripción. Varelas et al. 62 desarrollan un modelo teórico para la
transferencia de masa en redes poliméricas, donde el soluto a liberar se encuentra ubicado en
microdominios dentro del hidrogel. Tanya et al. 63 estudian la difusión en hidrogeles basados en la
teoría que describe el fenómeno mediante el volumen libre, propuesta con anterioridad por otros
autores. Chan et al. 64 incorporan la tensión asociada con el hinchamiento al modelo de difusión
unidimensional mediante ecuaciones desarrolladas a partir de los modelos de Maxwell y Jeffreys.
Cuando un solvente compatible ingresa en el xerogel, se produce la reducción en la temperatura
de transición vítrea, que si llega a ser inferior a la temperatura experimental permite alcanzar un
estado de alta elasticidad (gomoso). El descenso de la temperatura de transición vítrea ocasiona
un incremento en la movilidad de la cadena, que se desenrolla y extiende generando un volumen
libre adicional para el transporte. La reestructuración de la matriz inducida por el penetrante es
un fenómeno de relajación dinámico que afecta la velocidad de penetración del solvente, a la que
se puede asociar un frente agudo que separa las fases cristalinas y gomosa durante la etapa inicial
del proceso, conocido como interfase de hinchamiento.56 El estado gomoso esta acompañado
por una considerable expansión volumétrica, por lo que resulta común incluir un frente adicional
para separar el estado elástico del solvente puro (interfase polimérica).
Cuando las velocidades de difusión del solvente y de relajación polimérica son comparables, se
presentan las conductas anómalas, en tales casos, los diversos tipos de aproximación para la
formulación final del problema pueden ser generalizados dentro de tres categorías:
1. Difusión con modelo convencional incorporando un termino convectivo en la ecuación de
difusión o en las condiciones de frontera, esta aproximación es puramente fenomenológica y
esta representada en los trabajos de Wang et al. 65 y Peterlin 66.
60
2. Modelo de tensión de hinchamiento diferencial; donde la velocidad de hinchamiento se
relaciona con la tensión de hinchamiento que se ejerce por la penetración del solvente en la
matriz cristalina, los modelos de Thomas y Windle, 67 y Gostoli y Sarti 68 son buenos ejemplos
de esta aproximación.
3. Modelo de relajación molecular, donde la relativamente lenta penetración induce un proceso
de relajación molecular del polímero que se cuantifica usando como variable la concentración
superficial y un coeficiente de difusión dependiente del tiempo; trabajos representativos de
esta categoría involucran a Crank, 69 Long y Richman, 70 y Petropoulos y Roussis. 71, 72 Los
modelos de este tipo son los únicos que permiten interpretar los procesos de dos etapas.
Un solo modelo es insuficiente para describir satisfactoriamente todas las observaciones
experimentales, requiriendo contribuciones adicionales para dilucidar el mecanismo involucrado.
Al considerar un modelo de relajación molecular, el primer paso es utilizar difusividades
diferentes para las conductas inicial y final, asociadas a un tiempo característico de relajación, de
esta forma se pueden reproducir cualitativamente algunos aspectos particulares de difusión
anómala. 73 Si no se permite relajar la concentración en la interfase de un valor inicial a un valor
de equilibrio final, únicamente será posible reproducir perfiles planos de hinchamiento.
Considerando que tanto el tiempo de relajación como la difusividad, son dependientes de la
concentración, es razonable que algunas zonas de la matriz polimérica se encuentren relajadas
aunque no se halla alcanzado una concentración apreciable del penetrante, lo que permite al
modelo exhibir peculiaridades hiperbólicas, es decir ondas móviles en los perfiles de
concentración y oscilaciones del contenido de masa alrededor de un valor de equilibrio final
Si se utiliza un modelo que considera un sistema de ecuaciones diferenciales hiperbólicas con
tiempo de relajación y difusividad dependientes de la concentración de solvente (Camera–Roda y
Sarti 55) se obtienen serias inconsistencias físicas. De hecho, aunque los tiempos de relajación
aumentan cuando la concentración del penetrante decrece, hay tiempos de relajación para los
cuales el flujo másico no decrece significativamente cuando el gradiente de concentración
desaparece. Por consiguiente, durante la lixiviación el modelo hiperbólico podría dar lugar
incluso a flujos exteriores altos cuando el volumen de penetrante es pequeño y llevar la
concentración finalmente a valores negativos. Además, el modelo hiperbólico desecha la
evidencia experimental de un precursor Fickiano del frente de onda de concentración.
61
Soluciones simplificadas para el transporte de penetrante con volumen constante o con
coeficiente de difusión constante están disponibles en los trabajos de Wang 65 y Peterlin 66. Para la
penetración del solvente, un método conveniente de análisis sé relaciona en término del número
difusivo de Deborah, De, cuyo valor es función de la temperatura y la concentración del
penetrante, y se define con la siguiente ecuación:
20
,1
δτ ∞=D
De ( 5.18 )
donde τ es el tiempo de relajación medio del sistema polímero – solvente y ∞,1D coeficiente de
difusión del solvente en el polímero hinchado. Para De << 1 o De >>1, el mecanismo de
difusión es Fickiano. Para De >>1 la transición al estado gomoso limita la velocidad y la
penetración ocurre principalmente a través del cristal, estado deshinchado. Análogamente, para
De << 1, la difusión del penetrante limita la velocidad y la penetración ocurre principalmente a
través del polímero gomoso, hinchado. Para De ≈ 1, el mecanismo de transporte de solvente es
difusión anómala donde la relajación macromolecular durante el proceso de hinchamiento se
encuentra íntimamente acoplada con la penetración de solvente. Una difusión anómala extrema
es el denominado caso de transporte II, que es completamente gobernado por la velocidad de
relajación del polímero, exhibiendo una dependencia lineal con el tiempo en la posición del
frente de hinchamiento.
5.1.4. Expansión volumétrica durante el hinchamiento
La descripción matemática de los problemas de transferencia de masa que involucran
movimiento de frentes son conocidos como problemas de fronteras móviles o problemas de
Stefan.74, 75 Los procesos de relajación y difusión asociados con el hinchamiento dinámico de un
hidrogel se reflejan en cambios dimensiónales; el ingreso de solvente en la matriz polimérica
produce una expansión volumétrica Q∆ , donde el principal eje es paralelo a la dirección de
transporte y normal a las fronteras interfaciales, para geometrías cilíndricas es posible realizar la
descripción del hinchamiento considerado la variación del espesor y el diámetro:
0
2
002
1δδ
φ
===∆
dd
VVQ ( 5.19 )
62
donde d0 y δ0 son respectivamente el diámetro y la mitad del espesor del xerogel. Esta expresión
permite relacionar los volúmenes del hidrogel y el xerogel mediante la fracción volumétrica; pero
la estimación de los diámetros y espesores requiere la inclusión de un factor de dimensional η:
ηφδ
δ 12
0= ( 5.20 )
De acuerdo con observaciones experimentales, los cambios volumétricos son no isotrópicos,
esto implica que la dimensionalidad del hinchamiento η, cambia durante la absorción del
solvente. A pesar del gran grado de suavidad asociado con la transición de fase cristal – elástica,
la presencia de un corazón cristalino restringe inicialmente el hinchamiento a un conducta
unidimensional, 1=η , incrementándose más rápidamente el espesor del disco que el área
durante la absorción. Después de un tiempo, la simétrica interfase de hinchamiento se encuentra
en el centro del plano y el corazón cristalino desaparece, con lo que el proceso prosigue en forma
isotrópica, 3=η , en algunos casos se presenta una etapa previa donde el espesor decrece con un
incremento de área; η es innecesario en geometrías esféricas en donde no hay anisotropía. Es
posible evaluar el factor dimensional para el proceso difusivo con expresiones como:
S,2
2
11
con3φφ
η−−
=Η= Η ( 5.21 )
donde S,2φ es la fracción volumétrica correspondiente al grado de hinchamiento en la superficie
de la matriz polimérica.
La movilidad macromolecular no se presenta en la fase cristalina, pero el ingreso gradual de
solvente dentro de la matriz separa las cadenas macromoleculares permitiendo que en
determinadas regiones la matriz se extienda lo suficiente para tener movilidad y alcanzar la
transición cristal – elástica, con E2φ como fracción volumétrica local, los puntos donde se ha
logrado alcanzar esta condición corresponden a los limites de la interfase de hinchamiento. La
diferencia entre la longitud necesaria para la flexibilización de la matriz y la longitud original se
denomina elongación crítica y se define por:
( )
−= 11
3/12
0 ECφ
δδ ( 5.22 )
63
La interfase de hinchamiento se puede definir por la posición donde la elongación local es igual a
la elongación critica; debido a la variación en la dimensionalidad de la difusión, la elongación
local se debe definir de la siguiente manera:
( )
−= 11
/12
0 ηφδδ
LL ( 5.23 )
donde L2φ es la fracción volumétrica local obtenida desde el perfil de concentración de solvente.
5.2. MECANISMO DE DIFUSIÓN DEL SOLUTO
La presencia de un componente adicional, denominado soluto altera tanto la presión osmótica de
hinchamiento como el tiempo de relajación asociado a la red durante la simultánea absorción de
agua y liberación del soluto. Pocos intentos de modelo para sistemas liberación controlada en
matrices hinchables han sido realizados. Rudolph 76, 77 obtiene una solución general para
liberación difusional de solutos desde matrices poliméricas que involucra movimientos de
fronteras. Lee 78, 79 analiza la liberación de drogas desde matrices poliméricas incluyendo el
movimiento de las fronteras generados tanto por el hinchamiento como por la erosión del
polímero, presentando soluciones analíticas aproximadas para varias geometrías. Peppas et al. 76
desarrollan un modelo de estado seudo estable para la difusión de drogas desde polímeros con
expansión volumétrica. Korsmeyer y Peppas 70 desarrollan un modelo matemático basado en el
coeficiente de difusión del medicamento como función de la concentración del solvente
absorbido en una forma consistente con la teoría del volumen libre. Todos estos estudios
asumen la misma relación constitutiva para los flujos de solvente y soluto; la combinación del
coeficiente de difusión y el gradiente de concentración del componente produce la descripción
de su transporte.
La descarga de un soluto contenido dentro de un hidrogel en contacto con un ambiente acuoso
en el que el mismo agente está ausente o presente en una concentración más baja se considera
gobernada por su proceso de difusión y por las condiciones inicial y el límite del sistema; la
liberación puede estar fuertemente influenciada por la difusión del agua dentro de la matriz. En
la liberación de solutos desde hidrogeles inicialmente deshidratados, la primera etapa del proceso
se asocia al ingreso de agua en la matriz cristalina que contiene el soluto disperso, el polímero se
64
hincha poco reduciendo la temperatura de transición vítrea; al mismo tiempo el soluto se difunde
a través de la región hinchada para ser liberado hacia el medio externo. Al igual que en el
hinchamiento, el transporte del soluto generalmente no sigue un mecanismo de difusión
Fickiano.
Al examinar las condiciones que determinan el mecanismo difusional de liberación del soluto
desde matrices poliméricas Korsmeyer y Peppas 74 plantearon la posibilidad de analizar y predecir
el mecanismo difusional de descarga de soluto a través de un número adimensional, el número
de hinchamiento interfacial, Sw , definido por:
∞
=,3D
vSw EEδ
( 5.24 )
donde Ev es la velocidad de penetración del frente de hinchamiento, ∞,3D es el coeficiente de
difusión del soluto en la fase hinchada, y Eδ es el espesor de la fase gomosa. Este número
compara las movilidades relativas del penetrante y el soluto en presencia de relajación
macromolecular en el polímero. Para Sw << 1, la velocidad de difusión del soluto a través de la
región hinchada es mucho mayor que la velocidad a la cual avanza la interfase de hinchamiento,
esperándose una cinética de liberación de orden cero, caso II. Cuando Sw >> 1, la interfase de
hinchamiento avanza más rápido que la difusión de soluto, observándose liberación Fickeana.
Para Sw ≈ 1, se puede anticipar liberación de soluto no Fickeana. La determinación experimental
del número de hinchamiento interfacial es muy limitada.
6. VERIFICACIÓN DEL MODELO DE DIFUSIÓN
A pesar de la complejidad del transporte de solvente en matrices poliméricas hinchables, debido
al acoplamiento de tensión, concentración, y campos potenciales químicos; es posible formular
un modelo razonable que considere simultáneamente los procesos de difusión y relajación que
ocurren durante el hinchamiento del polímero. Al modelo se incorpora el proceso de difusión de
un soluto para permitir la descripción de sistemas de liberación desde hidrogeles. En este
capitulo también se indicaran los procedimientos experimentales utilizados para la verificación y
obtención de los parámetros del modelo.
6.1. MODELO DE HINCHAMIENTO
Figura 5.1. Sistema coordenado para la difusión unidimensional de solvente.
Las suposiciones básicas consideradas en el modelo mediante el cual se describe el hinchamiento
de un hidrogel discoidal, en un solvente puro, Figura 6.1 son:
Los efectos inerciales entre el fluido y la matriz polimérica son despreciables.
El proceso de difusión de solvente esta limitado en la matriz, y los efectos de convección de
fluido de los alrededores son despreciables.
El proceso consta de dos subprocesos: difusión unidimensional en la dirección axial y
expansión elástica de la matriz (relajación) en las restantes direcciones.
El proceso es isotermo (temperatura constante T0) e isobárico (presión constante P0).
El polímero y el solvente son incompresibles.
66
6.1.1. Formulación matemática del modelo
Teniendo en cuenta las anteriores suposiciones, el modelo se trabaja considerando la difusión
unidimensional en la dirección axial:
∂∂
∂∂
=∂∂
xwD
xtw
1 ( 6.1 )
donde w es la concentración local de solvente en la matriz polimérica; bajo la suposición que
originalmente la matriz polimérica no contiene solvente (humedad atmosférica despreciable), la
condiciones inicial y de frontera del sistema respectivamente son:
00;0para0 δδ <<−<= xtw ( 6.2 )
δδ =−=≥= xxtWw S y;0para ( 6.3 )
donde SW es la cantidad de solvente en equilibrio sobre la superficie de la matriz polimérica.
Debido a la reestructuración de la matriz polimérica inducida por el solvente se presentan
cinéticas que no son planas, siendo necesaria la evolución de la concentración en la interfase
desde un valor inicial ( ΨW ) a un valor de equilibrio final ( ∞W ); en tal sentido se considera que
ΨW corresponde al grado de hinchamiento máximo del hidrogel, alcanzado a un tiempo Ψt .
Para incluir la incidencia del cambio en la fracción volumétrica y la dependencia temporal de la
deformación mecánica de la estructura polimérica se puede asumir que SW , 1D y el tiempo de
relajación τ cambian en forma exponencial de acuerdo con muchas expresiones empíricas,50, 56
congruentes en su mayoría con la teoría de volumen libre: 74
τΨ
Γ
∞
Ψ∞
−=Γ
=
ttWW
WWS con ( 6.4 )
∞
Ω
∞∞ −=Ω
=
WW
DD
DD 1con,1
0,1,11 ( 6.5 )
( )[ ]WWK −= ∞∞ expττ ( 6.6 )
donde 0,1D y ∞,1D son las difusividades asociadas a las conductas inicial y final, y ∞τ el tiempo de
relajación terminal.
67
6.1.2. Procedimiento experimental
Diferentes técnicas experimentales han sido empleadas para estudiar las cinéticas de
hinchamiento, encogimiento, y secado en geles dentro de las cuales se tienen: dispersión de
neutrones, dispersión de luz cuasiestática, experimentos macroscópicos, espectroscopia de
campo evanescente, técnicas de fluorescencia, y medidas interferométricas in–situ.61, 82 , 83 En el
presente trabajo el seguimiento de la cinética se llevó a cabo con la técnica gravimétrica, la cual
consiste en retirar el disco del medio de hinchamiento (agua destilada) removiendo el agua
superficial con un paño absorbente para registrar el tiempo y peso observado; el procedimiento
se efectuó en forma continua por un período de doce horas, y luego la toma de datos se realizó
cada 24 horas hasta alcanzar un peso relativamente constante. Los pesos registrados se
convierten en el grado de hinchamiento del hidrogel (W ), generando de esta forma la curva
cinética de absorción de solvente.
Considerando que el grado de hinchamiento se puede estimar desde la fracción volumétrica del
del polímero (Ecuación 4.16), es posible utilizar técnicas que midan directamente la variación
volumétrica del polímero para verificar las cinéticas de hinchamiento y obtener curvas de
variación dimensional. Uno de estos métodos consiste en digitalizar la imagen de los hidrogeles
en el medio de hinchamiento para determinar las áreas radiales proyectadas A, con las que se
establece la fracción volumétrica por:
ηηφ−
=Ξ
=
Ξ
1con
02 A
A ( 6.7 )
Con las áreas radiales proyectadas durante el hinchamiento de los hidrogeles de la serie HE se
realizó el seguimiento del proceso, obteniendo para cada instante el grado de hinchamiento bajo
la consideración de que los discos crecían de manera isotrópica, es decir al factor dimensional η
siempre le correspondía un valor de 3, pero al comparar estos resultados con los establecidos
mediante la técnica gravimétrica Figura 6.2, se percibe una notable diferencia en la fase inicial del
proceso.
68
0.00
0.04
0.08
0.12
0.16
0 100 200 300Tiempo (minutos)
Dife
renc
ia e
n el
gra
do d
ehi
ncha
mie
nto
HE05HE1HE3HE5HE10
Figura 5.2. Diferencias con respecto al tiempo, en el grado de hinchamiento entre la técnica
gravimétrica y la digitalización de áreas radiales cuando el proceso se considera isotrópico.
Con las diferencias máximas y el grado de hinchamiento a equilibrio del cada hidrogel, se
estableció en la Figura 6.3 una curva de tendencia de tipo parabólico (R2 0.9409), con la que se
resalta la gran magnitud del error obtenido al considerar el hinchamiento en su fase inicial como
un proceso isotrópico, especialmente para matrices con alta capacidad de hinchamiento.
0.00
0.04
0.08
0.12
0.16
0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
Capacidad de hinchamiento
Dife
renc
ia e
n el
gra
do d
ehi
ncha
mie
nto
Figura 5.3. Desviaciones observados en el grado de hinchamiento cuando el proceso se
considera isotrópico contra la capacidad de hinchamiento a equilibrio, serie HE.
En la Figura 6.4 los valores prácticos del factor dimensional, determinados mediante la
combinación de los datos gravimétricos con las áreas proyectadas, se comparan con los factores
dimensiónales obtenidos mediante la siguiente expresión:
0
0con21AA
AAAA
M −−
=+= ΑΑη ( 6.8 )
donde MA es el máxima área observada.
69
1.01.21.41.61.82.02.22.42.62.83.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Área adimensional
Fact
or d
imen
sion
al
HE05HE1HE3HE5HE10
Figura 5.4. Variación del factor dimensional para la serie HE contra el área adimensional AA.
La buena correlación ( 9932.02 =R ) de los datos experimentales con la Ecuación 6.8, permite
proponer el uso de esta expresión para obtener el factor dimensional cuando el seguimiento
cinético se realice mediante la digitalización de áreas proyectadas. En la Figura 6.5 se presenta la
imagen digitalizada de la proyección de un hidrogel en el medio de hinchamiento, en ella se
aprecia el disco en un tono gris cuya intensidad esta directamente relacionada con su opacidad,
de manera que los discos más opacos ofrecerán un mejor contraste y serán más fácilmente
apreciables, para facilitar su visualización en adelante se presentaran las imágenes invertidas.
Figura 5.5. Imagen digitalizada durante el hinchamiento de un hidrogel
En general se observa un variación simétrica del área cuando la matriz polimérica posee un grado
de hinchamiento moderado o bajo, Figuras 6.5 y 6.6; pero cuando la capacidad de hinchamiento
es alta, debido a una distribución irregular de esfuerzos entre el corazón cristalino y los bordes
donde se ha alcanzado la transición elástica, se pueden advertir anormalidades, Figura 6.8.
Cuando las composiciones entre los monómeros hidrofóbico e hidrofílico son equivalentes, la
estructura lograda es heterogénea; y por ello rápidamente se produce una disminución de la
70
fotopermeabilidad del hidrogel, lo que en estas imágenes se refleja en tonos grises oscuros y
negros, Figura 6.7.
Figura 5.6. Imágenes digitalizadas durante el hinchamiento isotérmico del hidrogel HE1
Figura 5.7. Imágenes digitalizadas durante el hinchamiento isotérmico del hidrogel 3B1
71
Figura 5.8. Imágenes digitalizadas durante el hinchamiento isotérmico del hidrogel 1E1
6.1.3. Comprobación de los modelos cinéticos de hinchamiento
Usualmente el hinchamiento de una matriz polimérica se verifica mediante un modelo cinético,
en el presente trabajo se tuvieron en cuenta los modelos cinéticos de primer y segundo orden, y
el modelo de restricción de Li y Tanaka. Mediante la estimación lineal del ( )[ ]WWW −∞∞ln
contra el tiempo se obtienen las constantes necesarias para la aplicación de los modelos cinéticos
de primer orden y de restricción; en ambos casos la constante de proporcionalidad es la
pendiente obtenida, siendo la diferencia fundamental el intercepto, que para la cinética de primer
orden es cero y para el modelo de Li y Tanaka es la constante 1B de la Ecuación 4.14. Una vez se
establecen estas constantes fácilmente se generan las curvas cinéticas, que comparadas con los
resultados experimentales solo permitieron explicar el comportamiento global de la fase inicial de
hinchamiento con discrepancias apreciables para las fases intermedia y final.
Para algunos autores 11, 81 las desviaciones presentadas con los modelos cinéticos de primer orden
pueden ser corregidas mediante la utilización de cinéticas de segundo orden, que tomen en
cuenta tanto la capacidad de hinchamiento como la interacción del agua con los sitios de la
matriz polimérica que pueden ser hidratados e hinchados si se continua el proceso; de tal forma
72
que el hinchamiento excesivo puede producir disolución de la red polimérica, obteniendo la
solubilización de las cadenas entre los puntos de entrecruzamiento, pero desafortunadamente el
ajuste obtenido en este trabajo con cinéticas de segundo orden fue exiguo.
Estudiar directamente la tendencia de las constantes de proporcionalidad de los modelos
cinéticos es inconveniente, debido a que ellas están relacionadas implícitamente con el espesor
del disco; por tanto es más apropiado realizar el análisis de los coeficientes eficaces de difusión,
que se obtienen despejándolos de las cinética de primer orden (Ecuación 4.8) y cinética de
restricción (Ecuación 4.17); en ambos casos se requiere conocer la constante de proporcionalidad
cinética y el espesor del xerogel, pero en el modelo de restricción se sustituye el valor de 2π por 2ϕ que corresponde a la raíz de la expresión:
( ) 0214431
2 =
+−−−
BSSϕ ( 6.9 )
donde S se obtiene con la Ecuación 5.16.
En la Figura 6.9 se plantea la dependencia de las difusividades obtenidas con el porcentaje de
entrecruzante; cuando el entrecruzamiento es bajo se tiene gran sensibilidad de los coeficiente de
difusión, siendo mayor para el modelo de restricción de Li y Tanaka frente a la cinética de primer
orden. Para ambos modelos, cuando el nivel de entrecruzante supera el 5% se puede considerar
que la difusividad del solvente es constante, ello implica que aproximadamente con este
contenido de entrecruzante, se restringe la movilidad de las cadenas poliméricas limitando con
ello la movilidad de las moléculas de agua en el interior de la matriz.
( a )
5.E-04
6.E-04
7.E-04
8.E-04
9.E-04
0% 2% 4% 6% 8% 10%EGDMA
Difu
sivi
dad
(mm
2/m
in)
( b )
0.E+00
1.E-03
2.E-03
3.E-03
4.E-03
0% 2% 4% 6% 8% 10%EGDMA
Difu
sivi
dad
(mm
2/m
in)
Figura 5.9. Variación del coeficiente de difusión contra el porcentaje de entrecruzante (serie
HE), asociado al modelo cinético de: ( a ) primer orden y ( b ) Li y Tanaka.
73
En la Figura 6.10 se plantea la dependencia de las difusividades contra el porcentaje de
monómero hidrófobo. Las curvas obtenidas para la cinética de primer orden muestran una
disminución de los coeficientes de difusión cuando el porcentaje de monómero hidrófobo se
incrementa, comportamiento que se puede asociar con la reducción en el gradiente de potencial
químico debido a la menor la capacidad de hinchamiento de estos hidrogeles. Para el modelo de
restricción de Li y Tanaka, se presenta un valor máximo en la difusividad para los hidrogeles con
30% de HMA cuyo explicación con los argumentos disponibles resulta demasiado especulativa.
( a )
0.0E+00
5.0E-04
1.0E-03
1.5E-03
2.0E-03
0% 10% 20% 30% 40% 50%
HMA
Difu
sivi
dad
(mm
2/m
in)
Orden 1Li
( b )
0.0E+00
2.0E-03
4.0E-03
6.0E-03
0% 10% 20% 30% 40% 50%
HMA
Difu
sivi
dad
(mm
2/m
in)
Orden 1
Li
( c )
0.0E+00
1.0E-03
2.0E-03
3.0E-03
4.0E-03
0% 10% 20% 30% 40% 50%
HMA
Difu
sivi
dad
(mm
2/m
in)
Orden 1Li
( d )
0.0E+00
5.0E-04
1.0E-03
1.5E-03
0% 10% 20% 30% 40% 50%HMA
Difu
sivi
dad
(mm
2/m
in)
Orden 1
Li
( e )
0.0E+00
1.0E-03
2.0E-03
3.0E-03
0% 10% 20% 30% 40% 50%
HMA
Difu
sivi
dad
(mm
2/m
in) Orden 1
Li
Figura 5.10. Variación del coeficiente de difusión (mm2/min) contra el porcentaje de
monómero hidrófobo, series: ( a ) A, ( b) B, ( c ) C, ( d ) D y ( e ) E.
74
6.1.4. Solución numérica del modelo
Debido a la no linealidad tanto de los coeficientes de difusión como de la concentración en la
interfase, no es viable la solución analítica del modelo planteado; por ello se propone la solución
numérica de la ecuación diferencial mediante el método de diferencias finitas incondicionalmente
estable de Crank – Nicholson. 84, 85, 86 Como cualquier método de diferencias finitas se establece
una malla cuyos nodos son ( ji tx , ); donde tjt j ∆= con j = 0, 1, ... y los puntos iniciales
( 0=t ) que corresponden al xerogel se obtienen en la dirección axial ( 00 δδ <<− x )
fraccionando el espesor en M intervalos ( Mx 00 2δ=∆ ): 00 xix i ∆+−= δ para i = 0, 1, ... M.
Con las condiciones de frontera e inicial (Ecuaciones 6.2 y 6.3) y la evolución de la concentración
de la interfase Ecuación 6.4 se establecen las concentraciones locales del solvente 0,iw , las cuales
se promedian en cada punto axial: ( ) 21++= iii www ; sustituyendo estos promedios en las
Ecuaciones 6.5 y 4.12 se obtiene la difusividad iD ,1 y la fracción volumétrica i,2φ locales. Con la
Ecuación 5.21 se determina el factor dimensional iη , utilizado para corregir los espaciamientos
axiales: iiji xx ηφ /1
,20, ∆=∆ , cuya suma ( ( ) 2,∑∆= jij xδ ) corresponde al espesor del
hidrogel; considerando jx δ−=0 se definen los nuevos puntos axiales: jiii xxx ,11 −− ∆+= que
pueden ser normalizados con j
iji
xδ
ζ =, .
Combinando este esquema con el método de Crank–Nicholson se genera una matriz tridiagonal,
que al ser resuelta permite obtener las nuevas concentraciones locales del solvente jiw , ; la
solución de la matriz tridiagonal en el presente trabajo se llevo a cabo por el algoritmo de
reducción de Crout. Adicionalmente se permite que la concentración en la interfase polímero –
solvente fluctue durante periodos asociados a tiempos de relajación variables definidos por
( ) ∞−+= ττ ini 1 y ( ) ∞
−+= ∑ ττ
n
T in0
1 con i = 0, 1, ... n, y un valor de 4 para n.
Desde los perfiles de difusión resultantes, por simple integración se obtiene el grado de
hinchamiento jW , que sustituido en la Ecuación 3.12 permite determinar la fracción volumétrica
75
j,2φ ; conocidos el espesor y la fracción volumétrica, es posible estimar el nuevo volumen del
hidrogel y su correspondiente diámetro. Si se conoce la fracción volumétrica necesaria para
alcanzar la transición cristal – elástica, por comparación con las fracciones locales se puede
establecer el espesor de la fase elástica
Con los ensayos realizados para los diferentes hidrogeles disponibles se establecieron los valores
de las dos constantes de malla: 1 minuto para el tamaño de paso, t∆ , y 50 intervalos de
fraccionamiento, M, para el espesor. Normalmente con estos valores se lograron aproximaciones
numéricas dentro de límites aceptables; permitiendo garantizar estabilidad y errores del
discretización pequeños.
6.1.5. Estimación de los parámetros del modelo
El modelo permite describir el proceso de hinchamiento de un xerogel discoidal con
dimensiones geométricas y densidad conocidas, que evoluciona desde un comportamiento inicial
Fickiano hasta una conducta final de similar naturaleza, durante un periodo determinado por el
tiempo de relajación terminal de la matriz polimérica ( ∞τ ). A la primera fase se pueden asociar
parámetros como: difusividad ( 0,1D ), grado de hinchamiento inicial máximo ( ΨW ) y el tiempo
para alcanzarlo ( Ψt ); la etapa final se relaciona con la capacidad de hinchamiento ( ∞W ) y la
difusividad ( ∞,1D ) a equilibrio. El grado de hinchamiento inicial máximo y el tiempo necesario
para lograrlo, así como la capacidad de hinchamiento a equilibrio, se pueden apreciar
directamente de los datos experimentales; pero los parámetros restantes requieren un proceso
más elaborado para ser determinados.
Los coeficientes de difusión para el solvente obtenidos durante la comprobación de los modelos
cinéticos no resultan apropiados para la verificación del modelo planteado; debido a que en ellos
no se tiene en cuenta la variación volumétrica durante el hinchamiento, ni la diferencia existente
entre los procesos de difusión y expansión elástica de la matriz; por esto se opto por realizar su
determinación mediante un ajuste iterativo con los datos recopilados durante la fase inicial del
hinchamiento, creando las curvas que se aprecian en el Anexo E, Figuras: E.1, E.2, E.3, E.4, E.5
y E.6. Estas difusividades se relacionan con el porcentaje de monómero hidrófobo y
76
entrecruzante en la Figura 6.11; donde es posible apreciar un decrecimiento de los mismos al
aumentar el contenido de monómero hidrófobo y entrecruzante.
( a )
0.0E+00
1.0E-03
2.0E-03
3.0E-03
0% 10% 20% 30% 40% 50%HMA
Difu
sivi
dad
(mm
2/m
in) Inicial
Equilibrio
( b )
0.E+00
2.E-03
4.E-03
6.E-03
8.E-03
1.E-02
0% 10% 20% 30% 40% 50%
HMA
Difu
sivi
dad
(mm
2/m
in) Inicial
Equilibrio
( c )
0.0E+00
5.0E-04
1.0E-03
1.5E-03
2.0E-03
0% 10% 20% 30% 40% 50%
HMA
Difu
sivi
dad
(mm
2/m
in)
InicialEquilibrio
( d )
0.E+00
1.E-03
2.E-03
3.E-03
0% 10% 20% 30% 40% 50%
HMA
Difu
sivi
dad
(mm
2/m
in) Inicial
Equilibrio
( e )
0.E+00
1.E-03
2.E-03
3.E-03
0% 10% 20% 30% 40% 50%
HMA
Difu
sivi
dad
(mm
2/m
in)
Inicial
Equilibrio
( f )
5.0E-04
6.0E-04
7.0E-04
8.0E-04
9.0E-04
0% 2% 4% 6% 8% 10%EGDMA
Difu
sivi
dad
(mm
2/m
in)
Inicial
Equilibrio
Figura 5.11. Variación del coeficiente de difusión (mm2/min) contra el porcentaje de
monómero hidrófobo, series: ( a ) A, ( b) B, ( c ) C, ( d ) D, ( e ) E; y ( f ) el porcentaje de
entrecruzante serie HE.
Es posible valorar la incidencia de la relajación sobre el proceso de transporte mediante el
parámetro adimensional: 0,1,1 DDRd ∞= ; se tiene difusión Fickiana cuando Rd es igual a 1, lo
que implica difusividad constante con ausencia de términos asociados a la relajación, mientras
que para valores significativamente mayores de Rd usualmente la conducta exhibida es anómala,
77
en la figura es posible apreciar que tanto para altos contenidos de monómero hidrófobo como de
entrecruzante, los coeficientes de difusión durante todo el proceso permanecen relativamente
constante por lo que es previsible que para estas condiciones la naturaleza del proceso difusivo
sea Fickiana. Los tiempos de relajación terminal de la matriz polimérica ( ∞τ ) se fijaron para
reproducir las oscilaciones observadas con los datos experimentales durante las fases intermedia
y final del hinchamiento, generando las Figuras: E.7, E.8, E.9, E.10, E.11 y E.12 (Anexo E).
6.1.6. Resultado del modelo de hinchamiento
Debido a que la solución del modelo se realiza en forma numérica fue necesario sistematizar este
proceso mediante la elaboración de una rutina de cómputo incluida en el programa Modhigel,
cuya secuencia general se presenta en la Figura 6.12, que hace posible para gran variedad de
hidrogeles generar: cinéticas de hinchamiento que reproducen comportamientos tanto Fickianos
como anómalos, perfiles de concentración de solvente asociados con la capacidad de
hinchamiento, curvas que reproducen los cambios dimensiónales con respecto al tiempo.
Inicio
Definir entradas *
Reportar resultados **
Fin
*TemperaturaTiempoComposición del polímeroDatos geométricos del xerogel: Espesor, Diámetro
;Wψ, tψCapacidad de hinchamiento a equilibrioDifusividad inicial y a equilibrio para el solventeTiempo de relajación terminalCapacidad de hinchamiento para lograr elasticidad
Definir número de perfiles de concentración y sus
tiempos
Solución numérica del
modelo
**Curva cinéticaPerfiles de concentración de solventeVariación del espesorVariación del diámetroVariación en la fase elástica
Figura 5.12. Esquema general del programa para solucionar el modelo de difusión.
78
La integración de los perfiles de concentración de solvente generados por el modelo permite
estimar grados de hinchamiento que concuerdan con los determinados experimentalmente
durante el seguimiento cinético, en la Figura 6.13 se pueden observar algunos de los perfiles que
el programa produjo durante los primeros 800 minutos de hinchamiento con la información
correspondiente a un hidrogel de HEMA entrecruzado con 0.5% de EGDMA.
0.00
0.10
0.20
0.30
-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00
Espesor adimensional
Gra
do d
e hi
ncha
mie
n
0 min10 min
20 min
50 min
100 min
200 min800 min
Figura 5.13. Perfiles previstos durante el hinchamiento de un hidrogel HE05.
Para analizar de manera conveniente los diferentes tipos de conductas que se aprecian durante la
fase final de hinchamiento (Anexo E), se trabaja con los números difusivos de Deborah, que
agrupan los valores asignados al tiempo de relajación con el espesor del xerogel y la difusividad
del solvente en equilibrio (Ecuación 5.18). Los números de Deborah determinados para cada una
de las cinéticas de hinchamiento de los hidrogeles trabajados en el presente proyecto se
relacionan con el porcentaje de monómero hidrófobo y entrecruzante en la matriz polimérica en
la Figura 6.14.
La mayoría de curvas de hinchamiento exhiben comportamientos anómalos, donde claramente
es visible como la capacidad de retención de solvente supera durante gran parte del proceso el
valor de equilibrio final con oscilaciones de magnitud variable, estas conductas se pueden asociar
a números de Deborah cercanos a la unidad, y resultaron ser más usuales para hidrogeles con
grado de hinchamiento intermedio, correspondientes a contenidos de monómero hidrófobo
entre 20 y 40%. Los números de Deborah más pequeños corresponden a hidrogeles con alto
grado de entrecruzamiento o baja proporción de grupos hidrofílicos, que se pueden coligar a
79
transporte Fickiano con rápidos procesos de relajación. Los números de Deborah más grandes
se alcanzaron en los hidrogeles con alta proporción de grupos hidrofílicos, en donde la relajación
resulta lenta con respecto al proceso difusivo lo que permite al sistema aproximarse a la
condición de equilibrio, mediante una conducta Fickiana; se debe aclara que estos hidrogeles
exhiben alta fragilidad, que debido a la manipulación continua de las muestras se traduce en
considerables rupturas en los discos con posterior disolución de muchos de los fragmentos
producidos.
( a )
0.01.02.03.04.05.06.07.08.09.0
0% 10% 20% 30% 40% 50%
HMA
Núm
ero
de D
ebor
ah
( b )
0.0
4.0
8.0
12.0
16.0
0% 10% 20% 30% 40% 50%
HMA
Núm
ero
de D
ebor
ah
( c )
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0% 10% 20% 30% 40% 50%HMA
Núm
ero
de D
ebor
ah
( d )
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.5
0% 10% 20% 30% 40% 50%
HMA
Núm
ero
de D
ebor
ah
( e )
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
0% 10% 20% 30% 40% 50%HMA
Núm
ero
de D
ebor
ah
( f )
0.0
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
1.8
0% 2% 4% 6% 8% 10%EGDMA
Núm
ero
de D
ebor
ah
Figura 5.14. Número difusivo de Deborah contra el porcentaje de monómero hidrófobo,
series: ( a ) A, ( b) B, ( c ) C, ( d ) D, ( e ) E; y ( f ) el porcentaje de entrecruzante serie HE.
80
El modelo incluye elementos asociados a la expansión volumétrica de la matriz que hacen posible
para gran variedad de hidrogeles obtener curvas de sus cambios dimensiónales con respecto al
tiempo; en la Figura 6.15 mediante la utilización de las relaciones adimensionales: 0δδ y 0dd ,
se muestran las curvas generadas para describir la evolución del espesor y el diámetro, para las
diferentes matrices poliméricas que conforman la serie HE.
( a )
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
0 200 400 600 800 1000
Tiempo (minutos)
Esp
esor
/esp
esor
inic
HE05HE1HE3HE5HE10
( b )
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
0 200 400 600 800 1000
Tiempo (minutos)
Dia
met
ro/d
iam
etro
inic
ia
HE05HE1HE3HE5HE10
Figura 5.15. Cambio dimensiónales para los hidrogeles de la serie HE ( a ) espesor y ( b )
diámetro.
En la comparación directa entre el comportamiento del espesor y el diámetro para el hidrogel
HE05 (Figura 6.16), se aprecia el retraso del proceso de relajación en la etapa inicial asociado con
una mayor velocidad de incremento para el espesor y el posterior crecimiento isotrópico de la
matriz, este conducta se observó en totalidad de los hidrogeles trabajados.
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
0 150 300 450 600 750 900Tiempo (minutos)
Dim
ensi
ón/D
imen
sión
inic
i
DiámetroEspesor
Figura 5.16. Comparación en el cambio del espesor y el diámetro durante el hinchamiento de
un hidrogel HE05.
81
Anteriormente se definió la interfase de hinchamiento como la posición donde la elongación
local es igual a la elongación crítica, obtenida con la fracción volumétrica necesaria para alcanzar
la transición cristal – gomosa (Ecuación 5.22); por ello es posible establecer las regiones de la
matriz que se han extendido lo suficiente para tener movilidad y alcanzar la fase gomosa, a través
de la comparación de las elongaciones para cada fragmento en que se ha dividido el espesor,
sumando los fragmentos que cumplen esta condición para determinar el porcentaje de la fase
gomosa. En la Figura 6.17 se muestran los resultados obtenidos para los hidrogeles de la serie
HE, considerando la fracción volumétrica necesaria para alcanzar la transición cristal – gomosa
equivalente al contenido de agua asociada en el equilibrio, lo que constituye en una aproximación
de carácter especulativo; la determinación apropiada de esta fracción volumétrica puede lograrse
mediante la realización de pruebas mecánicas durante el proceso de hinchamiento, pero debe
tenerse en cuenta que este procedimiento no se puede aplicar en forma confiable a la totalidad de
los hidrogeles, dado que aquellos con gran capacidad de hinchamiento normalmente presentan
gran fragilidad en muy poco tiempo y no serán capaces de soportar este tipo de ensayos, lo que
limita la determinación experimental de la transición cristal – gomosa.
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0 50 100 150 200
Tiempo (minutos)
Fase
elá
stic
a
HE05HE1HE3HE5HE10
Figura 5.17. Variación en el porcentaje de la fase gomosa en los hidrogeles de la serie HE.
Recordando que los números en el nombre de los hidrogeles de la serie HE hacen referencia al
porcentaje de entrecruzante, en la Figura 6.17 se aprecia como el contenido de agente
entrecruzante afecta en forma significativa la velocidad de avance de la fase gomosa dentro de la
matriz polimérica, y el tiempo necesario para tener un hidrogel con elasticidad completamente
homogénea; en todos los hidrogeles con los que se trabajó en la fase experimental el tiempo de
82
hinchamiento para lograr la transición fue inferior a 200 minutos. El avance del frente gomoso
permite determinar cual es la proporción de las cadenas que poseen movilidad, pero deben ser
combinados con otros análisis para determinar el grado de elasticidad alcanzado. Aunque que
todos los hidrogeles de la serie HE logran la transición cristal – gomosa, se debe indicar que en
aquellos con 10% de EGDMA la elongación crítica ha sido superada levemente y por tanto la
movilidad de las cadenas es baja haciéndolos poco flexibles, al ser retirados del medio de
hinchamiento recuperan rápidamente su condición de estructuras rígidas; si se comparan con los
hidrogeles de las series restantes, las demás matrices de la serie HE poseen flexibilidad moderada.
6.2. MODELO PARA LA DIFUSIÓN DEL SOLUTO
La cinética de absorción y los cambios dimensiónales trasientes durante la liberación de un soluto
desde un hidrogel inicialmente deshidratado son más complejos que en el caso del simple
transporte de penetrante en matrices poliméricas. Un modelo general debe considerar
explícitamente la penetración de solvente y el transporte de soluto, así como los diversos
aspectos importantes de la interdependencia de estos dos procesos.
6.2.1. Formulación matemática del modelo
Al modelo utilizado para describir el proceso de hinchamiento del hidrogel discoidal, se le
adiciona un elemento asociado al soluto que corresponde a la ecuación de difusión
unidimensional de Fick:
∂∂
∂∂
=∂
∂x
CD
xtC 3
33 ( 6.10 )
donde 3C es la concentración del soluto, y 3D es el coeficiente de difusión del soluto en la
matriz polimérica; con las siguientes condiciones de frontera e inicial:
δδδ
±=≥=
<<−<=
xtCCxtCC
S ;0para;0para
,33
0,33 ( 6.11 )
donde 0,3C corresponde al perfil inicial de concentración de soluto en la matriz, y SC ,3 la
concentración de soluto en el medio externo. La difusividad del soluto se considera función de la
concentración de solvente embebido en la matriz polimérica: ( )AWDD exp0,33 = .
83
6.2.2. Procedimiento experimental
La urea fue cargada dentro de la matriz polimérica, colocando los xerogeles en una solución al
10% en peso de urea a temperatura ambiente, hasta que el peso alcanzado por los discos se
mantuvo relativamente constante. Los estudios de liberación del componente activo se llevaron a
cabo colocando los hidrogeles cargados en 10 ml de agua destilada que se cambió a intervalos de
tiempo determinados; evaluando la concentración de urea en el agua mediante Cromatografía
Líquida de alta resolución (HPLC), con un detector de índice de refracción (modelo Waters 410),
una columna Novapack C-18 de fase inversa y como fase móvil agua grado HPLC a un flujo de
0.5 ml/min, el tiempo de retención para el urea bajo estas condiciones se ubico sobre los 4
minutos.
La curva de calibración Figura 6.18, se obtuvo a partir de los cromatogramas de soluciones
estándares entre 0.001 y 2 g/L de urea en agua, Anexo F, Figura F.1. Los cromatogramas se
analizaron con ayuda del Millennium Chromatography Manager Software (v2.15.01) Copyright
© 1994 Waters Corp. Tanto los estudios de liberación como las pruebas cromatográficas se
realizaron a temperatura ambiente.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0 100000 200000Área (UVseg)
Con
cent
raci
ón (g
/l)
Figura 5.18. Curva de calibración para determinar la concentración de urea en la solución a
partir del área del pico cromatográfico.
En los hidrogeles con contenidos de monómero hidrófobo inferiores al 20% no se realizó
liberación de urea debido a su fragilidad mecánica, para los restantes hidrogeles la tendencia de
este proceso se determinó mediante Cromatografía Líquida de alta resolución (HPLC), y se
84
presenta en las Figuras 6.19 y 6.20; en la Figura F.2 se muestran a manera de ejemplo dos de los
cromatogramas obtenidos.
( a )
0.000.020.040.060.080.10
0 100 200Tiempo (minutos)
Ure
a (g
/l)
( b )
0.000.020.040.060.080.10
0 100 200
Tiempo (minutos)
Ure
a (g
/l) ( c )
0.000.020.040.060.080.10
0 100 200Tiempo (minutos)
Ure
a (g
/l)
( d )
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0 100 200Tiempo (minutos)
Ure
a (g
/l)
( e )
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0 100 200Tiempo (minutos)
Ure
a (g
/l) ( f )
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0 100 200Tiempo (minutos)
Ure
a (g
/l)( g )
0.000.020.040.060.080.10
0 100 200
Tiempo (Minutos)
Ure
a (g
/l)
( h )
0.000.020.040.060.080.10
0 100 200
Tiempo (minutos)
Ure
a (g
/l) ( i )
0.000.020.040.060.080.10
0 100 200Tiempo (minutos)
Ure
a (g
/l)
( j )
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0 100 200Tiempo (minutos)
Ure
a (g
/l)
( k )
0.000.010.020.030.040.050.06
0 100 200Tiempo (minutos)
Ure
a (g
/l)
Figura 5.19. Curvas de liberación, concentración de urea contra el tiempo, para hidrogeles
con monómero hidrófobo variable: ( a ) 3A1, ( b ) 4A1, ( c ) 5A1, ( d ) 3B1, ( e ) 4B1, ( f ) 5B1,
( g ) 3E1, ( h ) 4E1, ( i ) 5E1, ( j ) 3C1 y ( k ) 5C1.
85
( a )
0.000.010.020.030.040.05
0 100 200 300 400 500
Tiempo (minutos)
Ure
a (g
/l)
( b )
0.000.010.020.030.040.05
0 100 200 300 400 500Tiempo (minutos)
Ure
a (g
/l)
( c )
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0 100 200 300 400 500
Tiempo (minutos)
Ure
a (g
/l)
( d )
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0 100 200 300 400 500
Tiempo (minutos)
Ure
a (g
/l)
( e )
0.00
0.01
0.02
0.03
0 100 200 300 400 500
Tiempo (minutos)
Ure
a (g
/l)
Figura 5.20. Curvas de liberación, concentración de urea contra el tiempo, para hidrogeles
con entrecruzante variable: ( a ) HE05, ( b ) HE1, ( c ) HE3, ( d ) HE5 y ( e ) HE10.
En anteriores figuras se distinguen dos etapas: una fase inicial con una rápida velocidad de
liberación que ocurre aproximadamente durante 100 minutos; y una fase final donde la
concentración del urea en el hidrogel se aproxima a cero, como resultado del menor gradiente de
concentración se tiene una disminución gradual en la fuerza impulsora lo que hace que el
proceso ocurra cada vez más despacio. La liberación total del soluto en ninguno de los hidrogeles
supera los 500 minutos.
6.2.3. Análisis de DSC
La estructura química del polímero puede incrementar o reducir el hinchamiento al establecer
interacciones de diferente tipo con el agua; experimentalmente se ha podido determinar que el
agua se puede encontrar dentro del hidrogel desde un estado fuertemente asociado con el
86
polímero entrecruzado (agua asociada o no congelable) hasta un estado inalterado por la
naturaleza del polímero (agua libre o congelable), pero el contenido de agua en el equilibrio
( ∞W ) nos da tan solo información sobre la suma del agua existente en todos estos estados
(contenido total de agua).
Para determinar la forma de asociación del agua dentro de la matriz polimérica se empleó el
método de calorimetría diferencial de barrido (DSC), técnica térmica en la que se miden las
diferencias en la cantidad de calor entre una sustancia y una referencia en función de la
temperatura de la muestra cuando las dos están sometidas a un programa de temperatura
controlado, usando para ello un calorímetro diferencial de barrido cuyas condiciones de
operación se presenta en el Anexo C, el resultado de los análisis de DSC es una serie de
termogramas que se presentan en el Anexo D.
Para determinar el agua libre en el hidrogel ( LW ) se procede a dividir entre la entalpía de fusión
del agua pura estimada mediante análisis de DSC 339.17 J/g la entalpía de fusión por gramo de
agua que contiene el hidrogel ( mH∆ ), la cual se obtiene integrando los picos de fusión de agua
presentes en los termogramas, (esto se realiza directamente con la ayuda del software analizador
de señales de DSC, Universal Analysis v2.4F Copyright © 1998 TA Instruments, Inc.):
17.339aguafusión
mmL
HH
HW
∆=
∆∆
= ( 6.12 )
Una vez conocida la cantidad total de agua por gravimetría y la cantidad de agua libre, puede
obtenerse el agua asociada o ligada ( AW ) restando ambas magnitudes:
LA WWW −= ∞ ( 6.13 )
En la Figura 6.20.a se observa como al aumentar el porcentaje de entrecruzante se produce una
disminución en el contenido de agua total y libre lo que se debe principalmente al menor espacio
disponible para ser ocupado por el agua y la mayor limitación en la movilidad de las cadenas; esta
reducción en la movilidad esta asociada al aumento en la fuerza elástica que se opone al
hinchamiento lo que implica que si la cantidad de agua asociada se mantiene constante el
hidrogel permitirá el ingreso de la misma hasta alcanzar este nivel, siendo esta la posible causa de
87
la mayor fragilidad que usualmente muestran los geles con mayor contenido de entrecruzante. En
la Figura 6.20.b se observa como al variar el porcentaje de componente hidrófobo decrece el
contenido tanto de agua libre como asociada, lo que se debe a la reducción del número de grupos
hidrofílicos presentes en la matriz polimérica.
Cuando en los termogramas (Anexo D) se analiza el flujo de calor total se observa en forma
mayoritaria un pico asociado a la fusión del agua libre, pero al analizar el flujo de calor reversible
aparecen en muchos de ellos dos picos con diversos grados de separación (solapamiento), esto
indica la posibilidad de tener en el sistema el agua en por los menos dos estados cristalinos
distintos, con ligeras diferencias energéticas para la transición de fase, dada la naturaleza polar de
las moléculas de agua se puede considerar que estos estados cristalinos son el resultado de
diversos grados de asociación por parte de las moléculas de agua dentro de la matriz polimérica.
( a )
0
0.1
0.2
0.3
0% 2% 4% 6% 8% 10%
EGDMA
Con
teni
do d
e ag
ua
TotalLibreAsociada
( b )
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0% 10% 20% 30% 40% 50%
HMA
Con
teni
do d
e ag
ua
TotalLibreAsociada
Figura 5.21. Comportamiento del contenido de agua libre, asociada y total en el equilibrio
generado por la variación del: ( a ) porcentaje de entrecruzante (serie HE) y ( b ) porcentaje de
monómero hidrófobo (series A, B, C, D y E).
El agua asociada no participa en el proceso de disolución de un agente activo dentro la matriz
polimérica; el solvente que efectivamente interviene en el transporte del soluto es aquel que tiene
movilidad dentro del hidrogel, es por ello que los coeficientes de difusión se deben correlacionar
con el contenido de agua libre.
6.2.4. Estimación de los parámetros del modelo de difusión
Se debe tener presente que la matriz polimérica se comporta esencialmente como un solvente
sólido, en donde hay un limite superior o valor de saturación para la concentración del soluto
88
“móvil” o “disuelto” en el polímero totalmente hinchado, que corresponde, a la cantidad de
soluto que puede ser tomado por el polímero totalmente hinchado de la solución saturada de
soluto en el solvente líquido. Cualquier cantidad de soluto presente en la matriz más allá del
límite de saturación especificado se espera que se encuentre en un estado dispersado inmóvil
(asumiendo que no hay supersaturación). La dispersión se considera lo suficientemente fina para
no afectar materialmente las propiedades de transporte de la matriz polimérica y estar en
equilibrio con el soluto móvil o disuelto en ella (se supone disolución instantánea de soluto
dispersado en el polímero). Bajo estas condiciones, la elusión desde las matrices que contiene el
soluto dispersado puede se puede considerar como el acoplamiento de una penetración lenta de
solvente con un rápido transporte de soluto desde la matriz, lo que permite aproximar el proceso
a una conducta Fickiana y obtener como solución de la Ecuación 6.10 la expresión:
−≈ t
DCC 2
32
0,33 expδ
π ( 6.14 )
Los valores observados durante la liberación de urea, se correlacionaron con una cinética de
primer orden: ( )ktCC −= exp0,33 ; para realizar la estimación lineal del ( )[ ]30,30,3ln CCC −
versus el tiempo, la pendiente obtenida corresponde a la constante de proporcionalidad a partir
de la cual es posible estimar el coeficiente de difusión del soluto en la matriz polimérica:
2
2
3 πδ kD = ( 6.15 )
El coeficiente de difusión del soluto debe ser similar al presentado en la solución acuosa cuando
el contenido de agua dentro de la matriz es alto e insignificante en discos levemente hinchados,
debido a las interacciones matriz – agua y soluto – matriz, pero su incremento debe ser
apreciable cuando el volumen o la temperatura aumenten; también se esperan por debajo del
punto vítreo valores pequeños de la difusividad.
La liberación de un soluto desde un hidrogel no se puede describir de manera apropiada
mediante cinéticas de primer o segundo orden; fundamentalmente porque en el proceso se
exhiben dos etapas bien definidas que requieren de tratamientos diferentes, adicionalmente las
fuerzas impulsoras de difusión adecuadas corresponden a gradientes de potencial químico en
89
lugar de gradientes de la concentración. Para hacer posible la descripción satisfactoria de
conductas como las representadas en las Figuras 6.18 y 6.19, es necesario corregir y reducir
algunos de los factores asociados al transporte en matrices poliméricas hinchables; por ello se
optó por la solución mediante diferencias finitas de la Ecuación 6.10, considerando una
difusividad constante cuyo ajuste se realizó en forma iterativa.
( a )
y = 0.0028e0.8497x
R2 = 0.8093
0.0E+00
2.0E-03
4.0E-03
6.0E-03
0% 20% 40% 60%
Agua libre
Difu
sivi
dad
solu
to
(mm
2/m
in)
( b )
y = 0.002e0.8334x
R2 = 0.932
0.0E+00
1.0E-03
2.0E-03
3.0E-03
4.0E-03
0% 20% 40% 60%
Agua libre
Difu
sivi
dad
solu
to
(mm
2/m
in)
( c )
y = 0.0028e0.4066x
R2 = 1
0.0E+00
1.0E-03
2.0E-03
3.0E-03
4.0E-03
0% 20% 40% 60%Agua libre
Difu
sivi
dad
solu
to
(mm
2/m
in)
( d )
y = 0.0027e0.9765x
R2 = 0.8396
0.0E+00
2.0E-03
4.0E-03
6.0E-03
0% 20% 40% 60%Agua libre
Difu
sivi
dad
solu
to
(mm
2/m
in)
( e )
y = 0.0006e2.8345x
R2 = 0.9709
0.0E+00
4.0E-04
8.0E-04
1.2E-03
0% 4% 8% 12% 16%
Agua libre
Difu
sivi
dad
solu
to
(mm
2/m
in)
Figura 5.22. Variación del coeficiente de difusión del soluto contra el contenido de agua libre
en la matriz polimérica, series: ( a ) A, ( b ) B, ( c ) C, ( d ) E y ( e ) HE.
Para elaborar la Figura 6.21 y determinar las curvas tendencia de tipo exponencial que se
plantean en la formulación matemática del modelo, las difusividades obtenidas se relacionaron
con el contenido de agua libre dentro de la matriz polimérica, determinado mediante los análisis
90
de DSC; las correlaciones logradas para todas las series se consideran aceptables y por tanto se
propone su utilización en la solución numérica del modelo.
6.2.5. Resultado del modelo de difusión
El modelo aplicado supera algunas limitaciones al considerar inmóvil al soluto que no se
encuentra en contacto con el solvente, y el hecho que la presencia de un soluto con afinidad alta
por el solvente, en general, refuerza la cantidad de solvente que puede ser tomado por la matriz
polimérica efecto evidente en sistemas polímero hidrófobo – soluto hidrófilo – agua. La cinética
de elusión, se examinó por medio de soluciones numéricas para diferentes valores de los
parámetros requeridos considerando en forma simultanea el hinchamiento del polímero y la
difusión del soluto, estableciendo una rutina de cómputo incluida en el programa Modhigel, cuya
secuencia general es totalmente análoga a la usada para solucionar el modelo de difusión (Figura
6.12), con la modificación sustancial de requerir la información asociada con el soluto
(concentración en el medio externo, densidad, y los parámetros 0,3D y A que de acuerdo con la
ecuación ( )AWDD exp0,33 = son necesarios para estimar la difusividad).
En las Figuras 6.22 y 6.23 se muestran los resultados obtenidos durante la difusión de urea desde
un hidrogel discoidal de tipo HE3, que contiene 20 % de urea distribuida en un perfil lineal; la
variación en la difusividad del soluto con respecto a la concentración de solvente en la matriz
polimérica corresponde a la curva de tendencia ( )LWD 8345.2exp0006.03 = (Figura 6.21.e).
( a )
0.00
0.10
0.20
0.30
0 200 400 600Tiempo (minutos)
Gra
do d
e hi
ncha
mie
nro
( b )
0%
5%
10%
15%
20%
0 200 400 600
Tiempo (minutos)
Porc
enta
je d
e ur
ea
Figura 5.23. Curvas cinéticas de: ( a ) hinchamiento y ( b ) liberación, durante la difusión de
urea desde un hidrogel HE3.
91
La presencia de solutos con gran afinidad por el solvente, incrementa tanto el nivel de
hinchamiento máximo obtenido como el tiempo necesario para alcanzar la condición de
equilibrio, pero adicionalmente a una gran compatibilidad por el solvente se puede asociar alta
difusividad y solubilidad, las cuales permiten una rápida descarga incluso con discos levemente
hinchados, conducta que se aprecia durante la liberación de urea, Figura 6.22, en donde un
hidrogel en proceso de hinchamiento después de 400 minutos ha liberado la totalidad del soluto.
La distribución inicial de soluto a través del hidrogel, puede incrementar o disminuir la resistencia
difusional tanto de solvente como del mismo soluto, con lo cual se puede regular el proceso, para
lograr desde la fase inicial la liberación del soluto hacia los alrededores a una velocidad estable
durante un largo período, lo que corresponde a la denominada liberación de orden cero o caso
II; la cual resulta muy apropiada en sistemas de descarga programada, donde el objetivo principal
es lograr un dispositivo con velocidad de liberación casi constante durante un largo tiempo.
( a )
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00
Espesor adimensional
Gra
do d
e hi
ncha
mie
nto
0 min30 min
60 min
150 min
400 min
( b )
0%
5%
10%
15%
20%
-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00
Espesor adimensional
Porc
enta
je d
e so
luto
0 min
30 min
60 min
150 min
400 min
Figura 5.24. Perfiles durante la difusión de urea desde un hidrogel HE3: ( a ) concentración
de solvente y ( b ) concentración de soluto.
La observación de los perfiles de concentración del soluto y el solvente, Figura 6.23, hace posible
distinguir en la matriz polimérica dos zonas: una región interna deshinchada con baja perdida de
soluto y una región exterior totalmente hinchada con escasos residuos del soluto. El
acoplamiento de las velocidades de los procesos que simultáneamente ocurren en el hidrogel
permite el rápido avance de la fase exterior, de tal forma que en 400 minutos es la única región
existente dentro del hidrogel, desafortunadamente la verificación experimental de estos perfiles
no fue realizada.
7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
7.1. CONCLUSIONES
El modelo computacional desarrollado se constituye en un instrumento de análisis y verificación
para describir tanto la condición de equilibrio como los procesos de difusión de solutos y
solventes en hidrogeles; permitiendo observar la capacidad de hinchamiento contra el porcentaje
de monómeros y entrecruzantes para una amplia variedad de sistemas poliméricos, computar
perfiles de solvente y soluto, curvas para variaciones dimensiónales (espesor y diámetro), avance
de la fase elástica y cinéticas durante los procesos de hinchamiento y difusión de un soluto. Los
resultados que el modelo produce pueden ser combinados con información experimental para
estimar parámetros de interacción polímero – solvente de Flory, coeficientes de difusión tanto
del agua como de cualquier soluto, con la limitación primordial de que su aplicación se restringe a
matrices poliméricas hinchables de forma discoidal cuando no se presentan variaciones de
factores fisicoquímicos (intercambio iónico, fuerza iónica, pH).
El modelo de equilibrio de hinchamiento planteado permite estimar la capacidad de retención de
agua para hidrogeles no electrolíticos con combinaciones diversas de monómeros y
entrecruzantes, al considerar la integración del proceso de mezcla y la deformación de la red,
adicionalmente el modelo supone que el efecto del entrecruzante no se restringe únicamente a la
contribución mecánica. La precisión de los resultados puede diferir notablemente entre cada
combinación posible, fundamentalmente porque es necesaria la determinación del parámetro de
interacción polímero – solvente el cual es específico de cada sistema, para los hidrogeles
discoidales disponibles los parámetros incluidos en el modelo se determinaron empíricamente.
Aunque la información disponible sobre sistemas de liberación controlada es muy amplia, muy
poca de ella puede ser aprovechada para el modelamiento, dado que no siempre todos los
parámetros necesarios para los modelos son posibles de encontrar.
Es posible acoplar los modelos termodinámicos de equilibrio de fase con la concentración del
hinchamiento como función del contenido de monómero hidrofílico y entrecruzante, a los
93
modelos cinéticos para computar el perfil de concentración en el dominio del tiempo. Si bien los
modelos usados tienen un alto grado de empirismo, debido a las suposiciones realizadas, pueden
ser confiablemente utilizados para correlacionar el fenómeno de hinchamiento y los resultados
también son promisorios para la investigación del perfil de concentración de agentes activos en
hidrogeles con respecto al tiempo.
Durante el proceso de hinchamiento de los discos, se observo como la conducta que acompaña
el transporte del solvente dentro de la matriz polimérica evoluciona desde una fase inicial donde
el cambio volumétrico se asocia casi exclusivamente al espesor hasta un proceso isotrópico,
donde la capacidad de retención de solvente supera inicialmente el valor de equilibrio final, con
oscilaciones de magnitud variable, especialmente para hidrogeles con capacidad de hinchamiento
intermedio. Debido a la tensión elástica de la matriz y a los cambios en su morfología, la
respuesta del proceso de relajación presenta un retraso frente a los cambios de concentración,
cuando este retraso es muy corto o muy largo con respecto al proceso de difusión se mantiene
un comportamiento Fickiano, de lo contrario se observan conductas anómalas, cuya magnitud se
asocia al proceso de relajación y a la evolución en la velocidad de difusión del solvente.
Pese a que la polimerización en masa no permite un control adecuado de las variables de
operación, mediante esta técnica es posible obtener xerogeles de metacrilato de 2-hidroxietilo
(HEMA) entrecruzados con EGDMA en concentraciones hasta 6 % respecto de la carga total de
monómero, que posean buenas propiedades mecánicas, uniformidad y transparencia. Para lograr
estas características se trabajó con peróxido de benzoilo (BPO) como iniciador en una
proporción de 0.3% con respecto de la carga total de monómero, llevando la mezcla
homogenizada gradualmente durante 1 hora a la temperatura de reacción (60 ºC), donde se
mantiene el sistema por 14 horas, finalmente para garantizar un alto grado de polimerización y
reducir la proporción de cadenas libres se establecer una etapa isotérmica de 7 horas a 70 ºC.
Si bien el grado de hinchamiento de los hidrogeles elaborados con HEMA fue moderado,
inferior al 35% respecto al peso total del hidrogel; estos materiales cuando el contenido de
EGDMA es inferior al 5% respecto de la carga total de monómero, presentan propiedades
físicas deseables en la elaboración de sistemas de descarga de agentes activos como: flexibilidad,
resistencia y transparencia.
94
En los hidrogeles evaluados de ácido acrílico y hexametacrilamida (HMA), el alto contenido de
monómero hidrofílico produjo matrices altamente hidratadas, blandas y frágiles, que no resultan
recomendables cuando se requiera soportar esfuerzos mecánicos. La opacidad de los hidrogeles
con contenidos de HMA superiores a 40%, es indicativo de su naturaleza heterogénea, lo que
impide la distribución uniforme del agua dentro de la estructura polimérica promoviendo la
formación de núcleos de agua asociados a zonas con alto contenido de monómero hidrofílico.
La urea demostró ser un soluto con gran afinidad por el agua, al presentar una rápida liberación,
incrementar el nivel de hinchamiento máximo obtenido y el tiempo necesario para alcanzar la
condición de equilibrio, siendo estos efectos más evidentes en los sistemas con gran contenido
de monómero hidrófobo. El modelo aplicado para describir la liberación de soluto desde un
hidrogel, al acoplar las velocidades de los procesos que simultáneamente ocurren en él, supera las
limitaciones de las cinéticas de primer y segundo orden; y permite distinguir en la matriz
polimérica una región interna deshinchada con baja perdida de soluto y una región exterior
totalmente hinchada con escasos residuos del soluto, mediante la presentación de los perfiles de
concentración para el soluto y el solvente.
7.2. RECOMENDACIONES
En la medida en que se encuentre información útil sobre los modelos de equilibrio y difusión,
estos pueden ser: mejorados, actualizados y extendidos a nuevos sistemas, condiciones
geométricas, geles electrolíticos, geles sensibles al ambiente particularmente pH y temperatura, y
sistemas de liberación programada tipo depósito. El modelo de hinchamiento trabajado incluye
elementos que permiten cuantificar la variación de la interfase cristal – gomosa y sin modificar la
formulación matemática admite el tratamiento de las conductas de transporte anómalo y
Fickiano, en procesos de hinchamiento y encogimiento, si se definen de manera pertinente las
condiciones inicial y de frontera. Debido a que los sistemas de liberación programada basados en
depósitos son más utilizados que los sistemas de matriz, se propone la opción de realizar trabajos
de modelamiento para la difusión de solutos en este tipo de sistemas.
Adicionalmente el modelamiento se puede mejorar en forma sustancial si: se acoplan modelos de
determinación para la difusividad tanto del soluto como del solvente, se desarrolla un
95
procedimiento teórico que permita estimar el parámetro de interacción de Flory en copolímeros
utilizando esquemas de combinación no ideales, y se aplican esquemas para modificar las
condiciones de frontera de acuerdo con la utilización final de la matriz polimérica
Para realizar el seguimiento de la cinética de hinchamiento de geles discoidales como método
alternativo a la técnica gravimétrica, se propone la digitalización de las imágenes proyectadas por
los discos en el medio de hinchamiento; y para obtener el factor dimensional la ecuación
0
021AA
AA
M −−
+=η donde 0A y MA son las áreas del xerogel y máxima respectivamente; este
procedimiento mostró gran correlación con los datos experimentales y permitió caracterizar
dimensionalmente los hidrogeles. Para realizar una mejor descripción de las fases media y final
del hinchamiento es necesario tener mediciones con una mayor proximidad durante estas etapas;
y para generar una imagen más real del proceso de liberación del agente activo es indispensable
llevar a cabo su liberación, bajo condiciones que sean lo más similar posible a las de operación
del sistema.
La uniformidad de los xerogeles discoidales debe ser mejorada al utilizar una técnica de corte más
apropiada, lo que a su vez permitirá tener mayor número de muestras caracterizadas para realizar:
ensayos de hinchamiento a distintas condiciones de temperatura y pH, liberación de nuevos
agentes activos, y caracterizaciones posteriores con técnicas adicionales. Dentro de los análisis
necesarios para los xerogeles se recomienda la estimación de su densidad y su caracterización
dimensional.
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102
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84. PRESS et al. Numerical recipes in C: The art of scientific computing. 2ed. Cambridge University Press; Cambridge, 1997: 994 p.
85. BURDEN, R. y FAIRES J. Análisis numérico. 3ed. Grupo Editorial Iberoamérica; México, 1985.
86. NAKAMURA, S. Métodos numéricos aplicados con software. Prentice – Hall; México, 1992.
ANEXO A: MEDIDOR DE CUADRANTE PARA ESPESORES
SM–112
Punto de contacto y yunque (cerámicos)
Precisión 0.01 mm
Rango 10 mm
Dimensiones (mm)
102
1218
.3 3
2664
Figura A.1. Medidor de cuadrante SM – 112.
MODELO PREC. mm
RANGO mm
ESCALA TIPO
FUERZA PROMEDIO
N(gf) o menos
INDICADOR CORTO
FORMA DE PUNTO DE
CONTACTO mm
FORMA DEL YUNQUE mm
PESO g COMENTARIOS
SM-112 0.01 10 φ 10 PLANO φ 10 PLANO
SM-112 LS 0.01 10 S φ 3.2 (1/8) φ 10 PLANO
SM-112 LW 0.01 10 S φ 3.2 (1/8) S φ 3.2 (1/8)
SM-112-3A 0.01 10
±0-50-100 2.5
(250) PRESENTE
φ 5 PLANO φ 5 PLANO
160 Liviano,
Tamaño pequeño
SM-528 0.01 20 φ 10 PLANO φ 10 PLANO
SM-528 LS 0.01 20 S φ 3.2 (1/8) φ 10 PLANO
SM-528 LW 0.01 20 S φ 3.2 (1/8) S φ 3.2 (1/8)
SM-528-3A 0.01 20
±0-50-100 3.5
(350) PRESENTE
φ 5 PLANO φ 5 PLANO
160 Tamaño pequeño, rango amplio
Tipo estándar
Tipo LS
Tipo LW
Tipo 3A
Figura A.2. Tipos de yunques y puntos de contacto para los indicadores de cuadrante
ANEXO B: DMA RHEOMETRIC SOLIDS ANALYZER (RSA II)
Figura B.1. Analizador Mecánico Dinámico: Rheometric Scientific.
RSA II es un analizador mecánico dinámico dedicado a caracterizar las propiedades reológicas de
materiales sólidos (películas, fibras, espumas, elastómeros, cerámicas). Dentro de sus
características están:
Mide la relajación por esfuerzos de tensión, compresión e inflexión.
Mide propiedades tensoras, como el módulo y el ángulo de fase entre esfuerzo y
deformación.
Mide propiedades físicas como: temperatura de transición vítrea y punto de fusión.
Compensa automáticamente el endurecimiento y ablandamiento de la muestra.
Compensa la variación en longitud debido a expansión o reducción térmica.
Realiza barridos con frecuencia continua y medidas de esfuerzos con oscilaciones dinámicas.
Permite rampas de temperatura y barridos en cuatro zonas, con velocidad de barrido y
amplitud de tensión programable en cada zona.
Rango de temperatura (-150 a 500 °C ).
Rango de frecuencia (10-3 a 102 radianes / segundo).
Rango de amplitud (0.5 a 500 nm).
ANEXO C: DSC 2910
Figura C.1. Calorímetro diferencial de barrido (DSC 2910: TA-Instruments)
El calorímetro diferencial de barrido (DSC) es un instrumento utilizado para analizar transiciones
térmicas en materiales. Proporciona información sobre la temperatura a la que las transiciones
ocurren así como la medida cuantitativa del calor asociado con el evento (temperaturas de la
transición, fusión y cristalización, y capacidad calorífica).
Características generales:
Rango de temperatura depende del sistema de refrigeración utilizado, con el sistema de
enfriamiento refrigerado (RCS) es -65 a 725 °C.
Sensibilidad calorimétrica (1 µW)
En la Figura A.3.2 se observa como el calor fluye tanto en la muestra como en el material de
referencia a través de un disco termoeléctrico de constantan calentado eléctricamente. Sobre
plataformas elevadas formadas por un disco de constantan, se colocan unas cazoletas pequeñas
de aluminio para la muestra y la referencia. El calor se transfiere a través de los discos hacia la
muestra y la referencia a través de las dos cazoletas. La relación entre el flujo de calor hacia la
muestra y la referencia se sigue mediante unos termopares de superficie de cromo / constantan
formados por la unión entre la plataforma de constantan y el disco de cromo unidos a la parte
inferior de la plataforma.
94
Figura C.2. Esquema para la celda de flujo de calor en un DSC.
Tradicionalmente, la temperatura del horno se incrementa o se reduce en forma lineal, y el flujo
de calor diferencial resultante entre la muestra y la referencia es supervisado por las termocuplas
fijas a la parte inferior de las plataformas del disco. Estas termocuplas se conectan en serie y
miden el flujo diferencial de calor usando el equivalente térmico de la Ley de Ohm:
DRT
dtdQ ∆
=
donde: dtdQ es el flujo de calor, T∆ es la diferencia de temperatura entre muestra y referencia
y DR es la resistencia térmica del disco.
El DSC mide sólo la suma de todos los eventos térmicos en la muestra por lo cual para los
ensayos se utilizo DSC Modulado (MDSC), técnica que permite separar la señal de flujo de calor
total en su capacidad calorífica y los componentes cinéticos, proporcionando posibilidades
únicas, ya que mejorar en forma simultanea la habilidad para descubrir transiciones débiles
(sensibilidad) y la habilidad de separar transiciones que ocurren sólo con algunos grados de
diferencia (resolución), permitiendo además el análisis de transiciones múltiples que ocurren en el
mismo rango de temperatura con lo que se aumenta la cantidad de información que puede
obtenerse de un solo experimento.
95
En MDSC Modulado, se usa el mismo flujo de calor que la celda de DSC, pero una oscilación
sinusoidal de la temperatura (modulación) remplaza la convencional rampa de temperatura lineal.
La tasa de calentamiento resultante es más rápida que la tasa de la calefacción lineal subyacente
algunas veces, y a veces más lento que la proporción subyacente. Las variaciones reales en
proporción calorífica dependen de tres variables experimentales. Ellos son la proporción
calorífica subyacente, la amplitud de modulación, y el periodo (frecuencia) de modulación. La
ecuación general que describe la respuesta calorimétrica es:
),()( TtfdtdTCpdtdQ +=
donde: dtdT es la tasa de calentamiento, Cp la capacidad calorífica de la muestra y ),( Ttf la
función de tiempo y temperatura que gobiernan la respuesta cinética de cualquier transición física
o química observada en DSC.
Esta ecuación muestra que el flujo total de calor en el DSC comprende dos componentes - uno
dependiente de la tasa de calentamiento y otro que sólo es dependiente de la temperatura
absoluta. La separación de los datos crudos (Flujo de calor y temperatura modulada) en el
promedio y la amplitud (cambio total en temperatura y valores de flujo de calor) se denomina
deconvolución y se realiza en tiempo real por un software de Transformación Discreta de
Fourier (DTF) residente en el instrumento.
Teniendo en cuenta las sugerencias e indicaciones, los análisis de DSC se realizaron de la
siguiente manera:
El equipo se calibró con Indio y agua, a la tasa de calentamiento subyacente deseada para el
ensayo de DSC con el sistema de refrigeración operando; para medir capacidades caloríficas
exactas y para lograr la deconvolución apropiada se requiere una calibración adicional para
capacidad calorífica, esta calibración se realizó con 22 mg de Zafiro.
Preparación de muestras; a cada hidrogel se le retiró la humedad superficial, se cortó una muestra
entre 9 y 12 mg, se registro el peso y se colocó en cápsulas de aluminio herméticas que se
sellaron con la prensa del equipo.
96
Programa de calentamiento; el equipo se programó para cargar la muestra a temperatura
ambiente, llevar la muestra a -55ºC, temperatura a la cual se establece la modulación de ± 0.159ºC
cada 60 segundos con un evento isotérmico de cinco minutos (momento desde el cual comienza
a registrar datos) y aumentar la temperatura hasta 30ºC a una velocidad constante de
calentamiento de 1ºC/min . Se utilizó como gas de purga nitrógeno a un flujo de 50ml/min para
el horno. Se utilizo el sistema refrigeración con el mismo gas, con un flujo de 150ml/min. En la
Figura A.3.3 se muestra el comportamiento de la temperatura modulada donde además se
observa el retrazo de un ciclo y medio de modulación correspondiente al proceso de
deconvolución de la señal.
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6
Figura C.3. Temperatura modulada contra temperatura del horno ensayos de DSC
Se registraron las siguientes señales:
Tiempo
Temperatura
Flujo de calor total, reversible y no reversible
Capacidad calorífica
Los resultados obtenidos se analizaron en el Universal Analysis Windows 95/NT (v2.4F)
Copyright © 1998 TA Instruments, Inc., programa que hace parte del software del equipo.
ANEXO D: TERMOGRAMAS
-25 -15 -5 5 15 25Temperatura (C)
Fluj
o de
Cal
or to
tal (
W/g
) HE05
HE1
HE3
HE5
HE10
-25 -5 15Temperatura (C)
Fluj
o de
Cal
or re
vers
ible
(W
/g)
HE05
HE
HE3
HE5
HE10
Figura D.1. Termogramas para los hidrogeles de HEMA – EGDMA (serie HE).
-25 -15 -5 5 15 25Temperatura (C)
Fluj
o de
Cal
or to
tal (
W/g
) 1A1
2A1
3A1
5A1
4A1
-25 -5 15Temperatura (C)
Fluj
o de
Cal
or re
vers
ible
(W/g
)
1A1
2A1
3A1
5A1
4A1
Figura D.2. Termogramas para los hidrogeles de la serie A (entrecruzante: dimetacrilato de
trietilenglicol 1%).
-25 -15 -5 5 15 25Temperatura (C)
Fluj
o de
Cal
or to
tal (
W/g
)
1B1
2B1
3B1
4B1
5B1
-25 -5 15
Temperatura (C)
Fluj
o de
Cal
or re
vers
ible
(W/g
)
1B1
2B1
3B14B1
5B1
Figura D.3. Termogramas para los hidrogeles de la serie B (entrecruzante dimetacrilato de
tetraetilenglicol 1%).
98
-25 -15 -5 5 15 25Temperatura (C)
Fluj
o de
Cal
or to
tal (
W/g
)2C1
3C1
5C1
-25 -5 15Temperatura (C)
Fluj
o de
Cal
or re
vers
ible
(W
/g)
2C1
3C1
5C1
Figura D.4. Termogramas para los hidrogeles de la serie C (entrecruzante divinilbenceno
1%).
-25 -15 -5 5 15 25
Temperatura (C)
Fluj
o de
Cal
or to
tal (
W/g
)
3D1
2D1
1D1
-25 -15 -5 5 15 25Temperatura (C)
Fluj
o de
Cal
or re
vers
ible
(W/g
)
1D1
2D1
3D1
Figura D.5. Termogramas para los hidrogeles de la serie D (entrecruzante dimetacrilato de
etilenglicol 1%).
-25 -15 -5 5 15 25Temperatura (C)
Fluj
o de
Cal
or to
tal (
W/g
)
1E1
2E1
3E1
4E1
5E1
-25 -15 -5 5 15 25Temperatura (C)
Fluj
o de
Cal
or re
vers
ible
(W/g
)
1E1
2E1
3E1
4E1
5E1
Figura D.6. Termogramas para los hidrogeles de la serie E (entrecruzante dimetacrilato de
dietilenglicol 1%).
99
-25 -15 -5 5 15 25
Temperatura (C)
Fluj
o de
Cal
or to
tal (
W/g
)1E1
1E21E4
-25 -15 -5 5 15 25
Temperatura (C)
Fluj
o de
Cal
or re
vers
ible
(W/g
)
1E1
1E2
1E4
Figura D.7. Termogramas para los hidrogeles de la serie E con 90% de ácido acrílico y
diversos porcentajes de entrecruzante.
ANEXO E: CURVAS DE HINCHAMIENTO DE LOS HIDROGELES A 15ºC Y pH 7
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0 100 200 300 400 500 600 700Tiempo (minutos)
Hin
cham
ient
o
HE05HE1HE3HE5HE10
Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie HE.
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0 100 200 300 400 500 600 700Tiempo (minutos)
Hin
cham
ient
o
1A12A13A14A1
Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie A.
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0 100 200 300 400 500 600 700Tiempo (minutos)
Hin
cham
ient
o
0B11B12B13B14B15B1
Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie B.
101
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
0 100 200 300 400 500 600 700
Tiempo (minutos)
Hin
cham
ient
o
2C13C15C1
Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie C.
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0 100 200 300 400 500 600 700
Tiempo (minutos)
Hin
cham
ient
o
1D12D13D1
Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie D.
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
0 100 200 300 400 500 600 700
Tiempo (minutos)
Hin
cham
ient
o
1E12E13E14E15E1
Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie E.
102
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0 50 100 150 200
Tiempo (horas)
Hin
cham
ient
o
HE05HE1HE3HE5HE10
Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie HE.
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0 50 100 150 200 250
Tiempo (minutos)
Hin
cham
ient
o
1A12A13A14A1
Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie A.
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0 50 100 150 200 250Tiempo (minutos)
Hin
cham
ient
o
0B11B12B13B14B15B1
Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie B.
103
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0 50 100 150 200 250
Tiempo (minutos)
Hin
cham
ient
o2C13C15C1
Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie C.
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0 50 100 150 200 250
Tiempo (minutos)
Hin
cham
ient
o
1D12D13D1
Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie D.
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0 50 100 150 200 250
Tiempo (minutos)
Hin
cham
ient
o
1E12E13E14E15E1
Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie E.
104
ANEXO F: CROMATOGRAMAS
( a )
0
20
40
60
80
0 1 2 3 4 5Minutos
MV
( b )
0
20
40
60
80
0 1 2 3 4 5Minutos
MV
( c )
0
20
40
60
80
0 1 2 3 4 5Minutos
MV
( d )
0
20
40
60
80
0 1 2 3 4 5Minutos
MV
Figura F.1. Cromatogramas para determinar la curva de calibración con soluciones patrón de
Urea: ( a ) 0.01, ( b ) 0.05, ( c ) 1 y ( d ) 2 g/l.
( a )
0
20
40
60
80
0 1 2 3 4 5Minutos
MV
( b )
0
20
40
60
80
0 1 2 3 4 5Minutos
MV
Figura F.2. Cromatogramas para muestras tomadas luego de 5 minutos de liberación para los
hidrogeles: ( a ) 3A1 y ( b ) HE10.
105
ANEXO G: MANUAL PARA LA UTILIZACIÓN DE MODHIGEL
G.1. GENERALIDADES DE LA APLICACIÓN
G.1.1. DESCRIPCIÓN GENERAL
ModHigel (Modelamiento de la difusión e hinchamiento en hidrogeles) es una herramienta
completa y de fácil manejo para sistema operativo Windows 95 o superior; que permite
determinar equilibrios de hinchamiento de hidrogeles con diversas combinaciones de
monómeros y entrecruzantes. También permite realizar seguimientos de la cinética de
hinchamiento en agua y la cinética de liberación de un soluto desde un disco inicialmente
seco. Para poder usar de manera adecuada el software los requerimientos mínimos
recomendados son: 16 RAM de memoria, una tarjeta gráfica con resolución de 800x600 y
256 colores (8 bits), y espacio de almacenamiento libre en el disco duro de 5 Mb.
Los requerimientos de memoria RAM son los mínimos para obtener un desempeño
adecuado, menos cantidad no impedirá su funcionamiento pero hará que los cálculos, las
representaciones gráficas y la exportación de los resultados sean lo suficientemente lentos
como para desechar su uso. La cantidad de memoria recomendada sin embargo para un
aprovechamiento adecuado es de 32 Mb de RAM. Se recomienda una resolución gráfica
mínima de 800x600 pixeles debido a la gran cantidad de controles que conforman la
interfaz de usuario. Para permitir un desempeño conveniente y evitar un gasto inútil de
recursos del sistema la aplicación no permitirá que existan varias instancias distintas de si
misma en memoria, detectando la situación y descargándose automáticamente las
instancias redundantes.
106
G.1.2. PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS
• Rapidez de ejecución en los módulos de cálculo.
• Versátil, permite visualizar todos los resultados en forma comprensible y de fácil
interpretación.
• De fácil manejo, su estructura de funcionamiento hace en corto tiempo que se
instale, se aprenda a utilizar y se alcance un alto nivel de eficiencia al operarlo.
• Permite modificar, ampliar y actualizar directamente su base datos.
• Permite la impresión y almacenamiento de los resultados.
• Permite guardar las representaciones gráficas.
• Facilita también la exportación de los resultados y representaciones gráficas a
Microsoft Excel.
• Posee una interfaz con notación y formatos consistentes.
• Posee un alto grado de compactación.
• Genera mensajes para mantener informado al usuario.
• Contiene validaciones y chequeos de las entradas.
La herramienta de desarrollo utilizada para crear el programa ha sido Microsoft Visual
Basic 5 Edición Empresarial, Service Pack 3.
G.1.3. INSTALACIÓN
Se debe ejecutar la instrucción Setup contenida en el directorio instalador o en el primer
disquete de instalación, el sistema automáticamente realiza el proceso de actualizar los
instaladores en el equipo respectivo. Paso seguido el programa realiza la verificación de
donde va quedar instalada la aplicación, por defecto la dirección es C:\Archivos de
programa\Modhigel, pero puede ser instalado en cualquier ubicación deseada, una vez
confirmado el destino el programa comienza a realizar automáticamente la actualización e
instalación de la aplicación y los archivos de control.
107
G.2. CONCEPTOS TEÓRICOS BÁSICOS
G.2.1. HIDROGEL
Es una estructura polimérica entrecruzada, que por acción del agua experimenta
hinchamiento permaneciendo insoluble sin perder su forma original, debido al balance total
entre las fuerzas intermoleculares dispersivas y cohesivas; el hidrogel completamente seco
corresponde a una estructura cristalina llamada xerogel.
G.2.2. CAPACIDAD DE HINCHAMIENTO
Corresponde al grado de absorción de agua por parte del hidrogel, sus extremos son: 0
(xerogel) y 1 (agua), se obtiene por:
2212
12
)1()1(
ρφρφρφ
+−−
=W
donde 1ρ es la densidad del agua, 2ρ la densidad del polímero y 2φ la fracción
volumétrica.
G.2.3. EQUILIBRIO DE HINCHAMIENTO
El equilibrio se logra cuando se tiene el mismo el potencial químico para el agua, tanto en el
hidrogel como en sus alrededores; en su determinación esta aplicación considera el
hinchamiento para hidrogeles no electrolitos asociado a la contribución de dos fenómenos
de interacción: contribución por mezclado (modelo de Flory – Huggins) y contribución
elástica (teoría estadística de red afín), que se combinan de acuerdo al modelo de Flory –
Rehner para generar la expresión:
0231)1ln(
2
3/1,22
,212,22
,2 =++
−+− ∞
∞∞∞ rrφ
φχφφ
donde ∞,2φ es la fracción volumétrica en el equilibrio, 12χ el parámetro de interacción
polímero – solvente y 2r el número promedio de segmentos por cadena de red. Este último
parámetro esta asociado a la concentración de cadenas elásticas por unidad volumétrica de
polímero hinchado que en su forma teórica, Tε , esta definida por:
)100(2
EMEF
ET +
=ρ
ε
donde F, ME y E son la funcionalidad, peso molecular de la unidad monomérica y el
porcentaje de entrecruzante respectivamente.
108
La concentración teórica se convierte en la densidad efectiva entrecruzamiento, Eε , mediante:
TE εβαε += con α es entrecruzamiento inducido en ausencia de entrecruzante (cm3/mol) y
β la eficiencia de entrecruzamiento (%).
G.2.4. MODELO DE HINCHAMIENTO
El hinchamiento isotérmico e isobárico de un hidrogel discoidal en agua, se describe
mediante dos subprocesos: difusión unidimensional en la dirección axial y expansión
elástica de la matriz en las restantes direcciones. La difusión unidimensional se asocia a la
ley de Fick:
∂∂
∂∂
=∂∂
xwD
xtw
1
donde w es la concentración local de solvente en el hidrogel. Condición inicial: disco seco y
condición de frontera es la concentración de solvente en la interfase polímero–solvente.
El modelo considera que la difusividad 1D , la concentración de solvente en la interfase y el
tiempo de relajación evolucionan desde valores iniciales hasta valores en el equilibrio en
forma exponencial de acuerdo con muchas expresiones empíricas 1 congruentes en su
mayoría con la teoría de volumen libre.
G.2.5. MODELO DE LIBERACIÓN
Al modelo utilizado para describir el proceso de hinchamiento del hidrogel discoidal, se le
adiciona un elemento asociado al soluto que corresponde a la ecuación de difusión
unidimensional de Fick:
∂∂
∂∂
=∂
∂x
CD
xtC 3
33
donde 3C es la concentración del soluto, y 3D es el coeficiente de difusión del soluto en el
hidrogel; se considera que el disco inicialmente tiene una distribución uniforme de soluto a
la concentración indicada por el usuario, y que en el medio externo no hay soluto. Al
describir el comportamiento del soluto dentro del polímero, se establece una herramienta
de gran utilidad para el diseño de sistemas de liberación programada.
1 CAMERA-RODA, G. y SARTI, G. Mass transport with relaxation in polymers. En: AIChE Journal, Vol.
36, 1990: p. 851 – 860. LUSTIG, S. y PEPPAS, N. Solute and penetrant diffusion in swellable polymers. VII. A free volume –
based model with mechanical relaxation. En: Journal of applied polymer science. Vol. 33, 1987: p. 533 – 549.
109
G.3. MANEJO DE LA APLICACIÓN A continuación se describirán los principales elementos de la aplicación y sus
características más relevantes, para que el usuario pueda utilizar de manera apropiada esta
herramienta.
G.3.1. VENTANA PRINCIPAL
Cuando se ejecuta la aplicación y tras cargar todos los recursos que se necesitan, se
mostrará la pantalla de presentación y posteriormente la ventana principal que a
continuación se observa con una resolución de 800x600.
En la ventana principal se puede observar:
• Barra de titulo: “Modelamiento en hidrogeles”
• Barra de menús: contiene cuatro menús desplegables: Archivos, Herramientas,
Ver y Ayuda, que a su vez contienen ordenes para ejecutar diversas tareas de
ModHigel.
• Barra de herramientas: Contiene en forma de iconos las principales funciones de
la aplicación.
• Área de trabajo: Es la zona blanca donde se presentan los resultados obtenidos
cuando se ha realizado alguna opción de cálculo.
• Barra de estado: Ubicada en la parte inferior nos informa continuamente sobre
la culminación de cualquier acción por parte de la aplicación, junto con la fecha
y hora.
110
Los funciones de los botones incluidos en esta ventana son:
Despliega el formulario asociado con la tabla de datos para los entrecruzantes.
Despliega el formulario asociado con la tabla de datos para los monómeros.
Si es posible muestra los resultados gráficos.
Despliega el formulario para guardar los resultados observados en el área de trabajo.
Exportar los datos a un libro de la hoja de cálculo Microsoft Excel, si no lo consigue
despliega un mensaje de aviso
Crea una copia impresa de los resultados mostrados en el área de trabajo.
Termina la aplicación.
Despliega el formulario para realizar estimaciones de equilibrio de hinchamiento para
una composición particular.
Despliega el formulario para realizar estimaciones de equilibrio de hinchamiento
variando la proporción de monómeros.
Despliega el formulario para realizar estimaciones de equilibrio de hinchamiento
variando la proporción de entrecruzante.
Despliega el formulario para realizar los cálculos para cinéticas de hinchamiento.
Despliega el formulario para realizar los cálculos para cinéticas de liberación.
Accede al contenido de la ayuda.
G.3.2. BASE DE DATOS
El programa contiene una pequeña base de datos desarrollada en Microsoft Access 97; que
incluye información sobre entrecruzantes y monómeros, a la que se puede acceder
directamente desde la aplicación, para su consulta, actualización y modificación.
Entrecruzantes: monómeros con grupos funcionales que permiten la formación de una
matriz polimérica con estabilidad mecánica, necesaria para lograr la absorción de agua sin
la disolución del hidrogel.
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En está tabla la información incluida es:
• Nombre del entrecruzante
• Parámetro de interacción homopolímero (de entrecruzante) – agua
• Densidad del polímero homopolímero (de entrecruzante) en g/cm3
• Peso molecular del monómero entrecruzante
• Número de grupos funcionales en el monómero entrecruzante
Monómeros: Un polímero apto para ser usado como hidrogel, debe poseer grupos que
permitan la absorción de agua y presentar una estructura interna que le confiera buenas
propiedades mecánicas, estas dos características pueden ser obtenidas por la
copolimerización de monómeros hidrofílicos e hidrófobos.
En está tabla la información incluida es:
• Nombre del monómero
• Parámetro de interacción homopolímero – agua
• Densidad del homopolímero (g/cm3)
• Peso molecular del monómero
G.3.3. ESTIMACIÓN DEL EQUILIBRIO DE HINCHAMIENTO
Para poder obtener la capacidad de hinchamiento a equilibrio el programa requiere:
• Indicar la temperatura a la cual se realizará el hinchamiento, con ella se corrige la
densidad del agua.
• Definir la composición de la mezcla en la preparación.
• Indicar el entrecruzante y su porcentaje en peso referido al 100% de la carga total
de monómeros, y si se dispone los datos sobre entrecruzamiento: α y β
La aplicación incluye tres opciones de cálculo diferentes: cálculo puntual, variación en el
porcentaje de monómeros, variación en el porcentaje de entrecruzante. Estas opciones
poseen los siguientes botones comunes cuyas funciones son:
Regresa a la ventana principal y descarga el formulario de la memoria.
Activa la rutina de verificación de datos para determinar entradas erróneas.
112
Inicializa las entradas del formulario con los valores definidos por defecto.
Verifica las entradas y procede a realizar los cálculos correspondientes.
Accede a la ayuda sobre el formulario.
Cálculo puntual: Se despliega el siguiente formulario
Nota: Con los botones se determina si se utiliza un solo monómero, o la
combinación monómero – comonómero en la elaboración de polímero.
Variación en el porcentaje de monómeros: Se despliega el siguiente formulario
113
Variación en el porcentaje de monómeros: Se despliega el siguiente formulario
Nota: Con los botones es posible elegir el número de entrecruzantes
que se desean evaluar simultáneamente.
G.3.4. DETERMINACIÓN DE CINÉTICAS
Para poder obtener la curvas cinéticas de los procesos de hinchamiento y difusión de un
soluto, además de la información indicada en la estimación de la capacidad de
hinchamiento a equilibrio, el programa requiere:
• El tiempo durante el cual se desea analizar el proceso (inferior a 20000 minutos).
• El diámetro y espesor del xerogel en milímetros, bajo la consideración que el xerogel
es un disco uniforme.
• Difusividad del solvente (mm2/minuto) a la condiciones inicial y de equilibrio.
• El tiempo de relajación terminal.
• El grado de hinchamiento máximo inicial del hidrogel y el tiempo en el que se
alcanza.
• La capacidad de hinchamiento a equilibrio.
• La capacidad de hinchamiento a la cual el polímero alcanza su transición elástica.
Para estimar la cinética de liberación se requiere de la siguiente información sobre el soluto:
Difusividad, la cual se considera función de la concentración de solvente embebido
en la matriz polimérica: ( )KWDD −′= exp3 , por lo que se deben ingresar las
constantes D’ y K
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Concentración inicial en el xerogel
Densidad (g/cm3)
Nombre
Una función asociada con la determinación de cinéticas corresponde a los perfiles de
solvente y soluto; para ello es necesario acceder al formulario donde se indica el número de
perfiles que se desean observar, el cual no puede ser superior a 15, el botón definido para
esta tarea es: posteriormente se despliega el formulario para especificar los tiempos en
los cuales se desean observar los perfiles, si el usuario no realiza este procedimiento el
programa tiene una rutina para fijar por defecto una serie de tiempos para los perfiles.
Como se ha indicado la aplicación permite trabajar cinéticas de hinchamiento y de difusión
de un soluto. Cuyos formularios presentan la siguiente apariencia:
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G.3.5. RESULTADOS
Los resultados obtenidos mediante cualquiera de las anteriores herramientas de cálculo se
consignan en el área de trabajo, como se observa en la siguiente figura:
Posteriormente se pueden almacenar o exportar mediante las siguientes opciones:
• Archivos con formato: .rtf o .txt, cuyo nombre y ubicación se indica en el
formulario.
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• Impresión: los resultados se imprimen tal y como aparecen en el área de trabajo
siempre y cuando se disponga de una impresora en línea, de lo contrario se
genera un mensaje de error, como:
• Generación de gráficas: que pueden ser guardadas en archivos de imagen .gif y
.jpg para su posterior tratamiento mediante algún programa para gráficos. La
aplicación permite generar las siguientes gráficas:
Hinchamiento contra porcentaje de comonómero Hinchamiento contra porcentaje de entrecruzante Curva cinética de hinchamiento Perfiles de solvente Curva para la variación del espesor Curva para la variación de diámetro Curva para la variación de la fase elástica Curva cinética de liberación Perfiles de soluto
Si los resultados generan múltiples gráficas se presenta un formulario para escoger la
opción deseada:
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A continuación se presenta una gráfica de perfiles de soluto:
• Exportación a Excel: los resultados presentes en el área de trabajo junto con las
gráficas que generan se pueden exportan a la hoja de cálculo Microsoft Excel 95
o superior, si no es posible este proceso se genera un mensaje de error para
indicarlo. El aspecto de la hoja de cálculo creada tras la exportación es el
siguiente.
Nota: El usuario deberá guardar el archivo bajo un nombre diferente para no afectar la plantilla y
evitar que con futuras exportaciones se pierda la información almacenada.