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MODELAMIENTO DE LA DIFUSIÓN DE SOLUTOS EN MATRICES POLIMÉRICAS HINCHADAS CON AGUA Ing. NELSON ANÍBAL PINZÓN CASALLAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA Bogotá D. C. 2001

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MODELAMIENTO DE LA DIFUSIÓN DE SOLUTOS EN MATRICES POLIMÉRICAS HINCHADAS CON AGUA

Ing. NELSON ANÍBAL PINZÓN CASALLAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA

Bogotá D. C.

2001

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MODELAMIENTO DE LA DIFUSIÓN DE SOLUTOS EN MATRICES POLIMÉRICAS HINCHADAS CON AGUA

Ing. NELSON ANÍBAL PINZÓN CASALLAS

Tesis de grado presentada como requisito para optar al título de Magíster en Ingeniería Química

Director

M. Sc. Ing. ARMANDO ESPINOSA

Codirector

M. Sc. Ing. JAIRO ERNESTO PERILLA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA

Bogotá D. C.

2001

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Nota de aceptación

_______________________

_______________________

_______________________

Director

__________________________

M. Sc. Ing. Armando Espinosa

Jurado

__________________________

Ph. D, M. Sc. Ing. Alfonso Conde

Jurado

___________________________

M. Sc. Ing. Néstor Algecira

Dir. Curricular

________________________

M. Sc. Ing. Armando Espinosa

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A mi familia manantial de: tolerancia, paciencia e inspiración.

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AGRADECIMIENTOS

Expreso mi gratitud a todos aquellos que en una u otra forma colaboraron en la ejecución de este

proyecto, y manifiesto mi reconocimiento en forma especial a quienes con su continua y valiosa

contribución permitieron lograr la realización de esta tesis:

Ing. Armando Espinosa, Director de tesis.

Ing. Jairo Ernesto Perilla, Codirector de tesis.

Departamento de Ingeniería Química de la Universidad Nacional de Colombia.

Instituto Colombiano para el Desarrollo de la Ciencia y la Tecnología Francisco José de Caldas

“COLCIENCIAS” proyecto: “Liberación de agua y sustancias orgánicas e inorgánicas en

hidrogeles de base acrílica. Estudio experimental y modelamiento”.

Dirección Nacional de Investigación “DINAIN”.

Programa Iberoamericano de Ciencia y Tecnología para el Desarrollo “CYTED”.

Centro Innovación Tecnológica “CITEC”, Universidad de los Andes.

A mi familia y amigos, especialmente Ruth y Luis Fernando quienes pacientemente acompañaron

mi labor.

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CONTENIDO

LISTA DE SÍMBOLOS …………………………………………………………… III

LISTA DE TABLAS ………………………………………………………………… VI

LISTA DE FIGURAS ……………………………………………………………… VII

LISTA DE ANEXOS ……………………………………………………………… XI

INTRODUCCIÓN ………………………………………………………………… XII

1. MARCO TEÓRICO …………………………………………………………… 11.1. HIDROGELES ……………………………………………………………… 11.1.1. Monómeros ………………………………………………………………… 11.1.2. Iniciadores …………………………………………………………………… 21.1.3. Agente entrecruzante ………………………………………………………… 21.1.4. Polimerización………………………………………………………………… 21.1.5. Usos ………………………………………………………………………… 31.2. LIBERACIÓN PROGRAMADA……………………………………………… 31.2.1. Materiales para los sistemas de liberación……………………………………… 51.2.2. Factores que inciden en el comportamiento de los sistemas de liberación……… 61.2.3. Mecanismos de liberación programada ……………………………………… 61.2.4. Sistemas ambientalmente sensibles …………………………………………… 8

2. METODOLOGÍA ……………………………………………………………… 10

3. EQUILIBRIO DE HINCHAMIENTO ……………………………………… 133.1. TEORÍA DEL ENREJADO…………………………………………………… 143.2. CAMBIO EN EL POTENCIAL QUÍMICO…………………………………… 153.2.1. Contribución por mezclado …………………………………………………… 163.2.2. Contribución elástica ………………………………………………………… 163.2.3. Contribución iónica …………………………………………………………… 193.3. EQUILIBRIO DE HINCHAMIENTO EN SOLUCIONES ………………… 20

4. VERIFICACIÓN DEL MODELO DE EQUILIBRIO ……………………… 214.1. SÍNTESIS DE LOS POLÍMEROS …………………………………………… 214.1.1. Polimerización ………………………………………………………………… 214.1.2. Xerogeles utilizados en la fase experimental …………………………………… 224.2. MODELO DE EQUILIBRIO DE HINCHAMIENTO ……………………… 244.2.1. Procedimiento experimental ………………………………………………… 254.2.2. Estimación de los parámetros del modelo de equilibrio ……………………… 284.2.3. Resultados del modelo de equilibrio …………………………………………… 33

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II

4.2.4. Modelo de equilibrio en soluciones …………………………………………… 37

5. DIFUSIÓN EN HIDROGELES ……………………………………………… 405.1. HINCHAMIENTO DE LA MATRIZ POLIMÉRICA ………………………… 405.1.1. Ley de Fick …………………………………………………………………… 405.1.2. Modelo cinético de restricción ………………………………………………… 425.1.3. Difusión con relajación polimérica …………………………………………… 465.1.4. Expansión volumétrica durante el hinchamiento ……………………………… 485.2. MECANISMO DE DIFUSIÓN DEL SOLUTO ……………………………… 50

6. VERIFICACIÓN DEL MODELO DE DIFUSIÓN ………………………… 526.1. MODELO DE HINCHAMIENTO …………………………………………… 526.1.1. Formulación matemática del modelo ………………………………………… 536.1.2. Procedimiento experimental ………………………………………………… 546.1.3. Comprobación de los modelo cinéticos de hinchamiento ……………………… 586.1.4. Solución numérica del modelo ………………………………………………… 616.1.5. Estimación de los parámetros del modelo …………………… ……………… 626.1.6. Resultado del modelo de hinchamiento………………………………………… 646.2. MODELO PARA LA DIFUSIÓN DEL SOLUTO …………………………… 696.2.1. Formulación matemática del modelo ………………………………………… 696.2.2. Procedimiento experimental…………………………………………………… 706.2.3. Análisis de DSC ……………………………………………………………… 726.2.4. Estimación de los parámetros del modelo de difusión ………………………… 746.2.5. Resultado del modelo de difusión……………………………………………… 77

7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ……………………………… 797.1. CONCLUSIONES …………………………………………………………… 797.2. RECOMENDACIONES ……………………………………………………… 81

BIBLIOGRAFÍA …………………………………………………………………… 83

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LISTA DE SÍMBOLOS

A : Área

B : Constante cinética

C : Concentración Cp : Capacidad calorífica molar o específica a presión constante D : Coeficiente de difusión D : Diámetro De : Número difusivo de Deborah E : Porcentaje de entrecruzante respecto de la carga total de monómeros, elasticidad F : Fuerza tensor, funcionalidad del entrecruzante G : Energía libre de Gibbs; modulo de compresión osmótica H : Porcentaje de monómero, entalpía

K : Tensión del resorte; módulo de expansión osmótica

k : Constante de proporcionalidad entre la velocidad y la capacidad de hinchamiento

L : Alargamiento

M : Modulo osmótico longitudinal, peso molecular, constante de malla

m : Masa

N : Número de moléculas

n : Número de moles

P : Presión

P i : Presión de vapor de la especie i R : Constante universal de los gases

r i : Número de segmentos en la especie i con igual tamaño que una molécula de solvente

S : Entropía, razón entre los módulos de compresión y osmótico longitudinal

Sw : Número de hinchamiento interfacial

T : Temperatura absoluta

t : Tiempo

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IV

V : Volumen

W : Cantidad de agua retenida dentro del hidrogel

w : Concentración local de solvente

x : Fracción molar

Letras griegas

α : Entrecruzamiento inducido en ausencia de entrecruzante

β : Eficiencia de entrecruzamiento

χ i j : Parámetro de interacción entre las especies i y j

∆ : Gradiente

δ : Mitad del espesor

εE : Número efectivo de cadenas elásticas por unidad de volumen de polímero o densidad efectiva de entrecruzamientos

εT : Concentración teórica de cadenas elásticas por unidad volumétrica de polímero hinchado *iφ : Facciones de sitios ocupados por la especie i

φ i : Fracción de volumétrica de la especie i

η : Factor dimensional

λ : Razón de dilatación

µ : Potencial químico

ν : Volumen molar

ρ : Densidad

τ : Tiempo de relajación

ζ : Longitud adimensional

ξ : Función de ajuste, parámetro de distribución de esfuerzos

Subíndices

A : Asociado, adimensional

E : contribución elástica, entrecruzante

I : Contribución iónica

L : Libre

M : Contribución por mezclado

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V

X : Dirección o eje x

Y : Dirección o eje y

Z : Dirección o eje z

1 : Solvente puro

2 : Matriz polimérica

3 : Soluto

Ψ : Hinchamiento máximo

∞ : Equilibrio infinito

Superíndices

C : Contribución combinatorial, colectivo

R : Contribución residual

E : Exterior

G : Gel

S : Solución

0 : Estado de referencia: inicial, puro o xerogel

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LISTA DE TABLAS

Tabla 1.1. Estímulos y mecanismos asociados a polímeros ambientalmente sensibles … 9

Tabla 4.1. Cantidades de reactivos utilizados en los hidrogeles de la serie HE ………… 23

Tabla 4.2. Notación utilizada para los hidrogeles comonoméricos …………………… 23

Tabla 4.3. Modulo de compresión promedio (MN/m2) para la serie HE ……………… 27

Tabla 4.4. Parámetros de interacción homopolímero – solvente obtenidos empíricamente 31

Tabla 4.5. Parámetros de interacción polímero – solvente, obtenidos empíricamente para un homopolímero de agente entrecruzante …………………………… 33

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1. Niveles de un agente activo en un medio de aplicación con: ( a ) dosificación tradicional y ( b ) dosificación con descarga programada ………………… 4

Figura 1.2. Liberación de un agente desde un sistema de descarga de matriz característico……………………………………………………………… 7

Figura 1.3 Depósitos representativos para sistemas de liberación: ( a ) implante o sistema oral y ( b ) sistemas transdérmicos………………………………… 7

Figura 1.4. Sistemas de descarga controlada ambientalmente sensibles desarrollados a partir de: ( a ) depósitos y ( b ) matrices hinchables………………………… 8

Figura 3.1. Modelo mecánico de gel isotrópico bajo tensión uniaxial ………………… 18

Figura 4.1. Volumen de control para modelo de gel no – electrolito ………………… 24

Figura 4.2. Densidad (g/cm3) con relación a la variación en el porcentaje de monómero hidrófobo series: A ( a ), B ( b ), C ( c ), D ( d ), E ( e ), y entrecruzante serie HE ( f ) ………………………………………………………………… 26

Figura 4.3. Estimación de la eficiencia de entrecruzamiento (β) y el entrecruzamiento inducido (α ), para los hidrogeles de HEMA – EGDMA (serie HE) ……… 29

Figura 4.4. Número promedio de segmentos en la cadena polimérica (r2) asociado a la variación en: (a) el porcentaje de entrecruzante (serie HE) y (b) el porcentaje de monómero hidrófobo ………………………………………………… 30

Figura 4.5. Conducta para el parámetro de interacción polímero – solvente (χ12) asociada a la variación en el porcentaje de monómero hidrófobo ………… 32

Figura 4.6. Conducta para el parámetro de interacción polímero – solvente (χ12) asociada a la variación en el porcentaje de entrecruzante ………………… 32

Figura 4.7. Esquema general del programa para determinar capacidad de hinchamiento en el equilibrio …………………………………………………………… 34

Figura 4.8. Capacidad de hinchamiento en el equilibrio con relación al porcentaje de entrecruzante …………………………………………………………… 35

Figura 4.9. Capacidad de hinchamiento en el equilibrio con relación a la proporción de monómeros series: ( a ) A, (b ) B, ( c ) C, (d ) D, ( e ) E, ( f ) VH y VB …… 36

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VIII

Figura 4.10. Comportamiento de la fracción volumétrica del polímero en el equilibrio en una solución 10% de urea observada durante la variación de: ( a ) porcentaje de entrecruzante y ( b ) porcentaje de monómero hidrófobo ……………… 38

Figura 4.11. Efecto que sobre la fracción volumétrica del polímero en el equilibrio tanto en una solución 10% de urea y como en el solvente puro, tiene la variación de: (a) porcentaje de entrecruzante y (b) porcentaje de monómero hidrófobo 39

Figura 5.1 Descripción esquemática de: ( a ) un proceso de difusión de moléculas de tinta en agua y ( b ) un proceso de hinchamiento de un gel………………… 43

Figura 5.2. Esquema de hinchamiento infinitesimal para una matriz polimérica ……… 44

Figura 6.1. Sistema coordenado para la difusión unidimensional de solvente ………… 52

Figura 6.2. Diferencias con respecto al tiempo en el grado de hinchamiento entre la técnica gravimétrica y la digitalización da áreas radiales cuando el proceso se considera isotrópico ……………………………………………………… 55

Figura 6.3. Desviaciones observadas en el grado de hinchamiento cuando el proceso se considera isotrópico contra la capacidad de hinchamiento a equilibrio, serie HE ……………………………………………………………………… 55

Figura 6.4. Variación del factor dimensional para la serie HE contra el área adimensional AA ………………………………………………………… 56

Figura 6.5. Imagen digitalizada durante el hinchamiento de un hidrogel ……………… 56

Figura 6.6. Imágenes digitalizadas durante el hinchamiento isotérmico del hidrogel HE1 57

Figura 6.7. Imágenes digitalizadas durante el hinchamiento isotérmico del hidrogel 3B1 57

Figura 6.8. Imágenes digitalizadas durante el hinchamiento isotérmico del hidrogel 1E1 58

Figura 6.9. Variación del coeficiente de difusión contra el porcentaje de entrecruzante (serie HE), asociado al modelo cinético de: ( a ) primer orden y ( b ) Li y Tanaka …………………………………………………………………… 59

Figura 6.10. Variación del coeficiente de difusión (mm2/min) contra el porcentaje de monómero hidrófobo, series: ( a ) A, ( b) B, ( c ) C, ( d ) D y ( e ) E ……… 60

Figura 6.11. Variación del coeficiente de difusión (mm2/min) contra el porcentaje de monómero hidrófobo, series: ( a ) A, ( b) B, ( c ) C, ( d ) D, ( e ) E; y ( f ) el porcentaje de entrecruzante serie HE……………………………………… 63

Figura 6.12 Esquema general del programa para solucionar el modelo de difusión …… 64

Figura 6.13. Perfiles previstos durante el hinchamiento de un hidrogel HE05 ………… 65

Figura 6.14. Número difusivo de Deborah contra el porcentaje de monómero hidrófobo, series: ( a ) A, ( b) B, ( c ) C, ( d ) D, ( e ) E; y ( f ) el porcentaje de entrecruzante serie HE ………………………………………………… 66

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IX

Figura 6.15. Cambios dimensiónales para los hidrogeles de la serie HE (a ) espesor y ( b ) diámetro ………………………………………………………………… 67

Figura 6.16. Comparación en el cambio del espesor y el diámetro durante el hinchamiento de un hidrogel HE05 ……………………………………… 67

Figura 6.17. Variación en el porcentaje de la fase gomosa en los hidrogeles de la serie HE 68

Figura 6.18. Curva de calibración para determinar la concentración (g/l) de urea en la solución a partir del área del pico cromatográfico (UVseg)………………… 70

Figura 6.19. Curvas de liberación, concentración de urea contra el tiempo, para hidrogeles con monómero hidrófobo variable: ( a ) 3A1, ( b ) 4A1, ( c ) 5A1, ( d ) 3B1, ( e ) 4B1, ( f ) 5B1, ( g ) 3E1, ( h ) 4E1, ( i ) 5E1, ( j ) 3C1 y ( k ) 5C1 ……………………………………………………………………… 71

Figura 6.20. Curvas de liberación: concentración de soluto contra el tiempo, para hidrogeles con entrecruzante variable ( a ) HE05, ( a ) HE1, ( c ) HE3, ( d ) HE5 y ( e ) HE10………………………………………………………… 72

Figura 6.21. Comportamiento del contenido de agua libre, asociada y total en el equilibrio generado por la variación del: (a) porcentaje de entrecruzante (serie HE) y (b) porcentaje de monómero hidrófobo (series A, B, C, D y E) 74

Figura 6.22. Variación del coeficiente de difusión del soluto contra el contenido de agua libre en la matriz polimérica, series: ( a ) A, ( b ) B, ( c ) C, ( d ) E y ( e ) HE 76

Figura 6.23. Curvas cinéticas de: ( a ) hinchamiento y ( b ) liberación, durante la difusión de urea desde un hidrogel HE3 …………………………………………… 77

Figura 6.24. Perfiles durante la difusión de urea desde un hidrogel HE3: ( a ) concentración de solvente y ( b ) concentración de soluto ………………… 78

Figura A.1. Medidor de cuadrante SM – 112 ………………………………………… 91

Figura A.2. Tipos de yunques y puntos de contacto para los indicadores de cuadrante … 91

Figura B.1. Analizador Mecánico Dinámico: Rheometric Scientific …………………… 92

Figura C.1. Calorímetro diferencial de barrido (DSC 2910: TA-Instruments) ………… 93

Figura C.2. Esquema para la celda de flujo de calor en un DSC ……………………… 94

Figura C.3. Temperatura modulada contra temperatura del horno ensayos de DSC …… 96

Figura D.1. Termogramas para los hidrogeles de HEMA – EGDMA (serie HE) ……… 97

Figura D.2. Termogramas para los hidrogeles de la serie A (entrecruzante: dimetacrilato de trietilenglicol 1%) ……………………………………………………… 97

Figura D.3. Termogramas para los hidrogeles de la serie B (entrecruzante dimetacrilato de tetraetilenglicol 1%) …………………………………………………… 97

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X

Figura D.4. Termogramas para los hidrogeles de la serie C (entrecruzante divinilbenceno 1%) ……………………………………………………………………… 98

Figura D.5. Termogramas para los hidrogeles de la serie D (entrecruzante dimetacrilato de etilenglicol 1%)………………………………………………………… 98

Figura D.6. Termogramas para los hidrogeles de la serie E (entrecruzante dimetacrilato de dietilenglicol 1%) ……………………………………………………… 98

Figura D.7. Termogramas para los hidrogeles de la serie E con 90% de ácido acrílico y diversos porcentajes de entrecruzante …………………………………… 99

Figura E.1. Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie HE 100

Figura E.2. Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie A … 100

Figura E.3. Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie B … 100

Figura E.4. Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie C … 101

Figura E.5. Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie D … 101

Figura E.6. Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie E … 101

Figura E.7. Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie HE ………………………………………………………………… 102

Figura E.8. Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie A. …………………………………………………………………… 102

Figura E.9. Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie B …………………………………………………………………… 102

Figura E.10. Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie C …………………………………………………………………… 103

Figura E.11. Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie D ………………………………………………………………… 103

Figura E.12. Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie E …………………………………………………………………… 103

Figura F.1. Cromatogramas para determinar la curva de calibración con soluciones patrón de Urea: ( a ) 0.01, ( b ) 0.05, ( c ) 1 y ( d ) 2 g/l …………………… 104

Figura F.2. Cromatogramas para muestras tomadas luego de 5 minutos de liberación para los hidrogeles: ( a ) 3A1 y ( b ) HE10 ……………………………… 104

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LISTA DE ANEXOS

Anexo A MEDIDOR DE CUADRANTE PARA ESPESORES ………………… 91

Anexo B DMA RHEOMETRIC SOLIDS ANALYZER (RSA II) ……………… 92

Anexo C DSC 2910 ……………………………………………………………… 93

Anexo D TERMOGRAMAS ……………………………………………………… 97

Anexo E CURVAS DE HINCHAMIENTO DE LOS HIDROGELES A 15 ºC Y pH 7 …………………………………………………………………… 100

Anexo F CROMATOGRAMAS ………………………………………………… 104

Anexo G MANUAL PARA LA UTILIZACIÓN DE MODHIGEL ……………… 105

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INTRODUCCIÓN

Las matrices poliméricas hinchadas con agua o hidrogeles son sistemas que debido a factores

energéticos incrementan su volumen (se hinchan) hasta alcanzar el equilibrio fisicoquímico, en

respuesta a diferentes tipos de estímulos físicos y químicos como la luz, fuerza iónica,

temperatura, pH, campo eléctrico o concentración del solvente pueden sufrir transición

volumétrica de fase. 1 Estos rasgos únicos en sistemas de gel, sumados a buenas propiedades

mecánicas, altas biocompatibilidad, biodegrabilidad, resistencia química y térmica, permiten que

sean útiles en diversas aplicaciones científicas e industriales.2, 3 Extensas investigaciones en los

últimos cuarenta años han hecho que sean utilizados para la entrega sostenida de pesticidas y

fertilizantes ambientalmente seguros,4 proteínas, 5 y muy especialmente medicamentos

farmacéuticos. 6, 7

En términos simples, la liberación programada de un agente puede definirse como la permeación

moderada del material activo desde un depósito hasta un receptor designado, para mantener una

concentración predeterminada o un nivel de emisión del agente durante un periodo específico de

tiempo. En general muchos polímeros posean los requisitos necesarios para ser explotados en la

formulación de sistemas de entrega proyectada, pero la capacidad de mezclar o disolver un

agente activo para que se difunda desde dentro de una matriz polimérica que a su vez puede

disolverse o desintegrarse antes de que la sustancia pueda liberarse convierten a los hidrogeles en

materiales útiles como dispositivos moleculares para la entrega autorregulada de sustancias. Dado

que el componente simplemente se encajona dentro de la matriz del polímero, la macromolécula

estrictamente actúa como un vehículo para la entrega, permitiendo que el agente permanezca en

su forma activa y su descarga al ambiente se extiende durante mayores tiempos ejerciendo sus

efectos sólo al dejar la matriz.

Debido a que estos sistemas de descarga programada se rigen principalmente por la necesidad de

alcanzar el equilibrio, es esencial tener una imagen clara sobre el proceso de difusión del agente

activo desde la fase de gel al medio circundante y su dinámica, para establecer una formulación

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XIII

pertinente. El objetivo de esta tesis es formular y ajustar un modelo para describir la liberación de

solutos desde hidrogeles; teniendo en cuenta variaciones en la proporción de grupos hidrofílicos,

grado de entrecruzamiento de la matriz polimérica, y condiciones del medio circundante. La

investigación consta de tres partes: (1) el desarrollo de un modelo matemático acoplando

modelos de equilibrio de fase y difusivos, (2) determinación experimental de la capacidad de

hinchamiento, velocidades de absorción y liberación de agua y solutos, en los hidrogeles

preparados y (3) la implementación del modelo mediante el desarrollo de un programa de

computador para establecer su grado de ajuste con respecto a los resultados experimentales.

El modelo de equilibrio de hinchamiento se basa en el modelo efectivo de Flory–Huggins

acoplado con el modelo de estructura de red afín de la teoría de Flory–Rehner. 8 La conducta no

Fickiana observada en el transporte de masa en estos materiales poliméricos se analiza a través de

la ecuación de flujo difusivo, en donde la concentración es dependiente del tiempo de relajación

y la difusividad. En adición a las conductas Fickianas tanto para números de Deborah pequeños

como altos, el modelo incluye la conducta anómala asociada a números intermedios de Deborah.

En la fase experimental se sintetizaron geles poliméricos utilizando metacrilato de 2–hidroxietilo

como monómero y dimetacrilato de etilenglicol como entrecruzante, con diferentes grados de

entrecruzamiento. Adicionalmente se utilizaron polímeros disponibles de trabajos anteriores con

diversas combinaciones entre un monómero hidrófobo, hexametacrilamida, y uno hidrofílico,

ácido acrílico, con diferentes entrecruzantes. Con estos geles poliméricos, se llevo a cabo el

estudio de la cinética de absorción de agua, y la medición de la velocidad de liberación de un

soluto (Urea) desde el hidrogel; donde cabe destacar el desarrollo de una nueva técnica para el

seguimiento de las cinéticas de hinchamiento basada en la digitalización de las imágenes

proyectadas por el hidrogel durante este proceso mediante un escáner. La implementación de los

modelos acoplados, contribuye a optimizar el diseño de hidrogeles para sistemas de entrega

programada, con la posibilidad de plantear futuros proyectos de investigación que busquen

trabajar en una aplicación específica que pueda ser de interés para el sector productivo.

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1. MARCO TEÓRICO

1.1. HIDROGELES

Un gel es una estructura polimérica entrecruzada, que por acción de un líquido experimenta

hinchamiento permaneciendo insoluble sin perder su forma original, debido al balance total entre

las fuerzas intermoleculares dispersivas y cohesivas (dentro de las cuales se incluye la absorción

del solvente); al someter el gel a sequedad se alcanza una estructura cristalina denominada

xerogel. 9, 10 Cuando el hinchamiento se produce por acción del agua se obtienen hidrogeles,

compuestos insolubles por la existencia de la matriz polimérica e hidrofílicos debido a la

presencia en su estructura de grupos afines al agua ( -OH, -COOH, -CONH2, -CONH, -SO3H );

cuya suavidad y elasticidad, se asocian a la densidad de entrecruzamiento e hidrofilicidad de los

monómeros. 11

1.1.1. Monómeros

Un polímero apto para ser usado como hidrogel, debe poseer grupos que permitan la absorción

de agua y presentar una estructura interna que le confiera buenas propiedades mecánicas, estas

dos características pueden ser obtenidas por la copolimerización de monómeros hidrofílicos e

hidrófobos. 12 Es posible lograr materiales con una amplia variedad de propiedades gracias a las

combinaciones, que incluyen gran cantidad de monómeros, dentro de los que se destacan: 9, 13, 14

Hidroxialquil metacrilatos o acrilatos: como metacrilato de

2–hidroxietilo (HEMA). CH2

CH3

O

OOH

Acrilamidas o metacrilamidas: como la acrilamida de n–

isopropilo (NIPA). CH2

O

N CH3

CH3

H N–vinil–2–pirrolidona (VP), la cual es una lactama de gran

solubilidad. NO

CH2

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15

1.1.2. Iniciadores

La elección del iniciador es función del monómero o monómeros que se intente polimerizar, en

el caso de copolimerizaciones el iniciador debe serlo de todos los monómeros que formen parte

del sistema. Los sistemas de iniciación más empleados en la síntesis de polímeros son:

Iniciadores radicales: peróxido de benzoilo (BPO), 2,2'–azobisisobutironitrilo (AIBN).

Iniciadores iónicos: n–butil litio, tertbutoxido de litio.

Iniciadores redox: persulfato potásico y bisulfito sódico.

1.1.3. Agente Entrecruzante

En la síntesis, al igual que el sistema de iniciación y los monómeros, el agente entrecruzante

presenta gran relevancia, dado que su naturaleza y concentración inciden directamente sobre

características como la movilidad del solvente y sustancias cargadas dentro del hidrogel,

capacidad de absorción, estabilidad mecánica, tamaño del poro, y textura. 9, 15 Ampliamente se

han utilizado como agentes entrecruzantes: trimetacrilato de trimetilolpropano, 10, 16 dimetacrilato

de etilenglicol (EGDMA) 17, 18 y n,n′–metilen–bis–acrilamida ; 19, 20 pero en general la selección del

entrecruzante, así como el grado de entrecruzamiento están relacionados con el tipo de

monómero que predomina en el hidrogel y las propiedades tanto de absorción como mecánicas

que se estén buscando en el producto final. 10

1.1.4. Polimerización

La síntesis de un hidrogel es una reacción de polimerización en cadena, por lo cual es aplicable

cualquiera de las técnicas usadas comúnmente como polimerización en: masa, solución,

suspensión, dispersión y emulsión; siendo más utilizadas las dos primeras. 13, 21, 22

Mediante la polimerización en masa se obtiene un polímero sólido debido a que el sistema

reaccionante esta conformado exclusivamente por: monómeros, iniciador y agente entrecruzante.

En la polimerización en solución el proceso se realiza en presencia de un disolvente; si no se

utiliza agente entrecruzante, se obtiene una disolución del polímero que más tarde puede

precipitarse y entrecruzarse; si, en cambio, se utiliza agente entrecruzante el producto final es un

gel solvatado.

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16

1.1.5. Usos

El desarrollo de estos materiales comienza en 1960, cuando Wichterle y Lim 23 reportan los

resultados obtenidos en aplicaciones biomédicas con hidrogeles de poli(HEMA) y sus derivados.

Hoy en día los hidrogeles son empleados en membranas, catéteres, lentes de contacto,

instrumentos para sanar heridas, crear músculos y lagrimas artificiales, absorbentes en pañales y

toallas higiénicas. 11, 13 Los hidrogeles han mostrado ser materiales ambientalmente seguros y no

tóxicos; además permiten incorporar fácilmente en su interior agentes activos, por lo cual es muy

amplia su utilización como sistemas para liberar químicos bioactivos (medicamentos

farmacéuticos, pesticidas, insecticidas, herbicidas y fertilizantes) a un sitio requerido en cantidades

programadas durante tiempos relativamente largos reduciendo el riesgo de efectos indeseables.

1.2. LIBERACIÓN PROGRAMADA

La liberación programada ocurre cuando un agente activo se combina apropiadamente con un

polímero, sea natural o sintético, para que se produzca su descarga en una forma prediseñada. La

liberación del componente activo puede ser constante durante un largo periodo, cíclica durante

un amplio periodo, o puede ser activada por el ambiente u otros eventos externos. En todo caso,

el propósito detrás de la entrega proyectada de un agente activo es lograr terapias más eficaces

eliminando eventuales sobre– y sub– dosificaciones; otras ventajas de usar sistemas de liberación

programada pueden incluir el mantenimiento de niveles de agente activo dentro de un rango

deseado, la posibilidad de menor número de dosis, y el uso óptimo del agente en cuestión. Si

bien estas ventajas son significativas, no debe ignorarse las potenciales desventajas: la posible

toxicidad o no biocompatibilidad de los materiales usados, degradaciones indeseables del

producto, el proceso requerido para implantar o quitar el sistema, la eventual incomodidad del

paciente por la presencia del dispositivo de entrega, y el mayor costo de los sistemas de liberación

programada comparados con las formulaciones tradicionales.

En situaciones que requieren: liberación lenta de agentes hidrosolubles, liberación rápida de

agentes de baja solubilidad, liberación de agentes en sitios específicos, liberación de agentes

usando sistemas nanoparticulados, liberación de dos o más agentes con la misma formulación, y

los sistemas basados en portadores que se pueden disolver o degradar con rápida eliminación; la

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proyección de la entrega del agente activo puede ser el factor más importante. Un sistema ideal

de liberación debe ser inerte, biocompatible, mecánicamente fuerte, cómodo para el paciente,

capaz de lograr altas cargas de agente, seguro en descargas accidentales, de suministro y retiro

simple, y fácil de fabricar y esterilizar. 24

La meta de muchos de los sistemas de descarga programada es lograr un perfil de liberación que

produzcan un alto nivel de agente en el medio durante un largo periodo de tiempo. Con los

sistemas tradicionales, la cantidad de agente puede seguir el perfil mostrado en la Figura 1.1.a,

en que el nivel se incrementa después de cada dosis con una posterior disminución hasta el

próximo suministro. El factor relevante en la dosificación tradicional es la variación del nivel de

agente dentro de un valor máximo que puede representar un nivel tóxico y un valor mínimo

debajo del cual el agente no es eficaz. En sistemas de entrega proyectada diseñados para la

administración a largo plazo, el nivel del agente sigue el perfil mostrado en la Figura 1.1.b,

permaneciendo constante, entre el máximo y mínimo deseados, durante un prolongado periodo

de tiempo, que depende tanto de la formulación como de su aplicación.

Figura 1.1. Niveles de un agente activo en un medio de aplicación con: ( a ) dosificación

tradicional y ( b ) dosificación con descarga programada.

Recientemente, las formulaciones de entrega proyectada de medicamentos y los polímeros

usados en estos sistemas han incrementado su grado de sofisticación, con la habilidad de

extender el periodo efectivo de descarga para un agente en particular. Por ejemplo, los sistemas

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de descarga programada actuales pueden responder a cambios biológicos en el ambiente,

liberando o cesando la liberación cuando se producen estos cambios; además, se han

desarrollado materiales con sistemas de liberación orientados en los que una formulación

particular puede dirigir la entrega del agente a una célula, tejido o sitio específico.

1.2.1. Materiales para los sistemas de liberación

Gran variedad de materiales se han empleado en sistemas de descarga de agentes activos. Los

primeros de estos polímeros, se pensaron originalmente para usos no biológicos, y se

seleccionaron debido a propiedades físicas que en ellos eran deseables, por ejemplo:

Poli(uretanos) por elasticidad.

Poli(siloxanos) o siliconas por su habilidad aislante.

Poli(metil metacrilato) por su fuerza física y transparencia.

Poli(vinil alcohol) por su hidrofilicidad y fuerza.

Poli(etileno) por su dureza y falta de hinchamiento.

Poli(vinil pirrolidona) por su capacidad de suspensión.

Para ser usado con éxito en formulaciones de liberación controlada de medicamentos, un

material debe ser químicamente inerte y libre de impurezas lixiviables. También debe tener una

estructura física apropiada, con mínimo envejecimiento indeseable, y debe ser rápidamente

procesable. Algunos de los materiales que se están usando actualmente o se estudian para la

liberación controlada de medicamentos incluyen: Poli(metacrilato 2– hidroxietilo), Poli(n– vinil

pirrolidona), Poli(metil metacrilato), Poli(alcohol vinílico), Poli(ácido acrílico), Poli(acrilamida),

Poli(etileno–co– vinil acetato), Poli(etilen glicol), Poli(ácido metacrílico). Sin embargo, en años

recientes polímeros adicionales diseñados principalmente para las aplicaciones médicas han

entrado en el campo de la liberación controlada, muchos de los cuales se diseñan para degradar

dentro del cuerpo, entre ellos: Polilactidos (PLA), Poliglicolidos (PGA), Polianhídridos,

Poli(lactido– co– glicolidos) (PLGA), Poliortoésteres.

Originalmente, se usaron polilactidos y poliglicolidos como materiales absorbentes de sutura,

siendo natural el paso de estos polímeros al trabajo en sistemas de descarga controlada de

medicamentos. La mayor ventaja de estos polímeros degradables es que ellos se rompen en

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19

moléculas biológicamente aceptables que se metabolizan y se eliminan del cuerpo a través de las

rutas metabólicas normales. Sin embargo, los materiales biodegradables producen derivados de

degradación que deben tolerarse con reacción adversa baja dentro del ambiente biológico. 25

1.2.2. Factores que inciden en el comportamiento de los sistemas de liberación

A continuación se muestran los factores más importantes que afectan el comportamiento de los

materiales que conforman un sistema de liberación programada:

Estructura y composición química.

Conformación de las cadenas.

Presencia de grupos iónicos.

Presencia de unidades inesperadas o defectos de la cadena.

Peso molecular y su distribución.

Morfología (amorfo / semicristalino, microestructuras, tensiones residuales).

Presencia de compuestos del bajo peso molecular.

Condiciones de procesamiento, templado, esterilización y almacenamiento.

Sitio de implantación.

Compuestos adsorbidos y absorbidos (agua, lípidos, iónes, etc.).

Factores fisicoquímicos (intercambio iónico, fuerza iónica, pH).

Factores físicos (forma y cambios de tamaño, variaciones de coeficientes de difusión,

tensiones mecánicas, inducción a ruptura por tensión y solvente, etc.).

Mecanismo de hidrólisis (enzimas versus agua).

1.2.3. Mecanismos de liberación programada

Hay tres mecanismos primarios por los que se puede descargar agentes activos desde un sistema

de liberación: difusión, degradación, e hinchamiento seguido por difusión; cualquiera o todos

estos mecanismos pueden ocurrir en un sistema de liberación determinado. La difusión sucede

cuando un agente activo atraviesa el polímero que forma el dispositivo de descarga proyectada,

puede ocurrir a escala macroscópica, a través de poros en la matriz polimérica, o a nivel

molecular, pasando entre las cadenas del polímero. Ejemplos de sistemas de descarga por

difusión se muestran en las Figuras 1.2 y 1.3.

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20

En la Figura 1.2, el polímero y el agente activo se mezclan formando un sistema homogéneo,

también llamado sistema de matriz. 26 La difusión ocurre cuando el agente pasa de la matriz

polimérica al ambiente externo, si la liberación es continúa su velocidad normalmente disminuye,

dado que el agente activo tiene que viajar una distancia progresivamente más larga y por

consiguiente la descarga requiere un tiempo de difusión mayor.

Figura 1.2. Liberación de un agente desde un sistema de descarga de matriz característico.

Para los sistemas mostrados en la Figura 1.3, un deposito (sea el agente sólido, solución diluida, o

solución altamente concentrada dentro de un matriz polimérica) esta rodeado por una película o

membrana uniforme de material que se convierte en la única estructura capaz de limitar

eficazmente la descarga del agente, permitiendo lograr una velocidad de descarga del agente

activo estable a lo largo de la vida del sistema de liberación; el esquema mostrado en la Figura

1.3.a es representativo de un implante o sistema de liberación de depósito oral, mientras que el

esquema mostrado en la Figura 1.3.b ilustra un sistema de liberación de medicamento

transdérmico en el que realmente sólo un lado del dispositivo estará realizando la entrega.

Figura 1.3. Depósitos representativos para sistemas de liberación: ( a ) implante o sistema oral

y ( b ) sistemas transdérmicos.

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21

En los sistemas de difusión controlada descritos anteriormente, el dispositivo de descarga del

agente es fundamentalmente estable en el ambiente y no cambia su tamaño a través de

hinchamiento o degradación. En estos sistemas, las combinaciones de matriz polimérica y agente

activo escogidas deben permitir que el agente se difunda a través de los poros o estructuras

macromoleculares del polímero que conforma el sistema de liberación hacia el ambiente sin

inducir cualquier cambio en el propio polímero.

1.2.4. Sistemas ambientalmente sensibles

También es posible diseñar sistemas de liberación de componentes incapaces de descargar su

agente o agentes hasta que se alcance un ambiente apropiado, tal es el caso de los denominados

polímeros ambientalmente sensibles o “inteligentes”. Dependiendo del polímero, el cambio

ambiental puede involucrar pH, temperatura o la fuerza iónica. La mayoría de los cambios

estructurales son reversibles y repetibles, con mecanismos activados por las variaciones en el

ambiente externo tal como se muestran en la Tabla 1.1. 27

En sistemas de matriz, la liberación del agente solo se presenta cuando el polímero en contacto

con el medio absorbe agua u otros fluidos e hincha, lo que puede ocurrir por un cambio en

cualquiera de los factores ambientales, si el factor regresa a su condición inicial el sistema se

encoge y la liberación se detiene. El hinchamiento incrementa el volumen de solvente acuoso

dentro de la formulación así como el tamaño de malla del polímero, permitiendo al agente

difundirse a través de la red hinchada hacia en el ambiente externo. En las Figuras 1.4.a y 1.4.b se

muestran ejemplos de estos tipos de dispositivos, depósito y sistema de matriz, respectivamente.

Figura 1.4. Sistemas de descarga controlada ambientalmente sensibles desarrollados a partir de:

( a ) depósitos y ( b ) matrices hinchables.

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22

Tabla 1.1. Estímulos y mecanismos asociados a polímeros ambientalmente sensibles.

Estímulo Hidrogel Mecanismo

pH Hidrogel ácido o básico Cambio en pH → hinchamiento → descarga del agente

Fuerza iónica Hidrogel iónico Cambio en la fuerza iónica → cambio en la concentración de iones dentro de gel → cambia el hinchamiento → descarga del agente

Especies químicas

Hidrogel conteniendo grupos que aceptan electrones

Compuestos electrón-donantes → formación de complejos de transferencia de carga → cambia el hinchamiento → descarga del agente

Enzima-substrato

Hidrogel que contiene enzimas inmovilizadas

Substrato presente → conversión enzimática → cambio de producto hinchamiento del gel → descarga del agente

Magnético Partículas magnéticas dispersadas en microesferas de alginato

Aplicación de campo magnético → cambio los poros en el gel → cambia el hinchamiento → descarga del agente

Térmico Hidrogel termosensible poli(N-isopropilacrilamida)

Cambio en temperatura → cambio en las interacciones polímero-polímero y agua-polímero → cambia el hinchamiento → descarga del agente

Eléctrico Hidrogel polielectrolito Aplicación de campo eléctrico → membrana cargada → electrofóresis del agente cargado → cambia el hinchamiento → descarga del agente

Irradiación de

Ultrasonido

Hidrogel de etileno –alcohol vinílico

Irradiación de ultrasonido → aumento de temperatura → descarga del agente

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2. METODOLOGÍA

La gran mayoría de los trabajos realizados por investigadores en el área de los geles poliméricos

se ubican dentro de tres categorías: ( 1 ) fabricación y caracterización del gel (incluyendo estudios

de las propiedades mecánicas), ( 2 ) modelamiento teórico de la conducta de hinchamiento y ( 3 )

su aplicación (principalmente en sistemas de liberación de medicamentos); el análisis, estudio y

estandarización de la información disponible en revistas y textos especializados para cada una de

estas categorías permitió establecer la estrategia experimental, formular y verificar un modelo

para describir la liberación de solutos desde hidrogeles teniendo en cuenta la proporción de

grupos hidrofílicos y el grado de entrecruzamiento de la matriz polimérica.

Como se indico en el marco teórico gran cantidad de factores inciden sobre el comportamiento

de los sistemas de liberación programada, en la presente investigación se consideran de manera

exclusiva los sistemas de liberación basados en matrices poliméricas hinchables de forma

discoidal cuando no se presentan variaciones de factores fisicoquímicos (intercambio iónico,

fuerza iónica, pH). Los geles poliméricos se obtuvieron modificando el porcentaje de

entrecruzante y proporción de comonómeros, y manteniendo fijas la temperatura, tiempo de

reacción, iniciador, porcentaje de iniciador y técnica de polimerización; para analizar el efecto del

grado de entrecruzamiento se sintetizaron polímeros utilizando metacrilato de 2–hidroxietilo

como monómero y con dimetacrilato de etilenglicol como entrecruzante, entre 0.5 y 10%

respecto de la carga total de monómero; y para evaluar la incidencia de la hidrofilicidad del

polímero sobre el proceso de hinchamiento se utilizaron hidrogeles disponibles de trabajos

anteriores con porcentajes entre 0 y 50% para un monómero hidrófobo, hexametacrilamida

copolimerizado con ácido acrílico monómero de carácter hidrofílico y cinco entrecruzantes

diferentes.

Debido a que tanto la forma como el tamaño inciden sobre la conducta de los hidrogeles y el

mecanismo de difusión asociado al proceso de hinchamiento, se decidió delimitar la

experimentación a discos con dimensiones muy similares (alrededor de 0.85 milímetros de

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espesor y 10 milímetros de diámetro), para lograr las características geométricas deseadas se

realizó un proceso de adecuación de las muestras disponibles.

El modelamiento teórico de la conducta de hinchamiento del gel se centra primordialmente en

dos aspectos: la determinación de la condición de equilibrio, y la correlación del fenómeno

difusivo tanto del soluto como del solvente; por ello se decidió dividir el cuerpo del trabajo en

estas dos áreas: los capítulos 3 y 4 corresponden al modelo de equilibrio de hinchamiento, en los

capítulos 5 y 6 se presentan los modelos para la difusión de solutos y solventes en hidrogeles;

describiendo para cada modelo: aspectos teóricos, verificación y ajuste que con los resultados

experimentales producidos durante la investigación se logró.

El modelo de equilibrio de hinchamiento se basa en el modelo efectivo de Flory–Huggins

acoplado con el modelo de estructura de red afín de la teoría de Flory–Rehner. 8 Los ensayos de

absorción se realizaron por inmersión del hidrogel en un volumen de agua, midiendo su tamaño

y peso con relación al tiempo hasta llegar a una condición de estabilidad, lo que corresponde al

método gravimétrico tradicionalmente utilizado para realizar el seguimiento de las cinéticas de

hinchamiento, pero adicionalmente se desarrollo un nueva técnica basada en la digitalización de

las imágenes proyectadas por los hidrogeles en el medio de hinchamiento mediante un escáner.

La conducta no Fickiana observada en el transporte de masa en estos materiales poliméricos se

analiza a través de la ecuación de flujo difusivo, en donde la concentración es dependiente del

tiempo de relajación y la difusividad. La velocidad de difusión del agua dentro del hidrogel

presenta características especiales que son objeto de estudio, debido a las diferencias que con

respecto a la ley de Fick han encontrado algunos investigadores, por lo tanto se plantea un

esquema para relacionar las características de la estructura polimérica con los fenómenos

difusivos dentro de la matriz.

La caracterización del hidrogel para la verificación y planteamiento de los modelos, se realizó

determinando al hidrogel hinchado propiedades como: agua asociada y libre, medidas por

estudios de calorimetría diferencial de barrido (DSC), y peso molecular promedio entre

entrecruzamientos, mediante análisis dinámico mecánicos (DMA). Para los estudios de liberación

de solutos, se trabajaron con los hidrogeles que mostraron mayor resistencia mecánica, los cuales

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25

inicialmente se hincharon en una solución de urea hasta alcanzar el equilibrio, y posteriormente

se introdujeron en agua destilada y por cromatografía líquida de alta eficiencia HPLC se midió la

velocidad con la cual se libera la urea desde el hidrogel a un medio externo donde el soluto se

halla ausente.

Con los modelos desarrollados se creó un programa de computador que por si mismo se

convierte en una útil herramienta de análisis y verificación cuando se desea describir los procesos

de difusión de solutos y solventes en matrices poliméricas hinchables, al igual que las condiciones

de equilibrio alcanzadas por los hidrogeles en agua, dado que con este programa es posible:

observar la capacidad de hinchamiento contra el porcentaje de monómeros y entrecruzantes para

una amplia variedad de sistemas poliméricos; computar perfiles de solvente y soluto, curvas para

variaciones dimensionales (espesor y diámetro), avance de la fase elástica y cinéticas durante los

procesos de hinchamiento y difusión de un soluto.

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3. EQUILIBRIO DE HINCHAMIENTO

Recientes investigaciones han desarrollado modelos teóricos de la conducta de hinchamiento:

Tanaka, 26 Sassi et al., 28 Lele et al., 29 Prange et al., 30 Kayaman et al., 31 Grimshaw et al., 32 Li y

Tanaka 33; cuya aplicación requiere múltiples parámetros de ajuste, que desafortunadamente no

han sido corroborados eficientemente en forma experimental; por ello en la presente

investigación se decidió continuar utilizando como base el trabajo de pionero planteado por

Flory 8 en 1953. En este capítulo se delinean los elementos más relevantes del modelo de Flory,

comenzando por el planteamiento inicial del concepto de la teoría de enrejado, continuando con

las modificaciones realizadas para describir la expansión volumétrica que se presenta en los

sistemas hinchables y finalizando con la generalización del modelo para sistemas

multicomponentes.

El hinchamiento de un gel puede verse como resultado de la reducción del potencial químico de

todos los componentes difundibles (incluyendo iones) que existen tanto en el gel como en el

fluido que lo rodea (solución), por lo cual el criterio de equilibrio es Solución,Gel, ii µµ = , donde µi

es el potencial químico de la especie i. Cuando se considera el hinchamiento del gel en el solvente

puro (denotado en adelante por el subíndice 1), el proceso es controlado por el descenso del

potencial químico del solvente, esta consideración inicial pone de manifiesto la utilidad de asociar

el estudio del equilibrio de hinchamiento exclusivamente al efecto que sobre el gradiente de

potencial químico del solvente puede ejercer cada uno de los componentes del sistema.

El gradiente de potencial químico del solvente para un proceso ideal se puede expresar como:

=∆ 0

1

11 ln

PP

RTµ ( 3.1 )

donde 1P y 01P son las presiones de vapor del solvente en el gel y en el solvente puro, R es la

constante de los gases y T es la temperatura absoluta.

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27

3.1. TEORÍA DEL ENREJADO

La condición de equilibrio para sistemas poliméricos se ha estudiado intensivamente desde 1940,

las primeras contribuciones de notable importancia fueron dadas por Paul J. Flory, 8

considerando una mezcla de dos componentes, en las cuales las moléculas del componente 1

(solvente) son pequeñas esferas simétricas y las moléculas del componente 2 (polímero) se

asemejan a una cadena flexible con gran número de segmentos móviles, cada uno de los cuales es

del tamaño de la molécula del solvente, todos ellos ubicados en arreglos regulares en el espacio

denominados retículas.

Considerando N1 moléculas de solvente y N2 moléculas de polímero cada una con r 2 segmentos,

se tiene ( )221 NrN + como número total de sitios en la retícula, de esta forma las fracciones de

sitios ocupados por el solvente ( *1φ ) y el polímero ( *

2φ ) corresponden a:

221

22*2

221

1*1 NrN

NrNrN

N+

=+

= φφ ( 3.2 )

Flory y Huggins demostraron que en mezclas sin efectos energéticos de polímeros amorfos (no

cristalinos) y solventes, el cambio en la energía libre de Gibbs y la entropía de mezcla se dan por:

*22

*11 lnln φφ NN

RS

RTG CC

−−=∆

=∆

− ( 3.3 )

el superíndice C indica que se trata de una contribución combinatorial.

Los efectos energéticos asociados a la diferencia en las fuerzas intermoleculares y en los

volúmenes libres entre los componentes, se cuantifican mediante la contribución residual

(superíndice R), con la cual se introduce el parámetro que mide el efecto de la interacción

polímero – solvente dentro del sistema de mezcla, el cual en adelante se denotara como 12χ , de

esta forma la contribución residual se puede expresar como:

( )221*2

*112 NrN

RTGR

+=∆ φφχ ( 3.4 )

por tanto para una solución real de polímero la energía libre de Gibbs debida al proceso de

mezclado constituye la suma de las dos contribuciones:

( )221*2

*112

*22

*11 lnln NrNNN

RTG

RTG

RTG RC

M +++=∆

+∆

=∆

φφχφφ ( 3.5 )

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El parámetro de interacción polímero – solvente de Flory es específico de cada sistema y

depende principalmente de la naturaleza del solvente y del polímero, el grado de polimerización,

la distribución de grupos hidrofílicos e hidrofóbicos en la cadena; por lo cual resulta impreciso

estimarlo en forma teórica como lo plantea la termodinámica molecular. 34

Los métodos más comúnmente empleados para determinar el parámetro de Flory son: 35

Medidas de dispersión de luz realizadas a dilución infinita de polímero, a temperaturas

cercanas al punto de ebullición de los solventes bajo presión atmosférica.

Medidas de presión de vapor para fracciones en peso del polímero en el rango de 0.3 a 0.7. 36

Cromatografía de gas inversa (IGC) utilizada para determinar valores del parámetro de

interacción de Flory en el límite del polímero puro. 36

Estos métodos son de baja confiabilidad cuando se trata de geles, por lo cual la forma más exacta

de obtener el parámetro de interacción de Flory es mediante datos experimentales en el

equilibrio.

3.2. CAMBIO EN EL POTENCIAL QUÍMICO

Las fuerzas que influyen en el potencial del químico del solvente pueden ser principalmente

atribuidas a tres fenómenos de interacción: potencial intermolecular, deformación elástica de la

red del polímero, y mezcla con los iones móviles. Asumiendo que la solución de gel se diluye

suficientemente, la teoría de Flory – Rehner 8 trata estas tres contribuciones en forma aditiva,

describiendo el cambio del potencial químico como:

IEM ,1,1,11 µµµµ ∆+∆+∆=∆ ( 3.6 )

donde ∆µ1,M , ∆µ1,E y ∆µ1,I representan las contribuciones de mezcla, elástica y electrostática,

respectivamente. Al asumir que las diferentes contribuciones son aditivas, es posible realizar su

evaluación en forma independiente, en el caso de un gel no electrolítico, sólo los primeros dos

efectos son pertinentes debido a que la matriz polimérica no posee los grupos iónicos necesarios

para actuar recíprocamente con los iones móviles.

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29

3.2.1. Contribución por mezclado

Para determinar la contribución por parte del proceso de mezcla, se considera el planteamiento

de la teoría del enrejado, sustituyendo para cada componente el número de moléculas (Ni ) por el

número de moles (ni ) y las fracciones de sitios ocupados *iφ por las fracciones volumétricas iφ .

Si se aplica sobre la Ecuación 2.5 la relación termodinámica que define el potencial químico del

solvente en la mezcla [ ]2,,1,1 )( nTPMM nG ∂∂=µ se obtiene la ecuación de Flory – Huggins que en

forma simple contiene las características más importantes asociadas a las soluciones de grandes

moléculas conteniendo moléculas de tamaño ordinario:

+

−+−=∆ 2

21222

2,111)1ln( φχφφµr

RTM ( 3.7 )

donde φ2 es la fracción de volumétrica del polímero en gel. La fracción volumétrica del polímero

en el hidrogel puede ser expresada por: 12

1122

222 //

/ρρ

ρφ

mmm

+= ( 3.8 )

donde 2m y 1m son respectivamente los pesos del polímero seco y del solvente; ρ2 y ρ1 son las

densidades del polímero seco y del solvente.

La ecuación de Flory – Huggins no provee una descripción precisa de las propiedades

termodinámicas de las soluciones poliméricas reales, pero permite explicar el hinchamiento que

se presenta en los geles cuando los polímeros que constituyen la red entrecruzada se rechazan

entre sí o forman enlaces con el solvente.

3.2.2. Contribución elástica

La cantidad de agua que puede absorber un hidrogel esta asociada tanto a la cantidad de grupos

hidrofílicos como al grado de entrecruzamiento, se puede considerar al entrecruzamiento como

una fuerza física opuesta a las fuerzas de tipo químico que aumentan la solvatación del polímero,

si este no estuviese entrecruzado, el resultado de sumergirlo en una solución sería su disolución

siempre que fuese termodinámicamente factible. 9, 28 Cuando el gel se hincha, el líquido de la

solución circundante se filtra en la red polimérica haciéndola crecer, durante este proceso se

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30

pueden presentar zonas sin presencia líquido que permanecen encogidas, las que ocasionan

irregularidades en la forma, pero una vez el líquido alcanza toda la red polimérica esta vuelve a

ser uniforme, este fenómeno es apreciable en geles de gran tamaño. Pero normalmente se puede

considerar un crecimiento uniforme, debido a que la energía de compresión (caracterizada por el

módulo de compresión) minimiza las deformaciones no isotrópicas en el gel.

Para describir las relación entre las propiedades de hinchamiento con la estructura del gel y su

deformación, se recurre a modelos basados en la teoría estadística compleja que relacionan

notablemente cómo la estructura molecular del polímero responde a la tensión generada por una

deformación microscópica. Sin embargo, esta teoría ofrece sólo una aproximación cualitativa a la

conducta real del polímero, principalmente debido a la suposición que las distancias entre los

puntos de entrecruzamiento pueden ser descritas por una distribución Gaussiana.

El más simple de los modelos que describen la conducta elástica del gel se fundamenta en los

resortes mecánicos. Definiendo por simplicidad el volumen del control como un cubo isotrópico

unitario de gel (solvente y polímero) cuyas caras opuestas en todos los tres ejes se unen por

resortes, que representan la elasticidad del gel; y donde las longitudes restantes corresponden a

las cadenas lineales del gel cuando esta totalmente contraído y libre de tensión externa. Entonces

el equilibrio estático de fuerzas sobre cada cara del volumen de control relaciona las presiones del

solvente con la fuerza tensor. Si bien, las siguientes expresiones se desarrollan a lo largo del eje X

son aplicables a las direcciones restantes (Y y Z): 37

ZYXXXXX LLAFAPAP =+= con0 ( 3.9 )

donde XA es el área de la superficie de la cara que apunta en el eje X, XP es la presión ejercida

sobre XA por el solvente dentro del volumen de control, P 0 es la presión del solvente el baño

externo, XF es la fuerza tensor en el eje X, YL y ZL son los alargamientos en los ejes Y y Z.

Asumiendo que la presión es uniforme dentro del volumen de control,

PPPP ZYX === ( 3.10 )

y considerando el resorte como Hookeano simple con tensión del resorte K:

XX KLF = ( 3.11 )

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31

Para el caso simple de tensión del uniaxial en el eje X ( Figura 3.1 ), ZY LL = debido a que el gel

es isotrópico, el volumen del solvente ( 1V ) dentro del volumen del control esta dado por:

21 YXZYX LLLLLV == ( 3.12 )

combinando los resultados, se obtiene:

0)()( 30301 =−−+− KPPKFPPV X ( 3.13 )

donde la presión solvente puede resolverse como una función de XF y 1V .

Figura 2.1. Modelo mecánico de gel isotrópico bajo tensión uniaxial.

Modelando el efecto elástico del polímero en forma completamente mecánica, se tiene entonces

que el cambio en el potencial del químico del solvente debido a la elasticidad del polímero es:

),(),( 001

01,1 PTPTE µµµ −=∆ ( 3.14 )

incluyendo el volumen molar del solvente (ν1) en el cambio del potencial químico, se tiene:

P∆=∆ 11 νµ ( 3.15 )

combinando los dos resultados anteriores, se consigue:

)( 01,1 PPE −=∆ νµ ( 3.16 )

Para el caso de hinchamiento libre, la contribución elástica es:

3/11

1,1 V

KE

νµ =∆ ( 3.17 )

Si se correlacionan las propiedades elastoméricas con el peso molecular entre entrecruzamientos;

el modelo se transforma en la teoría de la red fantasma, la cual considera que los puntos de unión

(entrecruzamientos) se desplazan libremente, sin ser afectados por la presencia de cadenas

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32

vecinas o por el estado de deformación, la expresión resultante para el cambio en el potencial

químico es: 32

1

2,1

121 −

=∆ λµ

rRTE ( 3.18 )

donde λ es la razón de dilatación, que para hinchamiento isotrópico es la relación entre los

diámetros del hidrogel 2d , y del xerogel 0d : 16

0

23/12 d

d== −φλ ( 3.19 )

Durante el hinchamiento de un gel isotrópico perfectamente cúbico las cadenas se transforman

linealmente con deformación macroscópica, por lo cual es necesario restringir todos los puntos

de unión, surgiendo de esta forma la teoría de la red afín que introduce un elemento adicional en

la expresión para el cambio en el potencial químico del solvente: 38

)2(121 21

2,1

−− −

=∆ λλµ

rRTE ( 3.20 )

Al describir el comportamiento de geles heterogéneos (redes imperfectas), los modelos de red

afín y red fantasma, presentan una concordancia parcial entre la teoría y el experimento, debido a

que los segmentos poliméricos y los puntos de unión no se encuentran uniformemente

distribuidos, lo cual se ha verificado en experimentos de dispersión y microscopía electrónica

donde se observan las inhomogeneidades en los geles. 39 En estos casos es necesario realizar

modificaciones a la teoría de Flory – Rehner. 38, 39, 40, 41

3.2.3. Contribución iónica

En los polímeros cargados se presenta una distribución desigual de los iones dentro del gel y la

solución que lo rodea, produciéndose una diferencia en la presión osmótica de las dos fases, lo

que introduce una contribución adicional al potencial químico del solvente. Una completa

descripción de los efectos de los iones sobre el hinchamiento puede requerir de expresiones para

interacciones: ion – ion, ion – solvente, ion – polímero;42, 43 estas interacciones son ignoradas en

la aproximación ideal de Donan, estableciendo de esta manera un modelo de hinchamiento de

geles polielectrolitos que expresa en forma simple la contribución iónica, al considerar

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33

únicamente la contribución de mezcla de iones para describir los efectos de densidad de carga en

el gel y la concentración del ion sobre el hinchamiento del gel. Si se asume que las

concentraciones de los iones son pequeñas y que el coeficiente osmótico del solvente es la

unidad se obtiene la siguiente expresión para la contribución iónica: 8

∑ −=∆ )( el,Exterior,1,1 GjjI CCRTνµ ( 3.21 )

donde el,GjC y Exterior,jC , son las concentraciones del ion en gel y en el fluido exterior,

normalmente establecidas por las condiciones experimentales. La sumatoria sobre j incluye todos

los iones móviles (desenlazados).

3.3. EQUILIBRIO DE HINCHAMIENTO EN SOLUCIONES

El hinchamiento de geles en soluciones se podría considerar como un sistema multicomponente,

el cual requiere la inclusión de nuevos elementos debido a presencia en el sistema de

componentes adicionales al solvente y al polímero.31 Una primera aproximación se logra cuando

se extiende la teoría de Flory – Huggins a sistemas multicomponentes, lo que implica considerar

la siguiente expresión para el cambio en la energía libre de Gibbs debido al proceso de mezcla:

+=∆ ∑ ∑∑

<i jiijji

iiiiiM nrnRTG χφφφln ( 3.22 )

donde in , iφ y ir son respectivamente número de moles, fracción volumétrica y número de

segmentos de la especie i, y ijχ es el parámetro de interacción entre las especies i y j. Para un

sistema ternario, los subíndices i = 1, 2, 3 denotan respectivamente: el solvente (agua), la matriz

polimérica y el soluto. De esta forma se pueden obtener las contribuciones por mezcla sobre el

cambio de potencial químico tanto de solvente como de soluto, derivando la ecuación 3.22 con

respecto al número de moles del solvente 1n y del soluto 3n , con lo que se obtienen las

siguientes expresiones:

−−++

−+

−+=∆ 32231313212

33

221,1 )1)((1111)ln( φφχφφχφχφφφµ

rrRTM ( 3.23.a )

−−+++−−=∆ 211233223113

2

21

3

33,3 )1)(()ln( φφχφφφχφχφφφµ

rrRTrM ( 3.23.b )

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4. VERIFICACIÓN DEL MODELO DE EQUILIBRIO

En el presente capítulo se delimitan los aspectos teóricos sobre los que se estructura el modelo

de equilibrio de hinchamiento tanto en el solvente puro como en soluciones, definiendo los

parámetros asociados al mismo y la forma en que pueden ser estimados; una de las primeras

actividades desarrolladas corresponde a la síntesis y adecuación de los xerogeles discoidales

usados como unidades experimentales, por ello se describen los ensayos exploratorios y

definitivos que en tal sentido se realizaron; también se relata la forma en que se determinó la

condición de equilibrio para cada unidad experimental y la correlación alcanzada con el modelo.

4.1. SÍNTESIS DE LOS POLÍMEROS

Dado el gran número de variables que afectan el sistema, específicamente en lo que corresponde

a la síntesis de los polímeros, se decidió modificar aquellas que son determinables en forma

directa en las propiedades finales del hidrogel (porcentaje de entrecruzante y proporción de

comonómeros), manteniendo fijas las demás (temperatura, tiempo de reacción, iniciador,

porcentaje de iniciador, técnica de polimerización).

4.1.1. Polimerización

Los reactivos metacrilato de 2-hidroxietilo (HEMA), dimetacrilato de etilenglicol (EGDMA) y

peróxido de benzoilo (BPO) fueron adquiridos en grado analítico de Merck Schuchardt; y se

usaron tal como se recibieron. Los primeros hidrogeles de HEMA y EGDMA, se obtuvieron

mezclando en tubos de ensayo con tapa, los reactivos con metanol (solvente) mediante agitación

vigorosa hasta tener una solución homogénea, la cual se calentó progresivamente durante una

hora en un baño termostatado hasta alcanzar la temperatura de reacción que se fijo en 60 ºC,

teniendo en cuenta la temperatura de activación del iniciador, 0.42 % de BPO con respecto a la

carga total de monómeros, la solución se mantuvo a esta temperatura por catorce horas 44, 45, 46. Se

utilizaron las siguientes relaciones entre los volúmenes de solvente y monómeros: 0.5, 1, 1.5 y 2;

el producto logrado en cada uno de los cuatro ensayos preliminares presentó apariencia opaca,

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35

granular y con numerosas grietas cuya magnitud e intensidad estaba directamente relacionada con

la cantidad de solvente.

Debido a la naturaleza de los polímeros obtenidos y alta homogeneidad de la mezcla entre

monómero y entrecruzante en ausencia de solvente, se decidió excluir su uso y trabajar mediante

la técnica de polimerización en masa, manteniendo las demás variables constantes; de esta forma

se elaboraron cuatro polímeros con contenidos de entrecruzante entre 1 y 5%, los cuales fueron

cristalinos, pero con imperfecciones y grietas superficiales principalmente en los xerogeles con

mayor contenido de entrecruzante, en la parte superior fue posible apreciar un remanente líquido

ligeramente amarillo correspondiente a polímero sin entrecruzar. Para garantizar el mayor grado

de polimerización posible y reducir la posibilidad de tener monómero residual o cadenas libres de

polímero se incluyo una etapa posterior donde la temperatura se incrementa gradualmente hasta

alcanzar 70 ºC, temperatura a al cual se mantiene el sistema durante siete horas; la cantidad de

remanente líquido se redujo, pero no fue posible su eliminación total. Posteriormente se

realizaron ensayos reduciendo el porcentaje de agente iniciador, hasta obtener cilindros

uniformes, rígidos y transparentes, lo cual se logró con un contenido de 0.3 % de BPO con

respecto a la carga total de monómeros, el remanente líquido fue desechado.

Como resultado de los ensayos preliminares se estableció para la polimerización en masa de

HEMA y EGDMA, con BPO como iniciador en una proporción de 0.3 % con respecto a la

carga total de monómeros; el siguiente programa de calentamiento: incremento progresivo de

temperatura durante 1 hora para alcanzar la temperatura de reacción (60 ºC), polimerización

isotérmica a 60 ºC durante 14 horas, incremento gradual hasta 70 ºC durante una hora y etapa

isotérmica final a esta temperatura de 7 horas.

4.1.2. Xerogeles utilizados en la fase experimental

Para analizar exclusivamente el efecto del entrecruzante sobre el contenido de agua y la cinética

de hinchamiento se trabajó con HEMA monómero de carácter no iónico, con naturaleza

hidrofílica y buenas propiedades mecánicas; utilizando como entrecruzante EGDMA que brinda

la posibilidad de trabajar con un medio de polimerización altamente homogéneo y reduce la

incidencia de efectos adicionales, su proporción se varió usando concentraciones de 0.5, 1, 3, 5 y

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36

10 % respecto de la carga total de monómero, fijando respectivamente para cada polímero la

siguiente notación: HE05, HE1, HE3, HE5 y HE10. En la Tabla 4.1 se resumen la cantidades de

reactivos utilizados para la polimerización de estos xerogeles.

Tabla 3.1. Cantidades de reactivos utilizados en los hidrogeles de la serie HE.

Hidrogel Monómero (ml) Entrecruzante (ml) Iniciador (g)

HE05 4.00 0.02 0.0129

HE1 4.00 0.04 0.0128

HE3 4.00 0.12 0.0129

HE5 4.00 0.20 0.0131

HE10 4.00 0.41 0.0140 Tabla 3.2. Notación utilizada para los hidrogeles comonoméricos

% HMA Entrecruzante %

0 10 20 30 40 50

Dimetacrilato de trietilenglicol 1 1A1 2A1 3A1 4A1 5A1

Dimetacrilato de tetraetilenglicol 1

4

0B1 1B1

1B4

2B1 3B1 4B1 5B1

Divinilbenceno 1 2C1 3C1 5C1

Dimetacrilato de etilenglicol

1

2

4

1D1

1D2

2D1 3D1

3D4

Dimetacrilato de dietilenglicol

1

2

4

1E1

1E2

1E4

2E1 3E1 4E1 5E1

Para analizar el efecto de la naturaleza hidrófoba e hidrofílica sobre las diferentes propiedades de

los hidrogeles; se utilizaron xerogeles disponibles de trabajos anteriores elaborados con la

combinación de un monómero hidrófobo, hexametacrilamida (HMA), y uno hidrofílico, ácido

acrílico, con diversos entrecruzantes: dimetacrilato de etilenglicol (serie D), dimetacrilato de

dietilenglicol (serie E), dimetacrilato de trietilenglicol (serie A), dimetacrilato de tetraetilenglicol

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37

(serie B) y divinilbenceno (serie C); la mayoría de estos con 1 % de entrecruzante respecto de la

carga total de monómeros, su nomenclatura se indica en la Tabla 4.2.

4.2. MODELO DE EQUILIBRIO DE HINCHAMIENTO

Para desarrollar el modelo se considera un sistema matriz polimérica que se extiende debido a la

absorción del fluido solvente circundante dentro de un volumen de control como el mostrado en

la Figura 4.1. En donde la matriz polimérica pura y el solvente puro dentro del volumen de

control inicialmente están completamente separados y finalmente se mezclan y forman un

sistema polimérico homogéneo (hidrogel), mientras el volumen de control se mantiene

constante, alcanzando el estado de equilibrio.

Figura 3.1. Volumen de control para modelo de gel no – electrolítico.

El equilibrio de hinchamiento se logra cuando se tiene el mismo el potencial químico para el

solvente (en este caso agua) en el baño circundante y en el gel, lo que implica la no existencia de

gradiente de potencial químico entre los dos medios: 01 =∆µ . Según el modelo previamente

desarrollado para el sistema no electrolitico, el cambio de potencial químico del solvente es:

EM ,1,11 µµµ ∆+∆=∆ ( 4.1 )

para determinar el gradiente de potencial químico del solvente se desarrolla un modelo de

parámetros generalizados, en donde la contribución por mezclado se obtiene de acuerdo al

modelo de Flory – Huggins (Ecuación 3.7) y la contribución elástica se basa en la teoría

estadística de red afín (Ecuación 3.20); con lo cual, el cambio de potencial químico del solvente

se expresa como:

++

−+−=∆

2

3/122

21222

21 231)1ln(

rrRT φ

φχφφµ ( 4.2 )

que en el equilibrio se reduce a:

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38

0231)1ln(

2

3/1,22

,212,22

,2 =++

−+− ∞

∞∞∞ rrφ

φχφφ ( 4.3 )

De esta forma la determinación del equilibrio de hinchamiento se reduce a la obtención de las

fracciones volumétricas en el equilibrio ( ∞,2φ ), es decir aquellas que satisfacen la ecuación, lo que

implica el conocimiento previo tanto del número promedio de segmentos por cadena de red 2r

como del parámetro de Flory para la interacción polímero – solvente 12χ .

4.2.1. Procedimiento experimental

Luego de la etapa de síntesis, los cilindros se cortaron y lijaron para obtener discos con espesores

inferiores a un milímetro; el cual se determinó con un indicador de cuadrante Teclock SM–112

(Anexo A), cuyo margen de error para las dimensiones evaluadas es 1.17 % lo que indica su gran

exactitud. El rango en el espesor de los xerogeles se ubicó entre 0.75 y 0.95 mm, con una media

de 0.85 mm y desviación estándar de 0.06 mm, el amplio rango observado en la adecuación de

los espesores muestra lo inapropiada que es la técnica utilizada para esta labor.

La proyección circular de cada xerogel se digitalizó mediante un escáner Genius Color Page–

Vivid II, una vez almacenada en formato grafico utilizando el software de Corel Corporation y

Kodak Digital Science Hexachrome Transforms: Corel Photo – Paint versión 8.0, se determinó

el número de puntos correspondientes al área circular del xerogel 0A para obtener finalmente su

diámetro, con un error inferior al 2.38 %. Los diámetros obtenidos se ubicaron entre 9.88 a 10.31

mm, con media de 10.06 mm y desviación estándar de 0.11 mm.

Con los pesos y medidas geométricas de los xerogeles se estableció su densidad, la cual se

corroboró mediante picnometría utilizando como medio inerte aceite mineral. En la Figura 4.2 se

presentan las densidades experimentales con las líneas de tendencia para la variación contenido

de monómero hidrófobo y de entrecruzante, las cuales tienen como coeficientes de

determinación ( 2R ): 0.6358, 0.7431, 0.9952, 0.7956, 0.837 y 0.9175 respectivamente; aunque

únicamente para la serie C se tiene una buena correlación, las expresiones obtenidas pueden ser

empleadas en forma aceptable para la estimación de densidades.

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39

( a )

1.18

1.19

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

0 10 20 30 40 50 60

% HMA

Den

sida

d( b )

1.18

1.19

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

0 10 20 30 40 50 60% HMA

Den

sida

d

( c )

1.17

1.18

1.19

1.20

1.21

1.22

1.23

0 10 20 30 40 50 60% HMA

Den

sida

d

( d )

1.18

1.19

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

0 20 40 60% HMA

Den

sida

d

( e )

1.18

1.19

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

0 10 20 30 40 50 60% HMA

Den

sida

d

( f )

1.240

1.242

1.244

1.246

1.248

1.250

0 2 4 6 8 10 12

% EGDMA

Den

sida

d

Figura 3.2. Densidad (g/cm3) con relación a la variación en el porcentaje de monómero

hidrófobo series: A ( a ), B ( b ), C ( c ), D ( d ), E ( e ), y entrecruzante serie HE ( f ).

Una vez establecidas las dimensiones, pesos y densidades de los discos, estos se sumergieron en

agua destilada hasta alcanzar un peso aproximadamente constante, para garantizar que los valores

obtenidos se encuentran muy próximos al equilibrio de hinchamiento. El grado de hinchamiento

del hidrogel en el equilibrio, ∞W , se determinó por gravimetría, utilizando la expresión: 13

mmm

mmm

mmW 2

21

11

xerogel) agua(hidrogeldelPesohidrogelelenaguadelPeso −

=+

==+

= ( 4.4 )

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40

Cuando los hidrogeles de la serie HE alcanzaron el equilibrio su imagen se digitalizó, y se

relacionaron las áreas proyectadas ∞A con las obtenidas para los xerogeles, estableciendo la

fracción volumétrica al equilibrio por: 2/3

0,2

= ∞

∞ AA

φ ( 4.5 )

La fracción volumétrica en el equilibrio obtenida tanto por gravimetría como por digitalización

de imagen, no mostró discrepancias apreciables, ya que la diferencia promedio entre los dos

métodos fue de 0.46% con desviación de 0.32%.

Para cuantificar la contribución elástica dentro del modelo es necesario caracterizar

mecánicamente los hidrogeles una vez han logrado el equilibrio, para ello se llevaron a cabo

mediciones de tensión de estiramiento utilizando un ensayo de cilindros paralelos DMA

Rheometrics Solids Analyzer RSA II frecuencia de 6.28 rad/s y deformación de 0.2 % durante 10

minutos a 22 ºC (Anexo B), estas pruebas se realizaron en los laboratorios del Centro Innovación

Tecnológica “CITEC”, Universidad de los Andes; en la Tabla 4.3 se presentan los resultados

promedio en el modulo de compresión G para la serie HE.

Tabla 3.3. Modulo de compresión promedio (MN/m2) para la serie HE

% EGDMA ENSAYO 0.5 1 3 5 10

1 0.0645 0.0595 0.2963 0.4934 0.61282 0.0530 0.1171 0.2798 0.3055 0.61323 0.0377 0.0491 0.1753 0.2789 0.84454 0.0573 0.0824 0.1996 0.3295 0.97595 0.3042 6 0.1524

Coeficiente de variación promedio 0.63% 0.70% 1.17% 2.70% 7.18%*

* En este promedio no incluye el ensayo 3 (coeficiente de variación de 18.38 %), descartado para cálculos posteriores

Cualitativamente se puede decir que todos los hidrogeles de la serie HE son resistentes; aquellos

con bajo contenido de entrecruzante presentan gran flexibilidad la cual decrece notablemente de

tal forma que se alcanza una gran rigidez cuando el contenido de entrecruzante llega al 10%. Se

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41

encontró que la rigidez de los hidrogeles de las series A, B, C, D y E se asocia directamente con

la hidrofobicidad e hidrofilicidad del polímero, mostrando que aquellos hidrogeles con contenido

de monómero hidrófobo entre 40 y 50 % son rígidos, mientras que altos contenidos de

monómero hidrofílico producen hidrogeles blandos. Las propiedades ópticas presentaron el

mismo comportamiento para las anteriores series: a medida que aumentó el porcentaje del

componente hidrófobo, desapareció la transparencia, llegando a ser opacos; este

comportamiento se debe a que el copolímero puede presentar una estructura heterogénea, como

resultado de las relaciones de reactividad de los comonómeros, de tal forma que los geles con

mayor contenido de monómero hidrófobo presentan separación de fases formando dos zonas,

una rica en HMA y una rica en ácido acrílico. En el estado hidratado la malla por su estructura

heterogénea no permite que las moléculas de agua se distribuyan uniformemente dentro de ella,

formando núcleos (clusters) de agua que disminuyen la fotopermeabilidad de los hidrogeles.

4.2.2. Estimación de los parámetros del modelo de equilibrio

A continuación se describe el procedimiento seguido para obtener el parámetro de interacción

polímero-solvente y el número promedio de segmentos por cadena de red que se utilizan en la

aplicación del modelo de gel no electrolito. El proceso implica estimar inicialmente el número

promedio de segmentos en el polímero. Para los hidrogeles de la serie HE esto se puede realizar

con los datos obtenidos a partir de las pruebas mecánicas, Tabla 4.3, que se relacionan con la

densidad efectiva de entrecruzamientos por la siguiente expresión:

3/12φ

εRT

GE = ( 4.6 )

cuando las pruebas mecánicas no son posibles, la alternativa es trabajar con la concentración

teórica de cadenas elásticas por unidad volumétrica de polímero hinchado ( Tε ):

)100(2

EMEF

ET +

ε ( 4.7 )

donde F es la funcionalidad del entrecruzante, ME el peso molecular de la unidad monomérica

entrecruzante y E el porcentaje de entrecruzante empleado en la mezcla de preparación del

xerogel. Las densidades de entrecruzamientos efectiva y teórica se pueden relacionar con:

TE εβαε += ( 4.8 )

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42

donde α es el entrecruzamiento inducido en ausencia de entrecruzante y β es la eficiencia de

entrecruzamiento, la cual depende tanto de la técnica de polimerización como de los reactivos

utilizados. En la Figura 4.3 se presenta la regresión lineal para la serie HE: α = 0.0187 cm3/mol y

β = 0.3311, con coeficiente de determinación 0.8589.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Entrecruzamiento teórico

Entre

cruz

amie

nto

efec

tivo

Figura 3.3. Estimación de la eficiencia de entrecruzamiento (β) y el entrecruzamiento inducido

(α ), para los hidrogeles de HEMA – EGDMA (serie HE).

Conociendo la concentración efectiva de cadenas elásticas por unidad de volumen de polímero

hinchado es posible determinar apropiadamente para todo el intervalo de análisis el número

promedio de segmentos por cadena de red r 2 con: 16

E

rεν 1

21

= ( 3.9 )

lo que implica conocer el volumen molar del solvente ( 1ν ), que se puede obtener

específicamente para el agua por:

( )[ ]298106.305.1810 331 −×+= −− Tν ( 3.10 )

En la Figura 4.4 se representan los valores estimados a partir de los datos experimentales

observándose como para bajas proporciones de entrecruzante, el número de segmentos en el

polímero es muy sensible a la variación tanto de cantidad como de tipo de entrecruzante, pero no

se ve afectado por el cambio en la combinación de comonómeros. Se debe aclarar que

únicamente para la serie HE fue posible determinar el entrecruzamiento efectivo y por tanto las

series restantes se trabajaron con el entrecruzamiento teórico.

Page 48: MODELAMIENTO DE LA DIFUSIÓN DE SOLUTOS EN …€¦ ·  · 2014-08-06Sistemas de descarga controlada ambientalmente sensibles desarrollados a partir de: ( a ) ... Variación del

43

( a )

0

500

1000

1500

2000

2500

0 4 8 12% EGDMA

Núm

ero

de se

gmen

tos

( b )

200

300

400

500

600

700

800

900

0 10 20 30 40 50% HMA

Núm

ero

de se

gmen

tos

A

B

C

D

E

Figura 3.4. Número promedio de segmentos en la cadena polimérica (r2) asociado a la

variación en: ( a ) el porcentaje de entrecruzante (serie HE) y ( b ) el porcentaje de monómero

hidrófobo.

Junto con los datos experimentales obtenidos en este trabajo se analizaron algunos sistemas

adicionales para los cuales la información disponible sobre equilibrio de hinchamiento permiten

estimar en forma apropiada el parámetro de Flory para la interacción polímero – solvente, estos

sistemas se denotan de la siguiente forma: VP (Vinilpirrolidona con EGDMA como

entrecruzante),47 HV (Vinilpirrolidona 20%/ HEMA 80%/ EGDMA),48 MV (Vinilpirrolidona

70%/ Metilmetacrilato 30%/ EGDMA),17, 49 BV95 (Butilacrilato 5%/ Vinilpirrolidona 95% con

Trimetacrilato de trimetilol propano “TTP” como entrecruzante),16 BV40 (Butilacrilato 60%/

Vinilpirrolidona 40% con TTP como entrecruzante),16 VH (Vinilpirrolidona/ HEMA/ 1%

EGDMA),48 VB (Butilacrilato/ Vinilpirrolidona/ 1% TTP).16

Una vez se conoce el número promedio de segmentos en la cadena polimérica, se procede a

obtener los valores apropiados del parámetro de Flory, despejándolo a partir de la ecuación que

de acuerdo con el modelo predice el equilibrio (Ecuación 4.3):

2,2

2

3/1,2

,22

,212 231)1ln( ∞

∞∞∞

+

−+−−= φ

φφφχ

rr ( 4.11 )

con medidas gravimétricas se obtiene el grado de hinchamiento en el equilibrio ∞W , e

indirectamente la fracción volumétrica experimental del polímero en el equilibrio:

)1()1(

12

1,2

∞∞

∞∞ −+

−=

WWW

ρρρ

φ ( 4.12 )

Page 49: MODELAMIENTO DE LA DIFUSIÓN DE SOLUTOS EN …€¦ ·  · 2014-08-06Sistemas de descarga controlada ambientalmente sensibles desarrollados a partir de: ( a ) ... Variación del

44

La Tabla 4.4 se elaboró con la información experimental disponible para los sistemas

anteriormente indicados, para ello se estableció la tendencia que presenta el parámetro

interacción polímero – solvente con respecto a la composición del polímero mediante diversas

funciones de ajuste, que al ser extendidas hasta el 100% de composición con respecto a cada

monómero permiten obtener el correspondiente parámetro homopolímero – solvente, i,12χ .

Estos resultados muestran que los parámetros más bajos se asocian a monómeros hidrofílicos

como ácido acrílico y los más altos a monómeros hidrofóbicos como Butilacrilato.

Tabla 3.4. Parámetros de interacción homopolímero – solvente obtenidos empíricamente

Monómero χ12, i Referencia más próxima

Ácido acrílico 0.013 Vinilpirrolidona 0.494 0.507 ( 2% BA/ 98% VP) 16 Metilmetacrilato 1.190 1.1 (60% MMA/40% VP) 49

2-Hidroxietilo metacrilato 0.889 0.829 (100% HEMA) 46

Hexametacrilamida 2.592 Butilacrilato 5.166 3.707 ( 90% BA/ 10% VP) 16

Para obtener el parámetro de interacción de cada posible composición polimérica, debido a la no

idealidad de las mezclas copoliméricas, se propone la siguiente la combinación de los parámetros

homopoliméricos:

∑=++=∗

ii

iii MH

MHyyy

//

con2,1221,12112 ξχχχ ( 4.13 )

donde: Hi es el porcentaje en peso de monómero i utilizado en la preparación del xerogel, Mi es

su peso molecular, y ξ el factor de corrección obtenido al combinar las funciones de ajuste para

los sistemas disponibles y cuya expresión es:

[ ]( )

1,122,121221

21

122

12212

y/)1(//)1(/

con

1)076.0243.0()609.0143.0()044.0037.0(

χχχ

χχχξ

−=∆−+−−

=

∆−−+∆−−∆−=

MHMHMHMHx

xxxx ( 4.14 )

el subíndice 1 hace referencia al monómero hidrofílico, de manera que 1,122,12 χχ > y por tanto

la diferencia entre los parámetros de interacción siempre es positiva.

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45

En la Figura 4.5 se compara los valores obtenidos experimentalmente para el parámetro de

interacción binario, y las curvas generadas con el esquema planteado anteriormente,

observándose una gran correspondencia para los sistemas disponibles; con esta apreciación

resulta admisible la combinación de los parámetros homopoliméricos mediante la Ecuación 4.13

para producir los parámetros de interacción polímero – solvente de cualquier hidrogel.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0% 10% 20% 30% 40% 50%HMA

Pará

met

ro p

olím

ero

- sol

vent

e

ABCDECalc.

0

1

2

3

4

0% 20% 40% 60% 80% 100%VP

Pará

met

ro p

olím

ero

- sol

vent

e VBVHCalc.

Figura 3.5. Conducta para el parámetro de interacción polímero – solvente (χ12) asociada a la

variación en la proporción de monómeros hidrófilo e hidrófobo.

El efecto del entrecruzante sobre la fracción volumétrica que el hidrogel puede lograr, no se

restringe únicamente a la contribución mecánica, tal como se observa en la Figura 4.6 incide

sobre el comportamiento del parámetro de interacción binaria.

0.45

0.65

0.85

1.05

1.25

0% 2% 4% 6% 8% 10%

EGDMA

Pará

met

ro p

olím

ero

- sol

vent

e

HE

VP

HV

MV

Calc.

0.45

0.65

0.85

1.05

1.25

0.0% 1.0% 2.0% 3.0%

TTP

Pará

met

ro p

olím

ero

- sol

vent

e

BV95BV40Calc.

Figura 3.6. Conducta para el parámetro de interacción polímero – solvente (χ12) asociada a la

variación en el porcentaje de entrecruzante.

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46

Se probaron diversas funciones para ajustar los resultados experimentales y se observó que la

expresión más apropiada es:

( ) ∗∗ +

+−=

1212

2

12 100χχχχ

EE

E ( 4.15 )

donde Eχ es el parámetro polímero – solvente, de un polímero preparado exclusivamente con

monómero entrecruzante. Con la información disponible fue posible de manera aproximada

obtener el valor de Eχ para seis diferentes entrecruzantes tal como aprecia en la Tabla 4.5.

Tabla 3.5. Parámetros de interacción polimérico – solvente, obtenidos empíricamente para un

homopolímero de agente entrecruzante

Entrecruzante χE Etilenglicol dimetacrilato 36.15 Dietilenglicol dimetacrilato 60 Trietilenglicol dimetacrilato 80 Tetraetilenglicol dimetacrilato 100 Divinilbenceno 250 Trimetacrilato de trimetilol propano 228

4.2.3. Resultado del modelo de equilibrio

Como se ha observado la determinación del equilibrio de hinchamiento para hidrogeles mediante

el modelo propuesto no resulta demasiado compleja, pero es un proceso que consta de varias

etapas que lo hacen dispendioso cuando se pretende estimar la condición de equilibrio para las

múltiples composiciones de hidrogeles, que se generan al variar el contenido de entrecruzante o

la proporción de comonómeros; para facilitar la determinación de estos puntos no solo en la

presente investigación, sino en trabajos futuros se optó por realizar un programa denominado

ModHigel desarrollado en Visual Basic 5 Edición Empresarial y cuyo manual se presenta en el

Anexo G, junto con el programa se estructuro una pequeña base de datos que incluye

parámetros de interacción homopolímero – solvente, densidades, peso molecular y funcionalidad

de los entrecruzante. El programa incluye todas las ecuaciones y parámetros descritos en los

numerales anteriores, y mediante un algoritmo simple de Newton – Raphson determina las

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47

fracciones volumétricas que satisfacen la condición de equilibrio, para posteriormente obtener la

capacidad de hinchamiento en el equilibrio mediante la siguiente expresión :

2212

12

)1()1(

ρφρφρφ

+−−

=W ( 4.16 )

Puntual

Inicio

ConsultaBase de datos

Número de entrecruzantes

Temperatura

Monómeros y porcentajes

Entrecruzanteα y β

Estimación de Hinchamiento a equilibrio

Última composición

Último entrecruzante

Reportar resultados

Fin

SINO

SINO

NO SI

Figura 3.7. Esquema general del programa para determinar capacidad de hinchamiento en el

equilibrio.

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48

La secuencia general seguida por el programa para determinar la capacidad de hinchamiento a

equilibrio isotérmico, se presenta en la Figuras 4.7; se debe indicar que solo es posible realizar la

estimación de la condición de equilibrio para las combinaciones de monómeros y entrecruzante

que se logren con los componentes incluidos en la base de datos, pero debido a que la misma

puede ser actualizada y modificada directamente desde la aplicación esta limitación se logra

superar. Con el programa se generaron las curvas presentadas en las Figuras 4.8 y 4.9.

El aumento en el porcentaje de entrecruzante afecta el contenido de agua disminuyéndolo por

dos causas primordialmente: una malla con mayor densidad de entrecruzamiento tiene menos

espacio disponible para ser ocupado por el agua, y al limitar la movilidad de las cadenas se

aumenta la fuerza elástica que se opone al hinchamiento. En la Figura 4.8 se observa como en los

hidrogeles con menor capacidad de hinchamiento (mayor fracción volumétrica de polímero en el

equilibrio) el efecto del porcentaje de entrecruzante es bajo esto es porque su deformación

consiste esencialmente en desenredar las moléculas en la matriz entrecruzada lo que produce

alargamientos leves con módulos de Young bajos. En los hidrogeles altamente hinchados se

tiene un alto alargamiento, con cadenas casi completamente desenredadas, lo que obliga a actuar

al sistema de resortes lineales que conforman el hidrogel para equilibrar el medio, de esta manera

la energía requerida es mayor lo que se manifiesta en un notable aumento del módulo de Young.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0% 2% 4% 6% 8% 10%EGDMA

Cap

acid

ad d

e hi

ncha

mie

nto HE

VPHVMVModelo

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0% 1% 2% 3%TTP

Cap

acid

ad d

e hi

ncha

mie

nto BV95

BV40Modelo

Figura 3.8. Capacidad de hinchamiento en el equilibrio con relación al porcentaje de

entrecruzante.

En la Figura 4.9 se aprecia la influencia que sobre la capacidad de hinchamiento tiene el

porcentaje de monómero hidrófobo. Para altos contenidos de monómero hidrofílico se tiene una

gran capacidad de hinchamiento, pero el contenido de agua en el equilibrio comienza a disminuir

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49

en forma dramática cuando se alcanzan niveles de monómero hidrófobo de 25 a 30%, esta

tendencia se mantiene hasta que el contenido del componente hidrófobo supera el 80% a partir

del cual se mantiene una capacidad de hinchamiento baja pero relativamente constante.

Exceptuando los datos correspondientes a las series A, B, C, D y E con 20 y 30% de HMA, las

diferencias entre los valores teóricos y los experimentales se ubicaron entre -0.067 y 0.038, lo que

muestra una precisión tolerable para el modelo utilizado.

( a )

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0% 10% 20% 30% 40% 50%HMA

Cap

acid

ad d

e hi

ncha

mie

nto

Exp.Modelo

( b )

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0% 10% 20% 30% 40% 50%

HMA

Cap

acid

ad d

e hi

ncha

mie

nto

Exp.Modelo

( c )

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0% 10% 20% 30% 40% 50%

HMA

Cap

acid

ad d

e hi

ncha

mie

nto

Exp.Modelo

( d )

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0% 10% 20% 30% 40% 50%HMA

Cap

acid

ad d

e hi

ncha

mie

nto

Exp.Modelo

( e )

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0% 10% 20% 30% 40% 50%

HMA

Cap

acid

ad d

e hi

ncha

mie

nto

Exp.Modelo

( f )

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0% 20% 40% 60% 80% 100%VP

Cap

acid

ad d

e hi

ncha

mie

nto

VHVBModelo

Figura 3.9. Capacidad de hinchamiento en el equilibrio con relación a la proporción de

monómeros series: ( a ) A, ( b) B, ( c ) C, ( d ) D, ( e ) E, ( f ) VH y VB.

Page 55: MODELAMIENTO DE LA DIFUSIÓN DE SOLUTOS EN …€¦ ·  · 2014-08-06Sistemas de descarga controlada ambientalmente sensibles desarrollados a partir de: ( a ) ... Variación del

50

4.2.4. Modelo de equilibrio en soluciones

El hinchamiento a equilibrio en soluciones, incluye nuevos parámetros: el número de segmentos

del tamaño de una molécula de solvente que conforman una molécula de soluto r3, los

parámetros de interacción solvente – soluto χ13 y polímero – soluto χ23, que se introducen en la

sección 3.3 al considerar la generalización de la teoría de Flory – Huggins para sistemas

multicomponentes. El número de segmentos en el soluto es la relación entre los volúmenes

molares del soluto y el solvente, se obtiene mediante la siguiente expresión:

13

33 νρ

Mr = ( 4.17 )

donde M3 y ρ3, son el peso molecular y la densidad del soluto.

El equilibrio de hinchamiento en soluciones implica que tanto para el soluto como para el

solvente no existan gradientes de potencial químico entre la solución y el gel: 01 =∆µ y

03 =∆µ , por tanto la determinación de las condiciones de equilibrio en soluciones requiere que

las siguientes ecuaciones se cumplan en forma simultanea:

0)1)((11231)ln(

2

3/12

322313132123

32

21 =+−−++

−+

−+

rrrφφφχφφχφχφφφ ( 4.18a )

0)1)(()ln(

2

3/12

2112332231132

21

3

3 =+−−+++−−rrr

φφφχφφφχφχφφφ ( 4.18b )

01321 =−++ φφφ ( 4.18c )

Hasta el momento se ha diseñado un esquema que permite obtener los parámetros necesarios

para poder solucionar este sistema de ecuaciones, exceptuando los parámetros de interacción

solvente – soluto y polímero – soluto. Mediciones experimentales de las diferentes fracciones

volumétricas en el equilibrio son requeridas para poder estimar estos parámetros, mediante un

esquema análogo al utilizado en la determinación del parámetro polímero – solvente, es decir

despejándolos de las ecuaciones que definen el equilibrio, con las cuales se plantea el siguiente

sistema de ecuaciones:

223321331

123321313

)1()1()1(

BB

=−+−=+−χφφχφφ

χφφχφφ ( 4.19 )

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51

donde los coeficientes se obtienen mediante las siguientes expresiones:

2

3/12

12123

32

211 )1(11231)ln(

rrrB

φφφχφφφ +−+

−+

−+=− ( 4.20a )

2

3/12

2112332

21

3

32 )1(

23)ln(

rrrB φφφχφφφφφ

+−−+−−=− ( 4.20b )

El procedimiento experimental para la determinación de las condiciones de equilibrio en

soluciones es completamente análogo al utilizado para el hinchamiento en el solvente puro: corte

y pulido de los cilindros para obtener espesores inferiores al milímetro, determinación del

diámetro, peso y densidad de los xerogeles; los discos se hincharon en una solución de urea 10%

en peso hasta que por mediciones gravimétricas se garantizo la condición de equilibrio (peso

constante); los resultados obtenidos permitieron determinar un valor casi constante de 2.4784

(coeficiente de variación 0.7%) para el parámetro de interacción agua – urea ( χ13 ). Finalmente se

establecieron las fracciones volumétricas que para los parámetros determinados satisfacen el

sistema de ecuaciones que describen el equilibrio de hinchamiento, generando con ellas las

curvas continuas que se comparan con las fracciones volumétricas experimentales en la Figura

4.10; para los polímeros con contenido de HMA superior al 40% la solución numérica presento

inestabilidad con resultados que no corresponden de ninguna manera al comportamiento físico, e

incluso en algunos puntos la convergencia del método no fue posible.

( a )

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0% 2% 4% 6% 8% 10%

EGDMA

Frac

ción

vol

umét

rica

HE

( b )

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0% 10% 20% 30% 40% 50%

HMA

Frac

ción

vol

umét

rica A

BCDE

Figura 3.10. Comportamiento de la fracción volumétrica del polímero en el equilibrio en una

solución 10% de urea para la variación de: ( a ) porcentaje de entrecruzante y ( b ) porcentaje

de monómero hidrófobo.

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52

Cuando se comparan los resultados obtenidos con el modelo tanto para la solución como para el

solvente puro (Figura 4.11), se aprecia como la presencia del soluto (Urea) reduce en forma

sustancial la fracción volumétrica del polímero en el equilibrio, es decir que el xerogel presenta

una mayor capacidad de solvatación en las soluciones que en el solvente puro, este mayor grado

de hinchamiento viene a su vez acompañado de una mayor fragilidad y menor opacidad de los

hidrogeles. Dado que el parámetro de interacción agua – urea se mantiene constante, se puede

indicar que el mayor grado de solvatación en la solución se debe a el establecimiento una relación

favorable entre el polímero y la urea.

( a )

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0% 2% 4% 6% 8% 10%

EGDMA

Frac

ción

vol

umét

rica

Solvente

Solución

( b )

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0% 10% 20% 30% 40% 50%

HMA

Frac

ción

vol

umét

rica

Solvente

Solución

Figura 3.11. Efecto que sobre la fracción volumétrica del polímero en el equilibrio tanto en

una solución 10% de urea y como en el solvente puro, tiene la variación de: ( a ) porcentaje de

entrecruzante y ( b ) porcentaje de monómero hidrófobo.

Con la información disponible no es viable plantear un mecanismo que permita generalizar el

efecto que un soluto específico ejerce sobre la capacidad de hinchamiento de un hidrogel, pero es

posible afirmar que la presencia del mismo hace factible que interacciones tanto favorables como

desfavorables se produzcan en un proceso de solvatación. Esta evidencia experimental indica de

manera clara la naturaleza no inerte que cualquier componente adicional despliega en el proceso

de hinchamiento de matrices poliméricas.

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5. DIFUSIÓN EN HIDROGELES

En este capítulo se desarrollan las ideas fundamentales para implementar un modelo que describa

de manera apropiada el comportamiento de un sistema constituido por tres especies: ( 1 ) un

solvente (agua), ( 2 ) una matriz polimérica y ( 3 ) un soluto; considerando en forma simultánea la

cinética de transporte del solvente interior y la migración del soluto. Frecuentemente los

procesos difusivos de transporte másico dentro de una matriz polimérica hinchada exhiben

comportamientos lejanos a la ley de Fick denominados conductas “anómalas”; 50, 51 para hacer

posible el análisis de estas conductas se utiliza el llamado número difusivo de Deborah, 52 De;

parámetro que depende de la difusividad y de la reestructuración morfológica de la matriz.

Adicionalmente se describen algunos elementos básicos para analizar la expansión volumétrica

asociada al desplazamiento de las fronteras de la matriz polimérica durante el proceso de

hinchamiento, con los cuales es posible evitar que este fenómeno se trabaje como un problema

de volumen constante.

5.1. HINCHAMIENTO DE LA MATRIZ POLIMÉRICA

5.1.1. Ley de Fick

La forma clásica para describir los procesos difusivos de transporte másico es utilizando la ley de

Fick; que en su forma más general considera al potencial químico como función de la

concentración del componente que se difunde, lo que matemáticamente se puede expresar como:

∂∂

=∂∂ C

CtC graddiv µ ( 5.1 )

donde el factor C∂∂µ , usualmente se denota como coeficiente de difusión o difusividad, D. Si

se asume constante el coeficiente de difusión durante la totalidad del proceso se obtiene la

denominada ecuación ordinaria de difusión:

CDtC 2∇=

∂∂ ( 5.2 )

Page 59: MODELAMIENTO DE LA DIFUSIÓN DE SOLUTOS EN …€¦ ·  · 2014-08-06Sistemas de descarga controlada ambientalmente sensibles desarrollados a partir de: ( a ) ... Variación del

54

Considerando la difusión unidimensional de un disco polimérico de espesor inicial 2δ0, en un

solvente puro ( 1 ), cuyo grado de hinchamiento en el equilibrio infinito es W∞; sujeto a las

siguientes condiciones de frontera e inicial:

01

001

;0para;0para0

δδδ

±=≥=<<−<=

∞ xtWCxtC

( 5.3 )

se puede llegar a tener la siguiente solución de la ecuación 4.2: 49, 50

( )

+−

+=

− ∑∞

=∞

∞ tDi

iWWW

i1

2

0022 2

)12(exp

1218

δπ

π ( 5.4 )

para tiempos prolongados, es posible despreciar todos los términos de orden mayor a 0 (i ≥ 1),

con lo que la expresión se puede escribir como:

tD

WWW

20

12

4ln

δπ

−∞

∞ ( 5.5 )

Un resultado similar se puede obtener, cuando consideramos la forma más simple de expresar la

dinámica de hinchamiento de un gel, es decir mediante un modelo cinético de primer orden,

referido a la capacidad de hinchamiento disponible ( )WW −∞ :

( )WWkdt

dW−= ∞ ( 5.6 )

donde k es la constante de proporcionalidad entre la velocidad y la capacidad de hinchamiento.

A partir de la ecuación 5.6 fácilmente se llega a:

tkWW

W=

−∞

∞ln ( 5.7 )

que comparada con la ecuación 5.5, permite obtener:

20

12

4δπ D

k = ( 5.8 )

Estas ecuaciones son una buena representación de muchos fenómenos de transporte comunes, y

parecen satisfacer correctamente las fases iniciales y medias del hinchamiento. Sin embargo,

cuando el proceso se prolonga durante largo tiempo se observan desviaciones significativas, esto

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55

debido a que el coeficiente de difusión no permanece invariable y el transporte de masa en un

medio sólido está limitado por tiempos característicos de reestructuraciones moleculares o de

tensión y cambios morfológicos. 50, 55, 56, 57

5.1.2. Modelo cinético de restricción

Los procesos de hinchamiento y encogimiento de geles entrecruzados químicamente se pueden

considerar como una competencia entre la presión osmótica contra las fuerzas de restricción, de

esta forma la energía libre total esta constituida por las energías de expansión y compresión; en el

gel hinchado, estas energías puede ser caracterizadas por los módulos de expansión osmótica K y

compresión G. De aquí la importancia de considerar las propiedades mecánicas de los geles, que

exhiben características tanto de sólidos como de sistemas líquido – gas; la compresibilidad de un

gel reticular es similar a un sistema líquido – gas, con valores bajos del modulo de expansión en

la fase diluida y grandes en la fase densa, pero tanto para líquidos como para gases el modulo de

compresión es cero, lo cual no ocurre con los geles que en forma similar a los sólidos tienen un

valor finito aunque de magnitud muy inferior.

Los módulos de expansión osmótica y compresión se relacionan con las segundas derivadas de la

energía libre del gel con respecto al volumen y la longitud, respectivamente. El modulo de

compresión es el responsable del mantenimiento de la forma del sistema al minimizar la

deformación promedio; de acuerdo con la teoría de Flory esta dado por: 3/1

2φε TRG E= ( 5.9 )

donde εE es el número efectivo de cadenas elásticas por unidad de volumen de polímero. El

modulo de compresión se puede considerar como el módulo osmótico transversal de

fluctuaciones de la red; el modulo osmótico longitudinal ( M ) puede ser definido por la

combinación de los módulos de compresión y expansión osmótica como: 58

KGM += 34 ( 5.10 )

Como se indico anteriormente en el equilibrio, la presión osmótica externa se balancea por la

presión osmótica dentro del gel, cuando un factor externo (temperatura, solvente, etc.) presenta

algún cambio ( 0=t ), el estado de equilibrio es redefinido; pero en ocasiones el nuevo punto de

equilibrio puede no ser alcanzado ∞→τt , donde τ es el tiempo de relajación. De aquí que se

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56

definan los procesos de hinchamiento y encogimiento usualmente como fenómenos de

relajación tanto volumétrica como de esfuerzos internos.

La teoría cinética de estos procesos se desarrollo inicialmente para hidrogeles esféricos por

Tanaka y Fillmore 58 considerando que el módulo de compresión era omitible frente al módulo

de expansión osmótica. Posteriormente Peters y Candau 58 observaron como la velocidad del

proceso depende del esfuerzo elástico (K, G) de la red y del coeficiente de fricción entre la red y

el solvente; lo que lleva a considerar la cinética de hinchamiento como un proceso difusional con

un módulo de compresión no despreciable dependiente de la forma de la muestra; de esta forma

derivaron un modelo para la cinética en geles cilíndricos y esféricos, en donde estos efectos se

combinan mediante el coeficiente de difusión colectivo CD ,1 . La teoría presentada por Tanaka y

Fillmore describe la cinética de hinchamiento por la llamada ecuación colectiva de difusión: 58

σ22 ∇+∇=∂∂ ECD

tC ( 5.11 )

Los desarrollos más recientes consideran como un factor significativo la geometría del gel,59

permitiendo acoplar cualquier cambio en diferentes direcciones por medio del módulo de

compresión, dejando por tanto el hinchamiento de ser un proceso puramente difusivo. Esto se

puede demostrar intuitivamente comparando la difusión de moléculas, digamos tinta, en agua y el

hinchamiento de un gel.

Figura 4.1. Descripción esquemática de: ( a ) un proceso de difusión de moléculas de tinta en

agua y ( b ) un proceso de hinchamiento de un gel.

En la Figura 5.1.a se muestra como una gran línea de tinta colocada en el agua en un tiempo

cero, sigue un proceso puramente difusivo haciendo que la línea se engruese y ensanche, con un

cambio en la longitud despreciable con relación al cambio de espesor. En el caso del gel sin

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57

embargo, los experimentos muestran que los cambios relativos en ambas direcciones son

semejantes, Figura 5.1.b Esto indica que la teoría Tanaka – Fillmore es insuficiente para describir

el proceso de hinchamiento.

En general la energía total del gel puede separarse en energía de expansión y energía de

compresión. La energía de expansión del sistema se relaciona con el proceso de difusión donde

se presenta movimiento relativo entre la red y el agua, que ocasiona un aumento del volumen

con un cambio apreciable de la dimensión en la dirección de flujo, generando un mayor esfuerzo

en esta dirección, lo que ocurre de acuerdo con la ecuación ordinaria de difusión. Al presentarse

cualquier pequeño cambio en la forma, se produce una redistribución de esfuerzos o relajación

manteniendo el volumen constante para cada elemento volumétrico del gel, sin cambio en la

energía total de compresión; dado que no hay movimiento relativo entre la matriz y el solvente,

este proceso es instantáneo. Debido a lo anterior el hinchamiento infinitesimal de una matriz

polimérica se puede considerar como la combinación secuencial estos dos procesos, lo que

esquemáticamente se representan en la Figura 5.2.

Figura 4.2. Esquema de hinchamiento infinitesimal para una matriz polimérica.

Si bien se tienen cambios isotrópicos en las fronteras del gel para cilindros, esferas y discos; 60 al

acoplar estos procesos de difusión y de relajación, se debe tener en cuenta que un modelo

exclusivamente difusivo es inapropiado, salvo que se considere una geometría esférica donde la

forma se mantiene automáticamente por el proceso de difusión. Esto implica introducir un

parámetro para relacionar la distribución de esfuerzos durante la difusión, ξ, haciendo de esta

forma el coeficiente efectivo de difusión dependiente de la forma geométrica del gel: 60

CDD ,11 11

ξ+= ( 5.12 )

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58

El factor )1(1 ξ+ establece directamente cuantas de las tres dimensiones presentan un cambio

de tamaño asociado al proceso difusivo, por esto se denomina factor de reducción; en las

restantes dimensiones el cambio de tamaño se asocia con el proceso de relajación. Los factores

de reducción para geometrías simples son: esferas 33 (el proceso difusivo ocurre en las tres

dimensiones, no hay proceso de relajación), cilindros 32 (el proceso difusivo ocurre en las

direcciones radial y axial) y discos 31 (difusión unidimensional en la dirección axial). Con lo cual

el coeficiente efectivo de difusión para geles esféricos es CD ,133 , cilíndricos es CD ,13

2 y en

discos es CD ,131 . Estos resultados solo son absolutamente válidos en los puntos de frontera del

gel, en general el coeficiente efectivo de difusión depende tanto de la posición como del tiempo.

La solución analítica para la cinética de hinchamiento y encogimiento de una red polimérica,

cuando se considera la existencia de los procesos de difusión y relajación infinitesimal

simultáneos, la presentan Li y Tanaka con la siguiente relación: 59

∑ −

−=i

tki

ieBWW 1 ( 5.13 )

donde iB es una constante relacionada con la razón del modulo de compresión y el modulo

osmótico longitudinal; ik son constantes relacionadas con la velocidad de hinchamiento. Para

tiempos prolongados o cuando 1k es mucho menor que el resto de ik , todos los términos de

mayor orden (i ≥ 2) , se pueden considerar despreciables, reduciendo la ecuación a:

tkeBWW

111 −

−= ( 5.14 )

donde B1 esta dado por la siguiente relación: 59

MGS

SSSB =

−−−−

= con)43)(14(

)43(221 ϕ

( 5.15 )

los valores propios de ϕ son determinados por las condiciones de frontera lo cual equivale a:

+=

)()(

141

1

0

ϕϕϕ

JJS ( 5.16 )

donde )(0 ϕJ y )(1 ϕJ son las funciones de Bessel de primer tipo, orden cero y uno para ϕ

respectivamente.

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59

En la ecuación 5.14, 1k se relaciona con el coeficiente de difusión de contribución colectiva de

un disco de gel en su superficie de acuerdo con la siguiente relación: 61

20

2,1

1 3δϕCD

k = ( 5.17 )

5.1.3. Difusión con relajación polimérica

Debido a la complejidad de los fenómenos difusivos que ocurren dentro de un hidrogel existen

modelos muy diversos para su descripción. Varelas et al. 62 desarrollan un modelo teórico para la

transferencia de masa en redes poliméricas, donde el soluto a liberar se encuentra ubicado en

microdominios dentro del hidrogel. Tanya et al. 63 estudian la difusión en hidrogeles basados en la

teoría que describe el fenómeno mediante el volumen libre, propuesta con anterioridad por otros

autores. Chan et al. 64 incorporan la tensión asociada con el hinchamiento al modelo de difusión

unidimensional mediante ecuaciones desarrolladas a partir de los modelos de Maxwell y Jeffreys.

Cuando un solvente compatible ingresa en el xerogel, se produce la reducción en la temperatura

de transición vítrea, que si llega a ser inferior a la temperatura experimental permite alcanzar un

estado de alta elasticidad (gomoso). El descenso de la temperatura de transición vítrea ocasiona

un incremento en la movilidad de la cadena, que se desenrolla y extiende generando un volumen

libre adicional para el transporte. La reestructuración de la matriz inducida por el penetrante es

un fenómeno de relajación dinámico que afecta la velocidad de penetración del solvente, a la que

se puede asociar un frente agudo que separa las fases cristalinas y gomosa durante la etapa inicial

del proceso, conocido como interfase de hinchamiento.56 El estado gomoso esta acompañado

por una considerable expansión volumétrica, por lo que resulta común incluir un frente adicional

para separar el estado elástico del solvente puro (interfase polimérica).

Cuando las velocidades de difusión del solvente y de relajación polimérica son comparables, se

presentan las conductas anómalas, en tales casos, los diversos tipos de aproximación para la

formulación final del problema pueden ser generalizados dentro de tres categorías:

1. Difusión con modelo convencional incorporando un termino convectivo en la ecuación de

difusión o en las condiciones de frontera, esta aproximación es puramente fenomenológica y

esta representada en los trabajos de Wang et al. 65 y Peterlin 66.

Page 65: MODELAMIENTO DE LA DIFUSIÓN DE SOLUTOS EN …€¦ ·  · 2014-08-06Sistemas de descarga controlada ambientalmente sensibles desarrollados a partir de: ( a ) ... Variación del

60

2. Modelo de tensión de hinchamiento diferencial; donde la velocidad de hinchamiento se

relaciona con la tensión de hinchamiento que se ejerce por la penetración del solvente en la

matriz cristalina, los modelos de Thomas y Windle, 67 y Gostoli y Sarti 68 son buenos ejemplos

de esta aproximación.

3. Modelo de relajación molecular, donde la relativamente lenta penetración induce un proceso

de relajación molecular del polímero que se cuantifica usando como variable la concentración

superficial y un coeficiente de difusión dependiente del tiempo; trabajos representativos de

esta categoría involucran a Crank, 69 Long y Richman, 70 y Petropoulos y Roussis. 71, 72 Los

modelos de este tipo son los únicos que permiten interpretar los procesos de dos etapas.

Un solo modelo es insuficiente para describir satisfactoriamente todas las observaciones

experimentales, requiriendo contribuciones adicionales para dilucidar el mecanismo involucrado.

Al considerar un modelo de relajación molecular, el primer paso es utilizar difusividades

diferentes para las conductas inicial y final, asociadas a un tiempo característico de relajación, de

esta forma se pueden reproducir cualitativamente algunos aspectos particulares de difusión

anómala. 73 Si no se permite relajar la concentración en la interfase de un valor inicial a un valor

de equilibrio final, únicamente será posible reproducir perfiles planos de hinchamiento.

Considerando que tanto el tiempo de relajación como la difusividad, son dependientes de la

concentración, es razonable que algunas zonas de la matriz polimérica se encuentren relajadas

aunque no se halla alcanzado una concentración apreciable del penetrante, lo que permite al

modelo exhibir peculiaridades hiperbólicas, es decir ondas móviles en los perfiles de

concentración y oscilaciones del contenido de masa alrededor de un valor de equilibrio final

Si se utiliza un modelo que considera un sistema de ecuaciones diferenciales hiperbólicas con

tiempo de relajación y difusividad dependientes de la concentración de solvente (Camera–Roda y

Sarti 55) se obtienen serias inconsistencias físicas. De hecho, aunque los tiempos de relajación

aumentan cuando la concentración del penetrante decrece, hay tiempos de relajación para los

cuales el flujo másico no decrece significativamente cuando el gradiente de concentración

desaparece. Por consiguiente, durante la lixiviación el modelo hiperbólico podría dar lugar

incluso a flujos exteriores altos cuando el volumen de penetrante es pequeño y llevar la

concentración finalmente a valores negativos. Además, el modelo hiperbólico desecha la

evidencia experimental de un precursor Fickiano del frente de onda de concentración.

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61

Soluciones simplificadas para el transporte de penetrante con volumen constante o con

coeficiente de difusión constante están disponibles en los trabajos de Wang 65 y Peterlin 66. Para la

penetración del solvente, un método conveniente de análisis sé relaciona en término del número

difusivo de Deborah, De, cuyo valor es función de la temperatura y la concentración del

penetrante, y se define con la siguiente ecuación:

20

,1

δτ ∞=D

De ( 5.18 )

donde τ es el tiempo de relajación medio del sistema polímero – solvente y ∞,1D coeficiente de

difusión del solvente en el polímero hinchado. Para De << 1 o De >>1, el mecanismo de

difusión es Fickiano. Para De >>1 la transición al estado gomoso limita la velocidad y la

penetración ocurre principalmente a través del cristal, estado deshinchado. Análogamente, para

De << 1, la difusión del penetrante limita la velocidad y la penetración ocurre principalmente a

través del polímero gomoso, hinchado. Para De ≈ 1, el mecanismo de transporte de solvente es

difusión anómala donde la relajación macromolecular durante el proceso de hinchamiento se

encuentra íntimamente acoplada con la penetración de solvente. Una difusión anómala extrema

es el denominado caso de transporte II, que es completamente gobernado por la velocidad de

relajación del polímero, exhibiendo una dependencia lineal con el tiempo en la posición del

frente de hinchamiento.

5.1.4. Expansión volumétrica durante el hinchamiento

La descripción matemática de los problemas de transferencia de masa que involucran

movimiento de frentes son conocidos como problemas de fronteras móviles o problemas de

Stefan.74, 75 Los procesos de relajación y difusión asociados con el hinchamiento dinámico de un

hidrogel se reflejan en cambios dimensiónales; el ingreso de solvente en la matriz polimérica

produce una expansión volumétrica Q∆ , donde el principal eje es paralelo a la dirección de

transporte y normal a las fronteras interfaciales, para geometrías cilíndricas es posible realizar la

descripción del hinchamiento considerado la variación del espesor y el diámetro:

0

2

002

1δδ

φ

===∆

dd

VVQ ( 5.19 )

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62

donde d0 y δ0 son respectivamente el diámetro y la mitad del espesor del xerogel. Esta expresión

permite relacionar los volúmenes del hidrogel y el xerogel mediante la fracción volumétrica; pero

la estimación de los diámetros y espesores requiere la inclusión de un factor de dimensional η:

ηφδ

δ 12

0= ( 5.20 )

De acuerdo con observaciones experimentales, los cambios volumétricos son no isotrópicos,

esto implica que la dimensionalidad del hinchamiento η, cambia durante la absorción del

solvente. A pesar del gran grado de suavidad asociado con la transición de fase cristal – elástica,

la presencia de un corazón cristalino restringe inicialmente el hinchamiento a un conducta

unidimensional, 1=η , incrementándose más rápidamente el espesor del disco que el área

durante la absorción. Después de un tiempo, la simétrica interfase de hinchamiento se encuentra

en el centro del plano y el corazón cristalino desaparece, con lo que el proceso prosigue en forma

isotrópica, 3=η , en algunos casos se presenta una etapa previa donde el espesor decrece con un

incremento de área; η es innecesario en geometrías esféricas en donde no hay anisotropía. Es

posible evaluar el factor dimensional para el proceso difusivo con expresiones como:

S,2

2

11

con3φφ

η−−

=Η= Η ( 5.21 )

donde S,2φ es la fracción volumétrica correspondiente al grado de hinchamiento en la superficie

de la matriz polimérica.

La movilidad macromolecular no se presenta en la fase cristalina, pero el ingreso gradual de

solvente dentro de la matriz separa las cadenas macromoleculares permitiendo que en

determinadas regiones la matriz se extienda lo suficiente para tener movilidad y alcanzar la

transición cristal – elástica, con E2φ como fracción volumétrica local, los puntos donde se ha

logrado alcanzar esta condición corresponden a los limites de la interfase de hinchamiento. La

diferencia entre la longitud necesaria para la flexibilización de la matriz y la longitud original se

denomina elongación crítica y se define por:

( )

−= 11

3/12

0 ECφ

δδ ( 5.22 )

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63

La interfase de hinchamiento se puede definir por la posición donde la elongación local es igual a

la elongación critica; debido a la variación en la dimensionalidad de la difusión, la elongación

local se debe definir de la siguiente manera:

( )

−= 11

/12

0 ηφδδ

LL ( 5.23 )

donde L2φ es la fracción volumétrica local obtenida desde el perfil de concentración de solvente.

5.2. MECANISMO DE DIFUSIÓN DEL SOLUTO

La presencia de un componente adicional, denominado soluto altera tanto la presión osmótica de

hinchamiento como el tiempo de relajación asociado a la red durante la simultánea absorción de

agua y liberación del soluto. Pocos intentos de modelo para sistemas liberación controlada en

matrices hinchables han sido realizados. Rudolph 76, 77 obtiene una solución general para

liberación difusional de solutos desde matrices poliméricas que involucra movimientos de

fronteras. Lee 78, 79 analiza la liberación de drogas desde matrices poliméricas incluyendo el

movimiento de las fronteras generados tanto por el hinchamiento como por la erosión del

polímero, presentando soluciones analíticas aproximadas para varias geometrías. Peppas et al. 76

desarrollan un modelo de estado seudo estable para la difusión de drogas desde polímeros con

expansión volumétrica. Korsmeyer y Peppas 70 desarrollan un modelo matemático basado en el

coeficiente de difusión del medicamento como función de la concentración del solvente

absorbido en una forma consistente con la teoría del volumen libre. Todos estos estudios

asumen la misma relación constitutiva para los flujos de solvente y soluto; la combinación del

coeficiente de difusión y el gradiente de concentración del componente produce la descripción

de su transporte.

La descarga de un soluto contenido dentro de un hidrogel en contacto con un ambiente acuoso

en el que el mismo agente está ausente o presente en una concentración más baja se considera

gobernada por su proceso de difusión y por las condiciones inicial y el límite del sistema; la

liberación puede estar fuertemente influenciada por la difusión del agua dentro de la matriz. En

la liberación de solutos desde hidrogeles inicialmente deshidratados, la primera etapa del proceso

se asocia al ingreso de agua en la matriz cristalina que contiene el soluto disperso, el polímero se

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64

hincha poco reduciendo la temperatura de transición vítrea; al mismo tiempo el soluto se difunde

a través de la región hinchada para ser liberado hacia el medio externo. Al igual que en el

hinchamiento, el transporte del soluto generalmente no sigue un mecanismo de difusión

Fickiano.

Al examinar las condiciones que determinan el mecanismo difusional de liberación del soluto

desde matrices poliméricas Korsmeyer y Peppas 74 plantearon la posibilidad de analizar y predecir

el mecanismo difusional de descarga de soluto a través de un número adimensional, el número

de hinchamiento interfacial, Sw , definido por:

=,3D

vSw EEδ

( 5.24 )

donde Ev es la velocidad de penetración del frente de hinchamiento, ∞,3D es el coeficiente de

difusión del soluto en la fase hinchada, y Eδ es el espesor de la fase gomosa. Este número

compara las movilidades relativas del penetrante y el soluto en presencia de relajación

macromolecular en el polímero. Para Sw << 1, la velocidad de difusión del soluto a través de la

región hinchada es mucho mayor que la velocidad a la cual avanza la interfase de hinchamiento,

esperándose una cinética de liberación de orden cero, caso II. Cuando Sw >> 1, la interfase de

hinchamiento avanza más rápido que la difusión de soluto, observándose liberación Fickeana.

Para Sw ≈ 1, se puede anticipar liberación de soluto no Fickeana. La determinación experimental

del número de hinchamiento interfacial es muy limitada.

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6. VERIFICACIÓN DEL MODELO DE DIFUSIÓN

A pesar de la complejidad del transporte de solvente en matrices poliméricas hinchables, debido

al acoplamiento de tensión, concentración, y campos potenciales químicos; es posible formular

un modelo razonable que considere simultáneamente los procesos de difusión y relajación que

ocurren durante el hinchamiento del polímero. Al modelo se incorpora el proceso de difusión de

un soluto para permitir la descripción de sistemas de liberación desde hidrogeles. En este

capitulo también se indicaran los procedimientos experimentales utilizados para la verificación y

obtención de los parámetros del modelo.

6.1. MODELO DE HINCHAMIENTO

Figura 5.1. Sistema coordenado para la difusión unidimensional de solvente.

Las suposiciones básicas consideradas en el modelo mediante el cual se describe el hinchamiento

de un hidrogel discoidal, en un solvente puro, Figura 6.1 son:

Los efectos inerciales entre el fluido y la matriz polimérica son despreciables.

El proceso de difusión de solvente esta limitado en la matriz, y los efectos de convección de

fluido de los alrededores son despreciables.

El proceso consta de dos subprocesos: difusión unidimensional en la dirección axial y

expansión elástica de la matriz (relajación) en las restantes direcciones.

El proceso es isotermo (temperatura constante T0) e isobárico (presión constante P0).

El polímero y el solvente son incompresibles.

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66

6.1.1. Formulación matemática del modelo

Teniendo en cuenta las anteriores suposiciones, el modelo se trabaja considerando la difusión

unidimensional en la dirección axial:

∂∂

∂∂

=∂∂

xwD

xtw

1 ( 6.1 )

donde w es la concentración local de solvente en la matriz polimérica; bajo la suposición que

originalmente la matriz polimérica no contiene solvente (humedad atmosférica despreciable), la

condiciones inicial y de frontera del sistema respectivamente son:

00;0para0 δδ <<−<= xtw ( 6.2 )

δδ =−=≥= xxtWw S y;0para ( 6.3 )

donde SW es la cantidad de solvente en equilibrio sobre la superficie de la matriz polimérica.

Debido a la reestructuración de la matriz polimérica inducida por el solvente se presentan

cinéticas que no son planas, siendo necesaria la evolución de la concentración en la interfase

desde un valor inicial ( ΨW ) a un valor de equilibrio final ( ∞W ); en tal sentido se considera que

ΨW corresponde al grado de hinchamiento máximo del hidrogel, alcanzado a un tiempo Ψt .

Para incluir la incidencia del cambio en la fracción volumétrica y la dependencia temporal de la

deformación mecánica de la estructura polimérica se puede asumir que SW , 1D y el tiempo de

relajación τ cambian en forma exponencial de acuerdo con muchas expresiones empíricas,50, 56

congruentes en su mayoría con la teoría de volumen libre: 74

τΨ

Γ

Ψ∞

−=Γ

=

ttWW

WWS con ( 6.4 )

Ω

∞∞ −=Ω

=

WW

DD

DD 1con,1

0,1,11 ( 6.5 )

( )[ ]WWK −= ∞∞ expττ ( 6.6 )

donde 0,1D y ∞,1D son las difusividades asociadas a las conductas inicial y final, y ∞τ el tiempo de

relajación terminal.

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67

6.1.2. Procedimiento experimental

Diferentes técnicas experimentales han sido empleadas para estudiar las cinéticas de

hinchamiento, encogimiento, y secado en geles dentro de las cuales se tienen: dispersión de

neutrones, dispersión de luz cuasiestática, experimentos macroscópicos, espectroscopia de

campo evanescente, técnicas de fluorescencia, y medidas interferométricas in–situ.61, 82 , 83 En el

presente trabajo el seguimiento de la cinética se llevó a cabo con la técnica gravimétrica, la cual

consiste en retirar el disco del medio de hinchamiento (agua destilada) removiendo el agua

superficial con un paño absorbente para registrar el tiempo y peso observado; el procedimiento

se efectuó en forma continua por un período de doce horas, y luego la toma de datos se realizó

cada 24 horas hasta alcanzar un peso relativamente constante. Los pesos registrados se

convierten en el grado de hinchamiento del hidrogel (W ), generando de esta forma la curva

cinética de absorción de solvente.

Considerando que el grado de hinchamiento se puede estimar desde la fracción volumétrica del

del polímero (Ecuación 4.16), es posible utilizar técnicas que midan directamente la variación

volumétrica del polímero para verificar las cinéticas de hinchamiento y obtener curvas de

variación dimensional. Uno de estos métodos consiste en digitalizar la imagen de los hidrogeles

en el medio de hinchamiento para determinar las áreas radiales proyectadas A, con las que se

establece la fracción volumétrica por:

ηηφ−

=

Ξ

1con

02 A

A ( 6.7 )

Con las áreas radiales proyectadas durante el hinchamiento de los hidrogeles de la serie HE se

realizó el seguimiento del proceso, obteniendo para cada instante el grado de hinchamiento bajo

la consideración de que los discos crecían de manera isotrópica, es decir al factor dimensional η

siempre le correspondía un valor de 3, pero al comparar estos resultados con los establecidos

mediante la técnica gravimétrica Figura 6.2, se percibe una notable diferencia en la fase inicial del

proceso.

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68

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

0 100 200 300Tiempo (minutos)

Dife

renc

ia e

n el

gra

do d

ehi

ncha

mie

nto

HE05HE1HE3HE5HE10

Figura 5.2. Diferencias con respecto al tiempo, en el grado de hinchamiento entre la técnica

gravimétrica y la digitalización de áreas radiales cuando el proceso se considera isotrópico.

Con las diferencias máximas y el grado de hinchamiento a equilibrio del cada hidrogel, se

estableció en la Figura 6.3 una curva de tendencia de tipo parabólico (R2 0.9409), con la que se

resalta la gran magnitud del error obtenido al considerar el hinchamiento en su fase inicial como

un proceso isotrópico, especialmente para matrices con alta capacidad de hinchamiento.

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

Capacidad de hinchamiento

Dife

renc

ia e

n el

gra

do d

ehi

ncha

mie

nto

Figura 5.3. Desviaciones observados en el grado de hinchamiento cuando el proceso se

considera isotrópico contra la capacidad de hinchamiento a equilibrio, serie HE.

En la Figura 6.4 los valores prácticos del factor dimensional, determinados mediante la

combinación de los datos gravimétricos con las áreas proyectadas, se comparan con los factores

dimensiónales obtenidos mediante la siguiente expresión:

0

0con21AA

AAAA

M −−

=+= ΑΑη ( 6.8 )

donde MA es el máxima área observada.

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69

1.01.21.41.61.82.02.22.42.62.83.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Área adimensional

Fact

or d

imen

sion

al

HE05HE1HE3HE5HE10

Figura 5.4. Variación del factor dimensional para la serie HE contra el área adimensional AA.

La buena correlación ( 9932.02 =R ) de los datos experimentales con la Ecuación 6.8, permite

proponer el uso de esta expresión para obtener el factor dimensional cuando el seguimiento

cinético se realice mediante la digitalización de áreas proyectadas. En la Figura 6.5 se presenta la

imagen digitalizada de la proyección de un hidrogel en el medio de hinchamiento, en ella se

aprecia el disco en un tono gris cuya intensidad esta directamente relacionada con su opacidad,

de manera que los discos más opacos ofrecerán un mejor contraste y serán más fácilmente

apreciables, para facilitar su visualización en adelante se presentaran las imágenes invertidas.

Figura 5.5. Imagen digitalizada durante el hinchamiento de un hidrogel

En general se observa un variación simétrica del área cuando la matriz polimérica posee un grado

de hinchamiento moderado o bajo, Figuras 6.5 y 6.6; pero cuando la capacidad de hinchamiento

es alta, debido a una distribución irregular de esfuerzos entre el corazón cristalino y los bordes

donde se ha alcanzado la transición elástica, se pueden advertir anormalidades, Figura 6.8.

Cuando las composiciones entre los monómeros hidrofóbico e hidrofílico son equivalentes, la

estructura lograda es heterogénea; y por ello rápidamente se produce una disminución de la

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70

fotopermeabilidad del hidrogel, lo que en estas imágenes se refleja en tonos grises oscuros y

negros, Figura 6.7.

Figura 5.6. Imágenes digitalizadas durante el hinchamiento isotérmico del hidrogel HE1

Figura 5.7. Imágenes digitalizadas durante el hinchamiento isotérmico del hidrogel 3B1

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71

Figura 5.8. Imágenes digitalizadas durante el hinchamiento isotérmico del hidrogel 1E1

6.1.3. Comprobación de los modelos cinéticos de hinchamiento

Usualmente el hinchamiento de una matriz polimérica se verifica mediante un modelo cinético,

en el presente trabajo se tuvieron en cuenta los modelos cinéticos de primer y segundo orden, y

el modelo de restricción de Li y Tanaka. Mediante la estimación lineal del ( )[ ]WWW −∞∞ln

contra el tiempo se obtienen las constantes necesarias para la aplicación de los modelos cinéticos

de primer orden y de restricción; en ambos casos la constante de proporcionalidad es la

pendiente obtenida, siendo la diferencia fundamental el intercepto, que para la cinética de primer

orden es cero y para el modelo de Li y Tanaka es la constante 1B de la Ecuación 4.14. Una vez se

establecen estas constantes fácilmente se generan las curvas cinéticas, que comparadas con los

resultados experimentales solo permitieron explicar el comportamiento global de la fase inicial de

hinchamiento con discrepancias apreciables para las fases intermedia y final.

Para algunos autores 11, 81 las desviaciones presentadas con los modelos cinéticos de primer orden

pueden ser corregidas mediante la utilización de cinéticas de segundo orden, que tomen en

cuenta tanto la capacidad de hinchamiento como la interacción del agua con los sitios de la

matriz polimérica que pueden ser hidratados e hinchados si se continua el proceso; de tal forma

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72

que el hinchamiento excesivo puede producir disolución de la red polimérica, obteniendo la

solubilización de las cadenas entre los puntos de entrecruzamiento, pero desafortunadamente el

ajuste obtenido en este trabajo con cinéticas de segundo orden fue exiguo.

Estudiar directamente la tendencia de las constantes de proporcionalidad de los modelos

cinéticos es inconveniente, debido a que ellas están relacionadas implícitamente con el espesor

del disco; por tanto es más apropiado realizar el análisis de los coeficientes eficaces de difusión,

que se obtienen despejándolos de las cinética de primer orden (Ecuación 4.8) y cinética de

restricción (Ecuación 4.17); en ambos casos se requiere conocer la constante de proporcionalidad

cinética y el espesor del xerogel, pero en el modelo de restricción se sustituye el valor de 2π por 2ϕ que corresponde a la raíz de la expresión:

( ) 0214431

2 =

+−−−

BSSϕ ( 6.9 )

donde S se obtiene con la Ecuación 5.16.

En la Figura 6.9 se plantea la dependencia de las difusividades obtenidas con el porcentaje de

entrecruzante; cuando el entrecruzamiento es bajo se tiene gran sensibilidad de los coeficiente de

difusión, siendo mayor para el modelo de restricción de Li y Tanaka frente a la cinética de primer

orden. Para ambos modelos, cuando el nivel de entrecruzante supera el 5% se puede considerar

que la difusividad del solvente es constante, ello implica que aproximadamente con este

contenido de entrecruzante, se restringe la movilidad de las cadenas poliméricas limitando con

ello la movilidad de las moléculas de agua en el interior de la matriz.

( a )

5.E-04

6.E-04

7.E-04

8.E-04

9.E-04

0% 2% 4% 6% 8% 10%EGDMA

Difu

sivi

dad

(mm

2/m

in)

( b )

0.E+00

1.E-03

2.E-03

3.E-03

4.E-03

0% 2% 4% 6% 8% 10%EGDMA

Difu

sivi

dad

(mm

2/m

in)

Figura 5.9. Variación del coeficiente de difusión contra el porcentaje de entrecruzante (serie

HE), asociado al modelo cinético de: ( a ) primer orden y ( b ) Li y Tanaka.

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73

En la Figura 6.10 se plantea la dependencia de las difusividades contra el porcentaje de

monómero hidrófobo. Las curvas obtenidas para la cinética de primer orden muestran una

disminución de los coeficientes de difusión cuando el porcentaje de monómero hidrófobo se

incrementa, comportamiento que se puede asociar con la reducción en el gradiente de potencial

químico debido a la menor la capacidad de hinchamiento de estos hidrogeles. Para el modelo de

restricción de Li y Tanaka, se presenta un valor máximo en la difusividad para los hidrogeles con

30% de HMA cuyo explicación con los argumentos disponibles resulta demasiado especulativa.

( a )

0.0E+00

5.0E-04

1.0E-03

1.5E-03

2.0E-03

0% 10% 20% 30% 40% 50%

HMA

Difu

sivi

dad

(mm

2/m

in)

Orden 1Li

( b )

0.0E+00

2.0E-03

4.0E-03

6.0E-03

0% 10% 20% 30% 40% 50%

HMA

Difu

sivi

dad

(mm

2/m

in)

Orden 1

Li

( c )

0.0E+00

1.0E-03

2.0E-03

3.0E-03

4.0E-03

0% 10% 20% 30% 40% 50%

HMA

Difu

sivi

dad

(mm

2/m

in)

Orden 1Li

( d )

0.0E+00

5.0E-04

1.0E-03

1.5E-03

0% 10% 20% 30% 40% 50%HMA

Difu

sivi

dad

(mm

2/m

in)

Orden 1

Li

( e )

0.0E+00

1.0E-03

2.0E-03

3.0E-03

0% 10% 20% 30% 40% 50%

HMA

Difu

sivi

dad

(mm

2/m

in) Orden 1

Li

Figura 5.10. Variación del coeficiente de difusión (mm2/min) contra el porcentaje de

monómero hidrófobo, series: ( a ) A, ( b) B, ( c ) C, ( d ) D y ( e ) E.

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74

6.1.4. Solución numérica del modelo

Debido a la no linealidad tanto de los coeficientes de difusión como de la concentración en la

interfase, no es viable la solución analítica del modelo planteado; por ello se propone la solución

numérica de la ecuación diferencial mediante el método de diferencias finitas incondicionalmente

estable de Crank – Nicholson. 84, 85, 86 Como cualquier método de diferencias finitas se establece

una malla cuyos nodos son ( ji tx , ); donde tjt j ∆= con j = 0, 1, ... y los puntos iniciales

( 0=t ) que corresponden al xerogel se obtienen en la dirección axial ( 00 δδ <<− x )

fraccionando el espesor en M intervalos ( Mx 00 2δ=∆ ): 00 xix i ∆+−= δ para i = 0, 1, ... M.

Con las condiciones de frontera e inicial (Ecuaciones 6.2 y 6.3) y la evolución de la concentración

de la interfase Ecuación 6.4 se establecen las concentraciones locales del solvente 0,iw , las cuales

se promedian en cada punto axial: ( ) 21++= iii www ; sustituyendo estos promedios en las

Ecuaciones 6.5 y 4.12 se obtiene la difusividad iD ,1 y la fracción volumétrica i,2φ locales. Con la

Ecuación 5.21 se determina el factor dimensional iη , utilizado para corregir los espaciamientos

axiales: iiji xx ηφ /1

,20, ∆=∆ , cuya suma ( ( ) 2,∑∆= jij xδ ) corresponde al espesor del

hidrogel; considerando jx δ−=0 se definen los nuevos puntos axiales: jiii xxx ,11 −− ∆+= que

pueden ser normalizados con j

iji

ζ =, .

Combinando este esquema con el método de Crank–Nicholson se genera una matriz tridiagonal,

que al ser resuelta permite obtener las nuevas concentraciones locales del solvente jiw , ; la

solución de la matriz tridiagonal en el presente trabajo se llevo a cabo por el algoritmo de

reducción de Crout. Adicionalmente se permite que la concentración en la interfase polímero –

solvente fluctue durante periodos asociados a tiempos de relajación variables definidos por

( ) ∞−+= ττ ini 1 y ( ) ∞

−+= ∑ ττ

n

T in0

1 con i = 0, 1, ... n, y un valor de 4 para n.

Desde los perfiles de difusión resultantes, por simple integración se obtiene el grado de

hinchamiento jW , que sustituido en la Ecuación 3.12 permite determinar la fracción volumétrica

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75

j,2φ ; conocidos el espesor y la fracción volumétrica, es posible estimar el nuevo volumen del

hidrogel y su correspondiente diámetro. Si se conoce la fracción volumétrica necesaria para

alcanzar la transición cristal – elástica, por comparación con las fracciones locales se puede

establecer el espesor de la fase elástica

Con los ensayos realizados para los diferentes hidrogeles disponibles se establecieron los valores

de las dos constantes de malla: 1 minuto para el tamaño de paso, t∆ , y 50 intervalos de

fraccionamiento, M, para el espesor. Normalmente con estos valores se lograron aproximaciones

numéricas dentro de límites aceptables; permitiendo garantizar estabilidad y errores del

discretización pequeños.

6.1.5. Estimación de los parámetros del modelo

El modelo permite describir el proceso de hinchamiento de un xerogel discoidal con

dimensiones geométricas y densidad conocidas, que evoluciona desde un comportamiento inicial

Fickiano hasta una conducta final de similar naturaleza, durante un periodo determinado por el

tiempo de relajación terminal de la matriz polimérica ( ∞τ ). A la primera fase se pueden asociar

parámetros como: difusividad ( 0,1D ), grado de hinchamiento inicial máximo ( ΨW ) y el tiempo

para alcanzarlo ( Ψt ); la etapa final se relaciona con la capacidad de hinchamiento ( ∞W ) y la

difusividad ( ∞,1D ) a equilibrio. El grado de hinchamiento inicial máximo y el tiempo necesario

para lograrlo, así como la capacidad de hinchamiento a equilibrio, se pueden apreciar

directamente de los datos experimentales; pero los parámetros restantes requieren un proceso

más elaborado para ser determinados.

Los coeficientes de difusión para el solvente obtenidos durante la comprobación de los modelos

cinéticos no resultan apropiados para la verificación del modelo planteado; debido a que en ellos

no se tiene en cuenta la variación volumétrica durante el hinchamiento, ni la diferencia existente

entre los procesos de difusión y expansión elástica de la matriz; por esto se opto por realizar su

determinación mediante un ajuste iterativo con los datos recopilados durante la fase inicial del

hinchamiento, creando las curvas que se aprecian en el Anexo E, Figuras: E.1, E.2, E.3, E.4, E.5

y E.6. Estas difusividades se relacionan con el porcentaje de monómero hidrófobo y

Page 81: MODELAMIENTO DE LA DIFUSIÓN DE SOLUTOS EN …€¦ ·  · 2014-08-06Sistemas de descarga controlada ambientalmente sensibles desarrollados a partir de: ( a ) ... Variación del

76

entrecruzante en la Figura 6.11; donde es posible apreciar un decrecimiento de los mismos al

aumentar el contenido de monómero hidrófobo y entrecruzante.

( a )

0.0E+00

1.0E-03

2.0E-03

3.0E-03

0% 10% 20% 30% 40% 50%HMA

Difu

sivi

dad

(mm

2/m

in) Inicial

Equilibrio

( b )

0.E+00

2.E-03

4.E-03

6.E-03

8.E-03

1.E-02

0% 10% 20% 30% 40% 50%

HMA

Difu

sivi

dad

(mm

2/m

in) Inicial

Equilibrio

( c )

0.0E+00

5.0E-04

1.0E-03

1.5E-03

2.0E-03

0% 10% 20% 30% 40% 50%

HMA

Difu

sivi

dad

(mm

2/m

in)

InicialEquilibrio

( d )

0.E+00

1.E-03

2.E-03

3.E-03

0% 10% 20% 30% 40% 50%

HMA

Difu

sivi

dad

(mm

2/m

in) Inicial

Equilibrio

( e )

0.E+00

1.E-03

2.E-03

3.E-03

0% 10% 20% 30% 40% 50%

HMA

Difu

sivi

dad

(mm

2/m

in)

Inicial

Equilibrio

( f )

5.0E-04

6.0E-04

7.0E-04

8.0E-04

9.0E-04

0% 2% 4% 6% 8% 10%EGDMA

Difu

sivi

dad

(mm

2/m

in)

Inicial

Equilibrio

Figura 5.11. Variación del coeficiente de difusión (mm2/min) contra el porcentaje de

monómero hidrófobo, series: ( a ) A, ( b) B, ( c ) C, ( d ) D, ( e ) E; y ( f ) el porcentaje de

entrecruzante serie HE.

Es posible valorar la incidencia de la relajación sobre el proceso de transporte mediante el

parámetro adimensional: 0,1,1 DDRd ∞= ; se tiene difusión Fickiana cuando Rd es igual a 1, lo

que implica difusividad constante con ausencia de términos asociados a la relajación, mientras

que para valores significativamente mayores de Rd usualmente la conducta exhibida es anómala,

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77

en la figura es posible apreciar que tanto para altos contenidos de monómero hidrófobo como de

entrecruzante, los coeficientes de difusión durante todo el proceso permanecen relativamente

constante por lo que es previsible que para estas condiciones la naturaleza del proceso difusivo

sea Fickiana. Los tiempos de relajación terminal de la matriz polimérica ( ∞τ ) se fijaron para

reproducir las oscilaciones observadas con los datos experimentales durante las fases intermedia

y final del hinchamiento, generando las Figuras: E.7, E.8, E.9, E.10, E.11 y E.12 (Anexo E).

6.1.6. Resultado del modelo de hinchamiento

Debido a que la solución del modelo se realiza en forma numérica fue necesario sistematizar este

proceso mediante la elaboración de una rutina de cómputo incluida en el programa Modhigel,

cuya secuencia general se presenta en la Figura 6.12, que hace posible para gran variedad de

hidrogeles generar: cinéticas de hinchamiento que reproducen comportamientos tanto Fickianos

como anómalos, perfiles de concentración de solvente asociados con la capacidad de

hinchamiento, curvas que reproducen los cambios dimensiónales con respecto al tiempo.

Inicio

Definir entradas *

Reportar resultados **

Fin

*TemperaturaTiempoComposición del polímeroDatos geométricos del xerogel: Espesor, Diámetro

;Wψ, tψCapacidad de hinchamiento a equilibrioDifusividad inicial y a equilibrio para el solventeTiempo de relajación terminalCapacidad de hinchamiento para lograr elasticidad

Definir número de perfiles de concentración y sus

tiempos

Solución numérica del

modelo

**Curva cinéticaPerfiles de concentración de solventeVariación del espesorVariación del diámetroVariación en la fase elástica

Figura 5.12. Esquema general del programa para solucionar el modelo de difusión.

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78

La integración de los perfiles de concentración de solvente generados por el modelo permite

estimar grados de hinchamiento que concuerdan con los determinados experimentalmente

durante el seguimiento cinético, en la Figura 6.13 se pueden observar algunos de los perfiles que

el programa produjo durante los primeros 800 minutos de hinchamiento con la información

correspondiente a un hidrogel de HEMA entrecruzado con 0.5% de EGDMA.

0.00

0.10

0.20

0.30

-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00

Espesor adimensional

Gra

do d

e hi

ncha

mie

n

0 min10 min

20 min

50 min

100 min

200 min800 min

Figura 5.13. Perfiles previstos durante el hinchamiento de un hidrogel HE05.

Para analizar de manera conveniente los diferentes tipos de conductas que se aprecian durante la

fase final de hinchamiento (Anexo E), se trabaja con los números difusivos de Deborah, que

agrupan los valores asignados al tiempo de relajación con el espesor del xerogel y la difusividad

del solvente en equilibrio (Ecuación 5.18). Los números de Deborah determinados para cada una

de las cinéticas de hinchamiento de los hidrogeles trabajados en el presente proyecto se

relacionan con el porcentaje de monómero hidrófobo y entrecruzante en la matriz polimérica en

la Figura 6.14.

La mayoría de curvas de hinchamiento exhiben comportamientos anómalos, donde claramente

es visible como la capacidad de retención de solvente supera durante gran parte del proceso el

valor de equilibrio final con oscilaciones de magnitud variable, estas conductas se pueden asociar

a números de Deborah cercanos a la unidad, y resultaron ser más usuales para hidrogeles con

grado de hinchamiento intermedio, correspondientes a contenidos de monómero hidrófobo

entre 20 y 40%. Los números de Deborah más pequeños corresponden a hidrogeles con alto

grado de entrecruzamiento o baja proporción de grupos hidrofílicos, que se pueden coligar a

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79

transporte Fickiano con rápidos procesos de relajación. Los números de Deborah más grandes

se alcanzaron en los hidrogeles con alta proporción de grupos hidrofílicos, en donde la relajación

resulta lenta con respecto al proceso difusivo lo que permite al sistema aproximarse a la

condición de equilibrio, mediante una conducta Fickiana; se debe aclara que estos hidrogeles

exhiben alta fragilidad, que debido a la manipulación continua de las muestras se traduce en

considerables rupturas en los discos con posterior disolución de muchos de los fragmentos

producidos.

( a )

0.01.02.03.04.05.06.07.08.09.0

0% 10% 20% 30% 40% 50%

HMA

Núm

ero

de D

ebor

ah

( b )

0.0

4.0

8.0

12.0

16.0

0% 10% 20% 30% 40% 50%

HMA

Núm

ero

de D

ebor

ah

( c )

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0% 10% 20% 30% 40% 50%HMA

Núm

ero

de D

ebor

ah

( d )

0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.5

0% 10% 20% 30% 40% 50%

HMA

Núm

ero

de D

ebor

ah

( e )

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

0% 10% 20% 30% 40% 50%HMA

Núm

ero

de D

ebor

ah

( f )

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

1.8

0% 2% 4% 6% 8% 10%EGDMA

Núm

ero

de D

ebor

ah

Figura 5.14. Número difusivo de Deborah contra el porcentaje de monómero hidrófobo,

series: ( a ) A, ( b) B, ( c ) C, ( d ) D, ( e ) E; y ( f ) el porcentaje de entrecruzante serie HE.

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80

El modelo incluye elementos asociados a la expansión volumétrica de la matriz que hacen posible

para gran variedad de hidrogeles obtener curvas de sus cambios dimensiónales con respecto al

tiempo; en la Figura 6.15 mediante la utilización de las relaciones adimensionales: 0δδ y 0dd ,

se muestran las curvas generadas para describir la evolución del espesor y el diámetro, para las

diferentes matrices poliméricas que conforman la serie HE.

( a )

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

0 200 400 600 800 1000

Tiempo (minutos)

Esp

esor

/esp

esor

inic

HE05HE1HE3HE5HE10

( b )

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

0 200 400 600 800 1000

Tiempo (minutos)

Dia

met

ro/d

iam

etro

inic

ia

HE05HE1HE3HE5HE10

Figura 5.15. Cambio dimensiónales para los hidrogeles de la serie HE ( a ) espesor y ( b )

diámetro.

En la comparación directa entre el comportamiento del espesor y el diámetro para el hidrogel

HE05 (Figura 6.16), se aprecia el retraso del proceso de relajación en la etapa inicial asociado con

una mayor velocidad de incremento para el espesor y el posterior crecimiento isotrópico de la

matriz, este conducta se observó en totalidad de los hidrogeles trabajados.

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

0 150 300 450 600 750 900Tiempo (minutos)

Dim

ensi

ón/D

imen

sión

inic

i

DiámetroEspesor

Figura 5.16. Comparación en el cambio del espesor y el diámetro durante el hinchamiento de

un hidrogel HE05.

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81

Anteriormente se definió la interfase de hinchamiento como la posición donde la elongación

local es igual a la elongación crítica, obtenida con la fracción volumétrica necesaria para alcanzar

la transición cristal – gomosa (Ecuación 5.22); por ello es posible establecer las regiones de la

matriz que se han extendido lo suficiente para tener movilidad y alcanzar la fase gomosa, a través

de la comparación de las elongaciones para cada fragmento en que se ha dividido el espesor,

sumando los fragmentos que cumplen esta condición para determinar el porcentaje de la fase

gomosa. En la Figura 6.17 se muestran los resultados obtenidos para los hidrogeles de la serie

HE, considerando la fracción volumétrica necesaria para alcanzar la transición cristal – gomosa

equivalente al contenido de agua asociada en el equilibrio, lo que constituye en una aproximación

de carácter especulativo; la determinación apropiada de esta fracción volumétrica puede lograrse

mediante la realización de pruebas mecánicas durante el proceso de hinchamiento, pero debe

tenerse en cuenta que este procedimiento no se puede aplicar en forma confiable a la totalidad de

los hidrogeles, dado que aquellos con gran capacidad de hinchamiento normalmente presentan

gran fragilidad en muy poco tiempo y no serán capaces de soportar este tipo de ensayos, lo que

limita la determinación experimental de la transición cristal – gomosa.

0%

20%

40%

60%

80%

100%

0 50 100 150 200

Tiempo (minutos)

Fase

elá

stic

a

HE05HE1HE3HE5HE10

Figura 5.17. Variación en el porcentaje de la fase gomosa en los hidrogeles de la serie HE.

Recordando que los números en el nombre de los hidrogeles de la serie HE hacen referencia al

porcentaje de entrecruzante, en la Figura 6.17 se aprecia como el contenido de agente

entrecruzante afecta en forma significativa la velocidad de avance de la fase gomosa dentro de la

matriz polimérica, y el tiempo necesario para tener un hidrogel con elasticidad completamente

homogénea; en todos los hidrogeles con los que se trabajó en la fase experimental el tiempo de

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82

hinchamiento para lograr la transición fue inferior a 200 minutos. El avance del frente gomoso

permite determinar cual es la proporción de las cadenas que poseen movilidad, pero deben ser

combinados con otros análisis para determinar el grado de elasticidad alcanzado. Aunque que

todos los hidrogeles de la serie HE logran la transición cristal – gomosa, se debe indicar que en

aquellos con 10% de EGDMA la elongación crítica ha sido superada levemente y por tanto la

movilidad de las cadenas es baja haciéndolos poco flexibles, al ser retirados del medio de

hinchamiento recuperan rápidamente su condición de estructuras rígidas; si se comparan con los

hidrogeles de las series restantes, las demás matrices de la serie HE poseen flexibilidad moderada.

6.2. MODELO PARA LA DIFUSIÓN DEL SOLUTO

La cinética de absorción y los cambios dimensiónales trasientes durante la liberación de un soluto

desde un hidrogel inicialmente deshidratado son más complejos que en el caso del simple

transporte de penetrante en matrices poliméricas. Un modelo general debe considerar

explícitamente la penetración de solvente y el transporte de soluto, así como los diversos

aspectos importantes de la interdependencia de estos dos procesos.

6.2.1. Formulación matemática del modelo

Al modelo utilizado para describir el proceso de hinchamiento del hidrogel discoidal, se le

adiciona un elemento asociado al soluto que corresponde a la ecuación de difusión

unidimensional de Fick:

∂∂

∂∂

=∂

∂x

CD

xtC 3

33 ( 6.10 )

donde 3C es la concentración del soluto, y 3D es el coeficiente de difusión del soluto en la

matriz polimérica; con las siguientes condiciones de frontera e inicial:

δδδ

±=≥=

<<−<=

xtCCxtCC

S ;0para;0para

,33

0,33 ( 6.11 )

donde 0,3C corresponde al perfil inicial de concentración de soluto en la matriz, y SC ,3 la

concentración de soluto en el medio externo. La difusividad del soluto se considera función de la

concentración de solvente embebido en la matriz polimérica: ( )AWDD exp0,33 = .

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83

6.2.2. Procedimiento experimental

La urea fue cargada dentro de la matriz polimérica, colocando los xerogeles en una solución al

10% en peso de urea a temperatura ambiente, hasta que el peso alcanzado por los discos se

mantuvo relativamente constante. Los estudios de liberación del componente activo se llevaron a

cabo colocando los hidrogeles cargados en 10 ml de agua destilada que se cambió a intervalos de

tiempo determinados; evaluando la concentración de urea en el agua mediante Cromatografía

Líquida de alta resolución (HPLC), con un detector de índice de refracción (modelo Waters 410),

una columna Novapack C-18 de fase inversa y como fase móvil agua grado HPLC a un flujo de

0.5 ml/min, el tiempo de retención para el urea bajo estas condiciones se ubico sobre los 4

minutos.

La curva de calibración Figura 6.18, se obtuvo a partir de los cromatogramas de soluciones

estándares entre 0.001 y 2 g/L de urea en agua, Anexo F, Figura F.1. Los cromatogramas se

analizaron con ayuda del Millennium Chromatography Manager Software (v2.15.01) Copyright

© 1994 Waters Corp. Tanto los estudios de liberación como las pruebas cromatográficas se

realizaron a temperatura ambiente.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 100000 200000Área (UVseg)

Con

cent

raci

ón (g

/l)

Figura 5.18. Curva de calibración para determinar la concentración de urea en la solución a

partir del área del pico cromatográfico.

En los hidrogeles con contenidos de monómero hidrófobo inferiores al 20% no se realizó

liberación de urea debido a su fragilidad mecánica, para los restantes hidrogeles la tendencia de

este proceso se determinó mediante Cromatografía Líquida de alta resolución (HPLC), y se

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84

presenta en las Figuras 6.19 y 6.20; en la Figura F.2 se muestran a manera de ejemplo dos de los

cromatogramas obtenidos.

( a )

0.000.020.040.060.080.10

0 100 200Tiempo (minutos)

Ure

a (g

/l)

( b )

0.000.020.040.060.080.10

0 100 200

Tiempo (minutos)

Ure

a (g

/l) ( c )

0.000.020.040.060.080.10

0 100 200Tiempo (minutos)

Ure

a (g

/l)

( d )

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0 100 200Tiempo (minutos)

Ure

a (g

/l)

( e )

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0 100 200Tiempo (minutos)

Ure

a (g

/l) ( f )

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0 100 200Tiempo (minutos)

Ure

a (g

/l)( g )

0.000.020.040.060.080.10

0 100 200

Tiempo (Minutos)

Ure

a (g

/l)

( h )

0.000.020.040.060.080.10

0 100 200

Tiempo (minutos)

Ure

a (g

/l) ( i )

0.000.020.040.060.080.10

0 100 200Tiempo (minutos)

Ure

a (g

/l)

( j )

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0 100 200Tiempo (minutos)

Ure

a (g

/l)

( k )

0.000.010.020.030.040.050.06

0 100 200Tiempo (minutos)

Ure

a (g

/l)

Figura 5.19. Curvas de liberación, concentración de urea contra el tiempo, para hidrogeles

con monómero hidrófobo variable: ( a ) 3A1, ( b ) 4A1, ( c ) 5A1, ( d ) 3B1, ( e ) 4B1, ( f ) 5B1,

( g ) 3E1, ( h ) 4E1, ( i ) 5E1, ( j ) 3C1 y ( k ) 5C1.

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85

( a )

0.000.010.020.030.040.05

0 100 200 300 400 500

Tiempo (minutos)

Ure

a (g

/l)

( b )

0.000.010.020.030.040.05

0 100 200 300 400 500Tiempo (minutos)

Ure

a (g

/l)

( c )

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0 100 200 300 400 500

Tiempo (minutos)

Ure

a (g

/l)

( d )

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0 100 200 300 400 500

Tiempo (minutos)

Ure

a (g

/l)

( e )

0.00

0.01

0.02

0.03

0 100 200 300 400 500

Tiempo (minutos)

Ure

a (g

/l)

Figura 5.20. Curvas de liberación, concentración de urea contra el tiempo, para hidrogeles

con entrecruzante variable: ( a ) HE05, ( b ) HE1, ( c ) HE3, ( d ) HE5 y ( e ) HE10.

En anteriores figuras se distinguen dos etapas: una fase inicial con una rápida velocidad de

liberación que ocurre aproximadamente durante 100 minutos; y una fase final donde la

concentración del urea en el hidrogel se aproxima a cero, como resultado del menor gradiente de

concentración se tiene una disminución gradual en la fuerza impulsora lo que hace que el

proceso ocurra cada vez más despacio. La liberación total del soluto en ninguno de los hidrogeles

supera los 500 minutos.

6.2.3. Análisis de DSC

La estructura química del polímero puede incrementar o reducir el hinchamiento al establecer

interacciones de diferente tipo con el agua; experimentalmente se ha podido determinar que el

agua se puede encontrar dentro del hidrogel desde un estado fuertemente asociado con el

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86

polímero entrecruzado (agua asociada o no congelable) hasta un estado inalterado por la

naturaleza del polímero (agua libre o congelable), pero el contenido de agua en el equilibrio

( ∞W ) nos da tan solo información sobre la suma del agua existente en todos estos estados

(contenido total de agua).

Para determinar la forma de asociación del agua dentro de la matriz polimérica se empleó el

método de calorimetría diferencial de barrido (DSC), técnica térmica en la que se miden las

diferencias en la cantidad de calor entre una sustancia y una referencia en función de la

temperatura de la muestra cuando las dos están sometidas a un programa de temperatura

controlado, usando para ello un calorímetro diferencial de barrido cuyas condiciones de

operación se presenta en el Anexo C, el resultado de los análisis de DSC es una serie de

termogramas que se presentan en el Anexo D.

Para determinar el agua libre en el hidrogel ( LW ) se procede a dividir entre la entalpía de fusión

del agua pura estimada mediante análisis de DSC 339.17 J/g la entalpía de fusión por gramo de

agua que contiene el hidrogel ( mH∆ ), la cual se obtiene integrando los picos de fusión de agua

presentes en los termogramas, (esto se realiza directamente con la ayuda del software analizador

de señales de DSC, Universal Analysis v2.4F Copyright © 1998 TA Instruments, Inc.):

17.339aguafusión

mmL

HH

HW

∆=

∆∆

= ( 6.12 )

Una vez conocida la cantidad total de agua por gravimetría y la cantidad de agua libre, puede

obtenerse el agua asociada o ligada ( AW ) restando ambas magnitudes:

LA WWW −= ∞ ( 6.13 )

En la Figura 6.20.a se observa como al aumentar el porcentaje de entrecruzante se produce una

disminución en el contenido de agua total y libre lo que se debe principalmente al menor espacio

disponible para ser ocupado por el agua y la mayor limitación en la movilidad de las cadenas; esta

reducción en la movilidad esta asociada al aumento en la fuerza elástica que se opone al

hinchamiento lo que implica que si la cantidad de agua asociada se mantiene constante el

hidrogel permitirá el ingreso de la misma hasta alcanzar este nivel, siendo esta la posible causa de

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87

la mayor fragilidad que usualmente muestran los geles con mayor contenido de entrecruzante. En

la Figura 6.20.b se observa como al variar el porcentaje de componente hidrófobo decrece el

contenido tanto de agua libre como asociada, lo que se debe a la reducción del número de grupos

hidrofílicos presentes en la matriz polimérica.

Cuando en los termogramas (Anexo D) se analiza el flujo de calor total se observa en forma

mayoritaria un pico asociado a la fusión del agua libre, pero al analizar el flujo de calor reversible

aparecen en muchos de ellos dos picos con diversos grados de separación (solapamiento), esto

indica la posibilidad de tener en el sistema el agua en por los menos dos estados cristalinos

distintos, con ligeras diferencias energéticas para la transición de fase, dada la naturaleza polar de

las moléculas de agua se puede considerar que estos estados cristalinos son el resultado de

diversos grados de asociación por parte de las moléculas de agua dentro de la matriz polimérica.

( a )

0

0.1

0.2

0.3

0% 2% 4% 6% 8% 10%

EGDMA

Con

teni

do d

e ag

ua

TotalLibreAsociada

( b )

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0% 10% 20% 30% 40% 50%

HMA

Con

teni

do d

e ag

ua

TotalLibreAsociada

Figura 5.21. Comportamiento del contenido de agua libre, asociada y total en el equilibrio

generado por la variación del: ( a ) porcentaje de entrecruzante (serie HE) y ( b ) porcentaje de

monómero hidrófobo (series A, B, C, D y E).

El agua asociada no participa en el proceso de disolución de un agente activo dentro la matriz

polimérica; el solvente que efectivamente interviene en el transporte del soluto es aquel que tiene

movilidad dentro del hidrogel, es por ello que los coeficientes de difusión se deben correlacionar

con el contenido de agua libre.

6.2.4. Estimación de los parámetros del modelo de difusión

Se debe tener presente que la matriz polimérica se comporta esencialmente como un solvente

sólido, en donde hay un limite superior o valor de saturación para la concentración del soluto

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88

“móvil” o “disuelto” en el polímero totalmente hinchado, que corresponde, a la cantidad de

soluto que puede ser tomado por el polímero totalmente hinchado de la solución saturada de

soluto en el solvente líquido. Cualquier cantidad de soluto presente en la matriz más allá del

límite de saturación especificado se espera que se encuentre en un estado dispersado inmóvil

(asumiendo que no hay supersaturación). La dispersión se considera lo suficientemente fina para

no afectar materialmente las propiedades de transporte de la matriz polimérica y estar en

equilibrio con el soluto móvil o disuelto en ella (se supone disolución instantánea de soluto

dispersado en el polímero). Bajo estas condiciones, la elusión desde las matrices que contiene el

soluto dispersado puede se puede considerar como el acoplamiento de una penetración lenta de

solvente con un rápido transporte de soluto desde la matriz, lo que permite aproximar el proceso

a una conducta Fickiana y obtener como solución de la Ecuación 6.10 la expresión:

−≈ t

DCC 2

32

0,33 expδ

π ( 6.14 )

Los valores observados durante la liberación de urea, se correlacionaron con una cinética de

primer orden: ( )ktCC −= exp0,33 ; para realizar la estimación lineal del ( )[ ]30,30,3ln CCC −

versus el tiempo, la pendiente obtenida corresponde a la constante de proporcionalidad a partir

de la cual es posible estimar el coeficiente de difusión del soluto en la matriz polimérica:

2

2

3 πδ kD = ( 6.15 )

El coeficiente de difusión del soluto debe ser similar al presentado en la solución acuosa cuando

el contenido de agua dentro de la matriz es alto e insignificante en discos levemente hinchados,

debido a las interacciones matriz – agua y soluto – matriz, pero su incremento debe ser

apreciable cuando el volumen o la temperatura aumenten; también se esperan por debajo del

punto vítreo valores pequeños de la difusividad.

La liberación de un soluto desde un hidrogel no se puede describir de manera apropiada

mediante cinéticas de primer o segundo orden; fundamentalmente porque en el proceso se

exhiben dos etapas bien definidas que requieren de tratamientos diferentes, adicionalmente las

fuerzas impulsoras de difusión adecuadas corresponden a gradientes de potencial químico en

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89

lugar de gradientes de la concentración. Para hacer posible la descripción satisfactoria de

conductas como las representadas en las Figuras 6.18 y 6.19, es necesario corregir y reducir

algunos de los factores asociados al transporte en matrices poliméricas hinchables; por ello se

optó por la solución mediante diferencias finitas de la Ecuación 6.10, considerando una

difusividad constante cuyo ajuste se realizó en forma iterativa.

( a )

y = 0.0028e0.8497x

R2 = 0.8093

0.0E+00

2.0E-03

4.0E-03

6.0E-03

0% 20% 40% 60%

Agua libre

Difu

sivi

dad

solu

to

(mm

2/m

in)

( b )

y = 0.002e0.8334x

R2 = 0.932

0.0E+00

1.0E-03

2.0E-03

3.0E-03

4.0E-03

0% 20% 40% 60%

Agua libre

Difu

sivi

dad

solu

to

(mm

2/m

in)

( c )

y = 0.0028e0.4066x

R2 = 1

0.0E+00

1.0E-03

2.0E-03

3.0E-03

4.0E-03

0% 20% 40% 60%Agua libre

Difu

sivi

dad

solu

to

(mm

2/m

in)

( d )

y = 0.0027e0.9765x

R2 = 0.8396

0.0E+00

2.0E-03

4.0E-03

6.0E-03

0% 20% 40% 60%Agua libre

Difu

sivi

dad

solu

to

(mm

2/m

in)

( e )

y = 0.0006e2.8345x

R2 = 0.9709

0.0E+00

4.0E-04

8.0E-04

1.2E-03

0% 4% 8% 12% 16%

Agua libre

Difu

sivi

dad

solu

to

(mm

2/m

in)

Figura 5.22. Variación del coeficiente de difusión del soluto contra el contenido de agua libre

en la matriz polimérica, series: ( a ) A, ( b ) B, ( c ) C, ( d ) E y ( e ) HE.

Para elaborar la Figura 6.21 y determinar las curvas tendencia de tipo exponencial que se

plantean en la formulación matemática del modelo, las difusividades obtenidas se relacionaron

con el contenido de agua libre dentro de la matriz polimérica, determinado mediante los análisis

Page 95: MODELAMIENTO DE LA DIFUSIÓN DE SOLUTOS EN …€¦ ·  · 2014-08-06Sistemas de descarga controlada ambientalmente sensibles desarrollados a partir de: ( a ) ... Variación del

90

de DSC; las correlaciones logradas para todas las series se consideran aceptables y por tanto se

propone su utilización en la solución numérica del modelo.

6.2.5. Resultado del modelo de difusión

El modelo aplicado supera algunas limitaciones al considerar inmóvil al soluto que no se

encuentra en contacto con el solvente, y el hecho que la presencia de un soluto con afinidad alta

por el solvente, en general, refuerza la cantidad de solvente que puede ser tomado por la matriz

polimérica efecto evidente en sistemas polímero hidrófobo – soluto hidrófilo – agua. La cinética

de elusión, se examinó por medio de soluciones numéricas para diferentes valores de los

parámetros requeridos considerando en forma simultanea el hinchamiento del polímero y la

difusión del soluto, estableciendo una rutina de cómputo incluida en el programa Modhigel, cuya

secuencia general es totalmente análoga a la usada para solucionar el modelo de difusión (Figura

6.12), con la modificación sustancial de requerir la información asociada con el soluto

(concentración en el medio externo, densidad, y los parámetros 0,3D y A que de acuerdo con la

ecuación ( )AWDD exp0,33 = son necesarios para estimar la difusividad).

En las Figuras 6.22 y 6.23 se muestran los resultados obtenidos durante la difusión de urea desde

un hidrogel discoidal de tipo HE3, que contiene 20 % de urea distribuida en un perfil lineal; la

variación en la difusividad del soluto con respecto a la concentración de solvente en la matriz

polimérica corresponde a la curva de tendencia ( )LWD 8345.2exp0006.03 = (Figura 6.21.e).

( a )

0.00

0.10

0.20

0.30

0 200 400 600Tiempo (minutos)

Gra

do d

e hi

ncha

mie

nro

( b )

0%

5%

10%

15%

20%

0 200 400 600

Tiempo (minutos)

Porc

enta

je d

e ur

ea

Figura 5.23. Curvas cinéticas de: ( a ) hinchamiento y ( b ) liberación, durante la difusión de

urea desde un hidrogel HE3.

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91

La presencia de solutos con gran afinidad por el solvente, incrementa tanto el nivel de

hinchamiento máximo obtenido como el tiempo necesario para alcanzar la condición de

equilibrio, pero adicionalmente a una gran compatibilidad por el solvente se puede asociar alta

difusividad y solubilidad, las cuales permiten una rápida descarga incluso con discos levemente

hinchados, conducta que se aprecia durante la liberación de urea, Figura 6.22, en donde un

hidrogel en proceso de hinchamiento después de 400 minutos ha liberado la totalidad del soluto.

La distribución inicial de soluto a través del hidrogel, puede incrementar o disminuir la resistencia

difusional tanto de solvente como del mismo soluto, con lo cual se puede regular el proceso, para

lograr desde la fase inicial la liberación del soluto hacia los alrededores a una velocidad estable

durante un largo período, lo que corresponde a la denominada liberación de orden cero o caso

II; la cual resulta muy apropiada en sistemas de descarga programada, donde el objetivo principal

es lograr un dispositivo con velocidad de liberación casi constante durante un largo tiempo.

( a )

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00

Espesor adimensional

Gra

do d

e hi

ncha

mie

nto

0 min30 min

60 min

150 min

400 min

( b )

0%

5%

10%

15%

20%

-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00

Espesor adimensional

Porc

enta

je d

e so

luto

0 min

30 min

60 min

150 min

400 min

Figura 5.24. Perfiles durante la difusión de urea desde un hidrogel HE3: ( a ) concentración

de solvente y ( b ) concentración de soluto.

La observación de los perfiles de concentración del soluto y el solvente, Figura 6.23, hace posible

distinguir en la matriz polimérica dos zonas: una región interna deshinchada con baja perdida de

soluto y una región exterior totalmente hinchada con escasos residuos del soluto. El

acoplamiento de las velocidades de los procesos que simultáneamente ocurren en el hidrogel

permite el rápido avance de la fase exterior, de tal forma que en 400 minutos es la única región

existente dentro del hidrogel, desafortunadamente la verificación experimental de estos perfiles

no fue realizada.

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7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

7.1. CONCLUSIONES

El modelo computacional desarrollado se constituye en un instrumento de análisis y verificación

para describir tanto la condición de equilibrio como los procesos de difusión de solutos y

solventes en hidrogeles; permitiendo observar la capacidad de hinchamiento contra el porcentaje

de monómeros y entrecruzantes para una amplia variedad de sistemas poliméricos, computar

perfiles de solvente y soluto, curvas para variaciones dimensiónales (espesor y diámetro), avance

de la fase elástica y cinéticas durante los procesos de hinchamiento y difusión de un soluto. Los

resultados que el modelo produce pueden ser combinados con información experimental para

estimar parámetros de interacción polímero – solvente de Flory, coeficientes de difusión tanto

del agua como de cualquier soluto, con la limitación primordial de que su aplicación se restringe a

matrices poliméricas hinchables de forma discoidal cuando no se presentan variaciones de

factores fisicoquímicos (intercambio iónico, fuerza iónica, pH).

El modelo de equilibrio de hinchamiento planteado permite estimar la capacidad de retención de

agua para hidrogeles no electrolíticos con combinaciones diversas de monómeros y

entrecruzantes, al considerar la integración del proceso de mezcla y la deformación de la red,

adicionalmente el modelo supone que el efecto del entrecruzante no se restringe únicamente a la

contribución mecánica. La precisión de los resultados puede diferir notablemente entre cada

combinación posible, fundamentalmente porque es necesaria la determinación del parámetro de

interacción polímero – solvente el cual es específico de cada sistema, para los hidrogeles

discoidales disponibles los parámetros incluidos en el modelo se determinaron empíricamente.

Aunque la información disponible sobre sistemas de liberación controlada es muy amplia, muy

poca de ella puede ser aprovechada para el modelamiento, dado que no siempre todos los

parámetros necesarios para los modelos son posibles de encontrar.

Es posible acoplar los modelos termodinámicos de equilibrio de fase con la concentración del

hinchamiento como función del contenido de monómero hidrofílico y entrecruzante, a los

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93

modelos cinéticos para computar el perfil de concentración en el dominio del tiempo. Si bien los

modelos usados tienen un alto grado de empirismo, debido a las suposiciones realizadas, pueden

ser confiablemente utilizados para correlacionar el fenómeno de hinchamiento y los resultados

también son promisorios para la investigación del perfil de concentración de agentes activos en

hidrogeles con respecto al tiempo.

Durante el proceso de hinchamiento de los discos, se observo como la conducta que acompaña

el transporte del solvente dentro de la matriz polimérica evoluciona desde una fase inicial donde

el cambio volumétrico se asocia casi exclusivamente al espesor hasta un proceso isotrópico,

donde la capacidad de retención de solvente supera inicialmente el valor de equilibrio final, con

oscilaciones de magnitud variable, especialmente para hidrogeles con capacidad de hinchamiento

intermedio. Debido a la tensión elástica de la matriz y a los cambios en su morfología, la

respuesta del proceso de relajación presenta un retraso frente a los cambios de concentración,

cuando este retraso es muy corto o muy largo con respecto al proceso de difusión se mantiene

un comportamiento Fickiano, de lo contrario se observan conductas anómalas, cuya magnitud se

asocia al proceso de relajación y a la evolución en la velocidad de difusión del solvente.

Pese a que la polimerización en masa no permite un control adecuado de las variables de

operación, mediante esta técnica es posible obtener xerogeles de metacrilato de 2-hidroxietilo

(HEMA) entrecruzados con EGDMA en concentraciones hasta 6 % respecto de la carga total de

monómero, que posean buenas propiedades mecánicas, uniformidad y transparencia. Para lograr

estas características se trabajó con peróxido de benzoilo (BPO) como iniciador en una

proporción de 0.3% con respecto de la carga total de monómero, llevando la mezcla

homogenizada gradualmente durante 1 hora a la temperatura de reacción (60 ºC), donde se

mantiene el sistema por 14 horas, finalmente para garantizar un alto grado de polimerización y

reducir la proporción de cadenas libres se establecer una etapa isotérmica de 7 horas a 70 ºC.

Si bien el grado de hinchamiento de los hidrogeles elaborados con HEMA fue moderado,

inferior al 35% respecto al peso total del hidrogel; estos materiales cuando el contenido de

EGDMA es inferior al 5% respecto de la carga total de monómero, presentan propiedades

físicas deseables en la elaboración de sistemas de descarga de agentes activos como: flexibilidad,

resistencia y transparencia.

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94

En los hidrogeles evaluados de ácido acrílico y hexametacrilamida (HMA), el alto contenido de

monómero hidrofílico produjo matrices altamente hidratadas, blandas y frágiles, que no resultan

recomendables cuando se requiera soportar esfuerzos mecánicos. La opacidad de los hidrogeles

con contenidos de HMA superiores a 40%, es indicativo de su naturaleza heterogénea, lo que

impide la distribución uniforme del agua dentro de la estructura polimérica promoviendo la

formación de núcleos de agua asociados a zonas con alto contenido de monómero hidrofílico.

La urea demostró ser un soluto con gran afinidad por el agua, al presentar una rápida liberación,

incrementar el nivel de hinchamiento máximo obtenido y el tiempo necesario para alcanzar la

condición de equilibrio, siendo estos efectos más evidentes en los sistemas con gran contenido

de monómero hidrófobo. El modelo aplicado para describir la liberación de soluto desde un

hidrogel, al acoplar las velocidades de los procesos que simultáneamente ocurren en él, supera las

limitaciones de las cinéticas de primer y segundo orden; y permite distinguir en la matriz

polimérica una región interna deshinchada con baja perdida de soluto y una región exterior

totalmente hinchada con escasos residuos del soluto, mediante la presentación de los perfiles de

concentración para el soluto y el solvente.

7.2. RECOMENDACIONES

En la medida en que se encuentre información útil sobre los modelos de equilibrio y difusión,

estos pueden ser: mejorados, actualizados y extendidos a nuevos sistemas, condiciones

geométricas, geles electrolíticos, geles sensibles al ambiente particularmente pH y temperatura, y

sistemas de liberación programada tipo depósito. El modelo de hinchamiento trabajado incluye

elementos que permiten cuantificar la variación de la interfase cristal – gomosa y sin modificar la

formulación matemática admite el tratamiento de las conductas de transporte anómalo y

Fickiano, en procesos de hinchamiento y encogimiento, si se definen de manera pertinente las

condiciones inicial y de frontera. Debido a que los sistemas de liberación programada basados en

depósitos son más utilizados que los sistemas de matriz, se propone la opción de realizar trabajos

de modelamiento para la difusión de solutos en este tipo de sistemas.

Adicionalmente el modelamiento se puede mejorar en forma sustancial si: se acoplan modelos de

determinación para la difusividad tanto del soluto como del solvente, se desarrolla un

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procedimiento teórico que permita estimar el parámetro de interacción de Flory en copolímeros

utilizando esquemas de combinación no ideales, y se aplican esquemas para modificar las

condiciones de frontera de acuerdo con la utilización final de la matriz polimérica

Para realizar el seguimiento de la cinética de hinchamiento de geles discoidales como método

alternativo a la técnica gravimétrica, se propone la digitalización de las imágenes proyectadas por

los discos en el medio de hinchamiento; y para obtener el factor dimensional la ecuación

0

021AA

AA

M −−

+=η donde 0A y MA son las áreas del xerogel y máxima respectivamente; este

procedimiento mostró gran correlación con los datos experimentales y permitió caracterizar

dimensionalmente los hidrogeles. Para realizar una mejor descripción de las fases media y final

del hinchamiento es necesario tener mediciones con una mayor proximidad durante estas etapas;

y para generar una imagen más real del proceso de liberación del agente activo es indispensable

llevar a cabo su liberación, bajo condiciones que sean lo más similar posible a las de operación

del sistema.

La uniformidad de los xerogeles discoidales debe ser mejorada al utilizar una técnica de corte más

apropiada, lo que a su vez permitirá tener mayor número de muestras caracterizadas para realizar:

ensayos de hinchamiento a distintas condiciones de temperatura y pH, liberación de nuevos

agentes activos, y caracterizaciones posteriores con técnicas adicionales. Dentro de los análisis

necesarios para los xerogeles se recomienda la estimación de su densidad y su caracterización

dimensional.

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ANEXO A: MEDIDOR DE CUADRANTE PARA ESPESORES

SM–112

Punto de contacto y yunque (cerámicos)

Precisión 0.01 mm

Rango 10 mm

Dimensiones (mm)

102

1218

.3 3

2664

Figura A.1. Medidor de cuadrante SM – 112.

MODELO PREC. mm

RANGO mm

ESCALA TIPO

FUERZA PROMEDIO

N(gf) o menos

INDICADOR CORTO

FORMA DE PUNTO DE

CONTACTO mm

FORMA DEL YUNQUE mm

PESO g COMENTARIOS

SM-112 0.01 10 φ 10 PLANO φ 10 PLANO

SM-112 LS 0.01 10 S φ 3.2 (1/8) φ 10 PLANO

SM-112 LW 0.01 10 S φ 3.2 (1/8) S φ 3.2 (1/8)

SM-112-3A 0.01 10

±0-50-100 2.5

(250) PRESENTE

φ 5 PLANO φ 5 PLANO

160 Liviano,

Tamaño pequeño

SM-528 0.01 20 φ 10 PLANO φ 10 PLANO

SM-528 LS 0.01 20 S φ 3.2 (1/8) φ 10 PLANO

SM-528 LW 0.01 20 S φ 3.2 (1/8) S φ 3.2 (1/8)

SM-528-3A 0.01 20

±0-50-100 3.5

(350) PRESENTE

φ 5 PLANO φ 5 PLANO

160 Tamaño pequeño, rango amplio

Tipo estándar

Tipo LS

Tipo LW

Tipo 3A

Figura A.2. Tipos de yunques y puntos de contacto para los indicadores de cuadrante

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ANEXO B: DMA RHEOMETRIC SOLIDS ANALYZER (RSA II)

Figura B.1. Analizador Mecánico Dinámico: Rheometric Scientific.

RSA II es un analizador mecánico dinámico dedicado a caracterizar las propiedades reológicas de

materiales sólidos (películas, fibras, espumas, elastómeros, cerámicas). Dentro de sus

características están:

Mide la relajación por esfuerzos de tensión, compresión e inflexión.

Mide propiedades tensoras, como el módulo y el ángulo de fase entre esfuerzo y

deformación.

Mide propiedades físicas como: temperatura de transición vítrea y punto de fusión.

Compensa automáticamente el endurecimiento y ablandamiento de la muestra.

Compensa la variación en longitud debido a expansión o reducción térmica.

Realiza barridos con frecuencia continua y medidas de esfuerzos con oscilaciones dinámicas.

Permite rampas de temperatura y barridos en cuatro zonas, con velocidad de barrido y

amplitud de tensión programable en cada zona.

Rango de temperatura (-150 a 500 °C ).

Rango de frecuencia (10-3 a 102 radianes / segundo).

Rango de amplitud (0.5 a 500 nm).

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ANEXO C: DSC 2910

Figura C.1. Calorímetro diferencial de barrido (DSC 2910: TA-Instruments)

El calorímetro diferencial de barrido (DSC) es un instrumento utilizado para analizar transiciones

térmicas en materiales. Proporciona información sobre la temperatura a la que las transiciones

ocurren así como la medida cuantitativa del calor asociado con el evento (temperaturas de la

transición, fusión y cristalización, y capacidad calorífica).

Características generales:

Rango de temperatura depende del sistema de refrigeración utilizado, con el sistema de

enfriamiento refrigerado (RCS) es -65 a 725 °C.

Sensibilidad calorimétrica (1 µW)

En la Figura A.3.2 se observa como el calor fluye tanto en la muestra como en el material de

referencia a través de un disco termoeléctrico de constantan calentado eléctricamente. Sobre

plataformas elevadas formadas por un disco de constantan, se colocan unas cazoletas pequeñas

de aluminio para la muestra y la referencia. El calor se transfiere a través de los discos hacia la

muestra y la referencia a través de las dos cazoletas. La relación entre el flujo de calor hacia la

muestra y la referencia se sigue mediante unos termopares de superficie de cromo / constantan

formados por la unión entre la plataforma de constantan y el disco de cromo unidos a la parte

inferior de la plataforma.

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Figura C.2. Esquema para la celda de flujo de calor en un DSC.

Tradicionalmente, la temperatura del horno se incrementa o se reduce en forma lineal, y el flujo

de calor diferencial resultante entre la muestra y la referencia es supervisado por las termocuplas

fijas a la parte inferior de las plataformas del disco. Estas termocuplas se conectan en serie y

miden el flujo diferencial de calor usando el equivalente térmico de la Ley de Ohm:

DRT

dtdQ ∆

=

donde: dtdQ es el flujo de calor, T∆ es la diferencia de temperatura entre muestra y referencia

y DR es la resistencia térmica del disco.

El DSC mide sólo la suma de todos los eventos térmicos en la muestra por lo cual para los

ensayos se utilizo DSC Modulado (MDSC), técnica que permite separar la señal de flujo de calor

total en su capacidad calorífica y los componentes cinéticos, proporcionando posibilidades

únicas, ya que mejorar en forma simultanea la habilidad para descubrir transiciones débiles

(sensibilidad) y la habilidad de separar transiciones que ocurren sólo con algunos grados de

diferencia (resolución), permitiendo además el análisis de transiciones múltiples que ocurren en el

mismo rango de temperatura con lo que se aumenta la cantidad de información que puede

obtenerse de un solo experimento.

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En MDSC Modulado, se usa el mismo flujo de calor que la celda de DSC, pero una oscilación

sinusoidal de la temperatura (modulación) remplaza la convencional rampa de temperatura lineal.

La tasa de calentamiento resultante es más rápida que la tasa de la calefacción lineal subyacente

algunas veces, y a veces más lento que la proporción subyacente. Las variaciones reales en

proporción calorífica dependen de tres variables experimentales. Ellos son la proporción

calorífica subyacente, la amplitud de modulación, y el periodo (frecuencia) de modulación. La

ecuación general que describe la respuesta calorimétrica es:

),()( TtfdtdTCpdtdQ +=

donde: dtdT es la tasa de calentamiento, Cp la capacidad calorífica de la muestra y ),( Ttf la

función de tiempo y temperatura que gobiernan la respuesta cinética de cualquier transición física

o química observada en DSC.

Esta ecuación muestra que el flujo total de calor en el DSC comprende dos componentes - uno

dependiente de la tasa de calentamiento y otro que sólo es dependiente de la temperatura

absoluta. La separación de los datos crudos (Flujo de calor y temperatura modulada) en el

promedio y la amplitud (cambio total en temperatura y valores de flujo de calor) se denomina

deconvolución y se realiza en tiempo real por un software de Transformación Discreta de

Fourier (DTF) residente en el instrumento.

Teniendo en cuenta las sugerencias e indicaciones, los análisis de DSC se realizaron de la

siguiente manera:

El equipo se calibró con Indio y agua, a la tasa de calentamiento subyacente deseada para el

ensayo de DSC con el sistema de refrigeración operando; para medir capacidades caloríficas

exactas y para lograr la deconvolución apropiada se requiere una calibración adicional para

capacidad calorífica, esta calibración se realizó con 22 mg de Zafiro.

Preparación de muestras; a cada hidrogel se le retiró la humedad superficial, se cortó una muestra

entre 9 y 12 mg, se registro el peso y se colocó en cápsulas de aluminio herméticas que se

sellaron con la prensa del equipo.

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96

Programa de calentamiento; el equipo se programó para cargar la muestra a temperatura

ambiente, llevar la muestra a -55ºC, temperatura a la cual se establece la modulación de ± 0.159ºC

cada 60 segundos con un evento isotérmico de cinco minutos (momento desde el cual comienza

a registrar datos) y aumentar la temperatura hasta 30ºC a una velocidad constante de

calentamiento de 1ºC/min . Se utilizó como gas de purga nitrógeno a un flujo de 50ml/min para

el horno. Se utilizo el sistema refrigeración con el mismo gas, con un flujo de 150ml/min. En la

Figura A.3.3 se muestra el comportamiento de la temperatura modulada donde además se

observa el retrazo de un ciclo y medio de modulación correspondiente al proceso de

deconvolución de la señal.

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6

Figura C.3. Temperatura modulada contra temperatura del horno ensayos de DSC

Se registraron las siguientes señales:

Tiempo

Temperatura

Flujo de calor total, reversible y no reversible

Capacidad calorífica

Los resultados obtenidos se analizaron en el Universal Analysis Windows 95/NT (v2.4F)

Copyright © 1998 TA Instruments, Inc., programa que hace parte del software del equipo.

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ANEXO D: TERMOGRAMAS

-25 -15 -5 5 15 25Temperatura (C)

Fluj

o de

Cal

or to

tal (

W/g

) HE05

HE1

HE3

HE5

HE10

-25 -5 15Temperatura (C)

Fluj

o de

Cal

or re

vers

ible

(W

/g)

HE05

HE

HE3

HE5

HE10

Figura D.1. Termogramas para los hidrogeles de HEMA – EGDMA (serie HE).

-25 -15 -5 5 15 25Temperatura (C)

Fluj

o de

Cal

or to

tal (

W/g

) 1A1

2A1

3A1

5A1

4A1

-25 -5 15Temperatura (C)

Fluj

o de

Cal

or re

vers

ible

(W/g

)

1A1

2A1

3A1

5A1

4A1

Figura D.2. Termogramas para los hidrogeles de la serie A (entrecruzante: dimetacrilato de

trietilenglicol 1%).

-25 -15 -5 5 15 25Temperatura (C)

Fluj

o de

Cal

or to

tal (

W/g

)

1B1

2B1

3B1

4B1

5B1

-25 -5 15

Temperatura (C)

Fluj

o de

Cal

or re

vers

ible

(W/g

)

1B1

2B1

3B14B1

5B1

Figura D.3. Termogramas para los hidrogeles de la serie B (entrecruzante dimetacrilato de

tetraetilenglicol 1%).

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98

-25 -15 -5 5 15 25Temperatura (C)

Fluj

o de

Cal

or to

tal (

W/g

)2C1

3C1

5C1

-25 -5 15Temperatura (C)

Fluj

o de

Cal

or re

vers

ible

(W

/g)

2C1

3C1

5C1

Figura D.4. Termogramas para los hidrogeles de la serie C (entrecruzante divinilbenceno

1%).

-25 -15 -5 5 15 25

Temperatura (C)

Fluj

o de

Cal

or to

tal (

W/g

)

3D1

2D1

1D1

-25 -15 -5 5 15 25Temperatura (C)

Fluj

o de

Cal

or re

vers

ible

(W/g

)

1D1

2D1

3D1

Figura D.5. Termogramas para los hidrogeles de la serie D (entrecruzante dimetacrilato de

etilenglicol 1%).

-25 -15 -5 5 15 25Temperatura (C)

Fluj

o de

Cal

or to

tal (

W/g

)

1E1

2E1

3E1

4E1

5E1

-25 -15 -5 5 15 25Temperatura (C)

Fluj

o de

Cal

or re

vers

ible

(W/g

)

1E1

2E1

3E1

4E1

5E1

Figura D.6. Termogramas para los hidrogeles de la serie E (entrecruzante dimetacrilato de

dietilenglicol 1%).

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99

-25 -15 -5 5 15 25

Temperatura (C)

Fluj

o de

Cal

or to

tal (

W/g

)1E1

1E21E4

-25 -15 -5 5 15 25

Temperatura (C)

Fluj

o de

Cal

or re

vers

ible

(W/g

)

1E1

1E2

1E4

Figura D.7. Termogramas para los hidrogeles de la serie E con 90% de ácido acrílico y

diversos porcentajes de entrecruzante.

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ANEXO E: CURVAS DE HINCHAMIENTO DE LOS HIDROGELES A 15ºC Y pH 7

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0 100 200 300 400 500 600 700Tiempo (minutos)

Hin

cham

ient

o

HE05HE1HE3HE5HE10

Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie HE.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0 100 200 300 400 500 600 700Tiempo (minutos)

Hin

cham

ient

o

1A12A13A14A1

Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie A.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0 100 200 300 400 500 600 700Tiempo (minutos)

Hin

cham

ient

o

0B11B12B13B14B15B1

Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie B.

Page 118: MODELAMIENTO DE LA DIFUSIÓN DE SOLUTOS EN …€¦ ·  · 2014-08-06Sistemas de descarga controlada ambientalmente sensibles desarrollados a partir de: ( a ) ... Variación del

101

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

0 100 200 300 400 500 600 700

Tiempo (minutos)

Hin

cham

ient

o

2C13C15C1

Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie C.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0 100 200 300 400 500 600 700

Tiempo (minutos)

Hin

cham

ient

o

1D12D13D1

Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie D.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

0 100 200 300 400 500 600 700

Tiempo (minutos)

Hin

cham

ient

o

1E12E13E14E15E1

Fase inicial del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie E.

Page 119: MODELAMIENTO DE LA DIFUSIÓN DE SOLUTOS EN …€¦ ·  · 2014-08-06Sistemas de descarga controlada ambientalmente sensibles desarrollados a partir de: ( a ) ... Variación del

102

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0 50 100 150 200

Tiempo (horas)

Hin

cham

ient

o

HE05HE1HE3HE5HE10

Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie HE.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0 50 100 150 200 250

Tiempo (minutos)

Hin

cham

ient

o

1A12A13A14A1

Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie A.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0 50 100 150 200 250Tiempo (minutos)

Hin

cham

ient

o

0B11B12B13B14B15B1

Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie B.

Page 120: MODELAMIENTO DE LA DIFUSIÓN DE SOLUTOS EN …€¦ ·  · 2014-08-06Sistemas de descarga controlada ambientalmente sensibles desarrollados a partir de: ( a ) ... Variación del

103

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0 50 100 150 200 250

Tiempo (minutos)

Hin

cham

ient

o2C13C15C1

Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie C.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0 50 100 150 200 250

Tiempo (minutos)

Hin

cham

ient

o

1D12D13D1

Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie D.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0 50 100 150 200 250

Tiempo (minutos)

Hin

cham

ient

o

1E12E13E14E15E1

Fases media y final del hinchamiento isotérmico para los hidrogeles de la serie E.

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104

ANEXO F: CROMATOGRAMAS

( a )

0

20

40

60

80

0 1 2 3 4 5Minutos

MV

( b )

0

20

40

60

80

0 1 2 3 4 5Minutos

MV

( c )

0

20

40

60

80

0 1 2 3 4 5Minutos

MV

( d )

0

20

40

60

80

0 1 2 3 4 5Minutos

MV

Figura F.1. Cromatogramas para determinar la curva de calibración con soluciones patrón de

Urea: ( a ) 0.01, ( b ) 0.05, ( c ) 1 y ( d ) 2 g/l.

( a )

0

20

40

60

80

0 1 2 3 4 5Minutos

MV

( b )

0

20

40

60

80

0 1 2 3 4 5Minutos

MV

Figura F.2. Cromatogramas para muestras tomadas luego de 5 minutos de liberación para los

hidrogeles: ( a ) 3A1 y ( b ) HE10.

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105

ANEXO G: MANUAL PARA LA UTILIZACIÓN DE MODHIGEL

G.1. GENERALIDADES DE LA APLICACIÓN

G.1.1. DESCRIPCIÓN GENERAL

ModHigel (Modelamiento de la difusión e hinchamiento en hidrogeles) es una herramienta

completa y de fácil manejo para sistema operativo Windows 95 o superior; que permite

determinar equilibrios de hinchamiento de hidrogeles con diversas combinaciones de

monómeros y entrecruzantes. También permite realizar seguimientos de la cinética de

hinchamiento en agua y la cinética de liberación de un soluto desde un disco inicialmente

seco. Para poder usar de manera adecuada el software los requerimientos mínimos

recomendados son: 16 RAM de memoria, una tarjeta gráfica con resolución de 800x600 y

256 colores (8 bits), y espacio de almacenamiento libre en el disco duro de 5 Mb.

Los requerimientos de memoria RAM son los mínimos para obtener un desempeño

adecuado, menos cantidad no impedirá su funcionamiento pero hará que los cálculos, las

representaciones gráficas y la exportación de los resultados sean lo suficientemente lentos

como para desechar su uso. La cantidad de memoria recomendada sin embargo para un

aprovechamiento adecuado es de 32 Mb de RAM. Se recomienda una resolución gráfica

mínima de 800x600 pixeles debido a la gran cantidad de controles que conforman la

interfaz de usuario. Para permitir un desempeño conveniente y evitar un gasto inútil de

recursos del sistema la aplicación no permitirá que existan varias instancias distintas de si

misma en memoria, detectando la situación y descargándose automáticamente las

instancias redundantes.

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106

G.1.2. PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS

• Rapidez de ejecución en los módulos de cálculo.

• Versátil, permite visualizar todos los resultados en forma comprensible y de fácil

interpretación.

• De fácil manejo, su estructura de funcionamiento hace en corto tiempo que se

instale, se aprenda a utilizar y se alcance un alto nivel de eficiencia al operarlo.

• Permite modificar, ampliar y actualizar directamente su base datos.

• Permite la impresión y almacenamiento de los resultados.

• Permite guardar las representaciones gráficas.

• Facilita también la exportación de los resultados y representaciones gráficas a

Microsoft Excel.

• Posee una interfaz con notación y formatos consistentes.

• Posee un alto grado de compactación.

• Genera mensajes para mantener informado al usuario.

• Contiene validaciones y chequeos de las entradas.

La herramienta de desarrollo utilizada para crear el programa ha sido Microsoft Visual

Basic 5 Edición Empresarial, Service Pack 3.

G.1.3. INSTALACIÓN

Se debe ejecutar la instrucción Setup contenida en el directorio instalador o en el primer

disquete de instalación, el sistema automáticamente realiza el proceso de actualizar los

instaladores en el equipo respectivo. Paso seguido el programa realiza la verificación de

donde va quedar instalada la aplicación, por defecto la dirección es C:\Archivos de

programa\Modhigel, pero puede ser instalado en cualquier ubicación deseada, una vez

confirmado el destino el programa comienza a realizar automáticamente la actualización e

instalación de la aplicación y los archivos de control.

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107

G.2. CONCEPTOS TEÓRICOS BÁSICOS

G.2.1. HIDROGEL

Es una estructura polimérica entrecruzada, que por acción del agua experimenta

hinchamiento permaneciendo insoluble sin perder su forma original, debido al balance total

entre las fuerzas intermoleculares dispersivas y cohesivas; el hidrogel completamente seco

corresponde a una estructura cristalina llamada xerogel.

G.2.2. CAPACIDAD DE HINCHAMIENTO

Corresponde al grado de absorción de agua por parte del hidrogel, sus extremos son: 0

(xerogel) y 1 (agua), se obtiene por:

2212

12

)1()1(

ρφρφρφ

+−−

=W

donde 1ρ es la densidad del agua, 2ρ la densidad del polímero y 2φ la fracción

volumétrica.

G.2.3. EQUILIBRIO DE HINCHAMIENTO

El equilibrio se logra cuando se tiene el mismo el potencial químico para el agua, tanto en el

hidrogel como en sus alrededores; en su determinación esta aplicación considera el

hinchamiento para hidrogeles no electrolitos asociado a la contribución de dos fenómenos

de interacción: contribución por mezclado (modelo de Flory – Huggins) y contribución

elástica (teoría estadística de red afín), que se combinan de acuerdo al modelo de Flory –

Rehner para generar la expresión:

0231)1ln(

2

3/1,22

,212,22

,2 =++

−+− ∞

∞∞∞ rrφ

φχφφ

donde ∞,2φ es la fracción volumétrica en el equilibrio, 12χ el parámetro de interacción

polímero – solvente y 2r el número promedio de segmentos por cadena de red. Este último

parámetro esta asociado a la concentración de cadenas elásticas por unidad volumétrica de

polímero hinchado que en su forma teórica, Tε , esta definida por:

)100(2

EMEF

ET +

ε

donde F, ME y E son la funcionalidad, peso molecular de la unidad monomérica y el

porcentaje de entrecruzante respectivamente.

Page 125: MODELAMIENTO DE LA DIFUSIÓN DE SOLUTOS EN …€¦ ·  · 2014-08-06Sistemas de descarga controlada ambientalmente sensibles desarrollados a partir de: ( a ) ... Variación del

108

La concentración teórica se convierte en la densidad efectiva entrecruzamiento, Eε , mediante:

TE εβαε += con α es entrecruzamiento inducido en ausencia de entrecruzante (cm3/mol) y

β la eficiencia de entrecruzamiento (%).

G.2.4. MODELO DE HINCHAMIENTO

El hinchamiento isotérmico e isobárico de un hidrogel discoidal en agua, se describe

mediante dos subprocesos: difusión unidimensional en la dirección axial y expansión

elástica de la matriz en las restantes direcciones. La difusión unidimensional se asocia a la

ley de Fick:

∂∂

∂∂

=∂∂

xwD

xtw

1

donde w es la concentración local de solvente en el hidrogel. Condición inicial: disco seco y

condición de frontera es la concentración de solvente en la interfase polímero–solvente.

El modelo considera que la difusividad 1D , la concentración de solvente en la interfase y el

tiempo de relajación evolucionan desde valores iniciales hasta valores en el equilibrio en

forma exponencial de acuerdo con muchas expresiones empíricas 1 congruentes en su

mayoría con la teoría de volumen libre.

G.2.5. MODELO DE LIBERACIÓN

Al modelo utilizado para describir el proceso de hinchamiento del hidrogel discoidal, se le

adiciona un elemento asociado al soluto que corresponde a la ecuación de difusión

unidimensional de Fick:

∂∂

∂∂

=∂

∂x

CD

xtC 3

33

donde 3C es la concentración del soluto, y 3D es el coeficiente de difusión del soluto en el

hidrogel; se considera que el disco inicialmente tiene una distribución uniforme de soluto a

la concentración indicada por el usuario, y que en el medio externo no hay soluto. Al

describir el comportamiento del soluto dentro del polímero, se establece una herramienta

de gran utilidad para el diseño de sistemas de liberación programada.

1 CAMERA-RODA, G. y SARTI, G. Mass transport with relaxation in polymers. En: AIChE Journal, Vol.

36, 1990: p. 851 – 860. LUSTIG, S. y PEPPAS, N. Solute and penetrant diffusion in swellable polymers. VII. A free volume –

based model with mechanical relaxation. En: Journal of applied polymer science. Vol. 33, 1987: p. 533 – 549.

Page 126: MODELAMIENTO DE LA DIFUSIÓN DE SOLUTOS EN …€¦ ·  · 2014-08-06Sistemas de descarga controlada ambientalmente sensibles desarrollados a partir de: ( a ) ... Variación del

109

G.3. MANEJO DE LA APLICACIÓN A continuación se describirán los principales elementos de la aplicación y sus

características más relevantes, para que el usuario pueda utilizar de manera apropiada esta

herramienta.

G.3.1. VENTANA PRINCIPAL

Cuando se ejecuta la aplicación y tras cargar todos los recursos que se necesitan, se

mostrará la pantalla de presentación y posteriormente la ventana principal que a

continuación se observa con una resolución de 800x600.

En la ventana principal se puede observar:

• Barra de titulo: “Modelamiento en hidrogeles”

• Barra de menús: contiene cuatro menús desplegables: Archivos, Herramientas,

Ver y Ayuda, que a su vez contienen ordenes para ejecutar diversas tareas de

ModHigel.

• Barra de herramientas: Contiene en forma de iconos las principales funciones de

la aplicación.

• Área de trabajo: Es la zona blanca donde se presentan los resultados obtenidos

cuando se ha realizado alguna opción de cálculo.

• Barra de estado: Ubicada en la parte inferior nos informa continuamente sobre

la culminación de cualquier acción por parte de la aplicación, junto con la fecha

y hora.

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110

Los funciones de los botones incluidos en esta ventana son:

Despliega el formulario asociado con la tabla de datos para los entrecruzantes.

Despliega el formulario asociado con la tabla de datos para los monómeros.

Si es posible muestra los resultados gráficos.

Despliega el formulario para guardar los resultados observados en el área de trabajo.

Exportar los datos a un libro de la hoja de cálculo Microsoft Excel, si no lo consigue

despliega un mensaje de aviso

Crea una copia impresa de los resultados mostrados en el área de trabajo.

Termina la aplicación.

Despliega el formulario para realizar estimaciones de equilibrio de hinchamiento para

una composición particular.

Despliega el formulario para realizar estimaciones de equilibrio de hinchamiento

variando la proporción de monómeros.

Despliega el formulario para realizar estimaciones de equilibrio de hinchamiento

variando la proporción de entrecruzante.

Despliega el formulario para realizar los cálculos para cinéticas de hinchamiento.

Despliega el formulario para realizar los cálculos para cinéticas de liberación.

Accede al contenido de la ayuda.

G.3.2. BASE DE DATOS

El programa contiene una pequeña base de datos desarrollada en Microsoft Access 97; que

incluye información sobre entrecruzantes y monómeros, a la que se puede acceder

directamente desde la aplicación, para su consulta, actualización y modificación.

Entrecruzantes: monómeros con grupos funcionales que permiten la formación de una

matriz polimérica con estabilidad mecánica, necesaria para lograr la absorción de agua sin

la disolución del hidrogel.

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111

En está tabla la información incluida es:

• Nombre del entrecruzante

• Parámetro de interacción homopolímero (de entrecruzante) – agua

• Densidad del polímero homopolímero (de entrecruzante) en g/cm3

• Peso molecular del monómero entrecruzante

• Número de grupos funcionales en el monómero entrecruzante

Monómeros: Un polímero apto para ser usado como hidrogel, debe poseer grupos que

permitan la absorción de agua y presentar una estructura interna que le confiera buenas

propiedades mecánicas, estas dos características pueden ser obtenidas por la

copolimerización de monómeros hidrofílicos e hidrófobos.

En está tabla la información incluida es:

• Nombre del monómero

• Parámetro de interacción homopolímero – agua

• Densidad del homopolímero (g/cm3)

• Peso molecular del monómero

G.3.3. ESTIMACIÓN DEL EQUILIBRIO DE HINCHAMIENTO

Para poder obtener la capacidad de hinchamiento a equilibrio el programa requiere:

• Indicar la temperatura a la cual se realizará el hinchamiento, con ella se corrige la

densidad del agua.

• Definir la composición de la mezcla en la preparación.

• Indicar el entrecruzante y su porcentaje en peso referido al 100% de la carga total

de monómeros, y si se dispone los datos sobre entrecruzamiento: α y β

La aplicación incluye tres opciones de cálculo diferentes: cálculo puntual, variación en el

porcentaje de monómeros, variación en el porcentaje de entrecruzante. Estas opciones

poseen los siguientes botones comunes cuyas funciones son:

Regresa a la ventana principal y descarga el formulario de la memoria.

Activa la rutina de verificación de datos para determinar entradas erróneas.

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112

Inicializa las entradas del formulario con los valores definidos por defecto.

Verifica las entradas y procede a realizar los cálculos correspondientes.

Accede a la ayuda sobre el formulario.

Cálculo puntual: Se despliega el siguiente formulario

Nota: Con los botones se determina si se utiliza un solo monómero, o la

combinación monómero – comonómero en la elaboración de polímero.

Variación en el porcentaje de monómeros: Se despliega el siguiente formulario

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Variación en el porcentaje de monómeros: Se despliega el siguiente formulario

Nota: Con los botones es posible elegir el número de entrecruzantes

que se desean evaluar simultáneamente.

G.3.4. DETERMINACIÓN DE CINÉTICAS

Para poder obtener la curvas cinéticas de los procesos de hinchamiento y difusión de un

soluto, además de la información indicada en la estimación de la capacidad de

hinchamiento a equilibrio, el programa requiere:

• El tiempo durante el cual se desea analizar el proceso (inferior a 20000 minutos).

• El diámetro y espesor del xerogel en milímetros, bajo la consideración que el xerogel

es un disco uniforme.

• Difusividad del solvente (mm2/minuto) a la condiciones inicial y de equilibrio.

• El tiempo de relajación terminal.

• El grado de hinchamiento máximo inicial del hidrogel y el tiempo en el que se

alcanza.

• La capacidad de hinchamiento a equilibrio.

• La capacidad de hinchamiento a la cual el polímero alcanza su transición elástica.

Para estimar la cinética de liberación se requiere de la siguiente información sobre el soluto:

Difusividad, la cual se considera función de la concentración de solvente embebido

en la matriz polimérica: ( )KWDD −′= exp3 , por lo que se deben ingresar las

constantes D’ y K

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Concentración inicial en el xerogel

Densidad (g/cm3)

Nombre

Una función asociada con la determinación de cinéticas corresponde a los perfiles de

solvente y soluto; para ello es necesario acceder al formulario donde se indica el número de

perfiles que se desean observar, el cual no puede ser superior a 15, el botón definido para

esta tarea es: posteriormente se despliega el formulario para especificar los tiempos en

los cuales se desean observar los perfiles, si el usuario no realiza este procedimiento el

programa tiene una rutina para fijar por defecto una serie de tiempos para los perfiles.

Como se ha indicado la aplicación permite trabajar cinéticas de hinchamiento y de difusión

de un soluto. Cuyos formularios presentan la siguiente apariencia:

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G.3.5. RESULTADOS

Los resultados obtenidos mediante cualquiera de las anteriores herramientas de cálculo se

consignan en el área de trabajo, como se observa en la siguiente figura:

Posteriormente se pueden almacenar o exportar mediante las siguientes opciones:

• Archivos con formato: .rtf o .txt, cuyo nombre y ubicación se indica en el

formulario.

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• Impresión: los resultados se imprimen tal y como aparecen en el área de trabajo

siempre y cuando se disponga de una impresora en línea, de lo contrario se

genera un mensaje de error, como:

• Generación de gráficas: que pueden ser guardadas en archivos de imagen .gif y

.jpg para su posterior tratamiento mediante algún programa para gráficos. La

aplicación permite generar las siguientes gráficas:

Hinchamiento contra porcentaje de comonómero Hinchamiento contra porcentaje de entrecruzante Curva cinética de hinchamiento Perfiles de solvente Curva para la variación del espesor Curva para la variación de diámetro Curva para la variación de la fase elástica Curva cinética de liberación Perfiles de soluto

Si los resultados generan múltiples gráficas se presenta un formulario para escoger la

opción deseada:

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A continuación se presenta una gráfica de perfiles de soluto:

• Exportación a Excel: los resultados presentes en el área de trabajo junto con las

gráficas que generan se pueden exportan a la hoja de cálculo Microsoft Excel 95

o superior, si no es posible este proceso se genera un mensaje de error para

indicarlo. El aspecto de la hoja de cálculo creada tras la exportación es el

siguiente.

Nota: El usuario deberá guardar el archivo bajo un nombre diferente para no afectar la plantilla y

evitar que con futuras exportaciones se pierda la información almacenada.