modelo de transformaciÓn bidimencional__tesis

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE HUMANIDADES Y TECNOLOGÍAS DE LA COMUNICACIÓN SOCIAL

ESCUELA DE CARTOGRAFÍA

ANÁLISIS DE LA SIGNIFICANCIA DE MODELOS DE TRANSFOR MACIÓN

BIDIMENSIONAL Y MODELO DE SIMILARIDAD 3D PARA LA

COMPATIBILIZACIÓN DE BASES CARTOGRÁFICAS A SIRGAS

TESIS PARA OPTAR AL TÍTULO DE CARTÓGRAFO Y AL GRADO DE LICENCIADO

EN CIENCIAS CARTOGRÁFICAS

PROFESOR GUÍA: Eduardo Mera Garrido

AUTOR: Sergio Rebolledo Calvil

SANTIAGO-CHILE

2010

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NOTA OBTENIDA: _______________

_________________________________

(Firma y timbre de autoridad responsable)

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A mis padres Sergio Rebolledo y Marisol Calvil Y en memoria de Gonzalo Olave (Q.E.P.D.)

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Agradecimientos:

A Dios;

A mi familia, por estar siempre conmigo y apoyarme en mis estudios;

A Pabla Aravena Cádiz, por todo su apoyo y amor durante la realización de esta investigación;

A mi profesor guía Eduardo Mera Garrido, por su apoyo y guía en el proceso de investigación;

Al profesor René Zepeda Godoy, por sus indispensables sugerencias e incentivo;

Al profesor Miguel Valladares Quiroz, por su apoyo e incentivo en la realización de mis estudios;

A Sebastián Fuentes Santibáñez, por su desinteresado apoyo desde Curitiba (Brasil);

A Jorge León (Geoinformación) y Stefan Bagladi (Ministerio de Bienes Nacionales), por proporcionarme los datos indispensables para la realización de esta investigación.

A los profesores que participaron en mi formación profesional;

A mis compañeros de carrera que ayudaron en la realización de esta investigación;

Y a todos los que colaboraron de una u otra forma en el desarrollo de esta tesis.

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RESUMEN

El establecimiento de Sistemas Geodésicos de Referencia (SGR) modernos y de aplicación

global, materializados a través de la tecnología satelital, principalmente con el Sistema de

Posicionamiento Global (GPS), ha permitido la generación de cartografía de precisión

ostensiblemente mejor que la generada por métodos clásicos.

La densificación (en distintas escalas) de los SGR modernos, permite el nacimiento del

proyecto “Sistema de Referencia Geocéntrico Para las Américas” (SIRGAS), el cual es una realidad

en Chile, a través de la “Red Geodésica Nacional SIRGAS-Chile”.

A partir de estos cambios se desprende la problemática abordada en este estudio, la cual

consiste en el análisis de las implicancias que conlleva la compatibilización de bases cartográficas

pertenecientes a SGR heterogéneos, a través de los modelos de transformación bidimensional y de

Similaridad 3-D.

Los distintos modelos de transformación son ajustados estadísticamente, a través del

método paramétrico de mínimos cuadrados, el cual permite la estimación de los parámetros de

transformación, a partir de observaciones homólogas pertenecientes a distintos SGR. El

comportamiento de las precisiones de los modelos de transformación, las coordenadas

transformadas y los residuos, permite analizar el nivel de significancia y uso alternativo de cada

modelo de transformación.

En la presente investigación, se analiza un caso concreto en la VII región de Chile;

contando con treinta vértices geodésicos pertenecientes a los SGR PSAD-56 y SIRGAS, que

permiten determinar el nivel de significancia que poseen los distintos modelos de transformación

abordados en este estudio.

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ABSTRACT

The establishment of the Geodetic Reference System (GRS) modern and global application,

materialized through satellite technology, especially with the Global Positioning System (GPS), has

permitted the generation of mapping precision significantly better than that generated by classics

methods.

Densification (in different scales) of modern GRS, enables the birth of the "Geocentric

Reference System for the Americas" (SIRGAS), which is a reality in Chile, through the "National

Geodetic Network SIRGAS-Chile".

From these changes it is clear the problems addressed in this study, which is the analysis of

the implications involved in reconciling the cartographic bases belonging to heterogeneous GRS,

through processing bidimentional models and Similarity 3-D.

The various transformation models are statistically adjusted through the least squares

parametric method, which allows the estimation of transformation parameters, based on

observations from different SGR counterparts. The behavior of the detailed transformation models,

the transformed coordinates and waste, to analyze the significance level and alternative use of each

transformation model.

The different processing models are statistically adjusted through the least squares

parametric method, which allows the estimation of transformation parameters, from observations

from different GRS counterparts. The behavior of the detailed of transformation models, the

transformed coordinates and waste, to analyze the significance level and alternative use of each

transformation model.

In this research, we analyze a particular case in the Seventh Region of Chile, had thirty

geodetic vertices belonging to the SGR-56 and SIRGAS PSAD, which determine the level of

significance that have different processing models addressed in this study.

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ÍNDICE 1. ANTECEDENTES GENERALES....................................................................................... 15

1.1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 15 1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA............................................................................. 17 1.3. OBJETIVOS…. ................................................................................................................... 18 1.3.1. Objetivo General ............................................................................................................... 18 1.3.2. Objetivos Específicos........................................................................................................ 18 1.4. HIPÓTESIS DE TRABAJO................................................................................................. 19 1.5. JUSTIFICACIÓN Y CONTRIBUCIÓN DE LA INVESTIGACIÓN................................. 20

2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS ........................................................................................... 21

2.1. SISTEMA DE GEODÉSICO DE REFERENCIA...............................................................21 2.1.1. Sistema Geodésico de Referencia Local ........................................................................... 21 2.1.1.1. Sistemas Geodésicos de Referencia Locales utilizados en Chile................... 22 2.1.2. Sistema Geodésico de Referencia Global ......................................................................... 24 2.1.2.1. International Terrestrial Reference System (ITRS) ....................................... 25 2.1.2.2. International Terrestrial Reference Frame (ITRF)......................................... 25 2.1.2.3. World Geodetic System 1984 (WGS 84)....................................................... 26 2.1.2.4. Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas (SIRGAS)................ 27

2.2. PROYECCIÓN TRANSVERSA MERCATOR.................................................................. 31 2.2.1. Fórmulas de conversión de coordenadas geodésicas a coordenadas planas TM............... 32 2.2.2. Fórmulas de conversión de coordenadas planas TM a coordenadas geodésicas............... 33 2.2.3. Factor de distorsión de escala (m) ..................................................................................... 34 2.2.4. Convergencia Meridiana (C) ............................................................................................. 35 2.2.5. Proyección Universal Transversal de Mercator (UTM).................................................... 36 2.3. MODELOS DE TRANSFORMACIÓN BIDIMENSIONAL Y DE SIMILARIDAD 3D .. 38 2.3.1. Modelos de transformación bidimensional ...................................................................... 38 2.3.1.1. Modelo de transformación de Similaridad 2-D.............................................. 38 2.3.1.1.1. Traslación ................................................................................... 39 2.3.1.1.2. Rotación θ................................................................................... 39 2.3.1.1.3. Escalamiento............................................................................... 41 2.3.1.1.4. Expresión general ....................................................................... 42 2.3.1.2. Modelo de transformación Afín 2-D.............................................................. 42 2.3.1.3. Modelo de transformación Proyectiva 2-D.................................................... 45 2.3.1.3. Modelo de transformación Polinomial 2-D ................................................... 50 2.3.2. Modelo de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas........................................................... 51 2.3.2.1. Traslación....................................................................................................... 52 2.3.2.2. Rotación ......................................................................................................... 53 2.3.2.2.1. Rotación ω .................................................................................. 53 2.3.2.2.2. Rotación ε ................................................................................... 55 2.3.2.2.3. Rotación ψ .................................................................................. 56

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2.3.2.3. Escalamiento.................................................................................................. 58 2.3.2.4. Centroide........................................................................................................ 59

2.3.4.5. Integración de diez parámetros en modelo de transformación Molodensky-Badekas....................................................................................................................... 59

2.4. AJUSTE GEODÉSICO........................................................................................................ 61 2.4.1. Tipos de error... ................................................................................................................. 62 2.4.2. Linealización de ecuaciones por serie de Taylor............................................................... 63 2.4.3. Matriz de Varianza-Covarianza (MVC)............................................................................ 64 2.4.4. Ley de propagación de covarianzas................................................................................... 65 2.4.5. Ajuste por el Método Paramétrico de Mínimos Cuadrados .............................................. 66 2.4.5.1. Modelo matemático ....................................................................................... 66 2.4.5.2. Ecuaciones normales...................................................................................... 69 2.4.5.3. Pesos en las observaciones............................................................................. 70 2.4.5.4. Matriz de Varianza-Covarianza ..................................................................... 71 2.4.5.5. Iteraciones...................................................................................................... 72

2.4.5.6. Test de Chi-Cuadrado (2χ )........................................................................... 73 2.4.5.7. Eliminación de errores groseros..................................................................... 74 2.4.6. Elipse de Error................................................................................................................... 74 3. METODOLOGÍA ................................................................................................................. 78

3.1. DETERMINACIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO................................................................78 3.2. DETERMINACIÓN DE TOLERANCIA RESIDUAL....................................................... 80 3.3. CONVERSIÓN DE COORDENADAS............................................................................... 81 3.4. DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS DE PROYECCIÓN CARTOGRÁFICA.......... 83 3.4.1. Universal Transversal de Mercator (UTM)....................................................................... 83 3.5. ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN EN MODELOS DE TRANSFORMACIÓN BIDIMENSIONAL Y DE SIMILARIDAD 3-D .................................. 84 3.5.1. Modelos Matemáticos de Ajuste ....................................................................................... 84 3.5.1.1. Modelo matemático de ajuste de transformación de Similaridad 2-D........... 84 3.5.1.2. Modelo matemático de ajuste de transformación Afín 2-D ........................... 86 3.5.1.3. Modelo matemático de ajuste de transformación Proyectiva 2-D ................. 87 3.5.1.4. Modelo matemático de ajuste de transformación Polinomial 2-D................. 89 3.5.1.5. Modelo matemático de ajuste de transformación de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas.................................................................................................. 90 3.5.2. Matriz de Pesos ................................................................................................................. 92 3.5.3. Ecuaciones Normales ........................................................................................................ 92 3.5.4. Iteraciones….. ................................................................................................................... 92 3.6. DETERMINACIÓN DE MATRICES DE VARIANZA-COVARIANZA ......................... 93 3.6.1. MVC en Modelo de transformación de Similaridad 2-D .................................................. 93 3.6.2. MVC en Modelo de transformación Afín 2-D .................................................................. 94 3.6.3. MVC en Modelo de transformación Proyectiva 2-D ........................................................ 94 3.6.4. MVC en Modelo de transformación Polinomial 2-D........................................................ 95

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3.6.5. MVC en Modelo de transformación de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas .............. 95

3.7. TEST DE CHI-CUADRADO ( 2χ )..................................................................................... 97 3.8. ELIMINACIÓN DE ERRORES GROSEROS .................................................................... 98 3.9. PROPAGACIÓN DE COVARIANZAS ............................................................................. 99 3.9.1. Propagación de Covarianzas a las Coordenadas Geodésicas ............................................ 99 3.9.2. Propagación de Covarianzas a las Coordenadas Planas UTM ........................................101 3.10. ESTIMACIÓN DE ELIPSES DE ERROR ..................................................................... 103 3.10.1. Estimación de Elipses de Error en Coordenadas Planas UTM......................................103 3.11. DETERMINACIÓN DE LOS RESIDUOS DE LAS OBSERVACIONES .................... 104 3.12. DETERMINACIÓN DE LA VARIACIÓN DE DISTORSIÓN DE ESCALA Y CONVERGENCIA MERIDIANA ........................................................................................... 104 3.13. DETERMINACIÓN DE LOS RESIDUOS DE LOS PUNTOS DE CONTROL............ 105 4. RESULTADOS.................................................................................................................... 106 4.1. PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN.....................................................................106 4.2. ELIPSES DE ERROR........................................................................................................ 113 4.3. RESIDUOS DE LAS OBSERVACIONES ....................................................................... 120

4.4. ESTADÍSTICA ( 2χ )......................................................................................................... 127 4.5. ELIMINACIÓN DE OBSERVACIONES......................................................................... 129 4.6. VARIACIÓN DE DISTORSIÓN DE ESCALA Y CONVERGENCIA MERIDIANA .. 131 4.7. RESIDUOS DE LOS PUNTOS DE CONTROL............................................................... 133 5. ANÁLISIS DE RESULTADOS ........................................................................................ 136 5.1. ANÁLISIS DE LOS PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN................................... 136 5.2. ANÁLISIS DE LAS ELIPSES DE ERROR...................................................................... 138 5.3. ANÁLISIS DE LOS RESIDUOS DE LAS OBSERVACIONES ..................................... 142

5.4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO ( 2χ ) ..................................................................................... 146 5.5. ANÁLISIS DE LAS OBSERVACIONES ELIMINADAS............................................... 148

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5.6. ANÁLISIS DE LA VARIACIÓN DE DISTORSIÓN DE ESCALA Y CONVERGENCIA MERIDIANA ........................................................................................... 149 5.5. ANÁLISIS DE LOS RESIDUOS DE LOS PUNTOS DE CONTROL............................. 151 6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................................................ 152 6.1. CONCLUSIONES ............................................................................................................. 152 6.2. RECOMENDACIONES .................................................................................................... 155 7. BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................. 156 8. ANEXOS.............. ................................................................................................................ 159 I. REFERENCIALES GEODÉSICOS...................................................................................... 160 Elipsoide de revolución............................................................................................................. 161 Radios de curvatura de secciones normales.............................................................. 162 Radio de curvatura de la elipse meridiana................................................ 163 Radio de curvatura del primer vertical ..................................................... 163 Arcos en el elipsoide................................................................................................. 164 Longitud de arco de paralelo .................................................................... 165 Longitud de arco de meridiano................................................................. 166 Sistema de coordenadas cartesianas en el espacio .................................................................... 168 Sistema de coordenadas geodésicas curvilíneas........................................................................ 168 Latitud geodésica ...................................................................................................... 169 Longitud geodésica ................................................................................................... 169 Altura elipsoidal........................................................................................................ 170 Relación matemática entre coordenadas cartesianas y geodésicas curvilíneas ......................... 170 Sistema de referencia vertical ................................................................................................... 172 Superficies de referencia para la definición de alturas ............................................. 172 Geoide....................................................................................................... 173 Cuasi – Geoide.......................................................................................... 173 Elipsoide .................................................................................................. 173 Alturas de tipo geométrico........................................................................................ 173 Alturas niveladas ...................................................................................... 173 Alturas elipsoidales................................................................................... 174 Alturas de tipo físico................................................................................................. 175 Alturas dinámicas ..................................................................................... 175 Alturas normales....................................................................................... 175 Alturas ortométricas ................................................................................. 176 II. COORDENADAS DE VÉRTICES GEODÉSICOS............................................................ 177 III. COORDENADAS DE PUNTOS DE CONTROL.............................................................. 180

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Índice de tablas

Tabla 1 Parámetros elipsoidales SGR PSAD-56............................................................. 23 Tabla 2 Parámetros elipsoidales SGR SAD-69............................................................... 23 Tabla 3 Parámetros elipsoidales SGR WGS-84.............................................................. 27 Tabla 4 Parámetros elipsoidales SGR SIRGAS.............................................................. 30 Tabla 5 Precisiones residuales......................................................................................... 80 Tabla 6 Parámetros de transformación modelo de Similaridad 2-D ............................. 107 Tabla 7 Parámetros de transformación modelo Afín 2-D.............................................. 107 Tabla 8 Parámetros de transformación modelo de Proyectivo 2-D............................... 108 Tabla 9 Parámetros de transformación modelo de Polinomial 2-D .............................. 109 Tabla 10 Parámetros de transformación modelo Molodensky-Badekas 3-D.................. 110 Tabla 11 Parámetros de transformación modelo de Similaridad 2-D (recalculado) ....... 111 Tabla 12 Parámetros de transformación modelo Afín 2-D (recalculado)........................ 111 Tabla 13 Parámetros de transformación modelo Molodensky-Badekas 3-D (recalculado) .................................................................................................... 112 Tabla 14 Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1-2 .................................................... 127 Tabla 15 Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1........................................................ 127 Tabla 16 Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z2........................................................ 128 Tabla 17 Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1-2 (Modelos de transformación recalculados).................................................................................................... 128 Tabla 18 Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1 (Modelos de transformación recalculados)..................................................................................................... 128 Tabla 19 Observaciones eliminadas en modelo de Similaridad 2-D (Z1-2) ................... 129 Tabla 20 Observaciones eliminadas en modelo Molodensky-Badekas (Z1-2) ............... 129 Tabla 21 Observaciones eliminadas en modelo Afín 2-D (Z1-2).................................... 129 Tabla 22 Observaciones eliminadas en modelo de Similaridad 2-D (Z1)....................... 130 Tabla 23 Observaciones eliminadas en modelo Molodensky-Badekas (Z1) .................. 130

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Índice de figuras

Figura 1 Definición del sistema de coordenadas WGS 84............................................... 26 Figura 2 Red de densificación de marcos de referencia................................................... 28 Figura 3 Estaciones GPS campaña SIRGAS 1995........................................................... 29 Figura 4 Estaciones GPS campaña SIRGAS 2000........................................................... 30 Figura 5 Convergencia meridiana .................................................................................... 35 Figura 6 Traslaciones en modelo de transformación de similaridad 2-D......................... 39 Figura 7 Rotación θ en modelo de transformación de similaridad 2-D.......................... 40 Figura 8 Factor de escala k en modelo de transformación de similaridad 2-D ................ 41 Figura 9 Sistemas no ortogonales en modelo de transformación Afín 2-D......................43 Figura 10 Sistemas de coordenadas en modelo de transformación Proyectiva 2-D........... 45 Figura 11 Rotaciones en modelo de transformación Proyectiva 2-D................................. 46 Figura 12 Sistemas paralelos en modelo de transformación Proyectiva 2-D..................... 47 Figura 13 Traslaciones tridimensionales expresadas en los incrementos x∆ , y∆ , z∆ ..... 52 Figura 14 Rotación ω ........................................................................................................ 53 Figura 15 Vista de ejes cartesianos bidimensionales, a partir de una rotación ω ............. 53 Figura 16 Rotación ε ........................................................................................................ 55 Figura 17 Rotación ψ ........................................................................................................ 56 Figura 18 Factor de escala k............................................................................................... 58 Figura 19 Modelo de transformación Molodensky-Badekas ............................................. 58 Figura 20 Elipse de error.................................................................................................... 77 Figura 21 Distribución de vértices geodésicos, VII Región del Maule.............................. 78 Figura 22 Magnitud de variación de distorsión de escala ................................................ 131 Figura 23 Magnitud de variación de convergencia meridiana ......................................... 132 Figura 24 Radio de curvatura de la elipse meridiana ....................................................... 163 Figura 25 Radio de curvatura del primer vertical............................................................. 164 Figura 26 Longitud de arco de paralelo (Sp) y longitud de arco de meridiano (Sm)....... 165 Figura 27 Sistema de coordenadas cartesianas y geodésicas ........................................... 170 Figura 28 Alturas niveladas ............................................................................................. 174

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Índice de gráficos

Gráfico 1 2σ máximo y mínimo, zona Z1-2..................................................................... 113 Gráfico 2 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1-2 ......................................................................................................... 114 Gráfico 3 Ángulo de rotación (t), modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1-2......................................................................................................... 114 Gráfico 4 2σ máximo y mínimo, zona Z1 ........................................................................ 115 Gráfico 5 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1... 115 Gráfico 6 Ángulo de rotación (t), modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1 .. 116 Gráfico 7 2σ máximo y mínimo, zona Z2 ........................................................................ 116 Gráfico 8 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z2... 117 Gráfico 9 Ángulo de rotación (t), modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z2 .. 117 Gráfico 10 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Afín 2-D, zona Z1-2 (2).... 118 Gráfico 11 2σ máximo y mínimo, modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas , zona Z1-2 (2).......................................................... 118 Gráfico 12 2σ máximo y mínimo, modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas , zona Z1 (2) ............................................................ 119 Gráfico 13 Residuos coordenada este, zona Z1-2 .............................................................. 120 Gráfico 14 Residuos coordenada norte, zona Z1-2 ............................................................ 121 Gráfico 15 Residuos coordenada este, zona Z1................................................................. 121 Gráfico 16 Residuos coordenada norte, zona Z1 ............................................................... 122 Gráfico 17 Residuos coordenada este, zona Z2................................................................. 122 Gráfico 18 Residuos coordenada norte, zona Z2 ............................................................... 123 Gráfico 19 Residuos coordenada este, zona Z1-2 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas ......................................................... 123 Gráfico 20 Residuos de coordenada norte, zona Z1-2 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas ......................................................... 124 Gráfico 21 Residuos coordenada este, zona Z1-2 (2), modelo de transformación Afín 2-D .......................................................................................................... 124 Gráfico 22 Residuos coordenada norte, zona Z1-2 (2), modelo de transformación Afín 2-D .......................................................................................................... 125 Gráfico 23 Residuos coordenada este, zona Z1 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas ........................................................ 125 Gráfico 24 Residuos coordenada norte, zona Z1 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas ........................................................ 126 Gráfico 25 Residuos de puntos de control, coordenada este, zona Z1-2............................ 133 Gráfico 26 Residuos de puntos de control, coordenada norte, zona Z1-2..........................133 Gráfico 27 Residuos de puntos de control, coordenada este, zona Z1 ............................... 134 Gráfico 28 Residuos de puntos de control, coordenada norte, zona Z1 ............................. 134 Gráfico 29 Residuos de puntos de control, coordenada este, zona Z2 ............................... 134 Gráfico 30 Residuos de puntos de control, coordenada norte, zona Z2 ............................. 135 Gráfico 31 2σ máximo y 2σ mínimo, zona Z1-2................................................................ 139 Gráfico 32 2σ máximo y 2σ mínimo, zona Z1................................................................... 140 Gráfico 33 2σ máximo y 2σ mínimo, zona Z2................................................................... 140 Gráfico 34 Residuos máximos y mínimos, zona Z1-2 ....................................................... 142 Gráfico 35 Residuos máximos y mínimos, zona Z1 .......................................................... 143 Gráfico 36 Residuos máximos y mínimos, zona Z2 .......................................................... 144 Gráfico 37 Residuos máximos y mínimos, zona Z1-2 (2).................................................. 145 Gráfico 38 Residuos máximos y mínimos, zona Z1 (2)..................................................... 145

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Abreviaturas

2-D Dos dimensiones 3-D Tres dimensiones BIH Bureau Internacional de L’Heure C Convergencia meridiana CTP Conventional Terrestrial Pole DORIS Doppler Orbitography by Radio-Positioning Integrated on Satellite GLONASS Global Navigation Satellite System GPS Global Positioning System GRS-80 Geodetic Reference System 1980 IAG International Association of Geodesy IERS International Earth Rotation and Reference System IGAC Instituto Geográfico Agustín Codazzi IGS International GPS Service ILRS International Laser Ranging Service IPGH Instituto Panamericano de Geografía e Historia ITRF International Terrestrial Reference Frame ITRS International Terrestrial Reference System IVS International VLBI Service for Geodesy and Astrometry LLR Lunar Laser Ranking m Factor de distorsión de escala MMC Método de Mínimos Cuadrados MUTM Modificación de proyección Universal Transversal de Mercator MVC Matriz de Varianza-Covarianza NGA Nacional Geoespatial – Intelligency Agency NIMA National Imagery and Mapping Agency ppm partes por millón PSAD-56 Provisional South American Datum 1956 SAD-69 South American Datum 1969 SGR Sistema Geodésico de Referencia SI Sistema Internacional SIRGAS Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas SLR Satellite Laser Ranking TGC Tiempo Geocéntrico Coordinado TM Transversa Mercator UIGG International Union of Geodesy and Geophisics UTM Universal Transversal de Mercator WGS-84 World Geodetic System 1984 VLBI Very Long Baseline Interferometry

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CAPÍTULO 1

ANTECEDENTES GENERALES

1.1. INTRODUCCIÓN

Actualmente, las técnicas modernas de posicionamiento han generado un cambio

significativo en la precisión lograda en los distintos productos cartográficos, debido a esta razón, la

implementación del proyecto SIRGAS y sus distintas densificaciones, significa una migración

desde SGR clásicos a modernos. Por consecuencia de lo anterior, se hace necesario el estudio de

modelos de transformación, que permitan compatibilizar bases cartográficas pertenecientes a

distintos SGR.

El presente estudio corresponde a un análisis de las precisiones que entregan los modelos de

transformación bidimensional y de Similaridad 3-D, aplicando el método paramétrico de mínimos

cuadrados, con el propósito de determinar los modelos de transformación que tengan una aplicación

óptima en el proceso de cambio de referencial en las bases cartográficas de escala grande.

A continuación, se describe brevemente el contenido fundamental de cada capítulo de este

estudio.

En el capítulo N°1, se exponen antecedentes generales acerca de la temática de estudio,

tales como: el planteamiento de la problemática, los objetivos, la hipótesis de trabajo, la

justificación y contribución de la investigación.

En el capítulo N°2, se establecen los fundamentos teóricos de la investigación, revisando

temáticas como: los SGR locales y globales, el sistema de proyección cartográfica TM, los modelos

de transformación bidimensional y de Similaridad 3-D; y por último, el ajuste geodésico a través del

método paramétrico de mínimos cuadrados.

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En el capítulo N°3, se expone la metodología utilizada principalmente para la

determinación de los parámetros de transformación, residuos, precisiones, estadística, variaciones

de distorsión de escala y convergencia meridiana, correspondiente a los distintos modelos de

transformación en las distintas zonas.

El capítulo N°4, presenta los resultados obtenidos a través de la metodología planteada.

El capítulo N°5, corresponde al análisis de los resultados obtenidos.

En el capítulo N°6, se exponen las conclusiones y recomendaciones alcanzadas tras el

análisis de resultados.

Finalmente, en el capítulo N°7, se incluye en el anexo una revisión de los referenciales

geodésicos, el elipsoide de revolución, los sistemas de coordenadas tridimensionales y geodésicas,

el sistema de referencia vertical, y las coordenadas de los vértices geodésicos utilizados en esta

investigación.

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1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.

El desarrollo e implementación de SGR globales ha llevado a establecer distintas redes de

densificación terrestre, una de estas densificaciones corresponde al “Sistema de Referencia

Geocéntrico Para las Américas” (SIRGAS). Por otra parte, existieron algunos SGR locales como:

PSAD-56 y SAD-69, con los cuales se levantó gran parte de la cartografía nacional en sus distintas

escalas.

Debido a que la vigencia de un SGR está determinada por su uso, la introducción de SGR

modernos, implica una migración desde SGR locales a SGR globales. En este proceso existen

diversos problemas que afectan la homologación de bases cartográficas pertenecientes a distintos

SGR. Para poder establecer una compatibilización de bases cartográficas se deben considerar

algunos factores como: el nivel de precisión requerido, número de vértices geodésicos comunes a

ambos sistemas, área de ajuste, entre otros. Estos factores se pueden desarrollar en los modelos de

transformación, los cuales permiten compatibilizar sistemas de referencia heterogéneos, a través de

parámetros de transformación.

Los modelos de transformación abordados en este estudio corresponden al modelo de

transformación de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas y los modelos de transformación

bidimensional: Afín 2-D, Similaridad 2-D, Proyectiva 2-D y Polinomial 2-D. Cada uno de estos

modelos entrega distintos niveles de precisión, los cuales deben ser analizados con el propósito de

establecer las distintas aplicaciones en el proceso de compatibilización de bases cartográficas, entre

los SGR PSAD-56 y SIRGAS; considerando como referencia las precisiones asociadas a escalas

grandes de representación cartográfica. Por lo tanto, el análisis de los modelos de transformación,

permite conocer sus funcionalidades relacionadas con los distintos niveles de precisión asociados a

cada modelo, para así evaluar su calidad y significancia.

- 18 -

1.3. OBJETIVOS.

1.3.1. Objetivo General:

- Analizar los modelos de transformación bidimensional y modelo de Similaridad 3-D, con el

propósito de determinar el nivel de significancia del ajuste de vértices geodésicos asociados

a bases cartográficas de escala grande, pertenecientes a los SGR PSAD-56 y SIRGAS, a

través del análisis de los residuos y las precisiones, generadas en el proceso de ajuste por el

MMC, en los vértices geodésicos y la propagación de error a las coordenadas planas.

1.3.2. Objetivos Específicos:

- Definir la tolerancia residual en el ajuste de vértices geodésicos asociados a bases

cartográficas en escalas grandes.

- Definir los parámetros de la proyección cartográfica a utilizar en el proceso de ajuste.

- Determinar los parámetros de ajuste correspondientes a cada modelo de transformación, a

partir de la aplicación del MMC en el ajuste de observaciones.

- Determinar la MVC de los parámetros de transformación, observaciones y residuos,

correspondientes a cada modelo de ajuste.

- Determinar la propagación de error desde las coordenadas tridimensionales a las

coordenadas planas, con el propósito de hacer comparables los modelos de transformación

bidimensional y el modelo de Similaridad 3-D.

- Analizar comparativamente las precisiones entregadas por cada modelo de transformación

en las coordenadas planas, a través de la MVC, las elipses de error y residuos de las

observaciones.

- Determinar y analizar la variación de distorsión de escala y convergencia meridiana,

generada en el proceso de transformación de bases cartográficas.

- 19 -

1.4. HIPÓTESIS DE TRABAJO.

Los modelos de transformación bidimensional (Similaridad 2-D, Afín 2-D, Proyectiva 2-D,

Polinomial 2-D) y modelo de Similaridad 3-D (Molodensky-Badekas), entregan distintos niveles de

precisión en los ajustes, los cuales pueden resultar insuficientes en la compatibilización de bases

cartográficas entre sistemas clásicos y modernos a escalas grandes.

- 20 -

1.5. JUSTIFICACIÓN Y CONSTRIBUCIÓN DE LA INVESTIGAC IÓN

Con el propósito de cumplir con los objetivos de esta investigación, se acude al empleo de

técnicas de ajuste de observaciones, a través del método paramétrico de mínimos cuadrados en el

ajuste de vértices geodésicos, asociados a bases cartográficas de escalas grandes; con el propósito

de determinar la significancia que poseen algunos modelos de transformación bidimensional y un

modelo de transformación tridimensional de similaridad. De esta manera, los resultados de esta

investigación se apoyan en la aplicación de métodos teóricos de ajuste aplicados al plano

cartográfico, que permitirán dar un apoyo en los procesos de ajuste, a través de modelos de

transformación que puedan cumplir con los requerimientos de precisión en trabajos de tipo

cartográfico, relacionados con un cambio de referencial.

La contribución que se espera de este trabajo es poder entregar:

• Definiciones analíticas acerca de los modelos de transformación estudiados.

• Una metodología para el análisis de las precisiones del ajuste de bases cartográficas de

escala grande.

• Un análisis comparativo entre modelos de transformación bidimensional y un modelo

tridimensional de similaridad, a través de la propagación de error a las coordenadas planas.

• La determinación de un(os) modelo(s) de transformación idóneos para la compatibilización

de bases cartográficas que poseen SGR heterogéneos y escala grande.

- 21 -

CAPÍTULO 2

FUNDAMENTOS TEÓRICOS

2.1. SISTEMA GEODÉSICO DE REFERENCIA.

Según DREWES y SÁNCHEZ (2004, p. 3), un Sistema Geodésico de Referencia (SGR)

está compuesto por un:

• Sistema de referencia: corresponde al conjunto de convenciones y conceptos teóricos que

definen en cualquier momento modelos, parámetros, constantes, etc.; los cuales sirven de

base para describir el estado geométrico o los procesos físicos de la Tierra o de la superficie

terrestre.

• Marco de referencia: corresponde a la realización o materialización de un sistema de

referencia por distintas entidades físicas y matemáticas.

Un sistema de referencia no tiene aplicación práctica si no se utiliza un marco de referencia,

el cual proporcione puntos de control que mantengan actualizado el sistema de referencia (IGAC,

2004, P. 3). Los diversos sistemas de referencia se clasifican según su dimensionalidad (Zepeda et

al., 2002, p. 4):

• 1 dimensión = Altimetría: Elipsoídica, Ortométrica, Científica.

• 2 dimensiones = Planimetría: Curvilíneo (redes clásicas), plano topográfico.

• 3 dimensiones = Espacial: GPS, GLONASS.

• 4 dimensiones = Tetradimensional: Operaciones de control, ITRF, SIRGAS.

2.1.1. Sistema Geodésico de Referencia Local

Un SGR de tipo local está determinado por un datum geodésico local, el cual se define

como los parámetros que conectan las mediciones con el sistema de referencia, además se define un

- 22 -

punto fundamental o punto datum, donde se determinan parámetros como la orientación (dirección)

y el origen de las coordenadas (DREWES y SÁNCHEZ, 2004, p. 7). Los SGR locales son sistemas

cuasi-geocéntricos, es decir, poseen una considerable desviación del geocentro y están asociados a

un elipsoide de referencia, cuyo objetivo es ajustar el geoide a una zona determinada del globo

(RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 24). Un punto fundamental o punto datum debe contar con:

coordenadas astronómicas (Φ, Λ), coordenadas geodésicas (φ, λ), altura Ortométrica ( ortomH ),

azimut hacia otro vértice (astronómico y geodésico), componente meridiana (ξ ), primer vertical

(η ) y ondulación geoidal (N) nula (MIRANDA, p. 2). Los SGR locales están relacionados a

coordenadas bidimensionales, ya sean estas geodésicas curvilíneas (φ, λ) o planas (norte y este). La

altura (H) se determina mediante un sistema de referencia vertical, el cual es independiente del

sistema bidimensional (DREWES y SÁNCHEZ, 2004, p. 7). Según Zepeda (2004, p. 49), las

precisiones entregadas por una materialización de un sistema local de primer orden corresponden a

10 ppm. Sin embargo, la zona de efectividad de este nivel de precisión estará limitada por la

relación geométrica que exista entre el elipsoide y el geoide, pudiendo alcanzar errores relativos a

decenas de metros en áreas bastante lejanas del punto datum (FUENTES, 2006, p. 55).

2.1.1.1. Sistemas Geodésicos de Referencia Locales utilizados en Chile.

Los principales SGR locales utilizados en Chile corresponden a:

• PSAD-56 (Datum Provisorio Sudamericano de 1956): Alrededor de la década de 1940 y

parte de 1950, diversos países de Latinoamérica y el Ejercito de Estados Unidos,

construyeron una red geodésica desde México hasta el sur de Chile (FUENTES, 2006, p.

56). En el año 1948, en la IV reunión de consulta de la Comisión de Cartografía del

Instituto Panamericano de Geografía e Historia (IPGH), se propuso que el punto

fundamental o punto datum debía quedar entre los paralelos 18º y 27º de latitud sur, y entre

- 23 -

los meridianos 55º a 63º de longitud oeste. Posteriormente, en el año 1956, se estableció

como punto datum La Canoa en Venezuela; utilizando como elipsoide de referencia el

Internacional de Hayford de 1924 (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 26). Este elipsoide de

referencia posee los siguientes parámetros (ver tabla 1):

Elipsoide Internacional de Hayford 1924

a 6378388

f 1:297 Tabla 1: Parámetros elipsoidales SGR PSAD-56.

Fuente: IGM, RGN SIRGAS-Chile, Nuevo Marco de Referencia Geodésico 2008.

Este SGR se utilizó para la elaboración de cartografía regular de escala 1:50.000, entre los

17º 30’ a 43º 30’ de latitud sur (RGN SIRGAS – Chile, 2008, p. 6).

• SAD-69 (Datum Sudamericano de 1969): En el año 1958, en la VIII Reunión de Consulta

realizada por el IPGH, mediante la resolución Nº 26, se establece la necesidad de un punto

datum para la zona central de Sudamérica. La ubicación de este nuevo punto datum está

comprendida entre los paralelos 15º y 27º de latitud sur, y entre los meridianos 45º a 63º de

longitud oeste (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 27). El establecimiento de este nuevo SGR

nació de la inseguridad que provocaba el datum PSAD-56, en las zonas más cercanas al sur

del continente, ya que, la precisión del transporte de coordenadas no es mejor que 10 ppm,

llegando a deformaciones cercanas a los 50 m en el valor de una coordenada de primer

orden respecto del origen del datum (FUENTES, 2006, p. 57). En la adopción de este SGR

se utilizó el elipsoide Sudamericano de 1969, el cual posee los siguientes parámetros

elipsoidales (ver tabla 2):

Elipsoide Sudamericano de 1969

a 6378160

f 1:298,25 Tabla 2: Parámetros elipsoidales SGR SAD-69.


- 24 -

Este SGR se utilizó para la elaboración de cartografía regular de escala 1:50.000, entre los

43º 30’ a 56º de latitud sur (RGN SIRGAS – Chile, 2008, p. 6).

2.1.2. Sistema Geodésico de Referencia Global.

Este tipo de sistemas de referencia fue desarrollado por distintas organizaciones

internacionales, con el propósito de poder establecer controles geodésicos tridimensionales en

cualquier parte de la Tierra (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 27). El Departamento de Defensa de los

Estados Unidos implementó distintos Sistemas Geodésicos Mundiales (WGS), dentro de los cuales

se encuentran: WGS-60, WGS-66, WGS-72 y WGS-84. La principal característica de estos

sistemas es el origen geocéntrico de las coordenadas cartesianas tridimensionales asociadas. Debido

al origen militar de estos sistemas, la Asociación Internacional de Geodesia (IAG), desarrolla

algunos sistemas de referencia global de tipo civil, los cuales son conocidos como GRS y

corresponden a: GRS-67 y GRS-80 (IGAC, 2004, p. 7).

Según DREWES y SÁNCHEZ (2004, p. 7), la definición de un SGR moderno (global)

posee las siguientes características:

• El origen del sistema es el centro de masa terrestre (geocentro).

• La orientación del sistema se establece por el eje de rotación de la Tierra.

• La escala del sistema se genera por la constante gravitacional geocéntrica GM.

• Las coordenadas del sistema son tridimensionales (x, y, z o norte, este, altura (h)).

Según DREWES y SÁNCHEZ (2004, p. 9), los SGR globales, son instalados y mantenidos

por distintos servicios científicos que utilizan distintas técnicas de medición, estos corresponden a:

• Servicio Internacional de GPS (IGS)

• Servicio Internacional de Rastreo Laser (ILRS)

- 25 -

• Servicio Internacional de Interferometría sobre Líneas de Bases muy Largas

(International VLBI Service for Geodesy and Astrometry, IVS)

2.1.2.1. International Terrestrial Reference System (ITRS).

El Servicio Internacional de Rotación Terrestre y Sistemas de Referencia (IERS), es el

organismo encargado de la determinación y entrega de información científica, relacionada con los

parámetros de orientación terrestre y realización de sistemas de referencia de tipo internacional

(IERS, 2004, p. 24). Según el IERS (2004, p. 25), la definición del ITRS cumple con las siguientes

condiciones:

• Es geocéntrico, coincide con el centro de masa de la Tierra (incluyendo océanos y

atmósfera).

• La unidad de longitud corresponde al metro (SI), la escala del sistema es

consistente con el Tiempo Geocéntrico Coordinado (TGC); de acuerdo con las

resoluciones determinadas por la IAG y UIGG en 1991, las que se obtienen

apropiadamente de un modelo relativista.

• La orientación del sistema fue dada inicialmente por la BIH, orientación en 1984.0

• La evolución temporal de la orientación se garantiza mediante el uso de una red sin

rotación (no-net-rotation), condición respecto a los movimientos tectónicos

horizontales en toda la Tierra.

2.1.2.2. International Terrestrial Reference Frame (ITRF).

El ITRF corresponde a la materialización de un sistema de referencia, basado en técnicas

espaciales de posicionamiento de alta precisión. Históricamente, han existido distintas versiones de

ITRF, partiendo con el ITRF correspondiente al año 1988, conocido como ITRF-0 (RAMÍREZ y

ORTIZ, 2003, p. 29); hasta la publicación de la IERS Conventions (2003), la última versión

corresponde al ITRF2000 (IERS, 2004, p. 27). Este marco de referencia está basado en técnicas

- 26 -

espaciales, dentro de las cuales se encuentra: VLBI, LLR, SLR, DORIS y GPS. La principal

utilidad que presenta un ITRF, corresponde al cálculo de las efemérides precisas de los satélites

GPS, las cuales garantizan que cualquier punto en la Tierra que esté ligado al ITRF vigente, está en

el mismo sistema de referencia utilizado por los satélites (IGAC, 2004, p. 12).

2.1.2.3. World Geodetic System 1984 (WGS-84).

Este sistema de referencia fue creado por el Departamento de Defensa de los Estados

Unidos, y tiene por objetivo servir de base a las técnicas modernas de posicionamiento (FUENTES,

2006, p. 60). Según el NIMA (1997, p. 24), la definición de este sistema corresponde a los criterios

establecidos por el IERS (ver 2.1.2.1.). Este sistema es compatible con un ITRF (ZEPEDA, 2004, p.

53), debido a los siguientes aspectos (NIMA, 1997, p. 25) (ver figura 1):

• Origen geocéntrico del sistema, ya que, coincide con el centro de masas de la Tierra

incluyendo atmósfera y océanos.

• Eje z se encuentra en la dirección del polo de referencia IERS, esta dirección

corresponde a la del Polo Terrestre Convencional (CTP).

• Eje x corresponde a la intersección del meridiano de referencia IERS y el plano

ecuatorial.

• Eje y completa el sistema ortogonal dextrógiro (hacia la derecha).

Figura 1: Definición del sistema de coordenadas WGS-84.

Fuente: NIMA Tecnical Reports – 3º edición.

- 27 -

Este SGR posee un elipsoide de referencia asociado al sistema cartesiano, el cual

corresponde a WGS-84. Posee diversos refinamientos que corresponden a: WGS-84 (G730), WGS-

84 (G873) y WGS-84 (G1150); este último es compatible con el ITRF2000 (ZEPEDA, 2004, p. 53).

Los parámetros que lo definen son los siguientes (ver tabla 3):

Elipsoide WGS - 84

a 6378137

f 1 : 298,257223563

Velocidad angular ω 7292115* 1110 rad/s

Constante gravitacional GM 3986005* 810 m³/s² Tabla 3: Parámetros Elipsoidales SGR WGS-84.


2.1.2.4. Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas (SIRGAS).

El proyecto SIRGAS fue creado en la Conferencia Internacional para la Definición de un

Referencial Geocéntrico para América del Sur, la cual se realizó en Asunción (Paraguay), en

octubre de 1993. Dentro de las instituciones participante se encuentran el ex NIMA (actualmente

NGA), IPGH, IAG y cada uno de los institutos de los países comprometidos (IGM, 2008, p. 8). El

objetivo principal del proyecto SIRGAS es definir, materializar y mantener el sistema de referencia

geocéntrico tridimensional para las américas (SIRGAS, 2002, p. 101), este objetivo principal se

establece mediante los siguientes conceptos establecidos en el estatuto del proyecto SIRGAS,

aprobado por el comité respectivo el 22 de octubre de 2002:

• Definición de un sistema de referencia geocéntrico tridimensional.

• Establecimiento y mantenimiento de un marco de referencia geocéntrico (conjunto

de estaciones con coordenadas geocéntricas [x, y, z], de alta precisión y su variación

con el tiempo [Vx, Vy, Vz]).

• Definición y establecimiento de un datum geocéntrico.

• Definición y materialización de un sistema de referencia vertical único, con alturas

físicas y geométricas consistentes, y la determinación de los cambios del marco de

referencia con respecto al tiempo.

- 28 -

La necesidad de creación del proyecto SIRGAS, se debe a que las estaciones ITRF ofrecen

un cubrimiento de carácter mundial, por lo tanto, resultan insuficientes en la utilización práctica por

parte de consumidores y generadores de información georreferenciada. Debido a esta razón, se hace

necesario el establecimiento de densificaciones continentales, nacionales y regionales, que tengan

acceso directo a un marco de referencia global (IGAC, 2004, p. 12). Estas densificaciones son

expresadas en distintas escalas (ver figura 2).

Figura 2: Red de densificación de marcos de referencia.


Existen dos marcos de referencia SIRGAS realizados continentalmente. El primer marco de

referencia corresponde a SIRGAS 1995. Para su realización se llevó a cabo una campaña compuesta

por 58 estaciones GPS, distribuidas en Sudamérica, en el periodo comprendido entre el 26 de mayo

y el 4 de junio de 1995 (ver figura 3). Los resultados obtenidos por esta campaña fueron divulgados

por la asamblea de la Asociación Internacional de Geodesia (IAG), la cual se realizó en Río de

Janeiro en septiembre de 1997. Las coordenadas del marco de referencia SIRGAS 1995 están

asociadas al ITRF94, época 1995.4 (IGM, 2008, p. 10).

- 29 -

Figura 3: Estaciones GPS campaña SIRGAS 1995

Fuente: SIRGAS – Relatorio Final, Grupos de Trabajo I y II, 1997.

El segundo marco de referencia corresponde a SIRGAS 2000. Para su realización se llevó a

cabo una campaña compuesta por un total de 184 estaciones GPS (ver figura 4), en el periodo

comprendido entre el 10 y 19 de mayo de 2000 (SIRGAS, 2002, P. 11 y 12). Esta campaña incluyó

las estaciones del proyecto SIRGAS 1995 y estaciones mareográficas, las cuales definen el

referencial altimétrico (IGM, 2008, p. 11). Con el propósito de establecer un sistema de referencia

vertical único, se estableció un nuevo grupo de trabajo denominado “Datum Vertical Grupo de

Trabajo III” (GTIII). Este grupo de trabajo busca dar solución al sistema de referencia vertical, a

través de dos tipos de alturas: elipsoidales y físicas (IGAC, 2004, p. 16).

- 30 -

Figura 4: Estaciones GPS campaña SIRGAS 2000.

Fuente: SIRGAS – Boletín Informativo Nº6.

Este SGR posee un elipsoide de referencia asociado al sistema cartesiano, el cual

corresponde al GRS-80, además posee los siguientes parámetros elipsoidales (ver tabla 4):

Elipsoide GRS - 80

a 6378137

f 1 : 298,257222101

Velocidad angular ω 7292115* 1110 rad/s

Constante gravitacional GM 3986005* 810 m³/s² Tabla 4: Parámetros Elipsoidales SGR SIRGAS.


- 31 -

2.2. PROYECCIÓN TRANSVERSA MERCATOR.

Una proyección Transversa Mercator (TM), corresponde a una representación plana

conforme del elipsoide, la cual predomina sobre otros sistemas proyectivos de representación

conforme utilizados en Geodesia (BLACHUT et al., 1979, p. 43).

Esta proyección fue desarrollada por Johann Heinrich Lambert, en el año 1772

(HERNÁNDEZ, 2000, p. 83), resolviendo el problema de pérdida de escala y estimando colocar el

cilindro de manera perpendicular (transversal) al eje del mundo. Posteriormente, en el año 1822,

Carl Friedrich Gauss desarrolla matemáticamente la proyección considerando el elipsoide de

revolución como superficie de referencia (ZEPEDA, 2004, p. 74). Entre los años 1912 y 1919, L.

Krugger completa el desarrollo de la proyección TM y publica las fórmulas que permiten su cálculo

numérico (HERNÁNDEZ, 2000, p. 83).

Para que la proyección cartográfica TM corresponda a una representación conforme debe

cumplirse una condición de conformidad, la cual establece que los incrementos diferenciales de

arcos de meridiano sean iguales a los incrementos diferenciales de arcos de paralelo (FUENTES,

2006, p. 84). Según MOLINA (2007, p. 24 y 25), si se considera la distorsión de escala (m) como la

razón entre un segmento infinitesimal en la superficie de proyección y su homólogo en la superficie

de referencia. La condición de conformidad también puede establecerse tomando en cuenta un valor

único de distorsión de escala (m) por punto evaluado en la proyección, es decir, considerar que la

distorsión de escala alrededor de los meridianos (φm ) sea igual a la distorsión de escala alrededor

de los paralelos ( λm ), estableciendo la relación: mmm == λφ .

Según HERNÁNDEZ (2000, p. 83), los requerimientos de la proyección TM son:

• La escala es verdadera a lo largo del meridiano central.

• El origen de la ordenada y es el ecuador.

• El origen de la abscisa x es el meridiano central.

- 32 -

La representación del ecuador corresponde a una línea recta perpendicular al meridiano

central, el cual también corresponde a una línea recta; los demás paralelos y meridianos proyectados

corresponden a curvas complejas. Por otra parte, al este y oeste del meridiano central, el factor de

escala (m) siempre es mayor que 1, esto implica que todas las distancias en la proyección TM serán

de mayor magnitud que en el elipsoide de referencia (BLACHUT et al., 1979, p. 43).

Las funciones matemáticas de la proyección TM, presentadas en este trabajo, corresponden

al desarrollo expuesto por BLACHUT et al. (1979). El desarrollo de otras funciones matemáticas de

la proyección TM pueden ser consultadas en HERNÁNDEZ (2000) y en ZEPEDA (2004).

2.2.1. Fórmulas de conversión de coordenadas geodésicas a coordenadas planas TM.

Las fórmulas de conversión coordenadas de proyección (x, y), a partir de coordenadas

geodésicas (φ , λ), corresponden a las siguientes:

66

44

22

55

331

λλλλλλ

∆+∆+∆+=

∆+∆+∆=

aaaBy

aaax (1)

La expresión ( )0λλλ −=∆ , corresponde a la diferencia de longitud desde un punto de

interés (λ ) hasta el meridiano central (0λ ), expresada en radianes. B es la longitud de arco de

meridiano desde el ecuador hasta la latitud φ , la cual está determinada por la expresión:

( )φφφφφφφ 88

66

44

2210 seno seno seno seno 1cosseno AAAAcAcAB ++++−= (2)

Los coeficientes están determinados por:

−−−−−= 222220 '

100

991'

64

631'

36

351'

16

151'

4

31 eeeeeA

−−−−= 222221 '

1860

21131'

704

8371'

60

771'

16

251'

4

3eeeeeA

- 33 -

−−−= 22222 '

521760

5134271'

1112

10871'

144

1391'

8

5eeeeA

−−= 2244 '

150000

2210691'

64

1251'

72

35eeeA

(3)

−= 266 '

400

11791'

256

105eeA

88 '

640

231eA =

Los coeficientes de la expresión (1) están determinados por:

φcos1 Na =

φseno 2

112 aa =

( )φφ 42213 cos'cos21

6

1eaa ++−= (4)

( )φφφ 6442224 cos'4cos'9cos61

12

1eeaa +++−=

( )[ ]φφφ 6442215 cos'72cos'5824cos201

120

1eeaa +−+−=

( )φφ 4226 cos120cos601

360

1 +−= aa

2.2.2. Fórmulas de conversión de coordenadas planas TM a coordenadas geodésicas.

Las fórmulas de conversión de coordenadas geodésicas (φ ,λ ), a partir de las coordenadas

de proyección (x, y), corresponden a las siguientes:

55

3310

66

44

221

ybybyb

ybybyb

rad

rad

+++=

+++=

λλφφ

(5)

- 34 -

1φ es la latitud correspondiente al punto del meridiano central, cuya longitud rectificada

desde el ecuador es B=x, los coeficientes corresponden a:

2/1

2

2

1

11 '

cos

1

+

= − ecb

φ

( )122

11212 cos'1cosseno

2

1 φφφ ebb +−=

( )142

123

13 cos'cos26

1 φφ ebb +−−= (6)

( )[ ]162

142

122

2214 cos'4cos'10cos'923

12

1 φφφ eeebbb −+−−−=

( )[ ]162

142

125

15 cos'2cos'81cos2024120

1 φφφ eebb −++−=

( )14

2416 cos1645

360

1 φ+= bbb

El calculo de la latitud 1φ está basado en aproximaciones sucesivas: )(),2()1( ...,, nφφφ

cA

x

0)1( =φ

cA

Bx

0

)1()1()2(

−+= φφ (7)

nφφ =1 , cuando xBn =

2.2.3. Factor de distorsión de escala (m).

El factor distorsión de escala de la proyección TM se define por la expresión: dS

dsm= ,

donde dS es la longitud de un elemento lineal sobre el elipsoide y ds su transformada en el plano

- 35 -

conforme (BLACHUT et al., 1979, p. 41). Según BLACHUT et al. (1979, p. 61), el factor de escala

en función de las coordenadas de proyección (φ ,λ ) se calcula utilizando la expresión:

410

281 λλ ∆+∆+= aam (8)

Donde:

( )φφ 2228 cos'1cos

2

1ea +=

(9)

( )[ ]φφφ 4222210 cos'42cos'2894cos

24

1eea +−+−=

2.2.4. Convergencia Meridiana (C)

La convergencia meridiana C (ver figura 5) corresponde a la diferencia angular entre el

norte geodésico (referido al elipsoide) y el norte cartográfico (referido al norte de la cuadrícula o

plano TM). Existe un caso particular para el meridiano central, ya que, este se proyecta como una

línea recta en la proyección TM, la cual coincide con su homólogo en el elipsoide.

Figura 5: Convergencia meridiana.

Fuente: Adaptado de BORRE (2003).

- 36 -

El valor de C se calcula a partir de las coordenadas (φ , λ ), aplicando la siguiente

expresión:

511

397 λλλ ∆+∆+∆= aaaC (10)

Donde:

φseno7 =a

( )φφφφ 442229 cos'2cos'31cosseno

3

1eea ++= (11)

( )φφφ 2211 cos31cosseno

15

1 +−=a

2.2.5. Proyección Universal Transversal de Mercator (UTM)

La proyección Universal Transversal de Mercator nace de un grupo de ingenieros

pertenecientes al ejército de los Estados Unidos (durante la década de los 40). Su creación se

justifica en la homogenización de la representación cartográfica de países vinculados a los esfuerzos

militares de esos países (FUENTES, 2007, p.104). La proyección UTM corresponde a una

estandarización de la proyección TM, y el área de uso está comprendida entre los 80º norte y 80º sur

(ZEPEDA, 2004, p. 74). Según RICHARDUS y ADLER (1972), la proyección UTM posee los

siguientes parámetros:

• El globo se divide en 60 husos y casa huso posee una extensión de 6º de longitud, los husos

se enumeran consecutivamente del 1 al 60, a partir del meridiano de Greenwich en sentido

este.

• La distorsión de escala a lo largo del meridiano central corresponde a:

9996,00 =m (12)

• Las coordenadas de proyección UTM son denominadas Norte ( UTMN ) y Este ( UTME ) y

son determinadas en función de las coordenadas TM de la siguiente manera:

- 37 -

mmx 000.500E 0TMUTM +⋅= (13)

mmy 000.000.10N 0TMUTM +⋅= (Hemisferio sur) (14)

0TMUTMN my ⋅= (Hemisferio norte) (15)

• La distorsión de escala para cualquier punto se resuelve mediante la expresión:

0mmm TMUTM ⋅= (16)

• La convergencia meridiana para cualquier punto no presenta ninguna diferencia respecto de

la convergencia meridiana de la proyección TM.

TMUTM CC = (17)

- 38 -

2.3. MODELOS DE TRANSFORMACIÓN BIDIMENSIONAL Y DE S IMILARIDAD

3-D.

2.3.1. Modelos de transformación bidimensional.

Las transformaciones bidimensionales no consideran el factor de la altura y los modelos son

definidos por las coordenadas planas x e y, además existen distintos modelos de transformación,

desde modelos simples de similaridad hasta otros de mayor complejidad (RAMÍREZ y ORTIZ,

2003, p. 60). Estos modelos de transformación utilizan estimaciones de parámetros de

transformación para ajustar distintos planos de proyección.

Los modelos bidimensionales de transformación presentados en este estudio, corresponden

a la clasificación para transformaciones geométricas presentada por LUGNANI (1987) (MOLINA,

2007, p. 45).

Todos estos modelos de transformación adoptan un centroide de coordenadas ( mm yx , ), el

cual actúa como origen de ambos sistemas en el proceso de ajuste. Este centroide permite disminuir

la fuerte correlación entre los parámetros estimados, permitiendo de esta forma tener una

interpretación más realista de las precisiones de los parámetros de transformación y sus residuos

(RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 94).

2.3.1.1. Modelo de transformación de Similaridad 2-D.

El modelo de transformación bidimensional de Similaridad 2-D, corresponde a una

transformación conforme que preserva todos los ángulos y cambia todas las distancias en la misma

medida (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 55). Este tipo de transformaciones considera factores como:

rotación, traslación y escala del sistema. Por otra parte, la precisión en el modelo de ajuste puede ser

mejorada si se cuenta con puntos lo más alejado posible (PÉREZ, 2001, p.8).

- 39 -

2.3.1.1.1. Traslación.

Considerando los ejes de ambos sistemas bidimensionales como paralelos, pero con

diferente origen, se deduce a partir de la figura 6 las siguientes expresiones:

Tyyy

Txxx

+=+=

1

1 (18)

Figura 6: Traslaciones en modelo de transformación de Similaridad 2-D. Fuente: Elaboración propia.

Expresado matricialmente:

+

=

Ty

Tx

y

x

y

x

1

1 (19)

2.3.1.1.2. Rotación θ .

Una rotación θ positiva, corresponde al ángulo de rotación del sistema planimétrico inicial,

de coordenadas (x, y), alrededor del origen con sentido levógiro (giro hacia la izquierda).

La definición de la matriz de rotación R (θ ) se deduce a partir de la figura 7.

- 40 -

Figura 7: Rotación θ en modelo de transformación de Similaridad 2-D. Fuente: Elaboración propia.

Considerando:

cby

adx

−=+=

1

1 (20)

Se tiene:

x

d

y

b

x

c

y

a

==

==

θθ

θθ

cos ; cos

sen ; sen

(21)

Despejando (21), reemplazando en (20) y expresando matricialmente, se tiene:

⋅

=

y

x

y

x

θθθθ

cos sen-

sen cos

1

1 (22)

Donde la rotación θ está definida matricialmente por:

- 41 -

( )

=

θθθθ

θcos sen-

sen cos R (23)

Finalmente la rotación puede expresarse como:

( )

⋅=

y

xR

y

xθ

1

1 (24)

2.3.1.1.3. Escalamiento.

Suponiendo que ambos sistemas bidimensionales poseen coordenadas de origen

coincidentes, pero diferentes unidades de medida (ver figura 8).

Figura 8: Factor de escala k en modelo de transformación de Similaridad 2-D.

Fuente: Elaboración propia.

Existe un factor de escala k que permite homogenizar las unidades de ambos sistemas,

teniéndose:

⋅=

y

xk

y

x

1

1 (25)

- 42 -

2.3.1.1.4. Expresión general.

Considerando un sistema rotado, trasladado y con diferente escala, se integran las

expresiones (19), (22) y (25). Teniéndose:

+

⋅

⋅=

Ty

Tx

y

xk

y

x

θθθθ

cos sen-

sen cos

1

1 (26)

Desarrollando el modelo para incluir un centroide de coordenadas ( mm yx , ), finalmente se

obtienen las expresiones:

( ) ( ) mmm xTxyykxxkx ++−+−= seno cos 1 θθ

(27) ( ) ( ) mmm yTyyykxxky ++−+−−= cos seno 1 θθ

Donde:

yx, : Coordenadas de un punto correspondiente al plano inicial.

11, yx : Coordenadas ajustadas de un punto correspondiente al plano transformado.

k : Factor de escala.

θ : Ángulo de rotación.

Tx,Ty: Traslación de los ejes x e y.

mm yx , : Coordenadas del centroide.

2.3.1.2. Modelo de transformación Afín 2-D.

El modelo de transformación bidimensional Afín 2-D, corresponde a una transformación

que considera la falta de ortogonalidad en los ejes transformados, y establece distintos factores de

escala para cada dirección del eje correspondiente (dirección eje de abscisas y ordenadas) (PÉREZ,

2001, p.16).

- 43 -

Dos sistemas ortogonales rotados y trasladados están determinados por la integración de las

expresiones (19) y (22):

+

⋅

=

Ty

Tx

y

x

y

x

θθθθ

cos sen-

sen cos

1

1 (28)

Considerando una falta de ortogonalidad entre los sistemas ( 00, yx ) y ( yx, ), expresada por

el ángulo de falta de perpendicularidad de los ejes ( 00, yx ), denominado β (ver figura 14).

Figura 9: Sistemas no ortogonales en modelo de transformación Afín 2-D. Fuente: Elaboración propia.

Se puede deducir de la figura 9 la siguiente relación:

βseno AB 0y=

(29)

βcos PB 0y=

Las coordenadas están determinadas por las expresiones:

βseno AB 000 yxxx −=−=

(30) βcos 0yy =

Aplicando los correspondientes factores de escala:

- 44 -

βseno 00 00ykxkx yx −=

(31) βcos 00

yky y=

Expresando matricialmente:

⋅

=

0

0

0

0

cos 0

sen- 1

yk

xk

y

x

y

x

ββ

(32)

Sustituyendo (32) en (28) se obtiene:

⋅

⋅

=

Ty

Tx

yk

xk

y

x

y

x

0

0

1

1

0

0

cos 0

sen- 1

cos sen-

sen cos

ββ

θθθθ

(33)

Desarrollando y agrupando términos el modelo de transformación bidimensional Afín 2-D

queda expresado por:

1111 cybxax ++=

(34)

2221 cybxay ++=

Donde:

θcos01 xka =

( )βθ +−= seno 01 ykb

θseno 02 xka =

( )βθ += cos 02 ykb

Txc =1

Tyc =2

- 45 -



( ) ( ) mmm xcyybxxax ++−+−= 1111

(35) ( ) ( ) mmm ycyybxxay ++−+−= 2221

Donde:



212121 ,,,,, ccbbaa : Parámetros de transformación.


2.3.1.3. Modelo de transformación Proyectiva 2-D.

El modelo de transformación bidimensional Proyectiva 2-D, corresponde a una

transformación que preserva los puntos, líneas rectas e intersecciones; entre otras propiedades

geométricas (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 55).

Las ecuaciones de este tipo de transformación permiten el cálculo de coordenadas de puntos

pertenecientes a un sistema de referencia sobre un plano ( 11, yx ), respecto de las coordenadas de

sus puntos homólogos pertenecientes al sistema arbitrario ( yx, ), correspondiente a otro plano

inclinado (PÉREZ, 2001, p. 22).

La deducción de las ecuaciones de este modelo de transformación, parten considerando dos

sistemas tridimensionales con coordenadas z constantes (ver figura 10).

- 46 -

Figura 10: Sistemas de coordenadas en modelo de transformación Proyectiva 2-D.

Fuente: Adaptado de PÉREZ (2001).

Donde:

( )111 ,, zyx : Sistema de referencia.

( )zyx ,, : Sistema arbitrario (sistema de referencia inicial), con ejes inclinados respecto al

sistema de referencia.

Considerando un plano inicial inclinado, su orientación angular queda definida por tres

ángulos ( )ηγδ ,, . Se deduce de la figura 11, que la aplicación de las rotaciones ( )ηγδ ,, , al sistema

arbitrario genera las coordenadas( )cyx ,, .

- 47 -

Figura 11: Rotaciones en modelo de transformación Proyectiva 2-D.


Donde:

( )zyx ,, : Sistema arbitrario ideal, con ejes paralelos al sistema de referencia.

La expresión matricial de la transformación por rotación está determinada por:

⋅=

⋅

=

c

y

x

R

c

y

x

aaa

aaa

aaa

z

y

x

333231

232221

131211

1

1

1

(36)

Donde los coeficientes de la matriz de rotación R están determinados por:

ηγ coscos11 =a

ηγ seno cos12 −=a

γseno13 =a

ηγδηδ cos seno senoseno cos21 +=a

ηγδηδ seno seno senocos cos22 −=a

γδ cosseno23 −=a

- 48 -

ηγδηδ cos seno cosseno seno31 −=a

ηγδηδ seno seno coscos seno32 +=a

γδ coscos33 =a

Considerando el sistema arbitrario como paralelo al sistema de referencia (ver figura 12).

Figura 12: Sistemas paralelos en modelo de transformación Proyectiva 2-D.


Por semejanza es posible deducir:

'''

'''

'

'

''''

''''

Op

OP

pp

PP

pp

PP ===ρ (37)

Sustituyendo los segmentos por las coordenadas correspondientes:

z

zz

y

yy

x

xx 010101 −=−=−=ρ (38)

- 49 -

Expresando de manera matricial las anteriores ecuaciones:

⋅⋅=

⋅

⋅=

−−−

c

y

x

R

c

y

x

aaa

aaa

aaa

zz

yy

xx

ρρ

333231

232221

131211

01

01

01

(39)

Separando algebraicamente la expresión (39):

( )cayaxaxx 13121101 +++= ρ

( )cayaxayy 23222101 +++= ρ (40)

( )cayaxazz 33323101 +++= ρ

Dividiendo 1x e 1y por 1z , se tiene:

( )cayaxa

cayaxazzxx

333231

1312110101 ++

++−+=

(41)

( )cayaxa

cayaxazzyy

333231

2322210101 ++

++−+=

Despejando ca33 de (41), se obtiene:

( )

++

++−+=1

33

32

33

3133

1312110101

yca

ax

ca

aca

cayaxazzxx

(42)

( )

++

++−+=1

33

32

33

3133

1312110101

yca

ax

ca

aca

cayaxazzxx

- 50 -

Debido a que ηγδ ,,,,,, 000 zyxc son constantes y no se considera la altura, todos los

puntos tienen igual valor de z . Debido a esto, las ecuaciones pueden reescribirse de la siguiente

manera:

154

3211 ++

++=yaxa

ayaxax

(43)

154

8761 ++

++=yaxa

ayaxay



( ) ( )( ) ( ) m

mm

mm xyyaxxa

ayyaxxax +

+−+−+−+−=

154

3211

(44) ( ) ( )( ) ( ) m

mm

mm yyyaxxa

ayyaxxay +

+−+−+−+−=

154

8761

Donde:



87654321 ,,,,,,, aaaaaaaa : Parámetros de transformación.


2.3.1.4. Modelo de transformación Polinomial 2-D.

El modelo de transformación bidimensional Polinomial 2-D, corresponde a una

transformación considerada de alta precisión, que requiere de una cantidad elevada de puntos en

común entre dos sistemas, además posee como desventaja la perdida de confiabilidad fuera del área

común de ajuste entre los dos sistemas (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 56). Este tipo de modelos de

transformación y sus variantes son comúnmente utilizados en fotogrametría (PÉREZ, 2001, p. 55).

- 51 -

El desarrollo de este modelo de transformación bidimensional corresponde a un polinomio

de segundo grado.

Desarrollando el modelo e incluyendo un centroide de coordenadas ( mm yx , ), se obtienen

las expresiones:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )22

82

72

6

2543

22101

mmmmm

mmmmmmm

yyxxayyxxayya

yyxxayyxxayyaxxaxxaax

−−+−−+−+

+−−+−−+−+−+−+=

(45)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )22

82

72

6

2543

22101

mmmmm

mmmmmmm

yyxxbyyxxbyyb

yyxxbyyxxbyybxxbxxbby

−−+−−+−+

+−−+−−+−+−+−+=

Donde:



810810 ,...,,,,...,, bbbaaa : Parámetros de transformación.


2.3.2. Modelo de transformación de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas.

El modelo de transformación geodésica de Similaridad 3-D, originalmente se conoce como

método de transformación de similitud de Helmert (IGAC, 2004, p. 21). Fue formulado por Fiedrich

Robert Helmert, en el año 1880. Corresponde a un modelo de transformación que considera un

sistema inicial de coordenadas cartesianas en el espacio, las cuales posteriormente son

transformadas mediante la aplicación de siete parámetros a un nuevo sistema, donde las diferencias

entre sistemas están determinadas por tres factores que corresponden a la traslación, rotación y

escalamiento.

El modelo de transformación de Helmert entrega una transformación exacta sólo en SGR

matemáticos y perfectamente definidos; por ejemplo: dos sistemas de tipo satelital. Por otra parte,

- 52 -

los SGR locales fueron realizados por mediciones terrestres clásicas, sujetas a errores generados por

la tecnología de la época, debido a esta razón, mientras mayor distorsión posea la red clásica peor

será la transformación de Helmert. (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 74).

El modelo de transformación Molodensky-Badekas fue discutido por Molodensky (1962) y

Badekas (1969) (ZEPEDA et al.). Este modelo relaciona dos sistemas de coordenadas

tridimensionales mediante los siete parámetros de transformación de Helmert, la diferencia radica

en la inclusión de un centroide de coordenadas ( )mmm zyx ,, . Según Krakiwsky y Thomson (1974),

el modelo de transformación de Molodensky-Badekas es recomendado para la transformación entre

un SGR satelital y un SGR local (RAMIREZ y ORTIZ, 2003, p. 66). Debido a que el factor de

escala es el mismo en todas las direcciones, conserva las formas y los ángulos, por lo cual se

denomina modelo de transformación de Similaridad (IGAC, 2004, p. 21).

2.3.2.1. Traslación.

Corresponde al desvío respecto del origen de cada sistema de coordenadas cartesianas en el

espacio (x, y, z), y es representado por los incrementos [ ]Tzyx ∆∆∆ , , , en el vector tridimensional de

translaciones, desde el origen del sistema inicial al origen del sistema nuevo (ver figura 13).

Corresponde a:

∆∆∆

z

y

x

(46)

- 53 -

Figura 13: Traslaciones tridimensionales expresadas en los incrementos ∆x, ∆y, ∆z. Fuente: Elaboración propia.

2.3.2.2. Rotación.

Cada eje cartesiano en el espacio (x, y, z) puede girarse o inclinarse respecto al nuevo

sistema. Considerando los orígenes de ambos sistemas coincidentes, estas rotaciones son descritas a

través de tres ángulos de Euler: ω, ε y ψ.

2.3.2.2.1. Rotación ω.

Una rotación ω positiva, corresponde al ángulo de rotación del sistema cartesiano inicial

de ejes (x , y , z ) alrededor del eje z , viéndose desde el origen hacia el eje positivo en sentido

dextrógiro (giro hacia la derecha), generando tres nuevos ejes (1x , 1y , 1z ) en un nuevo sistema,

donde el eje z coincide con el eje 1z (ver figura 14).

- 54 -

Figura 14: Rotación ω


La rotación ω se expresa matricialmente por:

( )

⋅=

z

y

x

R

z

y

x

ω

1

1

1

(47)

La definición de la matriz de rotación ( )ωR , se deduce de la figura 15:

Figura 15: Vista de ejes cartesianos bidimensionales, a partir de una rotación ω


- 55 -

Considerando:

cby

adx

−=+=

1

1 (48)

Se tiene:

x

d

y

b

x

c

y

a

==

==

ωω

ωω

cos ; cos

sen ; sen

(49)

Despejando (49), reemplazando en (48) y expresando matricialmente se obtiene:

⋅

=

z

y

x

z

y

x

1 0 0

0 cos sen-

0 sen cos

1

1

1

ωωωω

(50)

Donde la rotación ω está definida matricialmente por:

( )

=1 0 0

0 cos sen-

0 sen cos

ωωωω

ωR (51)

2.3.2.2.2. Rotación ε

Una rotación ε positiva, corresponde al ángulo de rotación del sistema de ejes cartesianos

( 1x , 1y , 1z ) alrededor del eje 1x , viéndose desde el origen hacia el eje positivo en sentido

dextrógiro, generando tres nuevos ejes (2x , 2y , 2z ) en un nuevo sistema, donde el eje 1x coincide

con el eje 2x (ver figura 16).

- 56 -

Figura 16: Rotación ε


La rotación ε se expresa matricialmente por:

( ) ( ) ( )

⋅=

⋅=

z

y

x

RR

z

y

x

R

z

y

x

ωεε

1

1

1

2

2

2

(52)

La definición de la matriz de rotación ( )εR , se deduce realizando operaciones similares

para la obtención de (51), teniéndose:

( )

=εεεεε

cos sen- 0

sen cos 0

0 0 1

R (53)

2.3.2.2.3. Rotación ψ.

Una rotación ψ positiva, corresponde al ángulo de rotación del sistema de ejes cartesianos

( 2x , 2y , 2z ) alrededor del eje 2y , viéndose desde el origen hacia el eje positivo en sentido

- 57 -

dextrógiro, generando tres nuevos ejes (3x , 3y , 3z ) en un nuevo sistema, donde el eje 2y coincide

con el eje 3y (ver figura 17).

Figura 17: Rotación ψ.


La rotación ψ se expresa matricialmente por:

( ) ( ) ( ) ( )

⋅⋅⋅=

⋅=

z

y

x

RRR

z

y

x

R

z

y

x

ωεψψ

2

2

2

3

3

3

(54)

La definición de la matriz de rotación ( )ε1R , se deduce realizando operaciones similares

para la obtención de (51), teniéndose:

( )

=ψψ

ψψψ

cos 0 sen

0 1 0

sen- 0 cos

R (55)

- 58 -

Con el fin de obtener un modelo matricial que integre las tres rotaciones (ω, ε, ψ), se

procede a la multiplicación de las matrices de rotación, teniéndose:

( ) ( ) ( )

⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅

ψεψεωψωψεωψωεεωεω

ψεψεωψωψεωψωωεψ

sencos cossencos-sensen cossensensencos

sen coscos cossen-

sencos- sensencos-cossen sensensen-coscos

RRR (56)

Considerando rotaciones con valores pequeños, se asume:

( ) ( ) ( ) ( ) 0sensen ; 1cos ; sen =⋅== ααααα

Obteniendo:

( ) ( ) ( )

−=⋅⋅1 - ψ

1 ω

ψ- 1

εε

ωωεψ RRR (57)

2.3.2.3. Escalamiento.

La diferencia de escala entre dos sistemas está establecida por un valor k , de tal manera

que una coordenada en el sistema inicial necesita multiplicarse por k , para determinar la

coordenada correspondiente en la escala del sistema nuevo y así homogenizar las relaciones

métricas entre sistemas (ver figura 18).

k = Factor de escala que relaciona dos SGR (58)

Figura 18: factor de escala k Fuente: Elaboración propia.

- 59 -

2.3.2.4. Centroide.

La adopción de un centroide corresponde a la integración de un vector P, de coordenadas

( )mmm zyx ,, , dentro del modelo de transformación Molodensky-Badekas (ver figura 19).

Figura 19: Modelo de transformación Molodensky-Badekas.

Fuente: Adaptado de IGAC (2004).

2.3.2.5. Integración de diez parámetros en modelo de transformación de Similaridad 3-D

Molodensky-Badekas.

El modelo de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas, relaciona dos sistemas geodésicos

cartesianos mediante tres traslaciones ( zyx ∆∆∆ , , ), tres rotaciones (ω, ε, ψ), un factor de escala (k) y

un centriode ( )mmm zyx ,, . Las tres traslaciones son utilizadas para establecer una coincidencia de

orígenes de ambos sistemas, las tres rotaciones expresan el paralelismo entre ejes, el factor de escala

uniformiza u homogeniza la métrica de los dos sistemas (MOLINA, 2007, p. 17) y el centroide

produce una disminución en la fuerte correlación en los parámetros de transformación estimados,

permitiendo determinar de manera más realista las precisiones de los parámetros y de los residuos

de las observaciones (ZEPEDA et al.).

- 60 -

El modelo matemático de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas está representado por:

−−−

⋅

−⋅+

+

∆∆∆

=

m

m

m

m

m

m

zz

yy

xx

k

z

y

x

z

y

x

z

y

x

1 - ψ

1 ω

ψ- 1

1

1

1

εε

ω (59)

Donde:

• [ ]Tzyx ,, es el vector de coordenadas del sistema inicial o sistema 1 ( 1S ), que corresponde

al vector de coordenadas que se desea transformar.

• [ ]Tzyx 111 ,, es el vector de coordenadas del sistema nuevo o sistema 2 ( 2S ), que

corresponde al vector de coordenadas transformadas.

• [ ]Tzyx ∆∆∆ ,, es el vector de las traslaciones en cada uno de los ejes, que relaciona el origen

del 1S con el 2S .

• ε corresponde a la rotación en el eje x

• ψ corresponde a la rotación en el eje y

• ω corresponde a la rotación en el eje z

• k corresponde al factor de escala de transformación, debido a la diferencia de magnitud

entre el 1S y 2S .

• [ ]Tmmm zyx ,, corresponde al vector de coordenadas del centroide.

• [ ]Tmmm zzyyxx −−− ,, corresponde a la diferencia entre el vector de coordenadas del 1S y

el vector de coordenadas del centroide.

- 61 -

2.4. AJUSTE GEODÉSICO.

Cuando se realiza un análisis de observaciones (mediciones), se debe entender que nunca se

obtiene el valor verdadero de la magnitud medida. Las observaciones realizadas por el hombre se

caracterizan por la inevitable presencia de errores en la medición. Para conseguir una medición de

confianza se necesita obtener una estimación del valor medido, a través de varias o muchas

observaciones, es decir, con observaciones redundantes. El ajuste de observaciones persigue

eliminar inconsistencias y ajustar las observaciones a un modelo matemático, con el fin de obtener

una mejor estimación de los valores medidos (GEMAEL, 1994, p. 11).

Los matemáticos y geodestas Carl Gauss (1777-1855) y Adrien Legendre (1752-1833),

propusieron como mejor estimativa de un valor cualquiera, el valor que torna mínima la suma de los

cuadrados de los residuos. Este criterio es el que caracteriza al Método de Mínimos Cuadrados

(MMC) (ZEPEDA, 2004, p. 4), el cual se expresa de la siguiente manera:

minimo...1

2223

22

21 →=++++=Φ ∑

=

n

iin vvvvv (60)

Donde:

Residuo: ii xXv −=

Promedio o valor más probable:X

Cantidad medida: ix

Según RAMÍREZ y ORTIZ (2003, P. 44), los pasos básicos de un ajuste son:

• Definir la solución mediante el modelo matemático de ajuste, estos pueden ser:

o Modelo de ecuaciones de condición: este modelo está basado en la relación entre

los valores obtenidos directamente en campo (observaciones), y la aplicación en

ellos de las condiciones impuestas por el modelo matemático que proporciona

dichas ecuaciones de condición (ASÍN, 1990, p. 53). Por ejemplo: una red de

- 62 -

triángulos planos observados en campo, tienen que satisfacer la condición de que la

suma de sus tres ángulos interiores sea 180º.

o Modelo de ecuaciones de observación: este modelo está basado en la relación que

se establece entre las cantidades medidas (observaciones), parámetros y residuos.

Se escribe una ecuación para cada observación, con el objetivo de obtener una

solución única. Generalmente, se utilizan más observaciones que incógnitas lo que

permite obtener valores más probables mediante el ajuste por el MMC (ZEPEDA,

2004, p. 28).

• Seleccionar las observaciones, a través de un pre-procesamiento, con el fin de corregir

inconsistencias o perturbaciones de los datos, considerando un número suficiente de

observaciones en calidad y cantidad.

• Definir la calidad entregada por los parámetros de ajuste.

2.4.1. Tipos de error.

Según GEMAEL (1994, p. 59), los distintos tipos de error se producen principalmente por

fallas humanas, imperfecciones de los instrumentos de medición e influencia de las condiciones

ambientales.

• Faltas: se deben a errores groseros, provenientes de una falta de cuidado o confusión.

Las faltas o equivocaciones normalmente no se clasifican como errores, y pueden

removerse realizando una cuidadosa revisión de los datos (ZEPEDA, 2003, p.7).

• Errores sistemáticos: este tipo de error se produce por causas conocidas, pueden ser

evitados mediante técnicas especiales de observación, o pueden ser eliminados

posteriormente mediante fórmulas entregadas por la teoría (GEMAEL, 1994, p. 60).

• Errores accidentales: después de eliminadas las faltas y los errores sistemáticos se

aprecia la presencia de errores generalmente pequeños, que poseen signo positivo y

- 63 -

negativo, este tipo de errores pueden ser tratados estadísticamente (ZEPEDA, 2003,

p.7)

2.4.2. Linealización de ecuaciones por serie de Taylor.

Para la realización del ajuste de observaciones es necesario contar con un sistema lineal de

ecuaciones, de modo contrario el sistema de ecuaciones debe ser linealizado mediante la

linealización de series de Taylor.

El procedimiento de linealización de ecuaciones se describe según RAMÍREZ y ORTIZ

(2003, p. 44 y 45). Este procedimiento requiere definir las correcciones diferenciales x∂ y y∂ , para

un grupo de parámetros aproximados 0x e 0y . Primeramente se debe conocer la función no lineal

evaluada en los parámetros (0x e 0y ), posteriormente se debe realizar el cálculo de las derivadas

parciales de la función no lineal ('f , ''f ,…, nf ) respecto de cada incógnita, con este

procedimiento se obtienen las correcciones a las aproximaciones.

El proceso de linealización de funciones mediante series de Taylor, utiliza correcciones de

aproximaciones polinómicas según el orden n de las derivadas parciales (nf ). Mientras mayor sea

el orden de las derivadas parciales, mayor será precisión en la serie de Taylor. El modelo de

linealización de funciones no lineales se expresa mediante la siguiente función:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )...

!

,...

!2

,,,, 00200

''

00'

00 +++++== nn

xxxx dx

n

yxfdx

yxfdxyxfyxfyxfF

(61)

( ) ( ) ( ) nnyy

y dyn

yxfdy

yxfdyyxf

!

,...

!2

,, 00200

''

00' ++++

Si son canceladas las derivadas de orden superior, resulta:

( ) ( ) dyy

Fdx

x

FyxfyxfF x

0000,,

∂∂+

∂∂+== (62)

Otra manera de expresarlo:

- 64 -

( ) ( ) yX

FXFXF

X

∆∂∂+=

0

0 (63)

2.4.3. Matriz de Varianza-Covarianza (MVC).

En el proceso de ajuste es necesario medir la variabilidad de cada una de las observaciones,

las cuales poseen una varianza (2iσ ) y una covarianza (ijσ , ji ≠ ) asociada. La manera de medir la

precisión de las ecuaciones de observación se expresa en la MVC ( X∑ ).

=∑2

321

2232221

1131221

nnnn

n

n

X

σσσσ

σσσσσσσσ

L

MMMMM

L

L

(64)

La covarianza ijσ corresponde a una variable aleatoria bidimensional que estima la

correlación entre las componentes i y j, es decir, establece el grado de dependencia entre las

componentes (GEMAEL, 1994, p. 41). Cuando las componentes son estadísticamente

independientes su correlación es nula (ZEPEDA, 2004, p.41).

Una manera de medir la dependencia lineal entre dos componentes (x e y), es a través del

coeficiente de correlación de lineal, el cual se expresa mediante la siguiente función:

yx

xyxy σσ

σρ = (65)

Donde:

xσ : Desviación estándar de x.

yσ : Desviación estándar de y.

xyσ : Covarianza de x e y.

- 65 -

En el cálculo del coeficiente de correlación se verifica la siguiente situación:

11 ≤≤− xyρ (66)

Según GEMAEL (1994, p. 42), cuando el coeficiente de correlación lineal es igual a 1 ó -1,

existe una perfecta relación lineal entre x e y, dicho de otra forma, y es una función lineal de x. Si el

valor del coeficiente de correlación lineal es igual a cero, las variables x e y, no están

correlacionadas, sin embargo, esto no significa necesariamente que las componentes sean

independientes estadísticamente.

2.4.4. Ley de propagación de covarianzas.

La ley de propagación de covarianzas permite estimar la MVC de un vector aleatorio

multidimensional Y, a partir del conocimiento de la MVC de un vector aleatorio multidimensional

X (FERREIRA, 2003, p. 10).

Según GEMAEL (1994, p. 44 y 45), si se considera dos variables aleatorias

multidimensionales X e Y, ligadas por el modelo lineal:

111 CXGY mnnmm +⋅= (67)

Para un caso lineal, el modelo de propagación de covarianzas es:

TXY GG∑=∑ (68)

Para un caso no lineal, es posible considerar el modelo:

Y=F(X) (69)

El cual puede ser linealizado mediante una serie de Taylor:

- 66 -

( ) ( ) ( )00

0

XXX

FXFXFY

X

−∂∂+≅= (70)

Finalmente, el modelo de propagación de covarianzas para un caso no lineal está

determinado por:

TXY DD∑=∑ (71)

Donde:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂=

n

mmm

n

n

X

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

X

FD

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

0

L

LLLL

L

L

(72)

2.4.5. Ajuste por el Método Paramétrico de Mínimos Cuadrados.

Los principales métodos de posicionamiento utilizan el MMC para el ajuste de

observaciones de ángulos y distancias, aplicando el método paramétrico o método de ecuaciones de

observación (ALVES, 2008, p. 19). Este método utiliza observaciones indirectas para la realización

del ajuste (ZEPEDA, 2004, p. 34).

2.4.5.1. Modelo matemático.

Según GEMAEL (1994, p. 117), el método de ajuste paramétrico se verifica cuando los

valores observados ajustados, pueden ser expresados explícitamente como una función de los

parámetros ajustados, cuando se verifica el siguiente modelo matemático:

( )aa XFL = (73)

- 67 -

En este modelo matemáticoaL corresponde a las observaciones ajustadas, ( )aXF es la

función relativa de los parámetros y aX son los parámetros ajustados. Por otra parte, las

observaciones ajustadas (aL ) pueden definirse como:

VLL ba += (74)

Donde:

bL : Vector de los valores observados.

V : Vector de los residuos.

La corrección de los parámetros (aX ) puede expresarse como:

XXXa += 0 (75)

Donde:

0X : Vector cuyas componentes son los valores aproximados de los parámetros.

X : Vector de las correcciones.

Sustituyendo las ecuaciones (74) y (75) en la ecuación (73) y linealizando con la fórmula de

Taylor, se obtiene:

( ) ( ) .0

00 XX

FXFXXFVL

XXab

a =∂∂+=+=+ (76)

Designando la función de los parámetros aproximados por 0L :

( )00 XFL = (77)

Definiendo la matriz de las derivadas parciales A:

- 68 -

0XaX

FA

∂∂= (78)

La ecuación (76) se escribe:

AXLVLb +=+ 0 (79)

Despejando:

bLLAXV −+= 0 (80)

Haciendo:

bLLL −= 0 (81)

Finalmente, se obtiene el modelo matemático linealizado del método paramétrico, el cual se

puede expresar matricialmente como:

111 LXAV nuunn +⋅= (82)

Una expansión del método paramétrico expresado matricialmente, para n ecuaciones de

observación y u parámetros (GEMAEL, 1994, p. 118), corresponde a:

+

⋅

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

nu

xau

n

a

n

a

n

a

n

auaaa

auaaa

n l

l

l

x

x

x

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

v

v

v

MMMLMMM

M

...

...

...

2

1

2

1

321

2

3

2

2

2

1

2

1

3

1

2

1

1

1

2

1

0

(83)

- 69 -

2.4.5.2. Ecuaciones normales.

Según GEMAEL (1994, p. 119), la obtención de las ecuaciones normales parte con la

minimización de la forma cuadrática fundamental (Φ ), teniéndose:

mínimo==Φ PVVT (84)

Donde:

Φ : Forma cuadrática fundamental.

V : Vector de los residuos.

TV : Vector transpuesto de los residuos.

P : Matriz de pesos en las observaciones.

Reemplazando (82) en (84), se tiene:

( ) ( ) mínimoP =++==Φ LAXLAXPVV TT (85)

Resolviendo:

( ) ( ) mínimoP =++==Φ LAXLXAPVV TTTT

mínimo=+++==Φ PLLPAXLPLXAPAXXAPVV TTTTTTT

mínimo2 =++==Φ PLLPLAXPAXXAPVV TTTTTT

Derivando respecto a X e igualando a cero:

022 =+=∂Φ∂

PLAPAXAX

TT

0=+ PLAPAXA TT (86)

Despejando X:

- 70 -

( ) PLAPAAX TT 1−−= (87)

Haciendo:

PAAN T= (88)

PLAU T= (89)

Finalmente, el vector de corrección de lo parámetros está determinado por:

UNX 1−−= (90)

Donde el vector de los parámetros ajustado está determinado por la expresión (75).

2.4.5.3. Pesos en las observaciones.

Generalmente, las observaciones poseen distintos grados de precisión, por lo cual se les

asocia diferentes confianzas o pesos. El peso puede definirse como la ponderación relativa entre

valores observados, cuando es comparado con otro valor (ZEPEDA, 2004, p. 15). De acuerdo con

GEMAEL (1994, p. 120), antes del ajuste es necesario estimar la precisión de las observaciones,

para esto es importante determinar la MVC de los valores observados (bL∑ ), que en conjunto con

la varianza de peso a priori ( 20σ ), permite determinar la matriz de pesos:

120

−∑=bLP σ (91)

Después de determinada la matriz de pesos de las observaciones y realizado el ajuste, es

posible determinar la MVC de las distintas variables aleatorias involucradas en el proceso de ajuste.

- 71 -

2.4.5.4. Matriz de Varianza-Covarianza.

La determinación de la MVC de las variables aleatorias involucradas en el proceso de

ajuste, implican el uso de la varianza a posteriori ( 20σ̂ ) dentro de su desarrollo:

un

PVVT

−=2

0σ̂ (92)

Donde:

PVVT : Forma cuadrática fundamental.

n : Número de observaciones.

u : Número de parámetros.

( )un− : Grados de libertad del modelo.

La forma cuadrática fundamental puede ser calculada matricialmente por:

PLLUXPVV TTT += (93)

Según GEMAEL (1994, p. 120 y 121), después de determinada la varianza a posteriori, es

posible establecer la MVC de las variables aleatorias: aX (parámetros), aL (observaciones

ajustadas) y V (residuos).

• MVC de los parámetros ajustados (aX∑ ):

120ˆ −=∑ N

aX σ (94)

• MVC de las observaciones ajustadas (aL∑ ):

TXL AA

aa∑=∑ (95)

• MVC de los residuos ( V∑ )

( )1120ˆ −− −=∑ PAAN T

V σ (96)

- 72 -

2.4.5.5. Iteraciones.

Los modelos matemáticos más utilizados en Topografía y Geodesia no son lineales

(TRENTIN, 2006, p.75). El objetivo principal de un proceso iterativo es llegar a una única solución

o solución convergente, a partir de valores iniciales aproximados. Según GEMAEL (1994, p. 179),

en un proceso iterativo pueden ocurrir algunas situaciones como:

• Convergencia rápida o lenta.

• Oscilación en torno a un valor o punto.

• Divergencia en la solución.

Sin embargo, en la mayoría de los ajustes geodésicos es frecuente la convergencia con un

número pequeño de iteraciones. El proceso iterativo en el método paramétrico de ajuste posee las

siguientes etapas:

1° Etapa: 2° Etapa (1° iteración): Etapa i+1 (i-ésima iteración)

( )aa XFL = 01XXa =

01 i

ai XX =−

VLAX =+ 1111 VLXA =+ iiii VLXA =+

0XaX

FA

∂∂=

01

1

XaX

FA

∂∂=

01Xa

i X

FA

∂∂=

bLLL −= 0 ( ) bLXFL −= 011 ( ) bii LXFL −= 0

( )00 XFL = ( ) 11

1

111 PLAPAAX TT −−= ( ) iTii

Tii PLAPAAX

1−−=

( ) PLAPAAX TT 1−−= 1011 XXX a += ii

ai XXX += 0

XXX a += 0 un

PVVT

−= 112

1,0σ̂ un

PVV iT

ii −

=2,0σ̂

un

PVVT

−=2

0σ̂ ( ) 1

112

1,0ˆ1

−=∑ PAAT

Xaσ ( ) 12

,0ˆ−=∑ i

TiiXPAAa

iσ

( ) 120ˆ

−=∑ PAATXa

σ T

XLAA

aa11 11 ∑=∑

TiXiL

AA ai

ai

∑=∑

TXL AA

aa∑=∑ ( )1

11

112

1,0ˆ1

−− −=∑ PANA TV σ ( )112

,0ˆ −− −=∑ PANA TiiiiVi

σ

( )1120ˆ −− −=∑ PAAN T

V σ

- 73 -

2.4.5.6. Test de Chi-Cuadrado ( 2χ ).

Según GEMAEL (1994, p. 122), una manera de determinar la discrepancia entre 20σ y 20σ̂ ,

es aplicar un test de hipótesis basado en la distribución Chi-Cuadrado ( 2χ ). El propósito de este

test es determinar si el valor calculado para 20σ̂ es estadísticamente igual a 20σ , esto indicaría si

existe un balance entre el vector de residuos y las incertidumbres del mismo (FLORES, 2005, p.

74).

El procedimiento parte con el planteamiento de las hipótesis estadísticas (GEMAEL, 1994,

p. 123):

• Test de hipótesis básica: las varianzas a priori y a posteriori no difieren

estadísticamente en un nivel de significancia α .

20

200 ˆ: σσ =H (97)

• Test de hipótesis alternativa: las varianzas a priori y a posteriori difieren

estadísticamente en un nivel de significancia α .

20

201 ˆ: σσ ≠H (98)

Luego se compara el 2cχ (Chi-Cuadrado calculado):

20

20

202 ˆ

σσσχ PVV

ST

c == (99)

Donde:

unS −=

Con los valores teóricos 2tχ (Chi-Cuadrado teórico):

2

2,

αχSt

y 2

21,

−αχ

St (100)

Finalmente, la hipótesis básica no es rechazada, con un nivel de significancia α , si:

- 74 -

2

21,

22

2,

αα χχχ−

<<S

cS

(101)

2.4.5.7. Eliminación de errores groseros.

Para la identificación de errores groseros se debe proceder a un cuidadoso análisis del

ajuste, pudiendo existir un error en la MVC de las observaciones, faltas o errores sistemáticos no

eliminados o corregidos en el proceso de ajuste, el modelo matemático de ajuste no es consistente

con las observaciones, etc. (GEMAEL, 1994, p. 123).

De acuerdo con GEMAEL (1994, p. 304), el rechazo o eliminación de observaciones que

posean errores groseros, es determinado por un test basado en la distribución F de Snedecor:

• Test de hipótesis básica:

0H : La i-ésima observación posee un error grosero (102)

La hipótesis básica no es rechazada, con un nivel de significancia α , si:

ασ −∞> 1;,1Fv

iv

i (103)

Donde:

iv : Residuo.

ivσ : Desviación estándar del residuo.

2.4.6. Elipse de Error.

La elipse de error expresa la incertidumbre posicional de las coordenadas de un punto, con

relación a un sistema de referencia que posee un cierto nivel de confianza, además corresponde a la

representación gráfica de la precisión de las coordenadas (ALVES, 2008, p. 22). Para el análisis de

errores en el ajuste es necesario estudiar el comportamiento de los valores de las desviaciones

estándar máxima y mínima (ZEPEDA, 2004, p. 52).

- 75 -

El desarrollo de las ecuaciones que determinan las elipses de error, parte con la

determinación de la MVC de los valores ajustados, determinada por:

=∑

2

2

yxy

xyx

xy σσ

σσ (104)

Luego la MVC de los valores ajustados es relacionada al sistema de ejes cartesianos

mediante una matriz de rotación R(t):

=

tt

tttR

cos seno-

seno cos )( (105)

Donde las nuevas coordenadas son:

⋅=

y

xtR

y

x)(

'

' (106)

La MVC de (x’, y’) se calcula por ley de propagación:

Txyyx DD∑=∑ '' (107)

Donde:

)('

'

' '

tR

y

y

x

y

y

x

x

x

D =

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= (108)

Desarrollando los elementos de la matriz ''yx∑ :

tttt xyyxx seno cos2seno cos 22222' σσσσ ++= (109)

tttt xyyxy seno cos2cos seno 22222' σσσσ −+= (110)

- 76 -

( ) ( )tttt xyyxyx2222

'' senocos seno cos −+−−= σσσσ (111)

Derivando dos veces (109) respecto a t, para verificar los extremos de la función:

( ) ( ) ttdt

dxyyx

x 2 seno 42cos2 222

2'

2

σσσσ −−−= (112)

La primera derivada de (109) igualada a cero, entrega como resultado:

22

22tan

yx

xytσσ

σ−

= (113)

Donde las raíces t y t+90°, indican las direcciones ortogonales de los valores críticos, las

expresiones de los ángulos críticos son:

M

t xyσ22 seno = y

Mt yx

22

2 cosσσ −

= (114)

Donde:

( )22224 yxxyM σσσ −+= (115)

Introduciendo (114) en (112):

( ) ( )MMdt

d xyyxx

2222

2

2'

2 82 σσσσ −−

−= (116)

GEMAEL (1994, p. 229) concluye: “la función tiene un máximo para valores positivos de

M (segunda derivada negativa) y la función tiene un mínimo para valores negativos de M (segunda

derivada positiva)”.

Finalmente, las funciones que relacionan los valores máximos y mínimos son:

- 77 -

( )Myxx ++= 22' 5,0max σσσ (Semieje mayor de la elipse) (117)

( )Myxy −+= 22' 5,0max σσσ (Semieje menor de la elipse) (118)

El ángulo de rotación queda expresado por la función (113). Gráficamente se representa la

elipse de error por la figura 20.

Figura 20: Elipse de error.

Fuente: Ajuste Geodésico, René Zepeda.

- 78 -

CAPÍTULO 3

METODOLOGÍA

3.1. DETERMINACIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO.

El área de estudio está comprendida por 30 vértices geodésicos pertenecientes al Ministerio

de Bienes Nacionales de la República de Chile (ver figura 21), los cuales sirvieron de apoyo para el

levantamiento de su cartografía a diferentes escalas. Los 30 vértices geodésicos pertenecen a la VII

Región del Maule, fueron medidos y asociados a los SGR: PSAD-56, SAD-69 y SIRGAS, la fecha

de medición y de cálculo para SIRGAS corresponde a febrero de 2010. Para el caso de este estudio

se realizó el ajuste de vértices geodésicos entre los SGR: PSAD-56 y SIRGAS.

Figura 21: Distribución de vértices geodésicos, VII Región del Maule.

Fuente: Elaboración propia, a partir de datos proporcionados por el Ministerio de Bienes Nacionales y Google Earth

- 79 -

El área de estudio fue dividida en tres zonas (ver anexo II), las cuales corresponden a:

• Z1-2: Corresponde a la totalidad de los 30 vértices geodésicos, abarcando una extensión

aproximada norte-sur de 140 km y este-oeste de 120 km

• Z1: Corresponde a una subdivisión ubicada en la zona norte de la zona Z1-2, compuesta por

15 vértices geodésicos, abarcando una extensión aproximada norte-sur de 70 km y este-

oeste de 95 km

• Z2: Corresponde a una subdivisión ubicada en la zona sur de la zona Z1-2, compuesta por

15 vértices geodésicos, abarcando una extensión aproximada norte-sur de 70 km y este-

oeste de 100 km

- 80 -

3.2. DETERMINACIÓN DE TOLERANCIA RESIDUAL.

En el actual manejo digital de bases cartográficas se ha producido un cambio en el concepto

clásico de la escala como algo fijo y dependiente del papel, llegando a ser dinámica y multiescalar

(ZEPEDA et al.). Debido a esta razón, se hace necesario establecer precisiones residuales de los

ajustes paramétricos de bases cartográficas, las cuales corresponden a:

Categoría Precisión Residual Origen Aplicación

Métrica 5 m Instituto Geográfico

Militar Cartografía regular a escalas

1:25.000 a 1:250.000 Métrica-

Submétrica 0,5 a 2 m

Ministerio de Bienes Nacionales

Cartografía y planos rurales a escalas 1:25.000 a 1:10.000

Decimétrica < 0,5 m Ministerio de Bienes

Nacionales

Todos los planos urbanos y/o rurales a escalas mayores a

1:10.000 Tabla 5: Precisiones residuales.

Fuente: www.cartografia.cl; “Parámetros de Transformación Entre Sistemas de Referencia Geodésicos y Cartográficos”.

Con el propósito de cumplir con el objetivo de determinar el nivel de precisión en el ajuste

de vértices geodésicos asociados a bases cartográficas en escalas grandes, a partir de la referencia

establecida en la tabla 5, se establece como tolerancia en el ajuste de vértices geodésicos la

precisión decimétrica, estableciendo una modificación determinada por:

Precisión decimétrica < 0,5 m

Concluyéndose que la aplicación corresponde a bases cartográficas que poseen escalas

iguales o mayores a 1:10.000.

- 81 -

3.3. CONVERSIÓN DE COORDENADAS.

El modelo de Similaridad 3-D de Molodensky-Badekas, utiliza coordenadas

tridimensionales en las transformaciones, es por esta razón que las coordenadas de proyección UTM

de los distintos vértices geodésicos deben ser convertidas a coordenadas cartesianas

tridimensionales.

El proceso de conversión de coordenadas entre los SGR: PSAD-56 y SIRGAS comienza

con la conversión de coordenadas de proyección UTM ( UTME , UTMN ) a coordenadas TM

( TMx , TMy ), despejando las expresiones (13) y (14) obteniéndose:

( )0

UTMTM

000.500E

m

mx

−= (119)

( )0

UTMTM

000.000.10N

m

my

−= (120)

La conversión de coordenadas TM (TMx , TMy ) a coordenadas geodésicas (φ ,λ ), asociadas

al elipsoide Internacional de Hayford (ver tabla 1), está determinada por la expresión (5). La

conversión de coordenadas geodésicas (φ , λ ) a coordenadas cartesianas tridimensionales (x, y, z)

está determinada por la expresión (184).

Luego de aplicados los parámetros de transformación en el modelo de Molodensky-

Badekas, se debe realizar el proceso inverso, partiendo con la conversión de coordenadas

cartesianas tridimensionales (x, y, z) a coordenadas geodésicas (φ ,λ ), asociadas al elipsoide GRS-

80 (ver tabla 4), mediante la expresión (185). La conversión de coordenadas geodésicas (φ ,λ ) a

coordenadas TM (TMx , TMy ), está determinada por la expresión (1). La conversión de coordenadas

TM ( TMx , TMy ) a coordenadas UTM (UTME , UTMN ), está determinada por las expresiones (13) y

(14).

- 82 -

En el proceso de conversión de coordenadas se consideran las alturas correspondientes a los

dos SGR con un valor igual a cero, con el propósito de que las diferencias altimétricas no influyan

en la determinación de los parámetros de transformación y en las precisiones asociadas, en el

modelo de transformación Molodensky-Badekas.

- 83 -

3.4. DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS DE PROYECCIÓN CART OGRÁFICA.

La elección de los parámetros de la proyección cartográfica TM a utilizar, está en función

del nivel de utilización de los parámetros de la proyección cartográfica TM, donde la proyección

UTM (ver apartado 2.2.5.) corresponde a una de las proyecciones cartográficas utilizadas a nivel

mundial (FUENTES, 2006, p. 130), además es utilizada en plataformas globales como Google

Earth y Google Maps.

Debido a los dos aspectos citados anteriormente y considerando que alrededor de un 30%

de los vértices corresponde al huso UTM número 18, y además se exceden en menos de medio

grado sexagesimal respecto del límite del huso UTM número 19 (70% de vértices geodésicos

restantes), se realizó una extensión de del huso UTM número 19, con el objetivo de abarcar la

totalidad de vértices geodésicos.

3.4.1. Universal Transversal de Mercator (UTM).

Los parámetros de la proyección corresponden a:

• Huso: 19

• Meridiano central ( 0λ ): -69º (grados sexagesimales)

• Ancho del huso: 7º

• Distorsión de escala en el meridiano central (0m ): 0,9996

• UTME : 500.000 m

• UTMN : 10.000.000 m

- 84 -

3.5. ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN EN MODELOS

DE TRANSFORMACIÓN BIDIMENSIONAL Y DE SIMILARIDAD 3D .

3.5.1. Modelos Matemáticos de Ajuste.

El método paramétrico de mínimos cuadrados fue utilizado en el proceso de estimación de

parámetros de transformación de SGR, y los modelos matemáticos de ajuste corresponden a los

modelos de transformación bidimensional (Afín 2-D, Similaridad 2-D, Proyectiva 2-D y Polinomial

2-D) y de Similaridad 3D de Molodensky-Badekas.

Con el objetivo de simplificar la notación de las distintas expresiones correspondientes a los

modelos de transformación abordados en este estudio, las coordenadas planas ( )11, yx ,

corresponden a las coordenadas planas UTM transformadas a SIRGAS( )SIRGASSIRGAS yx , , y las

coordenadas planas ( )yx, corresponden a las coordenadas planas UTM pertenecientes PSAD-

56( )5656, −− PSADPSAD yx . Para el caso del modelo de transformación Molodensky-Badekas, las

coordenadas ( )111 ,, zyx corresponden a las coordenadas cartesianas tridimensionales transformadas

a SIRGAS( )SIRGASSIRGASSIRGAS zyx ,, , y las coordenadas ( )zyx ,, corresponden a las coordenadas

cartesianas tridimensionales pertenecientes a PSAD-56( )5656, −− PSADPSAD yx .

3.5.1.1. Modelo matemático de ajuste de transformación de Similaridad 2-D.

El modelo de ajuste bidimensional de Similaridad 2-D, establecido para un punto de

coordenadas planas (x, y), con centroide de coordenadas ( )mm yx , , está determinado por la

expresión (27).

La matriz A, correspondiente a las derivadas parciales respecto de los parámetros, está

determinada por la expresión (78). Su aplicación al modelo de transformación de Similaridad 2-D

corresponde a:

- 85 -

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

LLLL

1 0

0 1

A 11

11

θ

θy

k

y

x

k

x

(121)

Donde:

( ) ( ) θθ seno cos1mm yyxx

k

x−+−=

∂∂

( ) ( ) θθθ

cos seno1mm yykxxk

x−+−−=

∂∂

( ) ( ) θθ senocos1mm xxyy

k

y−−−=

∂∂

( ) ( ) θθθ

cos seno1mm xxkyyk

y−−−−=

∂∂

El vector de las correcciones de los parámetros (X), está determinado por la expresión:

=

Ty

Tx

θk

X (122)

El vector de las observaciones (L) corresponde a la diferencia entre los valores aproximados

( 0L ) y los valores observados (bL ), los cuales se relacionan en la expresión (81). Para el caso de

los modelos de transformación bidimensional, el vector que posee el subíndice 0, corresponde al

vector de las observaciones obtenidas de los parámetros aproximados ( 0X ), y el vector que posee el

subíndice SIRGAS, corresponde al vector de las observaciones que poseen como SGR SIRGAS:

- 86 -

b

SIRGASn

n

n

n

LL

y

x

y

x

y

x

y

x

L −=

−

= 0

1

1

0

1

1

MM (123)

3.5.1.2. Modelo matemático de ajuste de transformación Afín 2-D.

El modelo de ajuste bidimensional Afín 2-D, establecido para un punto de coordenadas

planas (x,y), con centroide de coordenadas ( )mm yx , , está determinado por la expresión (35).

La matriz A, correspondiente a las derivadas parciales respecto de los parámetros, para el

modelo de transformación Afín 2-D, está determinada por la expresión:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

LLLLLL

1 0 0 0

0 1 0 0

2

1

2

1

1

1

1

1

b

y

a

y

b

x

a

x

A (124)

Donde:

mxxa

y

a

x−=

∂∂

=∂∂

2

1

1

1

myyb

y

b

x−=

∂∂

=∂∂

2

1

1

1


- 87 -

=

2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a

X (125)

El vector de las observaciones (L) corresponde a la expresión (123).

3.5.1.3. Modelo matemático de ajuste de transformación Proyectiva 2-D.

El modelo de ajuste bidimensional Proyectivo 2-D, establecido para un punto de

coordenadas planas (x, y), con centroide de coordenadas ( )mm yx , , está determinado por la

expresión (44).


modelo de transformación Proyectiva 2-D, está determinada por la expresión:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

0 0 0

0 0 0

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

1

LLLLLLLL

a

y

a

y

a

y

a

y

a

y

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

A (126)

Donde:

( )

( ) ( ) 1541

1

+−+−−

=∂∂

mm

m

yyaxxa

xx

a

x

( )

( ) ( ) 1542

1

+−+−−

=∂∂

mm

m

yyaxxa

yy

a

x

( ) ( ) 1

1

543

1

+−+−=

∂∂

mm yyaxxaa

x

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]254

321

4

1

1+−+−+−+−−−

=∂∂

mm

mmm

yyaxxa

ayyaxxaxx

a

x

- 88 -

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]254

321

5

1

1+−+−+−+−−−

=∂∂

mm

mmm

yyaxxa

ayyaxxayy

a

x

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) 154

876

4

1

+−+−+−+−−−

=∂∂

mm

mmm

yyaxxa

ayyaxxaxx

a

y

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) 154

876

5

1

+−+−+−+−−−

=∂∂

mm

mmm

yyaxxa

ayyaxxayy

a

y

( )

( ) ( ) 1546

1

+−+−−

=∂∂

mm

m

yyaxxa

xx

a

y

( )

( ) ( ) 1547

1

+−+−−

=∂∂

mm

m

yyaxxa

yy

a

y

( ) ( ) 1

1

548

1

+−+−=

∂∂

mm yyaxxaa

y


=

8

7

6

5

4

3

2

1

a

a

a

a

a

a

a

a

X (127)


- 89 -

3.5.1.4. Modelo matemático de ajuste de transformación Polinomial 2-D.

El modelo matemático de ajuste bidimensional Polinomial 2-D, establecido para un punto

de coordenadas planas (x, y), con centroide de coordenadas ( )mm yx , , está determinado por la

expresión (45).


modelo de transformación Polinomial 2-D, está determinada por la expresión:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

1

87

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

1

LLLLLLLLLLLLLLLLLL

b

y

b

y

b

y

b

y

b

y

b

y

b

y

b

y

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

A (128)

Donde:

( )mxxb

y

a

x −=∂∂=

∂∂

1

1

1

1

( )2

2

1

2

1mxx

b

y

a

x −=∂∂=

∂∂

( )myyb

y

a

x −=∂∂=

∂∂

3

1

3

1

( )( )mm yyxxb

y

a

x −−=∂∂=

∂∂

4

1

4

1

( ) ( )mm yyxxb

y

a

x −−=∂∂=

∂∂ 2

5

1

5

1

( )2

6

1

6

1myy

b

y

a

x −=∂∂=

∂∂

( )( )2

7

1

7

1mm yyxx

b

y

a

x −−=∂∂=

∂∂

- 90 -

( ) ( )22

8

1

8

1mm yyxx

a

y

a

x −−=∂∂=

∂∂


=

8

1

0

8

1

0

b

b

b

a

a

a

X

M

M

(129)


3.5.1.5. Modelo Matemático de ajuste de de transformación de Similaridad 3-D

Molodensky-Badekas.

El modelo matemático de ajuste establecido para un punto de coordenadas tridimensionales

(x, y, z), con centroide de coordenadas ( )mmm zyx ,, , está determinado por la expresión (59).

El desarrollo matricial del modelo matemático de ajuste está determinado por las funciones:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 31

21

11

-k--ψ

---

-ψ--

fzzzyyxxzz

fyzzyykxxyy

fxzzyyxxkxx

mmmm

mmmm

mmmm

=++−+∆==+++−∆==+−++∆=

εεω

ω (130)


modelo de transformación de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas de 10 parámetros, está

determinada por la expresión:

- 91 -

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=∂∂

=∂∂

−=∂∂

=∂∂

=∆∂

∂=

∆∂∂

=∆∂

∂

=∂∂

−=∂∂

=∂∂

=∂∂

=∆∂

∂=

∆∂∂

=∆∂

∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

−=∂∂

=∆∂

∂=

∆∂∂

=∆∂

∂

=

mmm

mmm

mmm

zzk

zzyy

zxx

z

z

z

y

z

x

z

yyk

yxx

yzz

yy

z

y

y

y

x

y

xxk

xyy

xxzz

x

z

x

y

x

x

x

A

- 0 - -ψ

1 0 0

- - - 0ψ

0 1 0

- - 0 -ψ

0 0 1

1111111

1111111

1111111

ωε

ωε

ωε

(131)


∆∆∆

=

k

z

y

x

X

ψ

ωε

(132)

El vector de las observaciones (L) corresponde a la diferencia entre los valores aproximados

( 0L ) y los valores observados (bL ), los cuales se relacionan en la expresión (81). Para el caso del

modelo de transformación Molodensky-Badekas, el vector que posee el subíndice 0, corresponde al

vector de las observaciones obtenidas de los parámetros aproximados ( 0X ), y el vector que posee el

subíndice SIRGAS, corresponde al vector de las observaciones que poseen como SGR SIRGAS:

b

SIRGASn

n

n

n

n

n

LL

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

L −=

−

= 0

1

1

1

0

1

1

1

M

M

M

M (133)

- 92 -

3.5.2. Matriz de pesos.

Debido a que no se conocen las varianzas y covarianzas del sistema PSAD-56, se asumen

matrices escalares (todos los elementos de la diagonal principal son iguales) como matriz de peso en

el ajuste, por lo tanto, las varianzas de peso a priori ( 20σ ) tendrán valores diferidos para cada

modelo de transformación y zona (ver 4.4.). El asumir matrices escalares no influencia en las

soluciones del ajuste, ya que, las observaciones poseen igual probabilidad. El empleo de 20σ

diferidas y asociadas a las matrices escalares de pesos, permite la comparación estadística entre 20σ

y 20σ̂ , a través del test de Chi-Cuadrado (2χ ).

3.5.3. Ecuaciones normales.

Luego de determinados los modelos matemáticos de ajuste geodésico, es necesaria la

obtención de las ecuaciones normales para cada modelo de transformación, donde el vector X está

determinado por la ecuación (90).

3.5.4. Iteraciones.

Para el caso de ajuste de los modelos de transformación bidimensional y Molodensky-

Badekas, el proceso iterativo utilizado en el método paramétrico de ajuste corresponde a las

secuencias presentadas en el apartado 2.4.5.5.

- 93 -

3.6. DETERMINACIÓN DE MATRICES DE VARIANZA-COVARIAN ZA.

El cálculo de la varianza a posteriori ( 20σ̂ ), está determinado por la expresión (92), para el

caso de los distintos modelos de ajuste.

3.6.1. MVC en modelo de transformación de Similaridad 2-D.

La determinación de las MVC corresponde a las expresiones:


==∑ −

2,,,

,2

,,

,,2

,

,,,2

120

ˆ

TyTxTyTykTy

TyTxTxTxkTx

TyTxk

TykTxkkk

X Na

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σ

θ

θ

θθθθ

θ

(134)

• MVC de las observaciones ajustadas (aL∑ ):

=∑=∑

2,

,2

2,

,2

111

111

nnn

nnn

aa

yxy

yxx

yxy

yxx

TXL AA

σσ

σσ

σσ

σσ

LMM

LMM

MMOMM

LLL

LLL

(135)

• MVC de los residuos ( V∑ ):

( )

=−=∑ −−

2,

,2

2,

,2

1120

ˆ111

111

nynxny

nynxnx

yxy

yxx

vvv

vvv

vvv

vvv

TV IAAN

σσ

σσ

σσ

σσ

σ

LMM

LMM

MMOMM

LLL

LLL

(136)

- 94 -

3.6.2. MVC en modelo de transformación Afín 2-D.



==∑ −

2,c,c,c,c,c

,c2

,c,c,c,c

,b,b2

,b,b,b

,b,b,b2

,b,b

,a,a,a,a2

,a

,a,a,a,a,a2

120

21222122212

21121112111

22122122212

21112112111

22122212212

21112111211

ˆ

ccbbaa

ccbbaa

ccbbaa

ccbbaa

ccbbaa

ccbbaa

X Na

σσσσσσ

σσσσσσ

σσσσσσ

σσσσσσ

σσσσσσ

σσσσσσ

σ (137)

• MVC de las observaciones ajustadas (aL∑ ), posee una estructura similar a la expresión

(135).

• MVC de los residuos ( V∑ ), posee una estructura similar a la expresión (136).

3.6.3. MVC en modelo de transformación Proyectiva 2-D.



==∑ −

2,,,,,,,

,2

,,,,,,

,,2

,,,,,

,,,2

,,,,

,,,,2

,,,

,,,,,2

,,

,,,,,,2

,

,,,,,,,2

120

878685848382818

877675747372717

867665646362616

857565545352515

847464544342414

837363534332313

827262524232212

817161514131211

ˆ

aaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

X Na

σσσσσσσσ

σσσσσσσσ

σσσσσσσσ

σσσσσσσσ

σσσσσσσσ

σσσσσσσσ

σσσσσσσσ

σσσσσσσσ

σ (138)

- 95 -


(135).


3.6.4. MVC en modelo de transformación Polinomial 2-D.



==∑ −

2

2,,

,2

,

,,2

2,

,2

120

8

10181

10080

18088

110

100

ˆ

b

bbbab

bbbab

babaa

aaa

aaa

X Na

σ

σσσ

σσσ

σσσ

σσ

σσ

σ

LLLLLMM

MOMMMLMM

LLLMM

LLLMM

LLLMM

MMMMMOMM

LLLLLL

LLLLLL

(139)


(135).


3.6.5. MVC en el modelo de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas.



- 96 -

==∑

∆∆∆

∆∆∆

∆∆∆

∆∆∆

∆∆∆∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆∆∆∆

−

2,,,,,,

,2

,,,,,

,,2

,,,,

,,,2

,,,

,,,,2

,,

,,,,,2

,

,,,,,,2

120

ˆ

kkkkzkykxk

kzyx

kzyx

kzyx

zzzzzyzxz

yyyyzyyxy

kxxxxzxyxx

X Na

σσσσσσσ

σσσσσσσ

σσσσσσσ

σσσσσσσ

σσσσσσσ

σσσσσσσ

σσσσσσσ

σ

ωεψ

ωωεωψωωωω

εωεεψεεεε

ψωψεψψψψψ

ψψεψ

ψψεψ

ωεψ

(140)

• MVC de las observaciones ajustadas ( zyx ∑ ):

=∑=∑=∑

2,,

,2

,

,,2

2,,

,2

,

,,2

11111

11111

11111

nnnnn

nnnnn

nnnnn

aa

zyzxz

zyyxy

zxyxx

zyzxz

zyyxy

zxyxx

TXLzyx AA

σσσ

σσσ

σσσ

σσσ

σσσ

σσσ

LMMM

LMMM

LMMM

MMMOMMM

LLLL

LLLL

LLLL

(141)

• MVC de los residuos ( V∑ ):

( )

=−=∑ −−

2,,

,2

,

,,2

2,,

,2

,

,,2

1120

ˆ11111

11111

11111

nznynznxnz

nznynynxny

nznxnynxnx

zyzxz

zyyxy

zxyxx

vvvvv

vvvvv

vvvvv

vvvvv

vvvvv

vvvvv

TV IAAN

σσσ

σσσ

σσσ

σσσ

σσσ

σσσ

σ

LMMM

LMMM

LMMM

MMMOMMM

LLLL

LLLL

LLLL

(142)

- 97 -

3.7. TEST DE CHI-CUADRADO ( 2χ ).

Con el propósito de analizar si 20σ es estadísticamente igual a 20σ̂ , se recurre al test de Chi-

Cuadrado ( 2χ ), revisado en la sección 2.4.5.6.

El planteamiento de hipótesis estadísticas es igual para todos los modelos de ajuste:

• Test de hipótesis básica: las varianzas a priori y a posteriori no difieren

estadísticamente en un nivel de significancia α =5%.

20

200 ˆ: σσ =H (143)

• Test de hipótesis alternativa: las varianzas a priori y a posteriori difieren

estadísticamente en un nivel de significancia α =5%.

20

201 ˆ: σσ ≠H (144)

Planteadas las hipótesis estadísticas, se compara el 2cχ (Chi-Cuadrado calculado):

20

20

202 ˆ

σσσχ PVV

ST

c == (145)

Siendo:

unS −⋅= 2 (Modelos de ajuste bidimensional)

unS −⋅= 3 (Modelo de ajuste tridimensional)

n : Número de observaciones.

u : Número de parámetros de ajuste.

Finalmente, la hipótesis básica no es rechazada, con un nivel de significancia α =5%, si:

( ) ( )2

975,0,22

025,0, StcSt χχχ << (146)

- 98 -

3.8. ELIMINACIÓN DE ERRORES GROSEROS.

La identificación de errores groseros en las observaciones se realiza mediante un test basado

en la distribución F de Snedecor (ver 2.4.5.7.).

El planteamiento de la hipótesis estadística es igual para todos los modelos de ajuste:

• Test de hipótesis básica:

0H : La i-ésima observación posee un error grosero (147)

La hipótesis básica no es rechazada, con un nivel de significanciaα =5%, si:

96,1>iv

iv

σ (148)

Donde:

iv : Residuo.

ivσ : Desviación estándar del residuo.

96,184,395,0;,1 ==∞F

- 99 -

3.9. PROPAGACIÓN DE COVARIANZAS.

Con el objetivo de hacer comparativos los modelos de transformación bidimensional y

tridimensional, es necesario realizar una propagación de las covarianzas determinadas en un sistema

de coordenadas tridimensional, luego a un sistema de coordenadas geodésicas y finalmente a un

sistema de proyección plano UTM.

3.9.1. Propagación de Covarianzas a las Coordenadas Geodésicas.

Determinada la MVC de las observaciones ajustadas ( )zyx ∑ , puede ser propagada a las

coordenadas geodésicas (ϕ ,λ ), con el fin de analizar las precisiones en el nuevo sistema de

coordenadas, a través de la MVC de las coordenadas geodésicas ( )ϕλ∑ .

Por ley de propagación de covarianzas (ver 2.4.4.), el modelo de propagación para un caso

no lineal corresponde a:

TUU zyx ∑∑ =ϕλ (149)

Donde:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

zyx

zyxU

λλλ

ϕϕϕ

(150)

Y las derivadas parciales:

∂∂−

∂∂

+=

∂∂

xxx

ηξξηηϕ

ϕ22

1tan11

∂∂−

∂∂

+=

∂∂

yyy

ηξξηηϕ

ϕ22

1tan11

(151)

∂∂−

∂∂

+=

∂∂

zzx

ηξξηηϕ

ϕ22

1tan11

- 100 -

xbe

x ∂∂=

∂∂ ϑϑϑξ

cos seno'3 22

ybe

y ∂∂=

∂∂ ϑϑϑξ

cos seno'3 22 (152)

zbe

z ∂∂+=

∂∂ ϑϑϑξ

cos seno'31 22

xae

d

x

x ∂∂+=

∂∂ ϑϑϑη

seno cos'3 22

yae

d

x

y ∂∂+=

∂∂ ϑϑϑη

seno cos'3 22 (153)

zae

z ∂∂=

∂∂ ϑϑϑη

seno cos'3 22

+

−=∂∂

122

223

db

zabd

axz

x

ϑ

+

−=∂∂

122

223

db

zabd

ayz

y

ϑ (154)

+

−=∂∂

122

22

db

zabd

a

z

ϑ

- 101 -

3.9.2. Propagación de Covarianzas a las Coordenadas Planas UTM.

Determinada la MVC de las coordenadas geodésicas ( )ϕλ∑ , puede ser propagada a las

coordenadas planas TM (TMx , TMy ), con el fin de analizar las precisiones en el nuevo sistema de

coordenadas, a través de la MVC de las coordenadas planas TM ( )TMTM yx∑ y finalmente la

obtención de la MVC de las coordenadas planas UTM ( )UTMUTM yx∑ .

Por ley de propagación de covarianzas, el modelo de propagación para un caso no lineal

corresponde a:

Tyx VV ϕλ∑∑ =

TMTM (155)

Donde:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

λϕ

λϕyx

yx

V

(156)

Las derivadas parciales se calcularon a partir de una simplificación de las fórmulas de

conversión de coordenadas geodésicas a coordenadas planas TM (ver 2.2.1.).

331 λϕ

λϕϕ

∆∂∂

+∆∂∂

=∂∂ aax

(157)

4422 λϕ

λϕϕϕ

∆∂∂

+∆∂∂

+∂∂=

∂∂ aaBy

(158)

45

231 53 λλ

λ∆+∆+=

∂∂

aaax

(159)

56

342 642 λλλ

λ∆+∆+∆=

∂∂

aaay

(160)

- 102 -

Donde:

( )( ) 2/322

2

1

1

φϕ sene

eaM

B

−−==

∂∂

( )[ ]1seno2seno

cossenosenoseno12244

2232221

+−−+−=

∂∂

ϕϕϕϕϕϕ

φ ee

aaeaeea

( )2seno2seno1

cossenoseno2222

22422

−−+−−=

∂∂

ϕϕϕϕϕ

φ ee

aaaea

( ) ( )[ ]( )6seno6seno1

6coscos3cossenocos6cos5seno2222

2242642224433

−−++−−+−+−=

∂∂

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

φ ee

aaaeaeaeaeaeaea

( )( )

( )1seno2seno24

6cos9cos4

cos18cos45cos28seno

cos18cos45cos28seno

seno1

2244

6284

2244662

22244664

22

4

+−

++

++++−+−++

−

−=∂∂

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕ

φ ee

aaeae

aaeaeae

aeaeaeae

e

a

La determinación de la propagación de covarianzas a las coordenadas planas UTM

( UTMx , UTMy ), está determinada por la influencia generada por la distorsión de escala en el

meridiano central ( 0m ), la cual corresponde a una constante que afecta las coordenadas planas TM

( TMx , TMy ).

Finalmente, la expresión para la propagación de covarianzas a las coordenadas planas UTM

es:

= ∑⋅∑⋅=∑ TVVmm yxyx ϕλ00 TMTMUTMUTM

(161)

- 103 -

3.10. ESTIMACIÓN DE ELIPSES DE ERROR.

Con el objetivo de analizar las desviaciones estándar máximas, mínimas y su relación en un

eje cartesiano mediante una matriz de rotación, se establece la estimación de las elipses de error, en

cada uno de los vértices geodésicos ajustados por los distintos modelos de transformación.

3.10.1. Estimación de Elipses de Error en Coordenadas Planas UTM.

La estimación de las elipses de error de las coordenadas planas UTM, de cada vértice

geodésico ajustado, por cada uno de los modelos de transformación bidimensional y tridimensional,

es realizada a través de las fórmulas:

=∑

2,

,2

2,

,2

111

111

UTMUTM

nnn

nnn

yxy

yxx

yxy

yxx

yx

σσ

σσ

σσ

σσ

LMM

LMM

MMOMM

LLL

LLL

(162)

( )Mann yx ++== 225,0max σσσ (163)

( )Mbnn yx −+== 225,0min σσσ (164)

2

2arctan

22

,

−= nn

nn

yx

yx

tσσ

σ

(165)

Donde:

( ) ( )2222,4

nnnn yxyxM σσσ −+=

a : Semieje mayor de la elipse.

b : Semieje menor de la elipse.

- 104 -

3.11. DETERMINACIÓN DE LOS RESIDUOS DE LAS OBSERVACIONES.

La estimación de los residuos de las observaciones, para todos los modelos de ajuste, está

determinada por el vector de residuos que corresponde a la expresión (82).

3.12. DETERMINACIÓN DE LA VARIACIÓN DE DISTORSIÓN D E ESCALA Y

CONVERGENCIA MERIDIANA.

Con el objetivo de analizar las implicancias generadas en el proceso de transformación de

bases cartográficas, se establece la determinación de las variaciones de distorsión de escala y

convergencia meridiana, las cuales corresponden a las siguientes magnitudes:

• Magnitud de variación de distorsión de escala (m∆ ): corresponde a la diferencia de

distorsión de escala entre un punto transformado y asociado al sistema SIRGAS

( SIRGASm ), y la distorsión de escala asociada al mismo punto correspondiente al sistema

PSAD-56 ( 56−PSADm ). La determinación de esta magnitud es realizada mediante las

expresiones (8) y (166).

56−−=∆ PSADSIRGAS mmm (166)

• Magnitud de variación de convergencia meridiana (C∆ ): corresponde a la diferencia

de convergencia meridiana entre un punto transformado y asociado al sistema SIRGAS

( SIRGASC ), y la convergencia meridiana asociada al mismo punto correspondiente al

sistema PSAD-56 ( 56−PSADC ). La determinación de esta magnitud es realizada mediante

las expresiones (10) y (167).

56−−=∆ PSADSIRGAS CCC (167)

Para cuantificar y analizar las magnitudes m∆ y C∆ , son realizadas pruebas de simulación

de cambio de SGR desde PSAD-56 a SIRGAS, para puntos dispersos homogéneamente en el área

- 105 -

de estudio. El modelo de transformación utilizado para las pruebas de simulación corresponde al

modelo de transformación de Similaridad 3-D Molodensky-Badekas.

3.13. DETERMINACIÓN DE LOS RESIDUOS DE LOS PUNTOS DE CONTROL.

Con el propósito de validar los modelos de transformación dentro del área de estudio, se

establece la determinación de los residuos de los puntos de control. Tales residuos corresponden a

la diferencia existente entre los puntos de control pertenecientes al SGR SIRGAS y los puntos de

control pertenecientes al SGR PSAD-56, los cuales son transformados a través de los parámetros de

transformación previamente determinados.

- 106 -

CAPÍTULO 4

RESULTADOS

Para efectos de presentación de resultados, en algunos casos se muestran los indicadores de

precisión, los cuales están en función de su desviación estándar de precisión unitaria, la cual se

desprende de la Distribución Normal Estandarizada, que posee un promedio 0=µ y además

establece la relación: 12 == σσ . Según lo planteado, σ corresponde a la probabilidad de error de

un 68,27 % y σ2 corresponde a la probabilidad de error de un 95,45 %.

En la presentación de resultados las zonas Z1-2 (2) y Z2 (2), corresponden a zonas donde se

tuvo que recalcular los modelos de ajuste, debido a la eliminación de observaciones que poseían

errores groseros (ver 4.5.).

4.1. PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN.

La estimación de los parámetros de transformación y sus respectivas precisiones (σ ),

fueron obtenidas a través de la metodología planteada en los apartados 3.5. y 3.6., para las distintas

zonas y modelos de transformación.

- 107 -

MODELO DE TRANSFORMACIÓN DE SIMILARIDAD 2-D

Z1-2 Z1 Z2

PARÁMETRO VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ

k 1,000003491 0,000001049 0,000002098 1,000002178 0,000002075 0,000004150 1,000005887 0,000000930 0,000001859

θ 0,000000900 0,000001049 0,000002098 0,000009653 0,000002075 0,000004150 0,000000219 0,000000930 0,000001859

Tx -183,174 0,061 0,122 -183,249 0,085 0,170 -183,103 0,036 0,072

Ty -373,597 0,061 0,122 -373,438 0,085 0,170 -373,724 0,036 0,072

CENTROIDE - - - - - - - - -

mx 246234,036 - - 256945,730 - - 236160,712 - -

my 6058257,793 - - 6095713,773 - - 6020121,416 - - Tabla 6: Parámetros de transformación modelo de Similaridad 2-D.

MODELO DE TRANSFORMACIÓN AFÍN 2-D

Z1-2 Z1 Z2


1a 1,000002266 0,000001375 0,000002751 1,000000947 0,000001864 0,000003728 1,000003856 0,000000572 0,000001145

2a -0,000007679 0,000001375 0,000002751 -0,000013906 0,000001864 0,000003728 -0,000000769 0,000000572 0,000001145

1b -0,000002464 0,000001050 0,000002101 -0,000002075 0,000003054 0,000006108 -0,000000564 0,000001110 0,000002219

2b 1,000005868 0,000001050 0,000002101 1,000003513 0,000003054 0,000006108 1,000013695 0,000001110 0,000002219

1c -183,187 0,048 0,096 -183,261 0,065 0,130 -183,098 0,022 0,043

2c -373,554 0,048 0,096 -373,427 0,065 0,130 -373,651 0,022 0,043

CENTROIDE - - - - - - - - -

mx 246234,036 - - 256945,730 - - 236160,712 - -

my 6058257,793 - - 6095713,773 - - 6020121,416 - - Tabla 7: Parámetros de transformación modelo Afín 2-D.

- 108 -

MODELO DE TRANSFORMACIÓN PROYECTIVA 2-D

Z1-2 Z1 Z2


1a 1,000002653 0,000001040 0,000002080 1,000000647 0,000001903 0,000003805 1,000004092 0,000000590 0,000001181

2a -0,000002341 0,000000788 0,000001576 -0,000003233 0,000003157 0,000006313 -0,000000156 0,000001111 0,000002221

3a -183,032 0,043 0,086 -183,162 0,095 0,189 -183,055 0,029 0,058

4a 1,21E-10 2,05E-11 4,10E-11 8,25E-11 5,66E-11 1,13E-10 3,65E-11 1,74E-11 3,48E-11

5a 1,42E-11 1,84E-11 3,68E-11 1,25E-11 7,27E-11 1,45E-10 -9,11E-12 3,27E-11 6,54E-11

6a -0,000008380 0,000001038 0,000002076 -0,000014460 0,000001888 0,000003775 -0,000000969 0,000000572 0,000001144

7a 1,000006031 0,000000797 0,000001594 1,000003602 0,000003186 0,000006372 1,000013428 0,000001081 0,000002161

8a -373,481 0,052 0,103 -373,425 0,072 0,144 -373,656 0,024 0,047

CENTROIDE - - - - - - - - -

mx 246234,036 - - 256945,730 - - 236160,712 - -

my 6058257,793 - - 6095713,773 - - 6020121,416 - - Tabla 8: Parámetros de transformación modelo Proyectivo 2-D.

- 109 -

MODELO DE TRANSFORMACIÓN POLINOMIAL 2-D

Z1-2 Z1 Z2


0a -183,067 0,073 0,146 -183,298 0,005 0,010 -182,973 0,002 0,003

1a 1,000003354 0,000001301 0,000002601 0,999998821 0,000000102 0,000000205 1,000004337 0,000000056 0,000000113

2a -8,17E-11 4,83E-11 9,66E-11 3,02E-11 7,49E-12 1,50E-11 -8,63E-11 1,56E-12 3,13E-12

3a -0,000002587 0,000000686 0,000001373 -0,000008711 0,000000513 0,000001025 0,000004529 0,000000149 0,000000298

4a -3,38E-11 2,04E-11 4,08E-11 6,11E-11 7,19E-12 1,44E-11 1,14E-10 3,97E-12 7,95E-12

5a 2,91E-16 5,05E-16 1,01E-15 2,06E-15 4,84E-16 9,68E-16 -2,85E-15 1,94E-16 3,88E-16

6a -2,89E-11 2,33E-11 4,67E-11 2,68E-10 1,51E-11 3,02E-11 -4,03E-12 8,67E-12 1,73E-11

7a -6,24E-16 6,22E-16 1,24E-15 2,31E-15 2,26E-16 4,53E-16 4,95E-15 2,86E-16 5,72E-16

8a 2,24E-20 1,74E-20 3,48E-20 -1,64E-19 1,08E-20 2,16E-20 4,23E-20 1,93E-20 3,86E-20

0b -373,631 0,073 0,146 -373,943 0,005 0,010 -373,688 0,002 0,003

1b -0,000009963 0,000001301 0,000002601 -0,000022466 0,000000102 0,000000205 -0,000001144 0,000000056 0,000000113

2b 1,02E-10 4,83E-11 9,66E-11 4,47E-10 7,49E-12 1,50E-11 2,75E-11 1,56E-12 3,13E-12

3b 1,000005088 0,000000686 0,000001373 0,999985572 0,000000513 0,000001025 1,000013362 0,000000149 0,000000298

4b -2,55E-10 2,04E-11 4,08E-11 3,41E-10 7,19E-12 1,44E-11 -5,40E-11 3,97E-12 7,95E-12

5b 1,22E-15 5,05E-16 1,01E-15 2,74E-15 4,84E-16 9,68E-16 -1,32E-15 1,94E-16 3,88E-16

6b -1,27E-11 2,33E-11 4,67E-11 1,04E-09 1,51E-11 3,02E-11 -7,36E-11 8,67E-12 1,73E-11

7b -2,30E-17 6,22E-16 1,24E-15 1,27E-14 2,26E-16 4,53E-16 1,55E-15 2,86E-16 5,72E-16

8b 3,08E-20 1,74E-20 3,48E-20 -7,24E-19 1,08E-20 2,16E-20 1,13E-19 1,93E-20 3,86E-20

CENTROIDE - - - - - - - - -

mx 246234,036 - - 256945,730 - - 236160,712 - -

my 6058257,793 - - 6095713,773 - - 6020121,416 - - Tabla 9: Parámetros de transformación modelo Polinomial 2-D.

- 110 -

MODELO DE TRANSFORMACIÓN MOLODENSKY-BADEKAS

Z1-2 Z1 Z2


x∆ -346,185 0,050 0,099 -345,414 0,070 0,140 -346,953 0,030 0,059

y∆ 391,358 0,050 0,100 389,076 0,070 0,140 393,635 0,031 0,063

z∆ -292,321 0,050 0,099 -293,932 0,070 0,140 -290,656 0,030 0,061 ψ -0,000041894 0,000001028 0,000002057 -0,000048474 0,000002073 0,000004147 -0,000041575 0,000000912 0,000001824

ε -0,000057543 0,000001162 0,000002324 -0,000055313 0,000003140 0,000006281 -0,000057793 0,000001612 0,000003223

ω 0,000024230 0,000001267 0,000002534 0,000019217 0,000001923 0,000003847 0,000024518 0,000000828 0,000001655

k 1,000002300 0,000000854 0,000001707 1,000001027 0,000001713 0,000003426 1,000004643 0,000000764 0,000001528

CENTROIDE - - - - - - - - -

mx 1621831,842 - - 1639725,018 - - 1604331,264 - -

my -4933041,594 - - -4949798,072 - - -4915524,901 - -

mz -3691013,091 - - -3660753,437 - - -3721695,693 - - Tabla 10: Parámetros de transformación modelo Molodensky-Badekas 3-D.

- 111 -

Los parámetros de transformación de los modelos de ajuste recalculados corresponden a:

MODELO DE TRANSFORMACIÓN DE SIMILARIDAD 2-D

Z1-2 (2) Z1 (2)

PARÁMETRO VALOR σ 2σ VALOR σ 2σ

k 1,000000886 0,000000641 0,000001282 1,000000939 0,000001921 0,000003841

θ -0,000001324 0,000000641 0,000001282 0,000005847 0,000001921 0,000003841

Tx -183,160 0,039 0,077 -183,243 0,076 0,152

Ty -373,827 0,039 0,077 -373,579 0,076 0,152

CENTROIDE - - - - - -

mx 246234,036 - - 256945,730 - -

my 6058257,793 - - 6095713,773 - - Tabla 11: Parámetros de transformación modelo de Similaridad 2-D (recalculado).

MODELO DE TRANSFORMACIÓN AFÍN 2-D

Z1-2 (2)

PARÁMETRO VALOR σ 2σ

1a 1,000002707 0,000001244 0,000002488

2a -0,000004930 0,000001244 0,000002488

1b -0,000002803 0,000000951 0,000001902

2b 1,000003755 0,000000951 0,000001902

1c -183,201 0,043 0,086

2c -373,642 0,043 0,086

CENTROIDE - - -

mx 246234,036 - -

my 6058257,793 - - Tabla 12: Parámetros de transformación modelo Afín 2-D (recalculado).

- 112 -

MODELO DE TRANSFORMACIÓN MOLODENSKY-BADEKAS

Z1-2 (2) Z1 (2)

PARÁMETRO VALOR σ 2σ VALOR Σ 2σ

Tx -346,220 0,032 0,064 -345,437 0,063 0,127

Ty 391,486 0,035 0,069 389,152 0,064 0,128

Tz -292,507 0,033 0,067 -294,046 0,064 0,127 ψ -0,000040192 0,000000639 0,000001279 -0,000045515 0,000001828 0,000003656

ε -0,000058131 0,000000848 0,000001696 -0,000056307 0,000002686 0,000005372

ω 0,000025491 0,000000895 0,000001791 0,000021363 0,000001846 0,000003693

k 0,999999729 0,000000526 0,000001052 0,999999812 0,000001595 0,000003190

CENTROIDE - - - - - -

mx 1621831,842 - - 1639725,018 - -

my -4933041,594 - - -4949798,072 - -

mz -3691013,091 - - -3660753,437 - - Tabla 13: Parámetros de transformación modelo Molodensky-Badekas 3-D (recalculado).

- 113 -

4.2. ELIPSES DE ERROR.

El análisis de las precisiones de los vértices geodésicos transformados, está determinado por las elipses de error, las cuales fueron

obtenidas a través de la metodología planteada en el apartado 3.10.1., para las distintas zonas y modelos de transformación.

Los modelos de transformación de Similaridad 2-D, Afín 2-D, Polinomial 2-D y Molodensky-Badekas; presentan los mismos valores en

los semiejes de las elipses de error correspondientes, por cual no influye el ángulo de rotación de las elipses de error. Se presentan los resultados de

los modelos de transformación antes citados en un mismo gráfico, apartando el modelo de transformación Proyectiva 2-D, el cual posee distintos

valores en los semiejes de las elipses de error correspondientes, por lo cual el ángulo de rotación de las elipses de error sí influye en su orientación.

2σ MAX-MIN Z1-2

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

BOT1

BRU1CDA1

CDA2

CHQ1CHQ2EM

P1

GUA1

GUA2

HUE1

HUE2

VIL1

VIL2

VPR1

VPR2CDM1CDM2

EMP2

ETR1POC1

TLQ1

TLQ2

UNI1

UNI2VAN1

VAN2

VLL1

VLL2

VSA1

VSA2

vértice

met

ros

SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS

Gráfico 1: 2σ máximo y mínimo, zona Z1-2.

- 114 -

2σ MAX Y 2σ MIN EN MODELO DE TRANSFORMACIÓN PROYECTIVA 2-D, Z1 -2

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

BOT1

BRU1CDA1

CDA2

CHQ1

CHQ2EM

P1GUA1

GUA2

HUE1

HUE2

VIL1

VIL2

VPR1

VPR2CDM1CDM2

EMP2

ETR1POC1

TLQ1

TLQ2

UNI1

UNI2VAN1

VAN2

VLL1

VLL2

VSA1

VSA2

vértice

met

ros

2σ max 2σ min

Gráfico 2: 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1-2.

ÁNGULO DE ROTACIÓN (t) ELIPSES DE ERROR MODELO DE T RANFORMACIÓN PROYECTIVA 2-D, Z1-2

-50,000

-30,000

-10,000

10,000

30,000

50,000

BOT1BRU1CDA1

CDA2CHQ1CHQ2EM

P1GUA1GUA2

HUE1HUE2

VIL1

VIL2

VPR1VPR2CDM1CDM2

EMP2

ETR1POC1TLQ

1

TLQ2

UNI1

UNI2VAN1VAN2

VLL1

VLL2

VSA1VSA2

vértice

grad

os s

exag

esim

ales

t

Gráfico 3: Ángulo de rotación (t), modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1-2.

- 115 -

2σ MAX-MIN Z1

0,0000,0500,1000,1500,2000,2500,3000,3500,400

BOT1

BRU1

CDA1

CDA2

CHQ1

CHQ2

EMP1

GUA1

GUA2

HUE1

HUE2

VIL1

VIL2

VPR1

VPR2

vértice

met

ros


Gráfico 4: 2σ máximo y mínimo, zona Z1.

2σ MAX Y 2σ MIN EN MODELO DE TRANSFORMACIÓN PROYECTIVA 2-D, Z1

0,1000,1500,2000,2500,3000,3500,4000,4500,500

BOT1

BRU1

CDA1

CDA2

CHQ1

CHQ2

EMP1

GUA1

GUA2

HUE1

HUE2

VIL1

VIL2

VPR1

VPR2

vértice

met

ros

2σ max 2σ min

Gráfico 5: 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1.

- 116 -

ÁNGULO DE ROTACIÓN (t) ELIPSES DE ERROR MODELO DE T RANFORMACIÓN PROYECTIVA 2-D, Z1

-50,000

-30,000

-10,000

10,000

30,000

50,000

BOT1

BRU1

CDA1

CDA2

CHQ1

CHQ2

EMP1

GUA1

GUA2

HUE1

HUE2

VIL1

VIL2

VPR1

VPR2

vértice

grad

os s

exag

esim

ales

t (°)

Gráfico 6: Ángulo de rotación (t), modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z1.

2σ MAX-MIN Z2

0,000

0,050

0,100

0,150

CDM1

CDM2

EMP2

ETR1

POC1

TLQ1

TLQ2

UNI1

UNI2

VAN1

VAN2

VLL1

VLL2

VSA1

VSA2

vértice

met

ros


Gráfico 7: 2σ máximo y mínimo, zona Z2.

- 117 -

2σ MAX Y 2σ MIN EN MODELO DE TRANSFORMACIÓN PROYECTIVA 2-D, Z2

0,000

0,050

0,100

0,150

CDM1

CDM2

EMP2

ETR1

POC1

TLQ1

TLQ2

UNI1

UNI2

VAN1

VAN2

VLL1

VLL2

VSA1

VSA2

vértice

met

ros

2σ max 2σ min

Gráfico 8: 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z2.

ÁNGULO DE ROTACIÓN (t) ELIPSES DE ERROR MODELO DE T RANFORMACIÓN PROYECTIVA 2-D, Z2

-50,000

-30,000

-10,000

10,000

30,000

50,000

CDM1

CDM2

EMP2

ETR1

POC1

TLQ1

TLQ2

UNI1

UNI2

VAN1

VAN2

VLL1

VLL2

VSA1

VSA2

vértice

grad

os s

exag

esim

ales

t (°)

Gráfico 9: Ángulo de rotación (t), modelo de transformación Proyectiva 2-D, zona Z2.

- 118 -

Los resultados correspondientes a los modelos de transformación recalculados son:

2σ MAX-MIN EN MODELO DE TRANSFORMACIÓN AFÍN 2-D, Z1-2 (2)

0,100

0,125

0,150

0,175

0,200

BOT1

BRU1

CDA1

CDA2

EMP1

GUA1

GUA2

HUE1

HUE2

VIL1

VIL2

VPR1

VPR2CDM1

CDM2

EMP2

ETR1

POC1

TLQ1

TLQ2

UNI1

UNI2

VAN1

VAN2

VLL1

VLL2

VSA1

VSA2

vértice

met

ros

AFÍN 2-D

Gráfico 10: 2σ máximo y mínimo, modelo de transformación Afín 2-D, zona Z1-2 (2).

2σ MAX-MIN Z1-2 (2)

0,000

0,050

0,100

0,150

BOT1

BRU1

CDA1

CDA2

HUE1

HUE2

VIL1

VIL2

VPR1

VPR2

CDM1

CDM2

ETR1

POC1

TLQ1

TLQ2

UNI1

UNI2

VAN1

VAN2

VLL1

VLL2

VSA1

VSA2

vértice

met

ros

SIMILARIDAD 2-D MOLODENSKY-BADEKAS

Gráfico 11: 2σ máximo y mínimo, modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas , zona Z1-2 (2).

- 119 -

2σ MAX-MIN Z1 (2)

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,350

BOT1

BRU1

CDA1

CDA2

EMP1

GUA1

GUA2

HUE1

HUE2

VIL1

VIL2

VPR1

VPR2

vértice

met

ros


Gráfico 12: 2σ máximo y mínimo, modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas , zona Z1 (2).

- 120 -

4.3. RESIDUOS DE LAS OBSERVACIONES.

La validación de los modelos de transformación abordados, está determinada por el vector de residuos, el cual es presentado mediante la

diferencia entre las coordenadas (norte o este) pertenecientes al SGR SIRGAS y las coordenadas transformadas.

RESIDUOS COORDENADA ESTE Z1-2

-0,400

-0,200

0,000

0,200

0,400

0,600

BOT1BRU1CDA1CDA2CHQ1CHQ2EM

P1GUA1GUA2HUE1HUE2VIL

1

VIL2

VPR1VPR2CDM1CDM2EM

P2ETR1POC1TLQ1TLQ2

UNI1

UNI2VAN1VAN2VLL1VLL2VSA1VSA2

vértice

met

ros

SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS

Gráfico 13: Residuos coordenada este, zona Z1-2.

- 121 -

RESIDUOS COORDENADA NORTE Z1-2

-1,200-1,000-0,800-0,600-0,400-0,2000,0000,2000,4000,6000,800

BOT1BRU1CDA1CDA2CHQ1CHQ2EM

P1GUA1GUA2HUE1HUE2VIL

1

VIL2

VPR1VPR2CDM1CDM2EM

P2ETR1POC1TLQ

1TLQ

2

UNI1

UNI2VAN1VAN2VLL

1VLL2VSA1VSA2

vértice

met

ros


Gráfico 14: Residuos coordenada norte, zona Z1-2.

RESIDUOS COORDENADA ESTE Z1

-0,600

-0,400

-0,200

0,000

0,200

0,400

0,600

BOT1 BRU1 CDA1 CDA2 CHQ1 CHQ2 EMP1 GUA1 GUA2 HUE1 HUE2 VIL1 VIL 2 VPR1 VPR2

vértice

met

ros


Gráfico 15: Residuos coordenada este, zona Z1.

- 122 -

RESIDUOS COORDENADA NORTE Z1

-0,800-0,600-0,400-0,2000,0000,2000,4000,6000,800

BOT1 BRU1 CDA1 CDA2 CHQ1 CHQ2 EMP1 GUA1 GUA2 HUE1 HUE2 VIL1 VIL 2 VPR1 VPR2

vértice

met

ros


Gráfico 16: Residuos coordenada norte, zona Z1.

RESIDUOS COORDENADA ESTE Z2

-0,200

-0,100

0,000

0,100

0,200

CDM1 CDM2 EMP2 ETR1 POC1 TLQ1 TLQ2 UNI1 UNI2 VAN1 VAN2 VLL1 VLL 2 VSA1 VSA2

vértice

met

ros


Gráfico 17: Residuos coordenada este, zona Z2.

- 123 -

RESIDUOS COORDENADA NORTE Z2

-0,400

-0,300

-0,200

-0,100

0,000

0,100

0,200

0,300

CDM1 CDM2 EMP2 ETR1 POC1 TLQ1 TLQ2 UNI1 UNI2 VAN1 VAN2 VLL1 VLL 2 VSA1 VSA2

vértice

met

ros


Gráfico 18: Residuos coordenada norte, zona Z2.

Los resultados correspondientes a los modelos de transformación recalculados son:

RESIDUOS COORDENADA ESTE Z1-2 (2)

-0,300

-0,200

-0,100

0,000

0,100

0,200

BOT1

BRU1

CDA1

CDA2

HUE1

HUE2

VIL1

VIL2

VPR1

VPR2

CDM1

CDM2

ETR1

POC1

TLQ1

TLQ2

UNI1

UNI2

VAN1

VAN2

VLL1

VLL2

VSA1

VSA2

vértice

met

ros


Gráfico 19: Residuos coordenada este, zona Z1-2 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas.

- 124 -

RESIDUOS COORDENADA NORTE Z1-2 (2)

-0,700-0,600-0,500-0,400-0,300-0,200-0,1000,0000,1000,2000,3000,400

BOT1

BRU1

CDA1

CDA2

HUE1

HUE2

VIL1

VIL2

VPR1

VPR2

CDM1

CDM2

ETR1

POC1

TLQ1

TLQ2

UNI1

UNI2

VAN1

VAN2

VLL1

VLL2

VSA1

VSA2

vértice

met

ros


Gráfico 20: Residuos de coordenada norte, zona Z1-2 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas.

RESIDUOS COORDENADA ESTE Z1-2 (2)

-0,300

-0,200

-0,100

0,000

0,100

0,200

BOT1

BRU1CDA1CDA2

EMP1

GUA1

GUA2

HUE1HUE2

VIL1

VIL2

VPR1VPR2CDM1CDM2EM

P2

ETR1POC1TLQ

1

TLQ2

UNI1

UNI2VAN1VAN2

VLL1

VLL2

VSA1

VSA2

vértice

met

ros

AFÍN 2-D

Gráfico 21: Residuos coordenada este, zona Z1-2 (2), modelo de transformación Afín 2-D.

- 125 -

RESIDUOS COORDENADA NORTE Z1-2 (2)

-0,600-0,500-0,400-0,300-0,200-0,1000,0000,1000,2000,3000,4000,500

BOT1

BRU1CDA1CDA2

EMP1

GUA1GUA2

HUE1HUE2

VIL1

VIL2

VPR1VPR2CDM1CDM2EM

P2

ETR1POC1TLQ

1

TLQ2

UNI1

UNI2VAN1VAN2

VLL1

VLL2

VSA1

VSA2

vértice

met

ros

AFÍN 2-D

Gráfico 22: Residuos coordenada norte, zona Z1-2 (2), modelo de transformación Afín 2-D.

RESIDUOS COORDENADA ESTE Z1 (2)

-0,400

-0,300

-0,200

-0,100

0,000

0,100

0,200

0,300

BOT1 BRU1 CDA1 CDA2 EMP1 GUA1 GUA2 HUE1 HUE2 VIL1 VIL2 VPR1 VPR 2vértice

met

ros


Gráfico 23: Residuos coordenada este, zona Z1 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas.

- 126 -

RESIDUOS COORDENADA NORTE Z1 (2)

-0,600-0,500-0,400-0,300-0,200-0,1000,0000,1000,2000,3000,4000,500

BOT1 BRU1 CDA1 CDA2 EMP1 GUA1 GUA2 HUE1 HUE2 VIL1 VIL2 VPR1 VPR 2vértice

met

ros


Gráfico 24: Residuos coordenada norte, zona Z1 (2), modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas.

- 127 -

4.4. ESTADÍSTICA ( 2χ ).

La calidad global de los ajustes está determinada por el test de Chi-Cuadrado (2χ ), el cual

fue realizado con el objetivo de tener un 95% de certeza en las estimaciones. Los valores

correspondientes fueron obtenidos a través de la metodología planteada en el apartado 3.7., para las

distintas zonas y modelos de transformación.

Z1-2

ELEMENTO SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D PROYECTIVA

2-D POLINOMIAL

2-D MOLODENSKY-

BADEKAS

PVVT 20,474 11,929 9,682 4,286 20,084

S 56 54 52 42 83

20σ 0,3 0,3 0,2 0,15 0,3

20σ̂ 0,366 0,221 0,186 0,102 0,242

2cχ 68,247 39,762 48,409 28,574 66,946

2025,0,Sχ 37,2116 35,5863 33,9681 25,9987 59,6917

2975,0,Sχ 78,5671 76,1921 73,8099 61,7767 110,0902

Tabla 14: Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1-2.

Z1


2-D POLINOMIAL

2-D MOLODENSKY-

BADEKAS

PVVT 9,344 5,044 6,819 0,079 9,304

S 26 24 22 12 38

20σ 0,3 0,3 0,2 0,005 0,3

20σ̂ 0,359 0,210 0,310 0,007 0,245

2cχ 31,148 16,812 34,097 15,717 31,015

2025,0,Sχ 13,8439 12,4011 10,9823 4,4038 22,8785

2975,0,Sχ 41,9231 39,3641 36,7807 23,3367 56,8955

Tabla 15: Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1.

- 128 -

Z2


2-D POLINOMIAL

2-D MOLODENSKY-

BADEKAS

PVVT 3,093 1,276 1,518 0,031 4,574

S 26 24 22 12 38

20σ 0,15 0,1 0,07 0,002 0,1

20σ̂ 0,119 0,053 0,069 0,003 0,120

2cχ 20,623 12,763 21,691 15,691 45,740

2025,0,Sχ 13,8439 12,4011 10,9823 4,4038 22,8785

2975,0,Sχ 41,9231 39,3641 36,7807 23,3367 56,8955

Tabla 16: Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z2.

Z1-2 (2)

ELEMENTO SIMILARIDAD 2-D AFÍN 2-D MOLODENSKY-

BADEKAS

PVVT 7,071 11,253 9,367

S 44 50 65

20σ 0,2 0,2 0,15

20σ̂ 0,161 0,225 0,144

2cχ 35,353 56,266 62,450

2025,0,Sχ 27,5745 32,3574 44,603

2975,0,Sχ 64,2014 71,4202 89,1772

Tabla 17: Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1-2 (Modelos de transformación recalculados).

Z1 (2)

ELEMENTO SIMILARIDAD 2-D

MOLODENSKY-BADEKAS

PVVT 5,140 7,730

S 22 32

20σ 0,3 0,2

20σ̂ 0,234 0,242

2cχ 17,134 38,649

2025,0,Sχ 10,9823 18,2908

2975,0,Sχ 36,7807 49,4804

Tabla 18: Estadística test de Chi-Cuadrado zona Z1 (Modelos de transformación recalculados).

- 129 -

4.5. ELIMINACIÓN DE OBSERVACIONES.

La eliminación de observaciones está determinada por dos criterios establecidos en la

metodología, los cuales corresponden a la tolerancia residual (ver 3.2.) y el test basado en la

distribución estadística F de Snedecor (ver 3.8.).

A continuación, se presentan las observaciones eliminadas, basadas en los dos criterios

anteriormente descritos, según el modelo de transformación y la zona a la cual pertenecen. El

campo “AJUSTE”, corresponde al número de ajuste en que se identificaron las observaciones que

poseían errores groseros que afectan al resultado esperado.

SIMILARIDAD 2-D (Z1-2)

AJUSTE VÉRTICE COORDENADA UTM F SNEDECOR RESIDUO

1 CHQ1 NORTE 3,378 -1,073

1 CHQ2 NORTE 3,416 -1,085

2 GUA1 NORTE 2,753 -0,677

2 GUA2 NORTE 2,732 -0,671

3 EMP1 NORTE 2,871 -0,609

3 EMP2 NORTE 2,846 -0,603 Tabla 19: Observaciones eliminadas en modelo de Similaridad 2-D (Z1-2).

MOLODENSKY-BADEKAS (Z1-2)

AJUSTE VÉRTICE COORDENADA TRIDIMENSIONAL

F SNEDECOR (COORDENADA

TRIDIMENSIONAL)

RESIDUO (COORDENADA

TRIDIMENSIONAL)

COORDENADA UTM

RESIDUO (UTM)

1 CHQ1 Z 3,400 -0,867 NORTE -1,063

1 CHQ2 Z 3,439 -0,877 NORTE -1,075

2 GUA1 Z 2,743 -0,544 NORTE -0,671

2 GUA2 Z 2,721 -0,540 NORTE -0,666

3 EMP1 Z 2,884 -0,492 NORTE -0,607

3 EMP2 Z 2,856 -0,488 NORTE -0,601 Tabla 20: Observaciones eliminadas en modelo Molodensky-Badekas (Z1-2)

AFÍN 2-D (Z1-2)


1 CHQ1 NORTE 2,810 -0,667

1 CHQ2 NORTE 2,855 -0,677 Tabla 21: Observaciones eliminadas en modelo Afín 2-D (Z1-2)

- 130 -

SIMILARIDAD 2-D (Z1)


1 CHQ1 NORTE 2,131 -0,637

1 CHQ2 NORTE 2,169 -0,648 Tabla 22: Observaciones eliminadas en modelo de Similaridad 2-D (Z1).

MOLODENSKY BADEKAS (Z1)

AJUSTE VÉRTICE COORDENADA TRIDIMENSIONAL

F SNEDECOR (COORDENADA

TRIDIMENSIONAL)

RESIDUO (COORDENADA

TRIDIMENSIONAL)

COORDENADA UTM

RESIDUO (UTM)

1 CHQ1 Z 2,129 -0,520 NORTE -0,636

1 CHQ2 Z 2,168 -0,530 NORTE -0,647 Tabla 23: Observaciones eliminadas en modelo Molodensky-Badekas (Z1)

- 131 -

4.6. VARIACIÓN DE DISTORSIÓN DE ESCALA Y CONVERGENC IA MERIDIANA.

Los valores correspondientes a la magnitud de variación de distorsión de escala y

convergencia meridiana, fueron obtenidos a través de la metodología planteada en el apartado 3.12.

Figura 22: Magnitud de variación de distorsión de escala.


- 132 -

Figura 23: Magnitud de variación de convergencia meridiana.

Fuente: Elaboración propia

- 133 -

4.7. RESIDUOS DE LOS PUNTOS DE CONTROL.

Otra manera de validar los modelos de transformación dentro del área de estudio, es

determinar los residuos correspondientes a los puntos de control. Los valores correspondientes

fueron obtenidos a través de la metodología planteada en el apartado 3.13., para las distintas zonas y

modelos de transformación.

-0,300

-0,250

-0,200

-0,150

-0,100

-0,050

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

met

ros


Residuos Puntos de Control Coordenada Este Z1-2

BOT2

BRU2

ETR2

POC2

Gráfico 25: Residuos de puntos de control, coordenada este, zona Z1-2.

-0,600

-0,500

-0,400

-0,300

-0,200

-0,100

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

met

ros


Residuos Puntos de Control Coordenada Norte Z1-2

BOT2

BRU2

ETR2

POC2

Gráfico 26: Residuos de puntos de control, coordenada norte, zona Z1-2.

- 134 -

-0,500

-0,400

-0,300

-0,200

-0,100

0,000

0,100

0,200

0,300

met

ros


Residuos Puntos de Control Coordenada Este Z1

BOT2

BRU2

Gráfico 27: Residuos de puntos de control, coordenada este, zona Z1.

-0,400

-0,300

-0,200

-0,100

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

met

ros


Residuos Puntos de Control Coordenada Norte Z1

BOT2

BRU2

Gráfico 28: Residuos de puntos de control, coordenada norte, zona Z1.

-0,060

-0,040

-0,020

0,000

0,020

0,040

0,060

met

ros


Residuos Puntos de Control Coordenada Este Z2

ETR2

POC2

Gráfico 29: Residuos de puntos de control, coordenada este, zona Z2.

- 135 -

-0,100

-0,050

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

met

ros


Residuos Puntos de Control Coordenada Norte Z2

ETR2

POC2

Gráfico 30: Residuos de puntos de control, coordenada norte, zona Z2.

- 136 -

CAPÍTULO 5

ANÁLISIS DE RESULTADOS

5.1. ANÁLISIS DE LOS PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN.

De los resultados presentados en las tablas 6 a 10, es posible observar que aislando las

precisiones de los parámetros de transformación, las cuales se pueden asociar a las traslaciones de

cada modelo de transformación, en las tres zonas de estudio, corresponden al orden decimétrico;

tales parámetros son: Tx y Ty en modelo de transformación de Similaridad 2-D; 1c y 2c en

modelo de transformación Afín 2-D; 3a y 8a en modelo de transformación Proyectiva 2-D; 0a y

0b en modelo de transformación Polinomial 2-D y zyx ∆∆∆ ,, en modelo de transformación

Molodensky-Badekas.

Los parámetros asociados a las traslaciones, en los modelos de transformación

bidimensional, poseen valores similares, los cuales corresponden aproximadamente a -183 m para la

coordenada este y -373 m para la coordenada norte.

El modelo de transformación Proyectiva 2-D, en las tres zonas de estudio, posee algunos

parámetros que tienden a ser cero, los cuales corresponden a 4a y 5a ; esto significa que seis

parámetros son significativos para ajustar el modelo. Sin embargo, esta situación no implica

necesariamente prescindir de los parámetros de transformación que tienden a ser cero, ya que,

despreciarlos puede influir, en menor medida, en las precisiones residuales de las observaciones

transformadas. Esta situación se replica para el modelo de transformación Polinomial 2-D, en las

tres zonas, ya que, 12 de los 18 parámetros presentan valores tendientes a cero.

En términos generales, la zona que posee mejor precisión en la estimación de sus

parámetros de transformación, para todos los modelos de transformación analizados, corresponde a

la zona Z2, y la que presenta la peor precisión corresponde a la zona Z1.

- 137 -

De los resultados presentados en las tablas 11 a 13, es posible observar que los modelos de

transformación de Similaridad 2-D, Afín 2-D y Molodensky-Badekas; los cuales tuvieron que ser

recalculados, debido a la eliminación de observaciones que poseían errores groseros, denotan una

mejora en las precisiones de todos los parámetros de transformación correspondientes. Los

parámetros de transformación recalculados también poseen precisiones de orden decimétrico, y los

parámetros asociados a las traslaciones en los modelos de transformación bidimensional, poseen

valores similares que corresponden aproximadamente a -183 m para la coordenada este y -373 m

para la coordenada norte.

- 138 -

5.2. ANÁLISIS DE LAS ELIPSES DE ERROR.

De los resultados presentados en los gráficos 1 a 9, es posible observar que cada uno de los

modelos de transformación de Similaridad 2-D, Afín 2-D, Polinomial 2-D y Molodensky-Badekas;

en las tres zonas, presentan valores idénticos en las dispersiones máximas (2σ máximo) y mínimas

(2σ mínimo). Esto produce que las elipses de error se comporten como circunferencias de error,

que establecen una simetría en los semiejes de la elipse, esta situación determina que no influya el

ángulo de rotación de la circunferencia correspondiente. Por otra parte, el modelo de transformación

Proyectiva 2-D, en las tres zonas, presenta valores diferentes en la mayoría de las variaciones

máximas y mínimas, comportándose como elipses de error, influyendo de esta manera el ángulo de

rotación en la orientación de la elipse.

La mayoría de los modelos de transformación presentan una tendencia similar, exceptuando

al modelo de transformación Polinomial 2-D, el cual presenta un patrón ligeremante diferente en el

comportamiento de sus precisiones en la zona Z1-2; para las zonas Z1 y Z2 este modelo de

transformación presenta valores cercanos a cero. Dentro de los patrones más parecidos se

encuentran los dos modelos de transformación conforme de Similaridad 2-D y Molodensky-

Badekas, este comportamiento se esperaba, debido a las propiedades que conservan en la

transformación.

Respecto de los ángulos de rotación de las elipses de error, correspondientes al modelo de

transformación Proyectiva 2-D, en las tres zonas, se presenta una heterogeneidad en sus valores. Las

variaciones máximas son del orden de + 45°.

En la zona Z1-2 (ver gráfico 31), se observa que la mayor dispersión máxima corresponde a

los modelos de transformación Proyectiva 2-D y de Similaridad 2-D. La menor dispersión máxima

al modelo Molodensky-Badekas, los restantes modelos de transformación en orden decreciente

corresponden a: Afín 2-D y Polinomial 2-D. Por otra parte, la mayor dispersión mínima

corresponde al modelo de transformación de Similaridad 2-D y la menor dispersión mínima al

- 139 -

modelo Polinomial 2-D, los restantes modelos de transformación Molodensky-Badekas y Afín 2-D

poseen el mismo valor, y el modelo de transformación Proyectiva 2-D, presenta un valor inferior a

los anteriormente nombrados.

0,133

0,206

0,108

0,204

0,093

0,206

0,091

0,186

0,108

0,167

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

met

ros


2σ Máximo y 2 σ Mínimo Z1-2

2σ Minimo 2σ Máximo

Gráfico 31: 2σ máximo y 2σ mínimo, zona Z1-2.

En la zona Z1 (ver gráfico 32), se observa un decrecimiento en las precisiones, debido al

aumento de las dispersiones máximas y mínimas en los modelos de transformación de Similaridad

2-D, Afín 2-D, Proyectiva 2-D y Molodensky-Badekas. Sin embargo, el modelo de transformación

Polinomial 2-D, presenta una notable mejora en su nivel de precisión. La mayor dispersión máxima

corresponde al modelo de transformación Proyectiva 2-D y la menor dispersión máxima al modelo

Polinomial 2-D, los restantes modelos de transformación en orden decreciente corresponden a: Afín

2-D, Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas. Por otra parte, la mayor dispersión mínima

corresponde al modelo de transformación de Similaridad 2-D, y la menor dispersión mínima al

modelo Polinomial 2-D, los restantes modelos de transformación en orden decreciente corresponden

a: Proyectiva 2-D, Molodensky-Badekas y Afín 2-D.

- 140 -

0,174

0,325

0,136

0,352

0,149

0,468

0,008 0,011

0,144

0,268

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,350

0,400

0,450

0,500

met

ros


2σ Máximo y 2 σ Mínimo Z1


Gráfico 32: 2σ máximo y 2σ mínimo, zona Z1.

En la zona Z2 (ver gráfico 33), se observa una menor dispersión en comparación a las zonas

Z1-2 y Z1. La mayor dispersión máxima corresponde al modelo de transformación Proyectiva 2-D

y la menor dispersión máxima al modelo Polinomial 2-D, los restantes modelos de transformación

en orden decreciente corresponden a: Similaridad 2-D, Afín 2-D y Molodensky-Badekas. Por otra

parte, la mayor dispersión mínima corresponde al modelo de transformación de Similaridad 2-D y

la menor dispersión mínima al modelo Polinomial 2-D, los restantes modelos de transformación en

orden decreciente corresponden a: Molodensky-Badekas, Afín 2-D y Proyectiva 2-D, estos dos

últimos poseen el mismo valor.

0,075

0,125

0,044

0,112

0,044

0,133

0,003 0,005

0,062

0,102

0,000

0,020

0,040

0,060

0,080

0,100

0,120

0,140

met

ros


2σ Máximo y 2 σ Mínimo Z2


Gráfico 33: 2σ máximo y 2σ mínimo, zona Z2.

- 141 -

En general, para las tres zonas y los cinco modelos de transformación analizados, la mayor

dispersión corresponde al modelo de transformación Proyectiva 2-D y la menor dispersión al

modelo de transformación Polinomial 2-D.

De los resultados presentados en los gráficos 10 a 12, es posible observar que se replica el

comportamiento de circunferencias de error, para los modelos de transformación de Similaridad 2-

D, Afín 2-D y Molodensky-Badekas, los cuales tuvieron que ser recalculados, debido a la

eliminación de observaciones que poseían errores groseros. Los modelos de transformación de

Similaridad 2-D, Afín 2-D y Molodensky-Badekas, denotan una mejora en las precisiones, ya que,

el modelo de transformación Afín 2-D en la zona Z1-2 (2), posee dispersiones máximas inferiores a

los 0,175 m, y los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas, en la

misma zona, poseen dispersiones máximas inferiores a los 0,150 m. Por otra parte, en la zona Z1

(2), los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas, no presentan mayor

mejora en las precisiones, ya que, posee valores similares en las dispersiones máximas observadas.

- 142 -

5.3. ANÁLISIS DE LOS RESIDUOS DE LAS OBSERVACIONES.

En general, los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas,

presentan, en las tres zonas, valores idénticos con diferencias del orden de milímetros, confirmando

que dos modelos de distinta naturaleza, pero que conservan las mismas propiedades entregan los

mismos valores residuales. Por otra parte, los residuos en coordenada este, presentan valores

inferiores a los residuos en coordenada norte, denotando que existe una mayor deformación de la

red geodésica en la ordenada.

Según los gráficos 13 y 14, los residuos en coordenada este, para la zona Z1-2, están dentro

de la tolerancia residual establecida (ver 3.2.). Sin embargo, para los residuos en coordenada norte

existen algunos vértices que exceden tal tolerancia.

Según el gráfico 34, en la zona Z1-2, los residuos máximos que alcanzan valores superiores

al metro corresponden a los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas.

El menor residuo máximo corresponde al modelo de transformación Polinomial 2-D, los restantes

modelos en orden decreciente corresponden a la transformación Afín 2-D y Proyectiva 2-D. En

relación a los residuos mínimos, estos alcanzan valores similares en todos los modelos. Los

modelos que exceden la tolerancia residual establecida corresponden al de Similaridad 2-D,

Molodensky Badekas y Afín2-D.

0,002

1,104

0,002

0,715

0,002

0,548

0,001

0,337

0,001

1,084

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

met

ros


Residuos Máximos y Mínimos Z1-2

Residuo Mínimo Residuo Máximo

Gráfico 34: Residuos máximos y mínimos, zona Z1-2.

- 143 -

Según los gráficos 15 y 16, para la zona Z1, se replica la situación observada en la zona

Z1-2, es decir, los residuos en coordenada este para la zona Z1 están dentro de la tolerancia

establecida. Sin embargo, para los residuos en coordenada norte existen algunos vértices que

exceden la tolerancia.

Según el gráfico 35, en la zona Z1, los residuos máximos que alcanzan valores superiores a

la tolerancia residual establecida, corresponden a los modelos de transformación de Similaridad 2-D

y Molodensky-Badekas. De igual manera que en la zona Z1-2, el menor residuo máximo

corresponde al modelo de transformación Polinomial 2-D, los restantes modelos en orden

decreciente corresponden a la transformación Afín 2-D y Proyectiva 2-D. En relación a los residuos

mínimos, estos alcanzan valores similares en la mayoría de los modelos, exceptuando al modelo de

transformación Proyectiva 2-D que posee el valor más alto.

0,004

0,611

0,003

0,525

0,026

0,502

0,000 0,010 0,002

0,609

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

met

ros

SIMILARIDAD 2-D

AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D

POLINOMIAL 2-D

MOLODENSKY-BADEKAS

Residuos Máximos y Mínimos Z1


Gráfico 35: Residuos máximos y mínimos, zona Z1.

Según los gráficos 17 y 18, los residuos en coordenada este y norte, en la zona Z2, están

dentro de la tolerancia establecida, siendo de esta manera la única zona que no necesitó de la

eliminación de errores groseros.

Según el gráfico 36, en la zona Z2, el valor de los residuos desciende notablemente en todos

los modelos de transformación y no superan los 0,300 m. Los residuos máximos que alcanzan los

valores superiores corresponden a los modelos de transformación de Similaridad 2-D y

- 144 -

Molodensky-Badekas. De igual manera que en las zonas Z1-2 y Z1, el menor residuo máximo

corresponde al modelo de transformación Polinomial 2-D, los restantes modelos en orden

decreciente corresponden a la transformación Afín 2-D y Proyectiva 2-D. En relación a los residuos

mínimos estos alcanzan valores similares en todos los modelos.

0,004

0,297

0,001

0,189

0,001

0,145

0,000 0,005 0,003

0,289

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

met

ros

SIMILARIDAD 2-D

AFÍN 2-D PROYECTIVA 2-D

POLINOMIAL 2-D MOLODENSKY-BADEKAS

Residuos Máximos y Mínimos Z2


Gráfico 36: Residuos máximos y mínimos, zona Z2.

En general, en cada una de las tres zonas se observa el mismo patrón en relación a los

residuos máximos y mínimos, de manera más específica, los modelos de transformación de

Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas presentan los residuos más altos. El resto de los modelos

en orden descendente corresponden a: Afín 2-D, Proyectiva 2-D y Polinomial 2-D. Por otra parte, el

modelo de transformación Polinomial 2-D, presenta una mejora notable en las zonas Z1 y Z2 en

comparación a la zona Z1-2; este comportamiento se debe a que este modelo de transformación se

ajusta muy bien a la muestra, pero pierde representatividad respecto de la población. Esta

aseveración se confirma en la zona Z1-2, donde este modelo de transformación presenta residuos

que se asemejan ligeramente a los demás modelos de transformación, sin embargo, en las zonas Z1

y Z2, los residuos se disocian completamente del patrón determinado para los demás modelos de

transformación, tal situación ratifica que el modelo de transformación de Similaridad 2-D posee una

alta representatividad, sólo sí, cuenta con un gran número de observaciones.

- 145 -

En los modelos de transformación que tuvieron que ser recalculados, debido a la

eliminación de observaciones que poseían errores groseros, es posible observar en la zona Z1-2 (2)

(ver gráfico 37) que los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas,

poseen residuos máximos con valores que bordean el límite de la tolerancia establecida. Por otra

parte, el modelo de transformación Afín 2-D, presenta una leve disminución respecto a los dos

anteriores modelos. Los valores de los residuos mínimos comparados con los del gráfico 34

presentan un leve incremento.

0,013

0,564

0,006

0,564

0,005

0,470

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

met

ros

SIMILARIDAD 2-D MOLODENSKY-BADEKAS AFÍN 2-D

Residuos Máximos y Mínimos Z1-2 (2)


Gráfico 37: Residuos máximos y mínimos, zona Z1-2 (2).

En la zona Z1 (2) (ver gráfico 38), los residuos presentan valores idénticos tanto en los

valores de los residuos máximos y mínimos, además comparándolos con los del gráfico 35, los

valores de los residuos mínimos son mayores.

0,019

0,469

0,019

0,469

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,350

0,400

0,450

0,500

met

ros


Residuos Máximos y Mínimos Z1 (2)


Gráfico 38: Residuos máximos y mínimos, zona Z1 (2).

- 146 -

5.4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO ( 2χ ).

El empleo de varianzas a priori ( 20σ ) diferenciadas, logró la obtención de resultados

satisfactorios en el test de Chi-Cuadrado (2χ ), esto se debe principalmente a que todos los modelos

abordados en este estudio, poseen un origen diferente y conservan distintas propiedades en los

procesos de transformación.

En general, para las tres zonas la forma cuadrática fundamental PVVT que minimiza el

vector de los residuos y los pesos asociados, en los modelos de transformación de Similaridad 2-D y

Molodensky-Badekas, presenta los valores más altos. De modo contrario, el modelo de

transformación Polinomial 2-D, presenta los valores más pequeños.

De los resultados presentados en las tablas 14 y 15, es posible observar que la comparación

estadística entre 20σ y 2

0σ) , establecida para un 95% de certeza, para los modelo de transformación

de Similaridad 2-D, Afín 2-D y Molodensky-Badekas, en las Zonas Z1-2 y Z1, indica que 20σ es

igual a 0,300 2m ( 0σ =0,548 m). Para las mismas zonas el modelo de transformación Proyectiva 2-

D posee una 20σ igual a 0,200 2m ( 0σ =0,447 m). El modelo Polinomial 2-D presenta en la zona

Z1-2 el valor más pequeño respecto de los demás modelos evaluados, correspondiendo esta a 20σ =

0,150 2m ( 0σ =0,387 m), en la zona Z1 se observa un valor considerablemente inferior de 20σ =

0,005 2m ( 0σ =0,071 m).

A partir de los resultados presentados en la tabla 16, es posible observar que en la zona Z2

todas las varianzas a priori presentan una mejora en sus precisiones. Los modelos de

transformación Afín 2-D y Molodensky-Badekas, poseen 20σ igual a 0,100 2m ( 0σ =0,316 m). La

varianza a priori más alta para esta zona corresponde al modelo de transformación de Similaridad

2-D, que posee una 20σ igual a 0,150 2m ( 0σ =0,387 m). Las restantes varianzas a priori, en orden

- 147 -

descendente, corresponden a los modelos de transformación Proyectiva 2-D, con una 20σ igual a

0,07 2m ( 0σ =0,265 m), y Polinomial 2-D con una 20σ igual a 0,002 2m ( 0σ =0,045 m).

De los resultados presentados en la tabla 17, es posible observar que en los modelos de

transformación recalculados para la zona Z1-2, los modelo de Similaridad 2-D y Afín 2-D poseen

una 20σ igual a 0,200 2m ( 0σ =0,447 m), siendo de esta manera el modelo de transformación

Molodensky-Badekas el que posee una 20σ de menor valor respecto a los dos modelos

anteriormente citados, correspondiendo a 0,150 2m ( 0σ =0,387 m). Comparativamente respecto de

los modelos en que no se eliminaron observaciones con errores groseros, las varianzas a priori

denotan una mejora en su variabilidad.

A partir de los resultados presentados en la tabla 18, es posible observar que para los

modelos de transformación recalculados en la zona Z1, el modelo de Similaridad 2-D mantiene su

20σ , siendo esta igual a 0,300 2m ( 0σ =0,548 m), respecto de la zona Z1 sin eliminación de

observaciones que posean errores groseros. Sin embargo, el modelo de transformación

Molodensky-Badekas mejora su variabilidad respecto de la zona original, presentando una 20σ igual

a 0,200 2m ( 0σ =0,447 m).

- 148 -

5.5. ANÁLISIS DE LAS OBSERVACIONES ELIMINADAS.

Los tres modelos de transformación que tuvieron que ser recalculados, debido a errores

groseros que superaban la tolerancia residual establecida, corresponden a: Similaridad 2-D, Afín 2-

D y Molodensky-Badekas. La identificación de errores groseros, a través de la hipótesis estadística

basada en la distribución estadística F de Snedecor, resultó satisfactoria considerando la tolerancia

de precisión residual establecida. Sin embargo, este test estadístico, por sí solo, se demuestra

bastante sensible a las desviaciones estándar asociadas a los residuos, debido a esto, en algunos

casos se identificaron mayor cantidad de errores groseros que los establecidos considerando la

tolerancia residual, pero que en la práctica no la superaban.

En los modelos de transformación de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas, para la zona

Z1-2 (ver tablas 19 y 20), se eliminaron los mismos vértices geodésicos. En el primer ajuste del

modelo se identificaron y eliminaron posteriormente los vértices geodésicos CHQ1 y CHQ2, los

cuales superaban la tolerancia residual con valores superiores al metro. En el segundo y tercer ajuste

se identificaron y eliminaron posteriormente los vértices geodésicos: GUA1, GUA2, EMP1 y

EMP2, los cuales poseían valores residuales superiores a + 0,600 m.

En el modelo de transformación Afín 2-D, en la zona Z1-2 (ver tabla 21), se identificaron y

eliminaron posteriormente sólo dos vértices geodésicos en el primer ajuste del modelo, tales

vértices corresponden a CHQ1 y CHQ2, los cuales superaban la tolerancia residual con valores

superiores a + 0,600 m.

En la zona Z1 (ver tablas 22 y 23), los modelos de transformación de Similaridad 2-D y

Molodensky-Badekas presentaron problemas con los vértices geodésicos CHQ1 y CHQ2, los cuales

también superaban la tolerancia residual con valores superiores a + 0,600 m.

- 149 -

5.6. ANÁLISIS DE LA VARIACIÓN DE DISTORSIÓN DE ESCA LA Y

CONVERGENCIA MERIDIANA.

En el proceso de transformación de coordenadas se produce un cambio en la posición

planimétrica de los vértices geodésicos transformados, debido a esto, es importante considerar los

cambios en la geometría de las bases cartográficas.

A partir de los resultados presentados en la figura 22, es posible observar que la magnitud

de variación de distorsión de escala (m∆ ), en el área de estudio presenta valores extremos de 0,85

ppm y 1,53 ppm. La tendencia de esta magnitud son curvas complejas que tienden a parecer líneas

verticales que expresan la variación de distorsión de escala, aumentando a medida que se alejan del

meridiano central. En términos prácticos y en relación al área de estudio, los vértices geodésicos

transformados y las bases cartográficas asociadas a ellos, aumentaron su distorsión de escala entre

0,85 ppm y 1,53 ppm.

De los resultados presentados en la figura 23, es posible observar que la magnitud de

variación de convergencia meridiana (C∆ ), en el área de estudio presenta valores extremos de

4,89’’ y 5,78’’ (segundos sexagesimales). La tendencia de esta magnitud son curvas complejas que

tienden a parecer líneas inclinadas que expresan la variación de convergencia meridiana,

aumentando su variación a medida que se aumenta en latitud y se aleja del meridiano central. En

términos prácticos y en relación al área de estudio, los vértices geodésicos transformados y las bases

cartográficas asociadas a ellos, aumentaron el ángulo de convergencia meridiana entre 4,89’’ y

5,78’’.

Los incrementos en m∆ y C∆ , se pueden considerar no significativos, ya que, los valores

son inferiores al nivel de tolerancia residual.

Para realizar este análisis se utilizó el modelo de transformación Molodensky-Badekas. En

estricto rigor, se podría haber utilizado cualquiera de los modelos de transformación abordados en

- 150 -

este estudio, ya que, las diferencias residuales entre modelos no son significativas al momento de

evaluar estas magnitudes.

- 151 -

5.7. ANÁLISIS DE LOS RESIDUOS DE LOS PUNTOS DE CONTROL.

De los resultados presentados en los gráficos 25 a 30, es posible observar que los residuos

de los puntos de control poseen valores aceptables dentro de la tolerancia residual establecida, tanto

para los residuos en coordenada norte como en coordenada este.

Para las zonas Z1-2 y Z2, los residuos en coordenada este son inferiores a los residuos en

coordenada norte, concordando con el patrón establecido para los vértices que se utilizaron en el

ajuste de los modelos de transformación.

La zona Z1-2, presenta los mayores residuos para los modelos de transformación de

Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas, con valores iguales a -0,556 m. En la zona Z1, el modelo

de transformación Afín 2-D, presenta los residuos más altos, con un valor de -0,469 m. La zona Z2

presenta los residuos más altos, determinados por los modelos de transformación de Similaridad 2-

D y Molodensky-Badekas, con valores correspondientes a 0,152 m y 0,148 m respectivamente.

- 152 -

CAPÍTULO 6

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

6.1. CONCLUSIONES.

Atendiendo a los objetivos planteados y los resultados obtenidos en la presente

investigación, es posible concluir que:

En el proceso de compatibilización de bases cartográficas, los parámetros de transformación

y las coordenadas transformadas, siempre tendrán precisión del orden de las coordenadas iniciales,

es decir, la calidad de las precisiones logradas en el proceso de compatibilización de bases

cartográficas, será siempre igual o peor que el SGR de menor precisión, el cual para este estudio

corresponde a PSAD-56.

Los modelos de transformación bidimensional, respecto del modelo de Similaridad 3-D,

requieren un menor esfuerzo computacional, en relación a la programación de los algoritmos de

cálculo, para la determinación de los parámetros de transformación y las MVC asociadas a los

parámetros de transformación, observaciones y residuos. Esta situación se debe a que las

transformaciones bidimensionales se realizan entre planos de proyección y la transformación de

Similaridad 3-D, debido a esto, necesita de la conversión de coordenadas planas a tridimensionales

y viceversa, además de la propagación de las covarianzas, desde las coordenadas tridimensionales a

las coordenadas planas, con el fin del hacer comparativas sus precisiones con los modelos de

transformación bidimensional.

- 153 -

Los modelos de transformación bidimensional y de Similaridad-3D, abordados en este

estudio, son apropiados para la realización de transformaciones de SGR heterogéneos como PSAD-

56 y SIRGAS. Esta afirmación es validada a través de los puntos de control en las distintas zonas

del área de estudio, ya que, todos los modelos de transformación fueron apropiados para la

transformación de coordenadas de proyección. Sin embargo, el modelo de transformación

Polinomial 2-D, presenta un comportamiento distinto respecto de los demás modelos de

transformación, en las zonas Z1 y Z2, indicando la necesidad de un mayor número de observaciones

en el ajuste del modelo.

El nivel de significancia determinado por la precisión residual, permitió establecer que los

modelos de transformación de menor precisión corresponden a: Similaridad 2-D y Molodensky-

Badekas. Una mejora de estos dos modelos corresponde a los modelos de transformación Afín 2-D

y Proyectiva 2-D, siendo el modelo de transformación Polinomial 2-D, el de mejor precisión

residual, si se cuenta con un mayor número de observaciones.

La determinación del nivel de precisión residual, para el primer ajuste de los modelos de

transformación, permitió establecer que los modelos de Similaridad 2-D y Molodensky-Badekas

entregaron residuos superiores al metro, el modelo de transformación Afín 2-D entregó residuos

superiores a + 0,600 m, y los modelos de transformación Proyectiva 2-D y Polinomial 2-D

entregaron residuos dentro de la tolerancia residual establecida.

La aplicación del método paramétrico de mínimos cuadrados, en la determinación de los

parámetros de transformación, permitió ajustar cada modelo de transformación basándose en la

probabilidad estadística que posee el conjunto de observaciones, para cada una de las zonas del área

de estudio, haciendo posible la determinación de “soluciones únicas” para cada modelo de

transformación.

- 154 -

El análisis de las precisiones de los parámetros de transformación, las observaciones y los

residuos, a través de la MVC y las elipses de error, permitió determinar la calidad de ajuste que

entrega cada modelo de transformación. De esta manera, un factor que influyó en la determinación

de precisiones más realistas, corresponde a la adopción de un centriode para cada modelo de

transformación y zona correspondiente.

La propagación de las covarianzas desde las coordenadas tridimensionales a las

coordenadas planas, permitió analizar comparativamente el modelo de transformación de

Similaridad 3-D, con los modelos de transformación bidimensional, determinando que posee un

comportamiento parecido al modelo de Similaridad 2-D, con diferencias del orden de milímetros.

El análisis comparativo de las precisiones entregadas por cada modelo de transformación,

permitió establecer que las elipses de error se comportan como circunferencias de error, en todos los

modelos de transformación, excepto en el modelo de transformación Proyectiva 2-D, donde las

dispersiones máximas y mínimas presentan un comportamiento de elipses de error, además posee

las mayores dispersiones máximas. Por otra parte, la precisión residual de orden decimétrico resultó

ser concordante con las precisiones asociadas a los parámetros de transformación, las observaciones

y los residuos.

La determinación de las variaciones de distorsión de escala y convergencia meridiana,

generadas en el proceso de transformación, permitió establecer las fluctuaciones mínimas y

máximas que tendrán las bases cartográficas transformadas. Determinándose de esta manera un

incremento en la distorsión de escala y convergencia meridiana, en el proceso de transformación de

bases cartográficas desde el SGR PSAD-56 a SIRGAS. Sin embargo, estos incrementos no son

significativos para bases cartográficas de escala 1:10.000 y mayores.

- 155 -

Respecto de la influencia de las alturas ortométricas en el SGR PSAD-56 y elipsoidales en

el SGR SIRGAS, sólo afectan en las coordenadas tridimensionales y no en las proyecciones

planimétricas como el plano cartográfico UTM. Sin embargo, la utilización de alturas iguales a

cero, en los dos SGR, para el modelo de transformación Molodensky-Badekas, introdujo una

mejora la precisión de los parámetros de transformación y en los vértices geodésicos transformados.

6.2. RECOMENDACIONES.

Considerando el análisis de resultados y las conclusiones, se recomienda:

• Utilizar los modelos de transformación bidimensional y de Similaridad 3-D, para

bases cartográficas de escalas grandes, como solución local, definiendo la precisión

óptima que se espera del producto cartográfico y las propiedades geométricas que

se desean conservar.

• Estimar los parámetros de transformación del modelo de transformación Polinomial

2-D, con un gran número de vértices geodésicos, con el fin de garantizar la

representatividad de la muestra respecto de la población.

• Desarrollar aplicaciones que permitan determinar el comportamiento de los

modelos de transformación abordados en este trabajo, en otros sistemas proyectivos

cartográficos.

- 156 -

7. BIBLIOGRAFÍA.

ALVES, A., Uma Abordagem Metodológica para a Identificaçao Representaçao e Monitoramento Geodésico de uma Encosta en Risco Natural , Disertación (Magíster en Ciencias Geodésicas y Tecnologías de la Geoinformación), Pernambuco, Brasil, Universidad Federal de Pernambuco, 2008, 118 p. ASIN, M., Geodesia y Cartografía Matemática, 3º Edición, Madrid, España, Ed. Parainfo. 1990, pp. 53-77. BLACHUT, T., CHRZAMOWSKY, A. y SAASTAMOINEN, J.; Cartografía y Levantamientos Urbanos, New York, Estados Unidos, Ed. Springer-Verlag New York. Inc., 1979, 519 p.

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- 157 -

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- 159 -

CAPÍTULO 8

ANEXOS

- 160 -

ANEXO I

REFERENCIALES GEODÉSICOS

- 161 -

Elipsoide de revolución

El elipsoide de revolución corresponde a un cuerpo geométrico que se obtiene de la rotación

de una elipse arbitraria alrededor de su eje menor. Se define analíticamente como:

12

2

2

22

=++b

z

a

yx (168)

Donde:

x, y, z: ejes cartesianos.

a: Semieje mayor de la elipse.

b: Semieje menor de la elipse.

El elipsoide de revolución corresponde al modelo matemático de la Tierra, que es utilizado

en cálculos geodésicos y también es llamado “elipsoide de referencia” (BLACHUT et al., 1979, p.

44). Generalmente es definido por dos parámetros, los cuales corresponden a:

• Semieje mayor (a): corresponde a la distancia generada entre al centro de la elipse y uno de

sus vértices.

• Achatamiento (f): corresponde a la razón generada entre la diferencia de los semiejes del

elipsoide, respecto del semieje mayor y está definido por:

a

ba −=f (169)

Otras relaciones:

• Semieje menor (b):

)1( fab −= (170)

• Radio de curvatura polar (c):

- 162 -

b

ac

2

= (171)

• Excentricidad (e):

2/1

2

22

−=a

bae (172)

• Segunda Excentricidad (e’):

2/1

2

22

'

−=b

bae (173)

Radios de curvatura de secciones normales

Considerando un punto cualquiera sobre el elipsoide, existe un número infinito de planos

normales que contienen a este punto, la intersección de estos con el elipsoide genera las secciones

normales que poseen distinta curvatura, sin embargo, existen dos secciones normales

recíprocamente perpendiculares cuyas curvaturas son máximas y mínimas, las cuales son

denominadas secciones normales principales (RAPP, 1981, p. 31). Corresponden a:

• Sección normal meridiana: se forma por la intersección de un punto cualquiera y una

sección normal plana que contenga al eje de rotación del elipsoide de referencia, además

posee una curvatura máxima.

• Sección normal del primer vertical: se forma por la intersección de una sección normal

plana que es perpendicular a la sección normal meridiana en un punto cualquiera, además

posee una curvatura mínima.

Los radios de curvatura de estas dos secciones normales principales corresponden a:

- 163 -

Radio de curvatura de la elipse meridiana

Considerando dos puntos “P” y “Q” en la superficie del elipsoide de referencia, contenidos

en el mismo meridiano y a una distancia infinitesimal, es posible obtener un arco diferencial de

meridiano, que puede ser definido por un único radio de circulo que contiene a los puntos “P” y

“Q”. Tal radio corresponde al radio de curvatura de la elipse meridiana denominado “M” (ver figura

24).

Figura 24: Radio de curvatura de la elipse meridiana.

Fuente: Elaboración Propia.

Su expresión matemática corresponde a:

( )( ) 2/322

2

1

1

φsene

eaM

−−= (174)

Radio de curvatura del primer vertical

Este radio de curvatura también es llamado gran normal “N”. Se define como el segmento

contenido en la sección normal del primer vertical, entre un punto “P” cualquiera sobre el elipsoide

y su prolongación a través de la normal de este, hasta la intersección con el eje menor del elipsoide

- 164 -

de referencia (ver figura 25).

Figura 25: Radio de curvatura del primer vertical.


Su expresión matemática corresponde a:

( )1/2221

a

φseneN

−= (175)

Arcos en el elipsoide

En términos generales, un arco se define como una curva continua contenida entre dos

puntos (TAPIA y RAMÍREZ, 2008, p. 111), tal definición puede ser extendida a arcos en el espacio

y de manera más especifica a las longitudes de arco en el elipsoide de revolución. Estas longitudes

de arco calculadas en el elipsoide de referencia corresponden a la longitud de arco de paralelo y

meridiano (ver figura 26).

- 165 -

Figura 26: Longitud de arco de paralelo (Sp) y longitud de arco de meridiano (Sm).


Longitud de arco de paralelo (Sp)

El cálculo de esta longitud de arco considera una distancia circular entre dos puntos

cualesquiera de longitud geodésica 1λ y 2λ , situados en el mismo paralelo.

La definición de la longitud de un arco circular está dada por la expresión:

θ⋅= RL

Donde:

L : Longitud de arco circular.

R : Radio.

θ : Ángulo entre dos puntos.

- 166 -

Asumiendo el radio Rcomo un radio de paralelo φcosNr = , donde N corresponde a la

gran normal yφ a la latitud geodésica de un punto cualquiera. Tomando θ como la diferencia de

longitud ( 1λ - 2λ ), se obtiene la expresión para el cálculo de longitud de arco de paralelo PS .

( )12cos λλφ −= NSP (176)

Longitud de arco de meridiano (Sm).

El cálculo inicial de esta longitud de arco considera una longitud de arco diferencial

contenida en la elipse meridiana entre dos puntos de latitud geodésica 1φ y 2φ , expresada por:

φdMds ⋅= (177)

Donde:

ds: Longitud diferencial de arco de meridiano.

M : Radio de curvatura de la elipse meridiana.

φd : Diferencia infinitesimal de latitud geodésica entre dos puntos ubicados en el mismo

meridiano.

Integrando (177) entre 1φ y 2φ , se tiene:

( ) ( ) φφφφ

φ

φ

φdseneeadMS ∫∫ −−=⋅=

2

1

2/32222

1

11 (178)

Linealizando la función ( ) 2/3221−− φsene , mediante el desarrollo de una serie de McLaurin,

la expresión queda como:

( ) ...256

693

128

315

16

35

8

15

2

311 1010886644222/322 ++++++=− − φφφφφφ senesenesenesenesenesene (179)

- 167 -

Donde las funciones de ángulo múltiple corresponden a:

φφ 2cos2

1

2

12 −=sen

φφφ 4cos8

12cos

2

1

8

34 +−=sen

φφφφ 6cos32

14cos

16

32cos

32

15

16

156 −+−=sen (180)

φφφφφ 8cos128

16cos

16

14cos

32

72cos

16

7

128

358 +−+−=sen

φφφφφφ 10cos512

18cos

256

56cos

512

454cos

64

152cos

256

105

256

6310 −+−+−=sen

Reemplazando (180) en (179), se obtiene:

( ) φφφφφφ 10cos8cos6cos4cos2cos12/322 FEDCBAsene −+−+−=− −

(181)

Donde:

...65536

43659

16384

11025

256

175

64

45

4

31 108642 ++++++= eeeeeA

...65536

72765

2048

2205

512

525

16

15

4

3 108642 +++++= eeeeeB

...16384

10395

4096

2205

256

105

64

15 10864 ++++= eeeeC

(182)

...131072

31185

2048

315

512

35 1086 +++= eeeD

...65536

3465

16384

315 108 ++= eeE

...131072

693 10 += eF

- 168 -

Reemplazando (181) en (178), separando la integral en partes y resolviéndolas, se obtiene:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

+−−−+

−−−+−−−−=

...101010

888

666

444

2221

1212

121212122

φφφφ

φφφφφφφφ

sensenF

sensenE

sensenD

sensenC

sensenB

AeaSm (183)

Sistema de coordenadas cartesianas en el espacio

Un sistema geodésico cartesiano (ver figura 27), se define por un sistema coordenado

cartesiano en el espacio. Este sistema posee tres ejes ortogonales “X”, “ Y”, “ Z”.

Un punto cualquiera asociado a un sistema geodésico cartesiano está determinado por el

vector tridimensional [ ]Tzyx ,, .

Un sistema geodésico cartesiano queda definido por las siguientes características:

• Si el origen del sistema cartesiano es coincidente con el centro geométrico del elipsoide de

referencia y con el centro de masa de la Tierra, se considera perteneciente a un sistema

global, si no coincide con el centro de masa de la Tierra se considera perteneciente a un

sistema local.

• El eje “X” coincide con el plano ecuatorial y está orientado al meridiano cero (Greenwich).

• El eje “Y” coincide con el plano ecuatorial, es perpendicular al eje “X” y define el sistema

como dextrógiro (giro hacia la derecha).

• El eje “Z” coincide con el eje de rotación del elipsoide de referencia y posee orientación en

dirección al polo norte.

Sistema de coordenadas geodésicas curvilíneas

Un sistema de coordenadas geodésicas curvilíneas o simplemente coordenadas geodésicas

(ver figura 27), se define a partir de su asociación a un elipsoide de referencia, con el fin de

determinar la posición única de un punto cualquiera sobre esta superficie de referencia.

- 169 -

Si se intersecta un plano normal (denominado también plano ecuatorial) al punto medio del

semieje menor del elipsoide de referencia, se genera una línea de círculo máximo denominada

ecuador, la cual divide al elipsoide en hemisferio norte y hemisferio sur. La intersección de los

infinitos planos paralelos al plano ecuatorial con el elipsoide de referencia, genera infinitas líneas de

círculos menores denominadas paralelos. La intersección de infinitos planos que contengan al

semieje menor con el elipsoide de referencia genera líneas llamadas meridianos. Por medio de una

convención se ha establecido que el origen de los meridianos (meridiano cero) pasa por el

observatorio de Greenwich en Inglaterra (FUENTES, 2006, p. 35)

La definición de coordenadas geodésicas curvilíneas, corresponde a la determinación de las

coordenadas horizontales latitud geodésica (φ ) y longitud geodésica (λ ), coordenada geodésica

vertical (h).

Latitud geodésica (φ )

Corresponde al ángulo que se forma entre la normal a un punto cualquiera siguiendo la

dirección del meridiano que lo contiene hasta el plano ecuatorial. Posee una variación angular

positiva de 0º a 90º correspondiente al hemisferio norte, la variación angular negativa de -90º a 0º

corresponde al hemisferio sur.

Longitud geodésica (λ )

Corresponde al ángulo diedro que se forma entre el plano meridiano que contiene a un

punto cualquiera y el plano que contiene al meridiano cero. Posee una variación angular positiva de

0º a 180º correspondiente al sentido este del meridiano cero, la variación angular negativa de -180º

a 0º corresponde al sentido oeste del meridiano cero.

- 170 -

Altura elipsoidal (h)

Corresponde a la distancia contenida en la normal de un punto cualquiera, que parte desde

la superficie del elipsoide al punto.

Figura 27: Sistema de coordenadas cartesianas y geodésicas.

Fuente: elaboración propia.

Relación matemática entre coordenadas cartesianas y geodésicas curvilíneas

Debido al frecuente uso de sistemas coordenados, expresados en coordenadas cartesianas o

coordenadas geodésicas curvilíneas, para cálculos de transformación geodésica, es necesario

establecer una relación matemática entre estos sistemas coordenados, con el fin de que un sistema

coordenado pueda ser expresado matemáticamente en otro y viceversa. La relación entre

- 171 -

coordenadas curvilíneas geodésicas ( h,,λφ ) de un punto expresadas en coordenadas cartesianas

( zyx ,, ), puede escribirse como:

( )( )

( )( ) φ

λφλφ

sen1

sencos

coscos

2 heNz

hNy

hNx

+−=

+=

+=

(184)

Donde:

h,,λφ : Latitud, Longitud y altura elipsoidal.

2e : Excentricidad al cuadrado.

N : Gran normal.

Las fórmulas de transformación inversa fueron deducidas por Bowring, y no son iterativas

en su solución, estas se expresan de la forma:

Nd

h

y

x

ead

ebZ

−=

=

⋅⋅−⋅⋅+

=

φ

λ

ϑϑ

φ

cos

arctan

cos

sen'arctan

32

32

(185)

Donde:

⋅⋅=db

Zaarctanϑ

( ) 2/122PP yxd +=

2'e : Segunda excentricidad al cuadrado.

a : Semieje mayor del elipsoide de referencia.

b : Semieje menor del elipsoide de referencia.

- 172 -

Sistema de referencia vertical

La adopción de sistemas de geodésicos de referencia (ver 2.1.), ya sean clásicos o

modernos, involucran el establecimiento de un sistema de referencia vertical que permita determinar

la altura de un punto, la cual puede ser definida como la distancia existente sobre la línea vertical

entre la superficie de referencia y el punto (SIRGAS, 2002, p. 23). La superficie de referencia

altimétrica corresponde al geoide, que en términos sencillos es definido como una superficie

equipotencial, es decir, posee igual valor de atracción gravitacional (ZEPEDA, 2004, p. 61).

Existen cuatro problemas principales asociados a los sistemas de referencia verticales

(DREWES y SÁNCHEZ, 2004, p. 86), estos corresponden a:

• Definición del tipo de alturas que conforman su estructura: estas corresponden a las alturas

geométricas (alturas de nivelación y las alturas elipsoidales) y las alturas físicas (alturas

ortométricas, alturas normales, alturas dinámicas).

• Determinación del nivel básico al que están referidas dichas alturas: referidas a mediciones

realizadas con mareógrafos (nivel medio del mar) u otras superficies de referencia como el

geoide y elipsoide.

• Materialización de las alturas mediante la realización de un marco de referencia: este puede

estar referido a la posición relativa de la marca cero del mareógrafo, tomando en cuenta la

superficie del mar. Por otra parte, puede materializarse mediante la determinación física de

la superficie de referencia (geoide).

• Cambios durante el tiempo: existen problemas asociados a la conexión de puntos en

temporalidades diferentes y las variaciones producidas en la corteza terrestre.

Superficies de referencia para la definición de alturas

En la nivelación clásica se adoptó como referencia vertical el nivel medio del mar, el cual se

determinaba, a través del registro de observaciones del nivel del mar durante largos periodos de

tiempo y se asumía como coincidente con el geoide. Sin embargo, por causa del gran dinamismo

- 173 -

oceánico del planeta, el nivel del mar presenta fluctuaciones que provocan diferencias de hasta dos

metros entre varios mareógrafos (SIRGAS, 2002, p. 27).

A modo de evitar los inconvenientes generados por las mediciones de mareógrafos, es

necesario encontrar una superficie de referencia global, que mantenga como condición ser una

superficie equipotencial y que no dependa de observaciones del nivel del mar.

Geoide

Se define como la superficie equipotencial del campo de gravedad terrestre, es decir,

corresponde a la superficie que posee un potencial de gravedad constante. Su estimación se realiza

mediante la formulación de hipótesis geofísicas sobre la distribución interna de masas del planeta.

Cuasi – Geoide

Se define como una superficie no equipotencial, cercana al geoide. Su estimación se realiza

mediante el modelamiento matemático del campo de gravedad normal, por lo cual no requiere de la

formulación de hipótesis geofísicas.

Elipsoide

Esta superficie de referencia es utilizada principalmente en la definición de alturas

elipsoidales, y es materializada por la utilización de mediciones GPS.

Alturas de tipo geométrico

Estas corresponden a dos tipos de alturas:

Alturas niveladas

Este tipo de alturas se obtienen mediante el proceso de nivelación geométrica, utilizando

métodos ópticos de medición (ver figura 28). Su calculo se realiza mediante la sumatoria de los

- 174 -

desniveles (dn) entre los puntos de medición, que se orientan en el campo de la gravedad local en la

nivelación, por lo cual, dependen del trayecto seguido, ya que, para un mismo punto pueden

obtenerse diferentes alturas niveladas (DREWES & SÁNCHEZ, 2004, p. 92).

Figura 28: Alturas niveladas.

Fuente: SIRGAS – Boletín Informativo nº6.

Debido a la distribución irregular de masas de la Tierra, las diferentes superficies

equipotenciales no son equidistantes y dn depende de la posición donde se niveló el punto en

cuestión. Este tipo de alturas son utilizadas en áreas restringidas donde no se considere ni la figura

elipsoidal de la Tierra ni las variaciones de su campo de gravedad (SIRGAS, 2002, p. 24).

Alturas elipsoidales

Este tipo de altura se obtiene a través de las coordenadas cartesianas geocéntricas, definidas

sobre un elipsoide de referencia (GRS-80; WGS-84), asociado a las mediciones realizadas en el

sistema de posicionamiento global (GPS).

El principal problema que presenta este tipo de alturas es que no consideran el campo de

gravedad terrestre, por lo cual, puntos con niveles diferentes pueden presentar valores iguales o de

manera inversa, debido a esto, su aplicación práctica es mínima (SIRGAS, 2002, p. 25)

- 175 -

Alturas de tipo físico

Estas alturas se obtienen mediante la determinación de las distancias reales entre las

superficies de nivel, expresadas en diferencias de potencial, en las cuales su sumatoria en un

circuito cerrado siempre serán cero, y los resultados entregados por distintas trayectorias serán

iguales. En la práctica, estas diferencias se obtienen mediante la combinación de mediciones

clásicas y valores de gravedad para una zona de interés (SIRGAS, 2002, p. 25). En la determinación

de estas alturas, respecto del geoide, es importante la definición del Número Geopotencial (C):

A

A

WWdngC −=⋅= ∫ 0

0

(186)

Donde:

g : Gravedad observada en el punto de cálculo.

dn: Diferencia de altura.

AW : Potencial sobre la superficie que pasa por el punto de cálculo.

Alturas dinámicas

Este tipo de alturas se obtienen al dividir los números geopotenciales por un valor constante

de gravedad (cteγ ).

ctedin

CH

γ= (187)

Este tipo de altura es altamente dependiente de la distancia referida al punto sobre el cual se

calcula el cteγ (RAMÍREZ y ORTIZ, 2003, p. 16).

Alturas normales

Este tipo de alturas se obtienen al dividir los números geopotenciales por el valor medio de

la gravedad normal entre la superficie de referencia (cuasi – geoide) y el punto ('γ ).

- 176 -

'γC

H norm = (188)

'γ se obtiene de la fórmula de gravedad normal terrestre, la cual está en función de la

latitud geodésica asociada al elipsoide de referencia correspondiente (SIRGAS, 2002, p. 25). El

cálculo de este tipo de alturas no requiere la formulación de hipótesis, ya que, depende de una

gravedad teórica (DREWES y SÁNCHEZ, 2004, p. 98).

Alturas ortométricas

Este tipo de alturas representan la longitud de la línea encorvada de la plomada entre el

geoide y el punto a calcular (DREWES y SÁNCHEZ, 2004, p. 98). Se obtienen al dividir los

números geopotenciales por el valor medio de la gravedad real ( 'g ), entre el punto calculado y el

geoide.

'g

CH ortom = (189)

Las alturas ortométricas requieren de la formulación de hipótesis sobre la gravedad

verdadera entre el terreno y el geoide, además es dependiente de la densidad y distribución de todas

las masas terrestres (DREWES y SÁNCHEZ, 2004, p. 98).

- 177 -

ANEXO II

COORDENADAS DE VÉRTICES GEODÉSICOS

- 178 -

PSAD-56

ZONA ID Este (UTM) (m)

Norte (UTM) (m) X (m) Y (m) Z (m)

BOT1 249638,862 6092071,702 1632169,710 -4950482,787 -3663568,630

BRU1 257856,460 6130563,681 1647862,927 -4968459,393 -3632285,326

CDA1 304688,706 6110480,451 1687887,731 -4942147,599 -3649643,035

CDA2 304558,734 6110912,250 1687854,365 -4942423,160 -3649287,694

CHQ1 209707,371 6106982,454 1597530,401 -4971514,327 -3650422,655

CHQ2 209569,338 6107293,971 1597464,190 -4971726,369 -3650164,581

EMP1 205939,076 6054290,922 1583032,121 -4944242,367 -3693236,035

GUA1 228413,092 6095769,964 1612890,902 -4959413,244 -3660050,612

GUA2 228642,082 6095878,741 1613129,731 -4959397,335 -3659967,477

HUE1 286925,943 6082384,384 1665334,992 -4932930,406 -3672249,834

HUE2 287305,599 6082507,623 1665718,455 -4932870,716 -3672156,726

VIL1 296793,462 6061610,846 1670312,854 -4918381,904 -3689347,422

VIL2 296849,156 6061869,800 1670419,332 -4918503,975 -3689137,888

VPR1 260499,259 6111891,246 1646515,077 -4957581,157 -3647623,756

Z1

VPR2 260618,491 6111487,367 1646544,311 -4957324,943 -3647956,511

CDM1 188056,696 6005501,144 1555883,642 -4923325,076 -3732244,837

CDM2 187779,365 6005053,041 1555526,794 -4923167,786 -3732598,651

EMP2 206184,521 6053887,090 1583179,851 -4943943,500 -3693570,522

ETR1 270123,334 6006507,940 1633610,778 -4897134,692 -3733481,003

POC1 208798,717 5993817,270 1573027,575 -4910213,659 -3742250,011

TLQ1 247751,055 5986727,483 1608319,000 -4893611,340 -3748944,876

TLQ2 247969,614 5986699,250 1608519,315 -4893524,015 -3748972,733

UNI1 228136,905 6003214,762 1593285,704 -4909109,610 -3735169,463

UNI2 228360,243 6003435,419 1593543,246 -4909158,203 -3734996,894

VAN1 284611,630 6022502,681 1650641,628 -4901106,125 -3720842,829

VAN2 284908,322 6022597,207 1650941,190 -4901059,224 -3720772,180

VLL1 243354,250 6027603,398 1612791,620 -4917517,245 -3715818,966

VLL2 243563,796 6027692,841 1613008,238 -4917497,542 -3715751,471

VSA1 281792,096 6012042,553 1645781,258 -4896306,196 -3729248,747

Z1-2

Z2

VSA2 281950,184 6011882,718 1645896,606 -4896165,893 -3729381,149

- 179 -

SIRGAS



BOT1 249455,610 6091698,020 1631824,120 -4950093,235 -3663862,489

BRU1 257673,187 6130190,497 1647518,233 -4968072,287 -3632580,492

CDA1 304505,405 6110106,571 1687542,770 -4941760,146 -3649938,865

CDA2 304375,432 6110538,372 1687509,411 -4942035,727 -3649583,537

CHQ1 209524,091 6106610,133 1597185,125 -4971125,384 -3650715,211

CHQ2 209386,054 6106921,663 1597118,919 -4971337,447 -3650457,136

EMP1 205755,712 6053917,743 1582685,529 -4943850,198 -3693527,062

GUA1 228229,849 6095397,021 1612545,420 -4959023,800 -3660343,598

GUA2 228458,842 6095505,793 1612784,254 -4959007,898 -3660260,476

HUE1 286742,736 6082010,325 1664989,408 -4932540,972 -3672544,336

HUE2 287122,392 6082133,565 1665372,877 -4932481,298 -3672451,240

VIL1 296610,384 6061237,048 1669967,098 -4917991,716 -3689641,060

VIL2 296666,074 6061496,001 1670073,578 -4918113,802 -3689431,538

VPR1 260315,892 6111517,301 1646169,784 -4957192,770 -3647918,844

Z1

VPR2 260435,123 6111113,402 1646199,007 -4956936,527 -3648251,600

CDM1 187873,395 6005127,410 1555535,935 -4922929,683 -3732533,924

CDM2 187596,063 6004679,306 1555179,076 -4922772,365 -3732887,715

EMP2 206001,161 6053513,905 1582833,254 -4943551,311 -3693861,542

ETR1 269940,379 6006134,129 1633263,877 -4896741,024 -3733771,868

POC1 208615,505 5993443,248 1572679,775 -4909817,945 -3742539,275

TLQ1 247568,004 5986353,321 1607971,408 -4893215,999 -3749234,753

TLQ2 247786,565 5986325,089 1608171,726 -4893128,677 -3749262,613

UNI1 227953,822 6002840,832 1592938,340 -4908714,817 -3735459,443

UNI2 228177,162 6003061,490 1593195,890 -4908763,426 -3735286,887

VAN1 284428,680 6022129,021 1650295,170 -4900713,682 -3721134,518

VAN2 284725,361 6022223,550 1650594,725 -4900666,798 -3721063,876

VLL1 243171,345 6027229,795 1612445,064 -4917124,164 -3716110,004

VLL2 243380,892 6027319,242 1612661,686 -4917104,472 -3716042,514

VSA1 281609,131 6011668,820 1645434,546 -4895913,117 -3729540,008

Z1-2

Z2

VSA2 281767,219 6011508,984 1645549,891 -4895772,810 -3729672,408

- 180 -

ANEXO III

COORDENADAS DE PUNTOS DE CONTROL

- 181 -

PSAD-56



BOT2 249746,179 6092768,733 1632415,344 -4950823,567 -3663002,474 Z1 BRU2 257913,953 6130360,356 1647875,438 -4968331,724 -3632453,140

ETR2 270801,817 6006173,207 1634180,052 -4896726,137 -3733765,803 Z1-2

Z2 POC2 209326,694 5993708,900 1573503,683 -4909983,157 -3742351,599

SIRGAS



BOT2 249562,922 6092395,048 1632069,764 -4950434,053 -3663296,366 Z1 BRU2 257730,680 6129987,164 1647530,740 -4967944,605 -3632748,306

ETR2 270618,860 6005799,393 1633833,145 -4896332,466 -3734056,670 Z1-2

Z2 POC2 209143,484 5993334,874 1573155,886 -4909587,446 -3742640,872

modelo de transformaciÓn bidimencional__tesis

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