modelo y resolución del desplazamiento de una onda en una

Universidad de La HabanaFacultad de Matemática y Computación

Modelo y resolución del desplazamiento de una onda en unalámina mediante FEM

Autor: Lic. Manuel Cruz Rodriguez

Tutores:Dr. Victoria Hernández Mederos

Dr. Jorge Estrada SarlabousDr. Eduardo Moreno Hernández

Trabajopresentado en opción al título deMáster en Ciencias MatemáticasMención Matemática Numérica

Junio de 2019

Resumen

La propagación de ondas en materiales elásticos es un problema de interés constante en las úl-timas décadas. Con esta técnica se puede conocer el estado de un material sin tener que realizarestudios que puedan dañar al mismo. Con el Método de los Elementos Finitos (FEM por sus siglasen inglés) se puede ver el comportamiento del material al aplicarle un pulso sin tener que realizarexperimentos físicos que pueden resultar más costosos.

En el trabajo se realiza la modelación de la propagación de un pulso ultrasónico en una placadelgada y se utiliza el software FreeFem++ para calcular la solución aproximada del problema dife-rencial utilizando FEM. Para ello se determina la formulación variacional del sistema de ecuacionesen derivadas parciales planteado en el trabajo y se comprueba la existencia y unicidad de la solución,además de obtener una cota para el error de aproximación. A partir de una solución analítica cono-cida se comparan los resultados y se calcula el error de aproximación.

Palabras claves: Ondas de Lamb, FEM, formulación variacional, curva de dispersión.

II

Abstract

The study of wave’s propagation in elastic materials is a great interest problem in the last deca-des. With this technique, it is possible to check the structural state of a material without performingstudies that may damage it. With Finite Element Method (FEM) it possible analyze the material’sbehavior at applying a pulse without having to perform physical experiments that can be more ex-pensive.

In this work, we compute the propagation of an ultrasonic pulse in a thin plate and the FreeFem++ software is used to calculate the approximate solution of the differential problem using FEM. Star-ting from the wave propagation equation, the variational formulation of the problem is obtained andit is proved that it has a unique solution. In addition, we analyzed the convergence of the methodand compare the aproximation solution whit a analitical solution.

Keywords: Lamb wave, FEM, variational formulation, dispersion curve.

III

Índice general

Introducción 10.1. Revisión histórica y bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1. Definiciones y planteamientos teóricos preliminares 51.1. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Espacio de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Espacio de Sóbolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Teorema de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Método de elemento finito para un problema de propagación de ondas sobre una placa 142.1. Formulación del problema diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2. Formulación variacional. Existencia y unicidad de la solución . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1. Diferencias Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.2. FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.3. Existencia y Unicidad de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3. El espacio de dimensión finita. Existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4. Convergencia del método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3. Implementación computacional 413.1. Implementación computacional para calcular la propagación de la onda . . . . . . . . 423.2. Implementación para determinar la curva de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4. Resultados y discusión 494.1. Solución analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2. Solución numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3. Curva de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Conclusiones 55Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Bibliografía 57

Anexo 60Fichero en FreeFem++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Fichero vf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Fichero velfasespline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Fichero antisim_fase_grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

IV

Introducción

En la actualidad los ensayos no destructivos (END) juegan un papel muy importante dentro dela industria a nivel internacional. Son utilizados en una gran diversidad de áreas, por constituir he-rramientas fundamentales para el control de materiales de ingeniería, procesos de manufactura, con-fiabilidad de productos en servicio y en mantenimiento de sistemas, cuya falla prematura puede sercostosa o desastrosa.

La combinación del aumento continuo de los costos de fabricación, de las condiciones de serviciocada vez más extremas para los componentes estructurales y de la tendencia en el diseño hacia unajuste más estrecho de los márgenes de seguridad, ha impulsado una constante evolución y avancede los métodos de END. Además, se tiene el beneficio de realizar pruebas y evaluaciones a los mate-riales en cuestión de forma indirecta, para determinar sus propiedades físicas o químicas sin dañarsu funcionalidad, ganando en tiempo y dinero. Entre los campos de actividad que utilizan estas téc-nicas se encuentran los relacionados con la producción de energía, transformaciones petroquímicas,transporte de gases y líquidos, estructuras aeronáuticas y aeroespaciales, etc [11, 25].

Dentro del campo de los END, las ondas guiadas ultrasónicas constituyen un área de gran interéshoy en día. Estas ondas se producen en dominios tales como placas, tuberías y barras. Dichas ondastienen la capacidad de recorrer grandes distancias, lo que permite realizar la inspección de un áreaamplia desde una posición fija. Además, es posible emplearlas para inspeccionar zonas ocultas ode difícil acceso, como , por ejemplo, estructuras parcialmente enterradas, recubiertas con materialprotector o aislante, o escondidas tras otros dominios.

Sin embargo, para poder realizar estas inspecciones de forma adecuada, es necesario conocercómo es la propagación de las ondas guiadas en estos materiales y cómo interactúan con los defectos.Esto es debido a que estas ondas presentan el fenómeno conocido como dispersión geométrica que semanifiesta a través de la curva del mismo nombre o CDG, es decir una dependencia entre la velocidadde fase (y por tanto de grupo) con la frecuencia. Este aspecto es indispensable en la calibración delos equipos ultrasónicos para estudiar la posición y tamaño de un defecto. De hecho las normas oestándares internacionales obligan a tener conocimientos de estas técnicas.

Las CDG solo pueden ser obtenidas analíticamente cuando el material tiene una geometría sim-ple. Esto es por ejemplo el caso de barras y placas, sin embargo para el caso de geometrías irregularespueden no existir modelos teóricos. Por otro lado está además el problema de la interacción de es-tas ondas con diversos tipos de defectos mediante mecanismos de reflexión y/o transmisión, dondetambién pueden existir algunos modelos analíticos pero solo para geometrías simples.

De esta manera se precisan de herramientas que puedan obtener esas CDG además de conocerla posible interacción con defectos. En este sentido las herramientas de simulación pueden ser unabuena opción donde se destaca el Método de los Elementos Finitos (FEM por sus siglas en inglés).Hacer esto implica conocer aspectos profundos de la matemática, partiendo de las ecuaciones enderivadas parciales, que en este caso son hiperbólicas.

Para darle solución a este problema no es conveniente el empleo de software comerciales dado

1

2

que el costo de los paquetes es elevado, además usualmente solo se puede utilizar como “caja negra”lo cual hace que sea muchas veces imposible incorporar nuevos problemas o métodos de solución.Una alternativa es el empleo de software libres como es el caso de FreeFem++ [14].

Darle solución a lo planteado anteriormente es una problemática desde los mismos dominiosplanos, es por tanto que nos hemos planteado el siguiente objetivo general:

Objetivo General

Realizar un estudio de la propagación de ondas mecánicas en dominios planos isotrópicos me-diante la solución matemática de las ecuaciones diferenciales por el Método de Elementos Finitos.

Objetivos Específicos

I) Emplear el Método de Diferencias Finitas para aproximar la parte temporal del problema.II) Determinar la formulación variacional para cada instante de tiempo y estudiar la existencia y

unicidad de la solución del problema variacional.III) Construir el sistema de ecuaciones lineales que se derivan de la formulación variacional y em-

plear técnicas de álgebra lineal numérica para determinar su solución.IV) Implementar el algoritmo en el software FreeFem++ que nos grafique la propagación de la onda

y nos de el desplazamiento en la dirección del eje Y.V) Con ayuda del software Python calcular la curva de dispersión geométrica.

0.1. Revisión histórica y bibliográfica

Las primeras investigaciones sobre la propagación de ondas elásticas guiadas fueron realizadasen 1885 dentro del contexto de la Geofísica por Lord Rayleigh1 , quien demostró de forma teóricala existencia de ondas polarizadas verticalmente que se propagan a lo largo de la superficie librede un semiespacio elástico infinito y cuya deformación está confinada en las proximidades de dichasuperficie, con una amplitud exponencialmente decreciente con la profundidad. Estas ondas, quese denominan ondas de Rayleigh en honor a su descubridor, permitieron explicar ciertas señales,detectadas previamente en los registros de sismogramas, cuya velocidad de propagación era inferiora las de las ondas P (del inglés Primary u onda longitudinal) y S (del inglés Secondary u onda decizalladura), pero que podían ser predominantes a ciertas distancias de la fuente [11].

La propagación de ondas guiadas en placas homogéneas, elásticas e isótropas con sus superficieslibre de tracciones fue estudiada en 1889 por Rayleigh y Lamb 2. Ambos obtuvieron la ecuación ca-racterística para ondas en condiciones de deformación plana, que se denomina ecuación de Rayleigh-Lamb (o simplemente CDG), y que proporciona la relación entre la longitud de onda y la frecuencia.En 1917 Lamb publicó un amplio estudio sobre las soluciones de dicha ecuación, donde describía laspropiedades de los modos fundamentales, identificaba las frecuencias de corte y presentaba varioscasos límites que admiten solución analítica (frecuencias tendiendo a cero e infinito, modos de Lamé).

1Jonh William Strutt, Lord Rayleigh (1842-1919), físico británico que realizó descubrimientos fundamentales en loscampos de la acústica y la óptica. Recibió el premio Nóbel de Física en 1904 por el descubrimiento y aislamiento del argón,gas noble presente en la atmósfera.

2Sir Horace Lamb (1849-1934), matemático británico. En la multitud de artículos que publicó, principalmenre dedi-cados a la matemática aplicada, detalló sus investigaciones en propagación de ondas, inducción eléctrica, movimientossísmicos y la teoría de mareas y olas. Es en uno de ellos donde identifica las ondas guiadas en placas libres de traccionesen condiciones de deformación plana, que reciben el nombre de ondas de Lamb en su honor.

3

En honor a sus contribuciones pioneras, esta variedad de ondas guiadas se denomina ondas de Lamb(o también, aunque menos frecuentemente, ondas de Rayleigh-Lamb). La constatación experimentalde las teorías de Lamb fueron realizadas tres décadas más tarde por Firestone y Ling, quienes explo-raron las posibilidades de aplicar estas ondas para la inspección ultrasónica no destructiva de placasmetálicas [11]. Luego en 1960 Worlton (en la General Electric Company) se dio cuenta de las ventajasde la utilización de ondas de Lamb para la detección de defectos en placas y calculó las curvas dedispersión del aluminio y el circonio para describir analíticamente las características de varios modosque permitirían su uso para aplicaciones en END [13]. Otro autor que obtuvo trabajos importantesen esta época fue Hart [11].

En las siguientes décadas las ondas de Lamb fueron estudiadas por muchos investigadores. Vik-torov en 1966 publicó una monografía sobre ondas de Rayleigh y de Lamb en materiales elásticos[30], en la que se discutían tanto sus aspectos físicos (propagación, interacción con varios tipos dedefectos, técnicas de generación y detección) como algunas de sus posibles aplicaciones. Entre estasúltimas se encontraban los END.

Demer y Fentnor (Hughes Aircraft Company, 1969) pusieron en práctica la primera aplicaciónaeroespacial. En su trabajo consideraron a los métodos de análisis por ondas como una de las másfiables aplicaciones de END, y a las ondas de Lamb como una de las mejores maneras de obtenerinformación sobre la densidad, propiedades elásticas y espesor del medio [13].

En los últimos años las ondas de Lamb han tenido una importancia enorme en los END y en lasStructural Health Monitoring (SHM) [13]. Yago Gómez (2007) en su tesis doctoral realizó un estudiode Sistemas Ultrasónicos basados en Multitransductores para la detección de Defectos en Estructurastipo Placa, para eso determinó las curvas de dispersión experimentalmente, además de desarrollar unmodelo por elementos finitos para estudiar la propagación de las ondas de Lamb en los componentesde los aviones [13].

Ralf Weber en el 2012 publicó en [31] sobre la simulación numérica de la propagación de ondasde Lamb guiadas en compuestos reforzados con partículas. En este emplea el método de elementosfinitos para realizar estudios con el fin de comprender mejor cómo la propagación de la onda deLamb en placas compuestas reforzadas con partículas se ve afectada por el cambio de la frecuenciacentral de la señal de excitación.

E. Moreno realiza varias investigaciones en los años 2000 y 2014 donde emplea las ondas de Lambpara la inspección de materiales. En estos emplea el método de propagación de pulso en el materialque es un polímero reforzado con fibra de carbono (por sus siglas en inglés Carbon Fiber ReinforcedPolymer, CFRP) [22, 23]. Los experimentos en dos muestras, con y sin defectos, se presentan utilizan-do transductores longitudinales y torsionales para el corte vertical y el horizontal respectivamente.

Luca y colaboradores en el 2016 realizaron un trabajo de simulación numérica de la propagaciónde las ondas de Lamb en una lamina CFRP impactada [18]. En el trabajo se desarrolla un modelo deelementos finitos para simular la propagación de las ondas Lamb en un laminado CFRP con el fin dedetectar daños e investigar los efectos de la interacción de la onda con respecto a los daños tales comoel tamaño y la orientación (la orientación de las fibras de la primera capa). Para analizar tales efectos,las señales de salida se comparan con la señal de línea de base grabada desde un modelo originalpara optimizar la interacción del daño y amplificar la onda reflejada para una detección confiable.

En [32] Yang y colaboradores en el 2017 estudian el comportamiento de la onda de Lamb para lainspección de uniones compuestas atornilladas. Las uniones de interés estaban separadas en dos ca-sos definidas por la longitud y anchura de la junta. En el artículo se investigan las señales de la ondade Lamb capturadas en las articulaciones antes, durante y después de la prueba de tracción. El com-portamiento de la propagación de la onda de Lamb en las articulaciones, especialmente en la regiónarticulada solapada, se analizó usando una simulación de elementos finitos 3D. Todos los paráme-

4

tros de entrada en la simulación se determinaron experimentalmente mediante pruebas mecánicasfundamentales.

Los trabajos mencionados anteriormente emplean FEM para resolver el problema de propaga-ción de ondas en placas. Sin embargo, no profundizan en los aspectos matemáticos del método deElementos Finitos, dando por sentado que la solución existe, es única y que los errores se mantie-nen acotados. Estos trabajos estudian más la parte de ingeniería y las aplicaciones que van a teneren la industria. En nuestro trabajo pretendemos realizar el fundamento matemático necesario paradeterminar la formulación variacional de nuestro problema y analizar la existencia y unicidad de lasolución tanto del problema variacional como del sistema de ecuaciones lineales obtenido al pasar alespacio de dimensión finita, además de analizar la acotación de los errores numéricos.

El trabajo está estructurado en cuatro capítulos principales y los anexos. En el primer capítuloenunciaremos definiciones, teoremas y propiedades que creemos que son necesarias para una bue-na comprensión de la tesis. En este capítulo se da el teorema de Green que es de mucha utilidadal pasar de integrales de superficie a integrales de línea. Se hace una introducción a los elementosbásicos de los espacios de Sóbolev, donde se plantean las desigualdades de Poincaré-Friedrichs yCauchy-Schwarz. Luego se enuncia el teorema de Lax-Milgram, dado que resulta fundamental parademostrar que la formulación variacional del problema de propagación de ondas está bien planteada.

En el segundo capítulo se muestra al sistema de ecuaciones en derivadas parciales (EDP) que des-cribe la propagación de la onda. Luego se explican los pasos empleados para aproximar la derivadatemporal del sistema de EDP mediante el Método de Diferencias Finitas y para el nuevo sistema re-sultante se determina la formulación variacional en un instante de tiempo. Se demuestra la existenciay unicidad de la solución del problema variacional y se define el modelo para resolver por elementosfinitos. Seguidamente se demuestra que el sistema de ecuaciones lineales tiene una única solución yse determina una cota para el error de aproximación.

En el capítulo 3 se describe la implementación realizada en FreeFem++ para resolver el problemapor el método de elementos finitos. Además se explican algunas de las ventajas de este software quejustifican su elección. También se describe el código empleado para calcular la velocidad de fase y lacurva de dispersión a partir de los resultados obtenidos en FreeFem++.

El capítulo 4 muestra los resultados obtenidos de la simulación y se realiza una comparación conuna solución analítica existente para este caso. También se muestra la curva de dispersión obtenidacomputacionalmente y es comparada con la curva de dispersión analítica.

Finalmente en los Anexos se muestra el código empleado en la tesis para calcular el desplaza-miento de la onda, este código puede ser corrido si se dispone de una distribución de FreeFem++.También se muestra el código implementado en Python para determinar la velocidad de fase delmaterial y la curva de dispersión.

Capítulo 1

Definiciones y planteamientos teóricospreliminares

Este primer capítulo está dedicado a sistematizar los principales fundamentos teórico–concep-tuales que sustentan el estudio del Método de los Elementos Finitos para simular la propagaciónde una onda de Lamb en una placa. Sus epígrafes reflejan las bases para desarrollar la formulaciónvariacional de un sistema de ecuaciones en derivadas parciales, así como desigualdades claves en lashipótesis del Teorema de Lax-Milgram para garantizar la existencia y unicidad de la solución.

1.1. Teorema de Green

En este trabajo emplearemos el Teorema de Green, que nos va a permitir pasar de una integral desuperficie a una integral de línea, con lo que lograremos reducir el orden de las derivadas parciales[29].

Consideremos un dominio Ω⊂R2 limitado por un contorno ∂Ω. Supongamos que las fun-ciones P y Q son continuas en Ω∪ ∂Ω y de clase C1 en Ω. Entonces se cumple la fórmula deGreen ∫∫

Ω

(∂Q∂x− ∂P

∂y

)dxdy =

∮∂Ω

(Pdx + Qdy)

Teorema 1 (de Green)

Un operador que vamos a emplear más adelante en este trabajo es el producto “:” entre dosmatrices cuadradas de igual orden [15]. En este trabajo todas las matrices son cuadradas por lo que ala hora de referirnos a las dimensiones de la matriz basta con mencionar de qué orden son.

5

Capítulo 1. Definiciones y planteamientos teóricos preliminares 6

Sean A = (aij) y B = (bij) dos matrices de orden n, definimos el producto “:” entre A y Bcomo

A : B =n

∑i,j=1

aijbij

Definición 1.1 (de Producto :)

Veamos la siguiente propiedad que cumple el producto ":"

Sean A, B y C tres matrices de orden n; α, β ∈R del cuerpo de escalares, entonces

(αA + βB) : C = αA : C + βB : C

Propiedad 1.1

Demostración:

αA + βB = (αaij + βbij)ni,j=1 ⇒ (αA + βB) : C =

n

∑i,j=1

(αaij + βbij)cij

⇒ (αA + βB) : C =n

∑i,j=1

(αaijcij + βbijcij)

⇒ (αA + βB) : C = αn

∑i,j=1

(aijcij) + βn

∑i,j=1

(bijcij)

⇒ (αA + βB) : C = αA : C + βB : C

Veamos la definición del Gradiente de una función escalar.

Se define el operador nabla como el vector que contiene las derivadas parciales:

∇ =

(∂

∂x,

∂

∂y

)Definición 1.2 (Operador ∇)

Se define el gradiente de una función u(x) : R2→R, x = (x,y), como

∇u(x) =(

∂u∂x

,∂u∂y

)Definición 1.3 (Gradiente de u)

En el caso de una función vectorial, el gradiente de la función no es más que el Jacobiano, veamos


su definición:

Se define el Jacobiano de una función u(x) = (ux(x),uy(x)) : R2→R2, como

J(u(x)) =

∂ux

∂x∂ux

∂y∂uy

∂x∂uy

∂y

Definición 1.4 (Jacobiano de u)

1.2. Espacio de Hilbert

Antes de entrar en los espacios de Sóbolev, vamos a ver un espacio que es una generalización delconcepto de espacio euclidiano, estos son los espacios de Hilbert [3, 24].

Dado un espacio con producto escalar (H, 〈·, ·〉), se dice que H es un espacio de Hilbert sies completo en la norma

‖u‖H =√〈u,u〉,∀u ∈ H

Definición 1.5 (Espacio de Hilbert)

Muchas de las desigualdades que se van a emplear para demostrar que la formulación variacio-nal de nuestro trabajo está bien planteada requieren que el dominio de estudio sea un dominio deLipschitz. Veamos cual es su definición:

Sea Ω ⊂ R2. Decimos que Ω es un dominio de Lipschitz si para cada punto de q ∈ ∂Ω lecorresponde un sistema de coordenadas locales (x,y), una vecindad Bq y una función f (x)tal que:

1. | f (x2)− f (x1)| ≤ L|x2 − x1|2. Bq ∩Ω = Bq ∩ (x,y) : y > f (x)3. Bq ∩ ∂Ω = Bq ∩ (x,y) : y = f (x)

Definición 1.6 (Dominio de Lipschitz)

Una desigualdad importante a la hora de trabajar con acotaciones en los espacios de Hilbert es ladesigualdad de Cauchy-Schwarz [16, 24] , veamos qué dice:


Si H es un espacio de Hilbert con producto escalar 〈·, ·〉 entonces se cumple la siguientedesigualdad

|〈u(x),v(x)〉| ≤ ‖u(x)‖H‖v(x)‖H, ∀u,v ∈ H

Teorema 2 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)

Los espacios de Banach, llamados así en honor del matemático polaco, Stefan Banach [3] , son unode los objetos de estudio más importantes en análisis funcional. Un espacio de Banach es típicamenteun espacio de funciones de dimensión infinita. Veamos su definición:

Un espacio de Banach es un espacio vectorial V sobre el cuerpo de los números reales o elde los complejos con una norma ‖ · ‖ tal que toda sucesión de Cauchy en V tiene un límiteen V.

Definición 1.7 (Espacio de Banach)

Una importante gama de espacios de Banach, son los espacios Lp con 1 ≤ p < ∞, en este trabajovamos a trabajar sobre el espacio L2, veamos cómo se define:

El espacio de funciones Lp se define como

Lp(Ω) =

f : Ω→R :∫∫Ω

| f |pdxdy < ∞

Definición 1.8 (Espacio de funciones Lp)

Recordemos como se define la norma en el espacio L2.

Se define la norma en L2(Ω), Ω ⊂R2 de una función escalar u(x) : Ω→R como

‖u(x)‖L2(Ω) =

∫∫Ω

(u(x))2dxdy

1/2

Si es una función vectorial u(x) = (ux,uy) : Ω→R2, se define la norma como

‖u(x)‖L2(Ω) =

∫∫Ω

((ux)

2 + (uy)2)dxdy

1/2

Definición 1.9 (Norma en L2)

Veamos algunos ejemplos de espacios de Hilbert con los que vamos a trabajar más adelante


Ejemplo 1.1

1. H =

u(x) ∈ L2(Ω)× L2(Ω)

con producto escalar

〈u(x),v(x)〉L2(Ω) =∫∫Ω

u(x) · v(x)dxdy =∫∫Ω

(uxvx + uyvy)dxdy

Notemos que el producto u · v no es más que el producto escalar entre dos vectores. A partir deeste momento emplearemos este producto de esta forma.

2. H =

A(x) =(aij(x))i,j=1,2 | aij(x) ∈ L2(Ω)

con producto escalar

〈A(x),B(x)〉L2(Ω) =∫∫Ω

A(x) : B(x)dxdy =∫∫Ω

2

∑i,j=1

aij(x)bij(x)dxdy

Para el caso de una matriz se conoce la norma de Frobenius [17], que cuando es una funciónmatricial se define como:

Dada una función matricial A(x) = aij(x)ni,j=1, se define la norma como

‖A(x)‖L2(Ω) =

∫∫Ω

n

∑i,j=1

(aij(x)

)2 dxdy

1/2

Definición 1.10 (Norma de Frobenius en L2)

A partir de ahora hay que tener cuidado cuando trabajemos con las normas, ya que vamos a estartrabajando con tres tipos de normas distintas: para una función escalar, una vectorial y una matricial.Veamos una norma importante que se va a emplear mucho en este trabajo.

Ejemplo 1.2

‖J(u)‖2L2(Ω) =

∫∫Ω

(∂ux

∂x

)2

+

(∂ux

∂y

)2

+

(∂uy

∂x

)2

+

(∂uy

∂y

)2

dxdy

1.3. Espacio de Sóbolev

Los espacios de Sóbolev, ocupan un lugar destacado en el análisis funcional. La teoría de estosespacios es iniciada por matemáticos a principio del siglo XX y en particular por Sergéi LvóvichSóbolev en el año 1930. Estos espacios no se introdujeron para algunos propósitos teóricos, sino porla necesidad de la teoría de la ecuaciones diferenciales parciales [4]. Dado que las funciones en unespacio de Sóbolev no tienen que tener derivada en algún punto, es necesario conocer un conceptomás general de derivada que se conoce por el nombre de derivada distribucional o derivada débil [7]que denotaremos por Dα. La derivada débil en el caso que las funciones sean derivables coincide con


la derivada usual.

Sea α = (α1,α2, . . . ,αn) donde αk es un número entero no negativo para k = 1, . . . ,n. Se defineel operador Dα como

Dα =

(∂|α|

∂xα11 . . . ∂xαn

n

)φ(x1, . . . , xn)

donde |α| =n∑

k=1αk.

Definición 1.11 (Operador Diferencial)

Veamos la definición de espacio de Sóbolev [5, 8].

Sea Ω ⊂ Rn un conjunto abierto y 1 ≤ p < ∞. Si m es un número entero no negativo, u ∈Lp(Ω) y existe la derivada distribucional Dαu para cualquier α con |α| ≤ m, tal que

Dαu ∈ Lp(Ω);∀|α| ≤ m

Entonces se dice que u ∈Wm,p(Ω). Wm,p(Ω) es llamado espacio de Sóbolev sobre Ω.

Definición 1.12 (Espacio de Sóbolev)

Veamos como se define el espacio de Sóbolev H1(Ω).

Sea la región Ω subconjunto de un compacto de R2. Se define el espacio de Sóbolev H1(Ω)como

H1(Ω) =

u ∈ L2(Ω) : ‖u‖H1(Ω) < ∞

donde ‖u‖2H1(Ω)

= ‖u‖2L2(Ω)

+ ‖∇u‖2L2(Ω)

Definición 1.13 (Espacio de Sóbolev H1(Ω) = W1,2(Ω))

El espacio H1(Ω) es normado y completo. Además es un espacio de Hilbert con producto interno

〈u,v〉H1(Ω) = 〈u,v〉L2(Ω) + 〈∇u,∇v〉L2(Ω) (1.1)

En la teoría de elasticidad 2D se define el tensor de deformación S(2× 2) a partir del Jacobiano(1.4) del desplazamiento u de la siguiente forma:

S(u) =12(J(u) + (J(u))t) (1.2)

S(u) = Sij(u) =

∂ux

∂x12

∂ux

∂y+

∂uy

∂x12

∂ux

∂y+

∂uy

∂x∂uy

∂y

(1.3)


La ley de Hooke establece qué relación existe entre el tensor de deformación S y el de esfuerzoσ(2× 2) [2, 10]:

σ(u) = σij2i,j=1 =

(λtr(S(u)) + 2µS11(u) 2µS12(u)

2µS21(u) λtr(S(u)) + 2µS22(u)

)(1.4)

donde λ y µ son las constantes de Lamé correspondientes a un material y

tr(S(u)) =∂ux

∂x+

∂uy

∂y(1.5)

A la hora de demostrar que la forma bilineal de nuestro trabajo es coercitiva es necesaria la de-sigualdad de Korn [6, 7, 15].

Sea Ω ⊂ R2 un conjunto acotado y abierto con frontera continua a pedazos. Supongamosque Γ ⊂ ∂Ω tiene una medida unidimensional positiva. Entonces existe una constante α =α(Ω,Γ) > 0 tal que: ∫∫

Ω

(S(v) : S(v))dxdy ≥ α‖v‖2H1

Γ(Ω) ,∀v ∈ H1Γ(Ω)

dondeH1

Γ =

v ∈ (H1(Ω)× H1(Ω));v|Γ = 0

con norma‖v‖2

H1Γ= ‖J(v)‖2

L2(Ω)

Teorema 3 (Desigualdad de Korn)

Veamos como queda el producto expresado en el Teorema 3

S(v) : S(v) =2

∑i,j=1

(Sij(v)

)2

=

(∂vx

∂x

)2

+

(12

(∂vx

∂y+

∂vy

∂x

))2

+

(12

(∂vy

∂x+

∂vx

∂y

))2

+

(∂vy

∂y

)2

=

(∂vx

∂x

)2

+12

(∂vx

∂y+

∂vy

∂x

)2

+

(∂vy

∂y

)2

Este producto va ser de mucha utilidad en los capítulos siguientes, por lo que hay que estar bienatentos en que este producto es entre dos matrices cuadradas de igual orden, que en el caso que seael producto de la misma matriz obtenemos la suma de las componentes al cuadrado.

La desigualdad de Poincaré-Friedrichs [3, 19] es otra desigualdad importante que vamos a em-


plear en este trabajo para probar las condiciones del Teorema de Lax-Milgran.

Sea Ω un subconjunto abierto, Lipschitz-continuo y conexo de R2. Suponga que Γ es unsubconjunto cerrado de ∂Ω con interior no vacío. Se define

H1Γ(Ω) =

u ∈ H1(Ω) : u|Γ = 0

Entonces existe una constante C > 0 que depende de Ω tal que ∀u ∈ H1

Γ(Ω) se cumple‖u‖L2(Ω) ≤ C‖∇u‖L2(Ω)

Teorema 4 ( Desigualdad de Poincaré-Friedrichs)

1.4. Teorema de Lax-Milgram

Para demostrar la existencia y unicidad de la solución de un problema variacional, con frecuen-cia se emplea el Teorema de Lax-Milgram, antes de mencionar este teorema debemos introducir lassiguientes definiciones:

Sea H un espacio de Hilbert con el producto interior 〈·, ·〉. Se dice que la forma

a : H × H → R

(u,v) 7→ a(u,v)

es bilineal si es lineal respecto a cada componente

a(αu + βv,w) = αa(u,w) + βa(v,w)

a(w,αu + βv) = αa(w,u) + βa(w,v)

es continua [9] si existe una constante α > 0 tal que|a(u,v)| ≤ α‖u‖H‖v‖H ∀u,v ∈ H

y es coercitiva [9] si existe una constante β > 0 tal quea(u,u) ≥ β‖u‖2

H ∀u ∈ H

Definición 1.14 (Forma bilineal continua y coercitiva)


Si H es un espacio de Hilbert y F : H → R es una forma lineal sobre H. Se dice que F escontinua [9] si existe α > 0 tal que

|F(u)| ≤ α‖u‖H ∀u ∈ H

Definición 1.15 (Forma lineal continua)

Dadas estas definiciones podemos enunciar el Teorema de Lax-Milgram [9].

Sea H un espacio de Hilbert, a(·, ·) una forma bilineal, continua y coercitiva sobre H, y F(·)una forma lineal continua sobre H. Entonces existe un único u ∈ H tal que

a(u,v) = F(v), ∀v ∈ HAdemás, si a(·, ·) es simétrica, entonces u está caracterizado por la propiedad

12

a(u,u)− F(u) = mınv∈H

12

a(v,v)− F(v)

Teorema 5 (Lax-Milgram)

Capítulo 2

Método de elemento finito para unproblema de propagación de ondas sobreuna placa

El FEM constituye una herramienta certera desde principios matemáticos para simular la propa-gación de una onda de Lamb en una placa. Este capítulo refleja el desarrollo del método de Diferen-cias Finitas para aproximar la derivada temporal de las incógnitas, así como la formulación varia-cional del problema diferencial respecto a las variables espaciales. Además se estudia la existenciay unicidad de la solución tanto en el espacio infinito-dimensional como en el espacio de dimensiónfinita y se analiza si existen acotaciones para el error de aproximación.

2.1. Formulación del problema diferencial

La propagación de ondas en medios isotrópicos ha sido estudiada por muchos autores y se cono-ce que el desplazamiento u = (ux,uy) de las partículas en un material de densidad ρ, con constantesde Lamé λ y µ es la solución del sistema de ecuaciones diferenciales (2.1); donde x y y son las coor-denadas espaciales y t el tiempo [10]:

λ

(∂2ux

∂x2 +∂2uy

∂x∂y

)+ 2µ

∂2ux

∂x2 + µ

(∂2ux

∂x∂y+

∂2uy

∂x2

)= ρ

∂2ux

∂t2

λ

(∂2uy

∂y2 +∂2ux

∂x∂y

)+ 2µ

∂2uy

∂y2 + µ

(∂2ux

∂x∂y+

∂2uy

∂x2

)= ρ

∂2uy

∂t2

(2.1)

El sistema de ecuaciones diferenciales (2.1) se puede reescribir de forma más compacta. Para ellocalculemos la divergencia de σ definido en (1.4)

∇ · σ =

∂σ11

∂x+

∂σ21

∂y∂σ12

∂x+

∂σ22

∂y

14

Capítulo 2. Método de elemento finito para un problema de propagación de ondas sobre una placa 15

y si sustituimos las expresiones de σij dadas en (1.4) obtenemos

∇ · σ(u) =

λ

(∂2ux

∂x2 +∂2uy

∂x∂y

)+ 2µ

∂2ux

∂x2 + µ

(∂2ux

∂x∂y+

∂2uy

∂x2

)

µ

(∂2ux

∂x∂y+

∂2uy

∂x2

)+ λ

(∂2uy

∂y2 +∂2ux

∂x∂y

)+ 2µ

∂2uy

∂y2

(2.2)

Teniendo en cuenta (2.2) podemos reescribir el sistema (2.1) como

ρ∂2u∂t2 =∇ · σ(u) (2.3)

Notemos que la ecuación (2.3) es una forma de expresar la ley de Newton para el problemade elasticidad, la cual clásicamente dice que: masa (ρ) por aceleración

(∂2u∂t2

)es igual a la fuerza

(∇ · σ(u)).El dominio Ω donde vamos a trabajar es una región rectangular con frontera ∂Ω = δ1∪ δ2∪ δ3∪

δ4, como se muestra en la Figura (2.1).

Figura 2.1: Región Ω sobre la que se va a desarrollar el problema de elasticidad de la placa.

A esta placa se le va a aplicar un pulso en la frontera δ4 descrito por la siguiente función

g(t) = φsin(2π f0t)e

−α(t− T0)2

T2

(2.4)

donde t es el tiempo transcurrido desde 0 s hasta 1,5 · 10−5 s; los valores de α, φ, T0 y T se muestran enla tabla (2.1) para los distintos valores de frecuencia f0; en la figura (2.2) se muestra el pulso emitidopara una frecuencia f0 = 600KHz.

Tabla 2.1 Parámetros empleados en la función que describe el pulso emitido en la frontera δ4 paracada valor de frecuencia utilizado.

f0 100 · 103 Hz 200 · 103 Hz 300 · 103 Hz 600 · 103 Hz 700 · 103 Hzα 2,5 · 10−2 1,5 · 10−1 8 · 10−2 1,1 1,5φ 107 m 107 m 107 m 107 m 107 mT0 23 · 10−6 s 12 · 10−6 s 8 · 10−6 s 4 · 10−6 s 3 · 10−6 sT 2 · 10−6 s 2 · 10−6 s 1 · 10−6 s 2 · 10−6 s 2 · 10−6 s

Como podemos notar este pulso está determinado por el producto de una función seno y una

gaussiana, por lo que φ determina el punto más alto de la campana, T0 es la posición del centro yT√α

determina el ancho de la gaussiana. En el seno el término f0 representa la frecuencia de la oscilación.


Figura 2.2: Pulso que se emite en la frontera δ4 de la placa para una frecuencia f0 = 600 · 103 Hz.

El resto de los lados δ1,δ2 y δ3 están libres. Por tanto el problema que se quiere resolver en estetrabajo es calcular el desplazamiento u(t, x,y) que satisfaga la ecuación (2.3) con las condiciones defrontera de tipo Dirichlet y de Neumann siguientes

u = (0, g), (x,y) ∈ δ4σ(u) · n = 0, (x,y) ∈ δ1,δ2,δ3

(2.5)

donde ∂Ω = δ1⋃

δ2⋃

δ3⋃

δ4 es la frontera de Ω como se muestra en la Figura (2.1), n(x,y) es elvector normal a la frontera de la placa en el punto (x,y) y g es el pulso que se le aplica al material enla frontera δ4, además de las condiciones iniciales

u(0, x,y) = 0, (x,y) ∈Ω∂u∂t

(0, x,y) = 0, (x,y) ∈Ω(2.6)

donde 0 = (0,0) es el cero en R2. Las condiciones de frontera de Neumann en (2.5) se pueden rees-cribir de la siguiente forma

∂ux

∂y+

∂uy

∂x= 0, λ

(∂ux

∂x+

∂uy

∂y

)+ 2µ

∂uy

∂y= 0, (x,y) ∈ δ1,δ3

∂ux

∂y+

∂uy

∂x= 0, λ

(∂ux

∂x+

∂uy

∂y

)+ 2µ

∂ux

∂x= 0, (x,y) ∈ δ2

(2.7)

2.2. Formulación variacional. Existencia y unicidad de la solución

Para reducir el orden de las derivadas temporales en la ecuación (2.3) podemos realizar el siguien-te cambio de variable:

u∗(t, x,y) =∂u(t, x,y)

∂t(2.8)

Sustituyendo (2.8) en la ecuación (2.3) obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:ρ

∂u∗

∂t=∇ · σ(u), (x,y) ∈Ω

u∗ =∂u∂t

, (x,y) ∈Ω(2.9)


2.2.1. Diferencias Finitas

Para calcular la derivada de u y u∗ respecto al tiempo, vamos a emplear el método de DiferenciasFinitas, que aproxima las derivadas mediante el polinomio de Taylor. Consideremos el tiempo en elintervalo I = [0, t f ] y construyamos una partición

Ii =

ti = i · ∆t, i = 0...N, N =

t f

∆t

(2.10)

Seaui = u(ti, x,y) (2.11)

aproximaremos la derivada de u respecto al t mediante el cociente de diferencias hacia atrás en elintervalo Ii, obteniendo:

∂u(ti, x,y)∂t

=ui − ui−1

∆t(2.12)

Realizando la misma operación con la derivada de u∗ respecto a t, nos queda:

∂u∗(ti, x,y)∂t

=u∗i − u∗i−1

∆t(2.13)

Si sustituimos en (2.9) las expresiones obtenidas en (2.12) y (2.13) para la derivada de u y u∗

respecto al tiempo se obtiene la siguiente discretización respecto al tiempo (t) para el problema plan-teado ρ

u∗i − u∗i−1

∆t=∇ · σ(ui), (x,y) ∈Ω

u∗i =ui − ui−1

∆t, (x,y) ∈Ω

, i = 1, ..., N (2.14)

con condiciones de frontera

ui = (0, g (ti)) , (x,y) ∈ δ4σ (ui) · n = 0, (x,y) ∈ δ1,δ2,δ3

(2.15)

y condiciones iniciales

u0(x,y) = 0, (x,y) ∈Ωu∗0(x,y) = 0, (x,y) ∈Ω

(2.16)

Ahora sustituyendo en la primera ecuación de (2.14) el valor de u∗i , expresado en la segundaecuación de (2.14), obtenemos:

ρui − 2ui−1 + ui−2

(∆t)2 =∇ · σ(ui), (x,y) ∈Ω, i = 1, ..., N (2.17)

De ahora en adelante el problema es encontrar ui que satisfaga (2.17) y que va a depender delos valores de ui−1 y ui−2 encontrados en las iteraciones anteriores. Podemos tomar como términoindependiente los valores ui−1 y ui−2, por lo que la ecuación (2.17) nos queda

ρui − (∆t)2 [∇ · σ(ui)] = ρ (2ui−1 − ui−2) , (x,y) ∈Ω, i = 1, ..., N (2.18)


Si evaluamos la segunda ecuación de (2.14) en el paso i = 0, obtenemos que

u∗0 =u0 − u−1

∆t(2.19)

y empleando las condiciones iniciales de (2.16) se llega a

u−1 = 0 (2.20)

Por tanto las condiciones iniciales ahora son:

u0(x,y) = 0, (x,y) ∈Ωu−1(x,y) = 0, (x,y) ∈Ω

(2.21)

Ahora falta ver cómo vamos a calcular las incógnitas en cada iteración.

2.2.2. FEM

En la sección anterior aproximamos la derivada temporal de u, ahora vamos a ver cómo calcula-mos para cada instante de tiempo la nueva solución ui dependiendo de las anteriores ya calculadas.Hasta aquí hemos obtenido un problema (2.18) con condiciones de frontera (2.15) de Dirichlet y deNeumann y con condiciones iniciales (2.21). Para darle solución vamos a emplear el Método de losElementos Finitos. Para poder aplicar el FEM es necesario encontrar la formulación variacional co-rrespondiente a este problema y demostrar que la misma tiene solución y que es única. Seguidamen-te, se formula la aproximación por elementos finitos y se prueba su existencia y unicidad, así comosu convergencia a la solución del problema original. Para determinar la formulación variacional delproblema (2.18) debemos construir el espacio de funciones donde vamos a trabajar

V = v ∈ ((H1(Ω)× (H1(Ω)) : v|δ4 = (0, g) (2.22)

Es fácil ver que (2.22) definido de esta forma no es un espacio vectorial pues si u,v ∈ V, su sumaw = u + v no pertenece a V ya que w|δ4 = (0,2g).

Entonces V no es un espacio vectorial y por tanto no es de Hilbert. Para solucionar esto se tomala solución ui como la suma de una función que es cero sobre la frontera de Dirichlet más otra que nolo es

ui = u0i + ug

i (2.23)

donde u0i vale cero sobre δ4 y

ugi (x,y) =

0, (x,y) ∈Ω \ δ4

(0, g(ti)) , (x,y) ∈ δ4(2.24)

Por tanto ahora la incógnita es u0i . Si se sustituye (2.23) en el problema (2.18) se obtiene

ρu0i − (∆t)2∇ · σ

(u0

i

)= fi, (x,y) ∈Ω (2.25)

donde

fi = ρ (2ui−1 − ui−2)− ρugi (2.26)


con condiciones de frontera

u0i = 0, δ4

σ(u0

i

)· n = 0, δ1,δ2,δ3

(2.27)

y valores iniciales

u00(x,y) = 0, (x,y) ∈Ω

u0−1(x,y) = 0, (x,y) ∈Ω

(2.28)

El espacio de funciones lo vamos a tomar que cumpla las siguientes condiciones

V0 = v ∈ (H1(Ω)× H1(Ω)) : v|δ4 = 0 (2.29)

Este espacio (2.29) es un espacio de Hilbert [15] con la norma

‖v‖2V0

= ‖J(v)‖2L2(Ω) (2.30)

ya que la función v(x,y) es cero en un pedazo de la frontera con medida (unidimensional) mayorque 0, con lo que se garantiza que la única función continua que anula la norma del Jacobiano es lafunción nula. Sobre el espacio V0 es donde se determina la formulación variacional del problema ydonde se demuestra la existencia y unicidad de la solución.

Ahora, si en la ecuación del problema (2.25), multiplicamos escalarmente en ambos miembros poruna función v ∈ V0 e integramos sobre Ω obtenemos∫∫

Ω

[ρu0

i · v]

dxdy− (∆t)2∫∫Ω

[(∇ · σ(u0

i ))· v]

dxdy =∫∫Ω

[fi · v]dxdy (2.31)

Veamos el siguiente lema:

El segundo sumando de (2.31) se puede reescribir como

−∫∫Ω

[(∇ · σ) · v]dxdy =∫∫Ω

[−∇ · (σ · v) + σ11

∂vx

∂x+ σ12

∂vy

∂x+ σ21

∂vx

∂y+ σ22

∂vy

∂y

]dxdy

Lema 2.1

Demostración:

Trabajemos con el segundo sumando de la expresión (2.31)∫∫Ω

[(∇ · σ(u0

i ))· v]

dxdy =∫∫Ω

[(

∂σ11

∂x+

∂σ21

∂y)vx + (

∂σ12

∂x+

∂σ22

∂y)vy

]dxdy


Notemos que

∂(σ11vx)

∂x=

∂σ11

∂xvx + σ11

∂vx

∂x∂(σ12vy)

∂x=

∂σ12

∂xvy + σ12

∂vy

∂x∂(σ21vx)

∂y=

∂σ21

∂yvx + σ21

∂vx

∂y∂(σ22vy)

∂y=

∂σ22

∂yvi + σ22

∂vy

∂y

(2.32)

Entonces de (2.32) obtenemos

− (∇ · σ) · v = −∇ · (σ · v) + σ11∂vx

∂x+ σ12

∂vy

∂x+ σ21

∂vx

∂y+ σ22

∂vy

∂y(2.33)

Sustituyendo (2.33) en la segunda integral del lado izquierdo de (2.31) nos queda la igualdaddeseada.

En el Lema (2.1), separemos la integral del lado derecho en la suma de dos integrales∫∫Ω

[−∇ · (σ · v)]dxdy +∫∫Ω

[σ11

∂vx

∂x+ σ12

∂vy

∂x+ σ21

∂vx

∂y+ σ22

∂vy

∂y

]dxdy (2.34)

Veamos el siguiente lema:

La primera integral de (2.34) se anula.

Lema 2.2

Demostración:

La primera integral de (2.34) al realizar los productos escalares correspondientes, queda∫∫Ω

[−∇ · (σ · v)]dxdy =∫∫Ω

[− ∂

∂x(σ11vx + σ12vy)−

∂

∂y(σ21vx + σ22vy)

]dxdy

Tomando P = σ21vx + σ22vy, Q =−(σ11vx + σ12vy) y aplicando el Teorema de Green (Ver Teorema 1),nos queda ∫∫

Ω

[−∇ · (σ · v)]dxdy =∮

∂Ω

(σ21vx + σ22vy

)dx−

(σ11vx + σ12vy

)dy (2.35)

Como ∂Ω = δ1∪ δ2∪ δ3∪ δ4 podemos separar la integral (2.35) en la suma de integrales en cadapedazo de frontera, quedando de la siguiente forma

∫∫Ω

[−∇ · (σ · v)]dxdy =4

∑i=1

∮δi

(σ21vx + σ22vy

)dx−

(σ11vx + σ12vy

)dy (2.36)


Parametrizando cada curva δi, queda

δ1 = (θ,0); θ ∈ (0, l1); dx = dθ dy = 0δ2 = (l1,θ); θ ∈ (0, l2); dx = 0 dy = dθ

δ3 = (l1 − θ, l2); θ ∈ (0, l1); dx = −dθ dy = 0δ4 = (0, l2 − θ); θ ∈ (0, l2); dx = 0 dy = −dθ

(2.37)

donde l1 y l2 son las dimensiones de la placa en x y y respectivamente.Sustituyendo (2.37) en la integral curvilínea (2.36) queda

l1∮0

(σ21vx + σ22vy

)dθ −

l2∮0

(σ11vx + σ12vy

)dθ −

l1∮0

(σ21vx + σ22vy

)dθ +

l2∮0

(σ11vx + σ12vy

)dθ (2.38)

Empleando las condiciones de frontera (2.27) y que v ∈ V0, tenemos que

En δ1, σ22 = 0 y σ12 = σ21 = 0En δ2, σ11 = 0 y σ12 = σ21 = 0 (2.39)En δ3, σ22 = 0 y σ12 = σ21 = 0En δ4, v = 0

De (2.39) vemos que las integrales curvilíneas en (2.38) se anulan, de esta forma llegamos∫∫Ω

[−∇ · (σ · v)]dxdy = 0

Por tanto del Lema (2.1) y (2.2) nos queda

−∫∫Ω

[(∇ · σ) · v]dxdy =∫∫Ω

[σ11

∂vx

∂x+ σ12

∂vy

∂x+ σ21

∂vx

∂y+ σ22

∂vy

∂y

]dxdy (2.40)

Ahora introduzcamos otro lema que nos relaciona la integral (2.40) con el tensor de deformación.

La integral (2.40) se puede rescribir como

−∫∫Ω

[(∇ · σ) · v]dxdy = 2µ∫∫Ω

[S(u0

i ) : S(v)]

dxdy + λ∫∫Ω

[(∇ · u0

i )(∇ · v)]

dxdy

Lema 2.3

Demostración:

Sustituyendo la expresión de σ(u0i ) (Ver 1.4) en la integral de la derecha de (2.40)


∫∫Ω

[(λtr(S(u0

i )) + 2µS11(u0i )) ∂vx

∂x+ 2µS12(u0

i )∂vy

∂x+ 2µS21(u0

i )∂vx

∂y

+(λtr(S(u0

i )) + 2µS22(u0i )) ∂vy

∂y

]dxdy

Ahora, realizando algunos trabajos algebraicos

∫∫Ω

[λtr(S(u0

i ))

(∂vx

∂x+

∂vy

∂y

)+ 2µ

(S11(u0

i )∂vx

∂x+ S12(u0

i )∂vy

∂x+ S21(u0

i )∂vx

∂y+ S22(u0

i )∂vy

∂y

)]dxdy

como S12(u0i ) = S21(u0

i )

∫∫Ω

[λtr(S(u0

i ))

(∂vx

∂x+

∂vy

∂y

)+ 2µ

(S11(u0

i )∂vx

∂x+ S12(u0

i )

(∂vy

∂x+

∂vx

∂y

)+ S22(u0

i )∂vy

∂y

)]dxdy

=∫∫Ω

[λtr(S(u0

i ))

(∂vx

∂x+

∂vy

∂y

)+ 2µ

(S11(u0

i )∂vx

∂x

+S12(u0i )

12

(∂vy

∂x+

∂vx

∂y

)+ S21(u0

i )12

(∂vy

∂x+

∂vx

∂y

)+ S22(u0

i )∂vy

∂y

)]dxdy

(2.41)

de donde empleando el producto : entre matrices (Definición 1.1) la integral (2.41) nos queda∫∫Ω

[λtr(S(u0

i ))

(∂vx

∂x+

∂vy

∂y

)+ 2µ

(S(u0

i ) : S(v))]

dxdy (2.42)

Notemos que:

tr(S(u0i ))

(∂vx

∂x+

∂vy

∂y

)=

(∂u0

x(i)

∂x+

∂u0y(i)

∂y

)(∂vx

∂x+

∂vy

∂y

)= (∇ · u0

i )(∇ · v) (2.43)

Ahora sustituyendo el resultado anterior (2.43) en la integral (2.42), se obtiene el resultado desea-do.

Después de los resultados anteriores se puede enunciar la siguiente proposición donde se muestrala formulación variacional obtenida en el trabajo.


El problema (2.25) se puede reescribir de la siguiente forma:

Dados ρ, λ, µ, ∆t ∈R, determinar u0i ∈V0 que satisfaga la siguiente formulación variacional

∀v ∈ V0.

ρ∫∫Ω

[u0

i · v]

dxdy + 2µ(∆t)2∫∫Ω

[S(u0

i ) : S(v)]

dxdy

+λ(∆t)2∫∫Ω

[(∇ · u0

i )(∇ · v)]

dxdy =∫∫Ω

[ρ (2ui−1 − ui−2) · v]dxdy

Proposición 2.1

Demostración:

Partiendo de la expresión (2.31) y empleando los lemas (2.1), (2.2) y (2.3), se obtiene

ρ∫∫Ω

[u0

i · v]


[S(u0

i ) : S(v)]

dxdy

+λ(∆t)2∫∫Ω

[(∇ · u0

i )(∇ · v)]

dxdy =∫∫Ω

[fi · v]dxdy(2.44)

Si sustituimos la expresión de fi (2.26) en la integral del lado derecho de la igualdad (2.44), obte-nemos ∫∫

Ω

[fi · v]dxdy =∫∫Ω

[(ρ (2ui−1 − ui−2)− ρug

i

)· v]

dxdy

Por la linealidad de la integral∫∫Ω


[ρ (2ui−1 − ui−2) · v]dxdy− ρ∫∫Ω

[ug

i · v]

dxdy (2.45)

Como ugi es cero en todo Ω \ δ4 entonces la expresión (2.45) queda∫∫

Ω


[ρ (2ui−1 − ui−2) · v]dxdy− ρ∮δ4

[ug

i · v]

dθ (2.46)

pero como v|δ4 = 0, entonces la expresión (2.46) se reduce a∫∫Ω


[ρ (2ui−1 − ui−2) · v]dxdy (2.47)

Sustituyendo (2.47) en (2.44) se obtiene la formulación variacional del problema (2.25).


2.2.3. Existencia y Unicidad de la solución

Para probar la existencia y unicidad de la solución u0i se emplea el Teorema de Lax-Milgram (Ver

Teorema 5), para ello se definen los siguientes funcionalesa(·, ·) : V0 ×V0→R y F(·) : V0→R tales que

a(u0i ,v) = ρ

∫∫Ω

[u0

i · v]


[S(u0

i ) : S(v)]

dxdy

+λ(∆t)2∫∫Ω

[(∇ · u0

i )(∇ · v)]

dxdy

F(v) =∫∫Ω

[fi · v]dxdy

(2.48)

donde

fi = ρ (2ui−1 − ui−2)

Es necesario señalar que la función fi es constante respecto a v, ella solo depende de los valoresobtenidos en iteraciones anteriores de ui.

Para demostrar las hipótesis del Teorema de Lax-Milgram se probará que a(·, ·) es una formabilineal y F(·) es una forma lineal. Préstese atención a los siguientes lemas.

Dados ρ, λ, µ, ∆t ∈R, el funcional a(·, ·) definido en (2.48) es bilineal.

Lema 2.4

Demostración:

Sea u,w,v ∈ V0 y α, β ∈R

a(αu + βw,v) = ρ∫∫Ω

[(αu + βw) · v]dxdy + 2µ(∆t)2∫∫Ω

[S(αu + βw) : S(v)]dxdy

+λ(∆t)2∫∫Ω

[(∇ · (αu + βw))(∇ · v)]dxdy

La linealidad de S(u) se demuestra de la siguiente forma

S(αu + βw) =12(J(αu + βw) + (J(αu + βw))t)

Por la linealidad del Jacobiano y del operador transpuesta se tiene que

S (αu + βw) =12

(αJ (u) + βJ (w) + α (J (u))t + β (J (w))t

)⇒ S(αu + βw) =

12

α(

J (u) + (J (u))t)+

12

β(

J (w) + (J (w))t)

(2.49)

⇒ S(αu + βw) = αS (u) + βS (w)

Por lo demostrado en (2.49) y la propiedad (1.1); como el producto escalar distribuye respecto a lasuma y aplicando la linealidad de la integral y de la derivada, se obtiene que a(·, ·) es lineal respectoa la primera componente


a(αu + βw,v) = α

ρ∫∫Ω

[u · v]dxdy + 2µ(∆t)2∫∫Ω

[S(u) : S(v)]dxdy +λ(∆t)2∫∫Ω

[(∇ · u)(∇ · v)]dxdy

+β

ρ∫∫Ω

[w · v]dxdy + 2µ(∆t)2∫∫Ω

[S(w) : S(v)]dxdy + λ(∆t)2∫∫Ω

[(∇ ·w)(∇ · v)]dxdy

de donde queda

a(αu + βw,v) = αa(u,v) + βa(w,v)

Realizando un procedimiento similar al anterior se demuestra

a(u, βw + αv) = βa(u,w) + αa(u,v)

con lo que queda demostrada la bilinealidad de a(·, ·).

El siguiente lema muestra la linealidad de F(·).

El funcional F(·) definido en (2.48) es lineal.

Lema 2.5

Demostración:

Sean α, β ∈R y u, v ∈ V0

F(αu + βv) =∫∫Ω

[fi · (αu + βv)]dxdy

De la linealidad de la integral y del producto escalar entre vectores

F(αu + βv) = α∫∫Ω

[fi · u]dxdy + β∫∫Ω

[fi · v]dxdy

de donde se deduce la linealidad de F(αu + βv) = αF(u) + βF(v).

Para probar la continuidad del funcional a(·, ·) necesitamos la siguiente proposición donde ex-tendemos la desigualdad de Poincaré-Friedrichs (4) a funciones de R2.


Sea Ω un subconjunto abierto, Lipschitz-continuo y conexo de R2. Suponga que δ4 es unsubconjunto cerrado de ∂Ω con interior no vacío. Entonces existe una constante C > 0 quedepende de Ω tal que ∀u ∈ V0 se cumple

‖u‖L2(Ω) ≤ C‖J(u)‖L2(Ω)

Proposición 2.2

Demostración:

‖u‖2L2(Ω) =

∫∫Ω

((ux)

2 + (uy)2)dxdy = ‖ux‖2

L2(Ω) + ‖uy‖2L2(Ω) (2.50)

Aplicando el Teorema (4) de Poincaré-Friedrichs II a la norma de ux y uy tenemos que existen cons-tantes C1, C2 > 0 tales que

‖ux‖2L2(Ω) + ‖uy‖2

L2(Ω) ≤ C1 ‖∇ux‖2L2(Ω) + C2

∥∥∇uy∥∥2

L2(Ω)(2.51)

= C1

∫∫Ω

((∂ux

∂x

)2

+

(∂ux

∂y

)2)

dxdy + C2

∫∫Ω

((∂uy

∂x

)2

+

(∂uy

∂y

)2)

dxdy

≤ maxC1,C2∫∫Ω

((∂ux

∂x

)2

+

(∂ux

∂y

)2

+

(∂uy

∂x

)2

+

(∂uy

∂y

)2)

dxdy

Uniendo la ecuación (2.50) y (2.51) obtenemos

‖u‖2L2(Ω) ≤ maxC1,C2‖J(u)‖2

L2(Ω)

Si aplicamos la raíz cuadrada a la ecuación anterior y tomando C3 =√

maxC1,C2 se llega alresultado deseado

‖u‖L2(Ω) ≤ C3 ‖J(u)‖L2(Ω)

Veamos otras desigualdades que van a ser de utilidad más adelante:

La norma de la matriz S(u) en L2(Ω) está acotada superiormente por la norma delJacobiano de u; es decir,

‖S(u)‖L2(Ω) ≤ ‖J(u)‖L2(Ω)

Proposición 2.3

Demostración:De la definición (1.2) podemos ver que ∀u ∈ V0:


‖S(u)‖L2(Ω) =

∥∥∥∥12(J(u) + (J(u))t)∥∥∥∥

L2(Ω)

≤∣∣∣∣12∣∣∣∣(‖J(u)‖L2(Ω) +

∥∥∥(J(u))t∥∥∥

L2(Ω)

)= ‖J(u)‖L2(Ω)

La norma de la divergencia de u está acotada superiormente por un múltiplo de la normadel Jacobiano de u; es decir,

‖∇ · u‖L2(Ω) ≤√

2‖J(u)‖L2(Ω)

Proposición 2.4

Demostración:

‖∇ · u‖L2(Ω) =

∥∥∥∥∂ux

∂x+

∂uy

∂y

∥∥∥∥L2(Ω)

=

∫∫Ω

(∂ux

∂x+

∂uy

∂y

)2

dxdy

1/2

≤

∫∫Ω

(∂ux

∂x+

∂uy

∂y

)2

+

(∂ux

∂x−

∂uy

∂y

)2

dxdy

1/2

=

∫∫Ω

2(

∂ux

∂x

)2

+ 2(

∂uy

∂y

)2

dxdy

1/2

≤√

2

∫∫Ω

(∂ux

∂x

)2

+

(∂uy

∂y

)2

+

(∂ux

∂y

)2

+

(∂uy

∂x

)2

dxdy

1/2

=√

2‖J(u)‖L2(Ω)

Veamos el siguiente lema sobre la continuidad de a(·, ·).

El funcional a(·, ·) definido en (2.48) es continuo.

Lema 2.6

Demostración:

Sean u,v ∈ V0

|a(u,v)| ≤

∣∣∣∣∣∣ρ∫∫Ω

[u · v]dxdy

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣2µ(∆t)2

∫∫Ω

[S(u) : S(v)]dxdy

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣λ(∆t)2

∫∫Ω

[(∇ · u)(∇ · v)]dxdy

∣∣∣∣∣∣= |ρ|

∣∣∣〈u,v〉L2(Ω)

∣∣∣+ ∣∣2µ(∆t)2∣∣ ∣∣∣〈S(u),S(v)〉L2(Ω)

∣∣∣+ ∣∣λ(∆t)2∣∣ ∣∣∣〈(∇ · u), (∇ · v)〉L2(Ω)

∣∣∣


Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz (Teorema 2)

|a(u,v)| ≤ |ρ| ‖u‖L2(Ω) ‖v‖L2(Ω) + 2|µ|(∆t)2 ‖S(u)‖L2(Ω) ‖S(v)‖L2(Ω)

+|λ| ‖∇ · u‖L2(Ω) ‖∇ · v‖L2(Ω)(2.52)

Ahora empleando las proposiciones (2.2), (2.3) y (2.4) la desigualdad (2.52) queda:

|a(u,v)| ≤ C1 ‖J(u)‖L2(Ω) ‖J(v)‖L2(Ω) = C1 ‖u‖V0‖v‖V0

donde C1 = C2 |ρ|+ 2 |µ| (∆t)2 + 2 |λ| > 0, de esta forma queda demostrada la continuidad de a(·, ·).

El funcional a(·, ·) definido en (2.48) es coercitivo.

Lema 2.7

Demostración:

Sea u ∈ V0

a(u,u) = ρ∫∫Ω

[u · u]dxdy + 2µ(∆t)2∫∫Ω

[S(u) : S(u)]dxdy + λ(∆t)2∫∫Ω

[∇ · u]2 dxdy

= ρ‖u‖2L2(Ω) + 2µ(∆t)2 ‖S(u)‖2

L2(Ω) + λ(∆t)2 ‖∇ · u‖2L2(Ω) (2.53)

Como ρ,µ,λ > 0 entonces

a(u,u) ≥ 2µ(∆t)2 ‖S(u)‖2L2(Ω)

Por la desigualdad de Korn (Teorma 3) llegamos a:

a(u,u) ≥ C‖u‖2V0

donde C = 2αµ(∆t)2, de esta forma llegamos a que el funcional a(·, ·) es coercitivo.

Ahora solo resta analizar la continuidad de la forma lineal F(·), para ello enunciemos el siguientelema.

El funcional F(·) definido en (2.48) es continuo.

Lema 2.8

Demostración:


Sea v ∈ V0

|F(v)| =

∣∣∣∣∣∣∫∫Ω

(fi · v

)dxdy

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣〈fi,v〉L2(Ω)

∣∣∣Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz (2) y la desigualdad demostrada en la proposición (2.2)

|F(v)| =∣∣∣〈fi,v〉L2(Ω)

∣∣∣≤

∥∥∥fi

∥∥∥L2(Ω)

‖v‖L2(Ω)

≤ α∥∥∥fi

∥∥∥L2(Ω)

‖J(v)‖L2(Ω) = C‖v‖V0

donde C = α∥∥∥fi

∥∥∥L2(Ω)

es una constante positiva. Por tanto F(·) es continua.

Después de ver estos lemas podemos enunciar el siguiente teorema:

El problema variacional mostrado en la proposición (2.1) tiene solución y esta es única enV0.

Teorema 6 (Existencia y unicidad)

Demostración:Por los lemas (2.4), (2.5), (2.6), (2.7) y (2.8) la forma bilineal a(·, ·) y la forma lineal F(·) cumplen

las hipótesis del Teorema de Lax-Milgram (5), con lo que se garantiza la existencia y unicidad de lasolución del problema variacional.

2.3. El espacio de dimensión finita. Existencia y unicidad

En esta sección se transita del espacio V0 de dimensión infinita al de dimensión finita Vh, en el cualse va a resolver el problema por elementos finitos. Sea Ω ⊂ R2, se llamará τh a la triangulación deldominio Ω, la cual está formada por un conjunto de triángulos ∆i, i = 1, ..., Nt, llamados elementos,tales que para i 6= j, ∆i ∩ ∆j es una arista común, un vértice o el vacío [12]; además

∪Nti=1∆i = Ω

donde Nt es el número de elementos. También se denota por Nv y Na al número de vértices y alnúmero de aristas de la triangulación τh respectivamente.

En el espacio de funciones V0 se puede aproximar la solución u de la ecuación diferencial porvarios tipos de funciones polinomiales por tramos definidas sobre la triangulación τh, en este caso se


trabaja con funciones cuadráticas por tramos. El conjunto de estas funciones cuadráticas por tramosestá denotado por P2(τh) y se define como

P2(∆i) =

v ∈ C(∆i) : v(x,y) = a1x2 + a2xy + a3y2 + a4x + a5y + a6, ai ∈R

(2.54)

P2(τh) =

v : v|∆i ∈ P2(∆i),∀∆i ∈ τh

(2.55)

Por tanto se trabajará con un espacio de funciones Vh ⊆ V0 definido como

Vh =

uh ∈ P2(τh)×P2(τh) : uh|δ4 = 0

(2.56)

La solución del problema será la aproximación de elementos finitos en una triangulación τh deΩ y se denotará por uh. Si a la coordenada (x,y) del nodo i-ésimo se denota por xi y Nn = Nv + Naes el número de nodos de la triangulación, entonces φi, i = 1, ...Nn son las funciones bases en P2(τh)definidas por:

φi(xj) = δij =

1, i = j0, j 6= i (2.57)

(a) Función sombrero cuadrática φi so-bre un vértice interior

(b) Función sombrero cuadráticaφi sobre un vértice de la frontera

Figura 2.3: Función sombrero cuadrática φi sobre una malla triangular. En la Figura (2.3a) está sobreun vértice interior y en la (2.3b) sobre un vértice de la frontera.

Notemos que las funciones φi tienen soporte compacto, o sea, se anulan en casi todos los elemen-tos de la malla τh excepto en un número pequeño de triángulos: si xi es un vértice entonces φi esdistinto de cero solo en los triángulos que tengan en común el vértice xi, pero si xi es un punto mediode alguna arista entonces φi es distinta de cero solo en los 2 triángulos que contienen esta arista.

Para determinar la expresión de las funciones de forma sobre cada triángulo de la malla, se nece-sitan 6 nodos sobre cada triángulo, los cuales van a ser los vértices del triángulo y los puntos mediosde cada lado (Ver Figura (2.4)).

Ahora, si v ∈ P2(τh), entonces se puede representar la función v mediante las funciones base deP2(τh)

v(x) =Nn

∑i=1

qiφi(x)

pero teniendo en cuenta la expresión de las funciones básicas (2.57), si se evalúa v(xj), se obtiene:

v(xj) =Nn

∑i=1

qiφi(xj)

⇒ v(xj) = qj


Figura 2.4: Nodos a tomar en cada triángulo para determinar las funciones de forma.

donde q = qiNni=1 es el vector que contiene el valor de la función v en cada nodo xi. Ahora, si uh ∈ Vh

se puede representar de la siguiente forma

uh(x) =

(Nn

∑i=1

q(x)i φi(x);

Nn

∑i=1

q(y)i φi(x)

)

uh(x) =Nn

∑i=1

q(x)i (φi(x),0) +

Nn

∑i=1

q(y)i (0,φi(x))

donde(

q(x)i ;q(y)i

)= uh(xi) es el valor de la función uh en el nodo xi y los vectores (φi,0) y (0,φi) son

los elementos de la base del espacio Vh. Para facilitar el trabajo, los elementos de la base de Vh y loscoeficientes se denotarán de la siguiente forma

χ = (χ1,χ2, ...,χ2Nn) = ((φ1,0), (0,φ1), ..., (φNn ,0), (0,φNn)) (2.58)

d = (d1,d2, ...,d2Nn) =(

q(x)1 ,q(y)1 , ...,q(x)

Nn,q(y)Nn

)(2.59)

Hay que tener presente que las expresiones (2.58) y (2.59) contienen 2Nn elementos. Luego con lasexpresiones (2.58) y (2.59) uh queda expresada

uh(x) =2Nn

∑i=1

diχi(x) (2.60)

Al pasar del espacio infinito-dimensional V0 al espacio finito-dimensional Vh obtenemos la for-mulación de Galerkin correspondiente al problema variacional (2.1): hallar uh ∈ Vh de forma tal quese cumpla la siguiente igualdad

ρ∫∫Ω

[uh · v

]dxdy + 2µ(∆t)2

∫∫Ω

[S(uh) : S(v)

]dxdy

+λ(∆t)2∫∫Ω

[(∇ · uh)(∇ · v)

]dxdy =

∫∫Ω

[fi · v

]dxdy, ∀v ∈ Vh

(2.61)


Nótese que para garantizar que se cumpla (2.61) para ∀v ∈ Vh, basta con que se cumpla para loselementos de la base (2.58) de Vh

ρ∫∫Ω

[uh · χj

]dxdy + 2µ(∆t)2

∫∫Ω

[S(uh) : S(χj)

]dxdy

+λ(∆t)2∫∫Ω

[(∇ · uh)(∇ · χj)

]dxdy =

∫∫Ω

[fi · χj

]dxdy, j = 1, ...,2Nn

(2.62)

Luego sustituyendo la expresión (2.60) de uh en (2.62) y empleando la linealidad de la integral,del operador divergencia y de S(·) se obtiene

2Nn

∑r=1

dr

ρ∫∫Ω

[χr · χj

]dxdy + 2µ(∆t)2

∫∫Ω

[S(χr) : S(χj)

]dxdy

+λ(∆t)2∫∫Ω

[(∇ · χr)(∇ · χj)

]dxdy

=∫∫Ω

[fi · χj

]dxdy, j = 1, ...,2Nn

(2.63)

Ahora, por la linealidad de la integral la igualdad (2.63) se puede reescribir como la suma de lasintegrales sobre cada uno de los triángulos de la partición de Ω

2Nn

∑r=1

dr

ρNt

∑k=1

∫∫∆k

[χr · χj

]dxdy + 2µ(∆t)2

Nt

∑k=1

∫∫∆k

[S(χr) : S(χj)

]dxdy

+λ(∆t)2Nt

∑k=1

∫∫∆k

[(∇ · χr)(∇ · χj)

]dxdy

=Nt

∑k=1

∫∫∆k

[fi · χj

]dxdy, j = 1, ...,2Nn

(2.64)

A la hora de calcular las integrales de la expresión (2.64) es conveniente realizar un cambio decoordenadas, para convertir cada triángulo de la malla en el triángulo canónico y así integrar siempresobre el mismo triángulo. El triángulo canónico (∆e) es aquel cuyos vértices se encuentran en el(0,0), (0,1) y (1,0) (Ver Figura (2.5))

Figura 2.5: Transformación de coordenadas al triángulo canónico.

Esta transformación de coordenadas viene dada por la siguiente expresión

xk(ξ;η) = xk1(1− ξ − η) + xk

2ξ + xk3η

yk(ξ;η) = yk1(1− ξ − η) + yk

2ξ + yk3η

(2.65)


donde xki = (xk

i ,yki ), con i = 1, ...,3, son los vértices del triángulo ∆k y las variables ξ y η son las

nuevas coordenadas espaciales donde se encuentra el triángulo canónico. Ahora por la definición delas funciones de forma y los nodos del triángulo canónico, se pueden determinar las expresiones enlas nuevas coordenadas de las 6 funciones básicas no nulas sobre el triángulo ∆k (Ver Figura (2.6)),las cuales van a ser

φc1(ξ,η) = (2ξ + 2η − 1)(ξ + η − 1)

φc2(ξ,η) = ξ(2ξ − 1)

φc3(ξ,η) = η(2η − 1)

φc4(ξ,η) = −4ξ(ξ + η − 1)

φc5(ξ,η) = 4ξη

φc6(ξ,η) = −4η(ξ + η − 1)

(2.66)

(a) Base φc1 (b) Base φc

2 (c) Base φc3

(d) Base φc4 (e) Base φc

5 (f) Base φc6

Figura 2.6: Funciones bases de P2 sobre el triángulo canónico.

Al realizar la transformación de coordenadas del triángulo (∆k) al triángulo canónico, las funcio-nes base (φi) de P2(τh) que no se anulan sobre los nodos del triángulo ∆k se transforman en una delas 6 funciones φc

i (2.66), entonces los elementos χj base de Vh están determinados por φci al realizar

la transformación de coordenadas.Determinando el Jacobiano (Jk) (Ver definición 1.4) de la transformación de coordenadas (2.65)

del k-ésimo triángulo se obtiene

Jk =

∂xk

∂ξ

∂xk

∂η∂yk

∂ξ

∂yk

∂η

=

(xk

2 − xk1 xk

3 − xk1

yk2 − yk

1 yk3 − yk

1

)(2.67)

Nótese que para cada triángulo de la partición vamos a tener un Jacobiano (Jk) diferente, pero


constante con respecto a ξ y η.Si se realiza el cambio del k-ésimo triángulo (∆k) de la malla, al triángulo canónico (∆e) en las inte-grales de la igualdad (2.64), se llega a

2Nn

∑r=1

dr

ρNt

∑k=1

∫∫∆e

[χr · χj

]|Jk|dξdη + 2µ(∆t)2

Nt

∑k=1

∫∫∆e

[S(χr) : S(χj)

]|Jk|dξdη

+λ(∆t)2Nt

∑k=1

∫∫∆e

[(∇ · χr)(∇ · χj)

]|Jk|dξdη

=Nt

∑k=1

∫∫∆e

[fi · χj

]|Jk|dξdη, j = 1, ...,2Nn

(2.68)

Si se toma

Arj = ρNt

∑k=1

∫∫∆e

[χr · χj

]|Jk|dξdη + 2µ(∆t)2

Nt

∑k=1

∫∫∆e

[S(χr) : S(χj)

]|Jk|dξdη

+λ(∆t)2Nt

∑k=1

∫∫∆e

[(∇ · χr)(∇ · χj)

]|Jk|dξdη, r, j = 1, ...,2Nn

(2.69)

bj =Nt

∑k=1

∫∫∆e

[fi · χj

]|Jk|dξdη, j = 1, ...,2Nn (2.70)

d = (d1, ....,d2Nn)T (2.71)

b = (b1, ...,b2Nn)T (2.72)

entonces el problema (2.68) se transforma en determinar las incógnitas d (2.71) de este sistema deecuaciones

Ad = b (2.73)

Ahora se analizará la existencia y unicidad de la solución en el espacio de dimensión finita, véasela siguiente proposición que cumple la solución uh definida por la ecuación (2.61).

La función uh ∈Vh cuyos coeficientes en (2.59) se calculan resolviendo el sistema lineal (2.73)existe y es única.

Proposición 2.5 (Existencia y unicidad)

Demostración:Primero se demuestra la unicidad de la solución. Para ello se supone que existen dos solucionesuh, uh ∈ Vh que satisfacen (2.61), por tanto se tiene

ρ∫∫Ω

[uh · v

]dxdy + 2µ(∆t)2

∫∫Ω

[S(uh) : S(v)

]dxdy

+λ(∆t)2∫∫Ω

[(∇ · uh)(∇ · v)

]dxdy =

∫∫Ω

[fi · v

]dxdy, ∀v ∈ Vh

(2.74)


ρ∫∫Ω

[uh · v

]dxdy + 2µ(∆t)2

∫∫Ω

[S(uh) : S(v)

]dxdy

+λ(∆t)2∫∫Ω

[(∇ · uh)(∇ · v)

]dxdy =

∫∫Ω

[fi · v

]dxdy, ∀v ∈ Vh

(2.75)

Sustrayendo estas ecuaciones se obtiene

ρ∫∫Ω

[(uh − uh

)· v]


[S(

uh − uh)

: S (v)]

dxdy

+λ(∆t)2∫∫Ω

[(∇ · (uh − uh)

)(∇ · v)

]dxdy = 0, ∀v ∈ Vh

Sustituyendo v = uh − uh ∈ Vh, se llega a

ρ∫∫Ω

[(uh − uh

)·(

uh − uh)]


[S(

uh − uh)

: S(

uh − uh)]

dxdy

+λ(∆t)2∫∫Ω

∣∣∣∇ · (uh − uh)∣∣∣2 dxdy = 0

Luego al ser una suma de términos positivos, cada sumando tiene que anularse para que la sumade cero, por lo que se arriba a que∫∫

Ω

[(uh − uh

)·(

uh − uh)]

dxdy = 0 (2.76)

pero ∥∥∥uh − uh∥∥∥2

L2(Ω)=∫∫Ω

[(uh − uh

)·(

uh − uh)]

dxdy = 0 (2.77)

Por tanto uh − uh = 0, de donde se concluye que uh = uh. Con esto demostramos que si el sistemade ecuaciones lineales tiene solución esta es única. Por tanto, el sistema homogéneo solo tiene lasolución trivial. En consecuencia A es no singular y Ad = b tiene solución única.

2.4. Convergencia del método

Para poder garantizar un buen resultado a la hora de emplear el FEM, es necesario analizar laconvergencia del mismo, o sea, dado ∆k un triángulo de la malla τh de diámetro hk (diámetro de lacircunferencia inscrita en el triángulo ∆k), donde h = sup

∆k∈τh

hk, comprobar que la solución del método


converge a la solución del problema variacional dado en la proposición (2.1) cuando h se hace tanpequeño como se quiera.

La función uh ∈ Vh solución de (2.61), satisface la ortogonalidad siguiente

a(u− uh,v) = 0, ∀v ∈ Vh

donde a(·, ·) es la forma bilineal definida en (2.48).

Lema 2.9 (Ortogonalidad del error)

Demostración:Sea u la solución del problema variacional definido en la proposición (2.1) y uh la solución del pro-blema de elementos finitos (2.61). Si v ∈ Vh ⊂ V0 se cumple que

a(u,v) = F(v) (2.78)

a(uh,v) = F(v) (2.79)

donde a(·, ·) y F(·) son los funcionales definidos en (2.48). Si se sustrae la ecuación (2.78) de (2.79),por la bilinealidad del funcional a(·, ·) se obtiene

a(u− uh,v) = 0 (2.80)

Con esto se llega a que el error e = u− uh es ortogonal a Vh en el producto interno definido:

〈u,v〉Vh = a(u,v) (2.81)

Nótese que este producto definido así es correcto dado que se puede ver que a(·, ·) restringida alespacio Vh es definida positiva de forma similar a como se demostró la coercitividad de a(·, ·) sobreV0.

Teniendo en cuenta (2.81) la norma sobre Vh se define como

‖u‖Vh=√〈u,u〉Vh , ∀u ∈ Vh (2.82)

Notese que (2.82) es una norma bien definida en V0 pues de (2.53) resulta que ‖u‖2Vh= |ρ| ‖u‖2

L2(Ω)+

|2µ(∆t)2| ‖S(u)‖2L2(Ω) + |λ(∆t)2|‖∇ · u‖2

L2(Ω), es decir ‖u‖Vh

es la suma de tres normas.

La función uh ∈ Vh solución de la ecuación (2.61), es la mejor aproximación a la solución udel problema variacional definido en la proposición (2.1) con la norma ‖·‖Vh

dada en (2.82),o sea ∥∥∥u− uh

∥∥∥Vh

= mınv∈Vh‖u− v‖Vh

Proposición 2.6

Demostración:


Como uh ∈ Vh es evidente que

ınfv∈Vh‖u− v‖Vh

≤∥∥∥u− uh

∥∥∥Vh

(2.83)

Ahora se probará el otro sentido de la desigualdad. Sea ∀v ∈ Vh, se tiene que

∥∥∥u− uh∥∥∥2

Vh= 〈u− uh,u− uh〉Vh (2.84)

= 〈u− uh,u− v + v− uh〉Vh (2.85)

= 〈u− uh,u− v〉Vh + 〈u− uh,v− uh〉Vh (2.86)

= 〈u− uh,u− v〉Vh (2.87)

≤∥∥∥u− uh

∥∥∥Vh‖u− v‖Vh

(2.88)

donde en la igualdad (2.86) se ha usado la ortogonalidad de Galerkin para probar que 〈u− uh,v−uh〉Vh = 0 y luego la desigualdad de Cauchy-Schwarz para pasar de (2.87) a (2.88). Si u = uh se tieneautomáticamente la igualdad. En otro caso dividiendo la desigualdad anterior por

∥∥u− uh∥∥

Vhse

tiene ∥∥∥u− uh∥∥∥

Vh≤ ‖u− v‖Vh

Como esto se cumple ∀v ∈ Vh, en particular se cumple para el v ∈ Vh que nos garantice que la norma‖u− v‖Vh

sea mínima, o sea ∥∥∥u− uh∥∥∥

Vh≤ ınf

v∈Vh‖u− v‖Vh

(2.89)

Luego combinando las desigualdades (2.83) y (2.89) se obtiene el resultado buscado.

Para la próxima proposición es necesario conocer el operador π que se le conoce por el nombre deoperador interpolador. A partir de este operador encontraremos cotas para el error de aproximaciónbasándonos en el resultado anterior de que la solución uh es la mejor aproximación en la norma (2.82)de Vh, por tanto el error

∥∥u− uh∥∥

Vhes menor que ‖u− πu‖Vh

.

Sea V0 el espacio de funciones definido en (2.29) y Vh el espacio de dimensión finita definidoen (2.56), se define el operador interpolador π : V0→ Vh como

πu(x) =2Nn

∑j=1

u(xj)χj(x) = uh(x)

donde χj con j = 1, ...,2Nn es la base del espacio Vh y xj es la coordenada del j-ésimo nodo.

Definición 2.1 (Operador interpolador)


Nótese que πu(xj) = u(xj), o sea, toman los mismos valores en los nodos xj.

El polinomio de interpolación πu satisface las siguientes acotaciones en un triángulo ∆k ∈ τh

de diámetro hk:

‖u− πu‖L2(∆k)≤ Ch2

k‖D2(u)‖L2(∆k)

‖D(u− πu)‖L2(∆k)≤ Chk‖D2(u)‖L2(∆k)

donde

D =

(∣∣∣∣ ∂

∂x

∣∣∣∣2 + ∣∣∣∣ ∂

∂y

∣∣∣∣2)1/2

y D2 =

(∣∣∣∣ ∂2

∂x2

∣∣∣∣2 + 2∣∣∣∣ ∂2

∂xy

∣∣∣∣2 + ∣∣∣∣ ∂2

∂y2

∣∣∣∣2)1/2

Proposición 2.7

Para la demostración de esta proposición puede dirigirse al [7, 15].

Mediante la Proposición (2.7), es posible mostrar que las constantes C son proporcionales a lainversa del sin(θk), donde θk es el ángulo más pequeño en el triángulo ∆k. De aquí se deduce queC no puede ser acotado si θk se vuelve muy pequeño, lo que hace que las estimaciones del error deinterpolación no sean aceptables. Esto explica por qué es necesario que los triángulos de la malla notengan ángulos demasiado estrechos ni demasiado amplios. Por eso, se puede hablar de los ánguloscomo una medida de la calidad del triángulo [15].

Sea u ∈ V0 y hk el diámetro del triángulo ∆k entonces existen constantes C1 y C2 positivastales que se cumple la siguiente acotación

‖J(u− πu)‖2L2(∆k)

≤ C1hk∥∥D2(ux)

∥∥2L2(∆k)

+ C2hk∥∥D2(uy)

∥∥2L2(∆k)

Proposición 2.8

Demostración:

‖J(u− πu)‖2L2(∆k)

=∫∫∆k

(∣∣∣∣∂(ux − πux)

∂x

∣∣∣∣2 + ∣∣∣∣∂(ux − πux)

∂y

∣∣∣∣2 + ∣∣∣∣∂(uy − πuy)

∂x

∣∣∣∣2 + ∣∣∣∣∂(uy − πuy)

∂y

∣∣∣∣2)

dxdy

=∫∫∆k

(∣∣∣∣∂(ux − πux)

∂x

∣∣∣∣2 + ∣∣∣∣∂(ux − πux)

∂y

∣∣∣∣2)

dxdy +∫∫∆k

(∣∣∣∣∂(uy − πuy)

∂x

∣∣∣∣2 + ∣∣∣∣∂(uy − πuy)

∂y

∣∣∣∣2)

dxdy

= ‖D(ux − πux)‖2L2(∆k)

+∥∥D(uy − πuy)

∥∥2L2(∆k)

(2.90)

≤ C1hk∥∥D2(ux)

∥∥2L2(∆k)

+ C2hk∥∥D2(uy)

∥∥2L2(∆k)

(2.91)


Del paso (2.90) al paso (2.91) se emplea la proposición (2.7).

Sea u ∈ V0 y hi el diámetro del triángulo ∆i, entonces existen constantes positivas C1i y C2i

tales que se cumple

‖J(u− πu)‖2L2(Ω) ≤

Nt

∑i=1

hi

(C1i

∥∥D2(ux)∥∥2

L2(∆i)+ C2i

∥∥D2(uy)∥∥2

L2(∆i)

)

Proposición 2.9

Demostración:

‖J(u− πu)‖2L2(Ω) ≤

Nt

∑i=1‖J(u− πu)‖2

L2(∆i)(2.92)

≤Nt

∑i=1

C1i hi∥∥D2(ux)

∥∥2L2(∆i)

+ C2i hi∥∥D2(uy)

∥∥2L2(∆i)

(2.93)

=Nt

∑i=1

hi

(C1i

∥∥D2(ux)∥∥2

L2(∆i)+ C2i

∥∥D2(uy)∥∥2

L2(∆i)

)Del paso (2.92) al paso (2.93) se emplea la proposición (2.8).

Ahora se introduce el siguiente teorema que garantiza la acotación del error de interpolación enla norma definida por la forma bilineal.

Sea u ∈ V0, uh ∈ Vh y h = maxhi;∆i ∈ τh el diámetro máximo de los triángulos ∆i ∈ τh,entonces existen constantes positivas C1 y C2 tales que se cumple∥∥∥u− uh

∥∥∥2

Vh≤ h

(C1∥∥D2(ux)

∥∥2L2(Ω)

+ C2∥∥D2(uy)

∥∥2L2(Ω)

)

Teorema 7

Demostración:


∥∥∥u− uh∥∥∥2

Vh≤ ‖u− πu‖2

Vh

= |ρ| ‖u− πu‖2L2(Ω) + |2µ(∆t)2| ‖S(u− πu)‖2

L2(Ω) + |λ(∆t)2| ‖∇ · (u− πu)‖2L2(Ω) (2.94)

≤ C‖J(u− πu)‖2L2(Ω) (2.95)

≤Nt

∑i=1

hi

(CC

′1i

∥∥D2(ux)∥∥2

L2(∆i)+ CC

′2i

∥∥D2(uy)∥∥2

L2(∆i)

)(2.96)

≤ hNt

(CmaxC′1i

∥∥D2(ux)

∥∥2L2(Ω)

+ CmaxC′2i∥∥D2(uy)

∥∥2L2(Ω)

)(2.97)

Del paso (2.94) al (2.95) se utilizan las propiedades (2.2), (2.3) y (2.4), donde C = (|ρ|α2 + |2µ(∆t)2|+|2λ(∆t)2|) y del paso (2.95) al (2.96) se emplea la proposición (2.9).

Con el teorema (7) se ha obtenido una estimación del error a priori. Con lo que se garantizaque la solución aproximada tienda a la solución del problema diferencial cuando el diámetro de latriangulación se haga muy pequeño.

Capítulo 3

Implementación computacional

Hoy en día existen muchos software para el trabajo con elementos finitos como Ansys, COM-SOL, PDEToolbox de Matlab, OpenFEM, entre otros [28, pag: 23]. En nuestro trabajo no pretendemosrealizar una comparación entre ellos, en su lugar expondremos algunas de las ventajas que ofrece elpaquete FreeFem++ (desarrollado por matemáticos de la Universidad Pierre et Marie Curie de París),con lo que se justifica su elección para el uso en este trabajo. Entre las ventajas presentadas por estepaquete están:

• Es un software libre y de código abierto. Esto último es muy importante porque hace posibleconocer su funcionamiento interno y validar su correcta implementación [28, pag: 23].

• Es multiplataforma, con soporte para todos los sistemas basados en UNIX OS, Windows yMacOS X [14, pag:13-14].

• No es un toolbox, sino un software integrado con su propio lenguaje de alto nivel basado enC++, aunque no es orientado a objetos [28, pag: 23].

• Trabaja a partir de la formulación variacional, por lo que el código es muy semejante al lenguajematemático [28, pag: 23].

• Generación automática de las mallas basada en el algoritmo de Delaunay-Voronoi, la densidadde puntos en el interior de la malla es proporcional a la densidad en las fronteras [14, pag:13-14].

• Una gran variedad de métodos directos e iterativos (LU, Cholesky, Crout, CG, GMRES, UMF-PACK, MUMPS, SuperLU, ...) y solucionadores de valores propios y vectores propios (AR-PARK) [14, pag:13-14].

• Tiempo de ejecución casi óptimo, comparado con implementaciones directas en C++ [14, pag:13-14].

• Fácil integración con softwares como Python, Perl y Matlab [28, pag: 23].

En este capítulo vamos hacer una descripción del código realizado en este software para darlesolución al problema planteado en (2.1).

41

Capítulo 3. Implementación computacional 42

3.1. Implementación computacional para calcular la propagación de laonda

A la hora de trabajar con FreeFem++ lo primero que necesitamos es declarar los parámetros aemplear. Estos son los parámetros α, φ, f0, T0 y T empleados en la función g(t) que describe el pulso(2.4); λ y µ son las constantes de Lamé; ρ es la densidad; Tend y ∆t es el tiempo final y el tamaño delpaso, Figura (3.1).

Figura 3.1: Definición de los parámetros.

Lo siguiente es generar la región Ω sobre la que vamos a resolver nuestro problema y la trian-gulación τh de Ω. La generación de la malla en FreeFem++ se realiza mediante el algoritmo deDelaunay-Voronoi, el cual garantiza que la densidad de vértices en el interior de τh es proporcio-nal a la densidad en las fronteras [14, pag: 13]. Definiendo la proporción nx = d(ny ∗ Lx)/Lye comola parte entera entre la densidad de vértices en las fronteras δ1,δ3 y las fronteras δ2,δ4, donde Lx yLy son las longitudes de la lámina Ω y ny es la densidad de vértices en la frontera δ4, garantizamosque los triángulos sean lo más isósceles posibles, Figura (3.2).

Figura 3.2: Definición de la región Ω y la triangulación τh.

A continuación se define el vector solución u = (u1,u2) y el vector v = (v1,v2) como función deprueba; también se definen los pasos anteriores en la iteración del método de Diferencias Finitas upy upp, además la matriz de esfuerzo σ(u), Figura (3.3).

Figura 3.3: Definición de matrices y vectores a emplear en el código.

Después que tenemos todos los datos del problema bien definidos, pasamos a definir el espaciode solución Vh y el espacio de los polinomios con que trabajaremos, en nuestro caso es el espacio de


los polinomios cuadráticos (P2), además de definir la formulación variacional del problema, Figura(3.4).

Para resolver el sistema de ecuaciones lineales resultante de la formulación variacional escogimosel método iterativo GMRES (Generalized Minimal Residual) [27], este algoritmo se deriva del pro-ceso de Arnoldi para construir una base l2-ortogonal en subespacios de Krylov. Puede considerarsecomo una generalización del algoritmo MINRES de Paige y Saunders y es teóricamente equivalenteal método Generalized Conjugate Residual (GCR) y al ORTHODIR [27].

Figura 3.4: Definición del espacio Vh y de la formulación variacional.

Ahora que tenemos el espacio y la fomulación variacional planteadas vamos a definir el problemade Diferencias Finitas para la variable temporal t, la Figura (3.5) muestra el código empleado. Aquíhay que llamar la atención en que en el trabajo se resuelve la formulación variacional para cadainstante de tiempo ti.

Figura 3.5: Definición del método de Diferencias Finitas para la variable temporal.

Luego de resolver la formulación variacional para cada instante de tiempo, realizamos el gráficode la solución, la Figura (3.6) muestra la deformación de la placa a través de la triangulación inicial(Figura (3.6a)) y la triangulación deformada obtenida al desplazar cada uno de los vértices en ladirección y magnitud indicada por la solución uh.

Para ver el código completo del programa, que puede ser corrido en FreeFem++, se puede dirigira los Anexos y ver el Anexo (1).


(a) Región sin deformar

Elasticidad de una Placa; t=1.12e-005; Delta=1.73415e-009




(b) Región deformada

Figura 3.6: Deformación de la placa de dimensión 0,05m × 0,01m al emitirse un pulso g(t) en lafrontera δ4 de la placa en distintos instantes de tiempo.

3.2. Implementación para determinar la curva de dispersión

La propagación de ondas en un medio dispersivo se caracteriza porque la velocidad de fase (tam-bién la velocidad de grupo y el número de onda) depende de la frecuencia. La representación gráficade esta variación se denomina curva de dispersión, cuya forma más habitual consiste en una repre-sentación bidimensional de la velocidad de fase frente a la frecuencia, aunque también es frecuenterepresentar la velocidad de grupo frente a la frecuencia, y la frecuencia frente al número de onda.

La forma que proporciona la mayor comprensión de la física subyacente tiene ω (frecuencia an-gular) en el eje Y y k (número de onda) en el eje X. La forma más utilizada por su uso práctico para lasondas de Lamb, tiene la velocidad de fase en el eje Y y Ly/Λ (relación de grosor / longitud de onda),en el eje X. Esta curva de dispersión es de mucha utilidad en la industria a la hora de realizar END,ya que proporciona la velocidad de propagación de la onda con respecto a la frecuencia utilizada enel material.

Empleando los resultados obtenidos se puede determinar la curva de dispersión para la veloci-dad de fase en función de la frecuencia. Cada guía de onda natural, placa, tubo, etc. tienen su propiacurva de dispersión para la velocidad de fase siendo esta única [26].

Para determinar la velocidad de fase en este trabajo, primero se tienen que seleccionar cuatropuntos sobre la placa con los que se va a trabajar para determinar la curva de dispersión, estos van aestar situados sobre la frontera δ3 y en la posición (0.01), (0.013), (0.016) y (0.019) con respecto al ejeX como se muestra en la Figura (3.7), al vector que contiene estos cuatro valores lo denotaremos porx = [x1, x2, x3, x4].


Figura 3.7: Selección de los puntos: (0.01 ; 0.001), (0.013 ; 0.001), (0.016 ; 0.001) y (0.019 ; 0.001).

Al graficar el desplazamiento de estos cuatro puntos en la dirección del eje de las Y para todo elintervalo del tiempo, se obtiene una imagen muy similar al pulso g(t) situado en la frontera δ4. Estose puede apreciar en la Figura (3.8).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

t ×10-5

-1

0

1

Am

plitu

d

×107u

2(0.01,0.001)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

t ×10-5

-1

0

1

Am

plitu

d

×107 u2(0.013,0.001)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

t ×10-5

-1

0

1

Am

plitu

d

×107 u2(0.016,0.001)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

t ×10-5

-1

0

1

Am

plitu

d

×107 u2(0.019,0.001)

Figura 3.8: Desplazamiento que realiza la placa en la dirección del eje Y en cuatro puntos distintos:(0.01 ; 0.001), (0.013 ; 0.001), (0.016 ; 0.001) y (0.019 ; 0.001). Se colocaron dos lineas rectas para señalarque los puntos de máximo en cada señal están desplazados de forma lineal.

Seleccionando en cada gráfica el punto máximo o mínimo correspondiente a la misma onda comose muestra en la Figura (3.8), se puede determinar la recta que aproxima por mínimos cuadrados alos puntos (punto extremo ; valor xi correspondiente al punto) como se muestra en la Figura (3.9).La velocidad de fase C no es más que la pendiente de la recta que une estos puntos (punto extremo ;valor xi correspondiente al punto).


7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12

tiempo ×10-6

0.01

0.0105

0.011

0.0115

0.012

0.0125

0.013

0.0135

posi

ción

Figura 3.9: Recta que aproxima a los cuatro puntos de máximo mediante mínimos cuadrados.

Una vez resuelto el problema utilizando el software FreeFem++ se dispone de los valores de lacomponente y del desplazamiento en los puntos seleccionados (xi,y0), i = 1, ..,4 para valores fijos tjdel tiempo j = 1, ..., t f /∆t. Veamos el siguiente seudocódigo que explica brevemente lo dicho hastaaquí para calcular la curva de dispersión:

Entrada f0, uhy(xi,y0, tj) para i = 1,2,3,4 y tj ∈ [0, t f ] con j = 1, ..., t f /∆t

1: x = [x1, x2, x3, x4]2: Fijar un tiempo inicial s1 ∈ (0, t f ) y un incremento inc_s3: for i=1:4 do4: Calcular el spline cúbico Spi(t) que interpola los puntos (tj,uyj) con tj ∈ [0, si] y j = 1, ...,m,

donde uyj = uhy(xi,y0, tj)

5: Determinar los puntos extremos de Spi(t) en [0, si] y guardar en tmaxi la coordenada t delpunto extremo con mayor abscisa.

6: si+1 = si + inc_s7: end for8: Calcular la recta P(x) que mejor ajusta en el sentido mínimo cuadrado los puntos (tmaxi, xi)9: Asignar C =pendiente(P(x))

Salida C

A continuación se muestra el código empleado para determinar la curva de dispersión para la ve-locidad de fase en este trabajo. Para ello se emplea el software libre Python, versión 2.7 y las libreríaspara el trabajo matemático numpy, matplotlib.pyplot y scipy.interpolate [33].

El primer fichero de Python se denota por vf.py (2) y se encarga de calcular la velocidad de fa-se para uno de los valores de frecuencia f0 dados en la tabla (2.1) y para los valores de la segundacomponente uh

y(xi,y0, t) del desplazamiento uh calculado en FreeFem++, en los puntos (xi,y0) para


i = 1,2,3,4 y t = [0, t f ]. Para determinar el valor de la velocidad de fase primero se importan las li-brerías a emplear en el código como se muestra en la Figura (3.10).

Figura 3.10: Se importan las librerías a emplear en el código vf.py

Una vez cargadas la librerías necesarias, se introducen los parámetros a utilizar como la posiciónde los puntos y se inicializan algunas variables, como se puede apreciar en la Figura (3.11).

Figura 3.11: Parámetros a emplear en el código vf.py

El próximo paso corresponde a determinar la posición del máximo local correspondiente a unaonda en específico para cada punto. Para eso se emplea un ciclo “for” en el que se aproxima la curvamediante spline y se determina la derivada de la función spline para determinar los máximos, verFigura (3.12).

Figura 3.12: Selección de los puntos extremos para cada curva.

Una vez conocidos los valores máximos y donde los alcanza se puede determinar la velocidad defase, calculando la recta que pasa por los puntos (tiempo donde alcanza el máximo ; x del punto). Lavelocidad de fase viene dada por la pendiente de esta recta (Figura (3.13)).

Figura 3.13: Cálculo de la velocidad de fase a partir de la pendiente de la recta que une los puntos(punto extremo ; valor xi correspondiente al punto).

Para poder graficar la curva de dispersión es necesario determinar la velocidad de fase para dis-tintos valores de frecuencia dados, el siguiente fichero de Python es el encargado de realizar esta


operación haciendo uso del fichero vf.py. Este fichero se nombra velfasespline (3).

En este fichero primero se cargan las librerías, además de cargar los valores del vector de despla-zamiento determinado por el software FreeFem++ y otros parámetros necesarios como el incrementodel tiempo dt (ver Figura (3.14)).

Figura 3.14: Entrada del vector uy que contiene el desplazamiento en la dirección del eje Y y el incre-mento del tiempo dt.

El próximo paso es determinar la velocidad de fase para estos valores de desplazamiento uy, paralo que se emplea el código vf.py (Figura (3.15a)). Este procedimiento se repite para todos los valoresde frecuencia a emplear (Figura (3.15b)).

(a) Cálculo de la velocidad de fase para la frecuencia f=100KHz

(b) Cálculo de las velocidades de fase para las frecuencias 200KHz, 300KHz, 600KHz y700KHz

Figura 3.15: Cálculo de las velocidades de fase para diferentes valores de frecuencia.

Capítulo 4

Resultados y discusión

Este apartado se divide en dos grandes momentos; uno dedicado a mostrar el resultado numéricoobtenido luego de dar solución al problema planteado en (2.1) sobre una placa delgada; y un segundomomento en el que se determinó la curva de dispersión correspondiente.

4.1. Solución analítica

Martincek en su libro [20], determina el desplazamiento u(x, t) = (ux(x, t),uy(x, t)) del sistema deecuaciones en derivadas parciales planteado en (2.1) asumiendo que la solución se puede factorizar

como u(x, t) = w(y)ei(ωt−kx), donde ω = 2π f es la frecuencia angular, k =2π

Λes el número de ondas y

Λ es la longitud de la onda, con esto obtiene un nuevo sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.Este sistema tiene libertad en todas sus fronteras, condición de frontera de Neumann, la variableindependiente y ∈ (0; Ly), donde Ly es el espesor de la placa y tanto x como el tiempo t están en elintervalo (−∞;∞). La ecuación para el desplazamiento obtenida por Martincek está expresada porla parte real de las fórmulas siguientes:

ux(x, t) =

−((

sLy

2

)2

+ π2L2

y

Λ2

)

2qLy

2

coshsLy

2

coshqLy

2

sinhqy +sLy

2sinh sy

ei(ωt−kx)

uy(x, t) = i

−((

sLy

2

)2

+ π2L2

y

Λ2

)

2πLy

Λ

coshsLy

2

coshqLy

2

coshqy + πLy

Λcosh sy

ei(ωt−kx)

(4.1)

donde

s = π2Λ

√1− C2

C2T

q = π2Λ

√1− C2

C2L

49

Capítulo 4. Resultados y discusión 50

donde CL es la velocidad longitudinal, CT es la velocidad transversal y C es la velocidad de fase[20]. Esta solución analítica (4.1) la vamos a emplear para comparar nuestros resultados obtenidos enFreeFem++.

4.2. Solución numérica

Al emplear el software FreeFem++ para resolver el problema planteado en (2.1) se obtuvo comoresultado la simulación de cómo debe deformarse la placa al emitirse un pulso en la frontera δ4 (VerFigura (4.1)).

En la Figura (4.1b) se puede apreciar cómo según va transcurriendo el tiempo la onda se desplazaa través de la placa. Para que se percibiera mejor el desplazamiento de la onda se calculó la normadel vector desplazamiento.

‖u‖2 =√

u2x + u2

y (4.2)

La intensidad del color en la Figura (4.1c) muestra la longitud (4.2) del vector desplazamiento, la in-tensidad del color varía desde “amarillo” (no se desplaza) hasta el “rojo” (desplazamiento máximo).

(a) Región sin deformar





(b) Región deformada





(c) Región deformada y con la intensidad de ladeformación

Figura 4.1: Deformación de la placa de 0,05m× 0,001m al emitirse un pulso g(t) en la frontera δ4 de laplaca para distintos instantes de tiempo. (a) Placa sin deformar y con la partición τh (hacer un zoom).(b) Placa deformada y partición τh (hacer un zoom). (c) Placa deformada y con la intensidad de ladeformación (la norma del vector desplazamiento), la intensidad del color varía desde “amarillo”(no se desplaza) hasta el “rojo” (desplazamiento máximo).

Para poder comparar con la solución analítica (4.1) tenemos que fijar un valor para el tiempo t ypara la variable espacial x, de forma que esté situado en un punto de máximo sobre el pulso. Paraestos valores de x y t, realizamos una partición para la variable y ∈ (0; Ly) de 50 puntos igualmenteespaciados. En la Figura (4.2) se graficó la solución analítica (4.1) y la obtenida por nosotros en elinstante de tiempo t = 1,329 · 10−5 y la posición de la x = 0,025 para una partición de tiempo ∆t =1 · 10−7 y el diámetro de la malla h = 2 · 10−5.


Figura 4.2: Comparación entre la solución analítica (4.1) y la solución aproximada de FreeFem++,para t = 1,329 · 10−5, x = 0,025, ∆t = 1 · 10−7, y ∈

[0;1 · 10−3] (50 puntos) y h = 2 · 10−5.

Para calcular el error (4.3) de aproximación calculamos la norma en L2 de la diferencia entre lasolución aproximada (uh) y la solución (u) analítica (4.1).

‖u− uh‖L2([0;Ly]) =

√√√√√ Ly∫0

(ux − uhx)

2 + (uy − uhy)

2dy (4.3)

La integral de la expresión (4.3) fue determinada mediante las cuadraturas de Gauss. Los resulta-dos obtenidos para dos particiones de tiempo distintas y diferentes diámetros de malla se muestranen las tablas (4.1) y (4.2). Los cálculos se realizaron en una computadora con Procesador Intel Core i3de 4gb de Ram.

Tabla 4.1 Error de aproximación entre la solución obtenida por el software FreeFem++ y la soluciónanalítica (4.1) para la partición del tiempo de tamaño ∆t = 1 · 10−7 (realiza 150 iteraciones), con x =0,025 , y ∈

[0;1 · 10−3] (50 puntos), t = 1,329 · 10−5s y un tamaño de malla h.

h Grados de libertad Error Tiempo1 · 10−4 m 4,2042 · 104 5,0674 · 10−3 m 216,60 s

3,33 · 10−5 m 3,66122 · 105 5,0627 · 10−3 m 9698,56 s2 · 10−5 m 1,010202 · 106 5,0250 · 10−3 m 58291,30 s

Tabla 4.2 Error de aproximación entre la solución obtenida por el software FreeFem++ y la soluciónanalítica (4.1) para la partición del tiempo de tamaño ∆t = 1 · 10−8 (realiza 1500 iteraciones), conx = 0,025 , y ∈

[0;1 · 10−3] (50 puntos), t = 1,329 · 10−5s y un tamaño de malla h.

h Grados de libertad Error Tiempo1 · 10−4 m 4,2042 · 104 1,473 · 10−3 m 1169,08 s

3,33 · 10−5 m 3,66122 · 105 1,483 · 10−3 m 12550,80 s2 · 10−5 m 1,010202 · 106 1,456 · 10−3 m 29562,80 s


Es evidente que tanto Martincek como nosotros en este trabajo partimos de la misma ecuación(2.1) y empleando dos caminos diferentes (el analítico y el FEM) obtenemos los mismos resultados.

4.3. Curva de dispersión

Para el caso correspondiente a este trabajo existe una expresión analítica para determinar la curvade dispersión geométrica y la vamos a emplear para comparar nuestro resultado.

La curva de dispersión geométrica o CDG para la velocidad de fase cuando las ondas son antisi-

métricas como es el caso de este trabajo viene dada por una ecuación implícita F(

Ly

Λ,

Cc0

)= 0, donde

[21, 23]:

F(

Ly

Λ,

Cc0

)=

tanh

2π

(Ly

Λ

)√(Cc0

)2 1KT− 1

tanh

2π

(Ly

Λ

)√(Cc0

)2 1KL− 1

+

((Cc0

)2 1KT− 2

)2

4

√(Cc0

)2 1KT− 1

√(Cc0

)2 1KL− 1

(4.4)

donde

KL =(1− P)

(1 + P)(1− 2P)

KT =1

2(1 + P)

donde Ly es el ancho de la placa , Λ es la longitud de la onda, P es la constante de Poisson y c0 =

√Eρ

,

con E módulo de Young y ρ densidad del material [1].Para poder comparar con esta solución analítica, la velocidad de fase C calculada con el código

explicado en el capítulo (3.2) se dividió por la constante c0 y el resultado fueron los valores del eje Y,

para el eje X se calculóLy

Λ, determinando el valor de Λ =

Cf

a partir de la frecuencia f y la velocidad

de fase C. Con el fichero de Python mostrado en el anexo (4) se grafica la curva de dispersión. Elfichero se denota por antisim_fase_grupo.py y en sus primeras lineas contiene parámetros necesarioscomo el coeficiente de Poisson, el módulo de Young, densidad del material, entre otras, ver Figura(4.3).

En la Figura (4.4) se puede apreciar como se determinaron los valores que satisfacen la expresión(4.4) de la curva de dispersión analítica.

Por último y empleando los ficheros anteriores se determinan las velocidades de fase para cadavalor de frecuencia dado y se grafican ambas curvas. Esto se realiza con el código mostrado en laFigura (4.5).

Empleando el código descrito, los valores de las velocidades de fase correspondientes a los 5valores de frecuencia f0 de la tabla (2.1) se graficaron en el mismo gráfico donde se ploteó la curvade dispersión analítica (4.4) para poder compararlos, esto se muestra en la Figura (4.6).


Figura 4.3: Parámetros a emplear en el código antisim_fase_gruupo.py.

Figura 4.4: Cálculo de la curva de dispersión analítica.

La coincidencia de los resultados numéricos con la curva de dispersión analítica (4.4) muestraque el modelo numérico es adecuado para el cálculo de la curva de dispersión geométrica, puesse aprecia gran cercanía entre los puntos determinados computacionalmente y la curva teórica. Portanto se puede usar este método para obtener la curva de dispersión en caso de otras geometrías y(o)materiales no elásticos donde no es posible tener una curva analítica.


Figura 4.5: Cálculo de la curva de dispersión analítica.

Figura 4.6: Curva de dispersión teórica para la velocidad de fase (linea continua) y puntos (*) sobrela misma curva obtenidos mediante la solución FEM para los valores de frecuencia 100KHz, 200KHz,300KHz, 600KHz y 700KHz sobre la curva de dispersión analítica.

Conclusiones

En la tesis se estudia un sistema de dos ecuaciones en derivadas parciales, donde la función in-cógnita es una función vectorial, que depende del tiempo y de las coordenadas espaciales. Estasecuaciones describen la propagación de un pulso ultrasónico en una placa delgada en R2. El méto-do empleado puede servir como guía para resolver el mismo problema en otros tipos de dominiosfísicos tales como raíles, tuberías entre otros. Se pueden resumir las conclusiones en los siguientesaspectos:

1. Las ecuaciones se resolvieron utilizando Diferencias Finitas para aproximar la parte temporaldel problema y luego se empleó el FEM con funciones básicas cuadráticas de Lagrange paradeterminar las incógnitas dependientes de las coordenadas espaciales.

2. Se obtuvo la formulación variacional del problema obtenido después de aplicar el método deDiferencias Finitas.

3. Se obtuvieron acotaciones para la norma de la matriz de deformación y de la divergencia deldesplazamiento que fueron importantes para demostrar la continuidad de la forma bilineal.

4. Se demostró la existencia y unicidad de la solución de la formulación variacional en el espaciode dimensión infinita V0.

5. Se probó la existencia y unicidad de la solución aproximada en un espacio de dimensión finitaVh formado por funciones cuadráticas definidas sobre una triangulación del dominio.

6. Se realizó un estudio del error a priori donde se encontró una acotación para el error de inter-polación, con el que se garantiza que la solución aproximada converge a la solución analíticacuando el diámetro máximo de la malla tienda a cero.

7. Los resultados obtenidos mediante el programa implementado en el Software FreeFem++,muestran cómo la onda se va desplazando a través de la placa con el avance del tiempo. Estosresultados se compararon con la solución analítica dada por Martincek en su libro, obteniendobuenos resultados y confirmando lo encontrado en el error a priori de que la solución convergea la solución analítica cuando el diámetro de la malla tiende a cero.

8. A partir del desplazamiento obtenido del Software FreeFem++, se determinó la curva de dis-persión geométrica para un material isotrópico y fue comparada con la curva de dispersiónanalítica existente, comprobando gráficamente la cercanía de ambas curvas. La coincidencia delos resultados numéricos con la curva de dispersión analítica garantiza que se puede usar es-te método para obtener la curva de dispersión en caso de otras geometrías y(o) materiales noelásticos donde no es posible tener una curva de dispersión analítica.

55

Uno de los aspectos a destacar en este trabajo de tesis es que el FEM puede ser usado para laobtención de las curvas de dispersión necesarias en la medición industrial de defectos en dominiosfísicos. Si bien en este caso el dominio es plano y se conocen a priori las curvas de dispersión, va-le la pena recalcar que el método se puede extender a otros dominios donde no existan solucionesanalíticas, este es el caso de dominios 3D como por ejemplo los raíles de tren y las aspas de los aeroge-neradores. Por otro lado está el hecho de que se ha trabajado con materiales elásticos y la tecnologíaactual cubre materiales más novedosos como son los materiales compuestos caracterizados por sucomportamiento viscoelástico además de ser anisotrópico. Finalmente este modelo permite estudiarla interacción de los pulsos en guías de ondas con diversos tipos de reflectores entre ellos los defectos.

Recomendaciones

Los resultados obtenidos en esta investigación pueden extenderse a una clase de regiones másamplia donde su geometría no tiene que ser rectangular ni en 2 dimensiones. Pueden ser geometríasmás complejas en 3 dimensiones como las alas de los aviones, piezas de industrias o tanques de com-bustibles.

Con los adelantos tecnológicos existentes hoy en día ha surgido una gran diversidad de mate-riales anisotrópicos que pueden ser tratados con la continuación de este trabajo y poder conocer sucurva de dispersión. También se puede extender el trabajo a materiales viscoelásticos donde los mó-dulos “elásticos” son números complejos y dependientes de la frecuencia.

Para el caso de materiales compuestos, viscoelástico, anisotrópicos y de geometrías complicadasque no exista curva de dispersión analítica, con la extensión de nuestro trabajo se puede determinaresta curva indispensable para la aplicación de un procedimiento industrial de inspección según lasnormas internacionales. También se puede extender el trabajo para realizar estudios sobre la interac-ción de las ondas con diferentes tipos de defectos en estos materiales.

56

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[33] https://www.python.org. (Citado en la página 46).

59

https://www.python.org

Anexo

Anexo 1 (Programa completo para la solución del problema en FreeFem++.)

1: real Tend = 1,5e− 5, t = 0, // Tiempo final e inicial2: dt = 1e− 7, // Tamaño del paso para el tiempo3: rho = 2700, // Densidad del Aluminio4: T0 = 4e− 6, T = 2e− 6, amp = 1e7, alp = 1,1, f 0 = 6e5, // Parámetros5: P = 0,334, //Poisson Ratio6: E = 7e10, // Modulo de Young7: mu = (E/(2 ∗ (1 + P))), lambda = (E ∗ P/((1 + P) ∗ (1− 2 ∗ P))); // Constantes de Lamé Alu-

minio8: real g;9: ///////////////////////////////////////////////////

10: real ny = 3, Lx = 0,05, Ly = 0,001 , nx = (ny ∗ Lx)/Ly; // Tamaño de la partición11: mesh Sh=square(nx,ny, [Lx ∗ x, Ly ∗ y]); // Crear la malla12: //////////////////////////////////////////////////13: macro u [u1,u2] // Solución u14: macro up [up1,up2] // Paso anterior de u15: macro upp [upp1,upp2] // Paso anterior de up16: macro v [v1,v2] // Funcion prueba de u17: macro sigma [(lambda ∗ (dx(u1)+ dy(u2))+ 2∗mu ∗ dx(u1)), (mu ∗ (dy(u1)+ dx(u2))), (lambda ∗

(dx(u1) + dy(u2)) + 2 ∗mu ∗ dy(u2))] // sigma stress18: //// Definir el problema ////////////////////////19: fespace Vh(Sh,[P2,P2]);20: Vh u, v, upp = [0,0], up = [0,0];21: real cpu=clock();22: problem Estacionario(u,v,solver=UMFPACK )= int2d(Sh)(rho ∗ (u′) ∗ v+(dt2) ∗ (sigma[0] ∗ dx(v[0])+

sigma[1] ∗ (dy(v[0]) + dx(v[1])) + sigma[2] ∗ dy(v[1])))-int2d(Sh)(rho ∗ (2 ∗ (up′) ∗ v− (upp′) ∗ v))+ on(4,u1 = 0,u2 = g); // Condicion de Frontera de Dirichlet

23: //// Salvar la solución /////////////////////////24: ofstream f("u20,01.txt");25: ofstream ff("u20,011.txt");26: ofstream fff("u20,012.txt");27: //// Método de Euler //////////////////////////28: for (real t = 0; t <= Tend; t+ = dt) do29: 30: g = amp ∗ sin(2 ∗ pi ∗ f 0 ∗ t) ∗ exp(−alp ∗ ((t− T0)2)/T2);

60

31: Estacionario;32: ///// Cambio los valores iniciales //////////////33: upp=up;34: up=u;35: /////////////////////////////////////////////36: f<< u2(0,01,0,001) <<endl; // Salvar la solución u2(0,01,0,001) para cada instante de t37: ff<< u2(0,011,0,001) <<endl; // Salvar la solución u2(0,011,0,001) para cada instante de t38: fff<< u2(0,012,0,001) <<endl; // Salvar la solución u2(0,012,0,001) para cada instante de t39: ///////////////////////////////////////////////////////40: real delta = 1e− 7; // exageración del desplazamiento41: real minT0= checkmovemesh(Sh,[x,y]); // el área min de los triángulos42: cout << "minT0="<<minT0<<endl;43: // Encontrar el movimiento correcto44: while (1) do45: 46: real minT=checkmovemesh(Sh,[x + delta ∗ u1,y + delta ∗ u2]); // el área min de los triángu-

los47: if (minT0/1,5 < minT) break ; // Si es grande48: delta/ = 1,5;49: 50: end while51: mesh Th=movemesh(Sh,[x + delta ∗ u1,y + delta ∗ u2]);52: ///////////////////////////////////////////////////53: fespace Wh(Th,P2);54: Wh M;55: M = sqrt((u1)2 + (u2)2);56: /////////////////////////////////////////////////57: plot(Th,M,value=1,fill=1,wait=0,cmm= " Elasticidad de una Placa"+"; t= "+t+ "; Delta= "+delta);58: 59: end for60: cout << " CPU time = "<< clock()-cpu << endl;

Anexo 2 (Fichero vf.)

1: def vf(u2, s, s_inc,dt) :2: import numpy as np # cargo la libreria numpy y la llamo np para trabajar con arrays y

# matrices3: import matplotlib.pyplot as mp # cargo la libreria matplotlib.pyplot y la llamo mp para

# graficar4: from scipy.interpolate import InterpolatedUnivariateSpline # de la libreria scipy.interpolate

# importo InterpolatedUnivariateSpline para costruir el spline5: from scipy.interpolate import UnivariateSpline # para calcular la derivada de un spline6: # posicion de los policias7: x = np.array([0,01,0,013,0,016,0,019], float)8: incrt = 1.e6

61

9: incrvel = 1.e610: tiempo_max = np.array([0,0,0,0], float) # array para salvar el valor de tiempo donde se

# alcansa el max desplasamiento11: vmax = np.array([0,0,0,0], float) # array para salvar el valor de max desplasamiento12: for i in range(0,4) : do13: t = np.linspace(0, s, s/dt) # array del tiempo14: s = s + s_inc # incremento el intervalo de tiempo15: fp = UnivariateSpline(t, (np.array (u2[i][:]))[0][0 : len(t)],k = 4, s = 0) # spline cubico16: Tmax = fp.derivative().roots() # ceros de la derivada del spline fp17: tiempo_max [i] = Tmax [ len(Tmax) −1 ] # guardo el valor del tiempo en la posicion

# del max18: vmax[i] = fp(tiempo_max [i]) # guardo el valor del max valor de desplasamiento19: end for20: P = np.polyfit(x, tiempo_max ∗ incrt, 1) # calculo la recta que une los

# puntos (posicion ; tiempo)21: velfase = float # inicialiso la variable velocidad de fase22: velfase = incrvel / P[0] # calculo la velocidad de fase (inversa de la pendiente

# multiplicada 1e6 )23: return velfase

Anexo 3 (Fichero velfasespline.)

1: def velfase():2: import numpy as np # cargo la libreria numpy y la llamo np para trabajar con

# arrays y matrices3: import vf # cargo el fichero vf4: dt = 1.e− 7 # particion del tiempo5: # Valores para frecuencia = 100kh6: u2 = np.matrix([np.loadtxt(′100kh_u2_01.txt′), # valores del desplasamiento

np.loadtxt(′100kh_u2_011.txt′),np.loadtxt(′100kh_u2_012.txt′),np.loadtxt(′100kh_u2_013.txt′)])

7: s = 1,5e− 5 # posición final del tiempo8: s_inc = 0,38e− 5 # incremento de la posición final9: velfase100 = vf.vf(u2, s, s_inc, dt) # calculo la velocidad de fase para f=100kh

10: ########################### De aquí hacia abajo ####################################### todo es lo mismo pero para valores distintos de frecuencia ############

11: # Valores para frecuencia f=200kh12: u2 = np.matrix([np.loadtxt(′200kh_u2_01.txt′),

np.loadtxt(′200kh_u2_011.txt′),np.loadtxt(′200kh_u2_012.txt′),np.loadtxt(′200kh_u2_013.txt′)],float)

13: s = 1.e− 514: s_inc = 0,25e− 5

62

15: velfase200 = vf.vf(u2, s, s_inc, dt)16: # Valores para frecuencia f = 300kh17: u2 = np.matrix([np.loadtxt(′300kh_u2_01.txt′),

np.loadtxt(′300kh_u2_011.txt′),np.loadtxt(′300kh_u2_012.txt′),np.loadtxt(′300kh_u2_013.txt′)],float)

18: s = 0,75e− 519: s_inc = 0,2e− 520: velfase300 = vf.vf(u2, s, s_inc, dt)21: # Valores para frecuencia f= 600kh22: u2 = np.matrix([np.loadtxt(′600kh_u2_01.txt′),

np.loadtxt(′600kh_u2_011.txt′),np.loadtxt(′600kh_u2_012.txt′),np.loadtxt(′600kh_u2_013.txt′)], float)

23: s = 0,6e− 524: s_inc = 0,15e− 525: velfase600 = vf.vf(u2, s, s_inc, dt)26: # Valores para frecuencia f= 700kh27: u2 = np.matrix([np.loadtxt(′700kh_u2_01.txt′),

np.loadtxt(′700kh_u2_011.txt′),np.loadtxt(′700kh_u2_012.txt′),np.loadtxt(′700kh_u2_013.txt′)], float)

28: s = 0,36e− 529: s_inc = 0,15e− 530: velfase700 = vf.vf(u2, s, s_inc, dt)31: ################ Devuelvo los resultados #######################32: return np.array([velfase100, velfase200, velfase300, velfase600, velfase700], float)

Anexo 4 (Fichero antisim_fase_grupo.)

1: def antisim_fase_grupo(velfase100, velfase200, velfase300, velfase600, velfase700):2: import numpy as np3: import matplotlib.pyplot as mp

4: miu = 0,334 # Constante de Lame5: rho = 2700 # Densidad del material6: EY = 7.e10 # modulo de Yon7: kL = (1.−miu)/((1. + miu) ∗ (1.− 2. ∗miu))8: c0 = np.sqrt(EY/rho)9: cl = c0∗ np.sqrt(kL)

10: kT = (1./(2. ∗ (1. + miu)))11: i = 012: h = 1.e− 3 # espesor en metros de la placa13: xr = np.linspace(0,01,1,5, (1,5− 0,01)/0,01, float)14: Solant = np.zeros(len(xr), float)

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15: ejex = np.zeros(len(xr), float)16: ###### Curva analítica teórica #########17: for x in xr: do18: y = 1.e− 319: F = 1.20: while F >= 0: do21: A = np.pi∗x ∗np.sqrt(1.− ((y ∗ y)/kL))22: B = np.pi∗ x ∗np.sqrt(1.− ((y ∗ y)/kT))23: AT = np.tanh(A)24: BT = np.tanh(B)25: C = 4.∗np.pi∗ np.pi∗x ∗ x∗ A∗ B26: D = (np.pi∗np.pi∗x∗x+ B∗ B)∗(np.pi ∗np.pi∗ x∗x+ B ∗B)27: F = (BT / AT)− (D/C)28: y = y +1.e− 429: end while30: Solant[i] = y31: ejex[i] = x32: i = i +133: end for34: # velf = Solant ∗ c0 # si usas metros/segundos35: vel = Solant # si usas velocidad adimensional36: lamda = 1./ ejex # esto es lambda37: newejex = h / lamda # h es espesor y lmbda longitud de onda38: ##### Cálculo experimental ######39: vfase = np.array([velfase100, velfase200, velfase300, velfase600, velfase700], float)40: C = vfase / c0 # Velocidad de fase41: f =np.array([1.e5, 2.e5, 3.e5, 6.e5, 7.e5], float)42: hlamda = np.zeros(len(f), float)43: for i in range(0, len(f)): do44: hlamda[i] = h ∗ f[i]/ vfase[i]45: end for46: mp.figure()47: mp.plot(ejex[1:100], vel[1:100], ′k′, label=′velocidad de fase′)48: mp.plot(hlamda, C, ′∗k′, label=′calculo por Fem′)49: mp.xlabel(′h/ lambda′)50: mp.ylabel(′C / c0′)51: mp.legend(bbox_to_anchor=(1, 1), loc=1,

ncol=1, borderaxespad=0,5)52: mp.title(′Curva de Dispersion′)53: mp.show()

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modelo y resolución del desplazamiento de una onda en una

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