modelos de asignación de viajes a redes de transporte público

1

Asignación de Viajes a Redes de Transporte Asignación de Viajes a Redes de Transporte Público sin Congestión Público sin Congestión

2.3 Asignación a Itinerarios Mínimos en Redes de Transporte Público

2.4 Asignación a Rutas Mínimas en Redes de Transporte Público

2.5 Asignación a Estrategias Mínimas en Redes de Transporte Público

2

2.3 Asignación a Itinerarios Mínimos en Redes de 2.3 Asignación a Itinerarios Mínimos en Redes de Transporte PúblicoTransporte Público

2.3.1 Introducción:2.3.1 Introducción:Algunas definiciones en Algunas definiciones en redes de transporte privadoredes de transporte privado son muy distintas son muy distintas a sus equivalentes en a sus equivalentes en redes transporte públicoredes transporte público. Ejemplo de red vial:. Ejemplo de red vial:

11

22

44

33

55 7788

En esta red vial, un En esta red vial, un caminocamino o o ruta ruta dede transporte privadotransporte privado entreentre 1 1 yy 7 7 está constituido simplemente por los arcos está constituido simplemente por los arcos (1,2); (2,4)(1,2); (2,4) y y (4,7).(4,7).

En una En una red de transporte públicored de transporte público, los conceptos de , los conceptos de caminocamino y y ruta ruta tienen connotaciones distintastienen connotaciones distintas

3

En En transporte privadotransporte privado, al conocer los caminos seguidos por los , al conocer los caminos seguidos por los automóviles se conoce la asignación de los usuarios a la red.automóviles se conoce la asignación de los usuarios a la red.

En En transporte públicotransporte público no basta conocer las trayectorias de las no basta conocer las trayectorias de las líneaslíneas para conocer las rutas seguidas por los pasajeros para conocer las rutas seguidas por los pasajeros

Los recorridos de los vehículos de transporte público están Los recorridos de los vehículos de transporte público están predeterminadospredeterminados. . Lo que interesa conocer es la asignación de Lo que interesa conocer es la asignación de pasajeros a las distintas líneaspasajeros a las distintas líneas..

Para entender el Para entender el comportamiento de los usuarioscomportamiento de los usuarios (pasajeros) al (pasajeros) al elegir las líneas que utilizan, deben considerarse nuevas variables:elegir las líneas que utilizan, deben considerarse nuevas variables:

• tiempo de esperatiempo de espera• tiempo de viajetiempo de viaje• tiempo de trasbordotiempo de trasbordo• tarifas, etc.tarifas, etc.

4

Los caminos por la red están fijos:Los caminos por la red están fijos: los “buses” no escogen sus rutas: los “buses” no escogen sus rutas:

6655

44

11 3322

Las condiciones de operación en la vías están dadas (y pueden ser Las condiciones de operación en la vías están dadas (y pueden ser afectadas por otros vehículos, si el espacio vial es común) afectadas por otros vehículos, si el espacio vial es común) pero el pero el tiempo de viaje no depende del número de pasajeros tiempo de viaje no depende del número de pasajeros enen los “buses” los “buses”

Sin embargo, si la capacidad de los “buses” es insuficiente para Sin embargo, si la capacidad de los “buses” es insuficiente para satisfacer la demanda lossatisfacer la demanda los tiempos de esperatiempos de espera se verán afectadosse verán afectados: : ==> ==> congestión en transporte público.congestión en transporte público.

Todo lo tratado en este capítulo supone ausencia de congestión en Todo lo tratado en este capítulo supone ausencia de congestión en transporte público.transporte público.

Pueden ser “buses” u otros Pueden ser “buses” u otros vehículos de transporte público vehículos de transporte público como trenes, tranvías, taxis como trenes, tranvías, taxis colectivos, etc.colectivos, etc.

5

a)a) Una Una línea línea de transporte publico es un servicio de transporte de transporte publico es un servicio de transporte prestados por una prestados por una flotaflota de vehículos que realiza un cierto de vehículos que realiza un cierto recorrido fijo recorrido fijo entreentre terminales terminales..

Todos los vehículos de una línea tienen igual Todos los vehículos de una línea tienen igual tamaño, capacidad y características de tamaño, capacidad y características de operaciónoperación

Los vehículos se detienen en cada nodo Los vehículos se detienen en cada nodo ((paraderoparadero) que define el recorrido, permitiendo ) que define el recorrido, permitiendo que los pasajeros suban y bajen que los pasajeros suban y bajen

Cada línea de transporte público queda definido Cada línea de transporte público queda definido por por una secuencia de nodos del recorrido, la una secuencia de nodos del recorrido, la frecuencia y la capacidad de los vehículos frecuencia y la capacidad de los vehículos utilizadosutilizados

Los pasajeros que usan la línea pagan una Los pasajeros que usan la línea pagan una tarifatarifa (o se someten a un sistema tarifario).(o se someten a un sistema tarifario).

2.3.2 Definiciones básicas:2.3.2 Definiciones básicas:

6

22

44

33 55

7788 66

11

XX terminalterminal YY nodonodo

b)b) Un Un segmento de líneasegmento de línea es una porción de línea entre dos es una porción de línea entre dos nodos consecutivos de su recorrido. nodos consecutivos de su recorrido. Ejemplo: Ejemplo: (1,2); (2,3)(1,2); (2,3)

c)c) Una Una sección de líneasección de línea es una porción de línea entre dos es una porción de línea entre dos nodos no necesariamente consecutivos de su recorrido. nodos no necesariamente consecutivos de su recorrido. Ejemplo: Ejemplo: (1,3); (1,5); (5,8)(1,3); (1,5); (5,8)

7

d)d) Itinerario o camino de transporte públicoItinerario o camino de transporte público Supóngase una red de transporte público Supóngase una red de transporte público G(N,A) G(N,A) donde donde AA

representa el conjunto de arcos de la red: representa el conjunto de arcos de la red: arcos de accesoarcos de acceso tiempos de espera, tarifatiempos de espera, tarifa transbordos (si los hay)transbordos (si los hay) segmentos de líneasegmentos de línea

11 22 33 44L1L1 Trazado de líneaTrazado de línea

1’1’ 2’2’ 3’3’ 4’4’

1144

11 33 4433

Red G(N,A)Red G(N,A)

Elemento básico: Elemento básico: segmento de líneasegmento de línea

8

Por conveniencia “Por conveniencia “algorítmica” algorítmica” se define ahora una red virtual se define ahora una red virtual G(N,L) G(N,L) dondedonde L L incluye como elemento básico laincluye como elemento básico la sección de línea. sección de línea.

1’1’ 2’2’ 3’3’ 4’4’

1144

11

33

44

33

En esta red En esta red G(N,L)G(N,L) hay varios arcos que pueden “agregarse” sin hay varios arcos que pueden “agregarse” sin mayores problemas mayores problemas

Sección de líneaSección de línea

9

1’1’ 2’2’ 3’3’ 4’4’

11 44

33Arcos de accesoArcos de acceso

Quedan solo Quedan solo arcos de arcos de accesoacceso y y secciones de líneasecciones de línea

Cada sección de línea puede tener atributos Cada sección de línea puede tener atributos asociados, tales como tiempo de espera, asociados, tales como tiempo de espera, frecuencia, tiempo de viaje, tarifa, etc.frecuencia, tiempo de viaje, tarifa, etc.

10

Definición:Definición: Un Un itinerario (o camino) itinerario (o camino) en la red en la red G(N,L)G(N,L) es una es una secuencia de arcos adyacentes, de la siguiente formasecuencia de arcos adyacentes, de la siguiente forma::

acceso en el origenacceso en el origen ( (ingresoingreso)) sección de líneasección de línea trasbordo (si lo hay)trasbordo (si lo hay) sección de líneasección de línea trasbordo (si lo hay)trasbordo (si lo hay)

………… acceso en el destinoacceso en el destino ( (egresoegreso))

Se llama genéricamente Se llama genéricamente “sección de línea”“sección de línea” a todo los arcos de a todo los arcos de L L (reconociendo que hay diferentes tipos de arcos: accesos (reconociendo que hay diferentes tipos de arcos: accesos trasbordo, secciones de líneas propiamente tales, etc.)trasbordo, secciones de líneas propiamente tales, etc.)

11

En otras palabras un En otras palabras un ““Itinerario” Itinerario” en una red de transporte en una red de transporte público es una público es una secuencia de arcos adyacentes secuencia de arcos adyacentes sobre la red sobre la red G(N,L)G(N,L) o bien una o bien una secuencia de secciones de línea adyacentes.secuencia de secciones de línea adyacentes.

Así, un itinerario representa una Así, un itinerario representa una forma detalladaforma detallada de efectuar un de efectuar un viaje en transporte público.viaje en transporte público.

Ejemplo:Ejemplo: Una viaje Soledad 2000 – Uninorte Una viaje Soledad 2000 – Uninorte

Itinerario 1:Itinerario 1:• Acceso desde Soledad 2000 al paradero de busAcceso desde Soledad 2000 al paradero de bus• Tomar línea alimentadora entre el paradero y la Estación Sur de Tomar línea alimentadora entre el paradero y la Estación Sur de

TransmetroTransmetro• Trasbordar a la Troncal TransmetroTrasbordar a la Troncal Transmetro• Tomar Troncal 1 entre Estación Sur y Estación Romelio MartínezTomar Troncal 1 entre Estación Sur y Estación Romelio Martínez• Transbordar a ruta alimentadora hasta UninorteTransbordar a ruta alimentadora hasta Uninorte• Acceso (egreso) entre paradero y Uninorte.Acceso (egreso) entre paradero y Uninorte.

Itinerario 2Itinerario 2 Acceso desde Soledad 2000 al paradero de busAcceso desde Soledad 2000 al paradero de bus Tomar linea Sobusa Uninorte Soledad 2000 entre el paradero y Tomar linea Sobusa Uninorte Soledad 2000 entre el paradero y

UninorteUninorte Acceso (egreso) entre paradero y UninorteAcceso (egreso) entre paradero y Uninorte

12

Repasemos los conceptos básicosRepasemos los conceptos básicos

Línea:Línea: Servicio dado por vehiculos de una capacidad y frecuencia Servicio dado por vehiculos de una capacidad y frecuencia coon un recorrido fijo definido por una secuencia de nodos de la coon un recorrido fijo definido por una secuencia de nodos de la red vial.red vial.

Sección de línea:Sección de línea: Representa el desplazamiento entre dos nodos Representa el desplazamiento entre dos nodos de una línea.de una línea.

En el caso representado En el caso representado 1 2 1 2 yy 2 T 2 T son secciones de la línea. son secciones de la línea. Pero Pero 3 43 4 no lo es, ya que entre ellos hay una terminal. no lo es, ya que entre ellos hay una terminal.

Segmento de línea:Segmento de línea: Porción que une dos nodos consecutivos. Porción que une dos nodos consecutivos.

13

Continuemos el repasoContinuemos el repaso

Itinerario:Itinerario: Descripción detallado de un viaje en terminos de la Descripción detallado de un viaje en terminos de la secuencia de lineas utilizadas y de los nodos de ascenso y secuencia de lineas utilizadas y de los nodos de ascenso y descenso de cada una de esas líneas.descenso de cada una de esas líneas.

Ruta de transporte público:Ruta de transporte público: Define la forma de realizar un viaje Define la forma de realizar un viaje entre un par de nodos OD. A ello se asocia dos tipos de entre un par de nodos OD. A ello se asocia dos tipos de información diferente: En primer lugar, una secuencia de nodos información diferente: En primer lugar, una secuencia de nodos que representan el nodo origen,el de destino y los de transbordo (si que representan el nodo origen,el de destino y los de transbordo (si existen). En segundo lugar, para cada una de las secciones de rutas existen). En segundo lugar, para cada una de las secciones de rutas así definidas se asocia un conjunto de lineas atractivas (solo una así definidas se asocia un conjunto de lineas atractivas (solo una secuencia de nodos transbordo).secuencia de nodos transbordo).

14

Repaso… Repaso… Estrategia:Estrategia: Conjunto de reglas que al ser aplicadas por el viajero le Conjunto de reglas que al ser aplicadas por el viajero le permiten alcanzar su destino (permite distintas secuencias de nodos permiten alcanzar su destino (permite distintas secuencias de nodos transbordo).transbordo).

La asignación puede hacerse según el criterio de itinerario, de ruta o de La asignación puede hacerse según el criterio de itinerario, de ruta o de estrategia.estrategia.

Con el presente ejemplo se ilustran los conceptos aqui definidos (todas Con el presente ejemplo se ilustran los conceptos aqui definidos (todas las frecuencias son 5 buses/hora, con tiempo medio de espera de 6 m):las frecuencias son 5 buses/hora, con tiempo medio de espera de 6 m):

15

Algunos conceptos bAlgunos conceptos básicos de transporte: ásicos de transporte:

Caso 1:Caso 1: Itinerario mínimoItinerario mínimo. Si se asigna a itinerario mínimo es el . Si se asigna a itinerario mínimo es el correspondiente a la linea 1 (L1), cuya duración es 6+10+14=30 correspondiente a la linea 1 (L1), cuya duración es 6+10+14=30 minutos, en ese caso todos los viajes se harminutos, en ese caso todos los viajes se harían por esa línea.ían por esa línea.

Caso 2: Ruta mínima. Caso 2: Ruta mínima. Según este criterio el usuario tomaría las Según este criterio el usuario tomaría las líneas L1, L2 o L3. En ese caso la frecuencia conjunta es de 15 líneas L1, L2 o L3. En ese caso la frecuencia conjunta es de 15 buses/hora, para un tiempo de espera medio de 2 mins. buses/hora, para un tiempo de espera medio de 2 mins.

El tiempo medio de recorrido es y el El tiempo medio de recorrido es y el

tiempo de viaje . En la ruta no se incluyó a tiempo de viaje . En la ruta no se incluyó a L4, pues al tener un tiempo de viaje tan alto, incrementaría el L4, pues al tener un tiempo de viaje tan alto, incrementaría el tiempo de viaje.tiempo de viaje.

En este caso los viajes se reparten entre L1, L2 y L3 En este caso los viajes se reparten entre L1, L2 y L3 proporcionalmente a sus frecuencias.proporcionalmente a sus frecuencias.

min33,25

3

262624

min33,27233,25

16

Algunos conceptos bAlgunos conceptos básicos de transporte: ásicos de transporte:

Caso 3:Caso 3: Estrategía mínimoEstrategía mínimo. La estrategia más adecuada, sería . La estrategia más adecuada, sería tomar L1, L2 ó L3 entre 1 y 3, y L5+L6 para llegar entre 1 y 3 tomar L1, L2 ó L3 entre 1 y 3, y L5+L6 para llegar entre 1 y 3 haciendo transbordo en 6haciendo transbordo en 6..

En 1, el tiempo de espera, considerando que la frecuencia es de En 1, el tiempo de espera, considerando que la frecuencia es de 20 buses/hora20 buses/hora, será de 1,5 min., será de 1,5 min.

El tiempo de viaje por L5El tiempo de viaje por L5+L6 (incluyendo el transbordo), es de +L6 (incluyendo el transbordo), es de

7+13+6=26min.7+13+6=26min.

Luego el tiempo de viaje de la estrategia esLuego el tiempo de viaje de la estrategia es

En la asignaciEn la asignación correspondiendo al criterio de estrategia, los ón correspondiendo al criterio de estrategia, los usuarios se distribuyen en el nodo 1 entre las líneas L1, L2, L3 y usuarios se distribuyen en el nodo 1 entre las líneas L1, L2, L3 y L5 en proporción a la frecuencia.L5 en proporción a la frecuencia.

Nótese que el itineraria esta incluido en la recta y este a su vez en Nótese que el itineraria esta incluido en la recta y este a su vez en la estrategia. la estrategia.

min275,1

426262624

17

2.3.3 Algoritmo de Asignación a Itinerarios Mínimos2.3.3 Algoritmo de Asignación a Itinerarios Mínimos

Ejemplo: Red G(N,A)Ejemplo: Red G(N,A)

L2L2

L1L1

L3L3

L4L4

22

44

33

55

7766

11

De los trazados de línea en De los trazados de línea en G(N,A)G(N,A) construir la red virtual construir la red virtual G(N,L)G(N,L) Considerando conocidos los tiempos de viaje y espera de cada Considerando conocidos los tiempos de viaje y espera de cada

línealínea Criterio de comportamiento de los usuarios: Criterio de comportamiento de los usuarios: elegir el itinerario de elegir el itinerario de

mínimo costo generalizado mínimo costo generalizado (en este caso (en este caso tiempo viaje + esperatiempo viaje + espera))

18

22

44

33

55

7766

11

Sobre esta red virtual se puede aplicar un algoritmo de Sobre esta red virtual se puede aplicar un algoritmo de rutas mínimas como rutas mínimas como D’ESOPOD’ESOPO o o DIJKSTRA DIJKSTRA para para encontrar losencontrar los itinerarios mínimos itinerarios mínimos

Costo = tiempoCosto = tiempo espera espera + tiempo viaje+ tiempo viaje

19

Este algoritmo es una adoptación para el tranporte público del Este algoritmo es una adoptación para el tranporte público del propuesto por propuesto por D’ESOPOD’ESOPO o o DIJKSTRA. DIJKSTRA.

DIJKSTRADIJKSTRA en cada Pivot buscaba una etiqueta en cada Pivot buscaba una etiqueta inmediatamente unida al pivot. Ahora, se etiquetan los nodos inmediatamente unida al pivot. Ahora, se etiquetan los nodos alcanzables desde el pivot por una línea. alcanzables desde el pivot por una línea.

A cada nodo se le asocian tres atributos: tiempo de viaje A cada nodo se le asocian tres atributos: tiempo de viaje (desde la fuente), línea y nodo del último transbordo.(desde la fuente), línea y nodo del último transbordo.

20

Definiciones.Definiciones. T(i,j). Tiempo total de viaje entre i,j incluye tiempo en vehiculo más T(i,j). Tiempo total de viaje entre i,j incluye tiempo en vehiculo más

tiempo de espera (también se le puede asociar la tarifa) tiempo de espera (también se le puede asociar la tarifa) tv(i,j,l). Tiempo de viaje en vehiculo entre i, j usando la línea l.tv(i,j,l). Tiempo de viaje en vehiculo entre i, j usando la línea l. Te(l). Tiempo de espera de la línea l (se le puede asociar la tarifa )Te(l). Tiempo de espera de la línea l (se le puede asociar la tarifa ) H(k). Conjunto de nodos de la red alcanzables desde le nodo k sin H(k). Conjunto de nodos de la red alcanzables desde le nodo k sin

realizar transbordo.realizar transbordo. B(k). Conjunto de líneas que pasan por el nodo k.B(k). Conjunto de líneas que pasan por el nodo k. Si se calcula el arbol desde el nodo fuente F, la etiqueta de un nodo i Si se calcula el arbol desde el nodo fuente F, la etiqueta de un nodo i

tienes los atributos:tienes los atributos:T(F,i)T(F,i)k (nodo del último transbordo)k (nodo del último transbordo)ll

Que se representa (T(f,i),k,L)Que se representa (T(f,i),k,L)

21

Descripción del algoritmo.Descripción del algoritmo. Etapa 1: Inicialización.Etapa 1: Inicialización. A todos los nodos (excepto el fuente), se le asignan etiquetas A todos los nodos (excepto el fuente), se le asignan etiquetas

[[∞,0,0]. Al nodo fuente se le etiqueta [0,1,0].∞,0,0]. Al nodo fuente se le etiqueta [0,1,0]. X=X= conjunto de nodos con etiqueta permanente.∅ conjunto de nodos con etiqueta permanente.∅ Pivot=f (nodo fuente)Pivot=f (nodo fuente)

Etapa 2: Calculo de etiquetas desde el pivot o los nodos Etapa 2: Calculo de etiquetas desde el pivot o los nodos alcanzables desde el. alcanzables desde el.

A f se le dio etiqueta [0,F,0], luego X=X U ={f}A f se le dio etiqueta [0,F,0], luego X=X U ={f}.. Para cada línea l Para cada línea l ЄЄ B (f), y para cada nodo j B (f), y para cada nodo j ЄЄ l l calcular Y=Te(l)+Tv(F,j,l)calcular Y=Te(l)+Tv(F,j,l).. Si Y > T(f,j) – continue, en caso contrario dar a J etiqueta Si Y > T(f,j) – continue, en caso contrario dar a J etiqueta

(Y,f,l)(Y,f,l)

22

Descripción del algoritmo.Descripción del algoritmo. Etapa 3: Determinación de un nuevo pivot. Etapa 3: Determinación de un nuevo pivot. Será el nodo k tal queSerá el nodo k tal que T(f,k)=minT(F,j); J T(f,k)=minT(F,j); J que no este cerrado ∈ que no este cerrado ∈ K será el pivot y k X ( el pivot le será asignada etiqueta y se ∈K será el pivot y k X ( el pivot le será asignada etiqueta y se ∈

cerrarrá)cerrarrá)

Etapa 4: Calculo de etiquetas desde el pivot o los nodos Etapa 4: Calculo de etiquetas desde el pivot o los nodos alcanzables desde el. alcanzables desde el.

Si B (pivot) contiene una sola línea Si B (pivot) contiene una sola línea » etapa 5.» etapa 5. En caso contrario, para cada l B (pivot) diferente de la línea ∈En caso contrario, para cada l B (pivot) diferente de la línea ∈

en la cual llega en cada nodo j l.∈en la cual llega en cada nodo j l.∈ Calcular Y=tv (F,pivot)+Te(l)+T(pivot, j, l).Calcular Y=tv (F,pivot)+Te(l)+T(pivot, j, l). Si Y > T(f,j) » continúeSi Y > T(f,j) » continúe Caso contrario asegure a J la etiqueta (Y,pivot, l)Caso contrario asegure a J la etiqueta (Y,pivot, l)

X

23

Descripción del algoritmo.Descripción del algoritmo. Etapa 5: Test de parada. Etapa 5: Test de parada. Dar a pivot etiqueta permanente (cerrado)Dar a pivot etiqueta permanente (cerrado) X=X U {pivot}X=X U {pivot} Si = parar (todos los nodos cerrados)∅Si = parar (todos los nodos cerrados)∅ En caso contraio ir a etapa 3En caso contraio ir a etapa 3

X

24

Ejemplo:Ejemplo: Encontrar el árbol de itinerarios mínimos desde Encontrar el árbol de itinerarios mínimos desde 1 hasta todos 1 hasta todos los demás nodos.los demás nodos.

Nodo Etapa 1 X={1}{1} X={1,9}{1,9} X={1,2,9}{1,2,9} X={1,2,6,9}{1,2,6,9} X={1,2,3,6,9}{1,2,3,6,9} Def. X=0

11 [[0,1,0]x0,1,0]x x x x x x [[0, 1, 0]0, 1, 0]

22 ((∞,0,0)∞,0,0) ((16, 1, L1)16, 1, L1) [[16, 1, L1] x16, 1, L1] x x x x [16[16, 1, L1], 1, L1]

3 ((∞,0,0)∞,0,0) ((21, 1, L1)21, 1, L1) [[21, 1, L1] x21, 1, L1] x [[21, 1, L1]21, 1, L1]

4 ((∞,0,0)∞,0,0) ((28, 1, L1)28, 1, L1) [[28, 1, L1]28, 1, L1]

5 ((∞,0,0)∞,0,0) ((31, 1, L1)31, 1, L1) [[31, 1, L1]31, 1, L1]

6 ((∞,0,0)∞,0,0) ((16, 1, L2)16, 1, L2) [[16, 1, L2] x16, 1, L2] x x x [16[16, 1, L2], 1, L2]

7 ((∞,0,0)∞,0,0) ((21, 1, L2)21, 1, L2) [[21, 1, L1] x21, 1, L1] x [[21, 1, L2]21, 1, L2]

8 ((∞,0,0)∞,0,0) ((27, 1, L2)27, 1, L2) [[27, 1, L2]27, 1, L2]

9 ((∞,0,0)∞,0,0) [[15, 1, L3] x15, 1, L3] x x x x [[15, 1, L3]15, 1, L3]

10 ((∞,0,0)∞,0,0) ((∞,0,0)∞,0,0) ((24, 9, L4)24, 9, L4) [[24, 1, L1]24, 1, L1]

11 ((∞,0,0)∞,0,0) ((31, 1, L3)31, 1, L3) ((26, 9, L4)26, 9, L4) [[21, 9, L4]21, 9, L4]

Nuevo pivot

99 2 6 3 7 [[26, 9, L4]26, 9, L4]

65 6

56

3 4

5 5

4

5 7

2

4 2

3

25

2.4 Asignación a Rutas Mínimas en Redes de Tpte. Público2.4 Asignación a Rutas Mínimas en Redes de Tpte. Público

2.4.1 Líneas Comunes y Conjunto de Líneas Comunes:2.4.1 Líneas Comunes y Conjunto de Líneas Comunes:

Sea un conjunto de Sea un conjunto de nn líneas líneas de transporte público de transporte público LL11=={l{l11, l, l22,…,l,…,lnn}}

que viajan que viajan desdedesde el nodo el nodo AA haciahacia el nodo el nodo BB::

CHRIQUI (1974)CHRIQUI (1974) plantea que existe un subconjunto plantea que existe un subconjunto LL22 L L11

que contiene las líneas que contiene las líneas atractivasatractivas para viajar entre para viajar entre AA y y B B Si los viajeros Si los viajeros seleccionan a prioriseleccionan a priori las líneas de las líneas de LL22 y usan la y usan la

primera de ellasprimera de ellas disponible en disponible en AA, , minimizanminimizan su tiempo total su tiempo total esperado de viajeesperado de viaje::

22 LL TW)B,A(TV

tiempo esperado de esperatiempo esperado de espera tiempo esperado de viaje en vehículotiempo esperado de viaje en vehículo:T2L:W

2L

[2.3]

26

Las líneas pertenecientes a Las líneas pertenecientes a LL22 reciben el nombre de reciben el nombre de

líneas atractivaslíneas atractivas o o líneas comuneslíneas comunes para viajar entre para viajar entre AA y y B B

Sean Sean ffll la la frecuenciafrecuencia y y ttll el el tiempo de viaje en vehículotiempo de viaje en vehículo, asociados a , asociados a

la línea la línea llLL11

Supóngase además que los Supóngase además que los tiempos de esperatiempos de espera asociados a las líneas asociados a las líneas llLL11 son son variables aleatorias independientesvariables aleatorias independientes: : k/fk/f11, k/f, k/f22…k/f…k/f33

Luego, para determinar Luego, para determinar LL22 se debe resolver el siguiente problema:se debe resolver el siguiente problema:

1l

n

1lll

n

1llll

x

Ll1,0x:.a.s

xf

xftkMin

l

[2.4]

[2.5]

27

[2.6]

[2.7]

n

1lll

n

1llll

n

1lll

xf

xft

xf

kdonde:donde:

tiempo medio de espera:tiempo medio de espera:

tiempo medio viaje:tiempo medio viaje:

Una línea Una línea ll pertenecerá al conjunto de líneas comunes si pertenecerá al conjunto de líneas comunes si xxll = 1 = 1 y no pertenecerá a él (no será usada para viajar entre y no pertenecerá a él (no será usada para viajar entre AA y y BB) si ) si xxll = 0 = 0

28

El problema definido por El problema definido por [4.3] y [4.4] es un caso especial de un problema de programación hiperbólica:problema de programación hiperbólica:

1,0x:.a.s

xbb

xaaMin

l

n

1lll0

n

1lll0

xl

[2.8]

[2.9]

En este caso:En este caso:

aa00 = k = k

bb0 0 = 0= 0

aaii = t = tllffll

bbii = f = fll

Además, es un caso particular Además, es un caso particular porque todos los parámetros porque todos los parámetros son son no-negativosno-negativos

Algoritmo de Algoritmo de soluciónsolución: Ver : Ver Chriqui (1974)Chriqui (1974)

29

Nótese que si todas las líneas pertenecientes a Nótese que si todas las líneas pertenecientes a LL11 tienen igual tienen igual

tiempo de viaje en vehículo entre tiempo de viaje en vehículo entre AA y y BB,, t tvv, entonces todas las , entonces todas las

líneas son comunes y el tiempo total esperado de viaje es:líneas son comunes y el tiempo total esperado de viaje es:

1

( , ) vn

ll

kTV A B t

f

[2.10]

30

Ejemplo:Ejemplo:

AA BB

LL11 18 minutos 18 minutos



ff1 1 = f= f2 2 = f= f3 3 = 5 veh./hr.= 5 veh./hr. k = 1/2k = 1/2

LL11 = = {l{l11, l, l22, l, l33} ¿Cual es L} ¿Cual es L22??

n

1ll

n

1lll

f

ftkTV

31

Aplicación del algoritmo:Aplicación del algoritmo: LL22 = = {l{l11} } se incluye la línea más rápidase incluye la línea más rápida

min24186

121

121

1821

TV1

tt22 = 22 < TV = 22 < TV1 1 L L22 = = {l{l11, l, l22 } }

min23203

121

121

121

22121

1821

TV2

tt33 = 26 > TV = 26 > TV2 2 L L33 no es atractiva no es atractiva FIN del Algoritmo FIN del Algoritmo

LL22 = = {l{l11, l, l22 } }

32

23min24

121

121

121

121

26121

22121

1821

TV3

Verificación de que lVerificación de que l33 no es atractiva: no es atractiva:

Luego, el conjunto de líneas atractivas está formado sólo por Luego, el conjunto de líneas atractivas está formado sólo por las líneaslas líneas 1 1 yy 2 2

Si pasa la línea Si pasa la línea 33 por el nodo por el nodo AA, se deja pasar , se deja pasar

33

Definición:Definición: Una Una ruta de transporte públicoruta de transporte público es una es una fforma de orma de realizar un viaje entre un origen y un destinorealizar un viaje entre un origen y un destino. Una ruta esta . Una ruta esta asociada con:asociada con: Nodo origen, nodo destino y nodos de trasbordoNodo origen, nodo destino y nodos de trasbordo Líneas consideradas en cada tramo (Líneas consideradas en cada tramo (secciones de rutasecciones de ruta ) ) Sección de rutaSección de ruta : :

Nodo inicialNodo inicial Nodo FinalNodo FinalConjunto de líneas comunesConjunto de líneas comunes

2.4.2 Rutas de Transporte Público2.4.2 Rutas de Transporte Público

Recuérdese que un Recuérdese que un itinerario itinerario en transporte públicoen transporte público es una es una ddescripción detallada de un viaje en términos de líneas utilizadas escripción detallada de un viaje en términos de líneas utilizadas y nodos de trasbordo, para llegar desde un origen a un destino. y nodos de trasbordo, para llegar desde un origen a un destino. Ahora es posible definir el concepto de Ahora es posible definir el concepto de ruta ruta ::

34

2.4.3 Formulación Matemática del Problema de Asignación 2.4.3 Formulación Matemática del Problema de Asignación a Rutas Mínimas en Redes de Transporte Públicoa Rutas Mínimas en Redes de Transporte Público

a)a) Representación de la red de transporte público Representación de la red de transporte público

G(N,A)G(N,A)

11 4422 33

11 4422 33

G(N,L)G(N,L)

La formulación matemática La formulación matemática del problema del problema (ver De Cea y (ver De Cea y Fernández 1989)Fernández 1989) se basa en se basa en una red virtual en la que los una red virtual en la que los arcos representan secciones arcos representan secciones de líneade línea

35

b)b) Notación Notación

Red Red G(NG(N:nodos, :nodos, L:L: secciones de línea secciones de línea))

w:w: conjunto de pares de nodos conectados por al menos una sección conjunto de pares de nodos conectados por al menos una sección de línea de línea

SSijij:: conjunto de secciones de línea que conectan directamente conjunto de secciones de línea que conectan directamente ii con con jj

LLii++:: conjunto de secciones de línea que salen del nodo conjunto de secciones de línea que salen del nodo ii

LLii--:: conjunto de secciones de línea que entran al nodo conjunto de secciones de línea que entran al nodo ii

vvll:: flujo sobre la sección de línea flujo sobre la sección de línea ll

ttll:: tiempo de viaje en vehículo sobre la sección de línea tiempo de viaje en vehículo sobre la sección de línea ll

ffll:: frecuencia asociada a la sección de línea frecuencia asociada a la sección de línea ll

ggii:: número de viajes desde el origen al nodo número de viajes desde el origen al nodo ii

VVijij:: flujo sobre la flujo sobre la sección de ruta (i,j) sección de ruta (i,j)

(suma de flujos de todas las secciones de línea pertenecientes al conjunto (suma de flujos de todas las secciones de línea pertenecientes al conjunto SSijij))

36

c)c) Problema de Asignación a Rutas Mínimas de Transporte PúblicoProblema de Asignación a Rutas Mínimas de Transporte Público (asignación de viajes desde un nodo-origen a todos los demás)(asignación de viajes desde un nodo-origen a todos los demás)

[2.11]

[2.12]

[2.13]

[2.14]

[2.15]

Ll1,0x

Ll0v

Sl,w)j,i(xf

Vfxv

Nivgv:.a.s

xf

VktvMin

l

l

ij

Slll

ijlll

Lll

Llil

w)j,i(Sl

ll

ij

LlllV,v,x

ij

ii

ij

ijll

(P1)(P1)

ii

ggii

LLii++

LLii--

37

Ll1,0x

Ll0v

Sl,w)j,i(xf

Vfxv

Nivgv:.a.s

xf

VktvMin

l

l

ij

Slll

ijlll

Lll

Llil

w)j,i(Sl

ll

ij

LlllV,v,x

ij

ii

ij

ijll

(P1)(P1) [2.11]

[2.12]

[2.13]

[2.14]

[2.15]

P1P1 es no lineal es no lineal en en [2.11] y [2.13]

xxll = 0 = 0 si la sección de línea si la sección de línea llSSijij no esno es

atractivaatractiva para viajar entre para viajar entre ii y y jj

xxll = 1 = 1 si la sección de línea si la sección de línea llSSijij sí es sí es

atractivaatractiva para viajar entre para viajar entre ii y y jj

Tiempo total de viaje en vehículoTiempo total de viaje en vehículo para todos para todos los viajeros que van desde el origen hasta los viajeros que van desde el origen hasta

todos los destinostodos los destinos

Tiempo total Tiempo total de esperade espera

¿cuánto vale ¿cuánto vale ggOO??

38

( , )

ij

ijij

l ll S

Vw i j w

f x

Definiendo la siguiente variable:Definiendo la siguiente variable:

(P2)(P2)

Se obtiene el problema Se obtiene el problema P2P2 equivalente equivalente P1:P1:

, ,

( , )

. . : 4.12 , 4.14 , 4.15

( , ) ,

l l ijl l ij

x v w l L i j w

l l l ij ij

Min v t k w

s a y

v x f w i j w l S

[2.17]

[2.18]

[2.16]

39

Pero Spiess ha demostrado que la restricción Pero Spiess ha demostrado que la restricción [2.18] puede relajarse, lo que origina un nuevo problema, equivalente al anterior:

,( , )

. . :

( , ) ,

0

l ij

i i

l l ijv w l L i j w

l i ll L l L

l l ij ij

l

Min v t k w

s a v g v i N

v f w i j w l S

v l L

(P3)(P3)[2.19]

[2.20]

[2.21]

[2.22]

Este es un Problema de Programación LinealEste es un Problema de Programación Lineal

40

d)d) Algoritmo de SoluciónAlgoritmo de Solución

Los problemas Los problemas P1, P2P1, P2 y y P3 P3 son equivalentes, luego se debe son equivalentes, luego se debe encontrar un algoritmo para resolver cualquiera de ellos.encontrar un algoritmo para resolver cualquiera de ellos.

Se re-escribe Se re-escribe P1P1, introduciendo la restricción , introduciendo la restricción [2.13] en la función objetivo [2.11]

Ll1,0x

Ll0v

Nivgv:.a.s

fx

fxtk

VMin

l

l

Lll

Llil

w)j,i(Sl

ll

Sllll

ijV,x

ii

ij

ij

ijl

(P4)(P4)[2.23]

[2.24]

[2.25]

[2.26]

P4P4 resuelve resuelve simultáneamentesimultáneamente los los problemas hiperbólicosproblemas hiperbólicos para para obtener los conjuntos de líneas comunes para cada par obtener los conjuntos de líneas comunes para cada par (i,j)(i,j)w w y y el el problema de asignación de flujosproblema de asignación de flujos (desde un nodo origen a (desde un nodo origen a todos los demás) sobre las secciones de línea de la red todos los demás) sobre las secciones de línea de la red G(N,L)G(N,L)

¿cómo resolverlo?¿cómo resolverlo?

41

Dado que no se está considerando congestión (Dado que no se está considerando congestión (tiempos de viaje tiempos de viaje y de espera, independientes de los flujos sobre las líneas) y de espera, independientes de los flujos sobre las líneas) la la solución de los problemas hiperbólicos solución de los problemas hiperbólicos 0,10,1 es independiente de es independiente de los flujos los flujos vvll y y VVijij

Esto es, Esto es, cualquiera sean los flujos cualquiera sean los flujos vvll y V y Vij ij para cada para cada (i,j)(i,j)ww

existe un conjunto único de líneas comunesexiste un conjunto único de líneas comunes

P4 P4 puede entonces descomponerse en:puede entonces descomponerse en:

Solución de problemas hiperbólicosSolución de problemas hiperbólicos Asignación de viajes a secciones de rutaAsignación de viajes a secciones de ruta Asignación a secciones de línea y segmentos de líneaAsignación a secciones de línea y segmentos de línea

42

i)i) Solución de los problemas hiperbólicos Solución de los problemas hiperbólicos

Dada la separabilidad de los problemas, se puede determinar Dada la separabilidad de los problemas, se puede determinar primero los primero los xxl l y luego losy luego los v vl. l. Entonces se puede resolver primero:Entonces se puede resolver primero:

Ll1,0x

fx

fxtk

Min

l

w)j,i(Sl

ll

Sllll

x

ij

ij

l

Ll1,0x

fx

fxtk

Min

l

w)j,i(Sl

ll

Sllll

x

ij

ij

l

(P5)(P5) [2.27]

[2.28]

No existen efectos de congestión (No existen efectos de congestión (restricción de capacidad de restricción de capacidad de vehículosvehículos) )

el conjunto óptimo de líneas asociadas a un par el conjunto óptimo de líneas asociadas a un par (i,j)(i,j) determinado, determinado, será independiente de los demás conjuntos asociados a otros será independiente de los demás conjuntos asociados a otros parespares de nodosde nodos pertenecientes a pertenecientes a ww..

43

El problema El problema P5P5 puede entonces descomponerse en puede entonces descomponerse en ww problemas hiperbólicos como el que sigue:problemas hiperbólicos como el que sigue:

ijl

Slll

Sllll

x

Sl1,0x

fx

fxtk

Min

ij

ij

l

ijl

Slll

Sllll

x

Sl1,0x

fx

fxtk

Min

ij

ij

l

(P6)(P6)

[2.29]

[2.30]

¿Qué problema es P6 ?¿Qué problema es P6 ?

Resueltos estos problemas, se define una red auxiliar Resueltos estos problemas, se define una red auxiliar G’(N,S*)G’(N,S*) N N es el conjunto de nodos y es el conjunto de nodos y S*S* el conjunto de secciones de rutas el conjunto de secciones de rutas Para cada par Para cada par (i,j)(i,j)w w existirá un arcoexistirá un arco s s en la red auxiliar,en la red auxiliar, con un con un

tiempo de viaje en vehículo tiempo de viaje en vehículo ttss y una frecuencia combinada y una frecuencia combinada ffss

44

Utilizando las soluciones Utilizando las soluciones {{xxll}} de los problemas de los problemas P6P6 para reemplazar para reemplazar

ttll , , ffll,, vvl l , V, Vijij por por tts s ,, ffs s yy v vss enen P4 P4 se obtiene: se obtiene:

1( )

. . :

0

s

i i

s sv

s S s

s i ss S s S

s

Min v tf

s a v g v i N

v s S

1( )

. . :

0

s

i i

s sv

s S s

s i ss S s S

s

Min v tf

s a v g v i N

v s S

(P7)(P7)

[2.31]

[2.32]

donde:donde:

SSii++ == conjunto de secciones de ruta que salen del nodo conjunto de secciones de ruta que salen del nodo ii

SSii- - == conjunto de secciones de ruta que entran al nodo conjunto de secciones de ruta que entran al nodo ii

¿Qué tipo de problema es P7 ?¿Qué tipo de problema es P7 ?

45

En resumen, el algoritmo de solución de En resumen, el algoritmo de solución de P1P1 es el siguiente: es el siguiente:

Etapa 1:Etapa 1: Resolver el problema hiperbólico Resolver el problema hiperbólico P6P6 para cada para cada (i,j)(i,j)w w usando el algoritmo de Chriqui: usando el algoritmo de Chriqui: crear la redcrear la red G’(N,S*)G’(N,S*)

Etapa 2: Etapa 2: Para cada origen de la red, resolver Para cada origen de la red, resolver P7P7 usando el usando el algoritmo de algoritmo de DIJKSTRADIJKSTRA o o D’ESOPO. D’ESOPO. Cargar los Cargar los ggii a las a las

secciones de ruta que corresponda.secciones de ruta que corresponda.

Etapa 3:Etapa 3: Cargar las secciones de línea utilizando: Cargar las secciones de línea utilizando:

; ( , )l l sl ij

s

x f vv l S i j w

f ; ( , )l l s

l ijs

x f vv l S i j w

f [2.33]

Y luego se asignan los flujos a los segmentos de líneaY luego se asignan los flujos a los segmentos de línea

46

Ejemplo:Ejemplo:

__ L1 f=10 veh/hr__ L1 f=10 veh/hr







22

44

33

55

77

66

11

1212

55 66

44 55

4444 55

33

44

66 66

44

55

8877

47

22

44

33

55

77

66

11

SS1313 (11.5, (11.5, {L1,L2}{L1,L2}))

Se resuelve el problema Se resuelve el problema hiperbólico para cada par de hiperbólico para cada par de nodos (sección de ruta) y nodos (sección de ruta) y luego se encuentran las rutas luego se encuentran las rutas mínimas desde el origenmínimas desde el origen

48

Asignación a redes de transporte público.Asignación a redes de transporte público.

Asignación a multicaminos (Rutas)Asignación a multicaminos (Rutas)

Algoritmo de Chriquí para asignación de viajes Algoritmo de Chriquí para asignación de viajes La etiqueta a cada nodo es (T (f, A), k, L (k, A))La etiqueta a cada nodo es (T (f, A), k, L (k, A)) En que T (f, A): Tiempo total de viaje entre F y A.En que T (f, A): Tiempo total de viaje entre F y A. k: Nodo en que tuvo lugar el último transbordok: Nodo en que tuvo lugar el último transbordo L (k, A) ≤ L : Conjunto de líneas que pasa n por A L (k, A) ≤ L : Conjunto de líneas que pasa n por A

provenientes de k.provenientes de k. H (k): Conjunto de nodos alcanzables desde k (sin H (k): Conjunto de nodos alcanzables desde k (sin

transbordo)transbordo)

49

Algoritmo para calcular árbol de rutasAlgoritmo para calcular árbol de rutas

Mínimas desde F.Mínimas desde F.

Etapa 1: Inicialización. Etapa 1: Inicialización. Dar a F etiqueta (0, F, ) y a los demás nodos [∞, 0, ]. Se ∅ ∅Dar a F etiqueta (0, F, ) y a los demás nodos [∞, 0, ]. Se ∅ ∅

define X= conjunto de nodos cerrados∅define X= conjunto de nodos cerrados∅

Etapa 2: Determinación del pivot. Etapa 2: Determinación del pivot. Determinar nodo k (en el inicio k=f) tal que Determinar nodo k (en el inicio k=f) tal que T (F, k)= min {T (F, G); J }∈T (F, k)= min {T (F, G); J }∈X

50

Algoritmo para calcular árbol de Rutas

Mínimas desde F.

Etapa 3: Etiquetas a nodos desde el pivot. Etapa 3: Etiquetas a nodos desde el pivot. Para todo J H (k) resolver S∈Para todo J H (k) resolver S∈ S [ k, J, L (k, J), TVj ]S [ k, J, L (k, J), TVj ] Y=T(F,k)+TYj (k, J)Y=T(F,k)+TYj (k, J) Si Y ≥ T (F, J) continuarSi Y ≥ T (F, J) continuar En otro caso, dar a J la etiqueta [y, k, L(k, J)]En otro caso, dar a J la etiqueta [y, k, L(k, J)]

Etapa 4: Test de parada. Etapa 4: Test de parada. x = x U {k}x = x U {k} Si = parar∅Si = parar∅ En otro caso, ir a etapa 2En otro caso, ir a etapa 2

X

51

EjemploEjemplo

Nodo Etapa 1 X={1}{1} X={1,4}{1,4} X={1,2,4}{1,2,4} X={1,2,4,5}{1,2,4,5} Def. X=0

11 [[0,1,0,1,∅∅]x]x x [x [0,1,0,1,∅∅]] x x x [[0,1,0,1,∅∅]]

22 ((∞,0,∞,0,∅∅)) ((22, 1, 22, 1, {L1}){L1})

((22, 1, {L1}) x22, 1, {L1}) x [22, 1, {L1}][22, 1, {L1}] x [22[22, 1, {L1}], 1, {L1}]

3 ((∞,0,∞,0,∅∅)) ((36, 1, 36, 1, {L1}){L1})

(3(32, 4, {L3, L4})2, 4, {L3, L4}) (3(32, 4, {L3, L4})2, 4, {L3, L4}) (3(32, 4, {L3, 2, 4, {L3, L4})L4})

[[32, 4, 32, 4, {L3,L4}]{L3,L4}]

4 ((∞,0,∞,0,∅∅)) ((12, 1, 12, 1, {L2}){L2})

[12, 1, {L2}] x x x [[12, 4, {L3}]12, 4, {L3}]

5 ((∞,0,∞,0,∅∅)) ((∞,0,∞,0,∅∅)) ((26, 4, {L4})26, 4, {L4}) ((26, 4, {L4})26, 4, {L4}) [26, 4, {L4}][26, 4, {L4}] [26[26, 4, {L4}], 4, {L4}]

Nuevo pivot

4 2 5 3

Asigne viajes a cada línea. Calcular tiempo medio de viaje.Asigne viajes a cada línea. Calcular tiempo medio de viaje.

12

8

14

10

8

9

10

L1 10

L3 5

L2 2

L4 5

52

EjemploEjemplo

Tiempo medio de viaje: Tiempo medio de viaje: min07.23700450400600

26700124503240022600

Veamos un enfoque probabilístico para asignar los viajes de 1 a 3Veamos un enfoque probabilístico para asignar los viajes de 1 a 3

Itinerario 1 1-2-3 a través de L1 tv=36Itinerario 1 1-2-3 a través de L1 tv=36

Itinerario 2 1-2-3 Itinerario 2 1-2-3 a través de L1 + L3 tv=35a través de L1 + L3 tv=35

Itinerario 3 1-4-2-3 a través de L2 + L3 tv=33Itinerario 3 1-4-2-3 a través de L2 + L3 tv=33

Itinerario 4 1-4-5-3 a través de L2 + L4 tv=36Itinerario 4 1-4-5-3 a través de L2 + L4 tv=36

Si =0,2 ∅Si =0,2 ∅

j

ti

ti

e

ePi

53

Itinerario tvi exp(exp(φφti)ti) P(i) Nviajes

11 3636 0,198 79,2

22 3535 0,2430,243 97,297,2

3 3333 0,361 144,4144,4

4 3636 0,198 79,2

11 400400

Asignación LogitAsignación Logit

4

4

4

4

104466,7

10604,13

10119,9

104466,7

410655,37

54

2.5 Asignación a Estrategias Mínimas en Redes de Tpte. Público2.5 Asignación a Estrategias Mínimas en Redes de Tpte. Público

El algoritmo de rutas mínimas asume que los usuarios deciden los El algoritmo de rutas mínimas asume que los usuarios deciden los trasbordos antes de llegar al paradero.trasbordos antes de llegar al paradero.

Ruta SimpleRuta Simple

Ruta CompuestaRuta Compuesta

55

Sin embargo, los usuarios podrían reducir aún más su tiempo de Sin embargo, los usuarios podrían reducir aún más su tiempo de viaje si escogieran de entre un conjunto de secciones de rutas tal viaje si escogieran de entre un conjunto de secciones de rutas tal que su tiempo total de viaje sea mínimo estrategia mínima.que su tiempo total de viaje sea mínimo estrategia mínima.

56

Ejemplo:Ejemplo:








22

44

33

55

77

66

11

1212

55 66

44 55

4444 55

33

44

66 66

44

55

88

57

a)a) Notación Notación

AAii++:: conjunto de arcos (segmentos de línea) que salen del nodo conjunto de arcos (segmentos de línea) que salen del nodo ii

AAii--:: conjunto de arcos (segmentos de línea) que entran al nodo conjunto de arcos (segmentos de línea) que entran al nodo ii

ttaa:: tiempo de viaje en vehículo sobre el segmento de línea tiempo de viaje en vehículo sobre el segmento de línea aa

vvaa:: flujo sobre el segmento de línea flujo sobre el segmento de línea aa

ffaa:: frecuencia asociada al segmento de línea frecuencia asociada al segmento de línea aa

ggiidd:: flujo originado en nodo flujo originado en nodo i i

VVii: : flujo que espera enflujo que espera en i i (originado más trasbordos) (originado más trasbordos)

Red codificada en términos de segmentos de línea GRed codificada en términos de segmentos de línea G(N(N:nodos, :nodos, A:A: segmentos de líneasegmentos de línea) ) y en que la matriz OD ha sido separada por y en que la matriz OD ha sido separada por destino (destino (dd))

223311 44

58

Formulación (para un destino Formulación (para un destino d, kd, k=1)=1)

Aax

Aav

NiAaxf

Vfxv

Nigvvas

xf

VtvMin

a

a

Aaaa

iaaa

di

Aaa

Aaa

Ni

Aaaa

i

Aaaa

Vvx

i

i

ii

i

iaa

1,0

0

,

:..

,,

ii

ggii

AAii++

AAii--

Tiempo total Tiempo total de esperade espera

P1P1 es no lineal en es no lineal en f.o. y restriccciones

Tiempo total de viaje en vehículoTiempo total de viaje en vehículo para todos para todos los viajeros que van desde cada origen hasta los viajeros que van desde cada origen hasta

el destino el destino dd..xxaa = 0 = 0 si el segmento si el segmento aaAA no esno es atractivo atractivo

para viajar entre la cola de para viajar entre la cola de a,a, y y dd

xxaa = 1 = 1 si el segmento si el segmento aaAA si essi es atractivo atractivo

para viajar entre la cola de para viajar entre la cola de a,a, y y dd

59

i

ii

a aa A

Vw i N

f x

Definiendo la siguiente variable:Definiendo la siguiente variable:

Se obtiene el siguiente problema Se obtiene el siguiente problema lineal entero lineal entero equivalenteequivalente::

, ,

. . :

,

0

0,1

a a i

i i

i

a a ix v w

a A i N

da a i

a A a A

a a a i

a

a

Min v t w

s a v v g i N

v x f w a A i N

v a A

x a A

60

Pero Spiess demuestra que la restricción de integralidad Pero Spiess demuestra que la restricción de integralidad puede relajarse, lo que origina un nuevo problema, equivalente al anterior:

Este es un Problema de Programación LinealEste es un Problema de Programación Lineal

Aav

NiAawfv

Nigvvas

wtvMin

a

iaa

di

Aaa

Aaa

Nii

Aaaa

wv

i

ii

ia

0

,

:..

,

61

Algoritmo de SpiessAlgoritmo de Spiess

1)1) Desde un destino (d) a todos los orígenes se determinan las Desde un destino (d) a todos los orígenes se determinan las estrategias óptimas para alcanzar el destino.estrategias óptimas para alcanzar el destino.

2)2) Desde los orígenes al destino se asigna la demanda a las Desde los orígenes al destino se asigna la demanda a las estrategias óptimas.estrategias óptimas.

ii: tiempo total esperado de viaje entre : tiempo total esperado de viaje entre ii y el destino (incluye y el destino (incluye

espera en i)espera en i)

ffii: frecuencia en el nodo : frecuencia en el nodo ii

ffaa: frecuencia en el segmento de línea : frecuencia en el segmento de línea aa

62

Paso 1.1 InicializaciónPaso 1.1 Inicialización

, ; 0

0

(conjunto de segmentos en estrategia óptima)

(conjunto de segmentos no examinados)

i d

i

i N d

f

A

E A

Parte 1: Búsqueda de segmentos atractivosParte 1: Búsqueda de segmentos atractivos

63

Paso 1.2 Obtención del próximo segmento a considerar para Paso 1.2 Obtención del próximo segmento a considerar para incluir en estrategia óptima incluir en estrategia óptima

aEE

Ejiatt

Eji

E

ajaj

)','('

:que tal ),(encontrar no, Si

parar. entonces , Si

''

dd

jj

j’j’

j’’j’’

aa

a’’a’’

a’a’

ii

i’i’

i’’i’’

64

Paso 1.3 Calcular etiquetasPaso 1.3 Calcular etiquetas

1.2 aIr

aAA

)10

si( ;)(

:entonces , Si

aii

iii

i

ai

ajaiii

aji

fff

ff

ff

tff

t

65

Paso 2.1 InicializacionPaso 2.1 Inicializacion dNigV dii

Parte 2: cargar la redParte 2: cargar la red

Paso 2.2 CargaPaso 2.2 Carga

Para cada segmento Para cada segmento aaAA, en orden decreciente de , en orden decreciente de jj+t+taa::

( , )Si

Si 0

aa i

ii j

j j a

a

fv V

fa A

V V v

a A v

66

Ejemplo:Ejemplo:

' ' '

'

' ' '

'

' ''

0 ( ) Si ;

0

1 ( )

1: tpo espera; : tpo de viaje

a j aii

i i a

a j ai

a

j aa

f t

f f f

f t

f

tf

ddj’j’

j’’j’’a’’a’’

a’a’ii

67

El arco a’’ se incorpora sólo si el tiempo por ese arco hasta El arco a’’ se incorpora sólo si el tiempo por ese arco hasta

el destino es menor que la etiqueta del nodo i, es decir si:el destino es menor que la etiqueta del nodo i, es decir si:

' ' '' '' '' ''

'

' ''

' ' ' '' '' ''

' ''

1 ( )( )

;

1 ( ) ( )

a j aa a j a

ai

a a

a j a a j a

a a

f tf f t

f

f f

f t f t

f f

' '' a''ta j

En ese caso:En ese caso:

68

AA

XX YY

BB 1 bus c/ 6 min1 bus c/ 6 min

1 bus c/ 6 min1 bus c/ 6 min

FrecuenciaFrecuencia



10 min10 min

4 min4 min

4 min4 min

7 min7 min6 min6 min

25 min25 min

Ejemplo (k=1):Ejemplo (k=1):

(i,j): (t(i,j): (tviajeviaje, t, tesperaespera))AA XX YY BB

AA22

AA11

XX22 YY22

BB11

XX33

YY44

YY33

BB44

BB33

(25,0)(25,0)

(0,6)(0,6) (0,0)(0,0)(7,0)(7,0) (6,0)(6,0)

(0,6)(0,6)(0,6)(0,6) (0,0)(0,0) (0,0)(0,0)

(0,15)(0,15)

(4,0)(4,0) (4,0)(4,0)(0,15)(0,15)

(0,0)(0,0) (0,0)(0,0)

(0,3)(0,3)

(10,0)(10,0)

(0,0)(0,0)

Reformulación con segmentos de línea:Reformulación con segmentos de línea:

69

(i,j): (t(i,j): (tviajeviaje, t, tesperaespera))AA

XX

YY BBXX22

YY33

(25,6)(25,6)

(6,0)(6,0)(7,6)(7,6)

(0,6)(0,6)

(4,15)(4,15)(4,0)(4,0)

(0,15)(0,15)(0,0)(0,0)

(10,3)(10,3)

Reagrupando:Reagrupando:

(0,0)(0,0)

70

A X2 X Y3 Y B (i,j) fa j+ta

1 (,0) (,0) (,0) (,0) (,0) (0,0) (Y3,B) 4 sí

2 (,0) (,0) (,0) (4,) (,0) (0,0) (Y,Y3) 1/15 4 sí

3 (,0) (,0) (,0) (4,) (19, 1/15) (0,0) (X,Y3) 1/15 8 sí

4 (,0) (,0) (23, 1/15) (4,) (19, 1/15) (0,0) (Y,B) 1/3 10 sí

5 (,0) (,0) (23, 1/15) (4,) (11.5, 2/5) (0,0) (Y3,Y) 11.5 no

6 (,0) (,0) (23, 1/15) (4,) (11.5, 2/5) (0,0) (X2,Y) 17.5 sí

7 (,0) (17.5,) (23, 1/15) (4,) (11.5, 2/5) (0,0) (X,X2) 1/6 17.5 sí

8 (,0) (17.5,) (19, 7/30) (4,) (11.5, 2/5) (0,0) (X2 ,X) 19 no

9 (,0) (17.5,) (19, 7/30) (4,) (11.5, 2/5) (0,0) (A,X2) 1/6 24.5 sí

10 (38.5,1/6) (17.5,) (19, 7/30) (4,) (11.5, 2/5) (0,0) (A,B) 1/6 25 sí

11 (27.8,1/3) (17.5,) (19, 7/30) (4,) (11.5, 2/5) (0,0) PARAR

a A

71

(i,j) va A X2 X Y3 Y B(A,B) 0.5 1 0 0 0 0 -1

(A,X2) 0.5 1 0 0 0 0 -0.5

(X2 ,X) 0 1 0.5 0 0 0 -0.5

(X,X2) 0 1 0.5 0 0 0 -0.5

(X2,Y) 0.5 1 0.5 0 0 0 -0.5

(Y3,Y) 0 1 0.5 0 0 0.5 -0.5

(Y,B) 0.42

(X,Y3) 0

(Y,Y3) 0.08

(Y3,B) 0.08

1 0.5 0 0.08 0.5 -0.5

modelos de asignación de viajes a redes de transporte público

Documents