modelos de redes complexas ricardo prudêncio. como as redes se formam?
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Modelos de Redes Complexas
Ricardo Prudêncio
Como as redes se formam?
Redes AleatóriasErdõs e Rényi (50-60)
Redes Aleatórias
• Erdõs e Rényi - Random Graph Model• Conjunto fixo de n nós• links se formam de maneira puramente aleatória
• G(N,p)
Número de nós do grafo
Probabilidade de ocorrência de uma aresta entre dois nós
Suposição básica: Arestas são criadas de forma aleatória com igual probabilidade independente dos nós
Redes Aleatórias• G(N,p) tem propriedades que pode ser
definidas de forma analítica
• Tamanho médio <L>
• Grau médio
L LP(L)pN(N 1)2L0
N(N 1)2
k 2L /N p(N 1)
Redes Aleatórias
• G(N,p) não define uma única rede – i.e., Pode levar a diferentes realizações (conjunto
de redes possíveis com diferentes probabilidades)
N=10 p=1/6
O que fazer com esse modelo?!
Simulações!!!
Redes Aleatórias - Evolução
• Redes complexas evoluem a partir da conexão de nós inicialmente isolados
• Qual o tamanho esperado do maior componente da rede???
Redes Aleatórias - Evolução
• Na maioria das redes, é crucial existir um componente gigante com alta fração dos nós– E.g., Estruturas de comunicação não são úteis sem um
componente gigante
– E.g., Em redes sociais, um componente gigante é condição para observar uma divulgação
• Quando a rede emerge a partir de um conjunto desordenado de indivíduos pouco conectados?
Redes Aleatórias - Evolução
• Tamanho médio do componente gigante sobre diferentes realizações do modelo aleatório
Grau médio <k>
Componente Gigante (Fração em relação a N - %)
1
100%
Transição de fase
Transição de fase = tamanho do componente gigante começa a crescer exponencialmente
Redes Aleatórias - Evolução
• A medida que a rede cresce:– Um componente gigante emerge quando o grau
médio ultrapassar um limiar (baixo)– O restante dos nós compõem um número de
componentes pequenos sem conexão
Redes Aleatórias
• Outras características importantes– Distância entre nós– Distribuição do grau dos nós– Transitividade (coeficiente de clustering)
Redes Aleatórias – Distância dos Nós
• Distância entre nós é pequena (fenômeno de mundo pequeno)
• Distância cresce apenas de forma logaritmica com o tamanho da rede
Redes Aleatórias – Grau do Nós
• Distribuição do Grau
Seleciona k nós de N-1
Probabilidade de ter k arestas
Probabilidade de não observar N-1-k arestas
P(k) N 1k
pk (1 p)(N 1) k
Crítica- Existe uma quantidade razoável de nós com grau próximo à média- Existe uma quantidade pequena de nós cujo grau difere muito da médiaIsso não acontece comumente em redes reais
Redes Aleatórias - Transitividade
• Coeficiente de Clustering – Qual a probabilidade de dois nós com um vizinho
em comum serem conectados?
– Em um modelo G(N,p), temos simplesmente:
?
A B
C
1
N
kpC
Transitividade
Crítica: - C tende a zero para N grande e um
grau médio fixoIsso também não ocorre com frequência em redes reais
Redes Aleatórias
• Crítica: modelo inadequado para descrição de fenômenos reais– E.g. coeficiente de clustering e distribuição de grau não
refletem o que se observa em redes reais
• Entretanto: – (1) bastante usado para simulações e comparações com
redes reais– (2) fácil de analisar fenômenos que ocorrem no mundo
real• E.g. evolução para redes altamente conectadas
Redes de Mundo PequenoWatts and Strogatz, Nature, (1998).
Fenômeno de Mundo Pequeno
• Distância entre nós de uma rede é tipicamente pequena
• Independente do tamanho da rede
• Experimento de Milgram (1960)– Seis graus de separação
Modelo de Mundo Pequeno
• Meio termo entre redes regulares e redes aleatórias
Modelo de Mundo Pequeno
APPLET http://ccl.northwestern.edu/netlogo/models/run.cgi?SmallWorlds.839.533
Modelo de Mundo Pequeno
• Distância típica pequena e transitividade alta
• Mas... distribuição de grau é uniforme assim como no modelo aleatório– I.e. nós são relativamente igualitários na rede
Redes Sem EscalaR. Albert, H. Jeong, A-L Barabasi, Nature, 401 130 (1999).
World Wide WebNodes: Documentos WWW Links: URLs
3 bilhões de documentos
ROBOT: coletava todas as URL’s em um documento e as seguia recursivamente
Modelo Aleatório
(Esperado)
P(k) ~ k-
Observado
R. Albert, H. Jeong, A-L Barabasi, Nature, 401 130 (1999).
World Wide Web
• Distribuição dos nós não é igualitária como no modelo aleatório– Poucos nós com muitos links (Hubs)
• Existência de Hubs acontece em muitas redes complexas reais
Distribuição – Lei de Potência
Malha Viária Malha Aérea
Redes Sem Escala
• Redes cuja distribuição dos graus dos nós seguem uma lei de potência– Scale-free Networks =
• Diversas redes reais têm a característica básica de redes sem escala– E.g., Internet, redes de proteínas, redes de
colaboração, redes de citação,...
P(k) ~ k-
Nós: usuários onlineLinks: contatos
ONLINE COMMUNITIES
Twitter:
Jake Hoffman, Yahoo, Alan Mislove, Measurement and Analysis of Online Social Networks
Nós: atoresLinks: atuaram juntos
N = 212,250 actors k = 28.78P(k) ~k-
Days of Thunder (1990) Far and Away (1992) Eyes Wide Shut (1999)
=2.3
ACTOR NETWORK
)exp()(~)( 00
k
kkkkkP
H. Jeong, S.P. Mason, A.-L. Barabasi, Z.N. Oltvai, Nature 411, 41-42 (2001)
Nós: proteínas Links: interações físicas (binding)
TOPOLOGY OF THE PROTEIN NETWORK
( = 3)
(S. Redner, 1998)
P(k) ~k-1736 PRL papers (1988)
Network Science: Scale-Free Property February 7, 2011
SCIENCE CITATION INDEX
Nós: papersLinks: citações
Redes Sem Escala - Formação
• Redes sem escala se forma seguindo o princípio da conexão preferencial
• Conexão preferencial = nós bem conectados tendem a receber mais links no futuro
– Plausível em muitos contextos (e.g. páginas Web)
• Princípio “Rich Get Richer” – Herbert Simon
Redes Sem Escala - Formação
Simulação:(A)Crescimento: a cada momento adicione um
novo nó à rede
(B) Conexão Preferencial: conecte o novo nó a dois nós existentes. A probabilidade de escolha de um nó para ligação é proporcional ao grau do nó
Redes Sem Escala - Formação
Redes Sem Escala - Formação
Redes Sem Escala - Implicações• Existência de um pequeno número hubs com papel estrutural de conectar a rede
– Em muitos casos, observa-se uma hierarquia de hubs – Alta resiliência a falhas aleatórias e baixa tolerância a ataques direcionados– Papel importante em processos de difusão
Considerações Finais
• Vimos modelos de redes bastante conhecidos
• Entretanto existem outros modelos importantes–E.g., Hierarquical Random Graphs
Considerações Finais
• Alguns contextos requerem modelos bem específicos
– E.g. Chains of Affection: Bearman et al. (2004)
Material de Estudo• Networks: An Introduction (M. Newman)
• Linked: A Nova Ciência das Redes(A-L. Barabási)
Material de Estudo
• Parte da aula gerada a partir dos slides de Barabási em:– http://barabasilab.neu.edu/courses/phys5116/