modelos matemÁticsos para la toma de decisiones

PMM401| Matemáticas

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INDICACIONES PARA EL SEGUIMIENTO DEL PROYECTO PROFESIONAL

MODELOS MATEMÁTICSOS PARA LA TOMA DE DECISIONES

OBJETIVO DEL PROYECTO

Analizarás diversos modelos matemáticos, frecuentemente utilizados en las áreas industriales y logísticas de una

empresa, orientados a resolver situaciones que permiten la toma de decisiones eficientes desde el punto de vista

económico e industrial.

DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO PROFESIONAL

Las actividades económico-administrativas, así como las productivas y de logística inherentes a los procesos industriales, frecuentemente pasan por un control y previsión de los recursos materiales, temporales y de capital humano, necesarios para lograr objetivos concretos. En este sentido, el análisis de los modelos abstractos de tales procesos es de natural importancia para hacer planeaciones y tomar decisiones sobre las variables que intervienen en

tan múltiples fenómenos.

De esta manera, el proyecto profesional consiste en la elaboración de un análisis descriptivo del uso de ciertos modelos matemáticos y sus métodos de solución, mediante el cual pondrás en práctica saberes procedimentales para desarrollar y/o fortalecer tus habilidades de organización, interpretación y proyección de los resultados obtenidos en dichos modelos. El contexto o situación de aprendizaje corresponde a la toma racional de decisiones eficientes desde el punto de vista económico, es decir, de elegir aquellos procesos o recursos que garanticen los beneficios o costos finales óptimos. El Proyecto profesional que desarrollarás a lo largo de cinco semanas te será útil para reconocer los distintos enfoques que las matemáticas aplicadas ofrecen para modelar

actividades productivas.

En función de lo anterior, tu Proyecto profesional se dividirá en cinco entregables (uno por semana), mismos que una vez finalizados te permitirán integrar el Proyecto profesional completo mediante el Reporte final.

Semana 1 Introducción a los modelos matemáticos con desigualdades o inecuaciones en los procesos

productivos.

Semana 2 Descripción y solución de modelos funcionales de una variable.

Semana 3 Aplicación de modelos lineales para asignación de recursos a la producción.

Semana 4 Establecimiento de nociones económicas del análisis marginal.

Semana 5 Reporte final.


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SABERES PROFESIONALES

Durante la elaboración del proyecto el estudiante desarrollará los siguientes saber de manera simultánea:

Saberes Teóricos Saberes Procedimentales Saberes Actitudinales

Aplicar las funciones matemáticas en la solución de problemas y representarlas gráficamente

Planteamiento de modelos matemáticos.

Solucionar y aplicar los diferentes métodos de solución de sistemas de ecuaciones en problemas de punto de equilibrio

Aplicar la notación de una matriz para la representación matricial de datos, sus operaciones matemáticas y solucionar problemas de sistemas de ecuaciones aplicando para resolver casos del área económica administrativa

Solución de sistemas de ecuaciones.

Análisis diferencial aplicado (análisis marginal).

Comprender los conceptos de límite y continuidad para la solución de problemas relativos a tasa promedio de cambio e incrementos y aplicar las reglas de diferenciación a problemas de máximos y mínimos como la metodología en la aplicación a ingresos, costos y utilidad.

Aplicar las reglas de integración para resolver problemas de integrales definidas en la aplicación de problemas relativos a área económico y administrativo.

Identificación de variables cuantitativas en la actividad industrial.

Implementación del análisis del modelo adecuado al problema.

Reinterpretación de las soluciones obtenidas para la toma de decisiones.

Implementación del concepto de la recta para determinar las ecuaciones de la oferta y la demanda, así como el equilibrio analítico de precio y cantidad.

Implementar los criterios de la primera y segunda derivada en la solución de problemas del análisis marginal, para la maximización de utilidades.

Implementar los criterios del punto de equilibrio para la toma de decisiones de comprar o producir.

Implementar los conceptos de integral definida para problemas de excedentes del consumidor o productor.

Implementar los conceptos de sucesión en el cálculo de interés compuesto y simple.

Observación y medición de

variables en la actividad

industrial.

Organización y

presentación de los

resultados obtenidos.

Capacidad de aplicar los

conocimientos en las

prácticas.

Habilidades de

investigación.

Habilidad para trabajar en

forma autónoma.

Habilidades

interpersonales

Compromiso ético.


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RECOMENDACIONES PARA QUE EL FACILITADOR GUÍE EL PROYECTO PROFESIONAL:

Recomendaciones de la semana 1:

Explique la descripción del Proyecto Profesional que se menciona en este documento. Revise los criterios de

evaluación y los temas que se revisarán en cada entrega.

Revise en particular las indicaciones del trabajo que se debe realizar en esta primera entrega y ejemplifique con un

problema similar cómo resolver los problemas propuestos.

SOLUCIÓN A LOS PROBLEMAS DE LA SEMANA 1.

Problema 1.

En una fábrica de ropa llegaron desde Alemania tres máquinas nuevas para: cortar (M1); coser (M2); y etiquetar (M3)

pantalones. En la fábrica laboran 30 empleados, 16 saben utilizar la máquina M1, 16 la máquina M2 y 12 la máquina

M3. Si 3 empleados saben usar las tres máquinas M1, M2 y M3, 5 empleados solamente la M2 y M3, 2 empleados

sólo la M3 y 4 empleados únicamente la M2.

Utiliza un diagrama de Venn como éste, para contestar las siguientes preguntas:

Primero identifiquemos los conjuntos en este caso el conjunto universo U está formado por los 30 empleados que

laboran, dentro del cual podemos encontrar tres subconjuntos principales, los empleados que saben utilizar la

máquina 1 (M1), los que saben utilizar la maquina 2 (M2) y los que saben utilizar la máquina 3 (M3).

Determinando estos conjunto por el método de comprensión:

U={ x| x es un empleado de la fábrica de ropa}

M1={x| x es un empleado que sabe usar la máquina 1}



Los empleados que saben utilizar las tres máquinas pueden representarse por una intersección de conjuntos.

M1 ∩ M2 ∩ M3={x|x sabe usar las tres máquinas M1, M2 y M3}

Los empleados que solamente saben utilizar las máquinas M2 y M3

(M2 ∩ M3)\M1={x| x sabe utilizar solamente máquina M2 y M3}

Para representar los empleados que solamente saben usar la máquina M2 se puede ver como una diferencia

M2 \ (M1 U M3)= { x| x son empleados que solamente saben usar la máquina M2}


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Con esta información podemos colocar en cada conjunto cuantos elementos hay.

Preguntas a responder:

1) El número de trabajadores que saben usar solamente la máquina 1 y 2.

Respuesta: 4

2) El número de trabajadores que sabe usar solamente la máquina 1.

Respuesta: 7

3) El número de trabajadores que no sabe usar ninguna de las tres máquinas. Y por lo tanto tenga que tomar un curso de capacitación, para saber usar al menos 1.

Respuesta: 3

Problema 2

Lee cuidadosamente el siguiente planteamiento:

En la actualidad un fabricante de zapatos tiene 2500 pares en su almacén. Cada par se vende en estos

momentos en $200 pesos. El siguiente mes el precio unitario aumentará $50 pesos. El fabricante desea que

los ingresos totales que se obtengan por la venta de los 2500 pares de zapatos no sea inferior a $583,750

pesos. ¿Cuál es el máximo de pares que pueden venderse este mes?

Resuelve siguiendo los siguientes pasos:

I. Identifica las variables del problema: Es el primer paso importante para resolver con éxito el problema. Recuerda que casi siempre comienza con la oración: “Número de…”


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Respuesta: X= número de pares de zapatos a vender este mes

II. Plantea en ecuación los ingresos totales en el mes actual y siguiente mes.

Respuesta: en el mes actual 200(X) y el siguiente mes 250(2500-X)

III. Escribe la desigualdad que representa el problema.

Respuesta: 200(X)+250(2500-X) ≥ 583750

IV. Identifica el conjunto de soluciones y determina el máximo.

Respuesta: Resolver primero la desigualdad

200(X)+250(2500-X) ≥ 583750

200X+250(2500)-250X ≥ 583750

200X+625000-250X ≥ 583750

200X-250X ≥ 583750-625000

-50X ≥ -41250

X ≤ -41250/-50

X ≤ 825

Conjunto solución X [0, 825] y el máximo es 825

V. Por último, interpreta la solución.

Respuesta: Por lo tanto en el primer mes el máximo de pares de zapatos que se debe vender es de 825 pares o menos si se quiere tener un ingreso mayor o igual a $583750.

Se recomienda que retroalimente a los estudiantes enfocándose en los procedimientos para obtener el resultado

esperado, si lo desea, puede resolver los problemas y publicar en el Foro de la materia las respuestas y

procedimientos una vez que haya finalizado el tiempo para entregar este avance del proyecto.


Se recomienda que proporcione un ejemplo similar al planteado en esta segunda semana para ejemplificar el trabajo

que se espera que realicen.

Entender el concepto de función, tipos, características, operaciones, elementos y gráficas de éstas, además de sus

aplicaciones en el área económica y administrativa, en particular el cálculo del punto de equilibrio.


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SOLUCIÓN A LOS PROBLEMAS DE LA SEMANA 2

La empresa Obri S.A. de C.V. fabrica un solo artículo y desea conocer cuál de sus niveles de ventas es igual a sus costos

totales para el mes de febrero de 201X. La información que tienen presupuestada para dicho mes es:

Precio de venta por unidad $45.00

Costos variables por unidad $30.00

Costos fijos totales $90,000.00

Con los datos anteriores:

Elabora la gráfica del punto de equilibrio. (Escribe explícitamente la regla de correspondencia, variables

(dependiente e independiente) tabla de valores y gráfica de cada función que compone la gráfica del

punto de equilibrio)

Respuesta: Variables dependientes (Y): costos fijos costos, variables e ingresos. Variable independiente(X):

volumen de las ventas

Se presentan en un mismo gráfico

Gráfica de costo fijo dado por la función: Cf=90000

Gráfica de costo total dada por la función: Ct=Cf+XCv=90000+X30

Gráfica de ingresos totales dada por la función It=XPv=X45

TABLA DE VALORES VER ANEXO 1.


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Determina el punto de equilibro en términos de unidades e ingresos.

El punto de equilibrio es el punto donde se intersecan las rectas de las gráficas de ingreso y costo total,

en la tabla podemos buscar este punto, que es donde los valores coinciden en estas dos columnas.

Con punto de equilibrio en (6000, 270000) donde 6000 son las unidades a vender y 270000 el ingreso.

Interpreta los datos obtenidos.

Por lo tanto 6000 unidades del artículo se tienen que vender para tener un ingreso y costo total igual a

$270000, lo cual resulta una utilidad nula Utilidad=ingreso-costo=270000-270000=0, es decir, es el punto

donde el volumen de ventas cuyos ingresos se igualan con los costos totales y la empresa no reporta utilidad

pero tampoco perdida. Entonces a partir de 6000 artículos en adelante la empresa comienza a generar

utilidades.

Incrementa 20% el precio de venta por unidad y determina:

El nuevo punto de equilibrio.


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Punto de equilibrio: (3750, 202500)

La nueva gráfica de punto de equilibrio.

Interpreta los datos obtenidos.

Por lo tanto 3750 unidades del artículo se tienen que vender para tener un ingreso y costo total igual a

$202500, lo cual resulta una utilidad nula Utilidad=ingreso-costo=202500-202500=0, es decir, es el punto

donde el volumen de ventas cuyos ingresos se igualan con los costos totales y la empresa no reporta utilidad

pero tampoco perdida. Entonces a partir de 3750 artículos en adelante la empresa comienza a generar

utilidades.

En conclusión el aumenta el 20 % el precio de venta disminuye el número de artículos a vender un 37.5% y

disminuye el costo y el ingreso un 25%.


Se recomienda utilice un ejemplo similar al planteado en esta tercera semana para ejemplificar el trabajo que se

espera que realicen.

SOLUCIÓN A LOS PROBLEMAS DE LA SEMANA 3

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

0 2000 4000 6000 8000 10000

Costo fijo

Costo total

Ingresos


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Para cada problema, sigue estos pasos:

Entender el problema.

Determinar variables y parámetros: Es el primer paso importante para poder resolver con éxito el problema. Recuerda que casi siempre comienza con la oración: “Número de…”

Realiza el planteamiento correcto del sistema de ecuaciones, es decir, una representación algebraica correcta de la oración del problema

Expresa la representación algebraica del problema en su forma matricial.

Resolver por el método de Gauss-Jordan. Escribe detalladamente los pasos en el método de Gauss-Jordan, es decir, escribe cada iteración de operaciones elementales en las matrices.

Una vez encontrada la solución o el valor de las variables, interpreta el significado en el problema planteado.

Problema 1. Asignación de maquinaria.

Una empresa produce tres productos, A, B y C, los que procesa en tres máquinas. El tiempo (en horas) requerido para procesar una unidad de cada producto por las tres máquinas está dado enseguida:

A B C

Máquina I 3 1 2

Máquina II 1 2 4

Máquina III 2 1 1

Se dispone de la máquina I por 850 horas, de la máquina II por 1200 horas y de la máquina III por 550 horas. ¿Cuántas unidades de cada producto deberían producirse con el objetivo de emplear todo el tiempo disponible de las máquinas? Respuesta.

Determinar variables y parámetros: Es el primer paso importante para poder resolver con éxito el problema. Recuerda que casi siempre comienza con la oración: “Número de…”

Variables: X= cantidad del producto A a producirse

Y= Cantidad del producto B a producirse

Z= Cantidad del producto C a producirse

Los parámetros son los mostrados en la tabla de tiempos por cada producto en las tres máquinas y las horas disponibles en cada máquina.


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Realiza el planteamiento correcto del sistema de ecuaciones, es decir, una representación algebraica correcta de la oración del problema

Cada ecuación es la suma de horas utilizadas por cada máquina al producir unidades de cada producto.

Expresa la representación algebraica del problema en su forma matricial.

Resolver por el método de Gauss-Jordan. Escribe detalladamente los pasos en el método de Gauss-Jordan, es decir, escribe cada iteración de operaciones elementales en las matrices.

Primera fila se divide entre 3

Restamos la fila 1 a la fila 2

Multiplicamos fila 1 por 2 y la restamos a la fila 3

Dividir fila 2 entre 5/3


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Multiplicar por 1/3 fila 2 y restar a la fila 1.

Multiplicar fila 2 por 1/3 y restamos a fila 3.

Fila 3 se divide entre -1

Multiplicar por 2 la fila 3 y restar a la fila 2.

La solución es X=100, Y=150 y Z=200.

Una vez encontrada la solución o el valor de las variables, interpreta el significado en el problema planteado

Por lo tanto la empresa tiene que producir 100 del producto tipo A, 150 del producto tipo B y 200 del producto tipo C, para poder emplear todo el tiempo disponible de las máquinas.

Problema 2. Costos de suministros. Un contratista puede adquirir las cantidades requeridas de madera, ladrillos, concreto, vidrio y pintura de cualesquiera de sus tres proveedores habituales. Los precios que cada proveedor fija a cada unidad de estos cinco materiales están dados en la matriz A.


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51659

52549

42758

A

En esta matriz, cada renglón se refiere a un proveedor y las columnas a los materiales, en el orden listado

arriba. El contratista tiene la política de adquirir todos los materiales requeridos en cualquier obra particular

al mismo proveedor para de minimizar los costos de transportación. Hay tres obras en construcción

actualmente: la obra I requiere 20 unidades de madera, 4 de ladrillos, 5 de concreto, 3 de vidrio y 3 de

pintura; la obra II requiere 15, 0, 8, 8 y 2 unidades, respectivamente; y la obra III requiere 30, 10, 20, 10 y 12

unidades, respectivamente.

Dispón esta información en una matriz B de 5⨯3 y forma la matriz producto AB.

Matriz

Producto

Interpreta los elementos de este producto y úsalos con el propósito de decidir cuál proveedor

debería usar en cada obra.

Resultado: Los elementos de cada elemento del matriz producto AB significan el costo total de la

compra de los 5 materiales con uno de los tres proveedores, para alguna de las tres obras. Por

ejemplo el elemento 490 es el costo total de la compra de los 5 materiales con el proveedor 2 para la

obra 3.

Por lo tanto para decidir con que proveedor debe abastecerse cada obra, basta con comparar los

costos totales por columna. Entonces la obra I debe abastecerse con el proveedor 1, la obra II

también con el proveedor 1 y por último la obra III con el proveedor 2.


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Se recomienda utilice un ejemplo similar al planteado en esta cuarta semana para ejemplificar el trabajo que se

espera que realicen.

Problema. Utilidades marginales. El editor de una revista descubre que si fija un precio de $1 a su revista, vende 20,000 ejemplares al mes; sin embargo, si el precio fijado es de $1.50, sus ventas sólo serán por 15,000 ejemplares. El costo de producir cada ejemplar es de $0.80 y tiene costos fijos de $10,000 al mes. Suponiendo una ecuación de demanda lineal, calcula su función de utilidad marginal y determina el precio de la revista que haga la utilidad marginal igual a cero. Evalúa la utilidad misma cuando el precio es: $1.80, $1.90 y $2.

Para resolver el problema, sigue estos pasos:

Primero determina la función de demanda con la ecuación de la recta de la forma “punto-pendiente”

Respuesta: definición de variables x= cantidad de revistas que los consumidores están dispuestos a comprar

Y = precio de la revista

Para la ecuación de demanda lineal primero calculamos la pendiente m con (x1,y1)=(20000, 1) y (x2,y2)= (15000, 1.5)

La ecuación de la recta punto-pendiente está dada por (y-y1)=m(x-x1), sustituyendo valores y despejando y nos queda:

y = -x/10000 +3 ECUACIÓN DE DEMANDA

Determina la función de ingreso (función cuadrática) y de costos (función lineal).

FUNCIÓN DE INGRESO: I(x)=yx=[(-x/10000) +3]x=(-x2/10000)+3x

FUNCIÓN DE COSTOS: C(x)= .8x+10000

Determina la función de utilidad.

FUNCIÓN DE UTILIDAD: U(X)=I(x)-C(X) =(-x2/10000)+3x-[.8x+10000] =(-x2/10000)+2.2x-10000

Por último, la función marginal (derivando la función de utilidad).

U´(x)=(-2x/10000)+2.2 FUNCIÓN MARGINAL

Finalmente, contesta lo que solicita el problema interpretando los datos obtenidos.

Para calcular el precio de la revista tal que la utilidad marginal sea cero se hace U´(x)=0.


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Despejando x en U´(x)=0 se tiene que x=11000 y sustituyendo en la ecuación de demanda se obtiene el precio $1.9 (y=1.9).

La utilidad cuando el precio es $1.8 U´(x)=-0.2 y cuando el precio es $2 U´(x)=0.2.


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Recuerde que el reporte final tiene el objetivo de concentrar los temas revisados semana a semana; es importante

que explique a los estudiantes la importancia de seguir la estructura especificada del proyecto; aunque la parte

“Desarrollo” podría ser la más importante, la sección “Cierre” tiene una gran relevancia, ya que es la que demuestra la

comprensión de la aplicación de los temas.

Problema 1. (Interés simple) Una persona deposita $50 al inicio de cada mes en una cuenta de ahorros, en la

cual el interés permitido es de ½% sobre el valor mensual. Determine el balance de la cuenta al término del

segundo año, calcula a interés simple.

Respuesta: Primero generamos la sucesión aritmética con la fórmula para calcular el valor después de t

meses. Donde P=$50 capital a invertir, I= ¼ cantidad constante que se agrega al final de cada mes y R= ½%

interés mensual.

Y así podemos calcular cualquier término de la sucesión. Como queremos el balance de la cuenta al término

del segundo año usamos la fórmula de la serie aritmética.

f(1)= 50.25 término de la sucesión

d= ¼ diferencia entre un término y el que le antecede

n=24 el número de términos que se desea sumar

S(24)=

suma parcial

Lo que significa que al final del segundo año tendrá en su cuenta de ahorro $1275.


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Problema 2. (Depreciación) Una máquina se deprecia anualmente a una tasa del 10% de su valor. El costo

original fue de $10000 y el valor de desecho de $5314.41. Calcula la vida efectiva de la máquina.

Respuesta:

Como cada año se deprecia el 10%, el valor de la máquina al término de cada año es el 90% o 9/10 del valor

al inicio de ese año.

Los términos de la sucesión los podemos calcular con la fórmula recurrente. , donde

q=9/10

El valor al inicio del año es f(1)= (9/10)10000=9000

f(2)= (9/10)9000=8100

f(3)= (9/10)8100=7290

f(4)= (9/10)7290=6561 …

Y por lo tanto la sucesión del valor de la máquina al inicio del año 1 hasta el año 7 es:

9000, 8100, 7290, 6561, 5904.9, 5314.41, 4782.96 …

En la sucesión de estos 7 valores podemos observar que al inicio del año 7 es $4782.96 que está por debajo

del valor de desecho, por lo tanto la vida efectiva de la máquina es de 6 años.

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