Modelul Markowitz

H. Markowitz a elaborat în studiile sale un model de determinare al portofoliului eficient, ţinând cont de relaţia rentabilitate – risc. Legea de aur a acestei teorii constă în următoarea frază a savantului, devenită aforism: „Nu trebuie să punem toate ouăle într-un singur coş”. Portofoliul trebuie să fie diversificat în scopul diminuării riscului.

Atunci când vorbim despre portofoliul de titluri trebuie să facem referire la cel care a pus bazele unei abordări ştiinţifice a acestuia. Cel care a pus „piatra unghiulară” la această construcţie ştiinţifică a fost cercetătorul Markowitz. Consacrându-se studierii acestei probleme el a contribuit fundamental la soluţionarea problemelor pieţelor financiare începând cu anii 1950 prin elaborarea unei teorii moderne privind eficienţa alegerii în cadrul portofoliului. Teoria permite determinarea unei modalităţi optime de plasare a capitalurilor şi permite diminuarea gradului de risc în investiţiile financiare efectuate.

Markowitz a studiat profund motivaţia comportamentului participanţilor pe piaţa financiară din punct de vedere al tendinţelor de maximizare a rentabilităţii şi micşorare a riscului.

Teoria lui Markowitz a creat un model economico-matematic ce vizează comportamentul subiecţilor pieţei financiare. El a introdus practica diversificării portofoliului de titluri în funcţie de corelaţia dintre risc şi rentabilitate.

Titlurile sunt corelate două câte două în cadrul modelului formulat de acesta şi se poate identifica proporţia titlurilor în portofoliu pentru a identifica portofoliul cu varianţă minimă absolută. Modelul Markowitz porneşte de la ideea că oricărui risc i se poate asocia o probabilitate de apariţie în titlu fiind cu atât mai riscant cu cât există o volatilitate mai mare a câştigurilor.

În contextul actual al dezvoltării economice modelul lui Markowitz îşi păstrează relevanţa fiind în continuare folosit pentru identificarea alegerilor optime în cadrul portofoliului.

Legea de aur1 a acestei teorii este reprezentată de o frază devenită aforism: „Nu trebuie să punem ouăle într-un singur coş” cu alte cuvinte investitorul nu-şi poate permite luxul de a plasa întregul capital disponibil într-un singur titlu sau într-o singură afacere. Prin modelul său Markowitz a oferit o bază de analiză a portofoliului de titluri financiare şi de stabilire a optimului din punct de vedere financiar luând în considerare evoluţiile rentabilităţilor individuale ale titlurilor şi riscul asociat acestora.

Modelul Markowitz foloseşte gruparea titlurilor două câte două având nevoie de un

număr de informaţii egal cu .

Modelul Markowitz2 a pornit de la premisa necesităţii costrucţiei unui portofoliu optim preferabil tuturor celorlaltor portofolii care permite maximul privind criteriul unitate de rentabilitate pe risc Modelul Markowitz necesită un număr de informaţii pentru un portofoliu alcătuit din „n” titluri, de „n” dispersii, „n” rentabilităţi medii şi n(n-1)/2 covarianţe. Numărul foarte mare de informaţii necesare pune problema calcului matematic atunci când esantionul supus observării este numeros iar perioada de observaţie este îndelungată. În cadrul acestui model titlurile sunt correlate între ele şi nu există nici o legătură cuantificabilă direct cu un factor macroeconomic.Cel mai important rezultat al modelului este determinarea frontierei de eficienţă, care grupează portofoliile ce prezintă cea mai bună rentabilitate la un anumit risc asumat. Caracterul obiectiv al „frontierei eficiente” spre care conduce comportamentul

1

2

raţional al agenţilor economici (în modelul Markowitz) îl determină pe Sharpe3 să propună un model explicativ unifactorial. Acest model consideră că rentabilitatea (Ri) a oricărui titlu financiar, este într-o relaţie liniară cu un factor macroeconomic explicativ (I), plus o influenţă reziduală neexplicată de acest factor (εi):

(relaţia 1)în care:

- o constantă de proporţionalitate (valoarea Ri atunci când I=0);I – valoarea unui factor macroeconomic (rentabilitatea portofoliului de piaţă – Rm,

produsul naţional brut – PNB, un indice de preţuri sau oricare alt factor macroeconomic cu cea mai mare influenţă asupra Ri);

- variabila reziduală specifică titlului analizat, cu speranţa matematică şi cu covarianţa pentru

La rândul său, în care este un parametru egal cu speranţa E(I), iar o variabilă aleatoare cu şi - constantă. Aceste condiţii ale relaţiei

liniare de mai sus sunt îndeplinite atunci când Ri şi I evoluează conform cu legea normală (comună) bivariabilă. Pentru a scrie complet această lege normală bivariabilă este nevoie de cinci parametrii: , unde vom considera că factorul macroeconomic I, este egal cu rentabilitatea portofoliului de piaţă RM (M= market în engleză).

Dacă RM şi Ri urmează o lege normală bivariabilă, atunci cea mai bună estimare a realităţii titlului financiar Ei în raport cu RM presupusă cunoscută ,este funcţia liniară:

(relaţia 2)Prin metoda celor mai mici pătrate obţinem parametrii ecuaţiei asupra cărora se face

ipoteza că rămân constanţi în timp: (relaţia 3)

(relaţia 4)În aceste condiţii, dispersia rentabilităţii titlului financiar este egală cu:

prin ipoteză , rezultă că:

(relaţia 5)

cu: Similar se obţine:

(relaţia 6)Relaţiile (1), (2) şi (6) sunt acum generalizabile pentru gestiunea unui portofoliu,

conducând astfel spre „modelul diagonal”4 al selecţiei portofoliilor eficiente (frontiera eficientă):

(relaţia 7)

(relaţia 8)

în care: - riscul sistematic al portofoliului (riscul de piaţă);

3

4

- riscul specific (diversificabil).

Laureat al premiului Nobel pentru economie în 1990 pentru articolul „Portofolio Selectio” (Selecţia Portofoliului), Harry Markowitz fundamentează un model, în domeniul teoriei de portofoliu, care are ca puncte de pornire riscul şi rentabilitatea unui portofoliu diversificat de titluri.

Selecţia portofoliului are la bază două etape5:1) prima etapă presupune studierea şi analiza titlurilor de valoare

existente pe piaţa de capital, analiză care ajută la fundamentarea unei previziuni asupra performanţelor viitoare a acestor titluri;

2) a doua etapă se fundamentează pe baza previziunilor asupra performanţelor viitoare ale titlurilor de valoare, pe baza cărora se stabileşte un portofoliu de titluri care vor oferi rentabilităţi maxime.

Prima condiţie a cercetării titlurilor constă în dorinţa investitorilor de a-şi maximiza rentabilităţile aşteptate. De asemenea, se consideră rentabilitatea aşteptată ca un lucru dorit să aibă valori maxime şi riscul (varianţa) caracteristică rentabilităţii ca un lucru dorit să aibă valori minime. Se urmăreşte de fapt maximizarea valorii de rentabilitate pe unitate de risc sau minimizarea riscului pe unitate de rentabilitate.

După J. L. Hicks6, valorile aşteptate ale rentabilităţii unei investiţii financiare pe piaţă includ şi alocări specifice ale riscului.

Markowitz consideră însă că ratele de rentabilităţi variază în funcţie de risc. Ipoteza că investitorul doreşte doar maximizarea rentabilităţii trebuie abandonată deoarece ea ignoră imperfecţiunile pieţei şi faptul că există un protofoliu diversificabil care este preferat tuturor celorlalte protofolii nediversificate.

Prin combinarea mai multor titluri în portofoliu se pot obţine rentabilităţi superioare pentru riscul asumat.

Markowitz prezintă formularea relaţiei matematice astfel:FieN – nr. de titluri caracteristice portofoliuluirit – rentabilitatea adoptată la momentul t pentru titlul „i”dit – rata de rentabilitate aşteptată pentru tiltlul „i” de la momentul t până în

prezentxi – ponderea titlului „i”Se exclud vânzările scurte xi>0 pentru oricare7 „i”

(relaţia 1)

unde

5 Markowitz H. – Portfolio Selection, Journal of Finance, Vol 7, nr. 1, March, 19526 Stancu I. – Articole fundamentale în teoria finanţelor, Bucureşti,Dofin, 19987 Markowitz H. – Portfolio Selection, Journal of finance, Vol. 7, nr. 1, 1952

- rentabilitatea aşteptată

Dacă vom considera maximum de alocări privind tilturile

de forma , care maximizează valoarea lui R, atunci portofoliul

diversificat este preferabil tuturor celorlate portofolii nediversificate. Putem vorbi de o serie de rentabilităţi pentru „i” titluri de forma , care au un câştig mediu de forma pentru „i” titluri.

Astfel: unde R este rentabilitatea portofolilui

În dinamică investitorul doreşte să maximizeze rentabilităţile aşteptate şi îşi va plasa fondurile în titluri care care maximizează câştigul, căutând diversificarea.

Legea numerelor mari afirmă că pentru un număr suficient de mare de titluri valoarea actuală a câştigului unui portofoliu tinde să fie egală cu valoarea aşteptată a câştigului portofoliului.

Prezumţia legii numerelor mari nu poate fi aplicată în cazul titlurilor financiare. Rentabilităţile titlurilor sunt intercorelate. Diversificarea nu poate elimina riscul în totalitate.

Portofoliul care oferă maximum de rentabilitate nu este cel care oferă în mod automat şi cel mai mic risc. Formularea matematică a conceptelor este:

Fie y o variabilă definită de valori posibile ale rentabilităţii pentru care se asociază probabilitatea .

Media lui y sau valoarea aşteptată a rentabilităţii este8:(relaţia 2)

iar varianţa sau dispersia este definită ca fiind:(relaţia 3)

Varianţa este o măsură acceptată a riscului.Alte măsuri folosite pentru a caracteriza riscul sunt:- abaterea standard sau abaterea de la medie

(relaţia 4)şi coeficientul de variaţie

(relaţia 5)

Dacă vom considera că avem un număr de variabile ce pot lua diferite valori ale rentabilităţii

(relaţia 6)Vom descoperi că între aceste titluri există legături în funcţie de care

evoluează valorile rentabilităţii.

8 Markowitz H. – Portfolio Selection, Journal of finance, Vol. 7, nr. 1, 1952

Cuantificarea legăturilor existente între titluri se realizează cu ajutorul covarianţei. Astfel dacă vom considera 2 titluri cu şi atunci:

(relaţia 7)

unde = covarianţa legătură dintre cele 2 titluri.Este bine să subliniem că Modelul Markowitz foloseşte gruparea titlurilor

două câte două având nevoie de un număr de informaţii egal cu .

În general pentru două titluri „i” şi „j” covarianţa se defineşte astfel:

(relaţia 8)

de asemenea există şi altă modalitate de determinare a covarianţei pornind de la riscurile individuale şi coeficientul de corelaţie

(relaţia 9)Riscul total al titlurilor ce alcătuiesc portofoliul poate fi descris astfel:

(relaţia 10)

Pentru riscul lui ”i” cu şi

(relaţia 11)

Pentru rentabilitate valoarea medie este de forma (relaţia 12)