modèle du tas de sable
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Criticalité auto-organisée Modèle du tas de sable
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Motivation initiale
Difficulté d’étude de certains phénomènes
naturels : Avalanches
Eboulements
Tremblements de terre
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Auto-Organisation : Capacité à se stabiliser sans
intervention de l’extérieur
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Auto-Organisation : Capacité à se stabiliser sans
intervention de l’extérieur
Criticalité : Les éléments du systèmes
s’influencent mutuellement Conséquence : une même perturbation peu avoir des effets
très différents selon l’état du système Difficultés
d’analyse
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Le modèle du Tas de Sable Bak, Tang et Wiesenfeld
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Principe
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Exemple de stabilisation
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Formalisation du modèle
Un tas de sable est constitué d’un ensemble fini
de N sites (numérotés de 0 à N-1), et d’une
matrice de déversement Δ
Un état de l’automate est un vecteur à N
coordonnées
= 4 si i = j
-1 si i et j sont voisins
0 sinon
Si z(i) > 3 on dit que i est critique
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N = p * q
Matrice de déversement pour p = 2 q = 3
Si i est un site critique, à l’instant suivant z’(j) = z(j) –
pour tout j de [0,N-1]
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Algorithme d’avalanche
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Taille Finie des avalanches (Preuve de terminaison de l’algorithme d’avalanche)
Preuve classique :
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Taille Finie des avalanches (Preuve de terminaison de l’algorithme d’avalanche)
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Taille Finie des avalanches (Preuve de terminaison de l’algorithme d’avalanche)
Procédons par l’absurde et supposons qu’il existe
une suite infinie d’éboulements.
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Taille Finie des avalanches (Preuve de terminaison de l’algorithme d’avalanche)
Procédons par l’absurde et supposons qu’il existe
une suite infinie d’éboulements.
Il n’y qu’un nombre fini ( mN ) de configurations
possibles avec m le nombre total de grains.
L’automate passe donc plusieurs fois par le
même état.
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Taille Finie des avalanches (Preuve de terminaison de l’algorithme d’avalanche)
Procédons par l’absurde et supposons qu’il existe
une suite infinie d’éboulements.
Il n’y qu’un nombre fini ( mN ) de configurations
possibles avec m le nombre total de grains.
L’automate passe donc plusieurs fois par le
même état.
Par conséquent le nombre de grains de sable
présent ne peux pas diminuer Il ne peut pas y
avoir d’éboulement sur les bords.
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Taille Finie des avalanches (Preuve de terminaison de l’algorithme d’avalanche)
Procédons par l’absurde et supposons qu’il existe une suite infinie d’éboulements.
Il n’y qu’un nombre fini ( mN ) de configurations possibles avec m le nombre total de grains. L’automate passe donc plusieurs fois par le même état.
Par conséquent le nombre de grains de sable présent ne peux pas diminuer Il ne peut pas y avoir d’éboulement sur les bords.
Il ne peut pas y avoir d’éboulement juste à coté du bord car un tel éboulement enverrait des grains sur le bord (et ils ne pourraient pas revenir).
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Taille Finie des avalanches (Preuve de terminaison de l’algorithme d’avalanche)
Procédons par l’absurde et supposons qu’il existe une suite infinie d’éboulements.
Il n’y qu’un nombre fini ( mN ) de configurations possibles avec m le nombre total de grains. L’automate passe donc plusieurs fois par le même état.
Par conséquent le nombre de grains de sable présent ne peux pas diminuer Il ne peut pas y avoir d’éboulement sur les bords.
Il ne peut pas y avoir d’éboulement juste à coté du bord car un tel éboulement enverrait des grains sur le bord (et ils ne pourraient pas revenir).
On conclut par récurrence qu’il n’y a en fait aucun éboulement dans ce cas.
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Unicité de l’état final (Correction de l’algorithme)
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Unicité à permutation près de la suite
d’éboulements menant d’un état à un autre
Montrons que est inversible
Soit X = (x1…xn) tel que X = 0
Notons m = max (|xj|) et notons i le plus petit indice tel que m = |xi|.
• Soit i a moins de 3 voisins xi=0
• Soit i a 4 voisins mais par construction de i, sont voisins gauche est strictement plus petit xi = 0
Donc X=0 et est inversible
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Unicité à permutation près de la suite
d’éboulements menant d’un état à un autre (Correction de l’algorithme)
Soient deux états z et z’ tels que z z’
En voyant z comme un vecteur la transformation
s’écrit
Et les sont uniques par liberté des
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Opération sur les états Étant donnés deux états A et B notons :
A+B l’état obtenu en sommant coefficient par coefficient les états A et B
A⊕B l’état stable obtenu à partir de A+B
Par ce qui précède ⊕ est interne, commutative, associative (en écrivant l’éboulement comme une somme d’éboulement de taille 1) et possède 0 (matrice nulle) pour élément neutre.
Monoïde
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Inversibilité
Problème : Après un éboulement il y a toujours au
moins deux sites non vides. Les états ne sont donc
pas tous inversible.
Si c’était un groupe, pour toute configuration A on
pourrait trouver B = 𝐴−1 ⊕𝐴 telle que A⊕ B = 𝐴
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Configurations récurrentes
Définition: Une configuration z est récurrente si on
peut y retourner en y ajoutant des grains.
Si il existe w telle que z = 𝑧 ⊕𝑤
Prop : Deux états qui communiquent sont de même
nature
Définition : Cl(z) = l’ensemble des états atteignables depuis z
Or Zmax est dans toutes les classes.
L’ensemble des états récurrents est
donc Cl(Zmax)
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Inversibilité(bis)
Définition : Un état récurrent est un état obtenu en
ajoutant des grains à Zmax
On considère à présent l’ensemble des états
récurrents.
𝐴 = 𝑍𝑚𝑎𝑥 − 𝐴
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Notons 𝑒 = 𝑍𝑚𝑎𝑥 ⊕ 𝑍𝑚𝑎𝑥 ⊕𝑍𝑚𝑎𝑥
A une configuration récurrente
𝐴 = 𝑍𝑚𝑎𝑥 ⊕𝐴′
𝐴⊕ 𝑒 = 𝐴′ ⊕𝑍𝑚𝑎𝑥 ⊕𝑍𝑚𝑎𝑥 ⊕ 𝑍𝑚𝑎𝑥 ⊕𝑍𝑚𝑎𝑥
𝐴⊕ 𝑒 = 𝐴′ ⊕𝑍𝑚𝑎𝑥 = 𝐴
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𝐴⊕ 𝐴⊕ 𝑍𝑚𝑎𝑥 = 𝐴′ ⊕𝑍𝑚𝑎𝑥 ⊕ 𝐴⊕ 𝑍𝑚𝑎𝑥 = 𝐴′ ⊕𝑍𝑚𝑎𝑥 ⊕𝑒⊕ 𝐴⊕ 𝑍𝑚𝑎𝑥
= 𝐴′ ⊕𝑍𝑚𝑎𝑥 ⊕𝑍𝑚𝑎𝑥 ⊕ 𝑍𝑚𝑎𝑥 ⊕𝑍𝑚𝑎𝑥 ⊕ 𝐴⊕ 𝑍𝑚𝑎𝑥
= 𝐴⊕ 𝑍𝑚𝑎𝑥 ⊕ 𝐴⊕ 𝑍𝑚𝑎𝑥 ⊕𝑍𝑚𝑎𝑥 ⊕𝑍𝑚𝑎𝑥
= 𝑍𝑚𝑎𝑥 ⊕ 𝑍𝑚𝑎𝑥 ⊕𝑍𝑚𝑎𝑥
= e
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L’élément neutre pour 500*500
Bleu=3
Vert=2
Rouge=1
Blanc=0
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Critère de Dhar
Caractérisation des configurations récurrentes :
Z est récurrente ssi Z⊕ 𝐵 = 𝑍
Et chaque sommet s’éboule une seule fois
lors de la stabilisation
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Bijection de Dhar
Chaque sommet s’éboule une et une seule fois
donc si à chaque étape on énumère les arrêtes qui
rendent les sommets suivant instables, tous les
sommets seront atteints et il ne peut pas y avoir de
cycle.
On a donc un arbre couvrant.
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![Page 32: Modèle du tas de sable](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062513/62b22aa8190f9758d14694e7/html5/thumbnails/32.jpg)
Théorème de Kirchhoff : Le nombre d’arbre
couvrant d’un graphe est égal au déterminant du
laplacien discret.
(Matrice des degrés – Matrice d’adjacence)
C’est la matrice de déversement Δ
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Cardinal du groupe
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Cardinal du groupe
![Page 35: Modèle du tas de sable](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062513/62b22aa8190f9758d14694e7/html5/thumbnails/35.jpg)
Cardinal du groupe
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![Page 37: Modèle du tas de sable](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062513/62b22aa8190f9758d14694e7/html5/thumbnails/37.jpg)
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![Page 39: Modèle du tas de sable](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062513/62b22aa8190f9758d14694e7/html5/thumbnails/39.jpg)
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Les phénomènes qui relèvent de la criticalité auto-
organisée sont caractérisés par des lois puissance
Exemple : Loi de Gutenberg Richter pour les séismes
log 𝑁 𝑚 = 𝑀 = 𝑎 − 𝑏𝑀
Pour une taille d’avalanche n (nombre
d’éboulement jusqu’à stabilisation)
f(n) la fréquence d’apparition
𝑓 𝑛 =𝐾
𝑛𝑠
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Fréquence d’apparition en fonction
de la taille des avalanches
![Page 42: Modèle du tas de sable](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062513/62b22aa8190f9758d14694e7/html5/thumbnails/42.jpg)
En grille infinie
5 × 105 grains 109 grains
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Sur fond de 1 Sur fond de 2
5 × 105 grains 5 × 105 grains
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10 100
1000 10000
![Page 45: Modèle du tas de sable](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062513/62b22aa8190f9758d14694e7/html5/thumbnails/45.jpg)
Conjecture sur D(n) On note D(n) le diamètre du cercle obtenu en ajoutant n grains au
centre et en laissant stabiliser.
Conjecture : D(n) = 3 𝑛
4