MODUL VIII DISTRIBUSI POISSON Percobaan yang menghasilkan peubah acak x yang bernilai numerik, yaitu banyaknya sukses selama selang waktu tertentu atau dalam daerah tertentu, disebut Percobaan Poisson. Suatu percobaan poisson memiliki sifat berikut: 1. Banyaknya sukses terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu tidak terpengaruh oleh (bebas dari) apa yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terilih. 2. Peluang terjadinya suatu sukses (tunggal) dalam selang waktu yang sangat pendek atau dalam daerah yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnya daerah dan tidak tergantung pada banyaknya sukses yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tertentu. 3. Peluang terjadi lebihdari satu sukses dalam selang waktu yang pendek atau daerah yang sangat sempit tersebut dapat diabaikan. Panjang selang waktu tersebut boleh berapa saja, semenit, sehari, sebulan, atau malah setahun. Contohnya seperti banyaknya mobil yang masuk tol per jam, jumlah mahasiswi yang gagal di mata kuliah kalkulus per tahun, jumlah kecelakaan yang terjadi di sekitar rumah per minggu, dan lain sebagainya. Distribusi peluang peubah acak poisson x, yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu, diberikan oleh:P( x = x) = f ( x) = e x , x = 0,1,2,... x!

dengan menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu dan e = 2.71828 ... Misalkan X berdsitribusi poisson ataux ~ P ( ) mempunyai mean = varian =

. Kejadian-kejadian yang berdistribusi

poisson adalah kejadian yang jarang terjadi. Distribusi binomial dengan peluang sukses (p) yang sangat kecil, dapat dihampiri dengan distribusi poisson, dengan = np .

55

A. Contoh Soal 1. Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatu perhitungan selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah empat. Berapakah peluang enam partikel melewati penghitung dalam suatu milidetik tertentu? Jawab: Dik : x = jumlah partikel yang melewati alat penghitungx ~ P ( ) dengan

=4

Dit: P(X = 6)? Untuk mendapatkan jawabannya maka lakukan langkah-langkah berikut pada program Minitab: 2.3. 4.

Input data pada kolom C1 0 : 20; Pilih Calc > Probability Distributions > Poisson; Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih

Probability;5.

Pada kotak Mean, masukkan 4 yang menunjukkan rata-

rata.6.

Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage

ketik C2.7.

Kemudian klik OK.

56

Gambar 8.1 Kotak Dialog Fungsi Kepadatan Probabilitas Untuk mengetahui fungsi kumulatif distribusinya lakukan langkah-langkah berikut ini:1. Pilih Calc > Probability Distributions > Poisson 2. Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih Cumulatif Probability 3. Pada kotak dialog Mean, masukkan 4 yang menunjukkan banyaknya rata-

rata banyaknya partikel.4. Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik C3. 5. Kemudian klik OK

Gambar 8.2 Kotak Dialog Fungsi Distributif Kumulatif Output fungsi kepadatan peluang dan kumulatif distribusi ditunjukkan pada gambar berikut:

57

Gambar 8.3 Output pdf dan cdf Dari data di atas diketahui bahwa P(X = 6) = f(6) = 0.104196 = 10.42% Untuk mengetahui grafiknya hubungan antara Fungsi Distribusi Kumulatif dengan banyaknya data dan Fungsi Kepadatan Peluang dengan bnyaknya data, lakukan langkah berikut ini: 1. Pilih Graph > Scatterplot > Simple > OK 2. Masukkan Fd(x) = (C3) sebagai variable sumbu y dan x =(C1) sebagai variable sumbu x. 3. Kemudian klik OK 4. Buka kembali graph. 5. Masukan f(x) = C2 sebagai variable sumbu y dan x = C1 sebagai variable sumbu x. 6. Kemudian klik OK. Output dari grafik dapat dilihat pada gambar berikut:

Gambar 8.4 Grafik Hubungan Fungsi Distribusi Kumulatif

58

Gambar 8.5 Grafik Hubungan Fungsi Kepadatan Peluang

2.

Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan

barang dari gelas, terjadi belembung atau cacat yang kadang-kadang menyebabkan barang tersebut sulit dipasarkan. Diketahui bahwa rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Berapakah peluang bahwa sample acak sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung? Jawab. Pada dasarnya percobaan ini merupakan distribusi binomial dengan n = 8000 dan p = 0.001. karena p sangat dekat dengan nol dan n cukup besar, maka akan dihampiri dengan distribusi poisson dengan = np = (8000)(0.001) = 8 . Jadi jika z merupakan banyaknya barang yang bergelembung, maka : P ( Z < 7) = b(8000.0.001) p (8) = 0.3134z =0 z =0 6 6

Atau dapat dilihat nilai P(Z < 7) pada hasil keluaran berikut dengan menggunakan Minitab: 1. Input Data pada kolom C1 dari 0 : 102. Pilih Calc > Probability Distributions > Poisson; 3. Pada kotak dialog pilih Probability; 4. Pada kotak Mean, masukkan 8. 5. Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik C2. 6. Kemudian klik OK

59

7. Pilih Calc > Probability Distributions > Poisson; 8. Pada kotak dialog pilih Cumulatif Probability; 9. Pada kotak Mean, masukkan 8. 10. Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik C3. 11. Kemudian klik OK

Outputnya dapat dilihat pada gambar dibawah ini:

Gambar 8.6 Output pdf dan cdf

60

Dari data diatas dapat dilihat P(Z = 6) = 0.313374. C. Latihan

bahwa Fungsi Kumulatif Distribusi pada

1. Di suatu simpang jalan rata-rata terjadi 3 kecelakaan seminggu. Hitunglah berdasarkan program yang anda buat, peluang bahwa pada suatu minggu tertentu akan terjadi: 1. tepat 5 kecelakaan ! 2. Paling sedikit ada 7 kecelekaan ! 3. Antara ada 3 dan ada 6 kecelekaan ! 2. Rata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah 10. pelabuhan tersebut hanya mampu menerima paling banyak 15 tanker sehari. Buat programnya dan hitung : a. Berapa peluangnya pada suatu hari tertentu ada tanker yang terpaksa disuruh pergi karena melebihi kapasitas pelabuhan? b. dari 30 hari yang diamati, berapa hari terdapat tepat 15 tanker? 3. Peluang seseorang meninggal karena suatu infeksipernafasan adalah 0.002. Carilah peluang bila 2000 orang yang terserang infeksi tersebut kurang dari 5 orang yang akan meninggal? 4. Suatu daerah di bagian timur Amerika Serikat, rata-rata ditimpa angina topan setahun. Carilah peluang di suatu tahun tertentu: a. tidak sampai 4 angin topan yang akan menimpa daerah tersebut. b. antara 6 sampai 8 angin topan akan menimpa daerah tersebut.

61

5. Dalam suatu penelitian inventori (persediaan barang) diketahui bahwa permintaan rata-rata dari gudang terhadap suatu bahan tertentu lima kali sehari. Berapakah peluang pada suatu hari tertentu bahan tersebut: a. diminta lebih dari lima kali b. tidak diminta sama sekali? .

62