modul mm 1 - 4
TRANSCRIPT
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 1
Modul 1
BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
1. Bilangan Berpangkat Bulat Positif
Jika a adalah bilangan real dan n adalah bilangan bulat positif berlaku : an = a x a x a x x a n faktor an dibaca a pangkat n dengan a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat. Contoh Soal 1.1 : Tulislah tanpa menggunakan notasi pangkat a. 23 = 2x2x2 = 8 b. (3a)2 = 3a x 3a c. 62 + 102 = 6x6 + 10x10 = 136 Sifat sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif Untuk a dan b bilangan real, m dan n bilangan bulat positif, berlaku sifat sifat dibawah ini : am x an = am + n
n
m
aa
= am n, a o dan m > n
(ab)n = an x bn n
ba
= n
n
ba , b o
(am)n = amn Contoh Soal 1.2 : Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat, sederhanakanlah soal soal berikut : a. 34 x 32 = 34+2 = 36 b. 5a2 . a = 5a2+1 = 5a3
Standar Kompetensi : 1. Memecahkan masalah yang
berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma
Kompetensi Dasar : 1.1 Menggunakan aturan pangkat, akar
dan logaritma. 1.2 Melakukan manipulasi aljabar
dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan logaritma
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 2
c. 46
33 = 36 4 = 32
d. 24
pp . p6 = 2
41
pp6 + = 2
5
pp6 = 6p5 2 = 6p3
e. (3x)2 = 32 x2 = 9x2 f. (3a2b)3 = 33 (a2)3 b3 = 27a2x3 b3
g. 2
32
=
94
32
2
2
=
h. (24)3 = 24x3 = 212
2. Bilangan Berpangkat Bulat Negatif Dan Nol a0 = 1, dengan a 0
a-n = na1 , a 0
n-a1 = an, a 0
Jika a = 0, maka a dan a-n tidak terdefinisi Contoh Soal 1.3 : Sederhanakan dan tulislah tanpa pangkat negatif a. (-2)0 = 1
b. 3-2 = 231 =
91
c. 3101
= 103 = 1000
d. 3x-4 = 3 . 4x1 = 4x
3
e. -p
yx
= p
yx
1
=
p
p
yx1 = p
p
xy =
p
xy
f. (3a-1b)-2 = 3-2 (a-1)-2 b-2 = 231 a2 2b
1
= 22
b1a
91 = 2
2
9ba
g. 2
1-
2
2yx
= ( )
( ) 21-222
y2x
= 22-4
y2x
= 22 2-4
yx
= 2442 yx4
x1.
y4
=
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 3
Latihan 1.1
1. Sederhanakan ( )( )1 - 4a3b-2b2b - 2a
xxx x
Jawab :
2. Nyatakan dalam pecahan sederhana 1-1--2 -2
baba
Jawab :
3. Untuk x = -6 dan y = 3 , hitunglah 3 (x-2 y-2)-1
Jawab :
4. Tentukan nilai dari ( )1
1
2
2
2
23:
31.
44.
83
Jawab :
5. Misalkan hambatan total R dari sebuah rangkaian seri paralel dirumuskan dalam
persamaan R = ( 21 R1
R1+ )-1 + R3 dengan R1 = 0,2 dan R2 = 0,04 dan R3 = 0,4 .
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 4
6. (2x2)3 x -4 = ........................
Jawab :
7. Jika a = 3 dan b = 2, nilai terbesar diantara perpangkatan berikut adalah ....................
Jawab :
8. 31
212
21
32
1
21
32
a
b:ba.b
a
= .............................
Jawab : 9. (a5 : a6 : a-3)-2 : a-1 = ...........................
Jawab :
10. 4--3
2-
-2 -3
rqp:
rqp = ..............................
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 5
11. 675
p11-p
p11
p11
+
+
= ....................................
Jawab :
12. Bentuk 2-nnn2n
3333
+ dapat disederhanakan menjadi ........................
Jawab :
13. Bentuk sederhana ( ) ( )( ) 12
2321
10.3310.5.10.3
= ..................................
Jawab :
14. 11
1-2-
3-
yxyx
= ..
Jawab :
15. Bentuk sederhana 2332
3232
++ adalah ....................
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 6
3. Bilangan Berpangkat Pecahan Dan bentuk Akar
a. Bilangan Berpangkat Pecahan
n1
a = n a untuk n 2 dan n bilangan asli
( ) n mmnnm
aaa == dengan m B, n A dan n 2
Contoh Soal 1.1 :
Hitunglah :
21
16 = 4416 2 22 ==
( )252
51
52
323232 =
= = 22 = 4
b. Bentuk Akar
Bentuk akar adalah dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional.
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ba ,
dengan a dan b bilangan bulat dan b 0
Contoh : 4, ,32
0, 333 .......................
Sifat sifat bentuk akar
aa 2 =
bxa axb = ; a dan b a
ba
ba= , a 0 dan b > 0
Contoh Soal 1.2 :
a. 662 =
b. 727x 4 7x428 ===
c. 32
94
94
==
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 7
Operasi aljabar bentuk akar
ab c a = (b c) a ; b, c, R dan a 0
p a x q a = pq b x a ; p, q, R dan a, b, 0
ba
ba= ; a 0 dan b > 0
( ) ( )baab2ba =+ Contoh Soal 1.3 :
Sederhanakan bentuk akar berikut :
a. 2.42.9818 +=+
= 2223 +
= (3 + 2) 2
= 5 2
b. 6123x24)x3(34x 23 ==
c. 35
155
15==
d. ( ) 262x62261228 =+=
Merasionalkan pecahan b
a ; b > 0
bba
bbx
ba
=
Contoh Soal 1.4 :
Rasionalkan penyebut pecahan berikut :
a. 552
55x
52
52
== b. 3061
630
66x
65
65
===
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 8
Merasionalkan pecahan ba
c
atau ba
c
( )bab-ac
b-ab-ax
bac
bac
2 =
+=
+
( )babac
babax
b-ac
b-ac
2 +
=+
+=
( )b-a
bacbabax
b ac
bac +
=+
+
=
( )b-a
bacbabax
b ac
bac
=
+=
+
Contoh Soal 1.5 :
Rasionalkan penyebut pecahan pecahan berikut :
a. 3-13-1x
312
312
+=
+ b.
3232x
3232
3232
+
+
+=
+
= ( )( )( )3131312+
= 34
332324
+++
= ( )31
312 =
1347+
= ( )31 = 7 + 4 3 = -1 + 3
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 9
Latihan 1.2
1. Hitunglah (-27) 31
Jawab :
2. Nyatakan bentuk pangkat pecahan ini ke dalam bentuk akar
( ) ( ) ( )21
21
21
147714852433 +
Jawab :
3. Sederhanakan bentuk akar 3 129
b81a64
Jawab :
4. Sederhanakan bentuk
2
21-
2-1
23
1
ab
cba4
( )33 ba .
Jawab :
5. Diketahui x = 161 , y = 32 dan z = 9, hitunglah x 4
1
, y 52
, z 23
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 10
6. Diketahui a = 2 + 3 , b = 2 - 3 dan c = 4 3 . Hitunglah a + 4b 3c.
Jawab :
7. Tentukan nilai dari 1429
3228
+
+
Jawab :
8. Jika a = 3232
+ dan b = 3232
+
, tentukan a b.
Jawab :
9. Diketahui kubus dengan panjang rusuk 1528+ cm. Tentukan luas permukaan
kubus.
Jawab :
10. Diketahui p = 8 - 122 dan q = 8 + 2 12 . Tentukan nilai q
1p
1+ .
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 11
11. 3
321
16
= ............................
Jawab :
12. 41
32
43
9
3816
+ = ......................
Jawab :
13. 6
3 32
= .............................
Jawab :
14. Jika a 0 maka ( ) ( )
( )31
4
323
a16
2aa2
= .............................
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 12
15. Jika a = 3131
+
dan b = 3131
+ maka a + b = .................
Jawab :
16. Apabila 35
8
dirasionalkan penyebutnya maka bentuk tersebut menjadi
................ Jawab :
17. Jika a = 2 + 7 dan b = 2 - 7 , maka a2 + b2 4ab = .....................
Jawab :
18. Nilai dari 108482274 + = .............................
Jawab :
19. Bentuk sederhana dari 35
2+
adalah ........................
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 13
20. Nilai dari 625
3248
+
+ sama dengan ...............................
Jawab :
21. Bentuk 549+ dapat disederhanakan menjadi ..........................
Jawab :
22. Diketahui nilai p = 216, q = 256 dan r = 27. Nilai p q- r- = .................................
Jawab :
23. Hitunglah
46
32
21
91
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 14
24. Diketahui x = 3 dan y = 12, maka
22 xyyx
= ................................
Jawab :
25. Bentuk sederhana dari
++
+
b-abab-aba
adalah ................................
Jawab :
4. Logaritma
Logaritma adalah invers dari perpangkatan
Jika ab = c, maka alog c = b, dengan a > 0, c > 0
a adalah bilangan pokok
b adalah hasil logaritma
c disebut numerus
Contoh Soal 1.1 :
a. Tulislah bilangan berpangkat ini dalam bentuk logaritma.
23 = 8
6 = 6
Jawab :
23 = 8 2log 8 = 3
6 = 6 6log 6 = 21
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 15
b. Tulislah ke dalam bentuk bilangan berpangkat : 2log 64 = 6
5log 125
1 = -3
Jawab : 2log 64 = 6 26 = 64
5log 125
1 = -3 5-3 = 125
1
Sifat sifat Logaritma alog 1 = 0 alog xy = alog x + alog y
alog a = 1 alog yx = alog x - alog y
alog an = n alog c = alogclog
g
g
alog xn = n. alog x alog b . blog c = alog c
a alog x = x
Contoh Soal 1.2 :
Sederhanakan 321log-9log
161log3 log 232
131
++
Jawab :
321log-9log
161log3log 232
131
++
= 5-2234-1221
13 2log3log2log3 log ++
= 52421
+++
= 2110
221
=
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 16
Latihan 1.3 :
1. Jika xlog b = 5 dan 2xlog c = 5, tentukan nilai bc .
Jawab :
2. Jika 2log n = 3 dan m = 2n, tentukan nilai n m.
Jawab :
3. Jika 5log 2 = b, tunjukkan bahwa 25log 32 = 25 b.
Jawab :
4. Hitunglah nilai dari logaritma 3log321 log27log
161 log
21 3
123 ++ .
Jawab :
5. Tentukan nilai dari 2log8log2log8log
22
2222
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 17
6. Sederhanakan 3log 27 + 2. 2log 2 2 - 2log 81 + 64log.3-2log 22
1
.
Jawab :
7. Hitunglah nilai 27 log.811log.2log 233
1
Jawab :
8. Sederhanakan alog6464
Jawab :
9. Hitunglah x jika xlog31log 9log.
23-27log.
31 aaaa =+
Jawab :
10. Hitunglah : 10log
15log100log
1425 ++
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 18
11. Bentuk logaritma dari 4 = a adalah .......................
Jawab :
12. Untuk a > 0 dan b > 0, nma blog = ..........................
Jawab :
13. 2log 4 + 2log 12 2log 6 = ............................
Jawab :
14. Jika a = 0,1666 ........., maka alog 36 = .......................
Jawab :
15. alog =
a1 log.
c1log.
b1 cb .........................
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 19
16. alog aalogxa a3 = .....................
Jawab :
17. Jika 4log 6 = m + 1, maka 9log 8 = ......................
Jawab :
18. Jika (1/a)log b1 = 2, maka ............................
Jawab :
19. Jika 10log x = b maka 10log 100 = ...........................
Jawab :
20. Jika alog 81- 2 alog 27 + alog 27 + alog 243 = 6 maka a = .....................
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 20
21. log ( )15 log
45 log3 log55 ++ = ........................
Jawab :
22. Jika [alog (3x 1)] [ 5log a] = 3, maka x = .....................
Jawab :
23. Jika 2log ,216x 2 = maka xlog 2 = .....................
Jawab :
24. Jika 3log 5 = p dan 5log 4 = q maka 4log 15 = ...................
Jawab :
25. Persamaan xlog 2 + xlog (3x 4) = 2 mempunyai dua penyelesaian x1 dan x2. Nilai
x1 dan x2.
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 21
26. Jika 3log a = 2 maka ( ) 31
21
3a
= ............................
Jawab :
27. Diketahui log 5 = 0,6989 dan log 3 = 0,4771 maka nilai log 45 = ......................
Jawab :
28. Diketahui log 1 = 0,000 dan log 2 = 0,301 maka log 0,25 = ...........................
Jawab :
29. Jika log a = 0,112 dan log b = 0,223 maka nilai log ( )b.a 2 = .......................... Jawab :
30. Nilai dari log ba , jika log 2
2
ab = 16 adalah .........................
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 22
Modul 2
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
A. Persamaan Kuadrat
1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
ax2 + bx c = 0 dengan a,b,c R dan a 0
2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, rumus kuadrat
Contoh Soal 2.1 :
Tentukan HP persamaan kuadrat dengan memfaktorkan :
x2 5x + 6 = 0
Jawab :
x2 5x + 6 = 0
(x 3) (x 2) = 0
x 3 = 0 atau x 2 = 0
x = 3 x = 2
jadi HP = {2,3}
Tentukan HP persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna.
x2 4x 3 = 0
Jawab :
x2 4x 3 = 0
Standar Kompetensi : 2. Memecahkan masalah yang
berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat.
Kompetensi Dasar : 2.1 Memahami konsep fungsi 2.2 Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana
dan fungsi kuadrat 2.3 Menggunakan sifat dan aturan tentang
persamaan dan pertidaksamaan kuadrat. 2.4 Melakukan manipulasi aljabar dalam
perhitungan yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.
2.5 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan/atau fungsi kuadrat
2.6 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan/atau fungsi kuadrat dan penafsirannya
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 23
x2 4x = 3
x2 4x + 4 = 4 + 3
(x 2)2 = 7
x 2 = 7
x = 2 + 7 atau x = 2 - 7
jadi, HP = { 2 - 7 , 2 + 7 }
Tentukan HP persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat
2x2 5x + 3 = 0
Jawab :
2x2 5x + 3 = 0
a = 2 b = -5 c = 3
x1,2 = a2ac4b b- 2
= 2.2
3.2.4255
= 4
15
= 4
15
x1 = 23
415=
+ atau x2 = 4
15 = 1
jadi, HP = {1, 23 }
3. Jenis Akar Akar Persamaan Kuadrat
Untuk persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan diskriminan D = b2 4ac, maka :
D > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real berlainan
D = 0 maka persamaan kuadrat memiliki satu akar real (kembar)
D < 0 maka persamaan kuadrat tidak memiliki satu akar real (imajiner)
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 24
Contoh Soal 2.2 :
Tanpa menyelesaikan persamaan kuadrat, tentukan jenis jenis akarnya.
a. x2 2x 3 = 0
Jawab : x2 2x 3 = 0, a = 1, b = -2, c = -3
D = b2 4ac = (-2)2 4 (1) (-3) = 16 > 0 maka persamaan kuadrat
mempunyai dua akar real yang berbeda.
b. x (x + 3) = - 4
c. Jawab : x (x + 3) = - 4
x2 + 3x + 4 = 0, a = 1, b = 3, c = 4
D = b2 4ac = (3)2 4 (1) (4) = -7 < 0 maka persamaan kuadrat tidak
mempunyai akar real.
4. Rumus Jumlah dan Hasil Akar Akar Persamaan Kuadrat
Untuk PK ax2 + bx + c = 0, a 0 maka :
Jumlah akar akar PK : x1 + x2 = ab-
Hasil kali akar akar PK : x1 x2 = ac
Selisih akar akar PK : x1 x2 = aD atau (x1 x2)2 = 2a
D
Bentuk simetri akar akar PK :
21 x1
x1+ =
21
21
xx x x + ( )221
22
21
22
21 xx
xxx1
x1 +
=+
( )( ) 21221212221 xx2xxxxxx +=+ ( )221
22
21
22
21 xx
xxx1
x1 +
=+
( )( )21212221 xxxxxx +=
( ) ( ) 21221221 xx4xxxx +=
( ) ( )21213213231 xxxx3xxxx +=+
21
22
21
1
2
2
1
xxxx
xx
xx +
=+
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 25
Contoh Soal 2.3
Jika x1 dan x2 adalah akar akar persamaan 2x2 + 10x + 5 = 0, tentukan nilai dari :
a. 21 x
1x1+
b. 2221 xx +
c. ( )221 xx Jawab :
2x2 + 10x + 5 = 0 ; a = 2, b = 10, c = 5
x1 + x2 = =
=
210
ab -5
x1 . x2 = 25
ac=
22
55
xxxx
x1
x1
21
21
21
=
=+
=+
( ) ( ) 202525xx2xxxx 221
221
22
21 =
=+=+
( ) ( ) ( ) 152545xx4xxxx 221
221
221 =
=+=
Contoh Soal 2.4. :
Salah satu akar persamaan x2 + 6x + (m + 2) = 0 dua kali akar yang lainnya.
Tentukan m dan akar akar tersebut.
Jawab :
Misalkan akar akarnya x1 dan x2 maka :
x1 + x2 = 616
ab-
=
=
Karena akar yang satu dua kali akar lainnya yaitu :
x1 = 2x2 maka 2x2 + x2 = -6
3x2 = -6
x2 = -2
x1 = -4
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 26
x1 . x2 = ( )
12m
ac +=
-4 . -2 = m + 2
8 = m + 2
m = 6
Jadi m = 6 dan akar akarnya x1 = -4 dan x2 = -2
5. Menyusun Persamaan Kuadrat Yang Diketahui Akar Akarnya.
Perkalian Faktor : (x x1) (x x2) = 0
Rumus jumlah dan hasil kali : x2 (x1 + x2) x + x1x2 = 0
Contoh Soal 2.5. :
a. Tentukan persamaan kuadrat yang akar akarnya -2 dan 3 dengan
memfaktorkan dan rumus jumlah dan hasil kali.
Jawab :
Misalkan x1 = 2 dan x2 = 3
Perkalian faktor : (x x1) (x x2) = 0
( x + 2) ( x 3) = 0
x2 x 6 = 0
Rumus jumlah dan hasil kali : x2 (x1 + x2)x + x1x2 = 0
x2 (-2 + 3) x + -2.3 = 0
x2 x 6 = 0
b. Persamaan kuadrat 2x2 8x 10 = 0 mempunyai akar akar x1 dan x2.
Tentukan persamaan kuadrat yang akar akarnya 2x1 dan 2x2.
Jawab :
Misal akar akar persamaannya dan maka :
= 2x1 dan = 2x2
+ = 2x1 + 2x2 = 2 (x1 + x2) =
282 = 8
. = 2x1 . 2x2 = 4x1x2 = 4 . 210 = -20
Jadi x2 ( + ) x + = 0 x2 8x 20 = 0
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 27
Latihan 2.1 :
1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat berikut dengan memfaktorkan.
a. x2 + 4x + 3 = 0
Jawab :
b. 2x2 5x = 0
Jawab :
c. 2m41 - 25 = 0
Jawab :
d. x2 5 = 0
Jawab :
2. Tentukan HP persamaan kuadrat berikut dengan melengkapkan kuadrat sempurna.
a. 9x2 24x + 12 = 0
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 28
b. 3x2 2x 3 = 0
Jawab :
3. Tentukan HP persamaan kuadrat x2 + 2 2 x 3 = 0 dengan menggunakan rumus
kuadrat.
Jawab :
4. Tentukan k agar k x2 6x + k = 0 mempunyai akar akar real dan berbeda.
Jawab :
5. Persamaan (m 1) x2 + 2mx + (3m 2) = 0 mempunyai akar kembar. Hitunglah
nilai m dan tentukan akarnya.
Jawab :
6. Tentukan nilai a sehingga a = 1x2x3xx
2
2
+++ mempunyai akar akar yang real.
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 29
7. Akar akar persamaan kuadrat 4x2 4x -3 = 0 adalah dan . Tentukan nilai dari
11
11
++
+ .
Jawab :
8. Salah satu akar persamaan kuadrat mx2 + (2m + 1) x + (4m 6) = 0 kebalikan dari
akar yang lain (akar akarnya berkebalikan). Tentukan nilai m dan akar akar
tersebut.
Jawab :
9. Akar akar persamaan kuadrat (m 1)x2 (2m 3) x m + 1 = 0 saling
berlawanan, tentukan nilai m dan akar akar tersebut.
Jawab :
10. Diketahui x2 + (m + 2) x + 6m = 0 dengan akar akar dan , jika 2 + 2 = 13.
Tentukan nilai m, dan akar akar tersebut.
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 30
11. Jika salah satu akar persamaan kuadrat x2 (m 1) x + (2m 7) = 0 adalah dua
lebihnya dari akar yang lainnya. Tentukan nilai m dan akar akar tersebut.
Jawab :
12. Tentukan persamaan kuadrat yang akar akarnya 2 + 3 dan 2 - 3 .
Jawab :
13. Persamaan kuadrat x2 2x 15 = 0 mempunyai akar x1 dan x2. Tentukan
persamaan kuadrat yang akar akarnya 3x1 2 dan 3x2 2.
Jawab :
14. Jika x1 dan x2 adalah akar akar persamaan kuadrat 2x2 5x 12 = 0, tentukan
21
222
1
xx
xx
+
Jawab :
15. Jika x1 dan x2 adalah akar akar persamaan kuadrat (a 1) x2 (a + 1) x + 2 = 0
dan 2x1 + x2 = 0 tentukan nilai a.
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 31
16. Dibawah ini yang merupakan akar persamaan kuadrat 2x2 3x 5 = 0 adalah .........
Jawab :
17. Persamaan kuadrat x2 12 = 0 mempunyai akar x1 dan x2 dengan x1 < x2. Nilai dari
4x1 + x2 = ..................
Jawab :
18. Dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, persamaan kuadrat 2x2 + 6x + 4
= 0 dapat diubah menjadi (x + p)2 = q maka nilai p + q = .........................
Jawab :
19. Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat 2x2 9x c = 0 adalah 121, maka nilai c = ..
Jawab :
20. Akar akar persamaan x2 + px -21 q2 = 0 adalah p dan q, p dan 2q = 6 dan p 0.
Nilai p q = ..............
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 32
21. Persamaan (m 1)x2 + 4x + 2m = 0 mempunyai akar akar real, maka nilai m
adalah.
Jawab :
22. Persamaan (2m 4)x2 + 5x + 2 = 0 mempunyai akar akar real berkebalikan, maka
nilai m = ..................
Jawab :
23. Akar akar persamaan kuadrat 2x2 3x 1 = 0 adalah dan persamaan kuadrat
baru yang akar akarnya (2 1) dan (2 1) adalah .................
Jawab :
24. Akar akar persamaan x2 4x + 6 = 0 adalah x1 dan x2 nilai =+ 2221 xx ..............
Jawab :
25. Persamaan 2x2 + qx + (q 1) = 0 mempunyai akar akar x1 dan x2 jika 4xx 2221 =+ ,
maka nilai q = ................
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 33
26. Selisih kuadrat akar akar persamaan 2x2 6x + 2k + 1 = 0 adalah 6. Nilai k adalah
Jawab :
27. Jika akar akar persamaan x2 + 5x + a = 0 dua kali akar akar persamaan 2x2 + bx
3 = 0 maka nilai a + b = ................
Jawab :
28. Persamaan kuadrat 3x2 ax + b = 0 mempunyai akar akar x1 dan x2 dengan x1 0
dan x2 0. Persamaan kuadrat yang akar akarnya 21 x
1danx1 adalah ...............
Jawab :
29. Jika persamaan 3x6x
2x4xt2
2
++++= mempunyai dua akar yang sama untuk t = a dan t =
b, maka a + b = ................
Jawab :
30. Jika x1 dan x2 akar persamaan kuadrat x2 (5 a) x 5 = 0 dan x1 x2 = 2 6 maka
nilai a sama dengan.
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 34
31. Jika jumlah kuadrat akar akar persamaan x2 3x + n = 0 sama dengan jumlah
pangkat tiga akar akar persamaan x2 + x n = 0 maka nilai n adalah ..................
Jawab :
32. Jika dan merupakan akar akar persamaan x2 + bx 2 = 0 dan
=
21
2
maka nilai b = ...............
Jawab :
33. Akar akar persamaan kuadrat x2 x + 2 7 = 0 adalah x1 dan x2 jika 2x1 x2 =
7, maka nilai adalah ..................
Jawab :
34. Persamaan kuadrat x2 2ax + a + 2 = 0 bila akar akarnya tidak sama tandanya
maka penyelesaiannya adalah .................
Jawab :
35. Persamaan (3m 2) x2 (m 2) x + (1 m) = 0 mempunyai akar akar yang
berlawanan, maka nilai m adalah .................
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 35
B. Fungsi Kuadrat
1. Grafik Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah fungsi f pada R yang ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c
dengan a, b, c R dan a 0.
Langkah langkah membuat grafik fungsi kuadrat :
- Memperhatikan sifat membuka parabola.
Jika a > 0 parabola terbuka keatas
Jika a < 0 parabola terbuka kebawah
- Memotong sumbu x, jika y = 0
D > 0, grafik f(x) = ax2 + bx + c memotong sumbu x didua titik yaitu dititik (x1,
0) dan (x2, 0).
D = 0, grafik f(x) = ax2 + bx + c memotong sumbu x disatu titik yaitu dititik (x,
0).
D < 0, grafik f(x) = ax2 + bx + c tidak memotong sumbu x .
a > 0 dan D > 0 a > 0 dan D = 0 a > 0 dan D < 0 (definit
positif)
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 36
a < 0 dan D > 0 a < 0 dan D = 0 a < 0 dan D < 0 (definit
negatif)
- Memotong sumbu y, jika x = 0
- Sumbu simetri : x = 2ab-
- Menentukan titik Ekstrem (2ab- ,
4a-D ) jika a > 0 maka (
2ab- ,
4a-D ) disebut titik
balik minimum a < 0 maka (2ab- ,
4a-D ) disebut titik balik maksimum
Contoh Soal 2.1 :
Gambarlah sketsa grafik kuadrat f(x) = x2 2x 3
Jawab :
f(x) = x2 2x 3 berarti a = 1, b = -2, dan c = -3, karena a = 1 > 0
parabola membuka keatas dan mempunyai nilai minimum.
D = b2 4ac = (-2)2 4(1) (-3) = 16 > 0 parabola memotong sumbu x
didua titik yang berbeda.
Titik potong grafik dengan sumbu x diperoleh jika y = 0
x2 2x 3 = 0
(x 3) (x + 1) = 0
x = 3 atau x = -1
jadi, grafik tersebut memotong sumbu x di (-1, 0) dan (3, 0).
Titik potong grafik dengan sumbu y diperoleh jika x = 0
y = 02 2 (0) 3 = -3
jadi, grafik tersebut memotong simetri sumbu y di (0, -3)
Persamaan sumbu simetri x = ( )122
2ab-= = 1
Titik puncak
4aD,
2ab
( ) ( )( )( ) 414
31424a
ac4b4aD-y
22
=
=
==
Jadi, koordinat titik puncaknya (1, -4)
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 37
Contoh Soal 2.2 :
Tentukan f(x) = x2 3x + 4 definit positif atau negatif
Jawab :
f(x) = x2 3x + 4, a = 1 > 0, b = -3, dan c = 4
D = b2 4ac = (-3)2 4(1) (4) = -7 < 0
Jadi, x2 3x + 4 adalah definit positif
Contoh Soal 2.3 :
Tentukan nilai k agar x2 + 4x + 2k definit positif.
Jawab :
Syarat agar definit positif a > 0 dan D < 0
b2 4ac < 0
42 4(1) (2k) < 0
16 8k < 0
-8k < -16
k > 2
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 38
Modul 3
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN
KUADRAT
Ringkasan Materi Pokok
A. Sistem Persamaan Linear dan Linear
Bentuk umum sistem persamaan linear dan kuadrat
Dua variable (peubah)
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2 dengan a1, a2, b1, b2, C1, C2 bilangan riil Tiga variable (peubah)
a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 dengan a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3 bilangan
riil
Cara menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dan Linear
Subtitusi Eliminasi Gabungan eliminasi dan subtitusi
Standar Kompetensi : 3.1 Memecahkan masalah yang berkaitan
dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan satu variabel
Kompetensi Dasar : 3.1 Menyelesaikan sistem persamaan linear dan
sistem persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua variabel
3.2 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear
3.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan penafsirannya.
3.4 Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 39
Contoh soal :
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dengan metode eliminasi.
2x - 3y = 1
2x + 6y = 10
Jawab :
Dengan menghilangkan variable x maka diperoleh nilai y
2x - 3y = 1
2x + 6y = 10
-9y = -9
Y = 1
Dengan menghilangkan variable y maka diperoleh nilai x
2x - 3y = 1 x 2 4x 6y = 2
2x + 6y = 10 x 1 2x + 6y = 10
6x = 12 , x = 2
Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah { (2,1) }
eliminasi x pada persamaan (1) dan (2)
x - y = 2 | x . | . x - . y =
2x + y = 7 | x . | .x + . y =
..y = .
y =
B. Penerapan Persamaan Linear Merumuskan model matematika berbentuk sistem persamaan linear
Contoh soal :
Sebuah bilangan terdiri dari dua angka, penjumlahan empat kali angka puluhan dan
angka satuannya adlah 17, sedangkan selisihnya adalah -2. Tentukanlah bilangan itu.
Jawab :
Misalkan bilangan puluhan = x
Satuan = y
Model matematikanya adalah :
4x + y = 17
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 40
x y = -2
Elliminasi y maka di dpat nilai x
4x + y = 17
x y = -2
5x = 15
x = 3
untuk x = 3, substitusikan pada salah satu persamaan , maka :
x y = -2
3 y = -2
y = 5, Jadi bilangan itu adalah 35
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 41
Latihan 3.1 :
1. Diketahui sistem persamaan 2x 4y = 4
3x 6y = 6
Hitunglah nilai x + y.
Jawab :
2. Selesaikan sistem persamaan y6
x5+ = 12
y9
x3+ = 9
Jawab :
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 6
1y3
2-x ++ = 2
21-y2
43x+
+ = 1
Jawab :
4. Hitunglah nilai x dan y yang memenuhi persamaan 2 2x 3y = 128
1
2x + y = 5
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 42
5. Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan 3 log x + 2 log y = 7
5 log x + 4 log y =
13
Jawab :
6. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : 2x 3y + z = 7
x + 2y z = -3
3x 2y + 2z = 9
Jawab :
7. Tentukan a + b + c + d jika diketahui :
a + 3b + 2d = 6160
6a + 2b = 7680
6c + 3d = 8820
Jawab :
8. Selesaikan sistem persamaan : 2y
3x+ - z = 7
2z
2y3
4x
+ = -6
3z
4y
6x
= 1
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 43
9. Selesaikan SPL : x + y = 5
y + z = 7
x + z = 6
Jawab :
10. Seorang tukang kebun akan memagari kebunnya yang berbentuk persegi panjang.
Keliling kebun tersebut 252 m. Jika panjangnya ditambah 18 m dan lebarnya
dikurang 12 m luasnya menjadi menjadi 18 m2 kurangnya dari luas semula.
Tentukan ukuran kebun tersebut.
Jawab :
11. Fungsi permintaan akan suatu barang ditentukan oleh persamaan P = 18 Q.
Sedangkan fungsi penawarannya 3P Q 6 = 0. Tentukan jumlah harga dan jumlah
barang pada titik keseimbangan pasar.
Jawab :
12. Pada hari libur, Ahmad, Ari dan Andi pergi berbelanja ke swalayan, Ahmad
membayar Rp. 59.000,- untuk 3 satuan barang I dan 2 satuan barang II, sedangkan
Ari harus membayar Rp. 82.000,- untuk 2 satuan barang I dan 4 satuan barang II.
Tentukan uang yang harus dibayar oleh Andi jika mengambil 2 satuan barang I dan
2 satuan barang II.
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 44
13. Parabola y = ax2 + bx + c melalui titik titik (0, -2), (1, 3) dan (2, 0). Tentukanlah s,
b dan c dan tuliskanlah persamaan parabola itu.
Jawab :
14. Jumlah tiga bilangan 36. Bilangan pertama dikurang 4 sama dengan jumlah bilangan
kedua dan ketiga, sedangkan bilangan kedua dibanding bilangan ketiga sama dengan
1 : 3. Tentukan bilangan bilangan itu.
Jawab :
15. Diketahui sistem persamaan : 4x 2y + 1 = 82x y
3x + y + 1 = 92x y 4
Jawab :
16. Diketahui nilai x dan y memenuhi sistem persamaan : 5x 4y = 6
3x 4y = 2
Maka nilai x + y = ..........
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 45
17. Jika x + y merupakan penyelesaian dari sistem persamaan : y1
x2+ = 7
y3
x3 = -3
Maka nilai x 3y adalah .........................
Jawab :
18. Diketahui sistem persamaan linier x + y + 1 = 6 (x y)
yx4y-x
++ = 1
Untuk x 0 dan y 0, nilai yx
1+
= ...............
Jawab :
19. Himpunan penyelesaian sistem persamaan ax + 2y = -b
ax y = 2b
adalah {(-2, -3)}. Nilai a + b = ..................
Jawab :
20. Garis ax y = 3 dan x + 2y = b berpotngan di (2, 1) jika ..................................
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 46
21. Garis yang melalui titik titik A (3, 1) dan B (9, 3) dan garis yang melalui titik
titik C (6, 0) dan D (0, 2) akan berpotongan pada titik ..........................
Jawab :
22. Sepuluh tahun yang lalu umur A dua kali umur B, lima tahun kemudiannya umur A
menjadi 211 kali umur B. Sekarang umur A adalah .......................
Jawab :
23. Jika pembilang dari suatu pecahan ditambah 2 dan penyebutnya ditambah 1 akan
diperoleh hasil bagi sama dengan 53
. Pecahan dimaksud adalah .......................
Jawab :
24. Himpunan penyelesaian sistem persamaan y
14x9 = 10
y2
x6 = 1 adalah {(x0, y0)}
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 47
25. Jika 3x - 2y = 811 dan 2x y 16 = 0 maka nilai x + y = .........................
Jawab :
26. Himpunan penyelesaian x + y z = 24
2x y + 2z = 4
x + 2y 3z = 36
adalah {(x, y, z)}. Nilai x : y : z = ....................
Jawab :
27. Jika x0, y0, z0 adalah penyelesaian sistem persamaan : 3x + z = 10
y 3z = -1
x + y = 5
maka nilai x0 + y0 + z0 = ...........................
Jawab :
28. Penyelesaian dari sistem persamaan 3x 2y + z = 2
2y + 3z = 13
2x = 2
Adalah x0, y0 dan z0. Nilai 02zy0x0+ = ..........................
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 48
29. Diketahui yx21
+ = 8
zx31
+ = 14
zy21
+ = 11
Nilai x + y + z = ..........................
Jawab :
30. Persamaan parabola yang melalui titik (0, -2), (2, 1) dan (-2, 0) adalah .....................
Jawab :
31. Dalam suatu segitiga, sudut terbesarnya adalah 1200 lebih besar dari pada sudut
terkecilnya dan dua kali dari sudut sisanya. Ukuran sudut terbesar tersebut adalah ....
Jawab :
32. Sebuah bilangan terdiri dari tiga angka. Jumlah dua kali angka ratusan dan tiga kali
angka satuan adalah 12. Selisih empat kali angka ratusan dan tiga kali angka
puluhan adalah 9 dan jumlah lima kali angka puluhan dan empat kali angka satuan
adalah 13. Bilangan itu adalah .......................
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 49
33. Dari dua toko serba ada yang masih termasuk dalam satu perusahaan diperoleh data
penjualan daging dan ikan dalam satu minggu seperti tercantum pada tabel berikut :
Daging (kg) Ikan (kg) Hasil Penjualan Total (dalam ribuan rupiah) Toko A 80 20 2960
Toko B 70 40 3040
Maka harga ikan/kg pada kedua toko tersebut adalah ..............................
Jawab :
34. Jika x dan y memenuhi sistem persamaan : log x2 log y = 3
log 32 ylogx1+ = -1
Nilai x, y = ..................
Jawab :
35. Nilai x + z dari sistem persamaan :
2z2
y2
x1
=+
z1
y1
x1
++ = 6
z2
y1
x3
+ = 8
Adalah .........................
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 50
C. Sistem Persamaan Linear Dan Kuadrat
Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat.
y = ax + b
y = px2 + qx + r
dengan a, b, p, q, r, x dan y adalah bilangan bilangan riil.
Cara Menyelesaikan Persamaan Linear dan Kuadrat.
Dengan Grafik Menggambar grafik fungsi linear y = ax + b dan fungsi kuadrat y = px2 + qx + r
pada satu sumbu koordinat.
Penyelesaian sistem persamaan merupakan titik potong garis dan kurva.
Substitusi Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) kemudian selesaikan aljabarnya.
Banyaknya penyelesaian dari sistem persamaan ditentukan oleh Diskriminan :
D = (b p)2 4a (c q).
D > 0 ; dua penyelesaian (garis memotong parabola pada dua titik)
D = 0 ; satu penyelesaian (garis menyinggung parabola)
D < 0 ; tidak memiliki penyelesaian
Contoh Soal 3.1 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
y = x2 2x + 4
y = 3x 2
Jawab :
Substitusikan persamaan (1) pada persamaan (2)
x2 2x + 4 = 3x - 2
x2 2x + 4 - 3x + 2 = 0
x2 5x + 6 = 0
(x 3) (x 2) = 0
x 3 = 0 atau x 2 = 0
x = 3 atau x = 2
Untuk x = 3, maka y = 3(3) 2 = 7
x = 2, maka y = 3(2) 2 = 4
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 51
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 7), (2, 4)}
D. Sistem Persamaan Kuadrat Dan Kuadrat
Bentuk Umum Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat
y = ax + b
y = px2 + qx + r dengan a, b, c, p, q dan r R
Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dan Kuadrat.
Dengan grafik Penyelesaian dari sistem persamaan ini adalah titik potong kedua parabola.
Substitusi Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) kemudian selesaikan aljabarnya.
Banyaknya penyelesaian dari sistem persamaan ditentukan oleh Diskriminan :
D = (b q)2 4 (a p) (c r)
D > 0 ; dua penyelesaian
D = 0 ; satu penyelesaian
D < 0 ; tidak memiliki penyelesaian
Contoh Soal 3.1 :
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan :
y = -8 + 6x x2 dan y = x2 4x
Jawab :
y = -x2 + 6x 8 ....................... (1)
y = x2 4x ....................... (2)
Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) :
-x2 + 6x 8 = x2 4x
2x2 10x + 8 = 0
x2 5x + 4 = 0
(x 4) (x 1) = 0
x 4 = 0 atau x 1 = 0
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 52
x = 4 atau x = 1
Untuk x = 4, maka y = (4)2 4(4) = 0
x = 1, maka y = (1)2 4(1) = -3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 0), (1, -3)}
Latihan 3.2 :
1. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan y = 6 + x x2 dan y = x2 3x +
8
Jawab :
2. Selisih dua buah bilangan positif adalah 3 dan jumlah kuadratnya adalah 65.
Tentukan bilangan bilangan itu.
Jawab :
3. Diketahui sistem persamaan y = -x2 + 3x + p
y = x + 2
Tentukan nilai p agar sistem persamaan mempunyai satu penyelesaian, kemudian
tentukan penyelesaiannya.
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 53
4. Keliling sebuah persegi panjang adalah 24 cm. Jika sisi yang satu merupakan
kuadrat dari sisi lainnya, tentukan luas persegi panjangnya.
Jawab :
5. Sebuah persegi panjang memiliki diagonal 892 cm dan keliling 52 cm. Tentukan
panjang dan lebar persegi panjang tersebut.
Jawab :
6. Jumlah buku A sama dengan kuadrat dari jumlah buku B. Jika jumlah buku A
dikurangi dua maka hasilnya sama dengan delapan kali buku B dikurangi 17.
Tentukan jumlah buku masing masing yang dimiliki A dan B.
Jawab :
7. Tentukan penyelesaian sistem persamaan : y = 3x2 x 1
y = 2x2 + 5x 10
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 54
8. Diketahui sistem persamaan : y = px2 + 3x 2
y = 3px2 x + 2
Tentukan nilai p agar sistem persamaan mempunyai satu solusi dan tentukan
solusinya.
Jawab :
9. Tentukan batas nilai c agar sistem persamaan berikut mempunyai solusi.
y = 2x2 x - 2c .................. (1)
y = x2 + x + c .................. (2)
Jawab :
10. Kuadrat suatu bilangan adalah 11 kurangnya dari dua kali kuadrat bilangan lainnya.
Jumlah kuadrat bilangan itu adalah 16. Tentukan bilangan bilangan tersebut.
Jawab :
11. Himpunan penyelesaian yang memenuhi x2 + 4y2 = 4 dan x y = 1 adalah ...............
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 55
12. Diketahui sistem persamaan y = x2 + 2x 1 dan y = kx 1, jika sistem persamaan
mempunyai satu solusi, maka harga k = ...........
Jawab :
13. Titik potong parabola y = x2 + x 6 dan parabola y = x2 2x 3 adalah .................
Jawab :
14. Syarat agar grafik fungsi linear f(x) = mx 2 menyinggung grafik fungsi kuadrat
g(x) = 4x2 + x 1 adalah ............
Jawab :
15. Nilai p agar sistem persamaan y = px 4
y = x2 px + 5
mempunyai satu solusi adalah ....................
Jawab :
16. Jika absis titik potong parabola y = x2 + mx + 6 dan y = x2 + x 12 adalah 3, nilai m
sama dengan ..................
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 56
17. Misal a dan b adalah nilai x dan y yang bulat yang memenuhi : 2x y = -3
3x2 5xy + 2y2 = 10
Dengan demikian a + b = ..................
Jawab :
18. Batasan nilai p agar sistem persamaan y = mx2 + 6x 3 dan y = 2mx m
mempunyai dua solusi yang nyata dan berbeda adalah ..................
Jawab :
19. Saat ini jumlah usia seorang anak dan Ayahnya adalah 78 tahun jika 20 tahun yang
lalu jumlah usia Ayahnya dan kuadrat dari usia anaknya 50 tahun, maka usia
Ayahnya saat ini adalah ................
Jawab :
20. Penyelesaian sistem persamaan y = x2 + 3x 4
y = -x2 + 3x + 4
adalah ......................
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 57
21. Jumlah kuadrat dua buah bilangan adalah 52 dan selisih kuadratnya 20 maka kedua
bilangan itu adalah ....................
Jawab :
22. Hipotenusa (sisi miring) dari sebuah segitiga siku siku adalah 41 cm dan luasnya
adalah 180 cm2, maka panjang sisi sisi lainnya adalah ................
Jawab :
23. Nilai x yang memenuhi sistem persamaan y = 2x2 + 3x + 1
y = x + 1
adalah x1 dan x2 . Nilai x1 dan x2 = ..................
Jawab :
24. Keliling suatu persegi panjang 32 cm. Jika panjang dan lebar masing masing
bertambah 2 cm, maka luasnya akan menjadi 99 cm2, maka ukuran persegi panjang
itu adalah ................
Jawab :
25. Agar sistem persamaan x2 + y2 = 25 dan 3y = p 4x tidak memiliki penyelesaian
maka nilai p adalah ......................
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 58
Modul 4
PERTIDAKSAMAAN
Ringkasan Materi Pokok
A. Pengertian Pertidaksamaan Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan
( atau ) dan mengandung variable.
Bentuk umum Pertidaksamaan Kuadrat :
ax + bx + c > 0
ax + bx + c < 0
ax + bx + c > 0
ax + bx + c < 0
penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan menggunakan garis
bilangan.
Menyelesaikan pertidaksamaan Linear
Contoh Soal :
Tentukan himpunan penyelsaian pertidaksamaan berikut jika x R.
2(2x -1) < 4 2x
Standar Kompetensi : 4.1 Memecahkan masalah yang berkaitan
dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan satu variabel
Kompetensi Dasar : 4.1 Merancang model matematika dari masalah
yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel.
4.2 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel dan penafsirannya.
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 59
Jawab :
2(2x -1) < 4 2x
4x 2 < 4 2x
4x 2 + 2 < 4 2x + 2
4x < 6 2x
4x + 2x < 6 2x + 2x
6x < 6
x < 1
Jadi, Hp = { x | x < 1, x R }
-2 -1 0 1 2
B. Penggunaan Diskriminan Persamaan Kuadrat
Sifat-sifat persamaan kuadrat :
Mempunyai dua akar positif (x1 > 0 dan x2 > 0) Syarat :
D > 0
x1 + x2 > 0
x1 . x2 > 0
Mempunyai dua akar negative (x1 < 0 dan x2 < 0) Syarat :
D > 0
x1 + x2 < 0
x1 . x2 < 0
Mempunyai dua akar berbeda tanda ((x1 > 0 dan x2 < 0) atau (x1 < 0 dan x2 > 0)
Syarat :
D > 0
x1 . x2 < 0
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 60
Mempunyai dua akar berlawanan (x2 = -x1) Syarat :
D > 0
x1 + x2 = 0 atau b = 0
Mempunyai dua akar berkebalikan (. x2 = ) Syarat :
D > 0
x1 . x2 = 0 atau c = 0
Contoh soal :
Tentukan nilai m supaya persamaan kuadrat x2 + (m-2)x + 2(m-2) = 0, mempunyai
dua akar.
Jawab :
x2 + (m-2)x + 2(m-2) = 0
Supaya terdapat dua akar haruslah :
D = b2 4ac > 0
(m-2)2 4.1.2(m-2) > 0
M2 4m + 4 8m + 16 > 0
M2 12m + 20 > 0
(m-2) (m-10) > 0
M < 2 atau m > 10
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 61
Lembar Kerja
Jawablah pertanyaan-perntanyaan berikut dengan singkat dan benar
1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan -2x + 4 < x 1
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
2. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan -2 < 4x + 1 < 2
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
3. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x 1 < 2x + 2 < 5
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 62
4. Tentukan penyelesaian dari 2x2 x 6 < 0
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
5. Tentukan penyelesaian dari (x-1)2 > 4x2
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
6. Tentukan penyelesaian dari 8x - x2 < x2 + 6
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
7. Tentukan nilai m supaya akar persamaan kuadrat dibawah ini nyata.
(m-1)x2 2x (3m + 1) = 0
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 63
8. Misalkan pada suatu hari suhu di Brastagi berkisar antara 100 c sampai 200 c,
tentukan kisaran suhu tersebut dalam skala Fahrenheit jika rumus konversi
Celcius ke Fahrenheit yaitu C = (F 32)
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
9. Pertidaksamaan 6x < 2x 8 dipenuhi oleh .....
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
10. Pertidaksamaan 4x 5 < 8x 1 dipenuhi oleh .....
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
11. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x2 < 16 adalah .....
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 64
12. Daerah yang diarsir pada garis bilangan dibawah ini dapat dinyatakan dengan ...
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
13. Pertidaksamaan 2x < 8 dan 4x > 8 senilai dengan ....
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
14. Jika -2x + 6 < x + 3 < 2x 6 maka ....
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
15. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x2 + x 15 > 0 untuk x R adalah ....
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 65
16. Jika A = { x | x2 2x < 0, x R} dan B = { x | x2 6x > 0, x R, maka A B =
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
17. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3x2 + 2x 1 < 0 dan 2x2 + x 3 < 0
adalah ........
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
18. Agar persamaan kuadrat x2 + (2m + 1) x + 9 = 0 mempunyai dua akar real yang
berbeda, nilai m yang memenuhi adalah ....
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
19. Bila akar-akar persamaan kuadrat x2 2ax + a + 2 = 0 tidak sama tandanya,
maka .....
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
______________________________________________________________
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 66
20. Supaya persamaan x2 + ax + a = 0 mempunyai dua akar berlainan, harga a harus
memenuhi ....
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
21. Nilai terbesar x agar x - > + adalah ....
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
22. Jika persamaan x2 ax + 4 = 0, akar-akarnya tidak real, maka harga a yang bulat
membentuk himpunan .........
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
23. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2(x-1)2 < (4x 3)x 4 adalah ......
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 67
24. Agar pertidaksamaan 4x2 + 9x + a2 > 9 dipenuhi oleh semua nilai real x, maka :..
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
25. Jika dalam persamaan cx2 bx - c = 0 diketahui c > 0, maka kedua akar
persamaan ini.
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
26. Agar (3m + 1) x2 4 (m + 1) x + m > -4 untuk setiap x real, maka haruslah .....
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
27. Suatu perusahaan memproduksi pensil 2B computer, diperkirakan bahwa untuk
harga pensil tersebut adalah x per batang, rumus biaya setiap hari C dan
pendapatan R, ditentukan dengan rumus : C = 400.000 300x ; R = 1000x - x2
maka keuntungan akan diperoleh jika harga pensil antara ....
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 68
28. Himpunan semua nilai x yang memenuhi 2 + x - x2 > 0 dan 3x - x2 < 0 adalah ...
Jawab :
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
C. Pertidaksamaan Pecahan Bentuk Umum Pertidaksamaan Pecahan :
( )( )xgxf 0, g(x) 0 ( )( )xg
xf > 0, g(x) 0
( )( )xgxf 0, g(x) 0 ( )( )xg
xf < 0, g(x) 0
Cara menyelesaikan pertidaksamaan pecahan :
( )( )xgxf > 0, maka f(x) . g(x) > 0 dengan g(x) 0
( )( )xgxf < 0, maka f(x) . g(x) < 0 dengan g(x) 0
Contoh Soal 4.1 :
1. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 172
+
xx 1 ; x 1
Jawab :
172
+
xx 1
172
+
xx - 1 0
172
+
xx - ( )
11
=
xx 0
1172
++
xxx
0
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 69
18
+
xx
0
(x + 8) (x 1) 0
x = -8, x = 1
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah -8 x < 1
2. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 78
32 +
xx
x > 0
Jawab :
783
2 +
xxx > 0
( )( )713
xx
x > 0
(x 3) (x 1) (x 7) > 0
x = 3, x = 1, x = 7
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 1 < x < 3 atau x > 7
D. Pertidaksamaan Irrasional Pertidaksamaan bentuk akar disebut pertidaksamaan irrasional.
Cara menyelesaikan pertidaksamaan irrasional.
Setiap bilangan dibawah tanda akar haruslah positif atau sama dengan nol.
Kedua ruas kuadratkan.
Contoh Soal 4.1 :
1. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 12 x < 3
Jawab :
12 x < 3 (dikuadratkan)
2x 1 < 9
2x < 10
x < 5
syarat yang harus dipenuhi :
2x 1 0
2x 1
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 70
x 21
Maka penyelesaian yang memenuhi adalah irisan dari x < 5 dan x 21
E. Pertidaksamaan Harga Mutlak Harga mutlak dari x ditulis x didefinisikan : Jika x R maka x = x, jika x 0 -x, jika x < 0 Sifat sifat harga mutlak. Untuk x R, a R dan a > 0 berlaku ; x < a maka a < x < a x a maka a x a x > a maka x < -a atau x > a x a maka x -a atau x a
Contoh Soal 4.1 : 1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 5x + 2 > 7
Jawab : 5x + 2 > 7 atau 5x + 2 > 7 5x + 2 > -7 5x > 5 5x < -9 x > 1
x < 59
Jadi, Hp = { xx < 59 atau x > 1, x R}
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 71
Latihan 4.2 :
1. Tentukan himpunan penyelesaian 7-x
5 > 5x
7+
.
Jawab :
2. Tentukan himpunan penyelesaian 1x2x
1-x2 ++
0
Jawab :
3. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 6xx1x2x
2
2
++ 0
Jawab :
4. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1 -x
x 2 < 1 -x2-x3 + 2
Jawab :
5. Tentukan himpunan pertidaksamaan 3-x < 1x2 +
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 72
6. Tentukan himpunan pertidaksamaan 2x-x4 < 2x + .
Jawab :
7. Tentukan himpunan pertidaksamaan x3 x 1.
Jawab :
8. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 2 - x > 4.
Jawab :
9. Tentukan penyelesaian dari 2-x1x + < 1.
Jawab :
10. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan x - 22 < 4 x - 2+ 12.
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 73
11. Semua nilai yang memenuhi pertidaksamaan x
1 -2x < adalah .....................
Jawab :
12. Pertidaksamaan 1-x72x + 1 dipenuhi oleh ..................
Jawab :
13. Jika 7 -x
5 > 5x
7+
maka
Jawab :
14. Jika 2-x
1 > 31 maka
Jawab :
15. Himpunan semua nilai x yang memenuhi x
2-3x x adalah .................
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 74
16. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 5x6x
6-2x2 +
< 0 adalah ................
Jawab :
17. 6-x24x3 -x52x
2
2
++ < 0 berlaku untuk .................
Jawab :
18. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 4-6x
4- 3xx 2 < 0 adalah ................
Jawab :
19. 2x3x
32 +
< 3x4x
52 +
berlaku untuk ...............
Jawab :
20. Pertidaksamaan 13
+
xx < x dipenuhi oleh ..................
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 75
21. Nilai x yang memenuhi x73+ > 1 adalah ................
Jawab :
22. Nilai x R yang memenuhi 2x - 5 < 1 adalah .................
Jawab :
23. Nilai nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x - 22 > 4x - 2+ 12 adalah ......
Jawab :
24. Jika 2x - 1
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 76
26. Jika 2x < 3 maka ..................
Jawab :
27. Sebuah bilangan positif x memenuhi pertidaksamaan x < 2x jika dan hanya jika ...
Jawab :
28. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x > 6+x , x R adalah ...................
Jawab :
29. Nilai nilai x yang memenuhi x + 2 > 210 x adalah .................
Jawab :
30. Jika 442 + xx - 2x + 3 0, maka ...................
Jawab :
-
Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 77
DAFTAR PUSTAKA Collins, William. 2000. Mathematics : Applications and Connections. USA : Mc
Graw Hill. Depdiknas 2003. Kurikulum Berbasis Kompetensi, Mata Pelajaran Matematika SMA/MA. Jakarta : Pusat Kurikulum - Badan Penelitian dan Pengembangan Departemen Pendidikan Nasional. Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. 1979. Matematika 7, 8, 9,10,11,12 dan 12A
Untuk SMA. Jakarta : Depdikbud. Depdibud, Soal - Soal Evaluasi Belajar Tahap Akhir Nasional I / UAN Tahun 1994 Sampai Tahun 2003. Depdikbud Dirjen Pendidikan Tinggi, Soal-Soal UMPTN / SPMB Tahun 1987 Sampai dengan Tahun 2003. Kadir,.Abdul. M, Dis. 1984. Matematika Untuk SMA. Jakarta : Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. Nasution. AH, dkk. 1993. Matematika Untuk Sekolah Menengah Umum Kelas 1. Jakarta : Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Spiegel, Murray. R. 1986. Matematika Dasar. Jakarta : Erlangga Simangunsong, Wilson 1997. Soal dan Penyelesaian Matematika Dasar (Kiat Sukses UMPTN). Jakarta : Gematama. Sembiring, Suwali. 2002. Olimpiade Matematika Untuk SMU. Bandung : Yrama Widya. Wirodikromo, Sartono. 1997. Matematika Untuk SMU Jilid 1 9 Jakarta: Erlangga