modul pembelajaran - · pdf filesehingga modul pembelajaran matakuliah analisis variabel...
TRANSCRIPT
MODUL PEMBELAJARAN ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS 2/22/2012 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI
IDENTITAS MAHASISWA
NAMA : …………………………………
NPM : …………………………………
KELOMPOK : …………………………………
DAFTAR ISI
Kata Pengantar ……………………………………………………………………………………………
Daftar Isi ……………………………………………………………………………………………………
BAB I Bilangan Kompleks
A. Sistem Bilangan Kompleks ……………………………………………………………………5
B. Geometri Bilangan Kompleks…………………………………………………………………12
BAB II Fungsi Peubah Kompleks
A. Fungsi Peubah Kompleks …………………………………………………………………….17
B. Fungsi Elementer ………………………………………………………………………………18
BAB III Turunan Fungsi Peubah Kompleks ………………………………………………………20
BAB IV Pengintegralan Fungsi Peubah Kompleks ……………………………………………..22
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmatnya
sehingga modul pembelajaran matakuliah Analisis Variabel Kompleks ini selesai disusun. Modul
ini digunakan sebagai salah satu media pembelajaran guna menunjang terlaksananya proses
perkuliahan matakuliah Analisis variable kompleks
Mata kuliah Analisis Variabel Kompleks diberikan kepada mahasiswa jurusan
pendidikan matematika setelah mereka menyelesaikan matakuliah prasyarat yaitu kalkulus I
dan kalkulus II . Mata kuliah analisis variable kompleks ini merupakan lanjutan dari matakuliah
kalkulus yang sudah ditempuh mahasiswa pada semester sebelumnya.
Di dalam modul pembelajaran ini terdapat kilasan materi prasyarat, materi yang dibahas,
contoh soal, latihan soal, kegiatan diskusi, dan peta konsep yang dapat memudahkan
mahasiswa memahami keterkaitan antar materi. Modul ini bukan satu-satunya media untuk
belajar bagi mahasiswa, sehingga diharapkan didampingi dengan buku teks, handout, dan
sumber lain yang relevan.
Kritik dan saran yang membangun penulis harapkan dari berbagai pihak demi perbaikan
untuk penyusunan modul berikutnya.
Malang, Februari 2012
Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
A. SISTEM BILANGAN KOMPLEKS
Pada bagian ini akan dijelaskan tentang bilangan kompleks yang merupakan
perluasan dari system bilangan real. Munculnya bilangan kompleks ini dikarenakan
muncul beberapa permasalahan misalnya penyelesaian dari persamaan
yang bukan merupakan anggota dari bilangan real. Oleh karena itu diperlukan
bilangan baru yang dinamakan bilangan kompleks
Misalkan maka adalah bagian riil dari dan adalah bagian khayal
dari dan berturut-turut dinyatakan dengan dan . Bilangan kompleks
disebut bilangan imajiner/khayal murni jika dan . Sedangkan
jika dan maka disebut satuan imajiner/khayal. Kompleks
sekawan atau kawan dari bilangan kompleks adalah bilangan .
Kompleks sekawan suatu bilangan kompleks dinyatakan dengan
Coba diskusikan,
1. Bagaimana jika ?
2. Apakah setiap bilangan real memuat bilangan kompleks? Apakah berlaku
sebaliknya? Jelaskan!
DEFINISI 1.1
Bilangan Kompleks adalah bilangan yang berbentuk dengan dan
adalah satuan khayal dengan
Diskusi
BILANGAN KOMPLEKS
Bentuk operasi dengan bilangan kompleks dapat dikerjakan seperti pada aljabar bilangan
dengan menggantikan bilamana ia muncul.
OPERASI-OPERASI DASAR BILANGAN KOMPLEKS
1. Penjumlahan
2. Pengurangan
3. Perkalian
4. Pembagian
Himpunan semua pasangan terurut dengan operasi tertentu yang sesuai didefinisian
sebagai system bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks tersebut dinotasikan dengan
Buktikan teorema 1.1 dengan menggunakan sifat-sifatt operasi dasar bilangan kompleks yang
sudah Anda pahami!
TEOREMA 1.1
Sistem bilangan kompleks merupakan suatu lapangan (field) sehingga
mempunyai sifat komutatif, assosiatif, distributive perkalian terhadap penjumlahan,
mempunyai unsur identitas, dan mempunyai unsure balikan/invers
Diskusi
Operasi konjuget (bilangan kompleks sekawan) pada system bilangan kompleks
disajikan pada teorema berikut.
Buktikan teorema 1.2 dengan menggunakan sifat-sifat bilangan kompleks sekawan dan operasi
dasar bilangan kompleks yang sudah Anda pahami!
TEOREMA 1.2
Diberikan bilangan . Operasi konjuget pada system bilangan kompleks
antara lain sebagai berikut.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Diskusi
1. Nyatakan dalam bentuk
a.
b.
c.
2. Buktikan bahwa hasil kali dua bilangan kompleks sama dengan nol jika dan
hanya jika paling sedikit satu dari dua bilangan itu adalah nol
Latihan Soal
B. GEOMETRI BILANGAN KOMPLEKS
Bilangan kompleks dapat dikaitkan dengan titik di bidang
datar dan sebaliknya. Dalam prakteknya antara bilangan kompleks dan
titik tidak dibedakan, sehingga dapat menyatakan bilangan dengan titik
. Dalam hal ini bidang datar tersebut diberi nama bidang kompleks atau
bidang . Sumbu dan sumbu masing-masing disebut sumbu real dan sumbu
imajiner. Selain itu, bilangan kompleks dapat pula dipandang sebagai
vector pada bidang datar yang berpangkal di titik pusat dan berujung pada titik
. Argumen yang kemudian ditulis dengan didefinisikan sebagai salah
satu sudut yang manapun yang dibentuk oleh vector dengan sumbu nyata positif.
Sehingga adalah suatu sudut sedemikian rupa sehingga dan
Bilangan kompleks pada bidang kompleks dapat digambarkan
seperti di bawah ini
Gambar 1.1
Sumbu Imajiner
1. Carilah sehingga dan
2. Carilah sehingga dan
Latihan Soal
Carilah sifat-sifat yang lain dari , kemudian buktikan sifat-sifat tersebut!
SIFAT-SIFAT
Untuk setiap dua bilangan kompleks dan , berlaku sifat-sifat berikut:
1.
2.
Diskusi
Argumen bilangan kompleks bukanlah besaran yang tunggal. Setiap
mempunyai takhingga banyaknya argumen yang berbeda antara satu dengan yang
lain dengan kelipatan . Dengan demikian argument suatu bilangan kompleks
didefinisikan
Sebarang bilangan kompleks dapat ditulis dalam bentuk
yang sering ditulis dengan dan bentuk kutub
bilangan kompleks
A. FUNGSI PEUBAH KOMPLEKS
Definisi fungsi kompleks mirip dengan definisi fungsi real, yaitu dengan
menggantikan peubah bebas dengan dan peubah tak bebas dengan . Suatu
lambang misalnya yang dapat mempunyai arti sesuatu unsur dari suatu himpunan
bilangan kompleks dinamakan suatu peubah kompleks.
Jika pada setiap nilai yang merupakan suatu peubah kompleks dapat
diandaikan terdapat satu atau lebih nilai peubah kompleks , kita mengatakan
bahwa adalah suatu fungsi dari dan ditulis atau . Peubah
dinamakan suatu peubah bebas sedangkan dinamakan peubah tak bebas. Nilai
suatu fungsi di ditulis . Jadi jika , maka
Dalam fungsi kompleks itu terdapat fungsi bernilai tunggal dan fungsi bernilai
banyak. . Jika hanya satu nilai dikaitkan pada setiap nilai dari , kita mengatakan
bahwa adalah suatu fungsi bernilai banyak dari .
Contoh fungsi bernilai tunggal adalah dengan
FUNGSI PEUBAH KOMPLEKS
DEFINISI 2.1 (Fungsi Bernilai Tunggal)
Diberikan himpunan dan . Fungsi kompleks bernilai tunggal
adalah suatu aturan yang memasangkan setiap dengan tepat
satu yang dinotasikan dengan
Contoh: .
B. FUNGSI ELEMENTER
Selanjutnya akan dibicarakan berbagai macam fungsi elementer. Dasar
permbicaraan yang digunakan adalah memperluas fungsi elementer real yang
telah dikenal dalam kalkulus sehingga berlaku untuk fungsi kompleks.
Fungsi Linear
Fungsi yang berbentuk dengan disebut fungsi linear. Jika
dan , fungsi disebut fungsi konstan, jika disebut
fungsi identitas.
Fungsi Bilinear
Fungsi yang berbentuk dengan bilangan bulat tak
negative dan konstanta kompleks disebut fungsi suku banyak. Jika
dan adalah fungsi suku banyak, maka fungsi yang berbentuk
DEFINISI 2.2 (Fungsi Bernilai Banyak)
Diberikan himpunan dan . Fungsi kompleks bernilai banyak
adalah suatu aturan yang memasangkan setiap dengan
paling sedikit satu dan terdapat yang di dua pasangkan dengan
paling sedikit dua
disebut fungsi rasional. Jika dan ,
maka fungsi rasional
dan disebut fungsi bilinier
Fungsi Eksponen
Fungsi yang berbentuk disebut fungsi eksponen. Fungsi
eksponen dapat ditulis dalam bentuk
Pada bagian ini dibicarakan definisi fungsi kompleks yang pembahasannya serupa dengan
definisi turunan untuk fungsi real yang telah dikenal baik pada kalkulus. Oleh karena itu, akan
dimulai dengan turunan fungsi kompleks di satu titik yang sudah disajikan pada definisi berikut
Misalkan maka , maka didefinisikan sebagai berikut.
TURUNAN FUNGSI PEUBAH KOMPLEKS
DEFINISI 3.1
Diberikan fungsi terdefinisi pada dan . Turunan fungsi di
Didefinisikan dengan
Jika limit ini ada
DEFINISI 3.2
Diberikan fungsi terdefinisi pada . Turunan fungsi di pada
Didefinisikan dengan
Jika limit ini ada
Latihan soal
Misalkan fungsi terdefinisikan dengan , carilah
Sebelum mempelajari pengintegralan kompleks, terlebih dahulu diperkenalkan konsep
dasar yang akan dipergunakan dalam pengintegralan kompleks. Konsep-konsep topologi
elementer seperti kurva mulus, lintasan dan orientasi suatu lintasan; definisi dan cara-cara
menghitung integral garis yang merupakan dasar dalam penghitungan integral kompleks.
LINTASAN
Kurva di bidang datar dapat dinyatakan dalam bentuk parameter yaitu:
dengan dan ,
dan kontinu pada . Kurva disebut kurva mulus jika dan kontinu pada selang
tertutup
bagian jika di dalam dan berlaku dan kontinu bagian demi bagian pada
. Kurva mulus bagian demi bagian disebut lintasan
INTEGRAL GARIS
Misalkan , adalah kurva mulus dan permukaan terbatas
yaitu paling sedikit terdefinisi pada kurva . Kontruksi integral garis
1. Buatlah partisi untuk selang dengan titik pembagian
2. Kurva terbagi atas bagian yaitu
3. Pilih
4. Definisikan
5. Tentukan
PENGINTEGRALAN FUNGSI PEUBAH KOMPLEKS
Jika limit ini ada, maka terintegralkan pada . Dalam kasus terintegralkan pada ,
integral garis dari pada didefinisikan dengan
Tuliskan sifat-sifat