modulo 1 reales

7/23/2019 Modulo 1 Reales

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CURSO DE NIVELACIN

Apunte terico - prctico

Mdulo 1: Nmeros Reales


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1

NMEROS REALES

Teora de conjuntos

Se define a unconjuntocomo una coleccin de elementos. Para describir qu tipo de elementospertenecen al conjunto existen dos maneras: por extensin y por comprensin. Supongamos que loselementos del conjunto Ason el nmero 2, el nmero 4 y el nmero 6, entonces,

Por extensin: Un conjunto se describepor extensincuando se escriben explcitamente todos

los elementos que conforman el conjunto entre llaves y separados por comas (o punto y coma).En este caso el conjunto Adescrito por extensin sera:

A={2, 4, 6}

Por comprensin: Un conjunto se describe por comprensincuando se escriben, entre llaves,una relacin entre los elementos del conjunto. Por ejemplo:

A={x/ x espary2x6}esto se lee el conjunto A es igual a todos los x tales que x es un nmero par y es mayor oigual que 2 y menor o igual que 6 .

Supongamos ahora que el conjuntoB tiene infinitos elementos, y que sus elementos son los nmerospares mayores o iguales a 2. Slo podemos escribir al conjunto B por comprensinya queresulta imposible escribir a todos sus elementos.

B ={2, 4, 6, . . .}En algunos casos, se puede escribir un conjunto infinito de forma abreviada:


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2

B ={x/ x espar yx2}Pero esto slo es posible cuando la secuencia de nmeros representada por los puntos suspensivos

no resulta ambigua.

Ejemplos:

A={1, 2, 3, 4}B ={Argentina,Peru, Bolivia,Chile}C={x / xes una letra del abecedario}D=

{A , B , C

}dondeA, B yCson los conjuntos anteriores

Cuando un conjunto carece de elementos se llama conjunto vacoy se simboliza del siguientemodo:

C={}= Es importante notar que el smbolo no se escribe entre llaves. Si escribimos, por

ejemplo, D ={}, estamos diciendo que el conjunto D tiene como nico elemento al conjuntovaco (por lo tanto D=).

Para expresar que un determinado elemento pertenece (o no pertenece) a un conjunto dado

utilizamos la siguiente notacin:

2A, se lee : 2 pertenece al conjunto A

5 /A, se lee : 5 no pertenece al conjunto AAnlogamente diremos que un conjunto B est incluido en el conjunto A si y slo si

todos los elementos de B pertenecen a A, es decir:

BA xB, xASi B no est incluido en Aescribiremos, BA.En la ltima ecuacin hemos utilizado el smbolo. Veamos su significado y el del smbolo

=que nos ser muy til.A B significa: A es verdadera si B es verdadera y Aes falsa si B es falsa. Se lee: si yslo si; sii.

A = B significa: si A es verdadero entonces B es verdadero tambin; si B es verdaderoentonces nada se dice sobre A. Se lee: implica; entonces; por lo tanto.


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3

EjercicioDados el conjunto A={1, 2, 3, {3, 4}, a, {a, c}}determina cules de las siguientes afirmaciones

son verdaderas.

a) 3Ab){3} Ac){a, c} Ad)

A

e){3, 4, a} A

Operaciones entre conjuntos

Interseccin: El conjunto Ainterseccin C es el conjunto tal que sus elementos pertenecen aAy a C, en smbolos es:

A C={x/ xA y xC} (1)Y su representacin con diagramas de Venn es:

Una manera de simbolizar los conjuntos y las operaciones entre ellos es a travs de diagramasde Venn. En esta caso la interseccin entre dos conjuntos cualesquiera A y Ces la reginsobreada de la siguiente figura:

Unin: El conjunto Aunin C es el conjunto tal que sus elementos pertenecen a Ao a C, ensmbolos es:


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4

A C={x/ xA o xC} (2)Y su representacin con diagramas de Venn es:

EjercicioSean A, B y Ctres conjuntos cualesquiera. Hall los siguentes conjuntos utilizando diagramas

de Venn

a) A Cb) C

B

c) A B Ce) (A B) Cf) A (B C)

Conjuntos de Nmeros

Nmeros Naturales, N: Son los nmeros que se utilizan para contar 1

N ={1, 2, 3, . . .}En este curso consideraremos que el nmero cero no est incluido en el conjunto de nmerosnaturales. En el caso de incluirlo usaremos la siguiente notacin:

1Pods encontrar una curiosidad sobre los nmeros naturales aqu:http : //www.youtube.com/watch?v =Rwum6X1Kfc


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5

N0= N {0}

Nmeros Enteros, Z: este conjunto est conformado por los nmeros naturales, sus correspon-dientes negativos y el cero:

Z ={. . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .}Nmeros Racionales, Q: El conjunto de los nmeros racionales se define a partir del cociente

entre dos nmeros enteros, esto es:

Q ={x/ x= pq

, p Z, q Z y q= 0}

a pse lo llamanumeradory a qse lo llama denominadorde la fraccin pq .

Ejemplo:Los siguientes son nmeros racionales:

2

3

4

2

10

8

262

1

15

10

0

15847

89654

1452147

Esta definicin incluye a los nmeros enteros ya que si q= 1tendremos que:

p

q =

p

1=p, yp Z

Por lo tanto, Z Q.Los nmeros fraccionarios, F, son aquellos nmeros racionales que no son enteros.

F = Q

Z

Los nmeros racionales se pueden escribir como una fraccin o como un nmero decimal. Elnmero decimal cosrrespondiente a un nmero racional escrito de la forma p/q es igual alresultado de dividir el numerador por el denominador. Por ejemplo, la fraccin 1/2 es igualal nmero decimal 0,5; 1/4 = 0,75; 3/2= 1,5.

Existen casos en que el resultado de la divisin del numerador por el denominador da unnmero con infinitos decimales que se repiten con una secuencia determinada. Por ejemplo,13

= 0,33333333..., 833

= 0,252525..., 29966

= 4,53030303030....A estos nmeros decimales de los


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llama peridicos. La notacin que suele utilizarse para las cifras que se repiten es la siguiente:0,33333333...se escribe 0.3, del mismo modo 0,252525...= 0.25y 4,5303030...= 4,530.

Hay que tener en cuenta que cuando decimos que un nmero tiene infinitos decimales estamosexcluyendo el caso de tener infinitos ceros, ya que todos los nmeros decimales se puedenescribir con infinitos ceros a la derecha. Por ejemplo, 0,5 = 0,500 = 0,5000000000 = 0,50.

Ejercicio

Cules de los siguientes nmeros racionales son fraccionarios:

2

3

4

5

10

3

262

1

15

10

0

15847

1

2

12

9

229

90

Cmo pasar un nmero decimal a fraccin

La estrategia que utilizaremos para poder hacer el pasaje a fraccin va a depender de lacantidad (finita o infinita) de decimales que tenga el nmero. Vamos a explicarlas con algunosejemplos.

Ejemplo 1:Nmeros con finitos decimales

Para pasar un nmero con finitos decimales a fraccin (una divisin de nmeros enteros)hacemos lo siguiente: seanel nmero decimal, para obtener su equivalente como divisin deenteros multiplicamos y dividimos a n por la unidad seguida de cero correspondiente a lacantidad de decimales. Es decir que sin tiene un decimal multiplicamos y dividimos por 10,si tiene dos decimales multiplicamos y dividimos por 100, y as siguiendo.


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7

Ejemplo 1a:Sean= 1,56 entonces:

1,56 = 1,56100

100=

1,56 100100

=156

100

Ejemplo 1b:Sean= 12,328

12,328 = 12,3281000

1000=

12328

1000

Ejemplo 2:Nmeros peridicos

Pasar un nmero peridico a fraccin es un poco ms complicado.

Ejemplo 2a:Tomemos el nmero peridicon = 1, 3y multipliqumoslo por 10, esto es10 n= 13, 3, luego, para deshacernos de la parte peridica, hacemos la resta:

10 n n= 13, 3 1, 3Ahora, teniendo en cuenta que13, 3 = 13 + 0, 3 y1, 3 = 1 + 0, 3 resulta que:

10 n n= 13, 3 1, 3 = 13 + 0, 3 (1 + 0, 3) = 13 +0, 3 10, 3 = 12Luego, como10 n

n= 9 nencontramos que:

9 n= 12

Finalmente, despejandonencontramos su expresin como divisin de enteros

n=12

9

Ejemplo 2b: Tomamos n = 2,54, entonces siguiendo una idea similar a la anteriorhacemos la resta:

100 n 10 n= 254, 4 25, 4 = 254 25Luego, teniendo en cuenta que100 n10 n= 90 ny despejandon de la relacin anteriorencontramos que:

n=254 25

90 =

229

90


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Ejercicio

Pas los siguientes nmeros racionales a fraccin:

a) 35,26

b) 0,0034

c) 12.2

d) 3.9

e) 50,025

f) 0,257

Nmeros Irracionales, I: Son lon nmeros que no pueden expresarse como un cociente de n-meros enteros. Por lo tanto tienen infinitos decimales no peridicos.2

Nmeros Reales, R: Es la unin del conjunto de los nmeros racionales y los irracionales:

R = QI

Esquemticamente, los conjuntos de nmeros pueden representarse del siguiente modo:

R

Q

Z

N

{0}Z

F

I

2Qu conjunto ser ms grande, el de los nmeros racionales o el de los irracionales? Puede ser que un con-junto sea ms grande que el otro, si ambos tienen infinitos elementos? Aqu pode encontrar una respuesta(http://www.youtube.com/watch?v=yX97MMWh944).
http://www.youtube.com/watch?v=yX97MMWh944http://www.youtube.com/watch?v=yX97MMWh944


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Intervalos

Los intervalos representan conjuntos infinitos de nmeros reales contenidos en un cierto rango.Los intervalos se representan por un par de nmeros que sern los que indiquen los extremos delrango. Para definir los distintos tipos de intervalos vamos a suponer que a y b son dos nmerosreales tales que a < b.

Intervalo abierto, (a, b): Es el conjunto de nmeros mayores que a y menores que b (noincluye a sus extremos), y se simboliza escribiendo los extremos (de menor a mayor) entreparntesis:

(a, b) ={x/ a < x < b} (3)Tambin puede representarse en la recta numrica, como se muestra a continuacin.

Intervalo cerrado, [a, b]:Es el conjunto de nmeros mayores o iguales que ay menores oiguales que b (incluye a sus extremos), y se simboliza escribiendo los extremos (de menor a

mayor) entre corchetes:

[a, b] ={x/ axb} (4)La representacin en la recta numrica es la siguiente:

Intervalo semiabierto o semicerrado, (a, b] [a, b): Es el conjunto de nmeros queincluye a uno de sus extremos, y se simboliza escribiendo los extremos (de menor a mayor)entre un parntesis y un corchete, el parntesis va en el extremo no includo en el conjunto yel corchete va en el que se incluye:

(a, b] ={x/ a < xb}[a, b) ={x/ ax < b} (5)


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10

La representacin en la recta numrica es, respectivamente:

Ejercicios

1. Representa en la recta numrica los siguientes conjuntos:

a) (1;4)b) (5; 17

2]

c) (2;6) [4;9,7]d) (

2;5] [3,2;7]

2. Expresa las siguientes desigualdades en notacin de intervalos y represntalos en la rectanumrica (El smbolo significa o, o sea, A B, se lee A o B, mientras que el smbolosignifica y, por lo tanto, A

B se lee: A y B. Luego en Algebra I vas a ver el significado

lgico de estas expresiones):

a){x / 0x < 34}

b){x / 3,1< x2}c){x / 2< x


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Suma Algebraica

Es una operacin que consiste en adicionar dos o ms nmeros. Cada uno de los nmeros quese suman se denominan trminos. Las propiedades de la suma algebraica son:

1. La suma es cerrada en R:

El significado de que la suma sea cerrada en el conjunto de los nmeros reales es que la sumade dos nmeros reales da como resultado otro nmero real. En smbolos es:

xR, x+y R (6)

2. Propiedad conmutativa:

x+y = y +x (7)

3. Propiedad asociativa:

(x+y) +z=x+ (y+z) =x+y+z (8)

4. Existencia de elemento neutro:

Dado cualquier nmero real x, existe un nmero real x0tal que la suma de ellos es igual a x.Esto se simboliza de la siguiente manera:

x R, x0/ x+x0 = x0+x= x (9)

En el caso de la suma el elemento neutro es el cero, x0 = 0.

5. Existencia del opuesto:

Dado cualquier nmero real x, existe un nmero realxtal que la suma de ellos es igual alelemento neutro,x0 = 0. En smbolos es:

xR, x R/ x+ (x) = (x) +x= x0 = 0 (10)

Se puede demostrar (utilizando la definicin del opuesto) queel opuesto del opuesto es elmismo nmero: (x) = x.

Es importante notar quex es el opuesto de x, pero de ningn modo podemos decir queesto significa que el nmerox es negativo. Es decir si x es un nmero positivo, x > 0,entonces su opuesto ser negativo,x


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12

Por esta razn la resta se puede pensar como la suma del opuesto: x ms el opuestode yes igual a restarle ya x. Es decir que:

x+ (y) =x y (12)

6. Propiedad cancelativa:

Esta propiedad es una consecuencia de la existencia del opuesto y del elemento neutro.

x+y = x+z y = z (13)

Esta propiedad permite cancelar un mismo trmino en ambos miembros:

x+y =x+z= y = zo agregarlo:

y=z= x+y = x+zLa propiedad cancelativa permite hacer pasaje de trminos en una igualdad.

x+y = z

P or propiedad de la igualdad

x+y+ (y) =z+ (y)

P or definicion del opuestox+ 0 =z y

P or definicion del elemento neutrox= z y

Mdulo o Valor Absoluto

Esta operacin se define de la siguiente manera: El mdulo de un nmero cualquiera es iguala dicho nmero si ste es positivo o cero, y es igual a su opuesto si es negativo.

El valor absoluto se denota poniendo dos lneas verticales a ambos lados del nmero. Una formasimblica de representar lo que acabamos de decir es:

|numero cualquiera|=

numero cualquiera si numero cualquiera0(numero cualquiera) si numero cualquiera


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13

Por ejemplo:|

2|= 2y

| 4|=

(

4) = 4.Una vez comprendida la idea del valor absoluto daremos su definicin formal:

|x|=

x si x0x si x


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14

4. Existencia del elemento neutro:

Dado cualquier nmero real x, existe un nmero real x0 tal que el producto entre ellos esigual a x. Esto se simboliza de la siguiente manera:

x R, x0/ x x0 = x0x= x (19)

En el caso del producto el elemento neutro es el uno, x0 = 1.

5. Existencia del recproco:

Dado cualquier nmero realx distinto de cero, existe un nmero realx1 tal que el producto

entre ellos es igual al elemento neutro, x

0= 1. En smbolos es:

x R {0}, x1 / x x1 =x1 x= x0 = 1 (20)

Notemos que no existe el recproco del cero, ya que cualquier nmero multiplicado porcero es igual a cero.

Ms adelante veremos que se puede escribir que x1 = 1x

. De este modo se puede definirel cociente entre xe y, x

y, como el producto entre xy el recproco de y (siempre

que y = 0):

x y1 =x1

y =

x

y (21)

Es importante observar que la divisin por cero no est definida

De acuerdo a la definicin dada para el recproco de un nmero real tenemos que:

El recproco del elemento neutro es el elemento neutro:

1 =1

1 (22)

El recproco del recproco es el mismo nmero:

11

x

=x, xR {0} (23)El producto de los recprocos es el recproco del producto:

1

x

1

y =

1

xy (24)


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15

6. El producto de cualquier nmero por cero es cero.

xR, x 0 = 0 x= 0 (25)Notemos que si en la propiedad 5 no hubisemos excluido el cero, tendramos una contradiccinentre las propiedades 5 y 6. Por esta razn es quecero sobre cero est indeterminado,y por esta razn nunca lo escribimos.

7. Propiedad cancelativa:

Esta propiedad es una consecuencia de la existencia del inverso y del elemento neutro.

x= 0, x y = x z y=z (26)Por lo tanto, esta propiedad permite agregar o cancelar un factor distinto de cero en ambosmiembros:

x= 0, x y = x z= y=zy = z= x y=x z,x= 0

Si ese factor fuese cero tendramos un absurdo:

0 3 = 0 258 3 = 258La propiedad cancelativa es la que permite el pasaje de factores en una igualdad:

x y=z

P or propiedad de la igualdad

x y1

y =z

1

y

P or definicion del reciproco

x 1 =z1y

P or definicion del elemento neutro

x= z1

y

8. Regla de los signos:

Sean ay b dos nmeros reales y positivos:


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a b= ab >0a b= a (b) =ab 0(27)

Coloquialmente uno recuerda esta regla como ms por ms es ms; ms por menos es menos;menos por ms es menos; y menos por menos es ms. es necesario aclarar que nuncase multiplican los smbolos de la suma o de la resta, se multiplican los nmerospositivos o negativos.

Debido a la segunda igualdad (y a la existencia del elemento neutro), resulta que el opuesto

de cualquier nmero real se puede escribir como dicho nmero multiplicado por1:x= (1) x (28)

Como dijimos que la divisin se puede expresar como un producto, esta regla tambin esvlida para el cociente de nmeros reales.

Para poder lograr un mejor entendimiento de esta regla de signos hemos introducido, en lalectura adicional Menos por menos es ms ... Seguro? , un texto de Adrin Paenza 4. dondese explica esta regla.

9. Distribucin con respecto a la suma:

x (y+z) =x y+x z (29)

El producto es distributivo con respecto a la resta ya que la resta la podemos escribir comola suma del opuesto:5

x (y z) =x (y+ (z)) =x y+x (z) =x y x z (30)

4Adrin Arnoldo Paenza (n. Buenos Aires, 9 de mayo de 1949) es licenciado y doctor en ciencias matemticaspor la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales (UBA). Una de sus actividades consiste en la divulgacin de lamatemtica. Entre otras cosas se pueden encontrar los libros de la coleccin Matemtica. . . ests ah?. Buscalosenhttp://cms.dm.uba.ar/material/paenza.

5Otra manera de pensar el producto y la aplicacin de esta propiedad la pueden encontrarAqu(http://www.youtube.com/watch?v=5JtliQVoOZo&feature=related).
http://cms.dm.uba.ar/material/paenzahttp://cms.dm.uba.ar/material/paenzahttp://www.youtube.com/watch?v=5JtliQVoOZo&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=5JtliQVoOZo&feature=relatedhttp://cms.dm.uba.ar/material/paenza


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Suma y producto de fracciones

Aqu vamos a ver en detalle cmo se aplican las propiedades de la suma y del producto a laoperacin con nmeros racionales. Sean a, b, cy dnmeros enteros y los consideraremos no nuloscuando sean denominadores.

1. Suma de fracciones:

Cuando las fracciones tienen el mismo denominador tendremos que (en este caso b= 0):

a

b+

c

b=

a+c

b (31)

La forma de operar para llegar al resultado anterior es:

a

b+

c

b=a

1

b+c

1

b = (a+c)

1

b =

a+c

b

En el caso en que las fracciones no tengan el mismo denominador hay que llevar las fraccionesa fracciones equivalentes6 para obtener igual denominador. Esto es lo que conocemos comosacar denominador comn.

a

b +

c

d =

a d+c b

b d (32)

donde b= 0y d= 0. La forma de operar en este caso es:

a

b+

c

d=

a

b1 +

c

d1 =

a

b

d

d+

c

d

b

b=

a d

b d+

c b

d b=

a d+c b

b d

En general conviene elegir como denominador comn el mnimo comn mltiplo7 de los de-nominadores.

6Dos fracciones son equivalentes cuando representan al mismo nmero. Por ejemplo 0,5 = 1

2 =

2

4 =

1000

2000.

7El mnimo comn mltiplo de dos nmeros es el menor nmero que sea simultneamente mltiplo de ambos.


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Ejemplo:Supongamos que cortamos una pizza en 8 porciones iguales. La pizza completa lapodemos representar numricamente como

1 =8

8

Es decir, que de las ocho porciones, tenemos 8. Supongamos ahora que nos comemos 3 por-ciones y despus de un buen rato nos comemos otras 2 porciones. En total nos comimos 5porciones, si hacemos la cuenta tendremos

38 + 28 = 3 + 28 = 58

Ahora supongamos que nos comemos adems la mitad de una de las porciones. Esta mediaporcin equivale a cortar la pizza en 16 porciones iguales y comernos una de estas porciones,entonces en total nos hemos comido

5

8 +

1

16 =

5

8

2

2 +

1

16 =

10

16 +

1

16 =

10 + 1

16 =

11

16

Por lo tanto nos comimos once dieciseisavos de pizza.

2. Opuesto de una fraccin:

El opuesto de una fraccin puede escribirse de distintas maneras siguiendo la regla de lossignos. Sea b= 0

a

b

=

ab

= a

b =

a1

b

= (

a)

1

b =a1b

= a1

b =a

1

b = (1)a

b

(33)

3. Producto de fracciones:

Se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador.

a

b

c

d=

a c

b d (34)


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donde b= 0 y d

= 0. En este caso las operaciones que hicimos para obtener el resultado

anterior son

a

b

c

d=

a

1

b

c

1

d

= (a c)

1

b

1

d

= (a c)

1

b d

=

a c

b d

4. Racproco de una fraccin:

1

a

b=

b

a (35)

con a= 0y b= 0.

1ab

= 1a 1

b

=1

a

11b

=1a

b = b

a

5. Divisin de fracciones:

Es lo que se conoce como extremos con extremos y medios con medios.

ab cd = a db c (36)

Los extremos seran ay d, mientras que los medios seran by c(b= 0,c= 0yd= 0).ab

cd

= a 1bc 1d

=a1

b

1

c

11d

=a 1b c

d =a d

b c

6. Simplificacin de fracciones:

La simplificacin es una divisin encubierta . La operacin consiste en descomponer el

numerador y el denominador en factores y efectuar aquellas aquellas divisiones que tienenigual numerador y denominador.


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20

Ejemplo:Tomemos la fraccin 106

10

6 =

2 . 5

3 . 2=

2

2

5

3= 1

5

3=

5

3

De este modo, al simplificar, obtenemos una fraccin equivalente, esto significa que: 10 dividido6, es igual 5 dividido 3.

Lo que generalmente se hace para abreviar el clculo es tachar el numerador y el denominadory poner arriba de cada uno el resultado de la divisin por el factor comn. En este ejemploel factor comn es 2, entonces dividimos al numerador y al denominador por 2.

5

10

3

6

=5

3

Es importante ver que slo se pueden simplificar los factores del numerador con

los del denominador. No se pueden simplificar trminos y tampoco se pueden

simplificar factores nulos.

Ejercicio

Encuentra, si existen, los errores en los siguientes clculos

a) 10

6 =

2 + 2 +2 + 2 + 2

2 . 3 =

8

3

b) 18

10 + 2=

2 . 9

2 . 5 + 2=

9

5 + 2=

9

7

c) 3 . 4

12 =

3 .4

3 .4= 0

d) 15

25=

0

15

10

25=

0

10

e) 15

25=

3

15

5

25=

3

5

f) a (a+b)

b (a+b) =

a (a+b)

b (a+b) =

a

b


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21

g)

a (a+b)

b (a+b) =

a(a+b)

b(a+b) =

a

b

h) a (a b)

b (b a) =a

(a b)b

(b a) =a

b

Factorial:

Es una operacin definida para los nmeros naturales. Sea nN, entonces el factorial de nse

define como

n! =n (n 1)(n 2)(n 3) . . . 3 . 2 . 1 (37)de aqu se puede ver que:

n! =n (n 1)! (38)Para que esta expresin sea vlida tambin para n= 1se define que:

0! = 1 (39)

EjercicioCalcula aplicando propiedades, sin utilizar calculadora:

a)

3

5

.

2 5

2

+

1

9 5

12

1

6

=

b)

0,6 (0,3) + 0,3 13

10

0,5 .15

30 =

c) (1 0, 6) . 0, 3 (1 0, 5) =

d)| 5| + 4

10

(| 2,5|) =e)

100!

99!99

0! 14 + 2

2 . 8 =


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22

Potenciacin

Esta operacin se define de la siguiente manera. Sean x Ry nN(n= 0),x a la potencia n(oxelevada a la n), xn, se define como:

xn =x.x . . . x nveces

(40)

y se dice que x es la basede la potencia, y n es el exponente. De esta definicin surge que:

Cero elevado a cualquier potencia es igual a cero.

0

n

= 0 (41)Uno elevado a cualquier potencia es igual a uno.

1n = 1 (42)

Propiedades:Siempre consideraremos bases reales y exponentes naturales.

1. La potencia es distributiva con respecto al producto y al cociente

(x y)n = xn ynx

y

n=

xn

yn

(43)

Las demostraciones son las siguientes

(x y)n = (x y)(x y) . . . (x y) nveces

= (x x . . . x) nveces

(y y . . . y) n veces

=xn yn

xyn

= xyxy . . .xy nveces

=

n veces

x x . . . xy y . . . y n veces

=

xn

yn

De este modo demostramos que la potencia es distributiva respecto al producto y a la divisin.

De aqu que: 1

x

n=

1n

xn =

1

xn

Tener muy en cuenta que:


24/49

23

NO ES DISTRIBUTIVA CON RESPECTO A LA SUMA

(x y)n =xn yn

NO ES CONMUTATIVA

xn =nx

2. Producto de potencias de igual base.

xnxm =xn+m (44)

Demostracin:

xn xm =x x . . . x n veces

x x . . . x mveces

=x x . . . x n+m veces

=xn+m

As hemos demostrado que el producto de potencias de igual base es igual a dicha base elevadaa la suma de las potencias.

3. Cociente de potencias de igual base, distintas de cero.

resta de los exponentes.

xn

xm =xnm (45)

Para demostrar esta propiedad vamos a separar en tres casos posibles.

Si n=m

xn

xm

=

n veces

x x . . . x

x x . . . x m veces

pero podemos escribir que n= m + (n m)resultando que xn =xm+(nm) =xm xnm(por la propiedad anterior). Entonces, reemplazando esto en la expresin obtenemos que:

xn

xm =

xm xnm

xm =

xm

xm

xnm =xnm

xn

xm =xnm n, mN, n=m


25/49

24

Si n= m obtenemos, utilizando el resultado anterior, que

xn

xn =xnn =x0

xn

xm =xnm n, mN, n= m

Pero por otro lado sabemos que:

xn

xn = 1

Por lo tanto, encontramos que todo nmero real, distinto de cero, elevado a lapotencia nula es igual a 1.

x0 = 1 (46)

Notemos que como x0 = 1y 0n = 0,no podemos definir 00.

De este modo hemos demostrado que el cociente de potencias de igual base es igual a dichabase elevada a la diferencia de los exponentes.

4. Exponentes negativos

Cualquier nmero real distinto de cero elevado a una potencia negativa es igual a su recprocoelevado a la potencia opuesta.

xn =

1

x

n nN (47)

La demostracin de esta propiedad es la siguiente. Consideremos el cociente entre xn y xm

dondenymson dos naturales cualesquiera tales quem > n. Teniendo en cuenta que podemosescribir que m= n+ (m n)encontramos que:

xn

xm = x

n

xn xmn = xn

xn 1

xmn = 1

xmn

Pero, utilizando la propiedad anterior, tenemos que:

xn

xm =xnm =x(mn)

Luego, juntando estos dos resultados obtenemos que


26/49

25

1xmn

=x(mn)

Ahora,(m n) N(porque m > n), luego podemos llamar t= m nobtenemos que:

xt = 1

xt

De este modo se extiende la potenciacin a exponentes enteros.

Utilizando este resultado se tiene que:

xy

n=

1

(x/y)n =

1xn

yn

= ynxn

=x

y

n

5. Potencia de una potencia

(xn)m =xnm (48)

Esta propiedad se demuestra utilizando la definicin de potencia:

(xn)m =xn xn . . . xn m veces

= (x x . . . x n veces

)(x x . . . x n veces

) . . . (x x . . . x n veces

) mveces

=xnm

De este modo demostramos que la potencia de una potencia es igual a la base elevada alproducto de las potencias. Como el producto es comnutativo resulta que los exponentes sonconmutables, es decir, que:

(xn)m =xnm =xmn = (xm)n (49)

Notemos que:

(xn)m = x(nm)x(n

m) = xnm

Con esta propiedad se puede ver queun nmero negativo elevado a cualquier potenciapar es siempre positivo. Para demostrarlo tomemos un nmero real positivo cualquierax >0, as(x


27/49

26

(x)n = (x)2k= [(x)2]k= [(x)(x)]k= (x2)k

= x2k

= xn

Y como dijimos que x >0, resulta que xn >0.

Ejercicios

1. Escribe V (Verdadero) o F (Falso) segn corresponda y justifica tu respuesta.

a) a3 . a2 = a6

b) m . m . m = 3m

c) (b . b2)3 = b9

2. Resuelve aplicando propiedades de la potenciacin

a) 4

9.2

3

13

2

163

2

18 15 =

b)

3

5

6

.

3

5

7+

5

2

1

65

2

1

4

1

=

c) (a . a2)2 : a5 =

d) (b . b2)3 . b2 =

e)

m

n35

.

m

n 3

=


28/49

27

Notacin cientfica:

Este tipo de notacin se basa en potencias (positivas y negativas) de 10, es decir:

. . .103 = 0,001102 = 0,01101 = 0,1

101 = 10102 = 100103 = 1000

. . .

De este modo cualquier nmero real se puede escribir como un nmero decimal o entero multiplicadopor una potencia de 10. En particular esta notacin es una manera prctica de escribir nmerosmuy grandes o muy pequeos. Por ejemplo:

0,0000000425 =4,25

108 = 4,25x108

5890000000000000 = 5,89x1015

Como estos nmeros son reales siguen valiendo todas las propiedades de todas las operaciones.

Ejemplo:4,25x108 + 5,78x108 = (4,25 + 5,78)x108 = 10,03x108

(1,25x106)(7x108) = (1,25x7)(106 x 108) = 8,75x1068 = 8,75x102

(6,91x1015)2 = (6,91)2 x(1015)2 = 13,82x1015x2 = 13,82x1030

Ejercicio

Calcula sin utilizar calculadora:

a) 9,5 1012 + (5,28 1011) =b) (9,8 1015) : (1,4 109) =

c) 1026 .

5,1

1023

. (2,5) =


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28

Radicacin

Sean x R, y Ry n N. Se define la raz de ndice n de x comon

x= y =yn =x (50)y se dice que x es el radicando e y es la raz.Si n= 2decimos que 2

xes la raz cuadrada de

xy se escribe

x.

ATENCINEs muy comn leer la definicin que dimos en sentido opuesto, es decir, uno podra pensar

que si yn = x entonces n

x = y. Luego uno podra decir que como 22 = 4 y (

2)2 = 4 entonces

4 =2. Pero esto trae muchas ambigedades a la hora de operar. Esta ambigedad viene de unamala interpretacin de la definicin que dimos, n

x= y = yn = x, esto significa que si nx= y

entonces, obligadamente yn =x, pero como la definicin tiene una flecha en un slo sentido no escorrecto decir que si yn =x entonces n

x= y . Por esta razn, vale la igualdad:

4 = 2

mientras que:

4=2

Se toma como convencin que el resultado de toda raz de ndice par de un nmeroreal positivo es nico. (Como veremos ms adelante esta convencin tiene sentido ya que de estemodo conseguimos que la raz sea una funcin.) En smbolos sera:

x R y n N : 2nx0 (51)De la definicin de raz, tambin podemos ver que, en reales, no existe la raz de ndice

par de un nmero negativo, ya que cualquier nmero elevado a una potencia par da siemprepositivo.

x R, nN y x


30/49

29

Ejemplo: De acuerdo a la definicin y a la convencin tomada para la radicacin tendremos losiguiente. Para el caso de races de ndice par:

4 = 2

4 = 24 no existe en RLas races de ndice impar siempre estn definidas

3

8 = 2 ya que 23 = 83

8 =

2 ya que (

2)3 =

8

Veamos ahora si es posible expresar la raz de un nmero como una potencia de dicho nmero.Es decir, lo que queremos ver es si existe algn nmero ttal que:

n

x= xt con n NPara ver si esto es cierto llamemos y a la raz ensima de x, es decir:

y= n

x

Luego, por la definicin de raz, resulta que:

yn =x

Pero, por otro lado, si y= n

xy n

x= xt, resulta que:

y= xt

Ahora elevemos a la potencia nen ambos miembros,

yn = (xt)n =xnt

y como dijimos que yn

=x de la expresin anterior obtenemos que:

x= xnt

Six= 0se satisface la igualdad cualesquiera sean ny t. Es decir que si x= 0podemos escribir laraz de cero como una potencia de cero. Ahora veamos qu pasa si x= 0. En este caso, podemosdividir por xen ambos miembros y obtener que:

1 =xnt

x =xnt1


31/49

30

Si x = 1 se satisface la igualdad cualesquiera sean n y t. Pero si x= 1 la nica posibilidad que

queda es que se anule el exponente, ya que cualquier nmero real distinto de cero elevado a unapotencia nula da 1. Por lo tanto:

nt 1 = 0Como lo que nosotros estamos buscando es un nmero t tal que n

x = xt, despejamos t de la

relacin anterior.

t= 1

n

De este modo encontramos que la raz de cualquier nmero real se puede escribir comouna potencia:

n

x= x1

n (54)

Luego podemos generalizar este resultado, utilizando las propiedades de la potencia, del siguientemodo:

n

xp = (xp)1

n =xp 1

n =xp

n (55)

As, la utilizacin de la raz extiende la potenciacin a nmeros fraccionarios. Poresto, en general, las propiedades de la potenciacin se pueden extender a la radicacin. Pero hayque tener cuidado con algunos detalles.Propiedades:

Vamos a considerar que x R, y R y n N. Adems vamos a suponer que los radicandosson tales que siempre sus races estn definidas en los reales.

1. La raz es asociativa y distributiva con respecto al producto y al cociente

n

x y= n

x n

y

nxy=n

xny

(56)

Demostracin:

n

x y= (x y)1

n =x1

ny1

n = n

x n

y

n

x

y

=

x

y

1n

=x

1

n

y1

n

=n

xn

y


32/49

31

Obviamente que la segunda igualdad vale siempre que y= 0.

ATENCINPara utilizar esta propiedadhay que tener mucho cuidado en el caso de tener ndiceparya que, por ejemplo:

(9)(16) = 144 = 12(9)(16)= 916 porque9, 16

La propiedad distributiva vale siempre y cuando las races queden definidas.

Tener muy en cuenta que:

NO ES DISTRIBUTIVA CON RESPECTO A LA SUMA

n

x y= nx nyNO ES CONMUTATIVA

nx= xn2. Se puede intercambiar el orden de las operaciones

n

xp = n

xp

(57)

Demostracin

n

xp = (xp)1

n =xp 1

n =x1

np = (x

1

n )p =

n

x

p

ATENCIN

Esta propiedad no vale en el caso de ndice par y radicando negativo . Veamos estocon un ejemplo.

(4)2 = 16 = 442

(4)2 = 42

Por esta misma razn hay que tener cuidado al simplificar exponentes fraccionarios:


33/49

32

(8) 39 = (8)39 = (8) 13 = 38 =2

(8) 24 = (8)2

4 = (8) 12 =8

Dentro del conjunto de los reales, este ejercicio tiene solucin si se realiza primero la potenciay luego la raz. Luego vern en Algebra I, cuando trabajen con nmeros complejos, que podrnresolverlo de ambas formas.

Es importante notar que cuando uno tiene un exponente fraccionario, se pueden aplicar todaslas propiedades que valen para la potenciacinsiempre y cuando la raz quede definida.

Caso particular: ndice y exponente igualesEn este caso vamos a estudiar qu pasa cuando el ndice es igual al exponente. Para hacereste anlisis vamos a separar en dos casos: en el primero tendremos ndice y exponenteimpar, y en el segundo tendremos ndice y exponente par.

Primero analicemos el caso cuando el exponente est dentro de la raz.a) ndice y exponente impar.

Si x0 = nxn =x nn =x = nxn 0Si x


34/49

33

Ahora veamos qu pasa cuando el exponente est fuera de la raz.

a) ndice y exponente impar.

Si x0 = ( nx)n =xSi x


35/49

34

c)

x2 =x

2. Resuelve aplicando propiedades de la radicacin especificando para que valores resultan vli-das las expresiones finales:

a)

a3

a

a4 =

b) 9

x12

y15 =

c) 3

8 x + 6

x4 5 3x =

d) aa + 3 =

e) b + c

bc=

Hasta aqu hemos visto las operaciones bsicas entre nmeros reales y sus propiedades. Descubri-mos que la resta es la suma del opuesto de un nmero y que la divisin es el producto del recproco.Luego vimos que a partir del producto se puede definir la potenciacin con exponentes naturales,con el cociente extendimos las potencias a los enteros y, finalmente, con la radicacin, extendimosla potencia a los nmeros fraccionarios.

La ltima operacin que veremos tambin est basada en la potenciacin y se llamalogaritmo.

Logaritmo

El logaritmo es una operacin que se define, como mencionamos anteriormente, a partir de lapotenciacin de la siguiente manera: se dice que el logaritmo en base ade b es igual a c si y slo siaelevado a la potencia ces igual a b. En smbolos es:

logab= cac =bSe llama base del logaritmo al nmero a y se llama argumento al nmero b.

Ejemplo:Supongamos que queremos calcular el logaritmo en base 2 de 8. Esto es:

log28 =

De acuerdo a la definicin dada, para resolver el clculo debemos encontrar un nmero tal que2 elevado a dicho nmero sea igual a 8. El nmero buscado es el 3 ya que23 = 8. Por lo tantoencontramos que:

log28 = 3


36/49

35

Para que el resultado del logaritmo sea un nmero real hay que restringir los valores del argu-mento y de la base.

Vamos a definir que la base del logaritmo debe ser positiva y distinta de cero, por lotanto a >0 (o aR+).

adebe ser positiva para evitar los casos en los cuales ac no est definido.

adebe ser distinta de cero porque 0c = 0y 00 no est definido.

Adems, si a > 0 y c R, tendremos que ac = b > 0, luego el argumento del logaritmodebe ser positivo, esto es b R+.

Finalmente, la ltima restriccin es quela base debe ser distinta de 1, dado que 1c = 1, porlo que log11sera igual a cualquier nmero real, as a= 1para que el logaritmo quede definido.

Por lo tanto la definicin completa de logaritmo es:

a, bR+ y a= 1, logab= cac =b (63)En general, los logaritmos que ms se usan son los llamados:

Logaritmo decimal: es cuando se toma el logaritmo en base 10, y se escribe como log x. Es decir

que:

log xlog10x

Logaritmo natural o neperiano: es cuando se toma el logaritmo en basee(el nmero neperianoes un nmero irracional, e= 2,718281828 . . .)8, y se escribe como ln x. Es decir que:

ln xlogex

Ejercicios1. Calcula los siguientes logaritmos aplicando la definicin:

a) log464 =

b) log31

3 =

8Nuevamente recurrimos a un video de Paenza para conocer un poco ms al nmero neperiano.(http://www.youtube.com/watch?v=MKgjf-1XcNM&feature=related)
http://www.youtube.com/watch?v=MKgjf-1XcNM&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=MKgjf-1XcNM&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=MKgjf-1XcNM&feature=related


37/49

36

c) l n1 =

d) log0,001 =

e) log 23

27

8 =

2. Utilizando la definicin de logaritmo, despeja y halla con calculadora el valor de x.

a) log x = 1

2b) log2x = 7,1

c) logx

8 = 3

PropiedadesVamos a considerar que la base y el argumento son positivos y que la base es distinta de 1.

1. El logaritmo de uno en cualquier base es igual a cero.

x, logx1 = 0 ya que x0 = 1 (64)

2. Si la base y el argumento del logaritmo son iguales, entonces el logaritmo

de ese nmero, en esa base, es igual a uno.

x, logxx= 1 ya que x1 =x (65)

3. Logaritmo de un producto.

loga(xy) = logax+ logay (66)

Demostracin:

Sean py qtales que logax= p y logay = q. Por lo tanto:

p+q= logax+ logay (67)

Por otro lado, de la definicin de logaritmo tenemos que ap =x y aq =y . Luego, el productode xpor y ser igual a:

x y= ap aq =ap+q (68)


38/49

37

Utilizando otra vez la definicin de logaritmo tenemos que:

x y=ap+q =loga(x y) =p+q (69)As, de las ec.67y 69encontramos que:

loga(xy) =p+q= logax+ logay (70)

Por lo tanto:

loga(xy) = logax+ logay (71)4. Si el argumento del logaritmo es una potencia, entonces el logaritmo es igual

al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

loga(xb) =b logax (72)

Esto se demuestra de la siguiente manera. Llamemos c = loga(xb) y c = logax. Luego, por

la definicin de logaritmo, podemos escribir que ac =xb y que ac

=x. Por lo tanto

ac =xb = acb =ac bDe aqu resulta que:

ac =ac b =c = c b

Finalmente obtenemos que:

loga(xb) =c = c b= b logax

Utilizando este resultado y la propiedad 2 se puede demostrar fcilmente que:

loga(ax) =x (73)


39/49

38

ATENCINHay que tener ciertos cuidados con la notacin:

loga(xb) = logax

b =b logax

logbax= (logax)b

Por ejemplo:

log2(23) = 3 log22 = 3

log322 = (log22)3 = 13 = 1

Por lo tanto:

logbax= logaxb

5. Logaritmo de un cociente.

loga

x

y

= logax logay (74)

Esta propiedad se demuestra utilizando las propiedades de la potenciacin y las propiedades3 y 4 de los logaritmos.

6. Cambio de base

Cualquier logaritmo en una base dada, puede cambiarse a cualquier otra base que uno elija.

Este cambio de base se realiza del siguiente modo. Por definicin de logaritmo tenemos que:

logax= yay =x

Supongamos que queremos cambiar la base a por otra base b. Para esto, a la relacin ay =xle aplicamos logaritmo en base ben ambos miembros, esto es:

ay = xlogb(a

y) = logbxy logba = logbx

Despejando yencontramos que:


40/49

39

y = logbxlogba

Pero al comienzo dijimos que logax= y por lo tanto,

logax=logbx

logba (75)

As podemos calcular el logaritmo en una base dada a utilizando una base cualquiera b.

Ejercicios

1. Indica si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas justificando tu respuesta:

a) (log34)1

2 = 1

2 log34

b) log341

2 = 1

2 log34

c) log32

log35 = log32 log35

d) log32

5 = log32 log35

e) l n2 = log2

log e

2. Sabiendo que log a= 2,log b= 3y que log c= 4, calcula los siguientes logaritmos:

a) log(a2 . b) =

b) logb

c3 =

c) log b3

a. c

=


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40

Antilogaritmo

Se define como la operacin inversa del logaritmo. Si tenemos logax, el antilogaritmo es laoperacin ax (en el captulo de funciones es lo que llamaremos funcin exponencial).

El logaritmo y el antilogaritmo son operaciones inversas porque se cumple que:

loga(ax) =x

alogax =x (76)

Demostracin:La primera igualdad es una consecuencia de la cuarta propiedad del logaritmo (ecuacin 73).

Para demostrar la segunda igualdad vamos a considerar que b= logax, luego:

alogax =ab

Pero por la definicin de logaritmo tenemos que ab =x. Entonces,

alogax =ab =x

Resolucin de problemas

En esta seccin veremos cmo utilizar las propiedades de las operaciones para resolver clculossin calculadora.

Para resolver este tipo de problemas hay que seguir las reglas de operacin:

1. Separar en trminos;

2. Resolver lo que est dentro de parntesis, corchetes y/o llaves;

3. Resolver los productos; y4. Resolver las sumas.

Problema 1:Calcule sin usar calculadora.

323

332

5

3

35

31

3

13

1

3

+

(3)2332

3

921

=


42/49

41

Lo primero que hay que hacer para empezar a calcular, de acuerdo a las reglas de operacinenunciadas, es separar en trminos. En este caso tenemos dos:

323

332

5

3

3

5

31

3

13

1

3

termino 1

+

(3)2332

3

921

termino 2

Luego vamos a ir resolviendo los factores. En el primer trmino tenemos un producto de dosfracciones. Tomemos la primera fraccin. Es correcta la siguiente resolucin?

323

332 =

32 . 3

33 . 2 = 1

La respuesta es NO. Y ahora pregunto por qu no es correcta? Porque el producto de losexponentes es vlido cuando tenemos una potencia de potencia, es decir:

(xn)m =xnm

En este caso, la base del exponente m es xn y la base de n es x. Sin embargo, en el clculo tenemosla siguiente situacin:

xnm

=x(nm

) = (xn)mdonde, ahora, la base de m es n, y la base de nm es x. Por lo tanto la resolucin de la primerafraccin del primer trmino es:

323

332 =

38

39 = 389 = 31

Ahora analicemos el segundo factor del primer trmino. En este caso tenemos una potencia depotencia? S, en este caso el denominador es una potencia de potencia explcita, mientras que en elnumerador tenemos una raz de raz (que es equivalente a la potencia de potencia). Entonces,

5 33

5

31

3

13

1

3

=

3 . 53

5

31

3

13

( 13

) =

3 53 1151

3

1

9

= 3

5

3

1

15113

19

=3

1

9

31

9

= 1

De este modo, el primer trmino se reduce a:


43/49


44/49

43

Obviamente que sta no es la nica manera de pensar el ejercicio, hay muchos caminos posibles.La idea bsica de este tipo de clculos es llevar todas las potencias a una misma base para poderutilizar las propiedades de la potencia.

Problema 2:Calcule sin usar calculadora.

log3a2

log3a + 2log27 logb

7

b (log42)2 logxx4 =

Nuevamente, como en el ejercicio anterior, lo primero que debemos hacer es separar en trminos:

log3a2

log3a termino 1

+ 2log27 logb

7

b termino 2

(log

42)2 log

xx4

termino 3

Ahora analicemos trmino por trmino.

Primer trmino:

log3a2

log3a =

2 log3a

log3a =

2log3a

log3a = 2 (79)

Segundo trmino:

2log27 logb7

b = 7 logbb1

7 = 71

7 logbb = 1 (80)

Tercer trmino:

(log42)2 logxx

4 =

log22

log24

24 logxx =

1

2

24 =

1

44 = 1 (81)

Finalmente de las operaciones79,80 y 81 obtenemos el resultado:

log3a2

log3a + 2log27 logb

7b (log42)2 logxx4 = 2 + 1 1 = 2


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44

PRCTICA 1

1. Primero expres los nmeros decimales como fraccin y luego calcul utilizando propiedades,sin usar calculadora.

a) 0, 2 + 2,15 30, 6 . 12 =b)

0,05 + 0,75

0,01 + 0,03 0,2

3

4

0,0016 =

c)(0,1 . 0,3)2 : (0,2 0,1)2

0,81 =

d) 0,7 + 1, 3

1,22 + 0,12 . 3,3 0,9 . 0,17 + 1, 7 . 0,25 =

2. Calcul utilizando propiedades, sin usar calculadora. Dej expresado el resultado en notacincientfica.

a)

8,4 1019

1028

. 5 =

b)8,13 1014 (3,17 1015) =

c) (7,3 1012

) : (2,5 1024

) =

3. Calcul utilizando propiedades, sin usar calculadora.

a) 2

3 2

1

4

. (12) + 22 =

b) 3

3

2

9

29

1

+ 15

2 (30) + 4

9 =


46/49


47/49


48/49

47

e) logtt3 x5

y

x y t =6. Calcul sin utilizar calculadora suponiendo que las variables toman valores permitidos.

a) 4 log24

3 log33. (log525)

1 13

=

b) (log28)

2

log2

2 + 12

=

c) log3 3 a + 9

a + 3 3

=

d)(log3a)

2 + log9a2

loga

9

log2+1(2 a a) . eln(

1

3) =

e) loga(a . b) + (log1/a2)1 =

f) log2w log2

w

q

+ (logq2(4

1))1 22 log21 =

g) ln e2 + 1

2(logaa

8)1/3 =

h) log3(27)2/3

log43

4 =i)

log11(1/11)

logb(b2)

log3

3 =

j) log515

log53 + log3

1

5

+

51

2 log53

2loga+b

3

a + b =

7. Problemas con logaritmos

a) Una de las aplicaciones de la funcin logartmica es el clculo del pH de una sustancia apartir de la concentracin de iones positivos de Hidrgeno ([H]+). As, pH = -log [H]+.

i. Calcul el pH de una solucin cuya concentracin de iones de hidrgeno es: [H]+ =108; [H]+ = 0,03 104; [H]+ = 5 1014; [H]+ = 5 107 y [H]+ = 3 103.

ii. Calcul [H]+ para soluciones cuyo pH es: pH = 7, pH = 11, pH = 3 y pH = 6.

b) La magnitudR (en la escala de Richter) de un terremoto de intensidad Ise define como:

R= log

I

I0

, donde I0 es la intensidad mnima utilizada como referencia.

i. Un terremoto tiene una intensidad de 4 108 veces I0 Cul es su magnitud en laescala Richter?


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ii. El terremoto de Anchorage, Alaska, del 27 de marzo de 1964, tuvo una intensidadde 2,5 108 veces I0 Cul es su magnitud en la escala Richter?

iii. Cul es la intensidad de un terremoto que en la escala Richter llega a los 5 puntos?Y uno que llega a los 7,8 puntos?

c) Una escala utilizada para medir la magnitud de un sismo es la escala de Richter. Lacantidad de energa liberada en un movimiento ssmico est dada por la frmula: log E=1,5R+ 11,8, donde Ees la energa liberada medida en ergios y R es la magnitud delsismo en grados en la escala de Richter.

i. Expres la energa liberada en su forma exponencial.

ii. Qu cantidad de energa se libera en un temblor de grado 4?, y en uno de grado

5?iii. Cul es la relacin numrica entre ambos valores?

iv. El aumento de un grado en la escala Richter, Qu aumento representa, aproxima-damente, en la cantidad de energa liberada? Y si el aumento fuera de dos grados,qu incremento se produce en la energa liberada?

v. Desde que se dispone de instrumentos de medicin ssmica, el terremoto de mayormagnitud registrada es el de Valdivia en el ao 1960, que tuvo una magnitud de 9,5grados en la escala de Richter. Compar la energa liberada en este terremoto conla de Caucete del ao 1977 que fuera de 7,4 grados de la misma escala.

d) La magnitud aparente,m, de una estrella mide el brillo observado de la misma, mientrasque la magnitud absoluta, M, mide el brillo que observaramos si la estrella estuvieraa 10 pc9 de distancia. Cuanto ms chica es la magnitud (absoluta o aparente), msbrillante ser la estrella. Conociendo ambas magnitudes se puede calcular la distancia,d, a la estrella como m M=5 + 5 log(d).i. Calcul la distancia al Sol sabiendo que su magnitud aparente es igual a26,7y su

magnitud absoluta es4,9.

ii. Sabiendo que la magnitud absoluta de Sirio es 1,4 y se encuentra a una distanciaaproximada de2,7pc y que para la estrella Antares M=4,8y d = 130pc. Culde las dos estrellas se ve ms brillante?

9El parsec (pc) es una medida astronmica de distancia, es aproximadamente igual a 3,26 aos luz (3,09 1013k )

modulo 1 reales

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