modulo de funciones reales

Modulo de funciones realesPág. 1

1.4. Funciones reales

Las funciones reales y su relación con problemas de la vida real.

Las funciones son verdaderamente fundamentales para las matemáticas; por

ejemplo, en nuestra vida diaria decimos.“El precio de un boleto está en función de

dónde está el asiento”. La velocidad de un cohete está en función de su carga útil. El

conjunto de llaves de nuestra casa está en correspondencia con cada una de las

cerraduras. En cada caso, la palabra función expresa la idea de que el conocimiento de

un dato nos lleva a otro. En matemáticas, las funciones más importantes son aquellas

en las que el conocimiento de un número nos indica otro. En este sentido se puede

decir que una función no es más que una relación entre dos variables.

Ahora, analicemos lo que es una función desde el punto de vista matemático.

Definición

Dados los conjuntos A y B⊂R. Se define función f de A en B a la regla de

correspondencia que asocia a cada elemento x ∈A con un único elemento y∈B.

Se denota f : A→ B

Si un elemento x∈ A esta relacionado por f con un

elemento y ∈ B,decimos que y es la imagen de x mediante

la función f y se escribe y=f (x ) ó f ( x )= y

Notación funcional.

Se usa una variedad de letras como f , gó F entre

otras para denotar una función.

La notación y=f ( x ) denota que la variable y es una función de x


Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Se observa que esta correspondencia entre Ay B es una función¿por qué?

Se observa que esta correspondencia entre A y Bno es una función¿por qué?

Aspectos fundamentales de una función

Dominio de una función f

Definición

El dominio de una función f es el conjunto formado por todos los valores de x

para los cuales la función está definida. Se denota Dom (f )

En notación simbólica se tiene:

En el ejemplo 1 de la sección 1.4 se tiene:

Dom (f )={x1 , x2 , x3 , x4 }

Nota:

El símbolo ∃

se lee existe ( ∃

:denota la existencia del elemento )

Dom (f )={x∈ A /∃ y∈B∧ y=f (x )}


Rango de una función f

Definición

Aquellos elementos de B que son imágenes de al menos un elemento de A, se

llama el rango o recorrido de la función. Se denota Rgo ( f ).


En el ejemplo 1 de la sección 1.4 se tiene

Rgo ( f )={ y1 , y2 , y3 }

Gráfico de una función f

Definición

El conjunto de pares ordenados ( x , y ) que se forma en la correspondencia recibe

el nombre de gráfico de la función. Se denota G( f ) .


En el ejemplo 1 de la sección 1.4 se tiene:

G (f )={(x1 , y2 ) , (x2 , y1 ) , (x3 , y3 ) , (x4 , y3) }

1.5. Formas de representar una función

Representación de una función mediante tablas de valores.

Frecuentemente hemos podido apreciar distintos fenómenos de nuestra vida

Rgo (f )={ y∈B/∃ x∈ A∧ y=f ( x ) }

G ( f )={( x , y )∈R2/ y=f (x)}


diaria que pueden ser expresados experimentalmente por tablas de valores. Así por

ejemplo, podemos formular una tabla acerca de los precios del petróleo en Venezuela

en la primera semana del mes de abril de 2007. Tal como se muestra a continuación.

Los datos obtenidos se corresponden con los aportados por la Organización de

Países Exportadores de Petróleo (OPEP) (Diario Panorama del día 07/04/2007)

Días del mes de abril 3 4 5 6

Precios del Petróleo ($) 51,69 51,76 55,91 58,29

Esta tabla de valores se corresponde con un ejemplo de lo que es una función

expresada mediante una tabla.

Representación analítica de una función

La representación analítica de una función es otra manera de expresar una

función usando para ello una fórmula, y será una forma muy usual para el manejo

desde ahora en adelante.

Por ejemplo:

1. f ( x )=2 x+5

(regla de correspondencia)

2. h( x )=2x2−3 x+6

3. F ( x )=√x+1

4.

g( x )=3 x+1x−4

En notación de conjunto se tiene:


A={( x , y )∈ R2 / f ( x )=2x+5}

B= {( x , y )∈ R2 / h( x )=2 x2−3 x+6 }

C={( x , y )∈ R2 / F ( x )=√x+1}

D={(x , y )∈ R2 / g( x )=3 x+1x−4 }

Antes de seguir adelante con la exposición de las funciones expresadas mediante

una fórmula, observemos que no toda fórmula representa una función, por ejemplo.

x

2+ y2=16 veamos por qué no lo es .

En efecto, si se despeja la variable y se obtiene:

y=¿ ; si fijamos un valor apropiado para la variable x, digamos x=0,

se tiene:

y1 = 4 ¿ y2=−4 ; luego para x = 0 tendría dos imágenes (reléase la definición

de función)

Ejemplo:

Consideremos la siguiente función:

f ( x )=2 x2−5 x+4

Calcular:

a) f (1)

b) f (−2 )

c)

f ( 32 )


d) f ( x+h )

e)

f ( x+h )−f ( x )h

, h¿0

Solución:

1. f (1 )=2(1)2−5 (1 )+4=2−5+4=1

2. f (−2 )=2 (−2 )2−5 (−2 )+4=8+10+4=22

3. f ( 32 )=2( 3

2 )2

−5 ( 32 )+4=18

9−15

2+4=9

2−15

2+4=−3+4=1¿Por qué?

4. f (x+h )=2 ( x+h )2−5 ( x+h )+4=2 x2+4 xh+2h2−5x−5h+4

f ( x+h )=2x2+4 xh+2h2−5 x−5h+4

5.f (x+h )−f ( x )

h=

2 ( x+h )2−5 (x+h )+4−(2 x2−5 x+4 )h

¿ 2x2+4 xh+2h2−5 x−5h+4−2x2+5x−4h

¿4 x+2h−5 ¿ Por qué ?

f ( x+h )−f ( x )h

= 4 x+2h−5h

Ejercicios propuestos

1. f ( x )=x3; hallar f ( x+h )−f ( x )

h2.g (x )=−3x2+4 x−7 ; hallar

g ( x+h )−g ( x−h )h

Representación gráfica de una función en R2 *

Observa en la fig. 1.3 que el dominio y el rango no son más que las proyecciones de la gráfica con el eje x ¿abscisa) y con el eje y (ordenada) respectivamente.


Es propicia la ocasión para indicar que generalmente una función y= f(x) se

puede visualizar a través de una gráfica (dibujo).Este tipo de representación de una

función también resulta muy usual para el estudio del cálculo, y por lo consiguiente,

tendremos que tenerlo siempre en cuenta.

Proyección sobre el eje x

Proyx G=Dom( f )=[a ,b ]

Proyección sobre el eje y

Proyy G=Rgo( f )= [c ,d ]

Fig. 1.3.


Observación:

No siempre una gráfica representa una función.

Veámoslo a través de los siguientes ejemplos:

Fig. 1.4Fig. 1.5

Fig. 1.6 Fig.1.7

Las figuras 1.4 y 1.6 se corresponden con la gráfica de una función, mientras que las figuras 1.5 y 1.7 no se corresponden con una función.

En forma práctica para determinar si una determinada gráfica es función o no,

basta trazar una recta perpendicular al ejex, y si ésta corta la gráfica en un solo punto,

entonces ésta representa una función, en caso contrario no se correspondería con una

función.

*R

2

: se define como el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares u

ortogonales, es decir, los ejes de coordenadas son perpendiculares. La variable

x se llama abscisa, mientras que la variable y se llama ordenada.


en notación de conjunto se tiene: R2={( x , y )/x , y ϵ R }

Actividad

Determine el dominio y rango de las siguientes gráficas de funciones.

Fig.1.8

Dom (f )=Rgo ( f )

Fig.1.9

Dom (f )=¿ Rgo( f )=¿

Fig.1.10

Dom (f )=¿ Rgo ( f )=¿

Fig.1.11

Dom (f )=Rgo ( f )=¿

Problemas de la vida cotidiana que involucran gráficas de funciones.

Frecuentemente nos encontramos una infinidad de problemas en nuestra vida

cotidiana que pueden expresarse mediante una gráfica , tal como se evidencia en los

siguientes ejemplos.

¿Cuál de las siguientes gráficas representa mejor a los tres enunciados


siguientes?. Escriba un enunciado para la gráfica restante.

A. Acababa de salir de casa cuando me percaté de que había olvidado mis guías

de apuntes de Cálculo I, así que regresé para recogerlos.

B. Las cosas marchaban bien hasta de que se ponchó un caucho.

C. Arranqué con calma pero aceleré cuando me di cuenta que llegaría tarde a la

clase de cálculo I.

Fig. 1.12 Fig. 1.13

Fig. 1.14 Fig. 1.15

1.6. Problemas Propuestos

Elabore la gráfica tomando en cuenta el modelo descriptivo que se plantea

1- La temperatura subió por la mañana, de pronto bajó mucho hacia el mediodía

cuando cayó un torrencial aguacero. Tras ésta, calentó antes de enfriar otra vez al

oscurecer. Trace una posible gráfica de la temperatura de ese día como función del

tiempo.


2. A poco de administrar cierto medicamento a un paciente de pulsaciones

rápidas del corazón, éstas últimas bajan considerablemente y luego suben con lentitud

otra vez conforme pasa el efecto del medicamento. Trace una posible gráfica de las

pulsaciones cardiacas contra el tiempo, a partir del momento de aplicar la medicina.

3. En general, cuanto más fertilizante se utilice es mejor la producción pero, si se

aplica demasiado, las cosechas se envenenan y la producción baja rápidamente. Trace

una posible gráfica que muestre la producción como función de la cantidad de

fertilizante aplicado.

4. Describa lo que indica la figura dada con respecto a una línea de producción

en serie, cuya productividad está representada como función del número de

trabajadores en la misma.


Cálculo del dominio de funciones según su fórmula

Recientemente hemos calculado el dominio y el rango de una función desde el

punto de vista geométrico, ahora pretendemos calcular el dominio de ciertas funciones

reales a través de su fórmula tal como se muestra en el siguiente recuadro:

Función Fórmula Dominio

Polinómica p ( x )=an xn+an−1 . x

n−1+…a1 x+a0

n∈N Dom( f )=R

Racionalf ( x )= p(x )

q (x) p(x ) y q (x) polinomios

Dom (f )={x∈ R/q (x )≠0}

Irracional f ( x )=n√ p( x ) Dom( f )=R(n impar)

Dom (f )={x∈ R/ p ( x )≠0} Para n par

Exponencial f ( x )=¿ bP ( x ) b>0 ¿b≠1

Dom( f )=R

Logarítmica f (x)= log b ( p(x ))b>0 ¿b≠1

Dom (f )={x∈ R/ p ( x )>0}

Ejemplo 1:

Calcular el dominio de las siguientes funciones:

f (x) = 2 x3−7 x2+4 x+1 Dom( f )=¿ R , porquef que es Polinómica


Ejemplo 2:

f ( x )=3 en este caso el polinomio es constante, por tanto, Dom( f )=¿R

Ejemplo 3:

f ( x )=3 x3+8 x−3x2−4

por ser racional estudiaremos el denominador. Esto es:

Dom (f )={x∈ R/ x2−4≠0 }

Estudiemos la nulidad de la expresión: x2−4=0 ,

al efectuar se obtiene: x2=4

⇒ x=¿

±2

. ¿Por qué?

luego, el dominio es: Dom (f )=R− {−2,2 }

Ejemplo 4:

f ( x )=√3 x−6 como la función es irracional con índice par, entonces su

dominio será de la forma: Dom (f )={x∈ R/3 x−6≥0 }

Resolviendo la inecuación se tiene:

3 x−6≥0 ⇒ 3 x≥6 ⇒ x≥63

⇒ x≥2 , entonces Domf ( x )=¿

Ejemplo 5:

f ( x )=4√ 2x−43 x+6

+1

, por ser irracional con índice par se tiene:

Dom(f

¿=¿ {x∈ R /2 x−43x+6

+1≥0} resolviendo la inecuación, se tiene:


2x−43 x+6

+1≥0 ⇒ 2x−4+3 x+6

3x+6≥0 ⇒

5 x+23x+6

≥0 [M ]

Ya que se nos ha presentado una inecuación racional (véase inecuaciones

racionales).

Aplicando el método tabular:

Luego el dominio de fserá:

Dom(f ) =

(−∞ ,−2 )∪[−25,∞)

Ejemplo 6:

f ( x )=3√−4 x+5 como el índice es impar, entonces

Dom (f )=R ¿véase el

recuadro).

Ejemplo 7 :

f ( x )=

Log2(2 x−8 ) como la función es logarítmica se tiene:

Dom(f

)= { x∈R /¿ ¿

2 x−8

>0} , resolviendo la inecuación, se tiene: 2 x−8

>0

⇒ x>4.

Entonces el dominio será: Dom( f )

=(4 ,∞ )

Ejemplo 8:

x∈ R

-2

−25

5 x−2 - - +

3 x+6 - + +

[M ] ⊕ - ⊕


f ( x )=23x−2como la función es exponencial su dominio se plantea así:

Dom(f )= R (véase el recuadro).!

Ejemplo 9:

f ( x )= √x3−16 x

( x−2 )2−16 . En este caso analizaremos el numerador por ser una raíz de

índice par y el denominador para saber donde se anula éste. Esto es:

Dom (f )={x∈R x3−16 x≥0∧ ( x−2 )2−16≠0}

Efectuando : x3−16 x≥0 ⇒ x ( x2−16 )≥0 ⇒ x (x−4 ) ( x+4 )≥0

Ahora, lo(a) invito para que verifique con el método tabular, que la solución es:

S= [−4 ,0 ]∪¿ ¡ Vamos inténtalo !

Efectuando la otra condición: ( x−2 )2−16=0⇒ ( x−2 )2−16=0

⇒ (x−2 )=±√16⇒ x−2=±4 . Se tiene: x−2=4⇒ x=6 , y además

x - 2= - 4. Graficando en la recta cada condición se tiene:

Dom( f )=[−4 ,−2)∪(−2, 0 ]∪[ 4,6)∪(6 ,+∞ )

Conocer el dominio de una función es importante, ya que permite saber para que valores de 𝒙 esta definida la función

¡No lo olvide Br..!


Test de autoevaluación

1. Al determinar el dominio de la función f ( x )= 3 x+4

x3−49 x , se obtiene……..

A . Dom( f )=R −¿ { 0 , -7 , 7 } º B .Dom (f )=¿ R−¿{ - 7 , 7 }

C . Dom( f ) ¿ R−¿ { 0 , -7 , 7 } D .N . A

2. El dominio de f ( x )= √2 x−3

( x−1 )3−8 es…….

A . Dom( f )=¿

[ 3

2,3 )∪¿ ¿

(3 ,∞ ) º B

. Dom( f )=¿( 3

2,3)¿ (3 ,∞ )

C . Dom( f )=¿ R−¿ { 3 } D . N.A

3. Si f ( x )=log2 (2 x+6 ), entonces su dominio es ………….

A . Dom( f ) ¿( -3 , ∞ ) B. Dom( f ) ¿ [ - 3 , ∞ )

C . Dom( f ) ¿ [ 3 , ∞ ) D . N.A

4. Si f ( x )= x2

x .ex−1−x , su dominio es……………..

A . Dom( f ) ¿ R−¿ { 0 , 1 } º B .Dom (f ) ¿ R−¿ { 0 }

C . Dom( f ) ¿ R−¿ { 1 } D .N . A

5. f (x)=x−2x+3

, entonces al determinar el valor de x para que y = 12

sea un elemento

del rango se obtiene

A. x=7 B. x=4

C. x=−7 D. N.A

1.7. Características de una función

Característica 1 : Intersección de una gráfica con los ejes de coordenadas

Intersección con el eje x Intersección con el eje y


Fig. 1.17Fig.1.18

La intersección con el eje x se representa

por el punto P(a ,0)

En este caso se hace y=0 (a ϵ R )

La intersección con el eje y se

representa por el punto P(0 , b)

En este caso se hace x=0 (bϵ R )

Ejemplo:

Calcular la intersecciones con los ejes en la siguiente función

Sea f ( x )= x2−4x2+4

.

Si y=0, entonces :

x2−4x2+4 = 0 . Efectuando se tiene x

2−4=0 ⇒

x=±2 ; luego las intersecciones

con el eje x son : I x (−2,0) e I x (2,0 )

Intersección con el eje y:

Si x= 0 ,entonces se tiene:

f (0)=(0)2−4

(0 )2+4=−1

, luego Iy(0 ,−1)


1.8. Ejercicios propuestos

Determine las intersecciones con los ejes.

1. f ( x )=x2+5x+6 2. f ( x )=2x−4x−1

3. f ( x )=√ x+1−2 4 . g ( x )=x3−2 x2−5 x+6

Característica 2: Crecimiento y decrecimiento de una función real

VariaciónDefinición informal

Definición formalInterpretación

geométrica

Función

Creciente

Una función f es creciente si los valores de y=f (x ) aumen-tan a medidaque x aumenta.

Una función f es creciente en

un intervalo (a ,b) si para

cualquier par de números

x1 , x2 ∈ (a ,b )

f (x1 )< f (x2)siempre que x1< x2

fig.1.19

Función

decreciente

Una función f es decreciente si los valores de y=f (x ) disminuyen a medida que x aumenta

Una función f es decreciente

en un intervalo (a ,b) si para

cualquier par de números

x1 , x2 ∈ (a ,b )

f (x1 )> f (x2) siempre que x1< x2

fig.1.20

Observación

La gráfica de una función creciente sube al moverse de izquierda a derecha.

La gráfica de una función decreciente baja al moverse de izquierda a derecha.


Ejemplo 1:

fes creciente ∀ x ∈(b , c )∪(e , f )

f es decreciente ∀ x ∈ ( a,b )∪(c ,d )

Nótese que los intervalos donde la función

crece o decrece se corresponden con

respecto al eje x

En ambos casos nos hemos movido de

izquierda a derecha tal como se muestra en

la figura 1.21.

Actividad

Determine los intervalos donde la función f es creciente y decreciente

Fig.1.21

Fig.1.22

Crecimiento:

Decrecimiento:


Característica 3: Simetría de una función

Denominación Definición Gráfica

Función Par

Dada una funcióny=f (x )⇒ se dice que f es par si para todo x , −x se verifica que f (−x )=f (x )

Fig.1.23

Propiedad. La gráfica de una función par siempre es simétrica con respecto al eje 0 y

Función Impar

Dada una función y=f (x )⇒ se dice que f es impar si para todo x , – xse verifica que f (−x )=−f (x )

Fig.1.24

Propiedad. La gráfica de una función

impar siempre es simétrica con

respecto al origen

A continuación se propone el gráfico de una función que no es par ni impar

(asimétrica).

El objetivo consiste en transformarla en una función par e impar.

Actividad

Función par Función asimétrica Función impar


Fig.1.25

Función par Función asimétrica Función impar

Fig.1.26

Simetría de una función desde el punto de vista analítico

A continuación se manejará la simetría de la gráfica una función desde el punto

de vista analítico. En este sentido se dará la fórmula que define la función , procediendo

a verificar , si esta es par o impar, la regla consiste en evaluar la función en −x.

Determine la simetría de las siguientes funciones

Ejemplo 1

f ( x )=2x6+3 x2+3 , evaluando la función en – x obtenemos:

f (−x )=2 (−x )6+3 (−x )2+3=2 x6+3 x2+3=f ( x ) .

Por consiguiente, la función fes par


( la gráfica de la función f es simétrica con respecto al eje oy )

Ejemplo 2

f ( x )=x3+3 x

Evaluando la función en –x, obtenemos:

f (−x )=(−x )3+3. (−x )=−x3−3 x ≠ f (x ) , en consecuencia f no es par

Veamos que sucede si se saca factor común −1 , esto es:

f (−x )=−(x3+3x )=−f (x), en consecuencia f es impar.

( la gráfica de la función f es simétrica con respecto al origen de coordenadas )

Ejemplo 3

f ( x )=√x2+3 x+1+√x2−3 x+1 ,evaluando la función en x obtenemos :

f (−x )=√(−x )2+3 x+1+√(−x )2−3 (−x )+1

f (−x )=√x2+3 x+1+√x2−3 x+1=f (x ) . ¿Por qué?

por consiguiente, f es par.

( la gráfica de la función es simétrica con respecto al eje oy )

Ejemplo 4

f ( x )=x 4−3 x2−5 x+1 ,evaluando

f (−x )=(−x )4−3 (−x )2−5 (−x )+1=x4−3 x2+5 x+1≠ { f ( x )−f ( x ) ¿Por qué?

En consecuencia , f no es par ni impar.

La función constante nula es la única función que es par e impar a la vez. Esto es


f ( x )=0 ¿por qué?

Con una simple manipulación algebraica puede demostrarse que cualquier función

real se puede descomponer como la suma de una función par más una función impar.

Esto es, f ( x )=P ( x )+ I ( x ) .

En efecto, siendo f una función que no es par ni impar se tiene.

f ¿) =

f ( x )+ f (−x )2

+f ( x )−f (−x )

2 , donde P(

x) =

f ( x )+ f (−x )2

(función par)

e I(x)=

f ( x )−f (−x )2

( función impar)

En consecuencia se tiene que f ( x )=P ( x )+ I (x) Obsérvese que la función f se

ha podido transformar en la suma de dos funciones correspondiente a una par y otra

impar. ¡Qué maravilla verdad!

A continuación se demostrará que p(x) es una función par, esto es,

P(x) =

f ( x )+ f (−x )2

, evaluando se tiene P(-x) =

f (−x )+ f ( x )2

=

P(x)

⇒

P(x) es par.

Dejamos para que Ud. mismo demuestre que I(x) es una función impar.

Adelante ¡ vamos Inténtelo !


Determine el tipo de simetría que posee la gráfica de la función:

1. f ( x )=−4 x4+5 3. f ( x )=log( x2+6x2−5 )


2. f ( x )=√x2+3 x+1−√x2−3x+1

4.

f ( x )= x2+1x2−1

Característica 4: Valor máximo absoluto – Valor mínimo absoluto (Valores

extremos)

Valores extremos Definición Interpretación Geométrica

Valor máximo absoluto ymáx=f (xo )=M

La función y¿ f ( x )se dice que alcanza el valor máximo absoluto en x0 ϵDom ( f )si f ¿)

≥ f ( x) ∀ xϵDom ( f ) (valor más grande que toma la función dentro de su dominio) . Fig.1.27

Valor mínimo absoluto ymín=f (xo )=m

La función y=f ( x )se dice que alcanza el valor mínimo absoluto en x0 ϵ Dom ( f ) si f ¿)≤ f (x ) ∀ xϵDom ( f ) (valor más pequeño que toma la función dentro de su dominio).

Fig.1.28Ejemplo. Determinemos el máximo y mínimo absoluto en cada caso ( si estos

existen)


Fig.1.29

ymá x .=4 ymin .=1

Fig. 1.30

ymá x .=¿ no tieneymin .=−2

Obsérvese que en la función de la figura 1.30 no existe valor máximo, ya que

x0=2∉R

Característica 5: Funciones reales acotadas

Recientemente se han estudiado los conjuntos acotados, pues bien, en ese mismo

orden de ideas se manejará el concepto de función acotada . Esto es, función acotada

superiormente y función acotada inferiormente. A continuación se procederá a definir

ambos términos.

Definición

La función f se dice que está acotada superiormente si existe un número real

M tal que para todo x Dom( f ) , se tiene f (x)≤Mó también f( x )<M ¿véase la figura

1.31)

Nótese que la menor de las cotas superiores

es 2 ⇒ . f (x) ¿2

entonces ¿( f )=2

Definición Fig.1.31


La función f se dice que esta acotada inferiormente si existe un número real m

tal que para todo x∈

R , se tiene f (x)≥m ó también f ( x )>m

( véase la figura 1.32 )

Nótese que la mayor de las cotas inferiores es

−5⇒ f (x)≥−5

entonces Inf ¿) = −5

De lo anterior se puede afirmar que una función

está acotada, si f esta acotada tanto inferior como

superiormente.

Esto es , m ¿

f (x)¿

M

Ejemplo.

Según la definición se tiene:

-3 ¿ f ( x )<4

Entonces.

Inf ( f )=−3 ( valor mínimo )

¿( f )=4

Observe. que, el hecho de que la función f esté acotada, no significa que ésta

tenga que tener valor máximo y valor mínimo. (Véase la figura 1.33).

1.9. Clasificación de una función

Función inyectiva

Definición

Fig.1.32

Fig. 1.33


Se dice que la función f : A→B

es inyectiva, si elementos distintos en el dominio

de A

tienen imágenes distintas en B

mediante f

.

Es decir, si dados dos elementos cualesquiera, x1,

x2

∈

A

tales que

x1≠x2

,

entonces

f ( x1 )≠f ( x2 ) esto es equivalente a decir

f ( x1 )=f ( x2 ) entonces

x1=x2

.

Ejemplo 1

Estudiemos ahora la inyectividad de una función desde el punto de vista

geométrico.

Consideremos las siguientes gráficas:

Fig. 1.34

Se puede notar que en la fig. 1.34 que la recta

horizontal ha cortado la gráfica en un solo punto,

pues bien en este caso se dice que la función es

inyectiva

fno es inyectiva: ya que dos elementos distintos tienen la misma imagen en B.

fes inyectiva: ya que cada elemento de Atiene una sola imagen en B


Fig. 1.35

En la fig. 1.35 la recta horizontal ha cortado la

gráfica en dos puntos, pues bien en este caso se

dice que la función no es inyectiva.

De acuerdo a lo anterior se puede deducir que una función será inyectiva si la

recta horizontal corta la gráfica en un solo punto y en el caso que la corte en dos o más

puntos la función no será inyectiva.

Función sobreyectiva

Definición


es sobreyectiva si el rango de la función coincide

con en el conjunto de llegada. Esto es Rgo( f )=B

.

Es decir, todos los elementos y

ϵB

son imágenes de cada elemento xϵA

Ejemplo 1

f es sobreyectiva ya que todos los f no es sobreyectiva ya que no


elementos de B son imágenes de los

elementos de A .

Es decir, Rgo ( f )=B

todos los elementos de B son

imágenes de los elementos de A .

Es decir, Rgo (f )≠B

Estudiemos ahora la sobreyectividad de una función desde el punto de vista

geométrico.

Consideremos las siguientes gráficas:

Fig.1.36

Esta función se dice que es sobreyectiva ya que el

conjunto de llegada coincide con el rango. Esto es.

Rgo ( f )=[−8,8 ]

Fig.1.37

Esta función se dice que no es sobreyectiva ya que

el conjunto de llegada no coincide con el rango.

Esto es.

Rgo (f )≠R

De ahora en adelante toda función real se considerará sobreyectiva sobre su

rango.

Función Biyectiva

Definición

Dom( f ¿) = A1



es Biyectiva si ésta es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente.

Ejemplo 1:

Restricción de una función

Definición

Dada la función f : A→B

y

A1

un subconjunto de A

entonces la

f ¿ :A1→B

se

llama función restricción o restringida sobre el conjunto

A1

. En este caso hemos

restringido el domino de la función f

.

La función f es biyectiva ya que ésta es inyectiva y sobreyectiva.

La función f no es biyectiva ya que f es inyectiva pero no sobreyectiva.


Veamos un ejemplo ilustrativo

Fig.1.38

En la gráfica de la figura 1.38 se tiene que

Dom (f )=R

Fig. 1.39

En la gráfica de la figura 1.39 se tiene que

Dom (f ¿)=R

en este caso hemos restringido la función sobre su

nuevo dominio.

La notación Dom (f ¿)en este contexto significa que el dominio ha sido restringido

Demostremos en forma análitica si la f ( x )=2 x+3x+1

es inyectiva

En este caso nos basaremos en la definición de inyectividad:

Esto es si f (x1 )=f (x2 ) entonces x1=x2

Así:

f (x1 )=2 x1+3

x1+1, f (x2 )=

2 x2+3

x2+1

I gualando las imágenes se tiene :

2x1+3

x1+1=

2x2+3

x2+3

Efectuando:


(2 x1+3 ) ( x2+3 )=(2 x2+3 ) ( x1+1 )

(2 x+3) .(x+1)=(2x+3).( x+1)

2 x1 x2+2x1+3 x2+3=2x1 x2+2 x2+3x1+3

Finalmente nos queda x1=x2. [¿ Por qué ? ]


Demuestre si las funciones dadas son inyectivas.

1. f (x)=2 x−7x−2

2. f (x)= ( x−1 )3+5

3. f ( x )

= √2x−1−3

4. f (x)

=

|2 x−6| + 2

1.10. Representación gráfica de ciertas funciones reales

Función Afín

Una función afín es de la forma y=mx

m : es la pendiente de la recta con inclinación el ángulo α , la cual está definida

por m=tanα

b : representa la ordenada al origen

La pendiente de una recta puede calcularse a partir de los valores de la función

de dos puntos cualesquiera (x1 , y1 ) , (x2 , y2 ), usando la fórmula:

m=y2− y1

x2−x1

Hagamos las siguientes consideraciones geométricas:


m=tanα=y2− y1

x2−x1

>0

α : ángulo agudo

Fig.1.40

m=tanα=−tan (π−α )=−y1− y2

x2−x1

m=y2− y1

x2−x1

<0

α : ángulo obtuso Fig.1.41

Nótese que si m = 0 , se tiene que y=bes una recta horizontal y se llama

función constante.

Por ejemplo : y=2

Su representación gráfica viene dada por:


Si una recta L pasa por un punto conocido P1

(x1

, y1

) y por otro punto P(x , y)

cualquiera del plano, entonces la pendiente viene dada por:

m=y− y1

x−x1

L: y− y=m(x – x)

, llamada ecuación de la recta que pasa por el punto P1

( x 1

,

y 1

) con pendiente m.

0tra forma equivalente de poder expresar la recta viene dada por:

L : Ax+By+C= 0 , (A ,B ,C∈ R) llamada ecuación general de la recta.

Grafiquemos las siguientes funciones afines:

Ejemplo 1 . y=2x−4

Determinemos previamente las intersecciones:

Intersección con el eje x. Si y=0 , entonces: 2 x−4=0 ⇒ x=2.

Luego Ix

(2, 0)


Intersección con el eje y . Si x=0, entonces: y=2(0)−4=0

Luego Iy

( 0 , - 4 )

Consideremos algunas características que cumple la función dada:

Dominio: Dom(f ) = R

Rango: Rgo( f ) = R

Crecimiento: f es creciente, ∀ x ∈ Dom¿)

Positividad: y>0 , x¿ recta por encima del eje x

Negatividad: y<0 , x (−,2) recta debajo del eje x

Nulidad: y=0, para x=2

Pendiente: m = 2 (coeficiente de x)

Ejemplo 2.3 x+2 y+6=0

Determinemos las intersecciones:

Intersección con el eje x. Si y=0 , entonces: 3 x+2 (0 )+6=03 x=−6⇒ y=−2

En consecuencia se tiene Ix

(-2, 0)


Intersección con el eje y. Si x=0 , entonces: 3 (0 )+2 y+6=0 2 y=−6

⇒ y=−3

⇒ IY

(0 , -3 )

Calculemos la pendiente de la recta: En este caso procederemos a despejar la

variable y en función de x. Esto es.

2 y=−3 x−6 ⇒ y=−3 x

2−6

2=−3 x

2−3.

Luego la pendiente m=¿ ( coeficiente dex )

Consideremos algunas características que cumple la función dada: Dominio: Dom( f )=R

Rango: Rgo( f )=R

Decrecimiento decreciente , ∀ x ∈ Dom( f )

Positividad: y > 0 , ∀ x∈ (-∞ ,−2 ) recta por encima del eje x

Negatividad: y < 0 , ∀ x ∈ (-2, ∞) recta debajo del eje x

Nulidad: y = 0 , para x = -2

Pendiente: m=−32

( coeficiente de x )

Función Lineal


Una función lineal es de la forma : y=f ( x )=mx ,(b=0)

La representación gráfica de una función lineal es una recta que pasa por el

origen de coordenadas.

pendiente de la función lineal m= yx

Propiedades que cumplen las funciones lineales

´Si se tiene la función lineal y=f ( x )=mx

Una propiedad importante que cumple toda función lineal para dos valores

cualesquiera x1 y x2 de su dominio es la siguiente:

•. f (x1+x2 )=f (x1 )+ f (x2)

•. f (a x1)

=

a . f (x1 ).

Observación

Aunque muchos autores llaman a estas funciones indistintamente afín o lineal,

no es exactamente correcto tal apreciación.

Grafiquemos la función lineal f (x)=mx

V(t) = C - C.r.t = C.( 1 –

V (t ) = C + C.r.t = C ( 1 + r.t


Nota

Si y=x ,esta función lineal recibe el nombre de función identidad

Algunas aplicaciones de las funciones afines.

Depreciación en línea recta. Una propiedad que en un período de tiempo pierde

un porcentaje fijo de su valor original se deprecia en línea recta.

El valor de depreciación V en el tiempo t es una función del tiempo , donde C es

el costo original , r es la tasa de depreciación y V el valor de depreciación en el tiempo t

Valorización en línea recta. Una propiedad que en un período de tiempo

aumenta de valor en un porcentaje fijo se valoriza también en línea recta, donde C

es el costo original , r la tasa de valorización , y V en el tiempo t , y cuya fórmula viene

dada por:

Ejemplo 1

Supongamos que una pieza de maquinaria valorada originalmente en $ 30.000

pierde el 4 por ciento anual de su valor por cada año de operación. ¿Cúal es el valor de

la pieza después de 12 años de uso ?

Datos : C = $ 30.000 , r = 4% = 0,04 , t = 12

La función de depreciación viene dada por: V (t) = 30.000(1 – 0,04t)

Cuando t = 12 se tiene que.

V (12 ) = 30.000( 1 – 0,04.(12 ) ) = $ 15.600

Haciendo una representación gráfica se tiene.


Problemas propuestos

1. Un artículo electrodoméstico cuyo precio original es 8000 Bs ( F ) se deprecia

a razón del 5 por ciento anual .

A. ¿Cuánto vale el artículo al cabo de un año?

B. ¿Al cabo de 3 años?

C. ¿Al cabo de cuántos años valdrá 2000 Bs.F?

D. Trace la gráfica V en función de t

2. Si una litografía cuesta $ 8000 y se valoriza a razón del 12 por ciento anual.

A. ¿Cúal será su valor dentro de 50 años ?

B. ¿Dentro de cuantos años valdrá $ 80.000 la litografía?

C. Trace la gráfica de V en función de t

Funciones polinómicas potenciales de la forma:

y=a (bx+h )n+k , donde n ∈N , k∈R, [ 1 ]

Funciones cuadráticas

Una función que puede expresarse en la forma f ( x )=a x2+bx+c [ 2 ] (o

y=a x2+bx+c) , en donde a ,b , c ∈ R , a¿

0, se llama función cuadrática o función

polinómica de grado 2 .

Hagamos las siguientes consideraciones

La representación gráfica es una parábola.

Si a>0 (La parábola abre hacia arriba) Si a<0( la parábola abre hacia abajo)

Gráfica de la función cuadrática y¿a x2+bx+c, con las siguientes consideraciones:


a=

± 1 ,

b= 0 ,

c= 0

f ( x )=x2 Representación Gráfica

x -2 -1 0 1 2…

y 4 1 0 1 4….

Dom(f) = R , Rgo (f) = [0 , ∞ )

Fig.1.42f ( x )=−x2 Representación Gráfica

x -2 -1 0 1 2…

y -4 -1 0 -1 -4…

Dom( f ) = R , Rgo( f )=¿ (-∞ , 0 ]

Fig. 1.43

Fórmula equivalente de la ecuación y = a x2+bx+c. [ 2 ]

La función cuadrática expresada mediante la ecuación y = a x2+bx+c. la podemos

expresar en su forma equivalente. Esto es.

y=a(x+ b2a )

2

+ 4ac−b2

4 a[3 ]

Vértice de la parábola: V(−b2a

,4ac−b2

4a ) A continuación se demostrará en forma analítica y usando el procedimiento de

completación de cuadrados como se pasa de la expresión [ 2 ] a la [ 3 ].

y = a (x+ b

2a )2

+

4 ac−b2

4 a


Sea y=a x2+bx+c [ 2 ]

Paso 1 . Se saca factor común el coeficiente “ a “ de los términos en x.

Esto es . y=a [ x2+ bax ]+c

Paso 2. Se suma y resta el número.

( b2a )

2

Esto es: y=¿

a [x2+ bax+( b2a )

2

−( b2a )2]

+ c

Paso 3. Se aplica la propiedad distributiva y se efectúa la operación resultante.

y=¿ a [x2+ b

ax+( b2a )

2 ] - a ( b2

4a2 ) + c

y=¿ a [x2+ b

ax+( b2a )

2 ] -

b2

4 a + c [¿Por qué ? ]

Finalmente, la expresión es de la forma:

[ 3 ]

La expresión [ 3 ] la podemos reescribir como:

y=a ( x+h )2+k, luego se tiene V( -h , k ) [ 4 ]

Donde h=¿

y k =

4 ac−b2

4 a

Observación.

La expresión (a+b )2=a2+2ab+b2 , recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto

(T.C.P.).


Ahora bien, si hacemos una extensión de n = 2 para cualquier n par positivo

se tendrá la expresión:

y = a(x+h

)

n

+ k que también representarían parábolas

Para graficar una parábola basta conocer el vértice y las intersecciones con los

ejes coordenados.( puntos notables de la parábola )

Graficar las siguientes funciones cuadráticas

Ejemplo 1. y=2 x+5x−3

La función dada la transformaremos a su forma equivalente( por completación

de cuadrados).

Paso 1. Sacando factor común 2 se tiene:

y=2.[x2+ 52x ]−3

Paso 2. Sumando y restando el número:

( b2a )

2

=

( 54 )

2

=2516

y=2.[x2+ 52x+25

16−25

16 ]−3

Paso 3. Aplicando la propiedad distributiva y efectuando se tiene

y=¿

2 .[ x2+52x+25

16 ]−2(2516 )−3

, pero ( x

2+ 52x+25

16)

=

(x+ 54 )

2

* ( T.C.P)

Finalmente, nos que queda:


y=¿

2.

(x+ 54 )

2

−258−3

y=¿

2.

(x+ 54 )

2

−498

Luego el vértice es V(−54

,−498 )

Intersección con el eje x : Si y = 0 , entonces:

2 x+5 x−3=0 veamos si tiene solución real

Estudiemos el discriminante: d=b2−4ac

d=(5)−4(2) .(−3)=25+24=49>0 tiene solución real.

x=−5±√494 =

−5±74

= { x1=

−5+74

=12

x2=−5−7

4=−3

I x ( 12,0)

,

I x (−3,0 )

Intersección con el eje y : Si x=0 , entonces: Iy ( 0 , -3 )

Graficando se tiene:


Ejemplo 2.

Se sabe que la función cuadrática de ecuación y = ax 2+bx+c

pasa por los

puntos

A(1,-2 ) , B( -1, 6 ) , C ( 2, 0 ).

Calcule a ,b ,

y c y además grafique.

Como la parábola pasa por los puntos dados se tiene:

A(1 ,−2) ⇒ a (1 )2+b (1 )+c=−2 a+b+c=−2 ecuación ( 1 )

B (−1,6 ) ⇒ a (−1 )2+b (−1 )+c=6

a−b+c=6 ecuación ( 2 )

C (2,0 ) ⇒ a (2 )2+b (2 )+c=0

4 a+2b+c=0 ecuación ( 3 )

Nos ha quedado un sistema de ecuaciones.

Para resolver este sistema aplicaremos el método de reducción.

Combinando las ecuaciones 1 y 2

{a+b+c=−2a−b+c=6

{ a+b+c=−2a−b+c=6

4 a+2b+c=0


Sumando miembro a miembro se tiene

2a+2c=4 ⇒ a+b=2 ( A )

Combinando ahora 2 y 3 se tiene:

{ a−b+c=64 a+2b+c=0

Multiplicando la primera ecuación por 2 se tiene:

{2a−2b+2c=12

4 a+2b+c=0

Sumando cada miembro respectivamente

6a+3c=12 ⇒ 2a+c=4 ( B )

Combinando A y B .

{ a+c=22a+c=4

Multiplicando la primera ecuación 1 por - 1 se tiene:

{−a−c=−22a+c=4

Por tanto, b=−4 ¿Por qué?

Entonces y=2x2−4 x

Al expresarlo en su forma equivalente se obtiene:

y=2 ( x−1 )2−2 justifique la respuesta.

Luego el vértice es V(1 ,−2 )

Determinemos las intersecciones con los ejes.

Intersección con el eje x . Si y=0 , entonces:

2 x2−4 x=0 ⇒ 2 x ( x−2 )=0 ⇒ x=0ó x=2.

Luego I x (0,0 ) , I x (2,0 )


Intersección con el eje y . Si x=0 , entonces: y (0)=2(0)2−4 (0 )=0

⇒ I y (0,0 )


Esbocemos algunas de sus características:

Dominio. Dom ( f )=R Rango. Rgo(f )=¿ Crecimiento . f es creciente ,(1 ,)

Decrecimiento. f esdecreciente . x(−.1)

P ositividad: y>0 , x (− ,0)∪(2 ,)

N egatividad . y<0 , x (0 ,2)

Nulidad. y=0 , para x=0 y x=2

f es asimétrica ( no es par ni impar ¿

Valor mínimo absoluto. ymín=−2

Acotamiento. f est á acotada inferiormente

Funciones polinómicas de la forma

y = a (bx+h )n

+ k , para n ¿3

( impar )


Estudiemos los casos más usuales.

a=1 , b=1 , h=0 , k=0 y n=3

y=x o y=−x (función cúbica modelo)

f ( x )=x3 Representación gráfica

x -2 -1 0 1 2…

y -8 1 0 1 8….

Dom( f )=R , Rgo(f )=R

f (−x)=−f (x)⇒ f es impar

Fig.1.44

f ( x )=−x3 Representación gráfica


x -2 -1 1 2…

y 8 1 0 -1 -8…


f (−x)=−f (x)⇒ f es impar

Fig.1.45

Nota: Esta función siempre presenta un punto notable denominado punto de

inflexión (punto donde la gráfica cambia de sentido). En este caso el punto de inflexión

es

P(0,0) ó Pinf (0,0 )

Las funciones cúbicas pueden ser extendidas para cualquier exponente positivo

impar y además la gráfica tendrá siempre la misma forma. En resumen se tiene:

y = a ( x+h )n

+ k para n = 3 , 5 , 7 ……….

En este caso el punto de inflexión es P(−h ,k )

Nota. Para graficar este tipo de función basta conocer el punto de inflexión y las

intersecciones con los ejes (puntos notables)

Ejemplo

Graficar:

y=2(x−1)+8

Determinemos los puntos notables:

Punto de inflexión. x−1=0 x=1 P(1 ,8) ( en este punto la gráfica cambia de sentido


).

Intersección con el eje x. Si y = 0, entonces:

2(x−1)+8=0(x – 1)=¿

Luego x – 1=x=1−0,58 I (1−,0)

Intersección con el eje y. Si x = 0, entonces:

y (0)=2(0−1)+8=−2+8=6 I (0 ,6)


Gráfica:

Función potencial Irracional de la forma.

f ( x )=a ( x+h )1n+k

Una función que presenta la forma y=a ( x+h )1n+k=a

n√x+h+k ,donde

a ,h , k∈R y n≥2 (n∈N ) , se llama función irracional.

La representación gráfica de una función de la forma señalada es siempre una

semi–parábola.

Hagamos las siguientes consideraciones para el caso de n = 2 ( casos usuales )

Función Raíz Cuadrada.( n= 2 )

y=¿ ó

y=−¿

a=¿ ±

1 ,h=0 , k=0

)

Grafiquemos estas dos situaciones usando una tabla de valores.


f ( x )=√ x Representación Gráfica

x 0 1 2 3 2…

y 0 1 √2 √3 4….

Dom( f )=¿∞) ,

f es creciente

Rgo( f )=¿

Fig.1.46

f ( x )=−√x Representación Gráfica

x 0 1 2 3 4…

y 0 1 √2 √3 2…

Dom( f ) = [ 0 ,∞ )

f es decreciente

Rgo( f )=¿ [0 , ∞)

Fig.1.47

Nota:

Para graficar este tipo de función (raíz cuadrada) se sugiere calcular previamente

el dominio, elaborar una tabla de valores y hallar las intersecciones con los ejes.

Ejemplo

Graficar la función:

y = √2x−1+2


Dominio

:2 x−1

¿0

⇒

x

¿ 12

⇒Dom( f )

=

[ 12,∞)

Elaboremos una tabla de valores:

x 0,5 1 2 3 ……

y 2 3 √3+2 √5+2 …….

Intersección con el eje x. Si y = 0 , entonces:

√2x−1+2=0 ⇒√2 x−1=−2

(Esto es un absurdo)

Por consiguiente, no hay intersección con el eje x

Nota. Como x=0∉Dom ( f ), entonces la gráfica no intersecta al eje y

Elaborando la gráfica se tiene:


Características que cumple la función:

Dominio:Dom ( f )=¿

Rango :Rgo( f )=¿

Crecimiento. f es crecimiento , x Dom( f )

Positividad: y > 0 , ∀

x Dom (f ) ( f siempre es positiva )

Acotamiento: festá acotada inferiormente. ¿)

Valor mínimo: ymín=2 ( valor más pequeño que toma la función )

Simetría : f es asimétrica ( no es par ni impar )

Observación

La función y = an√ x+h

+ k puede ser extendida para cualquier número n

par positivo y su representación gráfica siempre será una semi- parábola


Graficar:

1. y = √ x+2−1

2. y =

4√−x+16- 2

Función potencial irracional con índice impar.

y=a+k


Consideremos los casos más usuales: y= , y=−¿ (modelos)

Para graficar este tipo de función basta considerar el punto de inflexión y las

intersecciones con los ejes (puntos notables de la función)

Ejemplo:

Graficar y=+1

Punto de inflexión: x−1=0

⇒

P( 1 , 1 ) (punto donde la gráfica cambia de

sentido).

Intersección con el eje x. Si y = 0, entonces:

f ( x )=3√ x Representación gráfica

x -2 -1 0 1 2…

y - 3√2 1 0 1 3√2 .


f es creciente

f (−x)=−f (x)⇒ es impar

Fig.1.48

f ( x )=−3√x Representación gráfica


x -2 -1 0 1 2…

y 3√2 1 0 -1 -3√2


f es decreciente

f (−x)=−f (x)⇒es impar

Fig.1.49

12

3√ x−1+1=0

⇒ 3√x−1

= -2 (ecuación irracional)

Elevando al cubo en ambos miembros se tiene:

( 3√x−1)3= (−2 )3

⇒ x−1

= - 8 ⇒

x=7

⇒

I x (7,0 )

Intersección con el eje y. Si x = 0, entonces:

y (0)=+1=+1=I (0 ,)

Elaboremos la gráfica.


Características de la función:

Dominio: Dom( f )=R

Rango: Rgo( f )=R

Crecimiento: f es crecimiento,

∀ x ∈

Dom( f )

Positividad: y >0 , ∀ x∈

( - 7 , ∞

) (gráfica por encima del eje x )

Negatividad: y < 0 ,x ∈

( -∞

, -7 ) (gráfica por debajo del ejex )

Nulidad: y=0 , cuando x=−7

Acotamiento: f no está acotada.

f no tiene máximo ni mínimo

Simetría: f es asimétrica ( no es par ni impar )


Graficar:

1. y=¿ 2. y=1−¿

Función Racional

Una función que se encuentra expresada de la forma y =

ax+bcx+d

, [ 1 ]


donde c x + d ¿0

, y además a, b , c , d

∈R, recibe el nombre de función

racional

Estudiemos el caso más usual de esta función.

y =

1x

(a=0 , b=1 ,c=1 y d=0)

Representación gráfica (función modelo)

y=1

x

x -2 -1 1 2…

y -0.5 1 1 0.5.

Dom (f )=R− {0 },

Rgo( f )=R− {0 }

f (−x)=−f (x)⇒es impar

Fig. 1.50

Hagamos ciertas consideraciones acerca de esta función.

1. La función y =

1x

no esta definida para x = 0 , ya que y ( 0 ) = ∞

∉

R. En

este caso el valor de x = 0 se denomina asíntota vertical ( recta vertical , donde los

valores de la función se aproximan más y más al eje y sin que llegue a interceptarlo

(véase la figura).

2. Si hacemos el despeje x =

1y

( x en función de y ), podemos notar que

esta nueva función no está definida para y = 0 , es decir x(o ) =∞∉R, entonces el

valor de y = 0 se denomina asíntota horizontal (recta horizontal donde la gráfica se


aproxima cada vez más al eje x sin que llegue a interceptarlo) (véase la figura).

3. La gráfica de una función racional de la forma y =

ax+bcx+d

, recibe el Nombre

de hipérbola equilátera.

4. Para graficar este tipo de función basta determinar las asíntotas e

intersecciones con los ejes.

Ejemplo

Graficar. y =

2x−4x−1

Dominio: Dom( f )=R – {1}

La ecuación x = 1 es la asíntota vertical , ya que y(1 ) =

−20

=−∞ ∉ R

Rango: despejemos la variable x en función de y

y (x−1)=2 x−4

Agrupando: y x−2x= y−4

Factorizando. x ( y –2)= y – 4

Despejando. x=Rgo( f )=R−{2 }

Por consiguiente, la ecuación y = 2 es la asíntota horizontal, ya que x(2) = -∞

Intersección con el eje x. Si y =0 , entonces:

2x−4x−1

=0

⇒

2x -4 = 0 ⇒ x

= 2 ⇒

Ix(2, 0)

Intersección con el eje y. Si x = 0, entonces: y (0)=¿4 ⇒ I Y (0 , 4 )



Características de la función:

Dominio: Dom (f )=R− {1 }

Rango: Rgo ( f )=R− {2 }

Crecimiento: f es crecimiento,∀ x∈Dom( f )

Positividad: y>0 , ∀ x∈ (−∞ ,1 )∪ (2 ,∞ )(gráfica por encima del eje x )

Negatividad: y<0 , ∀ x∈ (1,2 ) ( gráfica por debajo del eje x ¿

Nulidad: y=0 , cuando x=2

Acotamiento: fno está acotada

1.12. Álgebra de funciones reales

En el conjunto de los números reales hemos estudiado las operaciones y

propiedades fundamentales de la aritmética. Ahora, aplicaremos tales operaciones y

sus propiedades a las funciones reales, es decir, a aquellas cuyo dominio y rango son

subconjuntos de números reales.

Dadas las funciones f : A→R y g :B→R , entonces se tiene:

Álgebra Definición Dom (F )=Dom ( f )∩Dom (g )

Función suma F (x)=f (x )+g (x)


F ( x )= (f +g )( x )

Función diferencia F ( x )= (f−g )(x ) F ( x )=f ( x )−g ( x )

Función producto F ( x )= ( f . g )(x ) F ( x )=f ( x ) . g ( x )

Escalar por una

función

F ( x )= (k . f )( x ) 𝐹( x )=k . f ( x ), k∈R

Función cocienteF ( x )=( fg )( x )

F ( x )= f (x )g(x )

, g (x)≠0

,

Ejemplo 1

Si f y g son funciones reales definidas por f (x )= x+1x−1

y g ( x )= xx+1

Determine la suma.

Solución

F ( x )=f ( x )+g ( x ) .

Determinemos previamente los dominios de cada una:

Dom (f )=R− {1 } , Dom (g )=R−{−1 } , entonces al interceptar estos dos dominios


se obtiene: Dom (F )=R− {±1 } . ¿Por qué?

Gráficamente se tiene:

Determinemos la operación planteada:

F ( x )= x+1x−1

+ xx−1

= x2+2x+1+x2−xx2−1

=2 x2+ x+1x2−1

Ejemplo 2

f ( x )=√x−1 y g ( x )=√x−1x−1

Determine el producto.

Solución

F ( x )=f ( x ) . g(x )

Determinemos previamente el dominio de ambas:

Dominio de f : x−1≥0 , entonces se tiene: Dom (f )=¿

Dominio de g : x−1≥0 ∧ x−1≠0 , efectuando se obtiene:

x≥1∧ x≠1 , por consiguiente Dom (g )=(1 ,∞ ) ¿Por qué?

En definitiva nos queda: Dom (F )=(1 ,∞ )

Calculemos ahora el producto de ambas:

F ( x )=√x−1 . √ x−1x−1

=√ (x−1 )2

x−1= x−1x−1

=1

Observa que calcular F (−3) no es posible ¿Por qué?

La función compuesta de denotada por es la función

, ∀ La función compuesta de denotada por es la función

, ∀

Consideremos dos funciones y


Ejemplo 3

Si f y g son funciones impares. Demostrar que el producto de ambas resulta

una función par.

Demostración.

Tenemos que demostrar que F (x)=f (x ). g(x ) es una función par.

Evaluando en−x se tiene : F (−x)=f (−x ) . g(−x)

Pero f (−x)=−f (x)g(−x)=−g (x), luego la expresión se puede reescribir así :

F (−x)=(−f (x)) .(−g(x ))=f (x ). g(x )=F (x), entonces F es par


1. Si f es una función impar y g una función par. Demostrar que el producto de

ambas resulta una función impar.

2. Si f es una función impar y g una función impar. Demostrar que la suma de

ambas resulta una función impar.

3. Si f es una función impar y g una función impar. Demostrar que el cociente de

ambas resulta una función par.

Composición de funciones reales

Noción intuitiva

La composición de funciones reales consiste en introducir una función dentro de

otra función involucrando sus dominios y rangos.

Definición


En diagrama de Venn se tiene:

Definición de los dominios de la función compuesta.

Ejemplo 1:

Dadas las funciones: f (x)=3x ,g (x)=¿√ x

Calcular: a ) ( f og)

b) Dom( f o g)

c) (go f )(x )

d ) Dom(go f )

a) ( f og)=f (g (x))=f ()=3 F(x )=3

Para determinar el dominio de esta composición, haremos el siguiente análisis

mediante la siguiente tabla.

Funciones Dominio Rango

f (x) R R

Esta composición solo es

posible si se cumple que:

Rgo( f )⊂Dom( g)

Dom (gof )= {x / x∈Dom ( f )∧ f ( x )∈Dom (g ) }

Dom (fog )={x / x∈Dom (g )∧g ( x )∈Dom (f ) }


g(x ) ¿ ¿

En este caso el dominio de la función compuesta coincide con el dominio de g. En

efecto, el rango de la funcióng es el conjunto de los números reales no negativos, que

es un subconjunto del dominio de f . Es decir, se cumple: Rgo (g )⊂ Dom (f )

Para hacer más comprensible la composición , veamos el siguiente esquema:

Nótese que Rg(g)Dom (f )Dom( f og)=Dom(g)=¿

b ) (go f )=g( f (x))=g(3 x )=F (x)=¿

Determinemos ahora el dominio de esta composición.

Rgo( f )=R ,Dom (g)=¿ se puede apreciar que el rango de f no está incluido

en el dominio de g . Esto es , Rgo( f )

⊄

Dom(g)

En este caso haremos una restricción del dominio de f . (Dom( f ¿)

Dom( f ¿)=¿. ∞

) , ahora se tiene que su rango es Rgo( f¿) ¿ [0 , } .

Luego se tiene queRg( f ¿)Dom (g)

Finalmente, se tiene que Dom(go f )=Dom( f ¿)=¿

Para una mejor comprensión de lo sucedido , observa el siguiente esquema:


Ejemplo 2f ( x )=2x2+3 x+1, g ( x )=5 x−1

Hallar:

a) (gof )( x )

b) (gof )(2 )

c) ( fog )(x )

d) ( fog )(−1)

Solución.

a) (gof )( x )=g ( f (x ) )=g (2x2+3 x+1 )=5 (2 x2+3 x+1 )−1=10 x2+15 x+4

(gof )( x )=10 x2+15x+4 ( esta es la función compuesta )

b) (gof )(2 )=10 (2 )2+15 (2 )+4=74

c ) ( fog )(x )=f (g ( x ) )=f (5x−1 )=2 (5x−1 )2+3 (5 x−1 )+1=50 x2−5 x

d) ( fog )(−1)=50 (−1 )2−5 (−5 )=55

Nótese que la composición no es conmutativa.


Supongamos ahora que tenemos tres funciones f , g y h , entonces:

( fogoh)( x )= (fo (goh ) )( x )=( ( fog )oh )( x )

Se puede verificar que la composición de funciones es asociativa.

Ejemplo 3

f ( x )=2x2−4 , g ( x )=√ x2+1 , h( x)=¿ 2 x−1

Hallar: ( fogoh)( x )

Se tiene entonces que:

( fogoh)( x )=f (g (h ( x ) ) )( x ) (por definición de composición)

Determinemos la composición interna:

Esto es: (goh )( x )=g (h ( x ) )=g (2 x−1 )=√(2 x−1 )2+1=√4 x2−4 x+2

Determinemos finalmente la composición externa conf .

f (√4 x2−4 x+2 )=2 (√4 x2−4 x+2 )2−4=2 (4 x2−4 x+2 )−4

¿8 x2−8 x luego,

( fogoh)( x )=8x2−8x

Hasta ahora, hemos usado la composición para hallar la función compuesta F ( x )

a partir de otras funciones, pero en cálculo a veces resulta útil descomponer una

función compuesta. Esto es, dada la función compuesta debemos hallar las funciones

que la componen.

Ejemplo 1


Dada la función compuesta F ( x )=(2 x2+5 )4

. Hallar las funciones f y g

tal que se

cumpla F ( x )= ( fog )( x ) Se tiene entonces:

Solución

f ( x )=x4

(función externa) y g ( x )=2 x2+5. (función interna)

Otra manera de descomponerla seria:

f ( x )=( x+5 )4

, g ( x )=2 x2 .

Se observa entonces que la descomposición no es única.

Ejemplo 2

F ( x )=√3 x4+1

Descomponerla de la forma: F ( x )= ( fog )( x )

entonces se tiene:

Solución

f ( x )=√ x+1 (función externa )

g(x )=3 x4 (función interna)

Ejemplo 3

F ( x )=(3+(2 x3+1)2 )5

Descomponerla de la forma:

F ( x )=( fogoh )(x ) entonces se tiene:

f ( x )=x5

g ( x )=3+x2

h ( x )=2 x2+1


Podría usted hallar otra respuesta.

1.14. Función inversa

Noción intuitiva

La inversa de una función no es más que la acción recíproca que realiza la

función f ( retorno def ).

Definición

Consideremos la función f : A→B

. Una función g :B→A

la función inversa de f

si se verifica:

(gof )( x )=x ,∀ x ϵA

( fog )( y )= y , ∀ y∈B ó también ( fog )(x )=x , ∀ x∈B

En este caso la composición es conmutativa, esto es:

(gof )( x )=( fog )( x )=x

Esta definición se ilustra en el siguiente diagrama:

Vamos a convenir lo siguiente f−1=g .

¿Qué condiciones debe satisfacer la función f : A→B

para que tenga función

inversa?

La gráfica de f−1

es la imagen reflejada de la gráfica de f respecto a la recta y=x

(función identidad).

Es decir, la gráfica de la función inversa siempre es simétrica respecto a la función

identidad y=x

Si una función dada por y=f ( x ) tiene inversa definida por x=g( y )=f−1( y ), ésta se obtiene despejando la variable x en función de la variable y


La respuesta a esta pregunta es:

La función f : A→B

debe ser biyectiva ( inyectiva y sobreyectiva a la vez ).

¿Cómo determinamos analíticamente la función inversa f−1

de f ?

Esta se obtiene mediante la siguiente regla práctica.

En resumen: x=f−1( y )

se llama la función inversa de f.

Ejemplo:

Si f (2)=5

entonces f−1(5 )=2

. ( la función inversa retorna la operación)

Propiedades que cumple la función inversa:

1. ( f−1 ( x ))−1=f (x)

2. ( f (x )og ( x ) )−1=g−1 ( x )o f−1 (x ) con f y g biyectivas

3. Si la función inversa existe, ella es única

Gráfica de la función inversa.


Interpretación geométrica

Fig. 1.51 Fig. 1.52


y=f ( x )

Fig. 1.53

y=f ( x )

Fig. 1.54

Dada la gráficaf . hallar la gráfica de la función inversa:

Nota

Si la función f no es biyectiva, entonces la inversa def no sería una función.

Por ejemplo: fno es biyectiva.


Si se despeja la variablex se obtiene:

x=±√ y, como vemos, esto no es una

función.

Calcular en forma analítica la función inversa

Ejemplo 1

f ( x )=2 x+3

Debemos despejar la variable independiente x en función de la variable y

y=2x+3

x= y−32

=g ( y ) , entonces f−1 (x )= x−3

2 ( función inversa )

Verifiquemos que esta función es la función inversa: ( f−1of ) (x )=x

1. ( f−1of )( x )=x

( f−1of ) (x )=f−1( f ( x ))=f −1 (2x+3 )=( 2 x+3−32 )=x

Fig. 1.55


2. ( fof−1)( x )=x

( fof−1)( x )=f ( f−1 ( x ) )=f−1( x−32 )=2( x−3

2 )+3=x−3+3=x

.

Ejemplo 2

f ( x )=5 x−13x+6

y =

5x−13x+6

⇒ y (3x+6 )=5 x−1

aplicando la propiedad distributiva se tiene:

3 xy+6 y=5 x−1 agrupando se tiene.

3 xy−5 x=−6 y−1 factorizando por factor común se tiene

x (3 y−5)=−6 y−1 despejando x en función de la variable yse tiene.

x=,entonces se tiene que f

Hagamos la verificación: Esto es

1. f2.

¿

−30 x−5−3 x+53 x−5

−18 x−3+18 x−303 x−5

=−33 x−33

=x

( se ha verificado que

f

es la inversa de

f

)

Ejemplo 3


f (x)=2(x−3) hallar

f

y = 2 (x-3)

3+5

⇒

y−5=2(x−3) ⇒

x−3=¿

3√ y−52 ⇒

x=¿3+ 3√ y−52

⇒ f −1 (x )=3+ 3√ x−52

, verificando tenemos:

1. f

−1( f ( x ))=f −1 (2( x−3)3+5)=3+3√ 2( x−3 )3+5−5

2=3+

3√ 2( x−3)3

2=

3+x−3=x

2. (f (x)=x ( esta parte se le propone a Ud. para que la verifique).

A continuación le propongo otra forma para calcular la función inversa

Partiremos de la siguiente ecuación: (f∘ f−1

)(x)=x . Veamos el ejemplo 1

f ( x )=2x+3entonces

f(f−1( x ))=

2f−1( x )+3=x

efectuando se tiene :

2 f −1( x )+3=x ⇒ f−1( x )= x−3

2

1.16. Funciones definidas a trozos

Una función f se dice que esta expresada a trozos si f está definida mediante

varias ecuaciones funcionales, donde cada trozo tiene su respectivo dominio.

Notación.


f ( x )=

{f 1( x ) si x≤x1

f 2( x ) si x1<x≤x2

f 3 ( x ) si x2<x≤x3

. . .f n( x ) si x≥xn

Nótese que cada intervalo es el dominio de cada trozo.

Graficar la siguiente función definida a trozos:

Ejemplo 1

f (x)

=

{2 x−1 si x≤1−x+4 si x>1

Analicemos cada trozo.

y1=2 x−1 ( función afín ) y2=−x+4( función afín )

Elaboremos una tabla para cada trozo tomando en cuenta sus dominios.

x 0 1

y2 -1 1

x 1 2

y2 3 2

Recuerda. Por dos puntos distintos pasa una y sólo una recta.


Fig. 1.56


Consideremos algunas características que cumple la función.

Dominio: Dom( f )=R

Rango: Rgo( f )=(− ,3) Crecimiento : f es creciente , x (−,1)

Decrecimiento : f es decreciente , ∀ x ∈ ( 1 , ∞ )

Positividad: y> 0 , ∀

x ∈ (

12 , 4 )

Negatividad : y < 0 , ∀

x ∈ ( -∞ ,

12 ) ¿ ( 4 , ∞ )

Nulidad : y = 0 en

x=

12 ¿

x =

4 ( I x )

fno tiene valor máximo ni mínimo

f está acotada superiormente (¿ (f )=3)

f es asimétrica ( no es par ni impar )

Ejemplo 2

f

(x) =

{( x−1 )2−1 si x≤3−x+6 si x>3

En este caso se tiene:

y1

= ( x−1 )2−1

(función cuadrática)

Calculemos el vértice: x−1=0V (1 ,−1)

Fig. 1.57


Intersección con el eje x . Siy=0 , entonces:

( x−1 )2−1=0

⇒

( x−1 )2

= 1 ⇒

x−1=¿

[¿Por qué ? ]

Luego ,

x−1=⇒{ x1=1+1=2x2=−1+1=0

; así Ix

( 2 , 0 ) , I x

( 0 , 0 )

Intersección con el ejey . Si x=0 , entonces:

y (0)=¿ (0−1 )2−1=1−1=0

⇒

Iy

(0 , 0 )

En este caso evaluemos la función enx=3 , porque es el valor en el cual cambian

las ecuaciones:

y (3)=(3 –1)−1=4 – 1=3

Analicemos la otra función. y=− x+6 (función afín)

Elaborando una tabla y tomando en cuenta su dominio se tiene:

x 3 4

y2 3 2

Graficando la función f (x) :


Nótese lo siguiente: Dom( f )=R , Rgo( f )=R [¿Por qué ? ]

Actividad:

Complete el siguiente recuadro.

Crecimiento

Decrecimiento

Positividad

Negatividad

Nulidad

Función valor absoluto

Una función que presenta la forma y =

a .|x+h|+k, donde

a, h , k

∈R, recibe

el nombre de función valor absoluto. [ 1 ]

Esta función al igual que la función cuadrática, presenta un vértice V( -h , k ).

Analicemos los casos usuales: y=¿ , y=¿ ( a=1 , h=0 , k=0¿

y=|x| Representación gráfica

x -2 -1 0 1 2…

y 1 0 1 2….

Dom( f )=R , Rgo(f )=¿

f (−x)=f (x )⇒ f es par


Fig.1.58

y=−|x| Representación gráfica

x -2 -1 0 1 2…

y -2 -1 0 -1 -2…

Dom( f )=R , Rgo(f )=¿

f (-x) = f (x) ⇒ f es par

Fig.1.59

Observación:

Para graficar una función del tipo [ 1 ], basta conocer el vértice y las

intersecciones con los ejes.

Ejemplo 1

Graficar

y=2.

Determinemos el vértice: x−1=0

⇒

x=1

V ¿

)

Intersección con el eje x : Siy=0 entonces:

2. efectuando se tiene

|x−1|=42=2

( ec. con valor absoluto )

Luego se tiene.

Fig.1.60


¿2

Ix

(3 , 0 ) , Ix

( -1 , 0 )

Intersección con el eje y . Si x= 0 , entonces:

y (0)=2.=2– 4=−2 I (0 ,−2)

Graficando finalmente se tiene:

Actividad:

Complete el siguiente recuadro.


Crecimiento

Decrecimiento

Positividad

Negatividad

Nulidad

Nota. Toda función valor absoluto se puede trasformar a trozos.

Para ver esto con mayor comprensión usaremos la definición de valor absoluto.

(Véase nociones previas)

y = |f ( x )|=

{ f (x ) si f ( x )≥0−f (x ) si f ( x )<0

Ejemplo 1

y= 2.

|x−1|−4 =

{ 2.( x−1)−4 si x−1≥0−2. (x−1)−4 si x−1<0

Efectuando se tiene:

y =

{ 2x−6 si x≥1−2x−2 si x<1

(

f

ha quedado convertida a trozos)

Se tiene: y=2x−6 y=−2x−2

Actividad:

Complete las tablas y grafique:


x

y

x

y2

Ejemplo 2

Graficar

y =

|x−1|+|x+2|−|x+3|−3

En este caso es conveniente transformar a trozo la función dada.

x−1=0 , x+2=0x+3=0

⇓

⇓

⇓

x=1 x=−2 x=−3

Ahora aplicaremos el método tabular.

x∈ R -3 -2 1

x−1 - - - +

x+2 - - + +

x+3 - + + +


En este caso tomaremos de la tabulación, únicamente los renglones columnas de

cada intervalo que se ha formado (4 intervalos que llamaremos trozos).

Trozo 1. I1

= ( - ∞

, -3 ] ó x¿−3

)

Analicemos los signos de cada renglón . :

y=−(x−1)+[ – (x+2)] – [−(x+3)]−3 ( por prop. distributiva se tiene)

y=− x+1 – x−2+ x+3−3=−x−1

y=− x−1

Trozo 2. I=¿ó−3<x

y=−(x−1)+[−(x+2)] – (x+3)−3 ( por prop. distributiva se tiene)

y=− x+1 – x−2−x−.3−3=−3 x−7

y=−3x –7

Trozo 3. I 3 = ( -2 , 1 ] o´ -2 < x 1

y 3 = - ( x−1¿+(x+2)−(x+3)– 3( por prop. distributiva se tiene)

y=− x+1+x+2 – x−3−3=−x−3

y=− x –3

Trozo 4 . I 4 = ( 1 , ) ó x >1

y=(x−1)+(x+2)−( x+3)−3 efectuando se tiene.

y=x –1+x+2 – x−3 – 3=x−5

y=x−5

Luego la función a trozos es:


f (x)=¿

15

123

2373

31

xsix

xsix

xsix

xsix

Actividad: complete las tablas y grafique

x

y1

x

2y

X

Y 3

x

y 4


Graficar.

1. y=|x−2|−¿x+2∨¿ 2. y=−2¿


Función exponencial

Definición

Se llama función exponencial a toda expresión de la forma y=a+k .bx , donde las

constantes a , k y b son números reales, con b estrictamente positivo y diferente de la

unidad (b> 0 b 1 )

Hagamos las siguientes consideraciones:

La recta y = a es su asíntota horizontal

Dom( f )=R

Estudiemos el caso usual de esta función ( la función modelo )

Establezcamos lo siguiente: a=0 , k= 1 , entonces nos queda:

y = bx [ 1 ] ( función exponencial modelo )

Expresado en notación funcional :

f :R→R

x→ f ( x )=bx b>0∧b≠1 , dondex toma cualquier valor real.

Hagamos las siguientes consideraciones para la función modelo:

)1( )( bbxf x )1( )( bbxf x

Tomando en cuenta lo anterior grafique:

)1( )( bbxf x )1( )( bbxf x


Fig. 1.61 Fig. 1.62

Ejemplo:

Consideremos las siguientes funciones exponenciales:

xxf 2)( y xx

x

xf

22

2

1)( 1

Elaboremos una tabla de valores para cada una de ellas:

Tabla 1 : f ( x )=2x ; b>1

x −3 −2 −1 0 1 2 3

y 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

Tabla 2 : f ( x )=( 12 )

x

=(2−1 )x=2− x ; 0¿b<1

Fig. 1.63


x −3 −2 −1 0 1 2 3

y 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8

Fig. 1.64

Si a ,b∈R ∧ x , y∈R

yxyx aaa

0a yxy

x

aa

a

xyyx aa

xxx baba ..

0b

x

xx

b

a

b

a


1.18. Función exponencial

Propiedades que cumple la función exponencial.

El número e : (Leonardo Euler 1707- 1783)

Según la definición dada de función exponencial, se tiene que la base b , puede

ser cualquier número positivo diferente de 1. Además, para cada valor deb hay una

función exponencial diferente. Existe en particular un valor de b que es muy importante

en matemáticas. Esto es un número irracional, que se denota por b=e .

En cálculo se muestra que la expresión dada por la función

x

xxf

11)(

se

aproxima al número e cuándo x toma valores muy grandes. En la siguiente tabla damos

algunos valores de esta función:

Haciendo uso de la calculadora electrónica completar la siguiente tabla.

X 1 2 10 100 1000 10000 100000 1000000

x

x

11

2 2.25 2.5937 2.7048 2.7169 2.7181 2.7182 2.71828

Se observa que cuándo x toma valores muy grandes, la expresión

x

x

11

se


aproxima cada vez más al número 2.71828, el cual es una aproximación al número e

Ahora podemos hablar de la función exponencial de base b = e

xexf )(

Fig. 1.65

xexf )(

Fig. 1.66

Representación de la función exponencial

y=a+k . e

Ejemplo 1

f ( x )=2−2ex

Asíntota horizontal 2hy (término independiente)

Intersecciones con el ejex . Si y¿0 , entonces:

2−2e x=0 ⇒2ex=2 ⇒ ex=1 ⇒ ex=e0 . [¿Por qué ? ]

⇒ x=0 ⇒ Ix (0,0 )Intersección con el eje y. Si x=0 , entonces:

f (0 )=2−20eo=2−2=0 ⇒ I y (0,0 )

Graficando finalmente se tiene


1.19. Función logarítmica

Si se considera la función exponencial

f :R→R+¿¿

x→ f ( x )=bx b>0∧b≠1

Definiremos la función logarítmica a partir de la inversa de función exponencial.

Esto es:

f−1:R+¿→R¿

y→x=logb ( y )

x=log y : se lee logaritmo de y en base b

Esto lo podemos escribir convencionalmente así: f ( x )=logb ( x ) (x>0) (función

modelo).

Representación gráfica de la función modelo

y=Log (x)

Características: Dom (f )=R Rgo ( f )=(−∞ ,2 )

f es decreciente, ∀ xϵDom ( f ) f >0 ,∀ x∈ (−∞,0 ) f <0 ,∀ x∈ (0 ,∞ )

0)( xf en x=0

f es inyectiva

f es sobreyectiva sobre su rango

f es biyectiva

f es asimétrica (no es par ni impar).

Asíntota Horizontal: 2y

Fig. 1.67


y=Log (x) , b > 1 y=Log (x) 0<b<1

y=Log (x) , b > 1 y=Log (x) 0<b<1

Fig.1.68 Fig. 1.69

El valor de x=0 se corresponde con la asíntota vertical de la función

Hagamos las siguientes consideraciones:

Logaritmo con base 10: b=10

f ( x )=Log10 ( x )=Log ( x ) ( logaritmo decimal o vulgar )

Logaritmo con base e:

f ( x )=loge ( x )=ln (x ) ( logaritmo neperiano de x )

Ejemplo: con su calculadora electrónica calcule:

1. Log (3478 )=¿ 2. Log (−234 )=¿

3. Ln (567 ) ¿ 4. Ln (−2 ) ¿

Propiedades que cumple la función logarítmica


P 1: Logaritmo de un producto log b ( x . y )=logb ( x )+logb ( y )

P 2: Logaritmo de un cocientelog b( xy )= logb ( x )−logb ( y )

P 3: Logaritmo de una potencia log b xn=n. logb ( x )

P 4: Logaritmo de una raízlog b

n√ x=logb ( x )

n

P 5: Logaritmo de la unidad log b1=0

P 6: Logaritmo de la baselog bb=1

P 7: Logaritmo de cambio de baselog b ( x )=

log c x

logcb

Observación

La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial, entonces se

cumple que:

b logb ( x )=x

Nota

La propiedad 7 resulta interesante ya que nos permite calcular el logaritmo de un

número positivo, cambiando previamente la base (esta propiedad recibe el nombre de

cambio de base).

Ejemplo

log 45=?

Este logaritmo no aparece en la calculadora habitual, entonces se procede a

cambiar la base, bien sea a base 10 ó base e . Veamos

log 4 (5 )=Log (5 )log 4


log 4 (5 )=Ln (5 )ln (4 )

Aplicaciones de las propiedades de logaritmo

Ejemplo

Desarrollar aplicando las propiedades

Ln

Por logaritmo de una potencia y cociente se tiene:

4. [ ln ( 3√a4 . b5 . c2 )−ln (a2 . b8 . c−2) ] Aplicando el logaritmo de una raíz y de la potencia nos queda:

¿4. [4. ln (a )+7. ln (b )+2. ln (c )3

−2 ln (a )−8. ln (b )+2. ln (c )]Efectuando las operaciones dentro del corchete se tiene:

¿4. [ 4. ln (a )+7. ln (b )+2. ln (c )−6. ln (a )−24. ln (b )+6. ln c3 ]

¿4. [−2. ln (a )−17. ln (b )−8. ln ( c )3 ]

Aplicando la propiedad distributiva nos queda en definitiva:

ln [ 3√a2 . b5 . c2

a2. b7 . c−2 ]4

=−8.Ln (a )−68. ln (b )+32. ln (c )

3

Ejercicios propuestos.

1- Desarrollar aplicando las propiedades de logaritmo. 1. Ln 2. Ln

Representación gráfica de la función logarítmica

f ( x )=a+log b (c . x+b )

Ejemplo 1

Fig. 1.70


f ( x )=−1+ log2 (2x−4 )

Determinemos primeramente su dominio

Dom (f )={x∈ R/2 x−4>0 } ; 2 x−4>0⇒2 x>4⇒ x>2.

Por tanto su dominio es Dom (f )=(2,∞)

Asíntota vertical:

2x (Recta vertical)

Intersecciones con los ejes:

Intersección con el ejex. Si x=0 , entonces:

−1+ log2 (2 x−4 )=0 (Ecuación logarítmica)

log 2 (2 x−4 )=1 ⇒ 2 x−4=21 ⇒ x=3 ⇒ Ix (3 ,0 )

Intersección con el ejey .Si x=0 , entonces:

R 4log1)4)0(2(log1)0( 22 f (no existe intersección con y )

Características: Dom (f )=(2,∞) Rgo (f )=R

f es creciente , ∀x∈Dom (f ) f ( x )>0 , ∀ x∈ (3 ,∞) f ( x )<0 , ∀ x∈ (−2 ,3 )

0)( xf en x=3

f es inyectiva


f es biyectiva

f es asimétrica ( no es par ni impar).

Fig. 1.70


Importancia de la función exponencial y logarítmica

Las funciones exponenciales y logarítmicas cumplen un papel importante en la

vida diaria. Gracias a la existencia de la función exponencial, es más cómodo para los

especialistas químicos, estudiar los elementos radiaactivos; para los economistas, el

crecimiento poblacional; para los médicos, la utilización de los medicamentos en el

cuerpo humano, para la psicología, el estudio del coeficiente intelectual, entre otros.

Las funciones logarítmicas también tienen diversas aplicaciones. En Geología,

permite determinar la intensidad de alteraciones en las capas terrestres; a los

astrónomos, les permite calcular la magnitud y la luz de las estrellas; en Física les

permite calcular el volumen de decibeles del sonido, para los sismólogos, les permite

determinar la intensidad de un terremoto, entre otros.

1.20. Función parte entera (función escalonada)

Una función que asocia cada número real x con su parte entera menor o

igual que x , recibe el nombre de función parte entera de x .

Notación:

f (x) = [[ x ]] = n , donde n 1 nx , ( n es un número entero )

Ejemplo 1

⟦3 ⟧=3 ya que 3

⟦−5 ⟧=−5 ya que −5

⟦ 0,5 ⟧=0 ya que 0 15,0

⟦−2,4 ⟧=−3 ya que −3 24,2

⟦−π ⟧=−4 ya que −4

Características: Dom (f )=(2,∞) Rgo (f )=R

f es creciente , ∀x∈Dom (f ) f ( x )>0 , ∀ x∈ (3 ,∞) f ( x )<0 , ∀ x∈ (−2 ,3 )

0)( xf en x=3

f es inyectiva


f es biyectiva

f es asimétrica ( no es par ni impar).


⟦ √3 ⟧=1 ya que 1

En forma general se tiene: ⟦a ,b ⟧=a y ⟦−a ,b ⟧=−a−1

De lo anterior vemos que el dominio de esta función se corresponde con todos los

números reales ( R ) y el rango con todos los números enteros ( Z ).

Representación gráfica de y = ⟦x ⟧

Para graficar esta función elaboraremos una tabla que tome en cuenta al

entero n y sus respectivos intervalos.

La función y= ⟦x ⟧

, la podemos expresar a trozos:

y={−3 si −3≤x←2−2 si −2≤x←1−101

sisisi

−1≤ x<00≤x<11≤x<2

Actividad:

Grafique en el recuadro, la función a trozos y= ⟦x ⟧ .

n 1 nxn f (x)

3 - 3 2x -3

-2 - 2 1x -2

-1 - 1 0x -1

0 0 1x 0

1 1 2x 1


Ejemplo 2.

Hallemos algunos valores de la función y grafique en la tabla indicada

y= ⟦x−1 ⟧ , donde n≤ x<n+1

Solución.

Elaboremos una tabla de valores, tomando en cuenta los valores enteros para

n y sus respectivos intervalos.

Expresemos esta función a trozos.

y={−3 si −2≤x←1−2 si −1≤ x<0−101

sisisi

0≤x<11≤ x<22≤ x<3

n 11 nxn 21 nxn y

-3 -3 21 x -2 1x -3

-2 -2 11 x -1 0x -2

-1 -1 01x 0 1x -1

0 0 11x 1 2x 0

1 1≤ x−1<2 2 3x 1


Gráfica:

Ejemplo 3

Hallemos algunos valores de la función y grafique en la tabla indicada

y=x−⟦x ⟧

En este caso se está combinando una función lineal con la función parte entera

(esta combinación se conoce con el nombre de función mantisa o parte decimal )

Elaboremos una pequeña tabla de valores para los enteros n con sus

respectivos intervalos.

Expresando esta función a trozos se tiene:

y={−3 si −2≤x←1−2 si −1≤ x<0−101

sisisi

0≤x<11≤ x<22≤ x<3

n 1 nxn y=x−⟦x ⟧

−3 −3 2x x+3

−2 -2 1x x+2

−1 −1 0x x+1

0 0 1x x

1 1≤x<2 x−1

Gráfica:


Ejercicios propuestos.

Grafica:

1. y= ⟦x−4 ⟧ 2. y= ⟦2x+1 ⟧

3. y= ⟦x ⟧−x 4. y=x+⟦ x ⟧

1.21. Funciones hiperbólicas

Frecuentemente en cálculo se presentan ciertas combinaciones de funciones

exponenciales que merecen nombres especiales y que se estudien como ejemplos de

nuevas funciones. Estas combinaciones se denominan seno hiperbólico (senh), coseno

hiperbólico (c osh¿, tangente hiperbólica (tanh), cotangente hiperbólica coth, secante

hiperbólica (sech) y cosecante hiperbólica (cosch ) , y se definen como sigue:


Funciones hiperbólicas directas Funciones hiperbólicas indirectas

f (x)=senh ( x )= ex−e−x

2f ( x )=cosch ( x )= 2

ex−e− x

f ( x )=cosh ( x )= ex+e− x

2 f ( x )=sech ( x )= 2

ex+e− x

f ( x )=tanh ( x )= ex−e− x

ex+e− x f ( x )=coth (x )= ex+e−x

e x−e−x

Representación Gráfica:

f ( x )=senh ( x ) f ( x )=cosch ( x )

Fig.1.71

Dom( f )=R

Rgo( f )=R

Fig.1.72

Dom (f )=(∞ ,0 )∪ (0 ,∞ )Rgo( f )=¿

f ( x )=cosh ( x ) f ( x )=sech ( x )

Fig. 1.73

Dom( f )=R

Rgo( f )=¿

Fig. 1.74

Dom( f )=R

Rgo( f )=(0 ,1¿


f ( x )=tanh ( x ) f ( x )=coth (x )

Fig.1.75

Dom( f )=R

Rgo( f )=(−1 ,1 )

Fig.1.76

Dom( f )=¿ ,00,

Rgo( f )=¿ (−∞ ,−1 )∪ (1 ,∞ )

El calificativo hiperbólico se debe a que estas funciones se pueden referir a una

hipérbola de la misma manera que las funciones trigonométricas están referidas a la

circunferencia.

Identidades hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas tienen muchas propiedades parecidas a las de las

funciones trigonométricas, a continuación se mostrarán algunas identidades

hiperbólicas:

1. cosh ( x )−senh ( x )=e−x 2. cosh2 ( x )−s enh2 (x )=1

3. cosh ( x )+senh ( x )=ex 4. tanh2 ( x )+sech2 ( x )=1

Demostración de la identidad número 3:

Por definición se tiene que: cosh ( x )=¿ y senh ( x )=¿ sustituyendo se tiene:

4

22

4

2

4

2

22

20220220220222 xxxxxxxxxxxx eeeeeeeeeeeeeeee


14

4 00

ee

; Recuerda que: (exx e22)

Actividad 1

Demostrar las restantes identidades anteriores.

CALCULADORA ELECTRONICA: TECLA HYP

Estas funciones hiperbólicas se encuentran localizadas en las calculadoras

electrónicas.

Por ejemplo, si se nos pide calcular el valor de cualquiera de ellas debemos seguir

la siguiente instrucción:

?)2( senh

Actividad 2

Usando la calculadora determine:

a) senh (3 ) b) cosh (5 )c) sinh (−3 ) d) tanh (2 )Funciones hiperbólicas inversas:

Debido a que las funciones hiperbólicas se definen en términos de las funciones

exponenciales, entonces las funciones hiperbólicas inversas pueden expresarse en

términos de funciones logarítmicas, tal como se muestra a continuación:

1. senh−1 ( x )=ln (x+√ x2+1 ) ;∀ x∈R

2. cosh−1 (x )=ln (x+√ x2−1 ) ; ∀ x¿

3. tanh−1 (x )=12Ln( 1+x

1− x ) ; ∀ x∈ (−1 ,1 )

2senhhyp .......6268,3


4. coth−1 ( x )=¿¿ 12Ln( x+1

x−1 ) ; ∀∈ (−∞,1 )∪ (1 ,+∞ )

5. sech−1 ( x )=Ln( 1+√1−x2

x ) ; ∀ x∈ (0 ,1 ]

6. csch−1 ( x )=¿¿ Ln¿ ; ∀ x∈ (−∞ ,0 )∪ (0 ,+∞ )

Aplicación: Puente colgante o cables colgantes

Aplicación: La Catenaria, Si un cable o cadena flexible homogénea se suspende

entre dos puntos fijos a la misma altura, forma una curva denominada catenaria,

además una catenaria puede colocarse en un sistema de coordenadas de modo que su

ecuación toma la forma y=acosh( xa )

Nota

Observemos que en las calles o en nuestras casas existen una variedad de cables

colgantes que simulan este mismo modelo. Por ejemplo el tendido eléctrico, el tendido

de ropa en nuestra casa, etc.

1.22. Sucesiones reales

Definición

Una sucesión de números reales es una función o aplicación definida del

conjunto de los números naturales N* al conjunto de los números reales R. Esto se

puede representar en notación funcional de la siguiente forma:


:f N* R

n… f (n)=an ( término general o n-esimo de la sucesión )

Donde: na son las imágenes de la función o aplicación y se denotan

habitualmente así:

1432,1 ...........,, nnaaaaa y se denominan los términos de la sucesión.

Aquí se evidencia lo siguiente:

Dom (f )=N ¿ y Rgo ( f )={a1 , a2 , a3……. }

En lo que hemos desarrollado podemos inferir que una sucesión es una clase

especial de función.

Ejemplo:

Dada la sucesión definida por su término general: nan 2

Hallar sus primeros cinco términos.

Para: n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

Luego los términos de la sucesión son: {2 ,4 ,8 ,10 ,…………}

Estos valores los podemos representar en el plano cartesiano ( R2 )


Igualdad de sucesiones

Dadas las sucesiones 1nna y 1nnb se dice que estas sucesiones son

iguales si se verifica que ii ba donde i=1 ,2,3…n.

Ejemplo 1

1nna = {0 ,1 ,0 ,1 ,0,1………}

y

1nnb = ...........1,0,1,0,1,0

nn ba Obviamente las sucesiones dadas son iguales

Ejemplo 2

{cn }n=1

∞ =¿ { 1 , -1 , 1 , -1…..} y {dn }n=1

∞ = { -1, 1 , -1, 1……}.

Evidentemente , podemos decir que estas sucesiones no son iguales. Esto es

cn≠dn

La igualdad de sucesiones no debe confundirse con su rango o recorrido.

Por ejemplo, aunque cn≠dn se tiene que Rgo (cn )=Rgo (dn )={0 ,1 }

Sucesión Constante:


Definición

Una sucesión se dice que es constante cuando todos sus términos son iguales.

Ejemplo: ...................3,3,3,3,3,31 nna


Dados los términos generales de las siguientes sucesiones. Hallar los primeros 9

términos:

1. nnan 32

2. b nn n

n

1)1.(

3. c 2

12

1

n

n

n

+1

4. x ))1(1.( nn n

5. nn aa 21 + 3 , donde 21 a para n 1 (sucesión por recurrencia )

6. F 12 nnn FF , donde F 11 , F 12 para n 1 (sucesión de Fibonacci)


INGENIERÍA CIVIL

La Rueda de Falkirk en Escocia.

La ingeniería civil es la rama de la ingeniería que aplica los conocimientos de física, química y geología a la elaboración de infraestructuras, obras hidráulicas y de transporte. La denominación "civil" se debe a su origen diferenciado de la ingeniería militar.

Tiene también un fuerte componente organizativo que logra su aplicación en la administración del ambiente urbano principalmente, y frecuentemente rural; no sólo en lo referente a la construcción, sino también, al mantenimiento, control y operación de lo construido, así como en la planificación de la vida humana en el ambiente diseñado desde esta misma. Esto comprende planes de organización territorial tales como prevención de desastres, control de tráfico y transporte, manejo de recursos hídricos, servicios públicos, tratamiento de basuras y todas aquellas actividades que garantizan el bienestar de la humanidad que desarrolla su vida sobre las obras civiles construidas y operadas por ingenieros.

La única forma de alcanzar el conocimiento que deseamos es dedicándonos

cada día más y mejor a nuestros estudios. Con el apoyo de nuestros padres, la

orientación de nuestros profesores y con la gracia infinita del supremo lo

lograremos.

Prof. Luis Viera

http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_militar

http://es.wikipedia.org/wiki/Transporte

http://es.wikipedia.org/wiki/Hidr%C3%A1ulica

http://es.wikipedia.org/wiki/Infraestructura

http://es.wikipedia.org/wiki/Geolog%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%ADmica

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica

http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Escocia

http://es.wikipedia.org/wiki/Rueda_de_Falkirk

modulo de funciones reales

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