IAP. MATEMTICA VIII.

IAP. MATEMTICA VIII.

Introduccin

Respetados Participantes, les damos la ms cordial bienvenida a este perodo escolar exhortndolos, a lograr sus objetivos propuestos, a sabiendas de que los alcanzarn.

Hemos elaborado el modulo instruccional de convocatoria de matemtica de octavo grado, de tal forma, que los temas incluidos, sean comprendidos de manera clara y precisa para que ustedes logren adquirir los conocimientos necesarios para estudios posteriores, tomando en cuenta los esenciales mnimos del programa de matemticas del Ministerio de Educacin de octavo grado.

Culminado el curso,debern en estar en la capacidad de desarrollar y comprender los temas tratados de tal forma que se les facilitar tener una base ms slida de matemtica para cursos ms avanzados. De ustedes depender el xito de los objetivos propuestos en este mdulo.

EL XITO ESTA COMPUESTO POR 5% DE INSPIRACIN Y UN 95% DE SUDOR

INDICE

Introduccin Nmero de pginaNmeros Irracionales3 Expresin Notacin Recta numrica Conjunto de los nmeros reales Definicin Notacin Operaciones con nmeros reales Propiedades de nmeros reales Asociativa, Conmutativa, Elemento neutro, clausurativaExpresiones Algebraicas12 Elementos de una expresin algebraica Operaciones con expresiones algebraicas Productos y cocientes notables Ecuaciones de Primer grado con una incgnitaSistema de Medidas ..47 Medidas de superficie del Sistema Internacional Medidas de superficie del Sistema Ingles Conversin de UnidadesLa circunferencia y el crculo...56 Concepto Elementos de la circunferencia y el circulo Clculo del permetro de la circunferencia Identificacin de los elementos del circulo y la circunferencia.Medidas de tendencia central.62 Media Moda MedianaBibliografa

UNIDAD # 1

Los Nmeros IrracionalesUnnmero irracionales un nmero queno se puedeescribir en fraccin - el decimal sigue para siempre sin repetirse.Ejemplo:Pies un nmero irracional. El valor de Pi es3.1415926535897932384626433832795 (y ms...)Los decimales no siguen ningn patrn, yno se puedeescribir ninguna fraccin que tenga el valor Pi.Nmeros como22/7= 3.1428571428571... se acercan pero no son correctos.

Se llamairracionalporque no se puede escribir en forma derazn(o fraccin),no porque est loco!

Racional o irracionalPero si un nmerose puedeescribir en forma de fraccin se le llamanmero racional:Ejemplo:9.5se puede escribir en forma de fraccin as19/2= 9.5as quenoes irracional (es unnmero racional)Aqu tienes ms ejemplos:NmerosEn fraccinRacional oirracional?

55/1Racional

1.757/4Racional

.0011/1000Racional

2(raz cuadrada de 2)?Irracional!

Ejemplo: La raz cuadrada de 2 es un nmero irracional?Mi calculadora dice que la raz de 2 es 1.4142135623730950488016887242097, pero eso no es todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los nmeros se repitan.

No se puedeescribir una fraccin que sea igual a la raz de 2.As que la raz de 2 es unnmero irracionalNmeros irracionales famososPies un nmero irracional famoso. Se han calculado ms de un milln de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:3.1415926535897932384626433832795 (y sigue...)

El nmeroe(elnmero de Euler) es otro nmero irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales deesin encontrar ningn patrn. Los primeros decimales son:2.7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

Larazn de oroes un nmero irracional. Sus primeros dgitos son:1.61803398874989484820... (y ms...)

Muchas races cuadradas, cbicas, etc. tambin son irracionales. Ejemplos:31.7320508075688772935274463415059 (etc)

999.9498743710661995473447982100121 (etc)

Pero 4 = 2, y 9 = 3, as queno todaslas races son irracionales.

Historia de los nmeros irracionalesAparentementeHipaso(un estudiante dePitgoras) descubri los nmeros irracionales intentando escribir la raz de 2 en forma de fraccin (se cree que usando geometra). Pero en su lugar demostr que no se puede escribir como fraccin, as que esirracional.

PeroPitgorasno poda aceptar que existieran nmeros irracionales, porque crea que todos los nmeros tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "nmeros irracionales" deHipasono existan, tiraron a Hipaso por la borda y se ahog!

Actividad # 1Complete los espacios en blanco con la/las respuestas correctas.

1. Los nmeros irracionales se representan con la letra______.2. Caractersticas de los nmeros irracionales:a) ____________________________________________________.b) ____________________________________________________.3. Los nmeros irracionales no se pueden expresar como ________________________________ de dos nmeros enteros.4. Los nmeros irracionales ms famosos son: ( anote dos en cada lnea). a) _______________________________________. b) _______________________________________.

II.Parte. Escriba sobre la lnea si el nmero es decimal peridico o no peridico: 16 puntos.0.03030303 _____________________________________0.707106781 ____________________________________0.1818 _____________________________________

* Escriba tres nmeros irracionales: _________________ _____________________________ y _______________________

Actividad # 2Investigue la Biografa de Hipaso y de Pitgoras. Anote en las lneas los aspectos ms importantes o relevantes de esta biografa.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Actividad # 1I. Identifica con su nombre las siguientes propiedades de la adicin de los nmeros reales: Conmutativa, asociativa, Aditiva del cero, aditiva de nmeros opuestos y clausurativa. (10 puntos)A) Si x R, entonces: - x + (+ x)______________________________B) Si x R, entonces: x + 0 = x_____________________________C) Si x, y, z R, entonces (x + y) + z = x + (y+z)______________________________D) Si x, y R, entonces x + y = y + x______________________________E) Si x, y R, entonces x + y = z donde z R______________________________

II. Parte. Resuelva las siguientes adiciones y multiplicaciones entre nmeros reales: ( 6 puntos)(-2) + (-3) = (-38) + (-41)= (-25)+ (-4)+ (-20 ) =

(4) (5) = (-7) (-11) = (-4) (-2) (3) =Aplique la propiedad de la multiplicacin de nmeros reales que se solicita a continuacin:ELEMENTO NEUTRO: (3 puntos)(-5) (1) = _________ (27) (1) = _________(16) (1)= _________

ELEMENTO NEUTRO: (3 puntos)(-7) (1) = _________ (97) (1) = ________ (36) (1)= _________ADITIVA DEL CERO O ELEMENTO NEUTRO DE LA ADICIN: (3 puntos)12 + 0 = _________ 456 + 0 = ________ - 15 + 0 = ________.CONMUTATIVA: - 5 + 7 = _____________________ (-4) (12) = ___________________________. (2 puntos)

ASOCIATIVA DE LA ADICIN: 9 puntos.[2 + (-3) ] + 4 = _______ + [ ( _____) + _______] ________ + ______ = _______ + _________ ________ = _________.

ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACIN: 9 puntos.[ (2) (5) ] (7) = ( ________) [ ( _______ ) ( __________) ] ________ ( ______ ) = ________ ( __________ ) ____________ = ______________.DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIN: 10 puntos. ( 4 ) [ (-3) + (-2) ] = ( ______ ) (______) + (______) (______) ( _______ ) ______ = ____________ + __________ _______________ = ______________

ACTIVIDAD # 2

Resuelva las siguientes operaciones con nmeros reales:

Sustraccin:

(+2)- (-7 ) = _________ (-10) (+5) = _________

(+32) - (15) = ________ (-4) (-9) = _________

Potenciacin:

22 . 23 = __________ 53 . 51 = ___________

42 = ________________ 64 = _______________ 41 62

(2 x 4)2 = ____________ (52)2 = ___________Radicacin: 2 25 + 8 25 = __________________________________.42 100 30 100 = ________________________________.(2 36) (5 49) = ______________________________________.100 = ____________________________________________. 4

Unidad # 2

1. Expresiones Algebraicas.1.1. Definicin.Una expresin algebraica es una expresin matemtica, que adems, de que esta formada por nmeros contiene letras y signos.

Ejemplo: 4x2 + 2, 5x2y3, a, mn + 3n.

1.2. Trmino Y Sus Partes.Un trmino es una expresin algebraica que no esta separada, de otro trmino, por signo, ya sean positivos o negativos.Las partes de un trmino son: el signo, el coeficiente, partes literales (variables) y los exponentes.Con respecto a los exponentes del trmino, el trmino puede ser de grado absoluto o relativo. El grado relativo lo determina los exponentes respecto a las variables que tenga el trmino, el grado absoluto lo determina la suma de los exponentes de las variables que tiene el trmino.Ejemplos:

Trmino Signo Coeficiente Variables G. relativo G. absoluto

5x2y3 + 5 x, y 2, 3 5

-abc2 - 1 a, b, c 1, 1, 2 4

Actividad #1

1) Llene los espacios en blanco, escribiendo en ellos los componentes de los siguientes trminos:

Complete el siguiente cuadro relacionado con los elementos que forman una expresin algebraica:ExpresinSignoCoeficienteVariable o parte literalexponente

- 8 x3

5 a2

4 a3b2c

- 7 x5y4

5 m3

96 x9y7

- abc

Determine el grado absoluto de cada uno de los siguientes monomios: Expresin algebraicaGrado absolutoGrado relativo

4 m

6 m2

- 7 m5n3

4 x3 y2

2 a3b2

2) Escriba un trmino que tengan signo negativo; coeficiente 10; variables x, y, z; grado relativo 5, 4, 2; grado absoluto 11.

1.3. Clases De Trminos.

Existen diferentes clases de trminos a saber:a) Trmino entero: El trmino es entero cuando no aparece una o varias letras en el denominador.

Ejemplos: 1) 2xy 2) 3a2bc2 3) 5m3n6

b) Trminos fraccionarios: el trmino es fraccionario cuando aparece una letra o variables en el denominador.

Ejemplos: 1) 2) 3)

c) Trmino racional: el trmino es racional cuando no contiene letras bajo un signo radical. Un trmino racional es tambin un trmino entero.

Ejemplos: 1) 2xy 2) 3a2bc2 3) 5m3n6

d) Trmino irracional: el trmino es irracional cuando contiene letras o variables bajo el signo radical.

Ejemplos: 1) 2) 3)

e) Trminos semejantes: son aquellos que tienen las mismas variables y estas variables tienen el mismo exponente.

Ejemplos: 1) 2xy, xy 2) 3a2bcun 2 , -5a2bc2 3) 5m3n6, m3n6

1.4. Clasificacin De Las Expresiones Algebraicas.

a. Monomios.Es una expresin algbrica que tiene un solo trmino.

Ejemplos: 1) 2xy 2) -5a2bc2 3) m3n6

b. Polinomio.Es una expresin algebraica que contiene dos o ms trminos. Si la expresin algebraica tiene dos trminos se le denomina binomio, si tiene tres trminos se le llama trinomio y si tiene cuatro o ms trminos se le llama polinomio.

Ejemplos: Binomios Trinomios Polinomios2xy + 3 -5a2b + c2 + a x3 + y6 3z + z2 a2 b2 6a2 + 3a + 5 3x + 5y 2z + x2 + y9

Actividad #21) Escribir:a) dos trminos que sean semejantes:_________________________________________________

b) dos trminos irracionales:_________________________________________________________

c) dos trminos racionales:__________________________________________________________

d) dos trminos fraccionarios: _______________________________________________________

e) dos binomios: __________________________________________________________________

f) dos trinomios: __________________________________________________________________

g) dos polinomios:_________________________________________________________________

2) Investigue: que son trminos homogneos y heterogneos?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Reduccin De Trminos Semejantes.

En la reduccin de trminos semejantes pueden ocurrir tres casos:2.1. De Igual Signo.Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo y luego se escribe la parte literal.

Ejemplos: 1) 2x + x = 3x2) -5a2 a2 = -6a2

2.2. De Diferente Signo.Se resta los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y luego se escribe la parte literal.

Ejemplos: 1) 2x - x = x 2) -5a2 + a2 = -4a2

Actividad #3

Reduzca los trminos semejantes de las siguientes expresiones:

Mdulo de Convocatoria de Matemticas. Octavo grado IAPPgina 1

1.

2. 3. =

4.

5.

6.

3. Operaciones Bsicas Con Expresiones Algebraicas.

3.1. Suma.Se presentan dos casos:a. Monomios: Para sumar monomios semejantes se suma sus coeficientes numricos, conservando en el resultado el mismo factor literal.Ejemplos: 1) 8a+( -7b)+( 5c) = 8a -7b + 5c2) 5a+(-8b)+(-7a)+(-5b)+(-9c) = 5a - 8b - 7a - 5b - 9c = -2a 13b 9c

b. Polinomios: Para sumar varios polinomios suele colocarse los polinomios uno debajo de los otros de modo que los trminos semejantes queden en columnas, se hace la reduccin de estos, separndolos uno de los otros con sus propios signos.

Ejemplos: 1)

2) sumar: a b, 2a + 3b c y -4a + 5b =

3) sumar: 3x + 5y 2z, 6x 3y + 8z, 6x + 4y 2z =

3x + 5y 2z 6x 3y + 8z 6x + 4y 2z _________15x + 6y + 4z

a b2a + 3b c -4a + 5b _________-a + 7b - c

3.2. Resta.a. Monomio: Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuacin el sustraendo con los signos cambiados y se reduce los trminos semejantes.

Ejemplos: 1) De -18x restar -3x = 18x (-3x) = -18x + 3x = 21x2) De -6x2y reste -2x2y = -6x2y (-2x2y) = -6x2y + 2x2y = -4x2y

b. Polinomios: Cuando se restan polinomios hay que restar del minuendo cada uno de los trminos del sustraendo cambindoles los signos.

Ejemplos: 4) 1) De a + b restar a b = 2) De 2x 3y 4z + 6 restar 2x + 5z - 6

a + b -a + b _________0 + 2b

2x 3y 4z + 6 -2x - 5z + 6 ______________ 0 + 3y - 9z + 12

Actividad #4

I. Efectu las siguientes adiciones:

1) -7mn2, -5m, 17mn2, -7m2) 3/4x2 1/2y2; 3) - x3 + 5x2 - x + 1, 5x2 - x - 3 4) 1/6x2 1/2x + 4 , 5/3x3 - x - 1 , 6/7x2 - x + 4, 1/3x3 - 4x 1/5

II. Efectu las siguientes sustracciones:

1) De 15x3y2 reste 11x2y32) De 9x2 7x + 12 reste 27 15x + 8x23) De 3/4m + 4/5n 5/6 reste 6/7 + 3/4n + 3/5m4) De - x3 + 5x2 - x + 1 reste x3 - 5x2 - x - 3

3.3. Multiplicacin.

a. Ley de los signos:(+) por (+) = + (-) por (+) = - (+) por (-) = - (-) por (-) = +

b. Ley de los exponentes:Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le coloca como exponente la suma de los factores.

Ejemplos: 1) (a4)(a3)(a2) = a9 2) (x2)(x3)(x) = x6

c. Ley de los coeficientes:El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los coeficientes de los factores.

Ejemplos: 1) (3a4)(4b3)= 12a4b3 2) (9x2)(2y3) = 18x2y3

d. Multiplicacin de Monomio:Se aplica la ley de los signos, se multiplica los coeficientes y se le aplica la ley de los exponentes.

Ejemplos:1) (a2b3) (3a2b) = 3a(2+2)b(3+1) = 3a4b42) (5x2y) (-6xy) = (5)(-6)x(2+1)y(1+1) = -30x3y2

e. Multiplicacin de polinomios por monomios:En este caso primero se ordena el polinomio, luego se multiplica el monomio por cada uno de los trminos del polinomio, aplicando la ley de signos, de los coeficientes y los exponentes.

Ejemplos:1) x3( 2x2 - 3x + 2) = 2x5 - 3x4 + 2x3 2) ( 5x + 4) (-2x) = -10x2 - 8x

f. Multiplicacin de polinomios:Primero se ordena el polinomio, luego se multiplica todos los trminos del primer polinomio por cada uno de los trminos del segundo polinomio, teniendo en cuenta la ley de los signos y se reducen los trminos semejantes.

Ejemplos: 1) (3x - 2y) (x + 4y) = 3x(x) + 3x (4y) + (-2y)(x) + (-2y)(4y) = 3x2 + 12xy - 2xy - 8y2 = 3x2 + 10xy - 8y2

3) (4x - 3) (3x - 2) = 4x (3x) + 4x (-2) + (-3)(3x) + (-3) (-2) = 12x2 - 8x - 9x + 6 =12x2 - 17x + 6

Actividad #5

Desarrolle los siguientes productos de polinomios:

1) (3x2 + 2x - 5) (x + 2)

2) (2am + 2a) (m2 - 3m + 6)

3) (15x3y2 + 3x + 1 ) (-2x + 3)

4) (3a - 2) (4 + 5a)

5) (6x4 3x2 + x) (x - 1)

3.4. Divisin.

a. Ley de los signos:(+) Entre (+) = +, (-) entre (+) = -, (+) entre (-) = -, (-) entre (-) = +

b. Divisin de monomios:Para dividir un monomio entre otro monomio se dividen los coeficientes del numerador entre el coeficiente del denominador y luego se aplica la regla de potencia y por ultimo se hace la divisin de los signo.

Ejemplos:1) 2)

3) 4)

Actividad #6Haga las siguientes divisiones de monomios:

1) 2)

3)

4)

5)

5)

c. Divisin de un polinomio entre un monomio:Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada trmino del polinomio entre el monomio aplicando la ley de los signos invertida y a su vez se restan los exponentes de las variables de igual base.

Ejemplos:1) 4x3y -2xy2 + 8x3 2x = 2x2y y2 + 4-4x3y -2xy2 + 8x3 +2xy2 +8x3 -8x3

2) 16m3 -4nm 2m = 8m22n-16m3 -4nm +4nm

Actividad #6Haga las siguientes divisiones de polinomios entre monomios:

1) (3a3 6a2b + 9ab2) entre 3a2) (4x6 10x6 5x4 ) entre 2x33) (10m2 20nm) entre 10mn4) (32a2b3 + 8b2) entre 4ab

PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLESIntroduccinLos productos y cocientes notables tienen importante aplicacin al tratar de desarrollar de una manera ms rpida ejercicios algebraicos. PRODUCTOS NOTABLESSon multiplicaciones que cumplen reglas especficas Suma o resta de dos cantidades al cuadrado

Producto por la diferencia de dos cantidades (a + b) (a - b) Resolviendo el producto:

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades, es igual a la diferencia de los cuadrados de las dos cantidades. Resolver:

Cubo de un binomio

El cubo de la suma de dos cantidades, es igual a la primera cantidad elevada al cubo, ms tres veces la primera cantidad elevada al cuadrado por la segunda, ms tres veces la primera cantidad por la segunda cantidad elevada al cuadrado ms la segunda cantidad elevada al cubo.

Resolver:

Para la resta ser:

Entonces:

El cubo de la suma de dos cantidades es igual a la primera cantidad elevada al cubo, menos tres veces la primera cantidad elevada al cuadrado por la segunda, ms tres veces la primera cantidad por la segunda elevada al cuadrado, menos la segunda cantidad elevada al cubo.

Resolver:

Productos de la forma (x a) (x b) Desarrollemos las siguientes multiplicaciones:

En las cuatro multiplicaciones se observa que: El primer trmino del resultado de la multiplicacin es el producto de los primeros trminos de los binomios. El coeficiente del segundo trmino del resultado de la multiplicacin es la suma algebraica de los segundos trminos de los binomios. El tercer trmino del resultado de la multiplicacin es el producto algebraico de los segundos trminos de los binomios. Grficamente:

Efectuar:

Reuniendo las tres propiedades simblicamente: TRINGULO DE PASCALEl tringulo de Pascal muestra los coeficientes del polinomio resultado de cada uno de los binomios planteados, de manera que:

De la solucin de los anteriores binomios mediante el tringulo de Pascal se deduce: El polinomio resultado tiene un trmino ms que el exponente al cual est elevado el binomio. El exponente de la primera cantidad del binomio (a), disminuye de 1 en 1, a partir del exponente del binomio, mientras la segunda cantidad del binomio (b) aumenta de 1 en 1 hasta ser igual al exponente del binomio, y aparece a partir del segundo trmino del polinomio resultado. El coeficiente del primero y ltimo trmino del polinomio resultado es igual a 1. Los otros coeficientes son la suma de los coeficientes como lo describe el tringulo de Pascal. Nota: cuando el binomio posee signo negativo, los signos del polinomio resultado van alternados, es decir: +, -, +, -, +, etc. COCIENTES NOTABLESLos cocientes notables ms importantes se pueden desarrollar a partir de algunos de los productos notables vistos anteriormente. Del producto notable:

Por transposicin de trminos se puede deducir:

De la misma forma realizando las divisiones:

Se puede establecer las siguientes normas: El polinomio resultado tiene la cantidad de trminos igual al exponente de las letras del dividendo. El primer trmino del polinomio resultado se obtiene dividiendo el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor. El exponente de a disminuye de 1 en 1 en cada trmino.El exponente del segundo trmino (b) es 1 y aparece en el segundo trmino del polinomio resultado. ste aumenta de 1 en 1 en cada trmino siguiente a ste. Cuando el divisor es a - b todos los signos del polinomio resultado son positivos, y cuando el divisor es a + b los signos del polinomio resultado van alternados +, -, +, -, etc.

Dividir:

MUJERES MATEMTICAS Entienden las Matemticas de sexos? Son los grandes misterios de las Matemticas algo exclusivo de los hombres? Por qu a lo largo de la historia hay tan pocas mujeres que se hayan destacado en una disciplina cientfica tan antigua?. Aunque parece que en la actualidad existe un equilibrio entre el nmero de chicos y de chicas que estudian matemticas, esto es un fenmeno relativamente reciente. Desde luego hace cuarenta aos esto no ocurra. Para descubrir la presencia de las mujeres en el universo de las matemticas se har un recorrido histrico que comienza con el nacimiento de las matemticas, con Pitgoras y su mujer Teano, y que contina con Hypatia en Alejandra, con Madame de Chatelet en Francia y con Mara Caetana Agnesi en Bolonia en el sigloXVIII. Incluso en el siglo XIX, Sophie Germain tuvo que adoptar la identidad de un antiguo alumno de la Escuela Politcnica de Pars, Monsieur Leblanc, para conseguir los materiales y problemas y para presentar sus propios resultados y trabajos. Sus trabajos sorprendieron a matemticos de la altura de Lagrange y de Gauss. Ya a finales del siglo Sophia Kovaleskaya sufri la marginacin de la mujer en el mundo acadmico a pesar de ser uno de los mejores cerebros de la poca. Slo a las puertas del siglo XIX, una mujer Marie Curie va a realizar uno de los descubrimientos ms importantes de la historia de la humanidad, un descubrimiento que va a cambiar la vida del ser humano en el siglo XX en muchos aspectos: la radioactividad. Y consigui algo quizs tan importante: por primera vez en la historia de la humanidad los crculos cientficos abran sus puertas de par en par a una mujer. Y con ella a tantas tan injustamente ignoradas durante siglos.

Actividad

Resuelva cada uno de los siguientes casos de productos notables.

Criterios de EvaluacinOrden y AseoDisciplinaProcedimientosContenidoTotal

3 puntos3 puntos4 puntos30 puntos40 puntos

PRIMER CASO: CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES.

(3/4 a + 4/5 b)2 =

SEGUNDO CASO: CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES.

(5 X 9 Y)2 =

TERCER CASO: PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES.

(4 a3 b2 - c) (4 a3 b2 + c) =

Cuarto caso: CUBO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES.

(2 x + 3 y)3 =

Quinto caso: CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES.

(3 x - 5 y) 3 =

Sexto caso: Producto de la Forma (x + a) (x+b) = x2 + bx + c.

X + 5 X (por) X + 8

Dios es nuestro amparo y fortaleza, nuestro pronto auxilio en las tribulacionesSalmos 46:1

Resolver los siguientes casos de productos notables: CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES(8x +10)2 =

(1/4 m + 2/6)2 =

Complete: El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al _________________________ de la primera cantidad ms __________________ veces la ________________________ por la _____________________________________ ms la segunda cantidad al _____________________________.

CUBO DE UNA SUMA. (3x + 2y)3 =

( 8a + 7y )3=

Complete: El cubo de la suma de dos trminos es igual al _______________ del primer trmino ms __________________ veces el cuadrado del primer trmino por el ____________________trmino ms __________________ veces del primer trmino por el cuadrado del ________________trmino ms el __________________del segundo trmino.

CUBO DE UNA DIFERENCIA. ( 5x - 3y )3=

(1/3 a2 - 2/4 b)3 =

Completar: El cubo de la diferencia de dos trminos es igual al _________________del primer trmino menos _________________ el cuadrado del primer trmino por el ______________ trmino ms el ______________________del primer trmino por el cuadrado del ____________________ trmino menos el ______________________ del segundo trmino.PRODUCTO DE LA FORMA : (x+a) (x+b) (a + 8)(a + 9)=

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES. 5 puntos.La suma de dos trminos multiplicada por su diferencia es igual al ______________del primer trmino menos el cuadrado del ________________________.trmino.

(2/4 a + 2/6 b) (-2/6 b + 2/4 a) =

II.Parte. Resuelva los siguientes casos de cocientes notables:

COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA DE LAS CANTIDADES.

25 x4 - 144 y2 = 5 x2 + 12 yCOCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES. 225 y2 36 z4 =15 y - 6 z2

COCIENTE DE LA SUMA DE LOS CUBOS ENTRE LA SUMA DE LAS CANTIDADES.

25 m3 + 18 n3 =5 m + 6 n

COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUBOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES.

36 m3 - 49 n3 =6 m - 7 n

Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades.

y6 b6 = y + b

a5 - b5 =a - b

4. Ecuaciones De Primer Grado.4.1. Concepto Y Propiedades.Una ecuacin es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incgnitas, las cuales, toman valores determinados que satisfacen la igualdad. La igualdad es un concepto matemtico que indica que dos expresiones tienen el mismo valor.Ejemplos: 1) 3x + 1 = 2 2) 2y + 2 = 0 3) 5x - 10 = 0

4.2. Elementos De La Ecuacin De Primer Grado.a. Miembros: Toda ecuacin tiene dos miembro, uno a cada lado del signo igual, los cuales se llaman miembro izquierdo y miembro derecho.b. Trminos: Son cada uno de las cantidades que estn conectadas con otra con los signos positivo (+) y los signos negativos (-).c. Grado: Es determinado por el mayor exponente que tenga la variable o incgnita. En el caso de las ecuaciones de primer grado el grado es siempre uno (1).

4.3. Resolucin De Ecuaciones De Primer Grado.La solucin de una ecuacin se basa en el siguiente axioma: S en cantidades iguales se realizan operaciones iguales la igualdad no se altera. Este axioma se cumple para cualquiera operacin, ya sea, adicin, sustraccin, producto, divisin, potenciacin y radicacin.Para resolver la ecuacin de primer grado con una incgnita se suprimen los parntesis en caso que los all. Se transponen los trminos independiente cambindoles los signos si estn al lado izquierda de la ecuacin dejando en el lado derecho y al lado izquierdo de la igualdad se dejan y se transponen los trminos que contienen la variable incgnita. Se reducen los trminos independientes y los de la variable incgnita y por ultimo se despeja el valor de la variable incgnita.

Ejemplos:1) 1) 3x 5 = x + 73x x = 7 + 52x = 12 x = 6 2) 4x + 8 = 2x + 16 4x 2x = 16 8 2x = 8 x = 4

PRCTICA #7Remover las siguientes ecuaciones de primer grado:1) 5x + 6 = -10x + 32) 2x + 4 = x + 73) 10y 5 = 54) 15x + 10 = 10x + 55) 3m 6 = -5m + 10

4.4. Grafica De La Ecuacin De Primer Grado.El plano cartesiano est formado por dos rectas numricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posicin de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis (x) y uno de las yes (y), respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y)

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento: 1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero. 2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas. Ejemplo: Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano.

Este procedimiento tambin se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que est en el plano cartesiano.

El grfico de una ecuacin de primer grado o lineal ser siempre una lnea recta en el plano cartesiano. Para la ecuacin lineal: , la grfica es la siguiente:

Se puede graficar una ecuacin lineal localizando dos puntos que correspondan a la ecuacin pues, existe un teorema que dice: dos puntos determinan una lnea recta.En la ecuacin anterior si x = 0, el valor de es y = 1 y si x = 3, entonces y = 5

PRCTICA #8I. Localice en el plano cartesiano los siguientes coordenadas:

A(3,2), B(-1,2), C(5,0), D(-1,-1), E(3,-2), F(-2,-6)

II. Graficar las siguientes ecuaciones lineales:

1) 2) 3) 4)

UNIDAD # 3

MEDIDAS DE SUPERFICIEPara medir superficies (reas) se utilizan distintas unidades de medida. La ms utilizada es elmetro cuadrado(m2).Un metro cuadrado es la superficie de un cuadrado cuyo lado mide un metro.

La superficie de un cuadrado es base por altura.1 metro cuadrado = 1 metro X 1 metro = 1 m2Se utiliza para medir la superficie de una habitacin, la superficie de un jardn, la superficie de un apartamento...1.- Unidades menoresHay unidades de medidas menores que se utilizan para medir reas ms pequeas (la superficie de una loza, de un folio, de la pantalla digital de un telfono mvil, ).Decmetrocuadrado(dm2). Es la superficie de un cuadrado cuyo lado mide un decmetro.Centmetro cuadrado(cm2). Es la superficie de un cuadrado cuyo lado mide un centmetro.Milmetro cuadrado(mm2). Es la superficie de un cuadrado cuyo lado mide un milmetro.La relacin con el metro es:1 m2= 100 dm2.La relacin de las unidades de superficie va de 100 en 100 (en lugar de 10 en 10).1 metro cuadrado = 1 metro x 1 metro1 metro = 10 decmetros1 metro cuadrado = 10 decmetros x 10 decmetros = 100 decmetros cuadrados1 m2= 10.000 cm21 metro = 100 centmetros1 metro cuadrado = 100 centmetros x 100 centmetros = 10.000 centmetros cuadrados.1 m2= 1.000.000 mm21 metro = 1.000 milmetros1 metro cuadrado = 1.000 milmetros x 1.000 milmetros = 1.000.000 milmetros cuadrados.La relacin entre ellas es:1 dm2= 100 cm21 dm2= 10.000 mm21 cm2= 100 mm22.- Unidades mayoresTambin hay unidades de medidas mayores que el metro cuadrado que se utilizan para medir grandes superficies: la superficie de una provincia, de una finca, de un lago...Kilmetro cuadrado(km2). Es la superficie de un cuadrado cuyo lado mide un kilmetro.Hectmetro cuadrado(hm2). Es la superficie de un cuadrado cuyo lado mide un hectmetro.Decmetro cuadrado(dam2). Es la superficie de un cuadrado cuyo lado mide un decmetro.La relacin con el metro es:1 km2= 1.000.000 m21 hm2= 10.000 m21 dam2= 100 m2La relacin entre ellas tambin va de 100 en 100:1 km2= 100 hm21km2= 10.000 dam21hm2= 100 dam2

3.- Cmo pasar de unidades mayores a unidades menores?Para pasar de unidades mayores a unidades menores hay que multiplicar por 100 por cada nivel que descendamos:

Por ejemplo:Para pasar de km2 a dam2 hay que bajar 2 niveles por lo que tenemos que multiplicar: x 100 x 100 = x 10.000Para pasar de hm2 a dm2 hay que bajar 3 niveles por lo que tenemos que multiplicar: x 100 x 100 x 100 = x 1.000.000Veamos algunos ejemplos numricos:Cuntos m2 son 3 km2? 3 x 1.000.000 =3.000.000m2Cuntos mm2 son 5 dm2? 5 x 10.000 =50.000mm2Cuntos cm2 son 7 dam2? 7 x 1.000.000 =7.000.000cm24.- Cmo pasar de unidades menores a unidades mayores?Para pasar de unidades menores a unidades mayores hay que dividir por 100 por cada nivel que subamos:

Por ejemplo:Para pasar de m2 a hm2 hay que subir 2 niveles por lo que tenemos que dividir : 100 : 100 = : 10.000Para pasar de cm2 a dam2 hay que subir 3 niveles por lo que tenemos que dividir : 100 : 100 : 100 = : 1.000.000Veamos algunos ejemplos numricos:Cuntos m2 son 60.000 cm2? 60.000 : 10.000 =6m2Cuntos km2 son 8.000.000 m2? 8.000.000 : 1.000.000 =8km2Cuntos dm2 son 75.000 mm2? 75.000 : 10.000 =7,5dm2

ACTIVIDADEjercicios1.- Resuelve las siguientes operaciones:

2.- Resuelve las siguientes operaciones:

Medidas de superficie del Sistema InglsMedidas de superficie:

centmetros cuadrados (cm2)apulgadas cuadradas (in2) Multiplicar por:0,16

metros cuadrados (m2)ayardas cuadradas (yd2)1,2

kilmetros cuadrados (km2)amillas cuadradas (mi2)0,4

hectrea (ha) (10 000m2)aacres2,5

Actividad Realizar la conversin de las siguientes unidades:

Convertir 20 cm2 a pulgadas cuadradas

Convertir 250 m2 a yardas cuadradas

Convertir 450.32 km2 a millas cuadradas

UNIDAD # 4

Elementos de la circunferencia y del crculo

Circunferenciaes el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un mismo punto llamado centro de la circunferencia. El punto centro no pertenece a la circunferencia. La circunferencia se nombra con la letra del centro y un radio.Crculoes la figura plana formada por una circunferencia ms toda su regin o rea interiorEjemplos prcticos de una circunferencia: Aro, anillo, hula-hula, borde de vaso, la orilla de un plato, etc.Permetro de la circunferencia: 2 r dElementos de la circunferenciaRectas en la circunferenciaRadio:Es un segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella.El radio se nombra con la letra r o bien con sus puntos extremos.La medida del radio es constante.

Cuerda:es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas.

Dimetro:Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.El dimetro es la cuerda de mayor medida.El dimetro se nombra con la letra d.El dimetro siempre es el doble del radio: d = 2r r = d/2 .

Tangente:es la recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia.

Secante:es la recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia.

Arco:es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

ngulos en una circunferenciangulo del centro:Es el ngulo cuyo vrtice es el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios de ella.FiguraCaractersticasMedida

Vrtice en el centro de la circunferenciaLados que contienen radios de ellam (< AOB) = m (arco AB)

Ejemplo:(Debe leerse: arco SR es igual a un tercio de la circunferencia. Calcular el ngulo X))

Por definicin del Teorema del ngulo del centro la medida del arco SR es igual a la medida del ngulo del centro (x). Como la circunferencia en el sistema sexagesimal tiene 360 significa que el arco SR mide 1/3 de 360, esto es dividir 360 en 3 partes y tomar 1 sola. 360 : 3 = 120 < SOR = 120ngulo Inscrito:Es el ngulo cuyo vrtice est sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de ella. Para todo ngulo inscrito, existe un ngulo del centro que subtiende el mismo arco. Elngulo inscritoes igual a lamitad del ngulo del centroque subtiende el mismo arco.FiguraCaractersticasMedida

< ABC inscrito que subtiende arco AC< AOC del centro que subtiende arco ACVrtice en la circunferencia.Los lados son cuerdas de ella.< ABC subtiende arco AC.El centro de la circunferencia est en el interior del ngulo.m (