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FUNCIONESINTRODUCCIN:Las funciones permiten describir el mundo real en trminos matemticos, como por ejemplo, las variaciones de la temperatura, el movimiento de los planetas, las ondas cerebrales, los ciclos comerciales, el ritmo cardaco, el crecimiento poblacional, etc.En esta seccin se tratarn las funciones ms usuales en la modelizacin de fenmenos en aplicaciones en las distintas ciencias y en la vida diaria, y sus caractersticas generales, tanto analticas como grficas.

2. DOMINIO DE UNA FUNCIN:

3. RANGO DE UNA FUNCIN:

DEFINICIN: Sies una funcin, el dominio de f es el conjunto de todos los nmeros reales tales que es un nmero real. Simblicamente:

DEFINICIN: Si es una funcin, la imagen de f (Rango de ) es el conjunto de todos los resultados de . Simblicamente:

DEFINICIN: Si es una funcin, la grfica de f es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden representarse en el plano cartesiano.

Rango de fDominio de fGrfica de f

Propiedad Fundamental de las Funciones Reales de una variable real:

es una funcin si toda recta vertical corta a su grfica de f a lo ms en un punto.

S es funcin no es funcin

CLCULO DEL DOMINIO UNA FUNCINEn general, al determinar el dominio de una funcin debemos tener en mente dos condiciones: Cualquier expresin dentro de una raz de ndice par no puede ser negativa. El denominador de cualquier fraccin no puede ser cero.Ejemplo: Determinar el dominio de:a)

Solucin: Es claro que no es un nmero real bien definido si. Para cualquier otro valor de , es un nmero real bien definido. En consecuencia: b)

Solucin: El dominio de es l conjunto de todos los valores para los cuales la expresin dentro del radical no es negativa. Esto es:

Si no s un nmero real, dado que la cantidad a la que se extrae raz cuadrada,es negativa.c)

Aqu el radical solo es positivo para . Pero el denominador es cero si de modo que estos dos puntos deben excluirse del dominio. As:

En problemas prcticos, con frecuencia es necesario construir una funcin algebraica a partir de cierta informacin verbal.

Por ejemplo: 1)

Funcin de costo de electricidad: la electricidad se cobra a los consumidores a una tarifa de S/. 10 por unidad para las primeras 50 unidades y a S/. 3 por unidad para cantidades que excedan las 50 unidades. Determine la funcin que da el costo de usar unidades de electricidad.Solucin:

Si , cada unidad tiene un costo de S/. 10, de modo que el costo total de unidades es de S/. . As que:

Cuando , obtenemos: el costo de las primeras 50 unidades es igual a S/. 500.

Si , el costo total es igual al de las primeras 50 unidades (esto es S/.500) ms el costo del resto de las unidades usadas. El nmero de stas unidades que sobrepasan a 50 es , y cuestan S/.3 cada una, por lo que su costo es de nuevos soles. As que la tarifa total cuando es:

Podemos escribir en la forma:

2) Utilidades. El fabricante de cierto producto puede vender todo lo que produce al precio de S/. 20 cada uno. Le cuesta S/. 12.50 producir cada artculo por los materiales y la mano de obra, y tiene un costo adicional de S/. 7 000 al mes con el fin de operar la planta. Si el nmero de artculos producidos se designa por .

a) Represente en una grfica los ingresos como una funcin b) Represente en una grfica los costos como una funcin c) Represente en una grfica las ganancias como una funcin d) Cul es el nmero de unidades que deben producirse y venderse para no obtener perdidas ni ganancias (punto de equilibrio)?e) Cul es el nmero de unidades que deben producirse y venderse para obtener una utilidad de S/. 5 000 al mes?

Solucin: siendo el nmero de artculos producidos, se tiene:a)

, la funcin que representa el total de ingresos obtenidos al vender artculos.b) , la funcin que representa el costo total para que opere la planta.c)

d) El punto de equilibrio ocurre cuando: esto es:

Es decir cuando se produce aproximadamente 933 unidades del producto no se obtiene prdidas ni ganancias.

e) Si se quiere que la utilidad sea de S/. 5000 al mes entonces se tiene: esto significa que debe producirse 1600 unidades del producto si se quiere obtener una ganancia de S/.5000

FUNCIONES ESPECIALES

1. FUNCIN CONSTANTE:

Es la funcin , definida por , donde c es una constante real.

Dominio:

Rango:

Ejemplo: Graficar y hallar el dominio y rengo de la funcin cuya regla de correspondencia es Resolucin:

Dom(f)=

Ran(f)=

2. FUNCIN IDENTIDAD:

Es la funcin , definida por Dominio: RRango: RY

X

Ejemplo:

3. FUNCIN LINEAL:

Es la funcin , definida por , donde a y b son constantes reales.Dominio: RRango: R

4. FUNCIN RAZ CUADRADA:

Es la funcin , definida por ; .

Se debe cumplir que , entonces:

Dominio:

Rango:

5. FUNCIN CUADRTICA:

Es la funcin , definida por donde a, b, c son constantes .

Esta funcin puede transformarse completando cuadrados en donde el vrtice es i) S a>0La parbola se abre hacia arriba Dominio: R

Rango:

Rangof= ii) S a