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MÓDULO DE MATEMÁTICAS
2
AUTOR
JULIÁN ORLANDO GÓMEZ
Licenciado en Física y Matemáticas
REVISÓ
JOSÉ MAXIMILIANO LOZANO SUÁREZ
Asesor Pedagógico ESEVI
Administrador Educativo, Especialista en Proyectos Educativos Institucionales, Especialista en Docencia Universitaria, Asesor Educativo, Docente Universitario, Experto en Registros
Calificados de Programas Universitarios
ESCUELA DE SEGURIDAD VIAL PROGRAMA ESPECIALIZACIÓN EN INVESTIGACIÓN DE ACCIDENTES DE
TRÁNSITO BOGOTÁ D. C.
2014
3
PRESENTACIÓN
El presente módulo fue desarrollado teniendo en cuenta que es indispensable que el
especialista en Investigación de Accidentes de Tránsito posea un adecuado manejo de
los conceptos matemáticos, como insumos en la interpretación y el análisis de
accidentes viales, en la perspectiva de diseñar propuestas de mejoramiento en la
seguridad vial.
Un profesional especialista en esta disciplina requiere comprender que la matemática
juega un papel fundamental en la interpretación de la realidad física del entorno. Se
debe convertir en el recurso con el que se cuenta para poder asumir con idoneidad la
profesión.
El módulo está conformado por tres unidades; La Unidad I contempla los conceptos
generales de la geometría plana, líneas, figuras y cuerpos y su correspondiente
clasificación, la Unidad II contempla los conceptos básicos de la geometría espacial y
ejercicios aplicativos. La Unidad III aborda el tema trigonométrico desde la perspectiva
de la accidentología.
Con el desarrollo de este módulo el estudiante tendrá la capacidad de analizar,
explicar y aplicar las funciones de la matemática en el campo de la seguridad en los
sistemas viales, contribuyendo a los pilares educativos de la Policía Nacional como son
el saber, el saber hacer y el ser.
4
TABLA DE CONTENIDO
PRELIMINARES
Instrucciones para el empleo del módulo 6
Ficha técnica 7
Competencias (fundamentales, globales y generales) 8
Ejes transversales 9
PRIMERA UNIDAD. GEOMETRÍA PLANA Competencias específicas
12
Medición de Ángulos 12
Medición en grados 13
Medición en Radianes 13
Conversión entre grados y radianes 14
Líneas, segmentos y rayas 17
Líneas Poligonales y polígonos 19
Elementos de un polígono 19
Clases de polígonos 20
Clasificación de los triángulos 20
Clasificación de los cuadriláteros 20
Diagonales, perímetros y Áreas de polígonos 21
Polígonos inscritos y circunscritos 23
Construcción de polígonos mediante el compás 23
Cálculo de la superficie de las figuras planas 25
Propiedad fundamental de los polígonos regulares 27
Superficie del círculo 27
Plano cartesiano 28
AUTOEVALUACIÓN 30
UNIDAD II GEOMETRÍA ESPACIAL 34
Competencia Específica 34
Cuerpos sólidos 34
Los prismas y las pirámides 34
Unidad III. TRIGONOMETRÍA 36
Trigonometría plana 36
Teorema de Pitágoras 36
Razones trigonométricas de ángulos agudos 36
Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera 37
Otras razones trigonométricas 38
Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos 39
Resolución de triángulos 40
Ley del seno 41
Ley del coseno 41
Funciones trigonométricas 41
5
Funciones inversas 44
Trigonometría esférica 47
BIBLIOGRAFÍA 49
TABLA DE SABERES 50
6
INSTRUCCIONES PARA EL EMPLEO DEL MÓDULO
Para el desarrollo de este modulo se debe identificar y establecer cuál es la
competencia principal y su objetivo al capacitar sobre la metodología de investigación
aplicada al servicio profesional.
Con este modulo se pretende guiar al especialista en seguridad en tránsito y transporte
frente a la accidentalidad, para que adquiera y aplique los diferentes conceptos,
identificando fortalezas y posibles riesgos de movilidad vehicular.
El estudio del presente módulo debe hacerse de una manera teórico-práctica, de tal
forma que el egresado pueda aplicar la instrucción teórica en la práctica.
Para que el manejo del módulo sea adecuado, se le recomienda tener en cuenta lo
siguiente:
Revise la tabla de contenido; así tendrá una idea general del módulo.
Lea y analice las competencias del programa y las competencias específicas de
cada unidad para tener claridad sobre lo que debe lograr, en relación con su
perfil.
Lea de manera detenida las estrategias significativas de aprendizaje planteadas
en cada una de las unidades y desarróllelas.
Realice las autoevaluaciones definidas para cada unidad.
De esta manera se tendrá un mejor acercamiento a los contenidos del módulo y será
más productivo el resultado cuando en el servicio, se tenga que hacer uso de los
conocimientos que se han adquirido.
El contenido presenta los temas para que el estudiante en formación como
especialistas en investigación de accidentes de tránsito sea idóneo en el desempeño
de su profesión.
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FICHA TÉCNICA
Nombre del curso Especialización en Investigación de Accidentes de Tránsito
Palabras clave
Autor (es) Julián Orlando Gómez
Fecha 2014
Unidad académica-Dependencia Área Académica
Campo de formación Formación Específica Profesional
Área de conocimiento Accidentología Vial
Créditos académicos Uno (1)
Tipo de curso Especialización
Destinatarios Profesionales de diversas disciplinas
Metodología de oferta Presencial
Formato de circulación Virtual
Actualizaciones
8
COMPETENCIAS
Fundamentales
La asignatura de Matemáticas aporta de manera específica a las siguientes
competencias fundamentales:
Liderazgo
Comunicación
Orientación del servicio a la comunidad
Relaciones interpersonales
Globales
El estudiante identifica y aplica los conocimientos con respecto a la matemática,
basados en el saber hacer como pilar de la Policía Nacional.
Generales
El estudiante conoce, interpreta y aplica la metodología para el desarrollo de los
diferentes ejercicios, aplicados a proyectos que tengan relación con la Investigación de
Accidentes de Tránsito.
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EJES TRANSVERSALES
Derechos Humanos
La vida es el núcleo fundamental de los Derechos Humanos, derecho éste que se
puede afectar por el estado riesgoso en cuanto a la accidentalidad y los componentes
de seguridad en las vías. La Policía Nacional con los servicios especializados de la
Dirección de Tránsito y Transporte, hace parte de las autoridades de tránsito, quienes,
de acuerdo a la normatividad vigente, velan por la seguridad y tranquilidad de las
personas y los bienes en las vías e infraestructuras públicas y privadas abiertas al
público. Sus funciones son de carácter regulatorio y sancionatorio y sus acciones
deben ser orientadas a la prevención y la asistencia técnica y humana de los usuarios
de las vías.
Paralelamente deben desarrollar campañas educativas dirigidas a niños, jóvenes y
adultos por el respeto a las normas del tránsito y la responsabilidad para proteger la
vida propia y la de los demás.
La educación debe ser permanente, porque las muertes y los heridos en accidentes de
tránsito ocupan un destacado lugar en las estadísticas del país, esta situación obliga a
que se tenga en cuenta las características culturales que configuran modelos de
conductor, pasajero y peatón, debiendo considerar sus costumbres, valores y hábitos
predominantes; entre los rasgos culturales que son causales de accidentes del tránsito
están la falta de conciencia vial, el manejo descuidado y el irrespeto consciente a las
normas del tránsito, entre otros.
Es necesario concientizar a conductores, pasajeros y peatones sobre la
responsabilidad que les asiste en preservar la vida, por medio del respeto a las
autoridades y normas de tránsito, porque la vigencia de los derechos humanos es
responsabilidad de todos.
10
Principios y valores
Para que el especialista en investigación de accidentes de tránsito sea eficiente y
oportuno se requiere que vea a la comunidad como el fin esencial de la labor
profesional, pero no un fin pasivo, en primer lugar, actuaciones profesionales que
garanticen su seguridad y la de los demás, respeto por la vida en cualquier
circunstancia, equidad en la aplicación de las normas, liderazgo en la promoción de
valores como la justicia, y la tolerancia, que permitan consolidar la convivencia pacífica,
mejorar los niveles de calidad de vida y en segundo lugar, un egresado íntegro que sus
funciones tengan un sentido de responsabilidad, disciplina, compromiso, Confiabilidad,
honestidad, libertad, perseverancia, profesionalismo y prudencia fiel reflejo de su
vocación de servicio.
Los valores institucionales buscan fortalecer la convivencia, cimentar la cultura de
servicio y garantizar transparencia y buen ejemplo, a través de las acciones y
vivencias que ayudan al crecimiento del hombre y al desarrollo de la Institución.
En este sentido, los DD.HH., el D.I.H. y el respeto al ciudadano y la prestación de una
cultura en el servicio, teniendo una buena comunicación, así como los principios y
valores no son responsabilidad de un docente o una asignatura, constituyen un
compromiso compartido por la totalidad de la comunidad educativa.
Investigación
La asignatura contenida en este módulo apunta al desarrollo de las actividades diarias
de análisis e investigación, especialmente en sus relaciones interpersonales con
instituciones relacionadas con su trabajo. Desde esta perspectiva le aporta al
estudiante las diferentes formas de comportamiento que se han de tener y el manejo
inteligente de las emociones en cada situación de la vida diaria. Teniendo en cuenta lo
anterior se siente la necesidad de despertar el interés por la investigación
especialmente en la psicología, la sociología y las diferentes culturas de nuestro país,
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teniendo en cuenta la temática de la comunicación, el manejo del estrés, el servicio al
ciudadano sembrando una cultura integra al usuario en el servicio.
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PRIMERA UNIDAD. GEOMETRÍA PLANA
Competencias específicas
El estudiante identifica los conceptos básicos de la geometría plana, como base teórica
de la geometría en tres dimensiones y su aplicación en el levantamiento topográfico e
investigación de accidentes.
Medición de ángulos
Iniciaremos el estudio de la matemática con el concepto de ángulos y sus medidas.
Un ángulo es un conjunto de puntos que consiste de un punto P y dos rayos que se
extienden desde P. El punto P es el vértice del ángulo y los rayos son los lados del
ángulo. El rayo r, se llama el lado inicial (permanece fijo) y el segundo rayo, rayo s, se
llama rayo terminal del ángulo. El ángulo comienza en la posición del lado inicial y gira
alrededor del punto final común P en un plano hasta que alcanza su posición terminal.
Una rotación en el sentido contrario a la manecillas del reloj
produce un ángulo positivo (Figura 1) y una rotación en el
sentido de las manecillas del reloj produce un ángulo negativo
(Figura 2). El tamaño de la rotación en cualquier dirección no
está limitado.
Dos ángulos diferentes pueden tener los mismos lados iniciales y terminales (Figura
3), estos ángulos se llaman ángulos coterminales
13
Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición normal o
estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo x. Si
el lado terminal de un ángulo que está en la posición normal yace sobre un eje
coordenado se dice que es un ángulo cuadrantal. Observa a continuación la ilustración
lado terminal
Vértice
lado inicial
Angulo cuadrantal
Angulo en posición normal
Así como los segmento se miden en pulgadas, centímetros o pies, los ángulos se
miden comúnmente en grados o radianes.
Medición en grados
Un ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 360 grados (3600).
Un ángulo formado por 1/360 de una rotación completa tiene una medida de 1 grado
(10). El símbolo “0” denota grados.
Definiciones:
Un ángulo llano es un ángulo que mide 1800. Un ángulo recto es un ángulo que mide
900. Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 900. Un ángulo obtuso es un
ángulo que mide mayor de 900 pero menor que 1800. Un ángulo central es un ángulo
cuyo vértice está en el centro del círculo y cuyos lados son radios del círculo.
Dos ángulos positivos son complementarios si su suma es 900. Dos ángulos son
suplementarios si su suma es 1800.
Nota: Los ángulo que miden 00, 900, 1800, 2700 y 3600 son ángulos cuadrantales
(ángulos donde el lado terminal yace sobre los ejes x ó y).
Medición en radianes
14
Si el vértice de un ángulo está en el centro de un círculo de radio r>0, y la longitud del
arco opuesto a en la circunferencia es s, entonces medido en radianes está dado
por:
Un radián es el tamaño del ángulo central de un círculo que interseca un arco de la
misma longitud que el radio del círculo. Observa que s y r deben estar medidas en las
mismas unidades. Además, se usa de dos maneras: para nombrar el ángulo y como
medida del ángulo.
Nota: La medida en radián es un número sin unidades, pues las unidades en que se
miden la longitud del arco y el radio se eliminan, por tanto, queda un número sin
unidades.
Conversión entre grados y radianes
Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo
de 360o equivale a 2π radianes; un ángulo de 180o equivale a π radianes (recordemos
que el número π = 3.14159265359…). Las equivalencias entre los cinco principales
ángulos se muestran en las siguientes tres figuras:
Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180o equivalen a π
radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.
EJEMPLO A: Convertir 38o a radianes.
Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los
radianes.
15
Despejamos x, también simplificamos.
Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:
x = 0.6632 radianes
EJEMPLO B: Convertir 2.4 radianes a grados.
Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la posición de los
grados.
Despejamos x.
Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:
x = 137.5099o
Otra forma de expresar los grados es en minutes y en segundos, así:
Si 1 = 60 minutos (se escribe 60´)
1´= 60 segundos (se escribe 60”);
Por lo tanto 1= 3600”.
Ejemplo:
Convertir 17 47´13” a notación decimal
16
Entonces
17 47´13”= 17+ 47´+13”
=17+47´(1/60)+13”(1/3600)
=17+0.7833+0,036
=17.7869.
Ejercicios:
Dibuje el ángulo dado en posición normal:
1. -
2. 120º
3. 135º
4. 1140º
5. -315º
6. -210º
7. π/3
8. 7π/6
9. -2π/3
10. -3 π
11. 4
12.
Escribir el ángulo dado en notación decimal:
1. 10º39`17``
2. 143º7`2``
3. 5º10`
4. 10º25`
Convertir de grados a radianes:
1. 45º
2. 30º
3. 270º
4. 60º
5. 1º
6. 32º
17
7. 131º40`
8. -120º
9. -230º
10. -47º2`
Convertir de radianes a grados:
1. 2π/3
2. π/12
3. π/6
4. 7π
5. 19π/2
6. 1.5
7. 3.2
8. 0.76
9. 12
10. 3 π/8
Líneas, segmentos, y rayas
Aunque intuitivamente sabemos que es una línea,
actualmente es difícil dar una buena definición
matemática. Aproximadamente, podemos decir que
una línea es una colección de puntos infinitamente
delgada, infinitamente larga extendiéndose en dos
direcciones opuestas. Cuando dibujamos líneas en
geometría, usamos una flecha en cada extremo para
mostrar que se extiende infinitamente.
Una línea puede ser nombrada ya sea usando dos puntos en la línea (por ejemplo, )
o simplemente por una letra, usualmente minúscula (por ejemplo, línea m).
Un segmento de línea tiene dos puntos finales. Contiene esos
puntos finales y todos los puntos de línea entre ellos. Usted puede
medir la longitud de un segmento, pero no la de una línea.
Un segmento es nombrado por sus dos puntos finales, por ejemplo
18
Una raya es una parte de una línea que tiene un punto final y
va infinitamente en una sola dirección. Usted no puede medir la
longitud de una raya.
Una raya es nombrada usando su punto final primero, y luego
cualquier otro punto en la raya (por ejemplo )
El estudio de las figuras planas y sus propiedades geométricas, abarca a los polígonos
en general — tanto regulares como irregulares — como así también al círculo, que
puede ser considerado un caso especial de polígono.
Dicho estudio comprende:
Las relaciones referentes a las líneas, puntos y ángulos de los polígonos
regulares;
Los métodos para el dibujo de los polígonos regulares;
Los métodos para el cálculo de la superficie de los polígonos regulares e
irregulares.
Líneas y puntos en los polígonos.
En los polígonos regulares, se consideran las propiedades geométricas de las
siguientes líneas y puntos:
El perímetro — que está formado por la continuidad, o la suma, de todos sus
lados.
La diagonal — que es la línea que une dos ángulos no consecutivos.
El centro — que es el punto que se encuentra a una misma distancia de todos
sus vértices.
El radio — que es la línea que une el centro con uno de sus vértices; por lo cual
un polígono regular tiene tantos radios como ángulos.
El apotema — que es la línea perpendicular que une el centro con cualquiera de
sus lados; por lo cual un polígono regular tiene tantos apotemas como lados.
19
En el círculo se consideran las propiedades geométricas de las siguientes líneas y
puntos:
La circunferencia — que lo delimita, y que es el equivalente al perímetro.
El centro — es el punto del cual equidistan todos los puntos de la circunferencia.
El radio — es la medida de distancia entre el centro y la circunferencia, es el
equivalente al radio de los polígonos regulares, y también al apotema.
El diámetro — que es la línea que pasando por el centro une dos puntos
opuestos de la circunferencia, y por lo tanto mide el doble del radio, es el
equivalente a la diagonal.
La secante — que es la línea que incluye dos puntos de la circunferencia, sin
pasar por el centro. El tramo entre esos puntos, es la cuerda.
La tangente — que es la una línea recta que toca solamente un punto de la
circunferencia.
El arco — que es el tramo de la circunferencia comprendido entre dos puntos
distintos de la misma.
La flecha — que es la una línea perpendicular al punto medio de la secante, que
lo une con la circunferencia.
El sector — que es la superficie comprendida entre dos radios y el arco que
delimitan.
Líneas poligonales y polígonos.
Línea poligonal.- Una línea poligonal está formada por varios segmentos consecutivos.
Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas.
Polígono.- Es la región de plano limitada por una línea poligonal cerrada.
Elementos de un polígono
Lado.- Es cada uno de los segmentos que forman la línea poligonal que limita al
polígono.
Vértice.- Son los puntos donde se cortan los lados.
Ángulo.- La región de plano comprendida entre dos lados al cortarse en un punto
llamado vértice.
Diagonal.- Son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.
20
Cualquier polígono tiene el mismo número de lados, de ángulos y de vértices.
Perímetro.-
Perímetro.- Perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. O lo
que es lo mismo, la medida de la línea poligonal
cerrada que lo comprende. Para calcular el
perímetro de este polígono sumaremos las
medidas de sus lados.
2,4 + 2,2 + 2,4 + 3,2 + 2,1 = 13,3 centímetros
Clases de polígonos.
Los polígonos se clasifican por su número de lados en:
Los polígonos que tienen todos sus lados y ángulos iguales se llaman polígonos
regulares.
En caso contrario los polígonos son irregulares.
Clasificación de los triángulos.
Los triángulos son los polígonos de 3 lados. Por tanto tienen 3 ángulos y tres vértices.
Según sus lados los triángulos se clasifican en:
Triángulo equilátero Triángulo isósceles Triángulo escaleno
Según sus ángulos los triángulos se clasifican en:
Triángulo acutángulo Triángulo rectángulo Triángulo obtusángulo
Clasificación de los cuadriláteros.
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados y cuatro ángulos.
21
Los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides.
-Los paralelogramos son los cuadriláteros que tienen sus lados paralelos dos a dos.
Existen cuatro tipos de paralelogramos:
Cuadrado: Cuatro lados y cuatro ángulos iguales.
Rombo: Cuatro lados iguales y los ángulos iguales dos a dos.
Rectángulo: Lados iguales dos a dos y los cuatro ángulos iguales.
Romboide: Lados y ángulos iguales dos a dos.
- Los trapecios sólo tienen dos lados paralelos, Tres tipos de trapecios:
Trapecio rectángulo: Dos ángulos rectos.
Trapecio isósceles: Lados no paralelos iguales y ángulos iguales dos a dos.
Trapecio escaleno: Cuatro lados y cuatro ángulos desiguales.
-Los trapezoides no tienen ningún lado paralelo.
Los trapecios sólo tienen dos lados paralelos, Tres tipos de trapecios:
Trapecio rectángulo: Dos ángulos rectos.
Trapecio isósceles: Lados no paralelos iguales y ángulos iguales dos a dos.
Trapecio escaleno: Cuatro lados y cuatro ángulos desiguales.
-Los trapezoides no tienen ningún lado paralelo.
El polígono regular de 3 lados es el triángulo equilátero.
El polígono regular de cuatro lados es el cuadrado.
Diagonales, perímetros y áreas de polígonos
Cuadrado
Rectángulo
22
Rombo
Romboide
P = 2 · (a + b)
A = b · h
Trapecio
P = (a + b + B + A)
23
Polígonos inscriptos y circunscriptos.
Se dice que un polígono está inscripto en un círculo, cuando todos los vértices
coinciden con puntos de su circunferencia.
Se dice que un polígono está circunscripto en un círculo, cuando los puntos medios de
todos sus lados coinciden con puntos de su circunferencia.
Construcción de polígonos mediante el compás.
Mediante la aplicación de los conceptos referentes a los ángulos de los polígonos, es
posible servirse del instrumento de dibujo que es el compás, para construir
gráficamente diversos polígonos.
El compás es un instrumento básicamente aplicable en el trazado de circunferencias,
que delimitan una figura plana que es el círculo; el cual puede ser considerado un tipo
especial de polígono regular, en el cual todos sus lados están constituidos solamente
por un punto, y cuya dimensión está determinada por la longitud del radio, que es
equivalente a la abertura del compás.
24
El método a utilizar para construir polígonos mediante el uso del compás, se basa en
determinar los vértices de los lados del polígono, estableciendo en qué puntos de la
circunferencia deben situarse para que el polígono resulte inscripto en ella.
Esa determinación se realiza a partir del conocimiento de los valores de los ángulos
centrales del polígono que se desea construir.
Para trazar un triángulo equilátero inscripto en un círculo,
manteniendo el radio (abertura del compás) empleado para
trazar el círculo, se determina un punto de la circunferencia
(preferiblemente en la vertical inferior de su centro), y centrando
en ese punto se traza un arco con extremos en la circunferencia.
Los puntos de intersección (A y B) determinan un lado del
triángulo equilátero; por lo cual tomando la medida de ese
segmento con el compás y trasladándola sobre la parte superior de la circunferencia,
se determinará el vértice (C) de unión de los otros dos lados.
Para trazar un cuadrado inscripto en un círculo, se traza una
recta que pasando por el centro llegue a la circunferencia en
sus extremos (diámetro AB).
Con una abertura del compás mayor a la empleada para
trazar el círculo, centrando en los puntos extremos del
diámetro, se marcan puntos en la circunferencia; lo que
determinará dos nuevos puntos (C y D). Uniéndolos mediante
una recta, resultará un nuevo diámetro perpendicular al
anterior; cuyos puntos de contacto con la circunferencia serán los
vértices del cuadrado inscripto.
Como el cuadrado inscripto queda en posición transversal, puede
trazarse otro con los lados en posición horizontal y vertical,
simplemente trazando las medianas del cuadrado anterior, para
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determinar los vértices A', B', C' y D', de un nuevo cuadrado inscripto en el mismo
círculo.
Para trazar un hexágono inscripto en un círculo, se fija un punto sobre la circunferencia,
y con la misma abertura del compás, se marcan puntos haciendo centro primero en ese
punto y luego sucesivamente en los nuevos puntos.
Ello determinará que se marquen sobre la circunferencia los seis puntos que
corresponden a los vértices del exágono.
Cálculo de la superficie de las figuras planas.
La medida de la superficie de las figuras planas, se designa
corrientemente en geometría con el nombre de área. Ella se expresa
en unidades de medida de superficie, que se basan en la figura del
cuadrado; por lo cual se llaman metros, decímetros o centímetros
cuadrados.
El punto de partida para la determinación del método aritmético de cálculo de la medida
de la superficie comprendida en las figuras geométricas planas, es el estudio del
cuadrado.
Subdividiendo un cuadrado en varios cuadrados cuyo lado sea una parte del cuadrado
original, resulta fácil apreciar que la cantidad de cuadrados menores — que pueden
considerarse como unidad de medida — es igual a la multiplicación del número de
cuadrados contenidos en dos de los lados del cuadrado originario: 5 × 5 = 25.
Conviniendo en denominar base al lado horizontal del cuadrado original, y altura el
vertical; el procedimiento de cálculo de la superficie del cuadro puede expresarse en la
fórmula: SUPERFICIE DEL CUADRADO = BASE × ALTURA
En el caso del rectángulo, el mismo procedimiento permite
establecer que el procedimiento de cálculo de su superficie es
igual al del cuadrado: 5 × 8 = 40.
26
SUPERFICIE DEL RECTÁNGULO = BASE × ALTURA
La fórmula de cálculo del área del triángulo, es una derivación de
las anteriores, atendiendo a que la diagonal de rectángulos lo
divide en dos triángulos; por lo cual la superficie de todo triángulo
es igual a la mitad de la del polígono que resultaría de duplicarlo
tomando uno de sus lados como eje de simetría: 5 × 8 = 40 ÷ 2 =
20.
Si se observa un trapecio, se percibe que cada una de sus
diagonales lo convierte en la suma de dos triángulos.
Por lo tanto, la superficie de un trapecio es la suma de las
superficies de uno de los dos pares de triángulos que se forman al
trazar una diagonal.
En el trapecio, se denomina base mayor al mayor de sus lados paralelos, y base menor
al otro lado paralelo. De tal manera, la base mayor resulta ser la base de uno de los
triángulos, y la base menor resulta ser la base del otro; en tanto que la altura del
trapecio es la altura de ambos triángulos. Puede obtenerse la suma de ambas
superficies en una única operación, sumando ambas bases, dividiendo el resultado
entre 2, y multiplicando por la altura: 9 + 6 = 15 ÷ 2 = 7,5 × 5 = 37,5.
27
Propiedad fundamental de los polígonos regulares.
Observando las resultantes del estudio de las líneas de los
polígonos regulares se detecta la siguiente propiedad
fundamental:
En todos los polígonos regulares, el trazado de sus radios los
divide en tantos triángulos como lados posean; cuyas alturas
son iguales al apotema del polígono, y cuyas bases sumadas
son iguales al perímetro del polígono.
En consecuencia, la superficie de un polígono regular será
igual a la suma de las superficies de los triángulos que lo forman. Extendiendo la
fórmula de cálculo de la superficie del triángulo, se deduce:
Superficie del círculo.
Considerando el círculo como un polígono regular cuyos lados son cada uno de los
puntos que componen su circunferencia, ésta resulta ser su perímetro; y el radio es a la
vez el apotema respecto de cada uno de esos puntos.
La circunferencia es una línea difícil de medir; pero puede calcularse a partir de la
medida del radio, aplicando la propiedad fundamental del círculo.
La propiedad fundamental del círculo, consiste en que existe una relación permanente
entre su radio y la medida de su circunferencia, que es un valor constante de 3,1416; el
cual se designa con la letra griega PI.
En consecuencia, aplicando al círculo la regla general para el cálculo de la superficie
de un polígono regular, se concluye:
28
Plano cartesiano
El Plano Cartesiano es una herramienta
muy útil en muchas actividades diarias.
Sirve como referencia en un plano
cualquiera; por ejemplo, el plano (o el
suelo) de nuestra cuidad.
Se llama Plano Cartesiano porque lo
inventó el filósofo y matemático René
Descartes (1596-1650).
El Plano Cartesiano se construye dibujando
dos rectas numéricas, una horizontal y la otra vertical, que se atraviesan una a la otra
en sus respectivos ceros; este cruce en el cero se le llama origen y a cada una de las
rectas se les llama ejes cartesianos o ejes coordenados.
En la recta horizontal los números positivos están a la derecha del origen y los
negativos a la izquierda del origen. En la recta vertical los números positivos están
arriba del origen y lo negativos abajo del origen. Además, también se pueden trazar
rectas paralelas a los ejes y formar así una cuadrícula.
La utilidad y versatilidad del Plano Cartesiano consiste en que se puede ubicar un
punto sin confusiones con sólo dos números. Estos dos números se llaman
coordenadas o par ordenado y el orden es (x,y).
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra
vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o
de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se
cortan recibe el nombre de origen.
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente
procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes
29
hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto
de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan
las unidades correspondientes hacia arriba si son
positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta
forma se localiza cualquier punto dadas sus
coordenadas.
Ejemplo:
Localizar el punto A (-4, 5) en el plano cartesiano.
Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas
de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.
Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se
encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la
izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean
positivas o negativas, respectivamente.
La recta de arriba hacia abajo es y de izquierda a derecha es x la parte de arriba es
positiva y la derecha y la parte de abajo y la izquierda son negativas
30
AUTOEVALUACIÓN
Teniendo en cuenta que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, es decir, dos
ángulos rectos, piensa u contesta:
¿En un triángulo rectángulo cuanto medirán los dos ángulos que no son rectos?
¿Y en un obtusángulo los dos ángulos que no son obtusos?
Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono
Heptágono Octógono Eneágono Decágono
3 lados 4 lados 5 lados 6 lados
7 lados 8 lados 9 lados 10 lados
Tiene los tres lados iguales
Tiene dos lados iguales Tiene los
Según sus ángulos los triángulos se clasifican en:
Teniendo en cuenta que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, es decir, dos
ángulos rectos, piensa u contesta:
¿En un triángulo rectángulo cuanto medirán los dos ángulos que no son rectos?
¿Y en un obtusángulo los dos ángulos que no son obtusos?
Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono
Heptágono Octógono Eneágono Decágono
3 lados 4 lados 5 lados 6 lados
7 lados 8 lados 9 lados 10 lados
Tiene los tres lados iguales
Tiene dos lados iguales Tiene los tres lados distintos
90º
Sus tres ángulos son agudos Uno de sus ángulos es recto Tiene un ángulo obtuso
Dibuja en una línea poligonal abierta de 5 segmentos y otra poligonal cerrada de 4
segmentos. ¿Cómo se llama al trozo de plano encerrado dentro de la línea poligonal
cerrada? (cuaderno)
Estos son los moldes que usa un pastelero para hacer galletas. Señala los que sean
polígonos.
31
Calcula el perímetro de estos polígonos y traza sus diagonales.
Indica las señales de tráfico que tengan forma de polígono regular.
Dibuja:
a) Un polígono regular y otro irregular.
b) Un hexágono, traza dos diagonales y colorea de verde dos lados consecutivos.
c) un rectángulo y traza dos diagonales. ¿Cuántos triángulos se han formado?
d) Un pentágono y traza todas las diagonales posibles. ¿Cuántas has dibujado?
Si el perímetro de un hexágono regular es de 72 cm, ¿Cuánto mide su lado?
Observa los ángulos señalados en estos triángulos e indica que tipo de triángulos son
según sus ángulos:
Mide los lados de estos triángulos y clasifícalos según sus lados.
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Señala en estos cuadriláteros los lados paralelos y clasifícalos en paralelogramos,
trapecios y trapezoides.
Clasifica los cuadriláteros siguientes y calcula su perímetro.
El lado mayor de un rectángulo mide 20 cm. y el menor, la mitad. ¿Cuánto mide su
perímetro? Realiza un dibujo.
Jorge avanza un metro cada dos pasos bordeando el patio del colegio. ¿Cuántos
metros tiene el perímetro del patio si ha dado 840 pasos?
El perímetro de una mesa rectangular es de 360 cm y el lado mayor mide 100 cm.
Calcula la medida del lado menor. Realiza un dibujo.
¿Cuántas diagonales tiene un cuadrilátero? ¿Y un triángulo? Realiza los dibujos
necesarios.
Indica si es verdadero o falso. (v o f)
33
Resuelve:
1. Un observador en el techo de un edificio A mide un ángulo de depresión de
27º entre la línea horizontal y la base de un edificio B. El ángulo de elevación
desde el mismo punto, hasta el techo del segundo edificio es de 41` 25``.
¿Cuál es la altura del edificio B, si la del edificio A es de 150 pies?
2. Encuentre la altura h de una montaña utilizando la información de la figura.
h
45º 28º
34
UNIDAD II GEOMETRÍA ESPACIAL
Competencia Específica
El estudiante identifica los conceptos fundamentales de la geometría espacial con
objetos en tres dimensiones y aplica los conocimientos en levantamientos topográficos
e investigación de accidentes de tránsito.
Cuerpos sólidos
Definiciones
ARISTA: Segmento donde se encuentran dos caras de un sólido.
VÉRTICE: Punto de intersección de dos o más lados (caras).
BASES: Son los lados inferiores de un sólido
POLÍGONO: Figura cerrada formada por tres o más segmentos de recta.
SÓLIDOS: Figuras del espacio que tienen tres dimensiones (largo, ancho, alto).
PRISMAS: Sólido con dos bases, las cuales son regiones poligonales y congruentes.
Sus caras son figuras planas.
CILINDRO: Sólido cuyas bases son dos círculos paralelos y congruentes.
CONO: Sólido con una sola base circular y un vértice.
ESFERA: Sólido cuyos puntos se encuentran a la misma distancia de su centro.
POLIEDRO: Son las figuras del espacio cuyas superficies (caras) son todas planas y
congruentes.
PIRÁMIDE: Sólido con una sola base poligonal, cuyas caras son todas triangulares y se
encuentran en un solo punto.
Los prismas y las pirámides se clasifican de acuerdo a la forma de su base
Si la base es: Prisma Pirámide
35
Prisma Triangular Pirámide Triangular
Prisma Rectangular
Pirámide Rectangular o
Cuadrada
Prisma Pentagonal
Pirámide Pentagonal
Prisma Hexagonal
Pirámide Hexagonal
Prisma Octagonal
Pirámide Octagonal
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Unidad III. TRIGONOMETRÍA
Trigonometría plana
Se ocupa fundamentalmente de la resolución de triángulos planos. Para ello, se definen
las razones trigonométricas de los ángulos y se estudian las relaciones entre ellas.
Teorema de Pitágoras
Si tenemos un triángulo rectángulo (uno de sus
ángulos es de como el que se muestra)
entonces:
Razones trigonométricas de ángulos agudos
La base de la trigonometría está en las razones
trigonométricas, valores numéricos asociados a cada
ángulo, que permiten relacionar operativamente los
ángulos y lados de los triángulos. Las más importantes
son seno, coseno y tangente, que se definen a
continuación.
En un ángulo de un triángulo rectángulo, ABC, se llama seno de y se escribe sen,
al cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
Análogamente se definen el coseno (cos) como cociente entre el cateto adyacente y la
hipotenusa, y la tangente (tg) como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto
adyacente:
37
Hace no muchos años existían tablas numéricas en las que se daban los valores de las
razones trigonométricas de una gran cantidad de ángulos. En la actualidad, con una
calculadora científica se obtienen con toda precisión los valores de las razones
trigonométricas de cualquier ángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo cumplen las siguientes propiedades:
sen2 α + cos2 α= 1
Aunque el ángulo pertenezca a otro triángulo rectángulo de lados distintos al anterior,
los valores obtenidos para sen α, cos α y tgα son los mismos. Es decir, las razones
trigonométricas de un ángulo no dependen del triángulo sobre el que se midan. Esto es
debido a que dos triángulos rectángulos con un mismo ángulo agudo son semejantes y,
por tanto, los cocientes, a/c, b/c, a/b coinciden en ambos.
Las razones trigonométricas sen y cos de un mismo ángulo guardan la siguiente
relación fundamental:
(Sen α)2 + (cos α)2 = 1
En vez de (sen α)2 se acostumbra a escribir sen2 α, y lo mismo con las demás razones
trigonométricas. Por eso, la igualdad anterior se suele expresar así: sen2 α + cos2 α
= 1
Las razones sen α, cos α y tg α se relacionan entre sí del siguiente modo:
Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera
Para definir las razones trigonométricas de ángulos
cualesquiera (de 0 a 360) se empieza situando el ángulo
en la llamada circunferencia goniométrica, una
38
circunferencia de radio 1 con su centro, O, situado sobre unos ejes coordenados:
El vértice del ángulo se sitúa en O y el primero de sus lados, a, sobre la parte positiva
del eje de las X. El segundo lado, b, se abre girando en sentido contrario a las agujas
del reloj. Este segundo lado corta a la circunferencia goniométrica en un punto, P,
cuyas coordenadas son c = cos α y s = sen α. Es decir, P(cos α, sen α). La tg α= t se
sitúa sobre la recta r, tangente a la circunferencia en U, y queda determinada por el
punto T en que el lado b, o su prolongación, corta a r.
Según esta definición, las razones trigonométricas sen, cos y tg toman valores positivos
o negativos según el cuadrante en el que se encuentre el ángulo α. En la figura
siguiente se resumen los signos de las tres razones:
Los ángulos 90º y 270º no tienen tangente, pues para ellos el segundo lado no corta a
la recta r.
Las razones trigonométricas de ángulos no agudos cumplen las mismas relaciones que
las de los ángulos agudos:
Otras razones trigonométricas
A partir de las razones trigonométricas sen, cos y tg se definen la cosecante (cosec), la
secante (sec) y la cotangente (cot) del siguiente modo:
39
Estas razones trigonométricas no están definidas cuando el denominador es cero. Por
ejemplo, sec α no está definida para α = 90 ni para α = 270, pues cos 90 = 0 y
cos 270 = 0.
La cotangente es cero donde la tangente no está definida, es decir, cot 90= 0 y
cot 270 = 0.
Estas tres razones trigonométricas se sitúan en la circunferencia goniométrica como se
indica en la figura:
Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos
i dos ángulos son complementarios (suman 90 ) sus razones trigonométricas están
relacionadas. También lo están las de los ángulos suplementarios (los que suman 180 )
y las de los opuestos (los que suman 360 ). A continuación se dan las relaciones
fundamentales entre ellas.
Ángulos complementarios, α y 90 - α:
• sen (90 - α) = cos α
• cos (90 - α) = sen α
• tg (90 - α) = cos α /sen α = 1/tg α
n los s plementarios, α 1 - α:
40
• sen (180 - α) = sen α
• cos (180 - α) = -cos α
• tg (180 - α) = -tg α
Ángulos opuestos, α y - α:
• sen (-α) = -sen α
• cos (-α) = cos α
• tg (-α) = -tg α
n los e i ieren en 1 , α α + 1 :
• sen (α + 180 ) = -sen α
• cos (α + 180 ) = -cos α
• tg (α + 180 ) = tg α
Resolución de triángulos
Las razones trigonométricas de ángulos agudos sirven para resolver triángulos
rectángulos, es decir, para averiguar uno de sus elementos desconocidos a partir de
algunos otros conocidos.
Por ejemplo, si se conoce la hipotenusa, h, y un ángulo α, se puede calcular el cateto
opuesto, c, a ese ángulo, mediante el seno, puesto que al ser sen α = c/h se obtiene
que c = h sen α.
Los teoremas del seno y del coseno permiten resolver triángulos oblicuángulos. Por
ejemplo, si se quiere conocer el lado c de un triángulo del que se conocen los otros dos
41
lados a y b, y el ángulo, C, opuesto al lado desconocido, el teorema del coseno permite
calcularlo
Ley del seno
Si A, B y C son los ángulos de un triángulo cualquiera, y a, b, c son, respectivamente
las medidas de los lados opuestos a dichos ángulos, entonces se cumple
De acuerdo con lo anterior, se deduce que:
Las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos.
Un triángulo oblicuángulo puede resolverse aplicando el Teorema del Seno, si dos de
los tres elementos conocidos son un lado y su ángulo opuesto.
Ley del coseno
En todo triángulo el cuadrado de la longitud, es igual a la suma de los cuadrados de las
longitudes de los otros dos, menos el doble producto de ellas, por el coseno del ángulo
que forman dichos lados. O dicho de otra manera, el cuadrado de la longitud de un lado
cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble
producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos, que
simbólicamente se expresa
Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas se obtienen a partir de las razones trigonométricas de la
siguiente forma
c2 = a2 + b2 – 2ab·cos C
a =
b =
c
sen A Sen B Sen C
42
El ángulo se e presa en radianes. or tanto, los 360 de una circunferencia pasan a ser
2π radianes. Es decir
Se considera que cualquier número real puede ser la medida de un ángulo. Sus
razones trigonométricas se relacionan con las razones de los ángulos comprendidos en
el intervalo [0, 2π) del siguiente modo: si x - ’ = k · 2π, k número entero, entonces
sen x = sen ’, cos x = cos ’, tg x = tg ’. Es decir, si dos números difieren en un
número entero de veces 2π, entonces tienen las mismas razones trigonométricas.
De este modo se obtienen las funciones trigonométricas y = sen x, y = cos x, y = tg x,
llamadas también funciones circulares. Sus representaciones gráficas son:
360 = 2π
43
Las otras funciones trigonométricas, y = csc x, y = sec x, y = cot x, por la relación que
tienen con las tres anteriores, se representan con ellas en las figuras siguientes:
44
Todas las funciones trigonométricas son periódicas: seno, coseno secante y cosecante
tienen periodo 2π, mientras que tangente y cotangente tienen periodo π.
Funciones inversas
En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el
arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier
cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el
prefijo arco, así: si Y=sen x , y es igual al seno de x, la función inversa:
x=arcsen y x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.
si: Y= cos x, y es igual al coseno de x, la función inversa: x = arcsen y
x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.
si: y = tang x y es igual al tangente de x, la función inversa: x = arctan y
x es el arco cuya tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.
La expresión “y es el seno de θ” o y = sen θ, es equivalente a la e presión “θ es el
ángulo cuyo seno es igual a y”, lo que se e presa como θ = arcsen y, o también como θ
= sen-1y. La función arcsen (que se lee arco seno) es la función inversa o recíproca de
la función seno. Las otras funciones inversas, arccos y, arctg y, arccot y, arcsec y, y
arccosec y, se definen del mismo modo.. Existen distintas costumbres, pero la más
común es que los valores principales de las funciones inversas estén en los intervalos
que se dan a continuación:
-π/2 ≤ arcsen y ≤ π /2
0 ≤ arccos y ≤ π
- π /2 < arctg y < π /2
0 < arccosec y < π
- π /2 < arcsec y < π /2
0 < arccot y < π.
Ejemplo:
45
Encuentre el valor de las 6 funciones trigonométricas del ángulo que muestra la
figura:
Solución: A partir de la figura 18 es posible ver que el
ángulo, op=8 y ady=15. El valor de la hipotenusa puede
ser hallado por el teorema de Pitágoras de la siguiente
forma
(hip)2 = 82 + 152 = 64 +225 = 289
(hip) = √289 =17
Entonces los valores de las seis funciones trigonométricas son:
Sen α = op/hip = 8/17
Cos α = ady/hip = 15/17
Tg α = op/ady = 8/15
Ctg α = ady/op = 15/8
Sec α = hip/ady = 17/15
Csc α = hip/op = 17/8
Ejercicios:
Encuentre los valores de las 6 razones trigonométricas del ángulo en los
siguientes triángulos.
46
Utilice las identidades fundamentales para encontrar los valores de las funciones
trigonométricas que faltan para .
Encuentre los valores de las funciones trigonométricas que faltan dibujando un
triángulo apropiado
47
Trigonometría esférica
La trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía, estudia
triángulos esféricos, es decir, figuras formadas por arcos de circunferencias máximas
contenidos en la superficie de una esfera. El triángulo esférico, al igual que el triángulo
plano, tiene seis elementos: los tres lados a, b, c, y los tres ángulos A, B y C. Sin
embargo, los lados de un triángulo esférico son magnitudes angulares en vez de
lineales, y dado que son arcos de circunferencias máximas de una esfera, su medida
viene dada por el ángulo central correspondiente. Un triángulo esférico queda definido
dando tres elementos cualesquiera de los seis, pues, al igual que en la geometría
plana, hay fórmulas que relacionan las distintas partes de un triángulo, que se pueden
utilizar para calcular los elementos desconocidos.
Por ejemplo, el teorema del seno adopta la siguiente forma para triángulos esféricos:
La trigonometría esférica es de gran importancia para la teoría de la proyección
estereográfica y en geodesia. Es también el fundamento de los cálculos astronómicos.
Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la
latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras
magnitudes.
Ejemplo:
Resuelva el triángulo rectángulo que tiene un ángulo de
57.5, y cuyo lado opuesto mide .
Solución: Primero marcamos y dibujamos un triangulo,
como se muestra la figura 38.
48
A partir del dibujo podemos ver que debemos encontrar , b y c. Como y son
ángulos complementarios
= 90º - α = 90º - 57.5º = 32.5º
Conocemos la longitud del lado opuesto . Para hallar la longitud del lado adyacente
usamos la función tangente. De tan = op/ ady, tenemos que:
Tg 57.5º = 10/b, o b= 10/tg 57.5º
Usando la calculadora, encontramos que 57.31.5696856, de manera que:
b ≈ 10/1.5696856 ≈ 6.37
Para hallar la hipotenusa c, usando sen=op/hip obtenemos que:
Sen 57.5º = 10/c, ó c = 10/sen57.5º
c ≈ 10/0.8433914 ≈ 11.86
Ejemplo 2
Resuelva el triángulo rectángulo con lados de 4 y 5 de longitud
Después de haber dibujado y marcado el triángulo,
como lo muestra la figura 39, vemos que debemos
encontrar c, y . A partir del teorema de
Pitágoras, la hipotenusa c está dada por:
Para encontrar , usamos tan=op/ady. Entonces tenemos que:
Tan =4/5=0.8. =38.6598=38.66. =90-=90-38.66=51.34.
49
BIBLIOGRAFÍA
CASTELLET, Manuel; LLERENA, Irene - Álgebra Lineal I Geometría. Publi. Universitat
Autónoma Barcelona.
ESPINOSA RAMOS, Eduardo. Análisis Matemático IV. Lima
QUISPE RODRÍGUEZ, Ernesto. Problemas de Geometría. Colección Racso
SOUSA MARTÍN, Ismael; RECLUSA GLUCK, Fernando; NAGORE RUIZ, Ángel;
PASTOR DE LUIS, Jesús; ESPARZA, Víctor Manuel; GAMEN RUI, Rafael. Figuras
geométricas. Cálculo de áreas. Ed. Bruño
TAIBO Ángel. Geometría descriptiva y sus aplicaciones. Tomo II. Tebar Flores
TORI LOZA, Armando. Problemas de Razonamiento Matemático. Colección Racso
50
TABLA DE SABERES
SER
SABER HACER
SABER
- Honestidad
- Confianza en sí
mismo.
- Seguridad en sus
capacidades
profesionales
- Creatividad.
- Integridad.
- Lealtad.
- Respeto.
- Espíritu de
superación.
- Disciplina.
- Procedimientos
conforme al
modulo
establecido.
- Habilidad para
fundamentar un
buen servicio.
- Manejo adecuado de
los términos y
medios utilizados por
el especialista en
Investigación de
Accidentes de
Tránsito
- Coherencia con las
actividades
realizadas y la
información que se
ha proporcionado.
- Retroalimentación y
actualización
permanente.