monografía de geometría
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geometRITRANSCRIPT
UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACION
ESCUELA DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA
2015
Monografía Geometría
1
Conceptos Primitivos
Al iniciar nuestro estudio de la geometría plana, partiremos reconociendo algunos elementos básicos que no se definen, por lo que reciben el nombre de conceptos primitivos. Estos conceptos son el de punto, línea y plano. A modo de explicación podríamos decir que un punto corresponde a una posición en un plano o espacio definido y que no posee dimensiones; que una línea está constituida por una sucesión infinita de puntos y su única dimensión es la longitud y que un plano es una superficie constituida por infinitos puntos distribuidos en dos dimensiones, longitud y anchura.
Una línea puede ser recta, curva, quebrada o mixta y su extensión es infinita en ambos sentidos. Si la extensión de la línea ocurre en una misma dirección, entonces hablamos de una línea recta, cuya simbología es AB, siendo A y B dos puntos cualesquiera pertenecientes a dicha recta.
Si limitamos la recta en un sentido tenemos un rayo cuya simbología es AB , siendo A su punto límite.
Si la recta se limita en ambos sentidos tenemos un trazo o segmento de
recta, cuyo símbolo es AB , siendo A y B los puntos límites de él.
punto
líneas plano
A B
La recta AB
A B
El rayo AB
A B
El trazo o segmento AB
2
Se puede determinar un punto intersectando cualquiera de los últimos elementos definidos.
a) P es la intersección de AB con CD
b) O es la intersección de OA con OB En ambos casos se forman aberturas determinadas por los segmentos que parten desde el punto de intersección. Dichas aberturas planas se denominan ángulos. a) Ángulo AOB b) ángulo α Un ángulo está formado por un lado inicial (donde parte la abertura), un lado terminal (donde termina la abertura), el ángulo interior (la menor abertura) y el ángulo exterior (la mayor abertura). La figura muestra estos elementos
Convencionalmente hablamos de ángulo cuando nos referimos al ángulo interior, a menos que se señale explícitamente lo contrario.
C
A
B
D
P
O
A
B
P
lado inicial
ángulo interior ángulo exterior
lado terminal
O
A
B
3
Medida de un ángulo. Sistema sexagesimal Existen varios sistemas para medir ángulos siendo el más usado en Enseñanza Media el sistema sexagesimal o de base 60, que es el mismo sistema usado para medir el tiempo (hora cronológica). Un sistema de base 60 quiere decir que cada unidad se subdivide en 60 partes iguales, siendo cada parte, por lo tanto,
60
1 del total. En el caso de los ángulos, la unidad fundamental de medida es el
grado sexagesimal, cuyo símbolo es °. Se define 1° (un grado sexagesimal) como la abertura correspondiente a la 360ava parte de un círculo. Es decir, si dibujamos 360 radios en un círculo cualquiera de manera que las aberturas entre ellos sean las mismas, cada abertura corresponde a un ángulo de medida 1°. Si ahora subdividimos el grado sexagesimal en 60 partes iguales, cada parte corresponde a un 60avo de grado denominado minuto. O sea, que 1° está formado por 60 minutos. Y al subdividir cada minuto en 60 partes iguales, cada 60avo de minuto corresponde a 1 segundo, por lo que cada minuto está formado, a su vez, por 60 segundos.
1° = 60 min = 60'
1' = 60 seg = 60"
Para medir ángulos en grados, minutos y segundos (° ' ") se utiliza un instrumento llamado transportador. El sentido positivo de medida de un ángulo es el que sigue el movimiento contrario al de los punteros de un reloj.
1°
ángulo negativo
ángulo positivo
4
Transformación del sistema sexagesimal al decimal. Acabamos de ver que en el sistema sexagesimal la unidad se subdivide en 60 partes. También hemos hablado del sistema decimal o de base 10, en el cual la unidad se subdivide en 10 partes o décimas, las que a su vez se subdividen también en 10 partes iguales o centésimas, y así sucesivamente. (Asocia esta partición con una regla graduada en metros, decímetros, centímetros y milímetros).
Sistema en base 10
1 unidad = 10 décimos 1 décima = 10 centésimos 1 centésima = 10 milésimos
1 unidad = 10 d = 100 c = 1.000 m Veamos cómo podemos pasar de un sistema al otro. Tomemos un ángulo que
mida 10° 30'. Como 1' es 60
1 de grado, entonces 30' será 30 veces
60
1, o sea,
60
30
Si efectuamos esta división obtenemos 0,5 = 2
1 =
60
30. Es decir,
60
30 es equivalente a
2
1 de grado que, expresado como número decimal corresponde a 0,5 grados. Por
lo tanto,
10° 30' = 10,5° Observa que la medida del mismo ángulo se escribe diferente al usar sistemas de medida diferentes. Tomemos ahora otro ángulo que mida 25° 15'. Desarrollemos la transformación secuencialmente.
25° 15' 25 grados más 15 veces 60
1 de grado
25 grados más 60
15 de grado (*)
25 grados más 4
1 de grado
25 grados más 0,25 grados
25,25 grados = 25,25°
5
Veamos otro ejemplo:
72° 36' 72° más 36 veces 60
1 de grado
72° + 60
36 de grado (*)
72° + 10
6 de grado
72° + 0,6° = 72,6°
Y otro ejemplo más:
45° 24' 45° + 60
24 de grado (*)
45° + 10
4 de grado
45° + 0,4° = 45,4° Observando en cada ejemplo el paso marcado con (*), podemos concluir la regla que podemos aplicar para pasar los minutos sexagesimales a décimas de grado. Esta regla es "dividir la cantidad de minutos por 60". Esta misma regla se ocupa para transformar la hora sexagesimal a hora decimal. Ejemplo: Transformar las 12:45 hrs. a hora decimal. 12:45 hrs = 12 hrs 45 min
= 12 hrs + 60
45 hrs (*)
= 12 hrs + 0,75 hrs
= 12,75 hrs Veamos ahora la transformación inversa, de grados decimales a minutos sexagesimales. Aquí, determinar la regla es muy sencillo, pues si en el caso anterior se dividía por 60, acá bastará con aplicar la operación inversa, es decir, "las décimas de grado se multiplican por 60 y se obtienen los minutos sexagesimales". Ejemplos: 1. 15,3° = 15° + 0,3°
= 15° + 0,3 60 min (*) = 15° + 18 min = 15° 18'
6
2. 37,9° = 37° + 0,9°
= 37° + 0,9 60 min (*) = 37° + 54 min
= 37° 54'
3. 80,2° = 80° + 0,2°
= 80° + 0,2 60 min (*) = 80° + 12 min
= 80° 12'
Clasificación de los ángulos según su medida Para definir el grado sexagesimal utilizamos un círculo, el cual subdividimos en 360 aberturas iguales. Al ángulo formado por esas 360 aberturas le llamamos ángulo completo y su medida es de 360°.
Ángulo completo
La mitad del ángulo completo será la fracción 2
1 de 360°, o sea 180°. Dicho
ángulo se denomina extendido.
Ángulo extendido
•
7
La mitad del ángulo extendido será la fracción 2
1 de 180°, que es equivalente
a 4
1 de 360°, es decir 90°. Dicho ángulo se denomina recto. Además, si dos
rectas o trazos se cruzan formando un ángulo recto, decimos que ambas rectas son
perpendiculares y se simboliza por "⊥".
Ángulo recto Todo ángulo cuya medida está comprendida entre 0° y 90° se denomina agudo y los comprendidos entre 90° y 180° se denominan obtusos.
Ángulos contiguos son aquellos que tienen un lado común.
Ángulos agudos Ángulos obtusos
70° 45° 170° 100°
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Ángulos complementarios son aquellos cuyas medidas suman 90°. Es
decir, si = 30° y = 60°, + = 90° y por lo tanto y son ángulos
complementarios. En este caso decimos también que es el complemento de y viceversa.
Ejemplos:
1. Si = 37,5° y = 52,5°, y son ángulos complementarios.
2. Si = 70°, el complemento de α mide 20°. pues 70° + 20° = 90°.
3. Si = 67°, el complemento de será lo que le falta a para completar 90°, o
sea 90° 67° = 23°.
4. Si es un ángulo agudo cualquiera, el complemento de γ se expresará 90° ,
es decir, lo que le falta a para completar 90°. Ángulos suplementarios son aquellos cuyas medidas suman 180°. Es decir,
si = 70° y = 110°, + = 180° y por lo tanto y son ángulos
suplementarios. En este caso decimos también que es el suplemento de y viceversa. Ejemplos:
1. Si = 130° y = 50°, y son ángulos suplementarios.
2. Si = 120°, el suplemento de mide 60°, pues 120° + 60° = 180°.
3. Si = 80°, el suplemento de será lo que le falta para completar 180°, o sea
180° 80° = 100°.
4. Si es un ángulo cualquiera mayor o igual que 0° y menor o igual que 180°, el
suplemento de se expresará 180° , es decir, lo que le falta a para completar 180°.
Ángulos adyacentes son los ángulos contiguos suplementarios.
Ángulos adyacentes
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Ángulos opuestos por el vértice son los pares de ángulos que se forman al intersectarse dos rectas o trazos en un punto de ellas. Su característica es que son congruentes, es decir, tienen igual medida.
Ángulos opuestos por el vértice. ∢ = ∢ Al cruzarse dos rectas en general, se producen las siguientes relaciones.
Son ángulos opuestos por el vértice
y ; y δ
Son ángulos adyacentes
y ; y δ ; y ; y δ
P
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Tipos de ángulos
Ángulo Convexo
Ángulo que mide entre 0° y 180°, entre ellos
tenemos a los siguientes:
Recto: mide 90°
Agudo: mide entre 0° y menos de 90°
Obtuso: mide más de 90° y menos de 180°
Ángulo Extendido Ángulo que mide exactamente 180°
Ángulo Cóncavo Mide más de 180° y menos de 360°
Ángulo Extendido Mide 360°
Ángulos Complementarios Son aquellos que su suma resulta 90°
Ángulos Suplementarios Son aquellos que su suma resulta 180°
Ángulos Adyacentes Son dos ángulos que tienen un lado común y los
otros dos lados pertenecen a la misma recta.
Ángulos opuestos por el
vértice
Son pares de ángulos que tienen un vértice en
común y sus lados son rayos opuestos.
Bisectriz de un ángulo: Es un rayo que sale desde el mismo vértice de un
ángulo y lo corta por la mitad.
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Ángulos Entre paralelas
La figura muestra las rectas L1 y L2 paralelas entre sí (lo que se simboliza L1 // L2) y una recta T transversal que las intersecta en los puntos O y P respectivamente.
Las relaciones angulares vistas en la figura se dan origen a relaciones que definimos a continuación.
Nombre Descripción Ángulos
Alternos Internos
Son dos ángulos internos no
adyacentes, situados en distinto
lado de la secante
Alternos Externos
Son dos ángulos externos no
adyacentes, situados en distinto
lado de la secante
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Nombre Descripción Ángulos
Opuestos por el
vértice
Son aquéllos que tienen el vértice
en común y los lados de uno de sus
ángulos.
Correspondientes
Son dos ángulos no adyacentes,
situados en un mismo lado de la
secante, uno interno y otro externo
Colaterales Internos
(Suplementarios)
Son dos ángulos internos no
adyacentes, situados en un mismo
lado de la secante
Colaterales Externos
(Suplementarios)
Son dos ángulos externos no
adyacentes, situados en un mismo
lado de la secante
Adyacentes
(Suplementarios)
Son aquéllos que tienen un lado en
común
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Ejercicios resueltos
1. Sabiendo que x e y están en la siguiente proporción, 2:1
correspondientemente. Calcule el valor de x e y.
Solución:
Si x e y están en proporción de 2:1 nos dice que
Ahora también sabemos que
( )
( )
14
2. De la siguiente figura, calcula cuánto vale el si el ángulo =70° y
el ángulo =
Solución:
Si el ángulo
nos dice que , con esto se forma un triángulo PON cuyos ángulos
interiores son:
Sabemos que la suma de estos tres ángulos es 180°.
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Ejercicios Propuestos.
Se utilizará la figura para resolver los ejercicios 1, 2, 3 y 4
1. Sabiendo que , cuánto vale el sabiendo que el segmento
LM es bisectriz de
2. Si ML bisectriz de ; ; ¿Cuánto vale
3. Suponga que ⊥ y ML bisectriz, ¿Cuánto vale el
4. ¿Cuánto vale el si suponemos que segmento JK // segmento EF y
?
16
5. Si . ¿Cuánto vale el sabiendo que
?
6. Si CD//AB y , Calcule
17
7. Si y . Suponiendo que AB//EF ¿Cuál es valor de
?
8. Si calcule
18
A B
C
Triángulos Un triángulo es una figura plana cerrada formada por tres lados rectos. En él distinguimos tres vértices, señalados con letras mayúsculas, tres ángulos interiores y tres ángulos exteriores, formados por un lado y la prolongación de otro.
a) Δ ABC b) ángulos interiores c) ángulos exteriores
TEOREMA 1. "En cualquier triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a 180°".
α + β + γ = 180°
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TEOREMA 2. "En cualquier triángulo, la suma de los ángulos exteriores es igual a 360° ".
TEOREMA 3. "En cualquier triángulo, la medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores no adyacentes a él".
A B
C
δ + ε + φ = 360°
C
B A
δ = α + γ
ε = α + β
φ = β + γ
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II CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS A) SEGÚN LADOS:
Triángulo equilátero. Es aquel que tiene tres lados de igual medida, sus tres
ángulos interiores iguales y sus tres ángulos exteriores también iguales. Cada ángulo interior mide 60° y cada ángulo exterior mide 120°.
Si en un triángulo equilátero trazamos la bisectriz de uno de sus ángulos interiores, ésta cae perpendicularmente en el punto medio del lado opuesto al ángulo.
60°
60° 60°
C
A B
AC = BC = AB
30° 30°
60° 60°
C
A B D
∡CAB = ∡ABC = ∡BCA
es la bisectriz del ∡ ACB
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Triángulo isósceles. Es aquel que tiene dos lados de igual medida y uno diferente llamado base, dos ángulos interiores iguales llamados ángulos basales y el tercer ángulo interior distinto, llamado ángulo del vértice.
AB es la base
BC = AC
∡ BAC = ∡ ABC son los ángulos basales
∡ γ es el ángulo del vértice
Si en un triángulo isósceles trazamos la bisectriz del ángulo del vértice, ésta cae perpendicularmente en el punto medio de la base
Triángulo escaleno. Es aquel que tiene sus tres lados y sus tres ángulos interiores de distinta medida.
A B
C
2
γ
2
γ
Base
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B) SEGÚN ÁNGULOS:
B.1 Triángulo Rectángulo Es aquel que posee un ángulo recto.
Triángulo ABC, rectángulo en B
B.2 Triángulo Acutángulo Es aquel que posee tres ángulos agudos (menores a 90°)
B.3 Triángulo Obtusángulo Es aquel que posee un ángulo obtuso.
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Elementos secundarios de un triángulo
Bisectrices: Rectas que dimidian los ángulos, es decir, que divide a un ángulo en
dos iguales, se designan normalmente por la letra b y un subíndice que señala el
respectivo ángulo interior. Se intersectan en un solo punto que es equidistante de
cada uno de los lados del triángulo, llamado incentro (I) y que es el centro de la
circunferencia inscrita. Esta circunferencia es tangente a los lados del triángulo.
Bisectrices
: Incentro
Alturas: Segmentos perpendiculares que unen un vértice con su lado opuesto,
generalmente se designan con la letra h y un subíndice que señala el lado del cual
se levanta. Se intersectan en un solo punto llamado ortocentro (H). Dependiendo
del tipo de triángulo, el ortocentro se ubica: dentro del triángulo cuando se trata de
un triángulo acutángulo; fuera del triángulo cuando se trata de un triángulo obtuso;
en el mismo triángulo cuando se trata de un triángulo rectángulo.
, Alturas
OrtocentroH :
24
Transversales de gravedad: Segmentos que unen cada vértice con el punto
medio del lado opuesto, generalmente se designan con la letra t y un subíndice
que señala el lado. Se intersectan en un único punto llamado centro de gravedad o
baricentro (G), este punto tiene la característica de dividir a cada una de las
transversales en dos segmentos cuyas medidas están en la razón 2:1. Además las
transversales forman seis triángulos que tienen igual área.
CDBFAE ,, , Transversales
de gravedad G: Baricentro
Medianas: Segmentos que se obtienen de unir los puntos medios de cada lado
del triángulo, generalmente se designan con la letra m y un subíndice que indica el
lado sobre el cual se proyecta.
Cada mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de dicho lado.
Al trazar las tres medianas de un triángulo, este queda dividido en cuatro
triángulos congruentes
, medianas
PRQRCQBRPAPQ
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Simetrales o Mediatrices: Rectas perpendiculares trazadas en el punto medio de
cada lado, generalmente se designan por la letra s y un subíndice señalando el
lado del cual se levanta. Se intersectan en un único punto llamado Circuncentro
(O) y es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
OFOEOD ,, , Simetrales
O : Circuncentro
Teoremas relativos a los elementos geométricos del triángulo
En todo triángulo isósceles, la transversal de gravedad y la altura con
respecto a la base, son iguales.
En todo triángulo isósceles, la altura, la transversal de gravedad, la bisectriz
y la simetral están contenidas en la misma recta.
En todo triángulo equilátero, coinciden las transversales de gravedad,
bisectrices, alturas y simetrales.
En un triángulo rectángulo la medida de la transversal de gravedad
correspondiente a la hipotenusa, es igual a la mitad de la medida de dicha
hipotenusa.
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Ejemplo: a) En el triángulo ABC, AD y CE transversal de gravead, AD ┴ CE,
GD= 3 cm, GE= 2 cm, calcule CB.
Como CE es transversal de gravedad, tenemos que CG : GE = 2 : 1,
además nos dicen que GE = 2cm, por lo tanto CG=4 cm.
Luego el ∆CGD es rectángulo en G, por lo tanto CG y GD son
catetos y miden 4cm y 3cm respectivamente, por lo tanto usando
Pitágoras tenemos que CD=5 cm.
Finalmente como AD es transversal de gravedad, tenemos que
CD=DB, y como CD= 5 cm implica que BD=5 cm.
por lo tanto el trazo BC=10 cm.
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Ejercicios propuestos: a) En el triángulo rectángulo, D es punto medio de AB, a : b = 5 : 1. Hallar
la medida de e + f 2.- Sea ABC un triángulo rectángulo en C y D, AD= 16 CD=12, AB=c, AC=a, BC=b Hallar los valores de a, b y c 3.- ∆ ABC rectángulo en C, BM altura, BM//DC, <ABC recto, AM= 5 cm y AB=5 raíz de 2, calcule DC.
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Congruencia y semejanza de triángulos
Definición 1.
Congruencia: Dos figuras son congruentes cuando coinciden en todo
aspecto, tales como: forma, tamaño, ángulos, área y perímetro.
Símbolo Congruencia
Ejemplo
Estos dos triángulos son Congruentes.
Diremos que dos triángulos son congruentes si hay plena coincidencia en todos sus elementos, es decir, lados y ángulos. Esta congruencia implica una correspondencia entre vértices, lados y ángulos.
En la figura anterior, si ABC PQR, significa que:
- el vértice A tiene su correspondencia con P - el vértice B tiene su correspondencia con Q - el vértice C tiene su correspondencia con R
además
A B
C R
P
Q
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- AB tiene la misma longitud que PQ
- BC tiene la misma longitud que QR
- AC tiene la misma longitud que PR
y por último - ∢ ABC tiene la misma medida que ∢ PQR - ∢ ACB tiene la misma medida que ∢ PRQ
- ∢ BAC tiene la misma medida que ∢ QPR
Definición 2.
Semejanza: Dos figuras son semejantes cuando sus lados correspondientes se
encuentran en la misma proporción. Símbolo Semejanza
Ejemplo.
Estos Triángulos son Semejantes porque sus lados correspondientes están en
proporción 1:3.
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos interiores son respectivamente iguales y sus lados homólogos son directamente proporcionales ∡ ≅ ∡
ABC PQR (*) ∡ ≅ ∡ y además, kRP
CA
QR
BC
PQ
AB
∡ ≅ ∡
A B
C R
P Q
30
Observaciones:
- Si k = 1, los triángulos mencionados serán congruentes. - El orden de semejanza mencionado en (*) es fundamental para encontrar
vértices homólogos, lados proporcionales y ángulos iguales. - Conocer la semejanza de dos triángulos permite determinar medidas de
ángulos desconocidos y obtener longitudes de lados debido a la proporcionalidad mencionada.
No solamente podemos saber si un triángulo es semejante a otro sabiendo la
medida de sus lados y sus ángulos, también podemos saber si estos son
semejantes o congruentes por diferentes criterios.
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Criterios de congruencia de triángulos:
1. Lado, Lado, Lado (L,L,L): Dos triángulos son congruentes si sus lados
correspondientes son Congruentes.
2. Lado, Ángulo, Lado (L,A,L): Dos triángulos son congruentes si tienen dos
lados correspondientes y el ángulo comprendido entre ellos congruentes.
3. Ángulo, Lado, Ángulo (A, L, A): Dos triángulos son congruentes si tienen
dos ángulos correspondientes y el lado comprendido entre ellos
congruentes
Ejemplo L,L,L :
Ejemplo L,A,L :
Ejemplo A,L,A :
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Criterios de Semejanza Triángulos:
1. Ángulo, Ángulo (A,A): Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos
iguales.
2. Lado, Lado, Ángulo (L,L,A): Dos triángulos son semejantes si tienen
dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual
3. Dos triángulos son semejantes si tienen todos sus lados
proporcionales
Ejemplo A,A:
Ejemplo L,L,A
Ejemplo Lados Proporcionales:
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Ejercicios Resueltos
1. ¿Son estos dos triángulos semejantes?
La respuesta es esta pregunta es fácil de descifrar solo debemos ver si los
lados correspondientes (homólogos) están en la misma proporción. Es decir:
Como la proporción de todos los lados es la misma (1.5) aseguramos que los
dos triángulos son Semejantes.
2. En la figura Si AE=12, EB=28, CE=15, AC=18 Determinar ED y BD
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Solución:
Como en el punto E
Los triángulos tienen un ángulo
opuesto por el vértice podemos saber
que ese ángulo es igual en ambos
triángulos, ahí tenemos una
coincidencia, ahora para que se
cumpla el criterio de L,A,L los lados
deben estar en las siguientes
proporciones, DE:CE= DB:AC = 18:12
Con estas medidas los dos triángulos son semejantes.
35
3. Mirando la figura y sabiendo que:
⊥ ⊥
Determinar:
Solución: Nos damos cuenta que los triángulos ABC y ADE son semejantes ya
que comparten ángulo y ángulo.
Por semejanza podemos afirmar las siguientes proporciones:
36
Ejercicios propuestos
1. Si los segmentos BC y DE tienen sus extremos en los lados del y
forman con estos lados los ángulos BDE y EDB, demuestre que el
2. Calcula AC y BC, Sabiendo que AE= 18cm, AB= 12cm, DB= 6cm y DE=21cm
3. Sabemos que
37
4. ⊥ ⊥
5. Los lados de un triángulo miden 36cm, 42cm y 54cm. Si en un triángulo
semejante a este, el lado homólogo del primero mide 24 hallar la medida de los
otros dos lados de este triángulo.
6. Los lados de un triángulo rectángulo miden 6cm, 8cm y 10 cm,
respectivamente. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al
primero, si su hipotenusa mide 15cm?
38
7. Demostrar que el triángulo OAB es semejante con el triángulo OCD, Sabiendo
que
8. ⊥ ⊥
9. Demostrar que
39
10. En el triángulo ABC rectángulo en C de la siguiente figura. BC=5cm y BD=
4cm. ¿Cuánto es la medida de segmento AD?
11. En el triángulo ABC rectángulo en C. si BC=5 cm y BD = 4cm. ¿Cuánto es la
medida del segmento AD?
12. En la figura se tiene que CD es bisectriz del ángulo ACB. ¿Cuánto mide la
diferencia de los ángulos EFA y DCB? es ese orden. Con
40
13. En la figura adjunta, AC =8cm, BC=4cm y BD=√ . ¿Cuál es la longitud de
AB?
14. El área del cuadrilátero ABCD es 204 y está formado por 2 triángulos
rectángulo. Sabiendo que la suma de los catetos de es 21 cm y el cateto
mayor mide 12 cm. Calcula el perímetro del cuadrilátero ABCD
41
Teorema de Thales “Dadas dos o más rectas paralelas intersectadas por dos rectas secantes, los segmentos determinados por las paralelas en cada secante son respectivamente proporcionales”
Caso I - En la figura, EFCDAB //// y L1 y L2 secantes. Entonces,
DF
BD
CE
AC
BF
BD
AE
AC y
Caso II - En la figura, CDAB // Entonces,
CD
AB
PD
PB
CD
PC
AB
PA
PD
PC
PB
PA y ,
Caso III - En la figura, L1 // L2 Entonces,
CD
AB
EC
BE
CD
AB
ED
AE
EC
BE
ED
AE y ,
A B
C D
E F
L1 L2
L2
L1 A B
C D
E
P
A B
C D
42
Teoremas de Euclides
Sea el ABC rectángulo en C, de catetos a y b, hipotenusa c y altura h respecto de la hipotenusa. El pie de la altura h determina dos segmentos p y q que son las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Entonces:
i) “la altura es media proporcional geométrica entre los segmentos determinados por ella en la hipotenusa”
h2 = p · q
ii) “Cada cateto es media
proporcional geométrica entre la hipotenusa y la proyección de cada cateto en la hipotenusa”
a2 = c · p ; b2 = c · q
Demostración Teorema de Euclides referente a la altura
En todo triángulo rectángulo de altura y proyecciones p y q sobre la hipotenusa,
tenemos que:
C
A B
b a
D
c
h
q p
43
Demostración:
Aplicando el teorema particular de Pitágoras a los triángulos DBC y ADC puedes
obtener las siguientes igualdades:
Sumando observas que:
Siendo ABC un triángulo rectángulo, sabemos que , por el teorema de
Pitágoras, por lo tanto:
Y como , tenemos que:
( )
De donde, finalmente, deduces la igualdad requerida, es decir:
Queda entonces demostrado el teorema.
44
Demostración Teorema de Euclides referente a los catetos
En todo triángulo rectángulo ABC de lados a, b y c con proyecciones q y p sobre la
hipotenusa, tenemos que:
Demostración de
Al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo DBC se tiene que:
Y del teorema de Euclides referente a la altura , podemos escribir:
Al tener factor común p, se puede escribir la igualdad anterior como sigue:
( )
Teniendo en cuenta que se deduce la igualdad deseada, es decir:
Queda entonces demostrado el teorema.
Mediante un razonamiento completamente análogo, se prueba que
45
Teorema de Pitágoras “Sea ABC un triángulo rectángulo en C, la suma de sus catetos al cuadrado es
igual al cuadrado de su hipotenusa”
El Teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de
demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas
de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema
para alcanzar el grado de “Magíster matheseos”.
A continuación mostraremos uno de los más sencillos de comprender.
Primer paso:
Dibujamos un cuadrado de lado y unimos los puntos que limitan el trazo a
con el trazo b formando un cuadrado menor dentro del primero.
Debido a que cada lado mide ,
su área será: ( )( )
Segundo paso: Sumar las áreas de las figuras más pequeñas.
Primero, como el cuadrado menor (inclinado) es de lado su área será:
Luego sumamos las áreas de los cuatro triángulos, esto es:
(
)
Si sumamos el cuadrado menor y los cuatro triángulos resulta:
46
Tercer paso: Igualar y operar
El área del cuadrado grande es igual a la suma del área del cuadrado menor
(inclinado) y los cuatro triángulos, esto es:
Operamos:
Restamos ab2 en ambos miembros
Teorema de Apolonio “En un triángulo ABC cualquiera, la bisectriz de un ángulo interior divide al lado opuesto en dos segmentos que son proporcionales a los lados contiguos”
Si CD es bisectriz del ∡ ACB, entonces
a : u = b : v
abcbaba
abcbaba
22
2))((
222
2
222 cba
abcbaba 2))(( 2
b a
C
A u v D B
47
Cuadriláteros
Definición: Polígono de 4 lados. Se divide en paralelogramos, trapecios y trapezoides.
A) Paralelogramos Son aquellos que poseen dos pares de lados opuestos paralelos
Propiedades de todo paralelogramo
Lados opuestos congruentes Ángulos opuestos congruentes Ángulos consecutivos suplementarios Las diagonales se dimidian
Sin un cuadrilátero cumple con alguna de estas propiedades, es un paralelogramo
Los Paralelogramos se clasifican en: A.1) Paralelogramos Rectos: Son aquellos que poseen sus 4 ángulos interiores rectos.
Cuadrado:
Propiedades
Lados:
4 lados iguales: ADCDBCAB
Lados opuestos paralelos: ADBCCDAB //;//
Diagonales: Tienen la misma medida Se dimidian Son perpendiculares Bisectan los ángulos interiores
48
Rectángulo:
Propiedades:
Lados:
Lados opuestos iguales: aCDAB ;
bBCAD
Lados Opuestos paralelos: ADBCCDAB //;//
Diagonales:
Tienen la misma medida, 22 baBDAC
Se dimidian No son perpendiculares No bisectan a los ángulos interiores
49
A.2) Paralelogramos oblicuos: Son aquellos que no tienen sus ángulos interiores rectos.
Rombo: Propiedades: Ángulos:
Ángulos opuestos iguales. Ángulos consecutivos suplementarios α+β=180º
Lados:
4 lados iguales ADCDBCAB
Lados opuestos paralelos ADBCCDAB //;//
Diagonales:
AC≠BD Se dimidian. Son perpendiculares Bisectan los ángulos interiores
50
Romboide
Propiedades: Ángulos:
Ángulos opuestos iguales. Ángulos opuestos suplementarios α+β=180º
Lados:
Lados opuestos iguales aCDAB ; bBCAD
Lados opuestos paralelos ADBCCDAB //;//
Diagonales:
AC≠BD Se dimidian No son perpendiculares No bisectan los ángulos interiores
51
B) Trapecios Son aquellos que poseen solo un par de lados paralelos. Propiedades de todo trapecio:
En todo trapecio la mediana (es el segmento que une los puntos medios de sus lados no paralelos) es igual a la semisuma de las bases.
Se clasifican en: B.1) Trapecio isósceles: Propiedades: Ángulos:
Ángulos basales iguales Ángulos consecutivos suplementarios α+β=180º
Lados:
Lados no paralelos de igual medida AD=BC AB ≠ DC AB // DC AE = FB = b – a
Diagonales:
Tienen la misma medida AC=BD AG = GB DG = CG
52
Al trazar sus alturas se generan dos triángulos rectángulos congruentes y en la
base mayor un segmento igual a la base menor. ∆AED ≅ ∆BFC ; EF = DC B.2) Trapecio Rectángulo: Propiedades: Ángulos:
Posee dos ángulos rectos. α ≠ β Ángulos no rectos suplementarios α+β = 180º
Lados:
AD ┴ AB AD ┴ DC AD = CE = altura AB // DC
Diagonales
AC ≠ BD
53
B.3) Trapecio Escaleno: Propiedades: Ángulos:
α+δ = 180º β+γ = 180º Todos sus ángulos son distintos α ≠ β ≠ γ ≠ δ
Lados:
Todos los lados son distintos AB ≠ BC ≠ CD ≠ AD AB // DC
Diagonales:
AC ≠ BD
54
C) Trapezoides Son aquellos que no posee par de lados paralelos. Se clasifican en: C.1) Trapezoide Asimétrico. Propiedades: Ángulos:
Posee todos sus ángulos de distinta medida α ≠ β ≠ γ ≠ δ Lados:
Posee todos sus lados de distinta medida AB ≠ BC ≠ CD ≠ AD C.2) Trapezoide Simétrico (deltoide)
55
Propiedades: Ángulos:
<DAB = <ACB <ADC = <ABC
Lados:
AD = CD AB = BC No tiene lados paralelos
Diagonales:
DB ┴ AC BD: bisectriz. E punto medio de AC
56
Ejemplo:
a) Sea ABCD un cuadrado, AD//EF, calcular <1 + <2 + <3 Por propiedad sabemos que las diagonales de un cuadrado bisectan los ángulos interiores, esto implica que el <1= 45º Luego con AD//EF tenemos que el <AEF es recto, esto implica que el <AGE = 45º y como el <2 esta opuesto por el vértice será igual a 45º. Para encontrar el <3 basta sumar en <1 y el <ABC, ya sabemos que el <1=45º, y como ABCD es cuadrado el <ABC=90º, entonces <3=45º+90º, luego <3=135º
finalmente sumamos <1 + <2 + <3 45º + 45º + 135º = 225º Ejercicios Propuestos:
a) En la figura ABCD es un trapecio isósceles, AB:BC = 2:1 , EC//AD , Si ABC = 70º, calcule <DEC.
57
b) ¿Cuál es el perímetro del trapecio isósceles de la figura?
c) En la figura se tiene un rectángulo ABCD. AE=8, BE=6 ¿Cuál es el área del rectángulo?
58
Circunferencia.
Definiciones Básicas sobre circunferencia
Circunferencia: Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que
equidistan de un punto llamado centro. La distancia entre estos puntos y el centro
de la circunferencia, se denomina radio.
Partes de la Circunferencia:
1. Radio: Segmento cuyos extremos son el centro de la circunferencia y
un punto de esta.
2. Cuerda: Trazo cuyo extremos son dos puntos de una circunferencia
3. Diámetro: Cuerda que sostiene al centro de la circunferencia.
4. Secante: Recta que intersecta en dos puntos a la Circunferencia.
5. Tangente: Recta que intersecta en un solo punto la circunferencia.
6. Arco: Es un parte de la circunferencia determinara por dos puntos
distintos de ella. Se considera en sentido antihorario, es decir, no es lo
mismo el arco AB que el arco BA.
59
Circulo: Es la región interior de la Circunferencia.
Sector Circular: Es la parte del circulo comprendida entre dos radios.
Segmento Circular: Es la parte del circulo comprendida entre un arco y la cuerda
determinada por los extremos de este arco.
60
Corona circular: es la parte del círculo comprendida entre dos circunferencias
concéntricas (centro común)
Semicírculo: corresponde a la mitad del círculo determinada por un diámetro.
Posiciones relativas de la circunferencia
61
Ángulos de la circunferencia
1. Ángulo del centro: corresponde al ángulo cuyo vértice es el centro de la
circunferencia y sus lados son dos radios.
2. Ángulo inscrito: corresponde al ángulo cuyo vértice está en la circunferencia
y sus lados son dos cuerdas.
3. Ángulo semi-inscrito: corresponde al ángulo formado por una recta tangente
y una recta secante, su vértice está en la circunferencia.
.
62
4. Ángulo interior: corresponde al ángulo cuyo vértice es cualquier punto al
interior de la circunferencia, está formado por dos cuerdas.
5. Ángulo exterior: corresponde al ángulo cuyo vértice está en el exterior de la
circunferencia, puede estar formado por dos tangentes, dos secantes o una
tangente y una secante.
63
Teoremas Referentes a las Circunferencias.
Teoremas 1 y 2 son referentes a la figura 1.
Figura 1.
Teorema 1: Si un Radio de una circunferencia es perpendicular a una cuerda,
entonces la dimita y viceversa.
⊥ ≅
Teorema 2: Si un radio de una circunferencia es perpendicular a una cuerda
entonces dimidia el arco que sostiene la cuerda y viceversa
⊥ ( ) ≅ ( )
64
Teoremas 3, 4 y 5 correspondientes a la figura 2.
Figura 2
Teorema 3: Cuerdas congruentes sostienen arcos congruentes.
( ) ≅ ( ) ≅
Teorema 4: Cuerdas Congruentes equidistan del centro y viceversa.
≅ ≅
Teorema 5: Cuerdas paralelas determinan entre ellas arcos congruentes.
≅ ( ) ≅ ( )
65
Ángulos en la circunferencia (figura 3)
Ángulo Interior:
Ángulo del centro:
Ángulo inscrito:
Ángulo Semi-Inscrito:
Figura 3
66
Ángulo Exterior:
Teoremas Ángulos en Circunferencia:
Teorema 6: La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio den
el punto de tangencia.
⊥
67
Teorema 7: Los segmentos Tangentes trazados desde un punto a una
circunferencia son congruentes.
Teorema 8: En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia la suma de las
longitudes de los lados opuestos en la misma.
68
Teorema 9: Todo Ángulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la
mitad del ángulo del centro que sostiene el mismo arco.
Ejemplo.
Teorema 10: Todos Ángulos inscritos en una circunferencia que sostienen un
mismo arco tienen igual medida.
69
Teorema 11: En todo todo cuadrilatero inscrito en una circunferencia los ángulos
opuestos son suplementarios.
Teorema 12: Todo Ángulo interior a una circunferencia tiene por medida la
semisuma de los que comprenden sus lados y sus prolongaciones.
( ) )
70
Teorema 13: Todo ángulo Exterior una circunferencia tiene por medida a la
semidiferencia de los arcos que comprenden entre sus lados.
( ) ( )
Teorema 14: De las cuerdas. Si dos cuerdas se interceptan en el interior de la
circunferencia, el producto de los segmentos determinados en una
cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en otra
cuerda.
71
Demostración
Debemos probar que los . Para ellos probaremos las similitudes de
sus ángulos, sabemos que comparten el mismo ángulo y ahora debemos
encontrar otro ángulo que sea semejante.
El ya que sostienen el mismo arco.
Teorema 15: Teorema de las secantes. Si dos rectas secantes interceptan a una
circunferencia, el producto entre el segmento exterior a la
circunferencia con el segmento total en una de las secantes es igual
al producto de los correspondientes segmentos en otra secante.
72
Demostración
Debemos probar que los . Para ellos probaremos las similitudes de
sus ángulos, sabemos que comparten el mismo ángulo y ahora debemos
encontrar otro ángulo que sea semejante.
El ángulo ya que sostienen el mismo arco.
Teorema 16: Teorema de la secante y tangente. Si desde un punto exterior a una
circunferencia, se traza una tangente y una secante, el cuadrado del
segmento tangente equivale al producto entre el segmento exterior y
el segmento total de la recta secante.
73
Demostración:
La demostración de este teorema la guiaremos mediante semejanza de ángulos.
Debemos probar que los . Para ellos probaremos las similitudes de
sus ángulos, sabemos que compartes el mismo ángulo y ahora debemos
encontrar otro ángulo que sea semejante.
El ángulo ya que sostienen el mismo arco.
74
Ejercicios Resueltos
1. En la figura, si la medioda del arco AB = 70°, a cuánto equivale la suma
Solución:
( )
75
2. En la circunferencia de centro A de la figura, y son diámetros, si
⊥ y ¿Cuánto mide el ?
⊥
76
Ejercicios Propuestos:
1. Sea el diámetro de la circunferencia y O el centro. Si , ¿Cuánto
mide el ángulo
2. En la figura adjunta, O es el centro de la semicircunferencia y el
Arco(BC)=3Arco(CA) ¿Cuánto mide el ángulo
3. En la figura es diámetro y el Arco (AC)=200°. Si ( )
( ), ¿Cuánto mide el ángulo ?
77
4. En la figura, la tangente y la secante entonces ¿
Mide?
5. En la figura de centro O, ⊥ , ⊥ Entonces
¿Cuánto mi de ?
6. Sea tangente en C a la circunferencia de centro O, Entonces ¿Cuánto
mide ?
78
7. En la circunferencia de centro O, Arco(AB) = Arco(BC) , ⊥ y
8. CD es diámetro de la circunferencia de centro O, si Arco(AD) y Arco(BC)
son iguales y entonces
9. En la figura ≅ y O es centro de la circunferencia. Si
¿Cuánto vale el ángulo
79
10. En la circunferencia de centro O de la siguiente figura es diámetro y
También ( ) ( ) . ¿La
medida del es?
11. En la figura . Si el segmento es tangente a la
circunferencia en el punto A, entonces el segmento mide:
12. En la figura, O centro de la circunferencia y tangente en el punto D, si
( ) Entonces el ¿
80
13. En la figura, el es un sexto de la circunferencia de centro O. ABCD
cuadrilátero inscrito en la circunferencia. ¿Cuánto vale si
14. Si las cuerdas son todas congruentes, entonces
15. En la figura siguiente, la medida de la cuerda es:
81
16. Con los datos de la figura, si O es el centro de la circunferencia circunscrita
al triángulo ABC ¿Cuánto mide el ?
17. Si en la circunferencia de centro O de la figura adjunta es diámetro
y Entonces
82
18. En la circunferencia de dentro O y radio r de la figura adjunta, el triángulo
ABC es Isósceles de base si entonces
¿la medida del
19. En la circunferencia de centro O de la siguiente figura,
¿Cuánto mide el
83
Perímetros y Áreas de figuras planas.
Definiciones.
Perímetro: Es la suma de las magnitudes de todas las longitudes de los lados
de una figura geométrica.
Área: Es la medida de la superficie de una figura; es decir, la medida de su
región interior.
Triángulos
Área
Perímetro
84
Paralelogramos
Área
Perímetro
Cuadriláteros
Perímetro
85
Área y perímetro de circunferencia
Área
Perímetro
Ejercicios Resueltos
1. La figura ABCD es un cuadrado de 40cm de perímetro. Si E y F son puntos
medios de los lados respectivamente, entonces ¿Cuál es el área
del triángulo EFA?
86
Solución:
i) √
ii) √
iii) (√
)
iv)
v)
√
√ √ √
2. Si el radio de la circunferencia de centro O mide 8cm y
determine
el área del triángulo BDE.
87
Solución:
√
√
√
√
Ejercicios Propuestos
1. En el trapecio isósceles ABDC de la siguiente figura, ¿Qué valor debe tener el
segmento x para que la zona achurada sea
√ ?
88
2. El perimetro del siguiente pentagono es de 1m, Calcula el valor de x.
3. En la figura los triángulos son equiláteros, entonces el perímetro de la figura
sombreada es:
4. Si ABC es isósceles de área A, con ⊥ y
⊥ . Calcule el cociente entre el área achurada y el área total.
89
5. Calcular el área de la siguiente zona achurada, es diámetro,
y
6. El cuadrado ABCD de lados y puntos medios H, F, G, E. ¿Qué porcentaje es la
zona achurada respecto del área total?
7. El radio del círculo mayor es 6 unidades, determine el perímetro de la figura
pintada si las circunferencias interiores son congruentes y tangentes.
90
8. En la figura se muestra un rectángulo y una circunferencia, cuyo diámetro mide
10cm. ¿Cuánto mide el perímetro del área sombreada?
9. ¿En qué razón están las áreas de los triángulos ADC y CBD?
10. Calcule el perímetro de esta figura sabiendo que AP= 8cm, y AQ = 6cm
91
11. √ entonces ¿el perímetro del triángulo
CDR mide?
12. El antejardín de una casa tiene forma rectangular y un área de 54 . Si el
frente de la casa mide 12metro ¿Cuánto mide el jardín de fondo?
13. La figura representa la planta de un edificio compuesto por dos bloques
cuadrados de 100 y 64 de área respectivamente. Si ahora se construye
un tercer bloque, representado por el cuadrado sombreado. ¿Cuánto medirá su
área?
92
14. ¿Cuál el área de un hexágono regular cuyo perímetro es 180m?
15. Sea ABCD un rectángulo, F y E puntos medios de los lados
respectivamente. ¿Qué parte del rectángulo es la figura sombreada?
16. ¿Cuánto mide el área del trapecio isósceles ABCD?
93
17. Circunferencia de Radio r=√ , si , entonces el área del triángulo
sombreado es:
94
Área y volúmenes de cuerpos geométricos.
Definiciones:
Volumen: Es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un
cuerpo. Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres
dimensiones.
Área: Es la medida de la superficie de una figura; es decir, la medida de su
región interior. En el caso de cuerpos geométricos es la superficie total que ocupa
el cuerpo.
Poliedros
1. Cubo: Solido de 6 caras cuadradas y paralelas, que están unidas por aristas.
√
a
95
2. Paralelepípedo: Solido de 6 caras las cuales pueden ser rectángulos y/o
cuadrados.
( )
Cuerpos Redondos
Son aquellos que se generan por la rotación en 360° de una figura lana alrededor de
su eje. Los principales son el cono, el cilindro la esfera.
1. Cilindro: Sea un Rectángulo ABCD que gira sobre unos de sus lados, el cuerpo
resultante se llama cilindro y tiene como bases dos circunferencias iguales de
radio r= . La distancia entre las dos bases se llama altura (h) y el lado del
rectángulo que genera la superficie lateral se llama generatriz(g)
( )
96
2. Cono: Sea un triángulo rectángulo ABC que gira 360° sobre uno de los catetos
(eje de rotación). El cuerpo resultante de esta rotación se llama cono.
La única base es una circunferencia y la superficie lateral se llama superficie
cónica de revolución. El vértice superior del triángulo es el vértice del cono.
La distancia entre el vértice y la base es la altura, y la hipotenusa del triángulo se
llama generatriz (g).
( )
3. Esfera: Es un semicírculo que gira alrededor de su diámetro. El cuerpo
generado por esta rotación se llama esfera y la superficie que limita la esfera se
llama superficie esférica (todos los puntos equidistan del centro, radio)
97
Figuras equivalentes: Son aquellos cuerpos que poseen la misma área sin
necesariamente tener la misma forma.
Por ejemplo:
Un círculo de radio 3 es equivalente a un cuadrado de lado 3√ .
Veamos si sus áreas son iguales.
Área del círculo es
Área del cuadrado es ( √ )
98
Ejercicios Resueltos
1. ¿Cuál es la medida de la generatriz de un cono que se introduce, como muestra la
figura, en un cilindro cuyo diámetro de la base mide 18cm y cuya altura mide
15cm?
Solución:
í
√
2. Si un depósito cubico tiene 125 litros de agua, entonces ¿Cuánto mide su arista?
Es fácil saber cuánto mide su arista, pero primero debemos ver en que unidades
nos moveremos, es común pensar que si el depósito contiene 125 litros de agua el
volumen de este cubo seria se 125 pero eso está totalmente erróneo. Ya que
125 de cc y eso corresponden a 125 millones de litro.
Ahora de buena manera. 125 litros de agua corresponden a 125.000 cc que están
en el depósito cubico, como es cubico podemos calcular su arista de forma fácil
calculando su raíz cubica.
√
99
3. Una cuchara tiene una capacidad de 5 cc. Se desea llenar un frasco de forma
cilíndrica cuyo diámetro basal mide 3cm y cuya altura mide 5cm. ¿Cuántas
cucharadas deberán vaciarse al frasco de modo que quede lleno?
La respuesta es bastante sencilla solo debemos calcular cuántos cc es la
capacidad máxima del frasco.
Para ellos calcularemos el volumen del frasco.
4. Si 8 de agua del siguiente cilindro se vacían por minuto en otro recipiente,
¿Cuánto se demorara en vaciarse si suponemos que el cilindro está lleno?
Primero debemos calcular el volumen del cilindro.
cc
Ahora si ese es el volumen total del cilindro
hacemos la división entre:
100
Ejercicios Propuestos:
1. Si el volumen de un cubo es igual al de una esfera de radio a, entonces
¿Cuánto mide su lado?
2. Se tiene un tarro y jarros cilíndricos. El tarro tiene agua hasta tres cuartas
partes de su capacidad, y su altura es de 30cm con un radio interior de
6cm. ¿Cuántos jarros se podrán llenar con el agua contenida en el tarro. Si
este tiene 8cm de altura y radio interior de 3cm?
3. ¿Cuántos de papel se utiliza para etiquetar un frasco de 8cm de radio
si el ancho de la etiqueta es de 8cm y esta rodea todo el frasco?
101
4. La figura muestra un cubo cuya arista mide 6cm, al que se le saca un
cilindro de 2cm de radio. ¿Cuánto mide el volumen del cuerpo después de
retirar el cilindro?
5. El volumen de una esfera es igual al volumen del cono de radio basal 6cm
de la siguiente figura, entonces ¿El radio de la esfera mide?.
102
6. Calcula la medida de la superficie de la caja cuyas medidas son las
indicadas en la figura:
7. Calcula la medida de la superficie del siguiente prisma triangular:
8. Calcula la medida de la superficie de la siguiente pirámide:
103
9. El volumen del siguiente prisma rectangular es de 320 . ¿Cuál es la
medida del ancho?
10. Las cajas A y B tienen el mismo volumen. ¿Cuál es la altura de la caja B?
A B
11. Un camión vacía 5280 litros de agua en un estanque con forma de prisma
rectangular cuyas medidas son 4m de largo, 2m de ancho y 3m de alto. ¿A
qué altura, medida en cm, llega el nivel del agua en el estanque si este
estaba vacío?
104
12. Un doctor le receta a un joven lo siguiente, 5ml de un jarabe para la tos
cada 8 horas durante 6 días. El frasco del jarabe contiene 120ml. ¿Es
suficiente un frasco de jarabe para el tratamiento que prescribió el doctor?
13. Las tres aristas que concurren a un mismo vértice de un paralelepípedo
recto rectangular son entre sí como 12:4:3. Si la diagonal interior mide
26cm. ¿Cuánto mide la superficie total del paralelepípedo?
14. Si una taza cilíndrica posee una altura de 8cm y contiene 450ml de té
(volumen máximo), al mismo tiempo el volumen máximo que puede
soportar un vaso cilíndrico es de 480ml con un radio de 5cm. ¿Cuál es la
diferencia entre las alturas de radios de la taza y el vaso?
15. Dentro de una esfera de Diámetro 20cm se encuentra un cubo, ¿Cuál es la
diferencia entre el volumen de la esfera y el cubo?
105
CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS CON REGLA Y COMPÁS Para realizar construcciones geométricas con regla y compás se necesitan instrumentos, los cuales son manipulados por las personas, por lo cual estas construcciones no necesariamente quedan exactamente iguales ya que dependen de la persona que las manipula. A continuación se muestra una serie de construcciones geométricas de diversa complejidad.
1) Mediatriz de un segmento.
La mediatriz o simetral, es el lugar geométrico de todos los puntos del plano
que equidistan de dos puntos dados.
Para construir la simetral de los puntos A y B, se hace con
centro en el punto A y con una abertura del compás
mayor que la mitad del segmento, trazamos arcos. Luego,
con la misma abertura, hacemos con centro en B y
cortamos a los arcos anteriores, encontrando los puntos C
y D. Los unimos y encontramos la mediatriz del
segmento.
2) Perpendicular a una recta desde un punto de la recta.
Tomamos el compás y haciendo centro en A, con
cualquier abertura trazamos una circunferencia que
corta a la recta en el punto B. Con la misma abertura
haciendo centro en B, trazamos dos arcos
consecutivos, que cortan a la circunferencia en C y D.
Haciendo centro en C, con igual abertura, trazamos
un arco, el cual cortamos con otro arco trazado desde
el punto D. Unimos A con E y tenemos la
perpendicular.
106
3) Perpendicular a una recta desde un punto exterior a ésta.
Con el compás haciendo centro en P, trazamos un
arco que corte a la recta en A y B. hacemos centro
en A y con una abertura del compás mayor que la
mitad del segmento AB, trazamos un arco. Haciendo
centro en B, con igual abertura, cortamos el arco
anterior en C. trazamos la recta PC y es la
perpendicular.
4) Bisectriz de un ángulo.
Hacemos centro en el vértice del ángulo y con
radio cualquiera trazamos un arco CD que
corte ambos lados del ángulo. Con una
abertura del compás un poco mayor que la
mitad de la longitud del arco CD y haciendo
centro primero en C y luego en D, trazamos
dos arcos que se corten en E. Por último,
trazamos la semirrecta OE que es la bisectriz
del ángulo.
5) Dos ángulos congruentes.
Haciendo centro en el vértice O, trazamos el arco
CD.
Trazamos la semirrecta AB y con el mismo radio
anterior, se hace centro en A y se traza un arco
que corte a la semirrecta en P.
Colocar la punta del compás sobre C y abrirlo
hasta que la punta del lápiz descanse en D.
Con la distancia CD como radio, coloca la punta
del compás en P y trazar un arco que corte al
arco trazado en R.
Por último trazamos la semirrecta AR y
obtenemos un ángulo congruente con COD.
107
6) Recta tangente a una circunferencia, dado un punto en ésta.
Se traza el radio OA y por A se traza una
perpendicular al radio.
7) Recta tangente a una circunferencia desde un punto exterior a ésta.
Trazamos el segmento OP.
Hallamos el punto medio M de OP. ¿Cómo?
Hacemos centro en M y con un radio igual a
OM trazamos una circunferencia que corta a
la circunferencia dada en A y B.
Trazamos las semirrectas PA y PB y esas
son tangentes.
8) Circunferencia circunscrita de un triángulo.
Se trazan las mediatrices de los lados del
triángulo (con dos es suficiente).
El punto donde se cortan es el circuncentro.
108
9) Circunferencia inscrita en un triángulo.
Se trazan las bisectrices de
los ángulos interiores, el
punto donde se cortan es el
incentro I.
Desde I se traza la
perpendicular IH.
Se dibuja la circunferencia
con centro en I y que pase
por H.
10) Triángulo equilátero.
Se dibuja el segmento AB. Haciendo centro en A
con un radio igual a AB se traza un arco. Se hace
centro en B y con un radio igual a AB se traza
otro arco, que corta al anterior en C. Se unen los
puntos y se obtiene el triángulo equilátero.
11) Triángulo isósceles.
Se dibuja un segmento AB. Se traza la mediatriz de
AB. Se unen los puntos A y B con un punto C de la
mediatriz y obtenemos el triángulo isósceles.
109
Ejemplos de construcciones geométricas
1) Dada una recta y un punto exterior a ella, trazar por ese punto una paralela
a la recta dada.
P es un punto exterior a la recta
dada BM. Se traza el segmento
AM, con M sobre la recta.
Se construye el ángulo MPA
congruente el ángulo PMB.
Las rectas son paralelas puesto
que forman ángulos alternos
internos congruentes.
2) Construir un triángulo conociendo dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Sean dados a y b el ángulo A. Se construye un ángulo congruente a A y sobre uno de sus lados, a partir del vértice se lleva el segmento b. Se obtiene el vértice C. El lado a ha de tener un extremo en C y el otro en la semirrecta AX. Dicho extremo es la intersección de la circunferencia con centro C y radio a y la semirrecta AX. Se dibuja el triángulo.
Se observa que la solución no es única, es decir, existen dos soluciones.
110
3) Construir un triángulo rectángulo dada la hipotenusa a y un cateto b.
Se traza un semicircunferencia de
diámetro a. Se traza un arco con
centro en C y radio b que corta a la
semicircunferencia en A. El ángulo
inscrito en una semicircunferencia
es recto.
4) Construir un triángulo ABC, dado el lado BC, el ángulo A y la altura AH.
Se construye el arco capaz del
ángulo A con BC.
Por B se traza una
perpendicular a BC.
Con centro en B y con un radio
igual a AH, se traza un arco
que corta a la perpendicular
anterior en D.
Por D se traza una paralela a
BC, que corta a la
circunferencia en dos puntos, A
y E.
Se dibuja el triángulo. Hay dos soluciones.
111
Ejercicios
1. Encontrar el punto medio de un segmento de recta.
2. Construir un triángulo dados un lado y los ángulos adyacentes a ese lado.
3. Construir un triángulo dados dos lados y el anulo comprendido entre ellos.
4. Construir un triángulo dados los tres lados.
5. Construir un triángulo isósceles, dados la altura sobre la base y uno de los lados
congruentes.
6. Construir un triángulo isósceles dados la altura sobre la base y uno de los
ángulos congruentes.
7. Construir un triángulo equilátero dada la altura.
112
TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
Una transformación es un procedimiento geométrico (o movimiento) que produce cambios en una figura. El resultado de una transformación es una nueva figura llamada imagen. Si la figura original y su imagen son congruentes, entonces la transformación se denomina isométrica. Son transformaciones isométricas la simetría, la traslación y la rotación.
MOVIMIENTO DE SIMETRÍA EN EL PLANO
La simetría es una transformación en la cual cada punto de una figura se asocia a otro punto del plano llamado imagen. Existen dos tipos de simetría: axial y central. Simetría axial En la simetría axial, cada punto de la figura y la imagen correspondiente están situados a la misma distancia de una línea recta L llamada eje de simetría y el segmento que une dichos puntos es perpendicular a dicho ej.
(a) (b) (c) a) El punto P y su imagen P’
b) La recta AB y su reflejo A'B' c) Un polígono cualquiera y su simétrico
•
P
•
P’
L
A
L B
A’
B’
P
L
Q
P’
Q’
113
Simetría central En la simetría central, cada punto de la figura y su imagen respectiva se encuentran a una misma distancia de otro punto llamado centro de simetría y se encuentran contenidos en una misma rect.
(a) (b) (c) a) El punto P y su imagen P’
b) La recta AB y su reflejo A'B' c) Un polígono cualquiera y su simétrico
Ejemplos.
1.- Dado el punto P de coordenadas (2, 2), su imagen, respecto del eje Y, tiene coordenadas (2, 2).
2.- Dado el punto Q de coordenadas (1, 2), su imagen, respecto del eje x = 3, tiene coordenadas (5, 2).
•
P
•
P’ •
centro de
simetría
A
B A’
B’
• centro de
simetría P
Q P’
Q’
• centro de
simetría
2 1 1 2 X
Y
1
2 P • • P’
2 1 3 4 X
Y
1
2 Q • • Q’
5
x = 3
114
3.- Dado el punto R de coordenadas (2, 2), su imagen,
respecto del eje X, tiene coordenadas (2,2). 4.- Dado el punto S de coordenadas (2, 2), su imagen,
respecto del origen del sistema, tiene coordenadas (2,2). 5.- Dado el punto T de coordenadas (1, 1), su imagen, respecto del punto (3, 2), es el punto (5, 3).
6.- Dado el polígono A, P es el simétrico de A respecto del eje x = 4, Q es el simétrico de A respecto del eje y = 3 y R es el simétrico de A respecto del punto de coordenadas (4, 3).
2
1 1 2 X
Y
1
2 • R
• R’
2
1 1 2 X
Y
1
2 • S
S ’ •
1 2
X
Y
2 1 3 4
1
2
• T
• T’
5
3
1
2
1 2 X
Y
4
5
A P
3
4 5
Q R
115
MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN EN EL PLANO En la figura se tiene un plano cartesiano, el cual nos permite asociar a cada punto del plano un par ordenado de números llamado coordenadas del
punto. Por ejemplo, el punto A del ABC tiene coordenadas (2, 2). Si
observamos bien, nos damos cuenta que el A'B'C' es el mismo que el ABC el cual, por algún método, fue trasladado.
A la traslación del vértice A le corresponde el punto A' de coordenadas (8, 5), y por lo tanto, la traslación de la figura está dada por 6 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba, lo cual simplemente se reduce a que el punto A(2, 2) se le aplicó una traslación T(6, 3), que corresponde a una suma de vectores.
(2, 2) + (6, 3) = (8, 5)
T(6, 3) se denomina vector traslación
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
A B
C A’ B’
C’
X
Y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
3 unidades
según Y
6 unidades según X
T
X
Y
116
Ejemplo: A una circunferencia de radio 1 y de centro (2, 3) se le aplica una traslación de 3 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba. Nos ayudaremos de un esquema en los ejes cartesianos y aplicaremos al punto centro de la circunferencia una traslación T(3, 3), y por ende, a cada uno de los puntos de la circunferencia.
Ejemplos
1.- Dado el punto P de coordenadas (1, 1), P’ es su traslación según el vector T(3, 1).
2.- Dado el punto Q de coordenadas (5, 1), Q’ es su
traslación según el vector T(3, 2).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
Vector traslación
2 3 4 X
Y
1
2
P •
• P’
2 1 3 4 X
Y
1
2
Q’ •
• Q
5
3
117
3.- Dado el punto R de coordenadas (2, 2), su
traslación, respecto del vector (4, 3), es el
punto R’(2,). 4.- En la figura, el punto S se traslada a la posición S ’ según el vector T1(1, 3) y luego se traslada a la posición S” según el vector
T2(3,1). Estos movimientos son equivalentes a haber aplicado una sola traslación de componentes:
(1, 3) + (3,1) = (1 + 3, 3 1) = (4, 2) Este procedimiento se conoce como suma vectorial.
5.- Dado el segmento AB de la figura, al trasladarlo según
el vector T(3, 0), se obtiene el trazo ' 'A B y se genera una superficie por traslación. En este caso, dicha superficie es un romboide y su medida es:
base altura = 3 · 2 = 6 u2. 6.- El rombo ABCD de la figura se trasladó a la posición A’B’C’D’. El vector traslación
aplicado es T(7,2).
2 1
1 2 X
Y
1
2
R’ •
• R
2
1
3 4 X
Y
3
4
• S ”
S •
2 5
S ’ •
X
Y
2 1 3 4
1
2
A
B
5
3
A’
B’
X 5
C’
2
3
1 2
Y
5
6
A
C
4
4
B
D
A’
B’
D’
1
118
MOVIMIENTO DE ROTACIÓN EN EL PLANO
Una rotación es una transformación que asocia a cada punto del plano una imagen de acuerdo a un punto llamado centro de rotación y a un ángulo que podemos llamar ángulo de giro. La figura 9.6 muestra una cruz que ha sido
girada en un ángulo de 45 con respecto al punto B.
Ejemplos. 1.- Si se rota el punto P(3, 1) en 90º en torno al punto de coordenadas (1, 1), se obtiene su imagen P’ de coordenadas (1, 3).
2.- Si se rota el punto Q (3, 1) (igual al ejercicio
anterior) en 90º en torno al punto de coordenadas (1, 1), se obtiene su imagen Q’ de
coordenadas (1,).
B C
D
E
F G
H
A
A
B
C
D
E F
G
H
45º
2 1 3 4 X
Y
1
2
P’ •
• P
3
2 1 3 4 X
Y
1
2
• Q
• Q’
1
119
3.- Dado el punto R de coordenadas (2, 2), su imagen, rotada en 180º respecto del origen del
sistema de coordenadas, es el punto R’(2,2). 4.- Dado el cuadrado ABCD de la figura, al rotarlo en 90º en torno al punto de coordenadas (1, 1), se obtiene el cuadrado PQRS. P es la imagen de A, y así, sucesivamente. 5.- El rectángulo ABCD de la figura, se ha
rotado en 180º en torno al origen del sistema de coordenadas. La imagen de A es B, la imagen de B es Q, y así, sucesivamente. 6.- La figura muestra la rotación sucesiva
del polígono A en 90º, 180º y 270º originando los polígonos P, Q y R, respectivamente. El centro de rotación tiene coordenadas (4, 3).
2
1 1 2 X
Y
1
2 • R
R’ •
1 2
S
B
2 1 3 4 X
Y
1
2
• P
A •
3
4
D C
Q R
2
1 1 2 X
Y
1
2
Q R
1 2
D
C B
A
S P
1
2
1 2 X
Y
4
5
A
R
3
4 5
P
Q
120
Pruebas
Prueba Ángulos y Triángulos.
1. En el triángulo rectángulo D es punto medio de AB, si hallar
cuánto mide
Solución:
°
°
°
121
2. El triángulo ABC, rectángulo en C y D. AD=16, CD=12, AB=c, BC=b, AC=a.
Hallar a, b y c.
Solución:
Llamaremos p al trazo DB
Ahora por Pitágoras calculamos b.
122
3. Dada la Siguiente relación. Si MN=4, AD=5, NB=3, MN es mediana CD
bisectriz Hallar MC.
Solución:
Sabemos que MN=4, AD=5 NB=3 y MN es mediana
Como MN mediana obtenemos inmediatamente que NC=3 y BC=6. Además
es paralela al lado
AB y es igual a la mitad de AB. Por lo tanto AB=8 lo que nos dice que
DB=3.
Ahora por teorema de Apolonio obtenemos:
123
4. Triángulo ABC equilátero de lado 10cm y y lado AD=4cm.
Hallar lado BE
Solución:
Sabemos que por ser triángulo equilátero se cumplen las siguientes condiciones.
Tambien.
Lo que nos indica que
( )
Ahora:
124
5. AD y CE transversales de gravedad que se intersecta en ángulo recto, si
GD=3 y GE=2. Hallar BC
Como AD es transversal de gravedad sabemos que el punto D es punto
medio de BC. También por ser transversal de gravedad sabemos que los
lados están en proporción 2:1.
AG=2GD y que CG=2GE.
Y como D punto medio sabemos que CD = BD
125
Prueba 2 ángulos, circunferencia ecuación de la recta.
1. Hallar el valor de k para que la recta ( ) sea
perpendicular a la recta
Para que las rectas sean perpendiculares las pendientes de estas deben
multiplicarse y el resultado debe ser -1.
Calculemos las pendientes de cada recta.
( )
( )
( )
Ahora pendiente de la segunda recta.
Ahora debemos multiplicar las pendientes igualar a -1 y despejar k.
( )
( )
126
√
√
√
Con ambos resultados posibles para k las restas serán perpendiculares.
2. En la figura adjunta ABCD es un cuadrado inscrito en la circunferencia y E
es un punto cualquiera del Arco(CD), entonces ¿Cuánto vale ?
Solución:
Como el Arco(CD) sesta sostenido por un cuadrado, se puede inferir que el
Arco(CD)=90°
El mismo arco sostiene un ángulo inscrito así que por este motivo el ángulo
inscrito es la mitad del ángulo del centro.
Es decir:
Y como el arco EF es de 90° nos dice que el
127
Prueba de Áreas y perímetros
1. ABC Triángulo equilátero cuya altura es de √ . Calcule el área
sombreada.
O
A B
Solución
Primero debemos calcular el radio de la circunferencia, conjuntamente
calcularemos la altura del triángulo ABO.
√ √
Tambien sabemos que
( √ )
√
√
√
√
√ √
128
Ahora calculemos el radio
√ √ √
√
Ahora calcularemos las áreas necesarias.
Triángulo ABC.
Área = √
√
Sector circular
= √
√
Ahora el área del triángulo ABO
Área =
√
√
Ahora debemos sumar y restar áreas.
Área achurada es:
√ √
√
129
2. En la figura es equilátero EBCD es rombo. ⊥ . ¿Cuánto
vale el área de la región sombreada?
Solución:
Primer paso debemos calcular la altura del cuadrilátero.
Eso lo haremos mediante Pitágoras en el triángulo CEF.
Sabemos que EF = 2 ya que CF porque. ⊥
√
Ahora calculamos las áreas pedidas.
Área de triángulo DCE
√
√
Área triángulo ECF:
√
√
Área Pedida es:
√ √ √
130
3. En la circunferencia adjunta se tiene que AB = diámetro; DC=12; OE=6.
Calcula el área sombreaba.
Solución:
Primero debemos calcular el radio de la circunferencia.
Mediante Pitágoras
√
√
Como OC diagonal y se forma un cuadrado de lado 6. Ahora
Área del sector circular
√
√
Área del triángulo DCO.
Área pedida es:
√
131