SVEUILITE U ZAGREBUGEOTEHNIKI FAKULTET

Prof. dr.sc. dr.h.c. Mladen Kranjec, dipl. ing.

Predavanja iz Osnova Hidraulike(nekorigirani i nelektorirani prijepis koncepata nastavnika i biljeki studenata s predavanja)

Skripta u nastajanju!

Varadin, 1989.-1994., 2008.-2011.

Gdje je to

2

Hidraulika primijenjena znanost o zakonima gibanja i mehanike ravnotee tekuina te nainima primjene tih zakona na rjeavanje zadataka u inenjerskoj praksi.

3

4

Osnovna jednadba hidrostatikePromatra se element fluida sa duinama bridova dx, dy i dz, koji miruje s obzirom na koordinatni sustav prikazan crteom 1. Koordinatni sustav neka je u polju sile tee i neka se giba ubrzano r akceleracijom a s obzirom na neki inercijski sustav.

Crte 1.Efektivna masena sila koja djeluje na promatrani element fluida iznosi:

r v r v v FB = ( g a )dm = g ef dm = g ef dxdydzPovrinska sila koja djeluje na element fluida u y-smjeru:5

r r r p r p ( FS ) y = j p j ( p + dy ) dxdy = j dxdydz y y Analogni izrazi dobivaju se za preostala dva smjera: r p r r r p ( FS ) x = i dxdydz ; ( FS ) z = k dxdydz x z Sumirajui komponente povrinskih sila, ukupna povrinska sila koja djeluje na promatrani element fluida je:

r r p r p r p FS = i x + j y + k z dxdydz = pdxdydz . Ukupna sila koja djeluje na element fluida jednaka je nuli (element fluida miruje u promatranom koordinatnom sustavu).

r r r r F = FB + FS = g ef dxdydz pdxdydz = 0r p = g ef Posljednja jednadba naziva se osnovna jednadba hidrostatike.

6

r r k i

r a

Primjer: Na kolicima lei rezervoar oblika kocke, potpuno ispunjen vodom (crte 2.). Kolica se gibaju sa r konstantnim ubrzanjem a . Odredite tlak na dubini h u toki A udaljenoj od prednje stjenke za l, ako je rezervoar s gornje strane hermetiki zatvoren (pri jednolikom gibanju poklopac rezervoara ne tlai vodu).

Crte 2. Polazimo od osnovne jednadbe hidrostatike

r p = g efu kojoj je u ovom sluaju efektivna jakost poja jednaka zbroju jakosti polja sile tee i polja centrifugalne sile, r r r r r g ef = g a = kg ai .r r p r p r p r i + j + k = ( k g ai ) z x y p p p = a , = 0; = g x y z

7

Nestlaivi fluid u rotirajuem neinercijskom referentnom sustavu (cilindrine koordinate)Variranje tlaka u fluidu, izazvano masenim (volumnim) silama koje se pojavljuju u rotirajuem neinercijskom sustavu, moe se izraunati na slian nain kao i u sluaju linearno ubrzanog neinercijskog sustava. Radi jednostavnosti, nae razmatranje ograniiti emo na situaciju kada fluid miruje s obzirom na neinercijski koordinatni sustav, koji rotira sa konstantnom r kutnom brzinom . Openito, u rotirajuem neinercijskom koordinatnom sustavu pojavljuju se tri inercijske sile: centrifugalna sila, Coriolisova sila i inercijska sila zbog eventualnog kutnog ubrzanja. No, budui da smo se ograniili na sluaj fluida koji miruje u rotirajuem neinercijskom sustavu, r Coriolisova sila se ne pojavljuje, a kako je kutna brzina konstantna, to je jedina inercijska sila koja se pojavljuje centrifugalna sila. Neka posuda s fluidom rotira oko osi z. Za kutnu brzinu i vektor poloaja r moe se pisati: (16) r gdje su 0 i k jedinini vektori cilindrinog koordinatnog sustava.rr

r

= k , r = r0 + zk ,

r

r

r

r

r

Crte 3.

8

Ubrzanje estice fluida udaljene za r od osi vrtnje iznosi (crte 41.): a = ( r ) =

r

r

r r r

= ( r 0 ) = r 2 0 a jednadba ravnotee za element fluida poprima oblik: p = r r p r p r r r 0 + k = ( g a ) = r 2 0 + gk , r z p = r 2 , r p = g z

r

r

r

(17)

(

)

(18)

odakle:

(19)

Integrirajui prvu jednadbu po r, drei z konstantnim, slijedi:

p=

1 2 2 r + f ( z ) 2

(20)

gdje je f(z) nepoznata funkcija koju tek treba odrediti. Derivirajui posljednji rezultat po z i usporeujui ga sa relacijom (19), dobiva se: p = f '( Z ) = g . z Ili: f ( Z ) = gz + C gdje je C konstanta. Sada se izraz (21) moe pisati kao: (21)

1 p = C gz + r 2 2 2Konstanta C odrediti e se iz uvjeta:p = p 0 za (r,z)=(0,0)

(22)

to za C daje: C = p0 (23)

9

p+

p dx x

r r r r F = Fx i + Fy j + Fz k

Crte 4.r F = sila na jedinicu mase [Nkg-1].

r r Ravnotea: F = 0 du x - osi: p dxdydz + Fx dxdydz = 0 x p = Fx x Analogno:p p = Fy ; = Fz (Eulerove jednadbe) z y

r p = F Ili, na drugi nain: dp =p p p dx + dy + dz . x y z

dp =

p p p dx + dy + dz x y z

dp = ( Fx dx + Fy dy + Fz dz ) dp = Fx dx + Fy dy + Fz dz

10

r r r r Fcf = m 2 r = m 2 ( xi + yj ) ,

r r

r Fcf

tako da je: Fx = 2x; Fy = 2y; Fz = -g. Dakle:

Crte 5.p

dp = [2(xdx + ydy) - gdz];y z x dp = 2 xdx + 2 ydy g dz 0 0 p 0 0

Tako se za konanu distribuciju tlaka dobiva:

p p0 =

2 ( x 2 + y 2 ) 2 gz 2(24)

1 p( z,r ) = po gz + r 2 2 2

Tlak je linearan u z i parabolian u r. eli li se nacrtati ploha jednakog tlaka, na primjer za p(z,r) = p1, iz izraza (24) dobiva se:p0 p1 r 2 2 z= + = A + Br 2 g 2g

(25)

11

Iz izraza (25) vidi se da su plohe jednakog tlaka rotacijski paraboloidi ''konkavni prema dolje'', sa tokom minimuma na osi vrtnje (crte 44.).

Crte 6.

12

Primjer: Odredite razliku nivoa izmeu vanjske i unutranje obale kanala pravokutnog poprenog presjeka, ako protok, pri karakteristikama poprenog presjeka prikazanim na crteu 45., iznosi 3 -1 Q = 360 m s .p0 p1 r 2 2 . + g 2g

z ( p1 , r ) =

Na povrini kanala p1 = p0, te je:z= r 2 2 2g

Crte 45.

z = z (r2 ) z (r1 ) =

2 2 (r2 r12 ). 2g

r1 = R B/2; r2 = R + B/2;

v = , r

1 r R = (r1 + r2 ) ; 2

Q = Sv

=2 2

2Q 1 S r1 + r22 2

4 Q ( r2 r1 ) 2 Q (r r ) z = = 2 1 2 S g ( r1 + r2 )2 g S ( r2 + r1 ) 360 m3 s 1 2 30 m z = 2 2 9, 81 ms 90 m (175 + 145) m

= 0, 31 m

13

STATIKA FLUIDATlana sila na ravne povrine Analitiki raun ukupne tlane sileU inenjerskoj praksi od velike je vanosti znati iznos u njutnima ukupne tlane sile kojom tekuina djeluje na povrinu od interesa: na dno ili bonu stjenku spremnika za tekuinu, na plou ventila na vodenoj brani, ... Ponimo nau raspravu s jednostavnim sluajem izraunavanja iznosa tlane r sile P na horizontalno dno, recimo, uspravne valjkaste posude povrine S, kada je posuda do visine h napunjena mirnom tekuinom gustoe . Sve toke dna posude nalaze se na istoj dubini h i sve su jednako tlaene. Ukoliko je posuda otvorena prema atmosferi1, tako da je povrina tekuine u njoj okomito tlaena atmosferskim tlakom iznosa pa, tada je, kao to nam je poznato iz elementarne r fizike, iznos P(h) ukupne tlane sile P(h) okomite na njezino dno jednak (Pascalov princip!),P (h) = p (h) S = ( p a + gh) S . [N]

(1)

Jednadba (1) pokazuje da se u mirnom fluidu iznos tlaka na dno poveava s dubinom h. Bavei se osnovama hidrostatike pokazali smo da, usprkos toj injenici, primjenjujui integralni raun, izraunati iznos ukupne tlane sile na bone stjenke posude u sluajevima kada stjenke predstavljaju oploja uspravnih geometrijskih tijela kao to su kvadar, valjak, kugla i nije odvie teak zadatak. Problem postaje neto sloeniji kada je stjenka od interesa kosa ili ima oblik opeg valjka Na prvi cilj je ovladati znanjem potrebnim za izraunavanje tlane sile na plohe u kosom poloaju uronjene u fluid kao i na valjkaste povrine. Promatrajmo najprije sluaj ravne stjenke uronjene u tekuinu tako da stjenka s vodoravljem zatvara kut (crte 2). Linija OK u kojoj kosa stjenka presijecaNaravno, openito, tlak nad slobodnom povrinom tekuine moe biti razliit od atmosferskog.141

vertikalnu stjenku (spremnika), naziva se linija omoenja. Na kosoj stjenci istaknuta ovalna kontura moe biti dio nagnute stjenke spremnika, rezervoara, ili, kao to emo kasnije na konkretnim numerikim primjerima vidjeti, na primjer, ploa ventila rza ispranjavanje spremnika. Cilj nam je izraunati iznos P ukupne tlane sile P na povrinu S konture.

Crte 2

Crte 2'

15

U velikom broju sluajeva druga strana konture, pored slobodne povrine tekuine, otvorena je prema atmosferi, tako da se, na konturu okomite i suprotno orijentirane sile atmosferskog tlaka p a koje djeluju na obje strane konture, uravnoteuju, ponitavaju (crte 2'). Iznos tlane sile Pm (h) na konturu sada dolazi od manometarskog tlaka p m (h) = gh jednakog razlici tlaka p (h) koji vlada u tokama stjenke na raznim dubinama h i atmosferskog tlaka p a ,

p m ( h) = p ( h) p a .

(2)r

U sluaju spomenute uspravne valjkaste posude visine h, iznos Pm tlane sile Pm okomite na dno posude, a koja dolazi od manometarskog tlaka, jednak je iznosu r G sile tee G na tekuinu koja se nalazi u posudi,Pm = pm (h) S = [ p (h) pa ]S = ( pa + gh pa ) S = ghS = G .

(3)

Pri konstantnoj gustoi tekuine, pri stalnom tlaku p0 na povrini tekuine, stalnoj dubini h i povrini S presjeka dna posude, bez obzira na njezin oblik, iznos ukupnog i iznos manometarskog tlaka na dno ostaju nepromijenjeni (crte 1, fotografija 1). Iz isto povijesnih razloga ova injenica naziva se hidrostatiki paradoks, iako u samoj pojavi nema nieg paradoksalnog 2.

Crte 1. Povijesni crte koji ilustrira prirodnu injenicu (hidrostatiki paradoks) da bez obzira na oblik (cjevastih) posuda tlak u tekuini u tokama tekuine koje lee na pravcu abc je jednak

Fotografija 1. Suvremeni demonstracijski ureaj prirodnog principa ilustriranog crteom 1

Vratimo se sluaju ravne stjenke uronjene

2

Pogledati u odgovarajui visokokolski udbenik iz fizike.16

u tekuinu na iju povrinu neka djeluje neki stalni tlak p0 (koji neka je razliit od atmosferskog) i nagnute pod kutom spram horizonta (crte 2). Oito, iznos hidrostatikog tlaka razliit je od toke do toke povrine istaknute konture; manji je u tokama konture koje se nalaze na manjim dubinama h i vei na veim dubinama. Razdijelimo u mislima povrinu S konture na elementarne povrine dS. U granicama uoene elementarne, beskonano male, povrine dS iznos hidrostatikog tlaka p moe se smatrati konstantnim. Meutim, na susjednim elementarnim povrinama iznosi tlaka rsu ili beskonano malo vei ili beskonano malo manji. Iznos dP sile dP kojom fluid okomito tlai uoenu elementarnu povrinu dS , udaljenu l od linije omoenja, na dubini h je dP = p(h)dS, pri emu je r p(h) = p0 + gh, tako da je dP = [p0 + gh]dS. Iznos P ukupne sile tlaka P na povrinu S konture jednak je zbroju iznosa elementarnih tlanih sila dP na sve elementarne povrine dS, tj.,P = p (h)dS = p0 dS + ghdS = p0 S + g sin ldS .s S S S

(4)

Integral

ldSS

u (4) je statiki moment povrine S konture s obzirom na

omoenu liniju OK (u anglosaksonskoj literaturi - prvi moment povrine s obzirom na OK). No, budui da vrijedi3,

S

ldS = S lc ,

(5)

Ova se jednakost dokazuje u standardnim kolegijima vie matematike. U svrhu boljeg razumijevanja zakonitosti opisane jednadbom (5) pomoi e vam ponovljeni crte 2, gore.17

3

gdje je lc udaljenost teita povrine S od omoene linije OK, drugi lan u jednadbi (4) moemo pisati,g sin ldS = g (sin )lc S = ghc S ,S

gdje je hC dubina uranjanja teita C omoene povrine S (udaljenost teita C konture od slobodne povrine tekuine). Time izraz (4) za iznos P ukupne sile r tlaka P na povrinu S konture poprima oblik

P = ( p0 + ghc ) S ,

(6)

gdje je p0 + ghc iznos tlaka u teitu C konture, jednak srednjoj vrijednosti tlaka na konturi. Dakle, zakljuujemo:Iznos ukupne tlane sile koja djeluje na ravnu povrinu S potpuno uronjenu u mirnu homogenu tekuinu jednak je umnoku ukupnog hidrostatikog tlaka p0 + ghC u teitu C omoene povrine i iznosa povrine S.

Iznos tlane sile Pm na povrinu S koja dolazi od manometarskog tlaka (samo od teine tekuine) jednak je [jednadba (6)],

Pm = P p0 S = ghC S = hC S ,gdje je = g specifina teina tekuine.

(7)

Uoite da su matematike strukture izraza (1) i (6) sline. Razlika je samo u tome to je u izrazu (1) h dubina uranjanja horizontalne povrine, dok u sluaju nagnute ravne stjenke u izrazu (6) figurira dubina hc uranjanja teita omoene povrine. O ovoj razlici nuno je voditi rauna.

18

Centar tlakaU inenjerskoj praksi u mehanici fluida od velikog je interesa znati hvatite r ukupne tlane sile P koja djeluje na promatranu povrinu S uronjenu u mirni r fluid. Openito, pravac djelovanja ukupne tlane sile P ne prolazi okomito r teitem C promatrane povrine S, ve pravac nosilac ukupne sile P na povrinu S na koju se sila tlaka odreuje, povrinu S probada neto nie od toke C, tj., u podruju viih tlakova. Toka presjecita pravca djelovanja r ukupne tlane sile P s povrinom naziva se centar ili hvatite tlaka (toka O na crteu 2).Poloaj centra tlaka [udaljenost centra tlaka O od omoene linije (crte 2)] za tlanu silu koju izaziva manometarski tlak h odredit emo posluivi se jednim od temeljnih teorema mehanike koji glasi:Moment rezultantne sile s obzirom na proizvoljnu os jednak je sumi momenata komponenti promatrane sile s obzirom na istu os.

Dakle, budui da je beskonano mala tlana sila dPm okomita na svaku elementarnu, beskonano malu povrinu dS, u skladu s spomenutim teoremom smijemo pisati,

ldPm = Pm lo ,S

(8)

19

pri emu je l0 traena udaljenost centra tlaka O od omoene linije (ponovljeni crte 2 gore), a Pm = h C S iznos ukupne tlane sile Pm na povrinu S koja dolazi od manometarskog tlaka hc . Kako je iznos tlane sile koja djeluje okomito na bilo koji element povrine dS na dubini h jednak dPm = hdS , izraz (8) prelazi u,

S

hldS = hc S lo .h = l sin ,

(9)

A poto je, to (9) dalje piemo,

sin l 2 dS = hc S lO ,S

sin I OK = hc S lO ,

(10)

gdje je IOK = l 2dS moment tromosti (inercije) povrine S s obzirom na linijuS

omoenja OK (u anglosaksonskoj literaturi I OK nosi naziv - drugi moment povrine s obzirom na OK ili moment tromosti povrine s obzirom na liniju OK). Iz (10), za udaljenost lO centra tlaka O od linije omoenja OK, slijedi,

lO =

I OK sin I OK = S hc S lc

(11)

No, zahvaljujui teoremu o paralelnim osima (izraz dajemo bez dokaza njegove istinitost, no podsjeajui itatelja na Steinerov teorem u mehanici krutog tijela), smijemo pisati,

I OK = I c + Sl c2 ,

(12)

gdje je Ic moment tromosti ovalne konture na crteu 2 s obzirom na liniju koja paralelno s linijom omoenja OK prolazi njezinim teitem C. Uvrtenje (12) u (11), za l0 konano daje,

20

I I c + Slc2 l 0= = lc + c Slc S lc

.

(13)

r Dakle, kao to je ve reeno, centar tlaka O, tj. hvatite ukupne tlane sile P manometarskog tlaka na ravnu, s obzirom na pravac koji prolazi tokama C i O, simetrinu povrinu S, smjeten je za duinu I c / Sl c nie od teita C promatrane plohe.

Ve izraunani izrazi za veliine lc , l0 i I c za razliite konture mogu se nai u odgovarajuim tablicama (vidi tablice koje slijede nakon narednog poglavlja!).

Recite koje svojstvo hidrostatikog tlaka u mirnoj tekuini ilustrira gornjim crteom prikazani pokus?

21

Dijagram hidrostatikog tlaka za ravnu stjenku i stjenku proizvoljne konturePri proraunima graevinskih hidrotehnikih objekata vrlo je esto nuno znati iznos ukupne tlane sile kojom voda djeluje na ravne povrine razliitih oblika. Kao to ve znamo, da bi se izraunao iznos ukupne tlane sile na povrinu od interesa, potrebno je znati raspodjelu iznosa hidrostatikog tlaka po promatranoj povrini, tj., iznos tlaka u svakoj toki povrine. Grafiki prikaz ovisnosti iznosa hidrostatikog tlaka od toke do toke promatrane povrine naziva se dijagramom hidrostatikog tlaka. Dijagram ukupnog hidrostatikog tlaka nastaje tako da se u krajnjim tokama promatrane povrine (toke O i B na crteu 1) crtaju na povrinu okomite strelice uperene u povrinu. Pritom su duljine ovih strelica proporcionalne iznosima hidrostatikog tlaka u pojedinim tokama. Kroz poetke ovih strelica polae se pravac ija jednadba (u sluaju vertikalne stjenke AB spremnika, cisterne, bazena nad kojim vlada tlak p0 ) u pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu kao na crteu 1, glasi, p(h) = p0 +gh, (1)

Crte 1 tj., ukupni tlak, od stalne vrijednost p0 na slobodnoj povrini, linearno se poveava s poveanjem dubine na kojoj se nalazi promatrana toka fluida. Sve druge strelice na razliitim dubinama h, takoer u odgovarajuem mjerilu,

22

predoavaju iznose hidrostatikog tlaka, dane izrazom (1), u toki povrine u koju je strelica uperena. Konano, traeni dijagram hidrostatikog tlaka u ovom sluaju predoen je trapeznom povrinom OO' b'B rafiranom strelicama. Dijagram OO'BB' zajedno ine pravokutnik OO'BB', koji predstavlja dijagram stalnog tlaka p0 koji vlada nad slobodnom povrinom fluida, i trokut O'b'B, dijagram tlaka koji je izazvan samo teinom fluida zbog toga to se ovaj nalazi r u polju sile tee G . Pravac O'b' sijee os h u toki ija je apscisa h0 jednaka,h0 = p0 , g

(2)

iji je iznos u sluaju vode jednak h0 = 10.33 m. U sluaju vertikalnog zida, uzme li se za mjernu jedinicu specifine teine vode = g vrijednost 9.81.103N.m-3 , kut jednak je, = arctgghh

=arctg =arctg 1 =

4

= 450 .

(3)

Dijagram hidrostatikog tlaka, koji dolazi samo od teine vode (koja se r pojavljuje kao posljedica djelovanja sile tee G ) na vertikalnu stijenu OB, prikazan je strelicama rafiranim trokutom Ob'B na crteu 2.

Crte 2

Crte 3

U sluaju ispusnih vrata V visine a na zidu vertikalne brane dijagram hidrostatikog tlaka koji dolazi samo od teine vode, prikazan je na crteu 3 strelicama rafiranim trapezom ije su ordinate g (h a) i gh .

23

Uzmimo sada da u otvorenoj posudi (spremniku) imamo stjenku koja je uronjena u fluid pod kutom prema vodoravlju (crte 4). Posuda je napunjena fluidom, vodom, do visine h. Nad fluidom vlada stalni tlak p0 . Dijagram hidrostatikog tlaka na kosu stjenku ad sada ima oblik trapeza abcd rafiranog strelicama okomitim na stjenku ad. Dijagram abcd ine pravokutnik abc'd koji predstavlja dijagram stalnog tlaka p0 koji vlada nad slobodnom povrinom fluida) i trokut bcc', dijagram tlaka koji je izazvan samo r teinom fluida zbog toga to se ovaj nalazi u polju sile tee G .

Crte 4

Crte 5 Dijagram hidrostatikog tlaka, koji dolazi samo od djelovanja teine vode na kosu stijenu bc', prikazan je strelicama rafiranim trokutom bcc' na crteu 5. Da bi se odredio oblik dijagrama hidrostatikog tlaka u sluaju zakrivljene stjenke, nuno je izraunati tlak u velikom broju toaka njezine povrine, pri emu se, naravno, dobiveni iznosi tlaka u promatranim tokama povrine prikazuju strelicama okomitim na stjenku. Tako dobiveni dijagram moe imati oblik prikazan na crteu 6.).

24

Crte 6 Ukoliko se s obiju strana ravne vertikalne stjenke nalazi fluid jednake gustoe , tada, da bi se odredila rezultantna raspodjela hidrostatikog tlaka na stjenku (crte 7), treba nai povrine raspodjele tlaka s obje strane stjenke te ih zbrojiti kao algebarske veliine. Rezultantna povrina raspodjele tlaka, tj., rezultantni dijagram tlaka ima oblik trapeza abcd (crte 7).

Crte 7

Crte 8

25

dijagramu tlaka fluida manje gustoe 1 , manji, a u sluaju fluida vee gustoe

esto na stjenku djeluju dvije tekuine razliitih gustoa (specifinih teina ). Ukoliko se radi o okomitoj stjenci, tada se dijagram hidrostatikog tlaka sastoji od dva dijela (crte 8): trokuta abb' i trapeza bcdb'. Pritom je kut 1 nagiba odsjeka ab pravca prema vertikalnoj stjenci, koji odgovara

2 , vei.

Odreivanje iznosa ukupne tlane sile na temelju dijagrama hidrostatikog tlaka

Iz poznatog dijagrama hidraulikog tlaka mogue je odrediti iznos P r ukupne tlane sile P na stjenku, bilo ravnu, bilo zakrivljenu. Kao to raun pokazuje P je uvijek jednak,

P = b S DHT .

(4)

Pokaimo to za sluaj ravne plohe nagnute pod kutom prema horizontu (crte 5). Uzmemo li da je p0 = 0 te poto je hc = h / 2 i S = b ukupne tlane sile na stjenku jednak,bh 2 P = ghc S = g . 2 sin h , to je iznos sin

(5)

Povrina pravokutnog trokuta na crteu 5, tj., povrina S DTH dijagrama tlaka jednaka je,S DTH = 1 h gh . 2 sin

(6)r

Usporedbom izraza (5) i (6) vidi se da je iznos P ukupne tlane sile P na promatranu kosu stjenku prikazanu na crteu 5 doista dan izrazom (4), tj., jednak je umnoku povrine S DHT dijagrama hidrostatikog tlaka (povrine trokuta) i irine b stjenke. Centar tlaka O Da bi se pronaao centar tlaka O, potrebno je izjednaiti(nedovreno!)

26

27

28

29

Rijeeni primjeri i zadaci za samostalni radPrimjer 1. Odredite omjer H/B za branu prikazanu na crteu 3. tako da iznos momenta prevrtanja s obzirom na toku K iznosi 50 % momenta teine brane s obzirom na istu toku. Gustoa materijala brane je = 2,25 103 kgm-3.

toka kojom prolazi omoena linija okomito na ravninu crtanja

Crte 3.

Crte 4.

Iznos ukupne sile kojom voda zbog vlastite teine okomito tlai omoenu ravnu plohu brane je H P = hC S = H b , (1) 2 gdje su b duina promatranog dijela brane, a specifina teina vode. Udaljenost lO centra tlaka od linije omoenja dana je izrazom,Ic . Slc

l0 = lc +

(2)

30

Poto okomita omoena povrina S = Hb brane ima oblik pravokutnika visine H i duljine b, to je udaljenost lc teita povrine S od linije omoenja jednaka

lc = Ic =

paralelno

H , dok je moment tromosti I c povrine S s obzirom na liniju koja 2s linijom omoenja prolazi teitem povrine S jednak

lO daje,

1 1 SH 2 = H 3b (vidi tablice!). Uvrtenje posljednjih vrijednosti u (2) za 12 12H 1 2 + H= H. 2 6 3

lO =

(3)

To znai da krak vodoravne sile P ' s obzirom na toku K iznosi (crte 4),

r

1 d1 = H . 3Iznos sile tee G , koja na masu brane djeluje u njezinom teitu T je,

r

G = MV = MKrak sile tee s obzirom na toku K je,

H B b. 2

2 d2 = H . 3Prema zahtjevu u tekstu problema piemo,1 P d1 = G d 2 2

odakle za traeni omjer

H slijedi, Bm H = = 1,5 B

31

Primjer 2. a.) Odredite ukupnu tlanu silu kojom voda djeluje na trokutastu povrinu CD 4 m 6 m prikazanu na crteu 1. Vrh trokuta je u toki C.; b.) Odredite poloaj centra tlaka O.

Crte 1

P ' = hC S ,

= g = 9.81ms 2 10 3 kgm 3 = 9.81 10 3 Nm 3 ,2 hC = 3m + 6 sin 450 , 3 1 1 S = ab = 4m 6m = 12m 2 , 2 2P ' = hC S = 9.81 10 3 Nm 3 (3m +

2 6 sin 450 ) 12m 2 685 kN . 3

Udaljenost l0 centra tlaka O od linije omoenja izraunati emo iz izraza

l0 = lc +

Ic . Slc

32

Primjenjujui elemente diferencijalnog rauna ili uvidom u tablice gore, nalazimo da je moment tromosti I C trokuta oko njegovog teita C dan izrazom,

ab 3 IC = = 24m 4 . 36Udaljenost lc teita trokutne povrine od linije omoenja jednaka je,

hc 3m + 4m sin 450 5.83 = lc = = = 8.245m. 0 0 sin 45 sin 45 sin 450Iznos S trokutne povrine ve nam je poznat. Nakon odgovarajuih uvrtavanja za udaljenost l0 centra tlaka O od linije omoenja, slijedi,

24m 4 l0 = 8.245m + 8.49m . 12m 2 8.245m

Primjer 3. a.) Odredite ukupnu tlanu silu kojom voda djeluje na povrinu krune ploe promjera D = 1 m na boku brane (crte 1); b.) Odredite poloaj centra tlaka O. a.)

P = ghC S = = 10 kgm 3 9.81 ms 2 (1.5 m + 0.5 m sin 60 0 )(0.5 m) 2 14.9 kN .

Crte 133

b.) (za I c vidi tablice gore!)l0 = lc + Ic 1.5 m = + 0.5 m + Slc sin 600

(0.5 m) 4 1.5 m + 0.5 m 1m 2 4 0 sin 60

2.254 m.

Crte 1Primjer 4. Na okomitoj brani nalazi se kruni otvor promjera D = 1 m. Otvor je zatvoren poklopcem L-profila male mase koji ima mogunost vrtnje oko osi koja prolazi tokom M okomito na ravninu crtea 1. Os vrtnje (toka M) nalazi se s = 0.2 m iznad gornjeg ruba krunog otvora. Na poklopcu L-profila v nalazi se uteg teine G , iji se centar mase nalazi na udaljenosti L = 0.7 m od v stijene brane. Odredite iznos G teine G utega tako da do otvaranja otvora dolazi kada je razina vode h1 = 3 m iznad sredita otvora. Gustoa vode je = 1000 kgm-3.

Promatramo granino stanje u kojem kruni otvor tekv to se nije poeo otvarati. To znai da je iznos M1 = L.G momenta sile tee G na uteg s obzirom na os koja prolazi tokom M okomito na ravninu crtnje (crte 2), upravo jednak iznosu r M2 = P .(s+D/2+CO) momenta ukupne tlane sile P ije je hvatite u centru tlaka O udaljenom za CO od sredita C krunog otvora (crte 2),L G = P(s + D + CO) . 2

(1)

34

Crte 2Kao to nam je poznato, centar tlaka O smjeten je za CO = I c / Sl c dalje (nie) od teita C plohe otvora. U promatranom sluaju I C =odgovarajuu tablicu u skriptama!),D 464

(vidi

D 2 S= 4

i

lc = h1 . Time

D2 . Uvrtenjem izraza za CO u (1) te 16h1 imajui na umu da je iznos ukupne tlane sile s hvatitem u centru tlaka O

CO = I c / Sl c poprima oblik CO =

jednak P = gh1

D 2 , za traeni iznos G teine utega iz (1) slijedi, 4

G=

D 2 gh1 4

D D2 s + + 2 16h1 23.8 kN . L

35

Primjer 4. Automatska vrata brane ije su dimenzije a = 2 m i b = 2.5 m (crte 1) imaju mogunost vrtnje oko osovine koja prolazi tokom M okomito na ravninu crtea. Odredite masu m utega na kraju poluge duljine l = 3 m tako da se vrata brane otvaraju kada dubina akumulacijskog jezera dosegne visinu H = 11 m.

OC =

Ic S lc

I c vidi tablice!

Crte 1

Mm = MP ,

36

a mgl = P + OC , 2

a a a mgl = ghc S + OC = g H a b + OC , { 2 4 4 S 2 122 3hc = lc

I OC = c = (tablice!) = S lc 1 3 ba a2 12 = , a a ab H 12 H 2 2

.. 2 a a , a + mgl = g H a b 2 a 2 12 H 2 a 2 a , 1 + mgl = g H a b 2 a 2 12 H 2 a 6 H + a 2 2 a 2 = ga b (6 H 2a ) = ga b (3H a ) , mgl = g H a 2 b a 2 12 6 12 H 2

m=

a 2b6l

(3H a ) = 10

3

kgm 3 (2m) 2 2.5m (3 11m 2m ) 17.22 t. 6 3m

37

Crte 4

Primjer 5. Vrata iroka b = 1,5 m (crtei 4 i 5.) koja se mogu okretati oko horizontalne osovine O', odravaju se zatvorenima pomou prednapregnute spiralne opruge. Odredite poetnu elastinu silu opruge tako da se vrata otvaraju kad dubina vode dosegne dubinu D = 4 m.

v Iznos R ukupne tlane sile R sa hvatitem u toki O (crte 4) kojom voda zbog vlastite teine tlai omoenu kosu povrinu vrata okomito na ravninu vrata, jednak je,

Crte 538

R = ( p 0 + ghc ) F .

(1)

U (1) manometarski tlak p 0 na dubini D d ispod slobodne povrine vode jednak je p 0 = g ( D d ) , dubina hc teita povrine vrata od razine D d je hc = d 2 , dok je povrina F vrata jednaka F = bl = b dalje piemo, R = [ g( D d ) + gd / 2 ] bd bd = g ( D d ) + d / 2 sin 60o , sin 60o d bd . ) 2 sin 60od . Dakle, (1) sin 60 0 123 4 4L

R = g ( D

Udaljenost OC (crte 5) centra sile tlaka od teita C povrine vrata je,lo lc = OC = Ic F lc

gdje je I c =

1 FL2 moment inercije pravokutne povrine F s obzirom na os 1-1 12

koja prolazi teitem C povrine i paralelna je sa linijom omoenja AA', a lc je udaljenost teita C povrine F od linije omoenja (crte 5.). U promatranom sluaju (crte 4) udaljenost lc jednaka je lc = tako da jed2 1 l 0 l c = OC = 12 sin 60 0 1 d D 2.

Dd / 2 sin 60o

r r Granina vrijednost Fk iznosa elastine sile Fk opruge za koju se vrata upravo r r otvaraju dobiva se iz uvjeta jednakosti momenata sila R i Fk s obzirom na os O'O'. Za iznose ovih po iznosu jednakih no du osi O'O' suprotno orijentiranih momenata sila, piemo,

39

( O' C + CO )R = Fk sin60 o O' E ,d 1 d2 1 d bd x o 2 sin60 o + 12 sin60 o D d / 2 g( D 2 ) sin60 0 = sin60 o Fk sin60 , bd2 1 d Fk = 1+ g( D d / 2 ) , 2 o 2x sin 60 6 Dd / 2 1,5 m ( 2,5 )2 m 2 1 2,5 m 3 3 2 Fk = 1 + 10 kg m 9,81 ms 2,75 m , 2 o 2 1 m sin 60 6 2,75 m Fk = 194,16 kN .Primjer 6. Za isputanje nafte iz rezervoara izveden je otvor dimenzija 100 x 100 mm i preklopni ventil sa kutom = 450 (vidi crte 6). Odredite iznos P sile kojom je potrebno djelovati na lanac u svrhu otvaranja ventila, ako se ovaj nalazi na dubini H = 4 m. Relativna gustoa nafte je 0,9.

Crte 7 Crte 6

40

Iznos R ukupne sile R kojom nafta zbog vlastite teine okomito tlai kosu povrinu F ventila (crte 7), jednak jeR = ( p + H c ) F ,

r

r

(1)

pri emu je p - hidrostatiki tlak na razini gornjeg ruba 1-1 omoene kose ravne povrine ventila, po iznosu jednak p = ( H a 2) , = g - specifina (zapreminska) teina nafte, Hc - udaljenost teita C omoene povrine iznosa F = a2/sin od razine u kojoj lei pravac 1-1. U promatranom sluaju je H c = a / 2 , tako da,

a a a 2 R = ( H ) + 2 2 sin a 2H R= . sin

(2)

Zbog malih dimenzija preklopnog ventila udaljenost centra tlaka O od teita C omoene povrine F zanemarivo je mala, tj., OC 0 (crte 9). Stoga, u dobroj r aproksimaciji moemo uzeti da rezultantna tlana sila R ima hvatite praktiki u teitu C povrine F.

Crte 8.41

r Pravac nosilac djelovanja vanjske sile P na rub preklopnog ventila prikazan je r na crteu 8. Granina vrijednost iznosa P sile P koja otvara ventilr slijedi iz r r r uvjeta jednakosti iznosa M PO i M RO momenata M PO i M RO sila P i R s obzirom na os 1-1 (crte 8), tj.,

R kR = P k p ,

(3)a ,a 2 sin

r r gdje su k R i k p krakovi sila R i P . Poto je praktiki jednak k R =kp =

r a cos , to uvrtenjem u (3) za traeni iznos P sile P slijedi, sin

a 2H 0.01 m 2 8.829 103 Nm 3 4 m P= = 353.16 N sin 2 1

Primjer 7. Pravokutna brana s mogunou vrtnje oko osi koja prolazi tokom M okomito na ravninu crtea ugraena je na donjem kraju zida spremnika (crte 1). Brana je dizajnirana tako da svojim otvaranjem i zatvaranjem osigurava stalnu visinu h vode u spremniku. irina brane je b = 1.2 m, dok je njezino teite C od zida brane udaljeno d = 0.3 m. Odredite teinu G brane tako da do njezinog otvaranja dolazi kada je dubina h vode u spremniku upravo jednaka h = 2.779 .

Crte 1

42

Iznos P ukupne tlane sile P na branu jednak je umnoku povrine S = bd brane, specifine gustoe vode V te dubine uranjanja teita C brane (crte1),y 0.779m P = SV hc = bdV (h ) = (1.2m 0.9m 9.81103 Nm3)(2.779m ) = 25316 . N 2 2

r

(1)

Crte 2 Sa crtea (2) vidi se da je,

L=tako da je udaljenost lc jednaka,lc = L +

2 , tg 600

d = 2.309m + 0.45m = 2.759m 2

(2)

Udaljenost OC centra tlaka O od teita C brane jednaka je,OC =3

Ic , S lc

gdje je I c = bd

koji prolazi njezinim teitem C usporedno s pravcem koji tokom M prolazi okomito na ravninu crtea,bd 3 (0.9) 2 = = 0.024m . OC = 12 bd 2.759m 12 2.759m

12

moment tromosti povrine S = bd brane s obzirom na pravac

(3)

43

Zbrajanjem udaljenosti (2) i (3) za krak ukupne tlane sile P s obzirom na toku O nalazimo,k P = 0.474m .

r

(4)

Crte (1) pokazuje da je krak kG sile tee na branu jednakk P = 0.3m .r

(5)r

Brana e se poeti otvarati u trenutku kada e momenti sila P i G s obzirom na toku (os) M, odnosno, njihovi iznosi biti jednaki, tj., kada e vrijediti jednakost,P k P = G kG

(6)

odakle za traenu teinu T = G brane slijedi,T= P k P 25316 N 0.474m = 40000 N . kG 0.3m

Primjer 8. Brana je konstruirana kao tit koji se moe vrtjeti oko osi O'. Odredite poloaj x osi O' tako da podizanje razine vode iznad H= 2 m automatski izaziva prevrtanje brane. Razina vode desno od brane je h = 0,4 m, a = 60o.

Crte 10

Iznos R0 l ukupne sile kojom voda lijevo od brane zbog vlastite teine okomito tlai lijevu omoenu kosu ravnu plohu koja ograniava fluid je,

H Hb H 2 b = , Rol = hc F = 2 sin 2 sin

(1)

44

pri emu se indeks l odnosi na lijevu stranu brane, a b je irina brane. Naravno, i u ovom primjeru odluujui za prevrtanje brane biti e iznosi momenata tlanih sila na lijevu i desnu stranu brane tako da nas pored ukupne sile Rol zanimaju udaljenosti lol i lod centara tlaka na lijevoj i desnoj omoenoj povrini brane.

Crte 11 Polazimo od izraza,

lol = lcl +u kojem je (crte 11), lcl = a F=

Ic , F lcl

H , 2 sin bH . sin

Kako se radi o pravokutnoj brani za koju je moment tromosti njezine povrine F s obzirom na pravac koji prolazi njenim teitem C jednak I c =

1 FL2 , pri 12

45

H2 1 H3 emu je L = , to je I c = b 3 12 sin sin 2 2

tako da je udaljenost lol centra C

tlaka od linije omoenja za vodu s lijeve strane brane jednaka,H 1 H 3 sin 2 sin , + b 3 lol = 2 sin 12 H sin b H

lol =

2 H , 3 sin

(2)

Crte 12.

Iznos R0 l ukupne sile kojom voda desno od brane zbog vlastite teine okomito tlai desnu omoenu kosu ravnu plohu koja ograniava fluid je,

gh 2 b Rod = 2 sin

(7)

Udaljenost centra tlaka C od linije omoenja za vodu s desne strane brane je (raun analogan onome raunu lol) lod =2 h 3 sin

(8)

46

Prevrtanje, vrtnja, brane oko osi O'O', zapoeti e u trenutku kada e momenti sila Rol i Rod s obzirom na os vrtnje O'O' postati po iznosu jednaki, tj.

Rol d1 = Rod d 2

(9)

Crte 13

Crte 14 Sa crtea 13 vidljivo je da je,

H 2 H H d 1= l0 l x = x , sin 3 sin sin dok crtei 13 i 14 te izraz (8) pokazuju da je,

47

d2 = x

1 h . 3 sin

Uvrtenjem izraza (5) i (7) te d1 i d2 u izraz (9) dobiva se,2 H h h 2 b 2 H H b + x = x 3 sin sin 2 sin 3 sin 2 sin

odakle slijedi,

H 3 h3 , x= 3( H 2 h 2 ) sin (2 3 0, 4 3 ) m3 , = 3(2 2 0, 4 2 ) m 2 sin 60 o= 0,795 m .

Primjer 9. Za regulaciju razine vode u rezervoaru koristi se rotirajui tit (crte 17), koji otvara pravokutni otvor dimenzija a b = 150 mm 150 mm pri zadanoj razini vode H = 3 m u rezervoaru. Odredite poloaj x zglobnice O.

Crte 17.

48

Primjer 10. Odredite iznos ukupne sile koja djeluje na poklopac prikazan na crteu. Promjer poklopca je D = 3 m. Gustoa ulja je u = 800kgm 3 , h = 1m, l = 2 m.

Primjer 11. Betonska zapornica (B = 2.4 . 103 kgm-3) ima mogunost vrtnje oko osi O (vidi crte!). Pri kojoj dubini h e se zapornica poeti otvarati?

49

Primjer 12. Pravokutni kanal irine b = 10 m pregraen je vertikalnom branom (vidi crte!). Dubina vode ispred brane je H = 5 m, a iza nje, h = 2 m. Odredite iznos ukupne sile F koja djeluje na branu kao i poloaj njezinog hvatita.

Iznos F1 tlane sile manometarskog tlaka ispred brane je,

F1 = hC Hb = 103 kgm 3 9.81ms 2 2.5m 5m 10m = 1.225 106 N .Centar tlaka sile F1 nalazi se na dubini,bH 3 I H = lC + C = + 12 = ..... = 3.33 m. SlC 2 H bH 2

lOL

Iznos F2 tlane sile manometarskog tlaka iza brane je,

F2 = hC hb = 103 kgm 3 9.81ms 2 1m 2m 10m = 0.196 106 N .Centar tlaka sile F2 nalazi se na dubini,bh 3 I h = lC + C = + 12 = ..... = 1.33 m. SlC 2 h bh 2

lOD

Iznos rezultantne sile koja djeluje na branu je,50

F = F1 F2 = 1.225 106 N 0.196 106 N = 1.029 106 N .

Hvatite ove sile na plohi brane (udaljenost l hvatita od toke O) nai emo iz uvjeta jednakosti momenata sila F1 i F2 s obzirom na toku O brane

MO = 0 ,F1 ( H lOL ) F2 (h lOD ) F ' l = 0 ,

gdje je F' sila reakcije na ukupnu, rezultantnu, silu F.l= F1 ( H lOL ) F2 (h lOD ) = ... = 1.86 m. F

Primjer za samostalni rad irina vrata AB prikazanih na crteu je d = 8 m. Zanemarujui masu vrata odredite visinu h razine vode kod koje e se vrata poeti otvarati.

51

Primjer za samostalni rad Savreno kruta vrata brane imaju oblik slova L i mogunost vrtnje oko osi koja okomito na povrinu crtea prolazi tokom . S povienjem razine vode u jezeru vrata se automatski otvaraju. Odredite visinu d pri kojoj se to upravo deava. Masu vrata brane zanemarite. Dimenzija r brane je r = 2.2 m [ R: d 2 = 3r 2 , d = r 3 3.81m ]

52

Ukupna tlana sila (pritisak) na cilindrine povrine. Tijelo tlaka. Centar tlaka.

53

Fotografija 2

54

Fotografija 3

U sluaju odreivanja iznosa ukupne tlane sile (pritiska) na ravnu stjenku uronjenu u fluid, hvatite ukupne sile kao i njezin pravac nosilac sada su nam poznati: hvatite ukupne tlane sile je u centru tlaka, dok pravac nosilac sile prolazi centrom tlaka okomito na stjenku. Kako su, meutim, u irokom podruju tehnike prakse hidrostatikom tlaku tekuina najee podvrgnute najrazliitije cilindrine povrine (stjenke cijevi, stjenke razliitih cilindrinih spremnika, sektorske ustave brana, i tako dalje), u narednom koraku mi emo se usredotoiti na odreivanje hvatita i pravca nosioca ukupne tlane sile u sluaju kada je stjenka zakrivljena, kada predstavlja oploje valjka stalnog i promjenjivog polumjera zakrivljenosti. Valja uoiti da je u sluaju cilindrinih povrina tlak u svakoj toki zakrivljene povrine okomit na beskonano malu plohu dS koja ini okoli te toke, kao i da su od toke do toke pravci du kojih tlak djeluje na promatranu zakrivljenu stjenku razliiti, tj., nisu meusobno paralelni, kao to je to sluaj kod ravne stjenke. Pristup pronalaenju iznosa ukupne tlane sile (pritiska) na zakrivljenu stjenku je sljedei: u opem sluaju odreuju se tri komponente Fx , Fy i Fz pritiska koje su paralelne s koordinatnim osima X,Y,Z pravokutnog Kartezijevog sustava. Meutim, u poetku, mi emo se usredotoiti na sluajeve valjkastih, cilindrinih povrina konstantnog polumjera. U tom sluaju dovoljno je odrediti samo dvije skalarne komponente, vodoravnu FY i okomitu FZ ukupne r r r P = PY j + PZ k (crte 18). tlane sile

55

Promotrimo sluaj tanke etvrtcilindrine stjenke ABCDA konstantnog polumjera prikazane na crteu 18 koju tekuina tlai odozdo i s njezine lijeve strane. Da bi izraunali iznose skalarnih komponenti P i PZ ukupne tlane Y

r r r sile P = P j + PZ k na etvrtcilindrinu stjenku ABCD, raspravit emo uvjete Y

mehanike ravnotee volumena AA1BCC1DA tekuine koja je s desne strane omeena etvrtcilindrinom stjenkom, s lijeve strane okomitom plohom A1BCC1A1, a odozdo vodoravnom plohom AA1DC1A.

Crte 18

Crte 18'

Crte 18''56

U skladu s II. Newtonovim zakonom, uvjet mehanike ravnotee (u ovom sluaju stanja mirovanja) promatrane mase fluida matematiki zapisujemo u obliku,n r r r FRN = Fi = 0 , i =1

(1)

r pri emu je Fi i-ta od ukupno n sila koje djeluju na promatranu masu tekuine.Uvjet mehanike ravnotee (1) izraziti emo preko algebarskih vrijednosti r projekcija sila Fi na koordinatne osi pravokutnog Kartezijevog sustava X,Y,Z, tj.,

Fi,Y = 0 ,i =1

n

Fi, Z = 0 ,i =1

n

(2)

gdje je Fi ,Y algebarska vrijednost projekcije i-te sile na os Y, dok je Fi , Z algebarska vrijednost projekcije i-te sile na os Z. U stanju mehanike ravnotee (mirovanja), zbroj kao i zbroj

Fi,Y algebarskih vrijednosti projekcija svihi =1

n

n sila na os Y,

Fi, Zi =1

n

algebarskih vrijednosti projekcija svih n sila na os Z, koje

djeluju na promatranu masu tekuine, jednaki su nuli [izraz (2)]. Na masu tekuine volumena AA1BCC1D u stanju ravnotee djeluju sljedee sile (crtei 18 i 18'):

57

r r PY = PY i kojom tekuina s lijeve strane - vodoravna tlana silapromatranog volumena djeluje na vertikalnu povrinu S ( A1 BCC1 A) ; kao to nam je poznato, iznos ove sile jednak je PY =

H S ( A1 BCC1 A) ; 2

projekcija ove sile na os Y je algebarski pozitivna i hvatite, (centar tlaka) joj je u toki koja lei na osi Z udaljena od ishodita koordinatnog sustava H/3;

r r - vertikalna tlana sila PZ 1 = PZ 1k kojom tekuina odozdo djeluje napovrinu AA1C1DA; iznos ove sile jednak PZ 1 = HS ( AA1C1DA) , zapravo je r G sile tee G na tekuinu sadranu u prizmi jednak iznosu AA1BB1CC1DD1; projekcija ove sile na os Z je algebarski pozitivna; hvatite ove sile je presjecite dijagonala pravokutnika AA1C1DA; - sila tea G = PZ 2 na masu tekuine u volumenu AA1BCC1DA ; hvatite r sile tee G je u teitu promatrane mase tekuine, a smjer djelovanja r suprotan pozitivnoj osi Z tako da je projekcija sile tee G na os Y algebarski negativna. - elastina sila reakcije R = RY i + RZ j cilindrine stjenke;

r

r

r

r

r

58

r r r r P = PY i + PZ j kojom tekuina tlai cilindrinu reakcije R i iznos P sile r r stjenku, jednaki su; uvijek je P = R (crte 18'').

Kao to znamo, u skladu s III. Newtonovim zakonom dinamike, iznos R sile

Uoite da sve sile lee u ravnini YZ koja je okomita na izvodnice etvrtcilindrine povrine, kao i da ta ravnina prolazi njezinim polovitem (crte 18).

Prema (2), za projekcije P , PZ 1 , PZ 2 , RY i RZ sila na koordinatne osi Y i Y Z slijedi,

Fi =1

n

i ,Y

= PY + RY = 0 ,

Fi =1

n

i,Z

= PZ 1 G + RZ = 0 , {PZ 2

odakle su algebarske vrijednosti skalarnih komponenti RY i RZ sile reakcije R cilindrine povrine jednake,

r

RY = PY = H S ( A1BCC1A) ,2

(3) (4)

RZ = PZ = ( PZ 2 PZ 1 ) = (G PZ 1 ) = ( PZ 1 G ) .

Iz (3) i (4) zakljuujemo:

59

r - iznos projekcije PY ukupne tlane sile P na volumen AA1BCC1DA jednak je iznosu tlane sile na okomitu plohu A1BCC1A koja predstavlja okomitu projekciju cilindrine stjenke na ravninu XZ , tj.,

PY = - iznos4

H S ( A BCC ) . Naravno, RY = PY . 21 1

r projekcije PZ na os Z ( PZ = RZ ) ukupne tlane sile P nar

volumen AA1BCC1DA tekuine jednak je razlici iznosa sile Pz1 iji je pravokutne prizme AA1BB1CC1DD1 ( PZ1 = G p ) i iznosa PZ 2 = G sile tee G na tekuinu u volumenu AA1BCC1DA, iznos jednak iznosu G p sile tee G p na tekuinu sadranu u volumenu

r

PZ = G p G ;- Oito, iznos razlike ( Pz1 G ) jednak je iznosu sile tee na zamiljenu, fiktivnu, masu tekuine5 sadranu u volumenu ABB1CDD1 iznad cilindrine povrine. U ovom sluaju zamiljena, fiktivna, masa tekuine u volumenu ABB1CDD1, u tehnikoj hidrostatici naziva se tijelo tlaka i u promatranom sluaju ima oblik etvrtine cilindra prikazanog na crteu 19. Kako je G p > G , projekcija Pz je algebarski r pozitivna, tj., smjer od PZ j je identian pozitivnom smjeru osi Z).

(

)

Crte 194 5

Imajte na umu da je iznos pozitivan broj! etvrtcilindrini volumen ABB1CDD1A nije ispunjen tekuinom!60

Crte 20 Pri raunanju nuno je imati dovoljno iskustva 6 u odreivanju volumena tijela tlaka, a samim time i u odreivanju orijentacije, tj., algebarske vrijednosti r projekcije (pozitivna ili negativna) Pz . Naime, smjer komponente PZ j ovisi o meusobnom poloaju povrine i tekuine. U svrhu ilustracije raspravimo jo tri jednostavna sluaja meusobnog poloaja cilindrine povrine konstantnog polumjera i tekuine, koji su prikazani na crteima 20a.), 20b.) i 20c.).

6

Potrebno iskustvo moete stei samo prouavanjem rijeenih primjera i rjeavanjem

primjera iz zbirki problema .61

U sluaju 20a.), budui da je G p > G , projekcija ukupne tlane sile na os Z ,

Pz = G p G , je algebarski negativna. Tijelo tlaka u ovom sluaju je realno vodeno tijelo, etvrtina cilindra, kao u sluaju koji smo gore detaljno prouili. r G p > G . Projekcija Pz je algebarski negativna, tj., smjer od PZ je suprotanpozitivnom smjeru osi Z. Primijetite da u ovom sluaju tekuina moi onu stranu stjenke koja je okrenuta ka tijelu tlaka.

(

)

U sluaju kada cilindrina stjenka konstantnog polumjera ima oblik kao na crteu 20b.) tijelo tlaka je realno vodeno tijelo iji je oblik kao onaj na crteu r 18'. Projekcija Pz je algebarski negativna, tj., smjer od PZ je suprotan Primijetite da i u ovom sluaju pozitivnom smjeru osi Z). tekuina moi onu stranu stjenke koja je okrenuta ka tijelu tlaka. Na crteu 20c.) prikazan je sluaj kada je tijelo tlaka fiktivno vodeno tijelo oblika identinog onom na crteu 18'. Projekcija Pz je algebarski pozitivna, tj., r PZ identian je s smjerom pozitivne osi Z). smjer od Primijetite da u ovom sluaju tekuina ne moi onu stranu stjenke koja je okrenuta ka tijelu tlaka. Nakon to smo odredili komponente P i PZ u stanju smo izraunati iznos P Y ukupne tlane sile P = PY i + PZ j na cilindrinu stjenku, odnosno, iznos R ukupne elastine sile reakcije R = RY i + RZ j cilindrine stjenke,P = PX + PY2 ,2 R = Ry + Rz2 ,2

r

r

r

r

r

r

(5) (6)

kao i iznos kuta to ga P (odnosno R ) zatvara s koordinatnom os Y,

r

r

62

tg =

Pz R z = Py R y

,

= tg 1

Pz R = tg 1 z , Py Ry

(7)

Za nalaenje centra tlaka O u sluaju cilindrinih ploha konstantnog radijusa zakrivljenosti, dovoljno je kroz geometrijski centar C0 cilindrine povrine r poloiti pravac nosilac rezultante tlane sile P tako da ovaj s horizontom zatvara kut (crte 21). Naime, budui da je hidrostatika tlana sila uvijek okomita na promatranu elementarnu cilindrinu povrinu na koju djeluje, to je ona usmjerena ka sreditu Co cilindrine povrine stalnog polumjera. To ujedno r znai da i pravac nosilac ukupne tlane sile P na cijelu povrinu krunog cilindra prolazi radijalno sreditem Co.

Crte 21

Povrina u dodiru s tekuinom ima oblik cilindra promjenljivog polumjeraSada emo ukratko raspraviti nekoliko sluajeva u kojima povrina u dodiru s tekuinom ima oblik opeg cilindra, tj., kada se polumjer zakrivljenosti cilindrine plohe mijenja du izvodnice. Prvi takav primjer dat je na crteu 22. U ovom sluaju tijelo tlaka je fiktivno vodeno tijelo ABCC'A, a vertikalna r r komponenta PZ ukupne tlane sile P koja djeluje na cilindrinu povrinu ABC usmjerena je vertikalno u vis i iznosom je jednaka teini tijela tlaka ABCC'A. r Naravno, vodoravna komponenta PY jednaka je tlanoj sili na pravokutni lik CC' koji predstavlja projekciju ope cilindrine plohe na vertikalnu ravninu.63

Crte 22 U sluaju prikazanom na crteu 23, opa cilindrina ploha ABC presijeca okomicu CC' i toki N. Kao to se vidi, u ovom sluaju postoje dva tijela tlaka: realno tekue tijelo tlaka AC'NA ispunjeno tekuinom) i virtualno tijelo tlaka r NBCN (koje nije ispunjeno tekuinom). Vertikalna komponenta PZ ukupne

P r tlane sile r na opu cilindrinu plohu ANBC dobiva se zbrajanjem r r r komponenti PZ 1 i PZ 2 : PZ = PZ 1 + PZ 2 .

r

Crte 23

64

Rezime Potrebo je odrediti tijelo tlaka za opu cilindrinu povrinu ABC (crte 24). Najprije uoavamo krajnje toke A i C cilindrine povrine. Zatim, iz tih toaka, povlaimo okomice do slobodne razine tekuine ili njezinog virtualnog produetka. Konano, tijelo tlaka odreujemo primjenjujui sljedee pravilo:

Crte 24 Popreni presjek tijela tlaka predstavlja lik omeen spomenutim vertikalama, opom cilindrinom povrinom ABC te slobodnom povrinom tekuine ili njezinim virtualnim produetkom. Ukoliko je tijelo tlaka realno tekue tijelo, tj., ukoliko tekuina moi stranu ope cilindrine povrine okrenutu tijelu tlaka r [crtei 20a.) i 20b.), crte 23, tijelo tlaka AC'NA] tada je komponenta PZ r usmjerena je vertikalno r dolje, tj., ima smjer sile tee G na masu tijela tlaka, projekcija komponente PZ na os Y je algebarski negativna. Ukoliko je tijelo tlaka virtualno tijelo koje nije ispunjeno tekuinom, tj., ukoliko tekuina ne moi stranu ope cilindrine povrine okrenutu tijelu tlaka [crtei 18.), 20c.), crte 23, tijelo tlaka NBCN], tj., ukoliko, tekuina ne moi stranu cilindrine r povrine koja je okrenuta tijelu tlaka (crte 24), komponenta PZ usmjerena je vertikalno u vis, tj., u pozitivnom smjeru osi Y ; njezina projekcija na os Y je algebarski pozitivna. Centar tlaka u sluaju opih cilindrinih stijenki obino se odreuje grafiki. U tu svrhu (crte 25) na pravcu udaljenom za treinu visine tijela tlaka, od donjeg r vrha tijela tlaka, nanosi se horizontalna komponenta PY ukupne tlane sile, dok65

se na vertikalnom pravcu, koji prolazi centrom mase (teitem) T tijela tlaka, r nanosi vertikalna komponenta PZ . Obje se komponente potom translacijom dovode u poloaj u kojem im poeci lee u istoj toki na cilindrinoj stjenci. r r r Toka O u kojoj rezultanta P = PY + PZ presijeca cilindrinu stjenku je traeni centar tlaka.

Crte 25

66

Rijeeni primjeri i zadaci za samostalni rad

Crte 1

Primjer 1: Izraunajte: a.) ukupnu silu kojom voda tlai valjkastu, cilindrinu, branu jedinine duine; b.) kut to ga pravac nosilac ukupne tlane sile vode zatvara sa horizontalom; c.) odredite poloaj O hvatita ukupne tlane sile - sve u sljedeim sluajevima: a.) H1 = D, H2 = 0, b.) H1 = D/2, H2 = 0, c.) H1 = D, H2 = D/2.

a.) Iznos PY horizontalne skalarne komponente ukupne sile P tlaka vode na

r

branu jednak je sili kojom voda tlai povrinu vertikalnu ravninu. Dakle7 ,

S = H1 . 1 projekcije brane na

H1 D2 P = H1 1 = Ya 2 2 ,

(1)

7

Indeks a podsjea da se radi o sluaju a.)!

67

gdje je specifina teina vode.

Izraunavanja vertikalne komponente PZa rezultantne sile P provesti emo u dva koraka: odvojeno emo traiti vertikalne komponente sile tlaka na etvrtcilindrine plohe 1 i 2 prikazane na crteu 2.

r

Crte 2 Na crteu 2a.) vidimo da tekuina moi onu stranu gornje etvrtcilindrine povrine brane koja je okrenuta ka tijelu tlaka tako da je, u skladu s reenim u r PZ 1 , iji je iznos PZ 1 jednak teini tijela tlaka Rezimeu, ukupna tlana sila (rafirana povrina) iznad cilindrine povrine, usmjerena vertikalno dolje, tj., njezina projekcija na os Z je algebarski negativna,

D2 D2 1 D2 PZ 1 = = 1 , 4 4 4 4 4

(11)

to se tie donje polucilindrine povrine brane, nju tekuina ne moi s one r strane koja je okrenuta tijelu tlaka, tako da je vertikalna tlana sila PZ 2

68

usmjerena je vertikalno prema gore, njezina projekcija na os Z je algebarski pozitivna,

D2 D2 1 D2 PZ 2 = = + 1 + , 4 4 4 4 4

(12)

dok joj je iznos jednak teini zamiljenog tijela tlaka prikazanog rafiranom povrinom na crteu 2 b.).

r r Hvatita vertikalnih komponenti PZ 1 i PZ 2 su u teitima odgovarajuih tijela tlaka.Prema (11) i (12), algebarska vrijednost projekcije PZa 8 ukupne vertikalne r tlane sile PZa je,

D2 D2 D 2 PZa = PZ 1 + PZ 2 = . (13) 1 = 1 + 4 4 4 4 8Sada smo u stanju napisati iznos rezultantne tlane sile na polucilindrinu povrinu brane, D 2 D 2 P1 = P + P = 2 + 8 2 Ya 2 Za 2

,

2

P1 =

D 22

1+

216

.

(14)

Kut 1 to ga pravac nosilac rezultantne sile tlaka R zatvara sa horizontalom iznosi,

r

8

Indeks a podsjea da se raun provodi u uvjetima koji su u tekstu problema dati pod a.)

69

Crte 3

tg1 =

PZa PYa

D 2 8 = = 4 D2 2

1 = tg 1

4

38.150 .

(15)

Hvatite rezultantne sile tlaka nalazi se na presjecitu O izvodnice polucilindrine plohe i pravca (pravac A-A na crteu 3), koji paralelno sa bazama valjka prolazi kroz os valjka, zatvarajui kut 1 sa horizontalom.b.) Analognim zakljuivanjem i raunskim postupkom kao u sluaju a.) dolazi se do rezultata

D D D2 PY 2 = 1 = , 4 2 8

2

1 D2 PZ 2 = , 4 470

P2 = PY 2 + P2

2

z2

D 2 D 2 = + 8 8 4

2

2

2 = arctg

RZ 1 = arctg 162 = arctg D 2 RY1 8

D 2

57.52 0.

c.) O rezultantnoj tlanoj sili vode s lijeve strane cilindrine stjenke sve nam je poznato iz sluaja a.), dok je djelovanje sile tlaka vode s desne strane brane raspravljena u sluaju b.). Prema tome, u ovom sluaju je,

PZ , 3 = PZ ,a .) + PZ ,b.) =

D 28

+

D 216

=

3 D 2 , 16

PY , 3 = PY ,a .) + PY ,b .) =

D 22

D 2

3 = D 2 18 8

Predznakom "-" u Ry,b.) uvaena je injenica da je projekcija sile P2 na os Y algebarski negativna, tj. komponenta sile P2 u smjeru osi Y suprotno je orijentirana od komponente sile P u smjeru osi Y. 1

r

r

r

P3 = PY ,c .) + P2

2

Z ,c .)

2 3 2 3 2 = D + D , 8 8 4 2 2

3 gD 2 R 3 = tg 1 z = arctg 16 = arctg 57.52 0 3 Ry 2 gD 2 8

71

Primjer 2: Vodovod ima presjek prikazan na crteu 1. Odozdo, du ruba A, vodovod je poduprt zglobnicom, dok se du ruba B na razmacima od L = 400 mm nalazi elina uad. Odredite silu napetosti u uadi kada je kanal pun vode.

Iznos vodoravne komponente ukupne sile tlaka na omoenu etvrtcilindrinu povrinu polumjera R i duine L je.R R2L . Py = ghC S = g RL = g 2 2

Kao to to pokazuje crte 1., tekuina moi onu stranu cilindrine povrine koja je okrenuta tijelu tlaka tako da je ukupna tlana sila usmjerena vertikalno dolje. Iznos ukupne tlane sile jednak je teini tijela tlaka, tj. teini vode sadrane u volumenu skiciranom na crteu 1., PZ = g R 2 L, 4 sile na

Crte 1

tako da je iznos ukupne tlane etvrtcilindrinu povrinu jednak,

gR 2 L 2 P= P +P = 1+ . 2 42 y 2 z

Crte ... horizontalom iznosi,

Kut to ga pravac nosilac sile P zatvara sa

r

= arctg

Pz = arctg 57.520. Py 2

72

Iznos Pel sila napetosti elinih uadi izraunati emo polazei od injenice da je u stanju mehanike r ravnotee moment ukupne sile tlaka P s obzirom na zglobnicu (pravac koji na crteu 27 prolazi tokom A okomito na ravninu crtea) jednak momentu elastine r sile Pel generirane u elinom uetu, s obzirom na isti pravac, Crte 27.Pel R = P d ,

d = R cos ,

Dakle, Pel = P cos =

gR 2 L cos 2

1+

24

,

9, 81 ms 2 10 3 kgm 3 1 m 2 0, 4 m cos 2 Pel = 1+ = 1, 962 kN 2 4

Primjer: Izraunajte iznos ukupne tlane sile tekuine samo na konstrukciju u obliku etvrtine plata krunog cilindra radijusa R, koji je na vertikalnu stjenku spremnika privren vijcima kako to je to prikazano na crteu 1. Gustoa vode je . Pod kojim kutom s obzirom na horizontalu djeluje ukupna sila tlaka? Duina cilindrine povrine du izvodnice je L.

r Iznos PY horizontalne komponente PY i ukupne sile tlaka r r r P = PY i + PZ j jednak je,R Py = g H R L . 2

Crte 1.

73

Crte 2.

Kao to to pokazuje crte 2., tekuina u spremniku ne moi cilindrinu povrinu okrenutu tijelu tlaka tako da je iznos Pz vertikalno dolje usmjerene tlane sile jednak teini tijela tlaka istaknutog rafurom na crteu 2, , R2 Pz = g H R L L 4 R = gRL H . 4

Iznos P rezultantne sile tlaka je,R R P = P + P = gRL H + H , 2 4 2 y 2 z 2 2

= tg 1

Pz = tg 1 Py

H

R 4 . R H 2

Primjer: Na crteu valjak promjera d = 8 m zatvara pravokutni otvor u spremniku duljine d = 3 m. Odredite iznos sile kojom voda pritie valjak prema dnu spremnika ako je spremnik napunjen vodom do visine h = 9 m.

74

Crte 1 Zahvaljujui simetriji horizontalne komponente sila tlaka na omoenu povrinu valjka uzajamno se uravnoteuju. U vertikalnom smjeru na valjak djeluju tri tijela tlaka. Jedno od njih prikazano je na crteu 2. Ovdje tekuina moi onu stranu cilindrine povrine koja je r okrenuta tijelu tlaka tako da je tlana sila P1 usmjerena vertikalno dolje, njezina projekcije na os Z algebarski je negativna i jednaka,

Crte 2

( 4m) 2 P1 = g 3m (7 m 8m ) . 2

(1)

75

Crte 3 Preostala dva tijela tlaka prikazana su na crteu 3. Voda spremnika ne moi r povrine okrenute tijelu tlaka tako da je tlana sila P2 usmjerena vertikalno gore, njezina projekcije na os Z algebarski je pozitivna i jednaka, (4m) 2 3.46m 2m P2 = 3m 2 g 7 m 0.54m + . 12 2

(2)

Zbrajanjem (1) i (2) slijedi algebarska vrijednost projekcije P ukupne tlane r r r sile P = P1 + P2 na valjak na os Z, (4m) 2 (4m) 2 3.46m 2m P1 + P2 = 103 kgm3 9.81ms 2 3m 7m 8m 27m 0.54m + 2 12 2

642kN .

Kao to vidimo, algebarska vrijednost projekcije ukupne tlane sile na os Z je negativna; ukupna tlana sila na valjak djeluje okomito dolje.

76

Primjer

Crte 1 Polusfera polumjera R = 6 m privrena je na dno spremnika kako je to prikazano na crteu 1. U spremniku se nalazi tekuina relativne gustoe r = 0.87 . Razina z = L = 12 m. Odredite ukupnu hidrostatiku silu koja djeluje na sferu. U kojem smjeru sila djeluje? Atmosferski tlak iznosi p0 = 1 bar.r r 2R3 F = k g R 2 L 3

Primjer

Crte 1Izraunajte iznos P ukupne tlane sile P vode na dio AB cilindrine povrine irine b = 2 m. Kut jednak je = 77.50, dok je H = 3.8 m. Takoer,77

r

odredite kut to ga pravac djelovanja ukupne tlane sile P zatvara s horizontalom.

r

S crtea je vidljivo da je polumjer R cilindrine plohe jednak,

R=

H . sin

(1)

Projekcija PY ukupne tlane sile na os Y je algebarski pozitivna i jednaka,H H2 P = bH = b , Y 2 2 (3.8m) 2 P = 2m 103 kgm3 9.81ms 1 1.42 103 N . Y 2

(2)

U ovom sluaju tijelo tlaka je fiktivno vodeno tijelo kojem je presjek povrina S jednaka razlici povrina krunog isjeka ABC0A i povrine trokuta CBC0C, a visina jednaka b . Iz ovoga slijedi da je projekcija PZ ukupne tlane r sile na os Z takoer algebarski pozitivna (komponenta ukupne tlane sile PZ ima smjer pozitivne osi Z) i jednaka je, R 2 (0 ) H 2 PZ = V = bS = b , 0 2tg 360 (0 ) 1 PZ = bS = bH 2 , 0 2 0 360 sin ( ) 2tg 77.50 1 PZ = 103 kgm3 9.81ms 1 2m (3.8m) 2 0 2 0 2tg 77.50 360 sin 77.5 PZ 2.833 105 N 0.599 1.7 105 N .

Iznos ukupne tlane sile na cilindrinu povrinu jednak je,2 P = P 2 + PZ = Y

[(1.42)

2

+ (1.7) 2 10 N 2 = 2.215 1010 N 2 = 2.215 105 N ,

]

10

dok kut to ga pravac djelovanja ukupne tlane sile P zatvara s horizontalom iznosi,

r

78

= arctg

PZ 1.7 = arctg 37.50 . P 2.215 Y

Primjeri za samostalni rad1.) Na crteu 30 prikazane su dvije izvedbe prozora za promatranje unutranjosti akvarija. Prozor ima oblik polucilindra dugakog 3 m, dok su ostale dimenzije dane na crteu. Odredite iznos i smjer rezultantne sile kojom voda djeluje na prozor u svakoj od izvedbi. Odredite poloaj centra tlaka.

Crte 30.2.) etvrtcilindrina ploha duine 600 mm slui kao vrata brane (crtei 30 i 31). Odredite minimalnu horizontalnu silu kojom na vrata mora djelovati hidrauliki cilindar da bi dolo do njihovih otvaranja kada je dubina vode a.) 0.9 m; b.) d = 2,7 m.

Crte 30.

79

Crte 31

3.) Odredite horizontalnu i vertikalnu komponentu sile kojom voda djeluje na jedan metar dune oplate A-E prema prikazane na crteu.

80

DINAMIKA FLUIDAViskoznost tekuina i zakoni unutarnjeg trenja 99

Profesor John Mainstone snimljen 1990. godine tijekom padanja osme kapi. U foajeu Fizikog odjela Sveuilita Queensland u Brisbaneu, Australija, prvi profesor fizike na ovom sveuilitu Thomas Parnell, postavio je, u nastavne svrhe, 1927. godine eksperiment koji zorno demonstrira veliki iznos viskoznosti bitumena, jednog derivata katrana. Zagrijani bitumen nalit je u stakleni lijevak iji je vrh prethodno bio zataljen. Tri su godine bile potrebne kako bi se bitumen slegao u lijevku. 1930. godine, vrh lijevka je odrezan i bitumen je preputen slobodnom istjecanju, a zapoeto je i s biljeenjem datuma kapanja pojedinih kapi koji su dati u tablici. Bitumen u lijevku nije odravan u nekim posebnim uvjetima, tako da je njegovo istjecanje variralo s normalnim promjena temperature s godinjim dobima. Podaci iz tablice omoguili su izraunati da je viskoznost bitumena oko 100 milijuna puta vea od viskoznosti vode. Profesor John Mainstone i profesor Thomas Parnell (posthumno) zajedno su, 2005. godine, za ovaj eksperiment nagraeni IgNobelovom nagradom za fiziku [Ig-Nobelove nagrade (engleski: ignoble nizak, besmislen, podao) nagrade su koje se, njih deset za razna podruja, svakog listopada od 1991. godine dodjeljuju za dostignua koja u prvi mah nasmijavaju ljude, a zatim ih potiu na razmiljanje. Ovu nagradu ustanovio je humoristiki znanstvenu asopis Annals of Improbable Research (AIR), a laureatima nagradu na sveanosti u kazalitu Sanders sveuilita Harvard predaje grupa u kojoj su i stvarni dobitnici Nobelove nagrade]. Eksperiment profesora Parnella biljei i Guinnessova knjiga rekorda kao eksperiment s najduim trajanjem.Godina 1930. 1938. (prosinac) 1947. (veljaa) 1954. (travanj) 1962. (svibanj) 1970. (kolovoz) 1979. (travanj) 1988. (srpanj) 2000. (28. studenoga) Dogaaj Odrezan je vrh staklenog lijevka Pala prva kap Pala druga kap Pala trea kap Pala etvrta kap Pala peta kap Pala esta kap Pala sedma kap Pala osma kap

81

Zbog relativno slabih Van der Waalsovih10 elektrostatikih dipol-dipolnih sila koje djeluju izmeu molekula, realne tekuine odlikuju se velikom pokretljivou pojedinih molekula, a time i pojedinih elemenata fluida), jednih u odnosu na druge. Iako veoma malog iznosa, ove sile, koje se pojavljuju samo pri gibanju tekuine, dovode do pojave posminog naprezanja pri pokuaju posmika jednog sloja tekuine u odnosu na drugi. Ovo svojstvo realnih tekuina naziva se viskoznou. Viskoznost karakterizira stupanj itkosti tekuine. Pored lako pokretljivih tekuina (voda, alkoholi,) postoje i veoma viskozne tekuine (glicerin, strojna ulja, katran,). Jo davne 1687. godine, u svojim Philosphiae Naturalis Principia Mathematica, Newton je pretpostavio (da bi njegova pretpostavka kasnije bila potvrena brojnim eksperimentima11), da se iznos posminog naprezanja (trenje!) na jedinicu povrine = F [ - iznos naprezanja kojim sporiji sloj S r djeluje na bri (sila trenja F djeluje na bri sloj paralelno s promatranim slojevima u suprotnom smjeru od gibanja r slojeva) i, u skladu s III. Newtonovim r zakonom, bri sloj na sporiji (sila trenja F ' = F djeluje na sporiji sloj u smjeru

10

Johannes Diderik van der Waals (1837-1923), nizozemski fiziar, nobelovac (1910.)

11

Charles-Augustin

de

Coulomb

(1737

1806)

prvidv = . dy

je

eksperimentalno potvrdio ispravnost Newtonove formule

82

gibanja slojeva)], koje se pojavljuje izmeu dva susjedna sloja tekuine, neovisno o tlaku pod kojim se fluid nalazi, kvantitativno moe opisati izrazom,

Crte 1.

=

dv , dy

( ) =

N = Pa m2

(1)

dv - gradijent brzine u smjeru okomitom na pravac toka fluida, a dy - koeficijent proporcionalnosti ili dinamika viskoznost ovisna o vrsti tekuine i fizikim uvjetima u kojima se ona nalazi. Tekuine koje zadovoljavaju zakonitost (1) nazivaju se newtonovskim tekuinama.

u kojem su

Iz izraza (1) slijedi

=

dy , dv

(2)

da je dinamika viskoznost jednaka iznosu posminog napona kada je gradijent brzine jednak 1. Mjerna jedinica koeficijenta dinamike viskoznosti je,

[ ] = [ ] dy = Nm 2 m s = dv

m

kg = Pa s . ms

U starijoj literaturi moe se naii na poaz kao mjernu jedinicu koeficijenta , g pri emu je 1 poaz = 1 . Koliko poaza iznosi jedna Pas? cms

83

N kgm kg g 10 3 g 1 Pas = 2 s = 2 2 s = = 2 =10 =10 poaz. ms 10 cm s cm3 s m ms 1 21 poaz

Iz praktinih razloga u hidraulici se esto koristi i veliina zvana kinematiki koeficijent viskoznosti, odnosno kinematika viskoznost 12,

=

.

(3)

Mjerna jedinica koeficijenta kinematike viskoznosti je, kgm Pas s 2 m 2 s m 2 [ ] = [ ] = kg = kg = . [ ] s 3 3 m m Viskoznost tekuina ovisi o temperaturi i o tlaku. Kao to pokazuje eksperiment, kinematika viskoznosti tekuina smanjuje se s povienjem temperature. Kod tekuina ova ovisnost razliita je za razliite tekuine. Primjerice, za vodu,

(T ) =

m2 1,78 10 6 . 1 + 0, 0337 T + 0, 000221 T 2 s

(4)

S porastom tlaka viskoznost tekuine obino se poveava. Iznimka je voda kod koje se viskoznost smanjuje do temperature od 32 C. Openito, pri tlakovima koji se susreu u praksi (do 200 at), ova se ovisnost viskoznosti vode o tlaku moe zanemariti. Viskoznost plinova smanjuje se s povienjem tlaka, no obratno, ona se poveava s povienjem temperature. Sve u tehnici vanije tekuine podvrgavaju se Newtonovom zakonu (2). Anomalnima nazivaju se tekuine ija se viskoznost ne moe opisati jednadbom (2). U ovu grupu tekuina prije svega spadaju suspenzije raznih12

Naziv, kinematika viskoznost, nema neki posebni fizikalni smisao. Ovaj naziv predloen m2 m je iz prostog razloga to je jedinica od slina jedinici iznosa brzine . s s

84

vrsta i koloidne otopine koje se sastoje od tekue i krute faze, kao na primjer glinena otopina (koja se koristi pri buenju nafte), a sastoji se od vode i sitnih estica gline promjera od 0,1 do 2000 m). Meutim, anomalnim tekuinama neemo se baviti.

Mjerenje koeficijenta kinematike viskoznosti Koeficijent kinematike viskoznosti odreuje se eksperimentalno. Jedan od naina je primjena Ostwaldovog 13 kapilarnog viskozimetra.

Crte 86

Fotografija 87

Znajui koeficijent kinematike viskoznosti za standardnu tekuinu (primjerice, vodu), te mjerei vrijeme t protjecanja volumena V standardne tekuine i vremena t' protjecanja istog volumena ispitivane tekuine sadranog izmeu ravnina a-a i b-b u lijevom kraku viskozimetra (crte 86, fotografija 87), koeficijent kinematike viskoznosti ' ispitivane tekuine dan je izrazom, ' = .t' t

13

Wilhelm Ostwald (1853 1932), ruski kemiar i filozof.

85

Englerov stupanj viskoznosti

U Velikoj Britaniji uobiajeno se u hidraulici kao mjera kinematike viskoznosti 14 koristi tako zvani Englerov stupanj E viskoznosti tekuine, koji se odreuje istoimenim Englerovim viskozimetrom. Englerov viskozimetar je cilindrina posuda volumena V = 200 cm3 sa otvorom za otjecanje ispitivane tekuine. Englerov stupanj viskoznosti odreuje se prema izrazu,

Crte 88 E = t,

Fotografija 89

gdje su t i ( = 20 s) vremena istjecanja jednake koliine ispitivane tekuine (200 cm3) i iste destilirane vode kod iste temperature (obino kod 20 oC , a ponekad i kod 50 oC ili 100 oC). Kinematika viskoznost i viskoznost izraena u Englerovim stupnjevima E povezane su Ubbelohdeovom empirijskom relacijom,

14

Carl Oswald Viktor Engler (1842-1925), istaknuti njemaki kemiar, profesor sveuilita u Halleu. Viskozimetar osmislio u svezi s istraivanjem nafte

86

6 2 1 = 7,31 E 10 m s . E

6,31

U praksi koristi se i viskozimetri drugih tipova. Primjerice, torzijski (rotacijski) viskozometri, iji se princip mjerenja temelji na mjerenju kuta zakretanja i kutne brzine cilindra objeenog na elinoj ici i potopljenog u rotirajuu posudu sa tekuinom koja se ispituje (fotografija...) Iznosi koeficijenta dinamike viskoznosti za neke plinove i tekuine dani su u Tablici ...

Fotografija.. . Viskozimetar s koaksijalnim cilindrima Fotografija ... Torzijski viskozimetar za mjerenje iznosa do 105 Pas

Tablica ... Plinovizrak duik kisik vodik helij ugljini dioksid ugljini monoksid

Koeficijent dinamike viskoznost (Pas)18.3 . 10-6 17.8 . 10-6 20.2 . 10-6 8.8 . 10-6 19 . 10-6 14.8 . 10-6 17.2 . 10-6 87

sumporni dioksid ksenon amonijak

12.54 . 10-6 21.2 . 10-6 9.8 . 10-6

Tekuinevoda kava krv (kod 37 0C) kloroform etanol metanol benzen etilen glikol glicerin aceton duina kiselina tekui duik (77 0C) iva maslinovo ulje med tekue staklo tekua okolada keap maslac od kikirikija 0.894 . 10-3 (20 0C) 10 . 10-3 4 -15 . 10-3 0.58 . 10-3 1.2 . 10-3 0.6 . 10-3 0.6 . 10-3 17.9 . 10-3 1.45 . 10-3 0.31. 10-3 24.2 . 10-3 0.158. 10-3 1.58 . 10-3 80 -100 . 10-3 2 .103 do 104 104 do 106 4.5.104 do 1.3.105 5.104 do 105 2.5.105

88

Kinematike karakteristike gibanja fluidaKinematika fluida dio je mehanike fluida posveen prouavanju oblika i kinematikih karakteristika gibanja fluida, no bez osvrtanja na uzroke gibanja, tj., sile. Pritom se fluid shvaa kao skup elemenata, djelia, koji prostor ispunjavaju bez prekida i praznina. Element fluida je fizikalno beskonano mali djeli fluida, tj., dio fluida koji je mali u usporedbi s volumenom fluida koji se promatra (kap u moru). Istovremeno volumen elementa fluida velik je u usporedbi s volumenom to ga zapremaju atom, odnosno molekula fluida. Element, djeli, fluida, sadri dovoljno veliki broj molekula tako da se fluid u granicama volumena elementa moe smatrati kontinuumom.

Shvaanje realnog fluida kao kontinuuma, je model koji se podjednako primjenjuje na mirni fluid kao i na fluid koji se giba.U naim daljnjim raspravama uvest emo neke temeljne koncepte kinematike fluida. Tako e, primjerice, biti e rijei i o Lagrangeovoj metodi opisivanja gibanja fluida, iako emo se, dominantno, baviti Eulerovim, opeprihvaenim pristupom istom problemu. Upoznati emo jedan oblik strujanja kod kojeg je mogua vizualizacija strujanja fluida, uvesti pojmove hidraulikih elemenata fluida, izvesti emo Bernoullijevu jednadbu, koja, osim to predstavlja zakon ouvanja specifine energije fluida, matematikim rjenikom reeno, opisuje i raspodjelu tlaka u raznim tokama strujnog polja u ovisnosti o koordinatama toaka i iznosa vektora brzine u tim tokama, i tako dalje.

89

O matematikom opisivanju strujanja fluidaS gledita kinematike, gibanje fluida, kao i svakog drugog tijela, jednoznano je odreeno ukoliko je poznato gibanje svakog njegovog elementa, djelia, tj., ukoliko su poloaj i vektor brzine svakog elementa poznate neprekinute funkcije vremena. Potpunu sliku gibanja fluida mogue je ostvariti na dva naina: - Lagrangeovom metodom, - Eulerovom metodom.

Lagrangeova metoda 15Kao to je ve reeno, za razliku od vrstih tijela estice fluida (atomi molekule) lako se pokreu jedna u odnosu na drugu, tako da ak i u sluaju translacijskog gibanja neke mase fluida njegove estice kao i elementi, djelii, imaju razliite putanje, vektore brzine i ubrzanja u istom vremenskom trenutku t. Sutina Lagrangeove metode je u praenju gibanja svakog elementa fluida na temelju jednadbe putanje,

r r r = r ( x0 , y 0 , z 0 , t ) ,

(1)

za svaku estice fluida koji se giba, struji. Jednadbe oblika (1) dobivaju se integriranjem, u poznate poetne uvjete, jednadbe gibanja, tj., II. Newtonovog r r zakona FRN = ma 16 primijenjenog na svaki element fluida. Jednadba (1) putanje pojedine estice fluida, tj., radijus vektor njezinog poloaja s obzirom na neki referentni sustav, napisana detaljnije, ima oblik,

15

pppppo narodnosti talijan

Joseph-Louis, comte de Lagrange (1736 1813), jedan od najznaajnijih matamatiara i fiziara 18. stoljea. Po narodnosti talijan, roen u Torinu kao Giuseppe Lodovico Lagrangia.16

Vidi: Sveuilite u Zagrebu, Geotehniki fakultet, M. Kranjec: Predavanja iz kolegija Fizika I. Osnove dinamike materijalne toke, Dodatak 1. 90

r r r r = x ( x0 , y 0 , z 0 , t )i + y ( x0 , y 0 , z 0 , t ) j + z ( x0 , y 0 , z 0 , t ) k ,

(2)

pri emu su x0 , y0 , z 0 koordinate promatrane estice fluida u trenutku t = 0 . Kao funkcije istih argumenata mogu se izraziti gustoa estice i tlak p koji u njoj vlada,

= ( x0 , y 0 , z 0 , t )

,

p = p ( x0 , y 0 , z 0 , t ) .

(3)

Oito, Lagrangeova metoda, budui da se promatranu masu fluida ini ogroman broj elemenata fluida (ogroman broj jednadbi gibanja), skopana je s velikim matematikim tekoama, tako da je njezina primjena u praksi vrlo ograniena.

Eulerova metoda 17Iako daje rjeenje samo u najjednostavnijim sluajevima gibanja, strujanja, fluida, ipak, ova je metoda najrairenija. U osnovi ove metode lei koncept strujnog polja ili vektorskog polja trenutnih mjesnih brzina. Eulerova metoda naputa ideju praenja gibanja pojedine estice, njezine prolosti i budunosti... Zamislimo proizvoljni dio prostora kojim struji fluid. Takav prostor zvati emo strujnim poljem ili vektorskim poljem trenutnih mjesnih brzina. Usredotoimo se na jednu toku strujnog polja s koordinatama x, y, z . Promatranom tokom

17

Leonhard Euler (Basel, 15. travnja 1707. - Petrograd, 18. rujna 1783.), vicarski matematiar, fiziar i astronom. Svoju znanstvenu djelatnost razvio je u Berlinu i Petrogradu, gdje je drao katedru fizike i matematike. Njegova aktivnost nije stala ni kada je oslijepio jer je tada diktirao svoje radove. Napisao je oko 900 radova. Posebno su vana njegova istraivanja u hidrodinamici, gdje je razvio teoriju turbina. Prouavao je irenje zvuka i svjetlosti.(Wikipedia)

91

prostora neprekidno, jedna za drugom, prolaze novi i novi elementi fluida od kojih svaki naiavi u promatranu toku strujnog polja ima razliitu brzinu r r v ( x, y, z , t ) 18. Stoga kaemo da vektor v ( x, y, z , t ) brzine estice u promatranoj toki strujnog polja vibrira. U razliitim tokama strujnog polja u istom trenutku t vektori brzina meusobno su razliiti. Polje trenutnih mjesnih brzina neprekinuto se mijenja tijekom vremena, to znai da se s tijekom vremena mijenjaju projekcije vx , vy , vz brzine r r r r v ( x, y, z , t ) = v x ( x, y, z , t )i + v y ( x, y, z , t ) j + v z ( x, y, z , t )k u svakoj toki strujnog polja, tj., vrijedi,

r v (t )r v ( t + dt )

A

Crte 1 v x = v x ( x, y , z , t ) , v y = v y ( x, y , z , t ) , v z = v z ( x, y , z , t ) , Neka isto vrijedi i za gustou i tlak u svim tokama strujnog polja ,

(4)

= ( x , y , z , t ) , p = p ( x, y , z , t ) .

(5)

Jednadbe (5) matematiki opisuju skalarna polja koja su superponirana na vektorsko polje trenutnih mjesnih brzina. Funkcije (4) i proteklo vrijeme t ponekad se zovu Eulerovim varijablama. Znajui ih, mogue je odrediti vektor brzine u bilo kojoj toki vektorskog strujnog polja. Strujanje koje je opisano vremenski ovisnim Eulerovim varijablama naziva se nestacionarno strujanje. Dakle, u sluaju nestacionarnog strujanja, ispunjeni su uvjeti,r v ( x, y, z , t ) p( x, y, z , t ) ( x, y, z , t ) 0 , 0 , 0. t t t18

(6)

Imajte na umu da je brzina vektorska fizikalna veliina, a ne skalarna! 92

Ukoliko se, meutim, vektor trenutne brzine v ( x, y, z, ) u svakoj toki strujnog polja ne mijenja s protjecanjem vremena t, tj. ukoliko vektor ne vibrira ve ovisi samo o koordinatama x, y, z promatrane toke strujnog polja te ukoliko isto vrijedi za tlak p i gustou fluida, tj., ako vrijedi,r r v = v ( x, y , z ) , p = p ( x, y , z ) ,

r

= ( x, y , z ) ,

(7) (8)

r v ( x, y, z , t ) p( x, y, z , t ) ( x, y, z , t ) )=0 , =0 , = 0, t t t

u tom sluaju se za strujno polje i samo strujanje fluida kae da je stacionarno. Na crteu 2 dan je grafiki prikaz stacionarnog strujnog polja v =(v0

r

v0 r r ( xi + yj ) l

je neka konstantna brzina). Tako zvana toka stagnacije, tj., toka strujnog polja u kojoj je brzina strujanja fluida jednaka nuli, u ovom sluaju je ishodite koordinatnog sustava.

Crte 2 Poavi od opisanih svojstava stacionarnog strujnog polja najprije emo teorijski pokazati da stacionarno strujanje fluida karakterizira visoki stupanj ureenosti gibanja njegovih elemenata koje je mogue vizualizirati eksplicitnom geometrijskom strukturom. Zatim emo vidjeti da teorijsku vizualizaciju potvruje eksperiment.

93

StrujniceStacionarno strujanje fluida karakterizira visoki stupanj ureenosti gibanja njegovih elemenata. Kao to eksperiment pokazuje, u stacionarnom reimu strujanja mogua je jednostavna i jasna vizualizacija gibanja elemenata fluida. Uoe li se u stacionarnom reimu strujanja vremenski nepromjenljivi r vektori brzine elemenata fluida v ( x, y, z , ) u, uzmimo, tri proizvoljno odabrane toke A B i C strujnog polja, tada je kroz uoene toke mogue povui takvu liniju da pravci nosioci vektora brzine u tokama A, B i C budu na nju tangencijalni. Prizovemo li u sjeanje znanja iz kinematike prema kojima je vektor trenutne brzine materijalne toke u svakoj toki putanje na nju tangencijalan, tada lako uviamo da dobivena krivulja predstavlja putanju velikog broja elemenata fluida koje se u promatranom trenutku nalaze u raznim tokama putanje. Ta se putanja, krivulja, naziva strujnica. U stacionarnom reimu strujanju, oblik strujnica u strujnom polju ne mijenja se tijekom vremena i strujnice se nikada ne sijeku. Sjeenje strujnica znailo bi da naavi se u toki presijecanja, element fluida istovremeno ima dvije brzine, to je besmisleno. Vizualizaciju gibanja estica fluida pomou strujnica u stacionarnom reimu strujanja potvruje i eksperiment (fotografije 1 i 2).

94

B C

A

Crte 1

Crte 2

U sluaju nestacionarnog strujanja o strujnici je mogue govoriti samo u promatranom trenutku. Oblik strujnica mijenja se od trenutka do trenutka.

Fotografije 1 i 2 prikazuju tokove obojene tekuine, tj., strujnice oko valjka i tijela iji je presjek slian poprenom presjeku avionskog krila.

95

Elementarna strujna cijev ESC (elementarno strujno vlakno)U stacionarnom strujnom polju, u mislima, izdvojiti emo elementarnu povrinu dS1 omeenu zatvorenom linijom l (crte 3). Zatvorenom linijom l i povrinom dS1 prolazi beskonano mnotvo (snop) strujnica koji emo zvati elementarna strujna cijev (ESC) ili elementarno strujno vlakno. Strujnice koje prolaze zatvorenom linijom l ine opu cilindrinu povrinu koja predstavlja omota ESC. U stacionarnom reimu strujanja ESC ima sljedea svojstva:

Crte 3- oblik ESC stalan je tijekom vremena budui da se tijekom vremena ne mijenja ni oblik strujnica; - estice fluida jedne ESC ne prelaze u susjednu ESC, budui da se omota svake ESC ponaa kao nepropusna vrsta stjenka, r - zbog beskonano malog poprenog presjeka dS ESC, brzina strujanja v r konstantni je vektor u svim tokama presjeka dS . Brzina v okomita je na promatrani presjek i openito razliitog iznosa od presjeka do presjeka jedne ESC kao i za razliite presjeke susjednih ESC.

Strujni tok kao skup ESCSnop ESC naziva se tokom tekuine. Neka je povrina poprenog presjeka strujnog toka jednaka S i neka je omeena zatvorenom linijom L. Povrina S presjeka ukupnog strujnog toka jednaka je zbroju povrina presjeka dS pojedinih ESC (crte 4). U stvarnosti, omota ukupnog

96

Crte 4 strujnog toka je, na primjer, realna vrsta cijev. Dakle, u hidraulici se ukupni tokovi konanih dimenzija promatraju kao snop ESC, odnosno strujnih vlakana.

Hidrauliki elementi tokaivi ili omoeni presjek tokaivim ili omoenim presjekom toka naziva se povrina presjeka toka okomita na vektore brzine u svakoj ESC. Openito, ivi ili omoeni presjek je zakrivljena povrina kao to je to ploha AB u sluaju gibanja tekuine u konusnoj cijevi (difuzoru) u kojoj je tok karakteriziran divergentnim strujnicama (crte 5).

Crte 5

97

Ukoliko divergencija strujnica nije znatna ili je nema, ivi ili omoeni presjek identian je s ortogonalnim presjekom toka (crte 5, teenje u kanalu).

Omoeni obod (omoeni perimetar)Omoenim obodom ili omoenim perimetrom O naziva se duljina onog dijela oboda ili perimetra u kojem promatrani tok tangira vrste stjenke koje ga ograniavaju. U sluaju teenja pod tlakom u cijevi (teenje bez slobodne povrine, vidi poglavlje), omoeni obod podudara se s geometrijskim obodom i jednak je O=2r (crte 14, lijevo). Meutim, kod teenja sa slobodnom povrinom (vidi poglavlje), omoeni i geometrijski obod se razlikuju. Tako u sluaju teenja u kanalu, na primjer, trapeznog presjeka, omoeni obod jednak O=AD+AB+BC (crte 14, desno i crte 15), tj. duina dijela opsega presjeka toka u kojem je ovaj u dodiru sa atmosferskim zrakom, ne ulazi u duljinu omoenog oboda O.

Crte 14

Crte 15 Dakle, openito uzevi, veliine omoenog i geometrijskog oboda, perimetra razlikuju se.

98

Hidrauliki polumjer, radijusVeoma esto u hidraulici se rabi pojam hidraulikog polumjera, radijusa koji je definiran kao omjer povrine ivog presjeka S toka i omoenog oboda O ,R= S O

U sluaju strujnog toka pravokutnog presjeka (crte 16) hidrauliki radijus R jednak je, bh , R= b + 2h

Crte 16dok je u sluaju teenja pod tlakom u cilindrinoj cijevi on jednak,

d 2 d R= = . 4d 4

ProtokVolumnidqV

i maseni dq protok fluida kroz ESCm

Pretpostavimo da je strujanje fluida stacionarno. Budui da je svaki popreni presjek dS ESC fizikalno beskonano mali, to varijacije iznosa vektora brzine r strujanja v po povrini svakog proizvoljno uzetog presjeka ESC - nema. Uz ove uvjete,

99

Crte 6. kao to nam je ve poznato iz kolegija ope fizike, volumni protok dqV fluida na svakom presjeku ESC dan je izrazom (crte 6), dqV = dV dSdl dS v dt = = dt dt dtdqV = v dS ,

Mjerna jedinica od dqV je,

( dqV ) =

( dV ) = m3 . ( dt ) s

to se tie masenog protoka dqm fluida, u stacionarnom reimu strujanja, na svakom presjeku ESC on je dan izrazom, dqm = Mjerna jedinica dqV je, dm dV = = dqV = vdS . dt dt

( dqm ) = ( ) ( dqV ) = kgm 3 m3 s 1 = kgs 1 .

100

Jednadba kontinuiteta za ESCUoimo presjeke 1 i 2 neke elementarne strujne cijevi. Volumni protoci fluida dqV 1 i dqV 2 na uoenim presjecima, su, dqV 1 = v1 dS1 , dqV 2 = v2 dS 2 , (1) (2)

Pretpostavimo li da je fluid nestlaiv (u stvarnosti, zanemarivo stlaiv), kao i da Crte 7 je u njemu nemogue formiranje prostora neispunjenog tekuinom, tj. pretpostavljamo da je ispunjen uvjet kontinuiranosti ili neprekidnosti gibanja fluida, te pretpostavivi stacionarni teim teenja fluida, tj. nepromjenjivost oblika elementarne strujne cijevi tijekom vremena, kao i odsutnost ponora i izvora fluida unutar elementarne strujne, dolazimo do zakljuka (vidi: M. Kranjec, Predavanja iz Fizike II, Hidrodinamika) da su volumni protoci dqV 1 i dqV 2 na dva uoena presjeka, jednaki

dqV 1 = dqV 2 .Analogno zakljuivanje moe se primijeniti na presjek 2 i zatim na bilo koje daljnje presjeke 3, 4, 5, ... ,

v2 dS 2 = v3 dS3 = v4 dS 4 = v5 dS 5 = ... .Dakle, u stacionarnom reimu strujanja du ESC openito vrijedi, vdS = const.. Jednadba (3) naziva se jednadbom kontinuiteta za ESC. (3)

101

Volumni QV i maseni protok Qm ukupnog toka fluida. Jednadba kontinuiteta za cijeli tokIz predodbe o vlaknastom gibanju fluida, tj. iz shvaanja ukupnog toka fluida kao snopa elementarnih strujnih vlakana, ESC, slijedi da je volumni protok QV ukupnog toka fluida jednak zbroju elementarnih volumnih protoka dqV kroz sve ESC koje ine promatrani tok, tj.,

Crte 8r r QV = dqV = v dS = v( ESC )dS ,S S S

r r v ds

(1) (2)

r r Qm = dqm = v dS = v( ESC )dS ,S S S

gdje su dqV i dqm volumni i maseni protoci, openito, razliiti od jedne do druge ESC. Poznato je da se iznos brzine strujanja toka fluida mijenja od svoje najmanje vrijednosti, na primjer, na dnu kanala, do maksimalne vrijednosti u njegovoj sredini povrini. Poznato je, takoer da se iznos brzine tekuine koja struji kroz cijev poveava od stjenke cijevi prema njezinoj osi. Dakle, iznos brzine strujanja fluida mijenja se od jednog do drugog strujnog vlakna u istom strujnom toku (crte 8). Prema tome, izraunavanje integrala (1) i (2) pretpostavlja poznavanje vektora brzine toka estica u svakoj toki poprenog presjeka toka ili krae raspodjele brzina po (ivom) presjeku cijelog toka.

102

Intuitivnim proirenjem jednadbe kontinuiteta za ESC [jednadba(3)] iz prethodnog poglavlja na cijeli strujni tok, koristei pojam srednje brzine19, vrijedi,

vs S = const. ,tj.,v s1 S 2 = , v s 2 S1

omjer iznosa srednjih brzina na presjecima 1 i 2 strujnog toka obrnuto je proporcionalan omjeru povrina S1 i S 2 poprenih presjeka 1 i 2.

Primjer Kao to je prikazano na crteu, mlaz prolazi tokom A prostora u polju sile tee. Odredite volumni protok Qv . Tok smatrajte neviskoznim i nestlaivim.

x = v x t = vt cos 30 0 = 30m . y = v yt gt 2 gt 2 = vt sin 30 0 = 15m . 2 2 t= 30m v sin 30 0 v cos 30 0 30m v cos 30 0

(1) (2) (3)

Iz (1),

.

Iz (2) i (3),

g 30 2 m 2 = 15m . 2 2 v cos 2 30 0

(4)

19

Vidi sljedee poglavlje! 103

sin 30 0 cos 300

30m g 30 m, = 2 2 0 2 v cos 30 2

odakle je srednja brzina toka na ustima cijevi manjeg presjeka jednaka,v=

2 tg 30 0 0.5 cos 30 0

(

30m g

)

=

30m 9.81ms 2 46,87 ms 1 . (5) 3 3 2 0 .5 3 2

Iz (5) za volumni protok Qv slijedi,Qv = Sv =(0.07 m) 2 d 2 v = 46.87ms 1 0.18 m 3 s 1 . 4 4

Volumni protok tekuine izraunat na osnovi srednje brzine vs mogue je vizualizirati volumenom cilindra povrine baze S i visine vs (crte 50.).

vs

Crte 9. Meutim, izrauna li se protok na osnovi stvarnih brzina, ija je raspodjela po presjeku dana nekom funkcionalnom ovisnosti, na primjer parabolinom funkcijom kao u prethodnom primjeru, tada iznos protoka predstavlja volumen rotacijskog paraboloida sa istom povrinom baze S (crte 50.). Naravno, pritom su volumeni cilindra i rotacijskog paraboloida jednaki.

Srednja brzina tokaU velikoj veini sluajeva teenja zakon raspodjele v ( S ) iznosa mjesne brzine po presjeku S toka [crte 10, sluaj paraboline (paraboloidne) ovisnosti iznosa mjesne brzine] nije poznat. Stoga se najee pribjegava pretpostavci da je su r iznosi, na promatrani presjek okomitih brzina v ( S ) elemenata fluida, u svakoj toki promatranog presjeka S toka jednaki, konstantni (vektori brzine jednakog iznosa na crteu 10). Govori se o uniformnoj raspodjeli iznosa mjesnih brzina.r

104

Ovaj zamiljeni, fiktivni uniformni, stalni, iznos brzine kojim bi se trebale gibati elementi fluida u svakoj toki promatranog ivog presjeka S toka da bi protok QV , m bio jednak protoku sa stvarnom raspodjelom (ovisnou) v( S ) iznosa brzine teenja prema kojoj se iznos brzine mijenja od toke do toke presjeka S , naziva se iznosom srednje brzine toka vs (crte 10).

Crte 10 Dakle, vrijedi jednakost,

QV = v( ESC )dS = vs S ,S

(1)

odakle je iznos vs srednje brzine jednak,

Q vs = = S

v( ESC )dSS

S

.

(2)

U sluaju kada je poznat maseni protok Qm , iznos srednje brzine jednak je, vs =Primjer 1 Plin laminarno struji kroz cijev krunog presjeka i dijametra D = 1 m pri emu je profil iznosa brzine strujanja po presjeku parabolian20, tj., mijenja se prema izrazu,20

Qm . S

(3)

Zapravo ima oblik rotacijskog paraboloida.

105

r 2 v(r ) = 10 1 ms 1 , R u kojem je r radijalna udaljenost promatrane toke poprenog presjeka od osi cijevi u metrima, a R polumjer cijevi, takoer u metrima. Izraunajte volumni QV i maseni Qm protok plina uz pretpostavku da je kod malih brzina stacionarnog strujanja je gustoa plina konstantna. Numeriki raun provedite za zrak ( = 1,293 kgm-3) i kada R = 0.5m.

r Vektor brzine strujanja v fluida u svakoj toki krunog poprenog presjeka

Crte 11. Fizikalno beskonano mala povrina dS je povrina poprenog presjeka r jedne od velikog broja ESC. Vektor v (r ) mjesne brzine okomit je na dS i uperen je u oi promatraa.

Crte 12.

S okomit je na pripadnu povrinu dS promatrane elementarne strujne cijevi koja s ostalim ESC ini ukupni tok. Prema tome moemo pisati,r r dqV = v dS = vdS = v(r ) rd dr ,

r 2 10 QV = v(r ) rdr d = 10 1 rdr d = 10 rdr d 2 rdr d , R S S S R

106

QV = 10 rdr d 0 0

R

2

10 R 2 20 R 4 rdr d = 20 2 = 5(ms 1 ) R 2 . 2 2 R 4 R 0 0

R

2

Provede li se numeriki raun za dani sluaj, za volumni protok QV dobiva se,QV = 5R 2 = 5ms 1 0.25m = 3.927 m3s 1 ,

a za maseni Qm , Qm = Qv = 1, 293 kgm 3 3, 927 m3 s 1 = 5, 08 kgs 1 Srednja brzina v s teenja fluida na svakom presjeku cijevi jednaka je,

vs =

S

vdSS

=

3,927 m3s 1

(0,5) 2

= 5,00 ms 1 .

Primjer 2 Cijev, zatvorena na jednom kraju, ima boni prorez irine a = 0,5 cm paralelan sa osi cijevi (crte 52.). Promjer cijevi je D = 200 mm, a iznos brzine r v strujanja nestlaivog fluida u njoj je v = 5 ms-1.

Crte 13.Iznos brzine fluida pri naputanju cijevi kroz prorez du proreza varira prema zakonitosti v(x) = 4 + x, pri emu je x udaljenost promatrano uskog presjeka od poetka proreza (crte 52). Odredite duinu d proreza za sluaj stacionarnog reima teenja.

107

Budui da je teenje fluida stacionarno, u skladu s jednadbom kontinuiteta, volumni protok QV 1 na poprenom presjeku 1 cijevi jednak je volumnom protoku QV 2 kroz boni prorez u stjenci cijevi, tj. QV1 = QV2 Ukupni protok QV 2 fluida kroz prorez povrine a x d jednak je integralu elementarnih protoka dqV 2 kroz prizmatine ESC ije su povrine presjeka jednake dx dS i pri emu je iznos brzine strujanja fluida u svakoj ESC razliit i dat sa v(x) = 4 + xdS } dqV2 = dS v ( x ) = a dx ( x + 4 ) ,

(1)

d2 QV2 = dqV = a ( x + 4 ) dx = a + 4d = 0, 025d 2 + 0, 02d , 2 0d

Volumni protok QV 1 na presjeku 1 cijevi je,D2 QV1 = v = 0, 157 m 3 s 1 . 4

(2)

Izjednaavanjem protoka QV 1 i QV 2 slijedi, 0, 025d 2 + 0, 02d 0, 157 = 0 , 25d 2 + 20d 157 = 0 , d1,2 = 20 400 + 100 157 50

Budui da je d iznos (pozitivan broj!) duljine proreza, uzimamo rjeenje s +, tako da je d1 = d = 2,14 m.

108

Podjela oblika (reima) strujanja fluidaPodjela oblika strujanja na vrste ovisi o tome s obzirom na koju se opservablu (varijablu) podjela provodi.

1.) S obzirom na varijablu vremena tbiti:

strujanje fluida moe

- nestacionarno i - stacionarno. Nestacionarno strujanjeNestacionarno gibanje (nestacionarni reim strujanja) fluida najopenitiji je oblik gibanja. Za nestacionarno gibanje karakteristino je da su vektori r trenutnih mjesnih brzina v , tlak p i gustoa u strujnom polju (prostoru kojim fluid tee) u odreenom trenutku t razliiti od toke do toke polja i u svakoj toki polja mijenjaju se, vibriraju, tijekom vremena. Pri nestacionarnom gibanju fluida, mjesto elementa fluida koji je u nekoj toki strujnog polja u r nekom trenutku t imao brzinu v1 (tlak p1 i gus