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MOQ-14
PROJETO e ANÁLISE de
EXPERIMENTOS
Professor: Rodrigo A. Scarpel
www.mec.ita.br/~rodrigo
Programa do curso:
Semana Conteúdo
1 Apresentação da disciplina. Princípios de modelos lineares de regressão. Correlação amostral.
2 Regressão linear simples: hipóteses do modelo, estimação de parâmetros, propriedades e inferência dos estimadores.
3 Análise de variância (ANOVA) em regressão. Intervalos de confiança e de previsão. Análise dos resíduos.
4 Diagnósticos e reparação de problemas em regressão. Transformações.
5 Regressão linear forma matricial: estimação dos parâmetros, inferência dos estimadores, intervalos de confiança.
6 Prova
7Princípios de regressão linear múltipla. Diagnósticos e reparação dos problemas em regressão linear múltipla.
Multicolinearidade e seus efeitos.
8 Seleção de variáveis. Modelos polinomiais. Modelos com variáveis qualitativas.
9Introdução ao projeto de experimentos: estratégia de experimentação, princípios básicos e aplicações típicas.
Experimentos inteiramente casualizados. Análise de variância.
10 Experimentos fatoriais com dois ou mais fatores.
11 Experimentos fatoriais 2k. Pontos centrais.
12 Experimentos em blocos casualizados. Blocagem em experimentos 2k.
13 Prova
14 Experimentos fatoriais fracionados.
15 Experimentos com fatores quantitativos. Métodos de superfície de resposta.
16 Otimização de produtos e processos. Projetos robustos.
Professor: Rodrigo A. Scarpel
www.mec.ita.br/~rodrigo
EXPERIMENTOS EM
BLOCOS CASUALIZADOS
Introdução:
No caso em que as unidades experimentais não são homogêneas devido,
por exemplo, a fatores não controláveis, há a necessidade de utilizar
blocos.
Def: Blocos são conjuntos razoavelmente homogêneos de unidades
experimentais. Sua formação tem por objetivo reduzir o erro
experimental visto que unidades em um bloco tem mais características
em comum que as unidades que estão em blocos diferentes.
Projeto e análise de experimentos: atribuição casualizada por blocos, ou
seja, os blocos serão tratados, na fase de projeto, como um novo fator,
mas na fase de análise serão utilizados apenas para reduzir o erro
experimental.
Procedimento de atribuição e coleta dos dados:
O mais objetivo dos projetos de blocos casualizados é aquele no qual
atribuímos aleatoriamente cada tratamento (nível do fator) uma vez para
cada bloco, em cada replicação.
Desta forma, em cada replicação (ex: 1 fator, três níveis/tratam., 4 blocos):
Dados obtidos - caso geral (1 fator, a níveis, b blocos e 1 replicação):
t2
t1
t3
t1
t3
t2
t3
t2
t1
t2
t1
t3
Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Bloco 4
k yk1yk2 ykn yk. yk.
Método para análise dos dados:
Hipóteses a serem testadas:
H0: 1. = 2. = 3. ... = k.
HA: Os i.´s não são todos iguais
Modelo para o projeto completamente casualizado em blocos (n=1
replicações):
Neste caso, SQT = SQTr + SQB + SQE (n=1 replicações)
Na prática, estima-se SQT, SQTr e SQB e obtém-se SQE (= SQT – SQTr
– SQB).
bj
kiy ijijij
,...,1
,...,1
j
j
i
i
ijjiijbj
kiy
00
,...,1
,...,1
ecom
k
i
b
j
jiij
b
j
j
k
i
i
k
i
b
j
ij yyyyyykyybyy1 1
2
....
1
2
...
1
2
...
1 1
2
..
Análise de variância:
Para o planejamento completamente casualizado em blocos: (n=1
replicações), a análise de variância será:
Rejeita-se Ho se
Fonte de
variação
Soma dos
quadrados
Graus de
liberdade Quadrado médio f calculado
Tratamentos SQTr k-1 1
2
kSQTr
sTr 2
2
E
Tr
s
sf
Blocos SQB b-1 1
2
bSQB
sB
Resíduo SQE (k-1)(b-1) 112
bkSQE
sE
Total SQT kb - 1
11,1,2
2
bkkaE
Tr fs
sf
Planejamento e análise dos Experimentos:
CASO: Experimento inteiramente casualizado em blocos (1 fator, k = 4
níveis, b = 6 blocos)
Conjectura, objetivo, variável resposta e fator controlável: Quatro
máquinas diferentes estão sendo consideradas para a produção de certo
produto. Para comparar as máquinas 6 operadores foram selecionados.
Como variável resposta será registrada a quantidade de tempo (em
segundos) necessária para fabricar o produto.
Projeto do experimento: As máquinas foram atribuídas, em ordem
aleatória para cada operador. Portanto, obtém-se um experimento
inteiramente casualizado em blocos em que o fator controlável é a
máquina utilizada (k=4 níveis M1, M2, M3 e M4) e os blocos são os
operadores (b=6 O1, O2, O3, O4, O5, O6).
Planejamento e análise dos Experimentos:
CASO: Experimento inteiramente casualizado em blocos (1 fator, k = 4
níveis, b = 6 blocos)
Coleta dos dados:
Dados coletados:
M2
M1
M3
M4
O1
M1
M3
M2
M4
O2
M3
M4
M2
M1
O3
M4
M1
M3
M2
O4
M4
M2
M1
M3
O5
M2
M3
M4
M1
O6
Operador
Máquina 1 2 3 4 5 6 Total
1 42,5 39,3 39,6 39,9 42,9 43,6 247,8
2 39,8 40,1 40,5 42,3 42,5 43,1 248,3
3 40,2 40,5 41,3 43,4 44,9 45,1 255,4
4 41,3 42,2 43,5 44,2 45,9 42,3 259,4
Total 163,8 162,1 164,9 169,8 176,2 174,1 1010,9
CASO: Experimento inteiramente casualizado em blocos (1 fator, k = 4
níveis, b = 6 blocos)
Hipóteses: H0: M1 = M2 = M3 = M4 = M5
HA: Os ´s não são todos iguais
Análises: - Análise de variância (ANOVA)
Forma correta:
Planejamento e análise dos Experimentos:
Portanto, rejeita-se H0 (=5%)
Assim, há diferença significativa entre as máquinas
Fonte de
variação
Soma dos
quadrados
Graus de
liberdade
Quadrado
médio f calculado Valor -P
Máquinas 15,93 3 5,31 3,34 0,048
Operadores 42,09 5 8,42
Resíduo 23,84 (3)*(5)=15 1,59
Total 81,86 4*6 – 1 = 23
CASO: Experimento inteiramente casualizado em blocos (1 fator, k = 4
níveis, b = 6 blocos)
Análises: análise de regressão
Forma errada:
Planejamento e análise dos Experimentos:
Estatística de regressão
R múltiplo 0,44106
R-Quadrado 0,19454
R-quadrado ajustado 0,07372
Erro padrão 1,81570
Observações 24
ANOVA
gl SQ MQ F F de significação
Regressão 3 15,92458 5,30819 1,61013 0,21855
Resíduo 20 65,93500 3,29675
Total 23 81,85958
Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P 95% inferiores 95% superiores
Interseção 42,1208 0,3706 113,6474 0,0000 41,3477 42,8939
M1 -0,8208 0,6419 -1,2787 0,2157 -2,1599 0,5182
M2 -0,7375 0,6419 -1,1489 0,2642 -2,0766 0,6016
M3 0,4458 0,6419 0,6945 0,4954 -0,8932 1,7849
Por essa análise, não há diferença significativa entre as máquinas
CASO: Experimento inteiramente casualizado em blocos (1 fator, k = 4
níveis, b = 6 blocos)
Análises: análise de regressão
Planejamento e análise dos Experimentos:
Estatística de regressão
R múltiplo 0,8418
R-Quadrado 0,7087
R-quadrado ajustado 0,5533
Erro padrão 1,2609
Observações 24
ANOVA
gl SQ MQ F F de significação
Regressão 8 58,0117 7,2515 4,5611 0,0056
Resíduo 15 23,8479 1,5899
Total 23 81,8596
Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P 95% inferiores 95% superiores
Interseção 42,1208 0,2574 163,6526 0,0000 41,5722 42,6694
M1 -0,8208 0,4458 -1,8413 0,0854 -1,7710 0,1294
M2 -0,7375 0,4458 -1,6544 0,1188 -1,6877 0,2127
M3 0,4458 0,4458 1,0001 0,3331 -0,5044 1,3960
O1 -1,1708 0,5755 -2,0344 0,0600 -2,3975 0,0559
O2 -1,5958 0,5755 -2,7729 0,0142 -2,8225 -0,3691
O3 -0,8958 0,5755 -1,5566 0,1404 -2,1225 0,3309
O4 0,3292 0,5755 0,5719 0,5758 -0,8975 1,5559
O5 1,9292 0,5755 3,3521 0,0044 0,7025 3,1559
M4 1,1125
O6 1,4042
40 41 42 43 44 45-2
-10
12
Fitted values
Resid
uals
Residuals vs Fitted
1
24
13
-2 -1 0 1 2
-2-1
01
2
Theoretical Quantiles
Sta
ndard
ized r
esid
uals
Normal Q-Q
1
24
13
40 41 42 43 44 45
0.0
0.5
1.0
1.5
Fitted values
Sta
ndard
ized r
esid
uals
Scale-Location1 24
13
-2-1
01
2
Factor Level Combinations
Sta
ndard
ized r
esid
uals
1 2 3 4as.factor(maquinas) :
Constant Leverage: Residuals vs Factor Levels
1
24
13
CASO: Experimento inteiramente casualizado em blocos (1 fator, k = 4
níveis, b = 6 blocos)
Análise dos resíduos:
Planejamento e análise dos Experimentos:
Planejamento e análise dos Experimentos:
CASO: Experimento inteiramente casualizado em blocos (1 fator, k = 4
níveis, b = 6 blocos)
Conclusão e recomendações: Há diferença significativa entre as máquinas,
ao nível de significância de 5%. Pela comparação entre as médias, verifica-
se que a máquina 1 é a de melhor desempenho e a 4 de pior desempenho.
Essa diferença só ficou significativa quando eliminou-se o efeito dos
operadores, ou seja, quando houve redução da variância dos resíduos e,
portanto, aumento da sensibilidade do teste para detectar as diferenças
entre as médias.
Professor: Rodrigo A. Scarpel
www.mec.ita.br/~rodrigo
BLOCAGEM em
EXPERIMENTOS 2k
Introdução:
Normalmente, é impossível coletar todas as observações, em de
experimentos fatoriais 2k, sob condições homogêneas. Portanto, há a
necessidade de blocagem (criação de blocos homogêneos).
Consequências da blocagem:
Opção A: Aumento do número de observações: 2knp (k fatores, n
replicações e p blocos)
Opção B: Manter o número de observações e aplicar a técnica da
superposição
Exemplo - opção A:
Fatores: tempo de reação (A) e temperatura (B)
Resposta: y = rendimento do processo (%)
Blocos: lotes de matérias-primas (p=3)
Experimento: 221 em 3 blocos (12 observações)
Blocos
A B 1 2 3 Total
- - 28 25 27 80
+ - 36 32 32 100
- + 18 19 23 60
+ + 31 30 29 90
Total 113 106 111 330
Blocos
A B 1 2 3 Total
- - 28 25 27 80
+ - 36 32 32 100
- + 18 19 23 60
+ + 31 30 29 90
Total 113 106 111 330
Opção A – Aumento do número de observações:
Modelo (k fatores, p blocos):
Exemplo:
Desta forma, verifica-se que o efeito dos blocos (matérias-primas diferentes)
não é significativo (=5%)
1
11
0
p
l
l
ji
jiij
k
j
jj xxxy
A B AB Bloco 1 Bloco 2 Resposta
-1 -1 1 1 0 28
1 -1 -1 1 0 36
-1 1 -1 1 0 18
1 1 1 1 0 31
-1 -1 1 0 1 25
1 -1 -1 0 1 32
-1 1 -1 0 1 19
1 1 1 0 1 30
-1 -1 1 -1 -1 27
1 -1 -1 -1 -1 32
-1 1 -1 -1 -1 23
1 1 1 -1 -1 29
Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P
Interseção 27,5 0,587 46,825 6,4E-09
A 4,17 0,587 7,095 0,00039
B -2,5 0,587 -4,257 0,00534
AB 0,83 0,587 1,419 0,20571
Bloco 1 0,75 0,831 0,903 0,40132
Bloco 2 -1,00 0,831 -1,204 0,27392
Fonte de
variação
Soma dos
quadrados
Graus de
liberdade
Quadrado
médiof calculado Valor -P
Blocos 6,50 2 3,25 0,785 0,4978
A 208,33 1 208,33 50,335 0,00039
B 75,00 1 75,00 18,12 0,00534
AB 8,33 1 8,33 2,013 0,2057
Resíduo 24,83 6 4,139
Total 323,00 11
Fonte de
variação
Soma dos
quadrados
Graus de
liberdade
Quadrado
médiof calculado Valor -P
Blocos 6,50 2 3,25 0,785 0,4978
A 208,33 1 208,33 50,335 0,00039
B 75,00 1 75,00 18,12 0,00534
AB 8,33 1 8,33 2,013 0,2057
Resíduo 24,83 6 4,139
Total 323,00 11
Opção B – Aplicar a técnica da superposição:
Como o tamanho do bloco, normalmente, é menor do que o número de
combinações (2k), a técnica da superposição é útil para a realização do
experimento 2k em 2p blocos (p < k). Porém, a superposição faz com que
alguns efeitos de interação fiquem confundidos com os efeitos dos blocos.
Exemplo:
Fatores: tipo de rastreador (A), altitude do alvo (B)
e distância do alvo (C)
Resposta: y = desvio (pés), em relação ao alvo, no
disparo de um míssel.
Blocos: como dois atiradores diferentes realizam
o teste (p=2)
Experimento: 23 em 2 blocos (com o efeito de
interação ABC superposto).
A
C
-1(1) a
acc
b ab
bc
B
abc
-1
-1
+1
+1
+1
A
C
-1(1) a
acc
b ab
bc
B
abc
-1
-1
+1
+1
+1
Tratamento A B C AB AC BC ABC
(1) – – – + + + –
a + – – – – + +
b – + – – + – +
ab + + – + – – –
c – – + + + – +
ac + – + – + – –
bc – + + – – + –
abc + + + + + + +
(1)= 3
ab= 7
ac= 6
bc= 8
Bloco 1
a= 7
b= 5
c= 6
abc= 6
Bloco 2
Opção B – Superposição de mais blocos:
É possível superpor o planejamento 2k em quatro blocos de 2k-2 observações
cada. Neste caso, 2 efeitos de interação devem ser escolhidos para superpor
os blocos. Exemplo (k=4):
Como ABCD = (AC) (BD) :
(1)
ac
bd
abcd
Bloco 1
AC + BD +
Tratamento A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD BCD ABCD
( 1 ) -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1
A 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1
B -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1
C -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1
D -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1
AB 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1
AC 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1
AD 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1
BC -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1
BD -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1
CD -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1
ABC 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1
ABD 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1
ACD 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1
BCD -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 -1
ABCD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a
c
abd
bcd
b
abc
d
acd
ab
bc
ad
cd
Bloco 2
AC – BD +
Bloco 3
AC + BD –
Bloco 4
AC – BD –
Opção B – Generalização da superposição:
Exemplo:
k = 5 fatores
p = 8 blocos
Efeitos escolhidos: ABE,
BCE e CDE
ABE + BCE + CDE +
ABE – BCE + CDE +
ABE + BCE – CDE +
ABE – BCE – CDE +
ABE + BCE + CDE –
ABE – BCE + CDE –
ABE + BCE – CDE –
ABE – BCE – CDE –
Para casa:
• Laboratório 9 (site: www.mec.ita.br/~rodrigo/)
• Leitura: Walpole et al. – cap. 15 (15.6 a 15.7): Experim. fatoriais 2k e frações
Montgomery e Runger – cap.14 (14.8): Desing of experiments ...