mỘt sỐ chuyÊn ĐỀ hÌnh hỌc phẲng bỒi dƯỠng hỌc sinh giỎi thpt - ĐỖ thanh...

8/9/2019 MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT - ĐỖ THANH SƠN

1/214

ĐỖ THANH SỢN

c) i n f ' h i f ' / i f .r h^ ( ^ *,---- _,|r ) -J —r -vr'

\ s

1 1 U r ;.J .

I f \ r r ■! ‘ I A . . \!P fA . I V . t " ' r ° . 1 V I

, r

Ị....... 1, l \ ' f )' n . , ... f r. •» t , V ,. rt \, ff t ' ®

/TRUNG HỌC PHỔ THÔNG "

L ^ á NriÀ XUẤT BẲN GIÁO DỤC VIỆT NAM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU

B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú


2/214



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




3/214


4/214

Công ty cổ phẩn Dịch vụ xuất bản Giáo dục Hà Nội - Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam giữ quyền cô ng bố tác phẩm

24-2010/CXB/354-2242/GD Mã số: C3T06h0- ITS



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




5/214

L ò i I ió t đ ầ u

Toán học là một môn học quan trọng trong chươnạ trình phổ thông. Việc giảng

dạy và học tập môn Toán trong trường phổ thông khổng nhữne nhằm trang bị cho học sinh những kiến thức cụ thể đế áp dụng tronẹ cuộc sống cũnạ như

trong các môn học khác mà điểu quan trọng hơn là cung cáp, rèn luyện cho học

sinh các kĩ năng, phương pháp tư duv của Toán học. điều mà học sinh cần thiết

trong cả cuộc đời sau này.

Bộ sách "Một số chuyên đề bồi dưỡng học sình giỏi THPT" gổm các chuyên

đề tự chọiSBỚặc sắc theo chương trình dành cho chuyên loan cúa Bộ Giáo dục

ban hành. Bộ sách là kết tinh từ kinh nghiệm giảng dạv và bồi dưởn« học sinh

của các thầy cô giáo ở khới Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội. khối Chuyên Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc aia Hà Nội. trường THPT Chuyên Bấc

Giang nhằm cung cấp thèm cho các em học sinh một sổ kiến ĩhức bố sung,

giúp các em hiểu sâu hơn sách giáo khoa và chuấn bị cho các kì Ihi tốt nghiệp

THPT, thi tuyển sinh vào đại học và thi học sinh giỏi các cấp. Bộ sách gồm

năm cuốn :

Một số chuyên dể Hình học phẳiĩíỊ bổi dưỡng học sinh iỊỉỏi THPT;

Một sô' chuyền đề Đại số bồi dưỡng hục sinh iýỏi THPT; Một số chuyên đề Toán rời rạc bổ i dưỡỉìỊị học sinh giỏi THPT;

Một số chuyên đê Giải ríclĩ bổi lìưõĩT-; học sinh qiỏi THPT ;

Một sơ chuvén đề Hình hực không gian bồi dưãnạ hục sinh giỏi THPT

Cuốn sách M ột số chuyên đế Hình học phẳng bồi dưỡng học sinh giỏ i TH PT

gồm hai mươi chuyên đề liên quan đến hình học phẳng và ứng dụng của hình

học vào đại số. Trong đó có mười bốn chuyên để dành cho hình học phang và

sáu chuyên đề dành cho ứng dụng của hình học vào đại số. Các chuyên đề về hình học đề cập đến một số đôi tượna dặc biệt như điếm Migen, điểm Brôcar,

đường đẳng giác, đường đối trung, đường thẳng ơ-le. đường tròn ơ-le. tam

giác Pê-đan, tứ giác nội tiếp có tích các cập cạnh đối bằng nhau, tứgiác nội

tiếp có hai đường chéo vuông sóc và tứ Ìác toàn phần. Mỗi chuyên đềgốm

nhiều bài toán từ dễ đến khó. Nội duna của các bài toán tron mỗi chuyên đề

3



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




6/214

xoay quanh các tính chất hình học thuộc chuyên để đó. Chẳng hạn các bài toá

thuộc chuyên đề “Các đường đẳng giác trong một góc” được phân ra một s

dạng sau : dạng toán thứ nhất, tập trung vào các tính chất hình học cúa cá

đường này ; dạng toán thứ hai, tìm điều kiện cần và đù để hai đường ỉà đẳn

giác ; dạng toán thứ ba, sử dụng các đường đẳng giác đế giải một sô' bài toá

hình học khác. Lời giải của mỗi bài toán trong mỗi chuyên đề ngắn gọn. dhiểu. Các kiến thức được dùng để giải các bài toán này chỉ nằm trong chươn

trình sách giáo khoa Trung học cơ sở và Trung học phổ thông. Các chuyên đ

ứng dụng của hình học vào đại sô' chủ yếu đề cập đến một sổ dạng toán cực tr

cúa biểu thức dại số ; biện luận nghiệm của phương trình vô tí chứa càn bậc ha

và hệ phương trình hai ẩn. Phương pháp giái các bài toán trong các chuyên đ

này là phương pháp đồ thị. Một số kết quả trong hình học đựơc dùng để xâ

"dựng phương pháp trên đều có chứng minh chặt chẽ.

Mục đích của cuốn sách là giúp học sinh hệ thống các kiến thức hình học. nhậdạng được từng bài toán và đưa ra. phương pháp giải các bài toán đó. Giáo viên

dựa vào mỗi chuyên đề hoặc liên kết các chuyên đề để xâv dựng bài tập phụ

vụ cho công việc giảng dạy.

Cuốn sách này có ỉhể được dùng cho nhiều đối tượng học sinh. Đối với họ

sinh có nhu cầu thi vào đại học, các bạn chỉ cần học các chuyên để ứng dụn

của hình học vào đại số. Đối với học sinh có nhu cầu thi học sinh gịỏi cấ

Trung học phổ thông cẩn đọc hết hai mươi chuyên đề. Đối với học sinh Trun

học cơ sở có nhu cầu nâng cao trình độ về hình học hoặc thi học sinh giói cátrường, tính (thành phố) hoặc vào các trường chuyên chi cắn đọc mười ha

chuyên đề về hình học.

Tác giả rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp cho cuốn sách để lần tá

bản sau chất lượng sách được tốt hơn. Các ý kiến của bạn đọc xin gửi về ban

Toán - Tin, Công ty cổ phần Dịch vụ Xuất bản Giáo dục Hà Nội, Nhà xuất bả

Giáo dục Việt Nam, ] 87B Giảng Võ, Hà Nội.

Xin chân thành cảm ơn.

Tác giả

Hà Nội, tháng 4 năm 2009

4



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




7/214

HUYÊN ĐỀ 1

TỨ GIÁC NỘI TIẾP CÓ TÍCH CÁC CẶP CẠNH■ » ■ĐỐI DIỆN BẰNG NHAU

Tứ qiác nội tiếp có tích các cặp cạnh đối bằng nhau là loại tứ giác được sử

dụngtyé xây dựng các bài toán hình học. Tập hợp các bài tập dưới đây là

nhữnq tính chất tương đươnẹ. Một số hài toán khác được xảy dựng từ các ' é 'tính chất đó.

BÀ! TẬP

1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Chứng minh rằng :

a) Điều kiện cần và đủ để các đường phân giác cúa BAD và BCD đi qua

một điểm trên BD là AB.CD = AD. BC.

b) Nếu các phân giác’của các góc BAD và BCD đi qua một điểm trên BD

thì các phân giác của các góc ABD và ACD đi qua một điểm trên AC.

2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp có đường chéo AC không đi qua tâm đường tròn.

Chứng minh ràng :

a) Điểu kiện cán và đủ để các tiếp tuyến với đường tròn ngoại dếp tứ giác

tại A và c cất nhau trên BD là AB.CD = AD.BC ;

b) Nếu các đường chéo của tứ giác không đi qua tâm và tiếp tuyến với đường tròn tại A và c cát nhau trên BD thì các tiếp tuyến với đường tròn

tại B và D cát nhau trẽn AC.

3. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Gọi M, N, p lần lượt ìà hình chiếu

của D trên AB, BC, CA. Chứng minh rằng PM = PN khi và chỉ khi

AB.CD = AD.BC.

5



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




8/214


9/214

10. Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Các điểm A \ B \ C’ tương ứng

là các tiếp điểm của (O) với BC, CA, AB. Giả sử BC cắt B’C’ tại p ; CA cắt

C A ’ tại Q ; AB cắt A ’B’ tại R. Chứng minh rằng ba điểm p, Q, R thẳng hàng.

11. Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn và thoả mãn điều kiện

AB CD EF_

b c ' d e ' f a "

Giả sử p là giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn tại A và D ; Q là

giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn tại B và E ; K là giao điểm của

các tiếp tuyến với đường tròn tại c và F. Chứng minh ràng các điểm

p, thảng hàng.

12. Hai đường trộn tâm o và O' cắt nhau tại các điểm A và B. Trênđường tròn(O) ta lấy điểm c sao cho c nằm trong (O’). Các đường thẳnsAC và BC

cắt (O') lần thứ hai tại các điếm p, Q. Chứng minh rằng :

a) Nếu QAÕ' = 90lithì PQ là đường kính của (O ’).

b) Nếu PQ ià một đường kính cỉia (O’) đối với mỗi điểm c bất kì trên cung

AB và nằm trong (O’) (C có thế trùng với A hoặc B) thì OAO' = 90°.

13. Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm o . Gọi p là giao điểm của các tiếp tuyến với (O) tại B và c ; M là iruna điểm cúa BC. Đường ihẳng AM

cắt đường tròn (O) lần thứ hai tại Q. Đường thẳng PQ cắt đường tròn (O)

lần thứ hai tại K. Chứng minh rằng AK // BC.

14. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và dây cung DD’ của đường

tròn vuông góc với AC tại M. Đường thẳng đi qua M và song song với BD’

cắt các đường thẳng AB và BC tứơng ứng tại các điểm p và Q. Chứng minh

rằng M là trung điểm của đoạn PQ khi và chi khi AB.CD = AD.BC.

15. Cho tam giác ABE. Giả sử đường tròn đi qua hai điểm A, B cát các cạnh

EA và EB lần lượt tại D và c . Gọi F là giao điểm của AC và BD ; M là

trung điểm của đoạn CD. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM ta lấy

điểm N khác M sao cho AN.BM = AM.BN. Chứng minh rằng N nằm trên

đường thảng EF.

7



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




10/214

16. Giả sử ABCD là một tứ giác nội tiếp. Các điểm p, Q, R lần lượt là chân cá

đường vuông góc hạ từ D xuống các đường thẳng BC, CA, AB. Chứn

minh rằng PQ = QR khi và chỉ khi các đường phân giác của các góc ABC

và ADCcắt nhau trên AC. (Đề thi thi vô địch Toán quốc t ế năm 2003).

17. A, B, c là ba điểm phân biệt theo thó tự đó nằm trên cùng một đườn

thẳng. Xét đường tròn (O) đi qua hai điểm A và c , có tâm không nằm trê

đường thẳng AC. Gọi p là giao điểm của các tiếp tuyến với (O) tại cá

điểm A và c. Đường thẳng PB cắt (O) tại các điểm Q và Q’ (Q nằm trên

đoạn PB). Phân giác của góc AQC cắt AC tại R.

a) Chứng minh rằng R !à điểm cố định, khi đường tròn (O) thay đổi. (Bà

toán được đề nghị xét chọn trong kì thi Toán quốc t ế năm 2003).

b) Gọi P’ là giao điểm các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại các điểm Q v

Q’. Chứng minh rằng P’ cố định khi (O) thay đổi.

18. Cho tứ giác ABCD nội tiếp thoả mãn điều kiện AB.CD = AD.BC. Giả s

đường tròn đi qua A, B và tiếp xúc với BC cắt đường chéo BD tại M

Chứng minh rằng MB = MD.

19. Cho tứ giác ABCD thoả mãn đổng thời các điéu kiện AB.CD = AD.BC v

BAC + ACD ^ BCA + CAD . Gọi M là trung điểm của đường chéo AC, E l

điểm trên đường thẳng BM sao cho DE II AC. Chứng minh rằnẹ nếu tứ giá

ACED là một hình thang cân thì tứ giác ABCD nội tiếp.

20. Cho tứ giác ABCD thoả mãn điều kiện AB.CD = AD.BC v

BAD + BID = 270° (I là giao điểm của đường phán giác của góc ABC v

AC). Giả sử p, Q lần iượt là hình chiếu của A nằm trên các đoạn BI và DIChứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp.

21. Cho tứ giác ABCD thoả mãn đổng thời các điều kiện AB.CD = AD.BC v

ADB + CBD ABD + BDC. Gọi M là trung điểm của BD. Chứng minh

rằng nếu BD là phân giác của góc AMC thì tứ giác ABCD nội tiếp.

8



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




11/214

Đáp số - Lời giải • Hướng dẫn

1. a) Gọi I là điểm trên BD mà phân giác góc BAD đi qua. khi đó ta có

IB AB „ CB AB „ , IB ■ CB „ — Jìr gia thiết ta suy ra Vì vậy ta có HêID AD CD AD ID CD

thức này chứng tỏ CI là phân giác của BCD. Đảo lại, nếu phân giác của

_ __ _ __ _ Jg AB IB CBhai sóc BAD và BCD cùng đi qua I thì - —= —— và Từ đó ta

ID AD ID CD

được điểu cần chứngminh. (Giả thiết tứgiác ABCD nội tiếp khôno được sử

dụng trong chứng minh).

b) SiMụng kết quả câu a).

2. a) Giả sử M là giaođiểm các tiếp tuyến với

đường tròn tại A và c y

nầm trên đường thẳng M

BD- Gọi I là điểm trên

BD mà phân giác của

góc BAD đi qua. Rõ

ràng tam giác MAI cân

tại M nên MI = MA (H. 1). Hình 1

Tam giác MCI có MI = MC nên tam giác này cân. Vì BCM=CDM nên

BCI = DCI và CI là phân giác góc BCD. Tóm lại từ M nằm trên BD suy ra

phần giác của BCD và BAD cắt nhau trên BD. Theo Bài toán I, điều này

dẫn đến AB.CD = AD.BC. Ngược lại, nếu AB.CD = AD.BC, khi đó AI và

BI là các phân giác của các góc BAD và BCD với I trên BD. Giả sứ đường

thẳng BD lẫn lượt cắt MA, MC tại M|, M và coi M nầm trên đoạn M,B.

Từ MA = M C MA = M,A - = MM, + MjC, MjC = Mjl và

M,A = M,l, ta suy raM,M = M,M + MM2. Đẳng thức này chứng tỏ ba điếm

M„ M và M trùna nhau.



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




12/214

b) Nếu tiếp tuyến với đường tròn tại A và c cắt nhau trên đường thắng BD

thì AB.CD = AD.BC. Theo câu a) và từ AB.CD = AD.BC với BD không đi

qua tâm đường tròn, ta suy ra tiếp tuyến tại B và D với đường tròn cắt

nhau. Khi đó giao điểm nằm trên AC.

3. (H.2) Coi điểm M nằm ngoài cạnh AB. khi đó p và N nằm trên các cạnh

AC và BC. Trons tứ giác nội tiếp

AMDP ta có MDP = BA C. Trong tứ

giác nội tiếp CNPD ta có

NDP = ÀCB . Sử dụng định lí hàm số

sin đối với tam giác DPM và tam giác

DPN, ta có

PM = AD.sinM DP= AD.sin BAC (AD ìà dườna kính của đường tròn) và

PN = CD.sin NDP = CD.sin BCA .

(CD là đường kính cúa đườna tròn).

^ PM AD sinBÃCXét ti SÔ -----^==- ,

PN CD sin BCA

Ar, ™ ~ _____ - AD BAC AB sin BÃC ,nếu AB.CD = AD.BC thì ta có = — = 1.PN CD sin Ỉ3CA BC sin BCA

Ngược lại. nếu PM = PN thì ta có

PM _ AD -sinBÃC AD sin BCA AB

PN ~ C D ' sin I3CA ~ ^ CD _ sin ABC ~ BC '

4. a) (H.3) Gọi E là ẹiao điểm của BM và đườns; tròn naoại tiếp tam giác

. ABC, khi đó diện tích của hai tam giác ABE và CBE bằna nhau. Điều đó

tương đương với AB.AE.sin BAE = BC.CE.sin BCE AB.AE = BC.CE (*)

(vì sinBAE = sinBCE). Nếu AC là phân giác cúa góc BMD

thì BMẦ = DMA . Mặt khác, BMA = EMC (đối đỉnh) nên EMC = DM A.

Điều này chứng tỏ D đổi xứng với E qua đường kính của đường tròn đi qua

M và ta có AD - CE, CD = AE. Thay kết quả này vào (*) ta được điều cần

chứng minh.

10



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




13/214

Ngược lại, từ AB.CD = AD.BC và

AB AD CE(*) ta suy ra ——= ——- = ------ . Điẽu

B C’ CD AE

này dẫn tói hai tam giác ADE và

CED đổng dạng (c.g.c). Ta biếtrằng hai tam giác đồng dạng cùng

nội tiếp trong một đường tròn thì Ahai tam ^iác đó bằng nhau. Vì vậyAD = CE và AE = CD. Hai tam

giác MAD và MCE bằng nhau nên

CME = r5ỉvĩẦ. Mặt khác

EMC vì đối đính. Kết hợp

các ákết quả đó ta suy ra điểu cần chứng minh.

5. Gọi E ià giao điếm cùa AM và đường tròn (O). VI diện lích các tam giác

ABE và ADE bằng nhau nên AB.BE = AD.DE (*). Nếu AC đối xứng với

AM qua phân giác góc BAD thì BC - DE => BC - DE và BE = CD. Thay kết quả này vào í*) ta được điều cẩn chứng minh. Điều naược lại dành cho bạn đọc tụ' chứna ininh.

. (H.4) Gọi M. N lần iuợt là trung

điểm các đường chéo AC và BD.Các hình chiếu M|, M, cúa M tương

ứng trên các cạnh AB và BC. Các

hình chiếu N,, Nj tương ứng của N

trên các cạnh AB và BC. Nếu M|,

M2. Nt, N nằm trên cùng một đường tròn thì BlVỊ.BNi BM.BN2.Điều này chứng tỏ haí tam aiác BM,Mj và B N N, đổnạ đạne, kéo

theo BM,M, =BNịN2.

Từ các tứ eiác nội tiếp BM|MM và BNịNN^ị. ta suy ra ABM = CBD . Đắng

thức này chứng tó BM đối xứng với BD qua phân giác góc ABC. Ill eo kết

quả Bài 5, ta suy ra điều cần chứne minh. Phần đáo dành cho bạn đọc tự

chứng minh.

Hình 4

u



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




14/214


15/214

Trường hợp tam giác NCD nằm bên

trong tam giác MAB. Cách chứng

minh tương ĩự (H.).

Trường hợp hai tam giác MAB và

NCD có phần chung là tam giác

KBD (K ỉà giao điểm của MB và

ND) (H.7). Gọi E là giao điểm của

MA và ND ; F là giao điểm của NC

và MB. Trong tam giác EMN, cát

tuyến AD đi qua một điểm trong và

một ^iểm ngoài của hai cạnh tam

giác do đó AD cắt cạnh MN tạị

điểm P;. Trosig tam giác FMN, cát tuyến BC đi qua một điểm trong và

một điểm ngoài của hai cạnh tam

giác do đó BC cắt cạnh MN tại P,.

Sử dụng định lí Mê-nê-la-uvt với

hai tam giác đó ta suy ra p, và P

trùng nhau.

Giả sử K’ là giao điểm của MA và NC khi đó hoặc các điểm A và c

nằm trên hai cạnh cúa tam giác

K’MN hoặc nằm ngoài hai cạnh đó.

Trong bất kì trường hợp nào cát

tuyến AC cũng cắt ngoài đoạn

thẳng MN. Trong tam giác KMN,

cát tuyến BD cắt ngoài hai cạnh

KM và KN nên cát tuyến đó cắt

ngoài đoạn MN. Sử dụng định lí Mê-nê-la-uýt với hai tam giác đó ta suy ra

AC và BD cắt nhau trên MN. Hạ OI vuông góc với MN và kí hiệu H„ H

lần lượt là giao điểm của OI với AB và CD. Gọi J là giao điểm của ON và

CD, ta có

13



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




16/214


17/214

11. Kí hiệu A ’, c \ E’ tương ứng là các giao điểm của AD và CE, CF và AE,

EB và AC. Các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy khi và chỉ khi

AE' CA' EC'

E’C'A'E'C'A

Trong tam giác ABE’ ta có

AE ' _ sinẤBẼ _ AE

AB ~~sinẤẼTb - 2R .sin ÃẼT b

(R là bán kính đườne tròn ngoại tiếp lục giác).

ML CE' CETrong tam giác CBE’ ta có ----- = ---------- F===~ •

CB 2RsinCE’B9

Chia cả hai đẳng thức trên cho nhau ta được

AE' CE _ AB

E ' C ' E A ~ B C '

Lập luận tương tự la có

CA' EA _ CD , J5C AC _ EF

A 'E ' AC ~ DE va C ‘A ' CE ~ FA ■

Nhân cả ba đẳng ihức nhận được với nhau ta suy ra

AE' CA' E C _ AB CD EF

W C ' A ' E ' C ' A ~ BC DE FA

Sử dụng Bài 7 ta được điểu cần chứng minh.

12. a) Kí hiệu M và N là giao điểm của o c và đường tròn tâm O’. Vì

OAO' = OBO’= 90° nên OA và OB là các tiếp tuyến với đường tròn tâm 0 \

Vì các tam giác OAC và OBC cân tại o SUV ra AC và BC !à các phân giác

của các gócMAN và MBN. Điều đó chứng tỏ p là điểm chính giữa của

cung MBN và Q là điểm chính giữa của CU MAN . Nghĩa là PQ đi qua tâm

O’ cỉia đường tròn.

15



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




18/214


19/214

17. a) Gọi s là giao điểm thứ hai của phân giác góc AQC với đường tròn (O).

„ , „ . „ ^ - AB sin APBTam giác SAC cân tại s. Trong tam giác PAC. ta có —— = ----- . Trong

BC sinBPC

tam giác SAC, ta có

AR _ sin A SR _ sin ACQ

RC sinCSR sinCAQ

Sử dụng định lí Xêva cho tam giác PAC với ba cát tuyến PQ, AQ, CQ ta

AB AR suy ra —— = ——- r .

saJBC CR

18. Ta có MAB CBD = CAD. Gọi N là giao điểm của AM với đường trònngoại tiếp tứ giác khác A, khi đó ta có CN // BD. Vì vậy

CD = BN và BC = DN. Từ giả thiết AB.CD = AD.BC, ta suy ra

AB.BN = ÀD.DN. Đẳng thức này chứng tỏ rằns diện tích hai tam giác

ABN và AND bằng nhau. Do đó M là trung điểm cùa BD.

19. (H .l l) Vì ACED là hình thang cân

nên AD = CE và CD = AE.

Từ AB.CD = AD.BC, ta suy ra AB.AE = BC.CE. Vì M là trung

điểm của AC nên diện tích của hai Q

tam giác ABE và CBE bằng nhau.

Từ đản? thức

AB.AE sin BAẼ = BC.CEsin BCE

ta suy ra sin BAE = sin BCE . Từ

sin BAE = sin BCE và BAE ^ BCE

suy ra BAE = Ĩ -B C E . Điều này chứng tỏ tứ giác ABCE nội tiếp. Từ các

tứ giác ACED và ABCE nội tiếp ta suy ra điều cần chứng minh.

2-MSCĐ...HSGTHPT 17



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




20/214


21/214

HUYÊN ĐÊ 2

TỨ GIÁC NỘI TIẾP CÓ HAI ĐƯÒNG CHÉOVUÔNG GÓC VÓI NHAU

Các bài tập trong chuyên đề này liên quan đến tứ qiác nội tiếp có hai

chéo vuông góc, các tính chất của tứ giác v à điểu kiện nội tiếp của

một tứ giác.

BÀI TẬP

1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và hai đường chéo vuông góc

với nhau tại p.

a) Chứng minh rằng nếu một đường thẳng đi qua p và trung điểm của cạnh

AB thì đường thẳng đó vuông ạóc với CD.

b) Chứng minh rằng nếu một đường thẳng đi qua p và vuông góc với AB

thì đường thằng đó đi qua trung điểm của cạnh CD.

c) Chứng minh rằng tập hợp các hình chiếu của p trên các đường thẳng

chứa bốn cạnh tứ giác nằm trên cùng một đường tròn và đường tròn này đi

qua trung điểm 4 cạnh tứ giác.

d) Chứng minh rằng ABZ+ BC + CD + DA = R (R là bán kính đường

tròn ngoại tiếp tứ giác).

2. Cho đường tròn (O ; R) và điểm p cô' định trong đường tròn cách tâm o một khoảng a. Xét tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn o có hai đường chéo

vuông góc tại p.

a) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của AC.BD :

b) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của AC + BD ;

Ểưỉ%

19



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




22/214

c) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của — ;BD

d) Tìm chu vi lớn nhất và nhỏ nhất của tứ giác ABCD.

3. Cho tứ giác ABCD nội tiếp có AC vuông góc với BD tại p (P khác tâ

của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD). Gọi P|, p,, p„ p„ lần iượt ỉà hìn

chiếu của p trên AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng nếu cặp đường thẳn

P,P và PP cắt nhau tại một điểm thì điểm đó nằm trên đường thẳng AC.

4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp có AC vuông góc với BD ĩại

(P khác tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD). Gọi I là giao điểm

các đường phân giác của các góc BAD và BCD ; J là giao điểm các đườn

phân giác của các góc ABC, ADC. Chứng minh rằng IOJ = — .

5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có AC vuông góc với BĐ tại

(P khác tâm o của đường tròn (O)). Trên đường tròn (O) ta lấy hai điểm E

F sao cho BE // DF // AC. Gọi P’ là giao điểm của EF và AC. Đường thẳn

đi qua A song song với BD cắt BE và DF tương ứng tại các điểm B’ và D

Chứng minh rằng :

a) p là trực tâm của tam giác P’B’D’ ;

b) Chân các đường cao của tam giác P’B’D’ kẻ từ B’ và D’ nằm trên cá

đường đường BF và DE.

. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại p. biết rằn

đường thẳng đi qua p và trung điểm của cạnh AB vuông góc với CD

Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp.

7. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại p. Chứnminh rằng :

a) Bốn trung điểm của bổn cạnh tứ giác nằm trên cùng một đường tròn và

đường trộn này được kí hiệu ỉà co;

b) Nếu co đi qua hình chiếu của p trên AB thì tứ giác ABCD nội tiếp.

20



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




23/214

. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại p. Kí hiệu Pj,

p2, p,, p lần lượt là hình chiếu của p trên AB, BC. CD. DA. Giả sử các

đường thẳng P,Pj và p,p cắt nhau tại một điểm trên đường thẳng AC.

Chứng minh rằng :

a) Tứ giác P jP j P jP j nội tiếp ;

b) Nếu trung điểm của cạnh AB nằm trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác

P,PP,P thì tứ giác ABCD nội tiếp.

9. Cho tứ giác ABCD nội tiếp có hai đường chéo vuông góc với nhau tại p và

BD đi qua tâm của đường tròn naoại tiếp tứ giác ABCD. Trên các cạnh AD

và Đ ^ ta lấy lấn lượt các điểm M và N sao cho BM vuông góc với AN.

Chứng minh rằng BN vuông góc với CM.

10. Cho tứ giác ẢBCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại p và thoả

I - AB.BC BP _ , ________ . 1mãn điễu kiện ——- ^ I. Chứng minh răns tứ giác ABCD nội tiếp.

AD.DC DP

11. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm o với hai đường chéo AC và

BD vuông góc với nhau tại p và thoả mãn đổng thời cắc diều kiện PA < PC,

PB < PD. Chứng minh ràng :

a) Tâm o nằm trong tam giác PCD ;

b) Diện tích tứ giác OABC bằng nửa diện tích tứ giác ABCD.

12. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). hai đường chéo vuông ơóc với

nhau tại p (khác O). Chứng minh rằna diện tích lam aiác OAB bằng diện

tích tam giác OCD và diện tích tam giác OBC bằna diện tích tam aiác OAD.

13. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). hai đường chéo vuông góc với

nhau tại p (khác O). Chứng minh ràng bốn trực tâm cùa bốn tam giác ABC,

BCD, CDA, DAB lập thành đỉnh của một tứ gíăc nội tiếp với hái đường chéo vuông góc và tứ giác này bằn tứ giác ABCD.

14. Chó tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). hai dường chéo vuông góc với

nhau tại p (khác 0). Ghứnặ minh rằng :

|b Â c - b c ầ | = ỈDÃC - i5 c ã | .

21



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




24/214

15. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai đường chéo vuông góc với

nhau tại p và AC là đường kính của đường tròn. Giả sử (O’) ỉà một đường

tròn tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại điểm M nằm trên cung BCD sao

cho từ A có thể kẻ tới đường tròn (O’) các tiếp tuyến ATị, AT (Ti, T ỉà

tiếp điểm) thoả mãn điều kiện AT! = AB. Chứng minh rằng (O’) tiếp xúc

với đường chéo BD.

16. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (0 ) , hai đường chéo cắt nhau tại p

(khác O). Chứng minh rằng hai đường chéo tứ giác vuông góc khi và chí

khi khoảng cách từ o đến AB bằng một nửa độ dài CD và khoảng cách từ

0 đến CD bằn? một nửa độ dài AB.

17. Cho đường tròn (O ; R) và một điểm p cố định cách tâm dường tròn một

khoảng a (với a < R). Một góc vuông xPy có hai cạnh Px và Py cắt đường

tròn đã cho tại hai điểm A, B. Tìm tập hợp trung điểm của dây AB và hình

chiếu vuông góc của p trên dây này khi góc vuông xPy quav xung quanh p.

18. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai đường chéo vuông góc vối

nhau tại p (khác O). Gọi p,, P2, Pj, P là các hình chiếu vuông góc của p

trên các cạnh của tứ giấc. Chứng minh rằng p là tâm đường tròn nội tiếp tó giấc P]PPP và tính bán kính r của đường tròn đó theo bán kính R của

đường tròn (O) và khoảng cách OP = 2a.

19. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại p. Gọi M, N, E, F lần

lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng nếu bốn

điểm M, N , E, F nằm trên cùng một đường tròn và MPN + EPF = 180° thì

tứ giác ABCD nội tiếp có hai đường chéo vuông góc.

20. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O ; R) với hai đường chéo

khác đường kính của đường tròn (O). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ

để hai đường chéo của tứ giác vuông góc với nhau là

AB + BC + CD + DA = R2.

22



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




25/214

Đáp số ■Lời giải - Hướng dẫn

a) Gọi M là trung điểm của cạnh AB và M’ là giao điểm của PM và CD. Ta

có CPM ' = APM = BAC = B DC. Kết quả đó chứng tỏ PM vuông góc với CD.

b) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ p xuống AB và H’ là giao điểmcủa PH và CD. Ta có DPH' = BPH = BAC = BDC . Điều đó chứng tỏ tam

giác PDH’ cân tại H’ và tam giác CPH’ cân tại H’.

c) Kí hiệu M, N, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Vì

tứ giác MNEF là hình chữ nhật, nên tứ giác đó nội tiếp với các đường chéo

là đường kính của đường tròn. Theo kết quả của câu a) và câu b) ta suy ra

rằng sghân các đường vuông góc hạ từ p xuống các cạnh tứ giác nhìn các

đường chéo của hình chữ nhật MNEF dưới góc 90°. Do đó chúng nằm trên

đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật MNEF.

d) Cách ì. Ta có AB + BC + CD + DA = 2(PA + PB + PC + PD2). Gọi

I và J là trung điểm của AC và BD. Ta có

PÃ = PĨ+ĨÃ => PA = PI+ ỈA + 2PĨ.ĨÃ .

Tương tự PC = PI +IC + 2PIIC. Cộng các kết quả trên ta được

PA + PC =2PI + 2IA + 2PĨ(ĨÃ+Ĩc) = 2PI + — . Tương tự ta có

PB + PD = 2PJ + -5 5 - . Vì tứ giác OIPJ là hình chữ nhật nên PI + PJ = OP2.

ÀC RFìVậy PA2+ PB + PC2+ PD = 20P + — .

•3 2 2

Xét PA.PC = OP - R PI +ĨÃ.ĨC = OP - R

A C2

4 = PI - OP +R2.

BETương tự ta c ó ------ = PJ - OP + R2. Từ các kết quả đó ta được

PA2+ PB + PC + PD = 20P + 2(PI + PJ - 2 0P + 2R2) = 4R2.

Từ đây ta nhận được điều cần chứng minh.

23



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




26/214

Cách 2. Kẻ đường kính AE, khi đó các tam giác ADE và ACE vuông t

các đỉnh D và c. Trong tam giác vuông ADE ta có AD + DE = 4R BD // CE nên tứ giác BDEC là hình thang cân và ta có BE = CD. BC = D

Từ điều kiện AC J_ BD suy ra AB + CD = AD + BE2. Từ các kết quả tr

ta được AB + BƠ + CD + AD = (AD +BC2) = R2.

2. Kí hiệu góc tạo bởi tia PO và tia PA bằng a , khi đó

AC = 2 \/r - a sin a = 2aVk - sin a .

sin22a

BD =2-\/r - a cos a = 2a \ /k -co s a (k > 1).

a) Xét tích AC.BD = 2aVĨ< - sin a 2 a V k - c o s 2 a =4a2Ỵ^~^~t

Tích AC. BD lớn nhất khi sin2a =1 và AC. BD nhỏ nhất khi sin2a = 0.

b) Tổng AC + BD = 2aVk -s in a + 2a-v/k - COS a

= 2 a (- /k -COS2 a + V k - s i n 2 a )

Xét tổng V i ^ W ^ + V i n ^ < V 2 ( k 3 I ) , Dấu “=” trong bất đẳn

thức xảy ra khi và chỉ khi tan2a = .

Xét ( -v/k - co s a + Vk -s in a = 2k - 1 + 2 yỊk ?- k + s-- - -

mà- sin a > 0. Dấu “=” xảy ra trong bất đẳng thức khi sin2a = 0.

, , AC V k - s in 2a i k - s u r a „ . .c) Ta có -T-— = , .. - ■■■— = , /---------- r— . Tìm giá tri lớn nhất, giá

BD Vk -cos 2a , :Vk- cos 2a,

r k - sin a , ,nhỏ nhất của f = ----- — — ta được kẽt quá bài toán,

k - co s a

d) Đặt PA - X, PC = y, PB = z, PD = t bài toán được đưa vế tìm min, m

của biểu thức

4 x 2 + Z 2 + , ] y+ z W x + t + v ỹ ^

với điều kiện xy = zt = R - a2.

+ t

24



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




27/214

3. Theo Bài 1, các điểm Pị, P2, p?, P nằm trên cùng một đường tròn (được kí

hiệu (O,)) . Mặt khác, bốn điểm A, c , p2, p, nằm trên cùng một đường tròn

(được kí hiệu ( 0 2)) và A, c , p,, P nằm trên cùng một đường tròn (được kí

hiệu bằng (O,)). Nếu Q là giao của p,p và p,p„ thì phương tích của Q đối

với các đường tròn ( 0 2) và (O,) bằng QP..OP, =QPvOPj. Điều đó chứng tỏ

Q nằm trên trục đẳng phương của (Oị) và (0 2). Trục đẳng phương cúa (0 |)

và ( 0 2) ỉà đường thẳng AC.

4. Ta thấy rằng trong tam giác ABD các đường thẳng AO và AC là hai đường

đẳn g^ iác kẻ từ A. Do đó AI là phân giác của góc CAO . Tương tự CI !à

phân giác của góc ACO . Vì vậy I ià tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAC. Do tam giác OAC cân tại o, nên OI vuông ÓC với AC.

Tức ỉà OI // BD. Tương tự, ta có OJ // AC.

5. a) Nếu d là một đường kính của (O) vuông góc với AC thì d là trục dối

xứng cùa các cặp điểm p và p’ ; A và c. Vì vậy ẤP = -CP'=>Ã P = P'C .

Phép tịnh tiến theo vectơAP biến B’P’ Ihành BC ; D' P’ thành DC do đó

P’B’ // BC và D’P’// DC. Vì B’P di qua trung điểm của AB và D’P đi qua trung điểm cúa AD, theo Bài ỉ ta suy ra B’P và D’P là các đường cao của

tam giác P’B’D'.

b) Gọi A’ là giao điểm thứ hai của đường thẳng B’D’ và đường tròn ngoại

tiếp tứ giác. Phép đối xứng qua đường kính vuông góc với BD biến A thành

A ’ và B’ thành'D\ Ta có D ’À ' = ÀB' = PB = P ’Ẽ . Phép tịnh tiến theo vectơ

D ’A ’ biến đường thẳng D’P’ thành, đường fhang A ’E ; D T ,thành A’B và

ta có EA 'B = P ' D ' P . Vì p là trực làm tam si ặc P’B ’P ’ nên

P'B ’P = P ’D ’P . Từ đó ta nhận được EA’B = P 'B ’P . Mật khác, số đo các

cung BE và DF bằng'nhau nến ta có :F B Đ -P ’B'P'; Điều đó chứng tỏ

giao điểm H của BF và B’P’ nằm trẽn đườiig tròn ngoại tiếp hình chữ nhật

APBB’. Tức là PH vuông góc với.BT.’. Đây là điều cần chứng minh.

25



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




28/214

Gọi Q là trung điểm của AB và H là giao điểm của PQ và CD. Ta có

BAG = QPA = HPC = CDB. Đẳng thức nàv chứng tỏ A và D nằm trên

cùng một cung chứà góc được dựng trên dây BC.

a) Kí hiệu M, N, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA khi

đó ta có MN // EF // AC và MF // NE // BD. Vì vậy MNEF là hình chữ

nhật. Một hình chữ nhật bao giờ cũng nội tiếp trong một đường tròn.

b) Gọi ỉ, K, L, H lần lượt là hình chiếu của của p trên AB, BC, CD, DA.

Trong tam giác ABC ta có BĨ.BÃ = BK.BC => BI.BM = BK.BN (*). Vì I

thuộc và từ (*) ta suy ra K thuộc co. Trong tam giác ABD ta có

Al.AM = AH.AF CÙ với I thuộc co ta suy ra H thuộc (ù. Tương tự L cũng

thuộc co. Dẻ dàng thấv rằng PI đi qua E và theo Bài toán ta suy ra điều

cần chứng minh.

a) Gọi M là giao điểm của p,p với p_,p4. Từ đường tròn đi qua các điếm A.

c. p,, Pj ta suy ra MP,MP = MAMB (*). Tương tự với đường tTÒn đi qua

bốn điểm A. c, p,, P4, ta có MPjMP, =MAMB(**). Từ (*) và (**) ta suy

ra điều cần chứng minh.

b) Nếu trung điếm của AB nằm trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác P,P,PP

thì các trung điểm của ba cạnh còn lại của tứ giác ABCD cũng nằm trên

đường tròn này. Bằng cách lí luận như Bài 7 ta nhận được điều cần

chứng minh

9. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Trong tam giác vuông ABM ta có

AB = BH.BM. Gọi K là chân đường vuông góc hạ từ c xuống BN ta có

BC =BK .B N . Vì AB = BC, nên BH.BM = BK .BN. Điều này chứng tỏ

bốn điểm M, N, K, H nằm trên cùng một đường tròn đường kính MN. Tức

là MK vuông góc với BN hay CK đi qua M. Đãy là điều cần chứng minh.

lft AB.BC _ BP AB.BC _ AB.BCsinẤBC X10- - sinABC = sinADC(*)- Ta

AD.DC DP AD.DC AD.DC sin ADC

coi BP < DP. Gọi B’ là điểm đối xứng vớí B qua AC, khi đó B’ nằm trong

tam giác ACD và ta có ABC = AB 'C > ADC(**). Từ (*) và (**) suy ra

ABC = K —ADC và đây là điều cẩn chứng minh.

26



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




29/214

l ỉ . a) Gọi A ’ là điểm đối xứng với A qua BD. ta có A ’ thuộc PC và PA’ < PC

Vỉ vậy A’ nàm trong tam giác BCD và BAT) > BCD. Từ điều kiên

BAD + BCD = BA'D + BCD = 71, la suy ra BCD< —. Tương tự ta có

"— ' , - ■ADC< —. Trong tam giác BCD điếm p nằm trên cạnh BD nên hai góc kề

với BD nhọn. Vậy BCD là tam giác có ba góc nhọn. Tương tự, tam giác

ACD có ba góc nhọn. Ta biết rằns tâm o của đường tròn ngoại tiếp tam

giác nằm trong tam giác khi và chỉ khi tam giác đó nhọn. Do đó o nằm

đồng thời trong hai tam giác BCD và ÀCD nên o thuộc phần chung của hai

tam^iác đó. Phần chung này là tam giác vuông PCD.

b) Gọi I làítrung điểm của BD, khi đó I nằm trên đoạn PD và OI // AC.AC BD

Kí hiệu s ià điện tích tứ giác ABCD ta có s = _ _ _ _ — - AC.BỈ = 2SABC|. Vì

diện tích hai tam giác OAC và IAC bằng nhau nên diện tích của hai tứ giấc

ABCO và ABCI bằng nhau.

12. Ta thấy rằng OA = OB = o c = OD vằ AOB + COD = n nên

OA.OB.sinẢOB = OC.OD .sinCOD. Tức ià diện tích tam giác OAB bang

diện tích tam giác OCD. Tương tự, đối với cập tam giác còn lại.

13. Gọi A|, B(, C], D, tương ứng là trực tâm các tam giác BCD, CD A, DAB.

ABC. Khi đó các điểm A| và B, tương ứng nằm trên AC và BD. Vì BA, và

AB, cùng vuông góc với CD nên BA, // AB,. Ta có DBA, =DCA = t)BA

nên tam giác ABA, cân tại B. Tương tự, tam giác ABB, cân tại A. Điều đó

chứng tỏ p là tâm đối xứng của A và A|, của B và Bị. Tương tự, p ià tâm

đối xứng của D và D(, của c và C|. Tóm lại, phép đối xứng qua p biến tứ

giác ABCD thành tứ giác A ịB,C|D|.

14. Ta biết rằng

BÂ C-B CẦ = OBD và DAC- DCa Ị= ỐDB .

Vì tam giác OBD cân tại o nên ta suy ra điều cần chứng minh.

27



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




30/214

15. Gọi N là giao điểm của AM và BD. Vì bốn điểm M, c, p, N nằm trên cù

một đường tròn nên ta có AN.AM = AP.AC . Trong tam giác vuông ABC

có AP.A C=A B2. Từ đó ta suy ra AN.AM = AB =ATj2, Đẳng thức

chứng tỏ N nằm trên đường tròn (O’) và 0 ’N // AC. Do đó O’N vuông

với BD tại N. Đây là điều cần chứng minh.

16. Gọi H và K lấn lượt là trung điểm của AB và CD. Nếu hai đường chéo

tứ giác vuông góc thì PK // OH và PH // OK. Tứ giác OHPK là hình bình hà

do đó ta có OH = PK - và OK = PH = -^5. „ Ngirợc lại.

OH = — = CK và OK = — = BH thì hai tam giác vuông OCK và O

bầng nhau và ta có COK = OBH, BO H =O C K . Từ đó suy

AOB + COD —K. Theo tính chất của góc có đính trong đường tròn, ta s

ra ẤPB = - .2

17. Kéo dài Px và Py cắt đường tròn (O ; R) tại các điểm c và D. Gọi M

trung điểm của AB ; H là hình chiếu cúa p trẽn AB và N !à trung điểm c

CD. Theo Bài , đoạn MN là đườns kính của đường tròn đi qua H. Tâm c

đường tròn này là trung điểm của đoạn OP. Vì OP cô' định nên trung đicủa đoạn OP cố định. Ta chứng minh rằng MN có độ dài Rhone đ

Thật vậy, tứ giác OMPN !à hình bình hành nên ta

2(PM + PN-) = OP2+ MN2. Mặt khác, ta có 4(PM2+ PN2) = AB + CD

AB + CD" = AD + CDJ. Theo Bài 1 ta suy ra MN = 2R - dĩ và bán kí

đường tròn đi qua các điểm M, N. H là r = V2R - a"'. không dổi. Tóm

tập hợp M và H Iiằm trên đường tròn (I ; v2R^ ) trong đó I là tru

điểm cửa OP.Đáo lại, với điếm M bất kì trên đường tròn dó ta dựng điểm N đối xứns

M qua I. Gọi H íà giao điểm của PN với đường tròn (I ; V2R" - a ). Tr

MH lấy các điểm A, B sao cho MA = MB. = MR Ta cần chứng minh rằ

A và B nảm trên đường tròn (O) (bạn đọc tự chứng minh). Từ đó suy

PAB là tam giác vuồrrg tại p.

28



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




31/214

18. Các điểm p,, p2, p3, P là chân các đườnơ cao của bốn tam giác vuông tại

đỉnh p nên chúng nằm trên các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ aiác AP,PP và

PP,BP nội tiếp nén ta có P^P = PÃP = PBP, = pĩập2 . Vì P,P và P,P nằm

vể hai phía đối với p,p nên p,p là phân giác của góc P,P,P - Mặt khác, các

góc PAP và PBP, là góc nhọn nên PP|P < 180°. Điều này chứng tỏ góc

tại đỉnh p, của tứ giác P|PP,P nhỏ hơn 180°. Tương tự, các góc tại các

đỉnh khác của tứ giác đó nhỏ hơn 180°. Vì vậy P(P,P,P là một tứ giác lồi.

Chứng minh tương tự ta được PoP và p.p ỉà các đườr phân giác của các

góc tại các đỉnh P2, p3. Tức là p cách đểu các đường thẳng chứa các cạnh tứ

giác.íãỉa biết rằng nếu p là điểm cách đều các đườn thẳng chứa các cạnh

của một tứ giác lồi thì p là tâm đườne tròn nội tiếp tứ giác. Gọi M ìà trung

điểm của AB'va N là trung điểm của CD, khi đó MN là đườns kính của

đường tròn nạoại tiếp tứ giác P,PP,P4. Trong tam giác PMN ta có

PM + PN = 2PI + 2R: (] là trung điểm của MN). Từ công thức này ta

20. Vì o không nằm trên các đường chéo cùa tứ giác nên ÕA + ÒC và

ÕB + ÕD khác õ . Khi đó AC vuông oóc với BD (ương đưong vó'ì

(ÕÃ + ÕC)(Õ B + ÕẼ>) = 0. r =

29



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




32/214

Cho xOy . Ta nói hai đường thẳnq CỈỊ, d2 là các đườn.% đẳng g iác trong góc

đã cho nếu chúrìiị cùng đi qua đinh o vâ đối xứ!ì ụ với nhau qua phán giác

của góc đó.

1. Giả sử A và B là các điểm nằm trong góc xOy sao chơ OA và OB là các

đường đẳng giác trong góc đó.

a) Chứng mình ràng hình chiếu cùa các điểm A và B trên các dường thẳng

Ox và Oy nằm trên cùng một dường tròn. Tâm cúa đường tròn đó là trung

điểm của AB.

b) Giả sử các điểm A,, A2, Bị, B trên các tia Ox và Oy sao cho

A| A/ / Oy , A2A // Ox, B.B // Oy và B;,B // Ox. Chứng minh rằng bốn điểm

Aị, A2, Bị, B nằm trên cùng một đường tròn.

c) Giả sử Aj và B, lần lượí là hình chiếu của A và B trên Ox và Oy. Các

điểm Aj và B lần lượt trên các tia Ox và Oy thoả mãn điều kiện A2A // Ox

và BjB // Oy. Chứng minh rằng bốn điểm Aị, Aj, Bị, Bj nằm trên cùng một

đường tròn. Các khẳng định trên vẫn đúng trong trường hợp A và B nằm

ngoài góc xOy.

2. Cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng các tiếp

tuyến kẻ từ A tới đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC là các đường đẳng

giác trong góc BAC.

3. Kí hiệu K và o tương ứng là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC. Chứng minh rằng AK và AO là các đường đẳng giác trong

góc BAC.

30



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




33/214

4. AA[, BB,, c c , là các đường phân giác trong của các góc tam giác ABC. Kí

hiệu M, N lần ỉượt là giao điểm của A,C! và BBị, A,B, và c c , . Chứng

minh rằng các đường thẳng AM và AN là đẳng giác trong

góc BAC.

5. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có hai cạnh đối AD và BC không song

song. Gọi p !à giao điểm các đường thẳng AD và BC. Trên các đường chéo

AM BNAC và BD ta lấy các điếm M và N sao cho —~zr = —— • Chứng minh rằng

AC BD

PM và PN là các đường đẳng giác trong góc APB.

. Cho tam giác đều ABC và các góc a , p, y thoả mãn điều kiện

a + p + y = f 80°. Về phía ngoài tam giác ABC ta dựng các tam siác cân

BCX, CAY, ABZ sao cho BX = c x , CY = AY, AZ = BZ và

BXC = 60° + — , CỸẦ = 60° + — , AZB = 60° + — .3 3 3

Kí hiệu p, Q, R lần lượt là giao điểm của CY và BZ, của c x và AZ, của

AY và BX. Chứng minh rằng các cặp đường thẳng PB và PC, QC và QA,

RA và RB là các đường đẳng giác trong ba góc tam giác PQR.7. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (0 ) ; M là trung điếm của cạnh BC

và p là điểm sao cho PB và PC là các tiếp tuyến của (O). Chứng minh rằng

ẠM và AP là các đường đẳng giác trong góc BAC.

. Cho tam giác ABC và các điểm Aị, A trên đường thẳng BC. Chứng minh

rằng AA| và AA là các đường đẳng giác trong góc BAC khi và chỉ khi

^ _ b l BÃỊ

Ã ^ B - c2 Ă j c

9. AA,, BBj, c c , là các đường phân giác trong của các góc tam giác ABC. Kí

hiệu M là giao điểm của A,c, và BB N là giao điểm của AịB, và CC;.

Chứng minh rằng các đường thẳng AAj, BN, CM đổng quy.

3}



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




34/214

10. Giả sử AD và AM lần lượt là đường cao và trung tuyến cúa tam giác AB

(D khác M). Chứng minh rằng nếu AD và AM ià các đường đẳng gi

trong góc BAC thì ABC là tam giác vuông.

11. Cho xOy và các điểm A, B nằm trong góc. Chứng minh rằng nếu hì

chiếu của các điểm đó trên hai cạnh của góc đã cho phân biệt và nằm tr

cùng một đường tròn thì OA và OB là các đường đẳng giác trong góc đã cho.

12. Cho xOy và các điểm A, B nằm trong góc. Xét các điểm A„, Ay, B*,

phân biệt và nằm trên các cạnh của góc sao cho các tứ giác OAxAAy

OBxBBy là hình bình hành. Chứng minh rằng nếu bốn điểm A x, Ay, Bx,

nằm trên cùng một đường tròn thì OA và OB là các đường đẳng giác tron

góc đã cho.

13. Cho xOy và các điểm A, B nằm trong góc. Xét các điểm 'Ax, Ay, Bx,

nằm trên các cạnh của góc sao cho AXA // Oy, ByB // Ox. AyA _LO

B,B J_ Ox. Chứng minh ràng nếu các điểm Ax, Ay, Bx, B, nằm trên cùn

một đường tròn thì OA và OB !à các đường đắng giác trong góc đã cho.

14. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và p là điểm sao cho PB và P

!à cầc tiếp tuyến với đường tròn. Trên cạnh BC ta lấy điểm M. Chứng min

rằng M là trung điểm của BC khi và chỉ khi AP và AM !à các đường đẳngiác của góc tạo bởi AB và AC.

15. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và p là điểm sao cho PB và P

là các tiếp tuyến với đường tròn (0). Trên AB và AC ta lấy các điểm K v

H sao cho PK // AC và PH // AB. Chứng minh rằng các điểm K, H cùn

với trung điểm các cạnh AB và AC nằm trên cùng một đường tròn.

16. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Kí hiệu M, N lần lượt là trun

điểm các đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng :

a) Hình chiếu của các điểm M và N trêri các cạnh AB và CD nằm trên cùn

một đường íròn ;

b) Tập hợp tất cả các hình chiếu của M và N trên bốn cạnh tứ giác nằ

trẽn cùng một đường tròn khi và chỉ khi

AB.CD = AD.BC.

32



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




35/214

17. BH, BD lần lượt là đường cao, đường phân giác kẻ từ B của tam giác ABC ;

M, N lần lượt là trung điểm của AC và BH. Điểm K là giao của MN với

BD và L là trung điểm của BD. Chứng minh rằng AK và AL là các đường

đẳng giác trong góc BAC.

18. Trong một tứ giác lồi ABCD, đường chéo BD không phải là phân giác của

các góc ABC và ADC. Điểm p nằm trong tứ giác sao cho ABD = CBP và

ADB = C DP. Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi

PA = PC.

sgn (Đề thi ôììm pìc T oán quốc í ế năm 2004).

19. Gọi I là tâm đựờng tròn nội tiếp tam giác ABC. Các đường thẳng Aỉ, BI, CI cắt các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A|, Bị, Cị. Các điểm A2. B2, C

nằm trên đường tròn nội tiếp tam giác ABC sao cho A,A2, ,, C|C là

các tiếp tuyến với đường tròn, khác các cạnh của tam giác ABC. Chứng

fninh rằng các đường thẳng AA2, BB2, CC cắt nhau tại một điểm và điểm

này nằm trên đường thẳng đi qua tâm các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp

tam giác đó.

20. ẠA), BB,, CCị là các đường cao của tam giác nhọn ABC. Kí hiệu A2, Bj, C lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AA, và BịC,, BB, và A,C(,

CCị và AịB,. Kí hiệu C j là đường tròn tâm A tiếp xúc với B>C| và AA, là

tiếp tuyến với C j khác B ,c ,. Đường tròn CCh tâm B tiếp xúc với A,C] và

BB là tiếp tuyến với C khác A|C,. Đường tròn (O tâm c tiếp xúc với

A,B, và C,C là tiếp tuyến với CÚ khác A|B, (Aị, Bị, c , là các tiếp điểm).

Chứng Iĩiinh rằng các đường thẳng A,A3, B,B, và c ,c , cắt nhau tại một

điểm.

21. Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong mặt phẳng chứa tam giác đó.

Phép đối xứng qua phân giác góc BAC, ABC và ACB biến AM, BM và

CM thành các đường thẳng X, y, z.

a) Chứng minh rằng ba đường thẳng X, y, z cắt nhau tại một điểm M’.

3 -MSCĐ...HSGTHPT 'X '}



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




36/214


37/214

b) Các điểm A|, Aj, Bị, B nằm trên hai cạnh của góc xOy nên chúng là

đính của một tứ giác lồi. Từ các cặp tam giác dồng dạngOAAị và OBB

OA A, và OBB, ta suy ra —— = Đẳng thúc này chứng tỏ haiOB, OB, OB

lam giác OA,B và OAB, đồng dạng và OB|A = ỎBÃ, . Vì OB,A, là

góc ngoài của tứ giác AjAjBjB, nên tứ giác đó nội tiếp.

c) Sử dụng lại kí hiệu góc của phần a) ta có :

----------------------- :----------------------Từ đo ta suy ra OA,.OB, và OA,.OB, cùng dấu. Từ các cặp tam giác đổng

dạng OA,A vạ OB,B, OA2A và OBB, ta suy ra

Tù' các kết quả trên ta suy ra OAị.OB, = OAr O B,.

2. Hãy chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC nằm trên

phân giác của BAC.

3. Kéo dài AO cắt đường tròn tại A ’, AK cắt BC tại II. Các lam giác ABH và

AA ’C tương ứng vuông tại H và c có ABH = A A 'C . Xem các hình 13 và

14. Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

OA|=OA.cosa, OB,=OB.cosa.

B

A'

A' K

Hìn h 13 Hình 14

35



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




38/214

4. CH. 15) Rõ ràng AM và AN nằm khác phía đối với đường phân giác AA(. T

cầnchứng minh rằng BAM = CAN. Lấy trên AB và AC các điểm M’ và N’ s

cho MM’ // NN’ // AA,. Ta cần chứng minh rằng AM ' A N'

AM’ A.M MM — :— - và — —

AC, A,c, A A,

_ CịM

A,C|

MM'

A

NN'. Ta có

Từ đó ta suy ra

AM' AA| _ A,M

MM'-ẠC, ” C,M

AM'

MM'

A,M ACị

MC, ÃÃ^

^ , AN' _ A,N AB,Tuơna tự ta có -——= ỊỊ-.-—-i-

N N’ NB, AA,

Hiển nhiên

AjM A Q _ A ịN AỊ^

MC, AA, ” NBj ' AA,A ,c

A>B AC AB , ■ •AịB = —.AịCBC, GB, a

Điều này luôn đúng.

(H.16) Rõ ràng AX, BY, c z tương ứng là

các đường phân giác của các góc

QXR , PYR, PZQ. Ta có

BAZ = 60° - — , CAY = 60°3 3

=> QÃ R = YÃZ = 60° - 1 + 60° - —+ 60°3 3

:1 2 0 °+ - = 9 0 °+ 3 0 °+ - = 90° + -! 60° + a

= 90° +QXR

36



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




39/214


40/214

Vì vậy SÙẫr - BA, = B A ,, nghĩa là A và A, trùng nhau.A 2B a 3b

Trường hợp B, c nằm trên đoạn A,A2, chứng minh tương tự.

9. (H.17) Gọi J là giao điểm của AA, và B ,c , ; ĩ là giao điểm của AA, và BN.

Theo Bài 4, các đường thẳng BI và BJ là các đường đẳng giác trong gócA BC. Sử dụng Bài đối với tam

giác ABA, ta có

AJTương tự, gọi I’

A

A|I _BA,

IA BA JA

là giao điểm của CM và AA| trong

tam giác ACAị ta có

‐Ajl' _ A)C AJ

I A CA ' JA|. Vì AA, là phân

AịB A ị Cgiác góc BAC nên — - —L-

AB AC. Từ

kết quả trên ta suy ra = Nshla là hai điểm I và I’ trùng nhau.IA I’A

10. Ta biết rằng đường thẳng đối xứng với AD qua phân giác của góc BAC đi

qua tâm o của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Bài 3). Vì vậy M phải

thuộc đường thẳng đó. Nếu M và o khác nhau thì AM vuông góc với BC.

Nghĩa là AM trùng với AD trái với giá thiết. Vì vạy M trùng với o.

11. Ký hiệu Ax, Aylần lượt là hình chiếu của A trên Ox và Oy : Bx , By lần lượt

là hình chiếu của B trên Ox và Oy. Từ các tứ aiác nội tiếp OAxAAj và

OBxBBy, ta suy raAOAx= ẢAyAx , BOBy = BBxBy . Từ tứ giác nội tiếp

AxBxByAy ta suy ra OAj A x=OBxBy .

Vì O A /T + ẤÁ /TX=Õ Bjfy + B B Ạ = 90° nên ÃÃ^A, = BẼ^B, . Đây làđiều cần chứna minh.

12. Từ giả thiết ta suy ra hai tam giác OAxA và OByB đồng dạng nên

A0 T = b 5 b ' .

38



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




41/214


42/214

KE'I = KFJ = PCA= —.2

Vì N là trung điểm của BH nên K

là trung điểm của IJ. Hai tam

giác vuông KFJ và KE’I bằng nhau nên IE’ = JF.

Trong tam giác vuông KAI ta

có

. — . A I MI MA cot KAI = — = —- +

KI KI KI

FJ _ AE' B =—- + 2-——= cot —+ 2cotA.

KJ EE' / 2

Gọi L’ và D’ lần lượt là hình

chiếu của L và D trên AB, khi

đó L’B = L’D’. Trong tam giác

vuông LAL’ ta có

. fT r , _ AL' L'D' AD'cotLAL ----- + ------

LL'LL' LL'

BL' AD'

LL' DD'

Hình 18

Bcot —+ 2cotA.

2

Từ các kết quả đó ta suy ra điều

cần chứng minh.

18. (H.19) Nếu ABCD nội tiếp và

BP cắt đường tròn ngoại tiếp nó

lần thứ hai tại E thì DE // AC.

Tương tự, DP cắt đường tròn

ngoại tiếp tứ giác lần thứ hai tại A

F, ta có BF // AC. Từ đó tứ giác

BDEF là một hình thang cân

hoặc một hình chữ nhật. Nghĩa

là p nằm trên đường kính của

đường tròn vuông góc với AC.Hình 19

40



B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N




43/214

19. Kí hiệu A ’, B \ C’ lần lượt là tiếp điểm của BC, CA. AB với đường tròn

tâm I, ta thấy rằng A’ đối xứng với A qua AI. Theo giả thiết AB đối xứng

với AC qua AI. Vì vậy AA’ và AA là các đường đẳng giác trong góc

BAC. Tương tự các đường thẳng BB’ và BB2, CC’ và CC là các đườn°

đẳng giác trong các góc ABC và ACB. Ta chứng minh được rằng AA’

BB’, CC’ đồng quy. Sử dụng bài ta suy ra điều cần chứng minh. Để ý

rằng A’A và B’C’ cùng vuông góc với AI nên A’A // B’C’. Vì vậy

A ’B’ = C’A2. Tương tự ta có A ’B’ = C’B2. Từ các kết quả đó ta suv ra tam

giác C’AB cân tại C’ và AB // AB. Các tam giác ABC và ABC có các

cạnh song song nên tồn tại một phép vị tự biến tam giác này thành tam

giác kia. Một trong các phép vị tự đó có tâm trùng với giao điểm các

đường thẳng AA2, BB2, CC2. Phép vị tự đó biến đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC thành đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

20. (H.20) Trong tam giác A.B ịQ , các đường thẳng AÁ„ BB,, c c , là cá

mỘt sỐ chuyÊn ĐỀ hÌnh hỌc phẲng bỒi dƯỠng hỌc sinh giỎi thpt - ĐỖ thanh...

Documents