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MR 0720 - Simulação
Aula 3Modelagem utilizando a transformada de Laplace
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Método Analítico de ModelagemHá três estágios para gerar analiticamente um modelo matemático e simulá-lo:
1. Especificar o sistema e imaginar um modelo físico, cujo comportamento se ajuste suficientemente bem ao comportamento do sistema real. Neste estágio, as simplificações são assumidas e as variáveis de entrada e saída são escolhidas. Exemplo: assumir em um circuito elétrico que seus componentes sejam puramente resistivos, indutivos ou capacitivos, desprezando, por exemplo, a pequena indutância existente nos resistores.
2. Derivar um modelo matemático p/ representar o modelo físico, isto é, escrever as equações de movimento do modelo físico. Para tanto, as leis físicas apropriadas são aplicadas p/ gerar um conjunto de equações diferenciais ordinárias nas variáveis de entrada e saída. Neste curso a palavra “movimento” seráusada em um contexto geral p/ denotar a variação de qualquer variável física.
3. Tendo-se disponível o modelo, pode-se estudar seu comportamento dinâmico, através da solução das equações diferenciais.
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Método Analítico de ModelagemAssumir relações lineares de causa e efeito entre variáveis físicas.Uma equação diferencial ordinária linear tem a seguinte forma:
( )tfyBdtdyB
dtydB
dtydB
dtydB
xAdtdxA
dtxdA
dtxdA
dtxdA
n
n
nn
n
n
n
n
nn
n
n
=++++++
++++++
−
−
−
−
−
−
LL
L
012
2
21
1
1
012
2
21
1
1
As variáveis x,y etc. são função exclusiva da variável independente (t). Os coeficientes A, B etc. podem variar com t mas não com x, y etc. O termo f(t) pode variar com t de qualquer maneira, mas nãopode envolver x, y etc. Nenhum produto de variáveis dependentes ou de suas derivadas pode estar presente, tais como x*y, x2, x*(dx/dt) etc. Exemplo de uma equação diferencial ordinária linear:
( ) 32
2
54143 txtsendtdx
dtxd
=++
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Método Analítico de ModelagemSe os coeficientes A, B etc. são constantes, a equação é dita invariante no tempo ou de coeficientes constantes.Freqüentemente, a descrição de um sistema não-linear pode ser aproximada por equações lineares. As vantagens são:
A análise de um sistema linear pode normalmente ser efetuada por métodos analíticos, sem a necessidade de métodos numéricos;Quando uma equação linear é resolvida, a solução é geral, valendo p/ todas as magnitudes do movimento.
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Função de TransferênciaA função de transferência relaciona algebricamente a saída de um sistema à sua entrada. Esta função permite a separação da entrada, do sistema, e da saída em três partes separadas e distintas, o que não ocorre com a equação diferencial. A função de transferência permitirá também combinar algebricamente representações matemáticas de subsistemas para obter uma representação total do sistema.
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Função de TransferênciaDado uma equação diferencial de ordem n, linear, invariante no tempo e condições iniciais nulas, considerando r(t) sinal de entrada (ou de referência), c(t) sinal de saída (ou variável controlada) e A e B seus coeficientes,
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1 01
1
1 1 01
n n
n nn n
m m
m mm m
d c t d c t dc tA A A A c t
dt dt dtd r t d r t dr t
B B B B r tdt dt dt
−
− −
−
− −
+ + + + =
+ + + +
L
L
Aplicando a transformada de Laplace a ambos os lados da equação,
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
11 1 0
11 1 0
n nn n
m mm m
A s C s A s C s A sC s A C s
B s R s B s R s B sR s B R s
−−
−−
+ + + + =
+ + + +
L
L
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Função de TransferênciaFormamos agora a relação entre a transformada de Laplace da saída pela da entrada,
( ) ( )( )
11 1 0
11 1 0
m mm m
n nn n
C s B s B s B s BG sR s A s A s A s A
−−
−−
+ + + += =
+ + + +L
L
Chamamos G(s) de função de transferência do sistema (para condições iniciais nulas)
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ExemploObter a função de transferência representada por,
( )( ) ( )tt
t rcdtdc
=+ 2
( ) ( ) ( )sss RCsC =+ 2Solução:
( )( )
( ) ( )21+
==sR
CG
s
ss
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FT para sistemas elétricos
Indutor
Ω
Componente Tensão-corrente Corrente-tensão Tensão-cargaImpedânciaZ(s) = V(s)/I(s)
AdmitânciaY(s) = I(s)/V(s)
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FT sistemas mecânicos em translaçãoComponente
Força-velocidade
Força-deslocamento
ImpedânciaZm(s)=F(s)/X(s)
Mola
Amortecedor viscoso
Massa
Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste livro: f ( t ) = N (newtons), x( t ) = m (metros), ν( t ) = m/s (metros/segundo), K =N/ m (newtons/metro), f ν = N.s/ m (newton-segundo/ metro), M =kg (quilogramas = newton.segundo2 / metro).
ComponenteForça-velocidade
Força-deslocamento
ImpedânciaZm(s)=F(s)/X(s)
Mola
Amortecedor viscoso
Massa
Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste livro: f ( t ) = N (newtons), x( t ) = m (metros), ν( t ) = m/s (metros/segundo), K =N/ m (newtons/metro), f ν = N.s/ m (newton-segundo/ metro), M =kg (quilogramas = newton.segundo2 / metro).
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FT sistemas mecânicos em rotação
Mola
Amortecedor viscoso
ComponenteTorque -velocidadeangular
Torque -deslocamentoangular
Impedância
Zm(s) = T(s) / θ(s)
Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste livro: T ( t ) = N.m (newton.metro), Θ( t ) = rad (radianos), ω( t ) = rad/s (radianos /segundo), K =N.m /rad (newton.metro / radiano), D ν = N.m.s/ rad (newton.metro.segundo/ radiano), J =kg.m2
(quilograma.metro2 = newton.metro.segundo2 / radiano).
Inércia
Mola
Amortecedor viscoso
ComponenteTorque -velocidadeangular
Torque -deslocamentoangular
Impedância
Zm(s) = T(s) / θ(s)
Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste livro: T ( t ) = N.m (newton.metro), Θ( t ) = rad (radianos), ω( t ) = rad/s (radianos /segundo), K =N.m /rad (newton.metro / radiano), D ν = N.m.s/ rad (newton.metro.segundo/ radiano), J =kg.m2
(quilograma.metro2 = newton.metro.segundo2 / radiano).
Inércia
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Modelagem circuito elétricoExercício 1 - Dado o circuito abaixo, determine a equação diferencial que representa o sistema e sua função de transferência, considerar a entrada como v(t) e a saída VC(t).
( )( ) ( ) ( )
0
1 tt
t t t
diL Ri i dt vdt C
+ + =∫Mudando a variável de corrente p/ carga temos:
( ) ( )( ) ( )tt
tt vqCdt
dqR
dtqd
L =++1
2
2
A partir da relação tensão-carga em um capacitor tirado da tabela, temos:
( ) ( )( ) ( )tvv
dtdv
RCdtvd
LC tCtCtC =++2
2
Aplicando a transformada de Laplace,
( ) ( ) ( )ssC VVRCsLCs =++ 12
( )( )
( )2
1
1C s
ss
V LCG RV s sL LC= =
+ +
( ) ( )tCt Cvq =
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Modelagem circuito elétricoExercício 1 - Podemos simplificar a determinação da função de transferência se calcularmos primeiramente a transformada dos elementos do circuito elétrico. Em seguida aplicamos a Lei de Kirchhoff
( ) ( )ss ICs
RLsV
++=
1
( )( )
Cs
VI sCs 1=
( )( )
( )2
1
1C s
ss
V LCG RV s sL LC= =
+ +
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Modelagem sistema mecânico translaçãoExercício 2 - Obter a função de transferência, X(s)/F(s), p/ o sistema,
Aplicando-se a 2ª Lei de Newton
( ) ( )( ) ( )tt
tv
t fKxdtdx
fdtxd
M =++2
2
( ) ( ) ( ) ( )sssvs FKXsXfXMs =++2
( ) ( ) ( )ssv FXKsfMs =++2
( )( )
( ) ( )KsfMsFX
Gvs
ss ++
== 2
1
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Modelagem sistema mecânico translação
Exercício 3 - Obter a função de transferência, X2(s)/F(s), p/ o sistema,
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Modelagem sistema mecânico translação
a. Forças atuando sobre M1 devidas somente ao movimento de M1;
b. forças atuando sobre M1 devidas somente ao movimento de M2;
c. todas as forças atuando sobre M1
Exercício 3
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Modelagem sistema mecânico translação
a. Forças atuando sobre M2 devidas somente ao movimento de M2;
b. forças atuando sobre M2 devidas somente ao movimento de M1;
c. todas as forças atuando sobre M2
Exercício 3
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Modelagem sistema mecânico translaçãoExercício 3 Escrevendo as equações de movimento transformadas por Laplace,
temos:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 02322
212
221212
1
323
321
=++++++−
=+−++++
s
a
vvsv
svs
b
vv
XkksffsMXksf
sFXksfXkksffsM
( ) ( )
( )
( )( )22
22
3
3
ksfabksf
FX
sGv
v
s
s
+−
+==
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Modelagem sistema mecânico rotaçãoExercício 4 - Obter a função de transferência, θ2(s)/T(s), p/ o sistema,
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Modelagem sistema mecânico rotaçãoExercício 4
a. Torques sobreJ1 devidossomente ao movimento de J1;
b. torques sobreJ1 devidossomente ao movimento de J2;
c. diagrama finalde corpo livrepara J1
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Modelagem sistema mecânico rotaçãoExercício 4
a. Torques sobreJ2 devidossomente ao movimento de J2;
b. torques sobreJ2 devidossomente ao movimento de J1;
c. diagrama finalde corpo livrepara J2
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Modelagem sistema mecânico rotaçãoExercício 4
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0222
21
2112
1
=+++−
=−++
s
b
s
sss
a
ksDsJk
TkksDsJ
θθ
θθ
( )( ) ( )
( ) ( )ssss
s Tkk
abtemosdosubstituin
kb
=−→= 222
1 θθθ
θ
( )
( )2
2
kabk
T ss
−=
θ