ms gualchieri-renzetti styryuttura in accio esempio sap2000

Università degli Studi di Firenze Facoltà di Ingegneria

C.L. Ing. Dell’Ambiente e delle Risorse

A.A. 2006/2007

corso di Meccanica dei Solidi

docenti: Prof. Claudio Borri Ing. Michele Betti

ANALISI STRUTTURALE DI UNA

TETTOIA RETTA DA TIRANTI

Alessia Gualchieri Francesca Renzetti

INDICE Introduzione……………………………………………………………………………………………...3 1 Generalità .......................................................................................................................................... 4

1.1 Le strutture in acciaio................................................................................................................ 4 1.1.1 Struttura e caratteristiche dell’acciaio............................................................................... 5 1.1.2 Tipi di acciaio.................................................................................................................... 6

1.2 Le travi ...................................................................................................................................... 7 1.2.1 Caratteristiche geometriche e d'inerzia di un profilato .................................................... 7

2 Descrizione della struttura ................................................................................................................ 8 3 Modellazione su SAP2000.............................................................................................................. 10

3.1 Definizione del modello.......................................................................................................... 10 3.1.1 Scelta delle unità di misura ............................................................................................. 10 3.1.2 Definizione della geometria della struttura..................................................................... 11 3.1.3 Definizione delle proprietà dei materiali e geometria delle sezioni................................ 13 3.1.4 Definizione del tipo e dell’intensità dei carichi .............................................................. 18 3.1.5 Assegnazione dei vincoli ................................................................................................ 20

4 Soluzione del modello..................................................................................................................... 21 5 Visualizzazione dei risultati ............................................................................................................ 22

5.1 Visualizzazione della deformata ............................................................................................. 22 5.2 Visualizzazione delle sollecitazioni nelle aste ........................................................................ 22

6 Analisi dei risultati .......................................................................................................................... 23 6.1 Primo caso............................................................................................................................... 23

6.1.1 Risultati del software ...................................................................................................... 24 6.1.2 Risultati analitici ............................................................................................................. 32

6.2 Secondo caso........................................................................................................................... 38 6.2.1 Risultati del software ...................................................................................................... 39 6.2.2 Risultati analitici ............................................................................................................. 47

6.3 Terzo caso ............................................................................................................................... 51 6.3.1 Risultati del software ...................................................................................................... 52 6.3.2 Risultati analitici ............................................................................................................. 60

7 Conclusioni ..................................................................................................................................... 64 7.1 Primo caso............................................................................................................................... 64 7.2 Secondo caso........................................................................................................................... 65 7.3 Terzo caso ............................................................................................................................... 65

Bibliografia……………………………………………………………………………………………..66

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Introduzione Lo scopo di questo elaborato è quello di effettuare una modellazione strutturale di una tettoia retta da tiranti, che consenta di risolvere la struttura dal punto di vista statico. La tettoia in esame non esiste nella realtà, pertanto le sue caratteristiche vengono assunte come da descrizione riportata nel secondo capitolo. La risoluzione statica della struttura si esplica nel calcolo delle caratteristiche di sollecitazione e delle deformazioni che si verificano sul sistema di travi che compone la tettoia, quando questa è sottoposta, oltre che al proprio peso, anche a carichi accidentali e permanenti. La modellazione della struttura viene effettuata mediante il software Sap2000; in particolare si è descritto il modello mediante la definizione del materiale, della sezione e delle dimensioni geometriche; dopodichè si sono assegnati i carichi e i vincoli. Tutte queste informazioni hanno rappresentato i dati di partenza nell’algoritmo di calcolo del software, che dopo aver effettuato la simulazione restituisce i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione e le deformazioni. A questo punto, dal momento che, come già detto, la tettoia non è una struttura reale, se n’è analizzato il comportamento nel caso in cui essa sia sottoposta a diverse configurazioni di vincolo. Infine, per il caso più semplicemente schematizzabile, si sono riscontrati analiticamente i risultati del software per verificarne l’effettiva veridicità.

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1 Generalità

1.1 Le strutture in acciaio L’ Acciaio è una lega ferro-carbonio, caratterizzata da una quantità di carbonio inferiore all'1,9%, che contiene anche altri elementi, in percentuali variabili. Leghe con tenore superiore di carbonio prendono il nome di ghisa. L'acciaio costituisce il più importante prodotto della siderurgia: viene commercializzato in una grande varietà di tipi, ciascuno con caratteristiche diverse, classificabili secondo la composizione chimica, la struttura, il processo di produzione, l'impiego prevalente. Negl’ultimi cinquanta anni l’edilizia ha portato su larga scala all’applicazione dell’acciaio in tutti gli elementi costruttivi di un edificio: strutture portanti, solai, coperture… I principali fattori che hanno portato a questo stato di cose sono l’elevarsi delle qualità standard del materiale e l’immissione sul mercato di nuovi tipi di acciai e di profilati. Le caratteristiche principali delle strutture in acciaio sono:

- ELEVATO VALORE DEL RAPPORTO RESISTENZA/PESO L’acciaio possiede il più elevato rapporto fra tensione ammissibile e peso specifico del materiale, il che comporta strutture più leggere e di conseguenza minori carichi sul terreno, facilità nel trasporto e minori sollecitazioni in risposta di un eventuale attività sismica. - MASSIMA FLESSIBILITÀ E VARIETÀ STRUTTURALE ED ARCHITETTONICA L’acciaio permette le più svariate soluzioni strutturali e architettoniche. Infatti dal punto di vista strutturale risulta traducibile qualsiasi schema progettuale, mentre dal punto di vista architettonico esso può essere sottoposto a qualsiasi tipo di lavorazione. - ADATTABILITÀ AD ALTRI ELEMENTI IN MATERIALE DI QUALSIASI NATURA E’ possibile accoppiare strutture portanti in acciaio con elementi in laterizio e calcestruzzo, murature in mattoni e elementi in altri metalli. - RIDUZIONE DEGLI INGOMBRI La riduzione è duplice ed è dovuta sia alle minori sezioni degli elementi portanti, sia alle possibilità di alloggiamento in questi di servizi e impianti. - FACILITÀ DI MODIFICHE E DI TRASFORMAZIONI Non si tratta di modifiche e trasformazioni fondamentali, ma di interventi secondari e limitati, richiesti da nuove necessità impiantistiche e da diverse esigenze statiche. - EFFICIENZA DEI COLLEGAMENTI I collegamenti delle diverse membrature risultano molto efficienti e si effettuano mediante bulloni normali o ad alta efficienza. - RAPIDITÀ DI ESECUZIONE Si traduce finanziariamente in un vantaggio economico immediato.

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1.1.1 Struttura e caratteristiche dell’acciaio

Le proprietà fisiche dei vari tipi di acciaio dipendono principalmente dalla quantità di carbonio presente e dalla sua distribuzione nel ferro. Prima di essere sottoposti al trattamento termico, la maggior parte degli acciai sono una miscela di tre sostanze: ferrite, perlite e cementite. La ferrite, tenera e duttile, è ferro contenente in soluzione piccole quantità di carbonio e altri elementi; la cementite, estremamente brillante e dura, è costituita da ferro che contiene in soluzione circa il 7% di carbonio Le particelle di cementite, in determinate condizioni, bloccano gli scorrimenti delle dislocazioni conferendo all'acciaio caratteristiche meccaniche migliori di quelle del ferro puro; la perlite è una miscela omogenea di ferrite e cementite, di composizione e struttura specifiche, con proprietà fisiche intermedie tra quelle dei due costituenti. La tenacità e la durezza di un acciaio non sottoposto a trattamento termico dipendono dalle proporzioni delle tre sostanze. All'aumentare della percentuale di carbonio contenuto nell'acciaio, la quantità di ferrite diminuisce e quella di perlite aumenta, finché, quando il contenuto di carbonio raggiunge lo 0,8%, l'acciaio risulta costituito interamente da perlite. Aumentando ulteriormente la percentuale di carbonio, l'acciaio diventa una miscela di perlite e cementite. Il riscaldamento dell'acciaio a temperature comprese fra 760 °C e 870 °C trasforma la ferrite e la cementite in una forma allotropica di lega ferro-carbonio, conosciuta come austenite, in cui tutto il carbonio presente allo stato libero nel metallo si solubilizza. A questo punto, se l'acciaio viene raffreddato lentamente, l'austenite si trasforma nuovamente in ferrite e perlite; se invece il raffreddamento è repentino, l'austenite viene "congelata" e diventa martensite, una forma allotropica estremamente dura, simile alla ferrite ma contenente carbonio in soluzione solida. Questo procedimento di raffreddamento rapido viene definito tempra, ed è uno dei più diffusi trattamenti termici dell'acciaio. Attualmente nel mondo si producono ogni anno circa 500 milioni di tonnellate di acciaio, successivamente lavorato tramite diversi processi di produzione industriale quali ad esempio forgiatura stampaggio ecc…

Le caratteristiche meccaniche fondamentali degli acciai sono: - IL CARICO UNITARIO DI SNERVAMENTO: RE IN N/mm Fintanto che le tensioni in servizio non superano questo valore, l’elemento sollecitato dall’azione ritorna allo stato iniziale al cessare dell’azione stessa. - IL MODULO DI ELASTICITÀ: E IN Kg/m2 È il coefficiente di proporzionalità tra l’azione interna (o la tensione) e l’allungamento in campo elastico. È un dato costante per tutti gli acciai: E = 2,1*1010 Kg/m2. Lo stesso valore può essere usato per la maggior parte degli acciai inossidabili. - L’ALLUNGAMENTO ALLA ROTTURA: A IN % Questo dato caratterizza in parte la capacità di deformazione dell’acciaio. Nel caso di superamento accidentale del limite elastico, l’allungamento può apparire come una riserva di sicurezza che può evitare il crollo dell’opera.

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1.1.2 Tipi di acciaio I tipi di acciaio per impieghi strutturali vengono classificati dalle norme UNI come segue:

- S235, S275, S335, sono i tipi base utilizzati nella costruzione metallica e si riferiscono alla norma UNI EN 10025. Per questi acciai i carichi unitari di snervamento variano con lo spessore del prodotto ed essi sono i soli che presentano tutte le garanzie per gli impieghi strutturali; inoltre essi garantiscono la percentuale massima di carbonio. - E295, E335 e E360, sono realizzati unicamente in barre piene di profilo tondo, quadrato, rettangolare e piatto. Sono prevalentemente utilizzati nelle costruzioni meccaniche. - S185, è il vecchio acciaio dolce utilizzato per le opere metalliche senza particolari esigenze. - S355, S420, S460, sono ottenuti per laminazione termomeccanica e costituiscono i tipi di acciaio più elaborati; vengono destinati per gli impieghi strutturali importanti e si riferiscono alla norma UNI EN 10113.

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1.2 Le travi

La trave è un elemento architettonico strutturale che ha una dimensione molto più grande (la lunghezza), rispetto alle altre due (altezza e larghezza). Quasi sempre la trave giace orizzontalmente. Le travi generalmente sopportano forze verticali gravitazionali, ma possono anche essere usate per sopportare carichi orizzontali (come carichi dovuti al vento o a un sisma). In una struttura i carichi sopportati da una trave vengono trasferiti ai pilastri, ai muri o ad altre travi che a loro volta trasferiscono le forze agli elementi strutturali sui quali eventualmente poggiano. Le travi sono caratterizzate dal loro profilo (ovvero della loro sezione), dalla lunghezza e dal materiale con cui sono costruite. Nelle strutture contemporanee, le travi sono tipicamente fatte in acciaio (in questo caso vengono anche chiamate profilati) cemento armato o legno. Le più comuni travi di acciaio sono: la trave IPE, che ha la sezione a forma di I, e la trave HE, che ha la sezione a forma di H, che viene definita ad ali larghe. Esse vengono comunemente usate nei telai d’acciaio per gli edifici e per i ponti. Altri profilati comuni di travi sono la trave a C, la trave ad L, la trave rettangolare cava e la trave circolare cava. Internamente, la trave è soggetta a tensione di trazione e di compressione dovute ai carichi applicati su di essa. Le travi ad I e ad H sono molto comuni proprio perché fanno un uso efficiente del materiale nel sopportare i carichi flessionali, infatti il materiale è concentrato sulle ali che si trovano nella parte più alta e nella parte più bassa della trave. Gli ingegneri sono interessati anche nel determinare la freccia (cioè l’abbassamento) della trave che si inflette sotto il carico.

1.2.1 Caratteristiche geometriche e d'inerzia di un profilato Sono caratteristiche che rendono conto del modo in cui la materia è ripartita nel piano della sezione di un profilato. Le caratteristiche di base sono le seguenti:

- AREA DELLA SEZIONE: A IN cm2 Questo dato interviene nel calcolo delle tensioni sotto l’effetto delle azioni di compressione e delle azioni di trazione. - MOMENTO D’INERZIA DELLA SEZIONE: J IN cm4

Questo dato è fondamentale per il calcolo della freccia che può prendere un profilato che lavora a flessione. Bisogna verificare che la freccia non superi un valore limite raccomandato. - MODULO D’INERZIA DELLA SEZIONE: W IN cm3

Questo modulo è il quoziente del momento d’inerzia I per la distanza tra l’asse neutro della sezione e la fibra della sezione più distante da tale asse; esso consente di calcolare la tensione massima in un elemento sottoposto a flessione. - RAGGIO D’INERZIA DELLA SEZIONE: I IN cm Questo dato è utilizzato per il calcolo di verifica alla stabilità degli elementi di strutture.

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2 Descrizione della struttura La tettoia in esame ha una forma rettangolare, larga 6m e lunga 2m; tale struttura è da un lato ancorata ad un edificio e dall’altro è sorretta da 5 tiranti che convergono tutti nello stesso punto posto a 5m di altezza in corrispondenza dell’estremo destro della struttura stessa.

Figura 1_ Dimensioni della tettoia.

2 m

5 m

6 m

Il corpo della tettoia è costituito da un sistema di 9 travi e da una copertura. Le travi vengono assunte di tipo IPE100 in acciaio; 5 di esse sono poste ortogonalmente all’edificio ed hanno un estremo ancorato in esso (travi t1, t2, t3, t4 e t5 in fig.2), mentre le restanti 4 sono parallele all’edificio e fungono da elemento di giunzione per gli estremi liberi delle altre (travi t6, t7, t8 e t9 in fig.2). La copertura si assume in lamierino sandwich di peso 15Kg/m2. I tiranti si considerano come cilindretti in acciaio di diametro di 20mm e sono posti all’estremità libera delle travi incastrate all’edificio.

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t1 t2 t3 t4

t6 t7 t8 t9

t5 2m

1,5m1,5m1,5m1,5m

edificio

Figura 2_ Sistema di travi visto dall’alto.

Momenti di inerzia Moduli di resistenza Raggi di inerzia h

mm b

mm a

mm e

mm Peso kg/m

Sezione cm2

Jx cm4

Jy cm4

Wx cm3

Wy cm3

ix cm

iy cm

100 55 4,1 5,7 8,1 10,3 163,32 15,85 34,20 5,79 4,07 1,24

Figura 3_ Trave IPE 100 (UNI 5398-78) con relativa tabella che ne descrive le caratteristiche.

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3 Modellazione su SAP2000 Il SAP2000 è un programma per l’analisi strutturale statica e dinamica, lineare e non lineare ad elementi finiti. L’interfaccia grafica (GUI=graphic user interface) permette di modellare, analizzare e visualizzare la geometria della struttura, le proprietà e l’analisi dei risultati. La procedura per analizzare una struttura si può dividere principalmente in tre parti:

- definizione del modello - soluzione del modello - visualizzazione dei risultati

3.1 Definizione del modello Nella prima parte occorre eseguire le seguenti attività al fine d’inserire le informazioni basilari per costruire il modello della struttura con il SAP2000:

- Scelta delle unità di misura - Definizione della geometria della struttura - Definizione delle proprietà dei materiali e geometria delle sezioni - Definizione dei tipo e dell’intensità dei carichi - Assegnazione dei vincoli

3.1.1 Scelta delle unità di misura Dalla Combo Box (menu a discesa) situata nella barra di stato della schermata principale in basso a destra, è possibile scegliere le unità di misura con cui lavorare. Le unità di misura potranno essere cambiate anche durante l’analisi della struttura; questo significa che si potranno visualizzare i risultati secondo le unità più comode, dato che la conversione è automatica. Per il nostro caso si sceglie Kgf, cm variando secondo le esigenze l’unità di misura della lunghezza.

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3.1.2 Definizione della geometria della struttura Per definire la geometria della struttura ci si serve della creazione guidata che si apre scegliendo dal menù FILE il comando NEW MODEL. L’idea è quella di creare delle linee “di servizio” che siano di aiuto durante la rappresentazione grafica del modello. Si costruisce così una griglia avente le seguenti caratteristiche:

Figura 4_ Caratteristiche della griglia. A questo punto si procede all’inserimento delle aste sulla base della griglia premendo sul pulsante DRAW FRAME e scegliendo come tipo di oggetto STRAIGHT FRAME; si ottiene così un puntatore a forma di freccia rivolta verso l’alto. Portando esso sulla Grid Line e cliccando tra due intersezioni, viene visualizzata automaticamente la nuova asta. Il software di calcolo vedrà queste aste come elementi monodimensionali e meccanicamente posizionerà i nodi nell’intersezione di essi.

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Figura 5_ Disegno della struttura sulla base della griglia.

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3.1.3 Definizione delle proprietà dei materiali e geometria delle sezioni In questa sezione si definiscono le proprietà dei materiali e la geometria delle sezioni che sono presenti nella struttura.

• Materiali

Dal Define menu si seleziona Materials…, il quale fa comparire la finestra di dialogo Define Materials. Se i materiali utilizzati sono calcestruzzo e acciaio, per la definizione delle loro caratteristiche, ci si avvale della libreria già presente in SAP2000. Selezionando STEEL (Acciaio) e premendo il pulsante Modify/Show Material è possibile far variare le proprietà dell’acciaio. La finestra si divide in due parti, qui di seguito riportate:

Figura 6_ Proprietà dell’acciaio (i valori si riferiscono al sistema Kgf/cm). Le voci corrispondono a: Mass per unit volume Massa per unità di Volume Weight per unit Volume Peso per unità di Volume Modulus of elasticity Modulo di Young Poisson’s ratio Coefficiente di Poisson Coeff of Thermal expansion Coefficiente termico

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• Geometria della sezioni

Per inserire la sezione della trave occorre: dal Define menu scegliere Frame Sections…; appare la finestra di dialogo Define Frame Sections. Nella libreria del programma relativa alle sezioni, non sono presenti le travi che costituiscono la struttura in esame e pertanto occorre definirle selezionando nella seconda Combo Box Add/I Wide Flange per le travi IPE100 e Add general per i tiranti. Compiuta la selezione appare una finestra in cui si rinomina la sezione e i valori degli spigoli di questa.

Figura 7_ Geometria della sezione IPE100 (dati nel sistema Kgf/cm). Figura 8_ Geometria della sezione TIRANTI (dati nel sistema Kgf/cm).

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Una volta inserite le dimensioni della sezione nelle relative caselle di testo, cliccando su Section Properties, si ottiene una serie di valori inerenti alla sezione, come mostrato in figura:

Figura 9_ Section Properties IPE100 (dati nel sistema Kgf/cm). Figura 10_ Section Properties TIRANTI (dati nel sistema Kgf/cm).

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Le voci corrispondono a:

Cross-Section Area Area trasversale (m2) Torsional constant Costante Torsionale Moment of Inerzia about axis 3 Momento d’inerzia risp. Asse 3 (m4) Moment of Inerzia about axis 2 Momento d’inerzia risp. Asse 2 (m4) Shear Area in direction 2 Area di taglio in direzione 2 (m2) Shear Area in direction 3 Area di taglio in direzione 3 (m2) Section Modulus about axis 3 Modulo di rigidezza W risp. Asse3 Section Modulus about axis 2 Modulo di rigidezza W risp. Asse 2 Plastic Mudulus about axis 3 Modulo plastico Plastic Mudulus about axis 2 Modulo plastico Radius of Gyration about axis 3 Raggio giratore d’inerzia (m) Radius of Gyration about axis 2 Raggio giratore d’inerzia (m)

Questa finestra è molto comoda per ottenere dati inerenti alla sezione, che altrimenti dovrebbero essere calcolati a mano. A questo punto selezioniamo gli elementi ai quali si vuole assegnare una delle sezioni appena definite; dal menù Assign, scegliendo Frame e poi Section, appare la finestra Define Sections già vista in precedenza, in cui si seleziona la sezione desiderata.

Figura 11_ Tettoia con la sezioni assegnate.

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Figura 12_ Extrude view delle sezioni.

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3.1.4 Definizione del tipo e dell’intensità dei carichi Definita la geometria (nodi e aste) occorre inserire le informazioni relative ai carichi. Il SAP2000 ha la possibilità di riunire carichi in gruppi. Tali gruppi facilitano la gestione dei carichi agenti sulla struttura. Per gestirli si procede come segue: dal Define menù si sceglie Static Load Cases…compare la finestra di dialogo Define load case. Appare come default il gruppo di carico denominato DEAD1, con il tipo selezionato a DEAD, e il moltiplicatore di carico selezionato a 1. Questo carico è definito automaticamente da SAP2000 tenendo conto del peso proprio della struttura in base ai valori geometrici e il tipo di materiale scelto ai paragrafi precedenti. Per definire un nuovo gruppo di carico, si imposta il nome del carico e si preme Add New Load…se ne sceglie il tipo tra le opzioni che la Combo Box Type permette e si imposta il valore del moltiplicatore Self Weight zero, poiché si è gia tenuto conto del peso proprio nel carico DEAD. I carichi applicabili alla struttura sono di diversi tipi a seconda dell’elemento che si carica. I carichi presi in esame sono quelli assegnabili alle aste. Nel caso studiato, si ne considerano tre tipi:

• DEAD, ossia il peso proprio della struttura. • PERMANENTI, ovvero lamierino sandwich. • ACCIDENTALI, rappresentati dalla neve.

A questo punto si assegnano alle travi i carichi appena definiti con le relative intensità. Per inserire un carico uniformemente distribuito, si selezionano le aste che saranno soggette alla stessa intensità di carico e dal menu Assign si seleziona Frame/Cable/Tendon Load e poi Distributed; compare la finestra di dialogo Frame distributed loads. Il carico che è definito in questa finestra di dialogo, viene associato al gruppo di carico visualizzato in alto a destra. Cliccando sulla Combo Box Load Case Name, comunque, è possibile scegliere a quale gruppo di carico (tra quelli definiti in precedenza) assegnare il nuovo carico. Il primo riquadro a sinistra, Load Type and Direction, definisce la natura del carico: se è una forza o una coppia e in quale direzione e verso agisca; nel caso considerato il tipo di carico è la forza e la direzione GRAVITY (quindi verso il basso). Il riquadro a destra, Options, permette di scegliere come si intende assegnare il carico all’asta, cioè se esso viene aggiunto o sostituisce o cancella i carichi già eventualmente già presenti sulle aste selezionate. Nel riquadro, Uniform Load, si inserisce il valore numerico che esprime l’intensità del carico, in modo coerente con le dimensioni prescelte.

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Figura 13_Finestra dei carichi permanenti.

Figura 14_Finestra dei carichi accidentali.

Relativamente alla struttura in esame, si assegnano i carichi permanenti e quelli accidentali alle 5 travi vincolate all’edificio. Figura 15_Tettoia a cui sono stati applicati i carichi permanenti.

Figura 16_Tettoia a cui sono stati applicati i carichi accidentali.

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Infine attraverso il comando Define Combinations, si crea un gruppo di carichi corrispondente alla somma di tutti quelli precedentemente assegnati, chiamata TOTALE. Si riassume nella tabella seguente tutti i carichi assegnati:

nome descrizione intensità DEAD Peso proprio 8,1 Kg/m ACCIDENTALI Carico da neve 150 Kg/m2

PERMANENTI Lamierino sandwich 20 Kg/m2

3.1.5 Assegnazione dei vincoli Per completare il modello occorre inserire i vincoli a terra. Per fare questo occorre selezionare tutti i nodi che avranno lo stesso vincolo e dal Assign menu scegliere Joint e poi Restraints. Compare la finestra di dialogo Joint Restraint in cui si seleziona il vincolo a terra appropriato. Per semplicità il SAP2000 propone i Fast Restraints, questi corrispondono rispettivamente a: incastro, cerniera, appoggio e punto libero. Nello studio della tettoia si sono riportate varie combinazioni di vincoli che saranno riportate più avanti.

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4 Soluzione del modello In questa parte SAP2000 assembla e risolve il sistema matriciale che si è costruito a partire dai dati introdotti nelle fasi precedenti. Per ottenere la soluzione occorre dal menu Analysis selezionare Run ; compare la finestra Set Analysis Cases to run che permette di scegliere la condizione di carico da analizzare. A questo punto ciccando sul pulsante run now si avvia il processo di risoluzione. Figura 17_Finestra set analysis to run. Al termine dell’analisi compare una finestra che contiene le informazioni relative alle varie fasi del processo. Questa finestra è importante nel momento qualcosa non funzionasse. Infatti SAP2000 riporta la fase in cui ha avuto termine il processo in modo anomalo dando un messaggio di spiegazione, che potrà essere utile per capire il problema e correggere il modello. Al termine della soluzione compare il messaggio “ANALYSIS COMPLETE”. Figura 18_Finestra riassuntiva delle fasi del processo.

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5 Visualizzazione dei risultati Le principali opzioni di questa fase sono:

- Visualizzare la deformata - Visualizzare le sollecitazioni nelle aste

5.1 Visualizzazione della deformata Dopo il completamento dell’analisi, il SAP2000 visualizza nella finestra corrente la deformata della struttura per il gruppo di carico DEAD (default). I valori conoscibili della deformata sono quelli in corrispondenza di un nodo. Per visualizzare a video i valori si clicca col pulsante destro il nodo interessato, questo lampeggerà cambiando colore. Otteniamo la finestra joint displacement, in cui, in alto a sinistra viene riportato il nome del nodo selezionato, mentre in basso vengono visualizzati i dati relativi alle traslazioni e alle rotazioni relative agli assi globali. Abbiamo la possibilità di visualizzare la deformata corrispondente ad ogni gruppo di carico. Per scegliere i gruppi di carico premiamo il pulsante facendo comparire la finestra di dialogo Deformed Shape. In alto a destra abbiamo l’opzione di scegliere quale carico considerare.

5.2 Visualizzazione delle sollecitazioni nelle aste Per visualizzare le sollecitazioni sulle aste occorre scegliere Show Element forces/stresses e poi Frames… dal menu Display; compare la finestra di dialogo Member Force Diagram. Nel primo riquadro scegliamo di quale gruppo di carico intendiamo visualizzare le sollecitazioni. Nel riquadro Component, possiamo scegliere quale tipo di sollecitazione visualizzare: Azione Assiale, Taglio secondo gli assi 2-2, Taglio secondo 3-3, Torsione, Momento secondo 2-2, Momento secondo 3-3. Nel caso di trave continua dovremo studiare il Momento secondo 3-3 e il Taglio secondo 2-2. Momento 3-3 significa che il Vettore Momento è lungo la direzione dell’asse 3. Le ultime opzioni permettono di rappresentare il diagramma di sollecitazione con le aree sottese delle funzioni di momento e taglio colorate, Fill Diagram, oppure di rappresentare il diagramma con i valori più significativi, Show Values on Diagram. Nella finestra attiva, otteniamo il grafico della sollecitazione voluta. A differenza della deformata, nel caso di sollecitazioni, il SAP2000 permette di conoscere a video i valori della sollecitazione per qualunque ascissa. Occorre � iccare col pulsante destro l’asta che ci interessa facendo comparire, nel caso di Momento 3-3, la finestra Moment 3-3 Diagram. La finestra riporta in alto a destra il nome dell’elemento. Il SAP2000 dispone il grafico in modo tale che il nodo iniziale sia a sinistra, mentre il nodo finale è a destra. In maniera analoga avviene la visualizzazione del taglio.

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6 Analisi dei risultati In questo capitolo si è proposto di valutare il comportamento della struttura al variare delle condizioni di vincolo che la supportano. Si analizza a tale proposito 3 diversi casi che si descrivono singolarmente, riportando per ognuno i risultati ottenuti con la modellazione del software e anche quelli conseguiti con il calcolo analitico.

6.1 Primo caso La prima combinazione di vincoli che si sceglie di analizzare è quella costituita da incastri per le travi t1, t2, t3, t4 e t5 schematizzate come da figura2 e una cerniera per i tiranti.

Figura 19_Tettoia primo caso.

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6.1.1 Risultati del software Analizziamo i risultati per ogni tipo di carico applicato sulla struttura:

• Dead

Deformata:

Figura 20_Deformata della struttura soggetta al solo peso proprio.

Figura 21_Spostamenti del nodo selezionato (sistema Kgf/mm) dovuti al peso proprio.

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Taglio: Momento:

Figura 22_Diagramma del taglio. Figura 23_ Diagramma del momento. Figura 24_ Diagramma delle sollecitazioni per la trave t5.

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• Accidentali

Deformata:

Figura 25_Deformata della struttura dovuta ai carichi accidentali.

Figura 26_ Spostamenti del nodo selezionato (sistema Kgf/mm) dovuti ai carichi accidentali.

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Taglio: Momento:

Figura 27_Diagramma del taglio. Figura 28_ Diagramma del momento.

Figura 29_ Diagramma delle sollecitazioni per la trave t5.

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• Permanenti Deformata:

Figura 30_Deformata della struttura dovuta ai carchi permanenti.

Figura 31_ Spostamenti del nodo selezionato (sistema Kgf/mm) dovuti ai carichi permanenti.

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Taglio: Momento: Figura 32_Diagramma del taglio. Figura 33_ Diagramma del momento. Figura 34_ Diagramma delle sollecitazioni per la trave t5.

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Totale

Deformata:

Figura 35_Deformata della struttura dovuta alla combinazione totale.

Figura 36_ Spostamenti del nodo selezionato (sistema Kgf/mm) dovuti alla combinazione totale.

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6.1.2 Risultati analitici Ai fini dell’esercitazione si sono volute verificare le caratteristiche di sollecitazione attraverso calcoli analitici. Si considera il caso in cui i carichi agenti sulle aste sono solo quelli accidentali. In particolare la struttura esaminata è stata schematizzata come un’ unica asta orizzontale, di lunghezza L =2 m, con le travi incastrate a un estremo e incernierate all’altro. Tuttavia questa schematizzazione rappresenta una semplificazione del sistema reale e pertanto i risultati ottenuti sono approssimativi. Calcolo delle caratteristiche di sollecitazione Il sistema da studiare è il seguente:

q=150 Kg/m

L=2m

Sostituendo ai vincoli le reazioni vincolari:

Hb

q=150 Kg/m

Va

Ha

Ma

Vb

La struttura in esame risulta due volte iperstatica:

23 =→−=− iilst Ma studiare questo sistema equivale a studiare: q=150 Kg/m Ha

Ma

Vb Va

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Pertanto la struttura risulta una volta iperstatica e per risolverla si procede utilizzando la teoria delle travature iperstatiche basata sulla risoluzione dell’equazione di congruenza. Il procedimento per la soluzione consiste nell’assegnare alla struttura iperstatica una struttura isostatica detta principale, ottenuta da quella di partenza tramite un certo numero di sconnessioni pari al grado di iperstaticità. L’espressione di introduzione di tali sconnessioni è mirata ad ottenere una struttura che, a meno delle reazioni esercitate dai vincoli soppressi (dette incognite iperstatiche) possa essere risolta mediante le equazioni cardinali della statica.

Ha

XVa

q=150 Kg/m

Vb

Affinché il sistema principale e quello originario siano equivalenti, per ciascuna delle incognite iperstatiche individuate, si scrive un equazione di congruenza:

0),( 11101 =+= ηηη XXq dove: η1 = situazione della sezione nella travatura reale η10 = spostamento nella sezione prodotto dalle azioni esterne applicata η11 = contributo dato allo spostamento della sezione dall’incognita iperstatica X posta uguale ad 1 Si determinano poi i sistemi ‘zero’ e ‘uno’ - sistema ‘zero’

z

q=150 Kg/m

Va

Ha

Vb

- reazioni vincolari - caratteristiche di sollecitazione

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=→=

=→=+

=

22

2

0

2 qLVqLLV

qLVqLVV

H

bb

aba

a

2

0

2

)(

)(

)(

qzzVM

qzVT

N

az

az

z

−=

−=

=

per 0<z<L

33

- sistema ‘uno’ - reazioni vincolari - caratteristiche di sollecitazione

Va

z

Vb

Ha

1

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=→−=

=→−=

=

LVLV

LVVV

H

bb

aba

a

11

10

1

1

0

)(

)(

)(

−=

=

=

LzM

LT

N

z

z

z

per 0<z<L

Si impone l’ equazione di congruenza che, schematizzata, risulta essere: = + X

Comportamento sistema reale

Comportamento sistema zero

Comportamento sistema uno

Per determinare gli spostamenti η10 e η11 si considera:

⎩⎨⎧

'':*'':

10 unosistemaSFTzerosistemaSSD

η ⎩⎨⎧

'':*'':

11 unosistemaSFTunosistemaSSD

η

dopodichè si applica il principio dei lavori virtuali per cui ** LiLe = .

- calcolo di η10:

dLGAT

TEAN

NEJM

MLi

LeL

)(*

*1*

01

01

0

01

10

χ

η

++=

=

∫

si trascura lo sforzo normale e il taglio in quanto trascurabili rispetto al contributo del momento; imponendo l’uguaglianza fra le due espressioni si ottiene:

EJqL

24

3

10−

=η

34

- calcolo di η11:

dLGAT

TEAN

NEJM

MLi

LeL

)(*

*1*

11

11

0

11

11

χ

η

++=

=

∫

si trascura, anche in questo caso,lo sforzo normale e il taglio e imponendo l’uguaglianza fra le due espressioni si ottiene:

EJL

311 =η

Dall’equazione di congruenza si determina infine il valore dell’incognita iperstatica X:

8

2

11

10 qLXX =→−

=ηη

A questo punto si determina le caratteristiche di sollecitazione del sistema iniziale risolvendo la struttura isostatica: Le equazioni di equilibrio sono così definite :

q=150 Kg/m

Va Vb

Ha

75Kg*m

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==−−=→=+

==−=→=+

=

KgqLL

qLVqLLV

KgqLVqLVqLVV

H

bb

baba

a

5,1128

37522

75

5,1888

50

2

188,5Kg

75Kg*m

112,5Kg

z

q=150 Kg/m

35

A questo punto con i dati a disposizione si costruiscono i relativi diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione:

- SFORZO NORMALE:

0)( =ZN per mZ 20 <<

- TAGLIO:

ZTqZVT ZaZ 1505,188)()( −=→−= per mZ 20 << 5,188)0( =T

5,112)2( −=T

+

188,5 Kg

0

-112,5 Kg

-

36

- MOMENTO:

755,1887528

2)(

22

)( −+−=→−−= ZZMqZqLZVM ZaZ per mZ 20 <<

75)0( −=M 0)2( =M

0

-75

+ -

Le differenze riscontrate sono dovute alla presenza dei tiranti e a quella delle travi non considerate nella semplificazione del modello.

37

6.2 Secondo caso La seconda combinazione di vincoli che si sceglie di analizzare è quella costituita da cerniere per le travi t1, t2, t3, t4 e t5 schematizzate come da figura2 e una cerniera per i tiranti.

Figura 40_Tettoia secondo caso.

38


• Dead

Deformata:

Figura 41_Deformata della struttura dovuta al peso proprio.

Figura 42_ Spostamenti del nodo selezionato (sistema Kgf/mm) dovuti al peso proprio.

39


40

• Accidentali

Deformata:



41


42

• Permanenti: Deformata:

Figura 51_Deformata della struttura dovuta ai carichi permanenti.


43


44

Totale

Deformata:



45


46

6.2.2 Risultati analitici Si considera il caso in cui i carichi agenti sulle aste sono solo quelli accidentali. In particolare la struttura esaminata è stata schematizzata come un’ unica asta orizzontale, di lunghezza L =2 m, con le travi incernierate da entrambi gli estremi. Tuttavia questa schematizzazione rappresenta una semplificazione del sistema reale e pertanto i risultati ottenuti sono approssimativi. Calcolo delle caratteristiche di sollecitazione Si procede analogamente al caso precedente:

q=150 Kg/m

L=2m

Sostituendo nelle cerniere le reazioni vincolari:

Hb

q=150 Kg/m Ha

Vb Va

La struttura in esame risulta una volta iperstatica:

13 =→−=− iilst La struttura equivalente è la seguente: 01 =+η

X

q=150 Kg/m

Ha

Vb

Va

47

Procedendo con i calcoli si ottiene che l’incognita iperstatica vale zero; pertanto studiare il sistema sopra descritto equivale a studiare il seguente sistema isostatico:

q=150 Kg/m

Ha

Va Vb

Le equazioni di equilibrio sono così definite :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==→=

==→=+

=

KgqLVqLLV

KgqLVqLVV

H

bb

aba

a

15022

1502

0

2

z

q=150 Kg/m

150 Kg

150 Kg

48

A questo punto con i dati a disposizione si sono costruiti i relativi diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione:

- SFORZO NORMALE:

0)( =ZN per mZ 20 <<

- TAGLIO:

ZTqZVT ZaZ 150150)()( −=→−= per mZ 20 << 150)0( =T

150)2( −=T

+

150 Kg

0

-150 Kg

-

49

- MOMENTO:

2)(

2

)( 751502

ZZMqZZVM ZaZ −=→−= per mZ 20 <<

0)0( =M 0)2( =M 75)1( =M

75 0 0

+

Le differenze riscontrate sono dovute alla presenza dei tiranti e a quella delle travi non considerate nella semplificazione del modello.

50

6.3 Terzo caso La terza combinazione di vincoli che si sceglie di analizzare è quella costituita da incastri per le travi t1, t2, t3, t4 e t5 schematizzate come da figura2, nel caso di assenza di tiranti.

Figura 61_Tettoia nel terzo caso.

51


• Dead

Deformata:

Figura 62_Deformata della struttura dovuta al peso proprio.

Figura 63_ Spostamenti del nodo selezionato (sistema Kgf/mm) dovuti al peso proprio.

52


53

• Accidentali

Deformata:



54


55

• Permanenti: Deformata:

Figura 72_Deformata della struttura dovuta ai carichi permanenti.


56


57

• Totale

Deformata:



58


59

6.3.2 Risultati analitici Quest’ultimo riscontro analitico permette di appurare le veridicità dei risultati ottenuti mediante il software, in quanto la schematizzazione approssima più adeguatamente il sistema reale. Si considera il caso in cui i carichi agenti sulle aste sono solo quelli accidentali. In particolare la struttura esaminata è stata semplificata come un’ unica asta orizzontale, di lunghezza L =2 m, vincolata con un incastro. Calcolo delle caratteristiche di sollecitazione La procedura di calcolo seguita è quella utilizzata per l’analisi delle strutture isostatiche, cioè basata sulla risoluzione delle equazioni d’equilibrio, con le quali si ricavano le reazioni vincolari sull’incastro. A questo punto, avendo determinato le equazioni che descrivono l’andamento delle caratteristiche di sollecitazione si sono costruiti i relativi diagrammi.

L=2m

q=150 Kg/m Sostituendo all’incastro le reazioni vincolari:

q=150 Kg/m

V

H

M

In questo caso, le equazioni di equilibrio sono così definite :

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=→=

=→==

mKgMqLM

KgVqLVH

*3002

3000

2

60

300 Kg

z

q=150 Kg/m

300 Kg*m

A questo punto, con i dati a disposizione, si sono costruiti i relativi diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione:

- SFORZO NORMALE:

0)( =ZN per mZ 20 <<

- TAGLIO:

ZTqZVT ZZ 150300)()( −=→−= per mZ 20 << 300)0( =T

2150300M −→ 300

22

)(

)(

ZZZ −+=

2qZVZM →+−=M Z −

0)2( =T

0 +300 Kg

- MOMENTO: per Z 20 m<<

300)0( −=M 0)2( =M

0 -- 300 Kg

61

Come si può notare i risultati che si sono ottenuti con i calcoli analitici coincidono con quelli ricavati con il Sap2000; ciò conferma l’esattezza della modellazione effettuata. Calcolo delle deformazioni verticali Si procede al calcolo dello spostamento verticale nell’estremo destro dell’asta orizzontale. Ipotizzando di avere un sistema di forze e tensioni equilibrato (S.F.T) e un sistema di spostamenti e deformazioni congruenti (S.S.D), si applica il principio dei lavori virtuali che afferma l’uguaglianza tra il lavoro esterno ed il lavoro interno (Le*=Li*).

- S.S.D. - S.F.T.

** 1=BF

∑∑ += ϕ*** MuFLe

dzMTNLz

i )( **** κγε ++= ∫

Nella nostra relazione, essendo interessati al solo spostamento verticale si avrà che l’equazione di Le* diviene:

∑ == uuFLe** poiché si è posto ** 1=BF

Dalla geometria della struttura si è potuto osservare che la sua deformazione dipende quasi esclusivamente dalla flessione, perciò si sono trascurati i contributi dati dalla deformazione a taglio e a sforzo normale. Tale condizone si è tradotta nell’imporre i coefficienti ε e γ uguali a zero, conseguentemente l’equazione di si è semplificata come segue: *

iL

dzMLz

i )( ** κ∫=

A questo punto si sono determinate le equazioni dei momenti flettenti nei due sistemi: SFT per 0 ≤ z ≤ L zM z −=*

)(

SSD 2

2

)(qzM z −= per 0 ≤ z ≤ L

** 1=AF

LM A** 1=

62

Quindi sostituendo nell’integrale del lavoro interno:

EJqLdz

EJqzzdz

EJMMdzML

LL

zi 82

)()()(4

0

2

0

*** =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== ∫∫∫ κ

dove: E = modulo di Young dell’acciaio J = momento di inerzia della sezione A questo punto, applicando il principio dei lavori virtuali, si ricava lo spostamento verticale dell’estremo considerato:

mmuuEJ

qLLL ei 748,88

4** =→=→=

Lo spostamento che si era ottenuto mediante la modellazione con SAP200 era pari a:

mmu 838,8= Come si osserva lo scarto che si ha è del decimo di millimetro, tale risultato ai fini della nostra esercitazione può essere considerato accettabile.

63

7 Conclusioni

7.1 Primo caso La struttura con la tettoia incastrata all’edificio e i tiranti incernierarti, risulta avere una deformazione dell’ ordine del centimetro in corrispondenza del nodo 2 in figura6. Gli spostamenti sono inoltre decrescenti andando dal nodo 2 verso il nodo più prossimo al vincolo dei tiranti; questo risultato era prevedibile in quanto, per come si è assunta la struttura, l’azione dei tiranti è più significativa tanto più essi collegano nodi vicini al loro vincolo.

Figura 82_Visualizzazione del numero dei nodi.

Numero nodo ( fig82 ) Spostamento verticale (mm)

2 9,3901

3 7,2327

4 4,9654

5 2,6751

6 0,3988

64

7.2 Secondo caso Sostituendo, nella struttura del primo caso, agli incastri delle cerniere, si ottiene la configurazione più deformabile. Infatti, gli spostamenti risultano dell’ordine della decina di centimetro e, ancora una volta, risultano maggiori per i nodi più lontani dal vincolo dei tiranti.

Numero del nodo ( fig82) Spostamento verticale ( mm ) 2 136,8243 3 102,6205 4 68,4054 5 34,1978 6 0,01144

7.3 Terzo caso Incastrando la tettoia all’edificio e togliendo i tiranti si ottengono deformazioni superiori quelle della prima configurazione , ma comunque inferiori rispetto al secondo caso. La piccola discrepanza rilevata tra lo spostamento dei nodi calcolati analiticamente e quelli risultati dal sap2000 è imputabile agli arrotondamenti effettuati con il metodo analitico. Per il resto i due modelli coincidono. L’abbassamento dei nodi dovuto, ad esempio, ai carichi accidentali risulta rispettivamente nei due casi: risultato analitico: v = 8,7481 mm

risultato software: v = 8,8375 mm Con questa configurazione di vincoli, diversamente dai precedenti casi, gli spostamenti per tutti i nodi risultano gli stessi, in quanto, in assenza di tiranti, tutte le travi risultano soggette alle medesime sollecitazioni.

Numero del nodo ( fig82) Spostamento verticale ( mm ) 2 11,01 3 11,01 4 11,01 5 11,01 6 11,01

65

Bibliografia

Betti M., Appunti di meccanica dei solidi, AA2005/2006 Borriero M., Manuale Sap2000: Travi continue Capurso M., Lezioni di scienza delle costruzioni, Bologna, 1998 Migliacci A., Progetti di strutture, Masson, 1991

Siti web:

www.dicea.unifi.it www.wikipedia.it www.dicea.unifi.it/~mbetti www.oppo.it www.promozioneacciaio.it

66

http://www.dicea.unifi.it/

http://www.wikipedia.it/

http://www.dicea.unifi.it/~mbetti

http://www.oppo.it/

http://www.promozioneacciaio.it/

ms gualchieri-renzetti styryuttura in accio esempio sap2000

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