mur de soutenement

ÉTUDES TBÉ.O RIQUES ET PRA TI QUES

SUR LES

MURS DE SOUTENEMENTET LES

PONTS ET VIADUCS

EN MAÇONNERIE

Tous les exemplaires devront être 1'evêtus de la signature de l'auteu1'..

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ÉTUDES THÉORIQUES ET PRATIQUES

SUR LES

MURS DE SOUTÈNEMENTET LES

PONTS ET VIADUCSEN IIACONNERIE

.

PAR

J. DUBOSQUESousolngémeur des Ponts et Chaussées, Ancien Chef de bureau des travaux neufs

à la Compagnie du Nord.

A L'USAGE

DES INGÉNIEURS ET CONDUCTEURS DES PONTS ET CHAUSSÉES,

DES OFFICIERS ET ADJOINTS DU GÉNIE,DES CHEFS DE SECTION DES CHEMIKS DE FER, DES AGENTS VOYER S,

DES ARCHITECTES, DES ENTREPRENEURS,

ET DES JEUNES GENS QUI SE DESTINENT AUX TRA VAUX PUBLICS.

OUVRAGE HONORÉ DES SOUSCRIPTIONS

Des Ministères des Travaux publics, de la Guerre et de l'Intérieur.

CINQUIÈME ÉD ITI ON

R EV U E, COR R 1GÉ E ET AU GMEN T É E, A VE C 15 PLA Ne If E SET 141 FI G UR E S

~8't

PARISLIBRAIRIE POLYTECHNIQUE, BAUDRY ET CIE, EDITEURS

15, RUE DES SAINTS-PÈRES, i5

MAISON A LIÈGE, RUE DE LA RÉGENCE, 21

Droits de traduction et de reproduction réservés.

AVANT-PROPOS

Très souvent, les jeunes gens qui embrassent la carrière des travauxpublics éprouvent de sérieuses difficultés pour étudier les premiersouvrages d'ad qui leur sont confiés; cela tient à ce qu'ils n'ont passous la main un guide résumant, d'une façon claire, simple, graduelleet méthodique, les procédés théoriques et pratiques employés par lesconstructeurs pour calculer les éléments de leurs projets. D'un autrecÔté, les praticiens ne se rappellent pas toujour.:; où ils peuvent trouverles renseignements dont ils ont besoin.

Mes fonctions à la Compagnie du Nord m'ayant mis à même deconnaître les questions qui causent ordinairement le plus d'embarrasaux débutants et, en général, à toutes les personnes qui s'occupent deconstruction, j'ai cru me rendre utile en donnant et en réunissant lessolutions élémentaires que j'avais pu trouver ou recueillir de cesdiverses questions, pour les publier dans l'ordre où elles se présententhabituellement dans la pratique. Il en résulte que mon ouvrage sedivise en deux grandes parties, savoir:

Première partie: fr/urs de soutènement et murs de revêtement;

Deuxième partie: Ponts et viad~tcs en maçonne1"te.

La PREMIÈRE PARTIE contient:

10 Les démonstrations élémentaires des diverses formules algébriquesqui servent à calculer les épaisseurs des murs de soutènement et derevêtement, y compris les murs en surplomb;

2° La discussion, par les mathématiques élémentaires, du maximumde la poussée des terres contre les massifs en maçonnerie; cette discv.s~sion est, croyons-nous, la seule qui existe jusqu'à ce jour sans lesecours du calcul différentiel;

3° Une méthode simple et expéditive du tracé de la courbe des pres-

sions dans les massifs en maçonnerie, méthode qui permet de vérifierrapidement les conditions de stabilité auxquelles ces massifs doiventsatisfaire pour tous les cas de la pratique;

4° De nombreuses applications numériques qui facilitent l'intelli-gence de tout ce qui s'e rattache à la construction des murs de soutè-nement et de revêtement;

DOLes formules qui donnent les épaisseurs des barrages en maçonne-rie et des batardeaux en maçonnerie et en charpente ainsi que celles desmurs de soutènement et perrés à pierres sèches.

La DEUXIÈME PARTIE comprend:

1° Des considérations générales sur l'emplacement et la direction desponts; sur la forme et la grandeur des arches et le classement de leursouvertures;

2° Le calcul du débouché des ouvrages d'art sur les rivières et à latraversée des vallées et celui des égout~ dans les villes;

3° Les formules empiriques qui sont le plus généralement employéespour déterminer les épaisseurs à la clef et aux reins des voûtes, ainsique les dimensions de leurs piédroits;

4° Le tracé des courbes d'extrados circulaires et elliptiques, la théoriecomplète et élémentaire du rayon de courbure au sommet d'une ellipseet le tracé pratique des normales aux intrados elliptiques;

5° La vérification de la stabilité des oUvrages d'art au moyen de lacourbe des pressions, tracée d'après la méthode de Méry;

6° La détermination graphique et la position pratique du joint derupture des voûtes, et un aperçu de la méthode de Dupuit ;

7° Des applications numériques facilitant l'intelligence du tracé dela courbe des pressions pour les diverses hypothèses que l'on peutfaire sur le travail des voûtes;

8° La vérification par le calcul des points de passage des courbes depression dans les piédroits;

9° Le tracé et le calcul des dimensions des piles de ponts et de via-ducs, d'après les poids qu'elles doivent supporter;

10° La tracé des voûtes en ogive et la vérification de leur stabilité;'11° Le calcul du refus des pilots en raison des charges qu'ils ont à

supporter et la détermination des dimensio nsdes blocs destinés auxenrochements;

12° Le raccordement des talus des remblais avec les murs de têtes desponts droits ou obliques;

13° Le cintrement et le décintrement des voûtes;14° Le raccordement des ouvrages d'art avec leurs abords;15° Enfin les proportions et dispositions architecturales des diverses

parties des ponts et viaducs.

AVANT-PROPOS III

Un dessin complet de ,pont dont toutes les dimensions ont été calcu-lées d'après les données qui précèdent termine cette deuxièm e partie.

De plus, à la fin du livre se trouvent, sous forme d'Appendice, destableaux complets renseignant le lecteur sur le poids du mètre cube et

la résistance à l'écrasement des matériaux de construction employésen France.

En un mot, cet ouvrage, dont la présente édition renferme toutes lesadditions qui m'ont été demandées, est le-résumé des patientesrecherches auxquelles je me suis livré, depuis que j'appartiens auxtravaux publics; il tient le milieu entre les recueils de formules empi-riques et les traités purement théoriques et comble, de ce chef, unelacune signalée depuis longtemps par les constructeurs.

Mon travail continuera, je pense, à servir de guide aux débutantset d'aide-mémoire aux praticiens, puisqu'il réunit et condense en unseul volume tous les renseignements qu'il leur faudrait laborieuse-ment chercher ailleurs, en dehors de ceux qu'aucun autre ouvrage necontient.

MAJUSCULES. MINUSCULES. KO~IS. VALEUR~

Â ex alpha aB ~,t) bêta br y gamma g

il 0 delta dE s epsilon eZ S dzêta dzH 1) êta êe e thêta th1 iota 1

K x kappa kA À lambda l

M P. mu 111

N v nu n:E: ç Xl X

0 0 omicron 0

TI 7t, m pl p

P P l'au r

L cr, c; sigma S

T 't' tau t

r u upsilon ucp CD phi phj

X X chi ch (aspiré)

"IF 0/ pSI psQ VJ oméga ô

ALPHABET GREC

ÉTUDES THÉORIQUES ET PRATIQUES

SUR LES

MURS DE SOUTÈNEMENTET LES

PONTS ET VIADUCS EN l\IAÇONNERIE

PREMIÈRE PARTIE

MURS DE SOUTÈNEMENT

CONSIDÉRATIONS GÉJ\'ÉJlALES

Après l'exécution des terrassements proprement dits, vient un

autre genre de travaux non moins importants: ce sont les murs

de soutènement. Ils se présentent surtout au projet, lorsqu'on ade grands remblais à soutenir, soit en rase campagne au bordd'un cours d'eau, au passage d'une vallée, soit dans une ville,lorsque l'espace manque pour donner aux talus leur développe-men t normal.

Les terres soutenues par un mur exercent sur la face posté-rieure de ce mur une pression que la théorie de la poussée des

terres a pour objet de déterminer en grandeur et direction; lorsquecette détermination est faite, en combinant la poussée que l'onconnaît avec le poids du mur qu'il est facile de calculer, on trou-

vera la résultante totale des actions auxquelles le mur est soumiset on reconnaîtra: 10 si celle résultante passe à l'intérieur de la

base du mur, c'est-à-dire si l'équilibre est possible; 2° et, dans lecas où cette première condition est réalisée, si la résultante nepasse pas trop près de l'arête de renversement, eu égard à larésistance propre du sol de fondalion sur lequel le mur est établi.

t

2 Muns DE SOUTÈNEMENT

Tout revient donc à déterminer la poussée des terres; maIS onconçoit immédiatement que celle détermination ne peut se faire

d'une manière absolue et qu'elle °est essentiellement variable, nonseule.ment avec la nature et la cohésion de chaque terre, maisencore avec les conditions physiques dans lesquelles cette terre se

trouve placée.Quand on parcourt, au bout de quelques mois, des remblais

récemment achevés et réglés, on est frappé du désordre qui s'estproduit, de la déformation des profils et des érosions des talus

résultant du tassement et des pluies. ,D'après M. Carvallo qui a fait de nombreuses expériences à cet

égard, le tassement des remblais ne suit de marche uniforme pouraucune espèce de terrain, aucune hauteur, ni aucun mode d'exécu-tion. Les remblais de toule nature, après avoir tassé, foisonnent à

deux époques distinctes de l'année: à l'époque des pluies d'automne

et à celle des pluies du printemps. Ce n'est qu'après la troisième

année qu'on peut considérer le tassement total :comme définitif.

Ce foisonnement périodique des remblais récents explique lesefforts exceptionnels de poussée latérale qui s'exercent contre lesmurs; ces efforts ont été signalés par les conslructeurs, sans que,pendant longtemps, ils aient pu leur assigner une cause précise;et c'est, croyons-nous, à cette circonstance que l'on doit bonnombre des accidents survenus dans les murs de soutènement et

clans les murs de tête des ouvrages d'art.Les remblais qui foisonnent le plus sont ceux où domine l'ar-

gile; les débris de rochers, les graviers et les sables purs sont ceux

qui foisonnent le moins; mais tous les remblais récents donnentlieu sans exception à un foisonnement plus ou moins dangereuxpour la stabilité des murs destinés à les soutenir, et qu'il convientde prendre en considération pour éviter tout mécompte.

Au point de vue pratique, et en présence des variations que la

poussée des terres peut subir par des circonstances accidentelles,il faut se contenter de la méthode la plus simple avec laquelle onsoit bien certain d'obtenir une solidité absolue des murs de soutè-

nement et, pour cela, éliminer toutes les forces accessoires quiconcourent à leur stabilité, telles que: la cohésion des terres,c'est-à-dire l'adhérence des molécules entre elles et leur frotte-

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES 3

ment sur les parois du mur qui les soutient et de ne considérer

que la poussée due au poids des surcharges qui agissent sur elles.Ordinairement, on ne tient pas compte, non plus, de la cohésion

des maçonneries, bien qu'elle exerce une certaine influence sur

la résistance des murs au renversement; d'ailleurs, cette cohésionest un élément très aléatoire, qui varie considérablement avec ledosage des mortiers et surtout avec le soin apporté dans l'exécu-

tion des maçonneries; le degré d'efficacité de cette force est, parsuite, bien difficile à évaluer et, pour cette raison, les construc-teurs ont pensé qu'il était prudent de ne pas la faire concourir il

la stabilité des ouvrages durables.C'est en parLant de ces données fondamentales que les ingénieurs

ont éta1li les formules usuelles, qui servent à déterminer les épais-seurs des murs de soutènement et que nous allons entreprendre

de démontrer.Le point de départ de nos calculs sera donc de déterminer expé-

rimentalement la densité des terres et leur talus naturel, c'est-à-

dire le talus sous lequel elles se maintiennent d'elles-mêmes, sansmur de soutènement et sans aucun moyen artificiel.

L'angle que ce talus' fait avec la verticale se désigne sous le

nom d'angle de glissement.

Densités et angles de glissement. - Les terres, eu égard à leur

densité et à leur angle de glissement, peuvent être classées commeil suit, dans l'hypothèse qu'elles viennent d'être fraichementremuées:

NATURE DES TERRESDENSITÉS

ANGLES

de OBSERVATIONSMOYENNES GLISSEMENT

Sable pur. ..""""

Terre forte et argileuse légèrementhumide. . . . . . . . . . . .

Sable terreux et humide. . . . .Terre végétale légère et légèrement

humide. . . . . . . . . . . .Terre glaise et argile compacte. .Vasefluide. . . . . . . . . . .

kg'.UJOO 60° Nota. - En pra-

tique on ramènera tou-jours à fun des cas ci-

contre les différentesnatures de terrain dont

l'anglA de glissement

se rapprochera le plus

de ceux: du tableau.

1600

1 700

j46° à 47°

1400.1 90016150

tHo

350

90°

4 Muns DE SOUTÈNEMENT

Ponr les 5 premiers types' de terrain, qui sont ceux que l'onrencontre le plus souvent dans la pratique, les inclinaisonsrépondent respectivement à 1m,73, 1m,38, P\04 1m,07 et OID,70de

base pour 1 mètre de hauteur. La base est infinie pour la vasefluide et l'eau.

Inclinaisons les plus usuelles admises en pratique. - Pour lesterres moyennes telles que le sable terreux et la terre végétalelégère, on adopte généralement l'inclinaison de 4~O qui répond à1 mètre de hase pour 1 mètre de hauteur; et, pour les terresargileuses, celle de 56° il 8' 30/1qui répond à 1ID ,;'50de base pour1 mètre de hauteur.

MURS ,A PAROIS VERTICALES

RE~IBLAIS SANS SURCHARGES

Ç.; - - -~- ~ - --?cl'f ,,'l 'l~. ~ "'l/O "/0 ' -l-é' Poussé e des terres - Soit un mura /. ~ JO .

01 ;;; Jq

..;~ Z/ .

'ln 'l'luu//"~ëabed à parois verticales, accolé à un

c d -massif de terre de même hauteur h

Fig. 1. .dque lui et pns tous eux sur une

tranche de 1 mètre d'épaisseur cc' pour sim plifier les calculs et lesraisonnements (fig. 1).

Supposons que les terres à soutenir aient b! pour talus naturel

d'éboulement et que le prisme db! soit d'un seul morceau. Ceprisme se maintiendra en équilibre sans exercer aucune poussée

MURS A PAROIS VERTICALES ;)

sur le mur 0bcd,. mais, si nous considérons un prisme dbe, il estévident qu'il exercera contre le mur une poussée due à son poids,diminuée par le froltement des terres sur le talus be et par lacohésion (celte cohésion peut être considérée comme nulle pOUl'

les terres remuées, ainsi que le sont généralement celles que l'onrapporte derrière les murs de soutènement, et nous la supposerons

telle dans tout ce qui suit); si, maintenant, nous considérons unautre prisme très mince dbg, placé le long du parement bd, il estcertain qu'il exercera contre le mur une poussée moindre que

celle du prisme dbe. Il existe donc entre le prisme qui s'appliquesur le lalus bl et le prisme infiniment ,mince pris contre le pare-ment bd, un prisme occupant une position intermédiaire enlreces deux limites qui doit exercer une plus grande poussée quetous les autres; on conçoit, à priori, que ce prisme doit se trouverdans la région médiane de l'angle db/" et nous allons démontrerqu'il en est ainsi.

La forme du prisme de poussée des terres contre les parois enmaçonnerie a fait l'objet de nombreux mémoires théoriques, à la

suile desquels il a été reconnu que les calculs basés sur l'hypo-thèse J'un prisme rectiligne pouvaient être tenus pour suffisam-ment vrais dans les applications.

A cet égard, M. Boussinesq a émis l'opinion suivante: « Quel-que peu exacte que soit, en général, l'hypothèse d'une ruptureplane, il semble, à cause de la faible variation de la poussée auxenvirons du maximum, qu'elle doit fournir un résultat passable-ment approché de la réalité. »

Nous avons donc adopté, dans tous les raisonnements qui vontsuivre, la manière de voir de cet éminent professeur à la Faculté

des sciences de Paris.

CALCUL DE LA POUSSÉE DES TERRES

10 Terrainsordinaires.- Soit ~ l'angle variable dbe des terresavec la verticale bd (fig. 2) ; cr l'angle du talus naturel de ces terresavec l'horizontale bt; et rJ. l'angle que fait ce même talus avec laverticale bd,. h, la hauteur du mur.

6 MURS DE SOUTÈNEMENT

Le prisme de poussée dbe a pour expression de sa surface:

1 hS .::= - bd x de .::= - X de

2 2

son poids, en appelant 8 le poids du mètre cube des terres, estdonné par la relation:

Poh

d.::= --:;- X e'"'

mais de = h tg~; d'où:Oh2

P = "---9 tg~'"'

Désignons par Q, la poussée des terres contre le parement bd

~.% .

JTI.aCOJlI1.eJ.'l~ ;;

~

Fig.2.

et remarquons que nous aurons sa valeur dès que nous con-naîtrons une force de direction opposée qui lui fera équilibre

(fig. 2).Le poids du prisme de poussée P qui tend à produire le mouve-

ment du mur suivant ba se décompose en deux forces GR et GS,dont la première, dirigée parallèlement à be, agit seule pour pro-voquer le glissement; la seconde GS perpendiculaire à be serésout en un frottement.

MURS A PAROIS VERTICALES

Ces deux composantes ont respectivement pour valeur:

7

GR = P cos ~ (Force mouvante)

etGS = P sin ~

Nous ferons remarquer que le poids P étant appliqué au centrede gravité G du prisme dbe, la composante GR rencontre la paroi bd

en un point tel que l'on a bM = -} bd = + h. C'est en ce point

que s'applique la poussée, comme nous le verrons tout à l'heure.Les forces qui font obstacle au glissement du mur se com-

posent:

1° De la poussée du massif abcd, c'est-à-dire de la résistancehorizontale Q qu'il oppose au renversement;

2° Des frottements.

La poussée horizontale Q 'peut se décomposer en deux forcesdont l'une:

OM= Q sin ~ (Force résistante)

agit suivant GR dans une direction opposée à celle qui produit leglissement et l'aulre :

MN= Q cos ~

perpendiculaire à GR et, par conséquent, à be, ne fait qu'augmen-ter le frottement. Ce frottement est proportionnel à GS, c'est-à-dire à la pression normale sur le talus be et au coefficient de frot-tement f de la terre sur elle-même, il est donc exprimé par:

Pf. sin ~ (Force résistante)

Enfin l'intensité du frottement dû à la composante MN de Q estégale à :

fQ. cos ~ (Force résistante)

Egalant la force mouvante aux forces résistantes, nous obtien-drons l'équation d'équilibre:

P cos ~ = Q sin ~ + P! sin ~ + tQ cos ~


On amène facilement cette équation à la forme ci-après:

Q = P C?S ~ - (sin ~S111 ~ + 1 cos ~

et comme

f = SIn 9coso

1

il vient:SIn 0 .

cos ~ ---'- sm ~Q = P

C?S y .. Sin 0 'sm ~+ ~ cos ~

cos 0j

effectuons les calculs et simplifions, nous aurons:

Q = Pcos ~ COS? - sin ~ sin 9 - P

cos (~ + cr)

sin ~ cos Cf + cos ~ sin cr - sin (~ + 9)ou

Q = P cotang (~ + 9)

mais si nous nous rappelons que

èh2P = 2 tg~

et que

Cotang (~+ 0 ) = 1)

j tg (~+ 9

nous obtiendrons, pour la valeur générale de Q, l'expression sui-vante:

Q èh2 tg ~--x- 2 tg (~+ cr)

Maximum de la poussée. - La poussée Q atteindra sa plusgrande intensité lorsque tg (;g~ (,1))aura la plus grande valeur pos-sible; nous allons donc chercher le maximum de cette expres-SIOn:

Remplaçons tg~ par

sin ~ et t (~ + CD) parsin (~ + 9)

cos ~g

T cus (~+ 9)

nous aurons:

tq~ - sinL. sin (~ + 9) - sin ~cos (~ + 9) .tg (~+ cr) - cos ~ . cos (~ + 9) - cos~ sin (~ + 9) ,

MURS A P AnOIS VERTICALES 9

multiplions et divisons par 2 le second terme de cette équation,

elle deviendra:t,q~ 2 sin ~ cos (~ + 9) .

tg \~ +?) - ~ CO'3~ sin (~ + 9), ( 1)

Si nous remplaçons a par (~ + cp) et b par ~ dans la formule

connue:

2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)

nous aurons par analogie:

2 cos (~ + 9) sin ~= sin [(~ + 9) + ~] - sin [ (~+ ?) - ~] -

sin (2 ~ + 9) - sin 9

Si nous faisons de même dans la formule suivante:

2 s~n a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)

nous obtiendrons:

2 sin (~ + 9) ~ cos = sin [(~ + 9) + ~] + sin [ (~ + 9) - ~] =

sm (2 ~+ 9) + sin Cf

et l'équation (1) prend la forme ci-dessous:

tg~ -sin (2 ~ -+ 9) - sin 9

tg \~ + 9) - sin (2 ~ -+ 9) + sin 9

le second membre de cetle équation peut s'écrire:

sin (2 ~ + 9)sin (:{ ~ + 9) + sin 9

sin (!)1 .

sin (2 ~+ 9) + sin cr '

ajoutons et retranchons au numérateur sm cp, l'expression précé-.dente deviendra:

sin (2 ~ +-,-9L+ si~-

2 sin crsin (:! ~ + 9) + sin 9 siu (2 ~ + 9) + sin cr

et par suite:

t.q~= i -.

2 sin 9 .tg (~ + 9) sm (2 ~ + 9) + sm 9

10 MURS DE SOUTÈNEMEKT

Cette dernière expression sera maxima quand la quantité à sous-traire

2 sin 9sin (2 ~+ (,?) + sin q;. .

sera minima, c'est-à-dire, puisque l'angle? est constant, lorsqu'onaura:

sin (2 ~ + 9) = 1

ou2 ~+ cr= 90°

ce qui donne90° - (,? (J.

~ = ~--!. = 2

le maximum cherché est donc réalisé par la condition que la ligne besoit bissectrice de l'angle î). formé par le parement vertical du muret le talus naturel des terres.

Cette discussion du maximum de la poussée Qpar les mathé-matiques élémentaires est, croyons-nous, la seule qui existe jus-

,,- .qu a ce Jour.

Prisme de plus grande poussée. - D'après ce qui vient d'êtredit, le poids du prisme de plus grande poussée est exprimé par larelation suivante:

Oh2 (J.P =-t g -"") '-)....

ValeU?'algébrique de la poussée maxima des terres. - Le maxi-mum de Q aura donc pour expreEsion:

.

(J.

Oh2tg

;2Q=-x ."2

tg (; + cr)

,

.(J.

( )tg -; et ; + cr étant complémentaires, 2

tg (~~ + cr )(J. IX

tg - tg -., .) (J.

(...

ex)ex

= tg22

tg 90° -"2

cotang2""

or

peut s'écrire:

pUIsqueIX tcotang- = -2 atg -2

MURS A PAROIS VERTICALES

et la valeur maxima de Q devient:

11

QOh2

2 ('/.- - tg -- 2 2

C'est le plus grand effort que puisse exercer horizontalement lemassif abcd contre la paroi bd; c'est aussi la poussée maxima desterres qui lui fait équilibre.

Comme on le voit, la poussée des terres s'obtient en multipliant

le poids P du prisme de plus grande poussée par tg~

.Dans la pratique, il faut donc construire les murs de soutène-

ment et calculer leur stabilité en vue du cas le plus défavorableque nous venons d'exposer.

Remarque. - Quand la cohésion des terres n'est pas nulle, lavaleur de la poussée horizontale devient:

Q = ~oh tg2 ; (h - h')

h' étant la profondeur à laquelle les terres peuvent être creuséesà pic, sans produire d'éboulement et leur surface supérieure ayantété préalablement dressée suivant un plan horizontal.

Dans le cas où le frottement et la cohésion sont tous deux nuls,

ce qui a lieu pour la vase fluide et l'eau, l'angle ri. devient droit ettg ~ = 1 ; par suite, la formule précédente se réduit à la forme

'"'simplifiée:Oh2

Q - 2

2° Terrains aJ'gilo-sableux. - Quand les terres à soutenir sontde nature argileuse et renferment de petits bancs de sable ou bancsde suintement, la glaise se détrempe sous l'action de l'humidité etle terrain glisse sur ces bancs, s'ils présentent une inclinaisonvers le mur, telle que dl (fig. 3), parce que le froltement y esttrès faible. La plasticité de l'argile permet aux terres de céder àl'action de la pesanteur et de glisser sur la base inclinée dl, parsuite de son contact immédiat avec la nappe d'eau.

Le prisme de plus grande poussée est alors limité par ce plan


de glissement et devient bd//\ par exemple, avec un volume con-sidérable; une ])oursouflure se produit à la surface des terrescontre le mur et délermine une fissure presque verticale fi' quitermine ce prisme à une grande distance de la paroi verticale bel.

O'

Fig. 3.

Le calcul, dans ce cas, ne pourrait être applicable que si l'onconnaissait bdll' et l'on serait, dans tous les cas, conduit à donner

au mur des dimensions considérables qui dépasseraient celles quel'on admet en pralique.

La seule solulion admissible, en pareille circonstance, consisleà faire un assainissement énergique du massif à soutenir, au moyend'un drainage suffisamment étendu et assez profond pour empê-cher les terres de se détremper dans le voisinage du mur. Cetasséchement du massif diminuera convenablement les chances deglissement et ramènera le volume du prisme de plus grande pous-sée aux dimensions ordinaires.

Point d'application et direction de la poussée. - L'équation

Q -Oh2

2 ~- 2tg

2

peut s'écrire:u

h tg2 -.)Q = oh- ---='-:2

<

MURS A PAROIS VERTICALES 13

Cette nouvelle forme fait voir quecontre le parement bd s'obtientaussi en multipliant le poids (3dumètre cube des terres par la sur-

face d'un triangle rectangle dbedont la hauteur est Il et dont labase be est:

la poussée Q des terres

c~."--------1,

d

l ')CI.

L tg-2

.

11111

~Q-+-'-:-'-0;:-'

1 1

1 1

(Fjg. 4) ::: ~col ,

. 1

":1 ~

a

-\

~

[~,, ,.-. t el.j- \

u~--\

"~ ~,,

\

eCeLLe base représente la pres-

sion au pied du mur et les paral-lèles à cette hase, les pressions sur les divers points respectifs duparement 1]dJ. la résultante Q de toutes ces pressions élémentaires

passe donc par le centre de gravité G du triangle, c'est-à-dire au

1/3 de la hauteur h, à partir du mur; de plus, la poussée Q s'exercenormalement au parement bd, puisqu'elle est parallèle à labase be.

Fig.4.

AIOlnent de la poussée. - Le bras de levier de celte poussée est

donc~ '

et son moment que nous désignerons par MQ est égal à

l1

"1 "

')a hl" ')

CI.1\Q = - à ~~ tg~- X - = - - àh3 tg" -.2 . 2 ~ 6 2

Quand on ne néglige pas la cohésion des terres, le point d'ap-

plication de la poussée Q se trouve un peu plus bas que le 1/3 dela hauteur du mur; mais, en pratique, on le suppose toujours

placé au 1/3 de ceLLe hauteur.

Aloment de ?'ésistance du mur. - Appelons x l'épaisseur cher-chée du mur, ~ le poids de la maçonnerie, par mètre cube, sonpoids est égal à la surface du rectangle hx multipliée par le poids 7:

de la maçonnerie, c'est-à-dire à :

P = ",hx,

son bras de levier est ~ et son moment de résislance est, en l'ap-""pelant MK :

X Û1X2MK=TIh..cx

2 =-2-

14 MURS DE 'SOUTÈNEMENT

Équilibre statique du mu)'. - Il Y aura équilibre statique quandle moment de la force Q, pris par rapport à l'arête extérieure dumur, sera égal au moment de résistance de ce mur, pris par rap-port à cette arête, c'est-;-à-dire quand on aura:

MR= MQ

ou bien7.hx2 1 ~ / 3 9 a-- = - 0 ~ tg~ - .2 6 2

Coefficient de stabilité et équilibre pratique du mu}'. - Mais, si

le mur est simplement en équilibre, il ne s'y maintiendra pas, parceque la résultante de toutes les pressions passera pal' l'arête de

rotation et sortira de la base pour la moindre déformation.Si l'on veut assurer la stabilité, il faut donc multiplier le second

membre de l'équation ci-dessus par un coefficient plus grand quel'unité; la pratique a enseigné qu'il convenait de prendre ce coef-ficient égal à 2 et l'on a alors pour déterminer x l'équation:

X2 2 ex 1 ex7th - = - àh3 tg2 - = ~ àh3 192 -

2 6 2 3 2.

Cependant quelques constructeurs adoptent des coefficientsvariant de 1,00 à 2, et pour l'hypothèse de .1,00, l'équation ci-des-sus devient:

. x2 1,50' 1 2 ex. 1.~ ex.Teh- = - à ~3 tg- - = - oh3 19 2-

2 6 2 4 2.

Mais nous pensons que ce coefficient de 1,00 doit être sérieuse-ment vérifié dans ses résultats, en faisant des expériences directessur la cohésion des terres à soutenir, sur leur talus d'éboulement,et en traçant la courbe des pressions.

Valeur de x ou Épaissew' du mur. - L'équation prétôédente

x2 1 ex.r.h - = - àh3 192 -2 3 2 '

donne en chassant le dénominateur de x2

2 ex.Tehx2= - 6h3 tg2-

3 ~ '

MURS A PAROIS VERTICALES 1t)

puis, en divisant chaque membre de l'équation paf le coefficient7'C h de x~ :

<) ~h3 IX~

""' t 0x~ ==-3- , g~-

2 'TC L

simplifions, il vient:~ 2 ~h2 ~ IX

x~ ==_3 - tg~-:-) ,

7t t-I

qui peut s'écrire:2 )) CI.

x2== - -h2 tg2 -;3 TC 2

d,

' l ' t.

. ou on Ife:IX j '>"'x ==h tg -2

\, .-:'..~V 3 TC

(Formule n° 1)

REMBLAIS AVEC SURCHARGES

Si le prisme de plus grande poussée était surmonté d'un cavalier

ou d'une surcharge quelconque, il faudrait ajouter le poids de cecavalier ou ,de cette surcharge à celui du prisme de plus grande..poussée pour calculer l'épaisseur x du l1lur de soutènement.

[Nous supposons toujours que les raisonnements portent sur

une tranche de mur et de prisme de 1 mètre d'épaisseur (fig. 5).]

i11

Q. ~:~-'-'-'-l-f

1 11 11 ,..sI""1 : ~

L.'L-y;;

.%%, ç,

f

tKi.te~.

Fig. 5.

Soien t :

TC' le poids total du cavalier sur le prisme de plus grande poussée;p le poids de ce cavalier par mètre carré;Mo le moment de la poussée Q;K le poids du mur sur 1 mètre d'épaisseur;~h le moment de résistance du mur.


Le poids du prisllle de plus grande poussée est, nous le savons,égal à :

p = -+ ~h tg ; ,

et la poussée à :

Q = ~~h2 tg2 ; .

Au poids du prisme de plus grande poussée P nous ajoutons lepoids TC' du cavalier; mais ce poids

70/= P x beor

be= bd tg~ = Il tg

~et alors:

.

7;'= ph tg ; ;

La valeur de la poussée Q, en tenant compte de la charge ducavalier, sera de :

Q= (p + 70') tg ~;

Remplaçons P et TC' par leurs valeurs, nous aurons:

(' 1\' 9 IX U ) IX (1

\' \ IX (oh)

IXQ =

,2oh~ tg

~ + ph tg 2 tg2 = 2

oft2 + ph) tg2"2 = h 2 + P tg2:3;

En multipliant et divisant par 2 cette dernière expression, elledevient:

Q= ~ (~h + 2p)tg2;

Le moment de cette poussée est:

f [h (\' 1 ) . IX ] h h 2

2ex (1'/ )~ Q = 2- 0 ~ + 2p tg:!.;z- T = (3 t'./ ~

0 L + 2p

Le moment du mur est exprimé par la relation connue:

x2MK = 70h~ ;

'"'

Il Y aura équilibre statique quand les deux moments MQ et MKseront égaux; mais pour la stabilité pratique, il faudra poserl'équation:

MK = 2 MQ

MURS A PAROIS VERTICALES 17

En remplaçant ces moments pal' leurs valeurs respectives, il

vient:

d'où l'on tire:ex

4[

h2 ex( )] 2h 0.: (" )tg2:2

( ". )x2=- -tg2-:- àh+2p =- 3 tg2" oh+2p =- 3 ~

2oh2 +4phr-h 6 2 TI '"' " .

x2 [ h2 0.: (" )]7:k 2 = 2 Gtg2

2 oh +2p

Divisons et multiplions par h2 le second membre de cette éga-

lité :ex 9

exIg2

2 l2 (2oh2+ 4.~h ) =~. 2 h2 (20 +

4p )x2 = ~ ~ h2 h2 3rc h

Divisons et multiplions ensuite par 2 le dernier membre dol'équation, nous obtiendrons:

tg2~ ( '» )x2 =. 2h 2 0 + ~p

J7t h

D'où l'on tire finalement la valeur de x :

CI.

V2 ("

2p )x = htg - -:- 0 +-2 ii7t h

(Formule n° 2.)

On arriverait encore au même résultat en supposant que la sur-charge affectât la forme d'un parallélogramme dont l'un des côtéslatéraux serait en prolongement de la bissectrice de, car ce paral-lélogramme est équivalent au rectangle TI'.

Observation. - Au fur et à mesure que le poids du cavalier oude la surcharge TC'augmente, le point d'application de la pousséechange et remonte au-dessus du 1/3 de la ha.uteur du mur; qua.ntil la bissectrice, elle ne reste dans la même position qu'à la condi-tion que la surcharge soit uniformément répartie sur le prisme de

plus grande poussée; mais c'est le cas le plus ordinaire.Dans la pratique, on ne tient généralement pas compte des cir-

constances qui modifient le point d'application de la poussée et laposition de la bissectrice de l'angle (l'; autrement, la question dusoulènement des terres se compliquerait à l'infini, au lieu de ros-

2


ter soumise à des principes généraux, faciles à comprendre et àmettre en application. On n'a rien à craindre de ce fait puisque le

moment du mur est pris égal au double du moment de la poussée.Du reste, la formule n° 2, basée sur ces hypothèses, est jour-

nellement employée par les constructeurs et on la trouve dans

tous les ouvrages sur la matière.Cependant, si l'on voulait déterminer graphiquement le point

d'application de la poussée, on chercherait le centre de gravité du

prisme de plus grande poussée augmenté de sa surcharge et, par

ce centre de gravité, on mènerait une parallèle à de; celte paral-lèle rencontrerait la paroibd au point cherché.

Formule de M. de Lagl'ené. - NI. de Lagrené a donné la for-mule suivante pour exprimer la hauteur exacte du point d'appli-cation de la poussée au-dessus du point d, dans le cas d'unesurcharge uniformément répartie sur le prisme de plus grandepoussee:

IL (h + 3 h')q = '3 (h

+ 2 h')

dans laquelleq déÛgne le point d'application cherché de la poussée;h la hauteur du mur;

et h' le quotient de la surcharge p, sur un mètre carré, par lepoids 8 du mètre cube de terres.

On peut remarquer que le rapport~ est égal à la hauteur de

terre, de densité 8, qui représenterait la surcharge p.

MURS AVEC FRUITS

REMBLAIS SANS SURCHARGES

MURS AVECFRUITS EXTÉRIEURET INTÉRIEUr..- Soit un mur àsection trapézoïdale abecl de largeur x au sommet, avec des fruits

mesurés par ~et 1~ (fig. 7);

Cherchons-en l'équation d'équilibre, en ne considérant que la

tendance au _renverse111ent autour de l'arête c, car lorsque cette

MURS AVEC FRUITS i9

tendance est suffisamment combattue, le glissement n'est pas àcraindrf' .

Du reste, il est toujours facile de vérifier si la poussée Q estinférieure au frotte-ment du mur sur sabase, frottement au-quel s'ajoute la co-hésion, quand la fon-dation est en maçon-nerIe.

Dil'ection de lapoussée. Nousavons dit précédem-ment que la pousséeest normale ap. pare-ment intérieur ver-tical bd quand lesterres sont arasées horizontalement à la hauteur du mur (fig. 4) ;mais lorsque ce parement est incliné (fig. 6), on cherche la pous-sée sur le plan vertical dn passant par l'arête d du massif, puis onétudie les conditions de résistance du massif total abndc, composéd'un prisme de terre dbn et d'un prisme en maçonnerie abcd; leplus souvent, on néglige le prisme de terre pour simplifier la ques-tion : c'est même ici que les formules en usage ont été cons-truites par les Ingénieurs.

Quand les terres à soutenir sont limitées à leur partie supérieurepar un plan bm faisant un angle ~avec l'horizon, la poussée Q sur

le plan verlical dn est encore normale à ce plan (fig. 6), ainsique l'a démontré M. l'ingénieur en chefGobin.

Cela est, à plus forte raison, vrai quand le plan bm prend la posi-tion horizontale b'm, puisque, dans ce cas, le prisme de plusgrande poussée reçoit une surcharge uniformément répartie sur leterre-plein qui limite sa face supérieure.. Les remarquables travaux de M. Gobin élucident enfin une ques-

tion importante restée, jusqu'à ce jour, obscure et incertainemalgré les innombrables et savantes discussions dont elle avait


été l'objet de la part des Ingénieurs de la France et de l'étranger;ils se traduisent par le théorème suivant:

« La poussée des terres contre le parement vertical est toujours« horizontale et indépendante de la position du talus qui limite le« massif à la partie supérieure. ))

D'un autre côté, M. Clavenad, ingénieur des ponts et chaussées,qui a fait une étude complète des massifs en maçonnerie, estarrivé à la conclusion suivante:

« Pour des ouvrages durables, qui doivent être établis avec une« grande stabilité, nous pensons qu'il convient de calculer l'épais-« seur des murs de soutènement dans l'hypothèse unique d'une« poussée horizontale et de manière à ce qu'il n'y ait tendance ni« au renversement, ni au glissement. ))

Ainsi dans la pratique, quelle que soit la forme d'un mur etcelle du massif qu'il soutient, la poussée des terres doit toujoursêtre appliquée horizontalement, soit contre le parement bd (fig. 4},soit contre le plan verlical dn (fig. 6) limitani le prisme de plusgrande poussée.

%

~-,

- -- - -_4

- - - ~-1\

I~~

TG ~! ~1

b-. l

'

1 i

Fig. 7.

Poussée des tel'l'es. -

La poussée des terresQ est toujours donnée

par la formule:

Q I" Ci!= - oh2tg2 -:2 2

Moment de la pous-

sée. - Et son momentpar rapport à l'arête (c)est:

1 Ci!Mn = - oh3tg2-

'" () 2

Moment de résistance du mur. - Pour évaluer le moment résis-tant du mur, nous le décomposerons en un rectangle flanqué dedeux triangles, et nous chercherons les moments. de résistance des

MURS AVEC FRUITS 21

figures partielles dont les centres de gravité sont respectivementen g, G et g' (fig. 7).

Le poids du triangle ace est égal à -

ae TIh h hr: x

2x ce = 2 x ce==. TI

2"x n ;

son bras de levier par rapport à l'arête c est

2 2h;r x ce == 3n

et son moment de résistance MT est

h h '2h h3Mr=='TI -X-X-==.r:-2 n 3n ::In2

Le poids du rectangle abe( est

'Tt x ae x e( = T':hx

son bras de levier est

e(-

h x .ce +'> - - + -2 'n

et son moment de résistance MR est

MR= ÛLX (~ + ~ ) = 'It(hX2

+h2X ).

n 2 2 n'

Le poids du triangle b(d est égal à

~ h h hTI X 2" x (d ==. TI 2

x (d ==. TI2'"

x m;

son bras de levier esti h hce + e( + - (d = - + x + -3 n 3m

et son moment de résistance MT' est

'. h h (h, h )MT' = 7t ~

2x - - T X + -

3;

~ m n m

effectuons les calculs;

( h3 h2X h3 )MT, = 7t '

2- + ') + 6~mn ,..m m

En adoptant pour coefficient de stabilité le nombre 2 qui estindiqué par l'expérience, nous dèvrons, pour déterminer x, égaler

22 MURS DE SOUTÈNE:MENT

la somme des moments résistants trouvés ci-dessus au double dumoment de renversement et il en résultera l'équation fondamen-tale:

2 MQ = MT + lUR + MT'

ou en remplaçant ces moments par leurs valeurs algébriques:

1 c>: (hX2 h2X h3 h3 h2X h3

)"3oh3tg2

2.= 7t 2 + n + 3n2 + 2mn +

';:,171 + 6m2

mettons h et h3 en facteurs communs, il vient:

1 0: (X2 hx hi;

) ( 1 1 1 )- oh3tg2- = 7th - + - + - + 7th3 --:- + - + ~3 2 2 n . 2171 3n2 2mn 6m2

divisions par TIh les deux membres de l'équation précédente etmettons x en facteur commun:

h2" c>: x2 (h h ) x + h2 (-~ + ~ + ~ ).37t

otg2"2 ="2 + n +

2171 3n2 2mn6m2'

faisons passer le dernier terme du second membre de l'équation

dans le premier membre, nous obtiendrons en transposant:

x2 (h h ) h2 0: ( fI 1 )- - - x - -- olr 2 - - h2 - - -2 + n + 2171 - 311"[)

2 3n~ + 2mn + 6m~

multiplions par 2 tous les termes de l'égalité ci-dessus:

x' + 2 (~~ + ~~) x == 2 [:~ 6lg2 ; - h2(3:22 + 2:112 + 6:n~ )] ;

d'où l'on tire la valeur de x :

1(1 1 )+V ') (1 1 )2

[h2" 2c>:

1 2( 1 2 f )]x=- l -+- - h" -+- +2 -otg -- l ---:-+-+---:n 2171 n 2m 3" 2 3n2 2mn 6m2

effectuons les calculs sous le radical et transposons les termes, ilvient:

:t V~~2 otg2 ; + h2(~2 + ~n + 4~2) - 2h2 (3~2 + 21~n + 61~22);

faisons sortir h2 du radical, nous aurons en supprimant la secondeparenthèse:

~/2"oC>: (1 1 1 2 1 f )+ h V 3" otg-"2 + n2 + mn + 4m2 - 3n2- mn - 3m2.'

MURS AYEC FRUITS 23

prenons 3n2 pour dénominateur commun des termes en n~ et'12m2 pour dénQminateur commun des termes en ln2 et faisons lescalculs, nous obtiendrons après simplification:

V2 . C( i 1

+ h ~ ote - --. - - -37t

IJ2. + 3n2 12m2

et la valeur de x prend la forme suivante:

(1 1 )+ V2".cx 1 1x = - h - - h - at - - - --- -

n + 2111,~

370'

g2 + 3n~ 12m2

enfin, mettons lt en facteur commun, et

x = h [- (~+ ~ ) + ~ /~ otg2.!- + ~ - ~ J(Formule n° 3.)

n 2m V 37t 2 3n2 12m2

Les constructeurs ont, avons-nous dit, négligé le prisme deterre dbn compris entre la paroi interne du niur et le plan verticalmené par l'arête intérieure d, pour éta-

. - - - ablir leurs formules; cette manière de Î'

1

faire ne présente guère d'inconvé- :

nients, dans la pratique, car ce prisme:ajoute peu à la poussée et dès que le : ttalus a une grande hauteur, la paroi ~;g

1

interne du mur est ordinairement dis- 1l "-

posée par assises en retraite, en sorte:1

que le prisme considéré ajoute à la 11

stabilité .de l'ouvrage. a M

1l ,

1 1 :~ -1L. -,! - -.x -- - .J

11'MUR AVECFRUIT EXTÉRIEUR. - Quand

les murs de soutènement ne pré-

sentent qu'un fruit extérieur, comme cela arflve générale-

ment, ~ = 0 et laformule précédente, après toutes les simplifica-tions qui résultent de cette hypothèse, prend la forme suivante(fig. 8) :

Fig. 8.

x = h (- ~ + ~ /~ otg2 .!- + ~ ) (Formule n° 4.)n' V 37t 2 3n2

24 :MURS DE SOUTÈNEMENT

Le type ci-contre est habituellement employé pour les murs desoutènement établis le long des routes et des quais.

MURs AVEC FRUIT INTÉRIEUR. - Dans le cas où l'on aurait à cons-

truire un mur à paroi extérieure verticaleet face intérieure avec fruit, la valeur dex serait donnée par la formule suivante,

+ étant égal à 0 (fig. 9) :

Ce genre de murs se- rencontre parfoisdans les ponts où les culées, au lieu d'êtreprofilées verticalement du côté des terresou de présenter des retraites, ont unfruit intérieur rachetant la différence

de largeur au sommet et il la base.

MURS AVECRETRAITESINTÉRIEURES.- Les murs pleins ayecretraites intérieures peuvent être assimilés à des murs ayant un

fruit intérieur dont la ligne fictive bd

passerait par le milieu de chaque re-traite (fig. 10). Dès lors, ces murs secalculeront par la formule précédente,

bien que, dans ce cas, le poids des

terres reposant sur chaque redan viennes'ajouter au poids du mur pour en

augmenter la stabilité. Il serait, d'ail-

leurs, facile de tenir compte du poids

des terres en l'ajoutant au poids du

mur dans l'équation des moments de

résistance et de renversement, si le

cube de terre équivalant au prisme bd( était assez important pour

ne pas être négligé. Mais presque jamais, en pratique, on ne faitintervenir le poids de c~ prisme dans les calculs, afin de laisserplus de sécurité au moment résistant du mur.

'"

10

0 dl

'11 1

11

r 11(-- --~- -- -À--_lL-,I'111.

Fig. 9.

a fv/. >-.;

---X----/./.%

;

c

Fig. 10.

h ( 1 +V2" 9 IX 1 )x== --- ;--ol{r ;: (Form. n° 5. )2m 31(" 212m2

MURS AVEC FRUITS 25

Ces murs sont communément employés pour former les culées

des voÙtes en maçonnerie.


MURS AVEC FRUITS INTÉRIEUR ET EXTÉRIEUR. ' Quand le prisme de

plus grande poussée est soumis à une surcharge quelconque,l'équation fondamentale qui sert à déterminer x prend la formesuivante:

h20 a () (h:t2 h2x h3 h3 h2x h3 ');j t[r 2 oh + 2p = TC 2 + n + 3nô! + ~mn + 2m + om'

Cette équation, après les simplifications dont elle est susceptible

et qui sont analogues à celles de l'équation relative aux murs avecfruits sans surcharge, donne pour la valeur de x:

[ ( l 1 ) V2 q IX

(~ 2p) 1 1 ]x=:. h - -: + - + -;- tg" - 0 + ~

.

+ -:- - :- (Formule n° 6.)n 2m 3.. 2 h 3n2 12m2

MURs AVEC FRUIT EXTÉRIEUR. - Si le mur n'a qu'un fruit exté-rieur i., la quantité ~ devient égale à 0 et la formule généralen mprend la forme:

x = h [-~

+ Vi): tl~ (0 + 2~)) +

3]~,2J \Formule n° 7.)

MURS AVEC FRUIT INTÉRIEUR. - Quand le mur a sa face extérieureverticale, l' expression ~ est égale à 0 et la valeur de x est donnéenpar la formule:

[ 1 ,

\;/2 . a (~ 2P) 1 ]x = h - - ::!: - tg2 - 0 + - - :- (Formule n° 8.)'2m 3.. 2 h 1 '2m2

'}

MURS AVECRETRAITESINTÉRIEURES.- Ces murs se calculent, ainsi

que nous l'avons dit, au moyen de la formule précédente n° 8, ensupposant ~une ligne de talus bd remplaçant les retraites et passantpar le mi1ieu de chacune d'elles.

REMARQUE.- Si dans la formule générale n° 6, on fait, à la fois,~ = 0 et ~ = 0 la valeur de x devient:n m

IX

V2 (~ 2P)x = htg - - 0 + -

2 3" h

26 :lUURS DE SOUTÈNEMENT

valeur que nous avons obtenue précédemment pour l'épaisseur desmurs à parements verticaux et qui se trouve ainsi vérifiée.

MURS JUMEAUX

Lorsque le défaut d'espace ou d'autres considéralionsconduisentà supprimer les deux talus d'un remblai, on soutient le massif

central bd bldl des terres an moyen de deux murs jumeaux, c'est-

0 b'

Fig. 11.

à-dire construits simultanément avec ou sans fruits; c'est le casdes murs en retour des ponts.

Pour déterminer les conditions d'équilibre de ces murs on cal-

cule celles de l'un d'eux comme il suit (fig. 11) :Soit le mur abcd; on prolonge la bisseçtrice de de l'angle ri.

jusqu'à sa rencontre en e avec le parement inlérieur bldl du secondmur; par ce point e on mène la ligne egn parallèle à la ligne ad

qui limite la surface supérieure des terres à soutenir et l'on obtient

ainsi le massif g661e ou TC' qui surmonte le prisme de plus grandepoussée gde agissant sur la partie_correspondante cdng du murconsidéré.

Au poids de ce massif on ajoute celui résultant du stationne-ment des voitures dans la longueur des mun. de soutènement; on

MURS SOUTENANT DES TERRES EN TALUS 27

rentre alors dans le cas orJinaire d'un mur soutenant un remblaiavec ses surcharges permanentes et accidentelles.

Cette circonstance (que l'on ne rencontre pas toujours dans lapratique) n'est pas négligeable, car si la poussée des terres avaitune intensité supérieure à la résistance des murs, elle en amène-rait fatalement la ruine dans un avenir plus ou moins éloigné.

C'est probablement à des appréciations .incomplètes de ces con-ditions d'équilibre des murs jumeaux que l'on doit les désordresque l'on constate dans certains ouvrages de ce genre.

Observation. - Il est à remarquer que l'on pourrait calculerl'épaisseur de la partie supérieure abgn du mur abcd en la suppo-sant soumise à l'action combinée du prisme partiel gbi et de sa sur-charge accidentelle, puis déduire des résultats du calcul un profilmoyeu de mur satisfaisant à la stabilité pratique, soit au moyend'un fruit intérieur, soit au moyen de retraites convenablementdisposées.

MURS SOUTENANT DES TERRES EN TALUS

~our calculer l'épaisseur des murs soutenant des terres en talus,on considère, en pratique, le prism~ de plus grande poussée commelimité horizontalement à la hauteur du mur suivant ne et commesupportant une surcharge neop (fig. 6); on rentre alors dans lecas ordinaire d'un remblai avec surcharge.

Les formules générales nOS2 et 6 confirment d'ailleurs cettehypothèse.

Ensuite on tracera, comme n@"Usl'expliquons plus loin, la courbedes pressions pour vérifier les résultats du calcul; cette courbe-indiquera les modifications successives à introduire dans l'épais-seur du mur pour arriver à faire travailler convenablement lamaçonnerie tout en assurant la stahilité de la construction. - Unemaçonnerie travaille convenahlement lorsque la pression par cen-timètre carré sur un joint quelconque approche de la limite de larésistance prq.tique des matériaux à l'écrasement.


MURS EN SURPLOMB


On peut être amené par mesure d'économie à adopter un profilde mur en surplomb du côté des terres. Toutefois, ce surplomb nedoit pas être assez -fort pour que le mur ne puisse se tenir deboutlui-même sans le secours de la poussée des terres; autrement lesmaçonneries se disloqueraient à la base et les conditions de stabi-lité ne seraient pas satisfaites,

Il suffit pour parer à cet inconvénient que le centre de gravité

,

ri0 Fig. 12.

du mur ne tombe pas à droite du point d (fig. 12) ; généralement,on s'arrange de façon que la verticale GP passant par le centrede gravité du massif de maçonnerie coupe la base entre les 0,66

à 0,70 de cette base, mesurés ~.. partir du point c.Les fruits le plus ordinairement employés dans les murs en sur-

plomb sont les suivants:

1/5 pour le parement extérieur,1/10 pour le parement intérieur;

ils donnent un profil de mur tel que, quelle que soit sa hauteur,

MURS EN SURPLOMB 29

son centre de gravité satisfait à la condition ci-dessus énoncée(fig. 12).

On voit les avantages que procurent les murs en surplomb: leprisme de plus grande poussée est notablement réduit, et les terressupprimées sont celles qui ont le plus de tendance à renverserle mur; la poussée diminue au fur et à mesure que le fruit duparement intérieur augmente, enfin la position ducentre de gravitéfait que dans un mouvement de glissementle mur tendrait presqueautant à s'appuyer sur les terres qu'à se déverser en dehors.

Pour trouver la pousséé des terres sur un mur en surplombabcd, M. Gobin remplace le parement intérieur bel par une sériede redans et il mène par les angles saillants de ces redans deslignes parallèles au talus naturel des terres el! J' ces lignes déter-minent dans le massif des tranches parallèles superposées dontchacune agit sur une partie seulement du parement vertical cor-respondant et y produit une poussée horizontale (fig. 13).

Fig. 13.

Ainsi le parement mp est pressé fortement dans la partie oppar la tranche opgh et la partie mo l'est infiniment peu par rapportà op quand on remplit l'espace mno artificiellement par un ré ga-lage soigné des terres; cette partie mo ne serait pas pressée sil'espace mno restait viùe.

Le rapport de la partie pressée op à la longueur totale duparement partiel mp dépend de l'angle e que fait le parementen surplomb bel avec la verticale et de l'angle Cfdu talus naturelavec l'horizontale.


En cherchant ce rapport, nous aurons:

mn = mp IgO ;

mo -= mn 19r;; ~ mp IgO tg? ;d

, ,ou :

op = mp - mo = mp (1 - tgO lorr) ;

Le rapport cherché sera donc:op

= 1 - tgO tgo.mp

j

En supposant que le nombre des redans se multiplie à l'infini,la loi précédente ne cessera pas d'être vraie; à la limite, elle lesera encore et l'on peut dire que le parement incliné bd reçoit unepoussée égale à celle que supporterait le parement vertical dg

(fig. 12), multipliée .par le rapport:1 - IgO tgrp

En appelant Qs cette poussée sur un parement en surplomb,nous aurons:

Qs = Ü (1 - tgO tgrr) =~

oh2tg2 ; (1 - IgO 19rr)

La démonstration précédente nous a con-

duit à chercher, comme il suit, une formuledonnant directement l'épaisseur des mursen surplomb.

Moment de la poussée. - Ce moment parrapport à l'arête c est égal à :

MQs=~

8h3'u2~ (i - ';0 tgrr)

Momentl'ésistant du mu]'. - Pour éva-luer le moment résistant du mur, nous ledécom poserons en un triangle ace et en untrapèze ab(e dont le moment est égal àcelui. du rectangle abed diminué du mo-ment du triangle b(d (fig. 14).

Ainsi que nous l'avons vu précédemment, le moment MT dutriangle ace est égal à :

h3~h = 'TC~.3n~

MURS EN SURPLOMB

et le moment MR du rectangle abed à :

(hX2 h2X ).!\IR = r; - + -2 n

Le poids du triangle bfd est:

" x bd x fd = "h x !!... = "h22 :2 ln 2m

Son bras de levicr est:

3i

2ce + ef + J rd

maISh

ef = ed - fd = x - -ln

d'oÙ:

ce + ef +~

fd =~. + (x- ~~) + ~ ~

son moment de résistance MT' est donc:

MT' ='Tih2 [~ + (X -

h) +2 h

J2m, n m 3 m

effectuons les calculs et mettons TC en facteur commun:

(h3 h2X h3 2h3 )MT'=" 2mn + 2m - 2m2 + 6m2

simplifions, il vient finalement:

(h2X h3 h3 )MT' = r; - + - - -2m 2mn 6m2

Le moment MTR du trapèzc abel est donné 'par la relation SUI-

vante:l\hR = MR - MT'

ou en remplaçant les moments par leurs valeurs respectives:

- [(hX

.

2 h2;J.') (h2:/J h3 h3 )]MTR-TC -+- - -+---2 n 2m 2mn 6m2

effectuons les calculs, nous aurons:

(h;r;2 h2x h2;r; h3 h3 )MTR = 1t - + - - - - - + -:2 n 2m 2mn 6m2

En faisant la somme des moments du triangle aee et du trapèzeabfe et en adoptant le coefficient de stabilité 2, nous auronsl'équation fondamentale ci-dessous:

~ M3t 2 ~ (i - t el ) = 1':(~ +hx2

+h2X

-h2X

- ~ + ~ );3 9 '2 9 9rp 311,2. 2 n 2m. 2mn 6m~

32 ~IURS DE SOUTÈNEMENT

mettons lt et h3 en facteurs communs:

1"

'l. ( fi \ 1 (,1:2 hx ln;

) ( 1 1 1 )"3°h3tg2 21 - tgvtgr:;j = TcL

.~ + 1/:- 2m + nh3;~n2 - '2m11, + 6m,2

divisons par ...h les deux membres de l'équation précédente el

mettons x en facteur commun:

h2 ex ( ) x2 (h h ) ( 1 i 1 )-Ol2- 1-t et t:i =-+x --- h2 --- -3n

g2.

g g j

'2 n 2m + 311,2 2m11, + 6m2

faisons passer le dernier terme du second membre de l'équationdans le premier membre et transposons:

~2 + x«~ - 2~) = ~~~

otg2 ; (1 - tgelgr:;) - h2(3:l2 - 2~n + 6L2)

multiplions par 2 tous les .termes de l'égalité ci-dessus:

9 (h h ) [h2" 2 cc ( ) . (

{ 1 i )]x-+'2x --- =2 . olg - 1-.tiJetgtfi -h2 -.

'. --+-n 2m 3n 2 ., . 311,2 2mn 6m2

d'où l'on tire pour la valeur de x :

( i i

)x=-h r;-2rii ::t

Y. (

{ 1 )2

[h2" 2 cc ( ) . ( l { {

)]+ h2 -- - ..L2 - otg - 1- tge tg C9

.

- h2 --:-- : +~n '2m 1 3n '2 r 3n2 ::.mn 6m2

effectuons les calculs sous le radical et transposons les termes, ilvient:

Y2h2 ex ( . ) . 2 (1 1 1 ) 2 ( i 1 1 )-+- -at 2- 1-1 et IL" --- - -'2/r --- ~- 3n g

2g gr:; + n2 mn +

4m2 Jn2 2mn + 6m2

faisons sortir h2 du radical, nous aurons:

Y'2"9CC ( ) ( 1 1 1\

) ( 1 1 1 )+h-ot"- l-t et t:i --- - -2 --- -- ~;)n g2

g g j + n2 m11, + 4m2. 3n2 2mn + 6m2

effectuons les calculs et supprimons la seconde parenthèse:

Y2

"9 cc ( ) (

1 1 1 2 1 1 )+h . -al"- 1-t et --- --- ---- . 31tg

2g gr:; + n2 mn + 4m2 311,2+ mn 3m2

prenons 3n2 pour dénominateur commun des termes en n2 et 12 m2

MURS DE REVÊTEMENT 33

pour dénominateur commun des termes en m2 et faisons les cal-culs, nous obtiendrons après simplification:

+ h V :,.otg2 ; (1 - tgO tg?) +

3~~2-

12~~

et la valeur de x prend la forme suivante:

x = - h (~ - ~ ) + h \/~ ôtg2~ (1 - tgOtg?)12 2m °" 2

enfin mettons Il en facteur commun.

1 1+ 3122- 12m2

x = h [- (~ - ~ ) + ~ /~ otg2 ~ ('1 - tgO tg':D) + ~ - ~ J12 "2m V ;)7t 2 1312" 12m-

(Formule n° 9.)

VÉRIFiCATION.- Si dans celte formule on suppose~~ = 0, le

parement db devient vertical, e = 0; par suite tgO = 0 et l'on

retrou ve :

( 1'.1

2 orx. 1 )x = h - - + - olg"- + ----.12 3n- 2 3n"

(Formule nO 4.}


Quand le prisme de plus grande poussée reçoit une surchargeaccidentelle ou permanente, la valeur de x prend la forme sui-vante:

X=h [- (~-~ )+~ /,2 tg2~ (1-tgOtg(f) )(o+2P)+~ -~J12 2m V 3" 2 1

\ h 3n2 j 2m2

(Formule nO 10.)

MURS DE REVÊTEMENT

MURS A PAREMENTS VERTiCAUX

Les murs de soutènement ne rachètent parfois qu'une partie destalus des remblais; dans ce cas, ils se distinguent des murs desoutènement proprement dits en ce que le terre-plein s'élève encavalier au-dessus du mur qu'il recouvre en partie, comme l'in-dique la figure US ; ils prennent alors le nom de murs de revête-

ment.3


Connaissant la hauteur

bd = Il du mur et la lar-

geur aq = y de l'espace

'0.\ appelé berme compris en-\ .

-') tre l'arête supérieure ex-.'\ '.0\.

.terne a du mur et le pied 9

;";j du talus extérieur du cava-,

lier, le problème consiste

à déterminer l'épaisseurab = cel = x que doitavoir le mur pour qu'il

'. \puisse résister à la pousséedes terres, c'est-à-dire ne

~

.'.: point être nmversé en

~/'- dehors, en tournant au-

tour de l'arête projetée en

c et ne pas glisser sur labàse cd.

La théorie de la pous-sée des terres permet

ùe déterminer la pous-

sée Q normale à la pa-roi verticale bd du mur;

cette poussée, avons-nous

vu, est égale, en tenantcompte de la surcharge

qui pèse sur le prism~

de plus grande poussée,à :

...

~\3r.::

~"\1

1 ,p

: \~

:

~\1 .;:,1 <;<,1 ~1 C>1 P",

-0

:\',

Q =~ ()h + 2P) Ig2 ;

et le moment de cettepoussée par rapport à l'a-rête c est:

~l'

~I11

J..1" ---1

~

i

~h2 ' )MQ =

6""ti ; (8h + 2p

~~-t-._---~

MURS DE REVÊTEMENT

D'un autre côté, le poids du mur est donné par la formule:

35

P = T:hx (1)

et le moment de ce poids par rapport à l'arête c a pour expression:x~

MK= T:h2"""

(2)

A ce poids et à ce moment du mur, nous avons à, ajouter lepoids et le moment du prisme triangulaire de terre dont bgn est lasection; il faut donc les calculer. Nous supposerons, conformé-

ment à ce qui se fait en pratique, que le talus extérieur gn ducavalier a l'inclinaison naturelle du talus des terres par rapport à

la verticale.La surface S du triangle g6n a pour expression:

iS = - gb x nb

2

mais nb est égal à gb x cot rJ., d'où:

i -~

S ="""9 9

bi X co t c(...

D'ailleurs gb = ab - ag = x - y, ce qui donne:~

S =~ (x - y) cot c(

et le poids du prisme triangulaire pour une tranche de 1 mètred'épaisseur est donné par la relation:

PI i \' (-"

)-

= 20 x - y cot c( (3)

La verticale de son centre de gravité passe aux 2/3 de gb, à par-

tir du point g; le bras de levier du poids P' est donc: ag +~

gb2ou y + 3 (x - y) ;

Le moment du poids P' s'exprime ainsi:.,

MK'=~ 3 (x.- y) cot" [Y+~ (x-y)J (4)

Il Y aura équilibre statique quand la somme des moments du

~6 Muns DE SOUTÈNEMENT

mur et du cavalier sera égale au moment de la poussée des terres;mais pour la stabilité pratique il faudra poser l'égalité:

l\IK+ MK'== 2MQ (;)) qui conduit à une équation du 3e degré en x.

On formera de même une seconde équation de condition rela-tive au glissement, en posant:

0,76 (p + p) = 2Q(6)qui est du seconddegré en x.

On résoudra chacune de ces deux équations par rapport à x etl'on adoptera pour l'épaisseur du mur la plus grande des deuxvaleurs obtenues,

Mais la longueur des calculs auxquels donne lieu la recherche

de l'épaisseur x a engagé les ingénieurs à adopter des formulesempiriques qui pussent donner rapidement cette inconnue avec une

approximation suffisante. Beaucoup d'entre eux se contentent de

donner au mur supposé à parois verticales une épaisseur égale au

1/3 de sa hauteur, règle qui cadre approximativement avec lesproportions adoptées par Vauban, mais qui conduit à des épais-

seurs exagérées dans le cas de terres légères et de maçonneries

très denses. On se rapproche davantage des dimensions exactes enfaisant usage de la formule suivante due à M. Poncelet:

x = 0,81;) t,q ; (h + h) V: (Formule n° 1j .)

oÙ N représente la hauteur de la surcharge b[ ou du cavalier'>Dans le cas de maçonneries moyennes où êJ. = 45°et 8= ; TC,

cette formule devient:

x == 0,286 C~ + h)

MURS DE REVÊTEMENT AVEC FRUIT EXTÉRIEUR

Méthode statique de la transformation des profils. - Le cas oùle revêtement a un talus extérieur se ramène au cas d'un revêtementvertical par une méthode due à Vauban' et qui porte le nom de :Méthode de la transformation des profils. Elle consiste à calculer

d'abord l'épaisseur comme si le mur devait avoir ses deux paroisverticales et à remplacer ensuite la paroi extérieure par une paroiinclinée sous le fruit ou

1 d ',

l, M

rang e onnea avance, .;-;

de manière que le mo-

ment du nouveau mur,

par rapport à l'arête

extérieure de sa base, %

soit égal au moment de '-'-" "Ep~~~~"-~ - -- ~

l'ancien mur.Soit un mur vertical

MNOP d'épaisseur uni-forme E et d'une hau-teur h, proposons-nousde le remplacer par unmur trapézoïdal ABRSde même hauteur h "et d'une épaisseur donnée en couronne b = AB ;ils'agitdedéterminer son épaisseur à labase, B=SR (fig~16 et16 bis).

Si dans le mur ABRS nous prolongeons l'horizontale AB et quenous menions la verlicale RT jusqu'à leur rencontre communeen T, le moment de stabilité du trapèze ABRS sera égal à ladifférence des moments de stabilité du rectangle ATRS et dutriangle BRT.

Le moment du triangle BRT est égal à

BT BTTxhxT

MURS DE REVÊTEMENT

N00

1

1

.

~ J0 l"'o////'/-0"h'?'/-"0'.-0"'//'l.W/-'hP 1- %

"

B,~ ;/'//////.//////ij//~:

'

Fig. 16. Fig. 16 bis.

37

i.,,!11i11111

,..di1111

mais BT = B - b,. si l'on remplace BT par cette valeur dans,l'équation précédente, on obtient pour le moment du triangle:

B - b B - b (B - b)2--xhx--=--xh2 :1 6

Le moment du rectangle ATRS est égal à :

B B2hB x h x-=-2 ~

D'un autre côté, le moment du mur vertical MNOP est égal à

E E2hEhx-=-'2 2'


et comme le moment du trapèze doit être égal àtangle Eh, on aura l'égalité suivante:

B2h (D - b)2 E2hxh==-''2 ô 2 '

d'où l'on tire pour la valeur de B :

b ;;~ /--.B == - 2" + \1'2 V b2 + 2E2

celui du rec-

Lorsque la largeur en couronne doit être égale à E, on trouveaussi B = E et l'on retombe sur le mur vertical d'épaisseur uni-forme.

Le talus total de la face postérieure est B - b et a pour valeuralgébrique:

3 \1'3 ~ /B - b == - 2

b + 2 V b2 + 2K2;

il devient nul quand b = E ; le parement postérieur est d'aplomb.

Ce mode de transformation des profils permet de convertir lescontreforts à section verticale rectangulaire en contreforts à section

verticale trapézoïdale; cette obser,ration nous sera utile plus tard,lorsque nous nous occuperons des murs avec contreforts.

Dans l'exécution, on terminera postérieurement le mur, non pas

par le plan en talus BR, mais par une série de retraites rachetant

le talus total B - b. Ainsi, la largeur du mur en couronne nesera pas seulement égale à l'épaisseur b, mais à cette épaisseuraccrue de celle d'une des retraites BI.

Une pareille disposition ajoutera à la stabilité, mathémalique-

ment d'abord, parce que le poids du mur sera augmenté; puisphysiquement, pour ainsi dire, parce que la pression des terres

agira d'une façon plus efficace sur le parement postérieur.

ExeJnplenunlérique. - Prenons comme exemple le mur à paroisverticales de 5 mètres de hauteur (fig. 17) : ce mur a une épais-

seur uniforme de 1m ,35 et nous voulons le remplacer par un autred'égale hauteur et dont l'épaisseur en couronne soit' de Offi,60

seulement.L'épaisseur à la base est donnée par la formule:

B ==- ~ +\1'3 ~ / b2 l ')E2.

~ 2 V T~ ,

MURS DE REVÊTEMENT 39

remplaçons les lettres par leur valeur, il vient:

B = - o~O + \/ ;J

VI

0,602+2 X 1.352 = - 0,30 + v3 ~ 14,01;~ 2 2 V

d'oùB = - 0,30 + 0,866 x 2,00= im,43 soit im,1,5

Fruit du parernent postérieul'. - Ce fruit est égal àim,45 - om,60 = 0111,85

soit Oro,f 7 par mètre de hauteur. Ce fruit étant peu usité dans lapratique, on lui substituera généralement le fruit de om,20 parmètre, ce qui donnera pour l'épaisseur à la base:

B = 0,60+ 0,20x 5= {m,60

et fera pécher par excès.Si l'on remplace le fruit par des retraites dans le parement pos-

térieur du mur, en les échelonnant de mètre en mètre, chacune

de ces retraites aura om,20 de largeur et l'épaisseur b deviendraégale à

b := 0,60 + 0,20 = om,80

ainsi que nous l'avons vu plus haut.

Procédé g}'aphique. - La pratique a démontré que les murs derevêtement à parements verticaux et ceux à parement intérieurvertical avec fruits exlérieurs variant de 0 à 1/6 ont à peu près lamême épaisseur au 1/9 de leur hauteur au-dessus de la base.

On a déduit de cette observation la règle suivante pour trans-former un profil en un autre.

Au 1/9 de la hauteur d'un mur vertical, à partir de sa base, onmène une horizontale égale à l'épaisseur de ce mur et par l'ex-trémité de cette horizontale qui se trouve dans le parement exté-rieur, on trace une ligne inclinée suivant le fruit que l'on veutadopter; on obtient ainsi le profil d'un nouveau mur ayantsensiblement la même stabilité que le premier.

40 MURS DE 'SOUTÈNEMENT

APPLICATIONS DES FORMULES

MURS A PAROIS VERTICALE S


Considérons d'abord un mur à parois verticales de 3 mètres de

hauteur h, construit avec de la maçonnerie dont la densitéT. = 2 300 kilogrammes et ~outenant une terre franche dont le

Fig. 17.

poids 0 = 1 600 kilogrammes; de plus, on sait que le talu8d'éboulement des terres est de 45° (fig.17).

Après avoir tracé la paroi verticale bd égale à 3 mètres, nousmenons le talus à 45° hl et)a bisseclrice be de l'angle qu'il faitavec la verticale bd J' il résulte de cette construction que:

CC' IX IX

"2 = 22°30'; tg 2ou tg 22°30'= Oro,414et tg2 2 = 001,1714

Le prisme de plus grande poussée a pour section le triangle dbe,son poids P est égal à

1 1 IXP = - 'Oh X de = - 'Oh2t g -222

APPLICATIONS DES FORMULES 41

et la poussée Q est donnée par l'équation suivante, en multipliantCI.

P par tq 2" :

Q - 1."'Mt 2

CI.

-"2° g2

Remplaçons les lettres par leurs valeurs, en commençant par la

dernière équation:1Q == -1600k X 2;)mx Om,17i4== 3428k2

Cette poussée est appliquée au 1/3 de la hauteur bd = h, àpartir du point b, c'est-à-dire que son bras de levier est égal à1m,67; le moment de cette poussée ou de renversement du mursera donc:

MQ == 3 428k X 1m,67 == ;)72;)k

Appelons x l'épaisseur du mur; son poids est ~hx et son moment

de résistance est égal à :œ œ2l\JK == r..hx x - == r..h-'") ")

,

'"'~

or7th == 2 500k X ;)

== 12500k

€t pour l'équilibre pratigue, nous poserons:

MK == 2MQ.ou

x2r..h - = 5 725k X 2 == il 4;)Ok

')'"'d'où l'on tire: -

12 500k X x2 == II 450k X 2 == 22 900k.et

2 -22900k

X - 12500k

Ce qui donne pour la valeur de x:

V-

V-229UO ~:J; == --- == i'83 == 1m.3;)

12600 '

Vérifions ce résultat par le calcul direct de la formule n° 1 don-nan t la valeur de x :

œ == htgCl.

2 \/2 ô ;3"

(3-

1500k - Ok 54'.2 x 0,64

- 0 1.96-:;- - 250Uk - " ;j -, 'ti-<

(et

V0,426 == 0,65 ;

Prenons mainte-

nant un autre murde 10 mètres de hau-\')

~; teur, construit en~, maçonnerie don t la~;,

. densité 7t = 2 500~'" kilogrammes, sou te-

.~." nant des terres fortes, ,.o'~.

: ~\ et argileuses légère-

~-~,~- ment humides, pe~

:0: ~,\ sant 1 600 kilogram~

)cd 0: 0: :' mes et dont le talus

1

i 1 d'éboulement est de1<:-- ;--- -- -.- -- - - --~

OO;"OT - ;1.1

56° 18' 30", ce quicorrespond à une in-clinaison de 3 mètres

hauteur; de plus, ce mur est soumisdu stationnement de machines En-

4~ MURS DE SOUTÈNEMENT

"E!-,~,

ff? ':

Jt J -~c

ri" ~.

l' ;'f t01/\. f:

,,' \ ~"(~=~--J'" ~ ~~\

~--- ~--

'~).;~~ . ~

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~ \

;-- - -- 'l':~.. ~ '~~ ] ~

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: 1'1' <0,T;JJ.9p=:?2l.L~ np .

1 l"'i i1 1

~ -L-~ 01 1

.J°I N oi

1"'1'"<:1

1 1"1 "'1[1 *-,.!-- '

Iii 11 1 @ 11 1 ~ 1~ _-i._l__j._- .

~ ,.:'t.

Fig. 18.

de base pour 2 mètres de

à une surcharge résultant

0:lIig

2=;:>XO,414=2,07

et

x = 0,65 X 2,Oi

= 1,3455 = 1ID,35

Avec des talus à 3pour 2, l'épaisseurdu mur eût été de1ID,75,ce quifait voir

combien est grandel'influence de l'anglede glissement dansla question du sou-

tènement des terres.

REMBLAIS AVE C

SURCHARGES


o'er1h à 8 roues couplées, pesant chacune 67 tonnes enVIron,b

.tender compris (fig. 18).Dans ce cas:

a ah=10m'00;""9= 28°09'15"; tg--:)' =Om,5352- ~

D'abord le prisme de plus grande poussée a pour largeur:

de = bdlg ~ = 10 X 0,5352 = 5n1,35~

et son poids est égal ili

"; ~ ap = - c t~t g -'') '),

~'"'

remplaçons les lettres par leur valeur, il vient:

1p =;; i 600 X '100 X 0,535 = 80 000 X 0,535 = 42800k

Le poids de la machine Engerth (type du Nord), réparti sur sesessieux, donne 12 tonnes pour l'essieu d'avant, poids le plus fort ;nous supposerons donc qu'un essieu plus une roue d'avant repo-sent sur le prisme de plus grande poussée; et alors, en appelant TCr

ce poids dé 12 OOOk+ 6 OOOk= 18 OOOkla poussée

Q== (p + ..) 19 ~

devient, en remplaçant les lettres par leurs valeurs:

Q = (42 800k + 18000k) X 0,535 == 32 528k

Cette poussée étant appliquée au tiers de la hauteur du mur,

son bras de levier est 1JO= 3m,33 et son moment ou le moment

de renversement du mur est égal à:

MQ = 32528k X 3,33 = 108 318k

Appelons x l'épaisseur du mur, son poids est TChx; son bras dex 2

levier z et son moment de résistance '[Ch~ ; or

7th == 2 500k X 10 = 25 OOOk;


pour l'équilibre pratique, nous poserons l'équation:

MK = 2~fQ

remplaçons les lettres par leurs valeurs, nous avons:

x225000k x - = 108318]' x 2 = 216 636k

21, ,( ou

2 216 636k x 2 433 272x = ~UOOk- =

25000 = 17,33

etx = Vi'ï,::J3= 41l1,J5

Nous allons maintenant vérifier ce résultat en calculant directe-ment x par la formule générale:

x = htg ; V :1' (0 + 2:)

Comme plus haut:

'')

h = 10m,OO; tg ; = 0,53v2; TC= 2 500k et 3TC= 7 ;500k,et7~O = 0,0002667

Le poids n' du cavalier ou de la surcharge est de 18 000 kilo-grammes; si nous supposons cette surcharge uniformémentrépartie sur la base de du prisme de plus grande poussée, le poids ppar mètre carré sera égal à

p = 1~. (~~~Ok= 3 365k;;),ù;)

par suite, l'expression i) + ~ devient:

1 600k + 2 x 3365k = 1600k + G73k = 2273k10

et la quantité sous le radical est égale à :

2 273k X 0,0002667 =- 0,6062

et

VO,60ô2 = 0,7780

enfinx = 0,7780 x 10 x 0,535 = 4m,15,en nombre rond.

valeur égale à celle précédemment trouvée.


Renwl'que. - On pourrait, pour certains cas particuliers, sup-poser que la clôture fût posée sur le milieu du mur de soutène-ment; alors la distance réglementaire de 4 mètres, qui doit séparerl'axe de la ligne de l'obstacle le plus voisin, serait mesurée à par-tir de la nouvelle position de la clôture. Il pourrait résulter decette hypothèse que la deuxième roue d'avant de la secondemachine stationnant sur la voie droite pesât sur le prisme de plusgrande poussée et augmentât ainsi de 6 tonnes le poids de la sur-charge. Pour réaliser cetle hypothèse, il faut généralement quele mur s'engage sous le ballast.

.

Enfin, il pourrait arriver que, le mur étant même peu élevé, lanature des remblais donnât un angle de glissement assez ouvert

pour que la base du prisme de plus grande poussée atteignît unelargeur capable de contenir les deux voies.

Dans ce dernier cas, la base de comprendrait le train entier

d'avant de la seconde machine, et la surcharge totale qui agiraitsur le prisme de plus grande poussée serait de 24 000 kilo-grammes.

Murs établis le long des J'outes. - Quand un mur de soutène-ment doit être établi le long d'une Toute, on admet généralementque la plus forte surcharge qui puisse peser sur le prisme de plusgrande poussée est représentée par une ou plusieurs voitures à2 roues pesant 6000 kilogrammes chacune.

La police du roulage autorise des essieux de 2m,50 de longueurau plus; cette limite est rarement atteinte et elle descend habituel-lement à 1fi ,80 ; dans ce cas, la distance entre axes des jantes desroues est de 1fi,60, au niveau du sol; par suite, pour déterminerle poids qui surmonte le prisme de plus grande poussée, on suppose

que la première voiture est placée contre le parapet du mur consi-déré et que les autres lui sont juxtaposées sans aucun intervalleentre les extrémités des essieux

Chaque roue pèse donc 3 000 kilogrammes et l'on prend toulescelles qui tiennent sur le prisme pour composer la surcharge tolaleà répartir sur sa base.


FORMULES SIMPLIFIÉES POUR LES CAS LES PLUS USUELS

DE LA PRATIQUE

Talus à 45°. - La formule qui donne la valeur de x dans le ca!

d'un mur à parois verticales, sans surcharges, devient en fai.sant:

17.= 45°; ~ = i 700k; Tc= :2200k. (Ces valeurs de ~ et de 'Tr représentent le~poids moyens le plus ordinairement adoptés) :

x = O,30h. (Formule n° 12.)

En effet, dans la formule générale:

0:

'12 ~

x = htg - - -2 3 Tc

(X- 0 414 ') 1'"

1)- iiOO - 0 ~~ 3tg --:) -, 'i, - - ')')

00 - ,"~ ~ ~~

et'2

:3 x 0,773 = 0,5153;d'où

VO,515;) == 0,71787et

0,71187 X 0,414214 = 0,2974 soit 0,30;

ce qui donne pour la valeur de x la formule simplifiée ci-dessus.

Talus à 3 pour 2. - Dans le cas où les talus ont une inclinai-son de 3 mètres de base pour 2 mètres de hauteur, l'angle du glis-sement est égal à 56°18/30// et tg ; = 0,5352. En conservant'Tt = 2200 kilogrammes, et en donnant à 0 la valeur de 1 800 kilo-grammes qui lui convient ici:

b 1800 2'Tr= 2200 == 0,8182; 7 x 0,8182 = 0,M5~ ; VO,5454 = 0,7385

et0,7385 x 0,[)352 = 0,39:5 soit 0,40;

par suitex = 0,40h (Formule n° 13.)

De ce qui précède, il résulte que, dans la pratique, avec unebonne maçonnerie ordinaire et des talus de glissement usuels, onsera certain de la stabiliLé d'un mur de soutènement, lorsqu'on


lui donnera comme largeur les 0,35 de la hauteur des terres à sou-tenir; en effet:

(0,30 + 0,40) h - 0 3 ~ 12 -

, ~ L

Cette règle suffit, tant qu'on n'a pas affaire à des hauteursexceptionnelles ; nous proposerons donc d'adopter pour la valeur

générale de x la formule simplifiée qui suit:

x = 0,35 h. (Formule n° 14.)

MURS AVEC FRUITS


MURs AVEC FRUITS INTÉRIEUR ET EXTÉRIEùR. - On propose de cal-culer l'épaisseur d'un mur de soutènement avec fruits intérieur etexLérieur, connaissant:

a O.B-I; d1j\-----1111,11111

~,nI

1dl

,..'-"

11

e .I

Fig. 19.

h = 5 mètres. hauteur du murégale à celle des terres àsou tenir;

CI.= 560 18' 30", angle corres-pondant à un talus incliné

à 3 pour 2; ; = 28009'15";

a , atg --O 5352' tg"--O '>864.'2 -, , 2 -,'"'

,

8 = 1600k, poids d'un mètrecube de terre;

TI = 2500k, poids d'un mètrecube de maçonnerie ;~

1 1f

.d-n= 10'

fUit u parement ex-

térieur ;1 1

f. d

.- = ~

6 'l'ml u parement Ill-

mtérieur.

La formule générale na 3

[ (1 1 ) +L/2" 2 a

-L.i--~J

X = Ii - n +2m - V 371"

otg 2 1 3n2 12m2

devient en remplaçant les lettres par leurs valeurs ci-dessus:

- '" [- (~ ~) + L /2 1600 ') .i- -~J

x -()

10 + 12 - V 3"'

x2500

x 0,~864 + 300 402


et en simplifiant et prenant le signe + seul admissible:

u

(fil / 11 3:! )x == i) - 60 + V 108uo + 75

x 0,2864 == om,84 en nombre rond.

La largeur à la base est donc de

0,81 + 0,50 + 0,83 == 2m, i 7

et la largeur moyenne de

0,84 + 2,17+ lm ''1

2,~ .

MUHS AVEC FRUIT EXTÉlUEUR. - L'épaisseur du même mur avecfruit extérieur seulement est donnée par laformule générale n° 4 :

x == h (-:~ + vi ~ : tl ; + 3~2)

qui devient, en rem plaçant les leltres parleurs valeurs:

(Voir fig. 19.)

J! '~---1.

1.~5

~~~.~I~ '.\ \-.,'-

~,'','J

~~, '~\~\---

1111

010,~J ~/~III

.-" UHI

11 t-fJ~111111111

*---1 1 11.9..§Qj,..

- -U~ - ~11

~---11~ i

Fig. 20.

- ( 1 \ /2 1600 91 )x - 5 -

10 + V "3 X25UO

X 0,_864 +300

Simplifions:

x == 5 (- 0,10 + ,/0,125540)

d'où enfinx = 5 x 0,25 == Im,25

La largeur à la base est donc de

Im,25 + om,50 - im,75

et la largeur moyenne de1,75 -{- 1,:!5

== 1m,502

(Voir fig. 20.)

MURS AVEC FRUIT INTÉRIEUR. - Dans ce cas, l'épaisseur du murest donnée par la formule générale n° û :

( i \12à . (J. 1 )x == h - 2m + "3 -; x tg- 2 - 12m2

40APPLICATIONS DES FORMULES

Remplaçons les leUres par leurs valeurs:

,, ( 1 l / 2 1600') l - ~ )X =;) -

12 + V ~X

~;SOLJX 0,"",86:t,

402

Simplifions:

x = 5 (- 0,0833 + VO,U9393)

J'où enfin:x = Im,31

La largeur il la base est donc de :

'1,31 + 0,83 = 2m,14

el la largeur moyenne de :

1,31 + :2,14== Im ,73..,

""'

(Voir Dg. 21.)

RE~IBLAIS AVEC SURCHARGES

Fig. 21.

MURs AVECFRUITS INTÉLUEURET EXTÉRIEUr. - Nous nous proposons

Je calculer l'épaisseur d'un mur de 'soulènement ayec fruits exlé-rieur et intérieur, sachant que:

h = 5m,00, hauteur égale à celle des terres à soutenir;

IX IX exIX= 56° 18' 30" ; '> = 2So OG'15" ; tg -:) = 0,5352 et tg2-

2 = 0,'2.8û4 ;""'

~

" 'Ok

i i i i0 = i GOUk;.. = 2 5 0'; n = 10,; m . if

de plus, ce mur est soumis à l'action d'une surcharge résultant duslationnement d'une machine Engerlh (lype du Nord), pesant

67 tonnes environ (fig. 22).La hase e! du prisme de plus grande poussée est égale à :

bc x tg~ = 5 x 0,5352 = 2111,G'7;5 = 2111,68

et la distance d! est égale à :

0,83 T 2,68 = 3m,51.4


D'un autre côté, la distance réglementaire de 4 mètres à l'obs-

tacle le plus voisin, diminuée de la largeur de la demi-entrevoie,

of-00 .l'

« ----...351 0*81

(- :--~ r--~-~ ~~ - - _3~OJ)

-- - -- -- - ~ 11

<;;Q

1 - - - '1 1 .,..:::

t -_ly;1,

-~ - -_1 &.,7-- -:<

! ~1.QO-

-'1

1.QJ

l'CI

- 1.,.><I~11

;..o.5Q..:o. - -LEZ>. - - -*-.Q l\Q..';

l ,

~ - -- - - ~ ~L - - -,. - ->

Fig. 22.

est éga.le à 3 mètres, d'où il résulte que le prisme de plus grandepoussée supporte les deux roues du train d'avant de la machine,

soi l12 000 kilogrammes.Cette surcharge, répartie uniformément sur la base du prisme

de plus grande poussée, donne, comme nous l'avons fait précédem-ment, pour la valeur de p .'

12 000 k

P = = 4 48~?:l Ui5

Cela posé, la formule générale n° G

x = h [- (~ + 2:n)+ V 3:

tg2 ; (0 + ~~J + -3:~2 - 121m2 J

donne en remplaçant les leltres par leurs valeurs et prenant lesigne + :

APPLICATIONS DES FORMULES ~1

x={ -uO + l~) +V '5~0X 0,28M( 1000+ H85: X 2) + o~O- 4::2J

Simplifions:

x = 5 (- ~~. + V 0,000206, X 0,286. X 3 39\k +-101:00) = 1'",63

La largeur à la base est donc de :

1,G3 + 0,50 + 0,83 = .2111,96

et la largeur moyenne de :

1,G3+ 2,96 = 2m,30.2

MURs AVEC FRUIT EXTÉRI~UR. - L'épaisseur du même mue

avec fruit extérieur seulement est donnée par la formule géné-l'ale n° 7 :

1 [' 1+" /:2 ~ CI. ( "'

2p ) '1

Jx = ~ - n - V 37: tg-

20 + T +

3n2;

en admettant, comme ci-dessus, que le prisme de plus grandepoussée supporte une surcharge de 4 48;') kilogrammes par mètre~arré (bien que cette supposition ne se réalise plus ici), pour pou-voir comparer entre elles les dimensions obtenues, la formule:levient en y remplaçant les leUres par leurs valeurs:

x = 5 [- ~ + VO,0002067 X 0,286. (i 600 + . .8~X 2) +3~0 J

Simplifions:

x = 5 (-/0 + VO,OOO2667 x 0,2864: X 3 39ik + 0,00333 )

D'où enfin

x = 2111,05.


2,05 + 0,50 = .2111,55

ti:2 1\1uns DE S 0 UTÈ"EME:è\T


2,05 + 2.55= 2m,30

:2

en tenant comp,te seulement de la surcharge réelle de 6 000 ki-

logrammes qui pèse sur le prisme de plus grande poussée,x = 1m,70 et la largeur moyenne du mur est de

2,20 + 1,70-. m U

2 -- i ,\b,

Muns AVEC FilUIT I~TÉ!\IEUR. - La formule générale n° 8 :

[ 1V

2"

a ( "''2p ) 1

Jx=h --+ -xt"- '0 ---

2m J7: 9 2 + ho 12m~

donne en remplaçant le~ lettres par leurs valeurs:

X=5[- 1~ +V75~OxO,286j,x (1600k+ 44855kX2)

-4~2J

Simplifions:

x= 5 (- ~ + ~ (0,0002667 X 0,2864 ~ 3394k - I.~T)1"", V 'h)~ /

D'oùx = 2111,15.


2,1::\ + 0,83 = 2111,98


2.1;) + 2,\)8=2111,57.

~

MURS EN SUHPLOMB

nE~lI3LA]S SA~S SURCHARGES

Soit un mur en surplomb de 0 mètres de hauteur avec un fruit

extérieur de 1/0 et un fruit inlérieur de 1/10 construit avec de lamaçonnerie pesant 2200 kilogrammes et soutenant des terres

APPLICATIONS DES FORMULES tS3

dont la densité est de 1 600 kilogrammes, avec talus d'éboulementà 3 pour 2 (fig. 23).

x = h [- (~- 2:n) + V 3~~ tg'

~ (1 - tg 0 lrj'~) + ;)~I2 - 1:!~n~ ]a. 11 5 :b ôfr/~~

,,

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, i '), , :>: '

,'<é~ljJ.\L"'; ~.B.1i.*(t'PD"

,..'"'

i 0 = 1600k

Y:p

Fig. 23.

Ti:= 2200k

20 2 >< 16003Ti: - 3 >< 22UO

= 0,\8)

~ -- J J. -- 0,2,0 ., 112 - r)"u. 1-

1- 0 0133

11 ~.

- "- -;) , -:--~- ~ - )

u i:!n~ , ;)

IIi 1 1 1--:-::-= -10 = 0,10 ; ~ = 90 == 0,05; m2 = 100: _

19 2 == 1')0 = O,OOOSHln ,..In

'"'-,-,ln - 0

tgO = 0,10

tg? = 0,667

tgO tg? = 0,0667

1 - tgO tg? = 0,933

En remplaçant les leLtres par leurs valeurs dans la formule pré-cédente elle devient en prenant le signe + seul admissible:

x = 5[- (0,'20 - 0,05 )+V 0,4:85>< 0,286'1,>< 0,933 + 0,0133 - 0,00083fJ

Simplifions:

:1;=::; (- 0,15 + 0,38) = 5>< 0,23

54: MURS DE SOUTÈNEMENT

D, ,ou :

x = Im,li:i

la largeur à la base est donc de :

1,00 + (1,15 - 0,5°) = illl,G5


l,ni + 1,65 = lm 40~ '

Remarque. - L'épaisseur x ci-dessus est inférieure à celle dumur (fig. 20) avec parement intérieur vertical et avec fruit exté-

rieUL'construit en matériaux durs pesant 2000 kilogrammes le mètrecu:)e et d'un prix généralement élevé; il Y a donc économie à

faire des murs en surplomb, Gal' on peut obtenir la même stabilitéque dans les aulres types avec des matériaux légers et coÙtantmeilleur marché.

nE M13LAI S A V E C sun C lU n G E S

Nous ne donnerons pas d'exemple numérique des calculs à fairepour déterminer l'épaisseur des murs en surplomb soutenant desterres avec surcharges, car la marche à suiYfe est identique à celleque nous avons indiquée dans l'exemple ci-dessus.

FORMULES SIMPLIFIÉES POUR LES CAS LES PLUS USGELS

DE LA PRATIQUE

Les données que nous avons adoplées dans l'exemple précédentsont assez usuelles et le résullal auquel elles conduisent peut être

exprimé par la formule générale très simple:

x = 0,23h (Formule n° 14.)

Mais en faisant 8 = 1 400 kilogrammes dans la formule n° 9, lav!lleur de x deviendrait:

x. 0,20 h (Formule n° 15.)


Dans ses Essais d'architecture, M. Edmond Roy propose d'adop-

,~

'oL -~ ~. .~ .

,'1'G'1

fC -d"-- --l "Jl

'1-----1 1.

1 ~1 ,1 91 *-11 q1 9

~ t1 11 1

I~1 ...111 11 11 :r~1 dIdI~1 1

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~ ::j ,~.~- .10-_' ~

~. .- - --" .- -"

"0'


ter les formules suivantes, qui sont d'une extrême simplicité et quidonnent l'épaisseur moyenne E des murs en surplomb pour lescas ordinaires de la pratique avec fruits extérieur de 1/5 et inté-rieur de 1/,10 :

pour h < 2 mètres: E = 0,10 + 0,25 h (Formule n° 16.)

pour h > 2 mètres: E = 0,?5 h (Formule n° 1'7.)

ObseJ'valion. - Toutes les fois que les fondations d'un mur neseront pas appuyées et encastrées dans le rocher, le plan d'assiettecid des fondations sera perpendiculaire au parement extérieur ac,

c'est-à-dire avec une pente de 001,20 par mètre vers les terres.

Disposition usuelle des J'nurs de soutènement. - La figure 24représente le type le plus habituellement employé pour construire

les murs de Eoutènement le long des lignes ferrées. Ce typesatisfait d'abord à la condition rÜwureuse de laisser une distance

'-'libre de 4 mètres entre l'axe des voies et l'obstacle le plus voisin;ensuile il assure l'écoulement des eaux vers l'intérieur des terres,

par la disposition en glacis de la partie supérieure du mur, tout

en diminuant le cube des maçonneries; enfin la chape en ciment

de 001,03 d'épaisseur et la couche de ballast qui recouvrent le gla-cis protègent le massif contre les infiltrations et contre les dégra-dations extérieures.

Remarque. - Lorsqu'un mur de soutènement est très élevé et,

par suite, suffisamment épais pour que l'un des rails se trouveplacé au-dessus du massif de maçonnerie, on retombe dans le casd'un mur de revêtement dont le cavalier est le poids du 1/2 essieu

d'une machine Engerlh, soit 6000 kilogrammes pour le type duNord. Ceite circonstance ne doit pas être négligée dans la pratique;

et il convient de modifier l'épaisseur du mur primilivement calcu-

lée pour le cas d'un mur de soutènement, conformément à la for-mule qui sert à régler l'épaisseur des murs de revêtement.

MURS CO~SOLIDÉS PAR DES CONTIlEFORTS

MURS CONSOLIDÉS PAR DES CONTREFORTS

CONSIDÉRATIO;';S PRÉLDIINAIRES

On augmente beaucoup la' stabilité des murs de sou tènemen t

en construisant des conlreforls en maçonnerie reliés à leur facequi est en contact avec les terres ou à leur face opposée; les pre-miers, appelés contreforts intérieurs, ont l'avanlage de diviser leprisme de la plus grande poussée et, par suite, d'en diminuer lesefforts de renversement, mais ils sont exposés à se détacher dumasque ou mur proprement dit sous la poussée des lerres; lesseconds, appelés con/l'eforls extérieuTs, loin de tendre à sc séparer

du mur, s'y appliquent, au contraire, plus fortement sous l'actiondes terres et, dès lors, ils remplissent bien réellement leur butqui est de contre-buler le masque.

L'épaisseur à donner à la partie du mur comprise entre deuxcontreforts, ainsi que les dimensions de ces derniers, pour qu'il

y ait à la fois slabilité suffisante et diminution du cube de maçon-nerie, ont été l'objet d'éluùes théoriques et d'expériences praliques

nombreuses de la part de plusieurs ingénieurs et constructeursdistingués; mais leurs formules sont longues et difficiles à appli-quer, c'est pourquoi nous proposons de ramener la question à des

considérations plus simples desquelles nous déduirons des for-mules d'un usage plus facile et conduisant à des conditions satis-faisantes sous le rapport de la stabilité.

Ces considérations sont les suivantes:D'après ce que nous savons, la poussée des terres est donnée

par la relation:

Q = ~ oh2t g 2 ~ .-, "')

,.. ....

si nous introduisons dans celle formule les données généralement

adoptées pm~ les conslructeurs, savoir:

CI. . ~6°18'301/, angle de glissement correspondant à une inclinaisonde 3 pour 2; 1)= 1 800k; TC-= 2. 200k :

la ~aleur de tg ~ - devient:

V. N

tg~ = O,~3~2 et 1!J2 ; ==O,286i

;)7


d'où, en remplaçant les lettres par leurs valeurs:

iQ == - i 800 h2 X O,286} == 258 h2~

lIfoment de la poussée. - Le moment ùe celte poussée seradonc:

h 2.18h3l\IQ == 258 Jt2 x ~- == ~ == 86 h3 en nombre rond.

lJ;fornent 1'ésistant du mur. - Le moment résistant d'un mur ilparois verlicales est:

a;2 hx2l\IK == Teh - = 2200k X - ;

~ 2

mais, si l'on se rappelle qu'un mur, dont l'épaisseur x est égale

aux om,40 de la hauteur, satisfait convenablement à l'équilibrepratique, l'égalité ci-dessus prend la forme:

h - 0 4()2l\IK = 2 200k X -:- X 0,402 X h2 = 2 :?OOkX ~ X h3 == {76 h3.

~ ~

Coefficient de stabilité. - Le moment de la poussée ayant éLétrouvé plus haut de 861t\ le coefficient de stabililé sera donc:

1i6 .1 l' ' 1' .'

86 == 2, resu tat conlormc a experIence.

Dès lors, quelle que soit la forme d'un mur de soutènement,on peu t admellre que ses dimensions serontconvenahles, lorsque

son moment sera éga.l au moment de résislance du mur verticaldont l'épaisseur est les om,40 de la hauleur et que nous appellerons

désormais Mur-type.

Glissement du mu}' su}' ses fondations. - Lorsqu'un mur de sou-tènement aura élé établi dans les conditions de slabilité décritesci-dessus, on n'aura pas à craindre qu'il glisse sur ses fondations;

il suffiL,ponr s'en convaincre, de comparer pour le mur-lype laforce qui tend à le faire glisser et la résistance qu'il oppose à ceLLe

force.

La force qui le sollicile au glissement, est la poussée horizontaledes terres:

fÎ - 9" 8 12~. - _éJ Ii.

MURS CONSOLIDÉS PAR DES CONTREFORTS 5Ç)

La résistance au glissement est égale au poids du mur mulLipliépar le coefficient du frottement qui est généralement de 0,76;cette résistance sera donc:

R = 0,70 -r=hx

et en remplaçant les leltres par leurs valeurs:

R == O,7u >< ~ :20QkX h x 0,40 h == 0,76 X 2200k x 0,10 h2 = 66':1lt~,

en nombre rond.

ce qui montre que la résistance du mur est égale il :

6ô9- ') 63

258 - '"',

soit plus de deux fois et demie supérieure à la force qui sollicite

le mlll' au glissement et que, par conséquent, la construction estréellement garantie contre toutes les chances de glissQment.

En thèse générale, il faudm, pour qu'un mur ne soit pas exposé

à glisser sur ses fondations, que l'on ail:

R>Qel à la limite:

R=Q

Celle manière de procéùer pour calculer la résistance R des

murs au glissement sur leurs fonclations est générale et s'applique

il tous les types cle murs avec ou sans fruits. On néglige avecinlention cle faire entrer dans la formule ci-dessus la cohésion desmortiers qui viendrait diminuer encore les chances de glissement,afin d'obtenir une certitude absolue de la stabilité des murs il

construire.Ces considérations fondamentales posées, nous allons examiner

successivement les murs à contreforts extérieurs et les murs à,contreforts intérieurs.

MURS A CONTREFORTS EXTÉRIEURS

Dans certains cas particuliers, on consolide les murs de soutè-nement au moyen de contreforts placés à l'extérieur. CeLLe dispo-

e1

..,.<1

ul

Fig. 25.


sition, quand elle peut être adoptée, est très économique, car lamasse principale du mur étant très éloignée de l'arête extérieure

de la hase autour de laquelle le renversement tend à se produire,le hras de levier du mur par rapport à celte arête devient plusgrand et, dès lors, sa section devient plus petite pour que son

moment de stabilité demeure constant.Au point de vue pratique, ces contreforts sont très efficaces;

aussi, dans ces sortes de murs, n'a-t-on plus à redouter que la

courhure dans le sens horizontal que le masque tend à prendreextérieurement sous l'effort de la poussée.

Le moyen le plus efficace pour éviter cette courbure est de ne

pas trop les éloigner les uns des autres; un intervalle libre de

3 mètres laissé entre eux et une largeur decontreforts sont des dimensions moyennes

tées.Quant à leur forme, elle est généralement rectangulaire en

plan; on pourrait leur donner la forme trapézoïdale comme Vau-

han l'a fait et les relier, en outre, aux masques par des quarts decercle pour mieux établir la solidarité et diminuer encore les

chances de flexion du masque enlre deux contreforls; mais celledisposilion serait plus coÜteuse qu'utile. D'ailleurs, il sera toujoursfacile de les transformer en contreforts trapézoïdaux par la mét/wde

de la 17'ansfonrtation des pro fils.

Cherchons maintenant une formule simple donnant les dimen-

sions de ces sorles de murs, en partant toujours de celle condition

Il mètre donnée aux

ordinairement adop-

MURS CONSOLIDÉS P AR DES CONTREFORTS 61

fondamentale qu'ils pràsentent le même moment <le slabilité que

le mur verlical-typePour cela, nous admeUons que la parlie du mur comprise enlre

les deux plans verlicaux AB et CD menés par les milieux desintervalles voisins puisse êlre considérée comme un bloc homo-

gène, hypolhèse admissible à cause du peu d'intervalle relatiflaissé entre les contreforts. Le bloc tendant à èlre renversé par lespoussées autour de l'arête el de la base

da contrefort, nous prendrons les mo-menls par rapport à cetle arète (fig. 23

el 25 bis).Les données du problème seront

clone les suivantes:

Distance des contreforts, d'axe en axe

= 4 mètres;Intervalles entre les contreforts=3 mèlre::;;Largeur des contreforts = 1 mètre;

Hauteur du mur égale à celle des terres àsoutenir = h;

E.

d .' h1 palsseur u masque suppose verllcal=-

valeur déduite de l'expérience.C

COllpedu mur -SUIvant AB

Fig. 25 b'Îs.

La seule inconnue à déterminer est la saillie x que les contre-

forts doivent avoir sur le nu du mur.

_Moment résistant du mur. - Pour évaluer le moment résistant

du mur, nous chercherons le moment résislant du masque abecl

compris enlre les deux plans verlicaux AB et. CD espacés de 4 mètres,puis le moment résistant du contrefort e(glz.

Le poids du masque abcd pour 4 mètres de longueur est égalà:

( ) 4hP . abcd = c x TCh

son bras de levier est ~t + x;-cet son moment:

MK(abcd) = 4;t x 7:hx (:~ + x) =4;2 X TC(~~ + x) ;


Le poids du contrefort e/gh est égal à :

P (etgh) = "hx

son hras de levier est .~ ;...

et son moment:

( ) X x2MK e!gh = "hx x

~ = 7:h 2

la somme des deux moments est donc pour une tranche de mur

Je 4 mètres de longueur:

4~t2 x 7: (:~ + x) + T./~~!

et pour une lranche de 1 mèlre :

h" (h \. x"- X 'it -;- + X ) + 7t!~ -8c :!c

Talus à 3 pOlil' 2. - Egalant ensuite le moment de stabilité dumur ci-dessus, et celui du mur vertical-lype, nous aurons:

li2 (h)- x2 O.H)".

- x Tc - + x + 7th - = " - kJ;C 2c 8 2

Supprimons TI facLeur commun aux deux membres, nous obtien-

drons :lt2

X (~ + X) + Ii.'12

-O.~02 h3 ;

C 2c 8 2

Effectuons les calculs:

ft3 h2X !Ix'.!. 0 402.~ + - + -8 = ~ ft3 ;2c. c 2

multiplions par -~~ les deux memhres de l'égalité pour dégager X.2

elle devient:

.'12+h2X

~- + !! ~ - 0,40" h3 8C

x l,).) X 1 -, x -/

., i,.. C. I~ :2 ~

Simplifions:

8h 4ft2----.'12 + - x + - = 0 402 x 4..ft2

cc'


ce qui donne l'équation du second degré:8h (~.h2 ~

)x2 + - x...\- -:- - 0 4Ui X 4h2 = 0C

1 c2,

63

J'où l'on tire pour la valeur lle x :

x=- ~:'+V(>n' - ('~' -0,>0' X >h2)

Effectuong les calculs sous le radical:

V 16hZ 4h2 - 0,4U2 X 4h2C2+ --- ci c2

+t /12h2+~),(Hh2c2

V c'

qui peut s'écrire amSI :

+ V (12h2 + O,64NC2) x :2

faisons sortir ~ du radical:c.i

+ - '/1'>fL2 + U 64h2C2.c V , ,

et la valeur x devient:

x = - 4;L + -1- Vh2 (12 + Ü,64C2)

faisons sortir h2 du radical:

4h hx = -:- c:+ C Vi2 + O,6ic2

henfin, mettons - en facteur commun, et la valeur de x est donnée

C

par l'équation suivanle :

x= ~ (-4+V12-rU,64C2) (Formule n° i 8.)

Celle équation monlre que si l'on fait croître c, ce qui revientà

diminuer de plus en plus l'épaisseur du masque, la valeur de x

ira en croissant, mais le cube du mur ira en diminuant; d'où l'onconclut que l'on réalisera la plus grande économie de maçonnerie

possible en réduisant à la dernière limite praticable l'épaisseur dumasque.

6f Muns DE SOUTÈNEl\IENT

Cette limite d'épaisseur, au-dessous de laquelle on ne saurait

descendre sans que le masque fléchit, ne peut se déterminer a

priori J' elle dépend surtout de la qualilé de lü maçonnerie et de laliaison plus ou moins intime des matériaux. L'épaisseur du masque

est donc surtout une question d'expérience; mais on s'éloignerapeu d'une honne disposition en lui donnant le 1/3 ou le '1/6 de lahauteur du mur, c'est-à-dire en faisant

c = ;') ou ()

MURS DE CLOISON DES VOUTES D'ÉVIDEl\IE;\,T DES TYl\IPANS DANS LES

PO;\TS A CULÉES PERDUES EN HEl'IIDLAI.- Les murs qui cloisonnent

ces voûtes, du côté des terres, peu vent être assimilé~ à des murs

de soutènement dont les murs de têtes de l'ouvrage et la pile cen-trale qui reçoit les deux yoÙtes de décharge forment autant decontreforts extérieurs. - Dès lors leur épaisseur serait COIlVC-nable en leur donnant le 1/6 de la hauteur des terres à sou-

1

lenir.

Ainsi un mur de cloison de 0 mètres de hauteur aurait om,80 d'é-paisseur en nombre rond.

Cependant, nous dirons, d'après ce que nous avons vu prali-

quel' à la Compagnie du Nord, qu'on peut sans danger admellre le

1/8 de la hauteur des terres à soutenir pour régler l'épaisseur ducloisonnement des voÙtes de décharge, quand lcs plans verlicauxmenés par les milieux des intervalles voisins, c'est-à-dire par l'axedes voûtes d'évidement, ne sont pas éloignés de plus de 4 à

0 mètres.h hDans ce cas, l'épaisseur du masque c est "8 et si r on fait

lt = 0 mètres, on a :

1 ~.---':-.- = ~ = .o,6~5 soit 0,6;') en nombre rond.

e t)

Talus à MSo. - Dans les cas où les lalus des terres ne prennentpas plus de 43° d'inclinaison, la poussée des terres est moins

grande et nous allons calculer x en prenant les données générales

suivanles qui sonlles plus usuelles:

a=45°;tgrx=t,OO;ll)~

=0,U42Hilg2; =O,1715i;o=iiOOket1t=2200k


La poussée

65

Q == ~ i700 X h2X 0.t7taÎ = 146 h2;2

"ftloment de la poussée. - Son moment est:

h t46 h3Mo= t46 h2 X

"'T = ~ = 49 h3 en nombre rond.

Moment résistant du mu]'. - Le moment résistant du mur estégal à :

x2MK. = 7th -'')

,""

en faisant x = 0,30 h, valeur que nous avons trouvée précédem-ment

MK == 7t !! X 0,302 X h2= 2200k X h3 X 0,302= 99 h3

2 2

Coefficient de stabilité. - Le coefficient de stabilité est égal aumoment MK di visé par le moment Mo, c'est-à-dire à :

99' bl ')

49 = senSl ement"",

résultat èonforme aux données de l'expérience.D'après ce qui précède, l'équation fondamentale des moments

de stabilité entre ce mur et le mur vertical type est:

h3 h2x hx2 0 302- + - + - = .2-- h32c2 C 8 2

Cette équation devient après simplification (voir plus haut) :

8h (4h2 -)x + C œ + 7 - 0,302X 4h2 = 0


x =~ (- 4 + v' 12 + 0,36 c2) (Formule n° t9.)

MASQUES DES VOUTES D'ÉVIDEMENT DES TYMPANS DANS LES PONTS A

CULÉES PERDUES EN TRANCHÉE. - Lorsqu'un pont à culées perduesest construit pour livrer passage au-dessus d'une tranchée, les

;)


terres qui s'appuient contre les murs de cloison des voûtes d'évi-dement, à l'exception toutefois des sables et argiles, ont générale-

ment un talus d'éboulement de 40°, et la poussée des terres ydevient moins intense que dans les remblais; c'est pourquoi les

constructeurs ont adopté pour l'épaisseur du masque le 1/10environ des terres à soutenir.

Ainsi un mur de cloison de 0 mètres de hauteur n'aura plus queOffi,50J'épaisseur au lieu de Offi,60.

REMARQUE.- Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que

le prisme de plus grande poussée agissant contre les murs decloison ou contre les masques se présentait sans surcharges dues

à la circulation des trains; mais il n'en sera jamais ainsi, et il yaura lieu de convertir en une hauteur additionnelle de terre h' lepoids de ces surcharges par mètre carré.

Supposons que la surcharge par mètre carré sur le prisme deplus grande poussée soit de 1 000 kilogrammes, la hauteur h' decette surcharge, convertie en terre, sera égale au quotient de1 000 par 1 600 kilogrammes ou de 1 000 par 1 800 kilogrammes,selon la densité des terres applicable au cas dans lequel on se

trouve, c'est-à-dire que:

1 l~OOk v 1500kh =160Ôk =

Om9;)ouT&JOk = om,90 en nombre rond.

On ajoutera la valeur de h' à la hauteur h des terres à soutenir,

et l'on aura pour l'épaisseur du masque:

h+ h'~-

c

. MURS A CONTREFORTS INTÉRIEURS

Les murs avec contreforts intérieurs, ou placés du côté des terres,sont plus souvent employés que les murs avec contreforts exté-rieurs parce qu'ils ne détruisent pas la régularité du mur en élé-vation et n'empiètent pas sur la place utile. Quoique beaue.oupmoins avantageux sous tous les rapports que les contreforts exté-

MURS CONSOLIDÉS PAR DES CONTREFORTS 67

.S l' ls tendent cependant, pourvu qu'ils soient bien reliés aufleur,

masque, à reculer le centre de gravité du mur et, partant, à lui

donner plus de stabilité; ils rompent enfin le prisme de plusgrande poussée qui n'exerce plus son effort que dans l'intervalle

des contreforts.

Les contreforts à base rectangulaire sont les plus usités et

presque toujours les plus :convenables, mais on peut facilement

les transformer en contreforts trapézoïdaux par la méthode de latransformation des profils.

Les contreforts à base trapézoïdale, qui sont plus larges à laracine qu'à la queue, forment une construction plus solide au pointde vue de la liaison des matériaux; mais on trouve par le calcul

Fig. 26.

qu'ils doivent opposer moins de résistance que les contreforts à

base rectangulaire parce que le centre de gravité est plus près dupoint d'appui,

Les contreforts à base rectangulaire reliés au masque par deuxquarts de cercle forment une variante de la disposition précédenteà base trapézoïdale et donnent lieu aux mêmes remarques.

Quelle que soit la disposition que l'on adopte pour les contrefortsintérieurs, il sera bon de lés relier au masque par des tirants enfer avec clefs: on ne saurait, en effet, apporter trop de soin pourétablir une solidarité parfaite entre ces deux parties du mur,puisque les calculs de leurs dimensions reposent implicitement sur

l'hypothèse de leur liaison intime.Ici, comme dans les murs à contreforts extérieurs, il faut égale-

ment éviter la flexion du masque entre les contreforts, sous l'ac-


tion de la poussée des terres; et le moyen le plus efficace pouréviler cette courbure consiste à ne pas tl'Op espacer ces derniers.

Au chemin de fer de Lyon à Avignon, M. Talabot a adopté descontreforts de 1 mètre de largeur, espacés d'axe en axe de 4 mètres

et laissant entre eux un inlervalle librede 3 mètres. Nous proposons donc de

ne pas dépasser cet intervalle et ce sera

celui que nous adopterons dans les cal-culs qui vont suivre.

Nous calculerons les formules quidonnent les dimensions de ce systèmede murs pour le cas seulement de contre-

forts rectangulaires simplement reliés

au masque, car c'est la disposition la .

plus généralement adoptée dans les lra-

vaux courants de soutènement des terresainsi que nous l'avons dit plus haut.

Les données sont les suivantes (fig. 26 et 26 bis) :

Coupe du mur SU1V!AB.

. '.3J.(: 'C.\(

Fig. 26 bis.

= 4moo;

= 1moo;

= 3moo;

= h;h

Épaisseur du masque supposé vertical. . . . . - valeur déduitec

de l'expérience.

Distance des contreforts, d'axe en axe. . . . . .Largeur des contreforts. . . . . . . . . . . .Intervalle libre entre les contreforts. . . . c. .Hauteur du mur égale à celle des terres à soutenir.

La seule inconnue à déterminer est la saillie x du contrefort surle nu du mur.

Admettons, comme dans les murs à contreforts extérieurs, quela partie du mur comprise entre les deux plans verticaux AB el

CD, menés par les milieux de deux in,tervalles voisins, forme unmassif bien homogène, un monolithe, pour ainsi dire, donl

,c

toutes les parties résistent solidairement. Ce massif tendant à êtrerenversé aulour de l'arête bd du masque, nous prendrons les mo-ments par rapport à cetLe arête.

Moment ?'ésistant du m'ut. - Pour évaluer le moment résistantdu mur, nous chercherons, comme précédemment, le momentrésistant du masque abcd compris entre les deux plans verticaux

u MURS CONSOLIDÉS PAR DES CONTREFORTS 69

AB et CD, espacés de 4 mètres, puis le moment résistant du con-trefort e[gh.

Le poids du masque abal, pour une h'anche de 4 mèlres delongueur est égal à :

( ) 411, 4,,11,2P abcd == -- x "h == -;c c

. t hson bras de leVIer es 2c'

et son moment:

( \ 4rch2 hMI{ abcd) == - x 9;

1.c ~c

Le poids du contrefort e!gh est égal à :

P (e/gh) == "hx ;

son bras de levier est ~ + ~ '

et son moment:

MI{(e/yh) == "hx(~ + 0~)

la somme des deux moments est donc pour une tranche de murde 4 mètres de longueur:

4rch2 h1 (h x )-X-+7tlX -+-

c 2c c 2

et pour une tranche de 1 mèlre :

7th2 h ( h x )-x-+1thx -+-c 2c 4c 8

Mellons TC en facleur commun et effectuons 10s calculs, ilvien t :

(h3 h2x h.T;2)7t2c2 + 4c

X 8

Talus à 3 pOUl' 2. - Égalant ensuite les moments de stabilité(lu mur ci-dessus et du mur vertical-type, nous avons:

(h3 h2x hX2) 0,4027! - + - -L - ==" - h3.

:2c2 4c 1 t; 2'


Supprimons T: facteur commun aux deux membres, il reste:

h3 h2X lur}°

4022c2 + 4c + ~ == T h3 ;

Multiplions par~

les deux membres de l'égalité, pour dégager x2,

nous obtiendrons l'équation du second degré:

0 2h (4h2 ;, )[Ir + - x + -. - 0 40- X 4h2 == 0C C'

,

D'oÙ l'on tire pour la valeur de x :

h ,/ (h )2

(4h2 2 .)x == - C + V C - C2 - 0,4U X 4h2

cette valeur, après toutes les simplifications analogues à celles quenous avons déjà faites pour résoudre l'équation des murs à contre-forts extérieurs, devient:

h ( 1 )x == C - 1 -+- V0,64 c2 - 3 (Formule n° 20.)

On reconnaît, à l'inspection de celte formule, que, si l'on fait

croître c, ou en d'autres termes, si l'on diminue l'épaisseur ~c

du masque, la saillie x du contrefort va en augmentant, mais lecuhe moyen du mur par mètre courant diminue. Ily a donc inté-rêt à diminuer, autant qu'on le peut, l'épaisseur du masque; mais

il y a ici, comme pour les murs à contreforts extérieurs, unelimite qu'il ne faut pas franchir: c'est l'épaisseur au-dessous delaquelle le masque serait exposé à prendre une courbure sous

l'effet de la poussée.M. Talabot a fixé cette épaisseur du masque au 1/4 de la hauteur

des terres; mais avec de bons matériaux, bien reliés ensemble, onpourrait peut-être prendre le 1/0 ou le 1/6 de celte hauteur.

Talus à 40°. - En conservant les mêmes données que dans lecas de murs à contreforts extérieurs, on a pour la valeur de x :

x =~ (- 1 -+- VO,36 c2 - 3) (Formule nO 21.)

MURS CONSOLIDÉS P AR DES CONTREFORTS 71

Nous ne donnerons pas ici d'applications numériques par laraison que les formules auxquelles nous sommes arrivé sontd'une simplicité élémentaire et peu longues à calculer. Le lecteurest, d'ailleurs, familiarisé maintenant avec la résolution des équa-tions de second degré.

RK.\IARQUES SUR LA CONSTRUCTION DES MURS DE SOUTÈNEMENT.-

Dans les raisonnements que nous avons faits jusqu'à présent,nous n'avons pas tenu compte des fondations, car ces dernièresétant supposées solidement établies, le calcul des dimensions desmurs en est complètement indépendant; mais elles n'en jouentpas moins un rôle extrêmelllent important dans la stabilité desmurs; elles en sont une des plus sérieuses garanties et, à ce point

de vue, on ne saurait apporter trop de soin à leur bonne exécu-tion. Tous les calculs des murs de soutènemept reposent, d'ail-leurs, sur l'hypothèse que-les fondations sont incompre~sibles.

Le moindre mouvement dans la fondation entraîne un mouvementcorrespondant du mur, mouvement qui sera d'autant plus sensible

que le mur aura plus de hauteur. On a reconnu aussi maintes fois

que des hors-d'aplomb dans les murs, faussement attribués à desdimensions insuffisantes, n'avaient pas d'autre cause qne des tas-sements inégaux dus au défaut de soin dans les fondations.

Lorsque les murs ont une longueur un peu considérable, il est

d'une bonne construction d'établir, de place en place, des chaînesverticales en pierre de taille qui ont l'avantage de donner à la ma-çonnerie plus de stabilité et de résistance aux points où elles setrouvent.

Quand les terres sont aquifères, il faut avoir soin de donner un

écoulement à l'eau qui s'accumule derrière le mur. On y par-vient au moyen de barbacanes en fonte ou simplement en maçon-nerie, plus ou moins multipliées, suivant l'abondance de l'eau à

évacuer. Elles se placent à toutes les hauteurs dans le mur, maisde préférence à la partie inférieure; et, pour empêcher leur obs-

truction par les terres, on dispose autour d'elles, derrière le mur,un bourrelet à pierres sèches. Quelques constructeurs disent qu'il

convient d'établir uqe barbacane pour chaque surface de 10 mètrescarrés de mur.

i2 MURS DE SOUTÈNEMENT

TRACÉ nE LA COURBE DES PRESSIONS DANS LES MURS.DE SOUTÈNEMENT

MURS SOUMIS A LA POUSSÉE SEULE DES TERRES

Les murs de soutènement construits d'après les principes expo-

sés précédemment seront stables; mais cela ne suffit pas: il fautencore que, dans chacune des assises de maçonnerie qui les com-posent, le renversement, le glissement et l'écrasement ne soientpas à craindre; l'étude de la courbe des pressions fait connaître sices conditions se trou ven t :réalisées.

On appelle courbe des pressions le lieu géométrique des résul-tantes des différents efforts qui agissent sur les joints réels ou

fictifs d'un massif.Proposons-nous donc de tracer la courbe des pressions dans un

mur de soutènement à parois verticales et prenons pour exempleun mur de 10 mètres de hauteur soutenant des terres dont letalus d'éboulement a une inclinaison de 3 pour 2 et dont le prisme

de plus grande poussée supporte une surcharge de 12 000 kilo-grammes (voir fig. 27).

Les données du problème étant les suivantes:

h = iOm,OO;

~ ~ u- - 28°09'15/f. tg - - 0 5352' tg2 - - 0 9864'2 - ,

2 -, , 2 -)"" ,

7'C= 2 500k ;;) :=: 1 600k ;

on trouve pour l'épaisseur du mur x :=: 3m,95.

La surcharge de 12 000 kilogrammes étant supposée uniformé-ment répartie sur la base du prisme de plus grande poussée

est égale à l~~~~k:=: 2 243 kilogrammes par mètre carré, et la

poussée totaleQ :=: 29 338k

Le cenlre de gravité G du mur se trouve au point d'intersectiondes deux diagonales AB et CD et la verticale GR passant par ce

TRACÉ DE,lACOURBE DES PRESSIONS

'p -'9750k

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1.975

Parie, J. BAU ORY, Editeur. Imp, Jl{'tJ1Ùwy-,Paris.

TRACÉ DE LA COURBE DES PRESSIONS n

centre de gravité contient les centres de gravité des massifs partielset passe par le milieu du mur.

Après avoir décomposé en 0 assises de 2 mètres de hauleur lemur de soulènement, nous calculons les poids cumulés des assises~t formons le tableau suivant:

Poids (ADKL) = 3,9:5 x 2 x 2500k = 19750k(ADl\IN)= 3,95 x 4 x 2500k = 39500k(ADOP) = 3,95x 6 x 2500k= 59250k(ADRS)= 3,95 x S x 2500k = 79000k(ADCB)= 3,95 x 10 x 2500k = 98750k

Puis, nous traçons les différents prismes de poussée agissantml' ces différentes assises .cumulées et nous évaluons les poids de~es prismes dont nous dressons le tableau ci après:

1 'Poids DFL = -=> i 600 X 22 X 0,5352 -.:... 1712k,.;

DNG == ~1 600 X 42 X 0,5352 = 6850k

1DPI = - 1600 X 62 X 0,5352 = 154l4ck. i

1DSJ =

2"1 600 X 82 X 0,5352 = 27402k

DBE = ~ 1 600 X 102 X 0,b352 = 42816k""

Enfin, nous cherchons la valeur des surcharges agissant sur~hacun des prisme::; précédenls et nous oblenons les résultats quimivenl :

Surcharges DFL = 22Hk X 1,07 = 2400kDNG = 2 2*:P~X 2, [4 = 4800kDPI = 2243k X 3,21 = 7200kDSJ = 2243k X 4,28 = 9600kDBE = 2243k X 5,35 = 12000k

Nom~ ajoutons ces 'surcharges aux poids des prismes en question-

lui deviennent égaux à :

Prisme DFL = .1 712k + 2400k = 4112kDNG= .

6 850k + 4800k = 11 650kDPI = J5414k + 7200k = 22614kD~J - 27402k + 9600k = 37002kDBE == 42816k + 120aok = 51:816k


Nous multiplions ces poids tolaux par la valeur de tg : =: 0,D3!:>2-et nous avons la valeur des diverses poussées partielles agissantsur les assises du mur, poussées que nous classons ainsi:

'74

Ql == 4 H2k X O,~352 == 2200k

Q2 == 11 650k X 0,5352 == 6 2~5k

Q3 == 2~ 6i4k X 0,5352 == 12103k

Q4 == 37002k X 0,5352 == 19803kQ == 5* 816k X 0:53t)2, == 29338k

La poussée des terres étant nulle suivant AD, le point a milieude ce joint appartient à la courbe des pressions.

Représentons D000 kilogrammes par 1 mèlre de longueur.

Nous appliquons la poussée Qi au 1/3 de la hauteur DL, soit~ ==

Offi,67à partir du point L ; puis nous prenons, à partir du point oÙ

cette poussée coupe la verticale GR, une longueur proportionnelle

à 2 200 kilogrammes, valeur de cette poussée. Par l'extrémité decette valeur graphique, nous menons une verticale proportionnelleaux poids de l'assise ADKL et nous achevons le parallélogrammede ces deux forces; la diagonale coupe le joint KL au point ~

qui appartient à la courbe des pressionB.

Sur la direction de la force Q2, appliquée au 1/3 de la hauteur

DN des deux premières assises combinées, nous prenons une lon-gueurproportiounelle à la valeur de Q2 et à l'extrémité de cette

longueur nous abaissons une verticale propqrtionnelle aux poidscumulés de ces assises; puis, nous achevons le parallélogrammede ces forces; la diagonale coupe le joint MN au point y apparte-

nant à la courbe des pressions. ,

En continuant ainsi à combiner les forces Q3, QIt et Q avec les

poids cumulés des assises demaçonneTie du mur, on obtient lespoints de la courbe des pressions bS'/l. On joint par un trait con-tinu les différents points obtenus et la courbe a~Ybs'/l est celle des

pressIOns.

Cette courbe coupe la b~se du mur au point '/l.

1° Renversement. - Le point '1)est dans l'intérieur du mur; il eslé:vident que toute la courbe doÏt s'y trouver et s'y trouve contenueà moins d'avoir un profil de mur bizarre et inacceptable en pra-

TRACÉ DE LA COURBE DES PRESSIONS 75

tique; le renversement n'est pas à craindre et la première condi-

tion d'équilibre est satisfaite.

2° GlisseJnent. - Pour qu'il n'y ait pas glissement suivant unplan de joint quelconque, il faut et il suffit que l'effort fasse avecla normale à ce plan un angle moindre que l'angle de glissementdes matériaux employés.

Remarquons que l'angle de glissement est l'angle dont le coef-

ficient de frottement des matériaux est la tangente trigonomé-

trique. Ainsi, par exemple, supposons que le mur soit fait en cal-caire dur: le coefficient de frottement de ces pierres est 0,74.Nous cherchons dans la table des valeurs naturelles des lignestrigonométriques l'angle dont la tangente est 0,74, et nous trou-vons 36° 30' 31". Pour qu'il n'y ait pas glissement suivant la

base CB, il faut, dans le cas actuel, que 'l'angle Z'ZH de la résul-

tante ZZ' avec la normale ZH à la base CB soit plus petit que

36° 30' 3Jlf/; ce qu'il est toujours facile de vérifier sur l'épure; onpourrait encore vérifier si l'angle complémentaire Z"fjB est égale

à D3° 29' 29".Si le mur avait élé construit en toute autre pierre, il aurait fallu

choisir le coefficiént du frottement relatif à cette pierre et répéterles opérations que nous avons faites.

Le coefficientde froLlement d'un mur ou massif sur sa fondationse prend égal à 0,76, quand la fondation est un rocher naturel ou

du béton; à 0,D7 si le mur ou massif repose sur le sol naturel(terre ou sable) et à 0,30 environ, si le fond est argileux ou sujet

à être détrempé par les eaux.On peut encore vérifier cette condition d'équilibre en comparant

la force qui tend à faire glisser le mur à la résistance qu'il opposeà cette force. Ainsi que nous l'avons déjà vu, la force qui sollicitele mur au glissement est la poussée horizontale des terres Q,

Q = 29338k

La résistance au glissement est égale au poids du mur multi-plié par le coefficient du frottement 0,74; cette résistance seradonc:

R = 0,74 x 98750k= 73075k

if) M URS DE SOUTÈNElIIENT

On voit, a priori, que le mur ne glissera pas sur sa base et quesa résistance au glissement est près de deux fois et demie supé-

rieure à la force qui le sollicite au glissement, en effet:

73075k'>293381,: = _,49.

3° Écrasement. - Les constructions précédentes nous ont donnésur la hase du mur une résullante finale ZZI appliquée au point "fj,

CetLe résultante est oblique et sa composante verticale est]e poids

tIu mur; c'est donc ce poids qui pèse sur la base et qui doit êtreréparti sur elle. En pratique, on se contente de voir si la surface~orrespondant au joint Cf) peut supporter sans danger les 2/3 de

la pression totale à laquelle se trou ve soumis le joint CB considéré.Ainsi la base ou joint total CB supporte une pression de 98 750 ki-

logrammes dont les 2/3 sont de 65 833 kilogrammes; le joint.c"1jmesure 1 mètre ou 100 centimètres et la surface qui lui

correspond pour une lranche de 1 mètre d'épaisseur conlient

100 x 100 = 10 000 centimètres carrés; par suite, la pression par~enlimètre carré sur ce joint CYjsera égale à

65 8331,:- k

lU 0001: - 6 ,58

et si nous supposons que les matériaux employés puissent résisler

à une pression de 10 kilogrammes, le mur présente loutes lesgaranties désirables de sécurité au point de vue de l'écrasement.

MURSEN RETOURDES PONTS.- Les murs en retour ùes ponts,lrasés au niveau du hallast ou (le la chaussée, sont des murs de,oulènement soumis à la poussée seule des terres, surcharge com-)r1se.

MURS SO.U1IIS A L'ACTION D'UNE FORCE APPLIQUÉE SUR LEUR liA CE

SUPÉRIEURE

Soit le mur de l'exemple précédent ayant 10 mèlres de hauleur

ur 3ffi,95 d'épaisseur uniforme soumis à la force R qui fait avec'horizontale ou plan o.e joint AD un angle de 67° et agit sur la

TRACÉ DE LA COURBE DES PRESSIONS

face supérieure du mur, abs-traclion faiLe de la poussée

des terres (fig. 28).pour lracer la courbe des

pressions sur chaque jointd'assise, il faut composer la

force R, représentée en gean-deur et direction par la ligne

FI avec les poids successive-ment cumulés des massifspartiels qui forment le mur.

Supposons que 1 mètre delongueur représente 10000kilogrammesàl'échelle adop-

tée pour les poids.1er Point (f.. - Le point (f.

situé au point d'intersection

de la force Il et du joint ADappartient à la courbe des

pressIons.28Poin! ~. - Le point ~

se détermine ainsi:A partir du point F oÙ la

force Rcoupe la verticale GRdes centres de gravilé, nousprenons sur celle verticaleune longueur F-1 proportion-nelle au poids P du premiermassif et 'nous construisonsle parallélogramme de cesdeux forces: la diagonalecoupe le joint KL au point ~appartenant à la courbe despresslOns.

38 Point 1. -.:... Le point 1est donné par la constructionsuivante:

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Fig. 28.

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78 :MURS DE SOUTÈNEMENT

A partir du point F, nous prenons une longueur F -2 proportion-nelle aux poids cumulés 2P des deux premières assises et la lon-gueur FI de la force R restant la même, nous achevons le paral-lélogramme de ces deux forces: la diagonale coupe le joint MNau point cherché r.

En continuant à combiner, toujours à partir du point F, les poidscumulés des différentes assises avec la force R, on obtient lesautres points à,s;1] de la courhe des pressions.

1° Renversenzent. - La courhe a~r(3s-1Jest contenue tout entièredans le mur; la construction sera donc en équilibre.

2° Glissement. - La dernière résultante FZ fait avec la normaleFH à la hase CB un angle plus petit que 36° 301 3 fI correspondantau coefficient de glissement 0,74 des matériaux employés; il n'y a

donc pas de glissement à craindre.

3° Résistance à l'écrasement. - Il reste à vérifier si lës maté-riaux ne sont pas exposés à l',écrasement.

1° Joint Ao:.- Au point a la force R fait avec le joint un anglede 67°, sa composante verticale, c'est-à-dire le poids agissant surle joint AD est égal à

FI x sin 67° == 4m,50 X 0,920505 = 4m,14

longueur graphique d'un poids de 41 400 kilogrammes..

Les 2/3 de ce poids sont de 27 600 kilogrammes; la surfacecorrespondant au joint Ao: contient 10 000 centimètres carrés, cequi donne une pression de :

.

27600k a .

78 t " ' t '- - = ~, par cen lIDe re carre.15 500

Ce résultat est admissible puisque les matériaux sont supposéspouvoir résister à une pression de 10 kilogrammes.

2° Joint 'I)B. - Si le joint '!JBrésiste à la pression à laquelle ilest soumis, il est évident que tous les autres joints intermédiairesmoins chargés et plus grands que lui résisteront aussi; c'est pour-Juoi nous vérifions tout de suite ce joint.


Si l'on ajoute à la composanle verticale de la force R le poids

du mur, on aura le poids total agissant sur la base CB et égal à

414001> + 98 750k = 140 150k

poids que l'on obliendrait graphiquement en menant par l'extré-mité Z de la dernière résulLante l'horizontale TZ jusqu'au point T,où elle coupe la verticale GH des centres de gravité.

Les 2/3 de 140 150 kilogrammes sont de 93433 kilogrammes;

la surface correspondant au joint B contient 8 500 centimètrescarrés; il en résulte que la pression agissant sur ce joint est égale à

93 433k10k 99

.1 k

"

.= . , SOIt L' Par cenllmetre carre.~ 5uU

.

Cette pression, dépassant la limite 10 kilogrammes, de la résis-

tance pratique des matériaux employés, indique que le mur neprésente pas une assez grande épaisseur à sa base et que le massif

ne satisfera pas à toutes les conditions requises de stabilité.En pratique, et surtout lorsqu'on n'a pas d'expérience précise

s ur la résistance des matériaux à employer, on ne les fait pas tra-vailler à plus de 5 à 6 kilogrammes par centimètre carré; met-

tons-nous dans ce cas et cherchons la largeur additionnelle BB'

de la base pour satisfaire à la condition que nous venons de nousimposer en prenant la lilnite de 6 kilogTammes.

Cette largeur additionnelle s'obtient en faisant le raisonnementsuivant:

La pression à répartir est de 93 433 kilogrammes, si x est la lon-gueur du joint YjB, un mètre de joint comprend x x 100 centi-

mètres carrés et l'on a l'équation:

93 433k - 6k, d" -93 4~

- lm 56100x - , ou x - 60l> - ,

A partir du point ''1, on prend une longueur de 1m,56, ce qUIdonne pour la longueur de la nouvelle base CB1 du mur:

3,95 - 0,815+ 1,56 - 4m,66

on élève par le point BI une perpendiculaire B/D1 à la base et l'ona la face postérieure verticale du mur.


On vérifie ensuite les nouvelles dimensions du mur en traçantune nouvelle courbe des pressions, car en modifiant le massif onen a augmenté le poids et, par suite, déplacé le centre de gravité.

Si ce premier tâtonnement ne satisfait pas complètement aux con-ditions de la stabilité, on recommence le raisonnement ci-dessus

jusqu'à ce que l'on trouve une surface de joint assez grande pour

que la pression ne dépasse pas 6 kilogrammes par centimètre carré.

CULÉESDESPONTSENMAÇONNERIE.-- Les culées des ponts en ma-

çonnerie, abstraction faite des terres, peuvent être assimilées à

des murs de soutènement soumis à l'action d'une force appliquéesur leur face supérieure; dans ce cas, la force R est l'effort trans-mis par la 1/2 voûte au joint des naissances AD.

~IURS SOUMIS A L'ACTION D'UNE FORCE APPLIQUÉE SUR LEUR FACE

SUPÉRIEURE ET A LA POUSSÉE DES TERRES

Reprenons encore le mur de soutènement des exemples précé-dents et soumettons-le à l'action combinée de la force R, égale à

45000 kilogrammes, faisant un angle de 67° avec sa face supérieureAD, appliquée au point a. situé à 1ffi,55 du point A et de la

poussée de-s terres qui résulLe d'un angle de glissement de 56° 18'30'1, Y compris la surchage de 12 000 kilogrammes sur le prismede plus grande poussée. (Voir fig. 29.)

Les autres données du problème restant les mêmes, c'est-à-

dire:

IL = 10 mètres;a - a a

a = 56°18'30'"- ~ 28°09'15'1.tg - = 05352' tl- = 02864', .2 ' 2 ' , :2 ',

71;= 2 t)OOk ;

8 = i 600k;

l'épaisseur du mur est égale à 3m,95, dimension qu'il s'agit devérifier.

Nous combinons d'abord la force R avec le poids du massifADKL ; puisque cette force est la première qui coupe la verlicale

TRACÉ DE lA COURBE DES PRÈSSION,S

Fig.29.

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Pl.2

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des centres de gravité GH en F. Nous supposerons que 1 mèlrede longueur représente 5000 kilogrammes.

A parlir du point F, nous prenons, dans le prolongement Jela force R, une longueur FI proportionnelle à l'intensité de cetteforce 45 000 kilogrammes et, sur la direction FH, une longueurF -1 proportionnelle au poids du massif ADKL, soit à 19 750 kilo-grammes; puis, nous achevons le parallélogramme de ces deuxforces; sa diagonale FI coupe au point a la direction de laforce Q1'

A partir de ce point a et sur la direction de la force Qp nousprenons une IOllgueur ab proportionnelle à l'intensité de cetteforce 2 200 kilogrammes, puis une longueur at égale à la résultanteprécédente FI et sur son prolongement; enfin, nous achevons leparallélogramme de ces deux forces; sa diagonale aa' coupe lejoint KL au point ~ qui appartient à la courbe des pressions.

Ensuite nous combinons la force R avec les poids cumulés desdeux premières assises ADMN ; pour cela, à partir du point F, nousprenons sur la verlicale GH des centres de gravité une longueurF - 2 proportionnelle au poids 39 500 kilogrammes de ces deuxassises et la longueur FI de la force R restant la même, nousachevons le parallélogramme de ces deux forces: sa diagonale Fecoupe au point c la direction de la force Q2'

A partir de ce point c, nous prenons sur la direction Q2 une lon-gueur cd proportionnelle à l'intensité 6 235 kilogrammes de celle

force et, sur la direction ce prolongée, une longueur ce' égale àla résultanle précédenle Fe; puis, nous achevons le parallélo-gramme de ces deux forces; sa diagonale cc' coupe au point j lejoint MN; ce point appartient à la courbe,des pressions.

En continuant à combiner ainsi successivement la force R avecles poids cumulés des autres assises et les diverses valeurs de lapoussée horizontale sur les massifs considérés, nous trouverionsles points 0, ê et "!J de la courbe des pressions.

Comme on le voit, en comparant cette courbe avec celle du casprécédent, la poussée des terres a eu pour effet de rejeter vers l'in-térieur du mur le point '!J de la\courbe des pressions; par suite, lejoint "!JBmesure 1m,50 de longueur au lieu de om,85 et la surfacequi correspond à ce nouveau joint, pour une tranche du mur de

. 6


1 mètre d'épaisseur, contient HW X 100 = 15000 centimètrescarrés; les 2/3 de la composante verticale de la force R et du poidsdu mur qui agissent sur la base CE étant de 93433 kilogrammes, ilen résulte que la pression agissant sur le joint 'fiEse trouve réduite, 93 433k

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15000 = ,;) en nom )re l'on. e resua es. a mISSI e pUIsque

les matériaux sont supposés pouvoir supporter 10 kilogrammespar centimètre carré.

Cet exemple démontre qu'en tenant compte de toutes les forcesqui agissent sur le mur, pour tracer la courbe des pressions, ontrou ve son épaisseur suffisante et que la formule générale, aumoyen de laquelle on a calculé cette épaissèur, satisfait bien auxconditions de l'équilibre pratique.

REMARQUE. - Dans le cas où le mur, au lieu de se profiler ver-ticalement, serait terminé postérieurement par un fruit ou par des

retraites, il faudrait déterminer les centres de gravité des massifspartiels successivement considérés pour appliquer les poids surla verticale de chacun d'eux, car, au fur et à mesure que lesassises du mur se cumulent et s'élargissent, les centres de gra-

vité se déplacent et ne se trouvent plus sur une seule et mêmeverticale.

CULÉES DES POl'lTS EN JUAÇONNERIE. - Les culées des ponts enmaçonnerie ne sont pas autre chose que des murs de soutènement

supportant sur leur face supérieure ou joint des naissanceR laréaction oblique d'une demi-voûte et contre leur paroi extérieurela poussée horizontale des terres formant le remblai des rampesd'accès à l'ouvrage.

Cette considération nous servira plus tard lorsque nous nousoccuperons du tracé de la courbe des pressions dans les ponts enmaçonnerIe.

Muns EN AILES.- Les murs en ailes présentent un cas particu-lier des murs de soutènement, en ce sens que, contre les culées,

ils soutiennent la hauteur totale du remblai, tandis qu'à leur base

ils n'éprouvent plus aucun effort de renversement; ils doivent

donc avoir à leur origine, c'est-à:dire dans le plan des têtes,


une épaisseur suffisante pour résister â la poussée des terres:généralement, on leur donne la même épaisseur qu'aux culées

elles':mêmes et l'o'n pèche ainsi par excès; puis, cette épaisseur

va en diminuant au fur et à mesure que décroît la hauteur desterres à soutenir. Mais, pour éviter que les murs en ailes se ter-minent en pointe au pied des talus de remblai, ce qui serait peupratique et fort disgra~ieux, on les accompagne de dés ayant

une certaine largeur à la base; il s'ensuit que l'épaisseur réelledes murs en ailes est déterminée par les dimensions des culées

et des dés.

MURS DE REVÊTEMENT

Soit un mur de revêtement" de 10 mètres de hauteur dont ln.

partie supérieure présente unB berme de om,60 de largeur entre,

le talus extérieur d'un cavalier, incliné à 3 pour 2, comme les terresdu remblai et dont la plate-forme est arasée à 3 mètres au-dessusdu sommet de ce mur (fig. ~O); et proposons-nous de tracer lacourbe des pressions dans ce massif de maçonnerie en conservant

à 7t sa valeur de 2 DOOkilogrammes et à 0 celle de 1 600 kilo-grammes.

L'épaisseur du revêlement est donnée par la formule empi-

rIque :

x= 0,845 tg ~ (h + h) yi: ;

remplaçons les lettres par leur3 valeurs connues, il vient:

x = 0,84:5 x 0,5352 (10 + 3) , /t 600 = 4ffi,70.V2 500

Nous faisons ensuite; comme précédemment, les poids cumulés:

1° Des!) assises fictives qui cornposen t le mur de revêtemen t ;2° Des!) prismes de plus grande poussée"qui agissent contre ce mur;3° Des surcharges qui pèsent sur chacun de ces prismes.

Enfin, nous calculons le poids du cavalier proprement dit gDnqui repose sur le sommet du mur et nous déduisons des poids desprismes, augmentés des poids de leurs surcharges, les différentes


valeurs des poussées qui actionnent la paroi intérieure BD drevêtement; ces valeurs sont les suivantes:

QI = 6 189k X 0,5352 = 3309kQ2= 16463k X 0,5352 = 8811kQ3 = 30 163k X 0,5352 = 16H3kQ4 = 41287k x 0,5352 = 25308kQ5 = 67907k x 0,5352= 36314k

Nous appliquons ces différentes poussées au 1/3 de la hauteudes divers massifs partiels contre lesquels elles agissent, puis noUidéterminons les centres de gravité du mur ùe revêtement et dlcavalier G et G'. La verticale du poids P du mur passe par ltpoint d'intersection G des deux diagonales AB et CD ; la verticaltdu poids P' du cavalier passe par le point G' déterminé par l'inter-section des trois médianes des côtés du triangle gDn et coupe labase gD au point s silué aux 2/3 de gD à partir du point ,q.

Nous cherchons ensuite la résultante R des deux forces P et pl

parallèles et dirigées dans le même sens; cette résultante est égaleà la somme P + P' des deux composantes et son point d'applica-tion (J.se trouve compris entre ces dernières à des distances inver-

sement proportionnelles aux intensités de ces deux forces.

C'est donc suivant la direction de cette résultante que se trouvetransportée l'action verticale des poids P + P' du mur et du cava-lier; ce sera donc aussi à partir des points d'intersection de celterésultante avec les poussées horizontales des terres que nous cons-truirons les parallélogrammes des forces.

Nous obtiendrons ainsi la courbe des pressions (J. ~ 1 (3 E 1) dontle point 'fj se trouve à 1m,60 du point C appartenant au parementextérieur du mur; la surface de joint C1) mesure 16000 centimèlres

carrés; les 2/3 des poids P + P' sont de 126 52~k x 2 = 84 380k ;la press~on qui agit sur la surface du joint C'fj est de 5\27, soit 5\30en nombre rond par centimètre carré; cette pression est donc

acceptable 'pour la pratique.

MURS EN RETOUR DES PONTS. - Quand les ponts sont construilssous grands remblais, leurs murs en retour, si l'on adopte cettedisposition, se trouvent dans le cas des murs de revêtement et secalculent comme ces derniers.

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CONDITIONS D'ÉQUILIBRE DES MASSIFS 8')

RÉSUUÉ DES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE DES MASSIFS EN MAÇONNERIE

Première condition. Renversement. -'- La courbe des pressions

doit être tout entière contenue dans l'épaisseur du mur pour quele renversement ne soit pas à craindre.

Deuxième condition. Glissement..- Il faut et il suffit, pour qu'il

n'y ait pas glissement suivant un plan de joint quelconque, quel'effort qui tend à produire le glissement fasse avec la normale àce plan un angle moindre qne l'angle du frottement des matériauxemployés.

Troisième condition. Ecrasement. - Il faut, pour éviter l'écrase-ment, qu'aux points les plus fatigués la charge de la matière, parunité de surface, soit inférieure à la limite pratique de sa résis-tance, c'est-à-dire au 1/10 de la charge qui produirait touteespèce de déformation des matériaux employés.

RÉPARTlTlO:.'iIDES CHARGES SUR LES PLANS DE JOINT. - Jusqu'ici nous

avons admis, conformément aux usages de la pratique, que quandla surface de joint, comprise entre l'arêle la plus voisine du muret le point d'application de la charge, pouvait résister aux 2/3 de

la pression agissant sur le plan de joint considéré, la troisièmecondition d'équilibre se trouvait satisfaite.

Mais cette manière d'agir est incomplète et il est utile de con-naître l'intensité de la charge en un point quelconque du jointconsidéré; cetle répartition se fait au moyen de la formule sui-

vante, extraite de l'ouvrage (Résistance des matériaux) de M. Col-lignon :

R = ~ (i + 3::) (Formule nO 22.)

dans laquelle :

R exprime la pression répartie sur le joint considéré, par unitéde surface, en un point défini par sa dislance x au centre de gra-:vité du joint;

Q la surface tolale de ce joint;


P l'effort vertical à répartir, appliqué à une distance jJ du centrede gravité d~ l'assise;

a le demi-côté de cette assise supposée rectangulaire.

Cette formule fait connaître, avons-nous dit, la pression en un

point quelconque, pourvu que l'on y remplace x par toutes lesvaleurs possibles, depuis x = - a jusqu'à x = a; les valeurs de xétant comptées à partir du centre de gravité du joint considéré.

Ces valeurs sont-positives du côté où s'applique l'effort à répartir,négatives du côté opposé.

Si jJ = 0, c'est-à-dire si l'effort passe par le centre de gravité dujoint, la formule se réduit à

R=~~l

quel que soit x ,. toute la section est comprimée.Si p < -%-

'la section tout entière est comprimée, : c'est l'arête

x = a qui l'est le plus et l'arête x = - a qui l'est le moins.Si p =

~ ' la formule devient:

R=~ (~+1 )!l a

Dans ce cas, pour x = a,

R- 2P.- ~l '

et pour x= - a:R=O;

ce qui indique que le point d'application de l'effort étant situé autiers du demi-côté de l'assise, la pression sur l'arête la plus voi-sine du point d'application est double de la pression moyenne; elleest nulle sur l'arête la plus éloignée.

S~jJ > ~,l'arête x = a subit une compression et l'arête x = - a

travaille à la traction, résultat inadmissible, puisque la maçonneriene-peut résister qu'à la compression.

Ce dernier résultat indique que la dimension du massif n'est pasconvenable.

Interprétation pratique de la discussion précédente. - Si le

CONDITIONS D'ÉQUILIBRE DES MASSIFS 87

point d'application ", de l'effo~t défini~if est,situé e;.trte le centre ~e

gravité du mur et son parement inténeur, a une 1Sance p > ""3

du centre de gravité, le mur est trop épais1

(fig. 31).'6-

Au contraire, si le point d'application 'f)

Je l'effort est situé dans l'autre partie du

mur, à une distance p > ~du centre de

gravité, le mur n'est pas assez épais(fig. 31).

Il faut alors, selon le cas, augmenter

ou diminuer l'épaisseur du mur jusqu'àce que p soit inférieur ou au plus égal à

~. Remarquons que ce changement

l ' d d. Fig. 3l.

fait varier e pm s u mur et, par smte,modifie toutes les valeurs qui entraient dans la formule de répar-

tition.La condition de stabilité est que la pression R, ainsi obtenue

par unité de surface, soit inférieure à la. limite pratique de résis-

tance des matériaux. employés; dès lors, si l'on trouve pour Rune va.leur trop faible,- il faut réduire l'épaisseur du mur, afin defaire travailler davantage la maçonnerie, composer de nouveaule poids du mur ainsi réduit avec l'effort définitif jusqu'à ce quel'on obtienne une pression raisonnable, tout en s'assurant que pest

toujours inférieur ou égal à~

.Si, au contraire, on trouve pour R une valeur trop forte, on

augmente progressivement l'épaisseur du mur, jusqu'à ce que l'onfasse subir à la maçonnerie une pression approchant de la limitepratique de résistance des matériaux employés.

BUTEE DES TERRES

Quand un mur descend au-dessous du sol sur les deux faces,comme cela a généralement lieu, pour aller chercher un bon solde fondation, on conçoit que la butée des terres contre la secondeface s'oppose au renversement et au glissement (fig. 32).


On calculera cette butée à l'aide de la formule connue:

c,,'

011

,11

- 1Qj

Fig. 32.

Q'1

':'h "t 0 2= - 0 - g- -2 a

dans laquelle:h' représente la hauleur

entre le plan de fondationet le sol naturel;

Le moment de cette butéesera exprimé par la relationsui vante:

MQ' = ~ oh';\tg2 ~

6 2

d'un autre côté, on aura

pour le moment de la pous-sée des terres:

~ I - 1"1

0 alt Q - - O/~3tg--6 2

et la différence entre les va-

leurs de ces deux momentsde Q et Q', pris par rapport

au plande fondation, formerale premier membre de l'équa-

tion fondamentale qui don-nera l'épaisseur x du mur,

saVOIr:

M M -1thx2

Q- Q'-T

et pour l'équilibre pratique:

( ) 1thx22 MQ - Mç' - 2

L'épaisseur du mur une fois trouvée, on la vérifiera en traçantla courbe des pressions comme précédemment, en observant que,pour la combinaison de la butée Q' avec la dernière résultante du

MASSIFS DIVERS 89

poids du mur et de la force Q, on portera la valeur Q' sur ladroile du point d'intersécLion de cette résultante avec la directionde la butée Q', c'est-à-dire dans la direction de celte force.

Si le sol naturel était d'une nature exceptionnellement cohé-rente, au pJint de pouvoir être taillé à pic, on pourrait calculerl'épaisseur du mur en ne tenant compte que de sa hauteur com-prise entre le terrain naturel et sa partie supérieure, c'est-à-direque l'on aurait, ainsi que nous l'avons déjà dit précédemment,l'équation suivante pour calculer là dimension de ce mur:

Tchx2

-i

"I-t 2CI.

(1 1') 2---ût g - L-t2 ~ 2

qui donne pour .7:la valeur ci-dessous:

( ) ex ~ /28-x = h - h' tg~ V"3 Tc

(Formule n° 23.)

Mais, le plus souvent, dans la pratique, on ne tient pas compte

de la butée pour les terrains ordinaires, afin d'être complètementcertain que le mur ne comprimera pas le prisme de butée en glis-

sant sur sa base, car nous savons que rarement un glissement està craindre, lorsque le mur a une épaisseur calculée par les for-mules donnant la valeur de x, ainsi qu'il est facile de s'en assurer.

MASSIFS DIVERS

Nous lerminerons ce que nous avons à dire sur les murs de

soutènement en donnant les formules les plus usuelles qui serventà déterminer les épaisseurs des barrages, des batardeaux, des

perrés en maçonnerie hydraulique, des murs. de soutènement etdes perrés à pierres sèches.

Epaisseur des barrages en maçonnerie. - Dans le cas où unmur est desliné à résisler à la poussée de l'eau:

extg ") = tg MiO= t ; ô == i OOOk....


et la formule générille n° 1 pour le cas de murs à parois verticales

et ~20x = htg - -

2 3;;

devient:

VO)o

x='h ~3;:

(Formule n° 2~.)

h, hauteur du barrage étant égale à celle de l'eau.

Transformation de cette fOJ'Jnule. - On peut transformer celtevaleur de x en écrivant:

x = }~ \ / 20\13 V 7t

ou bien:1

V-

x = - h 20V3

-;-

mals:

.~- = 0,;58 en nombre rondv3

d'où enfin:~ /<>0

X = 0,58 h V: (Formule n° 2tS.)

Formule de NavieJ'. - Navier a donné la formule suivante pourl'équilibre statique:

x = 0,59 h ~ / ÔVr. (Formule nO 26.)

dont il double ensuite la valeur pour obtenir l'équilibre pratique.

La formule de Navier paraît avoir la préférence des construc-teurs à cause de la grande sécurité qu'elle leur inspire.

EpaÙseuJ' des balardeaux. - Les batardeaux sont des construc-tions provisoires dont la forme est celle d'une caisse sans fond,

en charpente, composée de deux files de pieux parallèles et de

palplanches jointives mainlenues au sommet par des mois esdoubles et reliées entre elles par des traversin es qui empêchentl'écartement des parois; en outre, les files de pieux sont parfoisétrésillonnées du côlé d'aval pour prévenir le renversement des

balardeaux sousl'aclion de crues subites et imporlantes.L'intérieur de ceLLe caisse est ensuite rempli, soit avec de la

MASSIFS DIVERS 91

terre glaise, soit avec du béton, après dragage préalable du fondpour enlever la vase et les sables qui compromettraient l'étan-chéité de la construcLion.

La formule n° 25 sert à calculer l'épaisseur à donner aux batar-deaux; mais comme, en amont de ces ouvrages, il peut se former

des atterrissements dont la poussée est plus grande que celle del'eau, il conviendra de faire ici: 8 = 1 800 kilogrammes tout ensupposant que tg ~ reste égale à i ; et si l'on désigne par ~ le poids

'"'du mètre cube des matières employées comme carrois, on a :

POUl' le cas de la glaise où

TC = 1 600k

X = 0 58 h ~ / 2 x 1 80J, V 1 bOO

et après simplificationx = 0,87 h (Formule n° 27.)

pOUl' le cas du béton oùTI= 2 lOOk

x = 0 58. h ~ / 2 x 1 800,. V 21UO

Cette valeur simplifiée devient:

x = 0,75h (Formule n° 28.)

Mais, comme généralement les batardeaux doivent être assez

solieles pour pouvoir servir de chemin de roulement, on leur donneassez souvent une épaisseur égale à la hauteur d'eau à soutenir;on n'augmente pas, d'ailleurs, la dépense d'une manière sensible,en agissant ainsi, car les pieux et palplanches sont ce qu'il y a deplus coûteux dans un balardeau.

.

Enfin, dans la pratique, les batardeaux dépassent le niveau descrues d'une quantité suffisante pour prévenir l'inondation desfouilles.

DIMENSIONS DES BOIS EMPLOYÉSDANS LES BATARDEAUX.- Ces dimen-

sions varie'nt sensiblement avec la hauteur des eaux et avecTespa-cement des pieux; dans la pratique on ne distancera jamais les

pieux de plus de 2 mètres, d'axe en axe, pour ne pas exposer les

batardeaux à une fatigue trop grande.


PIEUX. - Pour une hauteur d'eau de 1 à 2 mètres, les pieuxont de om,10 à O~,1D de diamètre; les planches ou dosses Offi,027d'épaisseur, dimensions courantes du commerce.

Quand cette hauteur dépasse 2 mètres, le diamètre des pieux se

règle au moyen de la formule suivante:

(Dupuit) D=O,04 L

où D représente le diamètre cherché;

et L la longueur totale du pieu, fiche comprise.

P ALPLANCHES.- L'épaisseur des palplanches pourrait être fixéepar la formule ci-dessous:

(Lanteirès) E = om,04 + 0,02 H

H étant la profondeur du fond solide au-dessous de la crête dubatardeau.

BATARDEAUXEl\' PIEUX JOINTIFS.- Quand il faut recourir à ce

genre coûteux d'ouvrage, on emploie généralement deux équarris,.sages de pieux, l'un pour les pieux principaux, l'autre pour lespieux intermédiaires, qui font l'office de palplanches; ces équar-rissages sont réglés par les formules ci-dessous:

Pieux principaux:E = om,tO + Om,025 If

Pieux intermédiaires:

E = om,05 + Om,025II

dans lesquelles:

E représente le côté du pieu;H la hauteur entre l'étiage elle sol de fondation.

Epaisseur des murs de soutènement à pierres sèches. - Ondonne ordinairement aux murs construits à sec des épaisseurs de

1/4 plus fortes que celles des murs maçonnés à bain de mortierhydraulique~; dans le cas d'un mur à parois verticales, la valeUl~

algébrique dex est égale à :

(h ) a, /20

X = h + T tg2 V 3r.

Talus à 40° : x= om,30; e = om,05. (Formule nO30.)

Talus à 3 pour 2: x=O 30; e=O 02. (Formule nO31.)

Talus à 1 pour 2 x=O 60; e=O 20. (Formule nO 32.)

MASSIFS DIVERS

OU bien en simplifiant:

93

} a

V20

X == 1,25 ttg_2 -3n

(Formule nO 29.)

au-dessus de B à 6 mètres d'élévation, il est peu convenable de

faire des murs à pierres sèches parce que les matériaux des partiesinférieures éclatent souvent sous l'action de la pression; en outre;lorsque les matériaux ne proviennent pas des déblais, ces mursreviennent généralement aussi cher qu'un ouvrage en mortier.

Epaisseur des perrés maçonnés au mortier. - Ces perrés ont

pour but de protéger les talus des levées ou remblais contre leséboulements et les corrosions. En désignant par:

x, l'épaisseur en couronne mesurée normalement au talus;

e, l'augmentation d'épaisseur par mètre de hauteur verticale,

on fait pour le cas de :

dans ce dernier cas, les perrés commencent à jouer le rôle de murs

de soutènement.

Epaisseur des parés à pieJ'J'es sèches. - Les perrés à pierressèches ne s'emploient guère que pour revêtir des talus de déblais

ou des berges de rivières dans les terrains argileux, argilo-sableuxet même simplement sableux. Généralement, ces talus sont inclinés

à 3 pour 2 et l'on donne aux perrés une épaisseur uniforme de :

e == Om,35 (Formule n° 33.

déduite de l'expérience; mais on cimente les joints des perrés enrivières jusqu'au niveau des crues pour empêcher les eaux dedélayer les terres composant les berges et d'amener, par suite, la

destruction des revêtements.

Fondation.des perrés. - Le long des cours d'eau importants,les fondations des perrés consistent en un enrochement en grosmoellons bien assis et posés à sec sur un fond convenablement

9i :MURS DE SOUTÈNEMEnT

réglé; le dessus de cet enrochement est arasé horizontalement au

moyen de béton.à la hauteur de l'étiage et forme, dans le senstransversal, une saillie de Offi,:iOà Om,40 environ sur le nu desperrés; dans certains cas, les enrochements sont consolidés par

des pieux et palplanches solidement moisés à leur partie supé-rIeure.

Sur les petits cours d'eau, la fondation des perrés consiste enune simple rigole creusée au pied du talus et remplie de grosmoellons d'enrochement. (Voir les ouvrages spéciaux SUl' la

matière. )

DEUXIÈME PARTIE

PONTS ET VIADUCS EN MAÇONNERIE

- . , ,.CON S IDE RAT ION S "GEN E R ALE S

Lorsque deux portions d'uI?-e voie de communication sont inter-

rompues par un cours d'eau, un ravin ou même par une autre

voie située à un niveau inférieur à celui de la première, on lesrelie entre elles par un ouvrage d'art qui s'appelle Pont.

Diverses espèces de ponts. - Qu'and un pont ne mesure pasplus de 4 à 0 mètres d'ouverture entre ses points d'appui, il prend

le nom de Pontceau.Un pont destiné à faire passer une voie au-dessus d'une autre,

ou même d'un vallon dans lequel on ne veut pas la faire descendreprend le nom de Viaduc. Cependant l'usage a prévalu de réserver

ce nom aux travaux gigantesques à l'aide desquels les chemins defer franchissent les vallées profondes.

Les Ponts-Aqueducs sont ceux qui supportent Un cours d'eaupassant au-dessus d'un chemin ou d'une rivière.

Les Ponts-Canaux sont ceux qui livrent passage à un canal denavigation au- dessus d'une dépression du sol, d'un chemin oùd'une rivière.

Différentes parties des voûtes. - Les ponts se construisent enpierre, en bois ou en métal; nous ne nous occuperons ici que despremIers.

Les points d'appui extrêmes d'un pont sont appelés Culées: ceuxintermédiaires prennent le nom de Piles quand ils sont en pierre;

96 PONTS ET VIADUCS

l'intervalle libre. qui sépare deux poinls d'appui prend le nom

d'Arche dans .les gL'ands ouvrages et d'Arceau dans ceux de petiledimension.

La distance entre les faces internes des deux points d'appuis'appelle l' OZWel'tllre de l'arche; la différence de niveau entre la

ligne des naissances de l'arche et le sommet de la voûte est ce quel'on nomme la Flèche ou Montée.

La surface intérieure d'une voûle se désigne sous le nom deDouelle ou Intrados et celle exlérieure sous celui d'Extrados. On

nomme VOllssoirs les pierres de la voûte; Clef, le voussoir dumilieu que l'on place le dernier.

On appelle Tympan l'espace compris enlre l'extrados et laplinthe ou couronneinent de l'ouvrage, élabli au niveau de lachaussée ou de la voie; les Reins de la voùte se trou vent situés

au joint qui correspond au mi]i~u de la montée pour les pleins-cintres et pour les ellipses, et au joint normal à l'intrados auxnaissances pour les arcs de cercle; la Chape est le revêtement qui

protège la voùte contre les infiltrations des eaux.

EJnplacement des ponts. - Il est rare que le constructeur puisse

choisir à sa volonté l'emplacement où il doit édifier un pont.

Presque toujours la position est déterminée d'avance, soit par lesroutes déjà construites, soit par la direction de la voie à cons-truire et celle des cours d'eau à traverser, soit par les rues quiviennent y aboutir, si l'ouvrage doit être exécuté dans une ville.

Lorsqu'il en est ainsi, il ne reste plus qu'à tirer le meilleur parti

possible de l'emplacement marqué, tant pour la disposition du pont

que pour sa solidité. Quand on n'est pas maître d'éviter lesobstacles que la nature oppose, le devoir est de chercher à lesvaincre le plus efficacement possible. Un bon choix annonce lemérite du constructeur; des difficultés surmontées meLtent son

talent en évidence.Dans les cas fort rares où l'on a à déterminer cet emplacement,

la première recherche à faire pour se décider est celle d'un fondsolide; celte recherche se fait au moyen de sondages multipliés

du terrain dans le voisinage du pont.Le rocher est le meilleur de tous les fonds: il n'est pas suscep-


tible d'être comprimé par le poids de l'édifice, ni d'être affouillépar les eaux. Si. l'on est assez heureux pour le rencontrer à unefaible profondeur et à une petite distance du point qu'il serait leplus naturel de choisir, on ne doit pas hésiter à dévier la route oule chemin et même à allonger un peu le parcours, plutôt queJ'exposer l'avenir de la construction, en l'établissant sur un solqui n'offrirait pas la même sécurité.

Dans une large vallée, les mêmes considérations peuvent con-duire à dériver le ruisseau ou la rivière et à reporter son coursvers l'un des coteaux où l'on a rencontré un terrain résistant;pour les petits ruisseaux, on peut surtout user de ce moyen; maispour les grandes rivières, il ne faut se résoudre à les dériverqu'après y avoir mûrement réfléchi et avoir étudié leur régime

. avec soin et pendant longtemps. Les cours d'eau se sont tracé un

.

lit qu'il est quelquefois difficile de leur faire abandonner, et l'onpourrait presque dire qu'ils .o.nt des allures et des habitudes qu'ilest dangereux de vouloir modifier.

Traversée d'un ravin. - Quand on a à exécuter un pontceausous les grands remblais d'une route ou d'un chemin de fer et

fe.I'

Fig. 33.

qu'il est destiné à donner écoulement aux eaux pluviales d'un7

98 PONTS ET VIADUCS

ravin ou d'une vallée stérile, il peut être avantageux de ne pas le

placer au poin! le plus bas du sol a. On peut 1'élever et le reportersur le flanc d'un des versants en al (fig. 33). Cette dispositionoffre plusieurs avantages: d'abord, il y a économie dans la cons-

truction, puisqu'elle n'a pas besoin d'une aussi grande longueur;

ensuite, on a moins à craindre de le voir obstrué par les eauxd'orage qui, formant ainsi une espèce d'étang, en amont du pont-ceau, laissent déposer, avant de s'écouler, la plus grande partie de

la vase qu'elles tiennent en suspension. Si les terres, déposéessucc'essivement dans le vallon, parviennent à en élever le sol jus-

qu'à la hauteur de l'ouvrage, on creuse alors un lit qu'on a soind'entretenir.

Direction des ponts. - Dans l'établissement des ponts et pont-ceaux, quand on est fixé sur leur emplacement, on doit chercher,autant que possible, à diriger l'axe de la construction perpendicu-lairement au fil des eaux, afin que la direction du courant soitparallèle aux faces latérales des piles et des culées. Ce parallélismeest une condition essentielle à remplir et, lors même que l'axedu pont ne peut être dirigé comme nous venons de le dire, on ne

,

doit pas y. renoncer: on incline alors les

faces des points d'appui relativement à

cet axe et l'on a ce que l'on nomme unPont biais.

Cette espèce de pont doit être évitée,dans la limite du possible; elle présented'abord quelques difficultés dans l'appa-reil de la voûte, c'est-à-dire dans la forme

qu'on doit donner à chacune des pierresapparentes qui la composent: ensuite,

elle offre un bien plus grave inconvénien t

encore, c'est que la poussée des partiesextrêmes des voûtes n'est contre-balancée

par rIen.Fig. 34. Ainsi, en représentant par AB et CD

(Hg. 34) les deux culées et par ABCD la projection horizontale dela voûte, on peut la décomposer en trois parties AEDF, ACE,

~

~

;.;

1

.~0j

F~ 'D


BDF; dans la première seule, la poussée horizontale qu'exerce

le poids de la v.otlLe contre les portions AF et DE des culées estégale de part et d'autre et les autres parties tendent à se séparer:

la force seule des matériaux s'oppose à cet effet qu'on ne parvientà éviter qu'au moyen d'un appareil spécial >p pierre de taille.

Des voûtes en briques, faites avec le plus grand soin, offraient deslézardes suivant les direclions AE et FD dès la seconde année de

leur construction, le long de certaines lignes ferrées que nousavons eu l'occasion de parcourir. .

Débollché des ponts. - On entend par débouché d'un pont l'in-tervalle libre entre les culées. La détermination exacte de cet inter-valle est d'une grande importance pour la construction d'un pont.

Si le débouché est trop petit, la vitesse de l'eau sous l'ouvragepeut devenir assez grande pour produire des affouillements qui encompromettent la solidité; en même temps, le remous qui se pro-duit en amont peut causer du dommage aux propriétés riveraines.Si le débouché est trop grand, il peut en résulter, pendant lesbasses eaux, des atterrissements qui, à l'époque des crues, offrenttous les inconvénients d'un débouché trop petit.

Pour déterminer le débouché d'un pont, on peut opérer parcomparaison avec les ouvrages construits à l'amont et à l'aval dela construction à édifier, s'il en exisle; dans le cas contraire, ilfaut jauger avec soin la rivière, c'est-à-dire mesurer le volumed'eau qui passe en une seconde dans une section transversale quel-conque.

Radiers. - Lorsqu'on prévoit qu'un pont sera exposé à desaffouillements, on construit sous cet ouvrage, et selon les circons-tances, un radier partiel ou général. On entend par radier un revê-tement en béton, en pavés, en briques ou autres matières solidesgénéralement posées à bain de mortier hydraulique dont on recouvrele lit du cours d'eau, dans l'emplacement du pont, pour protégercelui-ci contre les affouillements. '

Quelquefois même, par mesure de précaution, on prolonge àl'amont et à l'aval du pont le radier sur toute la partie du coursd'eau où se fait sentir la contraction de la veine liquide.

100 PONTS ET VIADUCS

Garde-radiers. - Enfin, quand le terrain, sur lequel repose le

radier est enc.ore affouillable, et ,qu'on redoute qu'il puisse êtrebouleversé par des infiltrations souterraines, on consolide chacunedes extrémités du radier au moyen d'un massif en maçonnerieappelée garde-radier; cet ouvrage de défense est un mur trans-versal en briques ou moellons, ou en béton semblable à celui duradier, qui descend le plus souvent, à la profondeur du sol de fon--dation, dans les ponts de petite ouverture; les résultats des son-

dages peuvent seuls guider les. constructeurs pour déterminersÙrement l'importance des garde-radiers dans les autres ponts.

~'"

Fig. 35.

Les lettres A et B de la figure ci-dessus, indiquent les garde-radiers d'un pontceau.

Perrés. - Le régime d'une rivière étant le rapport qui existe

entre la force du c'ourant et la résistance des parois qui forment

son lit, tout changement de régime amène, ainsi que nous l'avonsvu, des changements dans la vitesse des eaux et l'on est parfoisobligé de défendre également les berges contre les corrosions par

Lles revêtements appelés: Perrés. Ces perrés sont, avons-nous ditplus haut, maçonnés au mortier jusqu'au niveau des crues dansles fleuves et dans les rivières importantes; le plus ordinairementils se composent de matériaux posés à sec, le long des petitscours d'eau; on établit toujours -ces ouvrages défensifs sur toutel'étendue de la contraction de la veine liquide, à l'amont et à l'avaldu pont, dans la crainte que l'augmentation de vitesse du courant

à la surface en faisant ébouler les berges de la rivière ne produise

des atterrissements capables de gêner le libre écoulement des eauxlors des inondations.

Forme des arches. :- La surface intérieure des voûtes est engen-drée par une ligne droite qui se meut horizontalement en s'ap-puyant sur une demi-circonférence dont le diamèlre est égal à


.l'ouverture de l'arche, ce qui donne un plein-cintre; ou sur une

.demi-ellipse ou une courbe à plusieurs centres dont les extrémités

sont, comme dans le cas précédent, tangentes aux piédroits" ce qlli

forme une voûte elliptique ou une voÙte en anse de panier; ouencore sur un arc de cercle rencontrant les' piédroits suivant uncertain angle, et on a alors une voûte en arc de cercle.

Le surbaissement d'une voûte elliptique ou en anse de panier

est ordinairement du 1/3 de l'ouverture; celui d'une voûte en arcde cercle varie du"1/3 au 1/12 de l~ouverture.

Grandeur des arches. - Sur une rivière qui n'est ni navigable

ni exposée à des crues ou à des débâcles, on adopte de petitesarches qui, à longueur égale de pont, sont moins coûteuses que

les grandes, quand toutefois la nature du sol ne conduit pas à deplus fortes dépenses par sui le du plus grand nombre de piles àfonder.

.

Quand la rivière, sans être navigable, est sujette à des crues et

à des débâcles, on doit adopter des arches assez grandes pour queles glaces ou lout autre corps flottant ne soient pas arrêtés par lespiles; il.en résulterait des amas de glaces, appelés embâcles, quisont une des causes les plus fréquentes de la destruction des ponts.Il ,ne faut pas, en général, adopler des arches moindres que celles

du premier pont placé en amont, et il convient de réserver entrele niveau des crues et l'intrados à la clef une hauteur libre de 1m,DOau moins, pour le libre passage des corps flottants; cependantpour les petits cours d'eau, à régime peu variable, on réduit sou-vent cette hauteur à om,DO.

Sur une rivière navigable, il faut proportionner les arches aux

dimensions des bateaux et surtout à la vitesse du courant. Si cettevitesse est grande et le débouché inférieur à 2D mètres, on ne fait

qu'une seule arche. Pour un plus grand débouché, afin d'éviterles dépenses considérables occasionnées par les grandes arches onen fait de plus petiles. Le nombre des arches doit êlre au moinsde trois, sauf à faire l'arche du milieu plus grande que les autres,si elle était insuffisante pour la navigation.

Quand la rivière navigable a, une faible pente, la largeur desarches peut être moindre et on peut même adopter un nombre


pair d'arches, c'est-à-dire placer une pile au milieu, si cette dis-position offre .des avantages d'exécution compensant ses inconvé-nients.

Classenwnt des ouvertures des ponts. - Au point de vue dudébouché des ponts en maçonnerie, les ouvertures inférieures à10 mètres peuvent être considérées comme petites; celles de 10 à25 mètres, comme moyennes; celles de 26 àC39 mètres, commegrandes; et celles de 40 mètres, au moins, comme exception-nelles.

CALCUL DU DÉBOUCHÉ DES PONTS

10 SUl' les rivières. - Voici un procédé simple et pratique quel'on peut employer pour déterminer le débouché des oùvrages d'art.

On prend la section de la plus haute crue connue sur l'empla-cement de la tète amont" du pont à construire et l'on en retrancheles parties où le courant ne se fait pas sentir. Supposons que l'on

ait, avec 3m,tW de hauteur d'eau, une section utile de rivière:

S1' == 43mq,75

On se donne la section du pont que l'on présume nécessaire:

Sp = 10 x 3,50 = 35mq,oo

la vitesse moyenne des eaux V ID étant, par exemple, de 2 mètrespar seconde, on a pour le débit du cours d'eau D :

D = Vm X S1' = 2 x 43m,75= 87mc,50

Il est clair que, malgré son étranglement, le pont devra débiter,à peu de chose près, le même volume d'eau dans la même unitéde temps; mais, pour cela, il faudra que les eaux prennent sousle pont une vitesse moyenne accélérée Vp égale à :

V - Vm X S1' - 87,50 - 2m 64 .P - Sp - ;J5,UO -:- , ,

pour que la vitesse s'accélère, il faut que la pente augmente et que,par conséquent, il se forme un gonflement ou remous à l'amont

DÉBOUCHÉ 103

Je l'ouvrage; c'est l'importance de ce gonflement qu'il faut déter-miner, car, seul; il fait connaitre si l'on ne gênera pas les usines

situées en amont, si les débordements ne deviendront pas plusfréquents et plus préjudiciables aux propriétés riveraines et, enfin

si la vitesse accélérée ne devra pas trop fatiguer l'ouvrage.La hauteur de ce remous se détermine, on ne peut plus facile-

ment, par la méthode suivante:L'expression de l'écoulement de l'eau, pour un régime penna-

nent, est cene de la chute des corps dans le vide, et se traduit

par la formule ci-dessous:V2

H=- 2g

Jans laquelle g est l'intensité de la pesanteur sous notre latitude,soit 9,8088.

La vitesse moyenne du courant Vmétant de 2 mètres, la hauteurde chute Hmcorrespondant à cette vitesse sera:

V 2 92fi ~

- Om 90Hm = ~ = 2 X 9,8088 - ,...

la vitesse moyenne accélérée, sous le pont, étant Vp = 2m,64, lahauleur de chute Hp, en amont du pont, serait théoriquement:

H' -Vp2

-~2 = Om 36p - 2g - 2 X 9,8088 '

La différence Offi,t6 entre ces deux hauteurs donnerait la hauteur

du remous, s'il ne fallait pas lenir compte des retards d'écoule-ment produits par les contractions de veines, frottements et autres

obstacles qu'éprouvent les liquides pour passer d'un orifice deforme quelconque dans un orifice étranglé, de forme différente etdéterminée.

Ces retards, qui augmentent la hauteur du gonflement, s'expri-ment par le coefficient 1,23 généralement admis par les cons-lructeurs ; la hauteur G du gonflement devient donc:

G = 1,23X 0,16 =- om,20

Si ce remous n'est pas de nature à gêner l'usine placée immé-

diatement en amont, ni à porter trop loin ou augmenter les inon-

10-1 PONTS ET VIADUCS

dations, on peut le considérer comme praticable et comme n'étant

pas susceptib\e de fatiguer les diverses parties de l'ouvrage àprojeter; s'il en est autrement, il faut essayer d'un débouché plusgrand dans lequel, toutefois, la hauteur d'eau ne doit pas être

augmentée.Il faut éviter aussi, d'un autre côté, d'avoir une trop grande

vitesse de fond pour prévenir les affouillemJ~nts du lit; on peut,sans inconvénient, admeUre un remous de Offi,25à Offi,30à l'amont

d'un pont si l'op ne se trouve pas dans le voisinage d'une usine etsi le fond n'est pas facilement affouillable.

Relations entre la vitesse à la s'lufaee, la vitesse rnoYeJzne et la

vitesse de fond. - Dans les cas les plus ordinaires de la pratique,

la vitesse v à la surface de l'eau que l'on détermine directementest comprise entre Offi,20et 1ffi,50 et l'on obtient avec une exacti-

tude suffisante la vitesse moyenne VIIldu courant par la formule deProny:

Vm == 0,80 v

.D'après M. Baumgarten, la formule de Prony doit être corrigée

pour les valeurs de v supérieures à 1ffi,30 et alors elle devient:

V -0,80 v (v + 2,372)

III- V + ~,153

c'est aussi la fOl'mule adoptée par M. l'inspecteur général Graëfi'dans sa notice sur le jaugeage des eaux courantes.

La relation entre la vitesse de fond Vr, la vitesse moyenne Vfi

et la vitesse à la surface v est donnée par la formule:

Vr = Vm - V

et en admeUant :Vm = 0,80 v

il vient:Vr = 0,60v

On pourra donc facilement vérifier au moyen des formules pré-cédentes si les conditions d'écoulement de l'eau sous un pontsatisfont aux limites de vitesse généralement admises par les cons-tructeurs pour parer à tout danger d'affouil1ement du lit et pourne pas exposer l'ouvr~ge à une trop grande fatigue.

,

VITESSES

NATURE DU SOL AU DELA DESQUELLES LE

SOL EST E<'iTAMÉ

.

mèlres.

Terre, boue déLrempée 0,08Argile tendrr. 0,1;>Sable. 0,30Gravier 0,61Cailloux. 0,91Pierres cassées, silex an guleux. . 1,22Cailloux agglomérés, schistes tendres. 1,;>2Roches lamelleuses.' . 1,83Roches dures. 3, l,O

.

DÉBOUCHÉ 10:.;

TABLEAU DES V'ITESSES DE FO~D QUI AFFOUILLENT LES IIVERS TERRAI~S

2° A la tral)el'sée des vallées. - Un ingénieur qui a conservé,comme praticien, une juste réputation dans le corps des ponts etchaussées, M. Duleau, a proposé pour fixer le débouché des petitsponts à construire dans les vallées la règle pratique suivante: y

« Dans un pays plat où les collines n'ont que 1B à 20 mètres dehauteur, on donne aux petits ouvrages om,80 de largeur par lieue

carrée et dans les? pays où les montagnes les plus élevées ont

environ BO mètres au-dessus du fond des vallées, on leur donne2 mètres environ par lieue carrée. »

M. l'inspecteur général Belgrand a démontré par des exemplesque l'on ne devait accepter celte règle empirique qu'avec la plus

\

grande réserve.,

En général, dit cet ingénieur, le calcul des débouchés des pontspar la considération des versants situés en amont ne comportepas de solution déterminée, car ces débouchés varient énormé-ment suivant le degré de perméabilité des terrains sur lesquelsl'écoulement a lieu, suivant l'inclinaison des versants et thalwegset encore suivant Jéloignementdes ouvrages par rapport à l'ori-gine de la vallée. Bien qu'il ne soit pas possible de trouver unrapport rigoureux entre la superficie d'une vallée et le débouchéd'un pont qu'il faut pour son thalweg, cornIlle on ne doit pas craindre


d'adopter des débouchés un peu forts, on peut prendre, pour

chaque nature de terrain, le rapport maximum des observationsfaites à ce sujét, et obtenir un certain coefficient qui, multiplié par.la superficie de la vallée exprimée en kilomètres carrés, donne ledébouché du pont en mètres carrés; M. Belgrand pense qu'il serait

possible d'adopter les bases suivantes pour une vallée ayant au

plus une superficie de !)O kilomètres carrés:1° Dans les vallées granitiques boisées et à fortes pentes, le

débouché superficiel sera de om\40 à om\!)o par kilomètre carré deversants;

2° Dans Je liais ou pierre calcaire compacte et les vallées grani-tiques non boisées et à faibles pentes, ce débouché sera de 1m\!)o

par kilomètre carré;

3° Dans le calcaire à entroques ou fossiles caractéristiques desterrains primaires et secondaires, la grande oolithe et le forest-

. marble, le débouché total le plus petit possible sera de omq,Oi28par exemple;

4° Dans l'oxford-clay, ou argile bleue, tenace, formant la base del'étage oxfordien il sera de om\30 au plus par kilomètre carré;

!)ODans les grès verts sableux, il sera de om\ 70 ;

6° Dans les grès verts argileux, il sera de 1 mètre ca.rré ;7° Dans la craie proprement dite, il sera de OffiG,OO;8° Dans les terrains tertiaires (sables, calcaires, grès, marne et

argile plastique) très plats, il sera de om\ 10 ;

9° Dans les terrains terliaires plus accidentés, il sera de Offi\40 ;10° Dans les terrains terliaires perméables, il sera de Offi\OO.Il reste sous-entendu que l'on doit toujours augmenter le débou-

ché d'un pontceau ainsi obtenu de la quantité nécessaire à l'écoule-

ment des eaux de source circulant dans la vallée considérée; car onsuppose, dans ce qui précède, que les ouvrages ne doivent recevoirque les eaux pluviales tombant dans le bassin.

On voit qu'à la rigueur, on pourrait supprimer les pontceaux

et aqueducs, dans les vallées sèches des terrains oolithiques infé-rieurs, de la craie. et des terrains tertiaires perméables; il n'y a,

du reste, presque aucune augmentation de dépense à ne faire un

petit ouvrage de ce genre qu'après l'achèvement de la route et

lorsqu'on en reconnait la nécessité. On peut donc sans crainte

DÉBOUCHÉ 107

ajourner leur construction dans les terrains très perméables; dans

les terrains in~perméables, au contraire, on doit calculer leurdébouché avec soin et les construire en même temps que la route

sous peine de voir la circulation interrompue au premier orageviolent.

Ainsi, d'après ce qui vient d'être dit plus haut, dans une vallée

de 50 kilomètres carrés de surface, on aurait les débouchés sui-van ts :

1° Dans le granit à grandes pentes et boisé, de 20 à 25 mètrescarrés;

2° Dans le liais ou les granits déboisés à faibles pentes, 75 mètrescllrrés ;

3° Dans les terrains oolithiques inférieurs, om\64 ;4° Dans l'oxford-clay, au plus 15 mètres carrés;50 Dans les grès verts sableux, 35 mètres carrés;

6° Dans les grès verts argileux, 50 mètres carrés;7° Dans la craie proprement dite, omq,oo ;8° Dans les terrains terliaires (sables, calcaires, grès, marne et

argile plastique) plats, 5 mètres carrés;go Dans les terrains tertiaires plus accidentés, 20 mètres carrés;

10° Dans les terrains tertiaires perméables, Om\OO. .

Lorsqu'une vallée est ouverte, partie dans les terrains oolithi-

ques inférieurs et partie dans les terrains des autres catégories,il est évident qU'Oll ne doit. pas tenir compte des premiers dans lecalcul du débouché.

En général, dans une localité donnée, on peut, pour chaque

nalure de terrain, diviser la plus grande section mouillée des pontsexislanls par la surface d'amont des versants et obtenir ainsi descoefficients analogues à, ceux qui sont indiqués ci-dessus et quiserviront à déterminer les débouchés des ponts. Tout porle à croireqùe, pour chaque arrondissement d'ingénieur, le nombre de ces

coefficients se réduirait à trois ou qualre.

Ce travail, bien digne d'allirer l'altention des services hydrau-liques, conduirailà recueillir une série d'exemples où chacun pour-rait, en toute connaissance de cause, puiser les éléments de com-

paraison dont il aurait besoin pour ne pas s'exposer à commettreJes erreurs ayant les conséquences les plus désastreuses.

f08 PONTS ET VIADUCS

Dans les vallées plus étendues, il est impossible de donner une

règle fixe; mp.is on y trouve presque toujours des ponts,.soit àl'amont, soit à l'aval du point où l'on veut construire.

Pour avoir le débouché cherché, on pourrait ajouter au débou-ché du pont existant en amont ou retrancher de celui du pontsitué en aval le produit en mètres carrés de l'un des coefficients

ci-dessus par le nombre représentant la quantité de kilomètrescarrés de versants situés entre le pont considéré et l'ouvrage àconstruire.

Toutefois, beaucoup de circonstances peuvent modifier le débou-

ché des ponts; ainsi le changement brusque de pente qu'éprouvele fond d'une vallée, au passage d'un Lerrain dur à un terrainmarneux peu résistant, amène toujours en ce point une grande

accumulation d'eau.On conçoit, en effet, que la vitesse étant beaucoup plus grande

sur la pente rapide, il faut sur la pente faible une section mouilléebeaucoup plus considérable pour que le débit reste le même. L'eaus'accumule donc au point d'interseclion des pentes jusqu'à ce que

la section soit devenue assez grande pour débiter toute la masse;il s'établit par conséquent, à ]a surface, une pente plus grande quecelle du fond et, si cette dernière est uniforme, la section mouillée

va sans cesse en diminuant.Il résulLe de là qu'il faut souvent à une grande distance en aval

un plus petit aqueduc que celui établi au changement de pente.Dans ce cas, il est impossible d'établir une règle fixe pour la.

détermination du débouché.

CALCUL DU DÉBOUCHÉ DES ÉGOUTS

Généralement la construction de trottoirs dans l'intérieur desvilles comporte l'élablissement de longs aqueducs avec branche-ments et bouches de prise d'eau pour égoutter les rues, les ter-rains et les bâtiments situés à droite et à gauche de la voie souslaquelle est placé le grand collecteur; il est donc indispensablede calculer le débouché de ces égouts pour éviter tout mécompte.

Supposons que nous ayons à recueillir les eaux d'un bassin de

DÉBOUCHÉ DES EGOUTS 109

8 hectares environ, formé: i ° sur le côté gauche d'un versantcomprenant des. habitations, des rues, des jardins et des terres en]abour; 2° sur le côté droit, de maisons longeant, sans interrup-tion, l'artère à doter de trottoirs et y amenant les eaux que lestoits recueillent sur 10 mètres de profondeur environ; d'aprèscette hypothèse, le versant de gauche sera en partie perméable eten partie imperméable. (Pl. n° 4, fig. 36.)

Admettons encore qu'après reconnaissance préalable du bassinen question, nous soyons amenés à le décomposer ainsi:

Î bassin perméable 6 hecto11° Côté gauche: ( imperméable 1 -~

7 hecto

2° Côté droit: - imperméable 1 -Total pareil.

"8 hect.

Appelons:

s, la surface de la partie perméable~

s', imperméable~

de ce bassin (côté gauche) ;

sI!, de ce même bassin (côté droit) ;(,), la section mouillée de l'aqueduc projeté;X, le périmètre de cette section mouillée;R, le rayon moyen ou le rapport de la section mouillée au périmètre

.11'

wmoUl e":"--;

Xi, la pente longitudinale de la section amont de l'ouvrage recueillant les eaux

du bassin ou la pente la plus faible que l'on trouve dans la longueur del'égout;

.

Q, le débit de l'aqueduc projeté;

La forme simplifiée ci-dessous donne le débit de l'ouvrage.

(Bazin) Q - w X 50 yHi

dans laquelle 50 yRi )représente la vitesse moyenne de l'eau dansl'aqueduc, au point considéré.

Ce débit, sous peine d'insuffisance, doit être au moins égal à laquantité d'eau que le bassin verse par seconde dans l'égout, lorsd'un orage violent et prolongé.

D'après les renseignements que nous avons recueillis, l,a plusgrande quantité d'eau tombant dans la région qui nous occupe,par les plus fortes pluies d'orage par seconde et par hectare, est deomc,133.


On admet ordinairement que les parties perméables des bassins

fournissent le,: de la quantité de pluie tombant, par seconde, surtoute l'étendue du bassin; par cette réduction au {-, on tientcompte de ce qu'une première partie de l'eau s'évapore et rentredans l'atmosphère ou sert à la nutrition des végétaux; de ce qu'uneseconde abreuve la terre, la traverse jusqu'à la couche imperméablesur laquelle elle coule pour aller dans les parties basses formerdes sources plus ou moins abondantes suivant l'étendue des bas-sins qui les alimentent; de ce qu'enfin une troisième v' s'écoulcà la surface du sol dont elle gagne les points bas, en arrivantencore à l'égout après la fin de l'orage; l'écoulement de la pluicdure, en effet, plus longtemps que sa chute.

Quant aux parties imperméables, elles sont censées donner toutle volume d'eau vI! qu'elles reçoivent.

C'est donc aux volumes réunis v' et i/' des eaux coulant à la

surface du sol qu'il importe de livrer passage dans les ouvrages ilconstruire.

Mais nous devons faire remarquer que, dans les questions de ccgenre, tous les éléments d'appréciation ne sont pas faciles à con-

naître et qu'il faut bien s'en rapporter à des observations géné-

rales pour calculer la section des égouts..

Égout principal. - Dans le cas qui nous occupe, le volumcd'eau total à évacuer par seconde V = v' + vI! se calculera commc

il suit:

v'=1

Orne133 X s orne,133 X 6h

!

'- - Ome'>663 - 3

-,~ orne,399pour le côté gauche.omc,133 X s' = orne,133 X 111= Omc,133orne,133 X s" == Omc,133 X 1h == ornc,133 ! Omc,133 pour le côté droit.

Volume total: V == ornc,532v'==

Supposons que l'égout soit de forme ovoïde et présente lesdimensions cotées au croquis (fig.37) :

w, la section supposée mouillée adg = omq,553;X, le périmètre mouillé abcde(g = 2m,280;

ornq,553R, le rayon moyen == 2m,2t!O = om,243 ;

DÉBOUCHÉ DES ÉGOUTS Hl

i, la pente longitudinale de la partie amont de l'aqueduc, ou la pente la plusfaible de l'égout = om,003;

#

il vient:Ri = Om,243 x om,003= Om,OOO'i29

YRi - yom,000729 = om,02'70

et le débit de l'égout par seconde est de :

Q = ornq,553x 50 x om,0270= omc,747

Comme on le voit, les dimensions essayées avec Offi,fO de videau-dessus du plan d'eau maximum admis sont suffisantes, puisque

........

"'....

..... ... .....

1Fig.37.

,

la section supposée mouillée laisserait passer encore par seconde2fB litres en sus du volume d'eau fourni par le bassin dans sonétat actuel. Ces dimensions assurent, en outre, l'avenir, car il estprobable que le versant du côté gauche de la route recevra encoredes constructions augmentant la surface imperméable du bassin;enfin elles permettent de visiter et de nettoyer facilement l'ouvragequi a généralement une grande longueur.


Branchement du côté gauche. - Le branchement du côté gauchedoit avoir un~ section suffisante pour débiter la quantité de pluie

qui tombera dans le puisard par les bouches d'égout; or, les don-nées sont. les suivantes avec letype ovoïde de la figure 38 :

Fig. 38.

v', le volume d'eau à débiter= omc,399 ;w', la section supposée mouillée a' d' g",

= Omq,~22 ;

x', le périmètre mouillé a' b' c' d' e' f' g= Im,340 ;

Omq ')')')R',lerayonmoyen= 1m .;;~ = Om,166;,i', la pente par mètre du branchement

= om,Ol~;

et :

R' i' = Om,166X om,012 = om,OOi992;

V R' i' = V om,00199~ == om,446 ;

~

le débit du branchement par seconde est de :

Q' = omq,222X 50 x om,0446 = Omc,495.

La s~ction proposée (fig. 38) est donc suffisante, puisque levolume d'eau à évacuer n'est que de omc,399 par seconde; maispour faciliter le nettoyage de ce branchement, nous lui donneronsune hauteur variant de om,63 à 1 mètre entre son origine etl' aqueduc principal.

Branchement du côté droit. - Le volume d'eau Vif venant de

la partie imperméable du bassin formée par les maisons et la ~,largeur de la route sur le côté droit n'est que de omc,133 par

seconde et par hectare; un petit branchement suffirait donc pour

conduire les eaux à l'égout principal; mais, comme l'économie à

réaliser de ce chef serait insignifiante, nous adopterons une sectionégale à celle du branchement côté gauche.

Nombre de bouches commandant chaque branchement. - 10 Côté

gauclte. - Le volume v~ des eaux fourni par le côté gauche de la .

DÉBOUCHÉ DES EGOUTS 113

route est égal à omc,399 ; nous supposerons que, par les orages

les plus abondan,ts, la hauteur de l'eau atteigne om,1!) en entrantllans les bouches; il s'agit de déterminer la longueur L du déver-

soir formé par ces bouches.La formule générale connue:

(d'Aubuisson) Q = 1,80L {fIT

lIonne:Q QL =

1,80{lJT - 1,80nyîf

remplaçant les lettres parleurs valeurs respectives, il vient:

Lornc,399

3m 80.t t. ' t= ~ ./- - , , 501 '1:me res

1,80 X 0,10 yO,1;) ,

. par conséquent, nous commanderons le puisard au moyen de4 bouches de 1 mètre de longueur sur orn,20 de hauteur totalepour tenir compte des obstructions que produisent les pailles etdétritus eu avant des prises d'eau.

2° Côté droit. - Le volume dl arrivant par le côté droit est deornc,133; dans ce cas, la formule qui donne la longueur du déver-

soir devient:

L -omc,133

-Omc133,

- 1.ID97- 1,80 X 0,15 YO,15 -0,10G - ,"',

ùeux bouches de om,7;5 d~ longueur sur om,20 de hauteur totale

placées en tête du branchement, côté droit, suffiraient pour tenircompte également des obstructions résultant des pailles et détritus

(

devant les seuils des déversoirs; mais, pour ne pas employer deuxLypes différents de prise d'eau au même point bas, nous prendronsdeux bouches de dimensions égales à celles du côté gauche.

Observation. - Tout ce qui vient d'être dit pour les égouts dansles villes est également applicable auX ponts et aqueducs à cons-truire sur les bas-fonds traversés par les routes et chemins de fer.

t).

Hi PONTS ET VIADUCS

CALCULS DES DIMENSIONS DES VOUTES

La construction des voûtes exige un choix minutieux des maté-riaux à employer, car, au fur et à mesure que leur rayon aug-mente, la résistance des matériaux doit augmenter aussi pour

supporter avec sécurité les charges de plus en plus grandes quiagissent sur eux, à moins d'avoir des sections de maçonneries

énormes, ce qui aurait l'inconvénient de surcharger inutilementles reins de la voûte.

Deux rnéthodes. --- Quels que soient les malériaux qui entrentdans la construction d'un pont, les dimensi~)lls de ses différentes

parties se déterminent par des considérations tirées de l'observa-tion des ouvrages existants, ce qui conduit à des Formules empi-

riques; ou bien, par des considérations tirées de l'équilibre et de lastabilité des massifs, ce qui constitue la ~Méthode de la courbe des

presszons.

Ces deux manières de calculer lesforment deux parties distinctes que nousment.

dimensions des voûtesallons examiner séparé-

10 FORMULES EMPIRIQUES

ÉPAISSEUR A LA CLEF

Base de ces formules. - L'épaisseur d'une voûte à la clef nepeut jamais être inférieure à une certaine épaisseur pratique au-dessous de laquelle il deviendrait impossible de maçonner; il Y adonc un terme ,constant m dans la formule qui devra régler l'épais-seur à la clef. Si le diamètre de la voÙte augmente, les chancesde renversement augmentent aussi et la clef doit croître propor-tionI}.ellement à l'ouverture, puisque c'est son épaisseur totale quidonne la mesure de la stabilité; de là, dans la même formule, unterme nR proportionnel au rayon de courbure de l'intrados.

Ainsi pour les pleins-cintres, où le rayon R est constant, l'épais-seur à la clef sera donnée par une expression de la forme:

e == m + nR

ÉP AISSEUR A LA CLEF 115

et ce sont les coefficients ln, n qu'il s'agit de déterminer empiri-quement par i}nalogie avec les types existants des voûtes de cetteespèce. Or, J'après Dejardin, lorsqu'on a en vue les maçonneriesordinaires, celles des ponts par exemple, on ne peut admettrepour m une valeur inférieure à 0,30. Quant à n, sa valeur pratiqueparaît convenable en la prenant égale à 0,10.

Cependant le coefficient om,30 n'a pas été admis par tous lesconstructeurs et nous verrons plus loin que IV!.Croizette- Desnoyersa réduit de moitié ]a valeur ci-dessus du terme constant m à intro-duire dans les formules empiriques.

M. Lesguillier a même ramené la constante à om,'lO.On voit par là que la détermination de l'épaisseur ,à la clef au

moyen des procédés empiriques n'a rien d'absolu, et qu'elle cons-titue simplement un moyen du tâtonnement qu'il faut ensuite véri-fier par le calcul de la poussée des voùtes à la clef, comme nousl'indiquons plus loin.

D'un autre côté, il ne faut pas perdre de vue que si, en aug-mentant l'épaisseur à la clef, on diminue la pression relative dans.le joint vertical correspondant, on l'augmente certainement dansle joint de rupture, et que les matériaux d'une voûte sont d'au-tant moins exposés à l'écrasement que l'épaisseur à la clef estmoindre. .

Il résulte, de ce qui précède, que cette 8paisseur doit êtreréduite à ce qu'exige la stabilité d'une voûte.

VOUTES EN PLEIN-CINTRE,

AVEC "lA TÉ RIAUX TENDRES OU MOYENNEMENT RÉSISTANTS

10 Sous-charges ol'dinail'es.- L'épaisseur à la clef des voûtesen plein-cintre, construites avec des matériaux tendres et moyen-nement résistants, est habituellement réglée par les formules pra-tiques ci-dessous:

(Dejardin)

(floy)

e = 0,30 + 0,10 R

e = 0,30 + 0,07 R

HG PONTS ET VIADUCS

La formule de Roy donne des épaisseurs sensiblement égales àcelles qui rés!1ltent de la formule de Léveillé que nous t~ouveronsplus loin.

(Perronet) e = 0,034'7d + 0,325,

el étant la distance entre les piédroits ou le diamètre de l'arche.Quand d est supérieur à 30 mètres, cette formule donne des

épaisseurs trop fortes..

(Léveillé) i + 0,10 de =

::1

d étant le diamètre de l'arche. Celte formule, qui est applicable àtoute espèce de voûtes, n'est. autre que celle de Perronet misesous une forme différente, ainsi qu'on peut le voir en effectuant

la division par 3 de chacun des termes du numérateur.

(Croizetle- Desnoyers) e = 0,15 + 0,i5 VilH,

R étant le rayon de la voûte.

(Lesguillier) e = 0,tO+ 0,20 Vd

el étant le diamètre de l'arche. (Cette formule s'applique à touteespèce de voîltes.)

La formule de Dejardin semble régler particulièrement les

à'uvrages construits avec des matériaux tendres, ou dei'tinés auxvoies ferrées, car elle fournit des épaisseurs plus fortes que to.utes

les autres; malgré cela, nous l'emploierons exclusivement dansles exemples numériques que nous donnons au cours" de cetouvrage, afin que nos calculs aient tous le même point de départ ;celte manière d'agir est, en effet, sans importance pour des appli-cations dont le principal but est d'initier le lecteur aux .méthodesemployées pour calculer les dimensions des voûtes; les cinq der-nières paraissent plus spécialement usitées pour les ponts maçon-

nés avec des matériaux de résistance moyenne et destinés aux

voies de terre.Enfin, si dans la formule de Dejardin on fait le terme cons-

tantm égal à om,1D, valeur admise par M. Croizette-Desnoyers, onobtient des résultats concordant bien encore avec la pratique,notamment en ce qui concerne les voûtes de petite ouverture.

ÉP AISSEUR A LA CLEF H7

Nous proposons donc d'ajouter la formule suivante à celles que

nous venons de c\ler . .

(Dej ardin modifiée) e == Gm,15 + O,iD R.

Nous avons dressé le tableau ci-après des épaisseurs à la clef

OUVERTURES

mètres1,002,003,00

4,005,006,00

7,008,00

9,0010,0011,00

12,00

13,0014,00

15,0016,00

17,0018,0019,00~O,OO

VALEURS CO~IPARAT(VES DES ÉPAISSEURS A LA CLEF CALCULÉES

AU ilIOYEN DES FORMULES DE :

Dejardin. Perronet

lHètres

0,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,850,900, 9~j1,001,051,10

.

j,151,201,251,30

mètres

0,360,390,43O,~60,500,530,570,600,640,670,710,740,780,810,850,880,910,950,981,02

Léveillè Croizette- 1Lesauillier Dejardin

Desnoyers 0 modifiée

mètl'es

0,370,400,430,470,500,530,570,600,630,670,700,730,770,800,830,870,900,930,971,00

mètres

0,30.0,360,410,450,490,520,550,570,600,620,650,670,690,710, 730, 750,770,790,800,82

mèlres

0,30

0,380,45

0,500,550,590,630,670,/00,73

0,760,î8

0,82

0,850,870,900,92

0,950,97

0,99

mètres

0,200,250,300,350,400,450,500 "",Q;)

0,600,65

0,700,75

0,800,850,900,951,001,051,101,1;)

calculées au moyen des formules précédentes pour pouvoir lescomparer entrd elles et pour faire apprécier aussi les valeurs obte-nues par la formule de Dejardin modifiée, comme nous venons dele dire.

. Il est bon de remarquer que les formules empiriques reposent

sur des bases différentes. Ainsi, tandis q'ue Perronet, et, après lui,Roy, Dejardin et Léveillé, admettent que l'épaisseur à la clef doitaugmenter à peu près comme la simple puissance de J'ouverture,MM. Croizette-Desnoyers et Lesguillier font varier l'accroissement

il8 PONTS ET VIADUCS

cIe cette épaisseur Gomme la racine carrée de ladite ouverture;par suite, ces diverses formules ne peuvent être complètementel'accord entre" elles et il est pruden t de vérifier par le calcul lesépaisseurs obtenues empiriquement, afin de s'assurer que lesmaçonneries travaillent dans de bonnes conditions.

Nous indiquerons plus loin la marche à suivre pour régler lejoint à la clef d'après les efforts auxquels les voûtes sont soumises;eette manière d'opérer fera voir que les ponts de faible ouverturepeuvent avoir des épaisseurs à la clef très inférieures à celles résul-tant des formules usuelles et que ces épaisseurs se rapprochent

des valeurs fournies par la formule modifiée de Dejardin.En résumé, l'épaisseur des voûtes dépend, il faut hien le recon-

naître, de circonstances particulières à chaque ouvrage; les cons-tructeurs devront donc choisir avec soin la formule qui conviendrale mieux au cas dans lequel ils se trouveront.

Remarque. - Quand on emploie de la hrique pour construire

les voûtes, l'épaisseur calculée doit nécessairement être modifiée.cIe telle façon que le joint à la clef se compose d'un nombre de

briques entières se rapprochant le plus des résultats du calcul. Ilen serait de même pour tous les cas où l'on devrait employer desmatériaux de dimensions imposées par le commerce.

2° Sous grandes surcharges. - Les formules précédentes sontincomplètes, car elles ne contiennent pas de terme variahle avec lasurcharge de la voûte, élément dont on ne peut pas négliger l'in-fluence. Ainsi, les passages inférieurs pour chemins de fer sontdans d'autres conditions que les ponts ordinaires destinés au pas-sage des voitures. Le remblai qui pèse sur la voûte perit être très

élevé; le poids des trains de marchandises est toujours considérable;d'un autre côté, s'il ya peu de hauteur entre. la voie et l'extrados,on cherche, en général, à introduire entre ces deux niveaux un

matelas de terrassements assez épais pour amorlir pendant le pas-sage des trains les ébranlements qui seraient nuisihles à la conser-

vation des maçonneries.

On se sert en Allemagne et en Russie de la formule suivanteoù entre la hauteur de la surcharge en terre au-dessus de l'extra-

dos de la voûte:

ÉP AISSEUH A LA CLEF 119

Soient:

e l'épaisseur à Ja clef;R le rayon d'intrados;s la hauteur de la surcharge en. terre au-dessus de l'extrados à

la clef:

(Formule russe)R s

e = 0,43 + 10 + 50.

Cette formule donne au terme constant ln une valeur beaucoup

plus grande que celle de Dejardin, qui ne lui atlribue qu'unevaleur de 0,30; si donc on reprend la formule de cet ingénieur,elle devient pour le cas de grandes surcharges:

(Dejardin modifiée)

se = O,iJO + O,iO R +

~O

se = 0,1~ + u,iO R +50

(De jardin)

Nous ferons, en outre, remarquer que le terme ~su représente

une épaisseur de 0n1,02 par mètre de hauteur de surcharge en terre

à ajouter à l'épaisseur à la clef calculée pour les charges ordinaires,et que les formules précédentes prennent la forme définitive ci-dessous: .

(Dejardin) e = 0,30 + 0,10 R + 0,02 x s

(De jardin modifiée) e = 0,15 +: 0,10 R + 0,02 x s

Ce résultat est conforme à la pratique, et M. Eclmond Roy, dansses Essais d'Architecture pratique de la construction des Ponts etViaducs en maçonnerie, le confirme dans le langage qui suit:

« Pour les voûtes établies sous grandes charges de remblai, et

quelle que soit leur ouverture, on ajoutera à l'épaisseur à la clef(lonnée par la formule générale une épaisseur ]de om,02 par mètre

de hauteur de remblai au-dessus de l'extrados. »

Cependant, beaucoup de constructeurs pensent qu'il est superflud'augmeDler l'épaisseur à la clef des voûtes qui n'ont pas à sup-porter plus de !) mètres de hauteur de remblai, lorsque surtout ona calculé celte épaisseur par la formule de Dejardin qui donne defortes dimensions.

Quant à nous, il nous paraît prudent de tenir compte de la sur-


charge en terre, dès qu'elle atleint 1. mètre de hauteur et de cal-

culer, pour Lous les cas, le travail par centimèlre carré du joint illa clef pour voir si les matériaux ne sont pas soumis à une pres-sion dépassant la limite de leur résistance pratique.

3° SOllS voies ferrées. - M. CroizeUe-Desnoyers propose la for-mule suivante pour calculer les épaisseurs à la clef des ponts enplein-cintre construits sous les chemins de fer:

(Croize lte- Desnoyers) e = 0,20 + 0,i7 V ~H

pour tenir compte du poids des voies avec leur ballast et du pas-sage des trains, R étant le rayon de la voûLe.

VOUTES EN PLEIN-CINTRE

AVEC MATÉRIAUX DURS ET TRÈS RÉSISTA1iTS

1.° SOllS charges ordinaires. - On conçoit aisément que si l'onconstruit une voûte avec des matériaux durs et très résistants, onpuisse lui donner une épaisseur à la clef moindre qu'avec l'emploi

de matériaux tendres ou moyennement résistants, puisqu'ellepourra supporter des pressions plus fortes par unité de surface; laformule suivante donnée par Dupuit :

(Dupuit) e = 0,20 VA

A étant l'ouverture ou diamètre de l'arche,paraît devoir satisfaire aux besoins de la pratique

Cette formule ne diffère de celle de Lesguillier que par la sup-pression de la constante 0,10.

2° Sous gl'andes surcharges. - La formule précédente devient,en lui appliquant le raisonnement donné plus haut:

e = 0,20 tA + 0,02 x s

Ici, en raison de la nature exceptionnelle des matériaux, on pé-chera sans doute par excès; mais les épaisseurs auxquelles conduitla formule de Dupuit sont tellement faibles comparativement à

ÉP AISSEUR A LA CLEF 121

celles que l'on obtient par la formule de Dejardin qu'il n'y a pas

lieu de s'effraye~, outre mesure, de la valeur corrective du coeffi-cient 0,02 x s.

VOUTES EN ARC DE CERCLE

A Y E C)[ AT É RIA l' X TE 1'1D RES 0 U )[ 0 YEN 1'1E

)[ E 1'\T RÉS l S T A l'i T S

1° Sous charges onlinaÙ'es. - L'épaisseur à la clef des voÙlesen arc de cercle se réglera, comme il suit, par les formules deDejardin :

(Dejardin)

!

.

Surbaissement de 1/3 : e = 0,30 + 0,07 R;Angle au centre de 60°: e = 0,30 + 0,05 R;.

do ùe ;:;0°: c = 0,30 + 0,035 R;

R étant le rayon de la voÙle;On pourrait, il nous semble, réduire le terme constant à 0,1 f)

pour les ponls sous roules, puis vérifier par le calcul si le travail il

la clef des voÙtes ainsi obtenues ne dépasse pas la résistance pra-tique des matériaux employés.

Roy préconise la formule sui vanle pour l'angle au centre de 40°.

(Roy) Angle au centre de 40° : e = 0,30 + 0,02 R ;

M. Croizetle-Desnoyers propose d'employer la même formuleque pour les pleins-cintres:

(Croizet te-Desnoyers) c = 0,t5 + 0,15 {2If

lorsque l'ouverture et le surbaissement sont faibles.Quand le surbaissement est plus notable et dépasse le 1/4 ÙI'

l'ouverture et que celle-ci devient forte, cet ingénieur conseille du

diminuel' successivement le coefficient du radical de la manièru. J

suivanle :

( Surbaissement de 1/6: e = O,f~ + 0,14 V 2R;

(Croizette-~

- 1/8: e = 0,15 + 0,13 V 2H ;Desnoyers)

(

.

- 1/1~ :.e 0,15 + 0~12 V 2R ;- 1/ L.. . e - 0,15 + 0,11 V 2H ;

2° SOllS grandes surcharges. - On ajoutera aux épaisseurs, don-nées par les formules ci-dessus, une valeur égale à om,02 x s.


3° SoÜs voies (errées. - M. Croizette-Desnoyers pense qu'ilconvient d'adopter les formules ci-après pour les épaisseprs à laclef des voûtes# en arc de cercle sous chemins de fer:

(Croizette-Desnoyers) \

f Surbaissement de 1/4: e = 0,20+ 0,17V zR. - 1/6:e=0,20+0,16 V2R

) - 1/8: e = 0,20 + 0,15 V 2R

r- 1/iO: e = 0,20 + 0,14 V 2R

\ 1/12:e=0,20+0.13V~R

vaUTES ELLIPTIQUES OU EN ANSE DE PANIER

AVEC ~IATÉRIAuX TE:\DRES OU ~IOYENNE~IENT RÉSISTANTS

10 Sous charges ordinaires. - On emploie souvent la formule

ci-dessous de Dejardin pour les voûtes elliptiques ou en anse depanier surbaissées au 1/3 :

(Dejardin) e = 0,30 + 0,07 R;

R étant le rayon de courbure au sommet; dans les ellipses, ce.2

rayon est égal à (~

'en désignant par a le 1/2 grand axe et par b

le 1/2 petit axe.

On pourrait, selon nous, substituer à celte formule, la suivante:

(Dejardin modifiée) e = 0,15 + 0,07 R;

Pour les ellipses ou les anses de panier, dont le surbaissementest toujours très limité, et aUeint rarement le 1/5, nous conseillons

la formule générale suivante:

(Croizette~Desnoyers ) e = 0,15 + 0,15 V 2R ;

R étant, dans ce .cas, non le rayon de courbure de l'ellipse à sonsommet, mais le rayon de l'arc de cercle de même surbaissement.

Roy admet la formule:

(Roy) e = 0,30 + 0,05 R

dans laquelle R est donné conventionnellement par la relationR = a + 1,366 (a-().

a, étant la demi-ouverture;(,. la flèche ou montée,

ÊPAISSEUR A LA CLEF - 123

Le terme constant pourrait, à notre avis, être réduit à P,20, àla condition, touiefois, de vérifier par le calcul le travail à la clef;dans ce cas, la formule précédente deviendrait:

(Roy modifiée) e == 0,20 + 0,05 R.

Ce mode de calcul du' rayon de courbure au sommet ramènetoutes les voûtes elliptiques au cas d'une voÙte en anse de panier

de même surbaissement que l'ellipse considérée ayant trois centresseulement et des arcs d'amplitudes égales à 60°.

2° Sous Çjrandes surcharges. - Ajouter 0,02 x s aux épais-seurs données par les formules précédentes.

3° SOllS voies ferrées. - M. Croizette-Desnoyers donne la for-mule suivante pour calculer les épaisseurs à la clef des voÙteselliptiques et en anse de panier sous voies ferrées:

(Croizet te-Desnoyers) e = 0,20+ 0,17V 2R,

étant toujours bien entendu que, pour chaque ellipse, la valeur àdonner à R est celle du rayon de l'axe de cercle de même sur-baissemeht.

Observation. - Si dans deux voûtes identiques en arc de cercleet en ellipse, on désigne par:

a la demi-ouverture,b la flèche ou montée,R le rayon de l'arc de cercle;

et para le demi-grand axe,b le demi-petit axe,

R' le rayon de courbure au sommet de l'ellipse;

on aura les relations ci-après:

Arc de cercle:

R ==a2 + 62 a2 b2

2b - 26 + 26;Ellipse:

a22a2 a2 a2R'=b=~

' 26 + 2b

:124 PONTS ET VIADUCS

En comparant entre elles les deux dernières expressions de R et Rf,~

on voit qu'elle~ contiennent un terme commun~~ ' que le se'conJ.

b2 a2terme

'2bde la valeur de R est plus petit que le deuxième

2bde

la valeur de Rf et que la différence entre les deux rayons Rf et nsera toujours égale à :

a2 - b2R'-R= ~b

Le rayon de l'arc de cercle est donc plus petit que le rayon decourbure au sommet de l'ellipse pour des voÙtes de même ouver-ture et de même surbaissement; voilà pourquoi M. Croizette-Des-noyers insiste tant sur la nature du rayon R qui entre dans sesformules. '

VOUTES EN ARC DE CERCLE, ELLIPTIQUES OU EN ANSE DE PANIER

AVEC MATÉRIAUX DURS ET TRÈS RÉSISTANTS

10 Sous charges ordinaires. - Dupuit revient pour les ellipseset les anses de panier à la même formule que pour les pleins-cintres:

(Dupuit) e = 0,20 V A

puis il propose de régler l'épaisseur à la clef des voûtes en arc docercle par la formule ci-dessous:

(Dupuit) e = 0,1.5VA

Plusieurs ingénieurs contestent la valeur des formules précé~dentes, par la raison qu'elles ne font aucune distinction entre lesdivers surbaissements des voûtes.

2° Sous grandes surcharges. - Les épaisseurs trouvées par laméthode ci-dessus seraient, comme les autres, augmentées dQ

0,02 x s..

Observation. -Dupuit fait remarquer que pour les voûtes sur""

baissées, les construcleurs ont, en général, donné des épaisseurs

ÉP AIS SEUR A LA CLEF 125

moindres que pour les pleins-cintres, et que c'est là un fait depratique qui n'est pas en contradiction avec la théorie de la stabi-

~

lité des voûtes.Mais Croizette-Desnoyers considère cetLe opinion comme inad-

missible, parce que les poussées augmentant avec le surbaissement

dans de fortes proportions, il n'est pas rationnel de donner auxvoûtes en arc de cercle des épaisseurs plus faibles qu'aux pleins-cintres.

Tout cela prouve qu'il convient de vérifier par le calcul le tra-

vail des voûtes à la clef pour éviter des mécomptes.

Résumé.. - De ce qui précède, il ressort que les formules deCroizeLLe-Desnoyers se recommandent aux praticiens par la raisonqu'elles tiennent compte, dans une juste mesure, des divers sur-baissemenls des voûtes pour la détermination des épaisseurs à laclef.

VOUTES DE TOUTE ESPÈCE

CO:-\STRUITES AVEC DES MATÉHIAUX MOYENNEMENT RÉSISTANTS

FoJ'}/uile générale.

Dans ces derniers temps, plusieurs Ingénieurs français ont pro-posé la formule générale suivante pour calculer les épaisseurs à ladef des voûtes de toule espèce, construites avec des ma tériaux

moyennement résistants, c'est-à-dire ceux qui sont le plus com-munément employés dans les travaux publics:

e = 0, t2 + 0,03 D + V h10

dans laquelle:

D est le diamètre ou l'ouverture de l'arche;h la hauteur des terres au-dessus de l'extrados à la clef, y com-pris les surcharges ramenées à une hauteur additionnelle de rem-

blai.

Celte formulE; règle l'épaisseur du joint à la clef, en tenantcompte seulement des charges réelles qu'il doit supporter, ce qm

FORMULE G~NiRALE

h = 1moO h= 5mOO

0,55 0,67

0,58 0,70

0,61 0,73

0,64 0,75

0,67 0,i9

0,70 0,82

0,73 0,85

0,76 0,88

0,79 0,91

0,82 0,94

FORMULE G~NiRALEOUVERTURES DUPUIT OUVERTURES DUPUIT

h= lmoO h= 5mOO

mètres mètres

1,00 0,20 0,20 0,37 11,00 0,66

2,00 0,28 0,28 0,40 12,00 0,69;{,OO 0,30 0,3l 0,43 13,00 0 ~'), 1-<

4,00 0,40 0,34, 0,46 14,00 0,75

5,00 0,45 0,37 0,49 15,00 0, 776,00 0,49 0,40 0,52 16,00 0,807,00 0,52 0,43 0,S5 17,00 0,828,00 0: 57 0,46 0,58 18,00 0,859,00 0,60 0,4;} 0,61 19,00 0,87

10,00 0,63 0,52 0,6* 20,00 0,89


est rationnel; de plus, son application fait voir que les formulesempiriques usuelles ne renfermant pas de terme variable avec lasurcharge des #voûtes, ont été, de ce fait, calculées pour une sur-charge moyenne en terre de D mètres environ de hauteur, afin derester applicables jusque dans les cas les moins ordinaires de IIIpratique; il résulte de cette hypot.hèse que tous les ouvrages sou-

mis à une surcharge moindre ont des épaisseurs trop fortes.

En raison des avantages qui lui sont propres, la formule géné-rale précitée nous paraît devoir fixer l'attention des construct.eurs.

Nous donnons dans le tableau ci-dessous, les épaisseurs à la clef

des voûtes en ploin-dntre calculées au moyen de la formule géné-rale et de celle de Dupuit, afin de pouvoir en faiee la comparaison.

Ce tableau fait voir que si le remblai atteint D mètres au-dessusde l'extrados, il suffit d'ajouter orn,12 à l'épaisseur à la clef calculéepar la formule générale pour 1 mètre de hauteur de terres.

CULÉES OU PIÉDROITS

Pour déterminer l'épaisseur des culées ou piédroits, en procède,d'ordinaire, par tâtonnement, c'est-à-dire qu'après avoir essayéune première valEiur et cherché le coefficient de stabilité qui enrésulte, on augmente ou l'on diminue graduellement les massifs

CULÉES OU PIÉDROITS 1')-,

jusqu'à ce que l'on obtienne des points d'appui capables de résisler

sans excès à la poussée des voûles..#

C'est pour faciliter les tâtonnements de ce genre que les Ingé-nieurs ont donné les formules empiriques indiquées plus loin.

Cetle manière d'opérer fait voir que l'on est généralement amené

à construire les culées avec des retraites successives du côté desterres pour envelopper, d'une façon convenable, la courbe despressions, comme nous le verrons plus tard.

Cependant, quand les piédroits n'ont 'pas une grande hauteur,

on leur donne comme épaisseur uniforme celle qui résulte desformules empiriques; on n'augmente pas ainsi de beaucoup ladépense en maçonnerie et, d'un autre côté, l'on évite les sujétionsinhérentes à la disposition par retraites du parement extérieur des

culées.

1° SOllS charges ordinaires. - M. Léveillé adonné les formulessuivantes pour calculer l'épaisseur des piédroits ou culées des

voûtes sous charges ordinaires, c'est-à-dire comprenant: 1° lematelas de terre intercalé entre la chape et la chaussée; 2° l'em-pierrement ou le pavage qui surmonte le remblai; cette surcharge

totale a été limitée par cet Ingénieur à om,60 :

(

Plein cintre: E = (0,60 + 0,162 d), IlL+ 0,25 dX

O,t;~.V H 0,25 d + e '

Arc de cercle: E = (0,33 +°,212 d) , 1~ X d ;(Léveillé) V II f + e

Ellipses et Anses de panier:

E= (0,43+0,IMd) Vh+I~,54b X 0,4i:~~e;

dans lesquelle~ :

E représente l'épaisseur des culées ;.

d, l'ouverture de la voûte;.

h, la hauteur des culées ou distances verticales entre les nais-sances et le dessus des fondations;

e, l'épaisseur à la clef;

f, la flèche ou montée;b; pour les voûtes en anse de panier, aura la même valeur que


dans une voûle elliptique Oll l'on a pris d = 2a pour grand axeet b = f pour demi petit axe;

H, la distance verticale entre le dessus des fondations et le dessus

de la chaussée.Habituellement on a H == lt + f + e + 0,60, le terme 0,60

représentant, avons-nous vu, le remblai, le pavage ou l'empierre-

ment qui, d'ordinaire, recouvrent la voûte et dont le poids, aprèstassement, peut être considéré comme sensiblement égal à celui

ùe la maçonnerie.

Lorsqu'on emploiera les formules de Léveillé, il faudra bien segarder d'introduire dans la valeur de H une surcharge supérieureà celle de 0"\60 pour laquelle elles ont été spécialement calculées;autrement, la quantité sous le radical dans laquelle entre H devien-

drait plus petite et l'épaisseur des culées irait en diminuant au fur

et à mesure que celte surcharge augmenlerait, ce qui serait con-traire aux lois de la statique et de l'équilibre des voûtes.

Néanmoins, tout en conservant à H sa valeur habituelle, les

formules de Léveillé donnent des épaisseurs acceptables jusqu'à

0 mètres de hauteur de remblai au-dessus de l'extrados des ponls.

M. Lesguillier, ingénieur en chef des ponts et chaussées, a pro-posé les formules suivantes qui ne contiennent pas de Lenne quel'on puisse faire varier, par inaLLention, avec la hauteur de la sur-charge; elles ont donc un caeacLère de généralité que ne compor-tent pas celles de Léveillé :

1

Plein cintre: E = VU (°,60 + O,OHI) ;

. Arc de cercle:

(Lesguillier) E = YD [°,60 + 0,10 (~. - 2) + 0,04 II];

Ellipses ou Anses de panier:

E == {If [°,60 + 0,0;5 (~ - 2) + 0,04 II] ;

où D est l'ouverture de la voûte;

f, la flèche ou montée;H, la hauleur du piédroit.

Enfin lVLEdmond Roy, qui a construit un grand nombre d'ou-

vrages sous la direction de MM. Baudemoulin et Croizelte-Des-

CULÉES OU PIÉDROITS 129

noyers, a déduit de l'ensemble de ses travaux la formule suivante,applicable à toute espèce de voûtes de ponts, tant que les rem-blais ne dépassént pas les limites ordinaires de la pratique:

(Roy) E = 0,20 + 0,30 (R + 2e)

<lans laquelle:R est le rayon de la voûte pour les ponts en plein-cintre et en

arc de cercle; pour les anses de panier et pour les ellipses, lerayon R est celui qui a servi à calculer l'épaisseur à la clef;

e, l'épaisseur à la clef.Nous citerons, en terminant, la formule suivante, qui donne tou-

jours des dimensions acceptables, et même un peu fortes pour les

voûtes en plein-cintre d'ouvertures moyennes:

(Durand-Claye) E = (°,80 + 0,10 H) (°,;)0 + 0,20 D)

où H est la hauteur de la culée depuis la fondation jusqu'à lanaissance, et D l'ouverture de la voûte.

Cette formule devient applicable aux voûtes surbaissées, quandon augmente de 1/5 les épaisseurs qu'elle fournit.

2° Sous gl'andes surcharges. - Les formules de MM. Léveillé,Lesguillier, Roy et Durand-Claye ne tie~nent aucun compte des

surcharges exceptionnelles qui peuvent agir sur les ouvrages;cependant, lorsqu'une voûte doit supporter de grandes surcharges,

telles que le poids de forts remblais, de lourds trains de marchan-dises, on conçoit que l'épaisseur des culées doive être augmentée

pour résisler aux efforts transmis par ces surcharges.Dans ce cas, on calcule J'épaisseur des culées au moyen de la

'formule en usage en ~llemagne et en Russie où entre directementla surcharge, réduite en terre, au-dessus de l'extrados:

{Formule russe) E =°

305 + ~ (3d - f ) + ~ + ~ .,8 d + / 6 12'

où el est l'ouverture de la voùte ;

f, la flèche ou montée égale à ~ dans les voûtes en plein-cintre;'"'

9


h, la hauteur des culées ou distance verticale entre les naissanceset le dessus des fondations;

s, la hauteur d!?la surcharge en terre au-dessus de l'extrados àla clef;

E, l'épaisseur de la culée ou piédroit.Cette formule est applicable aux pleins-cintres et aux voûtes

elliptiques, en arc de cercle et en anse de panier.Lorsque la voûte est en plein-cintre:

~ 5 1 1E = 0,30<:> +24

el + (j IL +12

s.

OBSERVATION.- Il n'est pas sans intérêt de faire observer que legformules de Léveillé ne satisfont complètement aux prévisionsde leur auteur qu'à la condition de comprendre les épaisseurs à laclef données par lui.

.

Cependant, il n'est pas rare de voir les constructeurs calculerle joint à la def d'après une méthode quelconque, puis introduirela valeur de ce joint dans les formules de cet ingénieur; mais en

comparant entre eux les résultats obtenus, on trouve que cettemanière de faire est généralement acceptable; en effet, elle n'a

guère d'influence sensible sur le calcul que quand on emploie lesgrandes épaisseurs à la clef fournies par la formule de Dejardin ;

dans ce cas, l'épaisseur des culées devient moindre qu'en adoptantles données de Léveillé.

Quand, au contraire, on introduit dans la formule de Roy la

valeur du joint à la clef calculée par la formule de Dejardin, onobtient des culées plus fortes qu'en se servant des épaisseurs à la

clef de Léveillé.

Ici encore, les formules de Lesguillier révèlent leur caractère degénéralité puisqu'elles ne font pas entrer l'épaisseur à la clef dansle calcul des culées.

Tout cela prouve, en résumé, qu'il convient de vérifier les résul-tats empiriques par le tracé de la courbe des pressions, afin d'être

bien certain de la stabilité des ouvrages.

REINS DES VOUTES 131

REINS DES VOUTES

Le raisonnement indique que l'épaisseur au joint de rupture doitêtre plus grande que l'épaisseur à la elef; mais le rapport à adopterentre ces deux valeurs varie avec la forme et le surbaissement dela voûte et avec la position du joint de rupture qui est elle-mêmevariable dans les ponts en plein-cintre, en ellipse et en anse depanier; par suite, les règles que l'on pourrait tirer de l'ensemblede ces circonstances pour fixer la longueur du joint de ruptureseraient très compliquées.

Il a paru préférable et plus simple aux ingénieurs de chercherles proportions qu'il convenait de garder entre les reins et la clef,pour une hauteur déterminée des reins de lé\.voûte.

M. Croizette-Desnoyers, entre autres, a étudié de nombreusescourbes de pression pour résoudre pratiquement celte questionintéressante et il a déduit de ses recherches la règle suivante:

L'épaisseur aux reins des voûtes, c'est-à-dire au joint qui cor-respond au milieu de la montée pour les pleins-cintres, les ellipseset les anses de panier, doit être égale à l'épaisseur à la clef mul-tipliée par un coefficient qui est de :

i

2 pour les pleins-cintres;(Croizet te- 1,80 pour les ~llipses ou ~nses ùe panier sur~aissées au 1/3 ;Desnoyers) 1,60 Id. Id. Id. - 1/4;

1,40 id. id. - id. 1/5.

Pour les arcs de cercle, le joint dont la longueur doit être fixéepar rapport à celle de la clef est le joint normal à l'intrados auxnaissances. Cette longueur est égale à l'épaisseur à la clef multi-pliée par les coefficients Ei-après : -

1,80 pour le surbaissement de 1/4;

(Croizet te-1,40 id. 1/6 ;1,25 id. 1/8 ;

Desnoyers)1,15 id. 1/10;1110 id. 1/12 ;

et d'une manière analogue pour les surbaissements intermédiaires;ces coefficients sont égale~ent applicables aux voûtes des pontssous chemins de fer.


Renwl'que. - Quand on conslruit des ponts avec de la brique,on modifie si)'on veut l'épaisseur' calculée des piédroits de façon àobtenir une section de maçonnerie contenant un nombre exact debriques entières, joints compris, mais on conserve toujours pourles reins, les dimensions résultant du calcul en faisant recouperles briques à cet effet, pour ne pas charger inutilement le joint derupture.

- ENTRE LES REINS ET LA CLEF

Les épaisseurs entre les reins et la clef sont déterminées par lacourbe d'extrados, qui est ordinairement un arc de même natureque la courbe d'intrados et passant par l'extrémilé Jes joints déter-minés ci-dessus; nous allons indiquer les procédés le plus habi-tuellement employés pour tracer la courbe d'extrados des voûtes,y compris un cas particulier aux voÙtes ellipliques.

EXTRADOS DES VOUTES

Voûtés en pZein -cintre. - Soit ACB le plein-cintre, AB le plandes naissances et AE la hauteur des piédroits. Les formules con-nues donnent l'épaisseur CD à la clef et l'épaisseur EF des culées,saVOIr:

(Léveillé)

(Dejardin) e = 0,30+ 0,10R

E = (0,60 + 0,162 d) Vh +

1°1,25

!:!-. x 0,865 d .0,25 d + e '

en faisant R = 8 mètres on obtient les dimensions de la voûle(fig. 39).

Par le centre 0 de l'intrados, menons les droites OH et OH' fai-sant avec l'horizontale .i\B un angle de 30°, ce qui consiste à menerpar le point 1, milieu de OC, l'horizontale GG' qui rencontre en Get G' l'intrados dr~la voÙte, et à tracer les lignes OH et OH' passantparles points G et G'; à partir de ces points, prenons GH = G'll'

= CD X 2 ; joignons les points H et D par la droite HD et élevonssur le milieu de celte droite la perpendiculaire NO' : le point 0/ où

EXTRADOS. - YOUTES EN PLEIK-CINTRE i33

celte perpendiculaire coupe la verticale DL est le centre de la courbed'extrados passant par les points H, D et HI. Pa~ les points H et H'menons des tangentes à cette courbe jusqu'à la rencontre des ver-

\N\\

\\

,___;i&O__--

":\>'.:\', f:>;:'~::-~~..

E%

::~,:'~.;.'.:

Fig. 39.

ticales FK, F/KI qui représentent les faces postérieures des culées.La ligne KHDH/KI sera l'extrados.

Il résulte de cette construction, en appelant:

e, l'épaisseur a: la clef;R, le rayon d'intrados;RI, le rayon d'extrados;

que la surface

HGDC =~ (i,3i7 e R + 0,806 e2);

que

R'= R + 3e + 3~2;

i34 PONTS ET VIADUCS

et que l'arc d'extrados. a pour expression de son développement:

A' IJD - TeR+

Surf. HGDGlC l - 6 R'

formules qui simplifient le métré des voûtes.

La solution que nous venons d'indiquer conduit à donner aux

voûtes une épaisseur croissante de la clef aux naissances et au pié-droit une épaisseur constante. Tous les constructeurs ne sont pasd'accord à ce sujet: les uns veulent que la voùte reçoive partout

la même épaisseur, comme l'archivolte d'une arcade; d'autres font

varier l'épaisseur du piédroit aux di verses assises en donnant à lamaçonnerie des retraites successives de la base au sommet; d'autres,enfin remplacent ces retraites par un fruit intérieur de la ligne FR.

11 est difficile de décider à priori quelle est la meilleure de toutes.ces solutions; le tracé de la courbe des pressions peut, seul,

guider en la matière, ainsi que nous l'avons déjà dit.

Mode de ?'emplissage entre la couronne de la voÛte et la chape.- De nos jours, la plupart des ingénieurs, et tout particulièrementM. l'ingénieur en chef Decomble, qui a construit le magnifiqueviaduc de Chaumont et beaucoup d'autres ouvrages importants,pensent qu'à moins de stipulations formelles et contraires résul-tant de circonstances exceptionnelles, telles que la grande résis-tance des mortiers, toutes les voûtes doivent être construites avecdes matériaux appareillés en prolongement du bévot de la douelleentre la couronne et la chape, c'est-à-dire normalement à l'intra-dos (fig. 40).

Le tracé de la courbe des pressions fait voir, en effet, que cemode de remplissage est le plus rationnel.

Nous ferons également observer que dans les voûtes en plein-cintre faites avec de la brique et maçonnées par rouleaux succes-sifs, les joints, en se recoupant, doivent rester normaux à l'intra-dos.

Voûtes en arc de cercle. - Prenons comme exemple une voûteen arc de cercle de 9 mètres, d'ouverture surbaissée au 1/6 (fig. 41).

EXTRADOS VOUTES EN PLEIN CINTRE

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Fig.40.,[

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Pal'is. J. BAUDRY. Editeur.

Pl. 5.

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G~ - CD x 2 - O'!'80 x 2 - 1~ 6 0

o~. R +GH-Sm+160' 6~60

°iN' Sin 30~' ~ OH- 3~30

RN. OHx Cos 30?- 6~60x 0~866D25-5~241

ND. OD-ON. 5.80-3.30-2'%0

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=5.72 i- 2.50 .

]''''181 2 x ND 2.x 2.50

El (0.60+ 0.16Zd)...rK i- 0.Z5~ 0.865 Q- '6'%5

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I711f'..l'dOnToCtf.Pari8.

EXTRADOS. - VOUTES EN ARC DE CERCLE 13;5

Le rayon R de l'arc se déduit de l'ouverture et ~e la flèche; appe-Ions:

.

d, la 1/2 ouvertllre AD ;f, la flèche CD.

Après avoir tracé la droite AB égale à l'ouverture totale du .

pont, on élève sur son milieu la ,nd. l

.CD ' l '

AB \ Cperpen ICUaIre ega e a 6-

"

~surbaissement de l'arc de cercle; ~--\(L~D :~ B

on joint le point A au point C et \ \ i///

sur le milieu de AC on abaisse \ \: '/\ \ 1 ~/

la perpendiculaire ON; le point \ \: //7

\ \1/

0, où cette perpendiculaire coupe \ ;'0,1

la ligne CD prolongée, est le \ ;\ ~Icentre de la circonférence à la- \ ~I

\ 1

quelle appartient l'arc de cercle \.i

',1

cherché. \ 1

\1

Si maintenant on décrit la cir- c'

conférence entière passant par les Fig. 41.

trois points A, C et B et que l'on mène la droite AC!, on auradans les triangles rectangles CAC! et CDA la relation suivante:

CD AD f dAD == C'O

ou fi == C'D;

mais CID = 2R - f, d'où:

1- det d2 - (2R - f\ X fou d2 == 2Rf -- rd - 2R - f - )

Faisons passer f<J. dans le 1er membre de cette équation, elledevient:

d2+ f2 == 2Rf

d'où l'on tire:

R ==d2 + r

==~ + T;502

==7m ;SO.2f 2 X 1,;S0 '

Le rayon R étant trouvé, on calcule l'épaisseur à la clef cer parla formule sutvante de Dejardin (fig. 42) :

e == 0,30 + O,O;SR == 0,30 + O,O;S X 7,;S0 == om,68.


A partir des points A et B et sur les rayons OA et OB prolon-gés, on prend. des longueurs de joint AAI et BBf respeétivementégales à :

(Surbaissement de 1/6) : 0,68 x 1,40 == 0,952, soit i mètre en nombre rond;

puis l'on fait passer une circonférence par les points AfCIBf et le

point Of est le centre de l'extrados. Par les points AI et Bf on mène

des tangentes à cette courbe jusqu'à la rencontre des verticales FR

et PKf, qui représentent les faces postérieures des culées, dontl'épaisseur est égale à :

(Léveillé) E == (0,33 + O,2i2d ) ~ /~ x ~ ;V 11 f + e

remplaçons les lettres par leurs valeurs, il vient:

E == (0,33 + 0,2J2 x 9) L /~ x 9 - 2,91,;V4,78 1,50 + 0,68

soit 3 mètres en nombre rond,et l'on obtient la ligne d'extrados KA/UB/K/.

Mais, quand le tracé de la courbe d'extrados présente, commel'indique le profil sans hachures KIf! (fig. 42), l'inconvénient determiner en coin la face portérieure des culées, ce qui pourraitfaciliter leur pénétration dans les terres sous l'action de la pous-sée horizontale de la voûte, et, par suite, amenër la destructionde l'ouvrage, on est obligé, pour assurer la stabilité de la cons-truction, de relever le point Kf de façon à augmenter la face verti-cale de la culée formant butée contre les terres.

On arrive à ce résultat au moyen de différentes combinaisonsdont voici les plus usitées:

10 Par le point Bf, sommet du joint aux naissances, on mène

une ligne BfKII présentant une inclinaison qui varie de Offi,02 àOill}10par mètre, jusqu'à sa rencontre en Kfl avec la ligne PKf pro-longée; la ligne UBfKII limite, en ce cas, l'extrados. Ce procédédonne à la culée un excès de maçonnerie; mais il en augmente

considérablement la stabilité; c'est pourquoi nous le recomman-dons lorsqu'on est obligé de recourir à l'emploi de voûtes trèssurbaissées;

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EXTRADOS. - -rOUTES EN ARC DE CERCLE f37

2° Ou bien, l'on donne au parement postérieur une hauteur FITpratiquement ~uffisante pour former butée contre les terres, soit1 mètre ou 1m,00, et, par le point T, on mène une tangente TTI àlacourbe d'extrados; on obtient ainsi la ligne d'extrados C/T'T de lademi-voûte. Cette combinaison fournit un contour d'extrados trèsfréquemment employé; cependant elle a l'inconvénient d'aug-menter l'épaisseur de la voÙte au joint des naissances, joint queles praticiens cherchent à décharger le plus possible;

3° Enfin, on prolonge le rayon d'extrados OIA', par exemple,jusqu'à sa rencontre en Ol! avec le parement extérieur de la culéeprolongée, et, de ce point Ol!, avec OI!A' comme rayon, on décritun arc de cercle qui coupe au point L la ligne FK prolongée. Laligne C'A'L est l'extrados cherché.

Ce procédé présente l'avantage de ne pas augmenter inutilementl'épaisseur du joint aux naissances et de donner à l'extrados uneforme très gracieuse. A tous points de vue, il nous paraît devoirfixer l'attention des constructeurs.

OBSERVATION.- En consultant les catalogues bien connus desponts construits jusqu'à ce jour, on trouve des arcs d'intrados detoutes les amplitudes; il ne peut, en effet, y avoir aucune règlesur la proportion à établir entre la flèche et l'ouverture de celteespèce de voÙtes. Cependant, il nous a semblB que les voûtes dontl'arc d'intrados a 60° d'amplitude satisfaisaient le mieux aux besoinsles plus ordinaires de la pratique. Entre les amplitudes variant de00 à 70° qui correspondent à des voûtes en arc de cerde cons-truit~s de nos jours, la proportion moyenne de 60° est très salis-faisante sous le rapport du coup d'œil, à moins que l'ouverture nesoit extrêmement considérable; et peut-être alors, un autre motif,plus sérieux que celui de l'élégance du profil, devrait-il conseillerde ne point trop réduire l'amplitude de l'intrados. .

L'usage des arcs de 60° pourrait donc devenir à peu près géné-l'al; il comporte, d'ailleurs, de grandes simplifications dans tousles calculs des divers éléments de la voûte, ainsi:

le rayon Rest égar'à l'ouverture A B,et la flèche a pour valeur:

f = R (l - v;) = R x O,i3j,.


On trouve dans de nombreux ouvrages des calculs tout faits poursimplifier la détermination des éléments nécessaires aux projetsde ponts en <irCde cercle.

VOUTESELLIPTIQUES.- TJ'acé pratique de l'ellipse. - La pre-mière chose à connaître, avant de s'occuper du tracé- d'un extra-dos elliptique, c'est la manière de décrire l'ellipse d'une façonsimple et pratique au moyen des éléments généralement donnés,

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Fig. 43.

savoir: 10 l'ouverture ou grand axe de la voûte; 2° la flèche oumontée, c'est-à-dire le 1/2 petit axe.

Voici le procédé qui nous paraît le plus habituellement employé(fig. 43) : -

On marque sur une règle ou sur une bande de papier biendroite la différence nm des deux demi-axes AO, OC en y portantd'abord la moitié np du grand axe et ensuite la moitié rnp du petitaxe; puis on fait mouvoir la règle ou la bande de papier demanière que les points 'ln et n soient constamment, le point m surle grand axe et l'autre n sur le petit. A chaque mouvement quefera la règle, le point p donnera un nouveau point de la courbe.

EXTRADOS. - VOUTES ~LLIPTIQUES i39c

Généralement, on s'arrange de façon à obtenir des points équi-distants ou à pey. près sur l'ellipse, car cette précaution a poureffet d'en rendre le tracé plus correct el exempt de jarrets. Ce tracéde l'ellipse est appelé: Tracé pal' la différence des axes et il est leplus simple. ~

Puis on détermine les foyers F, FI de l'ellipse en décrivant dupoint C, comme centre, un arc de cercle avec un rayon égal à OAdemi-grand axe.

RAYONDECOURBURE.- Définition. - Soit AB une courbe plane;considérons un arc MN très petit de cette courbe et prenons surcet arc 3 points M. P. N. par les- -i;:r--- ~--~--_.quels nous faisons passer une /---/---}v[11

1'-IF.

~~~---'"

circonférence qui se confondra :A Il J '-'-,\ ./

sensiblement avec la portion de \!1 1

courbe M. N; cette circonférence 11

\ !est appelée le cercle osculateul' f-CLJ

\ 'jde l'arc (fig. 44). \ 1\ 1

Cette définition suppose que \ f,1

l'arc MN est infiniment petit; \ fil

le cercle osculateur est donc le \{

\1

cercle limite que l'on obtient Vo

en un point M quand l'arc MN Fig. H.décroît indéfiniment.

Le rayon OM du cercle osculateur reçoit le nom de rayon de

courbure.

Valeur générale du rayon de courbure d'une courbe plane. -Menons deux tangentes à la courbe MN, l'une en M, l'autre en N ;l'angle aigu a formé par ces deux tangentes, qu'on appelle anglede contingence, est le même pour la courbe et pour le cercleosculateur; il est égal à l'angle au centre MON et il donne lamesure de la courbure totale de l'arc MN.

Si nous évaluons cet angle en parties du rayon, nous aurons:

Arc MND::=OM

d'où il vient:

OM Arc MNou rayon de courbure de l'arc MN :=

D: '

HO PONTS ET VIADUCS

C'est-à-dire que:

le rayon de courbure R est égal à la longueur de l'arc MN divisépar l'angle de~contingence ou plutôt est égal à la limite de ce rap-port, soit:

R 1.. MN= unite - .

ex

Calcul du rayon de courbure d'une ellipse. - Cette définitionétant donnée, soient F et F' les foyers d'une ellipse eL MM' deuxpoints de cette courbe.

Nous traçons les normalesangles FMP et FM'P ; soit Cmales (fig. 40).

en ces points ou bisseclrices desle point de rencontre de ces nor-

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Fig. 45.

Les triangles FIM, CIM' ayant les angles en 1 égaux commeopposés par le sommet donnent:

ex+w=~+'Y (1)

De même, les triangles MHC et M'HF' ayant les angles en Hégaux comme opposés par le sommet donnent:

~ + w' == ex+ 'Y (2)

ajoutons les deux égâlités ci-dessus membre à membre et simpli-fions, il vient:

.

(Il+ &J'= 2ï

/'

EXTRADOS. - VOUTES ELLIPTIQUES

De cetle dernière égalité nous tirons la suivante:

Hl

sin. (w + Cd) = sin 21

qui, développée, donne:

sin w cos w' + cos w sin w' = 2 sin 1 cos 1 (3 )

Désignons par p et pT les rayons des cercles circonscrits aux

triangles MM/F et M~{lF1, nous aurons:

MM' MM'-:-- = 20 et -= 20'sai w ' sin w'

,

d'après la relation trigonométrique connue:

asin A = 2R;

en désignant par J' le rayon du cercle circonscrit au triangle MM'Cnous obtiendrons aussi:

MM' - ">1"sin 1

-,., ,

d'où:

. MM'., MM'. MM'sm w = ~ ; sm w =

9' ; sm 1 = -2 .,.,p ",p 1

Portons ces valeurs dans l'équation (3) et faisons disparaitre lefacteur commun MM1il vient:

cos w cos w'-

2 cos 12p' + 2p - 21'

(4)

d'autre part, le rayon de courbure R correspondant au point M estdonné Pîlr la relation:

R= MM'1

multiplions et divisons le second membre de cette égalité parsin j, il vient:

R - MM'.sin "("( sm "(

14,2

Et à la limite ':

PONTS ET VIADUCS

R l "1:I\I' ]

"f'in '/

=. unite --;-- X mute ~sm y ïmais la limite:

sin '/ d R l "MM'-l = 1 ; Olle = Imite ---;-- = 21'

Y sm ï

En passant encore à la limite, c'est-à-dire en supposant que lepoint M' vienne se confondre avec le point M,

limite cos (,)= 1; limite eos w' = 1; limite cos y = i

et nous aurons d'après l'égalité (4) :

i 1 2 2')0 + ')0' = 21' = Ifl'-I~

~

Désignons par d le diamètre 22 du cercle qui passe par M tan-gentiellement à l'ellipseet par le foyer F; etpar d' le diamètre 22'du cercle qui pass.e parle point M tangentielle-ment à l'ellipse et parle foyer F', nous au-l'ons:

B.

i 1 2d+(Y==1f (5)

Construction graphi-

que des valeurs de d et

de d'. - Nous traçons(fig. 46) la normale à

Fig. 46. l'ellipse MN, au point) donné M, puis nous éle-

vons sur FM, au point F, la perpendiculaire FG qui coupe lanormale MN au point G; )la circonférence décrite sur MG = d,comme diamètre, passe par le point F puisque l'angle MFG estdroit; de plus, cette circonférence est tangente en M à l'ellipse;

'")

EXTnADOS. - VOUTES ELLIPTIQUES 143

en élevant au point FI la perpendiculaire FI GI à l'extrémité du

rayon vecteur MF/, nous aurons également MGI = dl.

Construction graphique de R, rayon de courbure. - Il suffit dedéterminer le point l, conjugué harmonique du point M, parrapport à G et G/, c'est-à-dire de trouver le point 1 tel que:

IG' MG' IG' d'IG == MG

ouIG == d ;

or1G' d' .

IG IG' l d,

IG + IG' == d + d'; malS + == ( -

d'où:

et par suite:

IG' - d' (d - d')- d + d'

MI == IG' + MG' = d'jd;-d~') + d'

ou :

Donc

lVlI= Cf~ d' (d -- d' + d + d) - d2:d~,.

1- d + d'

MI - 2 dd'et

2 d + d' t 1MI == ;Fr == d + d!

ce qui donne MI = R, d'après l'égalité (5).

Pour déterminer graphiquement le point l, nous traçons G'Kparallèle à FG et nous prenons G/K' = KG/, puis nous menons laligne FK' qui coupe la normale MN au point 1 cherché.

En effet, les triangles semblables MKG' et MFG donnent:

MG' d' KG'MG

ou d == FG

les triangles semblables FIG et G/IK' donnent aussi:

IG' G'K'IG - FG

et puisque, par construction, G/R' = G/K, on a finalement:

IG' d'ïG-7 c.q.f.d.

tH PONTS ET VIADUCS

Valeu)' nllmf,'ique du l'ayon.ffI

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11

v-"<j; '1111jG11

de courbute R au somme! d'uneellipse. - Dans le casoù le point Mse confondavec le sommet B dupetit axe, on a :

1 1cr-z

el alors la relation (0)devient:

1 tc{-If

Fig. 47.d'où R = d; malS

circonscrit au triangle rectangled = MG, diamètre du cerclelVIFG (fig. 47).

Les triangles rectangles MOF et MFG qui ont l'angle M communsont semblables et ils donnent la relation suivante:

1"1\12== MG x 1\10

mais comme FM = a demi-grand axe, MG = R et MO= b demi-petit axe, il vient:

Db == a2

d'où finalement:a2

n==l)

Construction graphique de la valeur du rayon de courbure ausommet. - D'après ce qui précède, ce rayon de courbure s'obtientgraphiquement de la manière suivante:

On joint l'un des foyers de l'ellipse au sommet du petit axe parla ligne FM ; on élève sur cette ligne, au point F, une perpendi-culaire FG qui coupe le' petit axe prolongé au point G, centre decourbure cherché et

.

MG == n

rayon de courbure au sommet.of

EXTRADOS. - YOUTES ELLIPTIQUES 145

OBSERVATlOi'I. - Les normales à l'ellipse prolongées donnentpar leurs inters.ections successives deux à deux les longueurs desrayons de courhure, longueurs d'autant plus exactes que les nor-males seront plus rapprochées.

Comme on aura nécessairement une normale à chaque ligne de

joint de la voûte, on pourra, au moment de lever les panneaux,lracer la douelle de chacun d'eux suivant le cercle osculateur décritentre les deux rayons de courbure qui limitent ce panneau et l'onarrivera ainsi à tracer correctement l'intrados de l'ouvrage ellip-tique; tous les appareille urs sont capables de pratiquer ce lracé del'ellipse sans le moindre embarras.

CALCUL DES Dl'.\IENSIONS D'UNE VOUTE ELLIPTIQUE. - Soit une voÙle

elliptique ACB dont le grand axe 2 a, passant par le plan desnaissances, mesure 9 mètres de longueur, et Qe = b la montée

3 mètres, c'est-à-dire 1/3 de l'ouverture AB; de plus, cette voûlerepose sur des piédroits de 2 mètres de hauteur (fig. 48).

Epaisseur à la clef. - On calcule l'épaisseur à la clef par laformule suivante:

(Dejardin ) e == 0,30 + 0,07 n.

R étant le ravon de courbure au sommet ou _ab" =

4,50~= 6m 75

.3'd'où, en remplaçant les lettres par leurs valeurs:

e == 0,30 + 0,07 x 6,70 == Om,77.

Epaisseu1' du joint GH. - L'épaisseur du joint GH, qui corres-pond au tnilieu 1 de la montée et dont le point G se trouve à l'in-tersection de l'horizontale IG avec la douelle, est donnée par 1;1relation suivante:

(Surbaissement de 1/3) : 0,77 X 1,80 == 1m,386 == Im,40 en nombre rond.

Pour tracer le joint G-H normal à l'intrados, ce qui est unecondition essentielle, on mène les rayons vecteurs FG, F/G' aupoint G et l'on divise l'angle FGF! en deux parties égales par labissectrice GN, sur le prolongement de laquelle on prend GH =1m,40. Le joint symétrique G' H' s'obtient de la même manière.

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EXTRADOS. - VOUTES ELLIPTIQUES 147

On trouve ainsi trois points H, D, HI de la courbe d'extrados parlesquels on peut.faire passer une circonférence, mais qui ne suffi-sent pas pour déterminer une ellipse. Plusieurs constructeursprennent la forme circulaire pour l'extrados des voùtes elliptiques;rien n'empêche de les imiter, attendu que la courbe en arc decercle diffère peu de l'ellipse d'extrados; néanmoins on peut avoirdes raisons pour adopter une courbe d'extrados de même natureque celle d'intrados, alors le problème est plus compliqué.Nous donnons ci-après la solution que nous en avons trouvée.

Calcul de HK. - Le premier élément à calculer est la hauteurdu point H au-dessus du plan des naissances, car cette hauteurnous servira pour trouver la circonférence dont l'ellipse d'extradosest la projection. Pour cela, nous décrivons une circonférence surle grand axe AB comme diamètre, et nous menons les ordonnéescorrespondantes:

GP = y et MP = Y.

de l'ellipse et de la circonférence.De l'équalion de l'ellipse (en prenant pour axes coordonnés le

grand axe de la courbe) :y2

ouy2

= !!:-.a2- x 2 (a + x) (a - x) a 2 (1)

dans laquelle:a + x = BP et a - x = AP.

on tire cette nouvelle équation:y b

y=a-

En effet dans le triangle OPM on a :

-2 -2 -2OM - OP = MP ou a2 - x2 = Y2 ;

substituant cette dernière valeur dans l'équation (1) on obtient:

y2r

-b2 . Y b

Y2 - a2 ou bIen y =ad'où enfin:

aMP ou Y = Y X Ti

égalité de laquelle on conclut que: toute ellipse ayant 2a et 2b

U8 PONTS ET VIADUCS

pour axes peut être considérée corn me étant la projection d'uncercle de diamètre2a sur le plan de l'ellipse.

Remplaçons les lettres pal' leurs valeurs, il vient:

v -1,50 x 4,50 - 'Jm 9".1 - 3. -,., ,-,).

Puis dans le triangle OPM, le côté

OP = VOi\e - MP2; d'où OP = V4,502- 2,252 = 3m,90.

La sous-normale PN ou la distance comprise entre le pied del'ordonnée y et le point de rencontre de la bissectrice GN avec le1/2 grand axeAO a pour valeur:

PN"-6C2 x OP

-b2 œ .

d' 'PN - 9,00 x 3,90- lm "'3- A02 - a2' ou l - 20,25 - ,1

et ON= OP - PN = 3,90- 1,73== 21I1,17.

D'un autre côté, dans le triangle rectangle GPN, l'hypoténuse

GN= VGp2 + Np2 = V1,502 + 1,n2 = 2m,29.

et dans le triangle HKN, l'hypoténuse

lIN = GN+ HG = 2,29 + 1,40 = 3m,69.

Enfin les triangles semblables GPN et HKN donnent:

KH- HN.

d'. KH -

HN x GP-

3,69 x 1,50-GP - GN'

ou - G~$ - 2,29 - 2,41

On a également:

KN- HN . d',

KN - HN x PN-

3,69 x 1,73- ') .-

PN- GN' ou - GN - 2,29 -,.,,1$

et OK = KN + ON = 2,79 + 2,17 = 4,96.

Après cela nous cherchons l'angle que le plan du cercle faitavec celui de l'ellipse.

Le cosinus de cet angle est égal au rapport~ = 4,~0= 0,667

pour le eas qui nous occupe, ce qui correspond à un angle de

EXTRADOS. - VOUTES ELLIPTIQUES H9

48<) 11' 2711. (Quand on passe de feHipse au cercle, le rapport .l!.-a

devient inversement ~.)

Il résulte de tout ce qui précède que pour le point h de la cir-conférence d'extrados, projection du point H de l'ellipse sur le

plan du cercle, la hauteur hic au-dessus du plan des naissances tI.~

a pour valeur:

I l. - lI T a:= 2,41. x 4,;)0- ') '"1' 150 - 3 6'>~h - 1 \. x ob - 3 - -,+ X , - : ...

et ~que pour le point d, projection du point D sur le plan du

cercle, la hauteur:

a 3,71 X 4,;)0 3 77 1 " 0 6od == aD X b =. 3 ==, X ,v == 5,6 .

Quant au diamètre AB, il se ,pro-

jette en vraie grandeur suivant la

ligne CI.~.

Il résulLe de la construction Cl-

contre (fig. 49) que:

id == od - hk == 5,66 - 3,6:2= 2,0j.

Si maintenant nous décrivons lacirconférence entière d'extrados qui

passe par les irois points h, el, h' etsi nous menons les droites Ize!, hm

et cbn, nous aurons dans les trianglesrelatÏon connue:

c1

~ .c~',o.;.~ ,h <::::-3-~a.Lc:4~~"",

','~ _

\h

/ 1\ 11 j

~: \ ~I

"'1\

"'i1 \ 1

cc ___kl~j;\.Q.8___IQ~~ 1.,13

\ !

\ 1\ 1\

1\ f

\ 1\

1

Jn.

Fig. 49.

rectangles dhm et hid la

di hi .,. rJ 1.,() 62

-: == -;--' d'ou un == ~ == ~== l'lm 06hz zm ' di 2 U4 '"',,

Nous ajoutons à ce résultat la valeur de di et la ligne entière dmreprésente le grand axe tI.~ = AIB' de l'ellipse d'extrados.

dm == A'B' == 12m,06 + 2m,01, == 14m,10.

Le petit axe de cette ellipse est égal à DDt ou

(Surbaissement de 1/3) à14,10

- 4m '703 - , ,


valeur que l'on peut vérifier en multipliant le 1/2 grand axe 7ffi,OO

par le rappod~ '

ce qui donne:

7,05 x 0,667 == 4m,70.

Une fois les axes obtenus, on les reporte sur la figure précé-dente et l'on y trace l'ellipse d'extrados par le procédé graphiqueindiqué plus haut. Si les calculs ci-dessus sont exacts, cetteellipse doit passer par les points H, D, H' primitivement détermi-nés.

Il faut encore calculer l'épaisseur des culées ou piédroits.

Épaisseur des culées. - Nous emploierons la formule deLéveillé :

E = (043 + 0 tMd ) t jh+0,54, b ~~, ,V H X 0,465 b + e

qui donne en remplaçant les lettres par leurs valeurs:

E == (043 + 0 154,x 9 00) t /2,00 + 0,54 x 3,00 0,84 X \;J,OO - 2m 56, , , V 6,37X

0,4,65 X 3 + 0,77 '

soit 2rD.,60,en nombre rond, que l'on porte de E en F et de E' enpt; les lignes FQ et F' Q' limitent les parements extérieurs des

culées.

Tracé des tangentes à l'extrados. - Il reste maintenant à menerpar les points H et H' des tangentes à l'ellipse d'extrados jusqu'àla rencontre du parement extérieur des piédroits pour terminer leprofil transversal de la voûte (fig. 48).

Sur NB' comme diamètre, on décrit une circonférence, et parles 'points H et H' on abaisse les perpendiculaires fIS et H' S'sur ce diamètre; on prolonge ces perpendiculaires jusqu'à leurspoints de rencontre L et L'avec cette circonférence; puis, dupoint ,D', centre de l'ellipse et de la circonférence d'extrados, onmène les rayons D'L et D'L' ; les perpendiculaires LT et L'T' éle-vées aux extrémités de ces rayons sont des tangentes à la circon-férence A'B'.

Ces tangentes prolongées coupent le diamètre ou grand axeégalement prolongé aux points T et T'auxquels viennent con-

JOINTS DES VOUSSOIRS ELLIPTIQUES 151

courir les tangentes à l'ellipse d'extrados menées en H et Hf. Cestangentes reneontrent les parements extérieurs des culées auxpoints' Q et Qf et la ligne QHDHfQf représente l'extrados de lavoÙte.

Comme on le voit par tout ce qui précède, le tracé d'un extra-dos elliptique est un problème assez compliqué; aussi lui subs-titue-t-on souvent un extrados circulaire qui en diffère peu, dureste.

Tracé pratique des joints des voussoirs. - Sur les chantiers, lesappareilleurs ne peuvent guère tracer les joints des voussoirs dansles voûtes elliptiques, en employant les procédés généralementconnus, car le tracé de ces joints doit être simple, peu compliquéet, de plus, tenir dans un espace restreint et éviter les prolonge-ments de lignes au delà des limites des épures.

1° Procédé de }JI. d'Ocagne. - M. d'Ocagne, ingénieur desponts et chaussées, a publié pour le tracé des normales à l'ellipsele procédé suivant, qui répond bien aux besoins de la pratique(fig. 50) :

Fig. 50.

Soient 1, 3, 5, 7 ~. 19, les points de la 1/2 voûte OB par les-quels il s'agit de tracer les joints, c'est-à-dire les normales àl'ellipse.


Les tangentes aux sommets C et B se coupant au point D, lironsles droites CB et OD.

Les perpendiculaires à OB, menées par les points 1, 3, D, 7....19, rencontrent la droite OD aux points a, b, c, d j.

Les perpendiculaires à CB, menées par les points a, b, c, d... j,coupent l'axe OB aux points 2, 4, 6, 8 20; les droiles 1. - 2;3 - 4; 0 - 6 ; '19 - 20, sont les normales cherchées.

Cet ingénieur justifie son procédé de la manière suivante(fig. 01).

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Fig. 51.

Soit MN la normale à l'ellipse au point M. Du point N abais-sons sur la droite CB la perpendiculaire NL qui coupe l'ordonnéeMP au point L. On a en vertu d'une propriélé de l'ellipse bienconnue:

PN-

02

OP - a2

D'un autre côlé, les triangles LPN et BOC ayant leurs côtésperpendiculaires chacun à chacun donnent:

PL OB a- -PN - OC- b

Multipliant ces égalités membre à membre, il vient:

PN x PL b2aOP x PN - a2b

simplifions, il reste:PL bop-a:

JOINTS DES VOUSSOIRS ELLIPTIQUES i53

égalité qui montre que le point L se trouve sur la droile OD, cequ'il fallait démontrer.

Observation. - Ordinairement, les maçons que l'on trouve en

province ne savent comment faire pour diriger les joints des voûteselliptiques suivant des normales à l'intrados et ils n'entendent

rien aux procédés théoriques en usage qu'on leur indique; avec

la méthode de M. d'Ocagne la difficulté disparaît.En effet, il suffit d'appliquer sur chacune des fermes extrêmes

du cintre, exactement posée dans le plan des têtes de l'ouvrage,un panneau en planches bien rabotées sur lequel on aura préala-blement tracé les normales 1 - 2, 3 - 4, 5 - 6, 19 - 20,pour que ces ouvriers trouvent la direction convenable (les jointsdes voussoirs.

La construction qui précède se ferait sur l'ellipse moyenne dubandeau, dans le cas où l'on voudrait tracer les joints normale-ment à celte eUipse.

2° Procédé de M. Heude. - M. Heude, ingénieur en chef desponts et chaussées, a donné pour tracer les joints, dans lesvoûtes elliptiques, un procédé qui supprime une partie des cons-tructions graphiques inhérentes à la ,méthode de M. d'Ocagne.

Le procédé de M. Heude repose sur le théorème suivant:

Dans toute ellipse, les p7'olongenwnts des normales jusqu'augrand axe déternlÏnent sur cet axe des points de l'encontre donttesdistances au centre de la courbe sont une (l'action constante desabscisses des points de l'ellipse pa]' lesquels passent ces normales.

Ce théorème se traduit par la relat:ion suivante:

a2 - b2 a2 - ~2ON = . x IG = x .

a2 a2' (fig. 52)

La figure fait voir que

ON = OP - NP

mais OP = IG = ,x, aèscisse du point G, et d'après ce que nousavons vu (page 148), la sous-normale NP a pour valeur:

b2XNP=~; a

1M PONTS ET VIADUCS

Nous aurons donc la relation suivante:

ON - x - ( b2;r; ) .a2

.-- - - - - -~ ~ -A

,,,

~i 1~

\'.

l,

l,

- --; - - - - - - L - - - .-.

0 N --p

Fig. b2.

effectuons les calculs, il vient:

a2x b2XON= --ci2 - (i2

D

JI, 5'~ j;!l '; ': 1: 1.

l,; /; ; 1:

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Fig. 53.

0-2 - 0,21 0-12 - 2,25 0-22 = 3,%- -0-4 = 0,62 0-14 = 2,63 0-24 = 4,180-6 - 1,Q3 0-16 - 3,00 0-26 = 4,36- -0-8 - 1,44 0-18 = 3,35 0-28 = 4,480-10 = 1,85 0-20 - 3,67-

JOINTS DES VOUSSOIRS ELLIPTIQUES 1515

mettons x en facteur commun, l'égalité précédente deviendra:

(a2 - b2 )ON='>

x,a"

ce qu'il fallait démontrer.Si nous désignons maintenant par m le quotient

a2 -: b2

aaurons:

, nous

ON = mx

ln est facile à calculer, puisqu'il ne dépend que de a et de b.Une fois que m est déterminé, rien n'est plus commode que de

tracer les normales sur l'épure.

Exemple. - Soit une voûte elliptique de 9 mètres d'ouverture,surbaissée au 1/3 (fig. 03).

On trace l'axe vertical OD sur le poinçon du cintre, et surl'entrait de la ferme de tête, ou sur une planche -fixée sur cetentrait; on figure au crayon la ligne des naissance ou l'axe des x;cela fait, on détermine les joints des voussoirs en douelle 1, 3,o 20, 27; on les projette horizontalement sur l'axe des x,c'est-à-dire que par chacun de ces points, on mène, au moyen d'unfil à plomb, les lignes verticales 1 - 2, 3 - 4, 0 - 6, , 27-28, jusqu'à leur rencontre avec la ligne des naissances; on marqueces points de rencontre, dont on mesure ensuite les distancescumulées au centre 0 de la courbe et l'on forme un tableau commecelui-ci.

On calcule la valeur de m :---;;-2 -24,<)0 - 3,Oum = = 0,555

4,502

Et l'on multiplie par 0,000 les longueurs précédentes, qui sontles abscisses des joints des voussoirs, pour obtenir les points cor-

1;';6 PONTS ET VIADUCS

respondant aux normales cherchées; un a donc le second tableausuivant:

Oa= 0,21 X 0,555 = 0,12Ob= 0,62 X 0,555 = 0,3*Oe = 1,O:~X 0,555 = 0,b7Od = 1,H X 0,550 = 0,80

1

Oe = 1,80X 0,55b = 1,03

Or 2 'r 0 "~~ 1 2"= ,.;) X ,;),1;)=' , ;)

0,1 = 2,63 X 0,05b = 1,46Oh = 3,00 X 0,555 = 1,66Oi = 3,35 X 0,555 = 1,86Oj = 3,67 X 0,555 = 2,04

Ok =3,95xO,555 = 2,1!.JOl =*,l8xO,555 = 2,32Om=4,36 X 0,555 = 2,42On =4,~8XO,555 = 2,49

Le centre du cercle osculateut' de l'ellipse, au point B, seraitsitué, sur le grand axe à la dis lance :

Jn_a = 4m,50 X 0,;)::;:5= 2m,50

Au fur et à mesure que J'on applique les données du calcul sur

la ligne des x, on enfonce en a, b, c n, des pointes f<!-rmantsaillie de om,Oi environ sur la ferme de tête; alors, quand ils

posent les voussoirs, les maçons n'ont plus qu'à tendre une ficellesur ces pointes jusqu'à l'extrados du bandeau, pour déterminer la

direction des joints.

Les petites erreurs que J'on pourrait commettre en mesurant les

longueurs des abscisses n'auraient pas grande influence sur lesrésultats, ainsi que l'a constaté M. J'ingénieur en chef Beude,dans les nombreuses applications qu'il a faites de son procédé.

Observation. - Si l'on avait à construire une voÎlte en briques,il serait inutile et superflu de tracer les abscisses de tous les joints;

dans ce cas, il suffirait de diviser l'intrados en un certain nombrede voussoirs fictifs contenant un nombre exact de briques, et parles points de division adoptés, de mener les abscisses des joints de

ces voussoirs; puis on continuerait les opérations comme il a élédit plus haut.

, Ces lignes des joints intermédiaires correspondant à chaqueépaisseur de ])l'ique s'obtiendraient en divisant en parties égalesl'intrados et l'extrados de chacun des voussoirs fictifs, mais il con-

éviendrait de ne pas composer ces voussoirs de plus de [) à 6 épais-seurs de briques pour avoir des directions se rapprochant, autant

que possible, des normales à l'intrados.

EXTnADOS. - -rOUTES EN ANSE DE PAKIER 1;S7

VOUTES EN ANSE DE PANIEH

Soit ACB une anse de panier à 3 centres (fig. 54, 55) dont AB

est l'ouverture et GC la montée ou flèche f: AiJB= 3 mètres, etAE la hauteur des piédroits = 2 mètres, il s'agit d'en calculer lerayon R de courhure au sommet pour pouvoir déterminer lesautres dimensions de la voûte, telles que: l'épaisseur à la clef,l'épaisseur du Joint correspondant au milieu de la montée etl'épaisseur des culées.

L'anse de panier est, comme on le sait, une courhe analogue à

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Fig. L4.

une demi-ellipse et formée d'un nombre impair d'arcs de cercles

de rayons distincts qui se raccordent successivement; on la nommepour celte raison courbe à plusieurs centres,. elle est particulière-

ment appliquée au tracé des arches de ponts. Il y a des anses depanier à 3 centres, à 5 cenJ;res, à 7, à 9 et jusqu'à 11 cen tres.


On fait usage de diverses méthodes pour tracer l'anse de panier.

La plus répandue est celle qui a été imaginée par :LVI.Michal, ins-pecteur général des ponts et chaussées; nous allons l'employer

pour une anse de panier à 3 centres (fig. 04).

ANSE DE PANIER A 3 CENTRES. - Sur AB comme diamètre, ondécrit une demi-circonférence AcB que l'on divise en trois partieségales; soientnvn/'les points de division. On joint Bm, mc, cm',

m'A. Par le point C on mène CM parallèle à cnl et terminé à sarencontre avec Bm en M; on mène de même CM' parallèle à cm'

et terminé en Mf à la rencontre de Anzl. On tire les rayons nlO etmfO ; et, par les points M, Mf, on mène à ces rayons des parallèles

MOf et :LVttOf qui se rencontreront en Of sur le prolongement de

CO et qui couperont A B aux points D et Df. Il résulte de la simi-litude des triangles 0 m B et DM B que D M est égal à DB; parla même raison, Df M'est égal à Df A. Î

.La similitude des triangles cO m et COfM montre aussi que COf

est égal à 0' lU ; de même lVfOf est égal à C Of. D'ailleurs, à causede la symétrie, on a B D = ADf. Par conséquent, si des points Det Df comme centres avec DB pour rayon, on décrit les arcs decercle BM et A M'et si, du point Of comme centre avec Of C pourrayon, on décrit un troisième arc de cercle, il se raccordera en Met Mf avec les deux premiers; et la courbe AM' CMB sera lacourbe demandée.

Ce tracé donne un résultat satisfaisant toutes les fois que la

montée 0 C n'est pas inférieure au 1/3 de la demi-ouverture A O.De plus, il est à remarquer que deux rayons consécutifs font

entre eux un angle de :1800

- 60°3 - .

Calcul de Of C OU R rayon de courbure au sommet. - Nousvenons de VOIr que 0' C est égal à Of Mf; par conséquent, nousposerons:

O'M' = R; et .M'D' =: 1'.

Le triangle équilatéral DDf Of donne:

O'D'=: DD'; et O'D' + D'M' = DD' + D'M'ou O'D' + l' = DD' + l' = 2a - l'ou R = 2a - r,

en appelant 2a le diamètre AB.

EXTRADOS. - VOUTES EN ANSE DE PANIER

Il suffit donc de calculer 7'pour avoir R.Or :

159

r = AD' = AO - OD' = a - OD' ; (1)

malS, dans le triangle rectangle O'OD!, on a :

OD' = O'D' sin c< (2)d'un autre côté:

l' + O/D'= OC + 00' = f + 00' (3)

et00' = O'D' cos c< (4)

Substituant dans l'équation (3) à 00' sa valeur tirée de l'équa-

tion (4) il vient:l' + O'D' = f + O'D' cos a

ou

f - l' = O/D'(i - COS a )ce qui donne:

O'D/= f-~1 - cos a

(5)

Remplaçons dans l'équâtion (2) O'D' par sa valeur tirée de

l'équation (5), nous obtiendrons:

OD'= f -- l' sin a1 - cos IX

(6)

enfin, transportons cette valeur de aD' dans l'équation (1)

r = a - f - r sin a1 - cos IX

(7)

Résolvant cette équation par rapport à r, on a :

l' (i - cos a) = a (1 - cos c<) - f sin a + l' sin IX

faisons passer J' sin a dans le premier membre, il vient;

l' (1 - cos a.- sin a )= a (1 - cos a) - f sin a

d'où enfin:

a (1 - cos IX) - f sin c<1'-- 1 - sin a - cos a


Or :a = 30°;

donc:. 1 V3

sm (X= - et cos a = -2 2

et

(> - a (1 - V.})- f - a (z - V3)

l' =J... + V 3 - 1

V3-- 1'> --;:;-'-' ....

remplaçons {3 par sa valeur qui est égale à 1,732 à 0,001 près?il vient:

,- f - 2a + 1,732a- r- 0,268a1 - 1,732 - 1 - 0,732

égalité qui peut se remplacer par la suivante:

1 0 258al' = 0,732 f - 0,732

effectuons les calculs, nous aurons:

l' = 1,366f- 0,366a = a - 1,366 (a - f)

subslituons dans la relation R = 2 a - l' la première valeur CI-

dessus de 1', il vient:

R = 2a - (1 ,366f - 0,366a) = 2,366a - 1,366(

d'où enfin:

R = a + 1,266(a- ()

Comme on le voit, les valeurs de l'et de R ne diffèrent quepar le signe qui affecte la quantité 1,366 (a - (); cette par-ticularité est de n.ature à aider la mémoire des constructeurs.

Remplaçons les lettres par leurs valeurs numériques (fig. :5~) :

R = 4,00+ 1,366(4,00 - 3,00) = 6ill,05

Calcul

donne:

EXTRADOS. - VOUTES EN ANSES

de l'épaisseur el la clef. - La

DE PANIER

formule

e - 0,30 + 0,07 R

d'où.e = 0,30 + 0,07 x 6,55 - 0,75

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f'

161

de Dejarclin

CI)~

11


Calcul du joint GH correspondant au lnilieu de la l1wnlée. -Celte épaisseur est réglée pal' la formule suivante:..

(Surbaissement de 1/3) : 0,î5 X 1,80 = 1,35

Nous portons cette épaisseur de G en H normalement à l'intradoset de G' en H' et nous avons trois points H, D) H' par lesquels nousfaisons passer la circonférence d'extrados.

Epaisseur des culées. - L'épaisseur des culées est la même quecelle qui a été .calculée pour l'ellipse sur baissée au 1/3 par la for-mule eommune à ces deux sorles de voûtes, saVOIr:

E = (0,43 + 0,15id ) ~ / h + ~_54 bX

0,84 d

V 0,465 b + e

et remplaçant les leUres par leurs valeurs:

E = (0 43 + °154 X 9) ~ /2,00 + 0,54 X 3,00 0,84- x 9,00 = 2 ::;8, , V 6,35

X0,465 X 3 + 0,75 '

soit 2m,60 en nombre rond que l'on porte à droile et à gauche despoints E' et E, cc qui donne les points F' et F par lesquels onmène les verlicales FK et F'K' qui limitent les parements exlé-

. rieurs des culées. Enfin, par les joinls II et H' nous menons destangenles à la courbe d'extrados jusqu'à la rencontre des verlicales

FK et F'K'; la ligne KHDH'K' esll'extrados.

ANSES DE PANIER A 5 CENTR.ES.- Sur l'ouverture AA' comme dia-mètre, on décrit encore une demi-circonférence AbA' (fig. 56);mais on la Jivise en 0 parties égales aux points ln, n, n', m'. Onjoint Am, mn, 12b',b12'n'm', m'A', Om, On, On',Om'. On mène BNparallèle à bn et d'un point M, convenablement choisi sur Am, onmène MN parallèle à mn ; puis on tire NE parallèle à nO et MDparallèle à mO; on opère de même de l'autre côlé de bE; lespoints C, D, E, D',C' sont les cinq centres qui servent à Jécrirel'anse de panier.

En effet, par des similitudes évidentes, on reconnaît qu'on aCM = CA ; ND = MD ; NE = AE et des égalités analogues del'autre côté de l'axe de symétrie bE. Si donc on décrit;) arcs decercle, savoir: de C et:deC' comme centres avec CA pour rayon,de D et D' comme c'e,ntres avec MD pour rayon, enfin de E comme

VALEURS VAL

'de m, èe r. de m.

0,34 0,252-' 0,32

0,33 \ 0,239 0,31)

EXTRADOS - VOUTES EN ANSE DE PANIER i63

centre avec BE pour rayon, ces arcs se raccorderont aux poinlsM, N, N', ~f et..la courbe AMNBN/IWA' sera la courbe demandée.

On voit que, dans ce tracé, le point M, choisi sur Am, demeurearbitraire, et que, par conséquent, le problème est indéterminé.

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Fig. 56.

Nous ne suivrons pas M. Michal dans les recherches auxquellesil s'est livré pour faire cesser cette indétermination; nous nouscontenterons de donner le tableau ci-dessous, qui renferme la

EURS VALEURS1

OBSERVATIONVALEURS

de m, de r, de 1', de m., de 1',

- ~- -

0,36 0,278 0,225 0,30 0,198Pour se servit' de celte

table, on multiplie lesdifférentes valeurs de rpar la valeur du grandaxe de l'anse de panierconsidérée.

0,35 0,265 0,212

f64 PONTS ET VIADUCS

valeur calculée du premier rayon l', en appelant nt la montée,c'est-à-dire le ;rapport de AA/, grand axe, à OB, petit aX,e,et faisantl'ouverture AAI = 1.

Le premier rayon l'étant connu, on le porte de A en C et ondécrit du point C, comme centre, avec AC pour rayon, un arc decercle AM qui coupe au point M la corde Am ; dès lors, on achève10 tracé de l'anse de panier comme il a été expliqué précédem-ment.

On détermineensuÏte la valeur du rayon de courbure au sommetEB; on en déduit l'épaisseur à la clef et celle du joint normal GHet l'on obtient ainsi les trois points de l'extrados fI, D, HI par les-quels on fait passer un arc de cercle; le reste comme dans l'ansede panier à 3 cenlres. Il exisle des tables à l'aide desquelles onabrège les calculs relatifs aux anses de panier de 3 à 11 centres;nous y renvoyons le lecteur.

REMARQUE.- Nous ne nous étendrons pas davantage sur lesvoûtes en anses de panier, attendu que l'emploi de l'anse de panier

il un grand nombre de centres ne nous paraît pas rationnel. Eneffet, en multipliant les centres, on arrive à un tracé qui se con-

fond à peu près avec celui de l'ellipse, sans en avoir l'élégance, etqui nécessile des calculs assez compliqués. D'un autre côté, ladifférence de débouché entre les anses de panier et les voùles ellip-

tiques est absolument insignifiante dans la pratique.

C IL\ P E S AU - DES SUS DES VOU TES

Il ne suffit pas de satisfaire aux lois de l'équilibre des voûtes,lors de leur construction; il faut encore assurer la conservation

des ouvrages en garantissant les maçonneries contre les infiltra.lions pernicieuses des eaux, par un revêtement imperméable

appelé chape, dont l'épaisseur varie, le plus souvent, de Offi,03 àJ

Offi,05 et peut aller jusqu'à Offi,10.

Les chapes n~ sont appliquées sur les voûtes qu'après le décin-trement et le tassement complet.

CHAPES i6;$

10 Chapes en nWJ'tier de ciment de Portland. - On a soin, avant

d'employer le mortier, de dégrader complètement les joints de lamaçonnerie et'"de nettoyer la surface de l'extrados au 1}10yen d'un

balai de fil de fer et d'un lavage à grande eau: après avoir épongécelte surface, et avant qu'elle ait perdu toute humidité, on étend

la couche de mortier sur l'épaisseur totale qu'elle doit avoir; on lamasse fortement et, quand elle a pris assez de consistance pourrésister à la pression du doigt, on la lisse à plusieurs reprises avecune truelle, et l'on fait disparaître les gerçures au fur et à mesurequ'elles se manifestent.

Celte opération est reprise après un repos de 12 à 15 heures,

puis recommencée autant de fois que cela est utile, pour que lachape se dessèche et durcisse complètement sans laisser de traces

de gerçures ou de crevasses.

Il importe, dans l'intervalle de ces opérations, de recouvrir lachape avec des paillassons ou avec du sable sur om,05 d'épaisseur,pour la tenir à l'abri des f~rtes pluies qui la cribleraient ou de l'ac-lion du soleil qui la gercerail; on combat, d'ailleurs, une dessic-cation trop prompte du mortier par de légers arrosages aussifréquents qu'on le juge nécessaire.

Enfin, et comme dernière mesure de précaution, avant d'exécu-

ter les remblais, on applique sur la chape bien sèche sucçessive-ment trois couches de goudron de gaz bouillant pour en colmater

les gerçures imperceptibles qui auraient pu se produire, malgréles soins que l'on aurait pris pour rendre le revêlement complète-ment imperméable. IV!. l'ingénieur Cléry a fait usage au pont-

canal du Guetin (Cher) d'un enduit au goudron végétal conlenantun peu d'essence de térébenthine pour en accélérer le séchage.

L'expérience démontrera si cette chape-est de nature à donner

les résultats que l'on en attend.

La peinture noire à base de goudron minéral qu'emploie M.Ar-nodin, pour préserver de l'oxydation les câbles des ponts suspendus

formerait également, à notre avis, un enduit tO,ut à fait imper-méable; celle peinture prend, en effet, la consistance et la duretéd'un bon vernis.

Beaucoup dZouvrages d'art n'ont dû leur ruine prématurée qu'à

une mauvaise chape.


Composition usuelle d'une chape en nwrtier de ciment de Port-land. - Le dosage des matières le plus habituellement employépour faire les "mortiers de ciment destinés aux chapes des voûtesest le suivant:

oml',5Gde ciment de Portland pesant 1 4051<. le m. c. = 78ïkome,84de sable pur tamisé pesant 1 900k le m c. =-= 1 596k

ce qui donne en nombres ronds: 800 kilogrammes de cimentpour 1 600 kilogrammes de sable.

Cependant, en raison de la variabilité du poids des sables que

l'on trouve dans les différentes régions de la France, les construc-teurs ont admis, pour unifier la composition des chapes, qu'unmortier fait un bon revêtement lorsqu'il contient une partie de

ciment pour deux de sable, sans tassement préalable des matières.

2,° Chapes en 17!ol'/ieJ'de cltau,1;gJ'a~se et de ciment de tuileau,y.

- Les Romains, puis nos ancêtres, jusqu'au jour oÙ M. Vicat fi tla découverte des mortiers hydrauliques, employaient pour leurs

chapes un mortier composé soit de trois parties de ciment de tui-leaux tamisé pour deux parties de chaux grasse, soit d'autant deciment de tuileaux que de chaux grasse; ces mélanges leur ont

fourni des revêtements solides et d'une imperméabilité parfaite;aussi, quelques praticiens continuent-ils à en faire exclusi,rement

usage pour les chapes de leurs ouvrages d'art.

3° Chapes asphaltiques. - Plusieurs ingénieurs appliquent surles chapes en mortier de ciment une seconde chape en asphalte deOID,01à om,015 d'épaisseur comporLantl'emploi de 20 kilogrammes

à 32 kilogrammes de mastic asphaltique par mètre carré.Ce mastic est employé, autant que possible, par bandes de om,75

à om,80 de largeur sur la chape en morlier de ciment préalablement

bien séchée; il est étendu et comprimé d'abord à la spatule, puisserré de nouveau et lissé au frottoir à force de bras; enfin il est

saupoudré de pulvérin de sable chaud pour empêcher le froLtoir

d'y adhérer.1

Les bulles, qui,~~pparaissent au moment oÙ l'on applique le mas-tic sur la chape, sont crevées avec un petit outil tranchant et les

APPLICATIONS NUMÉRIQUES 167

cavités produites sont soigneusement refermées avant de semer lepulvérin.

La surface est ensuite fortement comprimée avec la masse et lataloche.

Les raccords dans chaque bande et d'une bande à l'autre sont

faits avec le plus grand soin et passés au fer chaud, sans brÙler lamatière. Pour faciliter l'adhérence des bandes entre elles, on doit

étendre une couche de mastic chaud sur le bord de la bande contrelaquelle on doit souder, afin de la ramollir et de rendre ainsi le

raccord plus intime.

Observation. - La question de la conservation des voÙles esttellement importante que l'on fait encore aujourd'hui des essais

comparatifs sur les diverses composition~ des chapes; le choix etle dosage des matières conslituent, en effet, une opération des

plus délicates pour assurer l'imperméabilité parfaite de ces revê-

tements; aussi ne doit-on reculer devant aucun sacrifice pouratteindre le but proposé.

APPLICATIONS NUMÉRIQUES

1° Calcul de l'épaisseur de la clef.

PLEIN-CINTHE.~ 10 Calculer l'épaisseur à la clef d'une voÙle enplein-cintre, sous charges ordinaires, ayant 8 mètres de rayon{fig. 39) ;

(Dejardin) e = 0,30 + 0,10R = 0,30 + 0,80 = im,1O(Dupuit) e = 0,20 VA = 0,20 V10 - om,80

20 Sous une surcharge en terre de hauteur de 10 mètres;

(Dejardin) e = 000 + 0,10 R + 0,02 s = 0,30 + 0,80 + 0,20 = {m,30(Dupuit) e = 0,20 V A + 0,02 s = O,~O VU; + 0,20= {m,OO

3° Cette voûtel de 8 mètres de rayon supporte un remblai de2 mètres de hauteur et le poids de deux trains de machines à mar-

chandises; s~s piédroits ont 2 mètres de hauteur.Pour résoudre ce problème, il faut d'abord chercher approxima-

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2.522

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Fig. 58.

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c:::0rn

APPLICATIONS NUMÉRIQUES 169

tivement l'épaisseur des culées de cette voûte et la largeur de l'ou- .

l'rage pour obl;.enir la surface sur laquelle agit le poids résultantdu stationnement de ces trains de machines; puis connaître larépartition sur les essieux du poids d'une machine.

Les figures 57,...58 donnent cette répartition (type Engerth duNord) .

Supposons que le pont considéré ait 8 mètres de largeur libre

avec parapets de Om,3Dde largeur, de chaque côté, ce qui donneentre les têtes 8m,70 et que l'épaisseur des çulées soit d'environ3m,90 pour une hauteur de 2 mètres; la section transversale de

l'ouvrage, c'est-à-dire sa longueur suivant l'axe de la VOle, serade :

16m,00 + 3,90 x 2 = 23m,80

et sa surface en plan de :)

8,ïO x 23,80 = 20imq, en nombre rond.

,Il tiendra sur le pont, comme on le voit (fig. 08), quatre ma-

chines munies de leurs tenders, soit un poids total de 6F, 90 = 4

= 267T,6. Ce poids uniformément réparti sur l'extrados de la voÙlesera de :

26iT,601 3C\ 6k . ,

207 = ~ par metre carre.

Sachant qu'un mètre cube de terre pèse 1600 kilogrammes enmoyenne, la hauteur de celte surcharge réduile en terre sera

représentée par le quotient de :

1 326k - .16UO = om,/8 envIron;

nous ajouterons celte hauteur om,78 aux 2 mètres de remblai qui

surmontent le pont et la formule qui donne l'épaisseur à la clefprend la forme:

(Dejardin)

(Dupuit)

c = 0,30 + 0,80+ 0,02 x 2,78.

im,1~

e = 0,20V 16 + 0,02 x 2,78 = Om,8~

Les valeurs comparées des épaisseurs à la clef calculées par laformllle 4e Dejardin et par celle de Dupuit font voir que cette der-

{70 PONTS ET VIADUCS

nière permet d'obtenir un profil de voûte présentant le minimumde maçonnerie et, par suite, de décharger considérablement lejoint de rupture. Comme c'est sur ce joint que la pression tend à

se concentrer près de l'arête, il s'ensuit que tout ce qui augmente

inutilement le poids de la voûte nuit à sa solidité.D'un autre côté, c'est à la clef que la question d'épaisseur a le

plus d'importance, parce que de la dimension verticale de la cons-

truction peuvent naître de grandes sujétions qui occasionnent detrès grandes dépenses sans rapport avec l'augmentation du volume

de la maçonnerie. Qu'on donne à la clef 1m,30 au lieu de 1 mètred'épaisseur, cela n'aura pas d'influence sur l'eslimation de la

dépense de l'ouvrage lui-même; mais il peut en résulter des con-séquences graves sous beaucoup de rapports.

Ainsi, l'on pourra être obligé d'augmenter la pente aux abords

des ponts, d'enterrer des maisons, de ne pas laisser une hauteursuffisante pour la navigation; l'épaisseur à la clef est donc une

question capitale dans la conslruction d'un pont en maçonnerie.Mieux vaut recourir à l'emploi de matériaux durs pour pouvoir di-minuer l'épaisseur à la clef, que de nuire aux propriélés riveraines.

2° Calcul de l'épaisseur des culées.

4° Calculer l'épaisseur des culées d'une voûte de 8 mètres derayon, sous charges ordinaires ayant 2 mètres de hauteur de pié-droit. (On entend, par charges ordinaires, le poids de remblai et

du pavage qui surmontent généralement les voÙtes sur une hau~teur de om,60.) (Fig. 39.)

L'épaisseur à la def

(Dejardin) e = 0,30 + 0,80 = {m, \0

L'épaisseur de l~ culée

E = (0,60 + 0,16.2 x 16) ~ /2 + 0,25 x 16 x ,,°,865x 16 -

V 11,70 0,2() X 16 + 1, lO,(Lévcillé)

formule où :

h = 2,00; II == 2,00 + 8,00 + 1,iO + 0,60= Hm,70; d ==8 x 2 = 16m,.


Faisons les calculs partiels:

ni

0).60+ 0,162x 1.6= 0,60+ 2,592 == 3,192

2 + 0,25 x 16 - ~ == 0 51311,70 - i i ,7° '

0,865 x 16 - 1.3,84== 2:7130,25 X 16 + 1.,1

°- ;),10

le radical devient donc:

VO,51;i x 2,713 = 1in,IS0

Multiplions 3,192 par 1,180 et le produit donnera la valeur deE,soit:

3,192 x 1,180 == 3m,77ou 3m,80en nombre rond.

50 Calculons maintenant cette épaisseur par la formule de Les-)

guillier,

(Lesguillier) E == VD (0,60 + 0,04 II)

où D représente l'ouverlure = 16 mèlres

et fI la hauteur du piédroit = 2 mèlres.

Remplaç.ons les lettres par leurs valeurs:

E == v'1() (°,60 + 0,04 x 2) == 4 x 0,68 == 2m,72 ou 2m,75 en nombre rond.

L'épaisseur qui résulte de l'emploi de C8Ue formule semble indi-quer que M. Lesguillier a eu l'intenlion de chercher l'épaisseur

des culées pour des voûles construites avec des matériaux durs etrésistants; la dimension 2m,75 s'éloigne) en effet, des résultats que,fournit la formule de Léveillé.

60 La formule de M. Edmond Roy

E == 0,20 + 0,30 (R + 2e)

donne en remplaçant les lettres par leurs valeurs:

(Roy)

E == 0,20 + 0,30 (8,00 + 2,:W) == 3m,26

i72 PONTS ET VIÀDUCS

Celte valeur est une moyenne entre celles que fournissent les

formules de Léveillé et de Lesguillier, en effet:

3 80 + 2m 75,9 ' = 3m,27 ou 3m,30 en nombre rond.""'

La formule de M. Roy satisfait don~ bien aux besoins ordinairesde la pratique; elle a, de plus, le mérite d'être excessivementsimple.

7° La formule de Durand-Claye

E = (0~80 + 0,10 II) (°,50 + 0,20D)donnerait:

E = (°,80 + 0,10 x 2,00) (°,50 + 0,20 x 16,00) = 3m,70

)

8° Calculer l'épaisseur des culées d'une voûte de 8 mèlres derayon supportant une charge de 10 mètres de hauteur de terre etayant 2 mètres de piédroit (formule russe).

L'épaisseur à la clef:

e = 0,30 + 0,80 + 0,02 x 10 = Im;30 ;

L'épaisseur des culé~s :

E =°

3O;> + ~ (.

3 x 16 - 8 ) 2 10.'8 '1b + 8 + 6" + 1~

;

formule dans laquelle on a remplacé les leUres par leurssaVOIr:

d, ouverture = 16 mètres

f, montée = 8 mètres = Rs, surcharge = 10 mètres.Faisons les calculs partiels:

16 3 x 16 - 8 40 2.10T = 2,00; 16~+ 8 = 2~ = 1,667;(j = 0,333; 12 = 0,833

valeurs,

par suite:

E = 0,305+ 2,00 x 1,667 + 0,333 + 0,833= 4,805ou 4m,80 en nombre rond.

MÉLANGES 1ï3

MÉLANGES

Vérification des épaisseurs à la clef des voÛtes, données pal' les

formutes empiriques. - Bien que'les formules empiriques soientjournellement employées par les constructeurs, il est bon, néan-

moins, de vérifier si les épaisseurs qu'elles donnent sont suffisantes

pour résister convenablement à l'écrasement, surtout lorsqu'unevoûte doit supporter des charges exceptionnelles.

Dans ce cas, on peut prendre pour guide la formule de Navier :

(Navier) T = pF

dans laquelle T est la pression que les V)oussoirs successifs se trans-meltent normalement à leurs joinls; F le poids appliqué sur unmètre carré de l'extrados de la voûle ;

p, le rayon de courbure de l'intrados au point considéré; cerayon esto celui du plein-cintre qui compose l'intrados.

Prenons pour exemple la voûte de 8 mètres de rayon supportant. un remblai de 10 mètres de hauteur et ayant 2 mètres de piédroit

(P. 172; Art. 8) :

Supposons que le remblai soit fait avec de la terre pesant

1 600 kilogrammes le mètre cube; nous ne voulons pas que lapierre des voussoirs travaille à plus de' 10 kilogrammes par cen-timètre carré, parce qu'elle s'écrase sous une charge de 100 kilo-

grammes.

Dans ces conditions:

p == 8m,00; F == 1600k X 10 = 16000k;

d'oùT = 16 OOOkx 8 = 128 OOOk

.~

C'est la pression que doit supporter un mètre courant de jointsde voussoirs; si x est l'épaisseur de la voûte, un mètre de jointcomprend pour une tranche de voûte de 1 mètre d'épaisseur

x X 100 centimètres carrés, et l'on doit avoir l'équation:

128000== 10k. d'où x == 128000

128 "100 x ' 1000 == centunetrcs.


Soit 1ffi,28 en prenant le mètre pour unité de longueur.En rapprod~ant ee résultat de celui que donnerait la formule de

Dejardin modifiée;

e == 0,30 + O,tO R + 0,02s --:-im,iO + 0,20 == im,30

on voit que cette formule satisfait bien aux conditions requises.Si la hauleur du remblai ou la surcharge venait à doubler,

x doublerait aussi et prendrait la valeur 1ffi,18X 2 mètres = 2m,56.

OBSERVATION.- Lorsqu'on n'a pas à sa disposition d'expériencesbien précises sur la résistance de la pierre qu'on emploie, il con-vient de limiter à 0 ou 6 kilogrammes par centimèlre carré lepoids à faire supporter aux voussoirs de la voûle.

Profil d'extrados donné par Rondeld. - Après avoir calculél'épaisseur ED de lavoûte par la formuleque l' 0n a cru devoiradopter pour un plein-cintre, on mène parla naissance A uneverlicale indéfinie AG(fig. 09) ; on porte sur lerayon OD prolongé au-dessous du centre 0 ladistance 0 V égale à lamoilié du rayon d'in-trados, puis du point V,

on trace un arc de cerclel'arc circulaire NE sera le

E

Fig. ~9.

comme centre, avec VE pour rayon,

qui ira couper en N la verlicale AG;

profil de l'extrados.

Celte règle, ainsi qu'il est aisé de le reconnaître, a l'inconvénientd'augmenler, sans profit pour la stabilité, le volume de la voÙte

et de la culée. Mais parmi les profils de voûtes qui s'exécutentcommunément et qui sont déterminés par simple routine, le profil

de Rondelet, adoplé par un grand nombre d'architectes, nous paraî-

trait encore satisfaire le mieux aux conditions de l'équilibre pra-

MÉLANGES 175

tique. Le reste s'achève comme il a élé dit pour les voûtes enplein-cintre.

Swface du profil vertical et poids d'une voûte. - Le poids d'unevoûte étant égal à son volume multiplié par la densité de lamaçonnerie, et son volume, à la surface de son profil verticalmultipliée par sa longueur, on a dans un grand nombre de casil déterminer la surface de ce profil.

La surface du profil vertical ABDC (fig. 60) d'une voûte à intra-

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"

Fig. 60.

dos et extrados circulaires s'obtient en retranchant de la sur-

face EAC du secteur d'extrados la surface lBKD du secteur d'in-trados, plus deux fois la surface du triangle AEl qui a pour base

AE = R et pour hauteur lH = lE sin. CI.= [R - (1' + e)] sin. CI.,

CI. étant l'angle AEI, c'est-à-dire la moiti0 de l'angle au centrecorrespondant à l'arc d'extrados AC.

.

Quand les deux arcs d'intrados et d'extrados sont concentriques,le triangle AEl est nul et la surface du profil de la voûte est ladifférence des deux secteurs; ainsi l'on a :

A aS-Rx--rx-- 2 2

S étant la surface du profil de la voûte,Ret J' les rayons de l'extrados et de l'intrados;A et a les longueurs des arcs d'extrados et de l'intrados.

Désignant par e l'épaisseur R - l' de la voûte, ona aussi:

S=eA+a2

iJD PONTS ET VIADUCS

Ainsi, pour le cas d'arcs concentriques, la sudace du profil est

égale à l'épaisseur de la voûte multipliée pal' la demi-somme desarcs d'extrados et d'inlrados.

Pour les voÙtes en plein-cintre extradossées parallèlement, lesopérations précédenles reviennent à retrancher le -1/2 cercle d'in-trados du 1/2 cercle d'exLrados.

Si l'arc d'extrados n'est pas concenteique à celui d'intrados, on

retranche le demi-cercle d'intrados du secteur engendré par l'arcd'extrados ou de la surface limiLée par la ligne polygonale TAFCG,

dans le cas où l'on mène les tangentes AT et CG à l'extrados.

PROCÉDÉS GRAPHIQUES POUR CALCULER LA SURFACE DU PROFIL

D'UNE VOUTE EN V.UE DU TRACÉ DE LA COURBE DES PRESSIONS

1erProcédé. - On trace sur l'épure même de la voÙte (fig. 61),ou au moins sur un dessin à grande échelle, des parallèles unifor-mément espacées d'une quantiLé e, en menant l'une de CPsparallèles par l'angle GI et en prenant l'intervalle e assez pelitpour que les arcs de courbes interceptés se confondent sensible-

ment avec des lignes droiLes : on ajoute les longueurs de toutesles parallèles comprises dans la partie DCLœ, on reLranche de la

somme obtenue la moiLié de la somme des deux ordonnéesexLrêmes CD, LG/, et le résultat, multiplié par l'intervalle cons-tant e donne la surface de la portion DCLG/, à laquelle ajoutant lasurface de la partie triangulaire LG/H, on aura la surface DCG/H

du profil de la voÙLe jusqu'au joint à 30°. Si la courbe HL peutêtre considérée comme une droite, multipliant la moitié de LG'

par la perpendiculaire e' abaissée de H sue Lœ, le produit est lasurface du triangle HG/L: s'il n'en était pas ainsi, on mèneraitperpendiculairement à la ligne LG' des lignes de di vision égale-

ment espacées à partir du pied de la hauteur el du triangle (9) eton évaluerait la surface HG'L en opérant comme ci-dessus. Enfin

on ajouterait à la surface totale DCG/H les autres surfaces par-tielles (10 à 10) et l'on obtiendrait la surface de la 1/2 voûteDCAA'.

Ce mode d'évaluation de la surface du profil d'une 1/2 voÙten'est pas aussi commode que le deuxième procédé que nous allons

MÉLANGES n7

décrire pour tracer une courbe des pressions, car il ne permet pas

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de voir comment se comporte cette courbe par rapport aux jointsréels des assises composant cette demi-voûte.

12

ïiS PONTS ET VIADUCS

2e Procédé. - On trace, comme précédemment, sur l'épuremême de la voûte (fig. 61) ou sur un dessin à grande échelle, desparallèles à l"un des joints des voussoirs partiels qui composentla 1/2 voûle, soit le joint supérieur, en les espaçant uniformémentet en prenant un intervalle e assez. petit pour que les arcs de lacourbe d'intrados et de la courbe d'extrados interceptés se con-fondent sensiblement avec des lignes droites et de manière àobtenir un triangle final déterminé par la dernière parallèle ellejoint inférieur du voussoir. On calcule les surfaces partielles

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aimÜ décomposées; on en fait la somme pour chaque voussoirpartiel, ce qui donne la surface totale de chacun d'eux et permetde chercher facilement les centres de gravité de ces divers vous-SOIrs.

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Fig. 62.

DÉTERl\UNATION EXPÉRIMENTALE DES CENTRES DE GH.AVITÉ DES VOUS-

SOIRS ET DES PIÉDROITS DES VOUTES. - Voûtes sans surcharges.

MÉLANGES j 79

- Après avoir tracé (fig. 62) le demi-profil d'une voûte par lesprocédés indiqués plus haut, on le divise en quatre voussoirs, parexemple, interéeptant sur l'arc d'intrados des longueurs égalesentre la clef et le joint à 300; on numérote chacun de ces vous-soirs pour abréger le discours; puis, on partage la culée en deuxmassifs, savoir: le n° 5 compris entre le joint à 300 et le rayonOK aboutissant à l'extrémité de la tangente HK, et le n° 6 com-pris entre ce rayon OK et l'horizontale OB passant par les nais-sances ; enfin, le piédroit de forme rectangulaire et ayant 2 mètresde hauteur dans la figure 62 sera divisé en deux massifs égauxporlant les nOS7 et 8.

Cela fait, il s'agit de chercher le centre de gravité de chaquevoussoir ou massif partiel.

Comme la détermination de la position des centres de gravitédes voussoirs nécessite des calculs, en général, fort longs, on peuse contenter, lorsqu'il s'agit d'un travail de vérification des dimen-sions adoplées pour un pont, du procédé suivant pour déterminer-approximativement la position des centres de gravité.

On trace à une grande échelle, soit à 1/20, le demi-profil de lavoûte sur une feuille de carton bien homogène et l'on y reporte lesdivisions adoptées ci-dessus; puis, l'on conserve sur une feuille depapier spéciale le gabarit ou contour de la demi-voûte considérée,avec sa décomposition en massifs partiels.

Après cela, on découpe le voussoir n° 1 dont on cherche ainsile centre de gravité: on le suspendpar un fil en un point quelconque a;on trace sur la_surface le prolon-gement du filou la verlicale aalpassant par le point a, et cette verti-cale contient le centre de gravitécherché (fig. 63). On suspend ensuitele voussoir en un autre poin t b; lanouvelle verticale bbl que déterminele fil, vient rencontrer la première aa' au point G qui est le centrede gravité du voussoir.

Pour que l'intersection des verLicales soit aussi bien déterminéeque possible, il convient de choisir les points de suspension a et b

ja11

:Q ~G: -_J>:--J11J

111,a'1

Fig. 63.


de façon que ces verticales se rencontrent sous un angle différanttrès peu d'un angle droit; on arrive à ce résultat en prenant levoussoir entre"'le pouce et l'index et en le laissant osciller libre-ment; il prend alors. diverses positions dont on choisit la plusconvenable pour l'intersection des verticales suivant un angle à peuprès droit.

Cela fait, on reporte le voussoir n° 1 sur la feuille de dessin; onen fait coïncider le contour avec celui de ce dessin et au moyend'une aiguille on pique le point G qui se trouve ainsi reproduitsur la feuille spéciale.

Il est bon , auparavant, de vérifier si le point G est bien dans laposition du centre de gravité; pour cela, on suspend le voussoiren ce point et si l'opération ci-dessus a été bien conduite, la surfacedu voussoir doit se tenir parfaitement horizontale; dans le cas con-traire, c'est-à-dire si cette surface penche, soit à gauche, soit àdroite, ou autrement, on recommence la détermination du point G,en prenant d'autres points de suspension; puis on vérifie, à nou-veau, le centre de gravité; après quelques tâtonnements on par-viendra à fixer le point G d'une manière convenable.

On opérera de même pour toutes les autres surfaces partielles etl'on aura ainsi tous les centres de gravité cherchés.

Quant aux surfaces rectangulaires des piédroits, on détermineraleurs centres d-e geavité en menant les deux diagonales de chaquerectangle dont le point d'intersection sera le point G.

Par cette méthode on opère très rapidement et avec une exacti-tude bien suffisante dans la pratique, ainsi que nous avons eu l'oc-casion de le vérifier souvent; d'ailleurs la recherche mathématiquedes centres de gravité des massifs de maçonnerie est subordonnéeà des considérations théoriques qu'on est loin de rencontrer en fait,car il est impossible d'obtenir des massifs d'une homogénéité par-faite, ce qui vicie, dès lors, les longs calculs que l'on est obligé defaire en pareil cas.

Voûtes avec surcharges. -Reprenons la même voûte que la pré-cédente, surmontée d'une surcharge en terre de 2 mètres de hau-teur au-dessus de l'extrados à la clef (fig. 64).

On partage en tranches verticales le massif de surcharge en

A h

0

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MÉLANGES 181

menant par les points d'intersection des voussoirs partiels avec lacourbe d'extradofi\, des ordonnées telles que ab, cd, etc... jusqu'àleur rencontre avec la face supérieure AB du massif de surcharge,puis on considère chaque figure partielle comme étant un trapèze:

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Fig. 6i.

celte supposition n'entraîne pas d'erreur sensible dans la pratique.On relève graphiquement les longueurs des bases dans chacun des

trapèzes formant le massif en terre; puis on les ramèpe à repré-

senter des bases de trapèzes composant un massif en maçonneriede même densité que la voûte, en cherchant le quotient de1 000 kilogramn1es densité d'un mètre cube de terre par 2 DOOkilo-

grammes densité d'un mètre cube de maçonnerie, ce qui donne 0,60;

J82 PONTS ET VIADUCS

on multiplie par ce coefficient chacune des bases et l'on porLe, àpartir de l'extrados, la longueur réduite. de ces bases; on obtientainsi la courbe TV qui limite la surcharge en maçonnerie et l'onadmet que chaque voussoir supporte la portion de surcharge quis'élève verticalement au-dessus de sa surface d'extrados; ainsi le

. voussoir (3) est supposé porter la charge cdf'e de même densitéque lui.

On cherche directement le centre de gravité de chaque voussoiraugmenté de sa surcharge propre; si l'on considère encore le vous-soir (3), le patron à découper sera limité par le contour polygonalncdl t em.

Quelquefois, il arrive qu'on a cherché les centres de gravité des

voussoirs sans leurs surcharges; il ne reste plus alors qu'à déter-miner ceux des massifs de surcharges pour les combiner avec les

centres de gravité des voussoirs et connaître le centre de gravitéde chaque voussoir augmenté de sa propre charge.

En pareil cas, voici comment on procède après avoir numérotéles trapèzes de surcharge:

Soit le trapèze 11 dont on veut le centre de gravité; on prolongevers le haut la base et d'une longueur to égale à la base supé-rieure cdl et cette base elle-même vers le bas, d'une longueur et

, égale à la base inférieure et; on mène la ligne ot qui joint les

extrémités de ces deux prolongements, puis la ligne uv qui passe

par les milieux des bases du trapèze; ces deux lignes se coupent

au point gll qui est le centre de gravité cherché.On opère de même pour déterminer les autres centres de

gravité.On combine ensuite le centre de gravité de ce trapèze avec celui

du voussoir (3) de la manière suivante: on joint par la droiteg3g11 les deux centres de gravité, on fait les surfaces p et pl du

voussoir et du trapèze correspondant ou mieux les poids des sys-

tèmes accolés, et on divise la ligne g3g11 en parties inversementproportionnelles aux surfaces p et pl. Si l'on désigne par G le centre

de gravité cherché et par x, Xl ses distances aux cenlres de gravité

partiels g3 et gt1, on aura l'équation:

p + p' -g3gl1 .

]/ x'

COURBE DES PRESSIONS. MÉTHODE DE MÉRY 183

D'oùg3 gl1 X p'

x- - p + p'

valeur que l'on portera à partir du centre de gravité g3 du trapèze,

ce qui donnera le point G. ~

On vérifiera la posiUon de ce centre de gravité par l'opération

lllverse, c'est-à-dire en posant:

p + p'-

g3 gl1 .P X'

,

d'où:g3 gl1 X P[[;'- ,

- P +p'

valeur que l'on reportera sur la figure à partir du centre de gra-

vité gll du voussoir et qui devra retomber sur le point G.

Nous ferons remarquer qu'on aurait fort bien pu chercher expé-

rimentalement le centre de gravité du trapèze pour le combiner

avec celui du voussoir.

2° MÉTHODE DE LA COURBE DES PRESSIONS

POUSSÉE DES VOUTES

On appelle Poussée des votttes l'effort horizontal que les voûtesexercent de dedans en dehors sur leurs piédroits. Par extension,on désigne sous le nom de Poussée des voûtes la théorie mêmede l'équilibre et de la stabilité des voûtes.

Lorsqu'une voûte en berceau vient à se rompre, on remarque leplus ordinairement les effets représentés par la figure 65 ; c'est-à-dire qu'elle s'ouvre à la clef du côté de l'intrados, vers les reins ducôté de l'extrados et aux naissances du côté de l'intrados encore.Elle se partage en 4 parties M, Mf, N, Nf. Les deux premièress'abaissent en tournant autour des points B et Bf, tandis que les

deux dernières se renversent à l'extérieur en tournant autour des

points C et Cf situés vers les naissances de la voûte.

Les piédroits, s'ils ne sont pas suffisamment résistants, peuventêlre renversés aussi eux-mêmes en faisant corps avec les partiesinférieures N et Nf de la voûte; dans ce cas, la rotation se fait

18,1, PONTS ET VIADUCS

autour de l'arête extérieure de la base des piédroits aux points Det L'. ,..

Il peut arriver aussi que les piédroits glissent horizontalement

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D

Fig. 65.

C'

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sur leur base au lieu de se renverser en tournant autour d'unearête de cette base.

Dans des cas plus rares, on observe un effet inverse du précé-dent et qui est représentépar la figure 66 : la voûtes'ouvre à la clef du côté del'extrados, aux reins du côtéde l'intrados et aux naissan-ces du côté de l'extrados;dans ce cas, les deux partiessupérieures M et M' s'e sou-lèvent en tournant autourdes points B et B', eUes par~ties inférieure sNe t N' se ren-versent à l'intérieur en tour-nant autourdespoints CetC'.

Si les piédroits ne sont pas suffisamment résistants, ils peuventêlre renversés en faisant corps avec les parties inférieures N et N'

%

Fig. 66.

COURBE DES PRESSIONS. MÉTHODE DE MÉRY 18;>

de la voûte; alors ils tournent autour de leurs arêtes intérieuresDI et D.

Ce mode de rupture est fOFt rare et ne se manifeste que dans desvoÙtes minces, surélevées et très chargées vers les reins; et c'est

pour éviter cet effet qu'on fait usage des clefs pendantes, destinées

à augmenter la charge de la voûte à la partie supérieure, en mêmetemps qu'elles servent d'ornement, comme on le voit dans leséglises gothiques.

Pour l'équilibre d'une voûte, il faut qu'aucun des effets signalésci-dessus ne puisse se produire; et la théorie de la poussée desvoÙtes a pour objet de rechercher à quels signes on peut recon-naître, à l'avance, que ces effets ne se produiront pas. Remar-

quons d'abord que la voûte étant symétl'ique par rapport au plan

verlical qui contient la génératrice de l'extrados et de l'intradosprojetée en A (fig. 60, 66), on peut supprimer une des moitiés de

la voûte, en remplaçant la partie supprimée par la réaction qu'elleexerce sur la partie conservée. Cette ré~ction est nécessairementhorizontale et per2endiculaire aux génératrices de la voûte. Sup-

posons, en effet, que les figures (60, 66) représentent une sectiondroite de la voûte, faite par le milieu de sa longueur; l'action

mutuelle des deux parties de la voûte pourra être regardée commes'exerçant au point A; or, en vertu du principe d'égalité entrel'action et la réaction, les pressions exercées en A pourront êtreregardées comme égales et opposées; et, comme elles sont symé-

triques par rapport à la verticale du point A, elles ne peuvent êtrequ'horizontales et situées dans le plan de la figure.

La réaction de la partie de voûte supprimée sur celle qui estconservée s'appelle Poussée hOTizuntale.

La théorie des voûtes a reçu de M. Méry, ingénieur des pontset chaussées, un perfectionnement des plus importants. M. Méryest l'auteur d'une méthode géométrique exclusivement suivieaujourd'hui et connue sous le nom de 1Jlétlwde de la couTbe des

pressions. C'est une sorte de traduction graphique, d'une clartéparfaite, des diverses opérations que l'on a à faire pour vérifier

l'équilibre des voùtes. Cette méthode se prête à la résolution detous les problèmes que l'on peut se proposer sur les voÙte3.

18ô PONTS ET VIADUCS

EXPosÉ DE LA MÉTHODE DE MÉRY. - Proposons-nous de chercherles efforts auxquels les matériaux sont soumis dans une voûte enberceau, droite à axe horizontal, sous l'action de forces détermi-nées de grandeur et de direction et également réparties sur la lon-gueur de la voùte (fig. 67).

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Fig. 61.

Coupons-la par deux plans parallèles aux tètes et écartés l'unde l'autre de l'unité de longueur et cherchons les conditions-d'équilibre et de résistance de ce fragment.

Soient ABCLMDEFGHKA le profil de la voûte et de ses pié--droits' ,

ABC est l'intrados;A et C sont les naissances;FED est l'extrados;Le point le plus haut B de l'intrados est la clef.Le premier problème qu'on doit se poser consiste à déterminer

<-engrandeur et direction la poussée à la clef ou la réaction mutuelledes deux parties de voûte qui se touchent suivant le plan BE. Ceproblème est indéterminé tant qu'on ne tient pas compte desdéformations de la malière ; pour le résoudre, il est nécessaire dehire des hypothèses sur les points d'application des réactions des.diverses parties de la voûte dans trois joints différents. Supposons,par exemple, que l'on admette que la poussée à la clef est appli-.quée au point R et que les réactions des naissances soient appli-,quées en S et en T ; je dis que la poussée en R, ou la réaclion


mutuelle des deux portions de voÙtes séparées par le joint BE,s'en déduit im,lTIédiatement.

Soit X la résultante des actions exercées sur la portion de voûteBEDC et du poids propre de cette portion de voûte; Y la résul-tante des actions exercées sur l'autre portion BEFGA et du poidsde cette portion; ces forces étant connues de position et d'inten-sité, appelons x la distance de X au point T et y la distance de Yau point S ; appelons Q la poussée à la c1ef,p la distance de Q aupoint T, p' la distance de la force Q au point S : nous aurons pourl'équilibre, en appliquant le lh60rème des moments à chaque demi-voûte, par rapport au point S et T :

Qp = Xx et Qp' = YY

Entre ces deux équations, éliminons Q par la division, il vient:

p-

Xxp' - Yy'

La direction QQ est donc donnée par le rapport de ses distancesà deux points fixes S et T.

Menons la droite SR et prenons sur celte droite un point V telqu'on ait la proportion:

RV XxRS = Yy

;

puis des points S et V abaissons sur la direction R Q des perpendi-culaires Ss et Vv ; nous aurons:

Vv-

RV-

Xx-

p .Ss - RS - Yy - El'

malsSs = p', donc Vv= p,

et, par suite, la droite Q Q est à égale distance des points T et Vou bien est parallèle à la droite TV.

La distance p étant connue, on a :

XXQ=-. p

Celte construction donne donc la poussée en grandeur et direc-


tion, pourvu que l'on connaisse la position des points R, S et T.En général, les voiltes sont symétriques par rapport au plan de

joint à la clef et symétriquement chargées; alors

Xx = Yy

le point T et le point S étant pris semblablement sur les jointsdes naissances et la poussée Q est horizontale. Dans ce cas, ainsique nous l'avons déjà dit, l'étude d'une demi-voûte suffit en rem-plaçant la demi-voilte supprimée par sa réaction sur celle qui estconservée.

La position des points R et S reste arbitraire: les constructeursadmettent ordinairement que l'on doit prendre pour Rie 1/3 supé-rieur du joint à la clef et pour S le milieu du joint aux naissances.

Connaissant Q, on n'a qu'à composer Q et Y pour avoir la réac-tion de la portionGABEF de la voûte sur le piédroit; la résul-tante passe par le point S.

FORl'IIULE DE NA VIER POUR CALCULER LA POUSSÉE A LA CLEF. -

La formule suivante donnée par Navier

Q= pF

dans laqueUe Q est la poussée à la clef;

p le rayon de courbure de l'intrados à la clef,et F le poids appliqué SUI'un mètre carré d'intrados;

fournit un moyen simple de calculer la poussée à la clef d'unevoûle.

NI. de Lagrené propose de prendre p égal au rayon de courbureaugmenté de la moitié de l'épaisseur à la clef; cela suppose que la

poussée Q est appliquée au milieu du joint à la clef. Mais il noussemble qu'on pourrait généraliser cette manière de faire et augmen-

tel', pour chaque cas particulier, p de la distance qui sépare l'intra-

dos du point d'application de la poussée sur le joint à la clef, cequi paraît, d'ailleurs, assez rationnel.

La formule de Navier se traduit ainsi en langage vulgaire:

« La poussée horizontale à la clef d'une voÛte est mesurée par leproduit du rayon de courbure au sommet de l'intrados et de la

COURBE DES PRESSIONS. MÉTHODE DE MÉny 189

c!large verticale transrnise à l'intrados Sllr une longueur de 1 mètre

au voisina,qe de la clef. »~

1cr Exemple: Soit une voûte de 1m,10 d'épaisseur à la clef,

avec un rayon de 8 mètres, et une surcharge en terre de 2m,00de hauteur; cela ferait unehauteurtotale de 1m,10 + 2111,00=3m,10

de surcharge au-dessus de l'intrados à la clef, si la maçonne-rie de la voÙte et le remblai avaient la même densité. Mais lamaçonnerie pèse 2 OOOk le mètre cube et la terre 1 ~OOkseule-ment; il faut donc commencer par ramener la hauteur du remblai

à une hauteur de maçonnerie correspondant à la densité de lavoûte; pour cela on divise 1 OOOk par 2000k et le quotient 0,60représente le coefficient par lequel on multiplie les 2111,00de terre

pour obtenir la hauteur cherchée:

2 x 0,60 = {m,20.

En ajoutant à l'épaisseur de la voûte 1111,10cette hauteur de

1m,20, on a une hauteur totale de 2m,30 de surcharge au-dessus del'intrados à la clef, et, pour un mèlre carré de voûte, il en résulteune charge verLicale de :

F = 2 500k X 2,30 = 5750k.

D'autre part, le rayon p est de 8 mètres, la poussée horizontale Qsera donnée par la relation;

.

Q = pF = 5 750k X 8,00 = 46 OOOk.

La vOLde ayant 1ffi,10 d'épaisseur à la clef, présente pour unezone de 1 mètre 11 000 centimètres carrés; en admettant que lapression se répartisse uniformément; il en résulterait une force

de :46 OOOk

4k 18.. .

11 000 = , par centlmetre carre,

valeur admissible dans la pratique, puisqu'il est recommandé de

ne pas faire travailler à plus de D à 6 kilogrammes par centimètrecarré la pierre employée, quand on n'a pas de données précises

sur la résistance à l'écrasement.

2° Exemple: Soit une voûte en arc de cercle de 10111,26d'ou-


verture avec piédroits de 3ffi,50 d'épaisseur et supportant une SUr-charge représentée par le poids de 4 machines Engerth stationnantsur le pont e-t pesant chacune 66\90 ; le rayon d'intrados est de10ffi,00.

La surcharge à répartir uniformément à la surface de l'ouvrageau-dessus de l'extrados est égale à 66900k X 4 = 267 600k;d'autre part, le pont a 8m,70 de largeur entre têtes et 22ffi,26 ùelongueur et sa surface est de 22ffi,26 X 8m,70 = 198mqen nombre

rond; en divisant 267600k par 198, on a la surcharge par mètre

cllrré d'extrados, soit -l350k en nombre rond.Puis, divisant ce résultat par 2500\ poids d'un mètre cube

de maçonnerie, on obtient le quotient Offi,54 qui représente lahauteur de la surcharge réduite en maçonnerie; on ajoute cettehauteur à l'épaisseur à la clef: 0,80 + 0,54 = 1ffi,34 et le totalreprésente la hauteur de la surcharge au-dessus de l'intrados à laclef.

Dès lors, la charge verticale, pour un mètre carré d'intradosdevient:

F = 2 500k X 1,34 = 3350k,

et

Q = 3 350k X 1.0,00 = 33 500k.

La voûte ayant une épaisseur de Offi,80à la clef, présente 8 000centimètres carrés pour une zone de 1m ,00 et le quotient de33500k par 8 000 = 4\ 19 représente le travail de la voûte par

centimètre carré de clef, résultat admissible.Généralement on ajoute à la surcharge accidentelle le poids de

la surcharge permanente, c'est-à-dire le poids du ballast, des tra-verses et des rails qui composent la voie au-dessus du pont pourtenir compte exactement de toutes les charges verticales quipèsent sur l'intrados de la voÙte. Cette surcharge est ordinaire-

ment de 750k à 800k par mètre carré pour un chemin de fer à deuxVOles.

Si nous reprenons l'exemple précédent, la surcharge par mètrecarré devient égale à :

1. 300k + 750k = 2100k,

COURBE DES PRESSIONS. MÉTHODE DE MÉRY

qui représentent une hauteur de maçonnerie de :

191

2100- m !..

2500 -0 ,8~,

la hauteur totale de la surcharge au-dessus de l'intrados est doncde :

0,80 + 0,84 = 1m,IH.

Par suite:F = 2 500kX 1,64 = 41ûOk.

etQ = 4 tOOk. X 1.0 = 41 OOOk.

Le quotient de 41 000\ par 8 000 centimèlres carrés est de 0\20représentant le travail de la voûte par centimètre carré de clef;ce résultat est également admissible.

DÉTERMINATION DES PRESSIONS MAXI.MA SUR LES JOINTS DES VOUT.ES

Dans les voûtes, quelle que soit la forme de l'intrados, les vous-soirs exercent les uns sur les autres diverses pressions, de sens

contraire, sous lesquelles la voûte se tient en équilibre et si, pourchacun des joints des voussoirs, on remplaçait l'ensemble despressions par leur résultante, la courbe passant par le lieu de cesdiverses résultantes serait celle que l'on désigne sous le nom deCourbe des pressions.

Si les pressions étaient égales en chacun des points d'un mêmejoint, les centres de pression seraient les centres de figure. Maisles choses ne se passent pas ainsi et lorsqu'un joint de la voûte

s'ouvre à l'intrados ou à l'extrados, évidemment la pression estnulle en ce point et elle augmente proportionnellement vers

l'aulre extrémité du joint. La recherche de ces courbes donnant

pour chaque voussoir le centre de pression, offrait donc le plusgrand intérêt, et c'est ce qui constitue la méthode de IV!.Méry.

Ainsi que nous l'avons dit, les pressions ne se réparlissent paségalement sur tous les points de la surface d'un même voussoir etquelques joints tendent à s'ouvrir, les uns à l'intrados vers le


sommet, les autres à l'extrados vers les joints que l'on nommejoints de rupture.

Or, si un joint bd tend à s'ouvrir à la partie inférieure, si le

mortier n'est réellement comprimé que sur l'étendue bc, et si Pest la somme des pressions exercées

E sur ce joint (fig. 68); d'après les

lois généralement admises jusqu'àce jour sur l'élasticité des corps, lapression décroît de b en c suivant

une progression arithmétique, detelle sorte que si la ligne bE repré-sente en longueur la compressionmaxima (p) qui s'exerce en b sur ledernier élément du joint, la somme

des forces agissant sur le joint bc estexactement représentée par la surface du triangle bEc; et le

centre des pressions a correspondant au centre de grayité dutriangle, se trouve exactement au 1/3 de b c.

Or, la souime des pressions qui s'exercent sur ab est représentée

de même par la surface abEe et celte dernière surface est un peumoindre que celle du parallélogramme abEm qui l'enveloppe; par

suite, on se place un peu au delà de la réalité et à l'abri de toute

chance défavorable en admettant que la somme des pressionsagissant sur ab est représentée par abEm.

Mais le parallèlogramme cbEn est double du triangle cbE, et lasurface

~1>~k<;

(P) .0

~Il /

/ 1/1 // 1

. 1 1 / 1, I&! // 1

cf

l' --~r--+/'è {J11.,1 1/ 1;. --T--;~ S 1

~.: 1 / 11

:;"

/' 1. 1::.' / 1 1:, / 1 1.: / 1 1 \'(

- - - _ll_:. JIi

D"

::..."

'-'-'- '-'-'-'-'-'-'-'-'-'-'-'- '-'-'-'-'-,-,-,<:

d ~ 0:'~"

Fig. 68.

abEm = 1/3 cbEn,

d'où l'on doit conclure que pour avoir la mesure du plus grandeffort p que le sommet b puisse supporter, il suffit de doubler P,la pr.ession totale agissant sur le joint cb et' de répartir 2P unifor-mément sur l'ensemble de la partie utile cb du joint bd.

Comme la pression totale P est représentée par la surface dutriangle cbE, on a également:

1P = 3 ab X 2'

p,

d'où2

abxp= TP,

COURBE DES PRESSIONS. :MÉTHODE DE MÉRY HJ3

ce qui revient de même à répartir uniformément 2/3 P sur (J.bEnfin la ligne bE est double de RS.

De sorte qu'après avoir admis ce principe que la pressIOn

décroit de b en c suivant une progres--

sion arithmétique, on arrive à con-clure avec certitude que la pressionmaxima qui s'exercera sur la partie la

plus comprimée du joint sera doublede la pression moyenne, calculée partoute la partie utile du joint.

Si le joint était comprimé danstoute son étendue, la somme des pres-

sions décroissant de jJ en p', seraitreprésentée par la surface du quadri-

latère bEEI c et le centre de pression (J. descendrait au-dessous

du 1/3 de la longueur du joint bc (fig. 69).Le centre de pression (J. tomberait au milieu du joint bc, alors

seulement que les pressions seraient égales; et on aurait, dans ce

cas:

b '

CPJ

~""""'~:--""

.

~""'''''''1''''''''',;:..

''''''~~'''~~~E

.~ 1 1

"1 1

.-~ ! 1~~ ï 1

'"1 11/

'. Ilc:{ :- - -> . Il

" ~: 7.5...

ilIl.

1 1, 1/ 1

1 1

1 11 1

'"E' 1

Fig. 69.

P = bole = be x RS.

Pour les voûtes construites avec soin, on peut généralement

supposer que, vers la clef, les joints sont 'pressés clans toute leurétendue, mais de telle sorte que la pression devienne nulle à

l'intrados, tandis qu'elle est à son maximun à l'extrados; lecentre de pression se trouve être alors au tiers du joint vers lesommet.

Ce cenlre de pression se trouverait placé au milieu même dujoint pour les voûtes construites avec une véritable perfection.

On peut admettre, d'ailleurs, un effet exactement semblablepour le joint de rupture, en observant seulement que ce joint tend

à s'ouvrir à l'extrados.

TRACÉ DES COURBES LIMITES. - D'après ce qui vient d'être dit,lorsqu'on connaît le point d'application (J. de la résultante P desactions exercées sur la partie utile d'un joint bel, il faut, pour

avoir toute sécurité, que chacun des éléments (J.bpuisse porter sans13


altération les 2/3 de la force P supposée répartie uniformémentsur l'étendue lxl (fig. 70).

"0On devra donc tracer sur la surface de la

~""""""'''~~~~,\'''''l yoÙte ABCD (fig. 71) deux courbes ab et cd

~:" ~ telles qu'en chaque joint la partie }nm' et la

":';:

U: pour que les 2/3 de la presslOn totale sur ce

/, joint y produisent exactement l'effort maxi-

"}}.

~,mum ,auquel les maçonneries. pourront être

~.;:" exposees; et la cQurbe des presslOns devra tou-

jours être comprise enlre les courbes limiles abet cd.

Nous préciserons la question par un exemple:

Fig. 70.

/"'/",y

<0"'.1{:Y~.

//. c

111,

" ' '---

Fig. 71.

Soit la voûte ou plutôt la sedion de voûte de 1 mètre de lar-geur entre les têtes (fig. 71).


Soit P = 45000 IÜlogrammes, la pression totale exercée sur le

joint entier 'lnnr;')::.. P = 30 OOOk,3

et il faut que la partie mm' ou nn' puisse supporter, sans altéra-tion ce dernier poids, en le supposant réparti uniformément.

Si l'on admet pour la charge limite à faire porter aux maçon-

neries 10 kilogrammes par centimètre carré, ou 1000 kilogrammespar zone de 1 mètre de longueur sur OIll,Olde hauteur, on devraaVOIr:

, 30 000 . ,mm = -1

OUO=30 centunetres.

On calculera donc successivement les efforts P qui s'exerceraientsur chacun des lits Ii, gh.

On en déduira de même les distances limites Zl', it, gg', !tlt', eton pourra tracer ainsi très exac-tement les courbes limites abet de,

Angle de glissement. - Il est '"

nécessaire encore pour éviter

les glissements que la courbedes pressions ne coupe pas lesjoints des voussoirs sous unangle trop aigu.

La force P qui s'exerce sui-.vant la tangente à la courbedes pressions, produit en effetune pression normale TI et uneforce de glissement F qui s'exeIte suivant la direction du joint(fig. 72),

Ces deux forces sont dans le rapport

,r/}"

~

JY/ / ' /' "/ / - ,

/ . / ,

,:;//l

'F

/

Fig. 72.

d'où

7! SIn (J)- ,

F - COS (J).F = ~?OS?

sm ?

i9G PONTS ET VIADUCS

et comme nous avons YUque le coefficient de frottement peut être

évalué à 0,76., il en résulte que l'on doit avoir:

cos 9 0 76sin (,? < "1

c'est-à-dire que l'angle Cfdoit avoir plus de 53°.Nous allons maintenant indiquer comment on utilise ce qui pré-

cède pour tracer la courbe des pressions dans une voûte en ber-

ceau symétriqu~ et symétriquement chargée.

TRACÉ DE LA COURBE DES PRESSIONS

Premier procédé (fig. '73). - Pour une voûte construite avecsoin, dans des conditions ordinaires, nous avons vu que le jointde rupture GH se trouve au milieu de la montée de la voÙte; etnous venons de dire comment on peut également déterminer, apriori, les centres de pression CI. et 8 sur le joint CD au sommet etsur le joint de rupture GR, en prenant:

i iexD = 3" CD et GE= 3" GH.

Pour les voûtes exécutées avec une perfection qu'il est très dif-ficile d'atteindre dans la pratique, les centres de pression seraientexactement au milieu des joints.

Dans les voûtes mal faites ou construites avec de mauvais mor-tiers, les centres de pression pourraient se rapprocher beaucoupdes arêtes des voussoirs et sortir même des courbes limites(fig. '71).

Dans sa méthode générale, M. Méry avait laissé la position dujoint de rupture et le lieu de tous les centres de pression entière-ment indéterminés: et par suite, il n'arrivait à une solution accep-table qu'après divers tâtonnements.

On simplifie singulièrement le problème, en fixant par avancela position des centres de pression, au sommet et au joint de rup-ture, d'après les nombreuses observations faites sur les ponts cons-

COURBE DES PRESSIONS. MÉTHODE DE MÉRY i97

truits avant ce jour; et, dans la pratique, il est souvent utiled'abandonner l~s généralités et de préciser les questions.

D.. --o!x,,:,0,

(7 B

(8)

1

10'

F'ig-. 73.

Or, dès que les points a et E sont fixés, le tracé de la courbe des

pressions se réduit aux simples opérations géométriques qui vonlSUIvre:

On mesure la surface de la portion de voûte CDGH limitée aujoint de rupture;

On cherche le centre de gravité t de cetté même surface;Par ce centre de gravité q\ on mène la verticale K8 ;Par le point a, on trace l'horizontale XX;Et par le point d'intersection K, on mène la ligne KE;Le poids de la voûte qui est proportionnel à la surface CDGH


et qui peut être considéré comme appliqué en r/, se décompose endeux forces:

L'une agiss~nt en rJ., suivant l'horizonlale XX ou rJ.X;

L'autre agissant en s, 'suivant la ligne oblique Rs;

et si l'on prend RL proportionnel au poids de la portion de vOlîteCDGH et que l'on mène l'horizontale LN jusqu'à sa rencontre

au point N avec la ligne oblique Rs;la ligne LN sera proportionnelle à la pression horizontale Q.

Comme cette pression horizontale ou poussée Q de la voÙte est

une quantité constante, il suffit pour trouver le centre de pression

sur un joint quelconque ab de faire les opérations suivantes:On mesure la surface de la portion de voÙte CDab;

On cherche le centre de gravité gt de cette même surface;On mène par ce centre de gravité, la verticale plgl jusqu'à sa

rencontre en h avec l'horizontale rJ.X;

On prend !ln proportionnel à la surface CDab;

On mène l'horizontale nm égale à la ligne LN qui représente la

poussée Q;

On joint l~s points h et ?Il;

l'intersection du joint ab par celle ligne hm donne le centre depression ~ sur ce joint.

On cherche ensuite le centre de pression sur le joint cd, pourcela:

On mesure la surface de la portion de voûte CDcd;On cherche le centre de gravité g2 de celte même surface;On mène par ce centre de 'gravité la yerticale p2g2 jusqu'à sa

rencontre en i avec l'horizontale rJ.X;On prend iJ proportionnel à la surface CDcd;On mène l'horizontale Jo égale à la ligne LN qui représente la

poussée Q ;On joint les points i, 0 par la droite io que l'on prolo'nge jus-

qu'au joint cd; l'intersection du joint cd par cette ligne io donnele centre de pression en r sur ce joint.

On trouverait de la même manière le centre de pression () surle joint et au moyen du centre de gravité r/ de la portion de voùteCDe! et on °l)érerait de la même manière pour chacun des joints.

Le polygone obtenu en reliant entre eux par un trait continu

COURBE DES PRESSIONS. MÉTHODE DE MERY 10D

tous les centres de pressions (1.,~, ")',8, etc... est ce que l'on nommele polygone des centres de pressions. On conçoit que si l'on iTIul-tipliait à l'infini les centres de pressions, on obtiendrait une lignepolygonale à sommets tellement rapprochés qu'elle se confondrait

avec la courbe elle-même des pressions. Mais cette opération seraitplus longue qu'utile, en raison des indéterminations qui subsistentforcément dans une question aussi complexe que celle du tracé de

la courbe des pressions.

Vàification pal' le calcul de la poussée Q. - La poussée hori-zontale Q peut être vérifiée directement par.la formule de N avier,après avoir été déterminée par les moyens géométriques que nous

venons d'employer; la valeur graphique de cette poussée est deom,01 et comme, à l'échelle adoptée dans la figure, 0111,01repré-

sente un poids de 1° 000 kilogrammes, on en conclut que lapoussée Q est égale à 10000 kilogrammes.

10 La formule de Navier donne:

Q == pF

et en remplaçant les lettres par leurs valeurs:

p == 5m,00; F == 0,80 x:; 500k == 2 OOOk; Q == 5 x 2 OOOk== 10 OOOk.

2° Cette valeur est encore égale à celle qui est donnée par la for-mule que nous avons établie précédemment (page 187):

Q==XxouQ==Pxp P

où P, le poids de la demi-voûte considéTéelibre et sans surcharge,

est de 35500 kilogrammes (fig. 73) ;x, la distance de la verticale passant par le centre de gravité g6

de la 1/2 voûte au point T pris sur le joint AB == 1m,56, distanceprise à l'échelle; .

et p la distance de ce point T à l'horizontale XX est égale à

5m,OO + om,53 = 5m,53

d'où, en remplaçant les lettres par leurs valeurs, on lire:

35500 xi ,56Q = ==10 OOOk en nombre rond5,5;{ , .

20) PONTS ET VIADUCS

La valeur de x peut se déterminernumériquement comme nous]e verrons plus loin, dans l'exposé relatif à la rectification, par le

calcul des err(mrs inhérentes aux procédés graphiques.

11

1 ô10 1

1,û),,' .

~ 111 .

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-p4'

.1

1

1

1 ..1

1 .1

Q.

~P5 ~

p6

Fig. 7,l.

2(1Procédé (fig. 74). - Après avoir décomposé lademi-voÙleCDAB en voussoirs fictifs portant les nOS 1 à 6 et cherché lavaleur de la poussée Q, soit par le procédé graphique, soit par lesformules connues:

On mesure la surface de la portion de voûte ou voussoir CDab ~.

On cherche le centre de gravité g1 de ce voussoir;


On mène par ce centre de gravité, la verticale pi gi jusqu'à sarencontre en h avec l'horizontale et.X;

On prend kr,,'proportionnel à la surface CDab J'

On mène l'horizontale nm proportionnelle à la poussée Q ;On joint les points h et ln J'

l'intersection du joint ab par cette ligne hm donne le centre de

pression ~ sur ce joint.On cherche ensuite le cen.tre de pression sur le joint cd, pour cela:On prolonge indéfiniment la ligne Jan diagonale du premier

parallélogramme des forces pi et Q ;

A partir du point i où cette résultante Inn coupe la verticale p2g'r.

passant par le centre de gravité g2 du voussoir n° 2, on prend une

longueur iq égale à hm et sur cette verticale p2 g2 on prend une

longueur i r proportionnelle au poids du voussoir n° 2 ;On achève le parallélogramme des forces et la diagonale is est

la résultante des pressions agissant sur le joint cd;.

le point y où la diagonale is coupe le joint cd est le centre depression sur ce joint.

On trouverait de la même manière le centre de pression 0 surle joint ef, au moyen du centre de gravité g3du voussoir n° 3 etde la résultante précédente is et on opérerait de même pour chacundes joints.

Courbe des pressions dans les culées. - En décomposant demême en éléments partiels le profil ABEF du piédroit, on pour-rait composer successivement la réaction de la 1/2 voûte en e avecles forces qui ag-issent sur le premier élément n° 7, la résultanteavec les forces qui agissent sur le second n° 8, et ainsi de suite,si le piédroit contenait plus de deux éléments et prolonger lacourbe des pressions jusqu'à la base du piédroit.

RÉSUMÉ DES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE D'UNE VOUTE

Pl'emièJ'e condition. - La courbe des pressions doit être con-tenue dans l'épaisseur de la voûte et du piédroit: autrement, larésultante des actions d'une portion de la voûte sur la portion con-

tiguë s'exercerait en dehors de la surface du joint: pour que celafût possible, il faudrait que les réactions mutuelles des diverses

202 PO~TS ET VIADUCS

parties du plan de joint fussent les unes des compressions, lesautres des tensions; or, un massif de maçonnerie ne peut subird'effort d'exte~sion sans se disjoindre. Les efforts locaux sont ùoncnuls ou positifs; ils ne peuvent être négatifs, et leur résultantetraverse la région comprimée.

Deuxième coridition. - Il faut et il suffit, pour qu'il n'y ait pasde glissement suivant un plan de joint quelconque, que l'effortfasse avec la normale à ce joint un angle moindre que l'angle defroUement des matériaux el~ployés. Cette seconde condition est,en général, satisfaite quand on mène les joints normalement à lacourbe d'intrados.

Troisième condition. - Il faut qu'aux points les pluH fatigués, la

charge de la matière par unité de surface soit inférieure à la limitepratique de la résislance des matériaux employés. Pour vérifier sicette condition est satisfaite, il faut répartir l'effort exercé surrassise que l'on considère, effort que les constructions exposées pré-

cédemment (voir Murs de soutènement) ont permis de connaitre.

Utilité de la courbe des pressions. - Le tracé de la courbe despressions indique, en outré, les régions où les joints tendent às'ouvrir, soit vers l'intrados, soit vers l'extrados.

Enfin, cette méthode permet de corriger, par voie de tâtonne-

ments, les formes d'une voûte, de manière à lui donner le plus delégèreté possible sans nuire à sa stabilité. Il suffit pour cela de

réduire les épaisseurs de manière que, dans chaque section, lacharge par unité de surface soit voisine de la limite adoptée pour

la résistance pratique des matériaux.

Evidements des tympans. - Très souvent on évide les tympansau moyen de petites voûtes, soit perpendiculaires aux plans destêtes des ouvrages, soit parallèles à l'axe de la construction;

lorsque les vides ainsi ménagés sont assez grands, on doit enretrancher le cube de celui des maçonneries; et souvent le plus

simple est de faire le poids total de la masse, entre les têtes, etd'en déduire une densité moyenne à appliquer à la zone que l'on

considère. En pareil cas, il e"st prudent aussi de tracer la courbe

des pressions dans une des tètes de l'ouvrage, car généralement


cette zone supporte des poids additionnels de maçonneries résul-.tant de l'agençement des murs de têtes, des plinthes et parapetsqui surmontent l'extrados de la voûte.

Têtes Ùté.r;alement clzar.r;ées.- Enfin, si les deux têtes d'un mêmeouvrage avaient à supporter des charges inégales, comme celaarrive dans les ponts à fortes pentes, sous grands remhlais, au

passage des ravins, il serait indispensable de tracer plusieurscourbes de pressions dans différentes zones du corps de l'ouvrageet dans chacune des têtes pour être bien certain que, lors du

décintrement, tout se. passera bien et qu'il ne se produira aucuneffet désastreux, capable de nuire à la stabilité de la construction.

RÉSULTATS D'EXPÉRIENCES RELATIVES AU POIDS SPÉCIFIQUE ET A LA RÉSISTANCE

A L'ÉCRASEMENT DES MAÇONNERIES LES PLUS USUELLES ET AU COEFFICIENT DEFROTTEMENT DES DIVERS MATÉRIAUX EMPLOYÉS DANS LES CONSTRUCTIONS.

Poids du mètl'e cube de maçonnerie et limite usuelle de la charge.

DESIGNATION DES MAÇONNERIES

SU(PPOSÉES A L'ÉTAT SEC

; BETON

i Pierres dures avec mortier hydraulique.,1 - demi-dures avec mortier hydraulique.r - dures avec mortier de ciment.~

Briques ordin. avec mortier hydraulique 0

- ordin. avec mortier de ciment.- vitrifiées avec mortier de ciment. .i

i!, MAÇONNERIE HYDRAULIQUE

'i Bonnes briques.! Briques ordinaires.

'"Pierre de taille.

. .Moellons durs..Moellons demi-durs.. .

(

.Moellons tendres. . .Appareil en basalte ou porphyre. .

- en marbre, grès dur, granit.- en calcaire dur.- en calcaire oolitique. .- en calcaire tendre.

. .. .

.

.

.,

POIDSdu mètre.

kilogrammes

2 200 à 2 4002 100 à 2 2002 200 à 2 4001 700 à 1 8001 750 à 1 8;)01 800 à 1 900

.

t 700 à 1 7501 600 à 1 6502 400 à 2 7002 100 à 2 3002100 à 22002000 à 2 1002 700 à 2 9002600 à 27002400 à 2 ;)002 300 à 2 4001 700 à i 800

1

LlmTE

de la cba"gepar

centimèlre carré.

kilogrammes

6 à 104 à ;)

10 à 153 à 66 à 10

12 à 15

14 à 155 à 6

30 à 4014 à 208 à 95 à 6

150 à 200;)0 à 602;) à 30

18 à 20f4 à 15


Les limites ci-dessus de charge par centimètre carré représen-

tent le 1/10 de~ charges théoriques.Nous empruntons à l'Introduction à la l'rlécanique industriellfJ

de NI. Poncelet le tableau suivant relatif au frottement:

Cœ(ficienlS de (roltement.

NATURE DES CORPSCOEFFICIENTS DE FROTTEMENT;

OU RAPPORT

Du frottement à la pression

Calcaire tendre bien dressé sur calcaire tendre. . .Calcaire dur bien dressé sur calcaire tendre. . . . .Brique ordinaire bien dressée sur calcaire tendre. .Calcaire dur bien dressé sur calcaire dur. . . . . .Calcaire tendre bien dressé sur calcaire dur. . . . .Brique ordinaire bien dressée sur calcaire dur. . .Calcaire tendre sur calcaire tendre avec mortier frais

en sable fin. . . . . . . . . . . . . . . . . .Grèssur grèsuni à sec. . . . . . . . . . . . . .Grès sur grès uni avec mortier frais. . . . . . . .Calcaire dur poli sur calcaire dur poli. . . . . . .Calcaire bouchardé sur calcaire bouchardé. . . . .Granit bien dressé sur granit bouchardé. . . . . .Granit avec mortier frais sur gl'an,Ïtbouchardé. . .Pierre de libage sur un lit d'argile sèche. . . . . .Pierre de libage sur un lit d'argile humide et ramollie.Pierre de libage sur un lit d'argile humide et recou-

verte de grosses grèves. . . . . . . . . . . . .

JOINT DE RUPTURE

0,740,750,670,700, 750,67

0,740,710,660,580,780,660,490, ;)10,34

0,41)

La courbe des pressions une fois tracée, l'inspection de lacourbe suffit, avons-nous dit, pour faire reconnaître les régions.de la voûte qui sont soumises aux plus grandes charges. Ces ré-gions varient avec les hypothèses faites sur les points de la courbequi ont été pris arbitrairement pour la construire. Si l'on suppose"comme cela a lieu ordinairement, la voûte symétrique et symétri-.quement chargée par l'apport au plan vertical passant par la clef,la poussée à la clef est horizontale et la courbe des pressions joint.par un trait continu le point de passage CI. à la clef au point dR

JOINT DE RUPTURE 205

passage 6 aux naissances (fig. 74); on pourra, sans modifier le

point de départ t/. de la courbe, mais en déplaçant convenablement

le point 6, l'ar'ilener.à toucher l'intrados en un certain point. Cepoint de contact de l'intrados et de la courbe des pressions déter-mine le joint de rupture de la voûte correspondant à la positionattribuée au point d'application t/. de la poussée à la clef.

On voit que la tangente à l'intrados au joint de rupture, la

poussée à la clef et la résultante des forces extérieures qui agissent

sur la portion de voûte comprise entre le joint de rupture et laclef concourent au même point.

Si l'on déplace ensuite le point t/., on obtiendra sur l'intradospour chaque position successive de t/. un point de contact particu-lier; les limites des positions, de ces points détermineront sur l'in-

trados un arc de rupture qui indique la région de la voûte où les

pressions locales ont leur plus grande intensité.

Détermination graphique du joint de rupture. - Les considé-

rations qui précèdent ont été traduites, ainsi qu'il suit, par

MM. Lamé et Clilpeyron dans un théorème qui permet, sans exi-ger aucun calcul, de fixer le joint de rupture avec une exactitudesuffisante dans la pratique:

« Le joint de rupture d'une voÛte est celui pour lequel la tan-gente de l'intrados, en ce point, vien:! couper r horizontale passantpar le sommet de la clef, au même po-int que la verticale passantpar le centre de gravité de la masse tendant à se détache]'. »

Il suffit pour cela de construire la courbe résultant de l'inter-section de la tangente en un point quelconque de la courbe d'in-trados et de la verticale qui passe par le centre de gravité de lasurface correspondante; celte courbe coupera l'horizontale quipasse par l'extrémité supérieure de la clef en un point; si, par cepoint, on mène une tangente à la courbe d'intrados, le point decontact sera le point de rupture et le joint passant par ce point serale joint de rupture.

Celte méthode est générale et s'applique aux voûtes extrados...sées d'une manière quelconque.


Voici comment se déterminera pratiquement le joint de rupture(fig. 75) :

Dans le profil de voûte considéré, on mènera une série de ver-ticales ab a'b' a"b"', , ,

On cherchera les centres de gravité des surfaces abal, a'b'cd,a"b'lcd, et par ces centres de gravité on fera passer les verli-cales m ln' mil., , )

On tracera les tangentes à l'intrados en a, al, ail)"ces tangentescouperont les vertica-

les m, 771/ 171", aux

points S, SI, SI', queC l'on réunira par un

trait continu;d

La courbe ainsi ob-tenue rencontreral'ho.rizontale du sommet Cde la clef en un poin t

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III"

Fig. 75.

Par ce point on mè-

nera la tangente ail'SI!!

à l'intrados;

Le point de rupturesera en dll; le joint derupture passera par ce

point; et le centre degravité de la partie su-

périeure de la voûte

qui tend à se détacherse trouverait sur laverticale S"'m"l"

Il est bien entendu que pour simplifier l'opération, on détermi-nera les centres de gravité par la méthode expérimentale décriteplus haut, en commençant par le grand élément a"bl!cd, duquelon retranchera successivement les éléments a"bl'alb', alb'ab,pour trouver les centres de gravité des autres parties de voûte(t'b'ed, abed.

Celte méthode est très rapide et suffit toujours dans la pratique.

JOINT DE RUPTURE 201

Position pratique du joint de ?'uptzll'e. - Généralement, enpratique, on ne détermine pas, comme nous venons de le faire,

la position du~joint de rupture pour chaque profil de voûte consi-déré; on admet, avec tous les constructeurs, les hypothèses sui-vantes qui conduisent à des résultats suffisamment bons pour la

stabilité des voÙtes :

'10VoÛtes en plein cintre. - Dans les voûtes en plein cintre, àextrados quelconque, le joint de rupture est supposé faire un anglede 60° avec la verticale, ce qui correspond au milieu de la montéeou rayon d'intrados.

2° Voûtes en ellipse ou en anse de panier. - Pour ce genre devoûtes, on place également le joint de rupture sur l'horizontalepassant par le milieu de la mo~tée.

Lorsqu'une voûte elliptique ou en anse de l)anier n'est pas com-plète, on l'achève sur le dessin et l'on prend, pour déterminer lejoint de rupture, la moitié de la montée ou petit axe d'intrados, sice point est situé au-dessus des naissances, et ces naissances, s'ilest situé au-dessous.

Ainsi, par exemple, si la voûte est ACB (fig. 76), le joint derupture est GH dont le point G correspond au milieu 1 de la mon-tée oe; son symétrique est GH pour l'autre côté.

c

Fig. 76.

Si la voûte est glCg, ce sera encore GH le joint de rupture; maissi la voûte est G/CG/, le joint de rupture sera G/HI situé au jointdes naissances.

3° VoÛtes en arc de ceJ'cle. - Il résulte du raisonnement quiprécède que, pour une voûte en arc de cercle, dont l'angle au


centre est supérieur à 120°, le joint de rupture est déterminépar la moitié du rayon de l'intrados. Il est situé aux naissances

pour toutes les voûtes dont l'angle au centre est inférieur à 120°.

MÉTHODE DE DUPUIT

La considération du joint de rupture est devenue la hase de lathéorie des voûtes de Dupuit. Cet ingénieur appelle « point-char-nière » le point de l'intrados autour duquel la demi-voilte pivote,lorsque la clef s'abaisse pendant le décintrement. Lepoint-char-

nière se déplace à mesure que le cintre, en descendant, prive la

voùte de ses appuis; le point charnière définitif est le joint derupture des autres. théories. Il importe que le décintrement soit

opéré avec lenteur, pour éviter les effets de l'inertie de la voûte,

qui pourrait dépasser d'abord sa position définitive d'équilibre.8e fondant sur ces circonstances initiales qui ont évidemment

une grande influence sur l'état d'équilibre réalisé, Dupuit admet

que la courbe de~ pressions effectives passe tangenLiellement àl'intrados au joint de rupture, ou aux naissances, s'il s'agit d'une

voûte incomplète, autrement dit d'une voûte en arc de cercle; iladmet au contraire que la pression est répartie sur toute la surface

du joint à la clef, ce qui le conduit à faire partir la courbe du milieu

de ce joint.De la méthode de Dupuit, qui n'a pas encore reçu la sanction

de l'expérience et qui est combattue par beaucoup d'ingénieurs,résulterait un moyen simple et facile de vérifier la stabilité de laplupart des voûtes, sans autre tracé graphique que celui que toutconstructeur peut faire à la main.

80itle profil de voûte CD VR (fig. 77); pour y tracer la courbe

de pression, nous indiquerons à l'intrados la position du joint derupture correspondant à la demi-hauteur du rayon, puis nousmènerons la tangente T68'. Cette tangente sortant de la paroi

extérieure du piédroit au point 8 indique que, si le piédroit se

terminait en 8 ou bien au-dessus de 8, le massif serait en équi-

libre, ou que si, au-dessous de ce point, le piédroit était élargi de

COURBE DES PRESSIONS. METHODE DE DUPUIT

manière à contenir cette tangente, tout le massif serait également

en équilibre.Sans doute, cette, addition dépasserait

mais comme, dans la pratique, il fautconstructions soient sta-

bles, on pourrait peut-êtrese contenter des indica-tions qui précèdent. Sil'on voulait leur donnerplus de précision, il suffi-raitde déterminer la pous-

sée en construisant, aupointo,le parallélogrammedes forces gv oq dans le-

quel gp verticale passant

par le centre de gravitéi

du massif Co représentera :0'

le poids de cette partie devoÙte.

~

On en conclurait quelapoussée est représentéepar gq.

Cherchant ensuite l'abs-

cisse kG du centre degravité du massif CDVR,

dont l'origine le se trouve,

avons-nous dit, à la moi-

tié du joint à la clef, me-

nant GP proportionnel aupoids de ce massif, pre-nant Gq' = gq, on aura,en achevant le parallélo-"

gram me des forces, lepoint U par le prolonge-

111ent de sa diagonale jusqu'à la fondation. On pourra donc com-plètement construire la courbe !coU. Cette courbe, qui donne une

approximation suffisante dans la pratique, démontre que le massifH.

209

ce qu'exige l'équilibre;

nécessairement que les

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\ , ,, ~-fI--~ ~~_._--1 1\ 1

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1

i

1

1

1

Q)

Fig. 77.


n'est pas en équilibre et elle permettra de modifier le profil d'unemanière conv~nable.

On remarquera toutefois que, dans l'exemple ci-dessus, on n'aeu besoin de déterminer un point de la courbe des pressions qu'enraison de la grande hauteur des piédroits; dans la plupart des cas,la connaissance de la position du joint de rupture permet de tra-cer la courbe des pressions à main levée.

Quoi qu'il en soit, le tracé sommaire que nous venons d'indi-quer résout le problème d'une manière suffisamment exacte pourla pratique, en admetlant la théorie de Dupuit : d'abord parcequ'un tracé plus étudié n'a pas beaucoup plus de chance d'êtreplus exact, et ensuite, parce que.le problème à résoudre présenteune grande latitude d'indétermination. S'il s'agissait de déterminerune voûte qui n'eût que strictement les dimensions nécessairespour l'équilibre, il resterait, en effet, bien des craintes dans l'espritau sujet de la solution admise; mais c'est là un problème toutthéorique; dans la pratique, il fauf que les constructions présen-tent un grand excès de solidilé pour résister aux charges acciden-telles, aux cho~s, aux dégradations, etc...

Or, il est évident que cet excès, qui est une mesure de prudence,ne peut être soumis au calcul; c'est une affaire d'expérience etd'usage; d'où il suit que la recherche de conditions d'équilibre plusexactes ne peut pas modifier les dimensions basées sur un calculapproximatif. D'ailleurs, quoique la solidité des constructions ensoit la condition la plus essentielle, elle n'est cependant pas laseule; il entre dans la question d'autres convenances; enfin leslimites d'indétermination, en ce qui concerne la courbe des pres-sions) sont assez étendues pour qu'il soit permis de se servir deméthodes approximatives.

En effet, pour que la courbe fût rigoureusement déterminée, ilne suffirait pas d'en connaître deux points, comme on le dit ordi-nairement; il faudrait encore connaître la manière dont la surchargedes reins pèse sur la voûte, c'est-à-dire le poids de la voûte cor-respondant à chaque joint, car l'hypothèse qui consiste à consi-dérer cette surcharge comme produite par des prismes verticauxne peut être considérée que comme une approximation. En négli-geant la légère variation que pourrait amener, dans le tracé de la

. COURBE DES PRESSIONS. MÉTHODE DE DUPUIT 211

courbe, la connaissance exacte de la répartition de la charge, l'in-certitude de I}otre théorie, dit Dupuit, ne repose plus que sur laposition exacte d'un point qui se trouve entre le milieu et le som-met à la clef, dans les voûtes ordinaires.

Car ~i la voÙte est incomplète, la naissance est un point de lacourbe de pression, et si la flèche de la voûte est plus grande quela moitié de l'axe vertical, la courbe de pression est tangente àl'intrados, condition qui équivaut à la détermination d'un point.

PRINCIPALE OI3JECTION A FAIRE CONTRE LA THÉORIE DE DUPUIT

L'hypothèse d'une pression totale ou d'une courbe de pressiontangente à l'intrados au joint de rupture suppose une voùte com-posée de matériaux infiniment résistants; or cette nature de maté-riaux n'existe pas et il faut limiter le champ d'excursion de lacourbe des pressions, de telle sorte qu'elle ne s'approche jamais del'intrados ni de l'extrados, au point d'amener la pression élémen-taire à des val~urs capables de produire l'écrasement.

En général, dit Méry, toute position de la courbe qui exposeraitles extrémités de quelques-voussoirs à des pressions trop fortes nepeut exister d'une manière permanente; car les parties trop com-primées céderaient bientôt et la courbe changerait de forme aus-sitôt. Elle ne peut donc jamais atteindre l'extrémité des voussoirset elle s'en éloignera d'autant plus que les matériaux seront plustendres.

C'est pour cette raison que Méry pose le principe suivant: Lalongueur de joint interceptée pm' la courbe des pressions, soit à par-til' de l'intl'ados, soit à partil' de l'extrados, doit être telle que lasurface correspondant à cette longueul' puisse résister aux 2/3 dela pression totale ex'ercée sur le joint considéré. Lorsque cette Sll}'-face est trop faible pour qu'il en soit ainsi, il convient de modifiersoit le profil de la voÛte, soit la surcharge.

La propriété du point-charnière de Dupuit ne peut donc êtreconsidérée que comme une propriété limite, sans réalité objective;la courbe des pressions tend à se rapprocher de l'intrados au jointde rupture et la distance à laquelle elle reste en cette région par


rapport à l'intrados est inconnue; la solution de Dupuit est donc,comme toutes ..les autres, entachée d'arbitraire.

REMARQUE.- Quand l'intrados est une courbe continue, si l'onfait varier l'intensité de la poussée à la clef, sans modifier sonpoint d'application; la courbe des pressions est tangente à l'intradosau joint de rupture, lorsque la poussée à la clef est minima, car sion la réduit un tant soit peu, l'équilibre est détruit et la courbe despressions sort de l'épaisseur de la voûte.

De même si l'extrados est une courbe continue, à la plus grandeintensité de la poussée correspond une courbe des .pressions tan-gente à l'extrados.

PRINCIPALES HYPOTHÈSES ADMISES DANS LA PRATIQUE SUR LES POINTS D'APPLICA-

TION DE LA POUSSÉE A LA CLEF ET DE LA RÉACTION DANS LE PLAN DES NAIS-

SANCES.

On admet en général que la poussée à la clef et la réaction dansle plan des naissances sont appliquées en des points "pris dans letiers central de l'épaisseur de la voÙte aux naissances et à la clef,ce qui revient à supposer que les surfaces de ces joints sont par-tout comprimées.

Les principales hypothèses que l'on peut faire sans modifiercette première supposition sont au nombre de quatre et donnent

quatre courbes de pressions à construire

~:~ (fig. 78).La première passe par le tiers supé-

rieur du joint à la clef et le tiers supérieurdu joint des naissances (courbe 1-1);

La seconde, par le tiers supérieur dujoint à la clef et le tiers inférieur du joint

Fig. 78.des naissances (courbe 2-2);

La troisième, par le tiers inférieur du joint à la clef et le tierssupérieur du joint des naissances (courbe 3-3);

La quatrième, par -le tiers inférieur du joint à la clef et le tiersinférieur du joint des naissances (courbe 4-4) ;

Et à chacune de ces hypothèses', qui paraissent également admis-

«:>':i'\ .~ co

COURBES DIVERSES DE PRESSIONS 213

sibles, correspond une distribution d'efforts qu'on peut déterminer

complètemen~.Les constructeurs se bornent parfois à examiner un seul cas:

ils prennent pour point de passage, dans le joint à la clef, le 1/3supérieur de l'épaisseur de la voûte et pour point de passage ùans

le joint des naissances, le milieu de ce joint; le plan des naissancessÙbit alors en tous ses points une compression égale.

RElUAHQUE.- Il existe encore une autre méthode qui consiste àprendre le point d'application de la poussée au 1/3 supérieur dujoint à la clef, à calculer cette poussée directement par la formulede Navier :

Q = pF

et à combiner la valeur de celte poussée avec les poids des vous-soirs fictifs qui composent la voûte, ainsi que nous l'avons déjàvu. Par cette méthode, le passage de la courbe des pressions n'estpas forcé en tel ou tel point du plan des naissances et l'allure decette courbe

rest complètement libre. Nous emploierons cette

méthode dans les applications qui vont suivre pour faire voir queles résultats qu'elle fournit ne sont pas plus arbitraires que ceuxobtenus au moyen des autres procédés.

COMPARAISON DES VOUTES ENTRE ELLES AU POINT DE VUE DE LA STABI-

LITÉ.- D'après M. Laterrade, ingénieur en chef des ponts etchaus-sées, lorsqu'on emploie la méthode de Méry et qu'on veut comparerentre elles, au point de vue de la stabilité, des voûtes différentes,il faut faire choix d'une seule et unique courbe des pressions etcette courbe doit être celle qui conduit aux pressions minima.

Dans les voûtes en plein cintre ou peu surbaissées, cette courbeest celle qui passe, à la fois, par les milieux des joints à la clef et

de rupture. .

Dans les voûtes très surbaissées, cette courbe se rapproche

beaucoup plus de l'extrados à la clef et à l'intrados au joint derupture; on l'obtient par tâtonnement.

Mais, pour tenir compte des efforts exceptionnels auxquels sont

soumises les maçonneries des voûtes, il sera prudent de doublerles pressions moyennes fournies par cette courbe des minima.


APPLICATIONS

VOUTE LIBRE ET SANS SURCrL\.RGE

Tracer la courbe des pressions dans une voûte de !)mètrcs de rayon

et nwntée sllrpiédroits de 2 mètres de llClllteur.

Après avoir tracé par les moyens connus le profil de la 1/2 voÙLe

(fig. 79) et l'avoir décomposé en voussoirs fictifs convergents donton a déterminé expérimentalement les centres de gravité g\ g2,g\

g",g",l ,g7,[/, on calcule la surface et le poids de chaque élément

partiel composant la 1/2 voûte et son piédroit;

Ensuite sur le joint CD de l'épaisseur à la clef, on prend lepoint'/. situé dans le tiers supérieur de ce joint soit à om,27 environen contre-bas du point D et, par ce point, on mène l'horizon-tale tlX qui représente la direction de la poussée à la cIef; celtepoussée est égale à :

Q == pF

et en remplaçant les lettres par leurs valeurs:

Q == 5 x 0,80 x 2 500k = 10000k.

Avant d'aller plus loin, on s'assure que la surface correspon-dant à la longueur de joint tlD est capable de supporter les 2/3

d. .

t 10000k X 26 66 l ' 1e cette pressIOn, SOI 3 = 7 U ogrammes; or, cette

surface contient 27c x 100c = 2 700 centimètres carrés; en divi-sant 6 667k par 2 700 on obtient 2\48 pour quotient. Cette pres-

sion de 2\48 par centimètre carré de joint à la cIef est admissible,puisqu'on a supposé que les matériaux qui composent la voidepeuvent résister à une pression de 10 kilogrammes.

Puis, par les centres de gravité des éléments partiels de la

voÙte, on mène des verticales telles que glnt,g2n2,g3n3, etc., etl'on prolonge la première g1n1 jusqu'à la rencontre Ide l'horizon-

tale tlX. Sur cette horizontale, on prend, à l'échelle convenue,celle de l'épure, par exemple, une longueur proportionnelle à la

poussée de la voille, soit 10 000 kilogrammes pour 1 mètre de-

TRACE DE LA COURBE DES PRESSIONS

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COURBE DES PRESSIONS. APPLICATIONS 215

longueur, ef sur la verticale ,rin1 on mesure une longueur propor-') 8"0tionnelle au poids 2 820k du voussoir, soit 1'"'0O~IO- Offi,28; et ron

construit le parallélogramme des forces. La diagonale de ce paral-lélogramme donne en grandeur et en direction la résultante despressions qui agissent sur le joint ab au centre de pression ~.

On prolonge indéfiniment celte résultante et, à partir du pointoù elle coupe la verticale rln2 passant par le centre de gravité g2du voussoir n° 2, on prend une lo~gueur égale à la résultanteprécédente et sur la verticale g2n} on mesure une longueurproportionnelle au poids 3 BOOk du voussoir n° 2; celte longueur

est égale à 1305~~o = om,3B et l'on achève le parallélogramme des

forces; la diagonale de ee parallélogramme est la résultante desforces agissant sur le joint cd qu'elle coupe au point y, centre depressIOn.

On opère successivement ainsi pour les autres éléments de lavoûte et l'on obtient les autres centres de pression O,S;I) et 6; onréunit ensuite par un trait continu ces différents centres de pres-

sion et l'on a la courbe de pression a,~,y,o,S;'l et 6.

Enfin, comme vérification de l'équilibre on fait les surfaces desjoints ~b;yd, eo,Gs,iofj,A6, les plus rapprochés de l'intrados ou de

l'extrados et l'on calcule la pression par centimètrecarré qui agitsur chacun de. ces joints pour s'assurer que cette pression ne

dépasse pas la résis~tance dont sont capables les matériaux em-

ployés soit 10 kilogrammes, dans le cas qui nous occupe.

V érifions, par exemple, la pression qui est transmise sur la por-tion de joint Gs appartenant au joint de rupture GH ; cette portion

de joint mesure à l'échelle adoptée om,BO; par conséquent, la sur-face correspondante contient BoeX 100e = B000 centimètres carrés.La diagonale su de parallélogramme des forces stuv représentel'intensité du poids agissant sur le joint de rupture, soit à l'échelle

1,9B X 10 OOOk = 19 BOOk dont les 2/3 sont de 1~ OOOk; en divi-sant 13 000 par B 000 nous aurons la pression à laquelle sera sou-

mise par centimètre carré la portion de joint Gs; cette pressionest de 1\63 ; la courbe des pressions ne passe donc pas trop près

de l'intrados au joint GH~

D'après un théorème de statique élémentaire, la valeur numé-


rique exacte de cette diagonale est égale à Vp2 + Q2, en désignant

par P le poids du massif considéré CDGH et par Q la pousséehorizontale de 1a voûte; elle serait donc ici exprimée par la rela-tion :

R = V 1f56952 + JO 0002 = 19 460k

et le relevé graphique donne. . . . . . . .. 195()()k

C'est donc une différence en plus de . . . . . 401<:

absolument négligeable dàns la pratique.On agit de même pour chaque portion de joint afin de s'assurer

que la voÙte étudiée sera dans des conditions convenables de sta-bilité; mais nous répéterons que les trois principaux joints ,ilvérifier sont: le joint il clef, le joint de rupture et le joint desnaIssances.

COURBE DES PRESSIONS DANS LA CULÉE. - En appliquant ce quenous avons dit sur ]e tracé de la courbe des pressions dans un mur

de soutènement soumis à l'action d'une force oblique appliquéesur sa face supérieure, on peut facilement prolonger cette courbejusque sur les fondations. Comme nous le savons, cette force'oblique est égale à la dernière résultante des forces agissant sur

le joint des naissances de la voÙle, au point 6, soit il 3,7;5 X10 OOOk = 37 BOOk.

VOIJTE AVEC SURCHARGE SOUMISE Â LA POUSSÉE DES TERRES

Après avoir tracé le profil de la voûte, on le décompose en vous-soirs fictifs convergents; puis, on 'partage la surcharge en unesérie de prismes verlicaux correspondant à l'extrados de chacun de

ces voussoirs et l'on convertit en maçonnerie la surcharge' en terre

qui surmonte la voûte; par ce moyen on obtient la courbe UT

limitant la surcharge (fig. 80).

Ensuite on calcule la poussée à clef de la voûte par la formule

de Navier, poussée que nous supposerons toujours appliquée autiers supérieur ùu joint CD :

Q = pF

TRACÉ DE LA COURBE DES PRÈSSIONS 1'1.&.

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(1)

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P-H65-'1

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LM ~LM

le poids du ballast): des Ira verses,1

~ct mat él'iel l'aulant.

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ParÎ5,J. BAUDRY', Editeur. Imp. Monroc'l-.Poris

COURBE DES PRESSIONS. APPLICATIONS 217

Où

p:= 5,;'3,00et F:= (°,80 + :l,2o) X .2500k:= 5000\

d'où l'on tire en remplaçant les lettres par leurs valeurs:

Q = 5 X 5 OOOk== 25 OOOk.

On cherche les centres de gravité des massifs fi"ctifs et l'on com-bine successivement les poids de ces massifs avec les résultantesdes forces agissant sur chacun d'eux; on trouve ainsi les centres

de pression Cf.,~,y,ù,S;'l.

A parLir du dernier joint convergent iK, on suppose la voÙteterminée et le massif iKEF représente le piédroit de la voûte,

c'est-à-dire le massif directement soumis à la poussée des terres.Pour trouver la valeur, aussi exacte que possible, des différentes

poussées partielles produites. par les divers prismes de plus grande

poussée sur les massifs partiels composant le piédroit, il estd'usage de considérer chacun de ces prismes comn~e supportant sur

sa base supérieure le poids d'une colonne de terre de hauteur égale

à celle de la surcharge; c'est ainsi que le premier prisme de

poussée, qui a om,70 de base suivant la ligne KY, reçoit un paral-lélipipède rectangle formant surcharge qui a pour volume:

0,70 X 5,50 X :l,90 = 2m,75

et pour poids:2m,75 X :l600k = 6 i60k.

D'un autre côté, le prisme lui-même pèse 730\ ce qui donneun poids total de ;

6 160k + 730k = 6 890k ;

et en multipliant ce poids de 6890k par 0,5352, valeur de la tan-genle de l'angle ; , on obtient la poussée:

ql = 6 890k X 0,5352 == 3 lOOk en nombre rond.

Le même raisonnement conduirait aux valeurs des pousséesq2 eL Q.

.Lorsqu'on a combiné la dernière résultante ZZ', agissant au


pJint 'f) du joint iK, avec les poids 7 950 kilogrammes du massifiKAB, ce qui donne la résultante l' l", on combine cette dernière

force avec la' poussée ql et ron obtient le point e ou centre depression sur le joint AB ; et ainsi de suite pour les autres joints.

La courbe de pression prolongée jusque sur la base du piédroit

de la voûte est donc la courbe o:,~,''{,(),2''fj,e,X), hachurée surl'épure ci-contre.

On vérifie, comme nous l'avons indiqué précédemment, les dif-

férents joints de la voîIte et du piédroit pour s'assurer que l'ouvrage.sera stable.

V érifions, par exemple, le joint ), F.Ce joint mesure 0111,90; la surface qui lui correspond conlient

.donc:

90 X 100 = 9000 centimètres carrés.

D'un autre côté, le joint total EF supporte une pression égaleaux poids de la 1/2 voûte et des surcharges, soit un poids de.88 845k dont les 2/3 sont de 59 230k; par conséquent, le joint ÀF.est soumis à une force de :

59230k6k ' 8

. , ,

9 uoo = ,5 par centlmetre carre.

Cette pression étant inférieure à la limite de résistance pratiquedes matériaux employés qui est de 10 kilogrammes, la courbe,des pressions passe bien sur la basé EF du piédroit. On voit aussi.que le piédroit ne glissera pas sur la base.

,ERRE URS INHÉRENTES AUX PRO CÉD É S GRAP HI Q UES. - REC TIFICA TI 01'\

DE CES ERllEURS PAR LE CALCUL

Quand les piédroits ont une grande hauteur, les points de la.courbe des pressions n'y peuvent, généralement, pas être tracés,avec une grande précision, parce que les angles des parallélo-.grammes des forces deviennent de plus en plus aigus, et lesrésultantes se rapprochent trop de la verticale; dans ce cas, on.détermine par le calcul les divers points de la courbe de pression

COURBE DES PRESSIONS. CALCUL 210

sur les massifs partiels composant les piédroils, comme l'indiquen t

MM. Dupuit et CroizeUe-Desnoyers dans leurs ouvrages sur lesponts en maçonnerie.

~ous analysons ci-après les procédés employés par ces ingé-nieurs, en joignant à notre exposé certaines observations de détails

qui nous ont paru de nature à faciliter l'intelligence de ces pro-

cédés.

Equation générale de la cow'be des pressions. - Si l'on repré-sente (fig. 81) par:V y.

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-. .'"'. . L.Caurtier

Fig. 81.

Q, la poussée horizontale d'une voûte;

p 1, le poids des maçonneries et de leurs surcharges au-dessus,d'un. joint quelconque et;


9 1, le centre de gravité du massif correspondant CefIV;

°, le point de la courbe de pression sur le joint considéré e! ', )

x \ la distance du point 8 à l'axe de la voûte;Les lignes KL et Là seront, avons-nous vu, proportionnelles

à pl et à Q, puisque le point 8 doit être situé sur la direction de larésultante des forces,

En prenant donc pour axe des coordonnées des points de lacourbe de pression, dans une voûte, les lignes (lX et (lY et en dési-gnant par m la distance du centre de gravité gl à l'axe de la voÙLe,on aura la relation suivante:

KL -yi

-pl .

Là - Xl - m - Q'

d'où l'on tire:

yi== p~ (Xi - m) . (i)

Cette dernière expression constitue l'équation générale de lacourbe de pression donnée/par Dupuit dans son traité de l'Equi-

libre des voûtes,

L'équation (1), qui est de forme simple, peut servir à calculer laposition des points de la courbe de pression dans les piédroits;

mais il ne serait pas commode de l'employer pour le corps desvoÙLes, car si l'on voulait remplacer pi et m par leurs valeurs en

fonction de la courhe d'intrados, de celle d'extrados et des sur-charges, et de la direction des joints, on arriverait à des expres-sions compliquées et d'un usage difficile.

Par suite, il est préférable de déterminer les points de la courbe

de pression, dans les voÙLes proprement dites par le procédé gra-

phique de Méry, qui fixe ces points avec une assez grande préci-sion: en effet, les résultantes des forces ayant des directions

sensiblement normales aux joints des voussoirs fictifs, les cons-tructions graphiques ne donnent que des erreurs minimes etparfaitement négligeables dans la pratique.


DÉTERMINATION PAR LE CALCGL DES POINTS DE LA COURBE

DES PRESSIONS DANS LES PIÉDROITS

1° Piédroits à parements verticaux. - Soient (fig. 82) :

p, le poids de la demi-voûte CVTBA, surcharges comprises;p', le poids de la partie du piédroit supérieure au joint EF sur

lequel le point de la courbe de pression est à déterminer;P, la résultante de ces deux poids;Q, la poussée horizontale de la voûte, qui est une constante;d, la distance à l'axe de la voûte du centre de gravité g corres-

pondant à p ;dl, la distance à l'axe de la voûte du centre de gravité gi corres-

pondant à pl :,

D, la distance à l'axe de la voûte du cenlre de gravité G corres-pondant à P ;

x la dislance du point ), de la courbe de pression sur le joint EF,à l'axe de la voûle considérée;

Si, dans l'équation générale (1) de la courbe ,de pression:

yi = ~i (Xi - m)

nou~.remplaçons les lettres par celles qui leur correspondent dansune demi-voûte complète, avec ses surcharges et ses pié-droits (fig. 82), nous aurons:

d, ,ou:

y=~ (X-D)

Qy = P (x -- D) (2)

mars,d + 'd'

P == P + P' et D ==P P.

p+ p',

substiluons, dans l'équation (2) les nouvelles valeurs de P et de D,.nous obtiendrons:

Q = (p + p) x - [(p + p) (p~: ~/d)J

\)I)\)

--<'-' PONTS ET VIADUCS

Simplifions, il restera:

Qy== (p + p) x - (Pd + Pld) (3)

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-:P CMassjf total)

Fig. 82.

On détermine, comme nous l'avons dit plus haut, les valeursde p et de d par les procédés graphiques et l'on doit considérerces valeurs comme des constantes en ce qui concerne le piédroit.

COURDE DES PRESSIONS. CALCUL 22~

Si, maintenant, on désigne par:

a l'épaisseur aux naissances;0 la demi-ouv"'erture de la voûte;TI: le poids du mètre cube de maçonnerie;h la hauteur du point d'application de la poussée au-dessus des nais-

sances ;

on aura:

p' = 7Ca (y - h) ; d' = 0 +~ '

par suite, l'équation (3) deviendra:

Qy = [p + TIa (y - h)] x - pd - 7ta (0 + ~) (y - h)

et enfin la distance du point de passage de la courbe de pressionsur le joint EF sera fixée par la relation suivante:

x =Qy+ pd + (."o+.~) (v ~ h)

j) + TIa (y - h)

(4)

Joint des naissances. - Si l'on fait y = h dans la formule (4),le piédroit devient nul et la valeur de x prend la forme simplifiéeci-dessous:

x = Qh+ d .

p ,

celte valeur représente l'abscisse de la courbe des pressiOns auniveau des naissances.

Digression théorique. - En divisant les deux termes du secondmembre de l'équation (4) par y, on trouve:

x =0+ ~ + ('"o+:f) (1 - -!i-)

~+ 7ta (i - ~)

Posons ensuite y = 00, il viendra:a2

Q + TIaO+ 1C2 Q ax = TIa = 1ra + 0 + -2 -

US)

(6)

22q, PONTS ET VIADUCS

Cette équation représente l'abscisse d'un point de la courbe de

pression dont la position est à une distance ~Q au delà du milieu, ha .

du piédroit, puisque la dislance de ce milieu à l'axe de la voilteest:

a0 +2"

L'équation (6) permet, en

d'épai8seur qui correspondent

des pressions.Ainsi pour le cas d'équilibre strict, c'est-à-dire celui pour lequel

la courbe des pressions passerait exactement par le pied du pare-ment extérieur du piédroit, il suffit de poser:

Q-

a"na - 2 '

outre, de déterminer les limites

à certaines positions de la courbe

d'où l'on tire:

(Equilibre strict) .a - V~U .

- -,'TC

Pour qu'un piédroit offre une résistance au renversement qui

inspire toute sécurité il faut, comme le dit Dejardin, dans sa Rou-

tine de l'établissement des voÛtes, que son moment d'inertiedépasse, dans un cerlain rapport, le moment qui mesure la ten-dance au renversement. Ce rapport est ce que l'on appelle lecoefficient de stabilité.

La valeur numérique d'un coefficient de stabitité est évidem-ment arbitraire puisqu'elle dépend du degr~ de hardiesse du cons-tructeur. Un grand nombre d'ingénieurs ont donné à ce coefficientune valeur de 2 à 1,90, en se fondant principalement sur la me-

sure de stabilité qu'offrent les constructions établies par Vauban.Mais, si l'on fait la même vérification en l'appliquant aux admi-

rables édifices du style sarrasin, ou seulement à un grand nombre

de ponts suspendus, qui ont été construits en France et en Angle-

terre, on trouve fréquemment un coefficient de stabilité bien plusfaible et qui descend à 1,DO.

Cette dernière valeur que nous proposons d'adopter, dans les casordinaires de la pratique, paraîtra d'autant plus rassurante que les

piédroits des voûtes reçoivent sur leur' parement postérieur la


pression des terres, laquelle concourt directement à la stabilité;cependant, il n'en serait pas de même si le prisme de plus grandepoussée venai( à recevoir des surcharges assez grandes pourrejeter brusquement la courbe des pressions vers l'intérieur de lavoûte.

D'après ce qui précède, la valeur de a sel'ait, pour le cas de lastabilité pratique, exprimée par la relation suivante:

(Equilibre pratique) a==~'

Si la courbe des pressions passait au -}de l'épaisseur de la basedu piédroit, du côté des terres, condition fort désirable à remplir,puisque la base commencerait à être comprimée, il faudrait poser:

0-

a - a .7ta - 2 X ;j -""6 '

d, ,ou :

(Equilibre désirable) a ==t /60.V7t

Toute la. discussion que nous venons de développer ne peut être,bien entendu, qu'une abstraction, car une hauteur infinie de pié-droit supposerait une résistance infinie à l'écrasement, et unepareille hypothèse sort du domaine de la pratique.

2° Piédroits à parements extérieurs inclinés. - Dans ce cas, ondécompose le trapèze que forme le piédroit au-dessus du joint EF(fig. 83) en deux parties: l'une rectangulaire, l'autre triangulaire;on a donc à considérer trois poids partiels p, pl, pl! et leur résul-tante P, ainsi que les distances d, dl dl!et D des centres de gravitéde ces poids à l'axe de la voûte.

Alors on a :

P == P + p' + p" et D.=:pd + p'd' + pli

d"

P + p' + p"

En mettant ces valeurs dans l'équation générale (2) de lacourbe de pression:

Oy==P (X-D)

15


On obtient:

( 1 Il) [( l II) (pd + p'd' + Plldll

)]Qy = p;oj-p + p x - p + p + p

\ p + p' + pli

y

ex:

- - - - - - - -).1

1

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(-Vzvoute -.!-]e 1'7traye'Le)'(.1

1>1

1Mas&iftotal)~,

Fig. 83.

_.x_~

a! 011

COURBE DES PRESSIONS. CALCUL

Simplifions, il reste:

Qy#- (p + p' + p") x - (Pd + p'd' + P"d")

227

d'où l'on tire pour la distance à l'axe de la voûte du point x de lacourbe de pression sur le joint EF :

x ==Qy + pd + p'd' + p"d"

p + p' + p" (7)

On pourrait, comme nous l'avons déjà dit, calculer les valeursde p et d en fonction de y et de la demi-voûte; mais il est plussimple et suffisant dans les applications de remplacer ces élémentspar leurs valeurs graphiques.

OBSERVATION.- La décomposition que nous avons faite du tra-pèze a pour but de faciliter les calculs, car les distances des centresde gravité correspondant aux deux parties du piédroit sont respec-tivement égales à :

d' = 0 +~

et d" == 0 + a + n (y3-

IL);

n étant le fruit par mètre du parement incliné.Si le piédroit se composait de plusieurs trapèzes, la valeur de x

cOJ}serverait toujours la même forme; ainsi, pour deux trapèzessitués au-dessus du joint E/P, on aurait évidemment:

-Qy + pd + p'd' + p"d" + p'"d''' + p,vd'v

X - P + p' .+ pli + p'" + plV(8)

3° Piédroits à parements extéj'ieurs avec retraites. - Ce cas seramène au précédent, en supposant qu'une ligne inclinée passepar le milieu ou par le sommet de chaque retraite, selon que l'unede ces deux dispositions répond mieux que l'autre aux conditionsde la stabilité pratique de l'ouvrage considéré (fig. 83).



10 PIÉDROITS A PARE~1ENTS VERTICAUX

Soit la demi-voûte avec sa surcharge représenté.e par la figure 84.

Vi". ~ ~.{

""'::;" ~"-':':;Ç: %0 :0

x .-. -. -.2-25.POO~ ~.-:"-'> ~'I1 1

1 1.1 1

J11111 .1

'L '-'>-.X-1

TTaçé graphi.que

de 0(, en 11

11

1

1_.:-.- -- - - -- - - - - - - - - - -- - -11

t1t1t.11t1111111.11

~~1-L ClTurller

Tracé 'par le calclll

de 9 en Iv

1

1

1

~'E',ar$c]

Fig. 81.

Nous avons les données suivanles :

Q = 25 OOOk

P = 75 595kh = 5m,53

p' = 13 250kr. == 2 500kY = 7m,53

d = 4m,60a = 2m,65

COURBE DES PRESSIONS. APPLICATIONS

1° Joint au,T na'issances. - La formule:

229

x ==Qh

+ dPdonne:

-2;) OOOkX 5m,53

+ lm 60 == 6m 43x- 75595k(1, , ,

2° Base du piédroit. - La formule suivante donne pour lavaleur de x'.

x' =Qy+ pd + (7taO + 7t f) (y - h )

P + 7t a (y - h)

Faisons les calculs élémentaires:

Qy == 25000k X 7,53 . . . . . . . . . . . . . . .. 188250pd == 75 595k X 4,60 .. . . . . . . . . . . . . . . 347 77ï

7ta 0 == 2 500k X 2,65 X 5 == 33 125

;

-

a2- 2 500k

2,652- 8 T'9

4! 9047t T- x ~- - /

-y - h == 7m,53 - 5m,53 == 2m

41 904 X 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .' 83 808

TOTAL. . . . . . . . . . 619795

P == . . . . . . . . . . . . . .. 75595 ~ 88845p' == 7ta (y - h) == 2 500k X 2,65 X 2 == 13 250 )

et, 619795,

x == 88845 == 6m,98

Cas oÙ l'on tient compte de la poussée des terres. - Le point oùla résultante générale des pressions, y compris la poussée desterres contre les culées, atteint la base du piédroit, peut toujoursètrefacilement déterminée, soit par des constructions graphiques, soitpar des calculs analogues à ceux que nous avons indiqués plushaut; d'ailleurs, cette vérificaLion, qui permet d'apprécier les con-ditions de stabilité d'un pont, au point de vue de l'écrasement desmatériaux est, très souvent, plus que suffisante pour les besoinsde la pratique.

Dans ce cas, les deux forces horizontales à combiner que nousappellerons:

Q poussée horizontale de la voûte,R do_des terres

P 74 540k P - 88 790k Q - 25 OOOk

p' 13250k '1/ - 13 2t)Ok d 4m,50ppli - 1 OOOk plV - 1 OOOk D 4m,81p 88790k P' = 103040k D' 5m,06


sont directement opposées l'une à l'autre et elles donnent unerésultante Q! ..égale à leur différence et qui pourra, suivant lesvaleurs respectives de ces forces, être dirigée, tanlôt dans un sens,tantôt dans un autre; il faudra donc remplacer Q par Q' dans leséquations précédentes relatives aux piédroits.

Si Q dépasse R, la partie basse de la courbe de pression s'inclinevers le parement extérieur du piédroit de la voûte, tout en con-servant sa courbure dans le même sens qu'au-dessus du joint EF.

Si R surpasse Q, la courbe s'infléchit vers l'axe de la voûte; ilpeut même arriver que R devienne suffisamment grand pour quela courbe de pression sorte de la culée vers l'intérieur de la voûte,ce qui conduirait à une rupture; ou bien que cette force passetrop pr~s de l'arête intérieure du piédroit, ce qui ne satisferaitpas non plus aux conditions d'une bonne stabilité pratique; il fau-dra donc augmenter l'épaisseur du piédroit d'une quantité suffi-sante (à chercher par tâtonnements successifs) pour satisfaire auxbesoins de l'équilibre pratique.

Ho PIÉDROITS A PAREMENTS EXTÉRIEURS INCLINÉS

Proposons-nous maintenant de tracer la courbe des pressionsdans le piédroit d'une voûte présentant une inclinaison du côtédes terres (fig. 8B).

Les données sont les suivantes:

d'dl!

d'"dlv

6m,33

7,786,53

8,18

1°Joint des naissances. - La formule:

x = Qh+ d

P

donne, en remplaçant les lettres par leurs valeurs numériques:

55 OOOkX 5,53 + 4m ,50 = 6ill ,36x =74540

COURBE DES PRESSIONS. APPICA TIONS 23i

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-1'-11/

Tracé

par ,

le calcul de :Q !ID.1.-

F

.!P"

~P'"

Fig. 85.

2° Joint EF. - On a pour la valeur de x' :

x' -Qy + pd + p'd' + p"d",-

p+p'+p"


Faisons les calculs élémentaires:

.Qy = 25000k x 7,53 == 188250 )

pd =74540 x 4,50=335430 ( 615333p'd' = 13250 x 6,33 = 83873 \p"d" = t 000 x 7,78 == 7780}

et615333 ,

x =88790 == 6m,93

. 3° Joint E/P. - La valeur de XIIest donnée par la relation sui-

vante :,

œ" - Qy + pd + p'd' + p"d" + p"'d'" + plvdiV- p + p' + p" + p'" + plV

Lès calculs élémentaires donnent:

Qy = 25000k x 9,b3 ==pd - . . . . . . . . . . .p'd' == . . . . . . . . . . .p"d" == . . . . . . . . . . .p"'d'" == 13250 x 6,33 =plvdiV= 1000 x 8,18 ==

238 250 \335 430 )

83873 (.

7780

j

7600:16 ;

86 5238180

et

"760036

x ==1030iO == 7m,38

Comme on le voit, les calculs sont faciles à faire, puisque lessurfaces et les distances des centres de gravité appartiennent tou-

j ours à des rectangles et à des triangles.

OBSERVATION.- Si le piédroit présentait, du côté des terres, unparement courbe, il suffirait de remplacer les éléments de cetlecourbe par des fragments de lignes droites assez petits pour nepas commettre de grandes erreurs dans l'évaluation des surfaces;puis l'on continuerait les calculs comme il vient d'être dit.

TRACÉ ET CALCUL DES DIMENSIONS DES PILES

l'J'acé. - On appelle piles d'un pont les appuis intermédiairesétablis entre les rives du cours d'eau que l'ouvrage doit traverser.La section des piles proprement dites est un rectangle dont la lon-

TRACÉ ET DIMENSIONS DES PILES 233

gueur est égale à la dimension transversale du pont et dont la lar-geur est calculée d'après le poids que la pile doit supporter. Maison termine les piles du côté d'amont et du côté d'aval par des mas-sifs de maçonnerie faisant saillie et auxquels on donne le nomd'avant-becs et d'alTière-becs. Ces massifs sont destinés à garantirla pile contre le choc des corps flottants; ils doivent s'élever jus-qu'à la hauteur des plus hautes eaux, ce qui explique pourquoi,dans les ponts en plein cintre et en anse de panier ou elliptiques,ils s'élèvent souvent au-dessus des naissances.

La forme des avant-becs et arrière-becs doit être choisie demanière à faciliter l'écoulement des eaux et à éviter les tourbil-

111

- ~_.~ ~ :-.

Fig.86.

lonnements; une forme aiguë paraîtrait donc devoir être préférée;mais les becs seraient alors exposés à être détruits par le choc desglaces; aussi adopte-t-on généralement la forme demi-circulaire

pour les piles des ponts droits (fig. 86).

. Dans les ponts biais, on donne aux becs une forme composéede deux arcs de cercle qui se raccordent entre eux et avec lespiédroits. Soit AA'DD' la section de la pile proprement dite(fig. 87); par le milieu K de AD on mène une parallèle IH auxcôtés AAI et DD' et l'on prend sur cette droite une longueur KIégale AR; puis on mène par le point 1 une droite BC parallèleà A D et terminée, de part et d'autre, aux prolongements de A A'et de D D' ; c'est dans le parallélogramme ABC D que l'ensembledes deux arcs doit être compris.

Pour les tracer, on élèvera en 1 une perpendiculaire lN à ladroite Be et aux points A et D et on élèvera sur les côtés A AI etD D' des perpendiculaires qui rencontreront respectivement 1Naux points 0 et 0'. Le point 0 sera également distant de AAI etde Be; par conséquent, l'arc A 1 décrit de ce point comme centresera tangent à ces deux droites en A et en 1. Le point 0' sera


également distant de B C et de D D'; par conséquent, l'arc 1D décritde ce point, co..mmecentre, sera tangent à ces droites en 1 et en D.

Les deux arcs se raccorderont au point I.

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A' 1Fig. 87.

On donne aux parois d'un pile un léger talus ou fruit qm nedoit pas dépasser 1/20 ou 1/15.

Calcul. - Dans le calcul des dimensions des piles, nous distin-guerons deux cas qui se présentent journellement dans la pratique,sa VOlr :

1° Le cas d'une pile supportant deux voûtes symétriques etsymétriquement chargées;

2° Le cas d'une pile supportant deux voûtes d'ouverture diffé-rentes ou non symétriquement chargées.

Voûtes symétriques et symétriquement chargées. - Chaque pilede pont en pierre reçoit de l'arche qui la précède et de l'arche quila suit deux poussées égales et de sens contraire, dans le casusuel de voùtes symétriques; d'où il résulte que la pile n'éprouve


aucune tendance au renversement, nr au glissement sur sa base;mais elle supporte les poids des deux demi-voûtes adjacentes,indépendamment de son propre poids; et c'est d'après cette consi-dération que son épaisseur doit être calculée. Il faut que, si l'ondivise la somme de ces poids par l'aire de la base de la pile, onobtienne un quotient inférieur au poids par centimètre carré queles matériaux employés peuvent supporter d'une manière perma-nente, sans danger de rupture; ce poids varie de {) à 10 kilo-grammes.

Pour les piles à petites sections qui ont une certaine hauteur, onne doit pas dépasser {) à 6 kilogrammes de charge par centimètrecarré.

Pour les piles peu élevées, on peut néanmoins atteindre lacharge de 8 à 10 kilogrammes par centimètre carré; mais alorson doit prendre les précautions nécessaires pour que les tassementsdes maçonneries intérieures soient les mêmes que celles des pare-ments qui sont ordinairement en moellons d'appareil ou en pierrede taille; il suffit pour cela d'augmenter légèrement l'épaisseurdes joints du parement, et de maçonner serré dans l'intérieur.

Tout d'abord, pour construire l'épure du pont et avoir une based'évaluation des poids à répartir sur le joint supérieur A B de lapile, on calcule la largeur de ce joint ou de la pile par la formuleemplflque :

E=2 c

dans laquelle E est la largeur du joint;et c l'épaisseur à la clef des voûtes reposant sur une pile.

Soient deux. voûtes égales et symétriquement chargées de0 mètres de rayon à faire reposer sur une pile; on demandel'épaisseur de cette pile (fig. 88).

.

L'épaisseur à la clef de ces voûtes est de om,80, calculée par laformule de Dejardin; par conséquent, l'épaisseur de la pile est

égale à :E = 0,80 x 2 = 1m,60 ;

nous adopterons, de sentiment, la largeur de 1m,BOpour le joint A B,afin de montrer que l'emploi de la formule précédente n'est qu'unefaçon d'avoir, au départ, une largeur raisonnablement approchée


de la réalité et de ne pas faire de suppositions inadmissibles aupoint de vue priltique.

Ensuite, on trace les profils des voÙtes et de leurs surcharges,on en calcule les poids par les procédés connus et l'on dresse lestableaux qui se trouvent de chaque côté de la figure 88(planche IX).

Le poids agissant sur le joint des naissances A B se compose,avons-nous dit:

10Du poids des 1/2 voûtes; 2° du poids de la surcharg.e qui pèse

sur ces 1/2 voûtes, ce qui donne, d'après les tableaux précédents:

Poids des :1/2 voûtes = 50 365k Î 73 400k b d. ,en nom re l'on.POIds de la surcharge = 23 040k )

Si nous admettons que la maçonnerie puisse supporter 6 kilo-grammes par centimètre carré, ou 60000 kilogrammes par mètrecarré, la largeur de la pile, puisque la pression est supposée uni-formément répartie, sera égale à :

73 400 A 9 3. J 25

.60000

=lm,2:.. , soit lm, aux naIssances.

D'un. autre côté, si la hauteur de la pile est de 3ffi,50, en dési-gnant par x la largeur à la base, le poids de la pile par mètrecourant sera en le désignant par p :

~:1 ,25 + œ

3 50 2 " oak:p~2

X, X ;)

et le poids total sur la fondation en béton sera de :

P = 73 400k + 1,252+ x x 3,50 X 2 500k;

la charge passant par le milieu de la fondation qui est supposéene pouvoir supporter que 4 kilogrammes par centimètre carré ou

40000 kilogrammes par mètre carré, nous aurons l'équation sui-van te :

:1,2:)+ xœ X 40000k = 73400k + 2 x 3,50 X 2tîOOk

Poids des Terr~

111 840k

12 1000,

13 lHO.

Côt, taI/clIc1~ 2120.

15 284:-0.Hi 3280.

~7'0/:;]1152 Ok

Côté dl'OiL..........~_. 115~O >

-Poids total .. ...~.2.304 Ok

-La. dellsité d.s tel'l'esa ét6

S1lpposée de. . HOOk

-Lesa] de Jwzdo.tioll $zl}lpm'fe

pll1' C()nti111-e~tPCcaJTé llllf;

preS$1011 'de:100800f - 31.<3G

30000

Poids des Jvf,,~omlerieù ,

Coté tauche u

Côté droitn."U'

Poidstota1 a.-ujointà 30,~'."6

7

8

9

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3 500.4375.

5500.

1500.

,rotalIJ76S5~:

n ..,17695.

1

35930-'!'2800.'5025,

3815.

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Poids total a-UjODltAJ1"."'

1

50365 ,

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1.

10 12.315.1

11 2420.1

Poids tO/:al à la. bi?SC_00'

la. deJJ.$ité des IllOçoIIZICries-2500k

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P oiÎl$ tot:,] MS JJ.JJl.f01l1Ierios sm'

le sol de l'and" d011,

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Poids des tCl"'e,, ,...

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Paris J, BAU DRY. Editeur.

TRACÉ ET DIMENSIONS DES PILES

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l'RACÉ ET DIMENSIONS DES PILES


237

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2m 9 0. 1 bx = ~1

')"0 = "",'"', solt ,- a a ase., ;)

Le fruit total sera donc de :

2m,20 - 1m,25= om,95,

soit de :0.95

0 l-"--.,-- = m,ti;)....

pour chaque parement, ce qui correspond au 1/14 environ.Ce système a l'inconvénient de produire parfois des piles peu

gracieuses quand la hauteur est faible; il vaut mieux adopter unfruit moins fort que celui du calcul et raccorder les parements dela pile avec la base par un arc de cercle ou mieux un arc d'ellipse(fig. 89). Certains constructeurs ont donné aux parements uneforme parabolique qui n'est pas sans élégance (fig. 90).

Souvent même, et c'est ce que nous avons fait ici, on augmentela largeur aux naissances et l'on donne un fruit de 1/20 aux pare-ments de la pile; puis on élarg'it la base en formant un socle d'unelargeur convenable pour faire travailler la fondation conformé-ment aux résultats du calcul (fig. 9'1). - Nous rappellerons quetout changement de profils fait varier les poids et, par suite,modifie la position des centres de gravité et toutes les valeurs quientraient dans les calculs relatifs aux profits primitifs des voûtes;il faudra donc, à chaque fois, recommencer toutes les opérationspour satisfaire aux modifications de profils successivement essayéespar voie de tâtonnement.

Si l'on avait à tenir compte des surcharges accidentelles occa-sionnées par le passage ou le stationnement de lourds trains demarchandises sur l'ouvrage, on pourrait les ajouter aux chargespermanentes pour déterminer les dimensions à donner aux piles;mais généralement on les négligera par la raison que le poids desmaçonneries supérieures au joint A B est toujours bien plÙs grandque le poids des surcharges dues à la circulation.

D'après ce qui précède, on voit qu'il ne suffit pas, dans un tracéde pont, de satisfaire aux lois de la stabilité; il faut encore quel'ouvrage présente, dans son ensemble, des proportions architec-turales convenables; et, pour arriver à contenter l'œil, on est


souvent obligé de modifier les dimensions calculées des piles. Mais

jamais on ne devra

se tenirau-dessousdes résultats obte-nus par le calcul.

D'ailleurs, les

cD convenances ar-~ chitecturales ten-

dent presque tou-jours à augmenter

les dimensions cal-

culées;et,dèslors,on es t amené for-cément à pécherpar excès.

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RElVIARQUE.- Si

les voûtes étaientcomposées de ma-tériaux de den-sités différentes,comme cela existedans les ponls enmoellons et pierrede taille, un feraitséparément les

g poids des partiescontenant les di-

verses espèces de

matériaux, puis onréunirait ces poids

pour calculer la

pressIOn par cen-

joint des naissances et à la base de la pile.

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Ptession sU}'du béton J'écemment immerqé. - Le béton ne pou-vant résister pratiquement à une pression de 4 kilogrammes par


centimètre carré qu'après six mois d'immersion, il conviendra

généralement de réduire cette pression pour du béton récemmentimmergé à 3 kilogrammes; partant de là, la largeur de la fonda-

tion en béton deviendra dans l'exemple précédent:

88200k9m 94 't 3 ' b dx =

30 OOOk=..., , SOI metres en nom re l'on,

Pour traduire graphiquement ce résultat sur l'épure, on feradéborder le béton de Offi,40de chaque côté du socle, comme l'in-dique le dessin, et l'on aura satisfait ainsi aux résultats du calcul,en supposant toujours la pression uniformément répartie sur lemassif de fon~ation ; en effet:

la largeur du socle. , . . . , . . . . . = 2m,20~ 3m

la saillie du béton sur le socle = 0,40 X 2 = Om,80) ,00

largeur trouvée ci-dessus.

Pressions S'lU'le sol; largeur des empalements des fondations. -.Jusqu'à présent, nous n'a- U1vons pas tenu compte de ~...la compressibilité du ter- .~rain de fondation; cette "i.! ~

al'"com pressibilité doit être ~. ~~I::::11 ~

pri~e en considération pour ~. ~

la détermination de lasurface inférieure des em-patements en béton etdes fondations en géné-ral.

Supposons que le mas-sif de fondation ait 3m,00de largeur sous la pileet mesure 2ffi,00 de hau-teur (fig. 92), et appelonsx sa largeur à la base;son poids, en admettant pour la densité du béton 2100 kilo-grammes, sera de :

1

~.io.

~IO'

.~!P-tt

Fig. 92.

3+œp =2 X 2 X 2 lOOk.


Le poids total agissant sur le sol sera donc de :

p.. + p = P' = 88 200k + 3~

xX 2 X 2 100k ;

,..

le fond de la fondation, composé de gravier un peu vaseux, nepeut supporter que 2 kilogrammes de pression par centimètrecarré; nous aurons donc l'équation:

x x 20OOOk:= 88 200k+3 + x x 2 x 2 100k2

d, ,ou :

x = ;sm,28, soit 5m,30 en nombre rond.

La surface correspondante contiendra 53000 centimètres carrésque l'on composera selon les besoins du projet.

Dans la pratique, on calcule généralement les pressions résul-tant du poids total de la pile, à cause des fruits qui règnent surtoutes les faces et réduisent les poids à répartir.

TABLEAU DES PRESSIONS MAXIMA QUE PEUVENT SUPPORTER AVEC SÉCURITÉ

LES SUBSTANCES CI-DESSOUS.

DÉSIGNATION POIDSLI MIT E

de la charge per-mànente

'par cent. carré1

DES SUBSTANCES LES PLUS USUELLES par mèlre cube

kilogrammes kilogrammes

Eau. (Un corps plongé dans l'eauyperd 1OOOkgde son poids par mètre cube noyé).. .

Vase. (Un corps plongé dans la vase y perd de1600à 1800kgde son poids parm. cube noyé).

Terre végétale moyenne (après consolidationpar pilonnage de sable inondé à refus) .

Terre avec sable, décombres, graviers (aprèsconsolidation par pilonnage de sable inondéà refus). . . . ... .

Schiste siliceux, calcaire, etc., indélayable.Terre argileuse délayable en bouillie, à l'état

sec (à l'état de bouillie, cette terre ne peutplus rien supporter). . ..

Sable moyen humide ou gravier, indélayableet incompressible. .

1000 »

1 600 à 1 800 »

1 200 à 1 600 2,00

1 600 à 18001 800 à 2 000

2,004,00

1 800 à 2 000 4,00

t 800 6,00


Si la pression n'était pas uniformément répartie, on ferait uncalcul particulier pour chaque partie de la fondation soumise à despressions différentes, selon la charge qu'elle devait supporter.

Les indications qui suivent serviront de base aux calculs deslargeurs des massifs de fondation au fond des fouilles. Ces indi-cations, cependant, ne peuvent être d'une rigueur absolue; il con-vient de les rectifier et de les compléter par des expériencesdirectes faites dans chaque localité. Nous rappellerons que lesrésistances pratiques sont du 1/1oe des résistances théoriques.

Mise en pratique des J'ésultats fouJ'nis Pal' le calcul. - Nousvenons de voir que la largeur du massif en béton étant de 3 mètres

il la surface, atteint Dm,30 au fond de la fouille, pour l'hypothèsed'un sous-sol sur lequel la pression maxima doit être limitée à

2 kilogrammes par centimètre carré, ce qui donne un fruit totalde 2m,30 au massif de fondation, ou de 1m,iD pour chaque pare-ment, soit enfin de om,D75 par mètre de hauteur.

Cette inclinaison ne saurait être obtenue dans un massif libre;

c'est pourquoi, en pareil cas, on emploie des caissons échouables,il parois convenablement inclinées pour obtenir la surface d'em-patement nécessaire à la stabilité de la fondation; ou bien l'on

donne à tout le massif la l~rgeur de la base et l'on coule le béton

dans une enceinte de pieux et de palplanches. (Voir les ouvragesspéciaux sur les fondations des ponts.)

On fera bien, avons-nous dit, de ne pas soumettre du béton

récemment immergé à une pression de plus de 3 kilogrammes parcentimètre carré; cette précaution est dictée par la prudence, car,

sous une pression plus considérable, la surface supérieure dumassif pourrait se désagréger et le courant de l'eau, entrainantles parties détériorées, affouillerait les points d'appui. Cepen-dant. on obvie à cet inconvénient en pavant la surface supé-rieure du béton, tenue à om,20 en contre-bas de l'étiage, tout

autour du socle, en prévision de ce travail; de plus, le pavage est

fait en glacis pour faciliter le glissement des corps flottants et leséloigner ainsi des parements des piles. Quelquefois, on remplace

le pavage par une chape en ciment parfaitement lissée et forte-ment pilonnée; mais cette chape ne vaut jamais le pavage.

16.


Enfin, les foudations en béton doivent aussi être préservées desaffouillements latéraux produits par l'accroissement de la vitessedes eaux sou§ les ponts, notamment autour des enceintes, aumoyen d'enrochements convenablement disposés; ces enroche-ments se composent de moellons bruts jetés à l'eau et mis enplace avec de longues pinces en fer, de manière à affecter, autantque possible, une inclinaison de 3 pour 2.

VoÛtes non symétriques ou non syrnét7'l'quement clw7'gées. -L'examen du cas précédent ne suffit pai, pour connaître la stabi-

lilé d'une pile; il faut encore considérer les cas les plus défavo-

l'ables: 10 où les deux voûtes symétriques ne sont pas symétri-quement chargées; 2° où les deux voûtes ne sont pas symétriques,

c'est-à-dire sont d'ouvertures différentes.

Voûtes symétriques) non symétriquement cha7'gées. - Au pointde vue statique, on peut se rendre compte du cas qui nous occupede la manière suivante:

Soient deux 1/2 voÙtes voisines d'un pont et ab le sommethorizontal de la pile (fig. 93). Lorsqu'il n'y a pas de surcharge, lesdeux poussées horizontales sur les joints fictifs de clef CD et EFs'équilibrent' et la pression transmise à la pile se réduit, avons-nous vu, au poids P de toute la partie supérieure à ab, ledit poidsappliqué au milieu de ab.

Supposons maintenant que l'arche gauche soit surchargée de4000 kilogrammes par mètre courant de voie, tandis que l'archedroite est libre.

La surcharge donnera d'abord un poids vertical p, appliqué aumilieu 1 de DU et facile à calculer et en outre une poussée hori-zontale supplémentaire q qùi ne sera pas équilibrée à droite.

Cette poussée supplémentaire q se calculera rapidement par laformule de Navier :

q = pF

dans laquelle p est le rayon de l'intrados àla clef, c'est-à-dire lerayon du plein cintre d'intrados et F le poids de la surchargeappliquée sur un mètre carré de la voûte à la clef.


Nous avons donc à composer deux forces verticales p et P etune force horizontale q. Les forces verticales p et P ont unerésultante R qui coupe l'horizontale KX au point 0 situé entre lespoints d'application des forces p et P à des distances inversement

111

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Fig, 93.

proportionnelles à l'intensité de ces forces. Cette résultante R, -

combinée avec la force q par le parallélogramme des forces, donneen grandeur et direction la résultante os des forces agissant sur labase ab.

Cette résultante est appliquée au point t et l'on vérifiera si lasurface correspondant à la longueur de la portion de joint tb estcapable de résister aux 2/3 de la pression qui agit sur le join t


total ab, eu égard aux matériaux dont on dispose. En opérantainsi, on suppose que la pression est uniformément répartie sur

ab, ce qui n'esf pas mathématiquement vrai; mais cette hypothèseest admissible en pratique, ainsi que nous l'avons déjà dit, car onest toujours loin d'atteindre la limite de la résistance des maté-riaux dans l'établissement des dimensions d'un ouvrage présentant

un aspect architectural convenable.Connaissant le point t, on sait qu'il appartient à la courbe des

pressions; on pourra déterminer un autre point de cette courbesur une assise arbr en combinant la résultante précédente avec lepoids de cette assise, et ainsi de suite. On obtiendra donc succes-siveme"nt la courbe des pressions d'après ce que nous avons pré-

cédemment dit à ce sujet.

VoÛtes non symétriques. - Le calcul de l'effort agissant sur une

pile, dans le cas où l'une des arches aurait une ouverture plus

grande que l'autre, c'est-à-dire ne serait pas symétrique, est évi-demment le même que le cas d'une arche surchargée et d'unearche non surchargée de même diamètre. Nous bornerons, parconséquent, à cette simple observation ce que nous avons à dire àcet égard.

REMARQUE SUR LES PRESSIONS TRANSMISES AUX PILES DES VIADUCS. -Sur )un pont ordinaire, le poids des maçonneries P est toujours

bien supérieur à. toutes les surcharges dues à la circulation etgénéralement on ne s'inquiète pas de celles-ci.

Mais pour un viaduc, la masse des trains peut devenir compa-rable à la masse des maçonneries et alors il est indispensable devérifier la stabilité des piles en supposant une des voûtes chargéeet l'aulre entièrement libre. On rentre alors dans le cas des voûtessymétriques non symétriquement chargées; la surcharge d'épreuve

est de 4 000 kilogrammes par mètre courant de voie pour les ponts

à tabliers métalliques; on pourra adopter cette surcharge pour lesponts en maçonnerie. Toutefoi~, si la surcharge correspondant au

matériel roulant qui peut stationner sur un ouvrage était supé-

rieure à la surcharge d'épreuve 4000 kilogrammes, on prendrait

pour base des calculs le poids le plus fort.

VOUTES EN OGIVE 245

VOUTES EN OGIVE

On appelle ogive une arcade formée par l'intersection de deuxarcs de cercle qui se rencontrent au sommet d'une verticale élevéeà égale distance de leurs centres respectifs.

Les voûtes en ogive offrent à l'art des constructions des res-

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Fig. \H.

sources variées notamment lorsqu'il faut édifier des viaducs quifranchissent à la fois une longueur et une hauteur considérables.

L'élévation que l'on pourrait atteindre ainsi, par la su perposi-tion de plusieurs rangs d'ogives, dont le nombre irait toujours en

se doublant de bas en haut, n'aurait d'autre limite que celle del'écrasement des matériaux à la base ou de l'insuffisance de résis-

tance du sol de fondation lui-même.

Le mode d'équilibre des voûtes en ogive comporte essentielle-ment une surcharge isolée au sommet; il faut donc se dispenserde l'employer dans le cas d'une charge uniformément ou à peu


près sur une horizontale. Les voûtes en ogive ne peuvent doncservir, par exemple, à former un pont qu'à la condition d'être'surmontées d'un second rang de voûtes en plein-cintre, ou devoûtes en arc de cercle, c'est-à-dire à tangentes horizontales ausommet et dont les piédroits reposent sur les sommets des ogivesou, à la fois, sur ces sommets et sur les piles intermédiaires.

Cette disposition a été employée dans la construction du viaducdu Point-du-Jour, sur la Seine, à Paris, pour le passage du che-min de fer de ceinture, comme l'indique la figure 94, ci-contre.

Tracé des ogives. - Le tracé des courbes ogivales a subi, depuisleur création jusqu'à nos jours, de nombreuses modifications quenous allons examiner.

ve siècle. - Voici le tracé adopté à cette époque:

La droite XY (fig. 95) étant la ligne des naissances, on partagel'ouverture AB de l'ogive en quatre parties égales par les pointsde division C, 0, D.

Par le milieu 0 do AB, on élève une perpendiculaire OF surlaquelle on porte deux parties et demie de la base jusqu'en F. Ontrace les droites AF et BF sur le milieu desquelles on mène lesperpendiculaires HK et NP coupant la hase AB aux points K et P.De ces points comme centres, on décrit les arcs de cercle AHF etFNB ; l'intersection de ces arcs donne l'ogive AFB.

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Fig. 9b.

Il est à remarquer que les points K et P coïncident avec lesmilieux des divisions CO et OD primitivement déterminés pourdécrire les arcs de cercle se coupant en F; il serait facile de ledémontrer.

VOUTES EN OGIVE 247

XIIe siècle. - Vers la fin du XIIesiècle et pendant les premières

années du xn( on fit souvent usage de l'ogive surhaussée, ou dela lancette dont le tracé comportait les irois constructions sui-vantes, savoir:

1er. Tracé (fig. 96).

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Fig. 96.

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Soit CD l'ouverture de l'ogive; on construit sur CD le carréCDEFet l'on détermine le centre 0 de ce carré; par le point 0,on mène la ligne indéfinie XY, parallèle à CD, qui sera la lignedes naissances des deux arcs courbes de l'ogive. Du point 0,comme centre, avec la demi-diagonale OF,. on décrit deux arcs decercle FN et EM qui coupent la droite XY aux points M et N : cesdeux points sont les centres des deux arcs de l'ogive ASB ; l'ogivetotale est donc représentée par le contour CASBD.

2e Trace (fig. 97). - Soit XY la ligne des naissances des arcs de

l'ogive; on prend sur cette ligne l'ouverture AB de l'ogive etl'on en détermine le milieu 0; on porte de chaque côté dupoint 0 une longueur égale à AB, ce qui donne les points Met N. De ces points, on décrit les arcs de cercle BS et AS; onobtient l'ogive ASB.

3e Tracé (fig. 98). - Pour avoir une ogive plus aiguë et d'une


ouverture égale à .AB, on porte sur la ligne des naissances XY etde part et d'aut~e des points A et B, des longueurs égales à AB,ce qui détermine les points M et N.

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Des points M et N, on décrit les arcs AS et BS ; ASBest l'ogive surélevée.

XIIIe szècle. - Pendant la durée du XIIIesiècle, on a fait usagepresque exclusivement de l'ogive équilatérale ou ogive parfaite.

Voici comment on trace cette espèce d'ogive (fig. 99) :

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VOUTES EN OGIVE 249

Sur la ligne des naissances XY, on prend l'ouverture AB del'ogive et de chacun des points A et B avec AB et BA pour rayons,

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Fig. 99.

on décrit les arcs de cercle BS et AS, on obtient ainsi l'arc briséASB qui est l'ogive cherchée.

Nous ferons remarquer que l'on peut inscrire dans l'ogive par-faite un triangle équilatéral ASB.

L'ogive parfaite est encore appelée: triangle équilatéral cUJ'vi-ligrte et elle est parfois abusivement désignée sous le nom d'ogivetiers-point.

"4Ive siècle. - Le XIVesiècle affectionna surtout l'arc en tierspoint.

Voici comment on trace cette variété d'ogive.

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Fig. 100.

On prend l'ouverture AB de l'ogive sur la ligne des naissancesXY, on divise AB en trois parties égales, ce qui d?nne les pointsC et D ; par ces points on décrit avec -les rayons CB et AD les


arcs de cercle BS et AS, le contour curviligne ASB est l'ogivedemandée.

Cette espèée d'ogive a été souvent employée pour former les

avant et arrière-becs des piles des ponts en maçon.nerie ; aujour-d'hui on substitue généralement à l'ogive l'arc de cercle pour tra-

cer les parties saillantes des piles.

L'ogive dite: quinte-point, que l'on conslruisait quelquefois àla même époque se trace comme il est indiqué ci-dessous:

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Fig. 101.

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On partage l'ouverture AB en cinq parties égales, et des pointsde division C et F,.les plus voisins des extrémités de cette ouver-ture, pris cO!llm~ centres, on décrit avec les rayons CB et FA lesarcs de cercle SB et SA; cette construction donne l'ogive ASB.

Les ingénieurs ont également employé pour certains ouvrages) .

d'art l'ogive quinte-point dans le tracé des avant et arrière-becs

des piles.L'ogive sixte-point, qui diffère peu de la précédente, a reçu

quelques applications à différentes époques.

x/xe siècle. - De nos jours, quelques constructeurs ont modifié

le tracé des ogives tiers-point destinées à supporter les voûtes desviaducs, de manière à obtenir un arc brisé d'une moins grandehauteur sous clef.

Voici ce qu'ils ont imaginé :Apr~s avoir fixé l'ouverture AB de l'ogive sur la ligne des

naissances XY, ils en prennent la moitié, au point 1; ils élèvent,

par ce point, la perpendiculaire IS égale à A:'

puis ils tirent les

droites AS et ~S, sur lesquelles ils achèvent le carré ASBS!.Les parallèles ON et O!Maux côtés AS et BS de ce carré menées

VOUTES EN OGIYE 2;)1

par le milieu 1 de l'ogive déterminent, sur les deux côtés AS! etES!, les centres Oet 0/ des arcs AMS et ENS, dont l'intersection,

limite l'ogive cherchée ASE.

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Fig. 102.

Il est à remarquer que les lignes SO et sor passent par lespoints C et D, situés chacun au tiers de l'ouverture AB.

Cette nature d'ogive a été mise en usage, croyons-nous, dansles parties basses du viaduc du Point-du-Jour, vers Auteuil etJavel, aboutissant au pont sur la Seine.

Tracé de l'extrados. - Pour tracer l'extrados des voûtes enogive, on les assimile à des portions d'arcs de cercle ayant pourrayon celui qui a servi- à dét~rminer la courbe ogivale et l'oncalcule l'épaisseur à la clef et celle du joint de rupture par lesmoyens applicables aux voûtes en arc de cercle.

Exemple numérique. - Soit l'ogive parfaite ASB (fig. 103) de

10 mètres d'ouverture.L'épaisseur à la clef

e = O.iW + 0.05R = 0.30 + 0.00= om,80

d'après la formule de Dejardin; c'est aussi l'épaisseur que donneen nombre rond la formule de Croizette-Desnoyers.

On achève l'arc de cercle BSC auquel appartient l'arc SB, et

l'on en)cherche l'ouverture qui sera égale à

2 R x cos 30° = 20 x 0,86602;)= 17m,32en nombre rond,

soit Sffi,66 pour la moitié BN.

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2;)2 PONTS ET VIADUCS

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Fig. 103.

Le surbaissement de cet arc BSC est égal à .

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il est donc compns entre le 1/3 et le 1/4 de l'ouverture; nous

VOUTES EN OGIVE 253

prendrons le 1/4; dans ce cas, le coefficient par lequel nous mul-tiplierons l'épais~eur à la clef pour avoir la longueur du joint de

rupture BE sera de 1m'-~O.

BE = 0,80x 1,80= 1,H; nous prendrons 1m,45.

Par les trois points G,D,E, on fait passer la circonférence d'ex-trados.

Le rayon R! de cette circonférence se calcule comme il suit:dans le triangle rectangle AIG, le côté AG est égal à

10,00 + 1,45 = 11m,45

l'angle en A est connu et égal à 60°.Le côté:

GI = AG x cos 30° = 0,45 x 0,866025= 9m,92

le côté:. 1i 45AI= AGx sm30°= ~ = 5m,725

...

Par suite, la flèche ID de l'arc d'extrados est égale à :

iO,80 - 5,725 = 5m,075

et le rayonR! est donné par la relation connue:

R' -a2 + b2

-~2 + ~2

- 12m'>3- 2 b - .2x 5,075 - ,...

la longueur du joint vertical à la clef SK est fournie par la formulesuivante:

SK = SD = 0,80= om,92;

cos ~ 0,866025

ce procédé est suffisamment exact pour la pratique.

Remarque. - Quand les voûtes ogivales supportent, à leursommet, les piles d'un étage supérieur de voûtes en pleincintre ou en arc de cercle, la courbe d'extrados se raccorde avecla base de ses supports au moyen de iangentes passant par lesextrémités inférieures des maçonneries de ces piles, ainsi quel'indique le tracé pointillé de la figure 103 et la coupe longitudi-nale du viaduc du Point-du-Jour (fig. 94).


VERIFIÇATION DE LA STABILITE DES VOUTES EN OGIVE

Comme nous venons de le voir, les conditions d'équilibre des

voûtes en ogive dérivent de celles relatives aux voûtes à intradoscirculaire, ayant une tangente horizontale au sommet; mais il estnécessaire de faire remarquer que cette circonstance n'existe pas

dans les voÙtes ogivales, lesqueHes présentent un mode particulierd'équilibre que nous allons analyser.

Ici, on ne pourrait pas établir l'équilibre de la portion de la

voûte SDBE, en lui accolant, suivant le joint SD à la clef, une. autre portion de voûte symétriquement égale.

En effet la pression vive Q qui s'exerce en S tangentiellement

à l'intrados de l'arc de cercle peut être décomposée en deux forces,rune:

Q cos ~

qui sera évidemment la poussée horizontale de la voûte ogivaleconsidérée; l'autre:

Q sin ~

qui sera indispensable pour concourir avec la première à mainte-nir l'équilibre, conséquemment la poussée horizontale d'une voÛte

ogivale a pour valeur:

Q' = Q cos ~ = PF x cos ~ ;

la composante verticale P de la même poussée Q est:

P = Q sin ~ = p F x sin ~.

Ainsi, au lieu d'appliquer au point S la force horizontale Q, onpeut bien accoler contre le joint SD, et par l'intermédiaire dutriangle matériel SDD/, une autre portion de voûte SD/AF symé-.triquement égale à SDBE, ce qui donne le joint vertical à laclef SK.

Mais il faudra, en même temps, appliquer au sommet K un poids, P pour chaque demi-voûte ou un poids 2P pour la voûte entière.

Ce poids 2P, avec lequel se confondra celui du petit triangle

VOUTES EN OGIVE <)Vv,..ùu

SDD/, est indispensable pour l'équilibre, d'après ce que nous avons

vu plus haut. D..ejardin a démontré que la charge que doit suppor-ter au-dessus de son sommet une voûte en ogive parfaite, enéquilibre, est représentée par le poids d'un prisme de maçonneriequi aurait pour hauteur le rayon d'intrados et pour base l'épaisseurà la clef.

Nous dÎ1~onsen passant, que le voussoir à la clef SDDI n'affectepas la forme triangulaire qu{ nous lui avons donnée dans nosexplications théoriques, mais il prend celle d'un double trapèzeévidé dans le plan de la douelle, suivant le pointillé de la figure 103.On évite ainsi l'intersection de trois angles solides au même point,ce qui serait disgracieux et contraire aux conditions de la résistancepratique des matériaux.

Tracé de la courbe des pressions. - Par analogie avec le tracé dela courbe des pressions dans les voÙtes à intrados circulaire, on

appliquera donc la poussée horizontale réduite:

Q' = PF x cos ~

suivant le joint SK de l'arc og"ival et l'on continuera les cons-tructions comme à l'ordinaire; ce procédé nous paraît suffire pourla pratique.

Généralement, on fera bien de choisir pour le point d'applicationde la poussée QI le 1/3 inférieur du joint à la clef SR, parce quele poids des massifs supérieurs tend à faire descendre la courbe despressions dans le voisinage de l'intrados à la clef.

Si l'on se reporte au viadu'c du Point-du-Jour (fig. 94), on voitque l'ogive centrale supporte à son sommet, le poids de la pile, desdeux demi-voûtes adjacentes et celui des remblais et de la voiesurmontant l'ouvrage dans la partie considérée.

Quant à la pile sur laquelle retombent les voûtes en ogive, ellereçoit les poids suivants:

1° Des deux demi-voÙtes ogivales et de leurs surcharges;2° De la pile supérieure intermédiaire;3° Des deux demi-voûtes en plein cintre qui reposent sur le som-

met de cette dernière;


4° Enfin des remblais et de la voie correspondant à ces sur-charges.

Il sera donénécessaire de faire entrer en ligne de compte tous

ces poids pour tracer la courbe de pression dans les différentsmassifs à vérifier.

Observation. - Dans les monuments religieux les voÙtes en

ogive servent ordinairement de remplissage et, par cette raison,

on les extradosse parallèlement; puis, dans le but d'en assurer lastabilité, on les charge à la clef, soit par un cours de voussoirs

d'une queue suffisante pour les besoins et débordant au-dessus del'extrados, soit au moyen d'un massif vu de l'intérieur et refouillé

alors dans le style du monument; ce genre de clef prend le nom dependentif et appartient au style flamboyant.

Tracé de la courbe des pressions d'après la théorie de Dupuit. -Reprenons la demi-voûte en ogive tiers-point SKBE (fig. 104),nous avons vu que, dans cette espèce de voûtes, le point d'applica-tion CI.de la poussée se rapprochait de l'intrados; nous prendronsdonc ce point CI.au tiers inférieur du joint vertical à la clef SK.

Cela fait, nous divisons, par tâtonnements successifs la demi-voftte considérée en un certain nombre de voussoirs fictifs d' (qalvolume, dont nous cherchons pratiquement les centres de gravité;nous projetons ces centres sur l'horizontale XY, passant par lepoint CI.,puis nous déterminons et numérotons, sur cette horizon-tale, les points de rencontre des projections des centres de gravitécumulés des voussoirs fictifs. Les distances de ces points entre euxsont inversement proportionnelles au nombre de voussoirs fictifs,puisque, par construction, tous ces voussoirs ont un volume égal.Nous numérotons aussi les joints de ces voussoirs et nous faisonsglisser une règle tangentiellement à l'intrados, jusqu'à ce qu'ellepasse par le joint de l'intrados, ou dans le voisinage du joint, quiporte le même numéro que l'une des projections des centres de gra-vité cumulés.

Dans notre exemple, ce point est en 0 voisin du joint 6-6, et latangente prolongée coupe le joint BE au point 7); par les trois

,

points CI., (3et 7), on fait passer une courbe qui est celle des pres-

SiOns.

VOUTES EN OGIVE 257

La figure 104 montre bien qu'il ya peu de tendance au renver-sement extérieur; on pourra, si l'on veut, construire la courbe

des pressions p.assant par le milieu du joint àla clef, pour s'assurer

Fig. 104.

que la voûte ogivale satisfait bien aux conditions usuelles de stabi-lité nécessaires à sa conservation; un vice de construction peut,en effet, modifier le point d'application de la poussée horizontaleet, par suite, compromettre la construction; mais il est rare quece point se trouve au-dessus de la moitié du joint à la clef.

VOUTES BIAISES

Jusqu'à présent, nous n'avons considéré que les berceaux droits,c'est-à-dire ceux dans lesquels les voûLessont terminées par desplans de têtes perpendiculaires aux arêLes du cylindre. C'est le caHle plus général et, avant l'établissement des chemins de fer, la

17


construction d'une voûte biaise était un fait tellement exceptionnelque la théorie s'en était peu occupé~. n n'en est plus ainsi aujour-d'hui; la cons,..truction des chemins de fer a nécessité celle d'ungrand nombre de ponts traversant soit des cours d'eau, soit desvoies publiques, sous un angle plus ou moins aigu. On n'a pastoujours pu résoudre la difficulté par un pont droit ou par la déri-vation des cours d'eau ou par la déviation des voies franchies etl'on est arrivé à construire un grand nombre de ponts biais.

Comparai')on d'une voÛte biaise et d'une voÛte droite ayant destêtes identiques.-Décompo-sons les deux voûtes aux-quelles nous supposons une

---------------- même longueur parune série

de plans parallèles aux plans

des têtes et infiniment rap-prochés (fig.105 et 106). Laportion de voûte biaise com-

=~~~~ ~~~ prise entre deux plans infi-niment voisins peut être con-

fondue avec la portion élé-mentaire qui lui corresponddans la voûte droite. Le biaisperd, en effet, toute influence

sur une voûte infinim ent mince, car l'altération qu'il faut faire subirà une voûte droite infiniment mince pour la rendre biaise est unealtération infiniment petite d'un ordre supérieur au premier. Onest ainsi conduit à regarder une voûte biaise comme le résultat de

la liaison d'un nombre infini de voûtes droites infiniment minces,échelonnées les unes à côté des autres.

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Fig.l05. Fig.106.

Extension aux voûtes biaises des principes appliqués aux voÛtesdroites. - De là il résulte que l'épaisseur à la clef d'une voûtebiaise et les autres dimensions de la voÙte et de ses piédroits sedétermineront comme s'il s'agissait de la voûte droite ayant pourprofil transversal l'élévation de la tête de la voûte biaise; car les

, dimensions de la voûte droite, assurant l'équilibre et la résistancede chaque élément de voûte, assurent .également l'équilibre de la

VOUTES BIAISES 259

voûte biaise, où les mêmes éléments se retrouvent différemnientjuxtaposés.

Différents appareils des voûtes biaises. - Dans l'établissementde ces sortes de voùtes, il s'agit de prévenir la poussée au vide, cequ'on ne peut faire qu'au prix de quelques difficultés d'appareil etd'exécution. Parmi les appareils employés par les constructeurs,les plus usités sont: 10 l'appareil orthogonal parallèle; 2° l'appa-reil orthogonal convergent; 3° l'appareil hélicoïdal ou appareilanglais.

10 Appareil orthogonal parallèle. - Si l'on divise une voûte

biaise en zones par des plans parallèles aux plans de tètes, ondéterminera sur la douelle une série de courbes identiques à l'arcde tête; imaginons que l'on trace sur la douelle une série decourbes appelées trajectoires, normales aux premières; ces deuxsystèmes de courbes constituent l'appareil orthogonal dans lequelles trajectoires sont les lignes de joints longitudinaux, et lescourbes parallèles aux arcs de têtes, les lignes des joints transver-saux. Les joints lransversaux seront des plans parallèles aux plansùe têtes, tandis que les joints longitudinaux ou joints continusseront des surfaces gauches. Dans l'appareil orthogonal, l'épaisseurdes voussoirs varie d'une assise à l'autre et même dans toute l'éten-due de chaque assise, c'est pourquoi il exige l'emploi de moellonsd'appareil et d'un panneau spécial pour chaque pierre.

2° Appw'eil orthogonal conveJ'gent. - Lorsque les plans de têtesne sont pas parallèles entre eux, les joints transversaux sont déter-minés par des plans verticaux convergents contenant l'intersec-tion des plans de tête. Les trajectoires sont encore normales auxintersections de l'intrados par ces plans convergents. Cet appareil,que l'on emploie surtout pour les exlrémités des voûtes de grandelongueur, à noyau central droit, prend le nom d'appareil ortho-gonal convergent.

3° Appareil hélicoïdal ou appareil anglais. - Pour rendre pluséconomiques les conslructions, on remplace souvent les trajec-toires orthogonales par des hélices équidistantes quicpermettent d~donner la même largeur à tous les voussoirs. .

~60 PONTS ET VIADUCS

La substitution des hélices aux trajectoires donne l'appareil.hélicoïdal qui est le plus simple de tous et qui permet l'emploi dematériaux de petites dimensions, tels que les briques ou moellons.Il a reçu un très grand nombre d'applications dans la constructionùes ponts biais pour chemins de fer; les têtes et les assises desnaissances sont en pierre de taille et le reste de la voÙte en petilsmatériaux.

Mais nous ferons observer que l'appareil hélic.oïdal convientprincipalement aux voûtes surbaissées et ne peut s'appliquer auxpleins-cintres qu'autant que le biais n'est pas trop prononcé; autre-

. ment il donne ùe mauvais résultats. Cependant, on peut en repor-tant, comme l'a fait 1\'1.Léveillé, les coussinels à la hauteur dèsjoints de rupture, employer cet appareil pour tous les biais aùop-tés en pratique; dans ce cas, et notamment pour les ponts à culéesperdues, la partie inférieure de l'ouvrage cachée dans les terrespeut s'appareiller comme un pont droit, et, à partir du joint derupture, la partie supérieure est traitée suivant l'appareil hélicoï-dal : on rentre alors dans le cas d'une voûte en arc de cercle.

Nous renvoyons le lecteur aux ouvrages spéciaux sur la matièrepour la construction des épures des voÙtes biaises.

V01ltesbiaises appareillées droit. - Dans une note sur les voÙlesbiaises publiée en 1866, M. Léveillé dit avoir appareillé droit desarches de 4 à 10 mètres d'ouverture et d'un biais atLeignant 72° ;il indique que Gauthey ne s'occupe du biais que quand l'anglealteint 67° et même 63°.

Le pont de Trilport de 25 mètres d'ouverture et d'un biais de72° est appareillé droit; il en était de même des arches de l'ancienpont au Change de Paris; enfin 1\1.Baumgarten, sur le cheminde fer de Saint-Quentin, s'est contenté d'incliner assez les jointspour que leur angle avec les têtes ne dépassât pas une certainelimite.

Malgré ces exemples, les ingénieurs ne se contentent pas aujour-d'hui d'opposer uniquement au vide la cohésion des mortiers etl'enchevêtrement des voussoirs; par une direction convenable desjoints continus résultant des différents appareils mentionnés plushaut, les poussées qui agissent dans les plans des sections droites

VOUTES BIAISES 261

des voûles sont ramenées, autant que possible, dans des plansparallèles aux têtes; la poussée au vide est reportée sur toule leurlongueur, dans des conditions identiques pour résister aux efforlsqu'elles ont à supporter.

Néanmoins, nous pensons que, dans la pratique, on peut sansdanger appareiller droit les petits ponts dont le biais n'est pasinférieur à 70°.

Celte disposition, essentiellement économique, nous paraîtnotamment acceptable pour les travaux de la vicinalité, où l'ar-gent manque souvent pour recourir aux appareils spéciaux et coû-teux en pierre de taille nécessités par les ponts biais. Dans ce eas,on se borne à tailler suivant le biais convenable les parementsvus des têtes, en ayant soin de donner aux matériaux une queuesuffisante pour la bonne liaison des maçonneries et la stabilité desouvrages.

Voûtes biaises formées d'une série de voûtes droites. - Lorsquele biais est trop considérable,. au-dessous de 00° par exemple,quelques ingénieurs ont proposé de substituer à la voûte continueune série d'arcs droils indépendants, parallèles aux têtes etlaissantentre eux un certain intervalle que l'on recouvre ensuite par desdalles ou par des voûtelettes en briques reposant sur ces arcs. Leseul inconvénient de ce système, c'est de présenter un grandnombre d'angles et de parements et de nécessiter, par conséquent,l'emploi d'une grande quantité de pierre de taille.

Cet inconvénient disparaît avec l'emploi de la brique.Nous croyons que cette solution, que l'on doit à M. l'ingénieur

en chef Boucher, est susceptible d'être appliquée non seulement,aux ponts bia~s, mais aux ponts droits, parce qu'en diminuant lepoids des voûtes, elle peut donner aux ponls en maçonnerie desavantages analogues à ceux des ponts métalliques à poutresdroites.

On trouvera dans les Annales des Ponts et Chaussées de 1848 lesdessins de deux points biais construits d'après ce syslème.


MÉLANGES

Déte]'mination du nombre de pilots que !'on doit employer pow'supporte]' le poids d'un ouvrage. - Dans les fondations sur pilotisque l'on est parfois obligé de substituer aux fondations en béton,les pilots étant contenus latéralement par le sol dans lequel ilssont enfoncés, on peut les charger de 30 à 35 kilogrammes parcentimètre carré de leur section transversale; cependant, quelquesconstructeurs ne dépassent pas 25 kilogrammes; mais cette limiterestreinte nous paraît un grand excès de précaution pour les pilotsen chêne que nous avons en vue dans tout ce qui va suivre. Lespilots doivent être enfoncés jusqu'à ce que chacune des dernièresvolées de 30 coups d'un mouton de 300 à 400 kilogrammes tom-bant de 1m ,30 de hauteur ne les fasse pas enfoncer de plus de 8 à10 millimètres.

Quand il s'agit de construire une simple enceinte de pieux etpalplanches, le refus peut être arrêté à 8 ou 10 centimètres parvolée de 30 coups.

.

Quelquefois, le refus peut n'être qu'apparent et tenir à la com-pression dn sol environnant par le battage même et non à ce quele pieu a atteint un sol plus résistant. Quand on a des doutes àcet égard, on suspend le battage du pieu pour donner à la com-pression du sol le temps de se transmettre à une certaine distance;on achève ensuite l'opération quand le terrain a repris son élas-ticité. C'est pour cette raison que, dans le battage d'une fondationon en pilotis atteignant un sol incompressible, on doit commencerpar le centre pour s'avancer progressivement vers les bords.

Au contraire, dans les terrains indéfiniment compressibles, larésistance des pilots n'étant ,due qu'au frottement qu'ils éprouventcontre les ~ couches du terrain dont ils sont entourés, on doit cher-cher à augmenter, autant que possible, la consistance des coucheset commencer, pour cela, le battage en partant des bords.

Dans ce cas, on larde le sol du plus grand nombre possible depIeux.

MÉLANGES 263

Les pieux étant supposés au refus, chose indispensable, VOICIcomment on en calcule le nombre:

Exemple '; Une construction dont le poids total doit être de15 000 000 de kilogrammes doit être fondée sur pilotis; les pilotsque l'on veut employer ont {)m,30de diamètre, combien en faudra-t-il ?

La surface supérieure d'un pilot est égale à nR\ soit à3,1416 X om,102= om\0707 = 707 centimètres carrés; chaquecentimètre carré peut supporter 35 kilogrammes; par suite, lacharge dont est capable chaque pilot est de :

707 x 35k == 24 745k

il faudra donc:10 000 000 .

24 745 == 606 pllats,

que l'on répartira de manière qu'ils supportent, autantque possibledes portions égales de la charge totale.

Espacement usuel, des pilots. - Les pilots sont ordinairementespacés de om,80 à 1m,50d'axe en axe suivant leur diamètre et sui-vant la pression totale à laquelle ils doivent résister; mais, le plussouvent, on ne les distance que de om,80, et s'il résulte de cetespacement que leur charge soit sensiblement inférieure à 35 kilo-grammes par centimètre cané, on se contente d'un refus propor-tionnel au poids qu'ils auront à supporter.

Dupuit dit que ce refus peut être arrêté à om,02pour 12 000 kilo-grammes et à om,05 pour 5 000 kilogrammes de charge totale surun pilot.

DéteJomination du re/us d'un pilot. --Nous avons dit plus hautqu'on bat ordinairement les pilots jusqu'à ce que le refus soitréduit à om,01 par volée de 30 coups d'un mouton de 300 à400 kilogrammes, tombant d'une hauteur de 1m,30, et cette condi'-tion est souvent insérée dans le cahier des charges. Cependant ilest certain qu'un semblable refus n'est pas toujours nécessaire etqu'il peut occasionner des dépenses considérables que rien nesaurait justifier; il serait donc rationnel d'arrêter le battage ~es


pilots, dès qu'ils peuvent résister aux charges qu'ils auront à sup-porter.

10 Supposons que nous ayons à construire sur pilotis une culée

pesant 165 000 kilogrammes et devant occuper une surface de6 mètres de longueur sur 2m,50 de largeur.

En admettant qu'on emploie des pilots de om,25 de diamètre etespacés de lm,20 d'axe en axe, on aura trois files de 5 pilois cha-cune, soit en tout 15 pilots~ ce qui donne pour le poids supportépar chacun d'eux ou pour la résistance théorique R du sol qui luifait équilibre:

soit un peu plus dechaque pilot.

Désignons par

T ~ j 155aaJ.C

n

: : 1f ~ ~I\) :'1 '

R - '!j[(fôi~

Fig. 107.

R == 16~~00 == H OOOk;

20 kilogrammes par centimètre carré sur

x l'enfoncement d'un pilot ou le refus qui ensera résulté et admettons, en s~cond lieu, quele battage soit fait avec un mouton de 400kilogrammes tombant de P\20 de hauteur;le travail T développé par ce mouton pen-dant une volée de 30 coups a pour expres-SIOn:

T = 30 x 400 x 1,30== 15 600k;

la résistance théorique du sol égale à cetravail est Rx ; nous aurons donc l'équationd'équilibre:

T Rx

ou en remplaçant les leUres par leurs valeurs:

15600 == 11000 x x;

d'où15 600

x == 11 000.

Mais, d'après les expériences de Perronet, on ne doit pas, sousles sabots des pieux, faire travailler le sol à plus du 1/100 de sa

MÉLANGES 265

résistance théorique ;dës lors, l'équation précédente devient:

-15 600

- m !.X - 1 100000 - 0 ,Oh.

Ainsi pour le cas qui nous occupe, on pourra considérer le bal-tage d'un pilot comme terminé, dès que le refus ne sera plus quede om,014 après une volée de 30 coups.

2° Si le mouton pesait 600 kilogrammes au lieu de 400 kilo-grammes, on aurait:

30 x 600 x 1,30 == 23 400k

et

23 400 ')x ==1 100000 ==Om,O:..13.

3° Enfin si le mouton ne pesait plus que 300 kilogrammes, onposerait:

30 x 300 x 1,30 == 11 700\

et l'on trouverait:

11 700x =

1 100000 = om,O 106.

Ces exemples suffisent pour faii'e comprendrè la marche qu'ondevra suivre, tçmtes les fois que, connaissant le poids des maçon-neries et Je leur surcharge et le nombre des pilots, on devra fon-der sur un terrain compressible d'une grande épaisseur.

Résistance des pilolS : 1° Dans un sol incompressible. - Lorsqueles pilots atteignent un sol incompressible, ils résistent au poidsdes maçonneries à la manière des bois debout et le pilotage n'ayantplus pour but de consolider les terrains supérieurs, on calcule larésistance des pieux en faisant abslraclion de celle que leur don-nent les couches de terrain qui les entourent.

Ainsi en tenant compte des indications consignées. ùans letableau suivant, extrait de l'Aide-ftfémoire de mécanique deM. Morin:

au-dessous 12 16 20 24 28 32 36 40 45 60de 12 - - - - ~- - - - -

kg. kg. kg. kg. kg. kg. kg. kg. kg. kg. kg.30 à 40 25,0 21,2 17,8 15,0 12,0 10,8 9,2 7,0 5,0 2,5

19 8,4 7,4 6,4 5,0 5,2 » » » » »

40 à 50 3:5,0 28,4 24,2 20,0 17,6 15,0 13,2 11,2 7,5 »

9,7 8,0 6,6 5,8 5,0 » » » » » »


DÉSIGNATIONPOIDS PAR CENTIMÈTRE CARRÉ

DES BOIS

que l'on peut faire supporter d'une manière permanente aux BOIS,le rapport de la hauteur à leU!' plus petite dimension de la base étant:

travaillant au 1/10

Chêne fo,:,t . . . . . .Chêne faible. . . . . .Sapin rouge ou jaune.Sapinblanc. . . . . .

on voit, par exemple, qu'un pilot de sapin rouge ou jaune de

om,2!) de diamètre et de !)moode longueur (520~ == 20), peut être

chargé avec sécurité d'un poids de 24 kilogrammes par centimètrecarré, en nombre rond.

2° Dans un terrain indéfiniment compressible. - Dans un terrainde cette nature où les pieux ne s?nt presque exclusivement rete-nus que par les frottements latéraux, il est difficile de déterminerd'avance, le refus auquel doit arriver chaque pieu; en pareillecirconstance, on est obligé de faire varier les charges d'après lesenfoncements constatés.

En Hollande, où cette circonstance est fréquente, on emploie laformule suivante "pour calculer le poids qu'un pieu peut supporteravec sécurité, d'après l'enfoncement moyen obtenu sous les der-niers coups de mouton:

(Form ule hollandaise) P - BHX

(B .- 6e B + p,

dans laquelle:

P est le poids à faire supporter par le pieu;H - la hauteur de chute du mouton;

B - le poids de ce mouton;p - le poids du pieu, déduction faite de la perte due à la partie immergée;é - la pénétration moyenne obtenue par les derniers coups de mouton,

Inconvénients et difficultés [Jl'atiques du battage des pieux. -Le battage des pieux présente certaines difficultés et certains

MÉLANGES 267

inconvénients que l'expérience a signalés et qu'il convient de faireconnaître:

Lorsque le gravier est compact et qu'on ne peut enfoncer lespilots à plus de 1 à 2 mètres, sans de grands efforts, les pilotssont plus nuisibles qu'utiles, car ils ébranlent le sol, le divisent eten diminuent la résistance aux affouiHements. Il vaut mieux alol'screuser les fondations dans le terrain solide, re,couvrir la fouilled'une couche épaisse de béton formant un large empatement et laprotéger par des enrochements.

Dans les glaises molles, les premiers pilots s'enfoncent aisément;mais dès que le terrain a acquis le degré de compacité dont il estsusceptible, chaque nouveau pilot qu'on cherche à battre faitremonter les pilots voisins et il devient fort difficile d'établir unbon pilotis sur des sols de cette nature; mais comme les épui-sements sont généralement peu coûteux dans ces sortes de terrains,il vaut encore mieux descendre directement les fondations jusqu'àl'argile compacte sur laquelle on peut bâtir sans danger, sauf àprendre les précautions voulues pour prévenir les affouillementsdes terrains s~périeurs. (Voir les ouvrages spéciaux sur la ma-tière. )

Fondations sur pilotis. - Accidents à craindre. - Les accidentsqui peuvent se produire dans une fondation sur pilotis sont dequatre sortes:

1° Tassements verticaux dus à un battage incomplet ou à unetrop grande charge des pieux par rapport à la nature du sol danslequel ils sont enfoncés;

2° Tassements ou déversements provenant de ce que les pieuxns sont pas suffisamment protégés latéralement par des enroche-ments ;

3° Déplacements ou déversements occasionnés par la pousséeoblique des remblais;

4° Affouillements.Les ouvrages sur la matière indiquent les moyens à employer

pour prévenir ces accidents, notamment les cours de constructionsdes ponts de Croizette-Desnoyers, Dupuit et Morandière.

Détermination de le section transversale des 'pilots. - Les di-


mensions transversales des pilots se règlent d'après leur longueuret la charge qu'ils ont à supporter. Ordinairement cette section sedétermine au moyen d'une règle pratique donnée par Perronet etqui peut se traduire par la formule suivante:

(Perronet) D == Om,2i- + om,15 (L - 4,m,OO)

dans laquelle:

D représente le diamètre du pilot;L sa longueur exprimée en mètres.Cette longueur est déterminée soit par les indications des son-

dages, soit par le battage de quelques pilots d'épreuves.D'après Dupuit, le diamètre des pilots représente les 0.04 de

leur longueur L :

(Dupuit) D == O,Oj, L.

Les deux formules ci-dessus donnent des résultats égalementacceptables

Dimensions des blocs employés pOUl' les enrochements. - Si l'onréfléchit au service que rendent les enrochements en pierressèches, on comprendra qu'il faut, avant tout, que les blocs destinés

F à leur exécution ne soient pas en-traînés par le courant. Or, leur ré-sistance dépendant de leur poids etde leur forme, il est bon de calculerles dimensions qu'ils doivent avoirpour résister à un courant dont lavitesse est connue~

Soit un prisme BH (fig. 108),reposant par sa face ABGD sur lelit supposé horizontal d'une rivièreet ayant pour base ABFE perpendi-culaire à la direction du courant.

Désignons par a sa longueur AB ; par b sa largeur AD et par cson épaisseur AE.

L'effort exercé par le courant sur la face ABFE sera équivalent,ainsi que l'ont confirmé les expériences d.e Dubuat, à un prisme

B "

J r

b ':~- -y~ - - - -:->:

l ,"1 :. ,: 18'11i,

,6'"

,0,

cd-'ne

;-- ->1,,

1

Fig. 108.

MÉLANGES 269

d'eau ayant pour base ~a face BE et pour hauteur, la hauteur hdue à la vitesse de l'eau. Or, la densité de l'eau étant égaleà l'unité, le poids du prisme en question sera représenté par

h. a. c X 1.

son action agira au centre. de gravité g de la face BE, c'est-à-direà une distance 1/2 c de l'arête AB et son intensité sera, par consé-quent, égale à

1.h. a. c X 2 c

\ Cette force tendra à soulever le prisme pour le faire tournerautour de l'arête DG et la pierre opposera à cet effort une résis-tance égale à son poids, appliqué au centre de gravité g' de laface ABGD, c'est-à-dire à une distance 1/2 b de l'arête AB.

Si donc on appelle D la différence de densité entre l'eau et lapierre, celle-ci offrira à la force du courant une résistance équiva-lente à : .

1.D. a. b. c x <) b

'"'

et l'on aura l'équation d'équilibre :

t ih. a. c x""2c = D. Ct.b. c x b b

d,

' l ' t.

ou on 1re:h. c = Db2 (1)

ou

h b21)-7

Cette expression élant indépendante de a, on voit que la lon-gueur des pierres n'ajoute rien à leur résistance qui ne dépendque de la largeur de la base et de l'épaisseur du bloc.

Applications nwnéJ'iques. - 10 Supposons que la densité de la

pierre soit égale à 2, ce qui donne D = 1, l'expression (1) de-viendra:'

.

b2h=- c

(2)


et si l'on veut savoir à quelle vitesse résisteraient, par exemple,des moellons de om,20 de hauteur sur om,30 de largeur, on aura:

-2h = u,30

=0,90= Om,q,5

0,20 2

correspondant à une vitesse par seconde de 2ffi,97. Ainsi, pour queles blocs ne soient pas entraî~és, il faudra que la vitesse du fond

ne dépasse pas 2ffi,97 par seconde.

Les traités spéciaux d'hydraulique contiennent des tables où l'ontrouve, .

en regard des diverses hauteurs de chutes, les vitessescorrespondantes. Si l'on n'avait pas sous la main une de ces tables,on calculerait la vitesse correspondant à h = 0,40 par la formulesuivante où g = 9m,81 :

..

v = Y2gh = y2x 9,81x 0.45= ;3m,97

2°,La largeur des moellons restant la même, supposons que leurépaisseur c = 0,80, la formule (2) donnera:

0 90h = T = 0,1125

qui correspond à une vitesse de 1ffi,48,moitié de la précédente.On voit, par cet exemple, que si l'on quadruplait sans réflexion

l'épaisseur des blocs, espérant augmenter ainsi leur résistanceavec leur poids, on obtiendrait un résultat tout contraire; lespierres coûteraient quatre fois plus et ne résisteraient qu'à unevitesse moitié moindre.

Si, en conservant aux blocs leur épaisseur c = 0,20, on doubleleur largeur, on aura b = 0,60 et la formule (2) donnera:

36h =

20 = 1,80

correspondant à une vitesse:

v = 5ffi,94= 2.x 2,97 j

c'est-à-dire qu'en doublant la largeur de la base des blocs, on leurpermet de résister à un courant deux fois plus fort;

3° Si l'on voulait employer des pierres dont la hauteur fût égale

MÉLANGES 271

à la largeur, on aurait c = b et la formule (2) donnerait:

c=h

d'où il résulte que la plus petite dimension qu'on pourrait donnerà une pierre de section carrée pour qu'elle ne fût pas entraînée parun courant d'une vitesse connue, ne devrait pas être inférieure àla hauteur h due à cette vitesse. Si donc celle-ci était, par exemple,de 4 mètres par seconde, les pierres ne devraient pas avoir moinsde om,82 de côté.

Des pierres de cette dimension seraient très difficiles à manieret leur mise en place deviendrait très coûteuse; mais rien n'eITI-pêche de réduire leur largeur à 0,60,. par exemple, et de calculerl'épaisseur correspondante par la formule (2) qui fournit, en yintroduisant les nouvelles données et effectuant les calculs:

-20,82 = 0,60 = 0,36

c c

d'où0.36

0 4c =0 82 =

m,4.,

Ainsi des pierres de om,60 de largeur et de om,44 de

offriraient à l'action du courant la même résistance quemières de om,82 de côté.

Il en serait de même des ~locs de om,oO de largeur sur om,30d'épaisseur ou de om,40 sur om,20... et ainsi de telles autres dimen-sions que les carrières peuvent imposer. '

hauteur

les pre-

Conclusion. - Ces exemples prouvent que les gros blocs nesuffisent pas pour faire de bons enrochements; l'économie et lasolidité de ces ouvrages défensifs dépendent uniquement de làforme de la pierre qui résistera d'autant mieux qu'elle sera plusaplatie. Les rivières torrentielles, à fortes pentes, fournissent tousles jours des exemples à l'appui de cette théorie, car il n'est pasrare, dans les grandes crues, de voir les eaux entraîner à degrandes distances des blocs énormes de forme plus ou moinsarrondie, tandis qu'elles ne peuvent ébranler de minces dallespesant à peine quelques kilogrammes.


~[oyen gl'aphique pou}' déterminer approximativement la pousséeSUl' ses piédroits d'une" voÛte extl'adossée parallèlement. - On"décrit une circonférence moyenne TKG (fig. 109), aux points T et G

on mène des tangentes à cettecourbe; par le point de rencontreF de ces tangentes on mène lanormale FO à la demi-circonfé-rence, ce qui détermine le point KoÙ se fait le plus grand effort.

Par le point K on mène l'hori-zontale IL que l'on p"rolonge jus-qu'aux parallèles TF et OG.

La partie iK, multipliée parl'épaisseur de la voûte, exprime

Fig. 109. l'effort horizontal de la partie

inférieure de la voûte et KL, multipliée également par l'épaisseurde la voûte, désigne celui de la partie supérieure.

Ces deux efforts, agissant en sens contraire et étant directementopposés, se détruiront en partie; ainsi en portant iK de K en rn,la différence mL, multipliée par l'épaisseur de la voûte, sera l'ex-pression de la poussée.

Celte manière d'opérer donne des résultaLs satisfaisants pour lapratique.

Calcul de l'épaisseur des piédroits qui découle de ce moyen fJl'a-phique. - En représentant par

P le produit de mL par l'épaisseur de la voûte,x l'épaisseur à donner aux piédroits.Rondelet a trouvé qu'on obtenait une stabilité plus que suffisante

au moyen de la formule:

(Rondelet)" x = Y.2 P.

Exemple: Soit une voÙle de 4 mètres de rayon ayant Orn,70d'épaisseur à la clef; le rayon de la courbe d'extrados sera de4m,70 et celui de la circonférence moyenne de 4m,3D.

Calcul de KL. - Dans le triangle KLO :

KL = OK x sin 45° = 4m,35 X 0,'707107 = 3m,08.

MÉLANGES 273

Calcul de iK. - Nous avons iL = 4m,OOpar construction et

iK = iL - KL, d'où:

iK == 4m,OO - 3m,08 == om,92.

Calcul de mL. - En opérant par différence, on trouve:

mL == KL - Km == 3m,08 - Om,92 == 2m,16.

Valem' de la poussée P. - Cette valeur est égale à :

P == mL X c - 2m,16 X Om,70 == 1m,5i.

Epaisseur des piédroits. - Cette épaisseur est donnée par laformule:

œ == y2 P == Y2 X im,51 == y3m,02 == 1m,74, soit im,75

en nombre rond.

La formule de Léveillé aurait donné pour l'épaisseur des pié-droits au joint des naissances 1m,45 environ. On voit donc, d'aprèscela, que le procédé de Rondelet donne des épaisseurs plus fortesque ne l'exige la stabilité des ouvrages et pèche par excès.

RACCORDEMENT DU TALUS DES REMBLAIS

AVEC LES MURS EN RETpUR DES PONTS

1° PONTS DROITS

Lorsqu'on adopte, pour le soutènement des terres aux abordsd'un pont, des murs en retour formant prolongement des têtes del'ouvrage, on ne donne souvent à ces murs qu'une longueur égaleà la hauteur des remblais pout économiser un certain cube demaçonnerie; il résulte de cette disposition que la projection des'talus, inclinés à 3 pour 2 à l'extrémité des murs en retour et à MSocontre le parement extérieur des maçonneries, affecte, en plan,une surface elliptique dont le contour est tracé de différentesmanières.

Voici une méthode des plus simples qui n'exig-e ni calculs ni18


tâtonnements pour tracer cette portion d'ellipse assimilée à uneanse de panier à trois centres; mais il faut préalablement réglerle sol formant la base du 1/4 de cône suivant une surface horizon-tale pour obtenir un tracé régulier.

0;/;

.A 0-:R:-=- i'b-- - - - - -- - - h-

~7,

.-,,,.-

",,"

",,'

",,

,,,,1

",

,"., ,,1 ,

/I~t)',,/ cd:

11111

a ~/2tTmd axe

0 1/Zpetit axe

11111111

'n

Fig. 110.

Cette précaution, qui n'entraîne pas une grande sujétion dansla pratique, a l'avantage de donner aux ouvrages un cachet decoquetterie qui n'est pas à ,dédaigner.

Soit AB le parement d'un mur en retour, d'une longueur égaleà la hauteur h des terres à soutenir (fig. 110), on prend, sur sonprolongement: BO = BA et AO est le grand rayon R = 2b ; par

le point B, on élève sur AO une perpendiculaire Bn = 1,50 Il-a ou 1/2 grani axe; on prend le point or sur le milieu de Bn et0'11,est le petit rayon r . -~- .

MÉLANGES 275

On mène la ligne Onl et l'on décrit les arcs "de cercle Am et mn

des points 0 et 01 comme centres,

Calculs relatifs à ce raccordement. - La surface Amn B de celte

portion d'ellipse que nous désignerons par s est égale à

s == 1,20 h2

c'est-à-dire aux 6/5 de la hauteur du remblai élevée au carré.Le développement D du contour Amn est égal à

D==2h

soit au double de la hauteur du remblai ou encore au double de lalongueur AB du mur.

Quant au volume V du quart de cône établi sur la base Amn B,il est égal à : .

v == 0,40 h3

c'est-à-dire à la surface de la base multipliée par le tiers de lahauteur.

Enfin la surface extérieure S de ce quart de cône pour le mesu-

rage du perré ou du gazonnement est égal à

S==I,60h2

c'est-à-dire au contour de la base Amn multiplié par la moitié d'unearêle moyenne entre celles correspondant à h et 1,00 h et qui sontrespectivement h Y2 = 1,41 h et

~y13 = 1,80 h; ce qui donne

bien 1,60 h pour moyenne; donc:

1 60 hD ou 2h x T ou S == 1,60 h2

Ces diverses formules fournissent des approximations suffisantes

en. pratique et abrègent singulièrement les calculs des partiesaccessoires des ouvrages d'art; c'est pC)lirquoi nous les avons

indiquées..

2° P 0 N T S BI AIS

Parmi les dis positions que l'on peut adopter pour raccorder lestalus de remblais avec les murs en r~tour d'un ouvrage biais, nousdonnons la suivante qui est simple et pratiquement .suffisante :


Dans l'angle obtus ACD (fig. 111), on prend la longueur dumur en retour égal à 1,00 Il et dans l'angle aigu on la réduit ordi-nairement, par mesure d'économie, à la hauteur h des terres àsoutenir; puis on détermine, comme il est dit ci-après, les élé-ments des courbes de raccordement An et Em G.

AC == ~ = 4,50 = 4,50== 5m H)

cos ~ cos 2~O O,tS74620 '

IC == AI tg~ - 4,50 x 0,554309 ==2m,49

Cn == 4m,50 - 2m,49== 2m,Of\\

\\

\ ,\ ,

.\

,\

\\

\\ .

\

\,

F

,

G

Fig, 111.

1° An,qle obtus ACD. - On élève au point B la perpendiculaireBn = AB ; les points A et n appartenant au pied du talus, il n'y aplus qu'à tracer une parabole avec les tangentes inégales AC etCn, par le 1/4 de la flèche ou bien p.ar la tangente au sommet.

Si l'on voulait avoir dans l'angle obtus un mur égal à la hauteur hon obtiendrait une parabole se confondant sensiblement avec latangente AC, ce qui serait disgracieux.

2° Angle aigu ERG. - Par lepointF on élève la perpendicu-laire FG = 1,00 h et, après avoir décrit l'arc de cercle Gm avec lerayon FG jusqu'à la rencontre de la ligne FFI menée parallèlement

MÉLANGES 277

à la culée du pont, on 'abaisse sur cette parallèle la perpendicu-laire EO; puis l'on trace un quart d'ellipse Em ayant Om pour1/2 grand axe et OE pour 1/2 petit axe. - On pourrait encoreconsidérer cet arc elliptique comme une portion d'anse de panierà 3 centres. Dans le cas où l'on ferait le mur en retour égal à1,50 h, la base du quart de cône serait un quart de cercle.

Calculs relatifs à ces raccordements. - On évalue ensuite lesdéveloppements des courbes An et Em G par des moyens méca-niques tels, par exemple, que celui qui consiste à contourner unfil sur chacune de ces courbes et à le redresser pour en mesurerla longueur; ou mieux, on fait usage du curvimètre.

La surface EmGF s'obtiendra au moyen des éléments suivants:

~

du triangle FOE;Surfaces 1 du 1/4 d'ellipse 0 Em ;

\ du secteur circulaire F GM.

La surface du segment parabolique A Bn que nous désigneronspar SI es t égale à

s' ::::: 2/3 Bn x AB.

Pour avoir les volumes V des 1/4 de cônes établis sur ces sur-faces on multipliera chacune des bases B par le 1/3 de la hauteur hdes terres à soutenir:

hV-Bx-- 3

Enfin la surface extérieure S de ces 1/4 de cônes sera;Dans l'angle aigu EHG : le produit du contour de la base EmG

par la moitié d'une arête moyenne égale à 1,66 h;Dans l'angle obtas ACD : le produit du développement de la

base An par la moitié d'une arête moyenne approximativementégal~ à 1,75 h.

Comme dans les ponts droits, les divers résultats ainsi obtenusseront suffisamment exacts pour les besoins de la pratique.

Obsel'vation. - Les accidents que l'on remarque dans les 1/4 decônes de nombreux ouvrages d'art tiennent souvent à une écono-mie mal entendue dans le développement des murs en retour; ilen résulte une inclinaison exagérée du talus des terres aux abords


de ces ouvrages et,. par suite, des éboulements qui meltent à nules abouts des maçonneries au détriment de la conservation et dubon aspect des ponts.

CINTRE MENT ET DÉCINTREMENT DES VOUTES

On appelle cintre le système de charpente qui sert à soutenirles voussoirs d'une arche de pont ou d'une voûte quelconque pen-dant sa construction.

Un cintre se compose toujours de plusieurs fermes ou assem-blages de charpente placés pa~allèlement au plan des têtes de l'ou-vrage, dans les ponts droits, et suivant la section droite, dans lesponts biais; ces fermes sont également espacées et leur nombrevarie d'après la longueur de l'arche et la charge qu'elles ont àsupporter, elles doivent, en outre, être reliées entre elles, à diffé-rentes hauteurs, soit par des moises inclinées ou liernes, soit pardes moises horizontales, soit par ces deux systèmes réunis, demanière à former un ensemble bien rigide et bien résistant.

D'ailleurs, pendant la construction, l'ingénieur doit surveilleravec le plus grand soin les mouvements du cintre et ne pas hési-ter à ajouter toutes les pièces qui peuvent s'opposer, d'une ma-nière utile, au mouvement de la charpente.

Le caractère essentiellement provisoire d'un cintre permet d'yemployer toute espèce de bois, sans se préoccuper de la régularitédes fermes.

Ces dernières sont terminées à leur partie supérieure, par despièces de bois appelées vaux qui affectent la forme de la voûte;l'ensemble de ces v~ux détermine une surface parallèle à la douelleà la distance r;técessaire pour y placer les couchis ou madrierslongitudinaux destinés à recevoir les matériaux composant lavoûte.

En général, on donne aux cintres leur maximum de raideur encomposant les fermes avec des pièces de bois disposées suivant destriangles équilatéraux.

Travail des cintres. - Sous le rapport du travail des pièces qui

CINTREMENT ET DÉCINTREMENT DES VOUTES 279

les composent, les cintres se divisent en deux parties principales,saVOIr:

10Les couchis qui supportent directement les pressions exercées

par les diverses portions des voûtes;2° Les fennes qui ont pour but de répartir sur les points d'ap-

pui les résultantes de ces pressions.

Diverses espèces de cintres. - On distingue deux systèmes decintres: les cintl'es fixes et les cintl>esretroussés.

Un cintre est fixe quand il repose sur un certain nombre d'ap-puis disposés d'une naissance à l'autre; il est retroussé, quand iln'est soutenu qu'aux naissances.

Dans le premier cas, il est invariable de forme; dans le second,il est susceptible de céder plus ou moins à la pression et de chan-ger de forme suivant qu'il est chargé sur une plus ou moinsgrande étendue. Ce second système n'est bon que dans la cons-truction de s ponts sur des rivières trop profondes ou sujettes àdes affouillements trop variables pour qu'on y puisse trouver despoints d'appui suffisants; et, sans l'autorité de Perronet, ses incon-vénients l'auraient fait abandonner depuis longtemps déjà.

Toutefois, un troisième système, qu'on pourrait appeler mixteparaît donner de bons résultats; il consiste à établir, d'abord lesfermes en ne les soutenant qu'aux naissances, puis à les étayerpendant la construction par un certain nombre d'appuis fixes. Cesystème a, entre autres avantages., celui de favoriser le décintre-ment, en permettant, d'abord, d'ôter les étais et de n'enlever lecintre lui-même qu'après les premiers effets du tassement.

En résumé, quel que soit le type de cintres que l'on adopte, ilfaut que les fermes ne fléchissent pas sous le poids des voussoirsqu'elles supportent; autrement la voûte se déformerait et, aprèsl'enlèvement des cintres, l'intrados aurait une forme peu géomé-trique qu'il conviendrait de modifier au moyen de ravalementsimportants.

Courbe de pose. - Beaucoup de constructeurs, tenant compteà l'avance, du tassement qui peut se produire et de certains résul-tats de l'expérience, donnent aux cintres une forme qu'on appellecourbe de pose, différente de la courbe réelle, de telle sorte qu'a-


près le décintremenl la voûte prenne la forme qu'elle doit avoir etpour laquelle les voussoirs ont été taillés.

Mais cette façon d'agir est nécessairement incertaine et l'emploid'une courbe de pose ne répond pas toujours aux prévisions; d'autrepart, il est arrivé qu'un pont qui devait être horizontal entre les deuxtêtes et dont on avait surélevé les fermes médianes a présenté,après le décintrement, une pente et une contrepente, parce que letassement sur lequel on avait compté n'avait pas eu lieu.

Il vaut mieux, comme on le fait aujourd'hui, veiller à la bonnequalité des sables, chaux et ciments employés à la confection desmortiers, en bien surveiller et diriger le dosage et la fabrication,et faire usage des cintres construits d'après la courbe réelle, maisde manière à ne pas céder sous la pression des voussoirs.

Types usuels de cintres. - Nous donnons ci-après des types defermes généralement employés pour des ouverlures comprises entre1 et 10 mètres d'ouverture.

1. - PONTS EN PLEIN CINTRE

De 1 à 3 mètres dJouvertuJ'e. - Les fermes des cintres, quiservent ordinairement à construire les ponts de 1 à 3 mètres d'ou-verture, se composent de deux ou trois courbes appelées vaux,assemblées à mi-bois, qui reposent sur deux sablières horizontales;ces sablières sont soutenues par des poteaux montants ou desconsoles et des coins de décintrement. On ménage entre les vauxet l'intrados l'intervalle nécessaire à la pose des couchis.

Les poteaux montants sont placés généralement sur des ma-driers posés à plat, soit dans le fond du cours d'eau régularisé,soit sur la saillie du béton, augmentée s'il le faut; soit enfin surle radier lui-même, pour répartir uniformément la pression descintres et des voûtes sur les points d'appui; ces madriers portentle nom de semelles.

Des moises horizontales relient respectivement entre eux lespoteaux montants et les vaux pour rendre solidaires toutes lesparties d'un même cintre.

CINTRE MENT ET DÉCINTREMENT DES VOUTES 281

La figure 112 représente une ferme de cintre pour un pont de3 mètres d'ouverture.

'. .

Fi~. 112.

De 4 à 7 mètres d'ouverture. - Dans les ponts de 4 à 7 mètresd'ouverture, chaque ferme, reposant sur des semelles, se composede deux poteaux montants, de coins de décintrement, d'un entrait

/0

~ . '.

.' '".,

'L. Courtier '.

Fig. 113.

de deux arbalétriers qui sont assemblés avec un poinçon, de deuxpotelets et de vaux; entre les vaux et la douelle, on place les;couchis.

Des moises ou des liernes relient entre eux les poteaux, lespoinçons et quelquefois les arbalétriers pour solidariser toutes lespièces du cintre.


La figure 113 représente une ferme de cintre pour un pont de

0 mètres d'ouverture.

Il est à remarquer que cette ferme est une simple modificationde la précédente ainsi que le fail voir le tracé pointillé de lafigure 112; on pourrait donc l'employer pour des voûtes de 1 à

3 mètres d'ouverture en l'aménageant à cet effet, et en diminuant-l'équarrissage des bois.

.

De 8 à 10 mètres d' ouveJ'tuJ'e. - Pour de semblables dimensions,il faut raidir soigneusement les pièces qui sont exposées à de

grandes flexions; pour cela on place un faux entrait parallèle à

l'entrait, suivant la ligne qui divise l'arc de chaque demi-cintre en

deux parties égales et l'on moise toutes les pièces entre elles.

J. Cum:tiEIr :. :"

Fig. 114.

La figure 114 représente une ferme de cintre pour un pont de8 mètres d'ou "el'ture.

On voit que les dispositions de cette ferme dérivent de la pré-cédente (fig. 113).

Nous dirons, enmesure d'économie

passant, que quelques ingénieurs, ont, parou par esprit de hardiesse, supprimé l'entrait

CINTREl\1ENT ET DECINTREMENT DES VOUTES 283

de cette ferme de cintre sans que l'expérience leur ait donné tort;mais, dans ce cas, il faut absolument raidir toutes les parties ducintre.

De 16 à 20 mètres et au delà. - Pour les cintres des voûtesdépassant 16 mètres d'ouverture nous pensons qu'il convient dechercher dans les ouvrages spéciaux sur la matière le type deferme qui s'adapte le mieux au cas dans lequel on se trouve.

Assemblages des bois des cint/'es. - Il faut absolument que lesassemblages des bois composant une ferme de cintre soient taillésavec précision et que les pénétrations de ces assemblages soientréduites à leur minimum pour ne pas trop affaiblir les pièces ducintre; enfil}JI est prudent de fortifier les assem blages au moyende plaques de tôle suffisamment épaisses, bien boulonnées entreelles et taillées de manière à laisser passer les tenons.

Le Cours. de ponts de M. Croizette-Desnoyers donne les assem-blages qui sont le plus fréquemment employés pour les fermesdes cintres, et nous y renvoyons le lecteur.

2. - PONTS EN ARC DE CERCLE

Les voûtes en arc de cercle présentent, en général, plus de faci-

.' -.'.,.

.'. .

0". . . ..

°..' .'. . L. COrII'tiezo .. .

'. .

Fig. 115.

lité que les autres pour l'établissement des cintres, et l'on peut


utiliser pour la construction de ces voûtes les types précédemmentindiqués, en les agençant d'une manière convenable.

'0

. '..'

.

. .,.' .."

J,:Cow>1ier.: ::::'. :.",\,,::;

Fig. 116.

Les figures 110 et 1'16 représentent des modèles de fermes

de cintre pour ponts en arcs de Offi,OO et 8m,OO d'ouverture.

3. - PONTS EN ELLIPSE ET EN ANSE DE PANIER

Il est facile d'approprier les fermes des cintres précédemmentdécrites aux voûtes elliptiques et en anse de panier, en leur faisantsubir diverses modifications laissées à l'appréciation du construc-teur.

Le type ci-contre (fig. 117) assez communément employé pourdes ponts d'ouvertures moyennes, donne la ferme d'un cintreapplicable à une anse de panier de 13 mètres d'ouverture.

Quand le mouvement des terres ou l'approche des matériauxexige que le passage sous les cintres reste libre, on arrête le moi-sage inférieur à Offi,20environ des poteaux montants, vers l'axede la voûte, au lieu de le continuer d'un seul jet entre les deuxpiédroits du pont.

Cette sujétion se rencontre presque toujours dans la construc-tion des passages supérieurs aux chemins de fer.


Résu?né des pl'incipes auxquels est soumise la composition desrennes des cintres. - D'après M. Croizette-Desnoyers, il faut:

:' ,',',."

,

'. . . L. Caurtier. ..

Fig. 117.

10 Disposer, si on le peut, les pièces suivant des triangles équi-

latéraux;2° Eviter l'emploi de fermes trop plates;3° Empêcher, dans le plan de la ferme, la flexion des pièces com-

primées;4° Prévenir les flexions des pièces dans le sens perpendiculaire

aux fermes;5° Relier les arbalétriers, à la hauteur des reins, par des mois es

horizontales;6° Placer autant que possible les coins de décintrement au-des-

sus des eaux ordinaires pour les empêcher de gonfler.On trouvera de nombreux types de cintres dans les Cours de

ponts de MM. Croizette-Desnoyers, Morandière et Dupuit et aussidans le Recueil de types d'ouvrages d'art publié en 1881, par leministère de l'Intérieur, pour les besoins du service vicinal. Cettedernière publication est notamment digne d'attention pour lesdébutants.

Calcul de la pression d'une voûte SUl'son cintre. - Cette pres-


sion, qu'il est essentiel de connaître, se détermine d'une manièrebien simple.

Soit ABCD, la section d'un voussoir, AD l'arc de l'intrados quilui correspond, AB le joint par lequelil repose sur le voussoir inférieur, Gle centre de gravité, P le poids du vous-soir considéré, l'angle PGN que fait lanormale GN avec la verticale.

La force qui tend à faire descendre levoussoir suivant le plan incliné AB apour expression (voir la théorie du planincliné) :

M

Fig. 118. p cos (1.- fP sin (1..

en appelant f le coefficient du frottement qui a ici pour valeur

0,76. C'est cette force qui agit sur le cintre normalement à l'intra.-

dos, en supposant les directions G N et A B comme sensiblementparallèles; on a donc pour exprimer cette force que nous désigne-rons par Q la formule suivante:

Q= P cos e< - fP sin (;c.

On voit que celte force est nulle quand on a :

. . i 1Cos (;c - f sm (;c = 0, ou Ige<= -f = -0 ~. .

. , il;

Or, l'angle dont la tangente est 0,76 étant 37°, la valeur de rJ.

est sensiblement 03°. Ainsi, tant que la construction de la voûten'atteint pas le point où la normale à l'intrados fait avec la verti-cale un angle de 03°, les voussoirs déjà posés n'exercent aucuneffort normal sur le cintre. C'est donc surtout la partie du cintresupérieure à ce point qu'il importe de relier invariablement aupoint d'appui.

EXEMPLE.- Soit un voussoir ABC D pesant 4870 kilogrammesdont l'arc d'intrados est A D, G le centre de gravité, G N la nor-male à l'intrados; on demande la pression de ce voussoir sur soncintre, sachant que l'angle PGN est égal à 47° 30' .

CINTREMENT ET DÉCINTREMENT DES VOUTES

La formule tirée de la figure H8 (p. 286) :

287

Q = P cos cc- f P sin IX

devient en y remplaçant les leLtres par leurs valeurs:

Q = 4 875k X cos 47°30' - 0,76 x 4 875k x sin 47°30';

malS,Cos 47°30' = 0,675590 et sin 47°30' = 0,737277 ;

par conséquent:

Q = 4 875kX 0,675590 - 0,76 x 4875k X O,73i277;

d'où enfin:Q = 562k.

On opère ainsi pour chaque voussoir partiel, on fait la sommedes pressions obtenues pour une demi-voûte jusqu'au joint à 30°,on la double et l'on a la pression totale exercée sur le cintre pourla voûte entière. On en déduit ensuite la résistance des fermescomposant le cintre en prenant la zone la plus chargée qu'uneferme ait à porter.

Il est encore une manière plus simple d'opérer: c'est de diviserla zone de voûte afférente à une ferme en une série de sectionsdont les centres de gravité soient à l'aplomb des poteaux montantsou des sommets de polygone en charpente; on admeUra quechaque section pèse de son poids total sur la verticale de soncenlre de gravité et l'on fera le calcul dans cette hypothèse quiprévoit une dislocation complète de la voûte en ces diverses sec-Lions. Ce petit calcul sera très utile pour déterminer notammentla force des poteaux montants et celle des pieux d'appui.

Règle de Petronet. - Dans son mémoire sur les cintres, Perro-net observe que le plus grand effort auquel un cintre ait ,à résis-ter correspond au cas où tous les voussoirs, excepté la clef, sontposés. La pose de la clef décharge virtuellement la charpente enpermettant à la voûte de se soutenir sans appui étranger. Perro-net admet qu'à partir des naissances jusqu'au joint à 30° les vous-soirs n'exercent aucune poussée sur les couchis. Les autres vous-soirs pèsent sur le cintre, mais non pas de tout leur poids, ainsique nous venons de le démontrer. D'après Couplet, la fraction de


ce poids qui pèse sur les couchis, dans une voûte en plein cintre,est environ les 2/3 du poids total.

Perronet propose, en. conséquence, de calculer la charge d'uncintre dans les voûtes demi-circulaires, en prenant les 2/3 du poidsde l'arc central de voûte dont l'angle au centre est de 1200, ce quirevient à prendre environ les 4/9 du poids total de la voide.

VoÛtes bÙÛses.- Nous dirons, en passant, que dans les voûtesbiaises la méthode la plus rationnelle de cintrer consÎste à placerles fermes parallèlement à la section droite de la voûte, sauf lesfermes extrêmes qui sont dans le plan des arcs de têtes. Si le biaisest considérable, on comble l'intervalle entre chaque fermeoblique et la ferme droite la plus voisine par des portions defermes droites solidement reliées entre elles et aux fermes entières,oblique et droite, dont il est question.

De ce qui précède, il résulte que la pression d'une voûte surson cintre dans un ouvrage oblique se calcule également suivantla section droite et que les forces des bois composant chaqueferme doivent pouvoir résister convenablement à cette pression.

Cependant beaucoup de constructeurs, s'appuyant sur la compa-raison d'une voûte biaise et d'une voûte droite ayant des têtesidentiques, prétendent qu'il est préférable de poser les cintressuivant des plans parallèles aux têtes et, par suite, d'en calculer lesdimensions comme dans une voûte droite qui aurait pour profiltransversal l'élévation de la tête de la voûte biaise. Il est difficilede dire quelle est la meilleure de ces deux opinions.

Formule empirique pour calculer l'équarrissage des bois com-posant une ferme de cintl'es fixes pOUl' des OUVel'tuTesde 1 à10 mètres. - Après de nombreuses recherches, les constructeursont trouvé que l'équarrissage des poinçons, poteaux, potelets etentraits composant une ferme de cintres fixes, pour la zone devoûte la plus pesante que cette ferme ait à porter, pouvait êtrecalculé pour les arches en plein-cintre de 1 à 10 mètres d'ouver-ture, par la formule empirique suivante:

x = Om,lO+ 0,015 D,

x étant l'équarrissage cherché, et D le diamètre de l'arche.


Les dimensions fourn,ies par cette formule peuvent être dimi-nuées de 1/10, lorsque les voûtes sont en briques ou en pierre detaille légère; on peut les employer sans danger pour des archessurbaissées.

Quand les voûtes ont plus de 10 mètres d'ouverture, cette for-mule donne des dimensions trop fortes; on a recours alors auxrésultats ùe la pratique que l'on trouve dans les ouvrages citésplus haut.

Les fermes sont ordinairement espacées d'axe en axe de 1 mètreau moins et de 1 m,DOau plus.

Calcul de l'équal'J'issage des bois cornposant une fenne de cintl'esretrollssés. - Le calcul des cintres retroussés est très simple; ces~intres reçoivent, en chaque point de l'intrados, la pression nor~male exercée par les voussoirs; d'après la théorie de Navier, ilssont donc soumis aux mêmes efforts que la voûte elle-même;leur poussée horizontale à la clef est égale à celle de la voûte,quantité connue. La somme des sections verticales des pièces quicomposent le cintre à la clef doit être assez grande pour résister àla poussée à la clef Q ; c'est-à-dire que, si le bois ne doit pas tra-vailler à pl_us de 20 kilogrammes par centimètre carré, on aurapour la somme S des sections transversales exprimées en centi-mètres carrés la relation suivante:

QS=="o/ G

Couchis. - Une fois qu'on a réglé l'espacement des fermes, on

pose les couchis ou pièces horjzontales qui rendent la surface dela douelle continue dans le sens longitudinal. Les couchis ne sontpas jointifs, en général, et si la voûte est composé~ de pierres detaille, ils suffisent pour la construire, parce que les intervallessont plus petits que l'épaisseur d'un voussoir. Dans ce cas, la sur-face des couchis n'affecte pas exactement la courbure de ladouelle et l'on ne peut faire coïncider les surfaces des voussoirset de l'intrados qu'à l'aide de petites cales en bois placées sur lescouchis.

Aujourd'hui que la perfection des mortiers a permis d'employer

19


dans les voûtes de petits matériaux, on est dans l'usage de clouersur les couchis des planches flexibles formant exactement la sur-.face de l'intrados; cela facilite. beaucoup la pose et a, en outre,l'avantage de permettre d'espacer inégalement les couchis suivantl'effort qu'ils ont à supporter; ainsi, on les écarte vers les nais-sances de la voûte et on les rapproche au sommet.

Calcul de l'épaisseur des couchis. - On pourrait calculer lesdimensions des couchis en considérant chacun d'eux comme unepoutre reposant. sur deux appuis et supportant sur chaque unitéde longueur une charge connue; mais, généralement, on se con-tente de la formule empirique suivante pour déterminer leurépaisseur:

h ==d{e18

dans laquelle:

h représente l'épaisseur cherchée;d l'espacement des fermes, d'axe en axe;e l'épaisseur de la voûte à la clef.

Quant à la largeur des couchis, on l'approprie à la courbure endouelle du pont considéré.

Dans la pratique, tout en satisfaisant aux résultats du calcul,on choisit, autantque possible, pour les couchis des bois de dimen-sions marchandes, car ils ne sont que des bois à loyer qu'ilimporte de pouvoir replacer dans le commerce, après usage'fait.

.

.Nous indiquons ci-dessous les dimen'sions des madriers en sapin

rouge du Nord, le plus habituellement employés pour composerles couchis des' voûtes d'ouvertures ordinaires, ainsi que celles desmenus bois usuels que l'on peut en retirer:

OmOS:1

0 Les madriers de -3

.,om2

remployés tels quels, ils donnent du solivagê pour les plan-chers;

en trol' S\refendus < ,

1

CINTREMENT ET DÉCINTREMENT DES VOUTES 2\1[

en deux sur plat, ils produisent des chevrons'

vulgairement appelés des, . ~ .'11 '

sur~'plat, ils produisent des chevrons

vulgairement appelés des,~

sur champ, ils produisent de la plan~

h d " d 2 5c e or InaIre e . 2'3

en quatre, sur champ, ils produisent de la')

planche de 2; ,

,

\\

. om0652° Les madrIers de ~

8;omj

sans être refendus, ils donnent également du solivage pourles ~planchers;

! en deux, sur plat, ils fournissent des chevrons

~

que le commerce appelle des , +1

en trois, sur champ, ils fournissent de la plan ch:de,

'18

refendus

. Om0653° Les madriers de Om17 ;

. ils s'empl?ient aussi comme solivage pour les planchers;

( en deux, sur plat, ils donnent des chevrons dési-

)

gnés sous le nom de , . -~

en trois, sur champ, ils donnent de la planch~

\ de., 17 ;

refendus

. Om0654,0Les madrIers deom15 ;

ils sont remployés tels quels, car ils ne se refendent pas; ilscomposent le solivage des planchers dans les constructionslégères;

om03 om035° enfin, les lattes de om03 et de om04

;


elles forment les couchis des petits ouvrages et, après usage fait,elles s'emploient comme lattes de pannes dans les bâtiments.

Pour les ponts de moyenne et de grande ouverture, il devient,parfois, nécessaire de faire débiter des couchis spéciaux: mais alors,le prix de ces couchis est généralement fort élevé, à cause despertes et des sujétions qu'impose leur équarrissage exceptionnel;et, plus tard, il faut encore subir les déchets et la main-d'œuvrede sciage que nécessite leur réduction à des dimensions mar-chandes pour pouvoir s'en défaire assez facilement.

OBSERVATION.- En résumé, nous ne croyons pas, avec les cons-trueLeurs les plus habiles, qu'il soit possible de soumettre au calcull'équarrissage des pièces de bois qui entrent dans la composi-tion des cintres. Les tentatives que l'on a faites pour appliquer lesformules de la résistance des matériaux aux assemblages de char-pente tels que les pouts de bois, reposent, selon nous, sur desconsidérations inexactes et pourraient conduire à des résultats trèsmauvais en exécution. Les théoriciens perdent de vue que la basemême du calcul leur manque complètement et que l'ignorance oùils sont de toutes les cireonstances de la construction rend le pro-blème nécessairement indéterminé.

Nous ne voulons pas dire que la théorie soit tout à fait inutiledans la question, notamment pour les cintres retroussés; mais leconstructeur doit se tenir tellement en garde contre les résultatsdu calcul qu'il est obligé de recourir à la pratique pour arrêterles dimensions définitives des différentes pièces du cintre.

C'est donc à la pratique à peu près seule qu'il faut s'en tenirdans les questions de cette nature; le mieux est d'adopter un typeayant réussi lorsqu'on se trouve dans un cas usuel. Tous lesouvrages traitant des ponts en maçonnerie donnent des typesnombreux et variés de cintres fixes ou retroussés; nous y ren-voyons le leeLeur.

Une longue expérience a sanctionné les, dimensions indiquéesdans le tableau ci-contre pour les différentes pièces qui compo-sent les types usuels de cintres fixes employés dans les arches enplein cintre de 1 à 15 mètres d'ouverture, en supposant que lesfermes soient espacées de 1m,50au plus.

Equarrbsage en centimètres des différentes pièces qui composent les cintresdes ponts en plein-cintre dont l'ouverture est de :

lm 2m 3m 4m 5m .6"'",m sm !}m 10m 12n ~~m,v

- - - - - - - - - - - -ii/Ji 13/13 14/14 16/16 17/17 19/19 20/20 22/22 23/23 25/25 26/26 28/28

11/11 13/13 14/14 16/16 17/17 10/19 20/20 22/22 ~J/23 25/25 26/2,1 28/28

lI/ll 13/13 14/14 15/15 15/15 16/16 17/17 18/18 19/19 20/'20 21/21 23/23

11/8 11/8 16/8 16/8 16/8 18/9 20/10 22/11 23/11 24/12 25/12 25/12

23/8 23/8 23/8 20/10 22/11 24/12 25/12 26/13 ::!8/14 28/14 28/14 30/1515 à 20

3/3 3/4 9/7 9/7 11/8 11/8 1;;/8 15/10 15/10 15/12 15/1315

CINTRE MENT ET DÉCINTREMENT DES VOUTES 293

DIMENSIONS USUEL-LES DES BOIS DES CINTRES

PIÈCES

DÉSIGNAT[ON

des

Poinçons, poteaux etpo lelets . . . . . .

Enlrails et faux-en-trails. .

Jambes de force elarbalétriers. . . .

Moïses. . . . . . .

Vàux. . . . . . . .

Couchis.. .

Semelles. . . . . .115/i 15/7 15/7 18/7 18/7 23/8 23/8 21/8 21/8 25/8 26/10 28/12

Les équarrissages des principales pièces des cintres portées à cemême tableau peuvent être diminuées de 1/10 lorsque les voûtesseront en briques ou en pierre de taille légère; on peut les adoptersans danger pour des voûtes surbaissées.

Les moises, couchis et semelles conserveront généralement lesdimensions mentionnées plus haut.

Décintl'ement. -Le temps pendant lequel on laisse les voûtessur cintres, le mode employé pour décintrer, jouent un grand rôledans la liaison des mortiers, dans les mouvements qui se produi-sent lors du décintrement et, par suite, dans l'augmentation deprise des mortiers qui doit se continuer ultérieurement.

Il y a deux manières de procéder bien distinctes admises parles Ingénieurs:

La première consiste à décintrer avant que les mortiers soientcomplètement pris et fait varier le temps que l'on doit laisserles voûtes sur cintres après leur achèvement, entre 8 et 20 jours,suivant l'ouverture des voûtes et le degré d'hydraulicité des mol'""tiers employés;

La deuxième consiste à laisser les voûtes sur cintres tout letemps nécessaire pour que les mortiers aient le temps de faire

29~ PONTS ET VIADUCS

complètement prise avant le décintrement ; ce qui conduit à laisserles cintres sous voûtes de 2 à 4 mois.

Le premier mode, qui est le plus généralement adopté, semhleoffrir de meilleures conditions pour la solidité; car les mouve-ments qui se produisent dans les voûtes, lors du décintrement,ayant lieu avant que les mortiers soient devenus solid,es, ceux-cine se brisent pas, ils sont comprimés; les matériaux prennentleur assiette définitive et l'action chimique de la prise des mor-tiers, non terminée alors, se continue en donnant l'espoir, lesmortiers étant bons, d'aLteindre le but que l'on se propose: for-mer une maçonnerie d'un seul hloc.

Ce mode donnant plus de tassement que le second, il faut entenir compte dans la confection des maçonneries qui doivent êtrefaites à joints serrés et avec heaucoup de soin.

Dans le second mode, le décintremcnt donne peu et même quel-quefois pas de tassement, mais un mouvement peut avoir lieuaprès le décintrement, parce que si les mortiers ont pu résister àl'action de la poussée due à la voûte seule, il se peut qu'ils nerésistent pas, d'une manière ahsolue, aux nouvelles conditionsd'éqÜilihre qui résulteront du' seryice auquel les voûtes serontaffectées, altendu que les matériaux n'ont pas pris par eux-mêmesune position due à une action de mouvement.

Si donc, par suite de ces considérations, il y a mouvement dansla voûte, soit au moment du décintrement, soit ultérieurement, lesmorliers ayant fail prise sont désagrégés; l'affinité n'ayant pluslieu enlre leurs molécules, tous les points sur lesquels il y aura eudes mouvements seront autant de brisures qui resteront toujoursdans le corps de la voûle. .

~n outre, ce mode de décintrement devient très dispendieuxpour les grands ouvrages où il empêche le remploi des cintres; ilest dangereux pour les ponts à jeter sur les grandes rivières, parcequ'il obstrue le débouché pendant les crues et expose à faire em-porter le pont lors des déhâcles.

ABORDS DES PONTSc

295

ABORDS DES PONTS

La construction des ponts nécessite, presque toujours, l'exécu-tion. de divers travaux accessoires, destinés à raccorder convena-blement les ouvrages avec les berges des rivières ou avec les voiesde communication auxquelles ils livrent passage.

Il peut arriver qu'un pont soit conslruit à la hauteur même desberges d'un cours d'eau, ou bien qu'il soit établi à un niveau plusélevé que le sol naturel; dans ce dernier cas, la route ou le che-min sont exhaussés au moyen de remblais plus ou moins impor-tan ts.

D'un aulre côlé, les ponts sont généralement plus étroits queles chemins avec lesquels ils se raccordent; en outre, ils peuventavoir entre culées une largeur moindre que celle des rivières aupoint où ils sont implantés. Cette disposition dépend évidemmentd'une question de débouché qu'il importe de trancher avec soin,afin d'éviter tout mécompte.

Quant à la largeur entre parapets d'un pont, elle résulte de ladestination de l'ouvrage et de l'intensité de la circulation, et aussi,dans une certaine mesure, de sa longueur totale; ainsi l'on peutsans grand inconvénient et par raison d'économie, réduire à unevoie charretière un pont de faible importance ou peu fréquenté:

Dans les ponts-routes, on borde la chaussée de deux trottoirslatéraux destinés à pro léger les piétons et les parapets eux-mêmescontre les chocs des voitures..

La largeur minima d'une voie charretière varie de 2ffi,30à 2ffi,OO;cependant pour les contrées où les rouleaux de l'agriculture ont

de 2ffi,OOà 2ffi,70 de longueur, il faut porler la voie charretière à3ffi,00 enlre trottoirs pour assurer la libre circulation de ces

engins; une double voie charretière mesure, au moins, 4ffi,OOentre trottoirs et ces derniers n'ont jamais une largeur infé-rieure . à 0111,70ch?-cun, pour ~surer la sécurité complète desvoyageurs.


D'après ces données, les largeurs minima des ponts se règlent,comme il suit, entre parements intérieurs des parapets:

. . . . {2m 30 + fm 50 == 3m 801° VOle charretIere umque ~' , ,

r 3m,OO+ fm,50 == 4m,50

2° do double: 4m,50 + fm,50 == 6m,00

A ces largeurs, il faut ajouter les épaisseurs des parapets qui-sont ordinairement de Offi,35pour chaque côté; les dimensionshors-œuvre deviennent donc:

f° pour les ponts à voie unique~

2° pour les ponts à double voie:

3m,80 + om,iO == 4m,504m,50 + om,70 == 5m,206m,OO + om,70 == 6m,70

Les raccordements des ponts avec les berges des cours d'eauou la plate-forme des voies de communication présentent desvariétés de formes nombreuses; mais nous~ pensons que les di~positions les plus ordinaires de la pratique peuvent se réduire auxsept types figurés ci-après:

10 Murs en l'eloul'. - Quand les pouts sont moins larges que lesTYPE rio 1

Fig. 119.

Ji dères, les culées forment saillie sur le plafond des cours d'eauet se raccordent avec les murs en retour au moyen de pans coupés(fig. 119) dont l'évasement, en chiffres ronds, varie généralement

ABORDS DES PONTS 297

entre 30 et 45°; mais c~t évasement peut atteindre l'inclinaison de

3/2 sur l'horizontale, suivant les circonstances;ou bien les raccordements sont curvilignes et convexes, comme

TYPE N° 2 .

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Fig. 120.

.dan(la figure 120, ou concaves (fig. 121).

TYPE N° 3

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Fig. 121.


-Les raccordements concaves ne valent pas ceux qui sont con-vexes parce que les remblais qui souliennent l'empierrement et

les trottoirs poussent au vide, c'est-à-dire de l'intrados à l'extrados,les matériaux composant les parties circulaires des maçonneries.

TYPE N° 4 -

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Fig.122.

La figure 122 donne 'Un mOoded'épanouissement des culées, àangle droit, qui n'est pas à dédaigner comme aspect; ce typeconvient indistinctement aux ouvrages aussi larges, ou de dimen~

sions moindres que les rivières.

Mais les dispositions qui précèdent ont le grave inconvénientd'offrir aux passants des abris qui deviennent dangereux pour la

salubrité publique; pour ce-motif, on leur substitue fréquemmentle type ci-contre (fig. 123) de forme convexe.

Comme celui de la figure 122 ce type s'adapte indifféremment

aux ponts d'une largeur égale à celle des rivières ou plus petiteque celle des cours d'eau,.

Les types nOS1, 2, 4 et 0 prévoient le cas de berges assezhautes pour débiter les plus grandes crues connues et celui de

remblais complétant les levées insubmersibles accédant aux ponts.

Le type n° 3 représente les dispositions symétriques que l'ondoit adopter pour le cas où le niveau naturel des berges est le

ABORDS DES PONTS 29Qc

même sur chaque rive et permet, en même temps, d'avoir une hau-

TYPE rio 5

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Trotloh' existant

Fig. 123.

teur SOUSclef assurant le libre écoulement des crues exLraordinaires.

2° Murs en ailes droits. - Les raccordements des ponts avec les

TYPE NO 6

Axe du chemin ou de la route~ --"-"--r--"'-"'-"'--"!'"

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"Passage all- dessus "Passage au.- Qessus d'una'1me rivière chemin de fer

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Fig. 124.


terres peuvent encore se faire au moyen de murs en ailes droits;c'est-à-dire situés dans le prolongement des culées (fig. 124) descen-dantjusque dans le fond du lit du cours d'eau, ou terminés par desdés; enfin on peut encore établir des murs en retour parallèlesaux têtes au point d'intersection des remblais avec les berges.

3° Murs en ailes avec fruit. - On fait également usage de mursBn ailes symétriquement évasés par rapport à l'axe de l'ouvrage(fig. 12~).

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Passaqe au-dessusd\'lne rivière

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Fig. 120.

L'évasement de ces murs varie de 22 à 45° environ et leurparement vu prend une inclinaison approximative du 1/10 de lahauteur des maçonneries, tout en dégageant le bandeau de la voûte.

Parfois, on détermine l'évasement et la longueur des murs en.ailes en cherchanl les points de rencontre du pied du talus de la


route avec l'arête de la, berge du cours d'eau; il est rare que cettemanière d'opérer donne quelque chose d'agréable à l'œil.

Observation. - Les murs en aile, en apparence, économiques,protègent malles ponts établis sur les rivières contre les affouille-ments produits par les eaux d'inondation, à moins que l'on neperreye les talus et les berges dans le voisinage des têtes, mais alorsles travaux accessoires deviennent aussi coûteux que les murs enretour sans en avoir les avantages; c'est pour cette raison que lesmurs en ailes ne sont guère employés qu'à la rencontre de deuxvoies de terre.

D'un autre côté, avec le système des murs en ailes, les ouvragesont presque toujours la même largeur que la plate-forme de lavoie qui les franchit et celle sujétion occasionne de grandesdépenses.

Etude de la disposition en plan des ollvra,qes d'art. - Quandune fois la question de débouché est tranchée, le constructeurdoit s'ingénier à faire un ouvrage offrant, en tous sens, des accèsfaciles aux voitures.

A cet effet, il trace en plan les directions probables suivantlesquelles les véhicules entreront sur le pont ou en sortiront, ildispose ensuite les maçonneries de l'ouvrage de manière à conci-lier, tout à la fois, les conditions de bon aspect et de commodité.

Le pontceau dont nous donnons ci-contre (fig. 126) les dis-positions en plan, et qui se trouve dans une rampe de om,016 parmètre a été construit par nous et il a donné toute satisfaction aupublic.

Dans une autre circonstance, nous avons eu à élargir un pont-ceau qui se pré~entait dans des conditions dangereuses et presqueimpraticables pour les transports de bois en grume et nous avonsadopté les dispositions figurées ci-contre (pl. X, fig. 127) en faisantune espèce de carrefour au passage de la rivière, pour dégager lacirculation agricole et industrielle de la région.

Enfin, nous ne terminerons pas cet exposé, sans parler d'un castout à fait particulier qui nous a conduit à projeler un pontceauvicinal affectant des dispositions peu communes mais éminemment


favorables au développement de's attelages de la contrée qu'il des-

sert et au défruitement des terres (pl. XI, fig. 128).

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Fig. 126.

Pro'priété.particuJièi-c

Tous ceux qui ont vu cet ouvrage en ont d'autant mieux appréciéles avantages qu'il remplaçait un vieux pont étroit, mal placé,dépourvu de parapets et, par suite, dangereux pour les voitures etles piétons.

Résumé. - En résumé, la forme en plan des ponts est com-

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ABORDS DES PONTS Pl. 11.1

Verger

BAUDRY & CiO, Editeurs 15. Ru.e des Saints-12ères Paris.


mandée par les besoins de la circulation et il importe de bien sepénétrer de ce principe essentiel, afin de ne livrer aux populationsque des ouvrages d'un accès facile et commode: tout est là.

D'un autre côté, lorsqu'on se trouve dans les cas spéciaux desfigures 127 et 128, il faut, pour satisfaire l'œil, que les maçon-neries des ponts soient établies horizontalement.

Alors, on assure l'égouttement de la chaussée, en donnant auxcaniveaux pavés de légères déclivités entre l'axe de l'ouvrage etles extrémités des parapets; ce petit artifice, que rious avonssouvent employé, passe inaperçu, bien que la plate-forme destrottoirs reste de niveau contre' la plinthe.

Si l'on admet, par exemple, que la saillie normale des borduresde trottoirs sur le fond des caniveaux soit de om,12, on la réduità om, 08 sur l'axe des ponts et l'on forme ainsi deux pentes, ensens inverse, qui amènent les eaux vers les extrémités des para-pets et de là dans la rivière.

Quand les maçonneries en élévation présentent un assez granddéveloppement, la saillie des bordures de trottoirs sur le fond descaniveaux peut être portée de om,12 à OID,20contre les extrémitésdes parapets pour faciliter l'écoulement des eaux; mais nous pen-sons qu'il convient de ne pas aller au delà, sous peine de nuire aubon aspect des ouvrages et de rendre dangereux et impraticablel'accès aux trottoirs. Une saillie de om,16 est une bonne limileque nous recommandons aux constructeurs pour les ponts depetite ouverture établis en palier.

PROPORTIONS ET DISPOSITIONS ARCHITECTURALES

DE~ DIVERSES PARTIES DES PONTS ET VlAD UCS

L'architecture des ponts exclut, en général, tout ornement; elletient compte seulement, dans les travaux de grande importanceau style des lieux environnants; ce que l'on doit, en effet, recher-~her avant tout, c'est la solidité des ouvrages, la régularité ell'élégance des masses qui les composent et non la richesse deslétails.

30~ PONTS ET VIADUCS

Bandeaux des têtes. - Il est convenable de leur donner plusd'épaisseur aux naissances qu'à la clef. Cette disposition, plusrationnelle que le bandeau uniforme, donne aussi à l'ouvrage uncertain cachet de solidité; ce genre de bandeau est appelé ban-deau l'en!o l'cé.

L'épaisseur du bandeau au niveau des naissances étant désignéepar B, on fera:

0B == C + 60

pour les ouvertures moyennes,

et :

B ==. C +~o

pour les' grandes ouvertures,

C étant l'épaisseur du bandeau à la clef,0 l'ouverture de la voûte.

Pour des ouvertures ne dépassant pas 4 mètres, on se conten-tera de bandeaux parallèles, parce que le renflement du bandeauest peu apparent et que cette disposition est une sujétion qu'il nenous semble pas nécessaire d'introduire dans les petits ouvrages.

Dans les ponts de 1 à 4 mètres d'ouverture, l'épaisseur du ban-deau à la clef sera la même que celle du corps de la voûte; dansles ouvrages de 5 à 10 mètres d'ouverture, cette épaisseur aurade om,10 à om,HSenviron de moins que le corps de la voûte; dansles autres ponts, 20 à 30 mètres d'ouverture, l'épaisseur du ban-deau à la clef sera réduite de om,10 à om,20 et om,30, suivant ladureté des matériaux et le sentiment du constructeur; cette réduc-tion, tout en donnant aux ouvrages un plus grand aspect de har-diesse, n'est point préjudiciable à leur solidité.

Il est, d'ailleurs, difficile d'établir des règles bien précises dansune matière où le goût personnel de l'ingénieur et de J'architectejoue le plus grand rôle.

l'1'acé de la cOtt1'beextérieure du bandeau l'en/or'cé, - Dans lesponts en plein-cintre et en arc de cercle, on connaîtra trois pointsde la courbe: le sommet et les naissances; on en détermineradonc facilement le centre. Dans les voûles elliptiques, on aura legrand axe et le ~emi-axe, c'est-à-dire les données nécessaires autracé de l'intrados du bandeau.

PROPORTIONS ET DISPOSITIONS ARCHITECTURALES 305

Dans les ponts en anse de panier, on cherchera l'augmentationd'épaisseur par mètre courant du bandeau renforcé, en divisant lerenforcement total aux naissances par le développement de lamoitié de l'arc d'intrados; on multipliera cette quantité par ledéveloppement du 1/2 arc du sommet et par celui de chacun desautres arcs composant la moitié de l'anse de panier: cela donneral'épaisseur du bandeau à chaque changement de courbure et, parsuite, les éléments nécessaires au tracé de la courbe cherchée.

Direction des joints dans les bandeaux des têtes. - Dans lesvoûtes en plein-cintre et en arc de cercle, les joints seront nor-maux à l'intrados lorsque les bandeaux seront parallèles; dans lesvoûtes à intrados elliptique et en anse de' panier avec bandeauparallèle, les joints seront normaux à la courbe moyenne de cebandeau; pour le cas d'un bandeau renforcé et principalementdans les deux derniers genres de voÙtes, nous engageons égale-ment les constructeurs à tracer les joints des voussoirs suivant desnormales à la courbe moyenne de ce bandeau et non pas suivantdes normales à l'intrados; il résultera de cette disposition unmeilleur aspect des têtes et une meilleure répartition des pressionssur les plans des joints.

Cette manière de faire se rapprochera, d'ailleurs, de la théoried'Yvon- Villarceau sur l'établissement des arches de ponts, enVI-sagé au point de vue de la plus grande stabilité.

Appareils des voussoirs. - La clef des voussoirs de tête du ban-

deau doit toujours être une boutisse; aulant que possible, il doiten être de même pour les voussoirs des naissances. Or, la clef esttoujours semblable au premier voussoir, lorsque la moitié dunombre total des voussoirs d'une tête moins un est un nombrepair. On pourra ainsi être fixé a priori sur le nombre de voussoir&à mettre dans une voûte, et on se guidera sur cette condition pourrégler son appareil des piédroits.

Dans les ponts de petite et de moyenne ouverture, la largeur desvoussoirs en douelle varie gén~ralement entre la moitié et les 3/Dde leur épaisseur à la clef; mais, le plus souvent, eUe est égale àla moitié.

20


Dans les grands ouvrages, cette largeur se réduit parfois aux 2/5et même au tiers de l'épaisseur du bandeau à la clef.

Limite de la hauteut des piédroits. -- Nous recommandons defaire en sorte que la hauteur des piédroits ne dépasse pas la valeurpratique:

H = f ,50 D

D étant le diamètre de l'ouverlure.Cette valeur de H est celle qui donne aux ouvrages d'art la

forme la plus convenable pour l'aspect de solidité que doivent pré-senter les travaux publics; c'est aussi la limite des bonnes con-ditions de stabilité.

A moins de cas de force majeure, on ne devra jamais dépasser:

H = 2 D

Cette deuxième valeur de H correspond aux proportions archi-tecturales d'un portique; on la trouve parfois dans les grandsviaducs.

.

Plinthes, consoles, cOJ'dons et couJ'onnements. - Si l'on admetles notations suivantes:II, hauteur totale de l'ouvrage depuis le dessus des fondations

jusqu'au-dessous de la plinthe;h, hauteur de la plinthe;hf, hauteur du couronnement du parapet;

f, flèche de courbure de la face supérieure de ce couronnement;hlf, hauteur de la console;

c, hauteur du cordon des piles, moulures comprises;cf, hauteur de la partie inclinée du chaperon des piles;

~s, saillie de la plinthe;

i, inclinaison du chanfrein de la plinthe;Sf, saillie du couronnement sur le flIt du parapet;Slf, saillie du cordon sur le fût des piles.

On fera, d'après le développement plus ou mOlllS grand desmurs de têtes et la hauteur des ouvrages:

h = 0,f5 + 0,02IfQU

h = 0,20 + 0,02If


Et pour tous les cas:

h' = 0,70h;f == 0,05 L,

L étant la largeur du couronnement du parapet.Lorsqu'on voudra gagner de la largeur et mettre le parapet en

porte-à-faux, on placera sous la plinthe une console dont la hau-teur sera:

h" = 0,70 h.

Les cordons des piles auront une hauteur de :

pc=T

et le dessous en sera placé au niveau des plus hautes eaux con~nues; ils feront une saillie de :

s" .=. 0,45 c

sur la partie supérieure de la pile;La partie inclinée du chaperon aura une hauteur de :

, pc=1ü;

en appelant P l'épaisseur de la pile au sommet.La base du chaperon aura la même largeur que la partie supé-

rieure de la pile et sa hauteur sera au plus égale à celle de la mou-lure inférieure du cordon.

Toutefois, dans le cas où la hauteur du cordon d'une pile ainsiobtenue dépasserait celle de la plinthe, il faudrait la réduire et :afaire égale à cette dernière; dans les petits ouvrages, le corùonn'aura jamais moins de om,f2 à om,f4 de hauteur totale.

Pour les plinthes sans moulures destinées aux petits et moyensouvrages et selon les dimensions des murs de tête:

s = 0,40h

ous = 0,00h


Pour les plinthes avec moulures employées dans les grands

ouvrages:s == 0,/0 h,

et pour tous les cas:

i == 0,30 s.

Pour les petits ouvrages sans moulures: Si = 0111,020

Pour les grands ouvrages id. : Si = om,05 ;

id. avec moulures: Si = 0111,10;

Parapets. - Les parapets d'un pont en pierre doivent être enpierre, c'est la règle générale. Si les tympans sont à jour ou si

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Fig. 129.

l'on veut donner une apparence de luxe à l'ouvrage, on aurarecours à des parapets ~jours formés de balustres ou simplementà des parapets en briques et pierre de taille dans lesquels on peutménager des évidements de toute forme.

En tout cas, il convient d'indiquer sur le parapet la clef desvoûtes et l'axe des piles par des. dés ou babuts en pierre d'une

PROPORTIOXS ET DISPOSITIONS ARCHITECTURALES 309

ornementation plus soignée; cependant les constructeurs s'affran-

chissent de cetle sujétion dans les ouvrages ordinaires.

Dans les petits ouvrages, l'épaisseur des parapets varie de OID,3oàOID,40 et leur hauteur de OID,7oà om,80 au-dessus de la plinthe;

dans les moyens ouvrages la hauteur seule varie et oscille entreom,80 et om,90.

Dans les grands ouvrages, l'épaisseur des parapets est comprise

entre om,40 et om,50 et leur hauteur entre om,90 et 1 mètre.

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Fig. 130.

Mais, quand on emploie de la brique, les dimensions ci-dessusdes parapets doivent être modifiées de façon à comprendre lenombre de briques entières se rapprochant le plus des donnéesprécédentes, à moins qu'on ne coupe la brique à la longueur con-venable pour conserver l'épaisseur primitive.

La coupe ci-contre d'un parapet en briques et pierre de tailled'un pont de 10 mètres d'ouverlure a été dessinée avec les dimen-sions fournies par les formules qui précèdent, en supposantH =7ffi,50.

. .


Les détails (p. 309) du cordon et du chaperon d'une pile résul-tent également de l'application des formules précédentes (fig. 130).

Rampants et dés des murs en aile. - Il est d'usage de régler,comme il est indiqué ci-dessous, la largeur des rampants des mursen aile, suivant un plan parallèle aux têtes et la hauteur des désqui limitent ces rampants:

Aqueducs de om,60à {m,OO.{ Rampants: 0,m35,au plus;~

Dés: de om,30 à om,35 au-dessus du radier.

Ouvrages de 4, 3, 6m,00.

i Rampants: om,45au plus;

~Dés: de om,30 à Om,35 au-dessus du rad.ier.

{ Rampants: de om,60 à om,65 au plus;{ Dés: de om,80 à Om,811au-dessus du sol.

Aqueducs de {m,50 à 2m,00.

Dans les aqueducs, les dés ne font pas ordinairement saillie surle nu des murs en ailes; dans les autres ouvrages, ils présententsur chaque rampant une saillie de OID,02à OID,03environ, mesuréesur la face anlérieure des dés au niveau du béton.

Pour les ouvrages de plus grande ouverture, la largeur desrampants et la hauteur des dés ne varient plus guère et se trouventgénéralement dans les limites ci-après:

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Ramp.

ants: de om,65 à om,75 au plus;uvrages e a,.. m e au e a. .,

Des: de om,85 a {m,OO au-dessus du sol;

Quelques constructeurs proposent de régler la largeur des ram-pants en la faisant égale à l'épaisseur de la plinthe. Cette manièrede procéder peut donner des rampants trop maigres, notammentpour les petits ouvrages.

Enfin, il est d'usage de raccorder la partie supérieure du dé avecles rampants des murs en ailes au moyen d'arcs de cercle,comme il est indiqué (fig. 131) ; on évite ainsi une cassure désa-gréable contre le dé.

Disposition des rampants des murs en ailes. - Plusieurs prati-ciens font commencer les rampants des murs en ailes au-dessousde la plinthe; cette disposition n'est pas naturelle et, par suite, ellelaisse beaucoup à désirer sous le rapport architectural; quand, aucontraire, ces rampants prennent leur origine au niveau du dessus

PROPORTIONS' ET DISPOSITIONS ARCHITECTURALES Pl. 12.1

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de la plinthe, ils présentent un aspect plus agréable à l'œil. Lesangles saillants des crémaillères ne doivent jamais se trouver dansle parement vu des rampants, car indépendamment du mauvaiseffet qu'ils y produiraient, ils nécessiteraient des remplissages enmenus matériaux faciles à dégrader. La ligne qui détermine lessommets de ces angles est généralement une parallèle au pare-

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Fig. 131.

ment vu du rampant menée par l'arête inférieure la plus saillantede la plinthe; enfin à chacun des angles saillants des crémaillèresdoit correspondre un joint normal au rampant et le joint verticalde la première crémaillère doit se trouver dans le prolongementdu parement vertical de la plinthe. La figure 132 (pl. n° XII) donneune disposition type d'un rampant de mur en aile appareillé avecdeJa brique; il est facile d'en déduire la marche à suivre pourtrouver un appareil en moellons ou en pierre de taille, car cetappareil est exempt des grandes sujétions imposées par les dimen-sions des briques.

Enfin il faut toujours dégager les bandeaux des voûtes en pla-çant le parement intérieur des murs en aile tangentiellement àl'extrados de ces bandeaux et diriger les joints des rampants sui-vant les horizontales des talus de remblai.

Les maçonneries formant le complément de l'épaisseur des murscn ailes, du côté des terres, font également retraite sur les pare-


ments vus des rampants suivant la ligne pointillée limitant lessommets des crémaillères; cette retraite a pour but de faciliter leraccordement des rampants avec les talus des levées. Ces maçon-neries sont, en outre, disposées en glacis vers les remblais.

La figure 133 représente l'élévation d'une tête de passage infé-rieur en moellons, de 4 mètres d'ouverture, avec :murs en ailesinclinés.

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Fig. 133.

Viaducs. -En général, lorsqu'on a des vallées profondes etlarges à franchir, il devient plus économique d'établir un viaducqu'un remblai.

La limite ordinaire où la compensation de dépense s'établit estcomprise entJ'e les hauteurs de 15 à 18 mètres, à moins que l'onait de grandes tranchées voisines dont il faudrait meUre les lerrescn dépôt pour laisser la place du viaduc; mais, dans le cas oÙ ilfaudrait faire des emprunts ou augmenter d'une manière notableles déblais d'un tracé, en vue. seul,ement d'avoir des terres pourfaire le remblai, le viaduc commence à présenter de l'économie.


D'ailleurs, il y a encore une foule d'autres considérations qmentrent dans la question et ne peuvent trouver place ici.

.

PorporlÎon de l'ensemble d'un viaduc. - Lorsqu'on a à établirun viaduc, le but auqu el on doit viser est celui-ci: faire le moinspossible de maçonnerie par mètre carré de section longitudinale;-e.nun mot, franchir l'espace donné le plus économiquement pos-sible, tout en restant dans de justes limites de solidité et de sécurité.

Ce minimum correspond à peu près à une ouverture qui variede la moitié aux deux tiers de la hauteur moyenne de l'ouvrage.

La proportion de 1/2 convient lorsque le viaduc n'est pasencaissé entre deux montagnes dans une vallée étroite, c'est-à-dire lorsque les culées ont encore une cerlaine hauteur.

La proportion de 2/3 convient lorsque le viaduc est encaissédans une vallée étroite en forme de V.

Piles des grands viaducs. - La pile d'un viaduc avec soubasse-ment se composera ainsi qu'il suit en partant des naissances:

(1° Fût.

Viaduc proprement dit. ) 2° Piédestal, socle;. 1 3° Socle.

\

{ 1° Fût du soubassement;Soubassement. . . . , 20 Piédestal du soubassement ou base;

( ~o Socle.

Les proportions de la pile seront les su,ivantes :( 6 fois l'épaisseur de la pile au niveau des

1° Hauteur du fût. .. '. . ( naissances:

~2 fois l'épaisseur de la pile au niveau des

2° Hauteur du piédestal. . ( naissances ou 1/3 de celle du fût;

3° Hauteur du socle quand il~

2 fois la saillie et si cette hauteur dépasse 0,40n'y aura pas de soubasse- 1 à 0,50 centim~tres, le fai:e en deux assi-ment. . . . . . . . . . ~ ses avec retraites succeSSiVes;

4° Hauteur du fÙt du sou bas. !sement. . . . . . . . . ( Commeau premier fût;

~o Hauteur de la base. .. Comme au premier piédestal.

6° Socle.. . . . . . . .. Commeau premiersocle.

Les parements latéraux de côté et de tête des fûts auront un fruitde om,025 par mètre;


La saillie du piédestal sur le pourtour du pied du ftIt sera du1/20 de la largeur du pied du fût;

La saillie du socle sur le pourtour du piédestal sera du 1/20de la largeur du piédestal;

La saillie du fût de soubassement sur le piédestal sera du 1/2"0dela largeur du piédestal:

La saillie de la base: 1/20 de la largeur du pied du fût du sou-bassement;

La saillie du socle: 1/20 de la largeur de la base;Enfin, chaque saillie est du 1/20 de la largeur sous laquelle elle

est immédiatement établie.Proscription absolue des angles rentrants.Les voûtes surbaissées formant arcs-boutants des piles seront

disposées à une hauteur telle que le dessus de leur plinthe setrouve au niveau du dessous du piédestal.

Lorsqu'on aura peu de hauteur au-dessus des piles, on ajouteraseulement une base sous le piédestal.

Les renseignements qui précèdent n'ont rien d'absolu et les pro-portions architecturales des piles des viaducs restent soumises augoût du constructeur.

Nous donnons (fig. 134 pl. XIII) une application des principesci-dessus à un viaduc ornementé, de 10 mètres d'ouverture.

Ce type de viaduc ornementé ne se fait plus guère aujourd'hui;on construit maintenant les fûts des piles et du soubassementd'un seul jet d0puis les naissances des voûtes jusqu'au socle infé-rieur sur toutes les faces: on remplace assez souvent la pierre detaille dans les angles et dans le bandeau par du mo~llon d'appareilpour donner aux viaducs l'aspect de rusticité qui leur convient; lecordon, la plinthe et le couronnement du parapet sont alors seulsen pierre de taille; le cordon est même parfois supprimé au niveaudes naissances.

Type usuel de viaduc. -Nous donnons (fig.135, pl. XIV), commetype de viaduc fréquemment employé de nos jours, le viaduc deComelle (Chemin de fer de Paris à Cl'eil), construit par M. l'ingé-nieur Mantion, ancien ingénieur en chef de la Compagnie duchemin de fer du Nord. Cet ouvrage, malgré sa grande hauteur

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au-dessus de la vallée qu'il franchit, ne comporte pas de voÙtesformant arcs-boutants, ce qui lui donne beaucoup de hardiesse etde légèreté.

Ponts et viaducs en courbe. - Les ponts et viaducs en courbeétaient formés autrefois par un polygone ayant pour côtés alter-natifs: 1° l'ouverture des voÙtes; 2° l'épaisseur des piles au plandes naissances; de nos jours, on les établit suivant les courbesintérieure et extérieure qui les enveloppent.

Les voÙtes sont toujours cylindriques; les piles seules rachè-tent la convergence des axes des voÙtes; elles sont donc plus,épaisses du côté convexe que du côté concave, circonstance favo-rable pour la résistance de la poussée au :vide.

On donne aux piles du côté concave les dimensions résultantdu calcul.

Il est convenable aussi de disposer les avant-becs du côté con-vexe en contrefort; mais il est inutile de prendre cette précaution.du côté concave, à moins que ce ne soit par symétrie.

Observation. - Nous renvoyons le lecteur aux remarquables.ouvrages de MM. Croizette-Desnoyers, Morandière et Dupuit, pourtout ce qui concerne l'ornementation des ponts et viaducs, aux.abords des villes, les seuls, d'ailleurs, qui exigent une certaine;richesse des détails dans les parements vus des maçonneries.

L'exposé des longs développements que comporte une pareillematière ne rentre pas, en effet, dans le cadre d'un livre aussi res-treint que le nôtre.

D'un autre côté, pour rés umer tout ce que nous avons dit pré-cédemment sur les ponts en maçonnerie, nous donnons planche XVfigures 136 à 141, le projet complet d'un pont composé de deuxvoûtes en arc de cercle de 3 mètres d'ouverture chacune, surbaisséesau 1/6 et dont les dimensions et proportions architecturales ont été.calculées au moyen des formules indiquées dans notre ouvrage.Ce pont se présente bien, dit-on, et il nous paraît satisfaire auxconditions requises d'une bonne stabilité.

APPENDICE

TABLEAUX

DONNANT LE POIDS DU MÈTRE CUBE

ET LA RÉSISTANCE A L'ÉCRASEMENT DES MATÉRIAUX DE CONSTRUCTION

POUR UN GRAND NOMBRE DE DÉPARTEMENTS

DE LA FRANCE

NOTA.- Les premiers tableaux SOl~textraits du répertoire des carrières de pierrede taille exploitées en 1889, qui a été publié par le Ministère des Travaux Publics,à l'occasion de la dernière exposition universelle.

La résistance moyenne indiquée dans ces tableaux n'est pas toujours la moyenneal'ithmétique des résistances minima et maxima qui la précèdent, par laraison qu'elle a été obtenue en tenant compte des résul tats fournis par lesessais de tous les échantillons d'une même nature de pierre. .

RÉSISTANCE DES MAT~~RIAUX DE CONSTRUCTION

Nous avons vu, dans le cours de cet ouvr.age, que la théorie desmurs de soutènement et des voûtes comprend deux grands pro-blèmes :

10Etant donné un mur ou une voûte de dimensions et de maté-

riaux connus, déterminer la pression ou la tension qui existe enun point quelconque de ce mur ou de cette voûte;

2° Inversement, étant connus les matériaux dont :on dispose,ainsi que la hauteur et la forme d'un mur, l'ouverture et la montéed!une voûte, déterminer l'épaisseur de ce mur et les autres dimen-sions de cette voûte de telle sorte que la pression ou la tension enun point quelconque ne dépasse pas des valeurs données.

Ces problèmes, encore imparfaitement résolus par la science,ont pour base les connaissances expérimentales sur la résistanceque présentent les matériaux en usage dans la construction desmurs et des ponts

Il nous a donc semblé qu'il y aurait un intérêt sérieux à résu-mer, dans les tableaux suivants, les essais faits à l'Ecole nationaledes Ponts et Chaussées sur la résistance et la détermination dupoids spécifique des pierres de taille provenant des carrièresacluellement exploitées en France.

Nous -rappellerons que les constructeurs admettent que l'on nedoit pas imposer aux matériaux une charge supérieure au dixièmede celle qui produit r écrasement; cette charge représente la résis-tance pratique: ainsi des matériaux dont la résistance à l'écrase-ment est de 1 000 kilogrammes par exemple, ne doivent pas êtresoumis à plus de 100 kilogrammes de pression par centimètre carré.

320 APPENDICE

D'un autre côté, le mot écrasement est pris dans son acception laplus étendue; il ne doit pas s'entendre de la pulvérisation desmatériaux, mais seulement d'une déformation quelconque de lamatière produisant soit une soufflure, soit une lézarde.-

Sous ce point de Yue, la résistance pratique à l'écrasement varienon seulement avec la dureté des pierres et la qualité des mortiers,mais encore avec le mode d'appareil des premiers et l'état plus oumoins flasque des seconds. La proportion du 1jlO, facile à réaliserpour des bases de supports verticaux, est généralemént de beau-coup dépassée dans les voûtes; il est certain que les pressions àla clef et aux joints de rupture doivent aUeindre souvent le 1jo,le 1j4, le 1j3, peut-être même la 1j2 de la résistanceà l'écrasementdans les ponts très surbaissésde grande ouverture, mais la théorien'est point assez avancée pour qu'on puisse résoudre la questionavec certitude.

Il serait à désirer que l'on connût la résistance à l'écrasement.de tous les matériaux que l'on emploie; aussi accueillerons-nousavec reconnaissance tous les renseignements que les constructeursvoudront bien nous envoyer à ce sujet.

RÉS!STANCE A L'ÉCRASEiIlENT

PAR CENTIMÈTRECARRÉ

minima maxima

j

moyenne

kg. kg. kg.

1131 1176 1 16761:8 1311 1096769 909 870847 965 937

1000 1071 1034417 !HO 477857 1221 1011987 1023 1014

1456 1793 1 5~5i 266 1921 i 539

904 1082 9941226 1320 1 2521629 1653 16391 589 1979 9311403 1 640 1 561

784 799 791344 348 346

28 89 50

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX A L'ÉCRASEMENT

10 PIERRES DE TAILLE

DÉSIGNATiON

des

MATÉRIAUX

Ain

Choin d'Hauteville. . . . . . . . .- de Villebois. . . . . . . . .

Pierre de Saint-Cyr. . . . . . . . .de Saint-Martin. . . . . . .de Drom. . . . . . . . . .de Ramasse. . . . . , . . .de Villette. . . . . . . . . .de Turgon. . . . . . . . . .de Montmerle. . . . . . . .

Roche de Farges. . . . . . . . . .- de Thoiry. . . . . . . . . .- de Divonne. . . . . . . . . .- d'Echenevex. . . . . . . . .

de Vesancy. . . . . . . . .- de Châtillon. . . . . . . . .

Aisne

Pierre de la Ferté-Milon ç1el' banc. .(2e banc.

Vergeléde Vassens. . . . . . . . .Banc royal de Vassens. . . . . . . .Pierre de Colligis. . . . . . . . . .

- de Colligis(humide) . . . . .LiaisdeVendresse. . . . . . . . .Pierre de Festieux. . . . . . . . .

- de Sermoise. . . . . . . . .- de Sermoise(humide). . . . .

Vergeléde Vierzy. . . . . . . . . .Bancroyal. . . . . . . . . . . . .Vergelé(humide). . . , . . . . . .Pierre de Billy. . . . . . . . . . .

- de Billy(humide). . . . . . .Rochede Crouy. . . . . . . . . . .Liaisde Crouy. . . . . . . . . . .Bancsl'oyaIsde Crouy. . . . . . . .

POIDS MOYEN

dll

MÈTRE CUBS

kg.

276226852723272727532389265527172733269227072740268326862676

23912 1721475185414351 799245225301 45518341 5021620i 85714181756215922911 588

403031

682759

31293071433"i)

23200392

31

474333

835836

383643 !78454130

27ÇJ498

66

516236

i 0531112

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466583474636

422645113

21

322 APPENDICE

DÉSIGN A nON POIDS MOYEN nÉSISTANCE A L'ÉCRASBIE:\T

des duPAR CE1\TI:IIÈTRECARRÉ

MATÉRIAUX MÈTRE CEDE minima maxima moyennc

kO' kO' kg. kg.". ".

Bancs l'oyaIs de Crouy (humides). 1 816 39 50 43

Roche de Villers-la-Fosse. .. . 2330 167 676 410- d'Aizy. . . . . . 2210 253 452 356- d'Aizy (humide). 2328 167 38~ 293

Vergelé de Jouy. . 1855 138 18~ 161Banc franc de Jouy. 2179 292 503 423Pierre de Pargny. . 1956 142 321 193Roche de Laversine . 2338 387 560 490Vergelé de Laversine. . . . . 1505 4i 47 45

..::..- de Laversine (humide). 1 845 32 35 . 3~Pierre de Ressons-le-Long. . . . . 1 634 7i 91 81

de Ressons-le-Long (humide) i 913 55 72 60Roche de Puiseux. 2118 n6 528 306Banc royal 1 891 116 340 188Roche de Vivières. . 1 991 286 299 291

Allier

Pierre de Gannat. . 2651 827 1038 884- de Valtan . 2084 323 360 336

de Droiturier. . 2605 l 320 1 729 1458Calcaire du Plaix. . 2552 760 1 130 961Grès des Pégauds. 2257 454 484 464Pierre de Jarges . . 2626 804 1 145 980

de Treignat 2545 854 909 881Grès de Montvicq. . 2157 208 279 24-3Pierre de Diou 2688 780 j 057 918

de Bourbon 2061 177 202 193dure de Messarges . 2082 36:~ 409 ;J91

- tendre de Messarges. 2003 129 18~ 1;:;6

Alpes (Basses-)

Pierre de Serennes . 2674 64;:; 895 770d'Aiglun. . 2401 464 507 490

- de Gréoulx. 2632 1174 1428 1293de Mâne. i 992 206 ~62 241

- de Céres te. 1 94-2 126 225 173

- du Caire. . 2667 768 1323 1 114

Alpes (Hautes-)

Pierre de Chorges 2695 1441 1441 1 Hl

- des Casses. . 2595 1674 2.124 1 858

- des Corbières 2601 1744 1 982 1 892de Veynes. 2669 1 336 1978 1502

Alpes-Maritimes

Pierre de Roquevignon 2690 1292 1 397 1345- de la Sine. . .

:

1

2729 1011 1 212 1 i 30de la Turbie. 2679 1221 1397 1267

RÉSISTANCE A L'ÉCRASE~IENT

PAR CEI\TBIÈTRE CARRÉ

minima1

maxima moyenne

k'" k'" k'"o' o' o'

1 400 1 904 1 641466 528 499608 727 670

96 184 1341 291 1 646 1 43 j

233 252 245227 283 256511 729 689

1514 2051 1 752351 493 434571 7a 659

l155 1259 1 2121316 1 713 14731569 1 961 1 772

321 481 313339 486 406340 863 551

1941 2011 1 979833 1327 1 084

1363 1 709 1 565

112 132 11676 108 88

135 178 163829 1010 861

1213 2143 1 6981846 2 18-: 2036

159 178 168286 408 332222 225 224

Ariège

Pierre de Saint-Jean. 2747 607 756 695- de la Bastide-de-Bousignac. 2447 542 727 663de Coufet . . . . . . . . 2314 497 571 534-. de Moulis 2765 691 891 797

Aude

Pierre de Villegly.. . . 2400 571 903 7b6Granite des Martyrs. . 2590 640 798 744Pierre de Laure. . . . 2579 550 769 614-- dure de Laure . . 2694 1524 1648 1586d'Alet. . . 2128 434 505 469Turet de Ferrals . 2396 425 696 555

APPENDICE 323

DÉSIGNA TION

des

~I A T É RIA U X

POIDS MOYEN

du

MÈTRE cellE

Ardèche

Pierre de Chandolas. ..""Grès des Tauriers. . . . . . . . . .

- de Jaujac. . . . .. ....Pierre de la Gorce. . . . . . . . .

de Ruoms. . . . . . . . . .de Vagnas. . . . . . . . . .

- de Vallon. . . . . . . . . .Grès de Chambonas. . . . . . . . .Pierre de Saint-Paul-le-Jeune. . . .Grès de la Bégude. . . . . . . . .- d'Ucel.. . . . . . . . . . . .

Pierre de Chomérac. . . . . . . . .de Pouzin. . . . . . . . . .d'Alissas. . . . . . . . . . .duMoulin~à-Vent. . . . . . .

Grès des Sceauteaux . . . . . . . .Pierre de Cruas. . . . . . . . . . .

de Vogué. . . . . . . . . .- de Crussol . . . . . , . . .

Granite de Peaugres. . . . . . . . .

Ardennes

Pierre de Dom-le-Mesnil.. . . . . .- de Dom-le-Mesnil (humide)

de Saint-Martin. . . . .de Saint-Laurent. . . . .

- des Trois-Fontaines. . , .- de Notre- Dame-de-la- Halle.

de Chémery. . . . . . . . .du Fond-d'Enfer. . . . . . .de Bulson. . . . . . . . . .

kg.268922372578198127151 8782 HO2272267822462188269226612660216321432217265826282624

1820:20761976255!27032698199623312211

324 APPENDICE

DÉSIGNATION POIDS lIIOYE1'i RÉSISTAliCE A L'ÉCRASD!El'iT

des duPAR CE~TlMÈTRECARRÉ

MATÉRIAUX MÈTRE CeDEminima maxima moyenne

kg. kg-. kg. kg.

Pierre de la Nouvelle (sèche). . . 2670 977 1308 1170de la Nouvelle (humide). 2 891> 597 1052 686

- des Trois-J assettes . 2699 1227 128~ 1248

Aveyron

Pierre de Peyrelebade. . 2413 778 1 078 912- de Gandillac. . . 2770 1035 1165 1093

Tuf de Triadou. . . . . . 1311 50 54 51Pierre de Vines. . 2771 1045 12ô6 1141Bouquet du Vassel. 2529 813 1037 987Grès d'Agladières. . . . 2103 101 108 106Pierre de Saint-Félix. . 2241 705 768 .

721de Saint-Félix. 2 t55 442 640 511

Grès de Gissac. . 2185 288 387 340Pierre de Puech-Bourilhon . . :2 145 210 320 263

de Bussac. . , . . 2428 897 1221 1054de la Meulière. . , 2376 438 559 486

Calcaire de Montbazens. 2460 670 848 759Pierre de Marin. 2387 1 191 1386 1279

de Marin. 2 Hi 654 989 827de Mauriac. . . 2277 492 701 580

Belfort (Territoire de)

Pierre de Saint-Dizier. . . 2509 532 765 616Grès de Saint-Germain. . . 2379 558 6i>4 603 i

1

Bouches-du-Rhône

'2708 1269 1807 1535

Pierre de la Gorgue. ., 2700 1 280 1439 1 3362566 899 946 928

de Rogues. . 1991 76 102 87Grès de la Couronne 2076 175 208 . 187Pierre de Meyrargues. 2722 1 209 1563 1355

- de la Calissanne :2217 144 288 215de Barbette-Belval 1809 70 75 71de Fuveau. . . 2697 974 1069 1014de Fontvielle. . . 1632 43 78 60

- de Montpaon. 1957 122 130 126Grès de Barbentane. . . . 2058 183 238 202Pierre de Saint-Rémy. . . 2060 147 336 252

de Saint-Gabriel . . . 2020 147 160 153de Cassis . . . . . . 2728 1086 1187 1160

Calvados

Pierre de Caen. . . . . 1 962 145 422 212de Caen (humide). 2147 71 182 108de Caen. . . ., . . 2010 199 285 242

POIDS MOYEN RÉSISTA]'\CE A L'ÉCRASE~!ENT

duPAR CENTIMÈTRE CARRÉ

MÈTRE ceDEminima

1

moyennemaxima

kO' kg. kg. kg.o'

1 914 H7 145 1332214 80 157 HO1803 i02 132 H72522 401 462 4302220 34-ÇI 374 36'l2302 381 482 4352403 267 377 3232481 216 377 305234-7 274 326 3042458 212 339 2832718 945 1115 10;)0

2606 8~7 1005 9512597 870 1292 10822648 850 997 9232145 270 417 3322181 345 397 3622 6H 684 84-4 7622397 579 633 6012154 450 539 4942345 394 ~84 500.2149 407 4M 4372680 881 906 892

1824 55 120 :'822013 49 85 621733 71 88 812141 337 683 4812 a58 408 650 .5271805 56 91

~,../.<)i94:l 81» H8 1021838 42 81 631909 6.5 73 691 69i 4i 45 1 432263 250 304 280, i

,

1696 57 86 75 i

1 857 Hl 201 16t .i

1 791 i53 174 i641869 91 114 10~1789 111 121 1162074 310 338 322t 756 64 72 682.415 368 615 ~081905 88 H'J t07

ï

APPENDICE 325

DÉSIGNATION

des

MATÉnTAUX

Pierre de la Maladrerie. . . . . . .- de la Maladrerie (humide) .

d ' O ' l (franche. . . . . .rIvat dure. . . . . . .

de Quilly. . . - . . . . . .- d'Urville. . . . . . . . . . .

Liais d'Aubigny (1Cl'banc). . . . . .- d'Aubigny (1cr banc, humide).- d'Aubigny (~e banc) . . . . . .--.: d'Aubigny (2° banc, humide). .

Granite de Vire. . . . . . . . . .

Cantal

Pierre de Conte. . . . . . . . . . .- de Lascanaux . . . . . . . .

Granite de Saint-Géron::;. . . . . . .Trachyte de Saint-Clément. . . . .

de Faillitou. . . . . . . .Dolérite de Sion. . . . . . . . . .TrachyLed'Angoules . . . . . . . .Pierre de Montei!. . . . . . . . . .Trachyte du Puy-Mary. . .

- de Molèdes. . . . . . . .Lave de Bouzentès . . . . . . . . .

Charente

Pierre d'Angoulême. . . . . . . .- d'Angoulême (humide) . . . .

de Nersac. . . . . . . . . .de Mouthiers. . . . . . . .de Vilhonneur. . . . . . . .

- de Chez-Delaisse. . . . . . .---: des Chaudrolles . . . . . . .- de Saint-Même. . . . . . . .- de Saint-Même (dure). . . . .

de Saint-Même (à grain)de Chez-Tabarre. . . .

Charente-Inférieure

Pierre de Chez-Durandet. . . . . . .de La Rochette. . . . .de Bellevue-Jonzac. . .d'Hortebize-Jonzac. . . . . .demi-dure de Saint-Germaindure de Sain t-Germain .de Clion. . . . . . . . . . .de ]a Limoise. . . . . . . .ùe Champagne. . . . . . . .

RÉsrSTAXCE A L'ÉCRASElIIE:-ïT

PAR CE);TUlÈTRE CA.RRÉ

minima maxima moyenne

kg. kg. kg.

~47 171 159388 46;) 42b180 217 199266 397 336267 434 309267 371 323;)33 615 580219 29* 244189 290 235165 223 198169 339 219210 412 296112 261 178363 520 46150* 685 ;)70

96 240 14848 134 76

61 120 90698 1400 972185 236 2149:;) 1 406 1 149769 1 134 980178 501 328421 617 ;)12423 536 46216* 255 204421 439 432264 419 3;)3614 1290 1003

1 053 1276 1 177

2267 485 ;)27 5012213 412 488 4422194 3:J0 404 3732248 ;)0;) 580 5;)02077 158 186 '1642054 290 393 3;)02142 414 657 5362146 306 381 3562680 1361 1607 1 ;)14. 2572 64 L 967 781 ..

2587 876 998 9262,559 803 808 8052 '733 891 982 936

326 APPENDICE

DÉSIGNA TION

des

l\!ATÉRrAUX:

Pierre de Carlot (demi-dure). . . . .- de Carlot (dure) . . . . . .- des GuiHoteaux(demi-dure) .

des Guilloteaux (dure). . . . .- de Rochefollet . . . . . . .- du Douhet (banc supérieur) .- du Douhet (banc inférieur).

du Château-'du-Douhet. . .- de Saint-Vaize (1er banc).- de Saint-Vaize (2° banc).- grise de Cazannes. . . . . . .

rous"e de Cazannes. . . . . .- blanche de Cazannes. . . . . .

) 1er banc. . . . . .de Dreux1

2e banc. . . . . .- du Rocher. . . . . . . . . .- de Saint-Savinien. . . . . . .

Cher

Pierre de Bourges. . . . . . . . . .-- de Saint-Florent. . . . . . .

Grès du Port-Dessous. . . . . . . .Pierre de la Chapelle-Saint-Ursin. . .

- de Chaumat . . . . . . . . .- de VallE'nay.. . . . . . . . .- de Villiers. . . . . . . . . .- de Charly. . . . . . . . . .- de Bruère. . . . . . . . . .- de la Celle. . . . . . . . . .

de l\1eillant . . . . . . . . .Pierre ~

banc Boyrriou. . .de la Hencontre J banc gns . . .

( banc de fond.Grès de la Brande-des-Pérais. - . . .

Corrèze

Pierre de Saint-Robert. . . . . . . .Gré de Tudeils. . . . . . . . . . .Pierre de la Vrgne. . . . . . . . . .

- de Gros-Champ. . . . . . . .- de Gramont. . . . . . . . .- de Puymège . . . . . . . . .- de Puyrnège. . . . . . . . .- de Collonges. . . . . . . . .

Granite de Mons. .."""d'Eyren.. . . . . . . . . .

des Simons. . . . . . . . .de Gioux. . . . . . . . . .d'Eybrail. . . . . . . . . .

POIDS MOYEX

du

MÈTRE CCBE

kg.

19932268202;)22002234217023682054206420382063204820082372235419741814

1 8;)025751 7072 ;)662 5::172330234321732157247321642632269426481954

1381322

1 1613;56

1 ;)80342


kg, kg. kg,

834 912 869521 947 8'H948 1233 i 106

447 M9 582914 1050 989649 649 649888 1200 1 015914 916 91a368 461 401327 592 470240 258 249192 258 213685 740 715432 726 !)30507 573 524894 916 905416 469 432441 551 473395 570 472915 1092 1023859 1398 9;;0393 809 626347 622 51!)610 724 653708 1 060 866180 799 318734 917 8706\9 720 61'8826 1014 904524 695 517

i 206 1510 1360398 425 407744 987 865257 324 302427 521 465676 777 711770 1126 864

114:~ i 521 i 292. 81 ~i062 9:;3

711 i 028 901394, 523 445

1038 1430 1292

APPENDICE 327

DÉSIGNATION POIDS ~IOYEN RÉSISTANCE A L'ÉCRASE~IENT

PAR MÈTRE CeBEdes

MATÉRIAUX

Corse

Pierre de Brande. . . . ". . . . .

- marbre de Corte. . . . . . .- marbre de Serragio. . . . . .

Côte-d'Or

Pierre de Meursault. . . . . . . . .- de Grosmain. . . . . . . . .- du Bois-Moutot. . . . . . . .- de Comblanchien. . . . . . .- du Val-Rot. . . . . . . . . .- de Jeutre. . . . . . . . . . .- de Mont-Saint-Jean. . . . . .- de Magny-Lambert. . . . . .- de Semond, . . . . . . . . .- de Pierre-Chèvre. . . . . . .- de Chamesson. . . . . . . .- de Cérilly . . . . . . . . . .- de Combe-Frayot. . . . . . .

de Puits. . . . . . . . . . .- de Verdonnet. . . . . . . . .

de Montmoyen. . . . . . . .des Creux-de-four' . . . . . .de Licey. . . . . . . . . . .

Pierre de

!

1er banc. . . . . .

Cham p-Gaillard 23:

bbanc. . . . . .anc. . . . . .

PierredeBrochon.. . . . . . . . .d'Is-sur-Tille. . . . . . . . .

~

roche grise.. . . .Pierre de Lux banc blanc. . . . .

banclié. . . . . . .Taille de la Combe-au-Fou. . . . . .Pierre de la Garonne ) ~ gra~n fin . .

/ a gram moyen.Pierre de la Roquette. . . . . . . .Pierre de Tarcot

) banc ~u~é~ieur . .~ banc ll1feneur.

Pierre de Saint-Rémy, . . . . . . .Granitede Bonjean. . . . . . . . .

Côtes-du-N ord

Granit de Hinglé. . . . .- de Lehon. . . . -.

de Kérinan. . . . .- de la Pierre-Percée.

de Guénézan. . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

du

MÈTRE cellE

kg.

265326922712

25032717258426912 74-024222390227020782418232325232634219521812414260526262487244924-722658235626f726432714232926382234,26522178224623702586

26332643254025022633

328 APPENDICE

DÉSIGNATION POIDS MOYEN RÉSISTAl'\CE A L'ÉCRASEMENT

des

MATÉRIAUX

Granit de Pleumeur. .- de Saint-Brieuc. .

Creuse

Pierre de la Croix-de-la-Forlune.Granite de Saint-Médard. .

. ..~ banc supérieur.Piene de Soubrebost~ banc inférieur.

Pierre de Compeix. . . . . . . . .- de Saint-Sylvain-Bas-le-Roc .- de la Roussille.

"- du Mas .- de Crozant. .

p'. d M f grain fin . . . .Ielfe e au puy t éruptive. . . . .Pierre de St.Priest-la-Feuille t l::;N:~

Dordogne

Pierre de Colombier. . .- de Couze.- de Rabier.- de Lolme. . .- de Maurens. .- de Villars. .

P.d Rh' d

( sèche. ..lerre. e oc eVI eau ( humide.

Pierre de Mareuil.Granite d'Augignac. . .Pierre du Grand-Auzeau.

- de Saint-Front. .- de Lagrange.. ..- de Chancelade.- de Chancelade (humide). . .

Pierre de Chaudron Îd9rai

en fin.. .

( ur . . .

~

Carrière Dauve

.

rgne. .Pierre - de St-Georges

de

(

-de J'Arsault .Périgueux - de Bauzens. .

- de Mazeands .Pierre du Clos

- de Jovelle .

.

.

.

..

.,- de Campagne ..,\

Pierre \ Carrière des Eymaries.des Eyzies ( - Sallegourde..Pierre de la Combe-de-Lama. . . .

du

}JÈTRE C(;DE

kg.

25692750

26H264125632450255823882501258324542613265325332538

18161 E651 72720191 6631 81218942052206626172307213723831 908239024952658-J 987223520212474-2291255417871 î42180718571 91019301 914

minima

kg.

1048857

1089810

1022613760268358735461967562500574

7212298

14737476128

23966 j

536140M611343

215455200266196511551

123050285473

10912066

PAR CE~TIMÈTRE CARRÉ

maxima moyenne

kg.

18761597

1 32314201265

6187983096H3839M7990658795678

128-1521371508683

18150

3981151

'7972W923137

90465

10782532~6225684745

149862526998

12512870

kg.

134212z7

117910271123

6157842885107984919756236616H

97138116149

6065

10945

308962626203758125

73332786234-270211609641

138857395984-

115124 168 t

Doubskg. kg. . kg.kO'O'

Pierre de Baume. . . 2660 881 1 010 916- d'Hyèvre. . . 2665 881 10LO 973- d'Ornans . .. . . , 2492 769 927 854- de Grandfontaine. . 2690 983 1152 1 051- de Pouligney. . 2611 894 1203 1064

de Cléron. .. . - 2HO 435 475 454de Chailluz ( 2689 908 969 939. .,

2602 786 /96 7931de la MalcomlJe . . 2673 770 1 085 940

Pierre ~bancssupérieurs. .. 2590 819 1045 901de Vélesmes 1 bancs moyens et infér. 2505 585 789 703Pierre de Lougres. 2618 1022 1 267 1167

du Lac . 26t:\1 777 938 858de Montlebon 2139 142 239 182d'Houtaud. 26H 1426 1546 1477

Drôme

Pierre de Soyans. 2696 1054 1484 1338- de Marignac. . 2614 890 1186 1045

de Saillans.

J26i7 1387 1 577 1500- .2798 1178 1286 1231

de Poët-Laval. . 2098 573 756 675de GI:ignan . 1 920 153 272 189de Taulignan. . 2140 247 36) 291de Saint-Marcel 2453 820 1124 941de Montceau. 2428 852 1057 958de Beaume 2109 157 280 198, 1 623 45 75 58Mollasse ùe Sainte-Juste. . . \ 1699 94, 115 104

Grès de Saint-Jaumes. (2278 571 774 715

Mollasse de Châteauneuf. 2102 - Hf 148 139Choin de Saint-Nazaire. 2655 1049 1406 1271

Eure

Pierre de Goupillières. . 1581 39 82 65Grès de Broglie. . 2428 1 163 1309 1 21>3Pierre de Vernon. .1 1982 266 288 277.

2015 353 463 395t\ 1815 129 175 145(

Pierre de Caumont. .\ 2004 233 262 247. . . 1939 112 328 254Î 2061 77 117 9}\

Eure-et-Loir

Pierre de Berchères. . 2585 727 990 816

APPENDICE 329

DÉSIGNATION POIDS MOYEN RÉSISTAKCE A L'ÉCRASEMEKT

des

~IATÉRIAUX

du PAR CE~TI~ÈTRE CARRÉ

MÈTRE CUBEminima maxima mo yenne

330 APPENDICE

DÉSIGNATION POIDS MOYEN RÉSISTAKCE A L'ÉCRASEMEKT

des du PAR CE~TI~ÈTRECARRÉ

MATÉRIAUX MÈTRE ceBEminima maxima moyenne

kg. kg. kg kg.

Pierre de Concrez. 2644 927 998 951- de Gommerville . 2465 738 1 197 947- de Prasville 2456 652 750 702

du Croc-Marbot . . 1 759 57 68 62de Villangeard. 2M9 503 530 519d'Orgères. . . . 2538 725 1080 924

- de Péronville. , 2312 266 353 313- de Nogent. , . , . , , . 1474 45 51 47

de Saint-Denis-d'Authon 2478 762 1 174 1013

Finis tère

Granite de Kersanton . 2717 769 1 j 60 1024de Plouguin . '1 2702 1 437 1650 1 570

de Laber, \ 2667 9~5 1 ~67 1332'/ 2687 1140 1374 1237

de Locronan . ., 2578 647 749 690d'Huelgoat.

':

1

2617 1424 1 691 1566de Plouescat 2539 769 8')~ 797~;)

de Cléder .( 2605 1012 1464 1 268. ( 2606 1051 1456 1260

de Trégune. . 2591 929 1 148 1038de Kerguestin. 2599 684 707 695de Kàhennec. . . '. 25:;2 920 924 922.de Pont-d'Aven. 2600 877 973 925

Gard

Pierre de la Madeleine. 2685 877 2103 1598- de Barjac. 1 931 243 351 296

Grès de la Grand'Combe. . 2259 4i8 561 520Pierre de Saint -Ambroix . , , 2676 1 159 1423 1277

- de Brouzet. 2208 256 383 313

d M nt ils {

calcaire, 2608 t 623 1779 1726e 0 e mollasse. 2520 620 862 736claire découverte. . 1 t555 123 146 132claire forte. . . . 2032 160 21f 184claire blanche, 1817 88 110 99

Pierre blanche fine . 1 757 58 72 63de roussette du dessus. . t 874 123 129 126

Beaucaire grisette du dessus. 2061 151 2t3 178rousselle du fond. . 1972 149 li8 159grisetle du fond. . 2 .{Il 192 240 215la Combe-de- Béouloli . 1871 102 157 124

Pierre de Baruthel . . 2235 525 724 627de la Roquemaillère ) bleue. 2482 1678 1834 1756

blanche. 2293 716 775 744- de Lens 2278 273 421 360- d'Aiguesvives. , 1977 105 118 112- de Junas. . . 1848 83 93 86- de Pondres. . 1880 86 94 91

L

APPENDICE 331

DÉSIGNATION POIDS MOYEN RÉSISTAl\:CE A L'ÉCRASEM!!:l\:T

des duPAR CEKTIMÈTBECARRÉ

MATÉRIAUX MÈTREceBEminima maxima moyenne

kg. ka- kg. kg..,.Pierre de Gallargues. . . . 2650 -1362 1454 1 397

- de Saint-Gervais. . . 2 183 450 486 469- de Cas tillon 1863 94 117 96

Pierre1

î

Fontgrasse.. 1796 66 85 78de

jCarrières de Pont-du-Gard. 1827 82 97 92

Vers. Sainte-Marie. 1864 81 98 90

P. ~Lascans. . . . .. 2711 1 268 1 765 1 565letTe ,.

2720 .1 972 2138 2081de PompifTnan ~Pegalme. . . .

1:> Salles de Gour. 2669 1 ~84, 1 729 1445Pierre de Molières. . 2523 958 1 509 1 249

- de Montdardier. 2700 1308 1679 1549

Haute-Garonne

Pierre de Gan lies. ."

2 708 975 1 229 1124- d'Aurignac.. . . 2 246 232 247 242

de Séglan . . 2039 92 113 103- de Montoulieu 2287 404 5t55 491- marbre de Cierp. . . 2715 6\6 940 756- marbre de Saint-Béat. 2749 639 671 651- marbre de Cier. 2675 ,839 1 005 941- marbre de Labarthe. 2740 991 1173 1066

de Belbèze . . \224L 279 585 467

- 2335 372 440 4011

Grès de Cassagne. \ 2082 130 177 156. , 2200 92 103 97

Gers

Pierre de Maillossis. . . 2450 727 976 811- de Bonas. 2500 /23 1156 899

du Lombard 11er banc. . 2132 180 299 2372" banc. ;2532 782 1036 958

- de Castelnau. 2132 180 299 237- de Barcelonne 2252 182 388 295

Gironde

Pierre de Bommes 1 485 24 41 30- de'Grand-Moulin. . 1492 41 49 44

dile Petit-Céllaci

~èch~d' . 1557 20 46 35UIDI e. 1 8f4 24 ~4 28

de Barsac. . . . . . . . . 2339 513 5H 531

de Cérons. îDub,roca. 25fJ8 1165 1 322 1182Babm. . . 2452 762 876 822

- de Podenzac . 2261 435 471 455- de Saint-Laurent. i 700 52 75 64

- de Saint-Macaire. Î 2386 395 639 557. ( 2456 571 'i84 64,2

- de Daignac. . .f

1 583 37 40 381 552 39 49 45

1

POIDS ~IOYEN RÉSISTAKCE A L'ÉCRASEMEKT

duP}.R CE!\TmÈTRE CARRÉ

MÈTRE CeREminima maxima moyenne

kO' ka kg. kg.O' O'

2415 459 902 6351 585 28 40 341 701 46 53 501703 68 83 7616\8 50 60 5/2065 220 364 3032178 228 318 2741668 33 Mi 372403 4.03 564 4732 /06 1146 1384 12962121 190 288 2412219 230 267 2i82029 273 329 2922266 191 345 2882365 510 589 5692126 272 321 3081 971 157 225 1951 719 45 61 531930 84 103 912122 238 352 2941 925 83 141 1141873 63 78 702052 126 1/9 1491746 72 93 812139 194 ~07 2012725 763 1149 9192703 970 1 232 1 1161 918 8:{ 106 972046 183 355 2802 725 1 026 1208 11571893 85 108 1021775 43 74 612716 970 1 277 113CJ2684 550 920 703

2651 98~ 1440 12772684 1333 1424 14082461 847 1268 1118.2500 580 1152 8822220 345 374 3612068 137 205 1681760 35 50 391513 66 78 'i31638 58 100 782598 99;) 1188 1 1012266 282 308 3031976 77 146 122

332 APPENDICE

DE~IGNATION

des

)IATÉRIAUX

Pierre de Fontadas. . . . . . . . .

- de Nérigean . . . . . . . . .f

~ de Peyrelebade. . . . . . . .- de Rouet. . . . . . . . . . .- de Rouw. . . . . . . . . . .- de Montagne. . . . . . . . .- de Saint-Christophe-des-Bardes.- d'Agde. . . . . . . . . . . .

marbre de Faugères. . . . . .- de Bréginnes. . . . . . . . .- de Nézignan-l'Evêque.

Grès de Gabian. . . . . . . . . . .- de Lamalou. . . . . . . . . .- de Villemagne. . . . . . . . .

Pierre de Saint-Adrien. . . . . . . .Grès de Villeneuvette. . . . . . . .P d" P t Î grossière. . . . .ierre e ouge Î fine. . . . . . .Grès de Lodève. . . . . . . . . . .Pierre de Beaulieu.. . . . . . . . .

1

blanche. . .- de Saint-Geniès grise....

Sussargues. .de Vendargues. . . . . . . .

-dé Frontignan. . . . . . . .- de Lacoste. . . . . . . . . .- de Boisseron. . . . . . . . .- de Vautes . . . . . . . . . .- de Loupian. . . . . . . . . .- de Jalargues. . . . . . . . .- de Pignan. . . . . . . . . .

d R b Î griotte rouge. \Marbre e oque l'un ( calcaire bleu .1

Ille-et- Vilaine

Grani te de Louvigné . . . . . . . .de Combourg. . . . . . . .

Pierre de Vitré. . . . . . . . . . .- de Bois-Clair. . . . . . . . .

Pierre blanchede Chasseneuil. . . .

"

Pierre de Pont- ! garenne de la roche.Chrétien t Chabenet. . . . .Pierre

~ carrière des Marins.de Villentrois l autres carrières. .

Granitede Crevant. . . . . . . . .1 Pierre d'Ambrault.. . . . . . . . \'1

POIDS i\lOYEX RÉSISTAXCE A L'ÉCRASElIIEXT

du PAR CE~TI~ÈTRE CARRÉ

MÈTRE ceDEminima maxima moyenne

kg. kg. kg. kO'o'

1387 57 59 581477 37 46 411283 59 60 652069 172 2'>'> 199

-'"2 477 561 896 7112 306 420 629 4962 312 314 526 46~2362 397 439 4132452 847 10iO 9092432 451 518 4841 485 59 75 67.2434 183 257 2242400 790 874 8271 918 126 163 1371730 76 105 922586 740 1216 9782606 1036 1 721 13942662 71~ 1 346 10952586 1177 1288 12262643 751 1235 10072675 9i3 1840 1315

- 2753 603 1326 8%2763 535 1082 8292435 410 707 4672552 498 873 652

2593 1292 1604 14062 H!2 249 465 3352323 364 549 4452701 1367 i 472 14192660 806 1106 9ô62532 85i 986 9202566 737 ,887 8122514 74:3 781 7622593 9{9 1155 104726iO 858 1605 12322690 958 1104 10252628 9:?3 1010 9662653 1075 1115 10952712 1 713 1886 1 1 Tï92637 806 935 8702615 1 :i50 1350 13502,08 1 163 1 373 12522639 857 1217 10:172663 1043 1269 11422687 939 998 9722684 1094 1636 ,13652636 9ft) 1 195 1082

APPENDICE 333

DÉSIGNATION

'des

i\lATÉRIAUX

Indre-et-Loire

Tuffeau de Beaumont. . . . . . . .Pierre de Cinq-Mars. . . . . . . . .

- de Saint-Patrice. . . . . . .- de Noyant. . . . . . . . . .- de Sainte-Maure. . . . . . .j- du Grand-Pressigny. . "

.

. .'1.

de Chédigny. . . . . . .

- dure de Loches. . . . . . . . \1- tendre de Loches. . . . . . .- de Truyes. . . . . . . . . .- de Charentilly. . . . . . .

de Semblançay.. . . . . . .- de Saint-Saterne. . . . . . .- de Pernay. . . . . . . . . .- de Fontanil. . . . . . . . .- de Ratz . . . . . . . . . . .

Choinde Crémieux. . . . . . . . .f

- de Montalien. . . . . . . . .Pierre de Lignet . . . . . . . . . .

- de Rovon. . . . . . . . . .Pierre de l'Echaillon

( rose. . . . .( blanche.

Jura

Pierre de Bellevoye. . . . . . . . .

i

banc franc. . . . .Pierr de Dôle banc Durçon .e Grand-Mont.

du Némond. .granite rosé. . . .

Pierre-marbre rouge antique. . .grain d'orge. . . .

de Sampans petits grains. . . .bancs divers. . . .

Pierre de Beaufort. . . . . . . . .- de Crancot. . . . . . .- de Saint-Maur. . . . . . . .-- de la carrière de l'Echand .--- des Combes-Joyeuses. . . . .

de Thoissia. . . . . . . . .- d'Andelot. . . . . . . . . .- de Champagnole. . . . . . .

de Cize. . . . . . . . . . .- de Plasne. . . . . . . . . .- de Moirans. . . . . . . . . .- de Saint-ltomain. . . . . . .

331: APPENDICE

DESIGNATION POIDS MOYEN RÉSISTANCE A L'ÉCRASE~IE:\T

des duP,Œ CEKTnJÈTnE CAnnÉ

~IATÉR[AUX )IÈTnE cenEminima maxima moyenne

kg. kg. kg. kg.

Pierre du Grand-Plan . 2676 1 184 1 401 1 287- de Fort-du-Plasme 2682 811 91:)4 877

Landes

Pierre de Cassen. 2410 431 560 514- de Saint-Martin-de-Seignaux. 2619 1 396 1575 1476

de Mont-de-Marsan. . . .. 203G 91 131 106- de Nabias . . 2319 447 914- 6;50- de Roquefort. 232 L 300 457 377- de Sai n t-J us Lin. 2200 168 586 276- de Bourdalat. 1 570 16 19 18- de Geaume. . 2446 390 786 606- de .Mugron. 2485 730 932 826- d'Audignon 2569 934 1209 1070

Loir-et-Cher

Pierre de Bois-Brûlé 2585 586 823 653- de Bourré. . 1457 45 62 51- de Pontlevoy. 2364 337 420 397- de Noyers. 1376 45 54 49

Grès de la Grande-Barre1

tendre 1922 83 iD7 94dur. 2049 236 249 242

, craie dure. . . 2384 3~6 446 399Pierre de Vil1iers

,craie demi-dure 1 7~.3 98 128 109

, craie tendre. . 1821 -,.. 124 99/u

Loire

Granite de Saint-Cyr. 2657 1364 1 1598 1488- de Moingt. . . 2542 588 919 740- de Chatelus 2608 1348 -1939 1607

Grès de Mazilly. . . . . . . .'. 2381 296 1362 i81Pierre de Saint-Denis-de-Cabanne. 2218 196 394 294Granite de Renaison . 2612 1227 1 785 1 531Grès de Firminy . 2268 517 600 567- de Roizey . 2635 1 523 1832 1 711- de Mouillon . . 2421 634 781 717

Haute-Loire

Grès de Langeac. . . 2484 Î36 813 776Pierre de Saint-Roch . . 1845 81 123 102Brèche de Polign ac. . 2177 380 446 407Pierre de Blavozy. . 2320 608 777 653Trachyte de la Pradette. 2536 867 958 895

de Monac. . 2379 791 930 871de Monistrol. . . 2628 1012 1410 1 j63de Buniazet. 2666 945 959 0"9. .u",

-DÉSIGNATION POIDS )!OYEN RÉSISTAKCE A L'ÉCRASEMENT

des daPAR CE:\TBlÈTRE C,IRRÉ

MATI~RIAUX )IÈTRE ceDEminima maxima

1

moyenne

Loire-Inférieurekg. kg. kO' kO'

o' o'

Pierre de Nozay. . . . . 2705 541 755 631- de Juigné . . . . 2749 1292 1583 i 480

GraniLe de la Contrie. . . . 2590 1209 1357 1283

Granite de Lavau. \ 2675 964 9i8 971. ./ 2606 1778 1 908 1 843

Loiret

Pierre de Briare 2473 500 917 697-- de Mantelot . . 2610 527 869 726- de Montbouy. 'j 2570 440 532 472- de Beaugency 2533 38* 486 4;)0

- de Fay. . . . 2320 404 ;516 447- de Saint-Fiacre. 2 2~5 317 429 339- de Coulmiers. . 2530 367 425 404- de la Chapelle . 2 ~26 515 605 D59

Lot

Pieree de Saint-Médard:

1

1 999 231 808 427- de Frayssinet. 2208 9-" 312 291,../~- de Marminiac 2167 228 2"f. 243;)'1:

- Puy-Lévêque. . . 22:0 366 495 418- de Sain t-Michel. . 2565 626 901 'ï90- de Glandy . -' '; 2595 l 051 1309 1 185

- de Bassignac.:

1

2020 105 169 142- de Tombebiau . 2668 1 100 1 472 1297- de Las Carbonnières. 2282 16:2 220 Hi8- de Saint-Jean. . 2314 563 925 693- de Pech-Salvié. . 1968 81 84 82- de Gramat. 2561 836 1474 1016Pierre! bancs tendres 2 189 310 387 360

de Péreyroux bancs durs. 2317 421 573 497Pierre de Dégagnac. . . . 2397 90* 1299 1 136

Lot-et-Garonne

Pierre de Cacare . 2 147 129 157 146- de Vianne. 2545 768 1373 1083- de Poudecop. 2548 955 1 147 1017- de Blanquefort. . 1976 156 169 162

p'

!

dure. . . . . . 2060 109 134 124lelTe .

1913 63 95 81tendre. . . . .de Condat tendre (humide) . 2083 38 114 63

Lozère

Pierre du Champ-du-Rat. 2572 842 i 162 981Granite d'Arcomie 2607 890 1400 1 181Grès de la Garde. 2308 686 8i9 794

APPENDICE 335

336 APPENDICE

DÉSIGNATION

des

MATÉRIAUX

Grès duRoure.. .- des Balmelles.

Granite d'Estables

Maine-at-Loire

Granite de Bécon.Grès de Vieil-Baugé.Pierre des Rairies. .. .Grès de Gennes. . . . . .Tuffeau de Saumoussay-Saint-Cyr

- de Rochenard. . . . . .Porphyre du Bec-d'Oudon.. .

.

. .

Manche

Granite des îles Chaussey .- de Sainte-Pience.

de Saint-James.de Diélette. . . . .de Fermanville.

Pierre de Montmartin. .Granite de Gathemo.

de Réville..Pierre de Valognes. .

.

-Marne

Pierre de Comblizy. . . .Roche blanche \ carrière des Buttes. .d'Hermonville 1 carrière de Luthernay.Liais de Courville. . . . . . . . . .Pierre de Villet te. .

Pierre Î grise. . .d'Hermonville (. blanche .

Pierre \ liais. . . .de Vandeuil 1 roche grise.

Pierre de Magneux.

Marne (Haute-)

Pierre d'Arc.- de Bugnières.

de Leffonds- de Brainville.- de la Maladière.- de Crenay. .Pierre \ grain de navette

de Lamothe i banc inférieur.Pierre de Biesles. .

d'Esnouveaux . -.

du

POIDS lIIOYEN RÉSISTANCE A L'ÉCRASE~[ENT

MÈTRE CeBE

kg.

241424132827

2 a702289204723391 3:1012372622

27472704264127292669266028702632226}

238626802188213322402213219421392 22~2041

. 2148199921482253210321102093228322652122

.

minima

789673970

1043592250

10685143

2350

8481191

7U,947646

1 2851193

798238

520375290318310210292387337326

143147159234145117253'241220323

PAR CENTIMÈTRE C.\RRÉ

k a't>.

maxima moyenne

kO'".

kg.

926879

1260

1 392939301

11946948

2 987

9031 4541 4791 010

7~i113251266

87i275

884523310387483::122332528510334

172273197320227120420309507446

869750

1107

1214708278

11146045

2609

8751 308

881976698

13031229

833i54

66642329935241226931044441832~

153182181266172118312279363367

APPENDICE 337

DÉSIGNATION POIDS MOYEN HÉSISTANCE A L'ÉCRASEMENT

des

MATÉRIAUX

Pierre de Chalvraines.-" de Grenan.- de Cohons. . . .. .- dp.la Fontaine-au-Bassin

Grès de Provenchères.Pierre dé Rolampont. . . . . . . .

- de Prauthoy. . . . . . . . .

!

carrière de la Croix-Fla-Pierre geollet. . . . . . . .

de.

carrière de la Croix-Fla-Chevillon geollet........

carrière de Lalandre. . .Pierre de Sombreuil.

Mayenne

Pierre-marbre de Saint-Berthevin. . .Granite d'Izé. .

Meurthe-et-Moselle

Pierre du Pas-Bayard. .Grès) carrière Husson.

de Baccarat 1 carrière VillermainGrès de Bréménil.. .

Grès1 carrière Thiriet.

de Merviller! carrière FinanceGrès de Pexonne.Pierre de Balin.Roche de Villiers-lès-NancyPierre de Puvenelle" . . .

- de Viterne. .- de Crépey' .

Roche de Liverdun.Pierre de Manonville

- des Quatre-Vaux.- de Gondreville.

.

Meuse

Pierre de Savonnières. .!- de Combles- de Givrauval.

Pierre de Savonnièresf

sèch~ . .humIde.

Pierre de Bure. . .Liais de Morley f demi-dur .

! dur.Pierre d'Enville . .

- de Lérouville. .

du

!lÈTRE ceDE

2273266722592 34-52 04-62 4-732520

1919

20182 n6i 771

27002729

20872 OO~19512 iOO20562078:2029216424752241230421992400219621592238

. .

1676187913472 fil1806203321332 fOl2 ln23192352

minima.

kO'O'

kg.

288650H8280516337581

153

262386

79

7591643

169330244495419517438236510421629304308302295334

372277

4206554

180H8380~05169

PAR CENTBlÈTRE C.!RRÉ

maxima moyenne

kg.

543672219390577HG641

178

397512112

8921 7il

22L352304M9457539476282740449678358731334363H7

20119782

490151141202341470493512

kg.

408661164347549408618

163

3ii43L

91

825L682

197344-281530442~2;)454-25760943965933651531t)318389

947179

458H693

192263425328298

22

RÉSiSTANCE A L'ÉCRASEMEIiT

PAR CE:\TnIÈTRE CARRÉ


kg. kO' kg.o'277 3H 292421 4:H 426343 388 370250 285 264273 H6 352392 536 462161 211 18069 221 14596 151 127

142 . 197 17166 130 92

121 188 151127 148 135181 419 257180 293 236174 280 214124 143 136

1090 12Si i 188403 532 454!H 1 605 570

1189 1292 1250463 1102 806833 1036 921253 375 333559 648 591671 1263 923471 947 695

543 146 624371 634 5033n 409 387373 509 458662 692 672508 562 526226 249 242425 508 469281 330 306247 289 268145 205 178842 i 019 910365 420 3814213 515 467

980 i 078 1031

338 APPENDICE

DÉSIGNA TION'

des

MATÉRIAUX

Pierre de Sain t-Joire . . . . . . . .- de Chaillon. . . . . . . . . .- de Seuzey. . . . . . . . . .- de Varvinay . . . . . . . . ./

- de Reffroy. . . . . . . . . .1- de Chauvency. . . . . . . . .

de l\Iontmédy. . . . . . . . .- de Villecloye. . . . . . . . .- de Saint-Laurent. . . . . . .- de Luzy. . . . . . . . . . .- d'Olizy.. . . . . . . . . . .- de Bras. .. .......- d'Haudiomont. . . . . . . .- .d'Ambly. . . . . . . . . . .- de Dieuë. . . . . . . . . . .

Morbihan

Granite du Blavet. . . . . . . . . .de 1'IIôpital-au-Robin . . . .du Coëlo. . . . . . .de'Pontivy . .. . . . . . .1de Saint-Jean-la-Poterie.de Kerboulard.

"...,

Granite de Talhouët. . . . . . . . .de Loquellas. . . . . . . .de l'lle-aux-Moines. . . . . .

Nièvre

Pierre de Chevroches ! bgl~nche. . .

! l'Ise. . . .p' d l 1\1 \ blanche. . . .lerre e a anse 1 grise. . . . . .Granite de Lormes. . . . . . . . .Pierre de Menée. . . . . . .

- de Donzy. . . . . . . . . . .-- de Narcy. . . .. .....- de Varennes-lès-Narcy. . . . .- de Bulcy. . . . . . . . . . .- de Malvaux . . . . . . . . .

Liais de Champcelay . . . . . . . .- des Vergers. . . . . . . . . .

Pierre de Champlemy. . . . . . . .

Nord

Picrre de Marbaix. . . . . .. . . .

POIDS MOYEN

du

MÈTRE ceBE

k O'O'

2214234822022299233621862 09;}1993209321871942215818902260222523i72120

261125622574264,4256226242491251526022559

248323872397244326322 54'120752381233023142133240022072422

2719

minima' maxima moyenne

kg. kO' kg.~.

1 919 2050 1962791 1396 967

1249 1346 1483

97 165 1')<)......

~6 85 72H 52 4884 84 8464 64 6452 52 5248 48 4855 65 58".. 43 39vi)

35 65 5127 35 :1178 91 86

155 191 171684 ,95 74225/ 284 269

98 165 12250 80 60

')~

APPENDICE 330

DÉS1GN A TION

des

POIDS MOYEN RÉSISTAI'ICE A L'ÉCRASE1IE:iT

01A T É lU A U X

Pierre de Haut-Lieu. . . . . . . . .- de Rocq. . . . . . . . . . .- de Morenrieux. . . . . . . .

Oise

, roche. . . . .Pierre de Saint-Leu) vergelé. . . .

( vergelé humide.( vergeléfin. . . . . .

Pierre~

vergelé ordinaire.de Foulanges Î g~'osvergelé. . . . .

\ pIerre grasse. . . .Pierre de Neuilly. . . . . . . . . .

~

P.

d R l(vergelé sec. . .lerre e ousse oy/)

l ' h ' dverge e uml e.Pierre d'Autrèches . . . . . . . . .

- d'Antilly. . . . . . . . . . .( roche dure. . . .

Pierre } roche demi-dure.de Saint-Quentin) roclle franche. .

\ grasse. . . .1 roche. , . . . . .'

\

. roche. . . . . . .demi-roche, . . .

Pierre de vergelé fin . . . .Saint-Maximin

1

Lanc royal. . .vergelégrossier .

, roche humide. . .\ banc royal humide,( roche gr'ise . . . .

Pierre~

roche blanche.de Saint-Vaas t

1 banc r?yal. . . . .\ vergele . . . . . .

Îliais. . . . . . .

Pierre de Béthisy ) roche. . . .'. .\ demi-roche

Roche d'Aumont. . . . . . . . . ~.Liais de Senlis ou de Mont-l'Evêque :'

Pierre~ banc blanc, . . .

de Mont-l'Evêque t banc humide. ..

~

roche fine. .Pierre d'Orry-Ia- Ville) demi-roche.

\ vergelé. . .Liais de Senlis f sec., . ,. . . . . .

t salure d eau. . . .

Orne

Granite d'Alençon. . . . . . . . . .

du

MÈTRE cunl':

kg.

266627082737

18061 63219i?1662159316701 491155618i8150618131 5832037227620091 788168322;)7211817581 6931 72217W2285196020901 9861 7461 534210519101 946220221461 931212122+11669156824072504

26tO


,",/8239

96598282

18452

2781429555

31421716937ü375207114276

8173

(\84615

721

52129212488

11893

32274

412292215

673\02:3825246845527517877111283

1140917

'},

h731

415267Hl

749785

25567

337222127

623312252iO404406250148506

9780

885770

1 046

31,0 APPENDICE

D Ê SIG N .\ Tl 0 N

des

POIDS MOYEN RÉSrSTA!\CE A L'ÉCRASE~IE:\T

~IÀTÉRIAUX

Pierre de Saint-Martin-des-Champs.- de Chambois.- d'Echauffour.

Granite de Landisacq.Grès de PouvraiPierre du Bois-Ferédin

- de Champaillau~ne .- de la Mal'iette ..'. .

.

.

.

Pas-de-Calais

Marbre ou stinkal de FerquesMarbre

~ Lunel. . . . . . . . .de Ferques / Napoléon et Régnier. .,

i

Haut banc. . .Marbre de Rinxent Joinville....

Vallée heureuse.

P. d M

.~

les Calodes. .rerre e al'qUlse lIes Warennes.Pierre de Tournehem.

puy-de-Dôme

Granite de Tanit. ...

~tendreGrès d'Escolore / dur.

.

Trachyte du Mont-Dore., .Grès de Ravel. . .., .Trachyte de Besse . .Pierre de Glénat .Syénite de Mouleix .Lave de Pontgibaud.Lave de Volvic.Granite de Chantelauzc

de Fagot. . .

Pyrénées (Basses-)

Pierre de Bidache.- de Hhune- d'Urrugne.- Mauléon.. .

Grèsd'Arradoy. . . . . . . . . . .Pierre ~ carrière de Laguinge.

de Harriguia ( carrière de Caro. . .Pierre marbœ d'Izeste ~ ela.irrosé,' .

l norr bleuatre.Pierre de Louvie

- Rébénacq.- Meyracq. .

duMÈTRE ceDE

. .

2403186826322748~ Ml232713~72339

2 il227H2708270927012710235522941 435

. :!6192202231230322262334249024ï32281207226}2254-7

.

24232~M271426'392623271126862 ïl~2757270627102695

PAR CB!iTIMÈTRE CARnÉ

minima.

1

maxima moyenne

k oo

o'

32647

65410\0

98619849

651

8588~541293584080~230246

45

8774209965824294034637234422839807\J2

4511 1581296

856838966

f 204889976999

143..1 313

kg. kg.370

53802

10331099

32768

738

16501 6191071i 6871 2~.5

871500~43

56

887521

10176264594758109434i1566

1 989907

~881 R071 3551 535

9241 ~_OOi 47910171 H61 474i 8421780

kg.34,1

50742

10211042

23656

70}

i 112i 073

7731 140

9571302

339358

52

8"19j...

499i 006

604438427630862456413

1 621849

~o~14121 329i .184

877t 293i 30S

97710681 17016091 555

APPENDICE 341

DESIGNATION POIDS MOYEN RÉSISTAXCE A L'ÉCRASEMENT

des

MATÉRIAUX

{ La Grange-Lamaison.Pierre d'E sus' La.Grange.-D?mecusy

} Saillt-ChrIstIan. . .\ Arudy. . . . . . .

Pierre de Béreux. . . . . . . . . .Pierre de Laas

~ t~~ ~~.~~.c: :

Pierre de Montfort.\

Pierre de Laas J He banc.t 15cbanc. .

( banc Malborough . .Grès' banc fort. . . . .

deBouzon ) hanc fin. . . . . . . .t banc fin (carrière Pabine).

Pierred'Aros J banc fort. . . . . .t banc blanc. . . . . .

Pyrénées (Hautes-)

Dalles de Lomdes. . .Pierre de Lourdes. . . ..

- de Montgaillard. .

Pyrénées-Orientales

Granite de Corsavy. . . . .Pierre de Reynès. . .Brèche de Baixas. . . .Pierre de Las Fons. . .

- de Maury.- de Saint-Antoine.

Granite de la Llagonne. .- des Arcs. . . . .

Pierre de Villefranche. .Granitede Dorres. . .

Rhône

Pierre de Bully.- de Glay. .- de Dardilly. . .- de Saint-Fortunat. ..

Granite ~ carrière de Revoyet . . .d'Oullins ( carrière de Montagny.Pierre de Lucenay. . . . . . . .

. .

Saône (Haute-)

Pierre d'Autrey. ... ....- d'Auvet. """'"

duIdtTRE Ct;D B

J. /

kg.270326952753270426762633269127182 64~26832706268626612683265526782 192

.

266425712528

27102680274624832257t 7562510259527122724

25762 29525812587263227822288

24552505

minima

kg.

858723

1 134995574761

1 1851012

695969753

{ 55712111 35914191 3-911373

668463426

1 2871027

651282425147423

{ 289713711

6222297;)1542736851380

3581226


maxima moyenne

11121 {58154-41 539

704887

1187{ 033{ 1871017

80817381 90020021 83618021 570

7151 07~

880

16741239

8653i!555176561

1443'797761

8623329Î6869

1 3811167

50*

kO'O'

kg,

973920

f 3481 065

629825

{ {861026

95499~ :760

{6841

1602{ 703{ 6291631{ 462

687759631

1446{ 104

710312507163466

13637577i4

741295857723

1 169{009

451

536

\

4H1. 424 1. 326

RÉSISTA1\CE A L'ÉCRASEMENT

PAR CENTHlÈTTE CARRÉ

minima1

maxima morenne

kg. kg. kg.

606 697 6381686 1801 1 73214.78 t 843 16321409 1 748 1 ~721176 1426 t 3161494 i 80i 1612

~29 777 622524 6~1 ~65360 420 388459 ~72 495311 387 352434 550 488596 756 6+8770 846 790343 355 3475Ç18 8~6 739514 ~96 M4

565 69t 607203 241 213b94 944 750

10ù1 1156 1090755 945 808828 1166 1 060220 420 354

53 93 72496 549 514499 641 568258 470 374869 1 051 951,466 633 578583 811 660409 458 431370 430 397171 267 215

- .

230 2;51 24136 44 4146 53 49

886 886 8861038 1108 10711 128 1301 ! 214

48 93 6744 60 55

309 495 383407 485 449241 "287 ~69

342 APPENDICE

DÉSIGNATION

des

MATÉRIAUX

Pierre de Raucourt. . . . . . . . .

)

banc jaune blanc. .

P. banc bleu jaune. .Ierre banc blanc. . . .de la Jeunesse banc rose. . . .

banc bleu. . . .PierredeGy. . . . . . . - . . . .

- de Chaumercenne.. . . . . .Grès de Frédéric-Fontaine.. . . . .- de Saint-Germain. . . . . . .- de Luxeuil. . . . . . . . . . .- de Fontaines. . . . . . . . . .

Pierre de Courchaton. . . . . . . .- de Saint-Sulpice. . . . . . .

Grès de Sénargent . . . . . . . . .Pierre de Noroy-le-Bourg.. . . . . .

- . d'Andelarrot. . . . . . . . .

Saône-et-LoirePierre de Curgy. . . . . .'. . . . .Grèsde Saint-Léger. . . . . . . .'.Pierre de la Roche-Mouron. . . . ".

-- de Bu~y. . . . . . . . . . .- de Montagny. . . . . . . . .- de Laives. . . . . . . . . . .- de Saint-Maurice. .' . . . . .

Grès de Saint-Symphorien. . . . . .Pierre de Saint-Agnan. . . . . . . .

- de Saint-Vincent. . . . . . .- des Créteaux. . . . . . . . .- de Génelard . . . . . . . . .- de Chardonnay. . . . . . . .- de Saint-l\Iartin-de-Sénozan

- de Tournus. . . .. . . . . .!

Sarthe

Pierre de Noyen. . . . . . . . . .Tuffeau de Mayet. . . . . . . . . .

- de Morier. . . . . '- . . .Grès de la Fontaine-Saint-Martin. . .Pierre marbre de Tertre. . . . . . .Grès de la forêt de Bonnétable. . . .Pierre de Villaines \ sèch~. . . . . .

1 humIde. . . . .. ~

banc jaune. . . .- de Bernay) CrassIer.. . . .

\ gros banc roux.

POIDS MOYEN

du

MÈTRE CUBE

kg.

2604268226M2 ~832600264226002591216821392043214425532660204926102 ~99

267620682 ~06266626632 ~86249022062438248425492 60.323572591237623022330

22751 3531 3432413269825211737i 96223072304 -21~2

APPENDICE 3~3

DÉSIGNATION POIDS ~[QYEN RÉSISTANCE A L'ÉCRASE~IENT

des du PAR CE~TIYÈTRE ~~RRÉ

MATÉRIAUX MÈTRE CI:DEminima maxima moyenne

kg. kO' ko- kg.,,' ".Pierre de Bernay ~pierre blanche 2208 303 380 349

pierre blanche 2120 233 323 261- de Crannes. . . . 2180 211 223 216

de Loué{

blanchâtre. . 2123 175 226 201- blanc jaunâtre. 2223 195 319 282Tuffeau de Parigné. . . 1251 29 39 32Pierre d'Etival ~hancrouge. . . 2213 261 492 34,8

banc gris." 2208 344 415 371

Tuffeau de Poncé{

sec. 1 197 34 41 31humide. 1 615 25 32 28

Grès de Dollori . . 2428 376 460 434-

Savoie

Pierre de Grésy-sur-Isère. .{

2 73~ 1 H6 1 196 1 165. . 2716 84.5 939 8>J0Molasse d'Aix-les-Bains . 2279 221 260 240Pierre d'Antoger . . , . 2699 719 1 152 939

- de Curienne . . . . . ~714 112 1317 966- d'Yenne. . . 2680 857 1178 1037

Marbre du détroit de Cieix. . . 2,48 584 775 649de Chatelard. 2736 666 773 'i19Protogine d'Epierre. . 2650 1026 1176 1 103

Savoie (Haute-)

Pierre d'Anncey. .f

2686 1229 1297 1 257. . . . 2701 823 1 130 971-- de Talloires . 2681 866 1221 1057- des Morettes . .' . . . 2705 1 343 1517 1403

Grès d'Ayse. . . . . . . 2498 953 999 983Pierre de Pon tchy. . .. . 2699 848 904 870Protogine de Chamonix. 2574 84\) 985 917Pierre de Cluses. .' . 2700 636 948 796

de Magland. . 2722 1 173 1 3~8 1270Tuf de Saint-Jeoire. . i 431 41 49 45p' b d S' t

tbanc gris. 2676 i 121 1509 1278lerre-mar re e IXb

.2691 1615anc nOlr . » »

Grès de Saint-Cergues. ."

2520 lOI! 1 138 1066Pierre de Cruseilles. ."

2697 812 9,2 911- de Monnetier. . 2622 805 866 t;9". ",0Granite des Alpes. . . 2 655 i i 51 1 152 i IJlGrès de Ravoire. .

' "2 511 792 875 839Granite de Présilly. . . 2638 1409 1728 1617

Seine

Roche de Nanterre. . 2106 228 498 341Vergelé de Nanterre. . 1471 36 52 HPierre de Bagneux . . 2210 134 5'J:7 270Liais de Bagneux.' " 2 485 6H 769 688

344 APPENDICE

DÉSIGNATION POIDS MOYEl'\ RÉSISTAl\"CE A L'ÉCRASE~IENT

des

MATÉRIAUX

Roche de Châtillon. .Banc royal de Châtillon. . .

!

clîcfuart. . .Pierre de Clamart roche...

banc royal. .

1

banc franc. .

- du Moulin..plaque doucebanc royal. . .lambourdes.

Pierre' banc ~ris. . .. .d'Ivry } banc lrant;. . . . ..

\ lambourdes. . . . .. .

1

banc franc. . .. .banc d'argent. . .

.banc royal. . . .roche douce.. . .

. .

Pienede

Vitry

Seine-et-Marne

Pierre Î 1el'banc. .de Château-Landon / 2e banc. .Pierre de Souppes.. .

Seine-et-Oise

1

vergelé. . . . .Pierre de Damply banc royal tendre.

dure. '. . . . .- de Chérence ... ..'

~

.~

- de Parmain

d M. . 1 \ banc royal.- e erle 1 banc franc.d Mér. {

banc royal dur. ..- e y banc royal Lendre- de l'Abbaye. . . . . . .

1

roche fine.banc franc. .

- de Marly banc royal.liais. . .. .

Pierre{

banc du milieu.de Saillancourt banc de fond. .

\ banc blanc. . .Pierre de Houilles) vergelé grignard.

~ banc jaune. . . .- de Saint-Nom. . .- de Tessancourt.

1

banc royal. .- de Conflans verge

.

lé..roche. ..

du

MÈTRE CI:DE

23091969245523011962206718161 85.1 6022138210019202166209818321906

~ 50325312584

.

1438150024302239223616501 581164419921 846169317n176118291700217421322220146.514731 H622282302200718101780

.

.

minima

k'"o'kg.

25510744920110812266

12641

241.f4377

191140115159

626648675

4957

383343303

765155

141755879

121n66

211250307

394743

255389137

60iJ4

PAR CEIHB1ÈTRE CARRÉ

maxima moyenne

kg.

on3206586î92483711911421164983:21246481383181178

1 317766907

6075

835475354

935362

24-:3182100101139132158590304-506

435650

631446249117144

kO'o'

371,

235577430liO22512813666

3"<);)""238131318266148167

1 051725795

0365

596435328

865258

208131

7194

134-9791

396268393

405347

39542119889

127

AP PENDICE 34-5

DÉSIGr-IATION POIDS MOYEN RÉSISTANCE A L'ÉCRASDIENT

des

MATÉRIAUX

Hoche de Poissy. .., vergelés blancs. .

\bancs francs. .

Pierre, bancs humides.des

1

bancs l'oyaIs. .Carrières-sous-Bois bancs l'oyaIs. .

1 bancs humides.\ bancs humides.

Deux-Sèvres

Granite de Putigny. . .- du Moulin-Neuf.

Tuffeau de Tourtenay.Pierre de Melle. . . .

- de Niort. .- de Dégrolle.. .- de Chavagné .

Grani te de Moncoulan t .- de Trébesse.

.

.

.

.

Somme

Pierre de Liécourt .- de Passillon .

Tarn

Grès de Monestiès. .Grès de Lombers. .Pierre de Cabrol .Grès de Navès. . .Granite de Mazamet.

- de Sidobre .

.

Tarn-et-Garonne

.~

. . .\'1

Pierre de Maubec.

- de Gasques. .- de Gouùourville. .- de Septfonds.- de Caylus. . . .

~

1el' banc.2e banc.

de Bruniquel 3e banc.4é banc.

\ 5e banc. .- des Auques. . ... .- du Terre-Blanc. . . .

'. .

du

~IÈTRE ceDE

21661 79715261854188220391628i 928

26272674j 3812 06:~i 994224720582 70:~2649

i 5222156

2446240822842 :17927132652

.

23i52461239125232165268023302522247925312452239226432214

PAil CE:\TnlÈTRE C,'RRÉ

minim:l

1

maxima moyenne

k"O'

2,19

iO38

17382

10564

k"O'

')')""'...

8/5113

61-42

27119}142n

1 025 Il 1491171 1814

51 68222 272185 311273 323209 251779 1 577973 1 521

91431

699421752260

1045981

251603789660199866747740807

1050,

744935750360

96845

749481929318

10871096

802875

1129743237

1084976834

10171207

9251 016

753610

k "..,' k"o'392

905335

20911412678

10761 513

592W250310236

1 1201 nl

93617

716H8845372

1066i 038

527739935710222950857809932

1132812972751424

346 APPENDICE

DÉSIGNA TION POIDS MOYEX RÉSISTAXCE A L'ÉCRASE~IEl\'T

des

MATÉRIAUX

Pierre de Saint-Antonin.

!

moduleuse, roussâtre, . ,Pierre cristaHine, gl'is, bleuâtre,

de Lexos compacte........gréseuse.. . . . . . . .

Var

Pierre des Roches. .Serpentine de Cavalaire. .Pierre de la Cadière.

- de Tourris '. . .

Vaucluse

Pierre de Saint-Symphorien."Pierre

1

blanche. . .dela roched'Espeil bleue.. .Pierrede Lacoste. . .

de Ménerbes ~ sèch~ . .1 humlde .

d 'O' d f sècheppe es1 humide .

- du Clos-Tondu. . .- de Courthézon .- de Taillades.- de Caromb.- de Grillon.- de Venasque.

du Chassis.- de Beaumont.-. de Sérignan .- de Vaison

i. .,.

. .. .

. . ..

.

Vendée

Pierre de la Tête-Noire- de la Gajonnière . .

\

banc chandelle.banc jaune. . .banc doux. . .

- de 111' 't' gros banc. .. .if en e

1

banc gris. . . .ba.nc bleu. . ,banc roux. . .hane piozou . .

Granite de Chaillé-Ies-Ormeaux. . .- bleu de Bourg. .

de Mortagne.des Lucs. . .

du

MÈTRE ceBE

2 4~5 .

2609267326242148

2 6572 ;$1226862639

20281892234717381807203111~3213921671904210220522175212021382124202418642557

202720662098209620892028208720n313221222661263226222600

minima

ka-o'

680747

12171 155

387

561713

1207819

145138338

746951

13812815982

14883.

235184203~5416157

996

160152228320335267262213265203943993

1013))

P.\R CE1iTIMÈTRE C.\RRÉ

ka-0'

maXIma moyenne

ka-o' kg.

761835

14001305

396

837920

15361 4~5

407

1 221785

14061074

170167394

849671

259138219101170

9225125735227618661

1146

202163274339370327337296276300

105612011 32.6

»

854740

1 2808i8

158154370

79,864

17713118292

15787

24221225326417159

1089

1881582553323'1-729229:{265270240

10001 100116i

800

APPENDICE 347

DÉSIGNATION1

POIDS MOYEN RÉSISTANCE A L'ÉCRASDIEXT.

des

MATÉRIAUX

Pierre de Sallertaines.Granite d'Avrillé. . .

Vienne

Tuffeau d'Antoigné. .Pierre de Roussillon. .Tuffeau de Loudun. ..Pierre de Chauvigny. . . . . , . .

Pierre \ 1er banc.de Sain t-Pierre-Ies-Églises l 2e banc.Pierre de Gouex. . . . . . . . . .

- de Lussac- de la Tranchaye .

de Croix-Guionné. .- de Valleyrault . . . . . . .Pierre / Château-Gaillard. .

de Chi teau-

~

1er banc.

Gaillard .2e banc,

ou de PlanterIe 3: banc.

la Planterie 4 banc.5e banc,

Pierre

!

1cr banc. .du Pré-Armé 2" banc

3e bancPierre de Bonnillet . .

- de la Fontaine-du-Breuil.- de Brétigny. .. .- de Lavoux. . .!- de Tercé. ... .- de Vouillé. . . . .

Vienne (Haute-)

Pierre de Blond. .. .- du Dorat. . .- de Faneix .- de Saint-Jouvent.

Granite des Allois. . . .Pierre d'Ouradour. .

- de Cognac. . . .- de Saint-Cloud.. ..

Granite des places. ..Pierre de Saint-Vitte. .. .

. . ..

VosgesGrès

l

'du Pont-du-Coney

des carrières} des Rapailles . .Vosges \ de Saut-Ie-Cerf. .

duMÈTRE CURE

ka'o'

l'HO2660

i 3842290i 372228822512267222823651 9812288229822051 9291 885i 970f 8821976227020v923662086222322322082207720682 H8

254327002525243326372 58')2586250725752620

20472096:2 OV6

minima

»

68316

55;J8638~395334497178410283107107170114

971797233~685816}~272/t8174211150431

687803591599

1296567403749

1060930

459202225

PAR CENTIMÈTRE CARRÉ

maxima moyenne

k a'o'

~,r.iJ'j,

»

il3406

77699453421403603219515499463179200172130238924495

12882175556323934153i8481

785803597608

1 482570542902

i3781728

530255427

kg.

60

kg.56

1 050

92367

64469423409379527198470404;20113118613911321583843f

i 115198364382223~14t287449

,36803594603

1392568490809

1 1941 431

498'234299

348 APPENDICE

DÉS IGNATIO~ POIDS ~lOYEl'\ RÉSIS'fAI\CE A L'ÉCRASE:\IEXT

des

)L\ 'f É RIAU X

des Forges. . . . .- .de Bru . . . . . . .de Mettendal. . . . .

Grès de Thiélouze. . . . .Vosges 1 de la Fontaine-Grillat.

de ta Brosse. . . . .du Couvent. . . . .de la Madeleine. . .

Pierre de Fréville.. ..Grès blanc 1 ca rières! de la Chaume

du Val-d'Ajol' l' t des Voisieux.Grani te 1carrières \ de Gérar~~erdes Vosges) 1de Culcolllm.

Yonne

Pierre

1

banc royal. . .de banc rOj'al1in. .

Charentenay fin humide. . .Pierre des Andl'yes . . . . . .

Pierre1 bancs rayaIs.. .

de Cou,rson t bancs humides.Pierre de Druyes. . .

P. ( bancs supérieu.':; .lerre b 1d anc raya. . . .

Fes j banc royal humideourneaux \ bancs inférieurs. .

Pierre{

banc royal. .de Molesmes banc humide. .

Piene \ bant.: royal. .de Taingy 1 banc humide. .Pierre de Lainsecq. . . .

- de Thury. . . " . . . . .Grès

{

banc supérieur.de Treigny banc inférieur.

banc cadette (Cavillon) .Pierre banc royal. . . . . .

de Cravant banc de sous-pied. .banc royal (Puissant)banc royal humide.

P.

e

!

blanche (Perreau ) . .lerr .d'Anstrudes ~aun~ (perreau)

.

. . ., Jaunatre (Thauron) .

Pierre des Sonillats. . . . . . . .- de la Perrière. . .- d'Annoux... ..- de Civry. . . . .- des Zées .. . . . .

du

MÈTRE CullE

kg.

2030203720351 98620081952202L2252219723981998220126902667

.

1947190621962444t 8882163225018171 843209219M1 846211618402087221;)1829270..2595-t7921 76618651863208921262206231921942509250023392485

minima

kg.

280198295368365239460538619438279446713

1444

fO;)171165362

8065

2161229173

19083679080

259il7

1046707164128H9120

6037947456L449504600448763

P.Œ CENTlYÈTRE CARl<É

maxima moyenne

kg.

306'

2133424913883104756466365142845688Hi

2682

1352741947931~)910965514110886

253, 132

88150100400136

1181850209151159167106431582589552633739473

1026

kooO'

28920;)31744*377280465:593626468281511717

2027

121203183595116

9G380130100

77234

9676

lH80

-326123

111476118i-141142139

86404524572455598670455871

APPENDICE 3i9

DÉSIGNATION POIDS ~IOYEN RÉSISTAI\'CE A L'ÉCRASE~IEl\T

ùes

MATÉRIAUX

Pierre

1

blanchede blanc jaunâLre

CouLarnoux grise. .Pierre de Talcy. ..

P. ( blanche. . .lerre , .

d'A' grIse. . . . .vrIgny {grise... . . . . . .

~

liais dur. . . . . . .Pierre pierre marbrée d'Ancy-

de

(

le-Franc... . . .Chassignelles des Abros. . . . . . ..

blanche de ChassignellesRoche du Larrys-BlancLiais du Larrys-Blanc.

Pierre (ri~rre marbre. .d ~ laIs. . . . .

Larr ys~Blanc t roche grise. .\ roche blanche.

Pierre deLézinnes. . ./ liais. .

~

roche.. .

Pierre ,~n~ ja~nâtre .de Ravières

Î

l~a~st!'es fin. .haIs fm. . .. .Ravières veiné

\ dure. .. . .Pierre

~ liais.de Méreuil ? ;je banc, .Pierre de Gigny. .

( ordinaire. . . . .Pierre d'Angy) ordinaire humide.

( ge banc. .' . . .

Liais

l

' ~a~c de roche.de Grimault l~a~sdur. . ..

haIs tendre.Pierre j gros banc.

de Tonnerre! bancs rOJab .Pierre d'Yrouerre.

.

.

duMÈTRE ceDE

206021;92 35;)2 ;);)72314250124632 56;)

2 ;)9225342340221:1212224872 ;)092 38;)2268236521932197231322122 1;)82 2;)522972386237223:2:{1 7962 0;)818582577251223241796f 9011849

minima

k "O'k'"o'

22332050062836165140t

10i8

9287H::183;)7436889275863638541;)2H287;)873903252924;)9909944;)61154IH204662991857180241211

PAR CENTIMÈTRE CARRÉ

maÜma moyennc

kg.

277377;)13667416679494

1 591

1 3351152

88~6';5428997869733560856322453661425342:H4617

1 1221 068

627210167250

1 52014991009

207319252

k3'.2;)03345086;)7383C68469

1351

1 13987;)554633386929822682492G60276336G314063352995;)2

1020993594178-143232

11331 174-

938193282238

POIDS R ESIST AN CE

DU MÈTRE CUBEA L'ÉCRASEMENT PAR

CEl'\T.CABRÉ

kilogrammes kilogrammes

1. 560 150]) 195

2 19~ 2071560 HO

» 71» 102

2 170 562 080 362 16J 39

» 99» 329

350 APPENDICE

2° BRIQUES

DÉSIGNATION DES BRIQUES

Briques dures très cuites.Briques de ProveLlce bien cuites.Briques de Bourgogne très dures.Briques de Paris bien cuites. .Brique de Hammersmith (Angleterre).Brique de Hammersmith brûlée (Id.) .Brique rouge. . .,.Brique rouge pâle. .. .Brique jaune cuite à la houille.Brique jaune cuite vitrifiée. . .Brique grise de Montereau.

3° MORTIERS

DÉSIGNA TION DES MORTIERS

Mortier de chaux grasse et sable. . .CMortierdc ch. gr. et ciment de tuileaux.Mortier de ch. gr. et de ciment, battu.Mortier de ch. gr. et pouzzolane d'Italie.Mortier de chaux grasse et grès pilé. .Mortier de ch. hydraulique ordinaire.Mortier de ch. éminemment hydraul.Mortier de ciment de Vassy et sable

(partieségales). . . . . . . . . .

POIDS

DU :MÈTRE ceBE

kilogrammes

160014601.66014601 68015302500

2 110

RÉSIST AN CE

A L'ÉCRASEMENT PAR

CENT. CARR~;

kilogrammes

1947653729'74

1.44

136

Le tableau qui précède montre que la résistance à l'écrasementdes mortiers fabriqués avec de bonnes chaux hyùrauliques et lesciments est au moins égale à celle de la pierre et que, par consé-quent, avec leur emploi, on est bien certain de ne jamais s'exposer

RESISTANCES TASSEMENTS

DÉSIGNATION DES CORPS PAR POUR

CENTIMÈTRECARRÉ l M~;TRE DE HAUTEUR

kilogI'ammcs. mèlres.

Mortier de chaux grasse et sable. .,. f9 0,00497Mortier de chaux hydraulique ordin.. 71, 0,00607Mortier de chaux éminemment hydr.. 144 0,007fOGrès des remouleurs... . . . . . . .. .... Of 0,00605Calcaire oolithique.. . . . .. .......... 08 0,0060;)Calcaire arénacé... . . . . . . . . . . . . . . . . . fOO 0,00355

APPENDICE 351

à des mécomptes lors du décintrement des voûtes; autrement, onserait obligé de préndre pour point de départ des calculs de la sta-

bilité des ouvrages: non plus la résislance à l'écrasement desmatériaux, mais bien celle des mortiers.

Les morliers soumis à des charges éprouvent comme les pierres,

une contraction dont il faut tenir compte dans les projets de via-ducs d'une grande hauteur et dans les voûtes très surbaissées d'unegrande ouverlure; voici à ce sujet, le résultat des expériences deIV1.Vicat :

EXPÉRIENCES DE M. VICAl' SUH LE TASSEMENT DES MORTIERS ET DES MATÉRIAVX

EMPLOYÉS DANS LES GRANDS OUVHAGES

TABLE DES MATIÈRES

AVANT-PROPOS.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PREMIÈRE PARTIE


CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES

Objet des murs de soutènement; équilibre des massifs en maçonnerie.Densités et angles de glissement des terres et de la vase fluide. - Incli-

naisonslesplus usuellesadmisesen pratique. . . . . . . . . . .

Murs à parois verticales.

REMBLAIS SANS SURèHARGES

Pousséedes terres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Calcul de la poussée des terres: 10 Tetrainsordinaires. . . . . . . .Discussion élémentaire du maximum de cette poussée. . . . . . . . .Prisme de plus grande poussée. - Valeur algébrique de la poussée maxi-

madesterres.- Remarque.. . . . . . . . . . . . . . . . .. 102.0 Tarains atgilo-sableux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. i iPoint d'application et direction de la poussée. - Moment de la pous-

sée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .'

12Moment de résistance du mur. - Equilibre statique du mur. - Coèffi-

cient de stabilité et équilibre pratique du mur. . . . . . . . .. 13Valeur de x ou épaisseur du mur. . .. 14


Résolution de l'équation donnant la valeur de x ou épaisseur du mur. .Formule donnant cette épaisseur. - Observation. . . . . . . . . . .Formule de M. de Lagl'èné donnant le point d'application de la poussée.

23

t

3

4-v8

1vi718

304 TABLE DES MATIÈRES

Murs avec fruits.

RE~IDLAIS SANS SCRCHARGES

Murs avec f1'uÜs exle1'iew' et z'nte1'z'ew'.- Direction de la poussée. . . .Pousséedes terres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Moment de la poussée. - Momentde résistancedu mur. . . . . . . .Formule donnant la valeur de x ou l'épaisseur du mur. . . . . . . . .Mul'S avec fruit exterieur. - Formule donnant la valeur de x ou l'épais-

seurdumur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Murs avec fndt ~'ntérieu1',- avec retraites intérieures. - Valeurs de x.

REàIBLAIS AVEC SURCHARGES

Murs avec fruits intérieur et extérieur - avec fruit extérieur - avec fruitintérieur - avecretraites intérieures. - Valeurde x. - Remarque.

Murs jumeaux.

Définition. - Calculdesdimensions.. . . . . . . . . . . . . . . .Observation.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Murs soutenant des terres en talus.

Marche à suivre pour calculer les épaisseurs de ces murs. . . . . . .

Murs en surplomb.

REà!BLAIS SANS SURCHARGES

Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Calcul de la poussée des terres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Momentde la poussée.- Momentrésistantdu mur. . . . . . . . . .Valeur de x ou épaisseur du mur. - Vérification..'. . . . . . . . .


Valeur de x ou épaisseur du mur. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Murs de revêtement.

~!URS A P AREMEliTS VERTICAUX

Définition.. . '.' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Valeur de la poussée et du moment de cette poussée. . . . . . . . .Formule théorique donnant la valeur de x. - Formule empirique de

Poncelet.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .MURS AVEC FRUIT EXTÉRIEUR

Méthode statique de la transformation des profils imaginée par Vauban.Exemple numérique. - Fruit du parement postérieur. . . . . . . . .Procédé graphique. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18202023

2324

25

2627

27

28293033

33

3334

36

363639

TABLE DES MATIÈRES

APPLICATIONS DES FORMULES

Murs à parois verticales.

RE~IBLAIS SANS SURCHARGES

Calcul de l'épaisseur de ces murs au moyen de l'équation des momentsde résistance et de renversement. . . . . . . . . . . . . . . . .

Vérification de cette épaisseur au moyen de la formule générale. . . . .REMBLAIS AVEC SURCHARGES

Calcul de l'épaisseur de ces murs au moyen de l'équation des momentsde résistanceet de renversement. . . . . . . . . . . . . . . .

Vérification de cette épaisseur -au moyen de la formule générale. . . .Remarque.- Mursétablislelongdesroutes. . . . . . . . . . . . .

FORMULES SIMPLIFIÉES POUR LES CAS LES PLUS USUELS DE LA PRATIQUE

Talus à 45°. - Talusà3pour2. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Formulegénérale.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Murs avec fruits.


Mursavecfruitsintérieuret extérieur. . . . . . . . . . . . . . . .Mursavecfruitextérieur- avecfruitintérieur. . . . . . . . . . . .

RE~IBLAIS AVEC SURCHARGES

Murs avec fruits intérieur et extérieur.. ..............Mursavecfruitextérieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Mursavecfruit intérieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Murs en surplomb.


Calcul de l'épaisseur de ces murs au moyen de la formule générale. . .Remarque.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Marcheà suivrepour calculerl'épaisseurde ces murs. . . . . . . . .FORMULES SIMPLIFIÉES~OUR LES CAS LES PLUS USUELS DE LA PRATIQUE

Formule générale tirée des moments de résistance et de renversement.Formules empiriques de Roy. - Observation. -Dispositions usuelles

des murs de soutènement. - Remarque.. . . . . . . . . . . .

Murs consolidés par des contreforts.

CONSIDÉRA TI ONS PRÉLIMIN AIRES

Définition. - Mur-typeà paroisverticales. . . . . . . . . . . . . .

355

4041

4244:45

4647

4748

495i52

0254

54

54

56

57


Moment de la poussée.- Moment résistant du mur. - Coefficient destabilité ct glissement du mur-type sur ses fondations. . . . . . .

MURS A CONTREFORTS EXTÉRIEURS

Généralités.- Donnéesde la pratique. . . . . . . . . . . . . . . .Moment résistant du mur. - Talus à 3 pour 2 ; . . . . . . . . . . .Formulegénérale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Murs de cloison des voûtes d'évidement des tympans dans les ponts à

culées perdues en remblais. - Talus à 45°. . . . . . . . . . . .Moment de la poussée. - Moment résistant du mur. - Coefficient de sta-

bilité. - Formule générale. - Masquesdes voûtes d'évidement destympans dans les ponts à ,culéesperdues en tranchée. - Remarque.

MURS A CONTREFORTS INTÉRIEURS

Généralités. . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Donnéesde la pratique. - Momentrésistant du mur . . . . . . . . .Talusà 3 pour 2. - Formule générale. . . . . . . . . . . . . . . .Talus à 15°- Formulegénérale. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Remarque sur la construction des murs de soutènement. . . . . . . .

TRACÉ DE LA COURBE DES PRESSIONS DANS LES MURS

DE SOUTÈNEMENT

Murs soumis à la poussée seule des terres

Donnéesdu cas envisagé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Calculs des massifs partiels de maçonnerie et des prismes de poussée

correspondants. . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . .Surcharges partielles. - Valeursdes poussées sucèes~ives sur les massifs

partiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . .'. . . . . . . . .Détermination des points de passage de la' courbe des pressions. - Véri-

fication des conditions de stabilité: 1° renversement; - 2° glisse-ment; -3° écrasement. . . . . . . . . . '.' . . . . . . . . .

Mursen retour des ponts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Murs s'oumis à l'action d'une force appliquée sur leur face supérieure

Donnéesdu cas envisagé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Détermination des points de passage de la courbe des pressions. . . .Vérification des condiÙons de stabilité: {o renversement; - 2° glisse-

ment; - 3° écrasement. . . . . . . . . . . '. . .. .....Culéesdes ponts en maçonnerie. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Murs soumis à l'action d'une force appliquée sur leur face supérieureet à la poussée des terres

Données du cas envisagé. - Détermination des points de passage de lacourbedespressions. . . . . . . . . . . . . .'. . . . . . . .

Vérification de la résistance du mur à l'écrasement. - Remarque. . .Culées des ponts en maçonnerie. - Murs en ailes. . . . . . . .

58

596163

6i

61>

6668

697071

72

73

73

7476

7677

7880

80828~

TABLE DES MATIÈRES

Murs de revêtement

Donnéesducasenvisagé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Détermination des points de passage de la courbe des pressions. . . .Vérification de la résistance du mur à l'écrasement. - Murs en retour

desponts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .RÉSU~IÉ DES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE DES MASSIFS EN MAÇONNERIE

Première condition: renversement; - deuxième condition: glissement;- troisième condition: écrasement. - Répartition des charges surles plans de joints. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FormuledeCollignon.- Discussiondecetteformule. . . . . . . . .Interprétationpratiquedecettediscussion.. . . . . . . . . . . . .

Butée des terres

Valeur et moment de la butée des terres. - Moment de la poussée desterres. - Equation des moments de résistance et de renverse-ment. . . . . . . . . . . . . . .' . . . . . . . . . . . . . .

Courbe des pressions. - Formule générale pour le cas où les terres peu-vent être taillées à pic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Massifs divers

Epaisseur des barrages en maçonnerie. . . . . . . . . . . . . . . .Formule générale. - Transformation de cette formule. - Formule de

Navier. - Epaisseurdesbatardeaux. . . . . . . . . . . . . . .Formule pour les cas de remplissage du coffre avec de la glaise - avec

du béton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Dimensions des bois employés dans les batardeaux . . . . . . . . . .Epaisseurdes murs de soutènementà pierres sèches. . . . . . . . . .

id. des perrés maçonnés et à pierres sèches. - Fonda-tiondesperrés.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DEUXIÈME PARTIE

PONTS ET VIADUCS EN MAÇONNERIE

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES

Diverses espèces de ponts. - Différentes parties des voûtes. . . . . .Emplacementsdesponts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Traverséed'unravin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Directiondesponts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3i)7

8384

84

858i)87

88

89

89

90

919192

93

95969798


Débouchédesponts.- Radiers.. . . . . . . . . . . . . . . . . .Garde-radiers. - Perrés. - Forme et grandeur des arches. . . . . . .Classementdesouverturesdesponts. . . . . . . . . . . . . . . . .

CALCUL DU DÉBOUCHÉ DES PONTS

1° Sur les rivières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Relations entre la vitesse à la surface, la vitesse moyenne et la vitesse de

fond.. . . . . . . . . . . . . " . . . . . . . . . . . . . . . 102Tableau des vitesses de fond qui affouillent les divers terrains. . . . . 105

2°A la tmverséedesvallées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

DÉBOUCHÉ DES ÉGOUTS DANS LES VILLES

Egoutprincipal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Branchementdu côtégauche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Branchement du côté droit. - Nombre de bouches commandant chaque

branchement: 1°côté gauche. . . . . . . . . . . . . . . . . .2° CÔté droit. - Observation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calculs et dimensions des voûtes

Deux méthodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1" FORMULES EMPIRIQUES

ÉPAISSEUR A LA CLEF

Basesde ces formules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VOUTES EN PLEIN CINTRE

Avec maté!,'iauxtendresou moyennementrésistants.

1° Sous charges ordinaiJ'es. - Formules de Dejardin, Roy, Perronet, Lé-veillé, Croizette-Desnoyers et Lesguillier . . . . . . . . . . . . .

Formule de Dejardin modifiée. - Tableau des valeurs comparatives desépaisseurs à la clef calculées au moyen des formules précé-dentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rernarque.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2°SousgrandessurchaJ'ges.. . . . . . . . . . . . . . . . . .Formule employée en Allemagne et en Russie. - Formule de Dejardin

Inodifiée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3° Sous voies ferrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Avec matériaux d~tJ's et très résistants.

1° Sous charges ordinaires; - 2°sousgrandessurcharges. . . . . . .VOUTES EN ARC DE CERCLE

Avec matériaux tendres ou moyennement J'ésistants.

1°Souschargesordinaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2°Sousgrandessurcharges.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3° Sousvoiesferrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99100i02

102

HO112

112113

114

114

115

117118118

H9120

120

121121122

TABLE DES MATIÈRES

VOUTES ELLIPTIQUES OU EN ANSES DE PANIER

A vec matériaux tend1'es ou moyennement 1'ésistants,

1° Sous charges ordinaires. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2° Sous grandes surcharges; - 3° sous voies ferrées. - Observations. .

VOUTES EN ARC DE CERCLE, ELLIPTIQUES OU EN ANSES DE PANIER

Avec matél'iaux dw's et très 1'ésistants.

1° Sous charges ordinaires; - 2° sous grandes charges. - Observa-ti0n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Résumé.. . . . . . '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .VOUTES DE TOUTE ESPÈCE AVEC MATÉRIAUX MOYENNE1IENT RÉSISTAKTS

Formulegénérale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Tableau comparatif des épaisseurs à la clef calculées par la formule de

Dupuit et la formulegénérale. . . . . . . . . . . . . . . . . .126

Culées ou piédroits.

ÉP AISSEURS

1° Sous charges ol'dinaires. - Formules de Léveillé. . . . . . . . . .Formulesde Lesguillier.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Formulesde Roy,de Durand-Claye.. . . . . . . . . . . . . . . . .2° Sous grandes sU1'cha7'ges.- Formule employée en Allemagne et en

J~ussie.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Observation.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Reins des voûtes.

Considérations générales. - Epaisseur auxareins. - Règles pratiques deCroizette-Desnoyers.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Remarque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Entre les reins et la clef.

Courbe limitant l'épaisseur des voûtes entre les reins et la clef ou courbed'extrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 132

Extrados des voûtes,

Voûtesenpleincintre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Modede remplissageentre la couronneet la chape. . . . . . . . . .Voûtesen arcde cercle. . . . . .'. . . . . . . . . . . . . . . . .Obs.;rvation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Voûtes elliptiques. - Tracé pratique de l'ellipse. . . . . . . . . . .Rayon de courbure d'une courbe plane. - Définition. - Valeur générale

de ce rayon. - Calcul du rayon de courbure d'une ellipse en unpointquelconque.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

359

1'>,)......123

124125

127128129

129130

132134,134137138

139


Construction graphique des valeurs auxiliaires donnant ce rayon decourbure. . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . .. 140

Constructiongraphiquede R, rayonde courbure. . . . . . . . . .. f43Valeur numérique du rayon de courbure R au sommet d'une ellipse. -

Construction graphique de la valeur de ce rayon. . . . . . . . . IHObservation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. U5Calcul des dimensions d'une voûte elliptique. - Epaisseur à la clef. -

Epaisseur au joint de rupture. . . . . . . . . . . . . . . . . .Calcul des éléments nécessaires au tracé de la courbe d'extrados. . . .Epaisseur des culées. - Tracé des tangentes à l'extrades. . . . . . .Tracé pratique de;; joints des voussoirs elliptiques~ - 1° Procédé de

~M.rl'Ocagne. - Justification de ce procedé. '. '. . . -. . . . . . .Observation.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2° Procédé de M. Heude. - Justification de ce procédé. . . . . . . . .Exem'plenumérique. . . . . . . . . . . '. . . . . . . . . . . . .Observation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Voûtès en ansès depanier. - Tracé de l'anse de panier à 3 centres. . .Calculdu rayon de courbureau sommet. . . . . . . . . . . . . . .Calculde l'épaisseurà la clef. . . . . . . . . . . . . . . . . ., . .Calcul de l'épaisseur au joint de rupture, - Epaisseur des culées . . .Tracé de l'anse de panier à 5 centres. . . . . . . . . . . . . . . . .Table donnant les éléments nécessaires au tracé des courbes en anses de

panIer, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 163Remarque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Chapes au-dessus des voûtes.

Considérations générales. - Confectiondes chapes. . . . . . . . . .10 Chapes en mortier de ciment de Portland. . . . . . . . . . . . . .Composition usuelle d'une chape en mortier de ciment de Portland. . .2° Chapes en m01'tier de chaux grasse et de ciment de tuÜeaux. - Leur

composition.. . . . . . . . . . . . . . . . ... . . .',. . . .3° Chapes asphaltiques. - Composition et confection de ces chapes. .Observation.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

APPLICATIONS

. 1° Calcul de l'épaissew' à la clef' d'une voûte en plein cintre: 1° souscharges ordinaires; - 2° sous grandes surcharges. . . . . . . . .

Comparaison des résultats fournis par les formules de Dejardin et deDupuit.. . . . . .

" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2° Calcul de l'épaisseu1' des culées d'une voûte en plein cintre: 1° sous

charges ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 Sous grandes surcharges. - Comparaison des résultats fournis par

les formules de Léveillé, Lesguillier, Roy et Durand-Claye et par laformule employéeen Allemagneet en Russie. . . . . . . . . . .

145147150

HH151153155156157158161162162

164165166

166166167

167

169

170

171

TABLE DES MATlÈfiES

MÉLANGES

Vérification des épaisseurs à la clef des voûtes données par les formuleselnpiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Observation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Profil d'extrados donné par Rondelet. - Surface du profil vertical et

poidsd'une voûte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .PROCÉDÉS GRAPHIQUES POUR CALCULER LA SURFACE DU PROFIL D'UI'iE YOT:TE

E:-i 'TE DU TRACÉ DE LA COURBE DES PRESSIOI'iS

i cr procédé. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .2e procédé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DÉTER1IINATION EXPÉRBIENTALE DES CE:'\TRES DE GRAVITÉ DES YOL"SSOIRS

ET DES PIÉDROITS DES VOUTES

Voûtes sans surcharges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Voûtesavec surcharges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 MÉ THO D EDE LAC 0 lJ IU3EDE S PIlE S S l 0 X S

Poussée des voûtes.

Ceque l'on entend par pousséedesvoûtes. '. . . . . . . . . . . . .Examen des cas les plus ordinaires de rupture des voûtes. . . . . . . .Exposé de la méthode de Méry pour vérifier la stabilité des voûtes. . .Formule de Navier pour calculer la poussée à la clef. . . . . . . . . .

DÉTEmIINATION DES PRESSIOI'iS MAxDIA SUR LES JOINTS DES VOUTES

iO Joint partiellement comprimé; - ;20joint comprimé dans toute sonétendue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tracédes courbeslimites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Anglede glissement. . ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tracé de la courbe des pressions.

i er procédé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Vérification par le calcul de la poussée à la clef. . . . . . . . . . . .2eprocédé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Courbe des pressions dans les culees . . . . . . . . . . . . . . . . .

RÉsmIÉ DES CONDITIONS D'ÉQUILIBRE D'UNE VOUTE

Première condition: renversement. . . . . . . . . . . . . . . . . .Deuxième condition: glissement. - Troisième condition: écrasement.

- Utilité de la courbe des pressions. - Evidement des tympans. .Têtes inégalement chargées. . . . .

~ . ~ . . . . . . . '.' . . . .RÉSULTATS D'EXPÉRIENCES RELATIVES AU POIDS SPÉCIFIQUE ET A LA RÉSISTANCE

A L'ÉCRASEME1'iT DES MAÇONNERIES LES PLUS USUELLES ET AU COEFFICIENT

DE FROTTEilIENT DES DIVERS MAT,ÉRIAUX Ei\IPLOYÉS DANS LES CONSTRUCTIONS.

Tableau des poids du mètre cube de maçonneries et des limites usuellesdela charge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Tableau des coefficients de frottement. . . . . . . . . . . . . . . . 204

361

173i74

i74

176i78

i78i80

i 83i84-i86i88

i92194HJ5

i96i99200201

201

202203


Joint de rupture.

Ceque l'on entend par joint de rupture. . . . . . . . . . . . . . .Déterminationgraphiquedu joint de rupture. . . . . . . . . . . . .Position pratique du joint de rupture: 1° voûtes en plein-cintre; -

2° voûtes en ellipse ou en anse de panier; - 3° voûtes en arc decercle. . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . .

Méthode de Dupuit.

Théorie des voûtes de Dupuit. - Tracé simplifié du tracé de la courbedespressionsrésultantdecettethéorie. . . . . . . . . . . . . .

Principale pbjection à faire contre la théorie de Dupuit . . . . . . . .Renlarque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .PRINCIPALES HYPOTHÈSES ADmSES DANS LA PRATIQUE SUR LES POINTS D'APPLICATION

DE LA POUSSÉE A LA CLEF ET DE LA RÉACTION DANS LE PLAN DES NAISSANCES

Ces hypothèses donnent encore quatre courbes des pressions. . . . . . 212Remarque.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

COMPARAISON DES VOUTES ENTRE ELLES AU POINT DE VUE DE LA STABILITÉ

OpiniondeM. Laterrade.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

APPLICATIONS

VOUTE LIBRE ET SANS SURCHARGE

Tracé de la courbe des pressions dans une voûte en plein-cintre de 5 mè-tres de rayon. - Vérification des plans de joints au point de vue del'écrasement.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Courbe des pressions dans la culée. . . . . . . . . . . . . . . . . .VOUTE AVEC SURCHARGE SOUMISE A LA POUSSÉE DES TERRES

Tracé de la courbe des pressions dans la même voûte de 5 mètres derayon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Vérification des plans dejoints au point de vue de l'écrasement. . . . . 218

204205

207

2082'11212

213

214216

ERREURS lliUÉRENTES AUX PROCÉDÉS GRAPHIQUES

Rectification de ces erreurs par le calcul. . . . . . . . . . . . . . . 218Equationgénéralede la courbedes pressions. . . . . . . . . . . .. 219Détermination par le calcul des points de la courbe des pressions dans

les piédroits. - 1°Piédroitsà parementsverticaux. . . . . . . . 221Joint des naissances.- Digressionthéorique. . . . . . . . . . . 223

2° Piédroits à parementsextérieurs inclinés. . . . . . . . . . . . 2250bservatio.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

3°Piédroitsà parementsextérieursavecretraites. . . . . . . . . . 227


1. Piédroitsà parementsverticaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22810 Joint des naissances. - 2° Base du piédroit. - Cas où l'on tient

comptede la pousséedes terres. . . . . . . . . . . . . . . . . 229

TABLE DES MATIÈRES 363

Il. Piédroits à parements extérieurs inclinés. - {OJoint des naissances. 230

2° Join ts des piédroits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 LObservation.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Tracé et calcul des dimensions des piles.

Tracé:lavoûtesdroites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2322°Voùtesbiaises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234-Calcul: {O VoÛtes symétl'iq1leset symétriquement chal'gées . . . . . .. 234Profil résultant du calcul. - Profil architectural. . . . . . . . . . . 237Remarque. - Pressionsur du béton récemmentimmergé. . . . . . . 238Pressions sur le sol. - Largeur des empatements des fondations. . . . 239Tableau des pressions maxima que peuvent supporter avec sécurité les

substances ci-après: Eau. - Vase. - Terre végétale moyenne. -Terre mélangée de sables ou graviers. -- Schistes. - Terre argi-leuse.- ~Sablemoyenhumideou gravier. . . . . . . . . . . . . 24-0

Mise en pratique des résultats fournis par le calcul. . . . . . . . . . . 241

2° Voûtes non symétriques ou non symé/l'iquement chargées. - Deux cas.Voûtessymétriquesnonsymétriquementchargées. . . . . . . . . . 242Voûtesnon symétriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2HRemarque sur les pressions transmises aux piles des viaducs. . . . . . 24,4

VOUTES EN OGIVE

Définition. . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . 245Divers tracés des ogives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246Tracé de l'extrados. - Exemplenumérique. . . . . . . . . . . . . 25lRemarque. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,253Vérificationde la stabilité des voûtesen ogive. . . . . . . . . . . . 254Tracé de la courbedespressions. . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Observation. - Tracé de la courbe des pressions d'après la théorie de

Dupuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Voûtes biaises.

Casoùl'onemploiedesvoûtesbiaises. . . . . . . . . . . . . . . . 257Comparaison d'une voûte biaise et d'une voÙte droite ayant des têtes

identiques. - Extension aux voûtes biaises des principes ap-pliquésaux voûtesdroites. . . . . . . . . . . . . . . .- . . 258

Différents appareils des voûtes biaises: {OAppareil orthogonal paral-lèle; -2° appareil orthogonal convergent; - 3° appareil hélicoïdalou appareil anglais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Voûtes biaises appareillées droit. . . . . . . . . . . . . . . . . . .260VoÙtesbiaisesforméesd'une série de voûtes droites. . . . . . . . . . 26l

MÉLANGES

Détermination du nombre de pilots que l'on doit employer pour sup-porter le poids d'un ouvrage. . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Exemplenumérique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263Espacement usuel des pilots. - Détermination du refus d'un pilot. -

Exemplenumérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263


Résistance des pilots : fo dans un sol incompressible. . . . . . . . . 265Tableau des poids que l'on peut faire supporter aux pilots par centimètre

carré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

2° Dans un sol indéfiniment compressible. . . . . . . . . . . . . . 266Inconvénients et difficultés pratiques du battage des pieux. . . . . . . 266Fondations sur pilotis. - Accidentsà craindre. . . . . . . . . . . . 267Détermination de la section transversale. des pilots.

Dimensions des blocs employés pour les enrochements. . . . . . 268Applicationsnumériques.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271Moyen graphique pour déterminer approximativement la poussée sur

les piédroits d'une voûte extradossée parallèlement. - Calcul del'épaisseur des piêdroits qui découle de ce moyen graphique. -Exemplenumérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .'. 2i2

Comparaison de l'épaisseur ainsi obtenue avee celle donnée par la formulede Léveillé . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 273

RACCOHDEMENT DU TALUS DES REMBLAIS

AVEC LES MURS EN RETOUR DES PONTS

1° PONTS DROITS

Tracéset calculsrelatifs à ce raccordement. . . . . . . . . . . . . . 273

2° PONTS BIAIS

Tracés: 1° dans l'angle aigu; - 2° dans l'angle obtus. - Calculs rela-tifsà cesraccordements.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

Observation. . . . . . . . . '. ., . . . . . . . . . . . . . . . . 277

CINTRE MENT ET DÉCINTREME:'IT DES VOUTES

Définition d'un cintre. - Travaildes cintres. . . . . . . . . . . . . 278Diverses espèces de cintres. :c-. Courbe de pose, ses inconvénients. . . . 279Types usuels de cintres: 1° Ponts en plein cin tre . . . . . . . . . . . 280

2°Ponts en arcsde cercle. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2833°Ponts en ellipseet en anse de panier. . . . . . . . . . . . . 28~

. Calcul de la pression d'une voûte sur son cintre. - Exemple numérique. 286Règles pratiques de Perronet et de Couplet pour trouver les charges

pesant sur les cintres.. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . 287Voûtes biaises. - Formule empirique pour caJculer l'équarrissage des

.bois composant les cintres fixes pour des ouvertures de 1 à 10mètres 288Calcul de l'équarrissage des bois composant une ferme de cintres re-

troussés.- Couchis.- Définition. . . . . . . . . . . . . . . 289Calcul de l'épaisseur des couchis. - Madriers du commerce habituelle-

,mentemployéscommecouchis. . . . . . . . . . . . . . . . . 290Observation.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292Déc{ntrement : temps pendant lequel les voûtes doivent rester sur cintres.

- Opinions diverses des constructeurs à ce sujet. . . . . . . . . 293

T ABLE DES MATIÈRES

ABORDS DES PONTS

RACCORDEMENTS DIVERS DE CES OUVRAGES AVEC LEURS ABORDS

1°Murs en retour. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2° Murs en ailes droits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3° Murs en ailes avec fruit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Observation.- Etude de la disposition en plan des ouvrages d'art. . .

PROPORTIONS ET DISPClSITIONS ARCHITECTURALES

DES DIVERSES PARTIES DES PONTS ET AQUEDUCS

Architecture générale des ponts. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bandeaux des têtes: 1° bandeau parallèle; - 2° bandeau renforcé.-Tracé de la courbe extérieure du bandeau renforcé. . . . . . . .

Direction des joints dans les bandeaux des têtes. - Appareils des vous-

SOIrs -. . . .

"

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Limite de la hauteur des piédroits. Conditions architecturales auxquelles

doivent satisfaire les plinthes, consoles, cordons et couronnements.

- Formules pratiques. . . . . . . . . . ..""""

Parapets. - Dispositions.- Dimensions. - Coupe transversale résul-

tant des formules précédentes. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Piles: dispositions. - Dimensions. - Détails des cordons et chaperons

résuJtantégalement des formules pratiques.0' -

. . . . . . . . .

Rampants et dés des murs en aile. - Largeur. - hauteur.- Disposition

desrampantsdesmurs en ailes.. '.........Viaducs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Proportions de l'ensemble des viaducs. - Piles des grands viaducs. -Dimensions et proportions. - Application des principes précédents

àun viaducornementéde 16 mètres d'ouverture. . . . . . . . .

Type usuel de viaduc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ponts et viaducs en courbe. - Observation. . . . . . . . . . . .

APPENDICE

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX DE CONSTRUCTION

Problèmes à résoudre dans la pratique. - Ce que l'on doit entendre par

le mot écrasement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .'. . . .

Tableaux donnant la résistance à l'écrasement des matériaux suivants:

1°

Pierres de taille. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2° Briques; - 3° mortiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Expériences de M. Vicat sur le tassement des mortiers et des matériaux

employés dans les grands ouvrages. . . . . . . . . . . . . . .

365

296

299

300

301

303

304

305

306

308

310

310

312

313314315

319

321350

351


PLACEMENT DES FIGURES FORMANT PLANCHES

IMPRD:IÉES HORS TEXTE

PLANCHE 1. - Figure 27. - Tracé de la courbe des pressions dans un murde soutènement à parois verticales soumis à la poussée seule desterres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PLANCHEII. - Figure 29. - Tracé de la courbe des pressions dans un murde soutènement à parois verticales soumis à l'action d'une forceappliquée sur sa face supérieure et à la poussée des terres. . . .

PLANCHEIII. - Figure 30. - Tracé de la courbe des pressions dans unmur derevêtement.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PLANCHEIV. - Figure '36. - Plan général d'un bassin à égoutter. . . .PLANCHEV. - Figure 40. - Mode de remplissage des voûtes entre la

couronne et la chape. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .PLANCHEVI. - Figure 42. - Tracé de la cOUI'be d'extrados dans les

voûtesen arc decercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .PLANCHE VII. - Figure 79. - Tracé de la courbe des pressions dans une

voûtelibreet sanssurcharge. . . . . . . . . . . . . . . . .PLANCHEVIn. - Figure 80. - Tracé de la courbe des pressions dans une

voûte avec surcharge et soumise il.la poussée des terres. . . . .PLANCHEIX. - Figure 88. - Calcul des dimensions des piles. . . . . .PLANCHEX. - Figure 127. - Disposition en plan d'un pontceau for-

mantcarrefour.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .PLANCHEXI. - Figure 128. - Disposition en plan d'un pontceau situé à

la rencontre de trois directions parallèles au cours d'eau. . .. .PLANCHEXII. - Figure 132.- Appareil-type des rampants d'un aqueduc

en briques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .PLANCHE XIII. - Figure 134.- Type de viaduc ornementé. . . . . .PLANCHEXIV.- Figure 135. - Type usuel de viaduc. . . . . . . . .PLANCHEXV. - Fig. 136 il 141. - Projet complet d'un pont à deux

arches.. . . . . . . . . . i . . . . . . . . . . . . . . . .

72

80

84HO

134

136

214

216~36

302

302

311314314

315

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ballastage, par EM. BAUDSON,chef de la section des travaux neufs aucheminde fer du Nord. 1 volumegrand.in-8°. . . . . . . . . . 6 fI'.

Ciments et chaux hydrauliques.Ciments et chaux hydrauliques. Fabrication, propriétés, 'emploi, par

E. CANDLOT,ingénieur de la Société des ciments français de Boulogne-sur-Mer. 1 volume grand in-8°, avec figures dans le texte.. .. 12 fI'. 50

Chaux et sels de chaux.Chaux el sels de chaux appliqués à l'art de l'ingénieur, par GRANGE,

agent voyer en chef du département de la Vienne. 1 volume grand in-8°,avecfiguresdansle texte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 fI'.

Matériaux hydrauliques.Note sur l'emploi des matériaux hydrauliques, par E. CANDLOT,ingé-

nieur chimiste de la Société des ciments français de Boulogne-sur-Mer.1 brochuregrandin-8°. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2 fI'. 50

Carrières de pierres de taille.,

Recherches statistiques et expériences sur les matériaux de conslruc-tion. Répertoire des carrières de pierre de taille exploitées en 1889, publiépar le MensTÈRE DESTRAVAUXPUBLICSet contenant pour chaque carrière:sa désignation et le nom de la commune où elle est située, le moded'exploitation, le nombre et la hauteur des bancs, la désignation usuellede la pierre, la nature de la pierre, la position géologique de la carrière,le poids moyen par mètre cube et la résistance à l'écrasement par centi-mètre carré des échantillons essayés. 1 volume in-4°. . . . . .. 10 fI'.

Consolidation des talus.

Traité de consolidation des talus, routes, canaux et chemins de fer', parH. BRUÈRE,ingénieur civil. 1 vol. in-12 et atlas in-8° de 25 pl. doubles. 10 fI',

Statique graphique.

Eléments de statique graphique, par EUGÈNEROUCHÉ,examinateur desortie à l'Ecole Polytechnique, professeur de statique graphique au Con;..servatoire des arts et métiers. 1 volume grand in-8°, avec de nombreusesgravures dans le texte. . . . . . . . . . .. . . . . . ., 12 fI'. 50

Statique graphique.Applications de la statique graphique. Charges des ponts et des char-

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370 BAUDRY ET Cie, ÉDITEURS, 15, RUE DES SAINTS-PÈRES, PARIS

pentes, poutres droites, courbes, pleines, à trei1lis, continues; arcsmétalliques; fermes métalliques; piles métalliques; influence du ventsur les constructions; déformations; calcul des poutres pour le lançageet le montage; piles en maçonnerie; calcul des joints des poutres; for-mules et tables usuBlles, par KŒCHLIN,ingénieur de la maison Eiffel.1 volume grand in-SOet i atlas de 30 planches. . . . . . . .. 30 fI'.

StatÏque graphÏque.

Eléments de statique graphique appliquée aux constructions. 1re pal'tie:Poutres droites, poussée des terres, voûtes, par MULLER-BRESLAU(traduc-tion par SEYRIG).2epartie: Poutres continues, applications numériques,par SEYRIG-,ingénieur-constructeur du pont du Douro. i volume grandin-So et un atlas il}-4°de 29 planches en 3 couleurs. . . . . . . 20 fI'.

StatÏque graphÏque.Traité de statique graphique appliquée aux constructions, toitures,

planchers, poutres, ponts, etc. - Eléments du calcul graphique; desforces et de leur résultante, des moments fléchissant s, des efforts tran-chants, recherche des maxima, charge permanente, surcharge uniformé-ment répartie, surcharge mobile, données pratiques sur le poids propredes toitures et sur leur surcharge accidentelle, poutres pleines, poutres àtreillis simples et multiples, centre de gravité, moment d'inertie, exem-ples et applications, par MAURICEMAURER,2° édition. 1 volume grandin-8°, avec figures dans le texte, et 1 atlas de 20 planches in-4°. 12 fI'. 50

Résumé des connaÏssances mathématÏques.

Résumé des connaissances mathématiques nécessaires dans la pra-tique des travaux publics et de la construction, par E. MUSSAT,ingénieurdes ponts et chaussées. 1 volume grand in-8°, avec 133 figures dans letexte. . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . 10 fI'.

TraÏté de topographÏe.

Traité de Topographie. - Appareils d'optique, applications de la géo-désie à la topographie, instruments de mesure, levé des plans de surface,levés souterrains, théorie des erreurs, par ANDRÉPELLETAN,ingénieur enchef des mines, professeur à l'Ecole des mines. 1 volume grand in-8°, avec235figuresdansle texte,relié. . . . . . . . . . . . . . . .. 15 fI'.

Levé des plans et nivellement.

Levé des plans et nivellement. Opérations sur le terain, opérations sou-terraines, nivellement de haute précision, par LÉONDUR.-\.NO-CLAYE,ingé-nieur des ponts et chaussées, PELLETANet LALLEMAND,ingénieurs desmines. i volume grand in-8°, avec figures dans le texte. . . . . 25 fI'.

Levée des plans.

Traité du levé des plans et de l'arpentage, par DUPLESSIS,1volume in-So,avec i05 figures dans le texte. . . . . . . . . . . . . . . . . 4 fI'.

Nivellement.

Traité de nivellement, contenant les principes généraux, la descriptionet l'usage des instruments, les opérations et les applications, parDUPLESSIS,1 volume in-8° contenant 112 figures,. . . . . . . . . 8 fI'.

BAUDRY ET Cie, ÉDITEURS, 15, RUE DES SAINTS-PÈRES, PARIS 371

Tables tachéométr'iques.

Tables tachéométriques, donnant aussi rapidement que la règle loga-rithmique tous les calculs nécessaires à l'emploi du tachéomètre, parLOUIS PONS, ingénieur d'études du chemin de fer. 1 volume in-8°,relié.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10 fr.

Courbes de raccordement.

Nouvelles tables pour le tracé des courbes de raccordement en arc decercle (chemins de fer, canaux, routes et chemins), par CHAUVACDELAPLACE,5e édition. :1volumein-12,relié. . . . . . . . . .. 7 fr. 50

Mouvement des terres.

Théorie et pratique du mouvement des terres d'après le procédéBruckner, par ERNESTHENRY,inspecteur général des ponts et chaussées.1volumegrandin-8°.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 fr. 50

Construction des chemins de fer.

Instructions pour la préparation des projets et la surveillance destra-vaux de c'onstruction de la plate-forme des chemins de fer, suivies detables pour le calcul des courbes et pour l'évaluation des volumes desdéblais et des remblais, par L. PARTIOT,inspecteur général des ponts etchaussées. f volume petit in-4°, avec 8 planches et de nombreusesfigures intercalées dans le texte, relié. . . . . . . . . . . .. 15 fr.

Tracé des chemins de fer.

Tracédes chemins de fer, routes, canaux, tramways, etc. Études préli-minaires, études dét1nitives, - recherche et choix des matériaux de cons-truction et de ballastage, par EM.BAUD~ON,chef de section des travaux neufsau chemin de fer du Nord. f volume gland in-8°, avec 4 planches et95 figures intercalées dans le texte. . . . . . . . . . . . . .. 10 fr.

Cours de route.

Cours de routes professé à l'école des Ponts et Chaussées. Dispositiond'une route, étude et rédaction des projets, construction, entretien, parCH. LÉONDURA~D-CLAYE,inspecteur général des ponts et chaussées. 1 volumegrand in-8°,avecfiguresdansle texte. . . . . . . . . . . . . 20fr.

Traité complet des Chemins de fer.

Traitécomplet des chemins de fer. Historique et organisation financière,construction de la plate-forme, ouvrages d'art, voies, stations, signaux,matériel roulant, traction, exploitation, chemins de fer à voie étroite, tram-ways, par G. HUMBERT,ingénieur des ponts et chaussées. 3 volumes grandin-8°,avec700figuresdansle texte. . . . . . . . . . . ... 50fr.

Chemins de fer. Notions générales et économiques.

Chemins de fer. Notions générales et économiques. Historique, forma-lités et règlements relatifs à l'exécution des travaux, régimes, développe-ments, dépenses, comparaison des voies ferrées avec les routes et les voiesde navigation intérieure, prix de revient des transports sur rails, tarifs etleur application, recettes d'exploitation, voie et traction, chemins de fer àv?ie étroite, considérations économiques, par LÉON LEYGUE,ancien ingé-llleur des ponts et chaussées, ingénieur civil, 1 volume grand in..:8°. 15 fr.

372 BAUDRY ET Cie, ÉDITEURS, 15, RUE DES SAINTS-PÈRES, PARIS

Chemins de fer. - Superstructure.

Chemins de fer. Superstructure: voie, gares et stations, signaux, parE. DIŒAItME,ingénieur du service central de la Compagnie du Midi, pro-fesseur du cours de Chemins de fer à l'Ecole centrale des Arts et Manufac-tures. 1 volume grand in-8°, avec 310 figures dans le texte et un allasir:.l,°de '73planchesdoubles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 fI'.

Traité des chemins de fer d'intérêt local.

Traité des chemins de fer d'intérêt local. Chemins de fer à voie étroite,tram\vays, chemins de fer à crémaillère et funiculaires, par G. HUMBERT,ingénieur des ponts et chaussées. 1 volume grand in-8°, avec 21=2 figuresdansle texte.Relié. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 fI'.

Les Chemins de fer à faible trafic.

Les chemins de fer à faible trafic en France. Lignes secondaires desgrands réseaux, chemins de fer d'intérêt local et tramways à vapeur. Eta-blissement et exploitation par A. SAMPITÉ,ingénieur des ponts et chaussées,sous-chef de l'exploitation des chemins de fer de l'Etat. 1 volume grandin-8° et 1 atlas in-4°de 16 planches. . . . . . . . . . . . . . 15 fI'.

Chemins de fer à voie de 0,60 centimètres.

Construction et exploitation des chemins de fer à voie de 0,60 centimè-tres. Voie, terrassements, ouvrages d'art, machines et matériel roulant,

. avec étude d'un tracé entre deux points donnés, par H. TARTARY,conduc-teur des ponts et chaussses. 1 volume grand in-8°, avec 97 figures dans letexte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

"10 fI'.

Chemins de fer funiculaires.

Etude des chemins de fer funiculaires. Historique et classification, étudedu profil en long, résistance au mouvement des trains,eogins spéciaux etvoie, construclion et exploitation, par ALPHO.:\SEVAUTIER,ingénieur civil.1 brochure grand in-8°, avec figures dans le texte. . . . . . . 2 fI'. 50

Chemins de fer funiculaires. - Transports aériens.

Chemins de fer funiculaires. Transports aériens, par A. LÉvy-LAMBERT,ingénieur civil. 1 volume grand in-8°, avec figures dans le texte.. 15 fI'.

Montagnes et torrents.

nestauration des montagnes, correction des torrents, reboisement, parE. THIERY,professeur à l'Ecole nationale forestière, avec une introductionpar M. C. LECHALAS.1 volume grand in-So avec 164 f1gures dans letexte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 fI'.

Hydraulique agrico le.

Hydraulique agricole. Aménagement des eaux; irriga.tion des terreslabourables, des cultures maraîchères, des jardins, des prairies, etc.; créa-tion et entretien des prairies; dcsséchements, dessalage, limonage etcolmatage, curage; irrigation et drainage combinés; renseignementscomplémentaires techniques et administratifs, par J. CHARPENTIERDE Cos-SIGNY,ancien élève de l'école Polytechnique, lauréat de la Société desAgriculteurs de France, ingénieur civil. 2° édition revue et augmentée.1 volume grand in-So, avec de nombreuses figures dans le texte. 15 f1'.

BAUDRY ET Cie, ÉDITEURS, H), RUE DES SAINTS-PÈRES, PARIS 373

Hydraulique flu,"iale.

Hydraulique fluviale. Météorologie et hydrologie; les fleuves, grandesinondations, navigation; conditions techniques d'un grand développementde la navigation fluviale; conclusions; par M. C. LECHALAS,inspecteurgénéral des ponts et chaussées. i volume grand in-8°, avec figures dansle texte. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 16 fI'. 50

Navigation intérieure.

Guide officiel de la navigation intérieure avec itinéraires graphiques desprincipales lignes de navigation et carte générale des voies navigables dela Franee, dressé par les soins du MINISTÈREDESTRAVAUXPUBLICS.Documentsréglementaires, nomenclature alphabétique et conditions de navigabilité,notice et tableaux des distances, itinéraires des principales lignes de navi-gation, itinéraires graphiques, carte au 1/1500000. 5e édition revue etaugmentée. 1 volume in-18 jésus, avec 3 planches en couleur et une carteen couleur de om,70 sur Om,65. ,

Prix: le volume broché et la carte en feuille. . . . . . . . 2 fI'. 25Le volume solidement relié et la carte montée sur toile, pliée et reliée

eomme le volume. . . . . .'. .. 5 fr.

Rivières et canaux.Navigation intérieure. Rivières et canaux, par GUILLEMAIN,inspecteur

général des ponts et chaussées, professeur à l'Ecole des ponts et chaussées.2 volumes grand in-8°, avec gravuFes dans le texte. . . . . . . 40 fr.

Moyens de :franchir les chutes de cauaux.

Étude sur les moyens de franchir les chutes des canaux. Écluses, plansinclinés, ascenseurs, ascenseur des Fontinettes, par H. GRUSON,ingénieuren chef des ponts et chaussées, et L.-A. BARBET,ingénieur en chef del'usine Cail. i volume grand in-So et un atlas in-4° de 28 planches. 25 fr.

Travaux maritime~.

Travaux maritimes; phénomènes marins; accès des ports. Mouvementsde la mer. - Régime des côtes. - Matériaux dans l'eau de mer. - Atter-rage. Entrée des ports. Jetées, par LAROCHE,ingénieur en chef des ponts etchaussées, professeur à l'École des ponts et chaussées. 1 volume grandin-8° et i atlas in-4°de 46 planches dou1J.les. . . . . . . . . . 40 fr.

Ports maritimes.

Ports maritimes. - Ports d'échouage. - Bassins à flot. - Écluses desbassins à flot. - Portes d'écluses. - Ponts mobiles. - Moyens d'obteniret d'entretenir la profondeur à l'entrée des ports. - Moyens d'obtenir etd'entretenir la profondeur dans les ports. Ouvrages et appareils pour laréparation des navires. Défense des côtes. Éclairage et balisage des côtes.Exploitation des ports. Canaux maritimes, par F. LAROCHE,inspecteurgénéral des ponts et chaussées, professeur à l'École nationale des ponts etchaussées. 2 volumes grand in-So, avec figures dans le texte, et 2 atlasin-4°contenaIlt37planchesdoubles. . . . . . . . . . . . . . 50 fI',

Ponts en maconnerie.,

Ponts en maçonnerie, par E. DEGRAND,inspecteur général des ponts etchaussées, et J. RÉSAL,ingénieur des ponts et chaussées. 2 volumes grandin-8°, avec de nombreuses gravures dans le texte. . . . . . . . 40 fr.

374 BAUDRY ET O', ÉDITEURS, 15, RUE DES SAINTS-PÈRES, PARIS

Barême des poutres métalliques.Barême des poutres métalliques à âmes pleines et à treillis, par PASCAL,

ingénieur civil. 1 volume in-4°, avec figures dans le texte. Relié. 12 fr. 50

Constructions Illétalliques.Constructions métalliques. - Élasticité et résistance des matériaux:

fonte, fer et acier, par JEAN RESAL, ingénieur des ponts et chaussées.1 volume grand in-8°, avec figures dans le texte. . . . . . . .. 20 fI'.

Ponts Illétalliques.Traité pratique des ponts métalliques; calcul des poutres et des ponts

par la méthode ordinaire et par la statique graphique, par M. PASCAL,ingé-nieur, ancien élève de l'École d'arts et métiers d'Aix. 1 volume grand in-8°et 1atlasde12,planches. . . . . . . . . . . . . .. . . .. 12 fI'.

Ponts Illétalliques.Ponts métalliques, par JEANRÉSAL,ingénieur des ponts et"chaussées.Tome p1'emier. - Calcul des pièces prismatiques; renseignements prati-

ques; formules usuelles; poutres droites à travées indépendantes; pontssuspendus; ponts en arc. 1 volume grand in-8°, avec de nombreuses gra-vures dans le tex le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20 fI'.

Tome second.- Poutres à travées solidaires: théorie générale des pou-tres à section constante; calcul des poutres symétriques; poutres continuesà section variable; théorie générale des poutres de hauteur variable;montage des ponts par encorbellement; ponts-grues; calcul des systèmesarticulés; piles métalliques; tables numériques. 1 volume grand in-8°, avecdenombreusesfiguresdansle texte. . . . . . . . . ~ . . .. 20 fI'.

Ponts Illétalliques.Calcul des ponts métaUiques à poutres droites, à une ou plusieurs tra-

vées par la méthode des lignes d Ïnfluence. Formules et tables servant aucalcul rapide des moments fléchissants et des efforts tranchants maximumsdéterminés, en divers points des poutres, par des charges uniformémentréparties et des charges concentrées mobiles, par ADRIENCARTet LÉONPORTES,ingénieurs civils attachés au service des ponts métalliques de laCompagnie d'Orléans. 1 volume grand in-So, avec figures dans le texte et2 planches,relié. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20 fI'.

Ponts et viaducs Illétalliques.Calculs de résistance des ponts et viaducs métalliques à poutres droites,

d'après la circulaire ministérielle du 29 août 1891, par MAURICEHULEWICZ,ingénieur, ancien élève de l'École des ponts et chaussées. 1 volume grandin-8°, avec 1 planche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10 fr.

Ponts Illétalliques.Études théoriques et pratiques sur les ponts métalliques à une travée et

à poutres droites et pleines, par E. DUMETZ,commis des ponts et chausséesattaché au service vicinal du Pas-de-Calais. 1 volume grand in-8°, avec117 figures dans le texte. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10 fr.

Elllploi des pieux Illétalliques.Étude sur l'emploi des pieux métalliques dans les fondations d'ouvrages

d'art, par C. GRANGE,agent voyer en chef du département de la Vienne.1 volume grand in-8°, avec 51 figures dans le texte. . . . . . . 7 fI'. 50

BAUDRYET C'e, ÉDITEURS,15, RUE DES SAINTS-PÈRES,PARIS 375

Stabilité des constructions.

Traité de stabilité des constructions, précédé d'éléments de statique gra-phique et suivi de compléments de mathématiq~es. Leçons professées auConserva.toire national des Arts et Métiers, à l'Ecole centrale d'Architec-ture, par JULESPILLET,professeur au Conservatoire des Arts et Métiers, àl'École nationale des Beaux-Arts, etc. i volume in-4° de 536 pages, imprimésur très beau papier. Nom-breux tableaux graphiques; abaques et tablesnumériques; 600 figures et épures dans le texte. . . . . . . . . 25 fI'.

Résistance des matériaux.

Stabilité des constructions et résistance des matériaux, par A. FLAMANT,ingénieur en chef des ponts et chaussées, professeur à l'École des ponts etchaussées et à l'École centrale. 1 volume grand in-So, avec 264, figures dansle texte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 fI'.

Moments d'inertie.

Les moments d'inertie dans les constructions métalliques. Tables desmoments d'inertie des principaux profils de 1 et pour faciliter le calcul desmoments d'inertie des poutres composées symétriques ou non symétriquespar BOUBÉE.i volumein-12,cartonné. . . . . . . . . . . . . .4 fI'.

Serrurerie et Constructions en fer.

Traité pratique de serrurerie. Constructions en fer et serrurerie d'art. -Planchers en fer, linteaux, filets, poutres ordinaires et armées. - Colonnesen fonte, consoles en fonte, colonnes en fer, creux, pans de fer, montantsen fer composés. - Charpentes en fer, combles, hangars, marchés cou-verts. - Passerelles et petits ponts. - Escaliers en fer. - Châssis deconche, bâches, serres, jardins d'hiver, chauffage, vitrerie. - Volières,tonnelles, kiosques. - Auvents, marquises, vérandahs, bow-windows. -Grilles, panneaux de portes, rampes. - Eléments divers de serrurerie etde ferronnerie d'art. - Principaux assemblages employés en serrurerie,etc., etc., par E. BARBEROT.2e édition. 1 volume grand in-So, avec 972 figuresdansletexte.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25 fI'.

Chauffage et ventilation.Fumisterie, chauffage et ventilation, par J. DENFE,R,architecte professeur

du cours d'architecture et de construction civile à l'Ecole centrale. 1 volumegrand in-So, avec 3i5 figures dans le texte. . . . . . . . . . . 25 fI'.

ÉVREUX, IMPRIMERIE DE CHARLES HÉRISSEY